Распределение Хаусдорфа мультифракталов

Иван Доненко

Распределение Хаусдорфа мультифракталов

Современная физика отошла от парадигмы, основанной на использовании и поиске лишь детерминистических законов. Такие законы описывают объекты исследования c помощью усредненных характеристик в пренебрежении различными возмущениями. В тех случаях, когда имеющиеся возмущения невелики, такое “усредненное” описание рассматриваемой физической системы достаточно хорошо отражает ее реальное поведение, и использование детерминистических законов оправданно. В иных, не менее важных ситуациях, случайные отклонения могут оказаться настолько значительными, что говорить о детерминированном изменении состояния системы становится невозможным. Сложное непредсказуемое поведение физической системы (называемое в дальнейшем стохастическим) может быть обусловлено случайными изменениями ее параметров, случайными внешними воздействиями, а также развитием в системе разнообразных неустойчивостей. Последняя причина часто приводит к развитию в системе так называемого детерминированного хаоса. Указанные факторы приводят к стохастизации сигналов и структур, характеризующих поведение и состояние системы. Для изучения процессов стохастизации чаще всего привлекаются разнообразные вероятностные подходы. В основе таких подходов лежат методы статистического анализа случайных величин и функций. Часто они сводятся к определению таких характеристик как плотность распределения вероятностей, математическое ожидание, дисперсия, моменты высоких порядков, автокорреляционные функции, спектральные плотности. При проведении статистического анализа широко используются элементы математической статистики, включающие теорию выборок, оценки доверительных интервалов, проверку статистических гипотез, способы аппроксимации экспериментальных данных. Указанные методы и подходы давно стали традиционными и весьма подробно описаны во многих руководствах. Наряду с ними в последние годы получили распространение и некоторые менее известные способы обработки сигналов, основанные, в частности, на фрактальном, мультифрактальном анализах и 3 вейвлет-преобразованиях. Отличительная особенность последних состоит в том, что они наряду с глобальными характеристиками стохастических процессов (получающихся в результате использования процедуры усреднения по большим временным интервалам), позволяют вскрыть особенности их локальной структуры. Важной характеристикой методов, основанных на фрактальных представлениях и вейвлет-преобразованиях, является их универсальность. Они используются для исследования широкого круга сложных нерегулярных явлений как в естественных, так и в гуманитарных науках. В курсовой работе рассмотрены те варианты методик, которые в наибольшей степени соответствуют специфике оптических исследований. В оптических системах записи и обработки информации сигналом может являться зависимость интенсивности света от пространственных координат. Структурой мы будем называть множество расположенных в пространстве точек, характеризующих геометрию исследуемого объекта. На рассматриваемом множестве может быть задана мера. Если мерой является интенсивность света, то расположенное в плоскости множество точек может рассматриваться в качестве оптического изображения.

Математика

Курсовые

Вуз: Крымский федеральный университет имени В.И. Вернадского

ID: 59f33a885f1be71a499ba56c

UUID: 3f380240-9d4c-0135-c46b-525400003e20

Язык: Русский

Опубликовано: больше 6 лет назад

Просмотры: 10

74.18

Иван Доненко

Крымский федеральный университет имени В.И. Вернадского

Комментировать 0

Рецензировать 0

Скачать - 0 байт

Поделиться работой

2 Распределение Хаусдорфа мультифракталов Содержание ВВЕДЕНИЕ..................................................................................................................3 Глава 1. Распределение Хаусдорфа мультифракталов.............................................5 1.1. Фракталы — понятия и простейшие типы.....................................................5 1.2. Классификация фракталов...............................................................................6 1.3. Стохастические фракталы..............................................................................10 Глава 2. Множества: Кантора, Мандельброта, Снежинка Коха............................11 2.1. Множества Кантора(Канторова пыль)..........................................................11 2.2. Множество Мандельброта............................................................................14 2.3. Снежинка Коха................................................................................................15 2.4.Точечное отображение Пуанкаре....................................................................16 Глава 3. Мультифракталы.........................................................................................17 3.1. Определение мультифрактала........................................................................17 3.2. Обобщенные размерности Реньи..................................................................18 3.3. Фракталы в природе........................................................................................24 3.4. Корреационная размерность..........................................................................27 Заключение.................................................................................................................28 Приложения…………………………………………………………………………29 Список используемых источников...........................................................................45

3 ВВЕДЕНИЕ Современная физика отошла от парадигмы, основанной на использовании и поиске лишь детерминистических законов. Такие законы описывают объекты исследования c помощью усредненных характеристик в пренебрежении различными возмущениями. В тех случаях, когда имеющиеся возмущения невелики, такое “усредненное” описание рассматриваемой физической системы достаточно хорошо отражает ее реальное поведение, и использование детерминистических законов оправданно. В иных, не менее важных ситуациях, случайные отклонения могут оказаться настолько значительными, что говорить о детерминированном изменении состояния системы становится невозможным. Сложное непредсказуемое поведение физической системы (называемое в дальнейшем стохастическим) может быть обусловлено случайными изменениями ее параметров, случайными внешними воздействиями, а также развитием в системе разнообразных неустойчивостей. Последняя причина часто приводит к развитию в системе так называемого детерминированного хаоса. Указанные факторы приводят к стохастизации сигналов и структур, характеризующих поведение и состояние системы. Для изучения процессов стохастизации чаще всего привлекаются разнообразные вероятностные подходы. В основе таких подходов лежат методы статистического анализа случайных величин и функций. Часто они сводятся к определению таких характеристик как плотность распределения вероятностей, математическое ожидание, дисперсия, моменты высоких порядков, автокорреляционные функции, спектральные плотности. При проведении статистического анализа широко используются элементы математической статистики, включающие теорию выборок, оценки доверительных интервалов, проверку статистических гипотез, способы аппроксимации экспериментальных данных. Указанные методы и подходы давно стали традиционными и весьма подробно описаны во многих руководствах. Наряду с ними в последние годы получили распространение и некоторые менее известные способы обработки сигналов,

4 основанные, в частности, на фрактальном, мультифрактальном анализах и вейвлет-преобразованиях. Отличительная особенность последних состоит в том, что они наряду с глобальными характеристиками стохастических процессов (получающихся в результате использования процедуры усреднения по большим временным интервалам), позволяют вскрыть особенности их локальной структуры. Важной характеристикой методов, основанных на фрактальных представлениях и вейвлет-преобразованиях, является их универсальность. Они используются для исследования широкого круга сложных нерегулярных явлений как в естественных, так и в гуманитарных науках. В курсовой работе рассмотрены те варианты методик, которые в наибольшей степени соответствуют специфике оптических исследований. В оптических системах записи и обработки информации сигналом может являться зависимость интенсивности света от пространственных координат. Структурой мы будем называть множество расположенных в пространстве точек, характеризующих геометрию исследуемого объекта. На рассматриваемом множестве может быть задана мера. Если мерой является интенсивность света, то расположенное в плоскости множество точек может рассматриваться в качестве оптического изображения.

5 Глава 1. Распределение Хаусдорфа мультифракталов 1.1. Фракталы — понятия и простейшие типы. Фрактаа л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — математическое множество, обладающее свойствомсамоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого, то есть целое имеет ту же форму, что и одна или более частей). В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической, поэтому их следует отличать от прочих геометрических фигур, ограниченных конечным числом звеньев. Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX недифференцируемых веке функций Вейерштрасса, множество в результате изучения (например, функция Кантора). Термин непрерывных Больцано, функция «фрактал» введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую известность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы». Особую популярность фракталы обрели с развитием компьютерных технологий, позволивших эффектно визуализировать эти структуры. Слово «фрактал» употребляется не только в качестве математического термина. Фракталом может называться предмет, обладающий, по крайней мере, одним из указанных ниже свойств: Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких как окружность,эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, то есть на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину. Является самоподобным или приближённо самоподобным.

6 Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую. Многие объекты в природе обладают свойствами фрактала, например: побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, кровеносная система, система альвеол человека или животных. 1.2. Классификация фракталов Для чтобы представить все многообразие фракталов удобно прибегнуть к их общепринятой классификации.  Геометрические фракталы  Алгебраические фракталы  Стохастические фракталы Рассмотрим эти различные виды фракталов более подробно. Геометрические фракталы Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

7 Рис 1.1. Построение триадной кривой Кох. Рассмотрим один из таких фрактальных объектов - триадную кривую Кох. Построение кривой начинается с отрезка единичной длины (рис.1) - это 0-е поколение кривой Кох. Далее каждое звено (в нулевом поколении один отрезок) заменяется на образующий элемент, обозначенный на рис.1 через n=1. В результате такой замены получается следующее поколение кривой Кох. В 1-ом поколении - это кривая из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по 1/3. Для получения 3-го поколения проделываются те же действия - каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Итак, для получения каждого последующего поколения, все звенья предыдущего поколения необходимо заменить уменьшенным образующим элементом. Кривая n-го поколения при любом конечном n называется предфракталом. На рис.1 представлены пять поколений кривой. При n стремящемся к бесконечности кривая Кох становится фрактальным обьектом.

8 Рис. 1.2. Построение "дракона" Хартера-Хейтуэя. Для получения другого фрактального объекта нужно изменить правила построения. Пусть образующим элементом будут два равных отрезка, соединенных под прямым углом. В нулевом поколении заменим единичный отрезок на этот образующий элемент так, чтобы угол был сверху. Можно сказать, что при такой замене происходит смещение середины звена. При построении следующих поколений выполняется правило: самое первое слева звено заменяется на образующий элемент так, чтобы середина звена смещалась влево от направления движения, а при замене следующих звеньев, направления смещения середин отрезков должны чередоваться. На рис.2 представлены несколько первых поколений и 11-е поколение кривой, построенной по вышеописанному принципу. Предельная фрактальная кривая (при n стремящемся к бесконечности) называется драконом Хартера-Хейтуэя. В машинной графике использование геометрических фракталов необходимо при получении изображений деревьев, кустов, береговой линии. Двухмерные геометрические фракталы используются для создания объемных текстур (рисунка на поверхности обьекта). Алгебраические фракталы

9 Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс, как дискретную динамическую систему, можно пользоваться терминологией теории этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, аттрактор и т.д. Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом, фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры. Рис. 1.3. Множество Мандельброта. В качестве примера рассмотрим множество Мандельброта (см. pис.3 и рис.4). Алгоритм его построения достаточно прост и основан на простом итеративном выражении:

10 Z[i+1] = Z[i] * Z[i] + C, где Zi и C - комплексные переменные. Итерации выполняются для каждой стартовой точки C прямоугольной или квадратной области - подмножестве комплексной плоскости. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока Z[i] не выйдет за пределы окружности радиуса 2, центр которой лежит в точке (0,0), (это означает, что аттрактор динамической системы находится в бесконечности), или после достаточно большого числа итераций (например 200-500) Z[i] сойдется к какой-нибудь точке окружности. В зависимости от количества итераций, в течении которых Z[i] оставалась внутри окружности, можно установить цвет точки C (если Z[i] остается внутри окружности в течение достаточно большого количества итераций, итерационный процесс прекращается и эта точка растра окрашивается в черный цвет). Рис. 1.4. Участок границы множества Мандельброта, увеличенный в 200 pаз. Вышеописанный алгоритм дает приближение к так называемому множеству Мандельброта. Множеству Мандельброта принадлежат точки, которые в течение бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (точки имеющие черный цвет). Точки принадлежащие границе множества (именно там возникает сложные структуры) уходят в бесконечность за конечное число итераций, а точки лежащие за пределами множества, уходят в бесконечность через несколько итераций (белый фон).

11 1.3. Стохастические фракталы Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря. Существуют и другие классификации фракталов, например деление фракталов на детерминированные (алгебраические и геометрические) и недетерминированные (стохастические). Смотри Приложения 1-15. Глава 2. Множества: Кантора, Мандельброта, Снежинка Коха 2.1. Множества Кантора(Канторова пыль Классическое множество Кантора, или пыль Кантора, названо по имени Георга Кантора, который описал его в 1883 году. Существование пыли Кантора отмечалось до этого Генри Смитом в 1875 году или еще ранее. Это множество хорошо известно студентам из курса математического анализа как пример множества нулевой меры Лебега, чья мощность равна мощности континуума. Фрактальные свойства пыли Кантора имеют огромное значение, особенно учитывая тот факт, что многие известные фракталы являются близкими родственниками этого множества. Построение классической пыли Кантора начинается с выбрасывания средней трети (не включая концы) единичного отрезка. То есть исходное множество есть отрезок [0,1], и первый шаг состоит в удалении открытого

12 интервала (1/3,2/3). На следующем и всех остальных шагах мы выкидываем среднюю треть (не включая концы) всех отрезков текущего уровня. Таким образом, мы получаем (рис. 2.1) последовательность множеств: Рис. 2.3. Построение пыли Кантора Предельное множество С, которое представляет собой пересечение множеств, называется классической пылью Кантора. В дальнейшем мы будем называть его просто канторовой пылью. Свойства канторовой пыли. 1. Канторова пыль есть самоподобный фрактал размерности 2. Канторова пыль не содержит интервалов положительной длины. Это очевидно из построения. 3. Сумма длин интервалов, удаленных при построении множества С, в точности равна 1. Чтобы показать это, рассмотрим следующее доказательство. Длина первого интервала, который мы выкинули, составляет 1/3.

13 Чтобы получить мы выкинули два интервала, каждый длиной следующем шаге мы выбросили интервалов, каждый длиной . На , и т. д. Таким образом, сумма длин удаленных интервалов S составляет: Но это выражение можно переписать в виде: и с помощью формулы для суммы геометрической прогрессии, а именно, мы получаем: Можно предположить, что если в С что-нибудь и осталось после удаления всех этих интервалов, то, наверное, не очень много. Однако это не так, что подтверждается следующим свойством. 4. Удивительный результат сравнения множества Кантора с интервалом состоит в том, что мощности этих множеств равны. Два множества обладают равной мощностью, если существует взаимно однозначное соответствие между точками этих множеств. В случае конечных множеств данное утверждение тривиально. Для бесконечных множеств, таких как интервал или множество Кантора, понятие мощности требует аккуратного обращения. В качестве простой иллюстрации сказанного достаточно заметить, что отрезки [0,1] и [0,2] — равной мощности, несмотря на то, что второй интервал в два раза длиннее первого. Взаимно однозначное соответствие в этом случае задается отображением . 5. Классическая канторова пыль представляет собой пример компактного, совершенного и вполне разрывного множества. Более того, можно утверждать, что топологически классическое множество Кантора определяется как компактное, совершенное и вполне разрывное множество. Это означает, что любое компактное, совершенное и вполне

14 разрывное множество можно непрерывно преобразовать в пыль Кантора, причем существует обратное преобразование, с помощью которого можно восстановить исходное множество. Любое такое множество принято называть множеством Кантора. Не следует думать, однако, что все множества Кантора самоподобны. Более того, даже фрактальная размерность различных самоподобных множеств Кантора не обязательно совпадает, как показывает следующий пример. 2.2. Множество Мандельброта Мноа жество Мандельброа та — это множество таких точек c на комплексной плоскости, для которых рекуррентное соотношение z_{n+1} = {z_n}^2 + c при z_0 = 0 является ограниченным. То есть, это множество таких c, для которых существует такое действительное R, что неравенство |zn|<R выполняется при всех натуральных n. Множество Мандельброта является одним из самых известных фракталов, в том числе за пределами математики, благодаря своим цветным визуализациям. Его фрагменты не строго подобны исходному множеству, но при многократном увеличении определённые части всё больше похожи друг на друга. Таким образом, вышеуказанная последовательность может быть раскрыта для каждой точки на комплексной плоскости следующим образом:

15 и так далее. Визуально, внутри множества Мандельброта можно выделить бесконечное количество элементарных фигур, причём самая большая в центре представляет собой кардиоиду. Также есть набор овалов, касающихся кардиоиды, размер которых постепенно уменьшается, стремясь к нулю. Каждый из этих овалов имеет свой набор меньших овалов, диаметр которых также стремится к нулю и т. д. Этот процесс продолжается бесконечно, образуя фрактал. Также важно, что эти процессы ветвления фигур не исчерпывают полностью множество Мандельброта: если рассмотреть с увеличением дополнительные «ветки», то в них можно увидеть свои кардиоиды и круги, не связанные с главной фигурой. Самая большая фигура (видимая при рассматривании основного множества) из них находится в области от −1,78 до −1,75 на отрицательной оси действительных значений. Смотри приложения 1-3. 2.3. Снежинка Коха Кривая Коха — фрактальная кривая, описанная в 1904 году шведским математиком Хельге фон Кохом. Три копии кривой сторонах правильного Коха, построенные треугольника, образуют (остриями наружу) замкнутую на кривую бесконечной длины, называемую снежинкой Коха. Кривая Коха является типичным геометрическим фракталом. Процесс её построения выглядит следующим образом: берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырёх звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д… Предельная кривая и есть кривая Коха.

16 Свойства: 1.Кривая Коха нигде не дифференцируема и не спрямляема. 2.Кривая Коха имеет бесконечную длину. 3.Кривая Коха не имеет самопересечений. 4.Кривая Коха имеет промежуточную (то есть не целую) хаусдорфову размерность, которая равна поскольку она состоит из четырёх равных частей, каждая из которых подобна всей кривой с коэффициентом подобия 1/3. Смотри Приложения 4-6. 2.4.Точечное отображение Пуанкаре В теории динамических систем, разделе математики, отображение Пуанкаре (также отображение последования,отображение первого возвращения) — это проекция некоторой площадки в фазовом пространстве на себя (или на другую площадку) вдоль траекторий (фазовых кривых) системы. Более подробно, отображение Пуанкаре определяется следующим образом. Рассмотрим некоторый участокповерхности в фазовом пространстве (сечение Пуанкаре), трансверсальный к векторному полю системы (то есть не касающийся поля; часто говорят просто трансверсаль). Из точки на трансверсали выпустим траекториюсистемы. Предположим, что в какой-то момент траектория впервые пересекла трансверсаль снова; обозначим точку пересечения через . Отображение Пуанкаре точке ставит в соответствие точку первого возвращения . Если траектория, выпущенная из , никогда не возвращается на трансверсаль, то отображение Пуанкаре в этой точке не определено. Аналогично можно определить отображение Пуанкаре (отображение последования) не только с трансверсали на себя, но и с одной трансверсали на другую.

17 Итерации отображения Пуанкаре с некоторой трансверсали на себя образуют динамическую систему с дискретным временем на фазовом пространстве меньшей размерности. Свойства этой системы находятся в тесной связи со свойствами исходной системы с непрерывным временем (например, неподвижные и периодические точки отображения Пуанкаре соответствуют замкнутым траекториям системы). Тем самым, устанавливается связь между векторными полями и их потоками с одной стороны и итерациями отображений — с другой. Отображение Пуанкаре является важным инструментом исследования динамических систем с непрерывным временем. Рис. 2.2 Отображение Пуанкаре трансверсальной площадки на себя определяется точкой первого возвращения траектории на площадку Глава 3. Мультифракталы 3.1. Определение мультифрактала Мультифракталы - неоднородные фрактальные объекты для полного описания которых,в отличие от регулярных фракталов, недостаточно введения всего лишь одной величины, его фрактальной размерности , а необходим целый спектр таких размерностей, число которых, вообще говоря, бесконечно. Причина этого заключается в том, что наряду с чисто геометрическими характеристиками, определяемыми величиной , такие фракталы обладают и некоторыми статистическими свойствами. Проще всего пояснить, что понимается под ''неоднородным фракталом'' на примере треугольника Серпинского, построенного с помощью СИФ. Мы показали, что система итерируемых функций для этого фрактала состоит из

18 трех преобразований на комплексной плоскости, каждое из которых выбиралось с одинаковой вероятностью, равной 1/3. В результате мы получили рис.2.5. Допустим, однако, что в методе случайных итераций мы теперь по какойто причине отдали предпочтение одной из вершин треугольника и стали выбирать ее с вероятностью 90 %. Две же остальные вершины равноценны и на их долю приходится по 5 % (рис.7.1, 7.2). Видно, что точки внутри треугольника распределены теперь крайне неравномерно. Тем не менее по обычной терминологии данное множество точек является фракталом, так как сохранилось основное свойство фрактала самоподобие. Однако несмотря на неравномерность распределения точек по фракталу, его фрактальная размерность осталась при этом прежней, . Покрытие этого множества все более и более мелкими треугольниками можно осуществить по тому же алгоритму, что и ранее. Такое совпадение заставляет нас заняться поиском иных количественных характеристик, которые могли бы отличить неравномерное распределение точек от равномерного. 3.2. Обобщенные размерности Реньи Обобщенные размерности Реньи Дадим теперь фрактальный имеющую общее объект, определение занимающий мультифракталов. некую ограниченную в евклидовом пространстве размерности Рассмотрим область , . Пусть на каком-то этапе его построения он представляет собой множество из , как-то распределенных в этой области. В конце концов предполагаем, что . Множество точек может представлять собой некоторую популяцию, состоящую из особей одного вида распределенных по области . Такой популяцией могут быть, например, народонаселение или сеть метеостанций.

19 Обе популяции неравномерно распределены по поверхности Земли. Пространственное распределение энергии, распределение ошибок в канале связи, распределение примесей в жидких средах, масс в веществе - примеры таких популяций. Важно отметить, что неравномерное распределение особей остается в силе независимо от линейного масштаба. Разобьем всю область и объемом на гиперкубические ячейки со стороной соответственно. Далее нас будут интересовать только занятые ячейки, в которых содержится хотя бы одна точка. Обозначим таких ячеек, оно очевидно зависит от . Пусть число - число точек в -й ячейке. Тогда величина - есть вероятность того, что некоторая точка содержится в -м кубике. То есть эта вероятность характеризует относительную заселенность ячейки. По правилу нормировки вероятностей: Введем в рассмотрение так называемую обобщенную статистическую сумму, характеризуемую показателем где . :

20 Определение. Спектром обобщенных фрактальных размерностей Реньи, характеризующих распределение точек в области называется совокупность величин: Для обычного однородного фрактала все эти размерности совпадают. То есть если точек , т.е. не зависит от представляет собой обычный, , то рассматриваемое множество регулярный фрактал, который характеризуется всего лишь одной величиной - фрактальной размерностью Напротив, если функция как-то меняется с , то . рассматриваемое множество точек является мультифракталом. Таким образом, мультифрактал в общем нелинейной функцией случае характеризуется ,определяющей поведение статистической суммы при Следует иметь ввиду, что предельный нереход выполнять, помня, что ему всегда предшествует предел при . надо

21 Покажем теперь, как ведет себя обобщенная статистическая сумма в случае обычного регулярного фрактала с фрактальной размерностью . В этом случае во всех занятых ячейках сдержится одинаковое количество точек то есть фрактал является однородным. относительные населенности всех ячеек Тогда очевидно, что тоже одинаковы и обобщенная статистическая сумма принимает вид: Учтем теперь, что, согласно определению фрактальной размерности число занятых ячеек при достаточно малом , ведет себя следующим образом: Отсюда, мы приходим к выводу, что в случае обычного фрактала функция т.е. является линейной. Тогда все Для фрактала, все обобщенные и действительно не зависят от фрактальные размерности . которого совпадают, часто используется термин монофрактал. Если распределение точек по ячейкам неодинаково, то фрактал является неоднородным, т.е. представляет из себя мультифрактал, и для его

22 характеристики размерностей Так, необходим целый спектр обобщенных фрактальных , число которых, в общем случае, бесконечно. например, при основной вклад в обобщеннную статистическую сумму (3) вносят ячейки, содержащие наибольшее число частиц в них и, следовательно, вероятностью их заполнения характеризующиеся . Наоборот, при наибольшей оcновной вклад в сумму (3) дают самые разреженные ячейки с малыми значениями чисел заполнения . Таким образом, функция показывает, неоднородным является исследуемое множество точек 7.3. Фрактальная размерность Выясним теперь, фрактальные размерности при какой насколько . и информационная размерность физический смысл имеют . обобщенные для некоторых конкретных значений . Так, из выражения следует, что С другой стороны, согласно формулам предыдущим формулам: Сопоставляя соотношению эти два равенства, мы Это означает, что величина обычную хаусдорфову размерность множества приходим к представляет собой . Она является наиболее

23 грубой характеристикой мультифрактала и не несет информации о его статистических свойствах. Выясним теперь смысл величины . Поскольку при в силу условия нормировки вероятности (2), статистическая сумма равна то (4) для . Таким образом, мы имеем неопределенность в выражении . Раскроем эту неопределенность с помощью очевидного равенства Теперь, устремляя , раскладывая экспоненту и учитывая условие нормировки (2), получаем В результате мы приходим к следующему выражению С точностью до знака числитель в этой формуле представляет собой энтропию фрактального множества:

24 Такое определение используемому в энтропии термодинамиаке, множества где под полностью понимается идентично вероятность обнаружить систему в квантовом состоянии . В результате величина обобщенной фрактальной размерности связана с энтропией соотношением В термодинамике энтропия есть мера беспорядка в системе. Поскольку, как следует из предыдущего То, величина характеризует информацию, необходимую для определения местоположения точки в некоторой ячейке. В связи с этим обобщенную фрактальную размерность Она показывает, как часто называют информационной размерностью. информация, необходимая для местоположения точки, возрастает при стремлении размера ячейки определения к нулю.

25 3.3. Фракталы в природе Рис. 2.3 Капуста

26 Рис. 2.4. Морская улитка Рис. 2.5. Река

27 Рис. 2.6. Укроп Рис. 2.7. Цветок

28 Рис. 2.8. Фиалка 3.4. Корреационная размерность Фрактаа льная размеа рность (англ. fractal dimension) — один из способов определения размерности множества вметрическом пространстве. Фрактальную размерность n-мерного множества можно определить с помощью формулы: , где — минимальное число n-мерных «шаров» радиуса , необходимых для покрытия множества. Фрактальная размерность может принимать не целое числовое значение [2]. Основная идея «дробной» (англ. fractured) размерности имеет долгую историю в области математики, но именно сам термин введён в оборот Бенуа Мандельбротом в 1967 году в его статье[en] о самоподобии, в которой он описал «дробную» (англ. fractional) размерность[3]. В этой статье Мандельброт ссылался на предыдущую работу Льюиса Фрайя Ричардсона, описывающую противоречащую здравому смыслу идею о том, что измеренная длина береговой линии зависит от длины мерной палки (шеста) (см. Приложение 7). Следуя этому представлению, фрактальная размерность береговой линии соответствует отношению числа шестов (в определенном масштабе), нужных для измерения длины береговой линии, к выбранному масштабу шеста[4]. Есть несколько формальных математических определений[⇨] фрактальной размерности, которые строятся на этой базовой концепции, о изменении в элементе с изменением в масштабе. Одним из элементарных примеров является фрактальная размерность снежинки Коха. Её топологическая размерность равна 1, но это ни в коем случае не спрямляемая кривая, поскольку длина кривой между любыми двумя точками снежинки Коха — бесконечность. Никакая сколько угодно малая часть кривой не является отрезком прямой. Скорее, снежинка Коха состоит из бесконечного числа сегментов, соединённых под разными углами. Фрактальную размерность кривой можно объяснить интуитивно, предполагая, что фрактальная линия — это объект слишком детальный (подробный), чтобы быть одномерным, но недостаточно сложный, чтобы быть двумерным[5]. Поэтому её размерность лучше описывать не обычной топологической размерностью 1, но её фрактальной размерностью, равной в этом случае числу, лежащему в интервале между 1 и 2.

29 Заключение В данной работе я подробно рассмотрел различные виды множеств и построение фрактальных систем. Для построения фракталов использовалось специально разработанное и подготовленное мною ПО. Может быть, в будущем новые идеи фрактальной геометрии помогут нам изучить многие загадочные явления окружающей природы. В настоящее время фракталы и мультифракталы стремительно вторгаются во многие области физики. Фрактальные методы обработки изображений и распознавания образов, использующие новые понятия, дают возможность исследователям применить этот математический аппарат для количественного описания огромного количества природных объектов и структур.

30 Приложение 1.

31 Множество Мандельброта Приложение 2.

32 Множество Мандельброта Приложение 3.

33 Множество Мандельброта Приложение 4.

34 Снежинка Коха «наоборот» получается, если строить кривые Коха внутрь исходного равностороннего треугольника.

35 Приложение 5. Построение снежинки Коха в объеме.

36 Приложение 6. Фрактал Cesaro — вариант кривой Коха с углом между 60° и 90 ° (здесь 85°)

37 Приложение 7. Общая длина береговой линии Великобритании возрастает, когда длина измерительной палки (шеста) уменьшается.

38 Приложение 8. «Дракон»

39 Приложение 9. Объемный фрактал

40 Приложение 10. Плазма

41 Приложение 11. Листик

42 Приложение 11. Река

43 Приложение 12.

44 Приложение 13.

45 Приложение 14. Множество Жюлиа

46 Приложение 15. Фрактал Мандельброта mag*cos(sinx\x)^2

47 Список используемых источников 1.А. А. Кириллов. Повесть о двух фракталах. — Летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2007. 2.Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований», 2002. 3.Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. — М.: «Мир», 1993. 4.Федер Е. Фракталы. — М: «Мир», 1991. 5.Абачиев С. К. О треугольнике Паскаля, простых делителях и фрактальных структурах // В мире науки, 1989, № 9. 6.Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. — М.: изд-во МГУ, 1993. 7.Цицин Ф. А. Фрактальная вселенная // «Дельфис» — № 11(3) — 1997. 8.Фракталы в физике. Труды 6-го международного симпозиума по фракталам в физике, 1985. — М.: «Мир», 1988. 9.Маврикиди Ф. И. Фракталы: постигая взаимосвязанный мир // «Дельфис» — № 23(3) — 2000. 10.Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. — Ижевск: «РХД», 2001. 11.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. 12.Мандельброт Бенуа, Ричард Л. Хадсон. (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах = The Misbehavior of Markets. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 400. — ISBN 5-8459-0922-8. 13.Красивая жизнь комплексных чисел // Hard’n’Soft, № 9, 2002. Стр. 90. 14.М. Г. Иванов, «Размер и размерность» // «Потенциал», август 2006. Маврикиди Ф. И. Фрактальная математика и природа перемен // «Дельфис» — № 54(2) — 2008.

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв