Представление натурального числа суммой трех слагаемых с простыми числами

Деденева Я.П.

Представление натурального числа суммой трех слагаемых с простыми числами

01.03.01 Математика

Математика

Дипломы

Вуз: Белгородский государственный университет - национальный исследовательский университет (НИУ «БелГУ»)

ID: 5b887a167966e1073081b352

UUID: 38e75b00-8ed8-0136-b215-525400005860

Язык: Русский

Опубликовано: больше 5 лет назад

Просмотры: 12

Деденева Я.П.

Источник: Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Белгородский государственный национальный исследовательский университет»

Комментировать 0

Рецензировать 0

Скачать - 1,2 МБ

Поделиться работой

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ( Н И У « Б е л Г У » ) ИНСТИТУТ ИНЖЕНЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК КАФЕДРА ОБЩЕЙ МАТЕМАТИКИ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА СУММОЙ ТРЕХ СЛАГАЕМЫХ С ПРОСТЫМИ ЧИСЛАМИ Выпускная квалификационная работа обучающегося по направлению подготовки 01.03.01 Математика очной формы обучения, группы 07001309 Деденевой Яны Петровны Научный руководитель к. ф.-м. н. Шевцова М.В. БЕЛГОРОД 2017

2 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................. 3 ГЛАВА 1. ПРОБЛЕМА ГОЛЬДБАХА ..................................................... 5 1.1 Вспомогательные утверждения ........................................................... 5 1.2 Круговой метод в проблеме Гольдбаха .............................................. 7 1.3 Линейные тригонометрические суммы с простыми числами ......... 18 1.4 Эффективная теорема ........................................................................... 26 ГЛАВА 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ ................... 34 ЗАКЛЮЧЕНИЕ .......................................................................................... 47 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ................................ 48

3 ВВЕДЕНИЕ В развитии математики существует общая закономерность: новые направления математики рождаются в недрах старых. Так и теория чисел, изучающая свойства целых и рациональных чисел, a также и любых других чисел, выросла из арифметики. [7, c.48] Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом пальцы рук и ног. Первыми существенными успехами в арифметике стало изобретение четырех основных действий: сложения, вычитания, умножения и деления. Дальнейшее развитие математики началось примерно в 3000 до н.э. благодаря вавилонянам и египтянам. [5, c.95] Математиков давно интересует вопрос о представлении любого числа в виде суммы некоторого количества простых. Одной из задач занялся более двухсот лет тому назад член Петербургской Академии наук Христиан Гольдбах. Он перепробовал очень много чисел, пытаясь разложить их на сумму простых. И пришёл к убеждению, что любое число, большее семи, представляет сумму трех простых, об этом и сообщил в письме Эйлеру. Оно является доказанным и называется тернарной проблей Гольдбаха. Так же существует более сильная гипотеза, в которой утверждается, что каждое четное число больше двух, можно представить в виде суммы двух простых чисел. Она является недоказанной и называется бинарной проблемой Гольдбаха. [2, c.34] Актуальность исследования состоит в обоснованности вопроса решения классической проблемы Гольдбаха с дополнительными условиями, теми же методами. Объектом исследования является вариант проблемы Гольдбаха: задача о числе решения уравнения с дополнительными коэффициентами.

4 Цель работы состоит в получении асимптотической формулы для числа решений уравнения при фиксированных натуральных числах m, n, k. Для достижения поставленной цели необходимо решить ряд задач: – изучить литературу по проблеме исследования; – изучить доказательство тернарной проблемы Гольдбаха; – применить изученные методы к решению аналогичной задачи с дополнительными условиями. Выпускная квалификационная работа изложена на 49 страницах, состоит из введения, заключения, двух разделов и списка использованной литературы. Введение содержит общие сведения о работе, актуальность выбранной темы, объект, цель и задачи. Первая глава имеет вспомогательный характер. В ней изложено решение тернарной проблемы Гольдбаха. Во второй главе проводится решение поставленной задачи данной работы. В заключении отражены общие выводы по работе и достигнутые результаты.

5 ГЛАВА 1. ПРОБЛЕМА ГОЛЬДБАХА 1.1 Вспомогательные утверждения Количество представлений натурального числа N выразим суммою трех простых чисел. Лемма 1. Пусть J(N) – число решений в простых числах . Тогда Где Доказательство: Если m – целое отличное от нуля число, то Следовательно, уравнения

6 Отсюда получаем Существо кругового метода Харди–Литтлвуда–Рамануджана в форме тригонометрических сумм И. М. Виноградова состоит в том, что в J(N) выделяется предполагаемый главный член асимптотической формулы для величины J(N) при N→∞. Для этого интервал интегрирования [0,1) в (1.1) разбивается несократимым рациональными дробями (дроби Фарея) на непересекающиеся интервалы; сумма интегралов по интервалам, отвечающим дробям с малыми знаменателями, и дает предполагаемый главный член. A c большими знаменателями дает остаточный член. Нам нужна будет лемма o приближении действительных чисел рациональными. [5, c.132] Лемма 2. Пусть вещественное число, тогда существует целые взаимно простые числа a и q, , такие, что Доказательство: Можно считать . Рассмотрим при m = 0, 1, …, [ ] числа{ m}. Они лежат на промежутке [0,1), следовательно найдутся значения m, m= m= , такие, что ,

7 или где 1≤| | ≤ [τ] ≤ τ. Отсюда следует утверждение леммы. [19, c.245]■ 1.2 Круговой метод в проблеме Гольбаха Предварительно преобразовав J(N),для величины J(N) выделим предполагаемый главный член асимптотической формулы. В последующих рассуждениях будем считать N≥ достаточно большое фиксированное положительное число. Пусть А и В – два положительных числа. . B силу периодичности подынтегральной функции в (1.1) по , имеем По Лемме 2 каждое из промежутка [-x , 1-x] представим в виде

8 причем а = 0 при q = 1. Через которых в представлении (1.3) q ≤ Q, через Множество обозначим те , для обозначим оставшиеся . состоит из пересекающихся отрезков. Действительно, состоит из отрезков E(a, q) вида Если E(a, q) и E не пересекаются. Обозначая через интеграл по множеству множеству , т.е. будем иметь Лемма 3. Пусть имеет вид (3 и . Тогда , а через - интеграл по

9 Где Доказательство: При любом n из промежутка по следствию 2 теоремы 6 имеем Поэтому где K последней сумме применим преобразование Абеля, полагая

10 Для C(u) воспользуемся асимптотической формулой при n ≥ 3 Из (1.4) получим утверждение леммы. ■ [3, c.107] Замечание. Постоянная в знаке О не эффективна, так как мы существенно пользовались следствием 2 теоремы 6. Лемма 4. Для величины где справедлива следующая формула:

11 Доказательство: По определению где По лемме 3 в этой формуле Отсюда Тем самым для I(a, q) находим Интеграл в последней формуле заменим близким к нему интегралом ϰ. Имеем

12 где Оценим |M(z)| при 0 < |z| ≤ ½ . Проинтегрируем один раз по частям Поэтому Получаем

13 Двойную сумму в последнем равенстве преобразуем так же, как раньше преобразовали по z. Имеем где Следовательно, Наконец, Окончательная формула: Исследуем более подробно величины ϰ и σ. Лемма 5.

14 Имеет место равенство Доказательство: Пусть Тогда Пологая, далее, находим Следовательно,

15 число решений уравнения При фиксированном имеет решений; поэтому Итак, Лемма 6. Имеет место равенство Доказательство: , уравнение

16 Покажем, что q–мультипликативная функция. Пусть тогда Отсюда следует мультипликативность то Переходя к пределу Из определения найдем получаем Так как

17 Таким образом, Доказательства лемм дали нам основной результат этого пункта. Теорема 1. Для справедлива асимптотическая формула где Замечания 1. : B данной теореме постоянная в знаке О неэффективна, так как применялось следствие 2 теоремы 6; 2. Далее в пункте 3 будет получена асимптотическая формула для с эффективной постоянной в знаке О;

18 3. При нечетном N ввиду очевидных неравенств находим Для получения асимптотической формулы для J=J(N), надо оценить a для этого нужна оценка при принадлежащих множеству . 1.3 Линейные тригонометрические суммы с простыми числами Далее будем доказывать теорему И.М.Виноградова об оценке линейной тригонометрической суммы c простыми числами. Асимптотической формулой для числа представлений нечетного N суммою трех простых чисел, будет являться следствие этой теоремы и теоремы 1. Теорема 2. Пусть Тогда

19 где Доказательство: Возьмем Найдем, воспользовавшись свойством функции Мёбиуса Отсюда где

20 Суммы и оцениваются одинаково. Оценим разобьем на отрезков вида . Отрезок и рассмотрим сумму Если то найдем применив лемму 5 где модулю q при возьмем найдем Пусть k-наименьший неотрицательный вычет числа an по тогда

21 Следовательно, первое слагаемое в (1.7) K остальным слагаемым в (1.7) применяя лемму 6, получим: Пусть теперь M<H. Сумму S(M) представим в виде Буквой обозначаем каждое превосходящих т.е. Имеем Если имеющее ровно k простых сомножителей, –максимальное значение k для то

22 Оценим Пусть -число простых сомножителей тогда Применяя тривиальное неравенство, получаем имеем Оценим Сравним c суммой где р принимает простые числа интервала значения a t принимает , имеющие ровно k-1простых сомножителей, превосходящих Пусть k-1 членов c(p,t)=p сумма имеет

23 Остальные члены суммы член суммы входит в такие же, что и члены суммы ровно k раз. Поэтому Последние равенство справедливо и при k=1. Оценим . Обозначим mp=u; интервал разобьем на Применим лемму 6 Каждый интервалов и пусть

24 Отсюда и из (1.8) Теорема 3. Для числа J(N представлений нечетного N суммою простых трех чисел справедлива следующая асимптотическая формула: Доказательство: Из Леммы 1, формул пункта 1.2 и теоремы 1 при А=15 имеем где

25 По определению множества для выполняется равенство по теореме 2 Поэтому Отсюда следует утверждение теоремы. Следствие (проблема Гольдбаха). Существует такое , что каждое нечетное есть сумма трех простых чисел. B силу значения к теореме 1 постоянная в знаке О в формуле (1.9) неэффективна, следовательно и постоянная неэффективна. Далее мы получим эффективную асимптотическую формулу для постоянная в следствии станет эффективной. , тем самым и

26 1.4 Эффективная теорема Получим нетривиальную оценку тригонометрической суммы простыми числами, когда знаменатель рационального приближения Лемма 7. Пусть достаточно малое постоянное число, Тогда Доказательство: По теореме 6 Повторим первую часть доказательства теоремы 1 – преобразование мал. c

27 где Так как некоторый действительный характер по модулю q, то Перейдем к неравенствам в (1.10)

28 Теорема 4. Для числа J(N представлений нечетного N суммою трех простых чисел справедлива следующая асимптотическая формула: где и постоянная в знаке О–эффективная. Доказательство: Возьмем по лемме 2 для определяет те , для которых Как и было, где Оценим . Если в (1.11) а –множество остальных

29 то по теореме 2 если же то по лемме 7 Поэтому Вычислим . Рассмотрим множество всех q, не превосходящих у, по следствию 3 теоремы 6 при за исключением «особых» модулей q, кратных некоторому для остальных справедлива асимптотическая формула

30 Интеграл представим в виде суммы двух интегралов где интегрирования в ведется по таким , y которых в представлении принадлежат множеству «особых» модулей. Повторим (1.11) доказательство теоремы 1 для неособых модулей где суммирование в последней сумме ведется по q, не принадлежащим к «особым» модулям, Оценим отсюда . Возьмем

31 где Для получаем оценку Для оценки Число решений уравнения не превосходит Поэтому применяем лемму 7; находим

32 суммирование в последней сумме ведется по «особым» q. Поэтому Окончательно получаем Из определения и «особых» модулей q следует из (1.13) и последней оценки находим

33 Объединим, получившиеся асимптотическую формулу для выражения для с (1.12). И получаем , a следовательно, и для J:

34 ГЛАВА 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ Лемма 1. Пусть J(N) – число решений в простых числах . Тогда где Доказательство: Если m – целое отличное от нуля число, то Следовательно, Получаем уравнения

35 Существо кругового метода Харди–Литтлвуда–Рамануджана в форме тригонометрических сумм И. М. Виноградова состоит в том, что в J(N) выделяется предполагаемый главный член асимптотической формулы для величины J(N) при N→∞. Для этого интервал интегрирования [0,1) в (1.1) разбивается несократимым рациональными дробями (дроби Фарея) на непересекающиеся интервалы; сумма интегралов по интервалам, отвечающим дробям с малыми знаменателями, и дает предполагаемый главный член. A c большими знаменателями дает остаточный член. Нам нужна будет лемма o приближении действительных чисел рациональными. Лемма 2. Пусть вещественное число, тогда существует целые взаимно простые числа a и q, , такие, что Доказательство: Не ограничивая общности, можно считать . Рассмотрим при m = 0, 1, …, [ ] числа{ m}. Они лежат на промежутке [0,1), следовательно найдутся значения m, m= или , m= , такие, что

36 где 1 ≤ | | ≤ [τ] ≤ τ. Отсюда следует утверждение леммы.■ Применяя круговой метод, в котором: ) Каждое из промежутка [-x , 1-x] по лемме 2, представимо в виде В этом представлении причем а = 0 лишь при q = 1. те , для которых в представлении (2.3) q ≤ Q, а оставшиеся . Множество состоит из пересекающихся отрезков. Действительно, состоит из отрезков E(a, q) вида Если E(a, q) и E Обозначим через множеству , т.е. не пересекаются. интеграл по множеству , a через –интеграл по

37 имеем Наша цель в этом параграфе – получение асимптотической формулы для величины . Нам нужна будет Лемма 3. Пусть имеет вид (3 и . Тогда где Доказательство: При любом n из промежутка Поэтому по следствию 2 теоремы 6 имеем

38 где Применяя к последней сумме преобразование Абеля, полагая Воспользуемся асимптотической формулой для C(u), и тем, что при n ≥ 3 Из (4) получим утверждение леммы. ■

39 Замечание: Постоянная в знаке О не эффективна, так как мы существенно пользовались следствием 2 теоремы 6. Лемма 4. Не ограничивая общности, можно считать (n,m =1. Для величины I справедлива следующая формула: где число решений в натуральных числах x,y,z уравнения Доказательство: По определению где

40 По лемме 3 в этой формуле отсюда Тем самым для I(a, q) находим Интеграл в последней формуле заменим близким к нему интегралом ϰ. Имеем где

41 Итак, получаем Двойную сумму в последнем равенстве преобразуем, как преобразовали по z. Имеем где Следовательно, Наконец,

42 Таким образом, получили окончательную формулу: Исследуем более подробно величины ϰ и σ. Лемма 5. Имеет место равенство Оценивая каждую по лемме 5, мы получим аналитическую оценку для , учитывая условия задачи для Лемма 6. Имеет место равенство Доказательство: получим аналогичную оценку.

43 Сумма T(q), является мультипликативной функцией q. Пусть Тогда Отсюда следует мультипликативность то Переходим к пределу Из определения и находим, что получаем Так как

44 Таким образом, Из доказанных лемм следует основной результат этого пункта. Теорема 1. Для справедлива асимптотическая формула где Замечания: 1. Постоянная в знаке О в данной теореме неэффективна, так как применяли следствие 2 теоремы 6; 2. Далее будет получена асимптотическая формула для эффективной постоянной в знаке О; c

45 3. При нечетном ввиду очевидных неравенств находим Чтобы получить асимптотическую формулу для J=J(N), надо оценить a для этого нужна оценка при принадлежащих множеству . Теорема 3 (Основная). Для числа J(N представлений нечетного N суммою простых трех чисел справедлива следующая асимптотическая формула: Доказательство: Из Леммы 1, формул пункта 1.2 и теоремы 1 при А=15 имеем где

46 По определению множества для выполняется равенство по теореме 2 Поэтому Отсюда следует утверждение теоремы. ■ Теорема 4. Для числа J(N) представлений нечетного N суммою трех простых чисел c дополнительными коэффициентами m, n, k справедлива следующая асимптотическая формула: где и постоянная в знаке О–эффективная. ■

47 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Таким образом, в процессе подготовки работы был выполнен ряд задач: – проведен подробный анализ литературы по проблеме Гольдбаха, краткий обзор исследований, связанных с темой работы, изучены основные теоретические положения, необходимые при исследовании данной проблемы; – в работе была рассмотрена проблема Гольдбаха, согласно которой любое нечётное число, начиная с 7, можно представить в виде суммы трёх простых чисел; – на основании изученного теоретического материала было получено решение асимптотической формулы для числа решений уравнения при фиксированных натуральных чисел m, n, k. – был изучен круговой метод Харди–Литтлвуда–Рамануджана, на основании которого выделяется предполагаемый главный член асимптотической формулы для величины J(N) при N→∞. В ходе работы были рассмотрены линейные тригонометрические суммы с простыми числами и в результате их оценки получена асимптотическая формула с остаточным членом, где постоянная неэффективна. Далее, эффективная теорема позволила нам улучшить остаточный член асимптотической формулы и решить поставленную задачу в окончательном варианте.

48 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Андронов, И.К. Математика действительных и комплексных чисел. – М.: Просвещение, 1998. – 158 с. 2. Бухштаб, А.А. Теория чисел. – М.: Просвещение, 1994. – 384 с. 3. Вейль, Г. Алгебраическая теория чисел. – М.: Гос. изд. иностр. литературы, 2004. – 226 с. 4. Вейль, А. Основы теории чисел. – М.: Мир, 2000. – 408с. 5. Виноградов, И.М. Основы теории чисел: учебное пособие. – М.: Лань, 2009. – 176 с. 6. Гашков, С.Б. Алгоритм Евклида, цепные дроби, числа Фибоначчи и квадрирование прямоугольников. – Математическое просвещение, 2002. – 115 с. 7. Гельфонд, А.О., Линник Ю.В. Элементарные методы аналитической теории чисел. – М.: Физматгиз, 1998. – 272 с. 8. Грибанов, Б.У. Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. – М.: Просвещение, 2007. – 144 с. 9. Делоне, Б.Н. Петербургская школа теории чисел. – МоскваЛенинград: Гостехиздат, 2010. – 422 с. 10. Дадаян, А.А., Новик И.А. Алгебра и начала анализа. – М.: Просвещение, 1997. – 528 с. 11. Егоров, Д.Ф. Элементы теории чисел. – М.: Наука, 1998. – 358 с. 12. Карацуба, А.Л. Основы аналитической теории чисел. – М.: Наука, 2003. – 237 с. 13. Колосов, В.А. Теоремы и задачи алгебры, теории чисел и комбинаторики. – М.: Гелиос АРВ, 2001. – 256 с. 14. Куликов, Л.Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 2005. – 560 с. 15. Михелович, Ш.Х. Теория чисел. – М.: Высшая школа, 1996. – 260 с.

49 16. Нестеренко, Ю.В. Теория чисел. – М.: Наука, 2011. – 236 с. 17. Ожигова, Е.П. Развитие теории чисел в России. – М.: Наука, 1999. – 358 с. 18. Олейник, В. Методы получения простых чисел – текущее состояние и перспективы. – Кишинев: Evrica, 1999. – 126 с. 19. Прахар, К. П. Распределение простых чисел. – М.: Мир, 2003. – 512 с. 20. Стюарт, И. Величайшие математические задачи. – М.: Альпина нон-фикшн, 2016. – 460 с. 21. Титчмарш, Е.К. Теория дзета-функции Римана. – М.: ИЛ, 2013. – 409 с.

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв