Повышение качества ключевой информации на основе свойств булевых функций

Константин Спирин

Повышение качества ключевой информации на основе свойств булевых функций

Зачастую в открытых каналах связи появляется необходимость скрыть информацию от посторонних глаз. Для этого применяется шифрование информации – преобразование открытой информации в зашифрованную, называемую шифртекстом. Для шифрования используется ключ. В стандарте ГОСТ 28147-89 понятие ключ определено следующим образом: «Конкретное секретное состояние некоторых параметров алгоритма криптографического преобразования, обеспечивающее выбор одного преобразования из совокупности всевозможных для данного алгоритма преобразований». Информация, которую мы зашифруем с использованием данного ключа может быть расшифрована только с использованием этого же ключа или ключа, определенно с ним связанным. Ключевая информация является одним из важнейших элементов шифрования, с ее помощью злоумышленник может получить зашифрованную информацию, в связи с этим является актуальным рассмотрение вопроса повышение качества ключевой информации на основе свойств булевых функций, так как именно они применяются в большинстве криптоалгоритмов. Цель данной работы – разработка и реализация методики повышения стойкости при генерации блоков замен на основе булевых функций. Для достижения указанной выше цели необходимо выполнение следующих задач: изучение теоретических сведений о булевых функциях; разработка методики для повышения стойкости при генерации блоков замен на основе булевых функций; реализация методики повышения стойкости и исследование полученных результатов.

Математика

Дипломы

Вуз: Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева (СибГУ им. М.Ф. Решетнева)

ID: 5f2949e7cd3d3e0001b33fdf

UUID: a7258290-b875-0138-109e-0242ac180006

Язык: Русский

Опубликовано: больше 4 лет назад

Просмотры: 17

10.34

Константин Спирин

Комментировать 10

Рецензировать 0

Скачать - 637,2 КБ

Поделиться работой

М ИНИСТЕРСТВО НАУ К И И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСК ОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М .Ф. Решетнева» Информатики и телекоммуникаций Безопасности информационных технологий УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой ________ В.В. Золотарев « ____ » _________ 20 ___ г ЗАДАНИЕ НА ВЫПУ СК НУ Ю К ВАЛИФИК АЦИОННУ Ю РАБОТУ в форме бакалаврской работы Обучающийся Спирин Константин Петрович Группа БКБ16-01 Направление 10.03.01 Информационная безопасность Тема выпускной квалификационной работы Повышение качества ключевой информации на основе свойств булевых функций Утверждена приказом по университету от _________________№ ___________________ Руководитель ВКР – О.Н. Жданов, доцент, кандидат ф.-м. н., доцент кафедры БИТ Исходные данные для ВКР свойства булевых функций, методика выбора ключевой информации, алгоритмы шифрования. Перечень разделов ВКР 1 Описание булевых функций 2 Разработка методики повышения стойкости при генерации блоков замен на основе булевых функций 3 Реализация методики повышения стойкости при генерации блоков замен на основе_______ булевых функций Срок сдачи обучающимся первого варианта ВКР – « ___ » ____________ 20__ г. Срок сдачи обучающимся окончательного варианта ВКР – « ___ » ____________ 20__ г. Руководитель ВКР _________________ Задание принял к исполнению ______________ О.Н. Жданов К.П. Спирин « ___ » _____________ 20__ г.

АННОТАЦИЯ к бакалаврской работе «Повышение качества ключевой информации на основе свойств булевых функций» Спирин Константин Петрович Ключевые слова: блок замен, ключевая информация, булевы функции, коэффициенты матрицы корреляции, расстояние нелинейности. Целью данной работы является разработка и реализация методики повышения стойкости при генерации блоков замен на основе булевых функций. Данная цель определила необходимость постановки и решения основных задач: − изучение теоретических сведений о булевых функциях; − разработка методики для повышения стойкости при генерации блоков замен на основе булевых функций; − реализация методики повышения стойкости и исследование полученных результатов. Предмет исследования – свойства строгого лавинного критерия, корреляционные свойства таблиц замен. По результатам исследования найдена зависимость между двумя критериями качества блоков замен – расстоянием нелинейности и статистической зависимости выхода блока замен от его входа. Полученные результаты обеспечат повышение защищенности блоков замен при получении ключевой информации. Работа включает: 53 страниц, 2 таблицы, 9 рисунков, 3 приложения. Использованных источников – 9.

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................. 5 1 ОПИСАНИЕ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ .................................................................... 6 1.1 Применение булевых функций в криптографии...................................... 6 1.2 Принципы Шеннона ................................................................................... 7 1.3 Свойства булевых функций ....................................................................... 8 1.4 Нелинейность булевых функций ............................................................... 9 1.5 Строгий лавинный критерий.................................................................... 10 1.6 Выводы ....................................................................................................... 12 2 РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ ПОВЫШЕНИЯ СТОЙКОСТИ ПРИ ГЕНЕРАЦИИ БЛОКОВ ЗАМЕН НА ОСНОВЕ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ ........... 13 2.1 ГОСТ 28147-89 .......................................................................................... 13 2.2 Структура алгоритма ГОСТ 28147-89 .................................................... 13 2.3 Примеры блоков замен ............................................................................. 15 2.4 Генерация блоков замен ........................................................................... 16 2.5 Критерии криптографического качества ................................................ 17 2.6 Оценка качества блоков замен................................................................. 18 2.7 Выводы ....................................................................................................... 18 3 РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДИКИ ПОВЫШЕНИЯ СТОЙКОСТИ ПРИ ГЕНЕРАЦИИ БЛОКОВ ЗАМЕН НА ОСНОВЕ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ ........... 19 3.1 Реализация методики посредством программы ..................................... 19 3.2 Исследование полученных результатов ................................................. 23 3.3 Выводы ....................................................................................................... 26 ЗАКЛЮЧЕНИЕ ......................................................................................................... 28 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ................................................ 29 ПРИЛОЖЕНИЯ ......................................................................................................... 30

ВВЕДЕНИЕ Зачастую в открытых каналах связи появляется необходимость скрыть информацию от посторонних глаз. Для этого применяется шифрование информации – преобразование открытой информации в зашифрованную, называемую шифртекстом. Для шифрования используется ключ. В стандарте ГОСТ 28147-89 понятие ключ определено следующим образом: «Конкретное секретное состояние некоторых параметров алгоритма криптографического преобразования, обеспечивающее выбор одного преобразования из совокупности всевозможных для данного алгоритма преобразований». Информация, которую мы зашифруем с использованием данного ключа может быть расшифрована только с использованием этого же ключа или ключа, определенно с ним связанным. Ключевая информация является одним из важнейших элементов шифрования, с ее помощью злоумышленник может получить зашифрованную информацию, в связи с этим является актуальным рассмотрение вопроса повышение качества ключевой информации на основе свойств булевых функций, так как именно они применяются в большинстве криптоалгоритмов. Цель данной работы – разработка и реализация методики повышения стойкости при генерации блоков замен на основе булевых функций. Для достижения указанной выше цели необходимо выполнение следующих задач: − изучение теоретических сведений о булевых функциях; − разработка методики для повышения стойкости при генерации блоков замен на основе булевых функций; − реализация методики повышения стойкости и исследование полученных результатов. Работа содержит 53 страниц, состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников из 9 источников; основной текст включает 9 рисунков и 2 таблицы. 5

1 ОПИСАНИЕ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 1.1 Применение булевых функций в криптографии Своим существованием двоичная логика обязана британскому математику Джорджу Булю. Джордж Буль родился в Англии 2 ноября 1815 года. Всю свою жизнь он работал учителем математики и физики в школе. Ученый стремился сделать науку о мышлении, логику, такой строгой как, например, математика. Для этого Буль стал обозначать высказывания в виде букв и составлял из них уравнения, которые были схожи с алгебраическими и с их помощью можно было определить истинность или ложность высказывания. Так появилась Булева алгебра. Булевой функцией называется отображение {0,1}k → {0,1}, т. е. правило, однозначно сопоставляющее вектору из бит значение 0 или 1. [7] Именно булевы функции применяются в большинстве систем шифрования. К этим функциям предъявляется ряд требований, целью которых является осложнение дешифровки сообщения лицом, не являющимся его адресатом. На рисунке 1 представлен шифр Вернама. Рисунок 1 – Шифр Вернама Исходный текст, ключ, шифртекст в данном случае это бинарные строки одинаковой длины. Операция ⊕ означает побитовое сложение по модулю 2. Справа изображено дешифрование – оно аналогично шифрованию, но шифртекст и исходный текст меняются местами. Именно поэтому дважды шифр текст не используют – при сложении двух шифртекстов, соответствующих одному ключу, получается сумма исходных текстов, которые зачастую можно прочесть. Шеннон доказал, что при совершенно случайном ключе, используемом один раз, шифр Вернама является абсолютно стойкой криптосистемой, то есть 6

перехват шифртекста не даёт никакой информации о переданном сообщении. Это единственный в настоящее время шифр с таким свойством [2]. Однако на практике, как правило, отправитель и получатель сообщений выбирают вместо ключа в шифре Вернама псевдослучайную последовательность, которая по оговорённому алгоритму генерируется из короткого секретного ключа. Такая последовательность носит название ключевой поток или гамма. 1.2 Принципы Шеннона Клод Шеннон превратил криптографию из искусства в науку, так как появилась возможность доказывать защищенность информации при помощи шифра. Используя вероятностную модель шифра, он впервые сформулировал понятие совершенно стойкого шифра и показал, что он существует, на примере шифра Вернама, называемого также одноразовым блокнотом. По К. Шеннону, шифрование должно использовать следующие принципы: − рассеивание (Diffusion) – распространение влияния одного знака открытого текста на много знаков шифртекста, а также распространение влияния одного элемента ключа на много знаков шифртекста; − перемешивание, усложнение, запутывание (Confusion) – свойство шифрующего преобразования усложнять взаимосвязи между элементами данных, что затрудняет восстановление функциональных и статистических связей между открытым текстом, ключом и шифртекстом [3]. Эти два общих принципа конструирования криптосистемы – очень общие и неформальные. Шеннон также описал более специфичные принципы конструирования. Первый заключается в том, чтобы свести проблему обеспечения секретности системы к одной из известных вычислительно сложных задач. Этот принцип часто используется при создании криптосистем с открытым ключом, но не используется для криптосистем с секретным ключом. Второй принцип Шеннона заключается в том, чтобы сделать систему устойчивой ко всем известным атакам, и это до сих пор лучший из известных принципов построения криптосистем с секретным ключом. 7

Так, по Шеннону, противник, прослушивающий канал, по которому идет передача данных, может быть двух типов: − пассивный (прослушивающий): криптоаналитик пытается вычислить открытый текст (а еще лучше – ключ) по шифртексту; − активный (взламывающий): криптоаналитик пытается активно воздействовать на передаваемые данные. Например, пытается изменить передаваемый шифртекст. Чтобы не позволить противнику понять, как легитимные участники передачи данных выработали свой общий ключ, нужно выполнять следующие условия: − все ключи должны быть равновероятными и всегда выбираться из ключевого пространства случайным образом. Часто предполагают, что все детали используемого отправителем и получателем криптоалгоритма известны противнику, кроме конкретного значения секретного ключа; − условие Керкхоффса. Противник знает все детали алгоритмов зашифрования и дешифрования, кроме конкретного значения секретного ключа [3]. Более полувека, минувшие с момента формулирования принципов Шеннона, подтвердили их значимость. За эти годы предпринимались различного вида атаки на криптосистемы, в связи с которыми появились основные криптографические характеристики булевых функций, некоторые из которых больше относятся к рассеиванию, другие больше к запутыванию. Все эти характеристики надо учитывать при конструировании булевых функций. Требуется компромисс между ними, так как булева функция не может быть оптимальна сразу по всем криптографическим показателям. 1.3 Свойства булевых функций Дадим определение булевой функции от n переменных. Пусть Z2 = {0, 1}. Через Zn2 будем обозначаем множество всех двоичных векторов v = (v1, ..., vn) длины n. Пусть все векторы упорядочены, т.е. при n = 2 порядок будет следующий: (00), (01), (10), (11). Произвольная функция из множества Zn2 в Z2 называется булевой функцией от n переменных [4]. Например, 8

f : Z22 → Z2 такая, что f (00) = 1, f (01) = 0, f (10) = 0, f (11) = 1. (1) Для булевых функций действуют следующие законы: 1. a + b = b + a – коммутативность сложения. 2. a + (b + c) = (a + b) + c – ассоциативность сложения. 3. ∃0 ∈ K(a + 0 = 0 + a = a) – существование нейтрального элемента относительно сложения. 4. ∀a ∈ K ∃b ∈ K(a + b = b + a = 0) – существование противоположного элемента относительно сложения. 5. (a × b) × c = a × (b × c) – ассоциативность умножения. 6. a × (b + c) = (a × b) + (a × c) и (b + c) × a = (b × a) + (c × a) – два закона дистрибутивности. 1.4 Нелинейность булевых функций Каждая функция имеет единственное представление в виде алгебраической нормальной формы (АНФ), в отечественной литературе распространен также термин «полином Жегалкина». Степенью нелинейности deg(f) булевой функции f называется число переменных в самом длинном слагаемом ее АНФ. Функция называется аффинной, квадратичной, кубической и т.д., если ее степень равна соответственно 1, 2, 3 и т. д. Каждая аффинная функция от n переменных v1,...,vn имеет вид <u,v> ⊕ a для подходящих вектора u и константы a. [4] Пусть <u,v>=u1v1 ⊕ ... ⊕ unvn – скалярное произведение векторов. Через dist(f, g) обозначим расстояние Хэмминга между функциями f и g, т. е. число позиций, в которых различаются векторы f и g. Максимально нелинейной называется булева функция от n переменных (n любое) такая, что расстояние Хэмминга Nf от данной функции до множества всех аффинных функций является максимально возможным. Величину Nf называют нелинейностью булевой функции. В случае четного n максимально возможное значение нелинейности равно 2n−1−2(n/2)−1. [4] Термин «максимально нелинейная функция» принят в русскоязычной литературе, тогда как в англоязычной широкое распространение получил термин «бент-функция». При этом при четном числе переменных n бент-функции и 9

максимально нелинейные функции совпадают, а при нечетном n бент-функции (в отличие от максимально нелинейных) не существуют. Для криптографических целей булева функция не должна быть линейной (точнее, аффинной). Вообще, чем меньше функция «похожа на аффинную», тем лучше. В это неформальное пожелание можно вложить различные смысловые оттенки. Вот некоторые из них: 1. «Функция с хорошей нелинейностью» далека от множества аффинных функций в смысле какой-либо метрики. 2. «Функция с хорошей нелинейностью» должна выражаться полиномом как можно более высокой степени. 3. «Функция с хорошей нелинейностью» не должна линейно зависеть ни от одной из своих переменных и не должна приобретать такую зависимость после какой-либо линейной замены переменной. Это свойство формулируют так: функция не должна иметь ненулевых линейных структур. Собственно термин «нелинейность» принят для показателя нелинейности, использующего понятие расстояния Хэмминга. 1.5 Строгий лавинный критерий Лавинный эффект – криптографическое свойство для шифрования, из которого следует, что изменение малого количества битов во входном тексте или ключе приведет к изменению значений выходных битов шифртекста и отображает зависимость всех выходных битов от каждого входного. Лавинный критерий, основанный на лавинном эффекте, требует изменения в среднем половины бит в выходном (зашифрованном) значении при изменении каждого отдельно взятого бита во входном (исходном) значении [5]. Математик Эмиль Пост ввел следующие замкнутые классы булевых функций: − T0 – сохраняющие константу 0; − T1 – сохраняющие константу 1; − SS – самодвойственные функции; − M – монотонные функции; − L – линейные функции. 10

Теорема Поста (о полноте) гласит, что набор булевых функций является полным тогда и только тогда, когда он не содержится полностью ни в одном из классов S, M, L, T0, T1. То есть набор полон, когда в нем имеется хотя бы одна функция, не сохраняющая ноль, хотя бы одна функция, не сохраняющая один, хотя бы одна несамодвойственная функция, хотя бы одна немонотонная функция и хотя бы одна нелинейная функция. Строгий лавинный критерий (СЛК) впервые был введен Вебстером и Таваресом и комбинировал полноту и лавинный эффект булевых функций. Функция f удовлетворяет строгому лавинному критерию, если для всех i, j ∈ (1, 2,...,n) изменение входного бита i изменяет выходной бит j с вероятностью ровно в половину. Таким образом S-блок удовлетворяет строгому лавинному критерию если 1 2𝑛 𝑒 1 𝑊(𝑎𝑗 𝑖 ) = , для всех i,j. (2) 2 где 𝑒 𝑒 𝑊(𝑎𝑗 𝑖 ) = ∑𝑋∈{0;1}𝑛 𝑎𝑗 𝑖 (3) 𝑒 это общее изменение j-й лавинной переменной 𝑎𝑗 𝑖 , вычисленное по всему входному алфавиту размера 2n. Данная формула может быть изменена для определения параметра СЛК kСЛК(i,j): 𝑘СЛК (𝑖, 𝑗) = 1 𝑒 𝑊(𝑎𝑗 𝑖 ) = 𝑛 2 1 (4) 2 kСЛК(i,j) может принимать значения в диапазоне [0,1] и это следует интерпретировать как вероятность изменения j-го выходного бита при изменении i-го бита во входной строке. Если kСЛК(i,j) отличается на ½ для любой пары (i, j), то говорят, что S-блок не удовлетворяет СЛК. Однако точное выполнение данного критерия для всех значений i и j не является реалистичным ожиданием и, скорее всего, следует ожидать некую погрешность [6]. 11

Очевидно, что лавинный критерий и СЛК похожи и соответственно Sблок, который удовлетворяет СЛК, должен также удовлетворять лавинному критерию, но удовлетворение этому критерию не подразумевает удовлетворение строгому лавинному критерию. Для оценки криптографического качества булевых функций используют один из следующих критериев: − алгебраическая степень нелинейности; − расстояние нелинейности; − критерий распространения ошибки порядка m, частный случай – строгий линейный критерий; − блока. матрица коэффициентов корреляции векторов выхода и входа S- 1.6 Выводы В данной главе были рассмотрены булевы функции и их свойства. Были описаны принципы Шеннона. Было рассмотрено применение булевых функций в криптографии и перечислены критерии их криптографического качества. Данная информация будет использована при разработке и реализации методики повышения стойкости при генерации блоков замен на основе булевых функций. 12

2 РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ ПОВЫШЕНИЯ СТОЙКОСТИ ПРИ ГЕНЕРАЦИИ БЛОКОВ ЗАМЕН НА ОСНОВЕ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 2.1 ГОСТ 28147-89 ГОСТ 28147-89 «Системы обработки информации. Защита криптографическая. Алгоритм криптографического преобразования» – это советский и российский стандарт симметричного шифрования. Он был введен в 1990 году. Является DES-подобной криптосистемой, созданной на основе классической итерационной схеме Фейстеля. ГОСТ 28147-89 – это блочный шифр с 256-битным ключом и 32 циклами (раундами) преобразования, оперирующий 64-битными блоками. 2.2 Структура алгоритма ГОСТ 28147-89 В основе алгоритма заложена сеть Фейстеля (рисунок 2). Рисунок 2 – Сеть Фейстеля Работа данной схемы: − − выходе; каждый блок разбивается на два подблока – левый и правый; исходное заполнение правого блока записывается в левый блок на − над правым блоком производится криптографическое преобразование с применением ключевых данных; 13

− левый (исходный) и правый (преобразованный) блоки складываются по модулю 2 в сумматоре по модулю 2; − данная процедура повторяется несколько раз. Рисунок 3 – Структурная схема алгоритма Данная схема содержит: − четыре накопителя по 32 бита: N1, N2, N3, N4. − два 32-разрядных накопителя: N5 и N6, – с записанными в них постоянными заполнениями C2 и C1 соответственно. − ключевое запоминающее устройство (КЗУ) на 256 бит. КЗУ состоит из восьми накопителей по 32 разряда каждый: X0, X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7. − 32-разрядный сумматор по модулю 2: СМ2. − еще один сумматор по модулю 2, который не имеет ограничения на разрядность (но используется 64 бита): СМ5. − два сумматора по модулю 232 разрядности 32 бита: СМ1, СМ3. − сумматор по модулю (232-1): СМ4. 14

− блок подстановки К: восемь узлов замены K1, K2, K3, K4, K5, K6, K7, K8, каждый с памятью на 64 бита. − регистр циклического сдвига влево на 11 бит R. [8] Под ключевое запоминающее устройство (КЗУ) определено 256 бит. Ключ разбивается на 8 блоков по 32 бита и каждый бит каждого блока последовательно вводится в накопитель X соответствующего порядка. Первый бит ключа вводится в первый разряд накопителя X0, 33-й бит ключа в первый разряд накопителя X1, 256-й бит ключа вводится в 32-й разряд накопителя X7. Считывается ключ в зависимости от режима работы алгоритма. Блок подстановки К содержит в себе таблицу замены размером 16х8, она является долговременным ключом. Строки определяют «что» нужно заменить (число от 0 до 15 в шестнадцатеричной системе счисления). Столбцы указывают «на что» заменять. Поступающий таким образом в блок 32-битовый вектор разбивается на восемь четырехбитовых блока, каждый из которых преобразуется в соответствии с таблицей замены. Ключи как в КЗУ, так и в блоке подстановки К, являются секретными, и требуются меры по сохранению их в секретности. Используя данные компоненты ГОСТ 28147-89 способен работать в четырех режимах работы: − простая замена; − гаммирование; − гаммирование с обратной связью; − режим выработки имитовставки. ГОСТ не определяет способы генерации S-блоков, поэтому произведем исследование: сгенерируем блоки замен и найдем закономерность между некоторыми их криптографическими качественными характеристиками. 2.3 Примеры блоков замен Приведем примеры хороших и плохих блоков замен. Возьмем следующий блок замен: S = [ 0 1 2 4 3 5 7 6 ]. Для того чтобы определить его качество вычислим его матрицу коэффициентов корреляции: 15

0.5 0.5 0.5 [0.5 0.5 −0.5] 0.5 −0.5 0 В данной матрице отсутствует единица, поэтому данная матрица может считаться качественной. Теперь приведем блок замен с плохими корреляционными характеристиками: S = [ 1 0 2 3 4 5 6 7 ]. 1 0 0 [0 1 0 ] 0 0 0.5 Наличие в данной матрице единиц, тем более на главной диагонали, свидетельствует о наличии корреляции и плохом криптографическом качестве блока. 2.4 Генерация блоков замен Блоком замен k1 × k2 бит называется отображение, т.е. отображение {0,1}k1 → {0,1}k2, однозначно сопоставляющее любому входному вектору из бит выходной вектор из бит [7]. То есть блок замен – это набор булевых функций, создающих зависимость битов на выходе от битов на входе S-блока. Для оценки криптографических свойств S-блока его представляют в виде его компонентных булевых функций. При генерации S-блоков важно учитывать то, что используемая булева функция, должна быть сбалансированной, то есть такой функцией, которая на всей своей области определения принимает значение 0 столько же раз сколько 1. Помимо сбалансированности функция должна удовлетворять строгому лавинному критерию (критерий распространения m). Булева функция f(x), где x – вектор из n переменных, удовлетворяет СЛК, если при изменении одного из n входных битов выходной бит меняется с вероятностью ровно 1/2. Пример булевой функции трех переменных, для которой выполняется СЛК приведен в таблице 1. 16

Таблица 1. Пример булевой функции удовлетворяющей СЛК Входные биты x Выходной бит f(x) 000 001 010 011 100 101 110 111 1 1 1 0 1 0 0 0 В данной работе будут сгенерированы S-блоки, основанные на булевых функциях, и удовлетворяющие строгому лавинному критерию и сбалансированности. 2.5 Критерии криптографического качества 2.5.1 Расстояние нелинейности Расстояние нелинейности S-блока принято определять как степень удаленности, в смысле некоторой метрики, его компонентных функций от множества функций, принятых за линейные. Вычисляется расстояние нелинейности по следующей формуле: 1 𝑁𝑓 = 2𝑘−1 − 𝑚𝑎𝑥{|𝑆|} (5) 2 В данной формуле 𝑚𝑎𝑥{|𝑆|} – это максимально возможная длина величины линейности. 2.5.2 Матрица коэффициентов корреляции Данный критерий определяется следующим образом: каждый бит исходного вектора y должен быть статистически независимым от каждого бита входного вектора x. Количественно степень линейной статистической (корреляционной) связи между выходными и входными битами описывается с помощью корреляционной матрицы. [7] ̅̅̅̅̅̅ Матрицей коэффициентов корреляции S-блока ρ = ||ρv,μ||, v, μ = 1, 𝑘 длины N = pk называется матрица, элементы которой вычисляются в соответствии со следующей формулой: 17

𝜌𝑣,𝜇 = ∑ ℕ 𝑡=1 ℕ ∑ℕ 𝑡=1 𝑥𝑣,𝑡 ∑𝑡=1 𝑦𝜇,𝑡 𝑥𝑣,𝑡 𝑦𝜇,𝑡 − 𝑁 2 (∑ℕ𝑡=1 𝑦𝜇,𝑡 )2 (∑ℕ 𝑡=1 𝑥𝑣,𝑡 ) ℕ ℕ 2 2 √(∑𝑡=1(𝑥𝑣,𝑡 ) − ) × (∑𝑡=1(𝑦𝜇,𝑡 ) − ) 𝑁 𝑁 (6) где μ, v — номера компонентных функций исследуемого S-блока и тривиальной подстановки 0,1, ..., N −1; k = logp N — количество компонентных функций. Для хорошего шифра характерно отсутствие корреляции между битами выхода и входа либо равномерное распределение коэффициентов корреляции. 2.6 Оценка качества блоков замен Для оценки качества сгенерированных S-блоков будет произведено вычисление матрицы коэффициентов нужно представить их в виде компонентных функций и рассчитать коэффициент корреляции между значениями на входе и выходе S-блока. Как можно больше коэффициентов должно быть равно 0, а значение максимума модулей коэффициентов иметь малое значение. Также S-блоки для обеспечения криптографической стойкости шифра блоки замен должны быть высоконелинейными. 2.7 Выводы Таким образом для генерирования надежных S-блоков необходимо учитывать следующие моменты: − использовать функции, удовлетворяющие строгому лавинному критерию и сбалансированности; − генерация на основе этих функций S-блоков, имеющих наиболее качественные коэффициенты корреляционной матрицы; − проверить данные S-блоки на расстояние нелинейности, постараться выявить взаимосвязь между этими качественными криптографическими характеристиками. Далее будет написана программа, выполняющая данные задачи, и проведено исследование полученных результатов. 18

3 РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДИКИ ПОВЫШЕНИЯ СТОЙКОСТИ ПРИ ГЕНЕРАЦИИ БЛОКОВ ЗАМЕН НА ОСНОВЕ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 3.1 Реализация методики посредством программы Для реализации методики, описанной во второй главе, была разработана программа код которой содержится в Приложении А. Код написан на языке С++ в среде разработки Microsoft Visual Studio 2019. Данная программа вычисляет функции, удовлетворяющие строгому лавинному критерию и сбалансированности, и на их основании создает блоки замен для которых вычисляются матрица коэффициентов корреляции и расстояние нелинейности. Также для исследования были отдельно сгенерированы блоки замен без строгого лавинного критерия. 3.1.1 Генерация функций для блоков замен На первом этапе своей работы программа выписывает в отдельный файл функции, которые удовлетворяют сбалансированности и строгому лавинному критерию методом перебора функций от первой сбалансированной функции до последней. Функции трех переменных, удовлетворяющие представлены в таблице ниже. Таблица 2 – Функции, удовлетворяющие сбалансированности и СЛК 00001111 00111100 01101001 10011001 11000101 00010111 01000111 01101010 10011010 11000110 00011011 01001011 01101100 10011100 11001001 00011101 01001101 01110001 10100011 11001010 00011110 01001110 01110010 10100101 11001100 00100111 01010011 01110100 10100110 11010001 00101011 01010101 01111000 10101001 11010010 00101101 01010110 10000111 10101010 11010100 00101110 01011001 10001011 10101100 11011000 00110011 01011010 10001101 10110001 11100001 00110101 01011100 10001110 10110010 11100010 00110110 01100011 10010011 10110100 11100100 00111001 01100101 10010101 10111000 11101000 00111010 01100110 10010110 11000011 11110000 19

Список функций для четырех переменных представлен в Приложении Б. 3.1.2 Генерация блоков замен S-блок называется биективным, если его кодирующая Qпоследовательность содержит все элементы последовательности 0, 1, ..., N-1. [7] На основе полученных на первом шаге СЛК-функций происходит генерация S-блоков, при этом учитывается биективность. Q-последовательности прошедшие проверку выписывались во второй файл и передавались далее для вычисления их криптографического качества. 3.1.3 Матрица коэффициентов корреляции Для исследования качества полученных S-блоков будем исследовать следующие критерии криптографического качества функций: − матрица коэффициентов корреляции; − расстояние нелинейности; Для расчета матрицы коэффициентов корреляции использовалась ранее описанная формула (6). В программе в первую очередь подсчитывались отдельные суммы входных и выходных векторов, которые затем подставлялись в общую формулу. Результат представлен во втором файле в виде матрицы. 3.1.4 Расстояние нелинейности Расстояние нелинейности S-блока принято определять как степень удаленности, в смысле некоторой метрики, его компонентных функций от множества функций, принятых за линейные. Для вычисления расстояния нелинейности использовалась формула: 1 𝑁𝑓 = 2𝑘−1 − 𝑚𝑎𝑥{|𝑆|} (7) 2 Из этой формулы следует, что чем меньше максимум модуля коэффициента S, тем выше нелинейность функции f. Для вычисления нелинейности S-блока q-значной логики используется формула: 20

𝑞 𝑘 − 𝑚𝑎𝑥{|𝑆|}, 𝑞 > 2; 𝑁𝐿 = { 𝑘−1 1 2 − {|𝑆|}, 𝑞 = 2. (8) 2 Данное выражение является определением q-нелинейности S-блока. В качестве примера рассмотрим один из S-блоков ГОСТ 34.12-2018 «Магма»: S = [6 8 2 3 9 10 5 12 1 14 4 7 11 13 0 15] Представим в виде компонентных булевых функций: 0100110101001101 𝐹2 = [1000001101110101 ] 1011010001011001 0001101010011101 (9) Получим нелинейность 𝑁𝐿 = min{4,4,4,4} = 4 В программе расстояние нелинейности записывается во второй файл после матрицы коэффициентов корреляции. 3.1.5 Схема Кима С помощью схемы Кима из S-блоков длины N = 8 были получены блоки длинной N = 16. Схема Кима осуществляет идею двухэтапного построения блоков, то есть позволяет из небольших S-блоков построить блоки нужной длины, при сохранении их оптимальности. Получаем следующий алгоритм работы: 1. Переборным методом находим все малые блоки замен, они должны удовлетворять критерию нулевой корреляции между блоками входа и выхода. 2. Применяем схему Кима, получаем увеличение длины блока в 2 раза. 3. Производим перестановку столбцов в обратном порядке, сохраняя таким образом оптимальность и увеличивая количество блоков замен. 4. Если требуемая длина не достигнута, то повторно применяем схему Кима [9]. Для полученных S-блоков вычисляем матрицу коэффициентов корреляции и расстояние нелинейности. 21

3.1.6 Обобщенная схема работы программы В результате получим обобщённую схему работы программы, представленную на рисунке 4. Рисунок 4 – Схема работы программы 3.1.7 Тестирование программы Программа была протестирована для генерации блоков замен на основе булевых функций, удовлетворяющих сбалансированности и строгому лавинному критерию для трех переменных. Программа не предполагает действий со стороны пользователя, однако в параметрах можно увеличить количество пе22

ременных, что повлечет за собой значительное увеличение времени работы программы. При количестве переменных k = 3, работа программы занимает около 5 минут. Для большего количества переменных время работы увеличивается в несколько раз и занимает более часа. Причина увеличения времени кроется в значительном увеличении количества булевых функций, так для трех переменных все функции перечислены в таблице 2, а лишь половина из всех функций для четырех переменных приведены в Приложении Б. Время работы программы для k продемонстрировано на рисунке 5. Рисунок 5 – Время работы программы для трех переменных Поэтому было принято решение генерировать блоки для трех переменных длинной N = 8, которые впоследствии увеличиваются с помощью схемы Кима до N = 16. 3.2 Исследование полученных результатов В результате работы программы получили два файла, в одном из них содержатся функции, удовлетворяющие сбалансированности и строгому лавинному критерию, все эти функции были приведены в таблице 2. На основе этих функций были сгенерированы блоки замен, содержащиеся во втором файле. Также во втором файле содержатся данные о матрице коэффициентов корреляции и расстоянии нелинейности. Пример содержимого второго файла приведен на рисунке 6. 23

Рисунок 6 – Блок замен и его параметры Выбранные критерии оценки качества являются одними из основных и позволяют достаточно полно оценить пригодность того или иного блока замен для выполнения своих задач. Именно поэтому важно найти зависимость между расстоянием нелинейности и корреляционной матрицей, постараться определить их взаимное влияние друг на друга и определить рекомендации по выбору блоков замен. В первую очередь, согласно полученным данным расстояние нелинейности зависит от длины блока замен, чем он длиннее, тем выше 𝑚𝑎𝑥{|𝑆|} для формулы расстояния нелинейности и тем больше удаленность компонентных функций от линейных. Пример расстояния нелинейности для булевых функций трех и четырех переменных приведен на рисунке 7. Рисунок 7 – Расстояние нелинейности 24

Для дальнейших исследований были внесены изменения в программу и сгенерирован еще один файл, в который записывались данные, для которых выполнение строгого лавинного критерия было необязательным. Полученные блоки имеют расстояние нелинейности ноль, что очень сближает их с линейными функциями и делает непригодными с точки зрения криптографического качества. Примеры блоков замен без обязательного строгого лавинного критерия приведены на рисунке 8. Рисунок 8 – Блоки замен без СЛК Данные блоки наглядно демонстрируют необходимость СЛК при выборе функций для генерации блоков замен. Статистическая независимость выхода S-блока подстановки от его входа, то есть матрица коэффициентов корреляции является хорошим качеством шифра тогда, когда ее элементы состоят из нулей. Исследуя матрицы коэффициентов корреляции полученных блоков замен без СЛК, можно заметить, что у большинства матриц большая часть элементов состоит из нулей, однако наличие даже одной единицы приводит к тому, что блок замен становится близок к линейному. Если сравнить эти данные с матрицами удовлетворяющими СЛК в которых отсутствуют единицы, то можно заметить, что их расстояние нелинейности выше, чем у матриц, которые состоят из нулей, но имеют хотя бы одну единицу. Из этого можно сделать вывод о том, что нули в матрице коэффициентов корреляции не влияют на расстояние нелинейности, а вот единицы снижают нелинейность практически до линейных функций. Пример сравнения таких данных показан на рисунке 9. 25

Рисунок 9 – Сравнение данных Так как на основании полученных блоков для трех и четырех переменных не найдено ни одного S-блока удовлетворяющего СЛК и имеющего такую матрицу коэффициентов корреляции, чтобы все значения были равны нулю, что обозначало бы оптимальный с точки зрения этого критерия блок замен, рекомендуем использовать такие блоки, в которых элементы матрицы имеют равномерное распределение, то есть надо стремиться минимизировать разности их абсолютных значений. Исходя из этого стоит избегать матриц со значениями близкими к единице и отбрасывать матрицы в которых такая единица содержится. Часть подходящих блоков замен, созданных программой, представлена в Приложении В. Согласно недавним исследованиям блоки со всеми нулевыми элементами можно получить только при больших k, рекомендуется k = 8, но первые нулевые матрицы появляются при k = 5 [9]. 3.3 Выводы В результате проведенного исследования можно сделать следующие рекомендации для генерации блоков замен: − при генерации необходимо обязательно проверять соответствие функций строгому лавинному критерию, иначе велик шанс блок замен с слабыми криптографическими свойствами; − матрицу коэффициентов корреляции рекомендуется использовать только со значениями близкими к нулю и отбрасывать матрицы с единичками, 26

так как наличие даже одной единички в матрице, в которой все остальные элементы равны нулю сделает этот блок близким к линейному; − несмотря на то, что данная работа носит исследовательский характер, имеющаяся программа может использоваться для получения таких блоков замен в том числе и в ГОСТ 28147-89, так как имеют такую же длину N = 16, однако для достаточной эффективности требуется большое количество вычислительных мощностей; − при наличии достаточных вычислительных мощностей рекомендуется использовать большее количество переменных, от пяти, рекомендуемое количество от восьми. 27

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Таким образом, в ходе практики была разработана и протестирована программа, генерирующая блоки замен для булевых функций трех и четырех переменных. Программа выбирает булевы функции удовлетворяющие СЛК и сбалансированности и на их основе создает блоки замен для которых рассчитываются матрицы коэффициентов корреляции. Функции для трех и часть функций для четырех переменных приведены в таблице 1 и приложении Б соответственно. На основе полученных данных была установлена зависимость между матрицей коэффициентов корреляции и расстоянием нелинейности, точнее ухудшение нелинейности при наличии в матрице коэффициентов корреляции хотя бы одной единички. Также был сделан вывод о малом влиянии большого количества нулей в матрице коэффициентов корреляции и необходимость при малом количестве переменных придерживаться матриц с распределенными значениями близкими к нулю. При учете вышеперечисленных критериев обязательным является удовлетворение булевой функции строгому лавинному критерию, так как в противном случае у полученных блоков замен теряется нелинейность, что свидетельствует о плохом качестве данных S-блоков с точки зрения криптографической стойкости. Было порекомендовано использование блоков замен большей длины при наличии достаточных вычислительных ресурсов. 28

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Игошин, В.И. Математическая логика и теория алгоритмов / В.И. Игошин. – Москва : Издательский центр «Академия», 2008. – 448 с. – Текст : непосредственный. 2. Агафонова, И.В. Криптографические свойства нелинейных булевых функций / И.В. Агафонова. – Текст : электронный // URL: http://dha.spb.ru/PDF/cryptoBOOLEAN.pdf (дата обращения 27.03.2020). 3. Грушо, А.А Анализ и синтез криптоалгоритмов. / А. А. Грушо, Э. А. Применко, Е.Е Тимонина. – Изд-во Марийского филиала Московского открытого социального университета, 2000. – 110 с. – Текст : непосредственный. 4. Токарева, Н. Н. Бент-функции: результаты и приложения. Обзор работ № 1(3) / Н.Н. Токарева. – ПДМ, 2009. – Текст : электронный // URL: http://mi.mathnet.ru/pdm50 (дата обращения 01.04.2020). 5. Сидоренко, А.В. Лавинный эффект в алгоритмах шифрования на основе динамического хаоса // А. В. Сидоренко, К. С. Мулярчик БГУ, Минск. – Текст : электронный // URL: http://elib.bsu.by/handle/123456789/52134 (дата обращения 12.04.2020). 6. Vergili, Işıl. Avalanche and Bit Independence Properties for the Ensembles of Randomly Chosen n × n S-Boxes. / I. Vergili. – 2001. – Текст: электронный // URL: https://pdfs.semanticscholar.org/187c/14aaae1ef93090716c37d79dbe0b5ff41178. pdf (дата обращения 13.04.2020). 7. Жданов, О.Н. Криптографические конструкции на основе функций многозначной логики: монография / А.В. Соколов, О.Н. Жданов. – Москва : ИНФРА-М, 2020. – 174 с. – Текст : непосредственный. 8. ГОСТ 28147-89. Системы обработки информации. Защита криптографическая. Алгоритм криптографического преобразования: Переиздание, апрель 1996 : утвержден и введён в действие постановлением Государственного комитета СССР по стандартам от 02.06.89 № 1409 – Текст : электронный // URL: http://docs.cntd.ru/document/1200007350 (дата обращения 14.04.2020). 9. Соколов, А.В. Метод синтеза S-блоков по критерию нулевой корреляции между выходными и входными векторами данных и строгому лавинному критерию / М.И. Мазурков, А.В. Соколов. – НТУУ «КПИ», 2014. – Текст : непосредственный.

ПРИЛОЖЕНИЯ 30

ПРИЛОЖЕНИЕ А Код программы #include <iostream> #include <time.h> #include <fstream> using namespace std; //сравнение компонентных функций int srav(int* a, int* b, int n) { int x = 0; for (int i = 0; i < n; i++) { if (a[i] != b[i]) x++; } return x; } //перестановка массива задом наперед void obratka(int* s, int k) { int buff = 0; for (int i = 0; i < k / 2; i++) { buff = s[i]; s[i] = s[k - i - 1]; s[k - i - 1] = buff; } } //перевод из 10-й системы счисления в 2-ю void iz10v2(int y, int* s, int k) { for (int i = 0; i < k; i++) {s[i] = 0;} int x = 0; while (y > 0) { s[k - 1 - x] = y % 2; y = y / 2; x++; } 31

} //перевод из 2-й системы счисления в 10-ю int iz2v10(int s[], int k) { int y = 0; for (int i = 0; i < k; i++) {y = y + s[i] * pow(2, (k - 1) - i);} return y; } //расстояние нелинейности void nelineinost(int** vessbox, int n, int k, int* nel) { //f=axmod3 int* a = new int[k]; int* x = new int[k]; int* F = new int[n]; int symma; int zn, minzn; for (int f = 0; f < k; f++) { minzn = n; for (int b = 0; b < 2; b++) { for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { symma = 0; iz10v2(i, a, k); iz10v2(j, x, k); for (int y = 0; y < k; y++) { symma=(symma+(a[y]*x[y])%2)%2; } F[j]=(symma+b)%2; } zn = srav(vessbox[k + 1 + f], F, n); if (zn < minzn) { minzn = zn; 32

} } } nel[f] = minzn; } } //матрица коэф-в корреляции void matrkoef(int* sbox, int n, int k) { int* s = new int[k]; int** vessbox = new int* [2 * k + 1]; for (int count = 0; count < 2 * k + 1; count++) vessbox[count] = new int[n]; for (int i = 0; i < n; i++) { iz10v2(i, s, k); for (int h = 0; h < k; h++) { vessbox[h][i] = s[h]; } vessbox[k][i] = sbox[i]; iz10v2(sbox[i], s, k); for (int h = 0; h < k; h++) { vessbox[h + k + 1][i] = s[h]; } } double x = 0,y = 0,x2 = 0,y2 = 0,xy = 0; //матрица корреляций-выделение памяти double** matrix = new double* [k]; for (int i = 0; i < k; i++) matrix[i] = new double[k]; for (int i = 0; i < k; i++) { for (int j = 0; j < k; j++) { for (int q = 0; q < n; q++) { 33

x = x + vessbox[i + 0][q]; y = y + vessbox[j + k + 1][q]; x2 = x2 + vessbox[i + 0][q] * vessbox[i + 0][q]; y2 = y2 + vessbox[j + k + 1][q] * vessbox[j + k + 1][q]; xy = xy + vessbox[i + 0][q] * vessbox[j + k + 1][q]; } matrix[j][i] = (xy-(x*y)/n)/sqrt((x2-(x*x)/n)*(y2-(y*y)/n)); x=0;y=0;x2=0;y2=0;xy=0; } } int* nel = new int[k]; nelineinost(vessbox, n, k, nel);//nelineinost ofstream fout("spisok2.txt", ios::app); fout<<"S-блок: "; //cout << "S-блок: "; for (int h = 0; h < n; h++) { fout<<vessbox[k][h]<<" "; //cout<<vessbox[k][h]<<" "; } fout << endl; //cout << endl; fout << "Матрица коэфициентов корреляции: "; //cout << "Матрица коэфициентов корреляции: "; fout << endl; //cout << endl; for (int j= 0; j < k; j++) { for (int i = 0; i < k; i++) { fout<<matrix[i][j]<<"\t"; //cout<<matrix[i][j]<<"\t"; } fout << endl; //cout << endl; } fout << "Расстояние нелинейности: "; //cout << "Расстояние нелинейности: "; for (int i = 0; i < k; i++) { 34

fout << nel[i] << " "; //cout << nel[i] << " "; } fout << endl << endl; //cout << endl << endl; } //увеличение s-блока по схеме Кима void kim(int s[], int n, int k, int kolvokim) { if (kolvokim > 0) { int n2 = pow(2, k + 1); //новый размер s-блока int* s2 = new int[n2]; int* mas1 = new int[k]; int* mas2 = new int[k + 1]; int zn = 0, mesto = 0, por1 = 0,v1 = 0, q = 0; int* buff = new int[k + 1]; for (int x = 0; x < k; x++) { for (int y = 0; y < k; y++) { for (int i = 0; i < pow(2, k + 1); i++) { iz10v2(i, buff, k + 1); q = buff[k]; obratka(buff, k + 1); mesto = iz2v10(buff, k + 1); obratka(buff, k + 1); for (int j = 0; j < k; j++) { mas1[j] = buff[j]; } mas1[x] = (mas1[x] + q) % 2; obratka(mas1, k); por1 = iz2v10(mas1, k); v1 = s[por1]; iz10v2(v1, mas1, k); obratka(mas1, k); for (int j = 0; j < k; j++) { 35

mas2[j] = mas1[j]; } mas2[k] = (mas2[y] + q) % 2; obratka(mas2, k + 1); zn = iz2v10(mas2, k + 1); s2[mesto] = zn; } matrkoef(s2, n2, k + 1); kim(s2, n2, k + 1, kolvokim - 1); } } } } //перебор для слк void perebor(int s[], int n, int* flag) { if (n >= 0) { if (s[n] == 2) { s[n] = 0; perebor(s, n - 1, flag); } else s[n]++; } else *flag = 0; } //слк bool slk(int* s, int n, int k) { int* dvoich = new int[k]; int* SLK = new int[2]; bool slk = true; int rez = 0; for (int j = 0; j < k; j++) { for (int i = 1; i < 2; i++) { 36

for (int z = 0; z < 2; z++) { SLK[z] = 0; } for (int x = 0; x < n; x++) { iz10v2(x, dvoich, k); dvoich[j] = (dvoich[j] + i) % 2; rez = s[x] - s[iz2v10(dvoich, k)]; for (int z = 0; z < 2; z++) { if (rez < 0) { rez = rez + 2; } SLK[rez]++; } } } for (int z = 1; z < 2; z++) { if (SLK[0] != SLK[z]) { slk = false; break; } } } return slk; } //сбалансированность bool balanced(int s[], int n) { bool flag = true; int kolvo = 0; for (int i = 0; i < 2; i++) { kolvo = 0; for (int j = 0; j < n; j++) { 37

if (s[j] == i) { kolvo++; } } if (kolvo != n / 2) { flag = false; break; } } return flag; } int main() { setlocale(LC_ALL, "Russian"); int k = 3; //kolvo peremennih int n = pow(2, k); //dlina int* s = new int[n]; //gen: int* dvoich = new int[k]; int* sbox = new int[n]; int notS; //int kolvokima = k-3; for (int i = 0; i < n; i++) { s[i] = 0; } for (int i = 0; i <2; i++)//00001111 { for (int j = 0; j < n /2; j++) { s[i * (n / 2) + j] = i; } } int** f = new int* [10000]; for (int i = 0; i < 10000; i++) f[i] = new int[n]; 38

int x = 0; //balans,slk ofstream fout("spisok1.txt"); int flag = 1; while (flag>0) { if (balanced(s, n)) { if (slk(s, n, k)) { for (int y = 0; y < n; y++) { f[x][y] = s[y]; fout<< f[x][y]; //cout << f[x][y]; } x++; fout << endl; //cout << endl; } } perebor(s, n - 1, &flag); } //generatia sbox cout<<"Программа не зависла, генерация займет время"<<endl; for (int i = 0; i < x; i++) { for (int y = 0; y < x; y++) { for (int z = 0; z < x; z++) { notS = 0; for (int j = 0; j < n; j++) { dvoich[0] = f[i][j]; dvoich[1] = f[y][j]; dvoich[2] = f[z][j]; sbox[j] = iz2v10(dvoich, k); 39

for (int h = 0; h < j; h++) { if (sbox[j] == sbox[h]) { notS = 1; break; } } if (notS == 1) break; } if (notS == 0) { matrkoef(sbox, n, k); kim(sbox, n, k, 1); } } } } cout << "Программа закончила генерацию, второй файл доступен" << endl; system("pause"); } 40

ПРИЛОЖЕНИЕ Б Булевы функции четырех переменных, удовлетворяющие СЛК и сбалансированности 0000011001101111 0000011011010111 0000011101110110 0000100101111011 0000100111101011 0000101110011101 0000110110011011 0000111010011011 0001001001111011 0001001011010111 0001001101111010 0001010001111110 0001010011010111 0001010110111100 0001011100111010 0001011101110010 0001011110100011 0001011111010100 0001100010111101 0001100100101111 0001101000110111 0001101100100111 0001101101001110 0001101110001110 0001101111001010 0001110010101110 0001110100101110 0001110101110001 0001110110110001 0001110111011000 0001111110011000 0010000110111101 0010001101011011 0010010001101111 0010010010111110 0010010101110011 0010011001001111 0010011100011101 0010011101110001 0010011110001110 0010011111100010 0010100001111110 0010100011111001 0010101011100011 0010101101001101 0010101110001101 0010101110111000 0010110001110101 0010111000011011 0010111001011100 0010111010100011 0010111011100100 0000011001111110 0000011011011110 0000011110011011 0000100101111101 0000100111101101 0000101110111001 0000110110111001 0000111010011101 0001001001111110 0001001011011011 0001001110100111 0001010010011111 0001010011011110 0001010111000111 0001011101001101 0001011101110100 0001011110110001 0001100001111011 0001100010111110 0001100101001111 0001101001110011 0001101100101110 0001101101011100 0001101110100011 0001101111010001 0001110010111010 0001110100111010 0001110101110100 0001110110111000 0001111100100110 0010000101101111 0010000111100111 0010001101111010 0010010001111101 0010010011100111 0010010110110011 0010011010001111 0010011100111010 0010011101110010 0010011110101100 0010011111100100 0010100010111101 0010101000111101 0010101100010111 0010101101001110 0010101110001110 0010101111001010 0010110010101011 0010111000011101 0010111001110010 0010111010110010 0010111011101000 0000011010011111 0000011011100111 0000011110011101 0000100110011111 0000100111111001 0000101111011001 0000110111011001 0000111011100110 0001001010011111 0001001011011110 0001001110110101 0001010010110111 0001010011110110 0001010111010011 0001011101001110 0001011110001011 0001011110110010 0001100001111101 0001100011011011 0001100110001111 0001101010110011 0001101100110101 0001101101110001 0001101110110001 0001101111011000 0001110011010101 0001110101000111 0001110110001011 0001110111000101 0001111101000110 0010000101111011 0010000111101011 0010001110101101 0010010001111110 0010010011101101 0010010111001101 0010011011110010 0010011101001101 0010011101110100 0010011110110001 0010100001101111 0010100010111110 0010101001111100 0010101100011101 0010101101010011 0010101110101100 0010101111100010 0010110010111010 0010111000110101 0010111001110100 0010111010111000 0010111100011001 41 0000011010110111 0000011011110110 0000011111100110 0000100110111101 0000101101100111 0000110101100111 0000111001100111 0000111101100110 0001001010110111 0001001011110110 0001001111011010 0001010010111101 0001010100111110 0001011100101011 0001011101011100 0001011110001101 0001011111000101 0001100001111110 0001100011011110 0001100111110001 0001101011001110 0001101101000111 0001101101110010 0001101110110010 0001110001010111 0001110100100111 0001110101001110 0001110110001110 0001110111010001 0001111110001001 0010000101111101 0010000111101101 0010001110110101 0010010010110111 0010010011110110 0010010111101100 0010011011110100 0010011101001110 0010011110001011 0010011110110010 0010100001111011 0010100011101011 0010101010111100 0010101100110101 0010101101110001 0010101110110001 0010101111101000 0010110011101010 0010111001000111 0010111010001011 0010111011001010 0010111101000110 0000011010111110 0000011101101110 0000100101101111 0000100111011011 0000101101101110 0000110101101110 0000111001110110 0000111110011001 0001001010111110 0001001101011110 0001010001111101 0001010010111110 0001010101111100 0001011100101110 0001011101110001 0001011110001110 0001011111010001 0001100010011111 0001100011111001 0001100111111000 0001101011011100 0001101101001101 0001101110001101 0001101110111000 0001110001110101 0001110100101011 0001110101010011 0001110110101100 0001110111010100 0001111110010001 0010000110110111 0010000111111001 0010001111100101 0010010010111101 0010010100111011 0010011000011111 0010011100011011 0010011101010011 0010011110001101 0010011111000101 0010100001111101 0010100011101101 0010101011001011 0010101101000111 0010101101110010 0010101110110010 0010110001011101 0010111000010111 0010111001001101 0010111010001101 0010111011100010 0010111101100010

0010111101100100 0011000110101101 0011001010110101 0011010001011101 0011010100101011 0011010101010011 0011010110101100 0011010111010100 0011011110100001 0011100010101110 0011101000110101 0011101001110100 0011101010110001 0011101100100101 0011110001010101 0011110101010100 0011111010100010 0100000111010111 0100000111111001 0100001011011011 0100001101011101 0100010100111101 0100011000011111 0100011100011011 0100011101011100 0100011110001101 0100011111010100 0100100001111101 0100100011101101 0100101011011100 0100110011011010 0100110100101011 0100110101110100 0100110111010001 0100111000010111 0100111000111010 0100111010001101 0100111011100010 0100111101100010 0101000111000111 0101001010110011 0101001100101011 0101001101011100 0101001110110010 0101001111100010 0101010011010011 0101011110000011 0101100011001101 0101101100100011 0101110000010111 0101110001000111 0101110010001110 0101110011010001 0101110100111000 0101111010001100 0110000001111101 0110000011110110 0010111110001001 0011000111100101 0011001011011010 0011010010101110 0011010100101110 0011010101011100 0011010110110010 0011010111100100 0011011110100100 0011100011101010 0011101001001110 0011101010001011 0011101011001010 0011101101001010 0011110010101010 0011110110101000 0011111010101000 0100000111011011 0100001001101111 0100001011011110 0100001101110101 0100010101111100 0100011000101111 0100011100011101 0100011101110001 0100011110001110 0100011111100010 0100100001111110 0100100011111001 0100101011101100 0100110011100101 0100110100101110 0100110110001011 0100110111010100 0100111000011011 0100111001010011 0100111010101100 0100111011100100 0100111101100100 0101000111001011 0101001011001110 0101001100110101 0101001101110100 0101001111000101 0101010000111101 0101010100111100 0101011111000001 0101100011001110 0101101100110001 0101110000011011 0101110001010011 0101110010101100 0101110011100100 0101110101000011 0101111011000100 0110000001111110 0110000011111001 0011000101011011 0011001001011011 0011001101011010 0011010010111010 0011010100111010 0011010101110010 0011010110111000 0011011100011010 0011100001011101 0011101000010111 0011101001010011 0011101010001110 0011101011011000 0011101101010010 0011110100101010 0011111000010101 0100000101101111 0100000111100111 0100001001111011 0100001011100111 0100001110101011 0100010111001011 0100011010001111 0100011100101011 0100011101110010 0100011110100011 0100011111100100 0100100011011011 0100101000111011 0100110001011011 0100110100010111 0100110100110101 0100110110001110 0100110111011000 0100111000011101 0100111001110010 0100111011000101 0100111011101000 0100111110001001 0101000111100011 0101001011011100 0101001100111010 0101001110001011 0101001111001010 0101010000111110 0101010111000011 0101011111000010 0101100011101100 0101101100110010 0101110000101110 0101110001110001 0101110010111000 0101110011101000 0101110111000001 0101111011001000 0110000011100111 0110001000101111 42 0011000101111010 0011001001011110 0011001110100101 0011010011010101 0011010101000111 0011010110001101 0011010111000101 0011011101010010 0011100001110101 0011101000011101 0011101001011100 0011101010100011 0011101011100010 0011101101011000 0011110101000101 0011111001010100 0100000101111011 0100000111101011 0100001001111110 0100001011101011 0100001111010101 0100010111010011 0100011011110010 0100011100101110 0100011101110100 0100011111001010 0100100001101111 0100100011011110 0100101001110011 0100110001111010 0100110100011011 0100110101010011 0100110110101100 0100110111100100 0100111000100111 0100111001110100 0100111011010100 0100111100011001 0101000100111101 0101001000110111 0101001100011101 0101001101001101 0101001110100011 0101001111010100 0101010010111100 0101011100011100 0101100000111011 0101101000110011 0101101101001100 0101110000110101 0101110001110010 0101110011000101 0101110100101100 0101111000010011 0110000001101111 0110000011101011 0110001001001111 0011000110100111 0011001010100111 0011010001010111 0011010100011011 0011010101001101 0011010110100011 0011010111010001 0011011110000101 0011100010101011 0011101000100111 0011101001110001 0011101010101100 0011101011101000 0011101110100001 0011110101010001 0011111010001010 0100000101111101 0100000111101101 0100001011010111 0100001011110110 0100001111101010 0100010111100011 0100011011110100 0100011100110101 0100011110001011 0100011111010001 0100100001111011 0100100011101011 0100101011001101 0100110010101101 0100110100100111 0100110101110001 0100110111001010 0100110111101000 0100111000101011 0100111010001011 0100111011011000 0100111100100110 0101000101111100 0101001000111011 0101001100100111 0101001101001110 0101001110110001 0101001111011000 0101010011000111 0101011100110100 0101100001110011 0101101011001100 0101101111001000 0101110000111010 0101110010001101 0101110011001010 0101110100110100 0101111000110010 0110000001111011 0110000011101101 0110001011110001

0110001011110100 0110010011110010 0110011100001101 0110111000001011 0110111100001001 0110111101000010 0111000010111001 0111000100011101 0111000101001101 0111000111000101 0111000111101000 0111001000101110 0111001010100011 0111001011010100 0111001100100101 0111010000011101 0111010001001101 0111010010110010 0111010011100010 0111010101000011 0111011011010000 0111101001001100 0111101100100001 0111101101100000 0111110010101000 0111110100100100 0111111000000110 0111111000101000 0110001011111000 0110010011111000 0110011100001110 0110111000001101 0110111100100001 0110111101001000 0111000011011001 0111000100100111 0111000101011100 0111000111010100 0111001000010111 0111001000110101 0111001010110001 0111001011011000 0111001101001010 0111010000100111 0111010001001110 0111010010111000 0111010011101000 0111010111000001 0111011011100000 0111101011001000 0111101100101000 0111110000010101 0111110100001001 0111110100101000 0111111000010010 0111111001000010 0110010000101111 0110011000001111 0110011101110000 0110111001110000 0110111100100100 0110111101100000 0111000011100110 0111000100101011 0111000110100011 0111000111011000 0111001000011011 0111001001000111 0111001010111000 0111001011100100 0111001101011000 0111010000101110 0111010001010011 0111010011000101 0111010100011100 0111011000000111 0111101000010011 0111101100001001 0111101101000001 0111110000101010 0111110100010100 0111110101000001 0111111000010100 0111111001001000 43 0110010001001111 0110011011110000 0110011111100000 0110111011100000 0110111100101000 0111000001100111 0111000100010111 0111000100111010 0111000110110010 0111000111100010 0111001000100111 0111001001001110 0111001011001010 0111001011101000 0111001110100001 0111010000111010 0111010010101100 0111010011010001 0111010100101100 0111011000001110 0111101000100011 0111101100010010 0111101101000010 0111110001000101 0111110100011000 0111110101001000 0111111000011000 0111111001100000 0110010011110001 0110011100001011 0110111000000111 0110111100000110 0110111101000001 0111000001101110 0111000100011011 0111000101000111 0111000110111000 0111000111100100 0111001000101011 0111001001011100 0111001011010001 0111001100011010 0111010000010111 0111010001000111 0111010010110001 0111010011011000 0111010100111000 0111011010110000 0111101000110001 0111101100011000 0111101101001000 0111110001010001 0111110100100001 0111110101100000 0111111000100100 0111111000101000

ПРИЛОЖЕНИЕ В Качественные блоки замен на основе булевых функций трех и четырех переменных S-блок: 0 9 2 4 11 13 6 15 1 8 12 10 5 3 7 14 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0 0.5 0.5 0.5 0 0.5 0.5 -0.5 0.5 0 0 0 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 0 1 10 4 11 5 14 15 9 8 12 2 13 3 7 6 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0 0.5 0.5 0.5 0 0.5 0.5 -0.5 -0.5 0 0 0 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 0 1 2 12 3 13 14 15 9 8 4 10 5 11 7 6 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0 0.5 0.5 0.5 0 0.5 0.5 -0.5 0.5 0 0 0 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 0 9 2 4 11 13 6 15 10 12 8 1 14 7 3 5 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0 0.5 0.5 0.5 -0.5 0 0 0 0 0.5 -0.5 0.5 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 0 1 10 4 11 5 14 15 2 12 8 9 6 7 3 13 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0 0 0 0 0.5 -0.5 0.5 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 0 1 2 12 3 13 14 15 10 4 8 9 6 7 11 5 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0 0 0 0 0.5 -0.5 0.5 44

Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 0 9 2 4 11 13 6 15 3 5 14 7 8 1 10 12 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0.5 0 0 0 0 0.5 0.5 -0.5 0 0.5 -0.5 0.5 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 0 1 10 4 11 5 14 15 3 13 6 7 8 9 2 12 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0.5 0 0 0 0 0.5 0.5 -0.5 0 0.5 -0.5 0.5 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 0 1 2 12 3 13 14 15 11 5 6 7 8 9 10 4 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0.5 0 0 0 0 0.5 0.5 -0.5 0 0.5 -0.5 0.5 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 0 1 2 4 3 5 7 6 Матрица коэффициентов корреляции: 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 -0.5 0.5 -0.5 0 Расстояние нелинейности: 2 2 2 S-блок: 0 9 2 4 11 13 15 6 1 8 12 10 5 3 14 7 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0 0.5 0.5 0.5 0 0.5 0.5 -0.5 0 0 0 0 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 0 1 10 4 11 5 15 14 9 8 12 2 13 3 6 7 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0 0.5 0.5 0.5 0 0.5 0.5 -0.5 -0.5 0 0 0 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 0 1 2 12 3 13 15 14 9 8 4 10 5 11 6 7 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 45

0 0.5 0.5 0.5 0 0.5 0.5 -0.5 0.5 0 0 0 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 0 9 2 4 11 13 15 6 10 12 8 1 7 14 3 5 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0 0.5 0.5 0.5 -0.5 0 0 0 0 0.5 -0.5 0 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 0 1 10 4 11 5 15 14 2 12 8 9 7 6 3 13 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0 0 0 0 0.5 -0.5 0 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 0 1 2 12 3 13 15 14 10 4 8 9 7 6 11 5 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0 0 0 0 0.5 -0.5 0 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 0 9 2 4 11 13 15 6 3 5 7 14 8 1 10 12 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0.5 0 0 0 0 0.5 0.5 -0.5 0 0.5 -0.5 0 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 0 1 10 4 11 5 15 14 3 13 7 6 8 9 2 12 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0.5 0 0 0 0 0.5 0.5 -0.5 0 0.5 -0.5 0 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 0 1 2 12 3 13 15 14 11 5 7 6 8 9 10 4 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0.5 0 0 0 0 0.5 0.5 -0.5 0 0.5 -0.5 0 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 46

S-блок: 0 1 3 5 2 4 6 7 Матрица коэффициентов корреляции: 0.5 0.5 -0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 -0.5 0.5 Расстояние нелинейности: 2 2 2 S-блок: 0 9 11 13 2 4 6 15 1 8 5 3 12 10 7 14 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0 0.5 0.5 -0.5 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0 0 0 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 0 1 11 5 10 4 14 15 9 8 13 3 12 2 7 6 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0 0.5 0.5 -0.5 0 0.5 0.5 0.5 -0.5 0 0 0 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 0 1 3 13 2 12 14 15 9 8 5 11 4 10 7 6 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0 0.5 0.5 -0.5 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0 0 0 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 0 9 11 13 2 4 6 15 3 5 8 1 14 7 10 12 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0 0.5 0.5 -0.5 0.5 0 0 0 0 0.5 -0.5 0.5 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 0 1 11 5 10 4 14 15 3 13 8 9 6 7 2 12 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0 0.5 0.5 -0.5 0.5 0 0 0 0 0.5 -0.5 0.5 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 0 1 3 13 2 12 14 15 11 5 8 9 6 7 10 4 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0 0.5 0.5 -0.5 47

0.5 0 0 0 0 0.5 -0.5 0.5 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 0 9 11 13 2 4 6 15 10 12 14 7 8 1 3 5 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 -0.5 0 0 0 0 0.5 0.5 0.5 0 0.5 -0.5 0.5 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 0 1 11 5 10 4 14 15 2 12 6 7 8 9 3 13 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0.5 0 0 0 0 0.5 0.5 0.5 0 0.5 -0.5 0.5 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 0 1 3 13 2 12 14 15 10 4 6 7 8 9 11 5 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0.5 0 0 0 0 0.5 0.5 0.5 0 0.5 -0.5 0.5 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 0 1 3 5 2 4 7 6 Матрица коэффициентов корреляции: 0.5 0.5 -0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 -0.5 0 Расстояние нелинейности: 2 2 2 S-блок: 0 9 11 13 2 4 15 6 1 8 5 3 12 10 14 7 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0 0.5 0.5 -0.5 0 0.5 0.5 0.5 0 0 0 0 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 0 1 11 5 10 4 15 14 9 8 13 3 12 2 6 7 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0 0.5 0.5 -0.5 0 0.5 0.5 0.5 -0.5 0 0 0 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 0 1 3 13 2 12 15 14 9 8 5 11 4 10 6 7 48

Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0 0.5 0.5 -0.5 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0 0 0 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 0 9 11 13 2 4 15 6 3 5 8 1 7 14 10 12 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0 0.5 0.5 -0.5 0.5 0 0 0 0 0.5 -0.5 0 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 0 1 11 5 10 4 15 14 3 13 8 9 7 6 2 12 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0 0.5 0.5 -0.5 0.5 0 0 0 0 0.5 -0.5 0 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 0 1 3 13 2 12 15 14 11 5 8 9 7 6 10 4 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0 0.5 0.5 -0.5 0.5 0 0 0 0 0.5 -0.5 0 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 0 9 11 13 2 4 15 6 10 12 7 14 8 1 3 5 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 -0.5 0 0 0 0 0.5 0.5 0.5 0 0.5 -0.5 0 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 0 1 11 5 10 4 15 14 2 12 7 6 8 9 3 13 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0.5 0 0 0 0 0.5 0.5 0.5 0 0.5 -0.5 0 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 0 1 3 13 2 12 15 14 10 4 7 6 8 9 11 5 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0.5 0 0 0 0 0.5 0.5 0.5 49

0 0.5 -0.5 0 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 1 0 2 4 3 5 6 7 Матрица коэффициентов корреляции: 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 -0.5 0.5 -0.5 0 Расстояние нелинейности: 2 2 2 S-блок: 9 0 2 4 11 13 6 15 8 1 12 10 5 3 7 14 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0 0.5 0.5 0.5 0 0.5 0.5 -0.5 0 0 0 0 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 1 0 10 4 11 5 14 15 8 9 12 2 13 3 7 6 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0 0.5 0.5 0.5 0 0.5 0.5 -0.5 -0.5 0 0 0 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 1 0 2 12 3 13 14 15 8 9 4 10 5 11 7 6 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0 0.5 0.5 0.5 0 0.5 0.5 -0.5 0.5 0 0 0 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 9 0 2 4 11 13 6 15 10 12 1 8 14 7 3 5 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0 0.5 0.5 0.5 -0.5 0 0 0 0 0.5 -0.5 0 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 1 0 10 4 11 5 14 15 2 12 9 8 6 7 3 13 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0 0 0 0 0.5 -0.5 0 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 1 0 2 12 3 13 14 15 10 4 9 8 6 7 11 5 Матрица коэффициентов корреляции: 50

0 0 0 0 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0 0 0 0 0.5 -0.5 0 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 9 0 2 4 11 13 6 15 3 5 14 7 1 8 10 12 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0.5 0 0 0 0 0.5 0.5 -0.5 0 0.5 -0.5 0 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 1 0 10 4 11 5 14 15 3 13 6 7 9 8 2 12 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0.5 0 0 0 0 0.5 0.5 -0.5 0 0.5 -0.5 0 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 1 0 2 12 3 13 14 15 11 5 6 7 9 8 10 4 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0.5 0 0 0 0 0.5 0.5 -0.5 0 0.5 -0.5 0 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 1 0 2 4 3 5 7 6 Матрица коэффициентов корреляции: 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 -0.5 0.5 -0.5 -0.5 Расстояние нелинейности: 2 2 2 S-блок: 9 0 2 4 11 13 15 6 8 1 12 10 5 3 14 7 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0 0.5 0.5 0.5 0 0.5 0.5 -0.5 -0.5 0 0 0 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 1 0 10 4 11 5 15 14 8 9 12 2 13 3 6 7 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0 0.5 0.5 0.5 0 0.5 0.5 -0.5 -0.5 0 0 0 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 51

S-блок: 1 0 2 12 3 13 15 14 8 9 4 10 5 11 6 7 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0 0.5 0.5 0.5 0 0.5 0.5 -0.5 0.5 0 0 0 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 9 0 2 4 11 13 15 6 10 12 1 8 7 14 3 5 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0 0.5 0.5 0.5 -0.5 0 0 0 0 0.5 -0.5 -0.5 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 1 0 10 4 11 5 15 14 2 12 9 8 7 6 3 13 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0 0 0 0 0.5 -0.5 -0.5 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 1 0 2 12 3 13 15 14 10 4 9 8 7 6 11 5 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0 0 0 0 0.5 -0.5 -0.5 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 9 0 2 4 11 13 15 6 3 5 7 14 1 8 10 12 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0.5 0 0 0 0 0.5 0.5 -0.5 0 0.5 -0.5 -0.5 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 1 0 10 4 11 5 15 14 3 13 7 6 9 8 2 12 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 0.5 0 0 0 0 0.5 0.5 -0.5 0 0.5 -0.5 -0.5 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 1 0 2 12 3 13 15 14 11 5 7 6 9 8 10 4 Матрица коэффициентов корреляции: 0 0 0 0 52

0.5 0 0 0 0 0.5 0.5 -0.5 0 0.5 -0.5 -0.5 Расстояние нелинейности: 4 4 4 4 S-блок: 1 0 3 5 2 4 6 7 Матрица коэффициентов корреляции: 0.5 0.5 -0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 -0.5 0 Расстояние нелинейности: 2 2 2 53