Применение сплайн-вейвлетов к решению интегральных и дифференциальных уравнений

Известно, что для большинства прикладных физических и математических задач, описываемых дифференциальными и интегральными уравнениями, затруднительно получить решение в явном виде. Для приближённого решения таких задач применяются различные численные методы. В настоящее время развитие этих методов обосновано необходимостью увеличения точности и скорости сходимости к точному решению. В данной работе рассматривается один из численных методов, который называется проекционным. Он основан на применении к уравнению оператора, проецирующего банахово пространство на некоторое его подпространство, в котором ищется решение, называемое приближённым. В некоторых проекционных методах (Ритца, Галёркина) решение при этом представляется в виде линейной комбинации базисных элементов этого подпространства. Такие проекционные методы различаются выбором базисных элементов. В настоящей работе в качестве базиса для проекционного метода рассмотрены сплайн-вейвлеты первого порядка, являющиеся кусочно-непрерывными функциями на отрезке [0;2], что позволяет получать непрерывные решения. В работе найдены явные выражения для интегралов от сплайн-вейвлетов, которые необходимы для нахождения приближенного решения дифференциальных уравнений. Получена оценка погрешности аппроксимации и доказана равномерная сходимость проекций функции из С([0;2]) на пространства вейвлетов к самой функции. Для линейных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра второго рода и линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями доказана сходимость приближений, полученных представленным методом, к точному. В качестве задачи, имеющей важное прикладное значение, рассматривается методика применения сплайн-вейвлетов к построению схемы армирования вентиляторной лопатки самолета МС-21, изготавливаемой из композиционных материалов методом автоматизированной выкладки.