Применение законов физики элементарных частиц для описания релятивинских объектов

Дмитрий Кошик

Применение законов физики элементарных частиц для описания релятивинских объектов

В современной физике традиционно разделяют физику элементарных частиц и физику релятивистских объектов, что создает препятствия для создания всеобъемлющей теории всего. Данная работа ставит своей целью продемонстрировать возможность применения законов элементарных частиц для описания релятивистских объектов

Физика

Статьи

Вуз: Независимое исследование (нет вуза)

ID: 67815350e4dde50001eadbc3

UUID: ff627a20-b1a2-013d-451f-0242ac180005

Язык: Русский

Опубликовано: 11 дней назад

Просмотры: 0

10.1

Дмитрий Кошик

Комментировать 0

Рецензировать 0

Скачать - 1,3 МБ

Поделиться работой

"Применение законов физики элементарных частиц для описания релятивистских объектов". 1. Введение Современная физика сталкивается с фундаментальной задачей объединения двух важнейших теорий: квантовой механики, описывающей микроскопические процессы, и общей теории относительности, объясняющей гравитационные взаимодействия на уровне массивных объектов. Эти две теории кажутся несовместимыми из-за различий в описании природы времени, пространства и энергии. Одной из ключевых проблем современной науки, является понимание поведения элементарных частиц в условиях сильных гравитационных полей, создаваемых такими релятивистскими объектами, как черные дыры. В рамках общей теории относительности черные дыры — это области пространствавремени с экстремальной гравитацией, деформирующей структуру Вселенной. Вблизи горизонта событий физические законы изменяются, и возникает необходимость привлекать квантовую механику. Данная работа направлена на исследование того, как знания о поведении элементарных частиц могут быть применены для описания релятивистских объектов, таких как черные дыры, путем анализа физических процессов, происходящих вблизи горизонта событий. Основные аспекты статьи:  Обзор фундаментальных уравнений квантовой механики и общей теории относительности.  Математическое преобразование уравнения Д’Аламбера в квантовую форму.  Анализ физических эффектов, происходящих с элементарными частицами вблизи черных дыр. Данный подход позволит показать, как квантовая механика может быть использована для моделирования поведения частиц в условиях экстремальной гравитации, а также подчеркнуть перспективы объединения двух фундаментальных теорий. 1

2. Теоретические основы В данном разделе будут рассмотрены основные теоретические аспекты, лежащие в основе описания квантовых процессов. Особое внимание уделяется уравнению Шрёдингера как фундаментальному инструменту в квантовой механике, а также его физическому смыслу и выводам. 2.1 Уравнение Шрёдингера Квантовая механика основывается на принципе описания состояний частиц через волновую функцию, Ψ которая содержит всю доступную информацию о системе. Эволюция волновой функции во времени и пространстве подчиняется уравнению Шредингера. Рассмотрим общее уравнение Шрёдингера: ћ2     U ( x, y, z, t )  iћ 2m t где:  Ψ(x,y,z,t) — волновая функция, определяющая вероятность нахождения частицы в определенной точке пространства в момент времени  m — масса частицы.  ℏ=h/2π — приведенная постоянная Планка  i — мнимая единица (i2=−1)  Δ — оператор Лапласа, который в декартовой системе координат имеет вид 2 2 2  2  2  2 x y z  U(x,y,z,t) — потенциал, описывающий взаимодействие системы с внешними полями и силами.  ∂Ψ/ ∂t — производная волновой функции по времени 2

Физический смысл уравнения: Уравнение Шрёдингера является аналогом второго закона Ньютона в классической механике, но вместо сил и траекторий описывает динамику квантовых систем через волновую функцию: 1. Кинетическая энергия: ћ2   2m Первый член уравнения, отражает пространственное распределение кинетической энергии частицы. Лапласиан (Δ) определяет изменение Ψ в различных направлениях пространства. 2. Потенциальная энергия: U ( x, y , z , t )  Второй член, зависит от положения и времени и определяет взаимодействие системы с внешним полем. 3. Временная эволюция: iћ  t Правая часть уравнения, описывает, как состояние системы изменяется со временем. Этот член связывает энергию системы с временной зависимостью волновой функции. Иными словами, левая часть уравнения описывает энергию системы, а правая часть показывает, как она эволюционирует со временем. Решением такого уравнения будет функция Ψ(x,y,z) Стационарное уравнение Шрёдингера Если система не зависит от времени U = U(x, y, z), уравнение упрощается до стационарной формы: 3

ћ2   ( E  U )  0 2m где E — полная энергия системы. Эта форма уравнения позволяет анализировать собственные состояния системы, такие как энергетические уровни атомов. Решением такого уравнения будет функция Ψ(x,y,z) 3) Релятивинские элементы: Метрика Шварцшильда Метрика Шварцшильда – это одно из первых решений уравнений Эйнштейна общей теории относительности (ОТО), найденное Карлом Шварцшильдом в 1916 году. Она описывает пространство-время вокруг статического сферическисимметричного и не вращающегося тела с массой MMM, находящегося в вакууме. Это решение стало основой для изучения таких явлений, как чёрные дыры, гравитационное линзирование и динамика вблизи массивных объектов.  GM   GM  ds   1  2 2  c 2 dt 2  1  2 2  c r  c r    2 1 dr 2  r 2  d 2  r 2  sin 2   dф2 ,где  ds² - Квадрат четырех мерного интервала, где d – дискретное значение.  s² - время. r – радиальная координата (длина экватора изометрической сферы).  g – ускорение свободного падения.  v – скорость.  sin – направление движения.  θ и ϕ – угловые координаты (широта и долгота). В радианах/  t – временная координата (время, измеряемое на бесконечно удаленных, неподвижных часах). В данном уравнении: 4

1. Член (1 − 2𝐺𝑀 𝑐²𝑟 ) показывает зависимость гравитационного потенциала от радиуса r. При приближении r к радиусу Шварцшильда Rg = 2𝐺𝑀 𝑐² метрика становится вырожденной, что соответствует горизонту событий черной дыры. 2. Для 𝑟 > 𝑅𝑔 пространство-время искривлено, но конечные объекты (например, свет) могут покидать эту область. 3. Для 𝑟 < 𝑅𝑔 происходит коллапс пространства-времени в точку, известную как сингулярность. Уравнения Эйнштейна для кривизны пространства-времени Уравнения Эйнштейна связывают распределение материи и энергии с геометрией пространства-времени. Общий вид уравнений записывается как: 1) 1 8𝜋𝐺 2 𝑐⁴ Rµν - gµν R = gµν Λ + Tµν где:  Rμν — тензор Риччи, характеризующий кривизну пространства-времени.  gμν — метрический тензор, описывающий геометрическую структуру пространства-времени.  R — скалярная кривизна (след тензора Риччи).  Λ — космологическая постоянная, отвечающая за ускоренное расширение Вселенной.  Tμν — тензор энергии-импульса, описывающий распределение материи и энергии. Интерпретация уравнений: 1. Левая часть уравнений пространства-времени. описывает геометрические свойства 2. Правая часть представляет плотность материи и энергии, влияющих на кривизну пространства-времени. 3. Вакуумное решение (при Tμν=0) приводит к метрике Шварцшильда, описанной выше. 5

Физические эффекты, предсказываемые уравнениями Эйнштейна: 1. Гравитационное замедление времени: В сильных гравитационных полях (например, рядом с чёрной дырой) время для внешнего наблюдателя течёт медленнее. Формула, вытекающая из метрики Шварцшильда: ∆𝑡` = ∆𝑡√1 − 2𝐺𝑀 𝑐²𝑟 2. Искривление света (гравитационное линзирование): Свет, проходящий мимо массивного объекта, отклоняется, следуя искривлённым траекториям пространства-времени. Формула для угла отклонения: ∆𝜑 = 4𝐺𝑀 𝑐²𝑟 3. Гравитационные волны: Уравнения Эйнштейна предсказывают существование гравитационных волн — возмущений пространства-времени, которые распространяются со скоростью света. Они были экспериментально подтверждены в 2015 году слиянием чёрных дыр, зарегистрированным детектором LIGO. Квантово-механическая квадратичном потенциале. задача о движении частицы в обратно Квантово-механическая задача о движении частицы в обратно квадратичном потенциале вблизи начала координат, описывается уравнением Шрёдингера: − ̃=  𝒂  − ħ𝟐 ħ2 𝑑²𝛹(𝑥) 2𝑚 𝑑𝑥² − 𝑎̃ 𝑥² 𝛹 (𝑥 ) = 𝐸𝛹 (𝑥 ), где: а 𝒎 𝒅²𝜳(𝒙) 𝟐𝒎 𝒅𝒙² - член, представляющий собой кинетическую энергию частицы, описываемую двумя производными, где m - масса частицы.  Если в − ̃ 𝒂 𝒙² 𝜳(𝒙) подставить 𝑎̃, то получим 𝑎 . Этот член представляет 𝑥²𝑚 собой потенциальную энергию частицы, а параметр определяет силу потенциала. 6

 x – координата частицы.  𝐸𝛹 (𝑥 ) – член, представляющий собой полную энергию частицы, умноженную на волновую функцию ψ(x). Потенциал – это скалярная функция, которая описывает потенциальную энергию частицы или системы в зависимости от её положения в пространстве. Какое решение черных дыр подходит для волновой функции? Довольно хороший вопрос, т.к. для определенной метрики чд (черной дыры, в дальнейшем - сокращ.), в волновой функции придется вносить разные параметры, иногда не работающие в других решениях или вообще не сочетаемые с ней. При более детальном изучении метрик черных дыр, можно выяснить, что волновая функция Шредингера будет сопоставима с сферически-симметричными чд, так как именно в решениях таких чд описываются движения частиц по изометрической сфере. Наш вопрос состоял в том, чтобы выяснить, какая именно метрика используется для этого. Чтобы ответить на него, для начала, рассмотрим уравнения Эйнштейна, показанные ранее, и описывающие стационарные состояния произвольных механических систем, обладающих центральной симметрией, из которых доказано, что атомы и атомные ядра могут быть представлены как стоячие гравитационные волны. Чтобы сохранить основную идею определения метрики в теории гравитации Эйнштейна, мы предположим, что уравнение Эйнштейна (назовём его 1)) распадается на два независимых уравнения: 2) 1 Rµν - gµν R = кgµν 2 8𝜋𝐺 𝑐⁴ Tµν = gµν (к – Λ) Здесь k– некоторая функция, зависящая от размерности пространства. Отметим, что первым уравнением определяется метрика пространства времени, а вторым уравнением задается распределение материи, которое соответствует этой метрике. 7

Теперь введем метрику для многомерных пространствах размерностью D, описывающую описывает многие важные случаи симметрии, используемые в физике элементарных частиц: ds 2  (t , r )dt 2  p()dr 2  d12  sin 2 1d2 2  sin 2 2 d32  3) ...  sin 2 1 sin 2 2 ...N 1dN 2 ,где: 1 , 2 ...N - углы на единичной сфере, погруженной в D - 1 мерное пространство. Данная метрика хоть и не имеет прямого отношения к геометрии чд, но нужна будет в дальнейшем, для вывода волновой функции. Уравнения поля в метрике (3) сводятся к одному уравнению второго порядка: 4)  p  tt   ГГ ' pp '  2 p ''   p'2  2   Kp  t 2 p Уравнение второго порядка — это уравнение, содержащее неизвестную (искомую) функцию у(х), независимую переменную х и первую и вторую производные у', у'' . Важно подметить, что уравнение (4) изменяет свой тип в зависимости от знака производной p′: в области 0 < ′ p уравнение имеет эллиптический тип; в области 0 > ′ p уравнение имеет гиперболический тип; в области 0 = ′ p уравнение имеет параболический тип. Для дальнейшего нахождения, применим уравнение Гамильтона-Якоби, которое для метрики (3) будет выглядеть следующим образом: 5) 2 2 2  S    S 1 S  1 S  S   S  2 2 2 2     sin  sin    ...  sin 1 sin 2 ...N 1      1 2          t  p   r   1   2   3   N 2 2 2    0  Такой вид уравнения можно проинтегрировать и представить решение получившегося уравнения: 8

2 6) 2 1   Scl  1   S    S  2    M         t  p   r   1    S   1 2 2    S 2   sin 1   2  2    S 2 2 2   ...  sin 1 sin 2 ...sin N 1   N  2  M2 2   2  S ћ  в другом виде, с помощью способа Шредингера. Тогда получиться уравнение: 7) S  Sd  ћ ln  s Здесь в явном виде вводится классическое действие - Sd, постоянная Планка (ħ) и волновая функция Ψs. Используя классическое действие, мы определяем те параметры задачи, которые могут считаться внешними для квантовой системы. В случае метрики (3) удобно будет выбрать в качестве переменных квантовой механики углы на единичной сфере, а в качестве координат классического действия – время и радиальную координату. Классическое действие — это величина, пропорциональная фазе квантовой волновой функции Предыдущие уравнения Эйнштейна (2) – вакуумные уравнения стационарного состояния, описывающие гравитацию в исследуемом масштабе длин волн, из которых мы взяли метрику (3). Для нее, из уравнения ГамильтонаЯкоби (5), мы вывели формулу (7), параметрами задачи которой стали: 1) углы на единичной сфере; 2) время и радиальная координата. Основываясь на этом, можно сопоставить параметры и используемые уравнения с параметрами и математическим выводом сферическисимметричными метриками черных дыр. В итоге, мы получим, что это – метрика Шварцшильда. Это так, потому что метрика Шварцшильда как раз выводилась из решения вакуумных уравнений Эйнштейна и ее параметры полностью схожи с нашим уравнением(7), а именно: 1) симметричность. 2) переменные времени и угловые радиальные координаты в метрике. 3) движение частицы по единичной сфере. 9

Теперь можно ответить на изначальный вопрос: волновая функция может присутствовать в центрально-симметричной метрике Шварцшильда, и гравитационные волны его черной дыры будут описываться уравнением Шредингера. 4) Связь квантовой механики и релятивистских объектов: 1) Рассмотрим скалярное поле в 1 + 1 пространстве и времени с метрикой: (1.1) ds 2  B(r )dt 2  B 1 (r )dr 2 Это двумерная (2D) метрика, которая используется для описания пространства-времени. Она определяет интервал ds2 между двумя событиями в зависимости от координат t (временная координата) и r (радиальная координата). Функции B(r) и B-1 (r) зависят только от радиальной координаты r.  B(r)dt2: Этот член описывает временной компонент интервала B(r),модифицирует временной масштаб в зависимости от расстояния r  - B-1 (r) dr2: Этот член описывает пространственный (радиальный) компонент интервала. Отрицательный знак говорит о том, что пространственный компонент имеет другую сигнатуру (знак), чем временной компонент.  Функция B(r): Это метрика, определяющая "гравитационный потенциал" или изменение масштаба времени в зависимости от расстояния rrr. Она может описывать, например, черную дыру или другое сферически симметричное распределение массы.  Обратная функция B-1 (r): Используется для пространственного компонента. Она инверсно связана с временным масштабом. Такую метрику можно встретить в статических сферически-симметричных пространствах-временах, например в внешнем решении Шварцшильда. Теперь зададим параметр, что: B(r) имеет нуль в точке r=r0, что соответствует горизонту событий, и разлагается вблизи этой точки, а В`(𝑟) = 𝑑𝐵 𝑑𝑟 не равно нулю и конечно в точке r0. Тогда исчезновение B(r) в точке r0 говорит о присутствии горизонта событий. 10

Это так, потому что это свойство напрямую связано с физическими характеристиками метрики в общей теории относительности. Рассмотрим это подробнее, когда B(r)=0, при r=r:  Метрика пространства-времени в заданной форме ds 2  B(r )dt 2  B 1 (r )dr 2 содержит функцию B(r), которая влияет на временной B(r)dt и пространственный - B-1 (r) dr2 компоненты метрики.  Тогда если B(r)→0, то в какой-то точке r=r0 временная компонента метрики B(r)dt2 становится нулевой. Это означает, что время, как его воспринимает удалённый наблюдатель, перестаёт быть определённым.  Одновременно пространственная компонента - B-1 (r) dr2 становится бесконечной, что указывает на «растяжение» пространственного интервала. Это свидетельствует о том, что в точке r=r0 невозможно двигаться в радиальном направлении так, чтобы покинуть эту область — она становится границей. Теперь сравним это с физическими свойствами горизонта событий:  Горизонт событий в физике чёрных дыр определяется как область, из которой никакая информация или материальные объекты не могут вырваться наружу, включая свет.  На горизонте событий временной компонент обнуляется. Это отражает эффект гравитационного замедления времени: для удалённого наблюдателя любые процессы вблизи горизонта событий выглядят как замороженные. Таким образом можно сделать вывод что B(r)=0,при r=r0 означает присутствие горизонта событий. 2 Рядом с горизонтом событий разложим B(r) как: 2.2) B(r )  B ' (r0 )(r  r0 )  O[(r  r0 ) 2 ]  B ' (r0 )(r  r0 ) где:  B′(r0)— первая производная функции в точке r0, характеризует скорость изменения функции B(r) в окрестности горизонта событий.  Линейный член B′(r0)(r−r0) - этот член описывает линейное приближение B(r) вблизи горизонта событий.  Если мы находимся в непосредственной близости от r0, то именно этот член определяет значение В(r), а старшипе члены (O[(𝑟 − 𝑟0)²]) становятся пренебрежимо малыми. Это говорит о том, что вблизи горизонта событий 11

поведение фйункции В(r) практически линейное, что упрощает анализ физических процессов.  Старшие члены разложения (O[(𝒓 − 𝒓𝟎 )²]) описывают нелинейные эффекты или более сложное поведение B(r) на больших расстояниях от горизонта событий.  Их можно игнорировать при анализе близко к горизонту событий (r ≈ r0), так как они оказывают малое влияние.  Приближерние B(r) ≈ B′(𝒓𝟎 )(r−𝒓𝟎 ): Как было сказано ранее старшие члены разложения при анализе вблизи горизонта событий (при r ≈ r0) , что значительно упрощает формулу. Заметим, что в случае метрики Шварцшильда: B′(r0) = r0−1 , где r0 = 2M – радиус Шварцшильда. Теперь запишем уравнение поля для скалярного поля ф(t,r): (☐ + 3.3) 𝑚0 ²𝑐² ℏ² )𝜑 = 0 ,где:  ☐ − это оператор Д'Аламбера, который в трехмерном пространстве определяется как: ☐=∆− 1 𝑑² 𝑐² 𝑑𝑡² Как видно из его формулы, оператор Д'Аламбера определяет изменения в пространстве и во времени (оператор Лапласа)  𝑚0 ²𝑐² ℏ² - массовый член, который добавляется к волновому оператору, чтобы учесть массу скалярного поля. Разберем составляющие этого выражения:  m0 — масса покоя частицы или поля( в данном случае поля)  ℏ - редуцированная постоянная Планка, которая связывает свойства квантовых объектов с их волновой природой. 12

В совокупности этот член связывает квантовые эффекты ℏ с релятивистской энергией - (m02с2) 𝝋 - обозначение скалярного поля которое тут определяется Φ(r,t) которое зависит от времени t и положения в пространстве r (радиус-вектор, который определяет точку в пространстве). А по определению: Скалярное поле — это физическая величина, которая в каждой точке пространства и времени характеризуется одним числовым значением. Теперь подставим записанную нами ранее метрику (1.1) в оператор Д'Аламбера, получив: ☐φ = 1 𝑑²𝜑 𝑑 𝑑𝜑 ( ) − (𝐵 𝑟 ) 𝑐 2 В(𝑟) 𝑑𝑡² 𝑑𝑟 𝑑𝑟 4) Подставив данное выражение в формулу скалярного поля (3.3) получим: 1 𝑑²𝜑 𝑐 2 В(𝑟 ) 𝑑𝑡² 5) − 𝑑 𝑑𝑟 (𝐵(𝑟 ) 𝑑𝜑 𝑑𝑟 )=− 𝑚0 ²𝑐² ℏ² 𝜑 Или если интерпретировать в другой форме, то будет: 6) c 2 B(r ) 1 t 2Ф   ( B(r ) rФ)  m0 2 c 2 ћ 2Ф Разберем физический смысл полученной формулы:  Первый член 1 𝑑²𝜑 𝑐 2 В(𝑟) 𝑑𝑡² описывает временные изменения скалярного поля, взвешенные метрикой 𝐵(𝑟).  Второй член − 𝑑 𝑑𝑟 (𝐵 (𝑟) 𝑑𝜑 𝑑𝑟 ) описывает пространственные изменения, также модифицированные метрикой.  Массовый член − 𝑚0 ²𝑐² ℏ² 𝜑 связывает поле с его инерционными свойствами. Теперь для дальнейшего преобразования и решения, что уравнение скалярного поля разложим на две функции, на временную и пространственную: 6) (r , t )  eiwt (r ), где: e-iwt – описывает временную зависимость с угловой частотой. 13

Ψ(r) – радиальная функция, описывающая поведение поля в пространстве. Форма e-iwt является решением уравнения Шредингера для времени: 𝑖ℏ 7) 𝑑𝛹(𝑟,𝑡) 𝑑𝑡 = 𝐸𝛹(𝑟, 𝑡) ,где: Ψ(r, t) – волновая функция ℏ - редуцированная постоянная Планка E - энегрия состояния Метод разделения переменных предполагает, что волновую функцию можно разложить в виде: Ψ(r, t) = Ψ(r) e-iwt 8) ,где: Ψ(r) – описывает пространственную часть волновой функции e-iwt – временную зависимость w связано с энергией E через уравнение: w= 𝐸 ℏ Смысл формулы: Экспонента e-iwt представлена в виде: 9) является комплексной функцией. Она может быть e-iwt = cos(wt) – i sin(wt) ,где: cos(wt) - реальная часть i sin(wt) - мнимая часть Это выражение описывает волновое движение с угловой частотой .Частота связана с энергией состояния, а такие колебания характеризуют вероятность нахождения частицы в конкретном состоянии. 14

Экспоненциальная зависимость e-iwt является для решением линейного дифференциального уравнения первого порядка: 𝑑𝑓(𝑡) 10) 𝑑𝑡 = −𝑖𝑤𝑓 (𝑡 ) Это уравнение появляется из временной части уравнения Шредингера, если Ψ(r, t) разложить в виде произведения Ψ(r)T(t) , где T(t) – функция времени. 1 𝑑𝑇(𝑡) 11) 𝑇(𝑡) 𝑑𝑡 =− 𝑖𝐸 ℏ = −𝑖𝑤 Интегрируя уравнение (11), получаем: T(t) = e-iwt 12) К полученной формуле подставим разложенные части функции в полученное нами формулу скалярного поля: 𝑑²𝜑 = −𝑤 2 𝑒 −𝑖𝑤𝑡 𝛹(𝑟) 𝑑𝑡² Функция 𝛹 (𝑟) зависит только от r, а временной множитель выносится как общий: 𝑑𝜑 𝑑𝑟 = 𝑑𝛹(𝑟) 𝑑𝑟² , 𝑑²𝜑 𝑑𝑟² = 𝑒 −𝑖𝑤𝑡 𝑑²𝛹(𝑟) 𝑑𝑟² Подстановка этих производных в уравнение (n) дает: 𝑤2 𝑑 𝑑𝛹 (𝑟) 𝑚0²𝑐² −𝑖𝑤𝑡 − 2 𝑒 −𝑖𝑤𝑡 𝛹 (𝑟) − 𝑒 −𝑖𝑤𝑡 (𝐵 (𝑟) )=− 𝑒 𝛹(𝑟) 𝑐 𝐵(𝑟) 𝑑𝑟 𝑑𝑟 ħ² Фактор 𝑒 −𝑖𝑤𝑡 выносится за скобки: 𝑤2 𝑑 𝑑𝛹 (𝑟) 𝑚0 ²𝑐² − 2 𝛹 (𝑟) − (𝐵 (𝑟) )=− 𝛹 (𝑟) 𝑐 𝐵 (𝑟) 𝑑𝑟 𝑑𝑟 ħ² 16) Уравнение (n): 𝑐 −2 𝐵(𝑟)−1 𝑑𝑡 ²𝜑 − 𝑑𝑟 (𝐵(𝑟)𝑑𝑟 𝜑) = −𝑚²𝑐²ħ−2 𝜑 Физическое пояснение полученной формулы: 15

 Уравнение теперь зависит только от радиальной координаты r, что позволяет исследовать поведение поля в пространстве без учета временной зависимости.  Временная часть представлена через частоту w, которая связана с энергией: E =ħw. Для дальнейших действий нормируем функцию Нормировка функции — это процесс приведения функции в такую форму, чтобы она удовлетворяла определённым условиям. Обычно нормировка используется для обеспечения определённого значения интеграла функции, например, равного единице. Нормировав функцию получим: Ф(r , t )  e iwt  (r ) B(r ) Подставим в левую часть полученной функции выраженное ранее упрощение из уравнения (16) − 𝑚0 ²𝑐² ħ² 𝛹 (𝑟) и упрощая выражение, получим, что 𝛹 (𝑟) удовлетворяет уравнению: ћ 2 d 2  (r ) a    (r )  0 2 2 2 dr (r  r0 ) ,где: ћ 2 w2 r0 a 2 ' 2c [ B (r0 )]2 (Вблизи горизонта событий) ћ 2 w2 r0 a 2c 2 16

(Вблизи горизонта событий чд Шварцшильда) 2) Влияние законов черных дыр на волновую функцию Запишем состояния: известное 22) нам − уравнение ħ² 2𝑚 Шредингера для стационарного ∇²𝛹 + 𝑈𝛹 = 𝐸𝛹 Где в данных условиях потенциальная энергия гравитационное взаимодействие между нейтронами: 𝑈(𝑟 ) = − U(r) описывает 𝐺𝑚² 𝑟 ,где r – расстояние между нейтронами. Энергетические уровни: Из уравнения Шредингера следует, что энергитические уровни дискретны и определяются формулой: 𝐸𝑛 = 𝑘²𝑚𝑛 𝑒⁴ 2ħ²𝑛² ,где: k = 1 – коэффициент пропорциональности е – элементарный заряд n = 1, 2, 3… - главное квантовое число. 5) Выведение эквивалентности задачи скалярного поля в фоне метрики Шварцшильда к квантово-механической задаче о движении частицы в обратном квадратичном потенциале . Для этого применим метод разделения переменных. Разделение переменных – стандартный метод в теории дифференциальных уравнений. Его основная идея: 17

1. Если уравнение линейное и переменные независимы (например, время и пространство), решение можно искать в виде произведения функций, каждая из которых зависит только от одной переменной. 2. После подстановки, каждую переменную выделяют в отдельное уравнение, что упрощает анализ. С помощью него, рассмотрим динамику скалярного поля φ(r, t) в метрике вида: ds 2  B(r )dt 2  B 1 (r )dr 2 Где B(r) описывает геометрию пространства-времени и имеет нули в r = 𝑟0, что связано с горизонтом событий чд. Уравнение поля в такой метрике: 𝑐 −2 𝐵(𝑟 )−1 𝑑²𝜑 𝑑𝑡² − 𝑑 𝑑𝑟 (𝐵(𝑟 ) 𝑑𝜑 𝑑𝑟 )=− 𝑚0 ²𝑐² ħ² 𝜑 Теперь наша задача – свести данное уравнение к кванто-механическому уравнению Шредингера для частицы, в потенциале –a/x². Для этого мы и будем использовать метод разделения переменных и упрощение формы уравнения. Запишем ф(r, t) как T(t)𝛹(r) и подставим T(t)𝛹(r) в уравнение (16): 𝑇(𝑡) [𝑐 −2 𝐵 (𝑟 )−1 𝑑 2𝑇 𝑑 𝑑𝛹 𝑚0²𝑐² ( ) ( ) ( ) 𝛹 𝑟 ] − 𝛹 𝑟 (𝐵 𝑟 ) = − 𝑇(𝑡)𝛹 (𝑟) 𝑑𝑡 2 𝑑𝑟 𝑑𝑟 ħ² Применяем метод разделения переменных, разделяя переменные t и r. Вводим частотный параметр w²: 1 𝑑2 𝑇 = −𝑤 2 , 2 𝑇 𝑑𝑡 1 ħ2 𝑑 2 𝛹 − 𝑉(𝑟)𝛹] = 𝑤 2 [− 2 𝛹 2 𝑑𝑟 ,где: V(r) – эффективный потенциал. Для сокращения дополнительных членов, связанных с B(r), вводим замену: 29) φ(r, t) = 𝑒 −𝑖𝑤𝑡 𝛹(𝑟)√В(𝑟) Умножаем на √В(r), потому что: 2) Это компенсирует производные, связанные с В(𝑟), при подстановке в пространственную часть уравнения. 18

3) 𝑒 −𝑖𝑤𝑡 описывает временную осцилляцию поля с частотой w, характерную для стационарных решений. Подставляем уравнение (29) в исходное уравнение. Найдем временные и пространственные производные: Временные: 𝑑2 𝜑 = −𝑤 2 𝑒 −𝑖𝑤𝑡 𝛹(𝑟)√В(𝑟) 2 𝑑𝑟 Пространственные: 𝑑𝜑 1. 2. 𝑑𝑟 𝑑 2𝜑 𝑑𝑟 2 = 𝑒 −𝑖𝑤𝑡 [ = 𝑒 −𝑖𝑤𝑡 [ 𝑑𝜑 √В(𝑟) + 𝛹 𝑑𝑟 𝑑 2𝛹 𝑑√В(𝑟) 𝑑𝑟 𝑑𝛹 𝑑√В(𝑟) √В(𝑟) + 2 𝑑𝑟 𝑑𝑟 2 𝑑𝑟 Подставляя эти производные, многие члены с ] + 𝛹 𝑑𝐵(𝑟) 𝑑𝑟 𝑑²√В(𝑟) 𝑑𝑟² сокращаются благодаря введению √В(r). После всех упрощений уравнение принимает вид: ћ 2 d 2  (r ) a    (r )  0 2 2 2 dr (r  r0 ) Пусть: r – r0 = x. Т.к. мы рассматриваем частицу вблизи горизонта событий, то: 𝑟 = 𝑟0 = 𝑟 − 𝑟0 = 𝑥 = 0 35) И 𝑎̃ = 𝑎 𝑚 Тогда уравнение примет вид: 37) ћ 2 d 2  (r ) a   2  (r )  0 2 2m dr x 19 ]

Т.к. мы рассматриваем вблизи горизонта событий (35), то перепишем с условием этого уравнение (37): ћ 2 d 2  ( x) a   2  ( x)  0 2 2m dx x В итоге, мы получили уравнение Шредингера. Сведем его к стандартной форме и получим: ħ2 𝑑²𝛹(𝑥 ) 𝑎 − − 𝛹(𝑥 ) = 𝐸𝛹(𝑥 ) 2𝑚 𝑑𝑥² 𝑥² Чтобы не нарушать равенство устремим E→0 Полученное нами уравнение полностью эквивалентно уравнению Шрёдингера, описывающему движение частицы в обратном квадратичном потенциале. 6) Уравнение Шредингера для частицы, находящейся в области черной дыры: В этой главе, мы рассмотрим, как формируется волновая функция частицы (нейтрона) в черной дыре, какие параметры на нее влияют и как она может быть использована для описания физических процессов. Как возникает волновая функция в черной дыре? Для анализа поведения частицы в области черной дыры, мы будем использовать модифицированное уравнение Шредингера (22): − ħ² ∇²𝛹 + 𝑈𝛹 = 𝐸𝛹 2𝑚 Как будет модифицироваться уравнение Шредингера? 20

Для дальнейших преобразований, в черной дыре нужно учесть следующие параметры: 1. Гравитационное поле. Взаимодействие нейтронов в условиях черной дыры определяется сильной гравитацией. Потенциальная энергия U(r) задается законом всемирного тяготения: 𝐺𝑚² 𝑈(𝑟) = − 𝑟 2. Сверхплотные состояния. Нейтроны в черной дыре находятся на расстояниях порядка 10-31 м. Такое сжатие приводит к доминированию квантовой кинетической энергии: ħ² 𝐸кин ~ 2𝑚𝑟² 3. Квантовое ограничение. Нейтроны не могут находиться слишком близко друг к другу из-за соотношения неопределенности Гейзенберга: ∆𝑝 × ∆𝑥 ≥ ħ 2 С учетом этих факторов, уравнение Шредингера в черной дыре принимает вид: 39) − ħ2 2𝑚 ∇2 𝛹 − 𝐺𝑚2 𝑟 𝛹 = 𝐸𝛹 Для стационарных состояний волновая функция нейтрона записывается как: 𝛹 (𝑟, 𝑡) = 𝑅(𝑟)𝑒 −𝑖𝑤𝑡/ħ , где: R(r) – радиальная часть волновой функции, зависящая от расстояния. e-iwt/ħ – временная зависимость, описывающая эволюцию состояния во времени. Радиальная часть R(r) определяется из уравнения: ħ2 𝑑 2𝑅 𝐺𝑚2 − − 𝑅 = 𝐸𝑅 2𝑚 𝑑𝑟 2 𝑟 Но, это уравнение решается с учетом граничных условий: 1. R(r) стремится к 0 при r стремится к бесконечности, так как вероятность нахождения нейтрона на больших расстояниях очень мала. 2. R(r) конечна при r стремится к 0, чтобы избежать физических противоречий. 21

Параметры, влияющие на волновую функцию: Волновая функция частицы в чд зависит от нескольких ключевых параметров: 1. Масса нейтрона(mn):  Определяет вклад как кинетической, так и гравитационной энергии.  Чем больше масса, тем сильнее гравитационное взаимодействие и тем меньше расстояние между нейтронами. 2. Гравитационная постоянная(G):  Увеличивает глубину потенциального «углубления» гравитационного притяжения. 3. Квантовое число(n):  Задает энергетический уровень: 𝑘²𝑚𝑛 𝑒⁴ 𝐸𝑛 = − 2ħ²𝑛²  При увеличении n энергия становится меньшего значения, а радиальная часть функции R(r) описывает состояние с большей «шириной». 4. Постоянная Планка(ħ):  Указывает на роль квантовых эффектов. Чем меньше ħ, тем слабее квантовые ограничения на расстояние между нейтронами. Примеры применения волновой функции: 1. Распределение нейтронов в черной дыре: Волновая функция 𝛹 (𝑟, 𝑡) позволяет определить вероятностное распределение нейтронов. Например, квадрат радиальной части [𝑅(𝑟)]² дает плотность вероятности нахождения нейтрона на расстоянии r: 𝑃(𝑟)~[𝑅(𝑟)]² 2. Энергетический баланс гравитонов (при условии, что они существуют): Слияние чд сопровождается выделением энергии в виде гравитационных волн. Разность энергетических уровней нитронов дает оценку энергии одного гравитона: 𝑒 = 𝐸𝑛=2 − 𝐸𝑛=1 22

Для первого и второго уровней энергия рассчитывается так: 𝐸𝑛 = − 𝑘²𝑚𝑛 𝑒⁴ 2ħ²𝑛² Подставляя n = 1 и n = 2, находим e. 3. Плотность вещества: С помощью волновой функции можно оценить плотность вещества в черной дыре. Зная минимальное расстояние r = 1, определяем объём, занимаемый одним нейтроном: 𝑉 ~ 𝑟³𝑛=1 Тогда плотность равна: 𝑝= 𝑚𝑛 𝑉 Итоги: В ходе работы было продемонстрировано, что проблема скалярного поля в фоне метрики Шварцшильда эквивалентна квантово-механической задаче о движении частицы в обратном квадратичном потенциале вблизи начала координат. С помощью модифицированного уравнения Шрёдингера была выведена волновая функция элементарной частицы (нейтрона) в условиях чёрной дыры. Полученные результаты убедительно демонстрируют, что законы физики элементарных частиц могут успешно применяться для описания релятивистских объектов, таких как чёрные дыры. Такой подход позволяет объединить квантовую механику и релятивистскую гравитацию, открывая новые перспективы в изучении природы самых экстремальных объектов Вселенной. Источники: Hawking, S. W. Particle creation by black holes. — Communications in Mathematical Physics, 1975. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. "Введение в теорию квантованных полей." 23

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. "Теория поля" (Том 2 из серии "Теоретическая физика"). Чепуров Иван Иванович Потенциал 1/x2 и температура чёрной дыры(Курсовая работа.) Киселёв В.В., "Квантовая механика. Курс лекций". Переломов А. М., "Обобщенные когерентные состояния и их приложения". Андрей Чернов Применение волнового уравнения Шрёдингера к условиям чёрной дыры. Результаты исследования. В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ Дифференциальные уравнения примеры и типовые задания. С.Г. Рубин Устройство нашей вселенной Научный журнал КубГАУ, №97(03), 2014 года. И.Ф.Гинзбург Основы квантовой механики (нерелятивинская теория) 24

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв