Расчет параметров и моделирование изгибаемых многогранных поверхностей, составленных из параллелограммов

Елизавета Хорошева

Расчет параметров и моделирование изгибаемых многогранных поверхностей, составленных из параллелограммов

В работе рассмотрен частный случай многогранных изгибаемых поверхностей, а именно поверхностей, составленных из равных параллелограммов. Исследуется ситуация, когда при сгибе соседних параллелограммов по общему ребру смежная пара параллелограммов сгибается в противоположную сторону. Задача состоит в определении параметров, описывающих изгибаемую многогранную поверхность, и её моделирование. Поставленную задачу можно решить несколькими подходами. В работе рассмотрены два метода. Первый метод основывается на применении матриц поворота и отражения. Второй способ заключается в анализе углов между гранями поверхности. Найдено соотношение, параметризующее все точки изгибаемой поверхности. По полученным результатам написана программа на языке Python. Реализованное приложение позволяет вычислить координаты вершин участка поверхности и визуализировать его. При задании различных начальных параметров можно увидеть особенности динамики изменения изгибаемой многогранной поверхности. Проведена адаптация и подготовка модели с целью получения возможности её 3D-печати. Выбранная тема интересна для изучения и находит своё применение в инженерии и промышленности.

Математика

Дипломы

Вуз: Ярославский государственный университет им. ПГ. Демидова (ЯрГУ имени П.Г. Демидова)

ID: 5f4bd5b2cd3d3e00017e04a4

UUID: f6d73df0-cd0c-0138-259e-0242ac180006

Язык: Русский

Опубликовано: больше 3 лет назад

Просмотры: 3

14.26

Елизавета Хорошева

Ярославский государственный университет им. ПГ. Демидова (ЯрГУ имени П.Г. Демидова)

Комментировать 0

Рецензировать 1

Скачать - 1,3 МБ

Поделиться работой

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова» Кафедра математического анализа Сдано на кафедру «16» июня 2020 г. Заведующий кафедрой д. ф.-м. н., доцент Невский М. В. Выпускная квалификационная работа Расчёт параметров и моделирование изгибаемых многогранных поверхностей, составленных из параллелограммов направление подготовки 01.03.02 Прикладная математика и информатика Научный руководитель старший преподаватель Алексеев В. В. «16» июня 2020 г. Студент группы ПМИ-41БО Хорошева Е. В. «16» июня 2020 г. Ярославль 2020 г.

Реферат Объем 40 с., 4 гл., 26 рис., 0 табл., 8 источников, 1 прил. Ключевые слова: вектор, двугранный угол, координаты, многогранные изгибаемые поверхности, параллелограммы, параллельный перенос, Python, STL. В работе рассмотрен частный случай многогранных изгибаемых поверхностей, а именно поверхностей, составленных из равных параллелограммов. Исследуется ситуация, когда при сгибе соседних параллелограммов по общему ребру смежная пара параллелограммов сгибается в противоположную сторону. Задача состоит в определении параметров, описывающих изгибаемую многогранную поверхность, и её моделирование. Поставленную задачу можно решить несколькими подходами. В работе рассмотрены два метода. Первый метод основывается на применении матриц поворота и отражения. Второй способ заключается в анализе углов между гранями поверхности. Найдено соотношение, параметризующее все точки изгибаемой поверхности. По полученным результатам написана программа на языке Python. Реализованное приложение позволяет вычислить координаты вершин участка поверхности и визуализировать его. При задании различных начальных параметров можно увидеть особенности динамики изменения изгибаемой многогранной поверхности. Проведена адаптация и подготовка модели с целью получения возможности её 3D-печати. Выбранная тема интересна для изучения и находит своё применение в инженерии и промышленности. 2

Содержание Введение 4 1. Постановка задачи 5 2. Методы решения 2.1. Линейно - алгебраический метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Геометрический метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 10 3. Программная реализация 13 4. Создание трёхмерной модели 4.1. Необходимые вычисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Реализация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 16 19 Заключение 24 Список литературы 25 Приложение А. Исходный код программы на Python 26 3

Введение Многогранной поверхностью называется поверхность, состоящая из набора плоских многоугольников (например, треугольников или параллелограммов). Элементами многогранной поверхности являются её вершины, рёбра — стороны граней и грани, которыми являются многоугольники. Согласно известной классификации [1], многогранные поверхности могут быть изгибаемыми. Их особенностью является то, что пространственную форму можно изменить непрерывной деформацией. В процессе такой деформации каждая грань не изменяет своих размеров (движется как твёрдое тело), а деформация осуществляется только за счёт непрерывного изменения двугранных углов. Отдельный интерес представляют изгибаемые поверхности, составленные из равных выпуклых 4-угольников, допускающие плоскую реализацию (в виде замощения плоскости). Они нашли применение в промышленности в качестве солнечных панелей для космических аппаратов [2]. Также они используются и в архитектурном дизайне: изогнутые фасады или крыши из четырехугольных стеклянных панелей встречаются в современных городах. Известны условия, при которых такие поверхности обладают свойством изгибаемости: комплекс, состоящий из граней и её 8 соседей, допускает непрерывное изменение [3]. В большинстве известных работ, связанных с исследованием свойств изгибаемых поверхностей, рассматриваемые случаи сводятся к рассмотрению общей модели. Интерес состоит в том, чтобы произвести численное моделирование изгибаемой поверхности. Выбранная тема не только представляет собой увлекательное математическое исследование, но и будет актуальна благодаря наличию приложений в архитектуре и технической деятельности. В работе рассматривается частный случай изгибаемых многогранных поверхностей: поверхностей, составленных из равных параллелограммов. Цель выпускной квалификационной работы состоит в: 1. Определении параметров, описывающих изгибаемую многранную поверхность, составленную из равных параллелограммов. 2. Поиске алгоритма, позволяющего вычислить координаты произвольного участка поверхности по данному набору параметров. 3. Программной реализации трёхмерной модели данной поверхности. 4. Адаптации данной модели с целью обеспечения возможности её 3D-печати. 4

1. Постановка задачи Рассмотрим замощение плоскости равными параллелограммами (Рис. 1): Рис. 1 — Пример составленной из равных параллелограммов поверхности Рассмотрим два соседних параллелограмма. Если согнуть поверхность по их общему ребру, то следующая пара параллелограммов может согнуться в ту же сторону (этот случай тривиален), а может в противоположную (Рис. 2, Рис. 3). В данной работе нас будет интересовать именно второй случай. z z x Рис. 2 — Следующая пара параллелограммов сгибается в туже строну x Рис. 3 — Следующая пара параллелограммов сгибается в противоположную сторону Задача состоит в моделировании такой поверхности, параметризованной длинами сторон параллелограмма, углом α параллелограмма и двугранным углом сгиба ψ . Рассмотрим участок поверхности, состоящий из четырех соседних параллелограммов (Рис. 4). Будем симметрично относительно плоскости Oxz сгибать 5

закрашенный параллелограмм к верхнему параллелограмму (Рис. 5). Опишем движение отмеченных вершин в зависимости от угла сгиба ψ . Сгибать можно только по линиям, грани жёсткие (несгибаемые). z y E F F K C D ψ B C G x α E B A D x ω L K β G A Рис. 4 — Участок поверхности, состоящий из четырех соседних параллелограммов Рис. 5 — Вид рассматриваемого участка поверхности после сгиба 6 L

2. Методы решения В данной главе будут рассмотрены два метода решения задачи: линейно алгебраический и геометрический. В первом элементы можно найти, используя матрицы поворота и отражения. Второй способ будет основан на анализе углов между гранями поверхности. 2.1. Линейно - алгебраический метод Пусть нам даны координаты вершин параллелограмма ABCD . Пусть B лежит в начале координат, ψ — двугранный угол сгиба между параллелограммами (Рис. 4). Для того, чтобы найти точку E , необходимо осуществить поворот точки A −−→ на угол ψ вокруг BC [5]. Любое вращение в трёхмерном пространстве может быть представлено последовательностью поворотов вокруг трёх ортогональных осей (например, вокруг осей декартовых координат). Этой последовательности соответствует матрица, равная произведению соответствующих матриц поворота. Матрицей поворота назовём ортогональную матрицу, используемую для выполнения собственного ортогонального преобразования в евклидовом пространстве. −−→ Пусть BC = (Cx ,Cy ,Cz ). Пусть ψ — угол поворота, а ось вращения задана → − единичным вектором V = (Vx ,Vy ,Vz ), где (Cx , Cy , Cz ) → − V (Vx , Vy , Vz ) = q . 2 2 2 Cx + Cy + Cz (1) Тогда матрица поворота в декартовых координатах имеет вид − → V M ( , ψ) = cos ψ + (1 − cos ψ)Vx2 (1 − cos ψ)Vy Vx + (sin ψ)Vz (1 − cos ψ)Vz Vx − (sin ψ)Vy (1 − cos ψ)Vx Vy − (sin ψ)Vz cos ψ + (1 − cos ψ)Vy2 (1 − cos ψ)Vz Vy + (sin ψ)Vx (1 − cos ψ)Vx Vz + (sin ψ)Vy (1 − cos ψ)Vy Vz − (sin ψ)Vx cos ψ + (1 − cos ψ)Vz2  −−→ (2)  Ax   Координаты точки E определяются произведением M · Ay , Az где Ax , Ay , Az — координаты точки A. (3) Сдвинем точки F, C и D на вектор BC . Получим новые точки K ∗ , G∗ , L∗ (Рис. 6). 7

K∗ G∗ L∗ z F C σ D E B x A Рис. 6 — Расположение точек K ∗ , G∗ , L∗ Пусть F (Fx , Fy , Fz ), C(Cx , Cy , Cz ), D(Dx , Dy , Dz ). Уравнение плоскости [4], проходящей через точки F, C, D , в координатной форме будет иметь вид (Рис. 6): x − Fx y − F y z − Fz Cx − Fx Cy − Fy Cz − Fz = 0. Dx − Fx Dy − Fy Dz − Fz Cy − Fy Cz − F z Dy − Fy Dz − Fz ·x− Cx − Fx Cz − Fz Dx − Fx Dz − Fz ·y+ Cy − Fy (4) Cz − Fz Dy − Fy Dz − Fz ·z =0 (5) Получаем уравнение ∆x · x − ∆y · y + ∆z · z − (Fx · ∆x − Fy · ∆y + Fz · ∆z) = 0 (6) → − Обозначим заданную плоскость за σ . Пусть N = (∆x, −∆y, ∆z) — вектор нормали к этой плоскости. Тогда единичным вектором нормали будет → − n (nx , ny , nz ) = p (∆x, −∆y, ∆z) (∆x)2 + (∆y)2 + (∆z)2 . (7) Координаты K, G, L получим отражением точек K ∗ , G∗ , L∗ относительно плоскости σ . Рассмотрим алгоритм решения для точки K . Точки G и L находятся аналогично. Найдем уравнение прямой, проходящей через точку K ∗ перпендикулярно 8

плоскости σ . В качестве её направляющего вектора возьмём вектор нормали плоскости. x − Kx∗ y − Ky∗ z − Kz∗ = = ∆x −∆y ∆z (8) Найдем точку пересечения прямой и плоскости. x − Kx∗ y − Ky∗ z − Kz∗ = = =t ∆x −∆y ∆z ⇒  ∗   x = Kx + t · ∆x y = K ∗ − t · ∆y y   z = K ∗ + t · ∆z z (9) Найдём t, подставив координаты x, y, z в уравнение плоскости, получим ∆x · (Kx∗ + t · ∆x) − ∆y · (Ky∗ − t · ∆y) + ∆z · (Kz∗ + t · ∆z)− − (Fx · ∆x − Fy · ∆y + Fz · ∆z) = 0. (10) Откуда можно записать точку K ′ (x, y, z) (Рис. 7). Точка K ′ является серединой отрезка KK ∗ , где точка K(Kx , Ky , Kz ) является точкой, симметричной относительно проскости σ , точке K ∗ (Kx∗ , Ky∗ , Kz∗ ), поэтому Kx + Kx∗ = 2 Ky + Ky∗ ′ Ky = 2 Kz + Kz∗ ′ Kz = 2 Kx′ ⇒ Kx = 2Kx′ − Kx∗ , ⇒ Ky = 2Ky′ − Ky∗ , ⇒ Kz = 2Kz′ − Kz∗ . (11) z K∗ σ K′ K x Рис. 7 — Отражение точки K ∗ относительно плоскости σ Таким образом, мы нашли все координаты точек участка поверхности. Остальные точки получаются параллельным переносом участка поверхности на вектор (m · |BG|, n · |AE|, 0), m, n ∈ Z. (12) 9

2.2. Геометрический метод В данном разделе будет рассмотрен метод параметризации вершин поверхности на основе геометрических соотношений. Пусть заданы a = |BC|, b = |BA|, α — острый угол параллелограмма, ψ — угол сгиба вдоль отрезка BC . Проведём координатные оси, как показано на рисунке 4. Поместим точку B в начало координат, ось Ox проведём в направлении −−→ вектора BC . Обозначим угол между отрезком BA и осью Ox как ω (Рис. 8). Выразим координаты вершин A и E . Стороны BA и BE лежат в плоскости Oxy . Из этого следует, что координата z искомых точек равна нулю. Рассмотрим ∆ABN , изображённый на рисунке 8. Этот треугольник является прямоугольным, поэтому для угла ω будут верны следующие соотношения: cos ω = y |AN | |BN | , sin ω = . |BA| |BA| (13) z E F C D a B ω N x E β B K N ω b A Рис. 8 — Вид на плоскость Oxy x G L A Рис. 9 — Расположение точки N Выразим sin ω через заданные элементы. В ∆AON (Рис. 10) точка N принадлежит оси Ox (Рис. 8, Рис. 9), а грани параллелограммов движутся симметψ ψ рично относительно плоскости Oxz , поэтому ∠AON = 2 , |AN | = sin 2 · |AO|. |AO| Рассмотрим ∆ABO (Рис. 11), получим |BA| = sin α . Тогда sin ω = sin α · sin ψ . 2 (14) На рисунке 8 значение координаты x точки A будет равно длине отрезка BN , координата y равна −|AN |. Для точки E : x = |BN |, y = |EN | = |AN | (в силу симметрии относительно Oxz ). Запишем координаты искомых точек: A = (b cos ω, −b sin ω, 0), E = (b cos ω, b sin ω, 0). 10 (15)

O E y F ψ O B E N A α C x A D Рис. 11 — Точка O на плоскости Рис. 10 — Расположение элементов ∆AON Для получения координат точки C сначала рассмотрим отрезок BC (Рис. 12). Он лежит в плоскости Oxz . Поэтому координата y этой точки принимает нулевое значение. Пусть β — угол между отрезком BC и осью Ox (Рис. 12), угол ω — угол между отрезком BA и осью Ox на плоскости Oxy (Рис. 8), угол α — угол между отрезками BA и BC (Рис. 11). Рассмотрим трёхгранный угол, ограниченный плоскостями Oxy , Oxz и гранью параллелограмма ABCD . Запишем теорему косинусов для трёхгранного угла. Угол между плоскостями Oxy и Oxz равен π2 . z C β B H x Рис. 12 — Расположение угла β Получаем, π cos α = cos β · cos ω + sin β · sin ω · cos . 2 (16) cos α . В прямоугольном треугольнике BCH cos ω для sin β и cos β справедливы следующие равенства (Рис. 12): Из этого следует, что cos β = cos β = |BH| , |BC| 11 sin β = |CH| . |BC| (17)

Все необходимые значения найдены, и мы можем записать координаты точки. C = (a cos β, 0, a sin β) (18) Перейдём к рассмотрению точки G. Она принадлежит плоскости Oxz . Поэтому y = 0. Также эта точка лежит на оси Ox. Поэтому z = 0. Пусть C(Cx , Cy , Cz ), тогда G(2 Cx , 0, 0). (19) Координаты остальных точек выражаются из следующих векторных соотношений: −−→ −−→ −−→ BF = BC + BE, −−→ −→ −→ CK = CG + CF , −−→ −−→ −→ BD = BC + BA, −→ −→ −−→ CL = CG + CD. (20) Пусть C(Cx , Cy , Cz ), A(Ax , Ay , Az ), E(Ex , Ey , Ez ), F (Fx , Fy , Fz ), D(Dx , Dy , Dz ). Тогда координаты оставшихся точек могут быть найдены по следующим формулам: F = (Cx + Ex , Cy + Ey , Cz + Ez ), D = (Cx + Ax , Cy + Ay , Cz + Az ), K = (Fx + Cx , Fy − Cy , Fz − Cz ), L = (Dx + Cx , Dy − Cy , Dz − Cz ). (21) Координаты вершин всех четырёх параллелограммов найдены. Координаты вершин произвольного участка поверхности получаются параллельным переносом на вектор (m · |BG|, n · |AE|, 0), 12 m, n ∈ Z. (22)

3. Программная реализация Для демонстрации смоделированных поверхностей по различным наборам параметров, написана программа на языке Python. Для построения и работы с графиками использована библиотека matplotlib [6]. Интерфейс приложения показан на рисунке 13. Программа позволяет производить построение участка поверхности произвольной величины с указанием параметров. Рис. 13 — Интерфейс приложения для демонстрации смоделированных поверхностей по различным наборам параметров Основную часть панели под названием Figure 1 занимает непосредственно сам график поверхности в трёхмерной системе координат. На осях x, y, z указаны значения. Под графиком добавлены слайдеры (Slider), которые позволяют изменять значения параметров «на лету». a — длина отрезка BC , b — длина отрезка BA, α — градусная мера угла параллелограмма α, ψ — градусная мера угла ψ , 13

угла сгиба вдоль отрезка BC (Рис. 4). Ниже расположены две кнопки (Button). По нажатию на Save STL model программа позволяет сохранить участок поверхности в формате STL. Подробнее см. Глава 4. Код программы см. в Приложении А. Вычисления и построение реализованы в функциях CalkParam и Draw. В CalkParam вычисляются длины отрезков AE, BG и координаты точек A, E, C, F, D, G, K, L. В функции draw формируются списки всех вершин поверхности, задаются оси и их размеры, вызывается процедура отрисовки графика. Далее продемонстрированы примеры поверхностей, смоделированных по различным наборам параметров. Рис. 14 — Пример многогранной поверхности, построенной с помощью −−→ −→ второго метода при |BC| = 5, |BA| = 4, α = 45◦ , ψ = 0◦ . 14

Рис. 15 — Пример многогранной поверхности, построенной с помощью −−→ −→ второго метода при |BC| = 5, |BA| = 4, α = 45◦ , ψ = 179◦ . Рис. 16 — Пример многогранной поверхности, построенной с помощью −−→ −→ второго метода при |BC| = 5, |BA| = 4, α = 45◦ , ψ = 120◦ . 15

4. Создание трёхмерной модели 3D-моделирование - процесс (совокупность инструментов и приемов), при помощи которого можно создавать объемные объекты. Он обеспечивает разработку наглядной копии поверхности, что представляет возможность наиболее полно передавать информацию об изменениях объекта, анализировать характеристики. Для создания трехмерной модели требуются специальные программные (приложения 3D-визуализации) и аппаратные средства (компьютер, 3D-мониторы, 3D-принтеры). Полигональная трёхмерная модель состоит из множества точек, которые соединяются между собой гранями и образуют полигоны. Вершиной является точка, имеющая в трехмерной системе свои уникальные координаты (x, y , z ). Преимуществом трёхмерных моделей является их наглядность и информативность. В настоящее время создание и использование 3D-моделей находит применение в различных областях деятельности: образовании, науке, строительстве, картографии и т.д. В данной работе требуется создать трёхмерную модель поверхности пригодной для 3D-печати. Глава 4 посвящена описанию того, каким образом можно создать подобную модель. 4.1. Необходимые вычисления Построенная в Главе 3 поверхность является двумерной и не пригодной для 3D-печати. Целью данного раздела является демонстрация техники преобразования трёхмерной модели из двумерной поверхности. Аппроксимируем реализованную изгибаемую поверхность набором многогранников (каждой грани будет соответствовать некий многогранник). В Главе 2 показан алгоритм вычисления координат вершин двумерной изгибаемой поверхности. Заменим грани поверхности призмами высоты e (e — параметр модели). При этом образуется множество самопересечений поверхности на стыке граней. Чтобы избежать самопересечений, раздвинем соседние грани на величину l ( l — параметр модели) (Рис. 17). Рассмотрим произвольную грань ABCD поверхности. Далее на рисунках 18 и 19 она выделена. Расположим её в декартовой системе координат, как показано на рисунке 5. Обозначим грань ABCD , как µ 0,0 . Индексируем все грани поверхности целыми числами так, что грань µ m,n получается параллельным переносом грани µ 0,0 на вектор (m · |BG|, n · |AE|, 0), m,n ∈ Z (Рис. 18). 16

Рис. 17 — Часть создаваемой трёхмерной модели y µ −1,3 µ 0,3 µ 1,3 µ 2,3 µ −1,2 µ 0,2 µ 1,2 µ 2,2 µ −1,1 µ 0,1 µ 1,1 µ 2,1 x µ −1,0 µ 0,0 µ 1,0 µ 2,0 Рис. 18 — Индексация граней двумерной поверхности Далее каждую грань µ m,n сдвигаем на вектор (lm , ln , 0), m,n ∈ Z. Результат преобразований покажем на рисунке 19. На следующем этапе создадим смещённую копию полученного ранее слоя. Это позволит получить объёмный аналог исследуемой поверхности. Построим на гранях полученные поверхности, в отрицательном направлении оси Oz , как 17

y µ −1,2 µ 0,2 µ 1,2 µ 2,2 µ 1,1 µ 2,1 µ 1,0 µ 2,0 l µ −1,1 µ 0,1 l x µ −1,0 µ 0,0 Рис. 19 — Вид двумерной поверхности после раздвижения граней на основаниях, призмы высотой e. В результате получим набор прямых призм с ребром e; промежуток между соседними равен l. Для обеспечения связности и изгибаемости модели, на каждой из боковых граней полученных призм, как на боковой грани, построим прямую треугольную призму, с высотой основания равного 2l . Тогда треугольные призмы, построенные на соседних гранях поверхности пересекутся по отрезку, что обеспечит изгибаемость модели (Рис. 17). Запишем формулы для расчёта координат точек соединения (Рис. 20). y W T1 W1 B C x S1 A D S T H1 H Рис. 20 — Вид трёхмерного элемента модели 18

Пусть B(x1 , y1 , z1 ), C(x2 , y2 , x2 ), D(x3 , y3 , z3 ), A(x4 , y4 , z4 ), тогда l e l e W = (x1 , y1 + , z1 − ), W1 = (x2 , y2 + , z2 − ), 2 2 2 2 l e l e S = (x3 + , y3 , z3 − ), S1 = (x2 + , y2 , z3 − ), 2 2 2 2 l e l e H = (x3 , y3 − , z3 − ), H1 = (x4 , y4 − , z3 − ), 2 2 2 2 e l e l T = (x4 − , y4 , z4 − ), T1 = (x1 − , y1 , z1 − ). 2 2 2 2 (23) Указанные соотношения задают трёхмерную модель изгибаемой поверхности. 4.2. Реализация Для хранения информации о 3D-моделях существуют различные форматы файлов. Самые популярные из них: STL, OBJ, FBX, COLLADA. 3D-файл хранит информацию о геометрии, внешнем виде модели, а так же другую дополнительную информацию. Геометрия модели описывает ее форму. Внешний вид включает в себя цвета, текстуры, материал и т.д. В работе используется STL-формат, как наиболее подходящий по функциональности и набору хранимых данных. STL — формат файла, который часто используют для хранения трёхмерных моделей объектов. Хранимые данные включают в себя список треугольников и их нормалей, в совокупности задающих поверхность объекта. STL-файл может быть текстовым (ASCII) или бинарным [8]. Пример файла типа ASCII STL выглядит следующим образом (Рис. 21). Рис. 21 — Пример структуры файла STL в кодировке ASCII Файлы этого типа начинаются со строки solid name и заканчиваются строкой endsolid name. Название объекта, обозначенное словом name — необяза19

тельно, но если name опущено, то всё равно должен быть пробел после solid. Дальше файл заполняется списком произвольного числа треугольников, каждое n и v — число с плавающей точкой. В строке f acet normal ni nj nk указываются координаты вектора нормали единичной длины; важна согласованность ориентаций нормалей. Далее записываются координаты каждой вершины треугольника. Они должны быть перечислены в порядке против часовой стрелки, относительно вектора нормали. Поскольку файл ASCII STL может быть очень большим, существует двоичная версия этого формата. Такой файл начинается с заголовка из 80 символов (который обычно игнорируется, но не должен начинаться с solid, так как с этой последовательности начинается файл ASCII STL). После заголовка идет 4-байтовое беззнаковое целое число, указывающее количество треугольных граней в данном файле. После этого идут данные, характеризующие треугольники. Свойства для нормалей остаются такие же, как и в формате ASCII STL. Каждый треугольник описывается двенадцатью 32-битными числами с плавающей точкой: 3 числа для нормали и по 3 числа на каждую из трёх вершин для координат x, y, z . Далее идут 2 байта беззнакового «short», который называется attribute byte count. Пример файла STL двоичного формата приведён на рисунке 22. Рис. 22 — Пример структуры двоичного файла STL В работе будет использован формат ASCII STL. Сформированная ранее модель состоит из четырёхугольников и треугольников. Разобьём на треугольники имеющуюся поверхность. Рассмотрим часть поверхности, состоящую из конструкции, изображённой на рисунке 20. После разбиения четырёхугольных граней на треугольники поверхность примет вид, показанный на рисунке 23. 20

y W W1 T1 C B x S1 D A S T H1 H Рис. 23 — Элемент трёхмерной модели с замощением его поверхности треугольниками После указанного разбиения рассматриваемая часть поверхности представляет собой набор треугольников и подходит для сохранения в формате STL. Аналогичную операцию проделаем с каждым элементом модели. Приведённый алгоритм создания 3D-модели реализован в виде программы на языке Python. Преобразование данных в формат STL производится помощью библиотеки Numpy-STL [7]. С кодом программы можно ознакомиться в Приложении А. Интерфейс приложения показан на рисунках 13 и 24. По нажатию кнопки Save STL Model вызывается функция ModelSTL, выполняющая преобразования данных модели в формат STL и сохранение полученного файла. Основными функциями программы являются функции ModelSTL и CreateParallelogram. ModelSTL принимает на вход набор вершин параллелограммов, осуществляет преобразования координат. Затем для полученного набора вершин вызывается функция CreateParallelogram, реализующая преобразование набора вершин в набор призм. Далее осуществляется разбиение призм на треугольники, расчёт нормалей и сохранение модели в формате STL. 21

Рис. 24 — Иллюстрация всплывающего окна при успешном сохранении STL-модели на компьютер Модель, полученная в результате работы программы, продемонстрирована на рисунках 25 и 26. Рис. 25 — Общий вид созданной модели в интерфейсе программы MeshLab 22

Рис. 26 — Приближенный вид модели в интерфейсе программы MeshLab 23

Заключение В результате выполнения выпускной квалификационной работы были решены следующие задачи: 1. Описано движение вершин поверхности, параметризованной длинами сторон параллелограмма, углом α параллелограмма и двугранным углом сгиба ψ. 2. Смоделирован полученный результат. 3. Разработана трёхмерная модель по полученному результату. Созданная модель поверхности позволяет наглядно увидеть особенности и свойства рассмотренного частного случая изгибаемых многогранных поверхностей. Таким образом, цель выпускной квалификационной работы считаю достигнутой. 24

Список литературы 1. Izmestiev, Ivan. (2016). Classification of Flexible Kokotsakis Polyhedra with Quadrangular Base. International Mathematics. Research Notices. 2017. 10.1093/imrn/rnw055. 2. Nishiyama, Yutaka. (2012). Miura folding: Applying origami to space exploration. International Journal of Pure and Applied Mathematics. 79. 269-279. 3. Karpenkov, Oleg. (2009). On the flexibility of Kokotsakis meshes. Geometriae Dedicata. 147. 10.1007/s10711-009-9436-4. 4. Яблокова С.И. Лекции по курсу "Аналитическая геометрия". Часть 1: Учебное пособие / Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 2002. 108 с. 5. Яблокова С.И. Лекции по курсу "Аналитическая геометрия". Часть 2: Учебное пособие / Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 2003. 112 с. 6. Hunter, J. D. Matplotlib: A 2D graphics environment. Computing in Science & Engineering, 9. 3. 90–95. Matplotlib is a 2D graphics package used for Python for application development, interactive scripting, and publication-quality image generation across user interfaces and operating systems. IEEE COMPUTER SOC. 10.1109/MCSE.2007.55. 2007. 7. Библиотека Numpy-STL numpy-stl/. 2.11.2. URL: https://pypi.org/project/ 8. The STL Format. URL: http://www.fabbers.com/tech/STL_Format. 25

Приложение А Исходный код программы на Python 1 %matplotlib qt 2 3 4 # p i p i n s t a l l numpy− s t l 5 6 import numpy as np 8 import matplotlib.pyplot as plt 7 9 from matplotlib.collections import LineCollection 11 from matplotlib import colors as mcolors 12 import mpl_toolkits.mplot3d as plot3d 13 import matplotlib.animation as animation 10 14 15 from matplotlib.widgets import Slider, Button 16 import stl 18 from stl import mesh 17 19 20 from tkinter import Label, messagebox, Tk 21 22 a = 5 24 b = 4 25 Alpha = 45 26 Psi = 120 23 27 # 29 n 30 # 31 m 28 Количество параллелограммов по y = 8 Количество параллелограммов по x = 4 32 global slider_a 34 global slider_b 35 global slider_Alpha 33 26

36 global slider_Psi 37 # Точки поверхности 39 polygons1 = list() 40 polygons2 = list() 38 41 # Счетчик количества треугольников в s t l −модели 43 global k 42 44 # 46 e 47 # 48 l 45 Высота прямой призмы = 1 Ширина раздвижения параллелограммов = e 49 # Хранилище для набора треугольников s t l −модели 51 data = np.zeros((n * m * 4 * 28), dtype = mesh.Mesh.dtype) 50 52 53 54 def CalkParam(a, b, Alpha, Psi): 55 56 57 58 SinOmega = np.sin(np.radians(Alpha)) * np.sin( np.radians(Psi / 2)) CosOmega = np.sqrt(1 - np.power(SinOmega, 2)) 59 60 61 62 63 A # E # = [b * CosOmega, -b * SinOmega, 0] p r i n t ( " Координаты точки А : " , A) = [b * CosOmega, b * SinOmega, 0] p r i n t ( " Координаты точки Е : " , E ) 64 65 66 CosBeta = np.cos(np.radians(Alpha)) / CosOmega SinBeta = np.sqrt(1 - np.power(CosBeta, 2)) 67 68 69 70 71 72 73 74 75 C # F # D # G # = [a * CosBeta, 0, a * SinBeta] p r i n t ( " Координаты точки С : " , C ) = [C[0] + E[0], C[1] + E[1], C[2] + E[2]] p r i n t ( " Координаты точки F : " , F ) = [C[0] + A[0], C[1] + A[1], C[2] + A[2]] p r i n t ( " Координаты точки D: " , D) = [2 * C[0], 0, 0] p r i n t ( " Координаты точки G: " , G) 27

76 77 78 79 K # L # = [F[0] + C[0], F[1] - C[1], F[2] - C[2]] p r i n t ( " Координаты точки K : " , K ) = [D[0] + C[0], D[1] - C[1], D[2] - C[2]] p r i n t ( " Координаты точки L : " , L ) 80 81 82 83 84 85 86 87 88 lengthAE = np.sqrt(np.power(E[0] - A[0], 2) + np.power(E[1] - A[1], 2) + np.power(E[2] - A[2], 2)) # p r i n t ( " Сдвиг по y : " , AEdl ) lengthBG = np.sqrt(np.power(G[0], 2) + np.power(G[1], 2) + np.power(G[2], 2)) # p r i n t ( " Сдвиг по x : " , BGdl ) 89 90 return A, E, C, F, D, G, K, L, lengthAE, lengthBG 91 92 93 def Draw(A, E, C, F, D, G, K, L, lengthAE, lengthBG): 94 95 96 polygons1.clear() polygons2.clear() 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 for i in range(n): for j in range(m): polygons1.append([(0 + j * lengthBG, 0 + i * lengthAE, 0), (C[0] + j * lengthBG, C[1] + i * lengthAE, C[2]), (D[0] + j * lengthBG, D[1] + i * lengthAE, D[2]), (A[0] + j * lengthBG, A[1] + i * lengthAE, A[2])]) polygons2.append([(E[0] + j * lengthBG, E[1] + i * lengthAE, E[2]), (F[0] + j * lengthBG, F[1] + i * lengthAE, F[2]), (C[0] + j * lengthBG, C[1] + i * lengthAE, C[2]), (0 + j * lengthBG, 0 + i * lengthAE, 0)]) 28

116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 polygons1.append([(F[0] + j * lengthBG, F[1] + i * lengthAE, F[2]), (K[0] + j * lengthBG, K[1] + i * lengthAE, K[2]), (G[0] + j * lengthBG, G[1] + i * lengthAE, G[2]), (C[0] + j * lengthBG, C[1] + i * lengthAE, C[2])]) polygons2.append([(C[0] + j * lengthBG, C[1] + i * lengthAE, C[2]), (G[0] + j * lengthBG, G[1] + i * lengthAE, G[2]), (L[0] + j * lengthBG, L[1] + i * lengthAE, L[2]), (D[0] + j * lengthBG, D[1] + i * lengthAE, D[2])]) 132 133 polygonsline = list() 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 for i in range(n): for j in range(m): polygonsline.append([(0 + j * lengthBG, 0 + i * lengthAE, 0), (A[0] + j * lengthBG, A[1] + i * lengthAE, A[2])]) polygonsline.append([(A[0] + j * lengthBG, A[1] + i * lengthAE, A[2]), (D[0] + j * lengthBG, D[1] + i * lengthAE, D[2])]) polygonsline.append([(D[0] + j * lengthBG, D[1] + i * lengthAE, D[2]), (C[0] + j * lengthBG, C[1] + i * lengthAE, C[2])]) polygonsline.append([(C[0] + j * lengthBG, C[1] + i * lengthAE, C[2]), (0 + j * lengthBG, 0 + i * lengthAE, 0)]) polygonsline.append([(0 + j * lengthBG, 0 + i * lengthAE, 0), (E[0] + j * lengthBG, 29

156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 E[1] + i * lengthAE, E[2])]) polygonsline.append([(E[0] + j * lengthBG, E[1] + i * lengthAE, E[2]), (F[0] + j * lengthBG, F[1] + i * lengthAE, F[2])]) polygonsline.append([(F[0] + j * lengthBG, F[1] + i * lengthAE, F[2]), (C[0] + j * lengthBG, C[1] + i * lengthAE, C[2])]) polygonsline.append([(F[0] + j * lengthBG, F[1] + i * lengthAE, F[2]), (K[0] + j * lengthBG, K[1] + i * lengthAE, K[2])]) polygonsline.append([(K[0] + j * lengthBG, K[1] + i * lengthAE, K[2]), (G[0] + j * lengthBG, G[1] + i * lengthAE, G[2])]) polygonsline.append([(C[0] + j * lengthBG, C[1] + i * lengthAE, C[2]), (G[0] + j * lengthBG, G[1] + i * lengthAE, G[2])]) polygonsline.append([(G[0] + j * lengthBG, G[1] + i * lengthAE, G[2]), (L[0] + j * lengthBG, L[1] + i * lengthAE, L[2])]) polygonsline.append([(D[0] + j * lengthBG, D[1] + i * lengthAE, D[2]), (L[0] + j * lengthBG, L[1] + i * lengthAE, L[2])]) 185 186 187 188 poly_collection1 = plot3d.art3d.Poly3DCollection(polygons1) # rgb ( 7 1 , 8 1 , 9 1 ) / 255 poly_collection1.set_color((0.28, 0.32, 0.36, 0.4)) 189 190 191 line_collection = plot3d.art3d.Line3DCollection( polygonsline, colors = ’black’) 192 193 194 195 poly_collection2 = plot3d.art3d.Poly3DCollection(polygons2) # rgb ( 9 7 , 1 7 9 , 1 7 9 ) / 255 poly_collection2.set_color((0.38, 0.7, 0.7, 0.1)) 30

196 197 198 # Отрисовка плоскости в программе ax = plt.axes(projection=’3d’) 199 200 201 202 ax.add_collection3d(line_collection) ax.add_collection3d(poly_collection1) ax.add_collection3d(poly_collection2) 203 204 205 206 ax.set_xlim((0, 45)) ax.set_ylim((-5, 45)) ax.set_zlim((0, 6)) 207 208 209 210 ax.set_xlabel(’x’) ax.set_ylabel(’y’) ax.set_zlabel(’z’) 211 212 213 214 # Центрирование отображения окна root = Tk() root.withdraw() 215 216 217 screen_width = root.winfo_screenwidth() screen_height = root.winfo_screenheight() 218 219 220 221 222 223 224 225 x_old, y_old, width, height = plt.get_current_fig_manager().window.geometry() .getRect() plt.get_current_fig_manager().window.setGeometry( (screen_width - width)/2, (screen_height - height)/2, width, height) 226 227 228 # Отрисовка поверхности plt.show() 229 230 # Формирование файла STL для плоскости 232 def ModelSTL(polygons1, polygons2): 231 233 234 polygonsAll = list() 235 31

236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 # Раздвигаем параллелограммы p = 0 for i in range(0, n * 2, 2): for j in range(0, m * 2, 2): # 1 polygonsAll.append([(polygons1[p][0][0] + j * l, polygons1[p][0][1] + i * l, polygons1[p][0][2]), (polygons1[p][1][0] + j * l, polygons1[p][1][1] + i * l, polygons1[p][1][2]), (polygons1[p][2][0] + j * l, polygons1[p][2][1] + i * l, polygons1[p][2][2]), (polygons1[p][3][0] + j * l, polygons1[p][3][1] + i * l, polygons1[p][3][2])]) 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 # 2 polygonsAll.append([(polygons2[p][0][0] + j polygons2[p][0][1] + (i polygons2[p][0][2]), (polygons2[p][1][0] + j polygons2[p][1][1] + (i polygons2[p][1][2]), (polygons2[p][2][0] + j polygons2[p][2][1] + (i polygons2[p][2][2]), (polygons2[p][3][0] + j polygons2[p][3][1] + (i polygons2[p][3][2])]) * l, + 1) * l, * l, + 1) * l, * l, + 1) * l, 267 * l, + 1) * l, 268 269 270 271 272 273 274 275 # 3 polygonsAll.append([(polygons1[p + 1][0][0] + (j + 1) * l, polygons1[p + 1][0][1] + (i + 1) * l, polygons1[p + 1][0][2]), (polygons1[p + 1][1][0] + (j + 1) * l, 32

polygons1[p + 1][1][1] + (i + 1) * l, polygons1[p + 1][1][2]), (polygons1[p + 1][2][0] + (j + 1) * l, polygons1[p + 1][2][1] + (i + 1) * l, polygons1[p + 1][2][2]), (polygons1[p + 1][3][0] + (j + 1) * l, polygons1[p + 1][3][1] + (i + 1) * l, polygons1[p + 1][3][2])]) 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 # 4 polygonsAll.append([(polygons2[p + 1][0][0] + (j + 1) * l, polygons2[p + 1][0][1] + i polygons2[p + 1][0][2]), (polygons2[p + 1][1][0] + (j + 1) * l, polygons2[p + 1][1][1] + i polygons2[p + 1][1][2]), (polygons2[p + 1][2][0] + (j + 1) * l, polygons2[p + 1][2][1] + i polygons2[p + 1][2][2]), (polygons2[p + 1][3][0] + (j + 1) * l, polygons2[p + 1][3][1] + i polygons2[p + 1][3][2])]) 307 308 p = p + 2 309 310 311 # Создаем элементы трехмерной поверхности k = 0 312 313 314 for i in range(n * m * 4): k = CreateParallelogram(polygonsAll[i], k) 315 33 * l, * l, * l, * l,

316 317 # Создаём сетку из треугольников поверхности coordinatesMesh = mesh.Mesh(data, remove_empty_areas = False) 318 319 320 # Для в с е х треугольников сетки добавляем нормали coordinatesMesh.normals 321 322 323 # Создаем вектора для доступа к вершинам треугольников coordinatesMesh.v0, coordinatesMesh.v1, coordinatesMesh.v2 324 325 326 327 328 329 330 331 332 assert (coordinatesMesh.points[0][0:3] == coordinatesMesh.v0[0]).all() assert (coordinatesMesh.points[0][3:6] == coordinatesMesh.v1[0]).all() assert (coordinatesMesh.points[0][6:9] == coordinatesMesh.v2[0]).all() assert (coordinatesMesh.points[1][0:3] == coordinatesMesh.v0[1]).all() 333 334 335 336 # Сохраняем модель в кодировке ASCII coordinatesMesh.save(’DiplomModelSTL.stl’, mode = stl.Mode.ASCII) 337 338 # Моделирование одного элемента трехмерной плоскости 340 def CreateParallelogram(parallelogram, k): 339 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 # Сдвиг вниз parallelogram_down = [(parallelogram[0][0], parallelogram[0][1], parallelogram[0][2] - e), (parallelogram[1][0], parallelogram[1][1], parallelogram[1][2] - e), (parallelogram[2][0], parallelogram[2][1], parallelogram[2][2] - e), (parallelogram[3][0], parallelogram[3][1], parallelogram[3][2] - e)] 355 34

356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 # Заносим исходный и сдвинутый вниз на е data[’vectors’][k] = np.array([parallelogram[0], parallelogram[3], parallelogram[2]]) data[’vectors’][k + 1] = np.array([parallelogram[0], parallelogram[2], parallelogram[1]]) data[’vectors’][k + 2] = np.array([parallelogram_down[0], parallelogram_down[2], parallelogram_down[3]]) data[’vectors’][k + 3] = np.array([parallelogram_down[0], parallelogram_down[1], parallelogram_down[2]]) 369 370 k = k + 4 371 372 373 374 375 376 # Добавление призм по бокам H = (parallelogram[3][0], parallelogram[3][1] - (l / 2), parallelogram[3][2] - (e / 2)) H1 = (parallelogram[2][0], parallelogram[2][1] - (l / 2), parallelogram[2][2] - (e / 2)) 377 378 379 380 381 382 data[’vectors’][k] = np.array([H, parallelogram[3], parallelogram_down[3]]) data[’vectors’][k + 1] = np.array([H1, parallelogram_down[2], parallelogram[2]]) 383 384 385 386 387 388 data[’vectors’][k + 2] = np.array([H, parallelogram_down[2], H1]) data[’vectors’][k + 3] = np.array([H, parallelogram_down[3], parallelogram_down[2]]) 389 390 391 392 393 data[’vectors’][k + 4] = np.array([H1, parallelogram[3], H]) data[’vectors’][k + 5] = np.array([H1, parallelogram[2], parallelogram[3]]) 394 395 k = k + 6 35

396 397 398 399 400 W = (parallelogram[0][0], parallelogram[0][1] + (l / 2), parallelogram[0][2] - (e / 2)) W1 = (parallelogram[1][0], parallelogram[1][1] + (l / 2), parallelogram[1][2] - (e / 2)) 401 402 403 404 405 data[’vectors’][k] = np.array([W, parallelogram_down[0], parallelogram[0]]) data[’vectors’][k + 1] = np.array([W1, parallelogram[1], parallelogram_down[1]]) 406 407 408 409 410 data[’vectors’][k + 2] = np.array([W, parallelogram[0], W1]) data[’vectors’][k + 3] = np.array([W1, parallelogram[0], parallelogram[1]]) 411 412 413 414 415 416 data[’vectors’][k + 4] = np.array([W1, parallelogram_down[1], W]) data[’vectors’][k + 5] = np.array([W, parallelogram_down[1], parallelogram_down[0]]) 417 418 k = k + 6 419 420 421 422 423 S = (parallelogram[2][0] + (l / 2), parallelogram[2][1], parallelogram[2][2] - (e / 2)) S1 = (parallelogram[1][0] + (l / 2), parallelogram[1][1], parallelogram[1][2] - (e / 2)) 424 425 426 427 428 429 data[’vectors’][k] = np.array([S, parallelogram[2], parallelogram_down[2]]) data[’vectors’][k + 1] = np.array([S1, parallelogram_down[1], parallelogram[1]]) 430 431 432 433 434 435 data[’vectors’][k + 2] = np.array([S, parallelogram_down[2], S1]) data[’vectors’][k + 3] = np.array([S1, parallelogram_down[2], parallelogram_down[1]]) 36

436 437 438 439 440 data[’vectors’][k + 4] = np.array([S1, parallelogram[1], S]) data[’vectors’][k + 5] = np.array([S, parallelogram[1], parallelogram[2]]) 441 442 k = k + 6 443 444 445 446 447 T = (parallelogram[3][0] - (l / 2), parallelogram[3][1], parallelogram[3][2] - (e / 2)) T1 = (parallelogram[0][0] - (l / 2), parallelogram[0][1], parallelogram[0][2] - (e / 2)) 448 449 450 451 452 data[’vectors’][k] = np.array([T, parallelogram_down[3], parallelogram[3]]) data[’vectors’][k + 1] = np.array([T1, parallelogram[0], parallelogram_down[0]]) 453 454 455 456 457 data[’vectors’][k + 2] = np.array([T, parallelogram[0], T1]) data[’vectors’][k + 3] = np.array([T, parallelogram[3], parallelogram[0]]) 458 459 460 461 462 463 data[’vectors’][k + 4] = np.array([T1, parallelogram_down[3], T]) data[’vectors’][k + 5] = np.array([T1, parallelogram_down[0], parallelogram_down[3]]) 464 465 k = k + 6 466 467 return k 468 469 def SaveSTL(event): 471 ModelSTL(polygons1, polygons2) 470 472 473 474 475 # Создание всплывающего окна " The model i s s a v e d ! " window = Tk() x = (window.winfo_screenwidth() - 300) / 2 37

476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 y = (window.winfo_screenheight() - 100) / 2 window.wm_geometry("+%d+%d" % (x, y)) window.title("Information") window.overrideredirect(1) window.geometry(’300x100’) window.configure(background=’#EEF1EF’) lbl = Label(window, text="The model is saved!", font=("Arial Bold", 18), background = ’#EEF1EF’) lbl.place(x=11,y=28) window.after(1000, window.destroy) window.mainloop() 488 489 490 491 492 493 def Reset(event): slider_a.reset() slider_b.reset() slider_Alpha.reset() slider_Psi.reset() 494 # Кнопка для сохранения трёхмерной модели 496 resetax = plt.axes([0.05, 0.03, 0.2, 0.07]) 497 button = Button(resetax, ’Save STL model’, color=’#EEF1EF’, 498 hovercolor=’#AEB9B3’) 495 499 500 button.on_clicked(SaveSTL) 501 # Кнопка , строящая поверхность по изначально заданным параметрам 503 resetaxStart = plt.axes([0.75, 0.03, 0.2, 0.07]) 504 buttonStart = Button(resetaxStart, ’Reset’, color=’#EEF1EF’, 505 hovercolor=’#AEB9B3’) 502 506 507 buttonStart.on_clicked(Reset) 508 # Обработка изменений значений слайдеров 510 def onChangeValue(val): 509 511 512 513 514 515 # Атрибут v a l получает значение слайдеров a = slider_a.val b = slider_b.val Alpha = slider_Alpha.val 38

516 Psi = slider_Psi.val 517 518 519 520 A, E, C, F, D, G, K, L, lengthAE, lengthBG = CalkParam(a, b, Alpha, Psi) Draw(A, E, C, F, D, G, K, L, lengthAE, lengthBG) 521 # Место для виджетов 523 plt.subplots_adjust(left=0.1, right=0.85, top=0.95, bottom=0.4) 522 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 # a axes_slider_a = plt.axes([0.1, 0.3, 0.75, 0.02]) slider_a = Slider(axes_slider_a, label = ’a’, valmin = 0.0, valmax = 5.0, valinit = a, valfmt = ’%1.2f’, color = ’#5E7367’) 534 # Событие on_changed отслеживает , что значение слайдера изменилось 536 # Принимает один параметр , который будет новым значением , 537 # установленным на слайдере 538 slider_a.on_changed(onChangeValue) 535 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 # b axes_slider_b = plt.axes([0.1, 0.25, 0.75, 0.02]) slider_b = Slider(axes_slider_b, label = ’b’, valmin = 0.0, valmax = 4.0, valinit = b, valfmt = ’%1.2f’, color = ’#5E7367’) 549 550 slider_b.on_changed(onChangeValue) 551 # Alpha 553 axes_slider_Alpha = plt.axes([0.1, 0.20, 0.75, 0.02]) 554 slider_Alpha = Slider(axes_slider_Alpha, 555 label = r’$\alpha$’, 552 39

556 557 558 559 560 valmin = 0.0, valmax = 90.0, valinit = Alpha, valfmt = ’%1.2f’, color = ’#5E7367’) 561 562 slider_Alpha.on_changed(onChangeValue) 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 # Psi axes_slider_Psi = plt.axes([0.1, 0.15, 0.75, 0.02]) slider_Psi = Slider(axes_slider_Psi, label = r’$\psi$’, valmin = 0.0, valmax = 179.0, valinit = Psi, valfmt = ’%1.2f’, color = ’#5E7367’) 573 574 slider_Psi.on_changed(onChangeValue) 575 A, E, C, F, D, G, K, L, lengthAE, lengthBG 577 = CalkParam(a, b, Alpha, Psi) 578 Draw(A, E, C, F, D, G, K, L, lengthAE, lengthBG) 576 40

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

Рецензия от Елизавета Хорошева

В документе приведен отзыв к дипломной работе.

больше 3 лет назад

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв