ÑÀÍÊÒ-ÏÅÒÅÐÁÓÐÃÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ
ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ
Ìàëüêîâñêèé Íèêîëàé Âëàäèìèðîâè÷
êàôåäðà ñèñòåìíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ
ÂÛÏÓÑÊÍÀß ÊÂÀËÈÔÈÊÀÖÈÎÍÍÀß ÐÀÁÎÒÀ
Ïîñòðîåíèå îïòèìàëüíûõ ïîòîêîâûõ ïðîöåññîâ â
çàäà÷àõ ðàñïðåäåëåíèÿ çàãðóçêè âû÷èñëèòåëüíîé
ñåòè
Ðåöåíçåíò:
êàíäèäàò ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê
Øàëûìîâ Äìèòðèé Ñåðãååâè÷
Çàâåäóþùèé êàôåäðîé:
äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð
Òåðåõîâ Àíäðåé Íèêîëàåâè÷
Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:
äîêòîð ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð
Ãðàíè÷èí Îëåã Íèêîëàåâè÷
Ñàíêò-Ïåòåðáóðã
2016
SAINT-PETERSBURG STATE UNIVERSITY
Malkovskii Nikolai Vladimirovich
software engineering department
Graduation Thesis
Synthesis of the Optimal Control Processes in
Network Load Balancing Problems
Reviewer:
candidate of physico-mathematical sciences
Shalymov Dmitrii Sergeevich
Head of department:
doctor of physico-mathematical sciences, professor
Terekhov Andrei Nikolaevich
Scientic supervisor:
doctor of physico-mathematical sciences, professor
Granichin Oleg Nikolaevich
Saint-Petersburg
2016
Îãëàâëåíèå
1
2
3
4
5
6
7
Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Îïòèìàëüíûå äèíàìè÷åñêèå ïðîöåññû . . . . . . . . . . . .
Äèíàìè÷åñêèå ïîòîêîâûå ïðîöåññû . . . . . . . . . . . . . .
Ìåòîä ïðîòàëêèâàíèÿ ïðåäïîòîêà äëÿ
ïîòîêîâûõ çàäà÷ ëèíåéíîãî
ïðîãðàììèðîâàíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1
Îáùàÿ êëàññèôèêàöèÿ ïîòîêîâûõ çàäà÷ . . . . . . .
4.2
Çàäà÷à î ìàêñèìàëüíîì ïîòîêå . . . . . . . . . . . .
4.3
Çàäà÷à î ïàðàìåòðè÷åñêîì ïîòîêå . . . . . . . . . .
Ïîòîêîâûå ïðîöåññû â óñëîâèÿõ
íåîïðåäåëåííîñòåé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1
Êëàññ óñðåäíÿåìûõ ôóíêöèé . . . . . . . . . . . . .
5.2
Äèíàìè÷åñêèå ïîòîêîâûå ïðîöåññû ñ
ìåíÿþùèìèñÿ âî âðåìåíè ïðîïóñêíûìè
ñïîñîáíîñòÿìè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3
Ïîäáîð ïàðàìåòðîâ àëãîðèòìà â ñòîõàñòè÷åñêîì ñëó÷àå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ïðàêòè÷åñêèå ïðèìåðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1
Çàäà÷à áàëàíñèðîâàíèÿ íàãðóçêè â
âû÷èñëèòåëüíîé ñåòè . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2
Îáìåí èíôîðìàöèåé ãðóïï ÁÏËÀ . . . . . . . . . .
Çàêëþ÷åíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ëèòåðàòóðà
5
8
12
16
16
17
22
29
30
32
38
41
41
44
47
48
3
Àííîòàöèÿ
Íà òåêóùèé ìîìåíò ïîòîêîâûå çàäà÷è ÿâëÿþòñÿ îäíèìè èç êëàññè÷åñêèõ çàäà÷ èíôîðìàòèêè è âõîäÿò â ñòàíäàðòíûå êóðñû áîëüøèíñòâà óíèâåðñèòåòîâ ìèðà. Ýòè çàäà÷è âîçíèêàþò åñòåñòâåííûì îáðàçîì â
óñëîâèÿõ îãðàíè÷åííûõ ïðîïóñêíûõ ñïîñîáíîñòåé, áóäü ýòî êîëè÷åñòâî
ïîëîñ íà äîðîãàõ èëè ïðîïóñêíàÿ ñïîñîáíîñòü êàíàëîâ ñâÿçè â èíôîðìàöèîííûõ ñåòÿõ. Â ýòîé ðàáîòå îïèñàí êëàññ ïîòîêîâûõ çàäà÷, îáùàÿ
öåëü êîòîðûõ çàêëþ÷àåòñÿ â ïðèâåäåíèè ñèñòåìû èç îäíîãî ñîñòîÿíèÿ â
äðóãîå çà íàèìåíüøåå âðåìÿ.  ñëó÷àå, êîãäà ïðîïóñêíûå ñïîñîáíîñòè
íå èçìåíÿþòñÿ ñî âðåìåíåì, çàäà÷à âûðîæäàåòñÿ â îäíó èç õîðîøî èçó÷åííûõ â èíôîðìàòèêå ïîòîêîâûõ çàäà÷ îïòèìèçàöèè. Åñëè ïðîïóñêíûå
ñïîñîáíîñòè ìåíÿþòñÿ ñî âðåìåíåì, òî çàäà÷à çíà÷èòåëüíî óñëîæíÿåòñÿ.
Çàäà÷à ñòàíîâèòñÿ åùå ñëîæíåå, åñëè èçìåíåíèå ïðîïóñêíûõ ñïîñîáíîñòåé ñî âðåìåíåì ñâÿçàíî ñ âíåøíèìè íåèçâåñòíûìè âîçìóùåíèÿìè. Â
ýòîé ðàáîòå îïèñàí ìåòîä ðåøåíèÿ òàêîé çàäà÷è íà îñíîâå óñðåäíåíèÿ:
ñëîæíàÿ äèíàìè÷åñêàÿ çàäà÷à çàìåíÿåòñÿ íà ïðîñòóþ ñòàòè÷åñêóþ, êîòîðóþ ìîæíî áûñòðî ðåøèòü ïîòîêîâûìè ìåòîäàìè îïòèìèçàöèè. Äëÿ
ïîñòðîåíèÿ òàêîé ñòàòè÷åñêîé çàäà÷è äîñòàòî÷íî çíàòü òîëüêî ñðåäíèå
õàðàêòåðèñòèêè ïðîïóñêíûõ ñïîñîáíîñòåé, ÷òî ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü
ýòîò ïîäõîä ïðè íàëè÷èè íåîïðåäåëåííîñòåé. Íàêîíåö, ðàçðàáîòàííûé
ïîäõîä ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ äâóõ êîíêðåòíûõ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷: áàëàíñèðîâàíèå çàãðóçêè âû÷èñëèòåëüíîé ñåòè è ñáîð èíôîðìàöèè ãðóïïîé
áåñïèëîòíûõ ëåòàòåëüíûõ àïïàðàòîâ.
4
1
Ââåäåíèå
 ïîñëåäíèå äåñÿòèëåòèÿ ñåòåâûå òåõíîëîãèè îáðåòàþò âñå áîëüøóþ
àêòóàëüíîñòü, è óæå ñåé÷àñ âîçìîæíîñòü ðåøàòü ðàçëè÷íûå çàäà÷è, âîçíèêàþùèå â ñåòåâûõ ñèñòåìàõ, ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ñàìûõ âàæíûõ ïðèëîæåíèé êîìïüþòåðíûõ è êèáåðíåòè÷åñêèõ íàóê. Êàê è äëÿ ìíîãèõ äðóãèõ
êðóïíûõ îáëàñòåé, ñóùåñòâóåò îãðîìíîå ìíîæåñòâî çàäà÷ ðàçëè÷íûõ ïî
ñâîåé ñòðóêòóðå è âîçìîæíûì ïîäõîäàì ê ðåøåíèþ, â ýòîé îáëàñòè ñêîðåå âñåãî äàæå íå ñóùåñòâóåò óíèâåðñàëüíûõ ïîäõîäîâ ê ðåøåíèþ 95%
âñåõ âîçíèêàþùèõ çàäà÷. Ê õîðîøî èçó÷åííûì òåîðåòè÷åñêèì ìîäåëÿì,
êîòîðûå ÷àùå âñåãî ïðèìåíèìû â òåîðèè è ïðàêòèêå, ìîæíî ïðè÷èñëèòü
òîëüêî íàèáîëåå îáùèå òåîðèþ ãðàôîâ, òåîðèþ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì,
ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè è ò. ï.
Êëàññ çàäà÷, ðàññìàòðèâàåìûé â ýòîé ðàáîòå, íàöåëåí íà èçó÷åíèå ïîòîêîâûõ ïðîöåññîâ â ñåòÿõ. Ïîòîêîâûé ïðîöåññ çàêëþ÷àåòñÿ â äâèæåíèè
÷àñòèö âíóòðè íåêîòîðîé çàìêíóòîé ñèñòåìû, ïðè ýòîì íè îäíà ÷àñòèöà
íå ïîêèäàåò ñèñòåìó, è íè îäíà ÷àñòèöà íå ïðîíèêàåò â ñèñòåìó èçâíå. Â
ýòîé ðàáîòå áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ ñåòåâûå ñèñòåìû, âçàèìîäåéñòâèå êîòîðûõ òðàäèöèîííî ìîäåëèðóåòñÿ ñ ïîìîùüþ òåîðèè ãðàôîâ: âåðøèíû
ãðàôà ÿâëÿþòñÿ ïðîìåæóòî÷íûì ìåñòîì äëÿ õðàíåíèÿ ïîòîêà, à äóãè
(ðåáðà) ÿâëÿþòñÿ ñðåäñòâîì öèðêóëÿöèè ïîòîêà ïî ãðàôó (çäåñü è äàëåå ïðè èñïîëüçîâàíèè òåðìèíà äóãà ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî äâèæåíèå
âîçìîæíî â îäíó ñòîðîíó, à ïðè èñïîëüçîâàíèè òåðìèíà ðåáðî â îáå
ñòîðîíû.  äàëüíåéøèõ ðàçäåëàõ ýòîò íþàíñ áóäåò ôîðìàëèçîâàí áîëåå ñòðîãî, íî ñòîèò èìåòü â âèäó, ÷òî â ïîòîêîâûõ çàäà÷àõ îòñóòñòâóåò
êà÷åñòâåííîå ðàçëè÷èå ìåæäó îðèåíòèðîâàííûì è íåîðèåíòèðîâàííûì
ñëó÷àÿìè). Äðóãèìè ñëîâàìè, ÷àñòèöû ïîòîêà ìîãóò ïåðåìåùàòüñÿ îò îäíîé âåðøèíû äî äðóãîé ïî ðåáðó, ñîåäèíÿþùåé ýòè âåðøèíû.  êà÷åñòâå
ïðàêòè÷åñêèõ ïðèìåðîâ ïîòîêîâûõ ïðîöåññîâ ìîæíî ïðèâåñòè ñëåäóþùèå ñèòóàöèè:
• Äâèæåíèå àâòîìîáèëåé ïî äîðîãàì. Çäåñü ÷àñòèöàìè ïîòîêà ÿâëÿþòñÿ ìàøèíû, ðåáðà äîðîãè / óëèöû, óçëû ïåðåñå÷åíèå äîðîã
/ óëèö.
• Äâèæåíèå æèäêîñòè / ãàçà ïî òðóáîïðîâîäó. ×àñòèöû ïîòîêà
æèäêîñòü èëè ãàç, ðåáðà òðóáû, óçëû òðóáîïðîâîäíûå êðàíû,
ðàñïðåäåëèòåëüíûå ñòàíöèè.
• Äâèæåíèå äàííûõ â èíôîðìàöèîííûõ ñåòÿõ. ×àñòèöû ïîòîêà ïàêåòû äàííûõ, ðåáðà êàíàëû ñâÿçè, âåðøèíû ëîãè÷åñêèå è âû÷èñëèòåëüíûå óñòðîéñòâà.
5
Длина, время перехода
Пропускная
способность
Ðèñ. 1:
Ïàðàìåòðû äóãè â òðàíñïîðòíîé ñåòè.
Ñâîéñòâà, îãðàíè÷åíèÿ è ïàðàìåòðû äâèæåíèÿ ïîòîêà ïî ðåáðó ìîãóò
âàðüèðîâàòüñÿ â çàâèñèìîñòè îò çàäà÷è, íî â öåëîì äëÿ ïîòîêîâûõ çàäà÷
ïðèíÿòû ñëåäóþùèå õàðàêòåðíûå ñâîéñòâà äâèæåíèÿ ïîòîêà:
1. Îáúåì ïîòîêà, êîòîðûé ìîæåò ïðîéòè ïî ðåáðó çà åäèíèöó âðåìåíè (èëè çà ëþáîé êîíå÷íûé èíòåðâàë âðåìåíè) îãðàíè÷åí, òî÷íóþ
âåðõíþþ ãðàíèöó ýòîãî îáúåìà ïðèíÿòî íàçûâàòü ïðîïóñêíîé ñïîñîáíîñòüþ ðåáðà.
2. ×àñòèöû ïîòîêà ïðîõîäÿò ïî ðåáðó íå ìãíîâåííî, à íà ïðîòÿæåíèè
íåêîòîðîãî èíòåðâàëà âðåìåíè.
Êàê èçîáðàæåíî íà ðèñ. 1, â ñëó÷àå òðàíñïîðòíûõ ïîòîêîâ ýòè âåëè÷èíû ìîãóò áûòü èíòåðïðåòèðîâàíû êàê øèðèíà è äëèíà äîðîãè ñîîòâåòñòâåííî.
Êëþ÷åâûì àñïåêòîì ýòîé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ èçó÷åíèå äèíàìè÷åñêèõ
ìîäåëåé ïîòîêîâûõ ïðîöåññîâ, ò.å. òàêèõ ìîäåëåé, êîòîðûå ó÷èòûâàþò
âðåìåííîå èçìåðåíèå. Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ èçó÷åíèå ïðîòåêàþùèõ âî âðåìåíè ïîòîêîâûõ ïðîöåññîâ ìîæåò áûòü ñâåäåíî ê ðàññìîòðåíèþ ñòàöèîíàðíûõ ïîòîêîâûõ çàäà÷. Òàê, íàïðèìåð, â [14] ðàññìîòðåíû ñòàòè÷åñêèå ìåòîäû ìîäåëèðîâàíèÿ òðàíñïîðòíûõ ïîòîêîâ, â [5] (îäíà èç íàèáîëåå ðàííèõ ðàáîò íà ýòó òåìó) è [6] ðàññìîòðåíû äèíàìè÷åñêèå ïîòîêîâûå ïðîöåññû, çàäà÷è íàõîæäåíèÿ îïòèìàëüíîãî ïðîöåññà ñî ñòàòè÷åñêèìè ïðîïóñêíûìè ñïîñîáíîñòÿìè ñâåäåíû ê ñòàòè÷åñêèì ïîòîêîâûì
çàäà÷àì. Ðàáîòû [57] èìåþò ïîñòàíîâêè, ñõîæèå ñ ðàññìàòðèâàåìûìè
â ýòîé ðàáîòå, è, â òîì ÷èñëå, ïîêàçûâàþò àêòóàëüíîñòü ýòèõ çàäà÷.
Ýòè ðàáîòû èìåþò ïðÿìîå îòíîøåíèå ê çàäà÷å î ìàêñèìàëüíîì ïîòîêå
è çàäà÷å ïîòîêà ìèíèìàëüíîé ñòîèìîñòè, ââåäåííûõ â [8]. Íåñìîòðÿ
6
íà áîëåå ïîëóâåêà ñ ìîìåíòà ïîÿâëåíèÿ, ïîñòàíîâêè ýòèõ çàäà÷, äîïóñêàþùèå íåîïðåäåëåííîñòè íåêîòîðûõ õàðàêòåðèñòèê, ïîÿâèëèñü îòíîñèòåëüíî íåäàâíî (ñì. [911]). Ïðè ýòîì, íà äàííûé ìîìåíò îòñóòñòâóþò
ðàáîòû, èçó÷àþùèå ïîòîêîâûå çàäà÷è â óñëîâèÿõ äèíàìè÷åñêè èçìåíÿþùèõñÿ ïàðàìåòðîâ è âíåøíèõ íåêîíòðîëèðóåìûõ âîçìóùåíèé. Àíàëèç
ïîâåäåíèÿ ïîòîêîâûõ ïðîöåññîâ â òàêèõ ñèòóàöèÿõ ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì
òåîðåòè÷åñêèì âêëàäîì ýòîé ðàáîòû.
Ðàáîòà îðãàíèçîâàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì: â ðàçäåëå 2 ïðèâåäåíû îáùèå ñâåäåíèÿ î äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ, ñôîðìóëèðîâàí îáùèé âèä çàäà÷
áåç íåîïðåäåëåííîñòåé, ðàññìàòðèâàåìûõ â ðàáîòå, è ïîëó÷åíî ñâåäåíèå
çàäà÷è íàõîæäåíèÿ îïòèìàëüíîãî ïðîöåññà ê çàäà÷å âûïóêëîé îïòèìèçàöèè.  ðàçäåëå 3 îïèñàíà ñïåöèôèêà ïàðàìåòðîâ ïîòîêîâûõ ïðîöåññîâ
â ðàññìàòðèâàåìûõ çàäà÷àõ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ, ïîäðîáíåå îïèñàíû îïòèìèçàöèîííûå çàäà÷è, êîòîðûå íåîáõîäèìî ðåøèòü äëÿ ïîñòðîåíèÿ îïòèìàëüíîãî ïðîöåññà.  ðàçäåëå 4 ïîäðîáíî îïèñàíû ïîòîêîâûå
çàäà÷è ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, âîçíèêàþùèå ïðè ïîñòðîåíèè îïòèìàëüíîãî ïðîöåññà, è ýôôåêòèâíûå ìåòîäû èõ ðåøåíèÿ.  ðàçäåëå 5
ñîñðåäîòî÷åí îñíîâíîé âêëàä ðàáîòû: ïîêàçàíî, ÷òî åñëè ìåíÿþùèåñÿ
âî âðåìåíè ïðîïóñêíûå ñïîñîáíîñòè ïðèíàäëåæàò êëàññó óñðåäíÿåìûõ
ôóíêöèé (êàê ôóíêöèè ïî âðåìåíè), òî îïòèìàëüíîå âðåìÿ ðàáîòû ñèñòåìû àñèìïòîòè÷åñêè ýêâèâàëåíòíî îïòèìàëüíîìó âðåìåíè ðàáîòû óñðåäíåííîé ñèñòåìû; ïðèâåäåíû ïðèìåðû ïîñòðîåíèÿ ñóáîïòèìàëüíûõ ðåøåíèé â ñòîõàñòè÷åñêèõ ñëó÷àÿõ.  ðàçäåëå 6 ïðèâåäåíû ïðàêòè÷åñêèå
ïðèìåðû äèíàìè÷åñêèõ ïîòîêîâûõ ïðîöåññîâ ñ íåîïðåäåëåííîñòÿìè.
7
2
Îïòèìàëüíûå äèíàìè÷åñêèå ïðîöåññû
Òðàäèöèîííî, äèíàìèêà óïðàâëÿåìîé ñèñòåìû (ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì) îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì
(2.1)
ẋ = f (x, u),
ãäå x(t) = (x1 (t), . . . , xn (t))T ∈ X âåêòîð ñîñòîÿíèÿ (ôàçîâûå ïåðåìåííûå), u(t) = (u1 (t), . . . , um (t))T ∈ U óïðàâëÿþùåå âîçäåéñòâèå. Äàëåå, çàäàíà íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ g(x, u) öåëåâîé ôóíêöèîíàë ìèíèìèçàöèè, êîòîðûé ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ñëîæíîñòü èëè ñòîèìîñòü
óïðàâëåíèÿ u â ñîñòîÿíèè x, â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå âûäåëåíû äâà âåêòîðà (êðàåâûå óñëîâèÿ) x− , x+ ∈ X . Îïòèìàëüíîé òðàåêòîðèåé ñèñòåìû (2.1), ïåðåâîäÿùåé ñèñòåìó èç ñîñòîÿíèÿ x− â ñîñòîÿíèå x+ ïî îòíîøåíèþ ê ôóíêöèîíàëó g(·, ·) ÿâëÿåòñÿ òðàåêòîðèÿ x : [0, τ ] → Rn , x(t) ∈
X è ñîîòâåòñòâóþùåå åé óïðàâëåíèå u : [0, τ ] → Rm , u(t) ∈ U , êîòîðàÿ âìåñòå ñ óïðàâëåíèåì u óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ äèíàìèêè (2.1),
ìèíèìèçèðóåò ôóíêöèîíàë (2.2)
(2.2)
Z
τ
g(x(t), u(t))dt
0
è óäîâëåòâîðÿåò ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (2.3)
(2.3)
x(0) = x− , x(τ ) = x+ .
 ñëó÷àå g(·, ·) ≡ 1 çíà÷åíèå ôóíêöèîíàëà (2.2) ðàâíî τ , à çàäà÷à çàêëþ÷àåòñÿ â íàõîæäåíèè íàèìåíüøåãî âîçìîæíîãî âðåìåíè ïåðåâîäà ñèñòåìû èç ñîñòîÿíèÿ x− â ñîñòîÿíèå x+ . Äàëåå â ðàáîòå áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ òîëüêî òàêèå çàäà÷è.
Îñíîâíûìè èíñòðóìåíòàìè àíàëèçà çàäà÷ îïòèìàëüíûõ ïðîöåññîâ
ÿâëÿþòñÿ óðàâíåíèå Áåëëìàíà (äèíàìè÷åñêîå ïðîãðàììèðîâàíèå [12] è
ïðèíöèï ìàêñèìóìà [13]). Åñëè ïðàâàÿ ÷àñòü (2.1) íå çàâèñèò îò x, òî
íè óðàâíåíèå Áåëëìàíà, íè ïðèíöèï ìàêñèìóìà íå äàþò íèêàêîé ïîëåçíîé èíôîðìàöèè. Ñ òî÷êè çðåíèÿ òåîðèè îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ
òàêèå çàäà÷è ÿâëÿþòñÿ âûðîæäåííûìè, à îñíîâíàÿ ñëîæíîñòü çàêëþ÷àåòñÿ â íàõîæäåíèè ðåøåíèé íåêîòîðûõ ñòàòè÷åñêèõ îïòèìèçàöèîííûõ
çàäà÷. Äàëüíåéøèé àíàëèç ôîðìàëüíî ïîêàçûâàåò âûðîæäåííîñòü òàêîãî êëàññà çàäà÷ (ôîðìóëèðîâêè ïðèíöèïà ìàêñèìóìà è óðàâíåíèÿ Áåëëìàíà äëÿ çàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ïðèâåäåíû â [13]).
Ïóñòü ψ ∈ Rn , îïðåäåëèì ôóíêöèþ H êàê
H(ψ, x, u) = ψ T f (x, u).
8
Ñîãëàñíî ïðèíöèïó ìàêñèìóìà, åñëè u∗ (t) òàêîå óïðàâëåíèå (2.1), ÷òî
âûïîëíÿþòñÿ ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (2.3) è ïðè ýòîì τ ïðèíèìàåò ìèíèìàëüíîå âîçìîæíîå çíà÷åíèå, òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ ôóíêöèÿ ψ(t) ∈ Rn ,
÷òî âäîëü òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ
(2.4)
∀t ∈ [0, τ ] : H(ψ(t), x(t), u∗ (t)) = sup H(ψ(t), x(t), u),
u∈U
∂H
dψ
=−
.
dt
∂x
(2.5)
è
H(ψ(τ ), x(τ ), u∗ (τ )) ≥ 0.
(2.6)
Ïóñòü òåïåðü f (x, u) íå çàâèñèò îò x, ò.å. f (x, u) = F (u). Òîãäà îáå
÷àñòè (2.4) íå çàâèñÿò îò x. Òîãäà â ñèëó (2.5) ψ(t) íå çàâèñèò îò t, à çíà÷èò äëÿ ëþáîé äîïóñòèìîé òðàåêòîðèè x(t) ìîæíî âçÿòü ψ òîæäåñòâåííî
ðàâíîé 0n = (0, . . . , 0)T .
| {z }
n
Ñîãëàñíî ïðèíöèïó äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, ñóùåñòâóåò
ôóíêöèÿ ω(x), òàêàÿ ÷òî
(2.7)
sup ∇ω(x)T f (x, u) = 1,
u∈U
ω(x) ≤ 0, ω(x+ ) = 0. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë ôóíêöèè ω(·) çàêëþ÷àåòñÿ â
òîì, ÷òî −ω(x) ìèíèìàëüíîå âðåìÿ, çà êîòîðîå ìîæíî äîáðàòüñÿ èç
x â x+ . Ïðè ôèêñèðîâàííîì x óïðàâëåíèå u, íà êîòîðîì (2.7) äîñòèãàåò
ìàêñèìóìà, ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíûì îïòèìàëüíûì óïðàâëåíèåì â òî÷êå x.
Òàêèì îáðàçîì, îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå u∗ (t) óäîâëåòâîðÿåò
∀t ∈ [0, τ ] : ∇ω(x(t))T f (x(t), u∗ (t)) = 1.
Äëÿ òðàåêòîðèè x(t), ïîðîæäàåìîé îïòèìàëüíûì óïðàâëåíèåì u∗ (t),
âåêòîð ψ(t) = ∇ω(x(t))T óäîâëåòâîðÿåò (2.5), (2.6) è (2.4), ïðè ýòîì â
ïîñëåäíåì ïðàâàÿ ÷àñòü ðàâíà åäèíèöå, ÷òî íå ïîçâîëÿåò âçÿòü ψ(t) ≡ 0n
äëÿ f (x, u) = F (u). Ïîäñòàâèâ F (u) âìåñòî f (x, u) â (2.7) ïîëó÷àåì,
÷òî ∇ω(x) íå çàâèñèò îò x, à çíà÷èò ω(·) åñòü ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ, ÷òî
ïîçâîëÿåò ñäåëàòü âûâîä, ÷òî îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå ïðèõîäèò â òî÷êó
x+ ïî ïðÿìîé (ïðè óñëîâèè ñóùåñòâîâàíèÿ ôóíêöèè ω ).
Ïóñòü òåïåðü F (u) = Bu, âåêòîð ñîñòîÿíèÿ x(t) ïðèíàäëåæèò â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè íåêîòîðîìó âûïóêëîìó ìíîæåñòâó X , ìíîæåñòâî
9
äîïóñòèìûõ óïðàâëÿþùèõ âîçäåéñòâèé U òàêæå ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì.
Ñîáðàâ âìåñòå âñå óñëîâèÿ, ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó
ìèíèìèçèðîâàòü
(2.8)
ïðè óñëîâèè
τ,
ẋ = Bu,
x(0) = x− ; x(τ ) = x+ ,
x(t) ∈ X,
u(t) ∈ U.
Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî (τ ∗ , u∗ ) îïòèìàëüíîå ðåøåíèå (2.8). Ðàññìîòðèì
Z
∗
1 τ ∗
ū ≡ ∗
u.
τ 0
Òàê êàê ∀t ∈ [0, τ ∗ ] : u∗i (t) ∈ U è U âûïóêëî ïîëó÷àåì
Z ∗
1 τ ∗
u ∈ U.
ū(t) ≡ ∗
τ 0
 ñèëó ñèñòåìû ïîëó÷àåì, ÷òî
∗
−
τ∗
Z
−
x(τ ) = x +
Z
B ū = x +
0
τ∗
Bu∗ = x+ .
0
Òàê êàê óïðàâëÿþùåå âîçäåéñòâèå ïîñòîÿííî, ïîðîæäàåìàÿ òðàåêòîðèÿ
èìååò âèä x(t) = x− + τt∗ (x+ − x− ), â ñèëó âûïóêëîñòè îãðàíè÷åíèé
xi (t) ∈ X è ôàêòà, ÷òî x− è x+ äîïóñòèìûå ñîñòîÿíèÿ, ïîëó÷àåì, ÷òî
ū äîïóñòèìîå óïðàâëåíèå. Òàê êàê ïðè ýòîì îíî ïåðåâîäèò ñèñòåìó
â ñîñòîÿíèå x+ çà îïòèìàëüíîå âðåìÿ τ ∗ , òî ū ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì
óïðàâëåíèåì. Òàêèì îáðàçîì âûïîëíåíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Åñëè â çàäà÷å (2.8) ïðîïóñêíûå ñïîñîáíîñòè íå çàâèñÿò
îò âðåìåíè, ce (t) ≡ c̄e , òî ñóùåñòâóåò îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå, íå
çàâèñÿùåå îò âðåìåíè, ò. å. ôóíêöèÿ u(t) ≡ ū, ÿâëÿþùàÿñÿ ðåøåíèåì
(2.8).
Ë å ì ì à 2.1.
Òåïåðü, ó÷èòûâàÿ âûøåñêàçàííîå, ìîæíî èçáàâèòüñÿ îò äèíàìè÷åñêîé ñîñòàâëÿþùåé (2.8): òàê êàê ëþáàÿ ëèíåéíàÿ òðàåêòîðèÿ, ïåðåâîäÿùàÿ ñèñòåìó èç x− â x+ äîïóñòèìà (â ñèëó âûïóêëîñòè X ), òî äëÿ
íàõîæäåíèÿ ìèíèìàëüíîãî âðåìåíè ïåðåõîäà äîñòàòî÷íî ðåøàòü ñëåäóþùóþ çàäà÷ó îïòèìèçàöèè
(2.9)
ìèíèìèçèðîâàòü
ïðè óñëîâèè
τ,
10
τ Bu = x+ − x− ,
u ∈ U.
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïîñòðîåíèÿ îïòèìàëüíîãî ïðîöåññà â çàäà÷å (2.8)
äîñòàòî÷íî ðåøèòü ñòàòè÷åñêóþ îïòèìèçàöèîííóþ çàäà÷ó (2.9). Ñòîèò
îáðàòèòü âíèìàíèå, ÷òî ïðè τ > 0 ìîæíî ïîäåëèòü ïåðâîå óñëîâèå (2.9)
íà τ è ñäåëàòü çàìåíó λ = τ1 , ïîëó÷àÿ ïðè ýòîì
ìàêñèìèçèðîâàòü
ïðè óñëîâèè
λ,
Bu = λ(x+ − x− ),
u ∈ U.
Òàêàÿ çàäà÷à ïðîùå, ÷åì (2.9), òàê êàê ñîäåðæèò òîëüêî ëèíåéíûå íåðàâåíñòâà. Ó÷èòûâàÿ âûïóêëîñòü U , çàäà÷à ïîäïàäàåò ïîä êëàññ çàäà÷ âûïóêëîé îïòèìèçàöèè, ïîäðîáíî èçó÷åííîé âî ìíîãèõ ðàáîòàõ (ñì. [14,
15]).
11
3
Äèíàìè÷åñêèå ïîòîêîâûå ïðîöåññû
Ñïåöèôèêà ïîòîêîâûõ ïðîöåññîâ áûëà íåôîðìàëüíî îïèñàíà âî ââåäåíèè, ïîñìîòðèì òåïåðü íà ñâîéñòâà ïîòîêîâûõ ïðîöåññîâ ïîäðîáíåå.
Çäåñü è äàëåå áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî äàí íåêîòîðûé îðèåíòèðîâàííûé ãðàô G = hV, Ei, îïèñûâàþùèé ñåòü è âçàèìîäåéñòâèå âíóòðè ýòîé
ñåòè. V ìíîæåñòâî âåðøèí, E ∈ V × V ìíîæåñòâî äóã è ïóñòü
|V | = n, |E| = m. Â ýòîé ñåòè öèðêóëèðóåò ïîòîê, äëÿ êîòîðîãî ìîæíî âûáèðàòü èíòåíñèâíîñòü (èëè ñêîðîñòü) äâèæåíèÿ ïî äóãå. Åñëè ïî
äóãå (i, j) ∈ E çà íåêîòîðûé èíòåðâàë âðåìåíè ïðîøåë åäèíè÷íûé ïîòîê,
òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ýòîò åäèíè÷íûé ïîòîê ñíà÷àëà íàõîäèëñÿ íà âåðøèíå
i, çàòåì ïåðåáðàëñÿ íà âåðøèíó j . Äàëåå ñ÷èòàåì, ÷òî íà êàæäîé âåðøèíå
ñîäåðæèòñÿ íåîãðàíè÷åííîå õðàíèëèùå, êîòîðîå ìîæåò õðàíèòü ÷àñòèöû ïîòîêà, è îáîçíà÷èì ÷åðåç xi (t) êîëè÷åñòâî ïîòîêà, íàõîäÿùååñÿ íà
âåðøèíå i â ìîìåíò âðåìåíè t.  ñèëó ôèçè÷åñêèõ ïðè÷èí îñíîâíîå âîçíèêàþùåå îãðàíè÷åíèå ïðîïóñêíàÿ ñïîñîáíîñòü äóã, îãðàíè÷èâàþùàÿ
ñâåðõó êîëè÷åñòâî ïåðåäàâàåìîãî ïîòîêà ïî äóãå çà åäèíèöó âðåìåíè.
Îáîçíà÷èì çà c = (c1 , . . . , cm )T âåêòîð ïðîïóñêíûõ ñïîñîáíîñòåé.
 êîíòåêñòå äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, x− ÿâëÿåòñÿ íà÷àëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì ïîòîêà ïî ñåòè, x+ æåëàåìîå ðàñïðåäåëåíèå. Ïóñòü B ìàòðèöà
èíöèäåíòíîñòè:
1, e âûõîäèò èç i,
−1, e âõîäèò â i,
Bie =
0
â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ.
Îïòèìàëüíûì ïîòîêîâûì ïðîöåññîì áóäåì íàçûâàòü òðàåêòîðèþ ñëåäóþùåé çàäà÷è
ìèíèìèçèðîâàòü
(3.10)
ïðè óñëîâèè
τ,
ẋ = Bu,
x(0) = x− ; x(τ ) = x+ ,
x(t) ≥ 0,
0 ≤ ue (t) ≤ ce .
Êàê è â (2.8), ïåðåìåííûìè ÿâëÿþòñÿ óïðàâëÿþùåå âîçäåéñòâèå u(t) è
ïåðåìåííûå ñîñòîÿíèÿ x(t), ïðè ýòîì x îäíîçíà÷íî çàäàåòñÿ ÷åðåç u.
Ïðèìåíÿÿ ðàññóæäåíèÿ, îïèñàííûå â ïðåäûäóùåé ãëàâå, ïîëó÷àåì, ÷òî
îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå ìîæíî èñêàòü ñðåäè ïîñòîÿííûõ ôóíêöèé. Áîëåå òîãî, òàêîå îïòèìàëüíîå ñòàòè÷åñêîå óïðàâëåíèå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì
12
çàäà÷è
ìèíèìèçèðîâàòü
ïðè óñëîâèè
τ,
τ Bu = x+ − x− ,
0 ≤ ue ≤ ce
èëè
(3.11)
ìàêñèìèçèðîâàòü
ïðè óñëîâèè
λ,
Bu = λ(x+ − x− ),
0 ≤ ue ≤ ce .
Ïîñëåäíÿÿ ïîñòàíîâêà ÿâëÿåòñÿ çàäà÷åé ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, à
çíà÷èò ê íåé ïðèìåíèìî áîëüøîå êîëè÷åñòâî ìåòîäîâ, äîñòóïíûõ â ñòàíäàðòíûõ ïàêåòàõ (Matlab, Mathematica è ïðî÷èå). Êàê îêàçûâàåòñÿ, ýòà
çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê äîâîëüíî ïîäðîáíî èçó÷åííîé çàäà÷å ïàðàìåòðè÷åñêîãî ïîòîêà. Ñòîèò
Pn îòìåòèòü, ÷òî óðàâíåíèå Bu = p ðàçðåøèìî òîëüêî
òîãäà, êîãäà i=1 pi = 0.
−
0
0
0
0
Îáîçíà÷èì di = x+
i − xi . Ðàññìîòðèì ãðàô G = hV , E i, ãäå V =
V ∪ {s, t} ðàñøèðåíèå V ôèêòèâíûìè âåðøèíàìè èñòîêà s è ñòîêà t,
E = E ∪ Es ∪ Et , Es = {(s, i)|i ∈ V, di < 0}, Et = {(i, t)|i ∈ V, di > 0}.
Ïóñòü ïðîïóñêíûå ñïîñîáíîñòè c0e íà ãðàôå G0 èìåþò âèä
e ∈ E,
ce ,
0
−λdi , e = (s, i) ∈ Es ,
ce =
λdi
e = (i, t) ∈ Et .
Ïðè ôèêñèðîâàííîì λ ñóùåñòâîâàíèå äîïóñòèìîãî âåêòîðà u, ñîîòâåòñòâóþùåãî ýòîìó λ â (3.11) ðàâíîñèëüíî ñóùåñòâîâàíèþ s-t ïîòîêà â
ãðàôå G0 , íàñûùàþùåãî âñå äóãè, èíöèäåíòíûå ñ s (èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, íàñûùàþùåãî âñå äóãè, èíöèäåíòíûå ñ t, ýòîò ôàêò ïîäðîáíî îïèñàí â [16]). Äðóãèìè ñëîâàìè, äîïóñòèìîñòü òîãî èëè èíîãî çíà÷åíèÿ λ
â çàäà÷å (3.11) ìîæíî ïðîâåðèòü, ðåøèâ çàäà÷ó î ìàêñèìàëüíîì ïîòîêå.
Íà ðèñ. 3 èçîáðàæåí ãðàô G0 . Íà ðèñ. 2 èçîáðàæåí ýêâèâàëåíòíûé åìó
ãðàô ñ ôîðìóëèðîâêîé (3.11) ÷åðåç τ , íàãëÿäíî âèäíî, ÷òî âûïîëíåíèå
óñëîâèÿ τ Bu = x+ − x− ñîîòâåòñòâóåò óñëîâèþ íàñûùåíèÿ âñåõ äóã âèäà (s, i) è (i, t). Ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå τ , äëÿ êîòîðîãî âîçìîæåí òàêîé
ïîòîê ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì (3.11).
Ñ äðóãîé
ñòîðîíû, åñëè (λ, u) äîïóñòèìàÿ òî÷êà (3.11), òî ∀λ0 < λ,
0
λ0 , λλ u òîæå äîïóñòèìàÿ òî÷êà (3.11). Ñëåäîâàòåëüíî, ìàêñèìàëüíîå
çíà÷åíèå λ ìîæíî íàéòè ìåòîäîì áèñåêöèè (äèõîòîìèÿ, äåëåíèå îòðåçêà
ïîïîëàì), äëÿ êîòîðîãî íóæíî ïîäîáðàòü íà÷àëüíûé îòðåçîê, êîòîðûé
ñîäåðæèò îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå λ. Ëåâóþ ãðàíèöó ýòîãî îòðåçêà ìîæíî
13
Ðàñøèðåííûé ãðàô (ôîðìóëèðîâêà ÷åðåç τ ). Äëÿ íàãëÿäíîñòè äóãè ïðîèíäåêñèðîâàíû äâóìÿ áóêâàìè íà÷àëîì è êîíöîì äóãè.
Ðèñ. 2:
Ðàñøèðåííûé ãðàô (ôîðìóëèðîâêà ÷åðåç λ). Äëÿ íàãëÿäíîñòè äóãè ïðîèíäåêñèðîâàíû äâóìÿ áóêâàìè íà÷àëîì è êîíöîì äóãè.
Ðèñ. 3:
14
âçÿòü ðàâíîé íóëþ. Ïðàâóþ ãðàíèöó ìîæíî âçÿòü èç íåðàâåíñòâà
λ
X
di ≤
ce .
e∈E
di >0
Òàêèì îáðàçîì, îáîçíà÷èâ r0 =
X
P
c
P e∈E e
d >0 di
ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ íàõîæäåíèÿ
i
-òî÷íîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è (3.11) äîñòàòî÷íî ðåøèòü íå áîëåå ÷åì
log2
r0
çàäà÷ ìàêñèìàëüíîãî ïîòîêà íà ãðàôå G0 (ñ ðàçëè÷íûìè çíà÷åíèÿìè λ).
Êàê îïèñàíî â [17], ïî ðÿäó êîìáèíàòîðíûõ ñîîáðàæåíèé öåëåñîîáðàçíà àäàïòàöèÿ ìåòîäà ïðîòàëêèâàíèÿ ïðåäïîòîêà, ðàçðàáîòàííîãî â [18],
äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è. Îáùèé àëãîðèòì, ïðåäëîæåííûé â [17], ìîæíî îïèñàòü êàê ïðèìåíåíèå ïîäîáíîé ìåòîäó Íüþòîíà ïðîöåäóðû âìåñòî
ìåòîäà áèñåêöèè (ïîäðîáíåå â ñëåäóþùåì ðàçäåëå).
15
Задача линейного
программирования
Задача выпуклого
программирования
Задача о потоке
минимальной
стоимости
Нелинейные
потоковые задачи
Задача о
максимальном
динамическом потоке
Задача о
параметрическом
потоке
Задачи о многотипных
потоках
Задача о
максимальном потоке
Ðèñ. 4:
4
4.1
Ïîòîêîâûå çàäà÷è â èíôîðìàòèêå.
Ìåòîä ïðîòàëêèâàíèÿ ïðåäïîòîêà äëÿ
ïîòîêîâûõ çàäà÷ ëèíåéíîãî
ïðîãðàììèðîâàíèÿ
Îáùàÿ êëàññèôèêàöèÿ ïîòîêîâûõ çàäà÷
Ïîòîêîâûå çàäà÷è ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé öåëóþ îòäåëüíóþ îáëàñòü èíôîðìàòèêè. Íà ðèñ. 4 ïîêàçàíû îñíîâíûå òèïû ïîòîêîâûõ çàäà÷ è çàâèñèìîñòü ìåæäó íèìè. Íàèáîëåå ðåëåâàíòíûìè ê ýòîé ñòàòüå ÿâëÿþòñÿ
çàäà÷à î ìàêñèìàëüíîì ïîòîêå, çàäà÷à î ïàðàìåòðè÷åñêîì ïîòîêå è çàäà÷à î ìàêñèìàëüíîì äèíàìè÷åñêîì ïîòîêå. Ïåðâûå äâå èãðàþò àêòèâíóþ
ðîëü â ðåøåíèè (2.8).  çàäà÷å î ìàêñèìàëüíîì ïîòîêå ïðåäïîëàãàåòñÿ,
÷òî ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé âåðøèíû íà äðóãóþ ÷àñòèöà ïîòîêà ìãíîâåííî
ïðîõîäèò ïî äóãå è îêàçûâàåòñÿ íà ìåñòå íàçíà÷åíèÿ. Òåì íå ìåíåå, êîëè÷åñòâî ÷àñòèö ïîòîêà, ïðîõîäÿùèõ ïî ðåáðó çà åäèíèöó âðåìåíè, îãðàíè÷åíî.  çàäà÷å î ìàêñèìàëüíîì äèíàìè÷åñêîì ïîòîêå ïðåäïîëàãàåòñÿ,
÷òî ÷àñòèöà ïîòîêà ñîâåðøàåò äâèæåíèå ïî ðåáðó â òå÷åíèå íåêîòîðîãî
ïðîìåæóòêà âðåìåíè.  äàëüíåéøåì àíàëèçå ïîäîáíàÿ âåëè÷èíà òàêæå
áóäåò ïðèñóòñòâîâàòü â ìîäåëÿõ, îäíàêî ñâÿçü ñ çàäà÷åé äèíàìè÷åñêîãî
16
ïîòîêà áóäåò ìèíèìàëüíà. Ïîäðîáíîå îïèñàíèå çàäà÷è î ìàêñèìàëüíîì
äèíàìè÷åñêîì ïîòîêå ìîæíî íàéòè â [6, 7].
 çàäà÷å î ïàðàìåòðè÷åñêîì ïîòîêå ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëåäóþùèé âîïðîñ: åñëè ïðîïóñêíûå ñïîñîáíîñòè äóã çàâèñÿò îò íåêîòîðîãî ñêàëÿðíîãî
ãëîáàëüíîãî ïàðàìåòðà, êàê âåëè÷èíà ìàêñèìàëüíîãî ïîòîêà çàâèñèò îò
çíà÷åíèÿ ýòîãî ïàðàìåòðà? Êëþ÷åâîé âîïðîñ èññëåäîâàíèÿ ýòîé çàäà÷è
äîâîëüíî ïðîñò: â êàêèõ ñëó÷àÿõ âîçìîæíî ðåøåíèå òàêîé çàäà÷è áûñòðåå, ÷åì íåïîñðåäñòâåííîå ðåøåíèå çàäà÷è î ìàêñèìàëüíîì ïîòîêå äëÿ
âñåõ âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà?  ðàáîòå [17] ïðåäëîæåí íàèáîëåå
ñóùåñòâåííûé âêëàä ïî ýòîé çàäà÷å. Äëÿ îáøèðíîãî êëàññà âûðàáîòàí
ìåòîä íàõîæäåíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ïàðàìåòðè÷åñêîãî ïîòîêà, êîòîðûé
ïî âðåìåíè ðàáîòû ýêâèâàëåíòåí ðåøåíèþ îäíîé çàäà÷è î ìàêñèìàëüíîì ïîòîêå ìåòîäîì ïðîòàëêèâàíèÿ ïðåäïîòîêà. Çàäà÷è î ìíîãîòèïíûõ
ïîòîêàõ (àíãë.
multicommodity ows) ÿâëÿþòñÿ ðàñøèðåíèåì çàäà÷è î ìàêñèìàëüíîì
ïîòîêå íà ñëó÷àé, êîãäà â ñåòè åñòü íåñêîëüêî òèïîâ ïîòîêîâ ñî ñâîèìè ñîáñòâåííûìè èñòîêàìè è ñòîêàìè, êîòîðûå äåëÿò îäíè ïðîïóñêíûå
ñïîñîáíîñòè (ñì. [19, 20]). Òàêèå îãðàíè÷åíèÿ ÿâëÿþòñÿ òèïè÷íûìè äëÿ
òðàíñïîðòíûõ ïîòîêîâ. Ê íåëèíåéíûì ïîòîêîâûì çàäà÷àì ìîæíî îòíåñòè çàäà÷è ïîòîêîâ ñ ìèíèìàëüíîé ýíòðîïèåé [21, 22], ýëåêòðè÷åñêèå
ïîòîêè [23], à òàêæå íåêîòîðûå ïðèìåðû ïðèâåäåíû â [4, 15].
4.2
Çàäà÷à î ìàêñèìàëüíîì ïîòîêå
Òðàäèöèîííî çàäà÷à î ìàêñèìàëüíîì ïîòîêå ñòàâèòñÿ â ñëåäóþùåì
âèäå:
(4.12)
P
P
ìàêñèìèçèðîâàòü val(f ) = e∈in(t) fe − e∈out(t) fe ,
P
e∈in(i) fe −
0 ≤ fe ≤ ce ,
ïðè óñëîâèè
P
e∈out(i) fe
= 0, i ∈ V, i 6= s, t,
ãäå ïåðåìåííûìè ÿâëÿþòñÿ âåëè÷èíû ïîòîêà ïî äóãàì f1 , . . . , fm (çäåñü
è äàëåå f = (f1 , . . . , fm )T ), in(i) ìíîæåñòâî âõîäÿùèõ â i äóã, out(i)
ìíîæåñòâî äóã, èñõîäÿùèõ èç i. Ïåðâîå óñëîâèå îçíà÷àåò, ÷òî ïîòîê íå
çàäåðæèâàåòñÿ â ïðîìåæóòî÷íûõ âåðøèíàõ. Åäèíñòâåííûå äâå âåðøèíû
ñ íåîòðèöàòåëüíîé ðàçíîñòüþ âõîäÿùèõ / èñõîäÿùèõ ïîòîêîâ s è t.
Áîëåå òîãî,
X
e∈in(t)
fe −
X
fe = −
X
e∈in(s)
e∈out(t)
17
fe −
X
e∈out(s)
fe .
Âïåðâûå â òàêîì âèäå çàäà÷à áûëà ñôîðìóëèðîâàíà â [24].  ýòîé
æå ðàáîòå ïîÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ òåîðåìà çàäà÷è ìàêñèìàëüíîãî
ïîòîêà (ò. Ôîðäà-Ôàëêåðñîíà).
Ðàññìîòðèì íåêîòîðîå ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà V íà äâà ïîäìíîæåñòâà
S, V \ S òàêèõ, ÷òî s ∈ S, t ∈ V \ S . Òàêîå ðàçáèåíèå ïðèíÿòî íàçûâàòü
s − t ðàçðåçîì èëè ïðîñòî ðàçðåçîì. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Cut(S) âåëè÷èíó
òàêîãî ðàçðåçà
(4.13)
X
Cut(S) =
ce .
e=(i,j)∈E,i∈S,j∈V \S
Äðóãèìè ñëîâàìè, Cut(S) ñóììà ïðîïóñêíûõ ñïîñîáíîñòåé äóã, íà÷àëî
êîòîðûõ ëåæèò â S , à êîíåö â V \ S . Ëåãêî óâèäåòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî
äîïóñòèìîãî ïîòîêà f è ðàçðåçà S âûïîëíÿåòñÿ val(f ) ≤ Cut(S).
Äàëåå, îñòàòî÷íîé ñåòüþ ïîòîêà f ñ ïðîïóñêíûìè ñïîñîáíîñòÿìè c
íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî
Ecf = {(i, j)|e = (i, j) ∈ E, fe < ce } ∪ {(j, i)|e = (i, j) ∈ E, fe > 0}.
Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ïîêàçûâàåò, ÷òî ââåäåííûå âåëè÷èíû òåñíî ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé.
(Ôîðäà-Ôàëêåðñîíà [24]). Ñëåäóþùèå òðè óòâåðæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû:
Ò å î ð å ì à
4.1
1. Ïîòîê f ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíûì.
2. Äëÿ íåêîòîðîãî ðàçðåçà S âûïîëíÿåòñÿ f = Cut(s).
3.  îñòàòî÷íîé ñåòè Ecf íå ñóùåñòâóåò ïóòè èç s â t.
Ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî åñëè f ìàêñèìàëüíûé ïîòîê, òî ñîîòâåòñòâóþùèé åìó ðàçðåç ìîæíî âçÿòü êàê ìíîæåñòâî äîñòèæèìûõ èç s âåðøèí
ïî ðåáðàì îñòàòî÷íîé ñåòè Ecf . Äëÿ íàõîæäåíèÿ òàêîãî ðàçðåçà äîñòàòî÷íî âûïîëíèòü ñëåäóþùóþ ïðîöåäóðó:
18
Function
Minimum cut(G, c, f )
S ← ∅;
Q ← {s};
D ← {s};
while Q 6= ∅ do
i ← any element of Q;
Q ← Q \ {i};
S ← S ∪ {i};
for (i, j) ∈ Ecf do
if j ∈
/ D then
Q ← Q ∪ {j};
D ← D ∪ {j};
return S ;
Ñ òî÷êè çðåíèÿ ñîâðåìåííîé òåîðèè ìàòåìàòè÷åñêîé îïòèìèçàöèè,
òåîðåìà 4.1 ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì äâîéñòâåííîñòè â çàäà÷àõ ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Ýêâèâàëåíòíîñòü 1-2 ïîêàçûâàåò, ÷òî åñëè ïîëó÷åíû äîïóñòèìûå òî÷êè ïðÿìîé è äâîéñòâåííîé çàäà÷è, òàêèå ÷òî çíà÷åíèÿ ôóíêöèîíàëîâ ïðÿìîé è äâîéñòâåííîé çàäà÷è ðàâíû, òî ýòè òî÷êè ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè ïðÿìîé è äâîéñòâåííîé çàäà÷è ñîîòâåòñòâåííî.
Ïóíêò 3 âûâîäèòñÿ èç óñëîâèé äîïîëíÿþùåé íåæåñòêîñòè. Òåì íå ìåíåå,
ôîðìà òåîðåìû áîëåå ïðîñòà íåæåëè äâîéñòâåííîñòü ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ è, áîëåå òîãî, äàåò êîìáèíàòîðíûé êðèòåðèé îïòèìàëüíîñòè
ðåøåíèÿ.
Íàèáîëåå ïîäðîáíûé îáçîð ìåòîäîâ ðåøåíèÿ çàäà÷è ìàêñèìàëüíîãî
ïîòîêà ïðåäîñòàâëåí â [25]. Ìåòîä ïðîòàëêèâàíèÿ ïðåäïîòîêà áûë âïåðâûå ïðèìåíåí â [26] è ïîçäíåå îôîðìëåí â [18] êàê ñàìîñòîÿòåëüíûé
ìåòîä. Äî âîçíèêíîâåíèÿ ìåòîäà ïðîòàëêèâàíèÿ ïðåäïîòîêà îñíîâíûì
ñïîñîáîì ðåøåíèÿ çàäà÷è ìàêñèìàëüíîãî ïîòîêà ÿâëÿëèñü ðàçëè÷íûå
àëãîðèòìû ïîñëåäîâàòåëüíîãî íàõîæäåíèÿ äîïîëíÿþùèõ ïóòåé â îñòàòî÷íîé ñåòè. Èç ïóíêòà 3 è îïðåäåëåíèÿ îñòàòî÷íîé ñåòè ìîæíî âûâåñòè
áàçîâûé àëãîðèòì Ôîðäà-Ôàëêåðñîíà: ïîêà â îñòàòî÷íîé ñåòè åñòü ïóòü
èç s â t, óâåëè÷èòü ïîòîê âäîëü ïóòè íà íåêîòîðóþ ïîëîæèòåëüíóþ âåëè÷èíó. Åñëè òàêîé àëãîðèòì ñõîäèòñÿ, òî ðåçóëüòèðóþùèé ïîòîê ÿâëÿåòñÿ
ìàêñèìàëüíûì1 .
Ïåðåéäåì ê îïèñàíèþ ìåòîäà ïðîòàëêèâàíèÿ ïðåäïîòîêà [18]. Ïðåäïîòîêîì íàçûâàåòñÿ âåêòîð (f1 , . . . , fm )T , óäîâëåòâîðÿþùèé ñëåäóþùèì
1 Ïî
òàêîìó ïðèíöèïó óñòðîåíû ïåðâûå àëãîðèòìû íàõîæäåíèÿ ìàêñèìàëüíîãî ïîòîêà. Áîëåå
òîãî, îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ñèìïëåêñ-ìåòîä â ïðèìåíåíèè ê ýòîé çàäà÷å äåéñòâóåò àíàëîãè÷íî.
19
óñëîâèÿì
excess(i, f ) =
0 ≤ fe ≤ ce ,
P
e∈in(i) fe −
P
e∈out(i) fe
≥ 0, i ∈ V, i 6= s,
Îñòàòî÷íàÿ ñåòü äëÿ ïðåäïîòîêà îïðåäåëÿåòñÿ òî÷íî òàê æå, êàê è äëÿ
ïîòîêà. Äàëåå, ðàññìîòðèì âåêòîð h = (h1 , . . . , hn )T ∈ Zn+ (hi ïðèíèìàåò
òîëüêî öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ). Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ïðåäïîòîê f äîïóñêàåò âåêòîð h, åñëè
hs = n, ht = 0,
∀(i, j) ∈ Ecf : hi ≤ hj + 1.
Îáùàÿ èäåÿ ìåòîäà ïðåäïîòîêîâ ñîñòîèò â òîì, ÷òî åñëè ïðåäïîòîê
äîïóñêàåò h, òî â îñòàòî÷íîé ñåòè îòñóòñòâóåò äîïîëíÿþùèé ïóòü. Åñëè
ïðè ýòîì ïðåäïîòîê ÿâëÿåòñÿ ïîòîêîì, òî âûïîëíåíà òåîðåìà ÔîðäàÔàëêåðñîíà, è ýòîò ïîòîê èìååò ìàêñèìàëüíóþ âåëè÷èíó. Âñå èçìåíåíèÿ
â àëãîðèòìå ïðîèñõîäÿò ñ ïîìîùüþ äâóõ ôóíêöèé push è relabel (áóäóò
îïèñàíû äàëåå). Àëãîðèòì èíèöèàëèçèðóåòñÿ ñëåäóþùåé ïðîöåäóðîé
Procedure
for
Initialize(G, c, f , h)
e ∈ E do
if e = (s, i), i ∈ V
fe ← ce ;
then
else
fe ← 0;
for
i 6= s do
hi ← 0;
hs ← n;
Çàìåòèì, ÷òî ïîñëå ïðèìåíåíèÿ òàêîé ïðîöåäóðû, f äîïóñêàåò h. Äàëåå, îïåðàöèÿ push èçìåíÿåò f , à relabel èçìåíÿåò h.
Procedure push(G, i, e, c, f , h)
if
hi = hj + 1 then // e = (i, j)
val ← min(excess(i, f ), ce − fe );
fe ← fe + val;
20
Procedure
relabel(G, i, c, f , h)
val ← 2n;
for (i, j) ∈ Ecf do
val ← min(val, hj );
hi ← val + 1;
Îáùàÿ ïðîöåäóðà ïðîòàëêèâàíèÿ ïðåäïîòîêà çàêëþ÷àåòñÿ â ïîñëåäîâàòåëüíîì ïðèìåíåíèè push è relabel, ïîêà âîçìîæíî èçìåíåíèå ïðåäïîòîêà ýòèìè îïåðàöèÿìè. Îòìåòèì òîò ôàêò, ÷òî relabel(u) íèêîãäà
íå óìåíüøàåò çíà÷åíèå hu . Áîëåå òîãî, åñëè ê âåðøèíå i ïðèìåíèìà (â
òîì ñìûñëå, ÷òî â ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ èçìåíèòñÿ f èëè h) îïåðàöèÿ
push(i, e) äëÿ íåêîòîðîãî e ∈ Ecf ∩ (in(i) ∪ out(i)), òî äëÿ ýòîé æå âåðøèíû i íå ïðèìåíèìà îïåðàöèÿ ralebel(i) è íàîáîðîò: åñëè ïðèìåíèìà
îïåðàöèÿ relabel(i), òî íè äëÿ êàêîãî e íå ïðèìåíèìà îïåðàöèÿ push(i, e).
Preow push(G, c)
Initialize(G, f , h);
Function
∃i ∈ V, i 6= s, t : excess(i) > 0 do
Apply push(G, i, e, c, f , h) or relabel(G, i, c, f , h) whichever is
applicable;
while
return f ;
 ýòîé ñòàòüå ìû íå áóäåì ïîâòîðÿòü ïîëíûé àíàëèç ýòîãî àëãîðèòìà,
òåì íå ìåíåå ñòîèò âûäåëèòü êëþ÷åâûå ñâîéñòâà. Äàëåå ñ÷èòàåì, ÷òî îäíà èòåðàöèÿ àëãîðèòìà ïðîòàëêèâàíèÿ ïðåäïîòîêà çàêëþ÷àåòñÿ â îäíîì
ïðèìåíåíèè îïåðàöèè push èëè relabel.
1. Íà ëþáîé èòåðàöèè àëãîðèòìà ïðåäïîòîê f äîïóñêàåò h.
2. Íà ëþáîé èòåðàöèè àëãîðèòìà äëÿ ëþáîé âåðøèíû i ñ ïîëîæèòåëüíûì èçáûòêîì (excess(i)>0) ñóùåñòâóåò ïóòü äî s â îñòàòî÷íîé ñåòè. Ó÷èòûâàÿ îïðåäåëåíèå îñòàòî÷íîé ñåòè è òîò ôàêò, ÷òî
relabel(i) ïðèìåíÿåòñÿ òîëüêî ê âåðøèíàì ñ ïîëîæèòåëüíûì èçáûòêîì, ïîëó÷àåì, ÷òî íà ëþáîé èòåðàöèè àëãîðèòìà äëÿ ëþáîé
âåðøèíû i âûïîëíÿåòñÿ hi ≤ 2n − 1. Òàêæå, â ÷àñòíîñòè, ýòî ïîêàçûâàåò, ÷òî ó âåðøèíû ñ ïîëîæèòåëüíûì èçáûòêîì ñóùåñòâóåò
èñõîäÿùàÿ äóãà, ïðèíàäëåæàùàÿ îñòàòî÷íîé ñåòè, à çíà÷èò, ê íåé
ïðèìåíèì push èëè relabel.
3. Íà ëþáîé èòåðàöèè àëãîðèòìà â îñòàòî÷íîé ñåòè íå ñóùåñòâóåò
ïóòè èç s â t.
21
4. Åñëè îïåðàöèè ïðèìåíÿþòñÿ â ïðîèçâîëüíîì ïîðÿäêå, òî àëãîðèòì
çàêîí÷èò ðàáîòó çà O(n2 m) èòåðàöèé. Åñëè àëãîðèòì çàâåðøàåòñÿ, òî âñå âåðøèíû êðîìå ñòîêà è èñòîêà èìåþò íóëåâîé èçáûòîê.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïîñëå çàâåðøåíèÿ àëãîðèòìà ïðåäïîòîê f ÿâëÿåòñÿ
ïîòîêîì. Èç ïðåäûäóùåãî ñâîéñòâà è ò. Ôîðäà-Ôàëêåðñîíà ïîëó÷àåì, ÷òî f ìàêñèìàëüíûé ïîòîê.
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïîðÿäîê ïðèìåíåíèÿ îïåðàöèé ñèëüíî âëèÿåò íà
âðåìÿ ðàáîòû àëãîðèòìà. Íà äàííûé ìîìåíò â [27] ïîêàçàíà òåîðåòè÷åñêàÿ îöåíêà O(nm) íà êîëè÷åñòâî èòåðàöèé àëãîðèòìà (è, ÷òî áîëåå
âàæíî, òàêàÿ æå îöåíêà íà êîëè÷åñòâî àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé ñëîæåíèé è ñðàâíåíèé).
4.3
Çàäà÷à î ïàðàìåòðè÷åñêîì ïîòîêå
Ïóñòü òåïåðü ïðîïóñêíûå ñïîñîáíîñòè ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè íåêîòîðîãî ãëîáàëüíîãî íåîòðèöàòåëüíîãî ïàðàìåòðà, ce : [0, +∞) → [0, +∞). Â
îáùåì ñìûñëå çàäà÷à î ïàðàìåòðè÷åñêîì ïîòîêå çàêëþ÷àåòñÿ â íàõîæäåíèè ìàêñèìàëüíîãî ïîòîêà äëÿ âñåõ çíà÷åíèé ýòîãî ïàðàìåòðà. Áîëåå
ôîðìàëüíî, äàí ãðàô G è íàáîð ïðîïóñêíûõ ñïîñîáíîñòåé c1 (·), . . . , cm (·)
ôóíêöèé îäíîãî ñêàëÿðíîãî ïàðàìåòðà. Äëÿ êàæäîãî âîçìîæíîãî λ
íóæíî íàéòè ðåøåíèå çàäà÷è î ìàêñèìàëüíîì ïîòîêå íà ãðàôå G ñ ïðîïóñêíûìè ñïîñîáíîñòÿìè c1 (λ), . . . , cm (λ). Òàêàÿ ôîðìóëèðîâêà ïðèíÿòà
â òåîðèè, îäíàêî íà ïðàêòèêå îáû÷íî âñòðå÷àþòñÿ áîëåå êîíêðåòíûå çàäà÷è. Íàïðèìåð, ïîñòðîèòü ìàêñèìàëüíûé ïîòîê äëÿ êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà λ1 , . . . , λk . Êàê îêàçûâàåòñÿ, òàêóþ çàäà÷ó ìîæíî ðåøèòü áûñòðåå,
÷åì ïîñëåäîâàòåëüíûì ðåøåíèåì k ýêçåìïëÿðîâ çàäà÷ î ìàêñèìàëüíîì
ïîòîêå (ïî çàäà÷å íà êàæäîå çíà÷åíèå λi ). Äàëåå áóäóò îïèñàíû îñíîâíûå
êîíöåïöèè, ïðåäëîæåííûå â [17] äëÿ ïîñòðîåíèÿ ýôôåêòèâíîãî ìåòîäà
çàäà÷è î ïàðàìåòðè÷åñêîì ïîòîêå.
Ñðåäè âñåõ çàäà÷ î ïàðàìåòðè÷åñêîì ïîòîêå âûäåëÿþòñÿ äâà êëþ÷åâûõ ïîäêëàññà:
• Ïðîïóñêíûå ñïîñîáíîñòè îáëàäàþò
òîííîñòè
ce (λ) íå óáûâàåò
ce (λ) íå âîçðàñòàåò
(4.14)
ce (λ) ïîñòîÿííà
ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè ìîíîïðè e = (s, i), i 6= t,
ïðè e = (i, t), i 6= s,
â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ .
• Ïðîïóñêíûå ñïîñîáíîñòè ëèíåéíû ïî λ.
22
Ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî ýòè äâà êëàññà ïåðåñåêàþòñÿ, è, áîëåå òîãî, äàëåå â
ðàáîòå áóäóò ïðèâåäåíû ïðàêòè÷åñêèå ïðèìåðû çàäà÷, ãäå îáà ñâîéñòâà
àêòèâíî èñïîëüçóþòñÿ.
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó î ïàðàìåòðè÷åñêîì ïîòîêå, óäîâëåòâîðÿþùåé (4.14).
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ çíà÷åíèÿ λ áûë ïîñòðîåí ìàêñèìàëüíûé ïîòîê
ìåòîäîì ïðåäïîòîêîâ, è â ðåçóëüòàòå áûëè ïîëó÷åíû äâà âåêòîðà f è h,
f äîïóñêàåò h. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òîáû ïîñ÷èòàòü ìàêñèìàëüíûé ïîòîê äëÿ
λ0 > λ, ìîæíî èñïîëüçîâàòü ðåçóëüòàò, ïîëó÷åííûé äëÿ λ. Ðàññìîòðèì
(4.15)
max(ce (λ0 ), fe ),
min(ce (λ0 ), fe ),
fe0 =
fe ,
e = (s, i), hi < n,
e = (i, t),
äëÿ îñòàëüíûõ äóã.
Ïî ñðàâíåíèþ ñ f ïîòîê íà äóãàõ, âûõîäÿùèõ èç èñòîêà, ìîæåò òîëüêî
óâåëè÷èòüñÿ, à ïîòîê íà äóãàõ, âõîäÿùèõ â ñòîê, ìîæåò òîëüêî óìåíüøèòüñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, f 0 ïðåäïîòîê. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â îñòàòî÷íîé
ñåòè Ecf 0 ïî ñðàâíåíèþ ñ Ecf 0 ìîãëè ïîÿâèòüñÿ òîëüêî ðåáðà âèäà (s, i)
ïðè hi ≥ n è (i, s) ïðè hi < n, à çíà÷èò f 0 äîïóñêàåò h. Èç ýòîãî ñëåäóåò,
÷òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìàêñèìàëüíîãî ïîòîêà äëÿ λ0 ìîæíî èñïîëüçîâàòü
íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ ïîòîêà f 0 è h.  [17] áîëåå ïîäðîáíî ïîêàçàíî, ÷òî
ïðè èñïîëüçîâàíèè ìåòîäà ïðîòàëêèâàíèÿ ïðåäïîòîêà âû÷èñëåíèå ìàêñèìàëüíîãî ïîòîêà ïîñëåäîâàòåëüíî äëÿ λ1 ≤ . . . ≤ λk ýêâèâàëåíòíî
(â õóäøåì ñëó÷àå) âû÷èñëåíèþ ìàêñèìàëüíîãî ïîòîêà äëÿ îäíîãî çíà÷åíèÿ λ. Åñëè íóæíî âû÷èñëèòü ìàêñèìàëüíûé ïîòîê ïîñëåäîâàòåëüíî
äëÿ λ1 ≥ . . . ≥ λk , òî ìîæíî èñïîëüçîâàòü àíàëîãè÷íóþ ñõåìó, åñëè
âû÷èñëÿòü ïîòîê íå íà ãðàôå G, à íà åãî ðàçâåðíóòîì âàðèàíòå GR
(ãðàô GR ïîëó÷àåòñÿ èç G èçìåíåíèåì îðèåíòàöèè âñåõ äóã íà ïðîòèâîïîëîæíîå è îáìåíîì ìåñòàìè èñòîêà è ñòîêà). Åñëè äëÿ G âûïîëíÿåòñÿ
(4.14), òî äëÿ GR âûïîëíÿåòñÿ àíàëîãè÷íîå ñâîéñòâî, íî ñ èçìåíåíèåì
çíàêà ìîíîòîííîñòè. Òàêèì îáðàçîì, íàéäÿ äëÿ íåêîòîðîãî çíà÷åíèÿ λ
ìàêñèìàëüíûé ïîòîê f â ãðàôå GR , êîòîðûé äîïóñêàåò h, âçÿâ λ0 < λ
è ñîîòâåòñòâóþùèé ïîòîê f 0 èç (4.15), ïî âûøåñêàçàííûì ñîîáðàæåíèÿì
ïîëó÷àåì, ÷òî f 0 äîïóñêàåò h.
Òåïåðü ïîñìîòðèì íà ñëó÷àé ëèíåéíûõ ïî λ ïðîïóñêíûõ ñïîñîáíîñòåé
è, â ÷àñòíîñòè, íà çàäà÷ó (3.11). Äëÿ àíàëèçà óäîáíåå ðàññìàòðèâàòü
âåëè÷èíó s−t ðàçðåçà, íåæåëè âåëè÷èíó ïîòîêà. Àäàïòèðóÿ îïðåäåëåíèå
(4.13) äëÿ ïàðàìåòðè÷åñêîãî ñëó÷àÿ ïîëó÷àåì
(4.16)
X
Cut(S, λ) =
ce (λ).
e=(i,j)∈E,i∈S,j∈V \S
Èç òåîðåìû Ôîðäà-Ôàëêåðñîíà ñëåäóåò, ÷òî çíà÷åíèå ìàêñèìàëüíîãî ïî23
òîêà ðàâíî çíà÷åíèþ ìèíèìàëüíîãî ðàçðåçà. Åñëè ïðîïóñêíûå ñïîñîáíîñòè ëèíåéíûå ôóíêöèè, òî Cut(S, λ) ëèíåéíà ïî λ, minS Cut(S, λ) ÿâëÿåòñÿ ìèíèìóì ëèíåéíûõ ôóíêöèé êóñî÷íî-ëèíåéíàÿ âûïóêëàÿ ââåðõ
ôóíêöèÿ. Îáîçíà÷èì
M incut(λ) = minS Cut(S, λ). Òî÷êîé èçëîìà áóäåì íàçûâàòü òàêîå çíà÷åíèå λ, ÷òî äëÿ ëþáîãî > 0 ñóùåñòâóþò òàêèå ðàçðåçû S1 , S2 , ÷òî
M incut(λ) = Cut(S1 , λ) = Cut(S2 , λ),
íî
Cut(S1 , λ + ) > Cut(S2 ), λ + )
è
Cut(S1 , λ − ) < Cut(S2 ), λ − ).
Ãåîìåòðè÷åñêè òî÷êà èçëîìà åñòü òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ïðÿìûõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ âåëè÷èíàì ðàçðåçîâ S1 è S2 . Åñëè äëÿ ôóíêöèé ïðîïóñêíûõ ñïîñîáíîñòåé âûïîëíÿåòñÿ (4.14) (â ýòîì ñëó÷àå äàæå íå íóæíà ëèíåéíîñòü), òî òàêèõ òî÷åê áóäåò íå áîëüøå n − 1 (çäåñü n îáùåå êîë-âî
âåðøèí, âêëþ÷àÿ ñòîê è èñòîê), ïîäðîáíîñòè â [17].
Èç ñîîáðàæåíèé, îïèñàííûõ â ðàçäåëå 3, îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå (3.11)
ñîîòâåòñòâóåò ìèíèìàëüíîé òî÷êè èçëîìà M incut(λ) äëÿ áëèçêèõ ê íóëþ λ ìèíèìàëüíûé ðàçðåç ñîîòâåòñòâóåò ìíîæåñòâàì {s} è V \ {t}. Ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå λ, äëÿ êîòîðîãî ýòè ðàçðåçû áóäóò îñòàâàòüñÿ ìèíèìàëüíûìè, ñîîòâåòñòâóåò ìèíèìàëüíîé òî÷êå èçëîìà. Äëÿ áåñêîíå÷íî áîëüøèõ λ ìèíèìàëüíûé ðàçðåç ñîîòâåòñòâóåò ìíîæåñòâó {s} ∪ {i ∈
V |di > 0}. Áîëåå òîãî, âåëè÷èíà òàêîãî ðàçðåçà íå çàâèñèò îò λ.
Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî äëÿ (4.16) íå âûïîëíÿåòñÿ (4.14) (äëÿ äóã, âõîäÿùèõ â ñòîê, ïðîïóñêíûå ñïîñîáíîñòè âîçðàñòàþò), åñëè ìíîæåñòâî {i ∈
V |di > 0} ñîñòîèò èç îäíîãî ýëåìåíòà, òî ìîæíî íå ðàñøèðÿòü ãðàô ôèêòèâíûì ñòîêîì, à èñïîëüçîâàòü â êà÷åñòâå ñòîêà åäèíñòâåííóþ âåðøèíó
ýòîãî ìíîæåñòâà.  ýòîì ñëó÷àå âñå âõîäÿùèå äóãè áóäóò èìåòü ïîñòîÿííóþ ïðîïóñêíóþ ñïîñîáíîñòü, è, ñëåäîâàòåëüíî, óñëîâèÿ (4.14) áóäóò âûïîëíÿòüñÿ. Àíàëîãè÷íûé òðþê âîçìîæåí, åñëè ìíîæåñòâî {i ∈ V |di < 0}
ñîñòîèò òîëüêî èç îäíîãî ýëåìåíòà.
Íàêîíåö, îïèøåì ýôôåêòèâíûé àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ ìèíèìàëüíîé
òî÷êè èçëîìà. Ïóñòü èçâåñòíû àïðèîðè çíà÷åíèÿ λl , λr òàêèå, ÷òî èñêîìàÿ òî÷êà èçëîìà λ∗ óäîâëåòâîðÿåò λl ≤ λ∗ ≤ λr (äëÿ (4.16) òàêèå çíà÷åíèÿ äàíû â ðàçäåëå 3). Ïóñòü Sl = argminS Cut(S, λl ), Sr =
argminS Cut(S, λr ). Íàéäåì òî÷êó λ0 èç óðàâíåíèÿ
Cut(Sl , λ0 ) = Cut(Sr , λ0 ).
24
Òàêîå λ0 îáÿçàòåëüíî íàéäåòñÿ, òàê êàê ñëåâà è ñïðàâà íàïèñàíû ëèíåéíûå ôóíêöèè, èç îïðåäåëåíèÿ ýòèõ ðàçðåçîâ è âûïóêëîñòè âíèç M incut(λ)
ïîëó÷àåì, ÷òî òî÷êà λ0 óäîâëåòâîðÿåò λl ≤ λ0 ≤ λr . Çàìåòèì, ÷òî íà
èíòåðâàëå [λ0 , λr ) ñîäåðæèòñÿ õîòÿ áû îäíà òî÷êà èçëîìà, áîëåå òîãî, åñëè λl è λr ëåæàò íà ñîñåäíèõ ëèíåéíûõ îòðåçêàõ M incut(·), òî λ0 ñàìà
ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé èçëîìà. Ïîëîæèì λr := λ0 è ïîâòîðèì ïðîöåññ. Åñëè
ïîâòîðÿòü ýòîò ïðîöåññ äî òåõ ïîð, ïîêà íå áóäåò âûïîëíÿòüñÿ
Cut(Sl , λ) ≡ Cut(Sr , λ),
òî â èòîãå ìû ïîëó÷èì ìèíèìàëüíóþ òî÷êó èçëîìà. Áîëåå ôîðìàëüíî, ýòîò àëãîðèòì âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî
ïðîïóñêíûå ñïîñîáíîñòè èìåþò âèä ce (λ) = ae + be λ, a = (a1 , . . . , am )T ,
b = (b1 , . . . , bm )T .
Minimum breakpoint simple(G, a, b, λl , λr )
f ← Maximum ow(G, c(λl ));
Sl ← Minimum cut (G, c(λl ), f );
La ← 0;
Lb ← 0;
Function
for
e = (i, j), i ∈ Sl , j ∈ V \ Sl
La ← La + ae ;
Lb ← Lb + be ;
do
true do
f ← Maximum ow(G, c(λl ));
Sr ← Minimum cut (G, c(λr ), f );
Ra ← 0;
Rb ← 0;
for e = (i, j), i ∈ SR , j ∈ V \ SR do
Ra ← Ra + ae ;
Rb ← Rb + be ;
while
if
La = Ra and Lb = Rb
return λr ;
then
else
λr ←
La −Ra
Lb −Rb ;
Íà ðèñóíêå 5 ïîêàçàíà ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ïåðåñ÷åòà λr
ïî ôóíêöèè M incut(λ) â îïèñàííîì àëãîðèòìå.
 êà÷åñòâå ôóíêöèè Maximum ow ãîäèòñÿ ëþáîé àëãîðèòì, âû÷èñëÿþùèé ìàêñèìàëüíûé ïîòîê.  ÷àñòíîñòè, îïèñàííàÿ ðàíåå ôóíêöèÿ
Preow push.  îòëè÷èè îò ìåòîäà áèñåêöèè, ýòîò ìåòîä ñõîäèòñÿ ê òî÷25
Mincut(λ)
λ* λ2
λ1
λ0 λ
Ðèñ. 5: Èçìåíåíèå λ â àëãîðèòìàõ Minimum breakpoint simple è Minimum breakpoint
GGT.
íîìó çíà÷åíèþ çà êîíå÷íîå ÷èñëî èòåðàöèé. Íà ïðàêòèêå, äàæå äëÿ ãðàôîâ ñ íåñêîëüêèìè ñîòíÿìè òûñÿ÷ ðåáåð òàêîé àëãîðèòì äåëàåò íå áîëåå
10 èòåðàöèé. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {λri }ki=1 , ïîëó÷àåìàÿ â ýòîì àëãîðèòìå, ñòðîãî óáûâàåò, à çíà÷èò âîçìîæíî ïðèìåíåíèå àìîðòèçèðîâàííîé
âåðñèè ïðåäïîòîêà, åñëè ïðîâîäèòü âû÷èñëåíèÿ â ãðàôå GR . Ìîäèôèöèðîâàííàÿ âåðñèÿ àëãîðèòìà èìååò ñëåäóþùèé âèä.
26
Minimum breakpoint GGT(G, a, b, λl , λr )
f ← Maximum ow(G, c(λl ));
Sl ← Minimum cut (G, c(λl ), f );
La ← 0;
Lb ← 0;
Function
for
e = (i, j), i ∈ Sl , j ∈ V \ Sl
La ← La + ae ;
Lb ← Lb + be ;
do
Initialize(GR , c(λr ), f , h);
while true do
∃i ∈ V, i 6= s, t : excess(i) > 0 do
Apply push(GR , i, e, c, f , h) or relabel(GR , i, c, f , h) whichever
is applicable;
while
Sr ← Minimum cut (G, c(λr ), f );
Ra ← 0;
Rb ← 0;
for e = (i, j), i ∈ SR , j ∈ V \ SR do
Ra ← Ra + ae ;
Rb ← Rb + be ;
if
La = Ra and Lb = Rb
return λr ;
then
else
λr ←
La −Ra
Lb −Rb ;
for
e = (s, i) ∈ E, hi < n
fe ← max(ce (λr ), fe );
for
e = (i, v) ∈ E do
fe ← min(ce (λr ), fe );
do
Ðàññìîòðåííûé àëãîðèòì ÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíî ðåäêèì, â îòêðûòîì äîñòóïå äîñòóïíà òîëüêî îäíà áèáëèîòåêà (paraF) ñ îïèñàííûì ìåòîäîì [50] (îïèñàíèå îò àâòîðîâ äîñòóïíî íà [51]). Íåñêîëüêèìè ìîäèôèêàöèÿìè êîäà ýòîé áèáëèîòåêè óäàëîñü ïîëó÷èòü íåáîëüøîå óëó÷øåíèå.
Òàêæå, ïî ññûëêå [49] äîñòóïíà ñîáñòâåííàÿ ðåàëèçàöèÿ ýòîãî ìåòîäà.
Òðè óêàçàííûõ àëãîðèòìà áûëè ïðîòåñòèðîâàíû íà çàäà÷àõ, âîçíèêàþùèõ ïðè áàëàíñèðîâêå çàãðóçêè (ñì. ðàçäåë 6), â óñëîâèÿõ ñòàíäàðòíûõ
òîïîëîãèé ñåòåé: 2-D ðåøåòêà, çâåçäà, îðèåíòèðîâàííîå / íåîðèåíòèðîâàííîå êîëüöî, îðèåíòèðîâàííûé / íåîðèåíòèðîâàííûé ïóòü, îðèåíòèðîâàííîå êîëüöî ñî ñëó÷àéíûìè ñâÿçÿìè (èñõîäÿùàÿ ñòåïåíü êàæäîé âåð27
øèíû ðàâíà 3), êîðíåâîå äåðåâî. Âî âñåõ ñëó÷àÿõ ãðàô ñîñòîÿë èç 100000
âåðøèí (100489 äëÿ 2-D ðåøåòêè). Ñðåäíèå âðåìåíà ðàáîòû (â ñåêóíäàõ)
óêàçàíû â òàáëèöå. Èç ýòîé òàáëèöå âèäíî, ÷òî ñîáñòâåííàÿ ðåàëèçàöèÿ
èìååò ñõîæóþ ïðîèçâîäèòåëüíîñòü, ìîäèôèöèðîâàííàÿ âåðñèÿ paraF âî
âñåõ òîïîëîãèÿõ êðîìå çâåçäû âûèãðûâàåò ó îðèãèíàëà.
Ðåàëèçàöèÿ
paraF
ìîä. paraF
Ñâîÿ ðåàë.
paraF
ìîä. paraF
Ñâîÿ ðåàë.
2-D ðåø.
0.732660
0.681800
1.749560
çâåçäà
0.488700
0.503670
0.256040
îð. ïóòü îð. êîëüöî êîëüöî+2 äóãè
0.648990 0.648210
3.815160
0.629410 0.614800
3.498920
0.676780 0.637980
3.088300
äåðåâî íåîð. ïóòü íåîð. êîëüöî
0.673630 1.010540
0.983880
0.662090 0.959860
0.928250
0.202470 1.319850
1.214020
28
5
Ïîòîêîâûå ïðîöåññû â óñëîâèÿõ
íåîïðåäåëåííîñòåé
 ïåðâîé ïîëîâèíå ïðîøëîãî âåêà ïîÿâèëèñü ïåðâûå ìîäåëè, ó÷èòûâàþùèå íåòî÷íîñòü ôèçè÷åñêèõ ìîäåëåé.  îòëè÷èè îò ìîäåëåé ïðåäøåñòâåííèêîâ ïðåäëàãàëîñü ðåøàòü çàäà÷ó â óñëîâèÿõ, êîãäà ÷àñòü ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ íåèçâåñòíîé è íåêîíòðîëèðóåìîé. Íåñìîòðÿ
íà òî, ÷òî çàäà÷è ñ íåèçâåñòíûìè ïàðàìåòðàìè ðåøàþòñÿ â ìàòåìàòèêå
ïîâñåìåñòíî, ïîëíîñòüþ èçó÷åíû òîëüêî íàèáîëåå òðèâèàëüíûå èç çàäà÷.
Îïèñàíèå îïðåäåëåííîãî êëàññà íåîïðåäåëåííîñòåé, â óñëîâèÿõ êîòîðûõ
ìîæíî äîáèòüñÿ îïðåäåëåííîãî ïðàêòè÷åñêîãî ðåçóëüòàòà, ÿâëÿëîñü äîâîëüíî ñâåæåé èäååé è íà òåêóùèé ìîìåíò èñïîëüçóåòñÿ ïîâñåìåñòíî.
Òàê, íàïðèìåð, â ðàáîòå [28] âïåðâûå ïîÿâëÿåòñÿ ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî;
 [29] (ôèëüòð Âèíåðà-Êîëìîãîðîâà), [30] (ôèëüòð Êàëìàíà-Áüþñè) ïîÿâëÿþòñÿ ìåòîäû ïðåäñêàçàíèÿ ïîâåäåíèÿ è îöåíêè íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ; â [31] âïåðâûå ïîÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå ñòîõàñòè÷åñêîé àïïðîêñèìàöèè, ðàçâèòîå â ìíîãî÷èñëåííûõ ðàáîòàõ, âêëþ÷àþùèõ ïðîöåäóðó Êèôåðà-Âîëüôîâèöà [32], ìíîãîðàçìåðíóþ ñòîõàñòè÷åñêóþ àïïðîêñèìàöèþ Áëþìà [33], óñðåäíåíèÿ Ïîëÿêà [34], ìåòîä SP SA,
ïðåäëîæåííûå Ñïàëëîì [35], ðàíäîìèçèðîâàííûå ìåòîäû ñòîõàñòè÷åñêîé
àïïðîêñèìàöèè Ãðàíè÷èíà [3638]; â [39] ïðåäëîæåíî îáîáùåíèå ìåòîäà
äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàèÿ äëÿ ñòîõàñòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ; â [40]
ïðåäëîæåí ñöåíàðíûé ïîäõîä äëÿ çàäà÷ ñî ñòîõàñòè÷åñêèìè îãðàíè÷åíèÿìè.
Èìåÿ ñâîþ ñîáñòâåííóþ ñïåöèôèêó, ñ òî÷êè çðåíèÿ ñòîõàñòè÷åñêèõ
ïðîöåññîâ ñòàíäàðòíûå ïîòîêîâûå çàäà÷è ñòàëè èçó÷àòüñÿ îòíîñèòåëüíî
íåäàâíî (ñì. [911]). Ýòè ðàáîòû, îäíàêî, èçó÷àþò ñâîéñòâà ìàêñèìàëüíîãî ïîòîêà êàê ôóíêöèþ îò çíà÷åíèé ïðîïóñêíûõ ñïîñîáíîñòåé, çíà÷åíèå
ìàêñèìàëüíîãî ïîòîêà f ∗ â çàäà÷å (4.12) åñòü ôóíêöèÿ îò ïàðàìåòðîâ
c1 , . . . , cm , ãäå ci ∈ [0, +∞).  òàêîé ïîñòàíîâêå îòñóòñòâóåò àíàëèç ïðîöåññà öèðêóëÿöèè ïîòîêà. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, â ðàáîòàõ [6, 7] èçó÷àþòñÿ
ïðîöåññû öèðêóëÿöèè ïîòîêà â ñåòè. Êëþ÷åâûì íàïðàâëåíèåì èññëåäîâàíèÿ ýòèõ ðàáîò ÿâëÿåòñÿ íàõîæäåíèå îïòèìàëüíîãî ïîòîêà â óñëîâèÿõ
ïîëîæèòåëüíîãî âðåìåíè ïåðåõîäà ïî äóãå. Â ýòèõ ðàáîòàõ ôîðìàëüíî
ðàññìàòðèâàþòñÿ ôóíêöèè ïîòîêà fe ∈ L1 [0, T ] äëÿ íåêîòîðîãî èíòåðâàëà [0, T ], îäíàêî ïðîïóñêíûå íå ìåíÿþòñÿ âî âðåìåíè.
Äàëåå â ýòîì ðàçäåëå áóäåò îïèñàí îñíîâíîé âêëàä ðàáîòû: àëãîðèòì
íàõîæäåíèÿ ñóáîïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è (3.10) ïðè äèíàìè÷åñêè
èçìåíÿþùèõñÿ ïðîïóñêíûõ ñïîñîáíîñòÿõ. Îñíîâíàÿ èäåÿ äîâîëüíî ïðîñòà: åñëè ïðîïóñêíûå ñïîñîáíîñòè èçìåíÿþòñÿ âî âðåìåíè àáñîëþòíî õà29
îòè÷íî, òî ïîñòðîåíèå êàêîãî-ëèáî ïðîãíîçà íå èìååò ñìûñëà. Îäíàêî
æå, åñëè ïðîïóñêíûå ñïîñîáíîñòè ðåãóëÿðíû â íåêîòîðîé ñòåïåíè è ïðè
ýòîì èçâåñòíî ïîâåäåíèå â ñðåäíåì, òî óäàåòñÿ àäàïòèðîâàòü ðåøåíèå
îòíîñèòåëüíî ïðîñòîé óñðåäíåííîé çàäà÷è è îáîñíîâàòü åãî àñèìïòîòè÷åñêóþ îïòèìàëüíîñòü.
5.1
Êëàññ óñðåäíÿåìûõ ôóíêöèé
Âñå äàëüíåéøèå ðàññóæäåíèÿ è îáîñíîâàíèÿ áóäóò ïðèâîäèòüñÿ äëÿ
ñëåäóþùåãî êëàññà ðåãóëÿðíûõ ôóíêöèé.
Èíòåãðèðóåìàÿ ïî Ëåáåãó ôóíêöèÿ f ∈
L ([0; +∞)) íàçûâàåòñÿ óñðåäíÿåìîé, åñëè ñóùåñòâóåò ñëåäóþùèé ïðåäåë
Z
1 τ
avg(f ) = lim
f dµ < +∞.
τ →+∞ τ 0
Î ï ð å ä å ë å í è å
1.
1
 êà÷åñòâå ïðèìåðîâ ìîæíî ïðèâåñòè ñëåäóþùèå âèäû ôóíêöèé.
• Ëþáàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ óñðåäíÿåìà.
t→+∞
• Åñëè f (t) −−−−→ f¯ ïî÷òè âñþäó íà [0, +∞), òî f óñðåäíÿåìà ñî
ñðåäíèì çíà÷åíèåì f¯.
• Åñëè ξ1 , ξ2 , . . . ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñèëåííîìó çàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë, ñ ìàò. îæèäàíèåì
Eξi = ξ , òî ôóíêöèÿ f (t) = ξ[t] óñðåäíÿåìà ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 ñî
ñðåäíåé âåëè÷èíîé ξ :
!
Z n
n
X
1
1
Pr
f µ → ξ = Pr
ξi → ξ = 1.
n 0
n i=1
• Âèíåðîâñêèé ïðîöåññ óñðåäíÿåì ñ âåðîÿòíîñòüþ 1.
 äàëüíåéøåì ïîíàäîáÿòñÿ äâå ïðîñòûå ëåììû îá óñðåäíÿåìûõ ôóíêöèÿõ.
Åñëè f óñðåäíÿåìàÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ, òî
äëÿ ëþáûõ T > 0 è 0 < < 1 ñóùåñòâóåò −∞ < σ ≤ 0 òàêîå, ÷òî
Z T +τ
∀τ ≥ 0
f dµ ≥ avg(f )(1 − )(τ + σ).
Ë å ì ì à
5.1.
T
30
R T +τ
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç îïðåäåëåíèÿ τ1 T f → avg(f ) äëÿ ëþáîãî >
0 ñóùåñòâóåò τ 0 òàêîå, ÷òî
Z
1 T +τ
0
f dµ > avg(f )(1 − )
∀τ > τ :
τ T
òàêèì îáðàçîì, åñëè σ ≤ 0, òî
0
Z
T +τ
∀τ > τ :
f dµ > avg(f )(1 − )(τ + σ).
T
Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî âçÿòü σ ñëåäóþùèì îáðàçîì
1
σ := inf 0
τ ∈[0,τ ] avg(f )(1 − )
T +τ
Z
f dµ − τ.
T
Òàê êàê ïðè τ = 0 ìèíèìèçèðóåìîå âûðàæåíèå èìååò çíà÷åíèå 0, òî
σ ≤ 0, ÷òî ãàðàíòèðóåò ñîîòâåòñòâóþùåå íåðàâåíñòâî äëÿ τ > τ 0 .
Åñëè f óñðåäíÿåìàÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ, òî
äëÿ ëþáûõ T > 0 è > 0 ñóùåñòâóåò 0 ≤ σ < +∞ òàêîå, ÷òî
Z T +σ+τ
∀τ ≥ 0
f dµ ≤ avg(f )(1 + )(τ + σ).
Ë å ì ì à
5.2.
T +σ
R T +τ
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç îïðåäåëåíèÿ τ1 T f → avg(f ) äëÿ ëþáîãî >
0 ñóùåñòâóåò τ 0 òàêîå, ÷òî
Z T +τ
∀τ ≥ τ 0 :
f dµ < avg(f )(1 + )τ.
T
Âçÿâ σ = τ 0 ïîëó÷àåì
Z
T +σ+τ
∀τ ≥ 0
T +σ+τ
Z
f dµ ≤
T +σ
f dµ
T
≤ avg(f )(1 + )(τ + σ).
31
5.2
Äèíàìè÷åñêèå ïîòîêîâûå ïðîöåññû ñ
ìåíÿþùèìèñÿ âî âðåìåíè ïðîïóñêíûìè
ñïîñîáíîñòÿìè
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå îáîáùåíèå çàäà÷è (3.10)
ìèíèìèçèðîâàòü
(5.17)
ïðè óñëîâèè
τ,
ẋ = B(σ)u,
x(0) = x− ; x(τ ) = x+ ,
x(t) ≥ 0n ,
0 ≤ uij (t) ≤ cij (t).
ãäå ce ∈ L1 ([0; +∞)), σ = (σ1 , . . . , σm )T , σi âðåìÿ ïåðåõîäà ïî äóãå i,
B(σ) îáîçíà÷àåò ñëåäóþùèé îïåðàòîð:
(5.18)
[B(σ)u]i (t) =
X
ue (t − σe ) −
e∈in(i)
X
ue (t).
e∈out(i)
Çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå ïîñòîÿííûõ ïðîïóñêíûõ ñïîñîáíîñòåé è íóëåâûõ âðåìåíàõ ïåðåõîäà çàäà÷à âûðîæäàåòñÿ â (3.10). Îáîçíà÷èì ÷åðåç τ ∗ (x− , x+ , σ, c) îïòèìàëüíîå âðåìÿ (5.17) ñ âõîäíûìè ïàðàìåòðàìè
x− , x+ , σ, c.
Ðàññìîòðèì (3.10) ñ ïàðàìåòðàìè x− , x+ è c̄. Ñóùåñòâóåò ñòàòè÷åñêîå îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå u(t) ≡ ū òàêîå, ÷òî
ïîäãðàô G0 = hV, E 0 i ñ ìíîæåñòâîì äóã E 0 = {(i, j) ∈ E | ūij > 0} íå
ñîäåðæèò öèêëîâ.
Ë å ì ì à
5.3.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñóùåñòâîâàíèå îïòèìàëüíîãî ñòàòè÷åñêîãî
óïðàâëåíèÿ ïîêàçàíî â ëåììå 2.1. Äîêàæåì ñóùåñòâîâàíèå àöèêëè÷åñêîãî óïðàâëåíèÿ.
Ïóñòü ū òàêîå îïòèìàëüíîå ñòàòè÷åñêîå óïðàâëåíèå, êîòîðîå ìèíèìèçèðóåò êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó
n
X
ū2ij .
i,j=1
Åñëè òàêîå óïðàâëåíèå ñîäåðæèò öèêë, òî çà ñ÷åò óìåíüøåíèÿ ue âäîëü
ýòîãî öèêëà ìîæíî óìåíüøèòü çíà÷åíèå êâàäðàòè÷íîé ôîðìû. À çíà÷èò
óïðàâëåíèå, ìèíèìèçèðóþùåå ýòó ôîðìó, íå ñîäåðæèò öèêëîâ.
32
Ðàññìîòðèì (5.17) ñ ôèêñèðîâàííûìè óñðåäíÿåìûìè íåîòðèöàòåëüíûìè ôóíêöèÿìè ïðîïóñêíûõ ñïîñîáíîñòåé ce (t)
è íåêîòîðûì íåîòðèöàòåëüíûì âåêòîðîì σ . Äëÿ ëþáîãî 0 < < 1
ñóùåñòâóåò T () > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáûõ x− , x+ âûïîëíÿåòñÿ
n−1
1+
∗ −
+
τ (x , x , σ, c) ≤
τ ∗ (x− , x+ , 0m , avg(c)) + T ().
1−
Ò å î ð å ì à
5.1.
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàôèêñèðóåì 0 < < 1, x− è x+ . Ïóñòü u∗ îïòèìàëüíîå ñòàòè÷åñêîå àöèêëè÷åñêîå óïðàâëåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå τ̃ =
τ ∗ (x− , x+ , 0m , avg(c)). Ââåäåì âñïîìîãàòåëüíûå âåëè÷èíû èíäóêòèâíî ïî
ñòðóêòóðå óïðàâëåíèÿ (ñ÷èòàåì, ÷òî ìàêñèìóì äëÿ ïóñòîãî ìíîæåñòâî
åñòü 0 â îïðåäåëåíèè Ti () è 1 â îïðåäåëåíèè τi ())
Tj () = max
Ti () + σij+ () + σij − σij− (),
∗
uij >0
σij+ () è σij− () âåëè÷èíû, óäîâëåòâîðÿþùèå
Z Ti ()+σij+ +τ
∀τ ≥ 0
cij dµ ≤ avg(cij )(1 + )(τ + σij+ ()),
+
Ti ()+σij
Z
+
Ti ()+σij
+τ
∀τ ≥ 0
è íàêîíåö
+
Ti ()+σij
cij dµ ≥ avg(cij )(1 − )(τ + σij− ())
1+
τi ().
uij >0 1 −
Äëÿ ïðîñòîòû çàïèñè âåëè÷èíû, ñâÿçàííûå ñ äóãàìè, ïðîèíäåêñèðîâàíû
íà÷àëîì è êîíöîì äóãè ñîîòâåòñòâåííî. Îòìåòèì, ÷òî ýòè îïðåäåëåíèÿ
îñìûñëåííû òîëüêî åñëè u∗ íå ñîäåðæèò öèêëîâ. Ñóùåñòâîâàíèå σ + è
σ − ãàðàíòèðóåòñÿ ëåììàìè 5.1 è 5.2. Ñ ïîìîùüþ ýòèõ âåëè÷èí ìîæíî
ïîñòðîèòü ñóáîïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå ñëåäóþùèì îáðàçîì: Ti () åñòü
íà÷àëüíîå âðåìÿ ðàáîòû âåðøèíû i; làëåå, êàæäàÿ âûõîäÿùàÿ äóãà (i, j)
+
æäåò åùå σij
() è íà÷èíàåò ïåðåäàâàòü ïîòîê, ïðè ýòîì ìîæíî ãàðàíòèðîâàòü ïîñòîÿííûé îòòîê ïîòîêà (ñ êîýôôèöèåíòîì avg(cij )(1 − ))
−
ïî ýòîé äóãå ñ çàäåðæêîé σij
() íà ñòîðîíå j ; i ïåðåñûëàåò ïîòîê äî òåõ
ïîð, ïîêà ñóììàðíûé îáúåì ïåðåäàííîãî ïîòîêà íå ñòàíîâèòñÿ òàêèì æå,
êàê è â óñðåäíåííîì ñëó÷àå. Áîëåå ôîðìàëüíî, óïðàâëåíèå îïèñûâàåòñÿ
ñëåäóþùèì îáðàçîì
+
0,
t
<
T
()
+
σ
(),
i
ij
Rt
0, Ti ()+σ+ () uij dµ = τ̃ u∗ij ,
(5.19)
uij (t, ) =
ij
u∗ij
1
â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ.
τi ()(1+) avg(cij ) cij (t)
τj () = max
∗
33
Íàçîâåì èíòåðâàë âðåìåíè, ñîîòâåòñòâóþùèé òðåòüåìó ïðàâèëó â ýòîì
îïðåäåëåíèè, àêòèâíîé ñòàäèåé äóãè. Âòîðîå ïðàâèëî ñëåäóåò âîñïðèíèìàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: åñëè ñóììàðíîå îáúåì ïîòîêà, êîòîðûé áûë
ïåðåäàí ïî äóãå, äîñòèã óðîâíÿ τ̃ u∗ij , òî ñëåäóåò îñòàíîâèòüñÿ è áîëüøå
íå ïåðåäàâàòü
R τ ïîòîê (ñ ôîðìàëüíîé òî÷êè çðåíèÿ ýòî âîçìîæíî, òàê êàê
ôóíêöèÿ T cij dµ íåïðåðûâíà ïî τ ). Òàê êàê óïðàâëåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå àêòèâíîé ñòàäèè, åñòü ïðîïóñêíàÿ ñïîñîáíîñòü ñ êîýôôèöèåíòîì
ìåíüøèì åäèíèöû, òî òàêîå óïðàâëåíèå íå íàðóøàåò îãðàíè÷åíèÿ ïðîïóñêíûõ ñïîñîáíîñòåé. Áîëåå òîãî, àêòèâíàÿ ñòàäèÿ äóãè çàêàí÷èâàåòñÿ
â ñèëó óñðåäíÿåìîñòè ïðîïóñêíûõ ñïîñîáíîñòåé. Â ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà âñå äóãè ïðîøëè ñâîè àêòèâíûå ñòàäèè, ñèñòåìà áóäåò íàõîäèòñÿ â
ñîñòîÿíèè x+ , òàê êàê äëÿ ðàññìîòðåííîãî óïðàâëåíèÿ êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå òàêîå æå, êàê è äëÿ óñðåäíåííîé çàäà÷è.
Ïîêàæåì, ÷òî ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà äóãà (i, j) âûõîäèò èç àêòèâíîé
ñòàäèè, îãðàíè÷åí ñâåðõó çíà÷åíèåì
(5.20)
Tj () + τ̃ τj ()
è ñíèçó çíà÷åíèåì
(5.21)
Ti () + τ̃ τi ().
Ðàññìîòðèì äóãó (i, j). Èñïîëüçóÿ íèæíþþ îöåíêó äëÿ cij ïîëó÷àåì
u∗ij
1
×
uij dµ ≥ avg(cij )(1 − )
+
τi ()(1 + ) avg(cij )
Ti ()+σij
()
Z
t
×(t − Ti () − σij+ () + σij− ()).
Ïðèðàâíèâàÿ ïðàâóþ ÷àñòü ê τ̃ u∗ij ïîëó÷àåì
(1 − )
(t − Ti () − σij+ () + σij− ()) = τ̃ .
τi ()(1 + )
Ðåøàÿ ïî t ïîëó÷àåì âåðõíþþ ãðàíèöó íà âûõîä èç àêòèâíîé ñòàäèè äëÿ
äóãè (i, j)
1+
1−
÷òî íå ïðåâîñõîäèò (5.20) èç-çà ïîëîæèòåëüíîñòè σij è îïðåäåëåíèé Ti ()
è τi (). Äàëåå, èñïîëüçóÿ âåðõíþþ îöåíêó cij ïîëó÷àåì
Z t
u∗ij
1
uij ≤ avg(cij )(1 + )
×
+
τ
()(1
+
)
avg(c
)
i
ij
Ti ()+σij ()
t = Ti () + σij+ () − σij− + τ̃ τi ()
34
×(t − Ti () − σij+ () + σij+ ()).
Ïðèðàâíèâàÿ ïðàâóþ ÷àñòü ê τ̃ u∗ij ïîëó÷àåì
t = Ti () + τ̃ τi ().
Òåïåðü ïðîâåðèì íåîòðèöàòåëüíîñòü ñîñòîÿíèÿ. Èç äèíàìèêè ñèñòåìû
èìååì
XZ t
X Z t−σji
uji dµ −
xi (t) = xi (0) +
u∗ji >0
0
uij dµ.
u∗ij >0
0
Ïîñìîòðèì íà íåêîòîðóþ âåðøèíó i. Èç îöåíîê (5.20) è (5.21) ìîæíî
çàêëþ÷èòü, ÷òî àêòèâíàÿ ñòàäèÿ ëþáîé âõîäÿùåé äóãè çàêàí÷èâàåòñÿ
ðàíüøå àêòèâíîé ñòàäèè ëþáîé èñõîäÿùåé äóãè. Åñëè â êàêîé-òî ìîìåíò âõîäÿùèå äóãè çàêàí÷èâàþò àêòèâíóþ ñòàäèþ, íî èñõîäÿùèå äóãè
âñå åùå íàõîäÿòñÿ â àêòèâíîé ñòàäèè, çíà÷èò, ÷òî âåñü âõîäÿùèé ïîòîê
óæå áûë ïîëó÷åí è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîñëå ýòîãî ìîìåíòà ñîñòîÿíèå ìîæåò òîëüêî óìåíüøèòüñÿ. Òàêèì îáðàçîì, îñòàëîñü ïðîâåðèòü, áóäåò ëè
ñîñòîÿíèå íåîòðèöàòåëüíûì, ïîêà âñå èíöèäåíòíûå äóãè íàõîäÿòñÿ â àêòèâíîé ñòàäèè. Èñïîëüçóÿ íèæíþþ îöåíêó äëÿ cji , äëÿ ëþáîé âõîäÿùåé
äóãè ïîëó÷àåì
Z
Z
t−σji
t−σji
uji dµ =
+
Tj ()+σji
()
0
uji dµ ≥
u∗ji
1
×
avg(cji )(1 − )
τj ()(1 + ) avg(cji )
+
−
×(t − σji − Tj () − σji
() + σji
()) ≥
1 ∗
u (t − Ti ()).
τi () ji
Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî ïîëó÷åíî èç îïðåäåëåíèÿ Ti () è τi (). Äëÿ ëþáîé
èñõîäÿùåé äóãè èìååì
Z
t
Z
uij =
0
t
+
Ti ()+σij
()
uij ≤
u∗ij
1
avg(cij )(1 + )×
τi ()(1 + ) avg(cij )
×(t − Ti () − σij+ () + σij+ ()) =
1 ∗
u (t − Ti ()).
τi () ij
35
Ñóììèðóÿ ïî âñåì èíöèäåíòíûì i äóãàì
xi (t) ≥ xi (0) +
1
u∗ij (t − Ti ()) ≥ ∗
u∗ji −
τi () u∗ >0
u∗ >0
X
X
ij
ji
P
ïîëîæèòåëüíî, òî î÷åâèäíûì îáðàçîì xi (t) ≥
−
0 âûïîëíÿåòñÿ äëÿ t ≥ Ti (). Èíà÷å, òàê êàê ðàññìàòðèâàåìîå âðåìÿ t
îãðàíè÷åíî ñâåðõó (5.20), ïîëó÷àåì, ÷òî t ≤ Ti () + τ̃ τi (), â ñèëó îïðåäåëåíèé u∗ è τ̃
X
X
1
∗ ≥ xi (0) +
u∗ij τ̃ τi () = x+
u∗ji −
i ≥ 0.
τi () u∗ >0
∗
u >0
åñëè
∗
u∗ji >0 uji
∗
u∗ij >0 uij
P
ij
ji
Òàê êàê ãðàô è ôóíêöèè ïðîïóñêíûõ ñïîñîáíîñòåé ôèêñèðîâàíû, äëÿ
äàííîãî ñóùåñòâóåò êîíå÷íîå ÷èñëî êîíôèãóðàöèé äëÿ Ti () è τi () (òàê
êàê ÷èñëî àöèêëè÷åñêèõ ïîäãðàôîâ äàííîãî ãðàôà êîíå÷íî). Òàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâóåò êîíå÷íûå âåðõíèå îöåíêè íà Ti () è τi () âíå çàâèñèìîñòè
îò u∗ . Îáîçíà÷èì
T () =
max
acyclic G0 ⊂G
Ti ().
Äëÿ τi () îöåíêà ìîæåò áûòü çàïèñàíà ÿâíûì îáðàçîì
τi () ≤
1+
1−
n−1
,
ïðè ýòîì ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ íà ïîòîêå, èäóùåì âäîëü îäíîãî ïóòè
èç n âåðøèí. Ó÷èòûâàÿ ýòè îöåíêè ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ ëþáûõ x− è x+
âûïîëíÿåòñÿ
τ ∗ (x− , x+ , σ, c) ≤
1+
1−
n−1
τ ∗ (x− , x+ , 0m , avg(c)) + T ().
Ðàññìîòðèì (5.17) ñ ôèêñèðîâàííûìè óñðåäíÿåìûìè
íåîòðèöàòåëüíûìè ôóíêöèÿìè ïðîïóñêíûõ ñïîñîáíîñòåé ce (t), íåêî∞
òîðûì íåîòðèöàòåëüíûì âåêòîðîì σ è ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè {x−
k }k=1 ,
∞
{x+
k }k=1 , äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ
Ò å î ð å ì à 5.2.
+
lim τ ∗ (x−
k , xk , σ, c) = +∞,
k→∞
36
òîãäà
x−
k
+
τ ∗ (x−
k , xk , σ, c)
= 1.
lim
−
+
k→∞ τ ∗ (xk , xk , 0m , avg(c))
Äîêàçàòåëüñòâî. ≤: ïðèìåíÿÿ òåîðåìó 2 äëÿ íåêîòîðîãî 0 < < 1,
è x+
k , ïðè ïåðåõîäå ê ïðåäåëó ïîëó÷àåì
+
τ ∗ (x−
k , xk , σ, c)
≤
lim
+
−
k→∞ τ ∗ (xk , xk , 0m , avg(c))
1+
1−
n−1
.
Óñòðåìèâ ê íóëþ ïîëó÷àåì æåëàåìîå íåðàâåíñòâî.
≥: Ïóñòü u∗ (t) îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå çàäà÷è ñ ïàðàìåòðàìè
+
x−
k , xk , σ, c. Îáîçíà÷èì
Rτ
α(τ, c) = max
ij
cij dµ
.
avg(cij )τ
0
+
Äëÿ êðàòêîñòè ïîëîæèì τ̃ = τ ∗ (x−
k , xk , σ, c). Ïîñòðîèì ðåøåíèå óñðåäíåííîé çàäà÷è ñëåäóþùèì îáðàçîì
R τ̃
ūij ≡
uij dµ
.
α(τ̃ , c))τ̃
0
Âðåìÿ, ñîîòâåòñòâóþùåå òàêîìó óïðàâëåíèþ, ðàâíî α(τ̃ , c)τ̃ . Èç îïðåäåëåíèÿ âûòåêàåò
R τ̃
0 ≤ ūij ≤ R0τ̃
0
uij (t)dt
avg(c) ≤ avg(c).
cij (t)dt
Òàê êàê íà ãðàíè÷íûõ ìîìåíòàõ âðåìåíè ñîñòîÿíèå íåîòðèöàòåëüíî, èç
ëèíåéíîñòè ïîëó÷àåì íåîòðèöàòåëüíîñòü ñîñòîÿíèÿ íà âñåì èíòåðâàëå.
Èñïîëüçóÿ óñðåäíÿåìîñòü cij , ïîëó÷àåì
+
lim α(τ ∗ (x−
k , xk , σ, c), c) = 1,
k→∞
÷òî è äîêàçûâàåò íóæíîå íåðàâåíñòâî.
 òåîðåìå 2 ðàñêðûòà íàèáîëåå òðóäíàÿ ÷àñòü äîêàçàòåëüñòâà è, áîëåå
òîãî, ïðåäëîæåí ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî óïðàâëåíèÿ. Òåîðåìà 3 ïîêàçûâàåò àñèìïòîòè÷åñêóþ îïòèìàëüíîñòü ïîñòðîåííîãî óïðàâëåíèÿ.
37
5.3
Ïîäáîð ïàðàìåòðîâ àëãîðèòìà â ñòîõàñòè÷åñêîì
ñëó÷àå
 ýòîì ïîäðàçäåëå áóäóò ïîäðîáíî ðàññìîòðåíû äâà ñòîõàñòè÷åñêèõ
ñëó÷àÿ.
Ïåðâûé ñëó÷àé ñîîòâåòñòâóåò îäíîìó èç ïðèìåðîâ óñðåäíÿåìûõ ôóíêöèé. Ïóñòü ξ0 , ξ1 , . . . ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåîòðèöàòåëüíûõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, Eξ = M > 0, E(ξ − M )2 = D2 ,
(5.22)
ce (t) = ξ[t] .
Ðàññìîòðèì îäíó êîíêðåòíóþ äóãó è îöåíèì σ èç ëåìì 5.1 è 5.2 äëÿ
òàêîé ôóíêöèè ce (t). Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî äëÿ 0 < < 1 âåëè÷èíà σ > 0 óäîâëåòâîðÿåò ëåììàì 5.1 è 5.2 (−σ äëÿ ëåììû 2 è σ äëÿ
ëåììû 3)? Íåðàâåíñòâà èç ýòèõ ëåìì èìåþò âèä
∀k ≥ 0 : ∀k : (1 − )M (k − σ) <
k
X
ξi < (1 + )M (k + σ).
i=1
Íåìíîãî óâåëè÷èâ ïðàâóþ ÷àñòü (íà 2M σ ) ïîëó÷àåì
i=1
Îñíîâíàÿ ñëîæíîñòü çäåñü ñîñòîèò â òîì, ÷òî íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå
íåðàâåíñòâà äëÿ âñåõ k , â òî âðåìÿ êàê ñòàíäàðòíûå íåðàâåíñòâà äëÿ
îöåíêè ñóìì íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí îáû÷íî îöåíèâàþò òîëüêî
âñå ñóììó äëÿ íåêîòîðîãî îïðåäåëåííîãî k . Òåì íå ìåíåå, â íàøåì ñëó÷àå
ïðèìåíèìî íåðàâåíñòâî Õàéåêà-Ðåíüè, à èìåííî
(Íåðàâåíñòâî Õàéåêà-Ðåíüè). Ïóñòü {ξi }∞
i=1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, Eξi = 0, Eξi2 < ∞,
Pn
Sn = i=1 ξi , òîãäà äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {αi }∞
i=1 , 0 < αi ≤
Ò å î ð å ì à
5.3
αi+1
|Si |
≥1
Pr max
i≤n αi
≤
n
X
Eξ 2
i=1
i
2
αi
.
Âîçüìåì αi = M (k + (1 − )T )
i=1
1−
n
X
i=1
D2
≥
M 2 (i + (1 − )T )2
D2
1− 2
.
M (1 − )T
Pn
1
1
Ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî ïîëó÷åíî â ñèëó i=1 (i+a)
2 < a . Òàêèì îáðàçîì,
÷òîáû äëÿ ôóíêöèè âèäà (5.22) âûïîëíÿëèñü ëåììà 5.1 è 5.2 ñ ïàðàìåòðîì è âåðîÿòíîñòüþ p ñëåäóåò âûáðàòü σ èç ðàâåíñòâà
D2
σ(, p) = 2
.
M (1 − )(1 − p)
(5.23)
Âòîðîé ïðèìåð ìåíåå òðèâèàëüíûé:
• Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîòîê ïîäåëåí íà êóñêè âåëè÷èíîé ξ1 , ξ2 , . . .
íåîòðèöàòåëüíûå íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ïðè ýòîì äî íåïîñðåäñòâåííîé ïåðåäà÷è òàêîãî êóñêà ïî äóãå ìû íå çíàåì ðåàëèçàöèþ ξi (íî çíàåì Eξ ).
• Ïóñòü ïðîïóñêíàÿ ñïîñîáíîñòü äóãè ïîñòîÿííà è ðàâíà c̄. Òàêèì
îáðàçîì, ÷òîáû ïåðåäàòü ïîòîê âåëè÷èíû ξi íåîáõîäèìî âðåìÿ ξc̄i .
• Âìåñòî òîãî, ÷òîáû ñ÷èòàòü íåîäíîðîäíûì ïîòîê, ìîæíî ñ÷èòàòü
íåîäíîðîäíîé ïðîïóñêíóþ ñïîñîáíîñòü: ïîëîæèì, ÷òî ïî äóãå ïî
î÷åðåäè ïåðåäàþòñÿ ξ1 , ξ2 , . . ., îáîçíà÷èì τ0 = 0, τi = τi−1 + ξc̄i ,
òîãäà ïðîïóñêíàÿ ñïîñîáíîñòü áóäåò èìåòü âèä
c(τ ) =
c̄
, τ ∈ [τi−1 , τi ].
ξi
Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ñëó÷àþ, îöåíèì âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî
ëåììû 5.1 è 5.2 íå âûïîëíÿþòñÿ äëÿ è σ . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
avg(c) = Mc̄ .
Z τl
c̄
c̄
Pr ∀l :
(1 − )(τl − σ) <
cdµ < (1 + )(τl + σ) =
M
M
0
c̄
c̄
Pr ∀l :
(1 − )(τl − σ) < l < (1 + )(τl + σ) .
M
M
39
Ïîñìîòðèì îòäåëüíî íà ëåâîå íåðàâåíñòâî
l
X
ξi <
i=1
Ml
+ σc̄.
(1 − )
Ïðàâîå íåðàâåíñòâî èìååò àíàëîãè÷íûé âèä
l
X
ξi >
i=1
Ml
− σc̄.
(1 + )
Ïðè 0 < < 1 âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà
Èñïîëüçóÿ èõ ïîëó÷àåì
1
1−
≥1+ è
1
1−
≥ 1 + .
Z τl
c̄
c̄
(1 − )(τl − σ) <
cdµ < (1 + )(τl + σ) ≥
Pr ∀l :
M
M
0
i=1
È ñíîâà, ýòó âåðîÿòíîñòü ìîæíî îöåíèòü ñ ïîìîùüþ íåðàâåíñòâà
Õàéåêà-Ðåíüè.
i=1
D
2
k
X
i=1
1
<
(iM + σ)2
D2
.
M σ
Â
ïåðåõîäå áûëî èñïîëüçîâàíî íåðàâåíñòâî
Pïîñëåäíåì
k
1
1
i=1 αi+β < αβ ïðè α, β > 0. Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ëåììû 5.1
è 5.2 âûïîëíÿëèñü äëÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ p äîñòàòî÷íî âçÿòü σ èç
ðàâåíñòâà
(5.24)
σ(, p) =
40
D2
M p
6
Ïðàêòè÷åñêèå ïðèìåðû
6.1
Çàäà÷à áàëàíñèðîâàíèÿ íàãðóçêè â
âû÷èñëèòåëüíîé ñåòè
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ îáùóþ çàäà÷ó áàëàíñèðîâàíèÿ íàãðóçêè â
âû÷èñëèòåëüíîé ñåòè
• Ñåòü èç íåñêîëüêèõ âû÷èñëèòåëüíûõ óçëîâ.
• Íåêîòîðûå ïàðû óçëîâ ñîåäèíåíû îäíîíàïðàâëåííîé èëè äâóíàïðàâëåííîé ñâÿçüþ.
• Íà êàæäîì óçëå åñòü î÷åðåäü çàäà÷ íà èñïîëíåíèå.
• Äëÿ êàæäîãî çàäàíèÿ óçåë äîëæåí ðåøèòü: âûïîëíèòü ëè çàäàíèå
ñàìîìó èëè îòïðàâèòü ñîñåäó.
• Êàê îðãàíèçîâàòü ïðèíÿòèå ðåøåíèé òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ìèíèìèçèðîâàòü âðåìÿ âûïîëíåíèÿ ïîñëåäíåãî çàäàíèÿ?
Çàäà÷è òàêîãî ðîäà ÿâëÿþòñÿ îñíîâîïîëàãàþùèìè äëÿ ñîâðåìåííûõ
âû÷èñëèòåëüíûõ ñèñòåì.  ðàáîòàõ [4648] îïèñàíà îáùàÿ ñïåöèôèêà òàêèõ çàäà÷. Òàê êàê â òàêèõ ñèñòåìàõ ïðåäïîëàãàåòñÿ ïåðåäà÷à äàííûõ,
òî ìîæíî ñ óâåðåííîñòüþ ñêàçàòü, ÷òî â òàêèõ çàäà÷àõ ïðèñóòñòâóåò ïîòîêîâàÿ ñïåöèôèêà. Äëÿ ñèñòåì ñ îáùåé ïàìÿòüþ èäåè, îïèñàííûå â ýòîé
ñòàòüå, íå ÿâëÿþòñÿ ïðèìåíèìûìè, òàê êàê â òàêèõ ñèñòåìàõ íå ïðîèñõîäèò ïåðåäà÷è äàííûõ, êîòîðàÿ ñóùåñòâåííî îãðàíè÷èâàëàñü áû ïðîïóñêíîé ñïîñîáíîñòüþ ìåæïðîöåññîðíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ. Îäíàêî, äëÿ ôèçè÷åñêè ðàçäåëåííûõ âû÷èñëèòåëüíûõ óñòðîéñòâ âðåìÿ, çàòðà÷èâàåìîå
íà ïåðåäà÷ó äàííûõ (êîíòåêñò çàäà÷), ìîæåò áûòü ñîèçìåðèìî âðåìåíè, çàòðà÷èâàåìîìó íà îáðàáîòêó çàäà÷. Ïîñìîòðèì òåïåðü íà âàðèàíò
ôîðìàëüíîé ôîðìóëèðîâêè çàäà÷è.
Ïóñòü ñåòü ñîñòîèò èç n óçëîâ. Íà ïðàêòèêå ðàçìåð êîíòåêñòà çàäà÷è îáû÷íî èçâåñòåí çàðàíåå, íî âîò ñëîæíîñòü çàäà÷è (êîë-âî äåéñòâèé,
êîòîðîå çàäà÷à òðåáóåò äëÿ åå âûïîëíåíèÿ) ìîæåò áûòü íåèçâåñòíî. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëàãàåì, ÷òî ñëîæíîñòü çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíîé, äëÿ êîòîðîé ìû çíàåì ñðåäíåå çíà÷åíèå. Ïóñòü pi ïðîèçâîäèòåëüíîñòü óçëà i, êîëè÷åñòâî çàäà÷, êîòîðîå óçåë i ìîæåò âûïîëíèòü â
åäèíèöó âðåìåíè, qi íà÷àëüíàÿ çàãðóçêà óçëà i, êîëè÷åñòâî çàäà÷. Äëÿ
êàæäîãî êàíàëà ñâÿçè (i, j) : cij êîëè÷åñòâî çàäà÷, êîòîðîå ìîæåò áûòü
41
a
a
τp a
ab
q
τc
va
b
q
s
b
τc
τp b
bv
τc
qv
v
v
Initial load
Ðèñ. 6:
Task
transferring
τp
Task
processing
Ãðàô äëÿ çàäà÷è áàëàíñèðîâàíèÿ íàãðóçêè
42
t
1
Capacity
2
1
(2, 20)
3
(5, 0)
1
1
1
1
1
(1, 50)
6
1
(3, 10)
1
(Performance,load)
4
1
5
(1, 40)
(1, 30)
0
Tasks transferred
(summary)
Time required=24
2
0
44
3
24
0
24
0
1
Tasks performed
(summary)
24
6
24
34
2
0
4
18
24
Ðèñ. 7:
5
24
Ïðèìåð áàëàíñèðîâàíèÿ íàãðóçêè
43
ïåðåäàíî ïî êàíàëó ñâÿçè çà åäèíèöó âðåìåíè. Îòìåòèì, ÷òî qi ìîæíî
èçìåðÿòü íå â çàäà÷àõ, à â ðàçìåðå êîíòåêñòà.
Ïóñòü V ìíîæåñòâî âñåõ óçëîâ, E ∈ V ×V ìíîæåñòâî êàíàëîâ ñâÿçè ìåæäó óçëàìè, ïðîïóñêíûå ñïîñîáíîñòè êîòîðûõ åñòü cij . Äîïîëíèì
ýòîò ãðàô ôèêòèâíîé âåðøèíîé t è äóãàìè (v, t), v ∈ V ñ ïðîïóñêíîé ñïîñîáíîñòüþ pi . Ýòîò òðþê ïîçâîëÿåò òðàêòîâàòü ïðîöåññ âûïîëíåíèÿ çàäà÷è êàê ïåðåäà÷ó ýòîãî çàäàíèÿ íà óçåë t. Ïîëàãàÿ, ÷òî V = {1, . . . , n},
t = n+1 ïîëó÷àåì, ÷òî íàøà çàäà÷à çàêëþ÷àåòñÿ â ïåðåäà÷å ïîòîêà ñ óçëîâ v ∈ V íà óçåë t, ÷òî ÿâëÿåòñÿ çàäà÷åé (3.10) ñ íà÷àëüíûì è êîíå÷íûì
ñîñòîÿíèÿìè
x− = (q1 , . . . , qn , 0)T ,
+
x = (0, . . . , 0,
n
X
qi )T .
i=1
Ïðè ðàñøèðåíèè ãðàô ôèêòèâíûì èñòîêîì (íà ïîäîáèè ïðîöåäóðû,
îïèñàííîé â íà÷àëå ðàçäåëà 3) ïîëó÷àåòñÿ èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 6 ãðàô.
Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïîâåäåíèÿ òàêîé ñèñòåìû ïî ññûëêå [49] äîñòóïåí
ñèìóëÿòîð. Îäèí èç ïðèìåðîâ, äîñòóïíûõ íà ýòîì ñèìóëÿòîðå, èçîáðàæåí íà ðèñ. 7.
6.2
Îáìåí èíôîðìàöèåé ãðóïï ÁÏËÀ
Áåñïèëîòíûå ëåòàòåëüíûå àïïàðàòû (ÁÏËÀ) íàáðàëè áîëüøóþ ïîïóëÿðíîñòü è óæå ñåé÷àñ ïîâñåìåñòíî èñïîëüçóþòñÿ íà ïðàêòèêå.  êà÷åñòâå ïðèìåðà, ãäå âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü ðåøåíèÿ ïîòîêîâûõ çàäà÷,
ìîæíî ïðèâåñòè çàäà÷ó ìîíèòîðèíãà îáëàñòè: ãðóïïå ÁÏËÀ òðåáóåòñÿ ïåðèîäè÷åñêè ïðîëåòàòü íàä íåêîòîðîé îáëàñòüþ è äåëàòü ñíèìêè
/ âèäåîçàïèñü (êàê ïðèìåð, ïðèìåíåíèå ÁÏËÀ äëÿ ìîíèòîðèíãà çàïîâåäíèêîâ, [41]). Òåõíîëîãèè óïðàâëåíèÿ ãðóïï ÁÏËÀ â òàêèõ óñëîâèÿõ
èçó÷åíû â [4244]. Îäíà èç ñëóæåáíûõ çàäà÷, êîòîðàÿ âîçíèêàåò â òàêèõ ïðèëîæåíèÿõ, ñáîð èíôîðìàöèè íà îäíîì ÁÏËÀ. Íàïðèìåð, òàêàÿ
íåîáõîäèìîñòü ìîæåò âîçíèêíóòü, åñëè íóæíî ðåãóëÿðíî ñîáèðàòü ñíèìêè òåððèòîðèè äëÿ âíåøíåé îáðàáîòêè. Äëÿ ýòîãî, ÷òîáû íå îòâëåêàòü
âñþ ãðóïïó ÁÏËÀ îò ìîíèòîðèíãà, âñå äàííûå ìîãóò áûòü ïåðåäàíû
íà îäèí ÁÏËÀ, ïîñëå ÷åãî îí ëåòèò íà áàçîâóþ ñòàíöèþ äëÿ ïåðåäà÷è
äàííûõ. Íà ïðàêòèêå â áîëüøèõ ìíîãîôóíêöèîíàëüíûõ ñèñòåìàõ çàäà÷è
ìàðøðóòèçàöèè ïàêåòîâ èíôîðìàöèè ïðèâîäÿò ê ñëîæíûì çàäà÷àì îïòèìèçàöèè, òàêèì êàê çàäà÷à î ìíîãîòèïíûõ ïîòîêàõ [45].  íåêîîïåðàòèâíûõ ñèñòåìàõ (ò.å. ñèñòåìàõ, â êîòîðûõ ðàçëè÷íûå êîìïîíåíòû ñèñòåìû èìåþò êîíôëèêòóþùèå çàäà÷è è ïðè ýòîì ïðèîðèòåò çàäà÷ ðàçíûõ
44
Ðèñ. 8:
Ïðèìåð òðàåêòîðèé ÁÏËÀ è çîí âçàèìîäåéñòâèÿ.
êîìïîíåíò îäèíàêîâûé) ïðèíÿòî ìîäåëèðîâàíèå ñ èñïîëüçîâàíèåì òåîðèè èãð, ÷òî îáû÷íî ïðèâîäèò ê íåëèíåéíûì çàäà÷àì îïòèìèçàöèè, êàê
íàïðèìåð â [4]. Òåì íå ìåíåå, â òàêîé ÷àñòíîé çàäà÷å êàê ñáîð èíôîðìàöèè íà îäíîì ÁÏËÀ, â êîòîðîé öåëü îäíà äëÿ âñåõ ÁÏËÀ, ïðèìåíèìû
ìåòîäû, îïèñàííûå ðàíåå â ýòîé ðàáîòå, ÷òî ïîçâîëÿåò íàõîäèòü îïòèìàëüíóþ ìàðøðóòèçàöèþ íàìíîãî áûñòðåå.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â öåëÿõ ìîíèòîðèíãà ìåñòíîñòè, êàæäûé ÁÏËÀ
ëåòàåò ïî ñâîåé ïðåäîïðåäåëåííîé òðàåêòîðèè. Îáîçíà÷èì çà ϕi (t) òðàåêòîðèþ ïîëåòà i-îãî ÁÏËÀ. Äàëåå ïîëàãàåì, ÷òî äëÿ êîììóíèêàöèè
èñïîëüçóåòñÿ áåñïðîâîäíàÿ ïåðåäà÷à äàííûõ, ôóíêöèÿ K : R+ → R+
îïðåäåëÿåò çàâèñèìîñòü ïðîïóñêíîé ñïîñîáíîñòè îò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó
äâóìÿ ÁÏËÀ. Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ ïðîïóñêíîé ñïîñîáíîñòè ìåæäó
ÁÏËÀ i è j åñòü
cij (t) = K(||ϕi (t) − ϕj (t)||2 ).
Íà ïðàêòèêå ÁÏËÀ äàëåêî íå âñåãäà ìîãóò ïåðåäàâàòü èíôîðìàöèþ
äðóã äðóãó. Ìîæíî äàæå ñêàçàòü, ÷òî áîëüøèíñòâî âðåìåíè îíè íàõîäÿòñÿ íà áîëüøîì ðàññòîÿíèè äðóã îò äðóãà, à âñÿ êîììóíèêàöèÿ ïðîèñõîäèò
â íåáîëüøèå ïðîìåæóòêè âðåìåíè, êîãäà îíè ñáëèæàþòñÿ, êàê ïîêàçàíî
íà ðèñ. 8. Òàêèì îáðàçîì, ïðîïóñêíàÿ ñïîñîáíîñòü áóäåò èìåòü âèä êàê
íà ðèñ. 9.
Òàêèì îáðàçîì, ïîâåäåíèå cij (t) ïîëíîñòüþ çàâèñèò îò ïîâåäåíèÿ ϕi (t)
è ϕj (t). Çíà÷èò, äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ϕi (t) áûëè ïåðèîäè÷åñêèì ôóíêöèÿìè, äëÿ òîãî, ÷òîáû ôóíêöèÿ cij (t) áûëà óñðåäíÿåìîé. Ñòîèò îòìåòèòü,
÷òî íà ïðàêòèêå îáû÷íî íà òðàåêòîðèþ ïîëåòà âëèÿþò íåêîòîðûå âíåø45
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Îáùèé âèä ôóíêöèè ïðîïóñêíûõ ñïîñîáíîñòåé. Îñíîâíóþ ÷àñòü âðåìåíè
ïðîïóñêíàÿ ñïîñîáíîñòü ðàâíà íóëþ. Åñëè òðàåêòîðèè ïîëåòà ïåðèîäè÷íû, òî è ïðîïóñêíàÿ ñïîñîáíîñòü ïåðèîäè÷íà.
Ðèñ. 9:
íèå íåêîíòðîëèðóåìûå âîçäåéñòâèÿ (â îñíîâíîì, ïîãîäíûå óñëîâèÿ). Åñëè ñ÷èòàòü ýòè ôàêòîðû ñòàòèñòè÷åñêèì øóìîì, òî cij (t) âñå åùå ÿâëÿåòñÿ óñðåäíÿåìîé è ïîäïàäàåò ïîä ïåðâûé ñòàòèñòè÷åñêèé ñëó÷àé, ðàçîáðàííûé â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå.
46
7
Çàêëþ÷åíèå
 ðàáîòå áûë ðàññìîòðåí êëàññ äèíàìè÷åñêèõ ïîòîêîâûõ çàäà÷, ïîäðîáíî ïðîàíàëèçèðîâàíû ñâîéñòâà ýòîãî êëàññà çàäà÷ â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòåé, ïðèâåäåíû ïðàêòè÷åñêèå ïðèìåðû, â êîòîðûõ âîçíèêàåò
òàêîé êëàññ ïîòîêîâûõ çàäà÷. Ïîäûòîæèâàÿ êëþ÷åâûå àñïåêòû ðàáîòû
ìîæíî âûäåëèòü ñëåäóþùèå âûâîäû:
• Òåîðåòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû, èçëîæåííûå â ðàçäåëå 5, ïîêàçûâàþò,
÷òî òðàäèöèîííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ ïîòîêîâûõ çàäà÷ ìîãóò áûòü
àäàïòèðîâàíû äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ ñ íåîïðåäåëåííîñòÿìè. Îñíîâíîé ðåçóëüòàò ðàçäåëà (òåîðåìà 5.2) ïîêàçûâàåò, òàêàÿ àäàïòàöèÿ ðàáîòàåò àñèìïòîòè÷åñêè îïòèìàëüíî.  ïðàêòè÷åñêîì ñìûñëå
ýòî îçíà÷àåò, ÷òî åñëè åñòü ñèñòåìà öèðêóëÿöèè ïîòîêà ñ óêàçàííûì êëàññîì íåîïðåäåëåííîñòåé, êîòîðàÿ ðàáîòàåò íåîãðàíè÷åííîå
âðåìÿ, òî àäàïòèðîâàííîå ðåøåíèå ñîçäàñò íåêîòîðóþ çàäåðæêó â
ðàáîòå ñèñòåìû ïî ñðàâíåíèþ ñ îïòèìàëüíûì âðåìåíåì ðàáîòû,
íî íå áîëüøå, ÷åì íà âåëè÷èíó, êîòîðàÿ çàâèñèò îò ôóíêöèé ïðîïóñêíûõ ñïîñîáíîñòåé è ðàçìåðà ñèñòåìû, íî íå îò âðåìåíè ðàáîòû
ñèñòåìû.
• Ðàññìîòðåííûå àëãîðèòìû ðåøåíèÿ çàäà÷ ïàðàìåòðè÷åñêîãî ïîòîêà äîâîëüíî ýôôåêòèâíû è ïîçâîëÿþò ïðîâîäèòü âû÷èñëåíèÿ äëÿ
ñåòåé ñ 105 óçëàìè â òå÷åíèå ïàðû ñåêóíä, ñîáñòâåííàÿ ðåàëèçàöèÿ
ýòèõ ìåòîäîâ ñîèçìåðèìà ïî ïðîèçâîäèòåëüíîñòè ñ ýòàëîííîé ðåàëèçàöèåé [50].
• ×åì ìåíüøå ñòåïåíü ðåãóëÿðíîñòè ïðîïóñêíûõ ñïîñîáíîñòåé, òåì
ìåíüøå îïðàâäàíî ïðèìåíåíèå îïèñàííûõ ìåòîäîâ, îñîáåííî äëÿ
ìàëåíüêèõ ñåòåé. Êàê ïðèìåð, â çàäà÷å îáìåíà èíôîðìàöèåé ÁÏËÀ ìîæíî ïîñòðîèòü áîëåå òî÷íîå ðåøåíèå, åñëè ïðîâîäèòü äèñêðåòèçàöèþ âðåìåíè è ðåøàòü íåñêîëüêî ïîòîêîâûõ çàäà÷ (èëè æå
îäíó ïîòîêîâóþ çàäà÷ó, íî áîëüøåãî ðàçìåðà) íà îòäåëüíûõ ó÷àñòêàõ âðåìåíè.
47
Ëèòåðàòóðà
[1] Teodorovic D., Vukadinovic K. Trac Control and Transport Planning::
A Fuzzy Sets and Neural Networks Approach. Springer Science &
Business Media. 2012.
[2] Handbook of Transportation Science / Ïîä ðåä. Hall R. Springer
Science & Business Media. 2012.
[3] Cascetta E. Transportation Systems Engineering: Theory and Methods,
Springer Science & Business Media. 2013.
[4] Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå òðàíñïîðòíûõ ïîòîêîâ /
Ïîä ðåä. Ãàñíèêîâà À. Â. Ìîñêîâñêèé öåíòð íåïðåðûâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ. 2015.
[5] Ford L. R. Jr, Fulkerson D. R. Constructing maximal dynamic ows
from static ows // Operations research. 1958. Vol. 6. No. 3. PP. 419
433.
[6] Skutella M. An introduction to network ows over time // In: Research
Trends in Combinatorial Optimization. 1958. Springer. PP. 451482.
[7] K
ohler E., M
ohring R. H., Skutella M. Trac networks and ows
over time // In: Algorithmics of Large and Complex Networks. 2009.
Springer. PP. 166196.
[8] Ford L., Fulkerson D. R. Flows in networks. Princeton Princeton
University Press. 1962.
[9] Glockner G. D., Nemhauser G. L. A dynamic network ow problem
with uncertain arc capacities: formulation and problem structure //
Operations Research. 2000. Vol. 48. No. 2. PP. 233242.
[10] Han S., Peng Z., Wang S. The maximum ow problem of uncertain
network // Information Sciences. 2014. Vol. 265. PP. 167175.
48
[11] Sheng Y., Gao J. Chance distribution of the maximum ow of uncertain
random network // Journal of Uncertainty Analysis and Applications.
2014. Vol. 2. No. 1. PP. 114.
[12] Bellman R. E., Dreyfus S. E. Applied dynamic programming. 1962.
[13] Ïîíòðÿãèí Ë. Ñ. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ îïòèìàëüíûõ ïðîöåññîâ.
Ãîñ. èçä-âî Ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîé ëèò-ðû. 1961.
[14] Nesterov Y., Nemirovskii A., Ye Y. Interior-point polynomial algorithms
in convex programming // SIAM. Vol. 13. 1994.
[15] Boyd S., Vandenberghe L. Convex optimization. Cambridge university
press. 2009.
[16] Ìàëüêîâñêèé Í. Â. Ìîäåëü áàëàíñèðîâêè çàãðóçêè â âû÷èñëèòåëüíîé ñåòè ñ èñïîëüçîâàíèåì çàäà÷è ïàðàìåòðè÷åñêîãî ïîòîêà // Ñòîõàñòè÷åñêàÿ îïòèìèçàöèÿ â èíôîðìàòèêå. 2014. Ò. 10. 1. Ñ. 3962.
[17] Gallo G., Grigoriadis M. D., Tarjan R. E. A fast parametric maximum
ow algorithm and applications // SIAM Journal on Computing. 1989.
Vol. 18. No. 1. PP. 3055.
[18] Goldberg A. V., Tarjan R. E. A new approach to the maximum-ow
problem // Journal of the ACM (JACM). 1988. Vol. 35. No. 4. PP. 921
940.
[19] Garg N., Koenemann J. Faster and simpler algorithms for
multicommodity ow and other fractional packing problems // SIAM
Journal on Computing. 2007. Vol. 37. No. 2. PP. 630652.
[20] Herty M., Kirchner C., Moutari S., Rascle M. et al. Multicommodity
ows on road networks // Communications in Mathematical Sciences.
2008. Vol. 6, No. 1, PP. 171187.
[21] Áàòþêîâ À. Ì. Àíàëèç öèôðîâûõ èçîáðàæåíèé, îñíîâàííûé íà
ïîñòðîåíèè ñòàöèîíàðíîãî ïîòîêà íà ãðàôå // Âåñòíèê ÑàíêòÏåòåðáóðãñêîãî óíèâåðñèòåòà. Ñåðèÿ 10. Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà.
Èíôîðìàòèêà. Ïðîöåññû óïðàâëåíèÿ. 2015. 2. Ñ. 115122.
[22] Àìïèëîâà Í. Á., Ðîìàíîâñêèé È. Â., Ïåòðåíêî Å. È. Î ìàêñèìèçàöèè ýíòðîïèè ïðè ëèíåéíûõ îãðàíè÷åíèÿõ // Òðóäû Ìåæäóíàð.
49
íàó÷. êîíôåðåíöèè ¾Êîñìîñ, àñòðîíîìèÿ è ïðîãðàììèðîâàíèå (Ëàâðîâñêèå ÷òåíèÿ)¿. ÑÏá.: Ìàòåìàòèêî-ìåõàíè÷åñêèé ôàêóëüòåò Ñ.Ïåòåðá. óí-òà. 2008. C. 181185.
[23] Madry A. Navigating central path with electrical ows: From ows to
matchings, and back // Foundations of Computer Science (FOCS). 2013.
IEEE 54th Annual Symposium on, 2013. pp. 253262.
[24] Ford L. R., Fulkerson D. R. Maximal ow through a network //
Canadian journal of Mathematics, 1956, vol. 8, no. 3, pp. 399404.
[25] Goldberg A. V., Tarjan R. E. Ecient maximum ow algorithms //
Communications of the ACM. 2014. Vol. 57. No. 8. PP. 8289.
[26] Êàðçàíîâ À. Â. Íàõîæäåíèå ìàêñèìàëüíîãî ïîòîêà â ñåòè ìåòîäîì
ïðåäïîòîêîâ // ÄÀÍ ÑÑÑÐ. 1974. Ò. 215. 1. Ñ. 4952.
[27] Orlin J. B. Max ows in O(nm) time, or better // Proc. the forty-fth
annual ACM symposium on Theory of computing. 2013. PP. 765774,
ACM.
[28] Metropolis N., Rosenbluth A. W., Rosenbluth M. N., Teller A. H.,
Teller E. Equation of state calculations by fast computing machines //
The Journal of Chemical Physics. 1953. Vol. 21. No. 6. PP. 10871092.
[29] Wiener N. Extrapolation, interpolation, and smoothing of stationary
time series. MIT press Cambridge. Vol. 2. 1949.
[30] Kalman R. E. A new approach to linear ltering and prediction problems
// Journal of basic Engineering. 1960. Vol. 82. No. 1. PP. 3545.
[31] Robbins H., Monro S. A stochastic approximation method // The
Annals of Mathematical Statistics. 1951. PP. 400407.
[32] Kiefer J., Wolfowitz J. et al. Stochastic estimation of the maximum of
a regression function // The Annals of Mathematical Statistics. 1952.
Vol. 23. No. 3. PP. 462466.
[33] Blum J. R. Multidimensional stochastic approximation methods // The
Annals of Mathematical Statistics. 1954. PP. 737744.
[34] Ïîëÿê Á. Ò. Íîâûé ìåòîä òèïà ñòîõàñòè÷åñêîé àïïðîêñèìàöèè //Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. 1990. 7. Ñ. 98107.
50
[35] Spall J. C. Multivariate stochastic approximation using a simultaneous
perturbation gradient approximation // IEEE Transactions on
Automatic Control. 1992. Vol. 37. No. 3. PP. 332341.
[36] Ãðàíè÷èí Î. Í. Ïðîöåäóðà ñòîõàñòè÷åñêîé àïïðîêñèìàöèè ñ âîçìóùåíèåì íà âõîäå //Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. 1992. . 2. Ñ.
97-104.
[37] Ãðàíè÷èí Î. Í. Ðàíäîìèçèðîâàííûå àëãîðèòìû ñòîõàñòè÷åñêîé àïïðîêñèìàöèè ïðè ïðîèçâîëüíûõ ïîìåõàõ // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. - 2002. - 2. - C. 4455.
[38] Ãðàíè÷èí Î. Í. Îöåíèâàíèå ïàðàìåòðîâ ëèíåéíîé ðåãðåññèè ïðè
ïðîèçâîëüíûõ ïîìåõàõ // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. - 2002. - 1.
- C. 3041.
[39] Bertsekas D. P. Dynamic programming and stochastic control. 1976.
[40] Calaore G. C., Campi M. C. et al. The scenario approach to robust
control design // IEEE Transactions on Automatic Control. 2006.
Vol. 51. No. 5. PP. 742753.
[41] Àìåëèí Ê. Ñ., Ãðàíè÷èí Î. Í., Êèÿåâ Â. È., Èåâëåâ Í. Â. Ìîáèëüíîñòü è ñóïåðâû÷èñëåíèÿ íà îõðàíå ïðèðîäû // ÊîìïüþòåðÈíôîðì. 2011. 0506, Ñ. 2425.
[42] Amelin K., Amelina N., Granichin O., Granichina O., Andrievsky B. R.
Randomized algorithm for uavs group ight optimization // Proc. 11th
IFAC International Workshop on Adaptation and Learning in Control
and Signal Processing. 2013. PP. 205208.
[43] Àìåëèí Ê. Ñ. Ðàíäîìèçàöèÿ â êîíòóðå óïðàâëåíèÿ ëåãêîãî ÁÏËÀ
ïðè ïîëåòå â óñëîâèÿõ íåèçâåñòíûõ èçìåíåíèé íàïðàâëåíèÿ âåòðà //
Âåñòíèê Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî óíèâåðñèòåòà. Ñåðèÿ 10. Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà. Èíôîðìàòèêà. Ïðîöåññû óïðàâëåíèÿ. 2013. 2.
Ñ. 86102.
[44] Àìåëèí Ê. Ñ. Òåõíîëîãèÿ ïðîãðàììèðîâàíèÿ ëåãêîãî ÁÏËÀ äëÿ
ìîáèëüíîé àâòîíîìíîé ãðóïïû // Ñòîõàñòè÷åñêàÿ îïòèìèçàöèÿ â
èíôîðìàòèêå. 2011. Ò. 7. 1. Ñ. 93115.
[45] Letchford A. N., Salazar-Gonz
alez, J. J. Stronger multi-commodity ow
formulations of the Capacitated Vehicle Routing Problem // European
Journal of Operational Research. 2015. Vol. 244. No. 3. PP. 730738.
51
[46] Kameda H., Li J., Kim C., Zhang Y. Optimal Load Balancing
in Distributed Computer Systems. Springer Publishing Company
Incorporated. 2011.
[47] Alakeel A. M. A guide to dynamic load balancing in distributed
computer systems // International Journal of Computer Science and
Information Security. 2010. Vol. 10. No. 6. PP. 153160.
[48] Doddini Probhuling L. Load balancing algorithms in cloud computing
// International Journal of Advanced Computer and Mathematical
Sciences. 2013. Vol. 2. PP. 22309624.
[49] https://github.com/Malkovsky/load-balancing
[50] http://research.microsoft.com/en-us/downloads/
d3adb5f7-49ea-4170-abde-ea0206b25de2/default.aspx
[51] Babenko M., Goldberg A. V. Experimental evaluation of a parametric
ow algorithm. - Technical report, Microsoft Research, 2006. MSRTR-2006-77, 2006.
52
Отзывы:
Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв