Сохрани и опубликуйсвоё исследование
О проекте | Cоглашение | Партнёры
Диссертация на соискание академической степени магистра 03.04.02 Физика программа "Теоретическая и математическая физика"
Источник: Белгородский государственный университет - национальный исследовательский университет (НИУ «БелГУ»)
Комментировать 0
Рецензировать 0
Скачать - 376,4 КБ
Enter the password to open this PDF file:
-
ÔÅÄÅ ÀËÜÍÎÅ
ÎÑÓÄÀ ÑÒÂÅÍÍÎÅ ÀÂÒÎÍÎÌÍÎÅ ÎÁ ÀÇÎÂÀÒÅËÜÍÎÅ Ó× ÅÆÄÅÍÈÅ ÂÛÑØÅ
Î ÎÁ ÀÇÎÂÀÍÈß ¾ÁÅË
Î ÎÄÑÊÈÉ
ÎÑÓÄÀ ÑÒÂÅÍÍÛÉ ÍÀÖÈÎÍÀËÜÍÛÉ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÑÊÈÉ ÓÍÈÂÅ ÑÈÒÅÒ¿ (Í È Ó ¾ Á å ë
Ó ¿ ) ÈÍÑÒÈÒÓÒ ÈÍÆÅÍÅ ÍÛÕ ÒÅÕÍÎËÎ
ÈÉ È ÅÑÒÅÑÒÂÅÍÍÛÕ ÍÀÓÊ Êà åäðà òåîðåòè÷åñêîé è ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè ÏÎËÍÎÅ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÈÍÄÓÖÈ ÎÂÀÍÍÎ
Î ØÓÌÎÌ ÔÀÇÎÂÎ
Î ÏÅ ÅÕÎÄÀ  ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÌÎÄÅËÈ ÀÂÒÎÊÀÒÀËÈÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÅÀÊÖÈÉ Äèññåðòàöèÿ íà ñîèñêàíèå àêàäåìè÷åñêîé ñòåïåíè ìàãèñòðà Íàïðàâëåíèå ïîäãîòîâêè 03.04.02 Ôèçèêà, ïðîãðàììà ¾Òåîðåòè÷åñêàÿ è ìàòåìàòè÷åñêàÿ èçèêà¿ Ôàì Ìèíü Òóàí Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü Ä. èç.-ìàò.í., ïðî . Âèð÷åíêî Þ.Ï. åöåíçåíò Ä. èç.-ìàò.í., ïðî . Êðàñèëüíèêîâ Â.Â. Áåëãîðîä 2016
Àííîòàöèÿ Äàåòñÿ ïîëíîå èññëåäîâàíèå ñòàöèîíàðíîé ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå îòíîñèòåëüíûõ êîíöåíòðàöèé äëÿ òðåõïàðàìåòðè÷åñêîé ñòîõàñòè÷åñêîé ìîäåëè Õîðñòõåìêå- Ëå åâåðà áèíàðíîé àâòîêàòàëèòè÷åñêîé öèêëè÷åñêîé õèìè÷åñêîé ðåàêöèè, êîòîðàÿ ó÷èòûâàåò âîçìóùåíèÿ, âûçâàííûå òåïëîâûìè ëóêòóàöèÿìè ðåàãåíòîâ. Ýòà ìîäåëü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñòàöèîíàðíûé äè óçèîííûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, ïîðîæäàåìûé ñòîõàñòè÷åñêèì óðàâíåíèåì ñ äè åðåíöèàëîì Ñòðàòîíîâè÷à, ó êîòîðîãî ìàðãèíàëüíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ äîïóñêàåò áè óðêàöèîííóþ ïåðåñòðîéêó îò óíèìîäàëüíîé ê áèìîäàëüíîé ïðè óâåëè÷åíèè èíòåíñèâíîñòè øóìà, ÷òî èçè÷åñêè èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê äèíàìè÷åñêèé àçîâûé ïåðåõîä èíäóöèðîâàííûé ëóêòóàöèÿìè â ñèñòåìå. Êëþ÷åâûå ñëîâà áèìîäàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå óðàâíåíèå Ôîêêåðà-Ïëàíêà áè óðêàöèÿ óðàâíåíèÿ õèìè÷åñêîé êèíåòèêè êðèòè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü àçîâàÿ äèàãðàììà ñòåõèîìåòðè÷åñêèå êîý èöèåíòû àçîâûé ïåðåõîä èíäóöèðîâàííûé øóìîì ñòîõàñòè÷åñêîå äè åðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ëóêòóàöèè äè óçèîííûé ìàðêîâñêèé ïðîöåññ
Îãëàâëåíèå Ñïèñîê îáîçíà÷åíèé 4 Ïðåäìåíòíûé óêàçàòåëü 5 Ââåäåíèå 7
ëàâà 1. Êîíñòðóêöèÿ ìîäåëè 9
ëàâà 2. Êðèòè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü 15
ëàâà 3. Àíàëèç êðèòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè 18
ëàâà 4. Èññëåäîâàíèå êðèòè÷åñêîé êðèâîé â ïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿõ 27 Çàêëþ÷åíèå Ëèòåðàòóðà 30 32
4 Ñïèñîê îáîçíà÷åíèé  ðàáîòå ìû ïðèäåðæèâàåìñÿ ñëåäóþùèõ ïðàâèë ïðè óïîòðåáëåíèè øðè òîâ äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ è îïåðàöèé íàä íèìè. • Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îïåðàòîðîâ ( óíêöèîíàëîâ), äëÿ êîòîðûõ â ìàòåìàòèêå èìåþòñÿ óñòîÿâøèåñÿ àááðåâèàòóðû íà îñíîâå áóêâ ëàòèíñêîãî àë àâèòà, ìû óïîòðåáëÿåì øðè ò ¾roman¿ A, B, C, ...; a, b, , ... . Íàïðèìåð, Re è Im ðåàëüíàÿ è ìíèìàÿ ÷àñòè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. Åñëè òàêîâûõ óñòîÿâøèõñÿ àááðåâèàòóð íå èìååòñÿ, òî ìû èñïîëüçóåì äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ ðàçëè÷íûå øðè òû, â çàâèñèìîñòè îò ïðèðîäû îáúåêòà, ïåðå÷èñëåííûå íèæå. • Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ñòàíäàðòíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ñòðóêòóð èñïîëüçóåòñÿ àæóðíûé øðè ò A, B, C, ..., íàïðèìåð, R ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, Z ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë, N ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. • Îïåðàòîðû, îòîáðàæåíèÿ, óíêöèîíàëû îáîçíà÷àþòñÿ ïðîïèñíûìè áóêâàìè øðè òà ¾sanserif¿ A, B, C, .... • Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ÷èñëîâûõ âåëè÷èí (ïàðàìåòðîâ, óíêöèé è èõ àðãóìåíòîâ) èñïîëüçóþòñÿ áóêâû ëàòèíñêîãî â øðè òå ¾itali ¿ a, b, c, ... è ãðå÷åñêîãî àë àâèòîâ. Ïðè ýòîì ëàòèíñêèå áóêâû i, j, k, l îáîçíà÷àþò öåëûå ÷èñëà. • Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ âåêòîðîâ æèðíûå áóêâû ëàòèíñêîãî àë àâèòà. Èõ êîìïîíåíòû íóìåðóþòñÿ èíäåêñàìè i, j, k, l, m. Ïðè ýòîì ïðèíèìàåòñÿ òåíçîðíîå ñîãëàøåíèå î ñóììèðîâàíèè ïî ïîâòîðÿþùèìñÿ ïàðíûì èíäåêñàì. • Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ìíîæåñòâ ðàçëè÷íûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ èñïîëüçóåòñÿ øðè ò ¾ alligraphi ¿ A, B, C, , ....
5 Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü t âðåìåííîé ïàðàìåòð Nt (·) ÷èñëî ÷àñòèö çàäàííîãî ðåàãåíòà õèìè÷åñêîé ðåàêöèè â ìîìåíò âðåìåíè t xt îòíîñèòåëüíàÿ êîíöåíòðàöèÿ äâóõ ðåàãåíòîâ â ìîìåíò âðåìåíè t ki ñêîðîñòü i-ãî õèìè÷åñêîãî ïðîöåññà α ïðèâåäåííûé àääèòèâíûé ïàðàìåòð õèìè÷åñêîé ðåàêöèè λ ïðèâåäåííûé ìóëüòèïëèêàòèâíûé ïàðàìåòð õèìè÷åñêîé ðåàêöèè ϕ̃(t) îáîáùåííûé ïðîöåññ áåëîãî øóìà w̃(t) ñòàíäàðòíûé âèíåðîâñêèé ïðîöåññ x̃(t) ñëó÷àéíûé ïðîöåññ èçìåíåíèÿ îòíîñèòåëüíîé êîíöåíòðàöèè σ 2 èíòåíñèâíîñòü òåïëîâûõ ëóêòóàöèé p(x, t) òåêóùàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé â òî÷êå x â ìîìåíò âðåìåíè t p(x) ñòàöèîíàðíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé â òî÷êå x J[·] ïîòîê âåðîÿòíîñòè ε = α − 1/2 Kν óíêöèÿ Ìàêäîíàëüäà ñ ïàðàìåòðîì ν f êîý èöèåíò ïåðåíîñà äè óçèîííîãî ïðîöåññà x̃(t) g äè óçèîííûé êîý èöèåíò ïðîöåññà x̃(t) Σε ñå÷åíèå êðèòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè â ïëîñêîñòè ε = onst Σ± âåòâè êðèâûõ â ñå÷åíèå êðèòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ∆ öèëèíäð 4λ2 + 3σ 4 − 12σ 2 = 0
6 G± ãèïåðáîëû, îãðàíè÷èâàþùèå èçè÷åñêè ðàçðåøåííóþ îáëàñòü ðàñïîëîæåíèÿ ñå÷åíèÿ ïðè ε = onst êðèòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè λ∗ êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà λ â òî÷êå êàñïà ñå÷åíèÿ êðèòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè σ∗2 êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà σ 2 â òî÷êå êàñïà ñå÷åíèÿ êðèòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè
7 1. Ââåäåíèå Ïðè òåîðåòè÷åñêîì èçó÷åíèè ðàçëè÷íûõ ÿâëåíèé â åñòåñòâåííûõ íàóêàõ âîçíèêàþò ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè, êîòîðûå ñâÿçàíû ñî ñòîõàñòè÷åñêèìè äèíàìè÷åñêèìè ñèñòåìàìè. Èõ îðìóëèðîâêà è èññëåäîâàíèå îñíîâàíî íà ïîíÿòèè ñòîõàñòè÷åñêîãî äè åðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ è ïðèâëå÷åíèÿ îáùåé òåîðèè òàêèõ óðàâíåíèé. Îäíîé èç òàêèõ ñòîõàñòè÷åñêèõ ìîäåëåé ÿâëÿåòñÿ ò.í. ãåíåòè÷åñêàÿ ìîäåëü, ââåäåííàÿ â [1℄ êàê èëëþñòðèðóþùàÿ ýâîëþöèþ ñî âðåìåíåì â íåêîòîðûõ áèîëîãè÷åñêèõ ïðîöåññàõ.  ðàáîòå [2℄ áûëî ïðåäëîæåíî ïðèìåíåíèå ýòîé ìîäåëè äëÿ îïèñàíèÿ êèíåòèêè áèíàðíûõ öèêëè÷åñêèõ õèìè÷åñêèõ ðåàêöèé ïðè íàëè÷èè êàòàëèçàòîðîâ (ñì. òàêæå [3℄, ãäå äàí áîëåå äåòàëüíûé âûâîä óðàâíåíèé ìîäåëè íà îñíîâå õèìè÷åñêîé êèíåòèêè). Òàì æå áûë äàí àíàëèç ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ ìîäåëè â ÷àñòíîì ñèììåòðè÷íîì ñëó÷àå, ðåçóëüòàòû êîòîðîãî ïðèâåäåíû â ìîíîãðà èè [4℄.  ýòîé æå ìîíîãðà èè áûëà ïðîàíàëèçèðîâàíà ñâÿçü ìåæäó ìîäåëüþ àâòîðîâ è ìîäåëüþ ðàáîòû [1℄.  äèíàìèêå, îïèñûâàåìîé ãåíåòè÷åñêîé ìîäåëüþ, ïðîÿâëÿåòñÿ òàê íàçûâàåìûé èíäóöèðîâàííûé øóìîì àçîâûé ïåðåõîä ïðè èçìåíåíèè åå ñâîáîäíûõ ïàðàìåòðîâ. Îí, ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé áè óðêàöèîííóþ ïåðåñòðîéêó ñòàöèîíàðíîé ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû x̃(t) çíà÷åíèÿ â ìîìåíò âðåìåíè t ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà, êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ ìîäåëüþ. Ïðè÷åì, òàêàÿ ïåðåñòðîéêà îòñóòñòâóåò â äåòåðìèíèðîâàííîì ïðåäåëå ìîäåëè ïðè ðàâíîé íóëþ èíòåíñèâíîñòè øóìà ïàðàìåòðà, õàðàêòåðèçóþùåãî âëèÿíèå ñòîõàñòè÷åñêîãî ñëàãàåìîãî â ñîîòâåòñòâóþùåì ñòîõàñòè÷åñêîì äè åðåíöèàëüíîì óðàâíåíèè. Èìåííî ýòî îáóñëîâèëî èíòåðåñ ê èññëåäîâàíèþ ãåíåòè÷åñêîé ìîäåëè. Äîïîëíèòåëüíûì îáñòîÿòåëüñòâîì ïðèâëåêàþùåì âíèìàíèå ê èçó÷åíèþ ýòîé ìîäåëè ÿâëÿåòñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíîå ïîäòâåðæäåíèå íàëè÷èÿ óêàçàííîãî àçîâîãî ïåðåõîäà [6℄. Áè óðêàöèÿ, ñâîéñòâåííàÿ ãåíåòè÷åñêîé ìîäåëè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷àñòíûé ñëó÷àé àçîâûõ ïåðåõîäîâ ïîä âîçäåéñòâèåì øóìà, íà÷àëî èíòåí-
8 ñèâíîìó ìàòåìàòè÷åñêîìó èññëåäîâàíèþ êîòîðûõ áûëî ïîëîæåíî â 70-õ ãîäàõ ïðîøëîãî ñòîëåòèÿ, è äî íàñòîÿùåãî âðåìåíè ýòà òåìàòèêà èññëåäîâàíèé ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ [7℄, êàê ñ òî÷êè çðåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè, òàê è ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðèëîæåíèÿ ðåçóëüòàòîâ ýòèõ èññëåäîâàíèé ê êîíêðåòíûì èçè÷åñêèì ñèòóàöèÿì. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî óñïåõè â èññëåäîâàíèè àçîâûõ ïåðåõîäîâ ïîä âîçäåéñòâèåì øóìà, â îñíîâíîì, ñâÿçàíû ñ èçó÷åíèåì îäíîìåðíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. Ìàòåìàòè÷åñêîå èññëåäîâàíèå ãåíåòè÷åñêîé ìîäåëè äàâàëîñü â ðàáîòàõ åå îñíîâîïîëîæíèêîâ â ðàçëè÷íûå ãîäû (ñì., íàïðèìåð, èõ îáçîðû [8-10℄ è âòîðîå èçä. óæå öèòèðîâàííîé ìîíîãðà èè [11℄). Îäíàêî, â èõ ðàáîòàõ íå áûëî äàíî ïîëíîãî àíàëèòè÷åñêîãî èññëåäîâàíèÿ ñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ ãåíåòè÷åñêîé ìîäåëè. Ïðè èññëåäîâàíèè ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé äëÿ íàáîðîâ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ ìîäåëè â îáùåì ïîëîæåíèè â ýòèõ ðàáîòàõ àâòîðû ïåðåõîäèëè ê ÷èñëåííîé ñèìóëÿöèè.  íàñòîÿùåé ðàáîòå ìû ïðèâîäèì ðåçóëüòàòû ïîëíîãî èññëåäîâàíèÿ ñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ ãåíåòè÷åñêîé ìîäåëè ïðè âñåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèÿõ åå ïàðàìåòðîâ, ïðåäâàðèòåëüíî îïóáëèêîâàííûå â [3, 12-14℄.  ñëåäóþùåì ðàçäåëå, ìû êðàòêî ïðèâîäèì êîíñòðóêöèþ ìîäåëè ÕîðñòõåìêåËå åâåðà è íåîáõîäèìûå äëÿ äàëüíåéøåãî èçëîæåíèÿ, ñâÿçàííûå ñ íåé ðåçóëüòàòû.  ðàçä. 3 ñòàâèòñÿ çàäà÷à âû÷èñëåíèÿ êðèòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè â ïðîñòðàíñòâå ïàðàìåòðîâ.  4-ì ðàçä. ïðèâîäÿòñÿ ïîëíîå àíàëèòè÷åñêîå èññëåäîâàíèå êðèòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè.  5-ì ðàçäåëå êðèòè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü èññëåäóåòñÿ âáëèçè ãðàíè÷íûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà α = 0 è 1, â êîòîðûõ îíà òåðÿåò ñìûñë.
9
ëàâà 1. Êîíñòðóêöèÿ ìîäåëè àññìîòðèì ñâÿçàííûå ïàðû õèìè÷åñêèõ ðåàêöèé, êîòîðûå îñóùåñòâëÿþòñÿ ïî ñëåäóþùåé ñõåìå: k2 A + X + Y ⇆ 2Y + A∗ , k1 k4 B + X + Y ⇆ 2X + B ∗ , k3 ãäå X, Y, A, B, A∗, B ∗ ñèìâîëû õèìè÷åñêèõ ðåàãåíòîâ è ïðè ýòîì âåùåñòâà, îáîçíà÷àåìûå ñèìâîëàìè A, B, A∗, B ∗ , âûïîëíÿþò ðîëü õèìè÷åñêîé ñðåäû, â êîòîðîé âîçìîæíî ïðîòåêàíèå ïðÿìîé è îáðàòíîé ðåàêöèè ñî ñðàâíèìûìè äðóã ñ äðóãîì ñêîðîñòÿìè ki , i = 1, 2, 3, 4. Íà îñíîâàíèè áàçîâûõ óðàâíåíèé õèìè÷åñêîé êèíåòèêè, îïèñûâàþùèõ äèíàìèêó ýòîé ïàðû îäíîâðåìåííî ïðîòåêàþùèõ ðåàêöèé, èìååì 1) Ṅt (X) = k2 Nt2(Y )Nt(A∗) − k1Nt (X)Nt (Y )Nt(A) + + k3 Nt (X)Nt(Y )Nt(B) − k4 Nt2 (X)Nt(B ∗) , Ṅt (Y ) = k1Nt (X)Nt (Y )Nt(A) − k2 Nt2 (Y )Nt(A∗) + + k4 Nt2 (X)Nt(B ∗) − k3 Nt(X)Nt (Y )Nt (B) , ãäå Nt (A), Nt(A∗ ), Nt(B), Nt(B ∗ ), Nt(X), Nt(Y ) çàâèñÿùèå îò âðåìåíè t ÷èñëà ÷àñòèö ñîîòâåòñòâóþùèõ ðåàãåíòîâ. Èç ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ñëåäóåò çàêîí ñîõðàíåíèÿ ñóììàðíîãî ÷èñëà ìîëåêóë îáîèõ ðåàãåíòîâ â êàæäîì èçè÷åñêè ìàëîì îáúåìå òåðìîäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû, òàê êàê ñóììà äâóõ óðàâíåíèé ïðèâîäèò ê d(Nt(X) + Nt (Y ))/dt = 0. Òîãäà Nt (X) + Nt (Y ) = N = onst. Îáîçíà÷èì ïîñðåäñòâîì x(t) = Nt (X)/N , 1 − x(t) = Nt (Y )/N êîíöåíòðàöèè ÷àñòèö, ñîîòâåòñòâåííî, ðåàãåíòîâ X è Y â ìîìåíò âðåìåíè t. Ïðåíåáðåãàÿ ìàëûìè èçìåíåíèÿìè ñî âðåìåíåì âåëè÷èí Nt (A), Nt(A∗ ), Nt (B), Nt (B ∗) ïî ñðàâíåíèþ ñ ñàìèìè ýòèìè âåëè÷èíàìè, òî åñòü ñ÷èòàÿ, ÷òî îíè íå çàâèñÿò îò t, è ïðè ýòîì çíà÷åíèÿ N (A), N (A∗ ), N (B), N (B ∗ ) èìåþò 1 Ïî ïîâîäó ìåòîäîâ ïîñòðîåíèÿ óðàâíåíèé õèìè÷åñêîé êèíåòèêè ñì., íàïðèìåð, [15℄.
10 îäèí è òîò æå ïîðÿäîê âåëè÷èíû, íàìíîãî ïðåâîñõîäÿùèé ÷èñëà Nt (X) è Nt (Y ), ïåðåéäåì ê äðóãîìó ìàñøòàáó âðåìåíè â êèíåòè÷åñêèõ óðàâíåíèÿõ ïîñðåäñòâîì çàìåíû N [k2 N (A∗ ) + k4 N (B ∗ )]t íà èçè÷åñêè áåçðàçìåðíûé ïàðàìåòð t. Òîãäà, ïîëó÷àåòñÿ ñëåäóþùåå óðàâíåíèå äëÿ êîíöåíòðàöèè x(t): ẋ(t) = α − x(t) + λx(t)(1 − x(t)) , x(t) ∈ [0, 1] . (1) ñ áåçðàçìåðíûìè êîý èöèåíòàìè k2 N (A∗) α= , k2N (A∗) + k4 N (B ∗) k3N (B) + k4N (B ∗ ) − k1 N (A) − k2N (A∗ ) λ= , k2 N (A∗) + k4 N (B ∗) (2) α ∈ [0, 1], λ ∈ R, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ õàðàêòåðèñòèêàìè ðåàêöèè. Óðàâíåíèå (1) èìååò óñòîé÷èâóþ ñòàöèîíàðíóþ òî÷êó x̄ = (λ − 1 + p (λ − 1)2 + 4λα)/2λ âíóòðè èíòåðâàëà [0, 1], ê êîòîðîé ñòðåìèòñÿ ëþáîå ðåøåíèå ñ íà÷àëüíûì çíà÷åíèåì x0 ∈ (0, 1). Çíà÷åíèÿ α = 0, 1 ÿâëÿþòñÿ îñîáûìè, òàê êàê äëÿ íèõ ìîäåëü òåðÿåò ñâîé èçè÷åñêèé ñìûñë. Íàëè÷èå îäíîé óñòîé÷èâîé òî÷êè ðàâíîâåñèÿ óêàçûâàåò íà òî, ÷òî â äåòåðìèíèðîâàííîì ñëó÷àå ìîäåëü (1) íå äîïóñêàåò êà÷åñòâåííûõ èçìåíåíèé äèíàìèêè ïðè èçìåíåíèè åå ïàðàìåòðîâ. Ïðè ó÷åòå òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ñëó÷àéíûõ ëóêòóàöèé ÷èñåë Nt(A), Nt (B), äåòåðìèíèðîâàííàÿ ìîäåëü (1) äîëæíà áûòü çàìåíåíà íà ñòîõàñòè÷åñêóþ ïîñðåäñòâîì àääèòèâíûõ ñëó÷àéíûõ âîçìóùåíèé ïàðàìåòðîâ ìîäåëè â âèäå ñòàöèîíàðíûõ ýðãîäè÷åñêèõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ.  ñòîõàñòè÷åñêîé ìîäåëè Õîðñòõåìêå-Ëå åâåðà òàêîå âîçìóùåíèå â âèäå áåëîãî øóìà σ 2 ϕ̃(t) ââîäèòñÿ òîëüêî äëÿ ïàðàìåòðà λ, λ ⇒ λ + σ 2 ϕ̃(t), hϕ̃(t)i = 0, hϕ̃(t)ϕ̃(0)i = δ(t), ãäå çäåñü è äàëåå çíàêîì ¾òèëüäà¿ îòìå÷àþòñÿ ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, à óãëîâûìè ñêîáêàìè îáîçíà÷åíû ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ. Ââîäÿ ñòîõàñòè÷åñêèé äè åðåíöèàë dw̃(t) = ϕ̃(t)dt, ãäå w̃(t), t ∈ R+ âèíåðîâñêèé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, ïðèõîäèì ê ãåíåòè÷åñêîé ìîäåëè â âèäå ñòîõàñòè÷åñêîãî äè åðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ dx̃(t) = [α − x̃(t) + λx̃(t)(1 − x̃(t))] dt + σ x̃(t)(1 − x̃(t))dw̃(t) , (3) îïðåäåëÿþùåãî ìàðêîâñêèé äè óçèîííûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ x̃(t), t ∈ R+ . Äëÿ äè åðåíöèàëà dw̃(t) â (3), â çàâèñèìîñòè îò ïðåäíàçíà÷åíèÿ ñòîõàñòè÷åñêîé ñèñòåìû, èñïîëüçóþòñÿ ðàçëè÷íûå îïðåäåëåíèÿ (ñì. ïî ýòîìó
11 ïîâîäó [16℄). Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñòîõàñòè÷åñêèõ ìîäåëåé èçè÷åñêèõ ñèñòåì åñòåñòâåííî èñïîëüçîâàòü óðàâíåíèÿ, â êîòîðûõ äè åðåíöèàë dw̃(t) ïîíèìàåòñÿ ïî Ñòðàòîíîâè÷ó [17℄, â îòëè÷èå îò êëàññè÷åñêîãî ïîäõîäà íà îñíîâå ñòîõàñòè÷åñêîãî äè åðåíöèàëà Èòî [18℄. Âîïðîñó îáîñíîâàíèÿ ýòîãî ïîëîæåíèÿ ïîñâÿùåíà îáøèðíàÿ ëèòåðàòóðà êàê òåîðåòè÷åñêîãî õàðàêòåðà (ñì., íàïðèìåð, [19-20℄), îñíîâàííàÿ íà òåîðåìàõ ïðèáëèæåíèÿ ðåøåíèé äè åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñî ñëó÷àéíûìè êîý èöèåíòàìè [21-22℄, òàê è ýêñïåðèìåíòàëüíîãî õàðàêòåðà, ãäå ñðàâíèâàëèñü ïðåäñêàçàíèÿ ðîäñòâåííûõ ñòîõàñòè÷åñêèõ ìîäåëåé â êîíêðåòíîé èçè÷åñêîé ñèòóàöèè, îñíîâàííûå íà ðàçëè÷íûõ ñòîõàñòè÷åñêèõ äè åðåíöèàëàõ [23℄. Èçâåñòíî, ÷òî ñîâîêóïíîñòü ñëó÷àéíûõ ðåàëèçàöèé ðåøåíèé ñòîõàñòè÷åñêîãî äè åðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (3) ñîñòàâëÿåò ìàðêîâñêèé äè óçèîííûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 íåïðåðûâíûìè òðàåêòîðèÿìè. Ýòî ÿâëÿåòñÿ îñíîâîïîëàãàþùèì ïîëîæåíèåì òåîðèè óðàâíåíèé ñ äè åðåíöèàëîì Èòî (ñì., íàïðèìåð, [24℄).  ñëó÷àå óðàâíåíèé ñ äè åðåíöèàëîì Ñòðàòîíîâè÷à ýòîò àêò óñòàíàâëèâàåòñÿ íà îñíîâå îäíîçíà÷íîé ñâÿçè ìåæäó ýòèìè äè åðåíöèàëàìè (ñì., íàïðèìåð, [16℄). Ïîýòîìó äëÿ ïëîòíîñòè p(x, t) = dPr{x̃(t) < x}/dx = hδ(x̃(t) − x)i ìàðãèíàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà ýòîãî ïðîöåññà ñïðàâåäëèâî óðàâíåíèå Ôîêêåðà-Ïëàíêà 2) ∂p(x, t) ∂ [f (x)p(x, t)] σ 2 ∂ 2 g 2 (x)p(x, t) =− + ≡ Hp (x, t) , (4) ∂t ∂x 2 ∂x2 σ2 f (x) = α − x + λx(1 − x) + x(1 − x)(1 − 2x) , g(x) = x(1 − x) . (5) 2 Äëÿ ëþáîãî ñëó÷àéíîãî çíà÷åíèÿ x̃(0) ∈ (0, 1), ñòàòèñòè÷åñêè íåçàâèñèìîãî îò çíà÷åíèé âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà w̃(t), t ∈ R+ , óðàâíåíèå (3) èìååò åäèíñòâåííîå, ñ òî÷íîñòüþ äî ñòîõàñòè÷åñêîé ýêâèâàëåíòíîñòè, ðåøåíèå, êîòîðîå ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 ñîäåðæèòñÿ â (0, 1) ïðè âñåõ t ∈ R+ . Ýòîò àêò ìîæåò áûòü äîêàçàí íà îñíîâå ìåòîäîâ îáùåé òåîðèè ñòîõàñòè÷åñêèõ äè åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (ñì. [24℄). Áîëåå ïðîçðà÷íîå äîêàçàòåëüñòâî ñòðîèòñÿ (ñì. [26℄) íà îñíîâå ïðåäñòàâëåíèÿ áåëîãî øóìà â âèäå ïðåäåëà ïðè m → ∞ îò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {ϕ̃(m) (t); m ∈ N} èìïóëüñíûõ ïðîöåññîâ ñ 2 Çàìåòèì, ÷òî ê òàêîìó æå óðàâíåíèþ ìîæíî ïðèéòè ïîñðåäñòâîì òåõíèêè ïðèáëèæåíèé, êîòîðàÿ ðàçðàáàòûâàëàñü â ðàìêàõ îáùåãî ïîäõîäà äëÿ ýâîëþöèîííûõ çàäà÷ ñòàòèñòè÷åñêîé èçèêè (ñì., íàïðèìåð, [25℄).
12 òðàåêòîðèÿìè ϕ̃(m) (t) = X n∈Z α̃n(m) u(m) t − t̃(m) . n (6) Çäåñü {u(m) (·); m ∈ N} ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èíèòíûõ ëîêàëèçîâàííûõ îêîëî íóëÿ ãëàäêèõ óíêöèé, ñòðåìÿùàÿñÿ â ñëàáîì ñìûñëå ê δ(t) ïðè (m) m → ∞ ; {{α̃n ; n ∈ Z}; m ∈ N} ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îäèíàêîâûõ äèõî(m) òîìè÷åñêèõ íåçàâèñèìûõ â ñîâîêóïíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí α̃n , n ∈ Z (m) ñ íóëåâûì ñðåäíèì çíà÷åíèåì è òàêèõ, ÷òî α̃n ∈ {±a(m) } ïðè n ∈ Z (m) è a(m) → 0 ïðè m → ∞; {{t̃n ; n ∈ Z}; m ∈ N} ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (m) ïðîñòåéøèõ ïóàññîíîâñêèõ ñëó÷àéíûõ ïîòîêîâ t̃ n , n ∈ Z ñ ïëîòíîñòÿìè −2 ρm = a(m) òàêèõ, ÷òî ïðè êàæäîì èêñèðîâàííîì m ∈ N ïîòîê ñòàòè(m) ñòè÷åñêè íåçàâèñèì îò ñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {α̃n , n ∈ N}. Èçâåñòíî, ÷òî ðÿä (6) ñõîäèòñÿ äëÿ êàæäîãî m ∈ N ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 (ñì. [27℄), ÷òî óñòàíàâëèâàåòñÿ ïðèìåíåíèåì ëåììû Áîðåëÿ-Êàíòåëÿ. Óêàçàííîå âûøå ñâîéñòâî ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (3) ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ýòèì ñâîéñòâîì îáëàäàþò ðåøåíèÿ x̃(m) (t) äè åðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñî ñëó÷àéíûìè êîý èöèåíòàìè (m) x̃˙ (t) = [α − x̃(t) + λx̃(t)(1 − x̃(t))] + σ x̃(t)(1 − x̃(t))ϕ̃(m)(t) ïðè êàæäîì èêñèðîâàííîì m. Ïîñëå ïðèìåíåíèÿ òåîðåìû ÂîíãàÇàêàè [21℄ ê ïðåäåëàì x̃(t) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðåøåíèé hx̃(m) (t); m ∈ Ni, ÷òî äîïóñòèìî, òàê êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ R t {w̃(m) (t); m ∈ N} ñ òðàåêòîðèÿìè w̃(m) (t) = 0 ϕ̃(m) (s)ds ïîòî÷å÷íî ñòðåìèòñÿ ê ñòàíäàðòíîìó âèíåðîâñêîìó ïðîöåññó ïðè m → ∞, ïîëó÷èì, ÷òî ïðåäåëüíûå òðàåêòîðèè x̃(t) ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 òàêæå ïîëíîñòüþ ðàñïîëîæåíû â (0, 1). Ââèäó òîãî, ÷òî òðàåêòîðèè x̃(t) äè óçèîííîãî ïðîöåññà ïîëíîñòüþ ðàñïîëîæåíû â (0, 1) ïðè x̃(0) ∈ (0, 1), íîñèòåëü êàæäîãî ðåøåíèÿ p(x, t) óðàâíåíèÿ (4) íà÷àëüíîé ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ p(x, 0) òàêîé, ÷òî supp[p(x, 0)] ⊂ [0, 1], ñîâïàäàåò ñ [0, 1]. Ïî ýòîé ïðè÷èíå, äëÿ òàêîãî íà÷àëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùåå ðåøåíèå p(x, t) óäîâëåòâîðÿåò ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ ðàâåíñòâà íóëþ ïîòîêà âåðîÿòíîñòè J[p(x, t)] = f (x)p(x, t) − σ 2 ∂[g 2(x)p(x, t)] . 2 ∂x
13 â åñòåñòâåííûõ (â ñìûñëå
èõìàíà-Ñêîðîõîäà [24℄) ãðàíè÷íûõ òî÷êàõ x = 0, 1. 3 ) Äîâîëüíî ïðîñòî íàõîäèòñÿ ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå p(x) óðàâíåíèÿ Ôîêêåðà-Ïëàíêà (4), êîòîðîå èìååò âèä J[p(x)] = 0 ïðè åñòåñòâåííûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ. Îíî ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî äëÿ êàæäîãî íàáîðà çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ α ∈ (0, 1), λ ∈ R, σ 2 > 0 è ïðåäñòàâëÿåòñÿ îðìóëàìè (ñì. [3℄, [4℄) β A x 2 α−1 α 2(2α + λ − 1) p(x) = exp − , β = x(1 − x) 1 − x σ2 1 − x x σ2 (7) R1 ãäå ïîñòîÿííàÿ A íàõîäèòñÿ èç óñëîâèÿ p(x)dx = 1, 0 1 A = exp 2 ( 2 + β ln σ2 r 1−α α ) K−β 4p α(1 − α) σ2 −1 , ãäå K−β (·) ìîäè èöèðîâàííàÿ óíêöèÿ Áåññåëÿ âòîðîãî ðîäà ñ ïîêàçàòåëåì (−β), êîòîðàÿ äëÿ ëþáîãî ïîêàçàòåëÿ ν ∈ C è ïîëîæèòåëüíîãî x îïðåäåëÿåòñÿ èíòåãðàëüíûì ïðåäñòàâëåíèåì (ñì. [28℄, ñòð. 700) 1 Kν (x) = 2 Z∞ e−xch u−νudu , Re x > 0 . −∞ Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ p(x) òåðÿåò ñìûñë ïðè α = 0, òàê êàê îíà íåèíòåãðèðóåìà â îêðåñòíîñòè òî÷êè x = 0. Ïî òîé æå ïðè÷èíå, îíà òåðÿåò ñìûñë ïðè α = 1, êîãäà îíà íåèíòåãðèðóåìà â îêðåñòíîñòè òî÷êè x = 1. Ïðè α ∈ (0, 1) èìååò ìåñòî p(0) = p(1) = 0. Äè óçèîííûé ïðîöåññ x̃(t), t ∈ R+ õàðàêòåðèçóåòñÿ òåì, ÷òî ãðàíèöû îòðåçêà [0, 1], âíóòðè êîòîðîãî ðàñïîëîæåíû åãî òðàåêòîðèè, íå ÿâëÿþòñÿ åñòåñòâåííûìè â ñìûñëå Ôåëëåðà (îïðåäåëåíèå ñì., íàïðèìåð, â [4℄, ñòð. 146). Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî êðèòåðèåì åñòåñòâåííîñòè ãðàíèö ïî Ôåëëåðó ÿâëÿåòñÿ ðàñõîäèìîñòü äâóõ èíòåãðàëîâ õàðàêòåðèñòèê ïðîöåññà âáëèçè ãðàíèö, êîòîðûå â íàøåì ñëó÷àå èìåþò âèä Z Z Z x Z x 2 2 p(x)g (x) p(y)dy dx , p(x) p(y)g (y)dy dx x′ 3 Ýòî ñâîéñòâî èñïîëüçóåòñÿ áåç îáîñíîâàíèÿ â [4℄. x′
14 è ïîýòîìó, çàâåäîìî, ñõîäÿòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïðîöåññà x̃(t), t ∈ R+ ïðèìåíèìà òåîðåìà Ýëëèîòòà (ñì. [29℄), íà îñíîâàíèè êîòîðîé ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî: ñïåêòð {−µm } äè åðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà H ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (J[p(x, t)])x=0,1 = 0 ÷èñòî äèñêðåòíûé è µm ≥ 0, à ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûå óíêöèè ψm (x) îáðàçóþò ïîëíóþ ñèñòåìó â ïðîñòðàíñòâå L1 (0, 1). Óêàçàííîå ñâîéñòâî îïåðàòîðà H ïîçâîëÿåò óòâåðæäàòü, ÷òî ñëó÷àéíûé ïðîöåññ x̃(t), t ∈ R èìååò åäèíñòâåííóþ èíàëüíóþ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðàÿ ñîâïàäàåò ñ åäèíñòâåííîé ñîáñòâåííîé óíêöèåé îïåðàòîðà H íóëåâûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîé íà÷àëüíîé ïëîòíîñòè p(x, 0) ñ íîñèòåëåì, ñîñðåäîòî÷åííûì íà [0, 1], è óäîâëåòâîðÿþùåé ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ (J[p(x, 0)])x=0,1 = 0, ñîîòâåòñòâóþùåå ðåøåíèå p(x, t) óðàâíåíèÿ (4) ñòðåìèòñÿ ê ñòàöèîíàðíîé ïëîòíîñòè p(x) ïðè t → ∞. Áîëåå òîãî, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ñòàòèñòè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà x̃(t), t ∈ R+ ñòðåìÿòñÿ ê ñîîòâåòñòâóþùèì ñòàòèñòè÷åñêèì õàðàêòåðèñòèêàì äè óçèîííîãî ñòàöèîíàðíîãî ýðãîäè÷åñêîãî ïðîöåññà x̃∞ (t), t ∈ R ñ ìàðãèíàëüíîé ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà p(x) è óñëîâíîé âåðîÿòíîñòüþ ïåðåõîäà p(x, t; y, s), óäîâëåòâîðÿþùåé óðàâíåíèþ (4) ïðè t ≥ s è íà÷àëüíîìó óñëîâèþ p(x, s; y, s) = δ(x − y).
15
ëàâà 2. Êðèòè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü Êà÷åñòâåííîå óñòðîéñòâî ïëîòíîñòè p(x) ÷èñëî åå ìîä õàðàêòåðèçóåòñÿ ðàçáèåíèåì ïðîñòðàíñòâà íàáîðîâ ïàðàìåòðîâ (λ, σ 2 , α) íà îáëàñòè òàêèì îáðàçîì, ÷òî ýòà ïëîòíîñòü èìååò èêñèðîâàííîå ÷èñëî òî÷åê ìàêñèìóìà (ìîäàëüíîñòü ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ) â êàæäîé èç ýòèõ îáëàñòåé. Òàêîå ðàçáèåíèå, ïî àíàëîãèè ñ òåðìîäèíàìèêîé, áóäåì íàçûâàòü àçîâîé äèàãðàììîé ñèñòåìû, à ïîâåðõíîñòü Σ, êîòîðàÿ ðàçäåëÿåò ýòè îáëàñòè, áóäåì íàçûâàòü êðèòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ. Äàëüíåéøåå ñîäåðæàíèå ñòàòüè ïîñâÿùåíî èññëåäîâàíèþ ýòîé ïîâåðõíîñòè. Èçìåíåíèþ ìîäàëüíîñòè ïëîòíîñòè p(x) ñîîòâåòñòâóåò èçìåíåíèå ÷èñëà ðåøåíèé óðàâíåíèÿ dp(x)/dx = 0 ïðè èçìåíåíèè ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû, òî åñòü òàêàÿ áè óðêàöèÿ p(x) ñâÿçàíà ñ âûðîæäåíèåì ðåøåíèé ýòîãî óðàâíåíèÿ, êîòîðîå ïðèâîäèòñÿ ê âèäó σ2 x(1 − x)(1 − 2x) = 0 , x ∈ (0, 1) . (8) 2 Êà÷åñòâåííûé àíàëèç êðèòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ïðè ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ λ è α, êîòîðûé äàåòñÿ íèæå â ýòîì è ñëåäóþùåì ðàçäåëàõ, îòñóòñòâóåò â ïðåäûäóùèõ ïóáëèêàöèÿõ, ïîñâÿùåííûõ ãåíåòè÷åñêîé ìîäåëè. Çàìå÷àíèå 1. Êðîìå ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (8), îðìàëüíî, óñëîâèþ íàëè÷èÿ áè óðêàöèè ïëîòíîñòè p(x) óäîâëåòâîðÿþò òî÷êè x = 0 è 1, òàê êàê p′ (0) = p′′ (0) = p′(1) = p′′(1) = 0 ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ α, λ è σ 2 , êðîìå σ 2 = 0 (ãäå ïëîòíîñòü p(x) íå ñóùåñòâóåò). Îäíàêî, ïðè èêñèðîâàííîì α, çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ λc è σc2 , ïðè êîòîðûõ ìîãóò âîçíèêíóòü äîïîëíèòåëüíûå ýêñòðåìóìû ïëîòíîñòè â x = 0, 1 îòñóòñòâóþò.  ñàìîì äåëå, åñëè áû ñóùåñòâîâàëà ýêñòðåìàëüíàÿ òî÷êà xc (λ, σ 2), êîòîðàÿ íàõîäèòñÿ âíóòðè (0, 1) è òàêàÿ, ÷òî xc (λ, σ 2 ) → 0, ëèáî xc(λ, σ 2 ) → 1 ïðè λ → λc è σ 2 → σc2, íåçàâèñèìî îò íàïðàâëåíèÿ ïåðåõîäà ê ïðåäåëó â ïîëóïëîñêîñòè (λ, σ 2 > 0), òî â ýòîé òî÷êå äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ S(xc(λ, σ 2 )) = 0. Íî ýòî íåâîçìîæíî, òàê êàê ïðè λ → λc , σ 2 → σc2 â ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå, S(0) = α 6= 0, ëèáî S(1) = α − 1 6= 0. S(x) ≡ α − x + λx(1 − x) −
16 Óðàâíåíèå (8) ìîæåò èìåòü ëèáî îäíî, ëèáî òðè âåùåñòâåííûõ ðåøåíèÿ. Òåì åãî ðåøåíèÿì, êîòîðûå ðàñïîëîæåíû íà (0, 1) ñîîòâåòñòâóþò ýêñòðåìóìû ïëîòíîñòè p(x). Îäèí âåùåñòâåííûé êîðåíü âñåãäà íàõîäèòñÿ âíóòðè (0, 1), òàê êàê S(1)S(0) < 0, è ïîýòîìó p(x) èìååò îäèí ýêñòðåìóì âíóòðè èíòåðâàëà. Òîãäà, ââèäó p(0) = p(1) = 0, ïðè íàëè÷èè òðåõ ýêñòðåìóìîâ, äâà èç êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ ìàêñèìóìàìè, à îäèí ìèíèìóìîì ìåæäó íèìè, èìååòñÿ òðè âåùåñòâåííûõ êîðíÿ óðàâíåíèÿ (8) âíóòðè (0, 1). Ââèäó çàìå÷àíèÿ 1 êðàòíîñòü ðåøåíèé óðàâíåíèå dp/dx = 0 âíóòðè (0, 1) ýêâèâàëåíòíà êðàòíîñòè êîðíåé óðàâíåíèÿ S(x) = 0. Àíàëèç ñóùåñòâîâàíèÿ êðàòíîãî êîðíÿ x0 ∈ R ó ïîëèíîìà S(x) îñíîâàí íà òîì, ÷òî äëÿ íåãî, íàðÿäó ñ ðàâåíñòâîì S(x0 ) = 0, äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ S ′ (x0 ) = 0. Òîãäà óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ êðàòíîãî êîðíÿ ó ïîëèíîìà S(x), â çàâèñèìîñòè îò åãî ïàðàìåòðîâ, ïîëó÷àåòñÿ èç ðàâåíñòâà íóëþ çàâèñÿùåãî îò ïàðàìåòðîâ îñòàòêà, êîòîðûé ïîëó÷àåòñÿ â ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ àëãîðèòìà Åâêëèäà ê ïàðå ïîëèíîìîâ S(x) è S ′ (x).  ðåçóëüòàòå, ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ êðèòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè Σ â âèäå 2 4 2 2 4 P (λ, σ , ε) ≡ λ + λ 1 − 5σ − σ /2 − λε(9σ 4 + 18σ 2 − 4λ2) − 3 2 − 4σ 1 − σ /4 − 27σ 4ε2 = 0 , (9) 2 ãäå ε = α − 1/2 ∈ [−1/2, 1/2]. Âûïîëíåíèå ýòîãî ðàâåíñòâà ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ êðàòíîãî êîðíÿ x0 ïðè íàáîðå (λ, σ 2, α) ðàçðåøåííûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ, êîòîðûé, îäíàêî, ìîæåò êàê ïðèíàäëåæàòü, òàê è íå ïðèíàäëåæàòü (0, 1). Ïðè âûïîëíåíèè (9) èç óñëîâèÿ S ′(x0 ) = 0 îïðåäåëÿåòñÿ ñàì êðàòíûé êîðåíü, 1 2 1 σ2 ′ 2 S (x0) = 3σ x0 − + 2λ x0 − +1− = 0, 2 2 4 1 2λ(1 + 2σ 2) + (18α − 9)σ 2 x0 = + . (10) 2 12σ 2 − 3σ 4 − 4λ2 Ïðè÷åì, òàêîå ðåøåíèå âîçìîæíî òîëüêî òîãäà, êîãäà äèñêðèìèíàíò êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ ïîëîæèòåëåí, ÷òî îçíà÷àåò 4λ2 + 3σ 4 − 12σ 2 > 0. Òàêèì îáðàçîì êðèòè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü Σ äîëæíà áûòü ðàñïîëîæåíà âíå ïîâåðõíîñòè {(λ, σ 2, α) : ∆ ≡ 4λ2 + 3σ 4 − 12σ 2 = 0} ýëëèïòè÷åñêîãî öèëèíäðà, èìåÿ ñ íåé òî÷êè ñîïðèêîñíîâåíèÿ.  òî÷êàõ ñîïðèêîñíîâåíèÿ Σ ñ
17 ïîâåðõíîñòüþ öèëèíäðà ðåàëèçóåòñÿ òðîéíîé êîðåíü óðàâíåíèÿ S(x) = 0, x0 = 1/2 − λ/3σ 2. Îñòàëüíûå òî÷êè ïîâåðõíîñòè ñîîòâåòñòâóþò äâîéíîìó êîðíþ. Äëÿ òîãî, ÷òîáû êðàòíûé êîðåíü x0 ñîîòâåòñòâîâàë áè óðêàöèè ïëîòíîñòè p(x) íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû 0 < x0 < 1, ÷òî ýêâèâàëåíòíî íåðàâåíñòâó
4λ(1 + 2σ 2) + 36 εσ 2
4λ2 + 3σ 4 − 12σ 2
< 1 , êîòîðîå íàêëàäûâàåò äîïîëíèòåëüíîå îãðàíè÷åíèå íà ïàðàìåòðû (λ, σ 2 , α) (äëÿ òðîéíîãî êîðíÿ îíî èìååò âèä 2|λ| < 3σ 2 ). Ââîäÿ ãèïåðáîëû G± (λ, σ 2, ε) ≡ (2σ 2 + 1 ± 2λ)2 − (σ 2 + 2(4 ∓ 9ε))2 + 4(4 ∓ 9ε)2 − 1 = 0 , (11) ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî çàïèñûâàåòñÿ â âèäå G+ (λ, σ 2, ε)G−(λ, σ 2, ε) ≥ 0 . (12) Îíî îïðåäåëÿåò äîïóñòèìóþ îáëàñòü äëÿ ðàñïîëîæåíèÿ òî÷åê êðèòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, ãðàíèöàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ãèïåðáîëû G± = 0. Ýòî óñëîâèå î÷åíü âàæíî, òàê êàê ïîâåðõíîñòü, îïðåäåëÿåìàÿ óðàâíåíèåì (9) íå ÿâëÿåòñÿ ñâÿçíîé. 4 ) Çàìå÷àíèå 2. Òàê êàê ïðè |ε| 6= 1/2 êðàòíîå ðåøåíèå x0 íå ìîæåò ïåðåñå÷ü ãðàíèöû 0 è 1 (ñì. (10)) ïðè èçìåíåíèè ïàðàìåòðîâ, òî êðèâàÿ Σε , îïðåäåëÿåìàÿ óðàâíåíèåì (9), ïðè ε = onst, |ε| 6= 1/2 è, â ÷àñòíîñòè, òà åå ÷àñòü, êîòîðàÿ ïðåäñòàâëÿåò ïåðåñå÷åíèå êðèòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñ ïëîñêîñòüþ ε = onst, íå èìååò îáùèõ òî÷åê ñ ãèïåðáîëàìè G± = 0. Èñêëþ÷åíèå ìîãóò ñîñòàâëÿòü òî÷êè ñ σ 2 = 0, ãäå ïëîòíîñòü p(x) íå ñóùåñòâóåò, è òî÷êè, ãäå ∆ = 0. Ïîñëåäíåå ñâÿçàíî ñ íåâîçìîæíîñòüþ ðàññóæäàòü ïî íåïðåðûâíîñòè â îðìóëå (10), êîòîðàÿ òåðÿåò ñìûñë, òàê êàê ïðåäåë ê òî÷êå, â êîòîðîé ∆ = 0, ïî ðàçëè÷íûì íàïðàâëåíèÿì ìîæåò áûòü ðàçíûì. Çàìå÷àíèå 3. Ïåðåñå÷åíèå êðèâîé Σε ñ ãèïåðáîëàìè G± = 0 â òî÷êàõ, äëÿ êîòîðûõ ∆ = 0, íî σ 2 6= 0, âîçìîæíî òîëüêî â òî÷êàõ ñîïðèêîñíîâåíèÿ êðèâîé ñ ýëëèïñîì ∆ = 0, òàê êàê å åå òî÷êè íå ìîãóò íàõîäèòüñÿ âíóòðè ýòîãî ýëëèïñà. 4 Çàìåòèì, ÷òî ïðè α 6= 1/2, êðîìå êðàòíîãî êîðíÿ èñêëþ÷åíèåì òî÷åê ñîïðèêîñíîâåíèÿ ïîâåðõíîñòè êîðåíü ñîîòâåòñòâóåò ìàêñèìóìó ïëîòíîñòè p(x) Σ x0 , èìååòñÿ åùå îäèí íå ðàâíûé åìó êîðåíü, çà ïîâåðõíîñòüþ öèëèíäðà. Ïðè ýòîì íåêðàòíûé è áè óðêàöèÿ ñîñòîèò â îäíîâðåìåííîì ðîæäåíèè äîïîëíèòåëüíîãî ìàêñèìóìà âìåñòå ñ ìèíèìóìîì.
18
ëàâà 3. Àíàëèç êðèòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè Èññëåäîâàíèå êðèòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ïðîâåäåì, èçó÷àÿ åå ïåðåñå÷åíèÿ ñ ïëîñêîñòÿìè ïðè èêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ α ∈ (0, 1) (ëèáî ε ∈ (−1/2, 1/2)). Ýòè ïåðåñå÷åíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êðèâûå Σε ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà. Òó ÷àñòü ó êàæäîé èç ýòèõ êðèâûõ, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (12), áóäåì â äàëüíåéøåì íàçûâàòü êðèòè÷åñêîé êðèâîé. Ïîëíàÿ êëàññè èêàöèÿ êðèâûõ ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà îòñóòñòâóåò, ââèäó ÷ðåçâû÷àéíîãî ðàçíîîáðàçèÿ èõ êà÷åñòâåííîãî óñòðîéñòâà (ñì. [30℄).  ÷àñòíîñòè, îíè ìîãóò áûòü ìíîãîñâÿçíûìè è ïðè ýòîì íå ñóùåñòâóåò îáùåãî ìåòîäà îïðåäåëåíèÿ ÷èñëà èõ ñâÿçàííûõ êîìïîíåíò. Êðèâàÿ Σε , êàê ðàç, îêàçûâàåòñÿ ìíîãîñâÿçíîé, è ïîýòîìó âîçíèêàåò çàäà÷à âûäåëåíèÿ èìåííî òîé èç åå êîìïîíåíò, êîòîðàÿ ñîîòâåòñòâóåò èìåííî êðèòè÷åñêîé êðèâîé.  îáùåì ïîëîæåíèè çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ (λ, σ 2 , ε), äëÿ âûäåëåíèÿ òðåáóåìîé êîìïîíåòû è åå èññëåäîâàíèÿ, ïîòðåáóåòñÿ ïðîâåñòè äîâîëüíî ñëîæíûé ãåîìåòðè÷åñêèé àíàëèç. Îáîçíà÷èì ïîñðåäñòâîì (λ∗ (ε), σ∗2(ε)) êîîðäèíàòû òî÷åê ñîïðèêîñíîâåíèÿ êðèâîé Σε ñ ýëëèïñîì ∆ = 0 íà ïëîñêîñòè ε = onst, óêàçàâ ÿâíî èõ çàâèñèìîñòü îò ε. Îíè íàõîäÿòñÿ èç ñîâìåñòíîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèé P (λ∗ , σ∗2, ε) = 0 è 4λ2∗ + 3σ∗4 − 12σ∗2 = 0. Èç ýòèõ óðàâíåíèé, íàõîäèì, ÷òî 9εσ∗2 λ∗ = − , 1 + 2σ∗2 (13) 4(σ∗2 − 1)3 = 27σ∗2(1 − 4ε2) . (14) è, èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå ýëëèïñà, Ýòî óðàâíåíèå îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò, íåÿâíûì îáðàçîì, çàâèñèìîñòü σ∗2 (ε), òàê êàê (14) èìååò îäíî âåùåñòâåííîå ðåøåíèå σ∗2 (ε) ≥ 1 (ïðè σ∗2 < 1 óðàâíåíèå íå èìååò ðåøåíèé, òàê êàê |ε| < 1/2).  ñàìîì äåëå, â ïðàâîé ÷àñòè (14) íàõîäèòñÿ ëèíåéíàÿ óíêöèÿ, à â ëåâîé âûïóêëàÿ ïðè σ∗2 > 1 óíêöèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè σ∗2 > 1 èìååòñÿ íå áîëåå äâóõ âåùåñòâåííûõ
19 ðåøåíèé. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, çíà÷åíèå ëèíåéíîé óíêöèè â ïðàâîé ÷àñòè áîëüøå çíà÷åíèÿ óíêöèè â ëåâîé ÷àñòè ïðè σ∗2 = 1. Ïîýòîìó èìååòñÿ òîëüêî îäíî ïåðåñå÷åíèå ïðÿìîé ñ âûïóêëîé ëåâîé ÷àñòüþ ïðè óêàçàííûõ çíà÷åíèÿõ σ∗2 . Ýòî ïåðåñå÷åíèå äîëæíî ïðîèñõîäèòü ïðè σ∗2 < 4. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ðàâåíñòâî σ∗2 = 1 âîçìîæíî òîëüêî ïðè |ε| = 1/2. Ïåðåéäåì â óðàâíåíèè P (λ, σ 2 , ε) = 0 ê ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì ñ öåíòðîì â òî÷êå ñîïðèêîñíîâåíèÿ (λ∗ (ε), σ∗(ε)) λ = λ∗ + ρ cos ϕ , σ 2 = σ∗2 + ρ sin ϕ (15) è ðàçëîæèì ïîëèíîì P (λ, σ 2 , ε) â ðÿä Òåéëîðà îêîëî ýòîé òî÷êè ïî ñòåïåíÿì ρ. Ýòî ðàçëîæåíèå îáðûâàåòñÿ íà ÷åòâåðòîé ñòåïåíè ïî ρ, 1 1 P (λ, σ 2 , ε) = −3(σ∗2−1)2(ρ sin ϕ)2 Q2 (z)+ (ρ sin ϕ)3 Q3 (z)+ (ρ sin ϕ)4 Q4(z) , 6 16 ãäå ââåäåíà ïåðåìåííàÿ z = ctgϕ è åå çíà÷åíèå z∗ = ctgϕ∗ = λ∗ /3σ∗2 ∈ [−1/2, 1/2], Q2 (z) = (z − z∗ )2 ≥ 0 , Q4 (z) = (4z 2 − 1)2 ≥ 0 , 3 Q3(z) = 8z∗(7σ∗2 − 1)z 3 − 6(σ∗2 + 5)z 2 + 18z∗(1 + σ∗2)z + (σ∗2 − 3) . 2 Òî÷êè, ó êîòîðûõ ctgϕ = ±∞, ϕ = 0, π ñîîòâåòñòâóþò ïåðåñå÷åíèþ êðèâîé ñ óðîâíåì σ 2 = σ∗2 . Çíà÷åíèå z∗ ïðèíàäëåæèò èíòåðâàëó (−1/2, 1/2). Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî òî÷êà (λ∗ , σ∗2) ëåæèò íà ýëëèïñå, è ïîýòîìó z∗2 = λ2∗ /9σ∗4 = (4 − σ∗2 )/12σ∗2 ≤ 1/4 ïðè σ∗2 ≥ 1. Íàéäåì àíàëèòè÷åñêîå âûðàæåíèå, îïðåäåëÿþùåå êðèâóþ Σε. Ïîäåëèì P (λ, σ 2 , ε) íà ρ2 , èñêëþ÷èâ çíà÷åíèå ρ = 0, êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåò òî÷êå ñîïðèêîñíîâåíèÿ êðèâîé ñ ýëëèïñîì. Òîãäà ïîëó÷àåì êâàäðàòíîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî ρ, 1 1 2 ρ Q4(z) sin2 ϕ + ρQ3 (z) sin ϕ − 3(σ∗2 − 1)2Q2(z) = 0 . 16 6 (16) Äèñêðèìèíàíò ýòîãî óðàâíåíèÿ íåîòðèöàòåëåí, â ñèëó îïðåäåëåíèÿ óíêöèé Q2 (z), Q4 (z). Ïîýòîìó ïîëó÷àåì äâå óíêöèè, îïðåäåëÿåìûå (9), q 4 2 2 2 ρ± (ϕ) = − Q3 (z) ± Q3(z) + 27(σ∗ − 1) Q4(z)Q2(z) . (17) 3Q4(z) sin ϕ
20 Îíè îïèñûâàþò êðèâóþ Σε ïðè òåõ çíà÷åíèÿõ ϕ, ïðè êîòîðûõ ρ± (ϕ) ≥ 0. Ââèäó íåîòðèöàòåëüíîñòè äèñêðèìèíàíòà, óíêöèÿ ρ+ (ϕ) ≥ 0 ïðè sin ϕ ≥ 0 è ïîýòîìó îïðåäåëÿåò êðèâóþ òîëüêî ïðè ϕ ∈ [0, π]. Íàîáîðîò, óíêöèÿ ρ− (ϕ) îïðåäåëÿåò êðèâóþ òîëüêî ïðè sin ϕ ≤ 0, ϕ ∈ [−π, 0], íåçàâèñèìî îò çíàêà Q3 (z). Èñïîëüçóÿ ñâÿçü z∗2 = (4 − σ∗2 )/12σ∗2, íàõîäèì, ÷òî êîý èöèåíò Q3 (z∗ ) ïîëîæèòåëåí 8 Q3(z∗ ) = 4 (σ∗2 − 1)3 > 0 . 9σ∗ Ïî íåïðåðûâíîñòè, Q3 (z) > 0 â îêðåñòíîñòè òî÷êè z∗ ïðè σ∗2 > 1. Òîãäà óíêöèÿ ρ+ (ϕ) îïðåäåëåíà ïðè ϕ â îêðåñòíîñòè ϕ∗ . Ïðè ýòîì, ââèäó Q2 (z∗) = 0, ρ+ (ϕ∗) = 0, â ýòîé òî÷êå èìååòñÿ ñîïðèêîñíîâåíèå êðèâîé Σε ñ ýëëèïñîì. Ôóíêöèÿ ρ− (ϕ) ìîæåò îáðàùàòüñÿ â íóëü òîëüêî â èñêëþ÷èòåëüíîì ñëó÷àå, êîãäà îäíîâðåìåííî Q3 (z) = 0 è Q2 (z)Q4 (z) = 0, ÷òî ðåàëèçóåòñÿ òîëüêî ïðè ε = ±1/2. Òàêèì îáðàçîì, ïðè |ε| < 1/2 óíêöèÿ ρ− (ϕ) > 0 ïðè ϕ ∈ (−π, 0). Åñëè äèñêðèìèíàíò íå ðàâåí íóëþ, òî åñòü |ε| < 1/2, òî êðèâûå, îïðåäåëÿåìûå ρ+ (ϕ) è ρ− (ϕ), ìîãóò èìåòü îáùèå òî÷êè òîëüêî ïðè ϕ = 0, π . Èç óðàâíåíèÿ (16) ñëåäóåò, ÷òî óíêöèè ρ± (ϕ), êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ åãî ðåøåíèÿìè, èìåþò êîíå÷íûå ñîâïàäàþùèå äëÿ íèõ îáîèõ ïðåäåëû r+ è r− ïðè ϕ → 0 è π , ñîîòâåòñòâåííî, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ 2 r± ± κr± − 3(σ∗2 − 1)2 = 0 , Òåîðåìà 1. κ = 8z∗(7σ∗2 − 1)/6 . ρ+ (ϕ) è ρ− (ϕ) îïðåäåëåíû è íåîòðèöàòåëüíû, ñî[−π, 0] è íà [0, π] ïðè z 6= ±1/2. Ïðè ýòîì ρ+ (ϕ) → ∞ Ôóíêöèè îòâåòñòâåííî, íà z → ±1/2. Ôóíêöèÿ ρ+ (ϕ) îïðåäåëåíà â îêðåñòíîñòè óãëà ϕ∗ è ïðè ýòîì z∗ ∈ (−1/2, 1/2). Ïîêàæåì, ÷òî îíà îïðåäåëåíà íà âñåì èíòåðâàëå (−1/2, 1/2). Íà îãðàíè÷åííîì èíòåðâàëå èçìåíåíèÿ z = ctg ϕ ïîëèíîìû Q2 (z), Q3 (z), Q4 (z) îò z îãðàíè÷åíû. Òîãäà, êàê ñëåäóåò èç îðìóëû (17), óíêöèÿ ρ+ (ϕ) ìîæåò ñòðåìèòüñÿ ê ∞ òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà Q4 (z) → 0, √ òî åñòü z → ±1/2 è sin ϕ → 2 5/5.  ýòèõ óñëîâèÿõ, ÷èñëèòåëü â (17) ñòðåìèòñÿ ê íåíóëåâîìó çíà÷åíèþ. Âû÷èñëåíèå çíà÷åíèé Q3 (±1/2) íà îñíîâå âûðàæåíèÿ (13) äëÿ λ∗ è z∗ = λ∗ /3σ∗2 ïðèâîäèò ê îðìóëå ïðè
21 Q3 (±1/2) = −12(1 ± 2ε) < 0. Ââèäó îòðèöàòåëüíîñòè ýòîé âåëè÷èíû, ρ+ (ϕ) > 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ àñèìïòîòè÷åñêóþ îðìóëó √ 1 5|Q3 (±1/2)| ρ+ (ϕ) = 1 + o(1) ïðè z → ± . 12(z 2 − 1/4)2 2 Òàêèì îáðàçîì, ïîëîæèòåëüíàÿ óíêöèÿ ρ+ (ϕ) â îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ [0, π] èìååò ïî ïåðåìåííîé z èíòåðâàëû íåïðåðûâíîñòè (−∞, −1/2), (−1/2, 1/2), (1/2, ∞) è ïðè |z| = 1/2 ðàçðûâû âòîðîãî ðîäà. Èç (17) ñëåäóåò, ÷òî óíêöèÿ ρ− (ϕ) îïðåäåëåíà ïðè âñåõ ϕ ∈ (−π, 0), çà èñêëþ÷åíèåì, ìîæåò áûòü, òåõ óãëîâ, äëÿ êîòîðûõ Q4 (z) = 0. Îäíàêî, ïðè z = ±1/2 îíà èìååò êîíå÷íûé ïðåäåë √ lim ρ− (ϕ) = 9 5(σ∗2 − 1)2Q2 (±1/2)/|Q3(±1/2)| . z→±1/2, sin ϕ<0 Ñëåäîâàòåëüíî, ïî íåïðåðûâíîñòè, ρ− (ϕ) îïðåäåëåíà íà âñåì èíòåðâàëå (−π, 0). Ñëåäñòâèå 1. Ôóíêöèè ρ± (ϕ) îïðåäåëÿþò äâóõñâÿçíóþ êðèâóþ òàê, ÷òî îäíà åå êîìïîíåíòà Σ+ îïðåäåëÿåòñÿ óíêöèåé ρ+ (ϕ) ïðè ψ = arcctg(1/2), à âòîðàÿ êîìïîíåíòà Σ− îïðåäåëÿåòñÿ [−π, π] \ [ψ, π − ψ] ñëåäóþùèì îáðàçîì: ρ+ (ϕ) , ϕ ∈ [0, ψ) ; ρ− (ϕ) , ϕ ∈ [−π, 0]; ρ+ (ϕ) , ϕ ∈ (π − ψ, π]. ϕ ∈ (ψ, π − ψ), íà äîïîëíåíèè ê Óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòà êðèâîé äîëæíà îïðåäåëÿòüñÿ íåïðåðûâíîé óíêöèåé, è òîãî, ÷òî ρ± (ϕ) èìåþò ñîâïàäàþùèå ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ ïðè ϕ = 0, π . Èññëåäóåì ïîâåäåíèå êîìïîíåíòû Σ+ â îêðåñòíîñòè òî÷êè åå ñîïðèêîñíîâåíèÿ (λ∗ , σ∗2 > 1) ñ ýëëèïñîì ∆ = 0, ε = onst, òî åñòü ïðè çíà÷åíèÿõ ϕ â ìàëîé îêðåñòíîñòè óãëà ϕ∗ èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, ïðè çíà÷åíèÿõ z â ìàëîé îêðåñòíîñòè z∗ , ãäå ρ+ (ϕ) = o(1). Ïîêàæåì, ÷òî êîìïîíåíòà èìååò îñîáåííîñòü òèïà ¾êàñï¿ ñ îñòðèåì â ýòîé òî÷êå, íàïðàâëåííûì â ñòîðîíó ýëëèïñà è êàñàòåëüíîé, íàïðàâëåííîé ïîä óãëîì ϕ∗ . Òåîðåìà 2.  ëîêàëüíûõ äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ (u, v) ñ öåíòðîì â 2 òî÷êå (λ∗ , σ∗ > 1) êðèâàÿ, ïðåäñòàâëÿåìàÿ óíêöèåé ρ+ (ϕ), îïèñûâàåòñÿ
22 àñèìïòîòè÷åñêîé îðìóëîé â îêðåñòíîñòè òî÷êè u = const|v|2/3 , (0, 0) v → 0. Íàéäåì àñèìïòîòè÷åñêîå âûðàæåíèå óíêöèè ρ+ (ϕ) â îêðåñòíîñòè òî÷êè (λ∗ , σ∗2 ) ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ (z − z∗ ). Òàê êàê Q3 (z∗ ) > 0 è Q4 (z∗ ) 6= 0, Q2(z) = (z − z∗ )2, òî èç (17) ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ àñèìïòîòè÷åñêóþ ñ òî÷íîñòüþ äî (z − z∗ )2 îðìóëó ïðè z → z∗ : ρ+ (ϕ) = 18 (σ∗2 − 1)2 Q2 (z) + O((z − z∗ )3) . sin ϕ∗ Q3 (z∗) Ó÷èòûâàÿ, ÷òî sin ϕ∗ = (1 + z∗2 )−1/2, è ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ Q3 (z∗ ), ýòà îðìóëà ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó ρ+ (ϕ) = 3σ∗2 (σ∗2 − 1)2(1 + z∗2 )1/2(z − z∗ )2 + O((z − z∗ )3 ) . 2 1 − 4ε Ïåðåéäåì â ëîêàëüíûå äåêàðòîâû êîîðäèíàòû (u, v) ñ öåíòðîì â òî÷êå (λ∗ , σ∗2) è u-îñüþ, íàïðàâëåííîé ïîä óãëîì ϕ∗. Ïðè ýòîì u > 0.  òåðìèíàõ òàêèõ êîîðäèíàò, êðèâàÿ ρ+ (ϕ) ïðåäñòàâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì u2 + v 2 = Carctg4 (v/u), ãäå ρ+ (ϕ) = (v 2 + u2)1/2, ϕ − ϕ∗ = arctg(v/u). Èç óðàâíåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ïðè u, v → 0 âäîëü êðèâîé âûïîëíÿåòñÿ v/u → 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè óêàçàííîì ïåðåõîäå, èìååò ìåñòî àñèìïòîòè÷åñêàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü u2 + v 2 ∝ (v/u)4.  ñâîþ î÷åðåäü, ýòî ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî u6 ∝ v 4 , òî åñòü u ∝ |v|2/3 , v → 0. Ñîãëàñíî ýòîé òåîðåìå, êðèòè÷åñêàÿ êðèâàÿ ñîñòîèò èç äâóõ âåòâåé, ñøèòûõ â òî÷êå ñîïðèêîñíîâåíèÿ ñ ýëëèïñîì ∆ = 0. Äëÿ óñòàíîâëåíèÿ âîçìîæíîñòè ïåðåñå÷åíèÿ êîìïîíåíò Σ± ñ ãèïåðáîëàìè G± = 0 ïåðåéäåì â óðàâíåíèè (11) ê ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì (ρ(±) , ϕ), ρ(±) 4(1 ± sin 2ϕ) − sin2 ϕ + +2 2 cos ϕ 2(λ∗ ±σ∗2)±1 + sin ϕ(3σ∗2 ±4λ∗ −6±18ε) = 0 , (18) ãäå ïðè ïîäñòàíîâêå èñïîëüçîâàíî, ÷òî G± (λ∗ , σ∗2 , ε) = 0 è îïóùåíî óêàçàíèå çàâèñèìîñòè îò ε â âåëè÷èíàõ λ∗ è σ∗2 .
èïåðáîëû G± = 0 ÿâëÿþòñÿ äâóõñâÿçíûìè êðèâûìè, íî âèä óðàâíåíèÿ (18) óêàçûâàåò íà òî, ÷òî ó êàæäîé èç íèõ èìååòñÿ êîìïîíåíòà, êîòîðàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð ïîëÿðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò. Ó òàêîé êîìïîíåíòû è òîëüêî ó íåå íàéäåòñÿ óãîë ϕ(±) ,
23 ãäå ρ(±) (ϕ(±)) = 0. Óãëû ϕ(±) îïðåäåëÿþò íàêëîíû êàñàòåëüíûõ ê ãèïåðáîëàì îòíîñèòåëüíî íàïðàâëåíèÿ λ-îñè â öåíòðå êîîðäèíàò.  ðåçóëüòàòå, ïîëó÷àåì 6z∗ ∓ 3(σ∗2 − 2) (±) , (19) z = 2(2σ∗2 + 1) ± 12σ∗2z∗ ãäå ââåäåíî îáîçíà÷åíèå tg ϕ(±) = z (±) . Çäåñü çíàìåíàòåëü áîëüøå íóëÿ, â ñèëó íåðàâåíñòâà 2 2 4 − σ∗2 2σ∗ + 1 2 z∗ = < , 12σ∗2 6σ∗2 êîòîðîå èìååò ìåñòî ïðè σ∗2 > 1. Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå äàåò îòâåò íà âîïðîñ, êàêàÿ èç êîìïîíåíò Σ± êðèâîé ñîîòâåòñòâóåò ïåðåñå÷åíèþ êðèòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñ ïëîñêîñòüþ ε = onst. Òåîðåìà 3. Êðèòè÷åñêàÿ êðèâàÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ êîìïîíåíòîé Σ+ ñâÿçíîé êðèâîé äâóõ- Σε . Íåîáõîäèìî óñòàíîâèòü êàêàÿ èç íåïðåðûâíûõ êîìïîíåíò êðèâîé, èç óêàçàííûõ â Ñëåäñòâèè 1, óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (12). Êîìïîíåíòû êðèâîé ìîãóò ïåðåñåêàòüñÿ ñ ãèïåðáîëàìè G± = 0 ëèáî â òî÷êàõ îñè σ 2 = 0, ëèáî â òî÷êàõ ñîïðèêîñíîâåíèÿ ñ ýëëèïñîì ∆ = 0 (ñì. Çàìå÷àíèÿ 2 è 3). Èç îðìóëû (11) ñëåäóåò, ÷òî ãèïåðáîëû ìîãóò ïåðåñåêàòü îñü σ 2 = 0 (λîñü) â òî÷êàõ ñ λ = 0, ±1. Îäíàêî, èç (9) ïîëó÷àåì, ÷òî òî÷êè (±1, 0) íà ïëîñêîñòè (λ, σ 2) íå ëåæàò íà êðèâîé Σε ïðè ε 6= 1/2. Êðèâàÿ Σ+ íå ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó (0, 0) íà ïëîñêîñòè (λ, σ 2), êîòîðàÿ èìååò ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû ((σ∗4 + λ2∗ )1/2, ϕ0 ) îòíîñèòåëüíî (λ∗ , σ∗2 ), ãäå tgϕ0 = λ∗ /σ∗, sin ϕ0 < 0, òàê êàê ρ+ (ϕ0 ) < 0. Òàê êàê êðèâàÿ Σε ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó (0, 0) (P (0, 0, α) = 0), òî ÷åðåç ýòó òî÷êó äîëæíà ïðîõîäèòü êðèâàÿ Σ− . Êðèâàÿ Σ− , ñîãëàñíî åå îïðåäåëåíèþ, íå ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó ñîïðèêîñíîâåíèÿ, â êîòîðîé äîïóñòèìî ïåðåñå÷åíèå ãèïåðáîë G± = 0 ñ Σε (ñì. Çàìå÷àíèå 3). Ïîýòîìó êîìïîíåíòà Σ− ìîæåò èìåòü îáùèå òî÷êè ñ ýòèìè ãèïåðáîëàìè òîëüêî ïðè σ 2 = 0, íî òàêîå ïåðåñå÷åíèå, ñîãëàñíî âûøåñêàçàííîìó, èìååò ìåñòî òîëüêî â òî÷êå (0, 0), êîòîðàÿ ïðèíàäëåæèò èì îáîèì. Äîêàæåì, òåïåðü, ÷òî êðèâàÿ Σ− ïðè ϕ 6= ϕ0 íàõîäÿòñÿ âíóòðè îáëàñòè, îïðåäåëÿåìîé íåðàâåíñòâîì G+ G− < 0. Òàê êàê êîìïîíåíòà Σ− ìîæåò
24 èìåòü òîëüêî îäíó îáùóþ òî÷êó (0, 0) ñ êàæäîé èç ãèïåðáîë G± = 0, òî îíà áóäåò íàõîäèòüñÿ â óêàçàííîé îáëàñòè, åñëè íåðàâåíñòâî èìååò ìåñòî â îêðåñòíîñòè ýòîé îáùåé òî÷êè. Äîêàçàòåëüñòâî âûïîëíèìîñòè íåðàâåíñòâà G− G+ < 0 äëÿ òî÷åê êðèâîé Σ−, ñêîëü óãîäíî áëèçêèõ ê äåêàðòîâîé òî÷êå (0, 0), îñíîâàíî íà óðàâíåíèè P (λ, σ 2 , ε) = 0, êîòîðîìó îíà óäîâëåòâîðÿåò. Îïðåäåëèì, èñõîäÿ èç íåãî, íàïðàâëåíèå êàñàòåëüíîé ê ýòîé êîìïîíåíòå â òî÷êå (0, 0), ãäå ϕ = ϕ0 . 2 Òàê êàê ∂P /∂σ (0,0) = −4, ∂P /∂λ (0,0) = 0, òî ïî òåîðåìå î íåÿâíîé óíêöèè σ 2 (λ), (dσ 2 /dλ)(0,0) = 0, òî åñòü êàñàòåëüíàÿ ê êðèâîé ρ− (ϕ) â íóëåâîé òî÷êå íàïðàâëåíà ïî ïðÿìîé ñ σ 2 = 0. Êàæäàÿ èç ãèïåðáîë ïåðåñåêàåò êîìïîíåíòó â íóëåâîé òî÷êå. Ïîêàæåì, ÷òî êàæäàÿ èç íèõ èìååò â ýòîé òî÷êå êàñàòåëüíóþ, ïåðåñåêàþùóþ îñü 2 σ 2 = 0, ðàññìàòðèâàÿ ýòè ãèïåðáîëû êàê óíêöèè σ± (λ). Èç óðàâíåíèé 2 (11), ñëåäóåò, ÷òî íåÿâíûå óíêöèè σ± (λ) â òî÷êå (0, 0) èìåþò êàñàòåëüíûå ñ êîý èöèåíòàìè dσ 2 ± = [3(1 ∓ 3ε)]−1 6= 0 . dλ (0,0) Òîãäà, òî÷êè (λ ∈ R, 0) êîìïîíåíòû Σ− , äîñòàòî÷íî áëèçêèå ê íóëåâîé òî÷êå, íàõîäÿòñÿ â îáëàñòè G− G+ < 0, òàê êàê ãèïåðáîëû â ýòèõ òî÷êàõ ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ G± (λ, 0, ε) = ± 4λ + O(λ2 ) ïðè λ → 0. àññìîòðèì âîçìîæíîñòü ïåðåñå÷åíèÿ ãèïåðáîë êîìïîíåíòîé Σ+ . Òàêàÿ âîçìîæíîñòü èìååòñÿ òîëüêî â òî÷êå ñîïðèêîñíîâåíèÿ (λ∗ (ε), σ∗(ε)), òî åñòü â öåíòðå ïîëÿðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò. Êîìïîíåíòà Σ+ ðàçäåëÿåò ïîëóïëîñêîñòü (λ, σ 2 ≥ 0) íà äâå ÷àñòè. Åñëè èìååòñÿ ïåðåñå÷åíèå êàêîéëèáî èç ãèïåðáîë G+ = 0 èëè G− = 0 ñ ýòîé êîìïîíåíòîé, òî òàêàÿ ãèïåðáîëà äîëæíà, ïðè íåïðåðûâíîì èçìåíåíèè óãëà ϕ, ïåðåéòè èç îäíîé ÷àñòè ïëîñêîñòè â äðóãóþ, ïðîõîäÿ ÷åðåç òî÷êó ñîïðèêîñíîâåíèÿ òàê, ÷òî ρ(+) (ϕ(+)) = 0, ñîîòâåòñòâåííî ρ(−) (ϕ(−) ) = 0. Ïîêàæåì, ÷òî òàêèå ïåðåõîäû íåâîçìîæíû. Òàê êàê êîìïîíåíòà Σ+ îáëàäàåò êàñïîì â òî÷êå ñîïðèêîñíîâåíèÿ (λ∗ , σ∗), òî åñòü èìååò òî÷êó ïîâîðîòà, ïðè ϕ = ϕ∗ ñ êàñàòåëüíîé â âèäå ëó÷à, èñõîäÿùåãî ïîä óãëîì ϕ∗ èç ýòîé òî÷êè, òî, äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåâîçìîæíîñòè ïåðåõîäà ãèïåðáîë èç îäíîé ÷àñòè ïîëóïëîñêîñòè â äðóãóþ, äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî ϕ(−) > ϕ∗ > ϕ(+) , òî åñòü èìååò ìåñòî z (+) < z∗ < z (−) . Ýòè íåðàâåíñòâà ýêâèâàëåíòíû, â ñèëó z∗2 = (4 − σ∗2 )/12σ∗2, íåðàâåí-
25 ñòâàì (1 ± 2z∗ )(σ∗2 − 1) > 0. Ïîñëåäíèå ñïðàâåäëèâû ïðè z∗ ∈ (−1/2, 1/2) è σ∗2 > 1. Ñëåäñòâèå 2. ïëîñêîñòè Ïðè 2 σ2 → ∞ âåòâè λ± (σ 2) êðèòè÷åñêîé êðèâîé Σ+ â (λ, σ ), ïðè èêñèðîâàííîì çíà÷åíèè ε, óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåí- ñòâàì 1 1 − (σ 2 − σ∗2) + λ∗ < λ− (σ 2) < λ+ (σ 2) < (σ 2 − σ∗2) + λ∗ 2 2 è èìåþò ñëåäóþùåå àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå: λ− (σ 2) = − p σ2 + σ 2(1 − 2ε) + O(1) , 2 λ+ (σ 2) = p σ2 − σ 2(1 + 2ε) + O(1) . 2 Òàê êàê êðèòè÷åñêàÿ êðèâàÿ îïðåäåëÿåòñÿ óíêöèåé ρ+ (ϕ) ïðè ϕ ∈ (ψ, π − ψ), òî íåðàâåíñòâà ñëåäóþò èç (15) è îãðàíè÷åíèÿ íà óãîë |ctgϕ| = |z| < 1/2. àçäåëèì óðàâíåíèå (9) íà σ 8 /16 è ââåäåì íîâóþ ïåðåìåííóþ a = 2λ/σ 2 , P̃ (a, σ 2, ε) ≡ 4 2 ≡ a + 4a σ −4 − 5σ −2 − 1/2 − 8εa(9σ −2 + 18σ −4 − a2 σ −2)− 3 2 − 4/σ − 1 − 432σ −4ε2 = 0 . Ñîãëàñíî Òåîðåìå 1 è (15) âåòâè λ± (σ 2 ) êîìïîíåíòû Σ+ ñòðåìÿòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè ïðè σ 2 → ∞. Ïîýòîìó àñèìïòîòèêè óíêöèé a± (σ 2 ) = 2λ± (σ 2)/σ 2, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò ýòîìó óðàâíåíèþ, âû÷èñëÿþòñÿ íà åãî îñíîâå ïåðåõîäîì ê ïðåäåëó σ 2 → ∞.  ñèëó äîêàçàííûõ íåðàâåíñòâ äëÿ âåòâåé λ± (σ 2 ), óíêöèè a± (σ 2 ) îãðàíè÷åíû. Òîãäà êàæäàÿ èç íèõ èìååò ïðåäåë a∗ . Äëÿ ýòèõ ïðåäåëüíûõ çíà÷åíèé ïîëó÷àåì óðàâíåíèå (a2∗ −1)2 = 0 òàê, ÷òî a∗ = ±1 åãî äâóêðàòíî âûðîæäåííûå êîðíè. Ïîäñòàíîâêà âûðàæåíèé a = ±1 + b â óðàâíåíèå, ãäå b = o(1) ïðè σ 2 → ∞ ïðèâîäèò, ñ òî÷íîñòüþ äî O(b3 ), ê óðàâíåíèþ b2 −√8σ −2 + 16εσ −2sgn(a∗ ) = 0, ÷òî äàåò ÷åòûðå çíà÷åíèÿ äëÿ óíêöèé b = ±2 2(1 + 2ε sgn(a∗ ))1/2/σ . Èç Òåîðåìû 3 ñëåäóåò, ÷òî íàèìåíüøåå è íàèáîëüøåå èç ýòèõ ÷åòûðåõ çíà÷åíèé ñîîòâåòñòâóþò àñèìïòîòè÷åñêàì êðèâîé Σ− ïðè σ 2 → ∞, ÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî óòâåðæäåíèÿ.
26  êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì êðèòè÷åñêóþ êðèâóþ â ñèììåòðè÷íîì ñëó÷àå, êîãäà α = 1/2, êîòîðàÿ îïèñûâàåòñÿ áèêâàäðàòíûì óðàâíåíèåì. Êðèâàÿ, îïðåäåëÿåìàÿ èì, äâóõñâÿçíà. Åãî ðåøåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå ðàçðåøåííîé îáëàñòè çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ, èìååò âèä i 1 h σ4 2 2 2 3/2 λ = + 5σ − 1 − (2σ + 1) . 2 2 Ïðèìåð. Èç óñëîâèÿ ïîëîæèòåëüíîñòè λ2 > 0 ñëåäóåò îãðàíè÷åíèå σ 2 ≥ 4, òî åñòü êðèòè÷åñêàÿ êðèâàÿ ðàñïîëîæåíà âûøå ýëëèïñà.  òî÷êå ñîïðèêîñíîâåíèÿ (0, 4) êðèâàÿ σ 2 (λ) èìååò ¾êàñï¿, êîòîðûé õàðàêòåðèçóåòñÿ êðèòè÷åñêèì èíäåêñîì 2/3, òàê êàê àñèìïòîòèêà êðèâîé â òî÷êå λ = 0 èìååò âèä σ 2 = 4 + 3(2|λ|)2/3(1 + o(1)).
ðà èê óíêöèè σ 2 (λ) ïðèâåäåí íà ðèñ. 1. èñ. 1. Êðèâûå Σ+ è Σ− â ñèììåòðè÷íîì ñëó÷àå. Ñïëîøíûå ëèíèè îïèñûâàþò êðèâûå. Ïóíêòèðíûå ëèíèè îïèñûâàþò ãèïåðáîëû G± è ýëëèïñ ∆ = 0.
27
ëàâà 4. Èññëåäîâàíèå êðèòè÷åñêîé êðèâîé â ïðåäåëüíûõ ñëó÷àÿõ Âûâîäû, ïîëó÷åííûå â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, ñïðàâåäëèâû ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ ε ∈ (−1/2, 1/2). Îäíàêî, ñ òî÷êè çðåíèÿ ïîëó÷åíèÿ óäîáíûõ ðàñ÷åòíûõ îðìóë äëÿ êðèòè÷åñêîé êðèâîé, â ðàçëîæåíèè âûðàæåíèÿ (17) äëÿ ρ+ (ϕ) âáëèçè òî÷êè êàñïà ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ïåðâûìè ñëàãàåìûìè òîëüêî â ñëó÷àå, êîãäà |ε| íå î÷åíü áëèçîê ê çíà÷åíèþ 1/2.  ýòîì ðàçäåëå ìû èçó÷èì ïðîòèâîïîëîæíûé ñëó÷àé, êîãäà (1/2 − |ε|) ÿâëÿåòñÿ ìàëûì ïàðàìåòðîì. Òàêîé àíàëèç îïèðàåòñÿ íà ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (9) ïðè |ε| = 1/2, íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî îíè ÿâëÿþòñÿ íå èçè÷åñêèìè. Ýòè ðåøåíèÿ ïðåäñòàâëÿþòñÿ ÿâíûìè îðìóëàìè äëÿ êðèâîé Σε . Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ñèììåòðèþ êðèòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ïðè çàìåíå ε íà −ε, ìû èçó÷èì ðåøåíèÿ òîëüêî â ñëó÷àå ε = −1/2. Íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî îíè îïèñûâàþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Êðèâàÿ Σε ñîñòîèò èç: äâóêðàòíîé ïðÿìîé λ0 = 1 + σ 2/2 è êðèâîé, ñîñòîÿùåé èç äâóõ ïîëóïàðàáîë λ± = (−σ 2 ± 4σ)/2, êîòîðûå ñøèâàþòñÿ â òî÷êå λ = 3/2, σ 2 = 1.  ðàññìàòðèâàåìîì íàìè ñëó÷àå, íóæíî ïîñòðîèòü òåîðèþ âîçìóùåíèé äëÿ îðìû êðèâîé Σ+ ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ α. Äëÿ òîãî, ÷òîáû óñòàíîâèòü òèï àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ, êîòîðîå ìû ñòðîèì â âèäå ñòåïåííîãî ðàçëîæåíèÿ ïî äðîáíûì ñòåïåíÿì α, ñîâåðøèì ïîäñòàíîâêó λ = (3 + u + v)/2 , σ2 = 1 + v − u (20) òàê, ÷òî óðàâíåíèå (9) è óðàâíåíèå ýëëèïñà â ýòèõ ïåðåìåííûõ ïðèíèìàþò âèä u2(v 2 + 4u) + α{36u2 + 6uv(u + v − 3) − 4(u3 + v 3)} − 27α2(1 + v − u)2 = 0 , u2 + v 2 − uv + 3u = 0, ñîîòâåòñòâåííî. Íàéäåì ïðàâèëüíóþ àñèìïòîòèêó èçìåíåíèÿ ïåðåìåííûõ u, v â îêðåñòíîñòè òî÷êè (0, 0) ïðè α → 0. Äëÿ ýòîãî ïðîèçâåäåì çàìåíó u → αa u, v → αb v ñ ïîêàçàòåëÿìè a > 0, b > 0, êîòîðûå âûáèðàþòñÿ èç óñëîâèÿ
28 ñóùåñòâîâàíèÿ â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ ãðóïïû íå ìåíåå ÷åì èç äâóõ ñëàãàåìûõ ñ îäèíàêîâûìè ìèíèìàëüíûìè çíà÷åíèÿìè ñòåïåíåé. Àíàëèç âîçìîæíîñòåé òàêîãî âûáîðà ïàðàìåòðîâ a è b ïîñëå ïðîèçâåäåííîé çàìåíû ïðèâîäèò ê åäèíñòâåííûì çíà÷åíèÿì a = 2/3, b = 1/3.  ðåçóëüòàòå, ïðîèçâîäÿ áàëàíñ ñëàãàåìûõ ñ ìèíèìàëüíîé ñòåïåíüþ âåëè÷èíû α, ðàâíîé 2, è îòáðàñûâàÿ ñëàãàåìûå áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ïî ñòåïåíÿì α, èìååì R(u) ≡ 4(u3 − v 3 − 27) + (uv − 9)2 = 0 . (21) Óðàâíåíèå (21) îïèñûâàåò êðèâóþ òðåòüåãî ïîðÿäêà íà ïëîñêîñòè (u, v). Ïîêàæåì, ÷òî îíà äâóõñâÿçíà è âûäåëèì èç åå êîìïîíåíò òó, êîòîðàÿ, êàê è êðèâàÿ Σ+ , îáëàäàåò òî÷êîé ïîâîðîòà. Ïðè v → ∞ íåÿâíàÿ óíêöèÿ u(v) íå ìîæåò áûòü îãðàíè÷åííîé. Ïîýòîìó èìåþòñÿ àñèìïòîòèêè êðèâîé u(v) → ∞ ïðè v → ∞. Èç (21) ñëåäóåò, ÷òî âîçìîæíû ñëåäóþùèå òèïû àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ: u ∼ v 2 , u ∼ v 1/2. Ïîëîæèì u = kv 2 (1 + o(1)). Ïîñëå ïîäñòàíîâêè ýòîãî âûðàæåíèÿ â (21) ñ óäåðæàíèåì ãëàâíûõ ÷ëåíîâ ∼ v 6 , ïîëó÷àåì óñëîâèå k = −1/4 äëÿ èõ èñ÷åçíîâåíèÿ. Ïîñëå ýòîãî íàõîäèì, ÷òî o(1) = −2/v + o(v −1 ) ÿâëÿåòñÿ ãëàâíûì ïîïðàâî÷íûì ñëàãàåìûì. Àñèìïòîòèêà âòîðîãî òèïà ïîëó÷àåòñÿ èç ïåðâîé íà îñíîâå ñîîáðàæåíèé ñèììåòðèè óðàâíåíèÿ (21) îòíîñèòåëüíî u è v. Ïðèìåíèì àëãîðèòì Åâêëèäà ê ïàðå ïîëèíîìîâ R(u) è R′ (u). Îñòàòîê, ïîñëå ïðèìåíåíèÿ àëãîðèòìà ïðîïîðöèîíàëåí (v 3 − 27)3 , êîòîðûé îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè v = 3. Ñëåäîâàòåëüíî, èìååòñÿ òî÷êà (−3, 3), â êîòîðîé R(u) èìååò êðàòíûé êîðåíü, òî åñòü â íåé ìîæåò ðåàëèçîâàòüñÿ ëèáî ñàìîïåðåñå÷åíèå êðèâîé, ëèáî òî÷êà ïîâîðîòà (¾êàñï¿). Êðèâàÿ ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî äèàãîíàëè u = −v è èìååò ñ íåé äâå òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ. Ýòè òî÷êè îïðåäåëÿþòñÿ èç óðàâíåíèÿ (u − 1)(u + 3)3 = 0. Îòêóäà âèäíî, ÷òî òî÷êà (−3, 3) ÿâëÿåòñÿ îñîáîé. Âî âòîðîé òî÷êå (1, −1) êðèâàÿ ïåðåñåêàåò òðàíñâåðñàëüíî äèàãîíàëü v = −u, òàê êàê â íåé íåâîçìîæíî åå ñàìîïåðåñå÷åíèå. Ïî òîïîëîãè÷åñêèì ñîîáðàæåíèÿì, íàëè÷èå äâóõ òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ñ ïîáî÷íîé äèàãîíàëüþ, âìåñòå ñ íåîãðàíè÷åííîñòüþ êðèâîé, ïîçâîëÿåò ñäåëàòü çàêëþ÷åíèå î åå äâóõñâÿçíîñòè. Òàêèì îáðàçîì, ñîãëàñíî ïîñòàâëåííîé âûøå çàäà÷å, íóæíî âûáðàòü êîìïîíåíòó êðèâîé, íà êîòîðîé íàõîäèòñÿ òî÷êà (−3, 3) è èññëåäîâàòü
29 ýòó êîìïîíåíòó â îêðåñòíîñòè ýòîé îñîáîé òî÷êè. Ñ ýòîé öåëüþ ïåðåéäåì ê ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì ñ öåíòðîì â òî÷êå (−3, 3), u = −3 + ρ cos ϕ, v = 3 + ρ sin ϕ.  ðåçóëüòàòå, ïîñëå èñêëþ÷åíèÿ òðèâèàëüíîãî êîðíÿ ρ = 0, ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå êâàäðàòíîå îòíîñèòåëüíî ρ óðàâíåíèå (ρ2 /4) sin2 2ϕ + ρ(cos ϕ − sin ϕ)(4 + 5 sin 2ϕ) − 27(1 + sin 2ϕ) = 0 . Òàê êàê ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå îòðèöàòåëüíî, òî ïîëîæèòåëüíîå ðåøåíèå ρ(ϕ) èìååò âèä 3/2i 2 h ρ(ϕ) = (sin ϕ − cos ϕ)(4 + 5 sin 2ϕ) + 2(2 + sin 2ϕ) . (22) sin2 2ϕ Äëÿ òîãî ÷òîáû âûÿñíèòü õàðàêòåð îñîáåííîñòè ïðè ρ = 0, íóæíî íàéòè óãëû, ïðè êîòîðûõ ρ(ϕ) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ â îñîáîé òî÷êå ñ ρ = 0. Ïðè ýòîì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ñëàãàåìûì ïðîïîðöèîíàëüíûì ρ2 â óðàâíåíèè. Îòñþäà íàõîäèì, ÷òî óíêöèÿ ρ(ϕ) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè ϕ → −π/4, ëèáî ϕ → 3π/4. Ââîäÿ îòêëîíåíèÿ χ = ϕ + π/4, ëèáî χ = ϕ − 3π/4 îò ýòèõ çíà÷åíèé óãëà ϕ, íàõîäèì èç óðàâíåíèÿ, ÷òî êàæäîãî èç íèõ, òî åñòü √â îêðåñòíîñòè 2 2 ïðè χ → 0, âûïîëíÿåòñÿ ρ ± 4 2 ρ − 216χ + o(χ2 ) = 0, ãäå âåðõíèå çíàêè ñîîòâåòñòâóþò √ 2 ϕ = 23π/4, à íèæíèå ϕ = −π/4. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ρ(ϕ) = 27 2 χ + o(χ ) ïðè çíàêå (+), ïðè çíàêå (−) ðåøåíèå ρ(ϕ), îáðàùàþùååñÿ â íóëü ïðè χ = 0, ââèäó íåîòðèöàòåëüíîñòè ρ(ϕ), âîçìîæíî òîëüêî äëÿ èçîëèðîâàííîãî çíà÷åíèÿ χ = 0. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êðèâàÿ ρ(ϕ) ìîæåò ïîäõîäèòü ê îñîáîé òî÷êå òîëüêî ïîä óãëîì ϕ = 3π/4. Ïîýòîìó îíà ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ïîâîðîòà êðèâîé, òî åñòü â íåé ðåàëèçóåòñÿ ¾êàñï¿. Ïåðåéäåì òåïåðü íà âûáðàííîé êîìïîíåíòå êðèâîé (22), êîòîðàÿ ñîäåðæèò êàñï, ê èñõîäíûì ïåðåìåííûì λ, σ 2 . Ó÷èòûâàÿ âñå ñäåëàííûå âûøå, â ïðîöåññå àíàëèçà, çàìåíû ïåðåìåííûõ, íàõîäèì 1 3(1 + α1/3 − α2/3) + α1/3ρ sin ϕ − α2/3ρ cos ϕ + O(α) , 2 σ 2 = 1 + 3 α1/3 + α2/3 + α1/3ρ sin ϕ − α2/3ρ cos ϕ + O(α) , λ= ãäå ρ(ϕ), îïðåäåëÿåòñÿ (22). Ýòè îðìóëû, ïàðàìåòðè÷åñêè, îïðåäåëÿþò ïðèáëèæåííî, ñ òî÷íîñòüþ äî α2/3 , êðèòè÷åñêóþ êðèâóþ ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ α. Ïðè ρ = 0 îíè îïèñûâàþò ñäâèã òî÷êè êàñïà (λ∗ (ε), σ∗2(ε)) ïðè ε âáëèçè çíà÷åíèÿ (−1/2).
30 5. Çàêëþ÷åíèå Ïðîâåäåí ïîëíûé, â îòëè÷èå îò ðàáîò äðóãèõ àâòîðîâ, àíàëèç êðèòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè Σ ìîäåëè Õîðñòõåìêå-Ëå åâðà, ðàçáèâàþùåé åå ïðîñòðàíñòâî ïàðàìåòðîâ (λ, σ 2 > 0, α ∈ (0, 1)) íà äâå îáëàñòè, â êàæäîé èç êîòîðûõ îíà èìååò äâà êà÷åñòâåííî ðàçëè÷íûõ ñòàöèîíàðíûõ äèíàìè÷åñêèõ ðåæèìà. Ïåðåõîä ìåæäó ýòèìè äâóìÿ ðåæèìàìè ïðè äîñòàòî÷íî ìåäëåííûì (êâàçèñòàòè÷åñêîì) èçìåíåíèè ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû ïðåäñòàâëÿåò, ñ èçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ, àçîâûé ïåðåõîä ìåæäó äâóìÿ ¾ àçàìè¿: óíèìîäàëüíîé è áèìîäàëüíîé. Äèíàìè÷åñêèé ðåæèì â áèìîäàëüíîé àçå ñîñòîèò èç ïîñëåäîâàòåëüíî ñìåíÿþùèõ äðóã äðóãà âðåìåííûõ èíòåðâàëîâ ñëó÷àéíîé äëèòåëüíîñòè, â êîòîðûõ îòíîñèòåëüíàÿ êîíöåíòðàöèÿ ðåàãåíòîâ ëóêòóèðóåò âáëèçè çíà÷åíèÿ îäíîãî èç äâóõ ìàêñèìóìîâ ïëîòíîñòè p(x). àññìàòðèâàÿ áè óðêàöèîííóþ ïåðåñòðîéêó äèíàìè÷åñêîãî ðåæèìà ñèñòåìû êàê òåðìîäèíàìè÷åñêèé àçîâûé ïåðåõîä, äëÿ åãî êîëè÷åñòâåííîé õàðàêòåðèçàöèè íóæíî ââåñòè ïàðàìåòð ïîðÿäêà.  êà÷åñòâå òàêîâîãî, ïîâèäèìîìó, íóæíî âûáðàòü ïîëîâèíó ðàññòîÿíèÿ ìåæäó êîíöåíòðàöèÿìè, ñîîòâåòñòâóþùèìè äâóì ìîäàì ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ p(x). Ïðîêëàññè èöèðóåì àçîâûå ïåðåõîäû â ðàññìîòðåííîé ñèñòåìå, ïðèíÿâ çà îñíîâó èõ ðàçäåëåíèå íà äâà òèïà ñîãëàñíî ñëåäóþùåìó ïðèçíàêó: ïîÿâëÿåòñÿ ëè â ðåçóëüòàòå ïåðåõîäà îòëè÷íîå îò íóëÿ çíà÷åíèå ïàðàìåòðà ïîðÿäêà ñêà÷êîîáðàçíî (ïåðåõîä 1-ãî ðîäà) èëè íåïðåðûâíî (ïåðåõîä 2-ãî ðîäà). Òîãäà, â òîì ñëó÷àå, êîãäà ïåðåñòðîéêà ïëîòíîñòè p(x) ïðîèñõîäèò ñ îáðàçîâàíèåì íå áîëåå ÷åì äâóêðàòíîãî êîðíÿ óðàâíåíèÿ dp(x)/dx = 0, òî âòîðîé ìàêñèìóì ïëîòíîñòè âîçíèêàåò îòäåëüíî îò óæå ñóùåñòâóþùåãî ó íåå ìàêñèìóìà. Ïîýòîìó ðàññòîÿíèå ìåæäó ýòèìè ìàêñèìóìàìè íå ðàâíî íóëþ â ìîìåíò ïåðåõîäà è ìîæíî ãîâîðèòü î ïåðåõîäå ïåðâîãî ðîäà. Ñ àíàëèòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ïåðåõîä ðåàëèçóåòñÿ â âèäå êàòàñòðî û ñêëàäêè, ñîãëàñíî êëàññè èêàöèè Òîìà. Åñëè æå ïåðåñòðîéêà ïëîòíîñòè ïðîèñõîäèò òàê, ÷òî óðàâíåíèå dp(x)/dx = 0 èìååò òðåõêðàòíûé êîðåíü, òî èç èñ÷åçàþùåãî
31 ìàêñèìóìà ðîæäàåòñÿ ñðàçó äâà íîâûõ ìàêñèìóìà. Ïîýòîìó, â ýòîì ñëó÷àå, ïàðàìåòð ïîðÿäêà íåïðåðûâíûì îáðàçîì íà÷èíàåò âîçðàñòàòü íà÷èíàÿ ñ íóëåâîãî çíà÷åíèÿ è íóæíî ãîâîðèòü î àçîâîì ïåðåõîäå âòîðîãî ðîäà.  ñîîòâåòñòâèè ñ ïðîäåëàííûì àíàëèçîì ìîäåëè, âòîðîé ñëó÷àé ðåàëèçóåòñÿ â òî÷êå êàñïà êðèòè÷åñêîé êðèâîé, êîòîðàÿ íàõîäèòñÿ íà ýëëèïñå ∆ = 0. Ïðè ýòîì ìîäà, â êîòîðîé ïðîèñõîäèò áè óðêàöèÿ, ðàñïîëîæåíà â òî÷êå x0 = 1/2 − λ/3σ 2. Ñîãëàñíî êëàññè èêàöèè Òîìà ýòîò ïåðåõîä ïðîèñõîäèò â ðåçóëüòàòå êàòàñòðî û ñáîðêè. Ïðèìåíèìîñòü òàêîé êëàññè èêàöèè ñâÿçàíà ñ òåì, ÷òî p(x) àíàëèòè÷åñêè çàâèñèò îò ïàðàìåòðîâ λ è σ 2 . Åñëè ïîëîæèòü, ÷òî ðîëü òåìïåðàòóðû â ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìå âûïîëíÿåò èíòåíñèâíîñòü øóìà σ 2 , òî êðèòè÷åñêèé èíäåêñ ïàðàìåòðà ïîðÿäêà â òî÷êàõ ñîïðèêîñíîâåíèÿ êðèòè÷åñêîé êðèâîé ðàâåí 1/2, êàê ýòî èìååò ìåñòî äëÿ êàòàñòðî û ñáîðêè: ∂p′ 1 2 2 (σ − σ∗ ) + (x0 − x∗)2p′′′(x∗) = 0 , (x0 − x∗) ∼ (σ 2 − σ∗2)1/2 . 2 ∂σ x∗ 2 Âìåñòå ñ òåì, íóæíî îòìåòèòü, ÷òî àçîâûé ïåðåõîä 1-ãî ðîäà â ñèñòåìå ïðîèñõîäèò áåç äîïîëíèòåëüíûõ çàòðàò òåïëîòû íà îáðàçîâàíèå íîâîé àçû, åñëè â êà÷åñòâå R 1 òåðìîäèíàìè÷åñêîé ýíòðîïèè S ñèñòåìû âûáðàòü ýíòðîïèþ Øåííîíà 0 p(x) ln p(x)dx, êîòîðàÿ èçìåíÿåòñÿ íåïðåðûâíî ñ èçìåíåíèåì ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû. Òîãäà òåðìîäèíàìè÷åñêàÿ ñâÿçü δQ = T δS óêàçûâàåò íà îòñóòñòâèå òåïëîâîãî ñêà÷êà ïðè ïåðåõîäå èç óíèìîäàëüíîé àçû â áèìîäàëüíóþ.
32 6. Ëèòåðàòóðà 1. Kimura M., Ohta T. Theoreti al aspe ts of Population geneti s / Boston: Prin eton University Press, 1971. 2. Arnold L., Horsthemke W., Lefever R. White and oloured external noise and transition phenomena in nonlinear systems // Zs. Phys. 1978. B29. P.367-373. 3. Ôàì Ìèíü Òóàí, Âèð÷åíêî Þ.Ï. Àíàëèç ñòîõàñòè÷åñêîé ìîäåëè õèìè÷åñêîé êèíåòèêè áèíàðíîé àâòîêàòàëèòè÷åñêîé ðåàêöèè // Belgorod State University S ienti Bulletin Mathemati s & Physi s. 2013. 11(154);31. Ñ.130-146. 4. Õîðñòõåìêå Â., Ëå åâð . Èíäóöèðîâàííûå øóìîì ïåðåõîäû: Òåîðèÿ è ïðèìåíåíèå â èçèêå, õèìèè è áèîëîãèè / Ïåð. ñ àíãë. /Ì.: Ìèð, 1987. 400 ñ. 5. Kabashima S., Kawakubo T. Observation of noise-indu ed phase transition in parametri os illator // Phys. Lett. 1979. 70A. P.375-376. 6. Smythe J., Moss F., M Clinto k P.V.E. Observation of noise-indu ed phase transition with an analog simulator / Phys. Rev. Lett. 1983. 51; 12. P.1062-1065. 7. Landa P.S., M Clinto k P.V.E. Changes in the dynami al behavior of nonlinear systems indu ed by noise / Physi s Reports. 2000. 323. P.1-80. 8. Horsthemke W. Noise-Indu ed Transitions // in: Sto hasti Nonlinear Systems in Physi s, Chemistry, and Biology / Eds. L. Arnold, F. Lefever / Berlin : Springer-Verlag, 1981. P.116-126. 9. Lefever R. Noise-Indu ed Transitions in Biologi al Systems // in: Sto hasti Nonlinear Systems in Physi s, Chemistry, and Biology / Eds. L. Arnold, F. Lefever / Berlin : Springer-Verlag, 1981. P.127-136.
33 10. Horsthemke W., Lefever R. Noise-Indu ed Transitions // in: Noise and nonlinear dynami al systems V.2 Theory of noise indu ed pro esses in spe ial appli ations / Eds. Moss F., M -Clinto k P.V.E. / Cambridge: Cambridge University Press, 2009. P.179-208. 11. Horsthemke W., Lefever R. Noise-Indu ed Transitions: Theory and Appli ations in Physi s, Chemistry and Biology / Berlin : Springer, 2006. 318 p. 12. Ôàì Ìèíü Òóàí, Âèð÷åíêî Þ.Ï. Àíàëèç àçîâîé äèàãðàììû â ñòîõàñòè÷åñêîé ìîäåëè õèìè÷åñêîé êèíåòèêè áèíàðíîé öèêëè÷åñêîé ðåàêöèè // Belgorod State University S ienti Bulletin Mathemati s & Physi s. 2013. 26(169);33. Ñ.57-63. 13. Ôàì Ìèíü Òóàí, Âèð÷åíêî Þ.Ï. Èññëåäîâàíèå êðèòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñòîõàñòè÷åñêîé ìîäåëè õèìè÷åñêîé êèíåòèêè áèíàðíîé àâòîêàòàëèòè÷åñêîé ðåàêöèè. Cèëüíî àñèììåòðè÷íûé ñëó÷àé // Belgorod State University S ienti . Bulletin Mathemati s & Physi s. 2014. 5(176);34. Ñ.103-111. 14. Ôàì Ìèíü Òóàí, Âèð÷åíêî Þ.Ï. Àíàëèç êðèòè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñòîõàñòè÷åñêîé ìîäåëè áèíàðíîé öèêëè÷åñêîé ðåàêöèè ñ àçîâûì ïåðåõîäîì // Belgorod State University S ienti . Bulletin Mathemati s & Physi s. 2014. 25(196); 37. Ñ.108-118. 15. ßáëîíñêèé
.Ñ., Áûêîâ Â.È.,
îðáàíü À.Í. Êèíåòè÷åñêèå ìîäåëè êàòàëèòè÷åñêèõ ðåàêöèé / Íîâîñèáèðñê: Íàóêà (Ñèá. îòäåëåíèå), 1983. 256 . 16. Ïóãà÷åâ Â.Ñ., Ñèíèöûí È.Í. Ñòîõàñòè÷åñêèå äè åðåíöèàëüíûå ñèñòåìû /Ì.: Íàóêà, 1990. 628 . 17. Stratonovi h R. L. A new representation for sto hasti integrals and equations // SIAM J. Control. 1966. 4. P.362. 18. Ito K. Sto hasti dierential equations on a dierentiable manifold // Nagoya Math. J.. 1950. 1. P.35. 19. Van Kampen N.G. Ito versus Stratonovi h // J.Stat.Phys. 1981. 24. P.175-187.
34 20. Moon W., Wettlaufer J.S. On the interpretation of Stratonovi h al ulus // New Journal of Physi s. 2014. 16. P.055017. 21. Wong E., Zakai M. On the onvergen e of ordinary integrals to sto hasti integrals / Ann. Math. Stat. 1965. 36. P.1560-1564. 22. Blankenship G., Papani olaou G.C. Stability and ontrol of sto hasti systems wide-band noise disturban es // CIAM J.Appl.Math. 1978. 34. P437-476. 23. Smythe J., Moss F., M Clinto k P.V.E., Clarkson D. Ito versus Stratonovi h revisited / Phys. Lett A. 1983. 97. P.95-98. 24.
èõìàí È.È., Ñêîðîõîä À.Â. Ñòîõàñòè÷åñêèå äè åðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ / Êèåâ: Íàóêîâà Äóìêà, 1968. 356 . 25. Ëàñêèí Í.Â., Ïåëåòìèíñêèé Ñ.Â., Ïðèõîäüêî Â.È. Ê êèíåòè÷åñêîé òåîðèè ñèñòåì â ñëó÷àéíûõ ïîëÿõ / Òåîð. ìàò. èç. 1978. 34. P.244255. 26. Ôàì Ìèíü Òóàí, Âèð÷åíêî Þ.Ï. Êîððåêòíîñòü ñòîõàñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ãåíåòè÷åñêîé ìîäåëè // Belgorod State University S ienti . Bulletin Mathemati s & Physi s. 2014. 11(208); 39. Ñ.161-166. 27. Âèð÷åíêî Þ.Ï., Ëàñêèí Í.Â. Îãðóáëåííîå îïèñàíèå ðàñïðåäåëåíèÿ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ Ëàíæåâåíà / Òåîð. ìàò. èç. 1979. 41;3. P.406417. 28. Òèõîíîâ À.Í., Ñàìàðñêèé À.À. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè // Ì.: Èçä. Ì
Ó, 1999. 798 . 29. Elliott J. Eigenfun tion expansions asso iated with singular dierential operators // Trans. Am. Math. So . 1955. 78. P.406-425. 30. Ñàâåëîâ À.À. Ïëîñêèå êðèâûå, ñèñòåìàòèêà, ñâîéñòâà è ïðèìåíåíèå / Ì.: Ôèç.-ìàò. ëèò. 1960. 296 .
Отзывы:
Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв