ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÎÅ ÀÂÒÎÍÎÌÍÎÅ ÎÁÐÀÇÎÂÀÒÅËÜÍÎÅ Ó×ÐÅÆÄÅÍÈÅ ÂÛÑØÅÃÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß
¾ÁÅËÃÎÐÎÄÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÍÀÖÈÎÍÀËÜÍÛÉ
ÈÑÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÑÊÈÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ¿
(ÍÈÓ ¾ÁåëÃÓ¿)
ÔÀÊÓËÜÒÅÒ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ È ÅÑÒÅÑÒÂÅÍÍÎÍÀÓ×ÍÎÃÎ
ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÏÅÄÀÃÎÃÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÈÍÑÒÈÒÓÒÀ
Êàôåäðà ìàòåìàòèêè
ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÍÓËÅÉ ÄÇÅÒÀ-ÔÓÍÊÖÈÈ
ÐÈÌÀÍÀ ÍÀ Î×ÅÍÜ ÊÎÐÎÒÊÈÕ
ÏÐÎÌÅÆÓÒÊÀÕ ÊÐÈÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÏÐßÌÎÉ
Íàó÷íî-êâàëèôèêàöèîííàÿ ðàáîòà
àñïèðàíòà î÷íîé ôîðìû îáó÷åíèÿ
íàïðàâëåíèÿ ïîäãîòîâêè: 01.06.01 Ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà
îáðàçîâàòåëüíàÿ ïðîãðàììà: Ìàòåìàòè÷åñêàÿ
ëîãèêà, àëãåáðà è òåîðèÿ ÷èñåë
4 êóðñà
Äî Äûê Òàìà
Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:
äîêòîð ôèçèêîìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê
Ãðèöåíêî Ñåðãåé Àëåêñàíäðîâè÷
ÁÅËÃÎÐÎÄ 2018
Îãëàâëåíèå
Îáîçíà÷åíèÿ
3
Ââåäåíèå
4
1
2
Ãëàâà 1. Âñïîìîãàòåëüíûå óòâåðæäåíèÿ
15
1.1
Âñïîìîãàòåëüíûå ëåììû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.2
Îñíîâíûå ëåììû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.3
Âûâîäû ïî ïåðâîé ãëàâå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
Ãëàâà 2. Íóëè äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà íà êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé 44
2.1
Âñïîìîãàòåëüíûå ëåììû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
2.2
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
2.3
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
2.4
3
Âûâîäû ïî âòîðîé ãëàâå
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
Ãëàâà 3: Íóëè äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â îêðåñòíîñòè êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé
73
3.1
Âñïîìîãàòåëüíûå ëåììû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
3.2
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
3.3
Âûâîäû ïî òðåòüåé ãëàâå
80
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Çàêëþ÷åíèå
81
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
82
Îáîçíà÷åíèÿ
c, c1 , c2 , · · · ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿííûå;
p, p1 , p2 · · · ïðîñòûå ÷èñëà;
s êîìïëåêñíîå ÷èñëî, σ = <(s), t = =(s);
τ (n) ÷èñëî ðàçëè÷íûõ íàòóðàëüíûõ äåëèòåëåé ÷èñëà n;
ϕ(n) ôóíêöèÿ Ýéëåðà ÷èñëî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, íå ïðåâîñõîäÿùèõ n è
âçàèìíî ïðîñòûõ ñ n;
çàïèñü d | n îçíà÷àåò, ÷òî n êðàòíî d;
çàïèñü a ≡ b (mod m) îçíà÷àåò, ÷òî m | (a − b);
µ(n) ôóíêöèÿ Ìåáèóñà, êîòîðàÿ ðàâíà åäèíèöå ïðè n = 1, ðàâíà íóëþ,
2
k
åñëè p |n è ðàâíà (−1) , åñëè n ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ k ðàçëè÷íûõ ïðîñòûõ
ñîìíîæèòåëåé;
Λ(n) ôóíêöèÿ Ìàíãîëüäòà, êîòîðàÿ ðàâíà ln p ïðè n = pk , ðàâíà íóëþ,
k
åñëè n 6= p ;
π(x) ÷èñëî ïðîñòûõ ÷èñåë, íå ïðåâîñõîäÿùèõ x;
ψ(x) ôóíêöèÿ ×åáûøåâà ñóììà çíà÷åíèé ôóíêöèè Λ(n) ïî n, íå ïðåâîñõîäÿùèì x;
(a, b) íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü ÷èñåë a è b;
kξk ðàññòîÿíèå îò äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà ξ äî áëèæàéøåãî öåëîãî ÷èñëà;
[α] öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà α;
Γ(s) ãàììà-ôóíêöèÿ Ýéëåðà;
ζ(s) äçåòà-ôóíêöèÿ Ðèìàíà;
çàïèñü A B îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ïîñòîÿííàÿ c òàêàÿ, ÷òî |A| 6 cB ;
çàïèñü A B îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóþò ïîñòîÿííûå c1 , c2 òàêèå, ÷òî c1 B 6
A 6 c2 B .
3
Ââåäåíèå
Àêòóàëüíîñòü òåìû
Ðàñïðåäåëåíèå íóëåé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà íà êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé
Äçåòà-ôóíêöèÿ Ðèìàíà îïðåäåëÿåòñÿ â ïîëóïëîñêîñòè
<(s) > 1
ñóììîé ðÿäà
Äèðèõëå
+∞
X
ζ(s) =
n−s .
n=1
Ïðè âåùåñòâåííûõ
s
ýòà ôóíêöèÿ èçó÷àëàñü Ë. Ýéëåðîì, êîòîðîìó ïðèíàä-
ëåæèò çàìå÷àòåëüíîå òîæäåñòâî, âûðàæàþùåå
íèå
ζ(s)
÷åðåç ýéëåðîâî ïðîèçâåäå-
−1
Y
1
1− s
ζ(s) =
, <(s) > 1,
p
p
ãäå â ïðàâîé ÷àñòè ñòîèò ïðîèçâåäåíèå ïî âñåì ïðîñòûì ÷èñëàì
p.
Ýéëåðà óêàçûâàåò íà ñâÿçü, êîòîðàÿ ñóùåñòâóåò ìåæäó ôóíêöèåé
Òîæäåñòâî
ζ(s)
è ïðî-
ñòûìè ÷èñëàìè.
Áåðíõàðä Ðèìàí ñòàë èçó÷àòü äçåòà-ôóíêöèþ êàê ôóíêöèþ êîìïëåêñíîãî
ïåðåìåííîãî. Èì áûëà äîêàçàíà ôîðìóëà:
π
−s/2
1
ζ(s) =
+
Γ
2
s(s − 1)
s
+∞
Z
s/2−1
x
−s/2−1/2
+x
ω(x)dx,
(1)
1
ãäå
ω(x) =
+∞
X
2
e−πn x .
n=1
ζ(s) íà âñþ êîìïëåêñíóþ ïëîñêîñòü. Ïðàâàÿ ÷àñòü
èçìåíèòñÿ ïðè çàìåíå s íà 1 − s, ò.å. ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî:
s
1
−
s
π −s/2 Γ
ζ(s) = π (s−1)/2 Γ
ζ(1 − s).
(2)
2
2
Ýòà ôîðìóëà ïðîäîëæàåò
(1) íå
Ðàâåíñòâî (2) íàçûâàþò ôóíêöèîíàëüíûì óðàâíåíèåì äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà.
Èç (1) ñëåäóåò, ÷òî
ζ(s)
íà âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè-
s = 1, ãäå îíà èìååò
ïðîñòîé ïîëþñ ñ âû÷åòîì, ðàâíûì 1. Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ζ(s) íå îáðàùàåòñÿ
â íóëü ïðè <(s) > 1 è ïðè <(s) < 0 çà èñêëþ÷åíèåì s = −2, −4, · · · . Çíà÷åíèÿ
s = −2, −4, · · · íàçûâàþò òðèâèàëüíûìè íóëÿìè äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà. Îíè
ÿâëÿþòñÿ ïîëþñàìè ôóíêöèè Γ(s/2).
Á. Ðèìàí äîêàçàë, ÷òî ζ(s) èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî íåòðèâèàëüíûõ íóëåé.
Âñå ýòè íóëè ëåæàò â ïîëîñå 0 < <(s) < 1 è ÿâëÿþòñÿ êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè.
÷åñêîé ôóíêöèåé ñ åäèíñòâåííîé îñîáåííîñòüþ â òî÷êå
4
0 < <(s) < 1
 òåîðèè äçåòà-ôóíêöèè ïîëîñó
íàçûâàþò êðèòè÷åñêîé.  1859 ã.
Á. Ðèìàí âûñêàçàë ãèïîòåçó î òîì, ÷òî âñå êîìïëåêñíûå íóëè äçåòà-ôóíêöèè
Ðèìàíà ëåæàò íà ïðÿìîé
<(s) = 1/2.
<(s) = 1/2 íàçûâàåòñÿ
î íóëÿõ ζ(s) íå äîêàçàíà
Ïðÿìàÿ
òè÷åñêîé.  íàñòîÿùåå âðåìÿ ãèïîòåçà Ðèìàíà
êðèè íå
îïðîâåðãíóòà.
Íóëè äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà èãðàþò èñêëþ÷èòåëüíóþ ðîëü â òåîðèè ïðîñòûõ ÷èñåë. Á. Ðèìàí â ðàáîòå [1, ñ. 216] ¾Î ÷èñëå ïðîñòûõ ÷èñåë, íå ïðåâûøàþùèõ äàííîé âåëè÷èíû¿ îáíàðóæèë, ÷òî êîëè÷åñòâî ïðîñòûõ ÷èñåë, íå ïðåâîñõîäÿùèõ
ζ(s).
x, âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ñóììó ñ êîìïëåêñíûìè íóëÿìè äçåòà-ôóíêöèè
Äëÿ ôóíêöèè ×åáûøåâà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
X xρ
x(ln x)2
ψ(x) = x −
+O
,
ρ
T
|=(ρ)|6T
ãäå
2 6 T 6 x,
è
ρ
íóëè äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â êðèòè÷åñêîé ïîëîñå. Â
ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ñïðàâåäëèâà ãèïîòåçà Ðèìàíà, ìîæíî ïîëó÷èòü àñèìïòîòè÷åñêóþ ôîðìóëó
ψ(x) = x + O
√
x(ln x)2 .
Ïðîáëåìà ðàñïðåäåëåíèÿ íóëåé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà, â îñîáåííîñòè ãèïîòåçà Ðèìàíà, ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç òðóäíåéøèõ è èíòåðåñíûõ ïðîáëåì àíàëèòè÷åñêîé òåîðèè ÷èñåë. Íà ïðîòÿæåíèè ïîëóòîðà ñòîëåòèé ïîëó÷åíî áîëüøîå
êîëè÷åñòâî ðåçóëüòàòîâ, ïîñâÿùåííûõ ýòîé ïðîáëåìå.
 1914 ã. Ã. Õàðäè [2] äîêàçàë áåñêîíå÷íîñòü ìíîæåñòâà íóëåé äçåòà-ôóíêöèè
Ðèìàíà íà êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé. Ïîçäíåå, â 1921 ã. Ã. Õàðäè ñîâìåñòíî ñ Äæ.
a > 0, 5 ñóùåñòâóþò T0 = T0 (a) è c = c(a) > 0
a
òàêèå, ÷òî ïðè T > T0 ïðîìåæóòîê (T, T + H), H = T ñîäåðæèò íå ìåíüøå,
÷åì c(a)H íóëåé ôóíêöèè ζ(0, 5 + it).
Ïóñòü N0 (T ) ÷èñëî íóëåé ôóíêöèè ζ(0, 5 + it) òàêèõ, ÷òî 0 < t 6 T .
Ëèòòëâóäîì [3] äîêàçàë, ÷òî äëÿ
 ñîðîêîâûõ ãîäàõ ÕÕ âåêà À. Ñåëüáåðã [4], óñîâåðøåíñòâîâàâ ðàññóæäåíèÿ
Ã. Õàðäè è Äæ. Ëèòòëâóäà, ïîëó÷èë ïðàâèëüíóþ ïî ïîðÿäêó îöåíêó ñíèçó äëÿ
÷èñëà íóëåé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà íà ïðîìåæóòêàõ êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé. Ñ
ïîìîùüþ òàê íàçûâàåìîé èäåè ¾óñïîêàèâàþùåãî ìíîæèòåëÿ¿ îí äîêàçàë ñëåäóþùóþ òåîðåìó:
Òåîðåìà A.
T0 = T0 (a)
Åñëè
òàêèå, ÷òî
H ≥ T a , ãäå a > 1/2,
ïðè T > T0 ñïðàâåäëèâî
òî ñóùåñòâóþò
c = c(a) > 0
è
íåðàâåíñòâî
N0 (T + H) − N0 (T ) > c(a)H (ln T ) .
(3)
Èç ôîðìóëû Ðèìàíà-Ìàíãîëüäòà (ñì. [5, c. 44]):
N (T ) =
T
T
T
ln
−
+ O(ln T )
2π 2π 2π
5
(4)
N (T ) íóëåé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â ïðÿìîóãîëüíèêå 0 6 <(s) 6 1,
0 6 =(s) 6 T è òåîðåìû À ñëåäóåò, ÷òî ïîëîæèòåëüíàÿ äîëÿ íóëåé ôóíêöèè
ζ(s) ëåæèò íà ïðÿìîé <(s) = 1/2. A. Ñåëüáåðã âûñêàçàë ãèïîòåçó î òîì, ÷òî
ïàðàìåòð a â åãî òåîðåìå ìîæíî âçÿòü ìåíüøèì, ÷åì 1/2.
äëÿ ÷èñëà
Ñåëüáåðãîâñêîå óñîâåðøåíñòâîâàíèå ïîäõîäà Õàðäè è Ëèòòëâóäà ñîñòîèò â
òîì, ÷òî ôóíêöèÿ
ζ(s) óñïîêàèâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ìíîãî÷ëåíà Äèðèõëå. Äëÿ ïî-
ñòðîåíèÿ ýòîãî ìíîãî÷ëåíà À. Ñåëüáåðã ñóùåñòâåííî âîñïîëüçîâàëñÿ íàëè÷èåì
ó
ζ(s)
ýéëåðîâîãî ïðîèçâåäåíèÿ
−1
Y
1
1− s
ζ(s) =
, <(s) > 1,
p
p
ãäå â ïðàâîé ÷àñòè ñòîèò ïðîèçâåäåíèå ïî âñåì ïðîñòûì ÷èñëàì
p. Ìåòîä Ñåëü-
áåðãà-Õàðäè-Ëèòòëâóäà èçó÷åíèÿ íóëåé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà ïðèìåíåí âî
ìíîãèõ çàäà÷àõ î íóëÿõ ðÿäîâ Äèðèõëå, èìåþùèõ ýéëåðîâîå ïðîèçâåäåíèå.
Òàêæå ñòîèòü îòìåòèòü ðîáîòó Í. Ëåâèíñîíà [6], â êîòîðîé îí ïîëó÷èë ñèëüíûé ðåçóëüòàò î äîëå íóëåé ôóíêöèè
N0 (T ) > 1/3N (T )
÷òî
ζ(s)
íà êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé. Äîêàçàíî,
äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ
ýòî íåðàâåíñòâî, çàìåíèâ êîíñòàíòó
1/3
T.
Ïîòîì Á. Êîðíè [7] óòî÷íèë
â ïðàâîé ÷àñòè íà
2/5.
 âîñüìèäåñÿòûõ ãîäàõ XX âåêà À. À. Êàðàöóáà âûïîëíèë ðÿä çàìå÷àòåëüíûõ ðàáîò î íóëÿõ äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà [816].  ÷àñòíîñòè, â [8] îí äîêàçàë
ìåòîäîì òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñóìì ãèïîòåçó À. Ñåëüáåðãà î ÷èñëå íóëåé äçåòàôóíêöèè Ðèìàíà íà êîðîòêèõ ïðîìåæóòêàõ êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé. Äîêàçàíî, ÷òî
H = T a+ω1 , ãäå a = 27/82 è ω1 ïðîóñëîâèåì 0 < ω1 < 0, 001. Îáñòîÿòåëüñòâîì,
óòâåðæäåíèå òåîðåìû A èìååò ìåñòî ïðè
èçâîëüíîå ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî ñ
êîòîðîå ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü óëó÷øåíèå, ÿâëÿþòñÿ íåòðèâèàëüíûå îöåíêè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñóìì ñïåöèàëüíîãî âèäà
W1 (T )
è
W2 (T )
(ñì. ëåììà 16).
 1984 ã. À. À. Êàðàöóáà [9] ïîëó÷èë îöåíêó âèäà (3) äëÿ ïî÷òè âñåõ çíà÷åíèé
T
èç ïðîìåæóòêà
[X, 2X] è H = T ω2 , ω2
ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî.
Äðóãèìè ñëîâàìè, îí ðåøèë çàäà÷ó ïîëó÷åíèÿ îöåíîê ñåëüáåðãîâñêîãî òèïà äëÿ
ïî÷òè âñåõ î÷åíü êîðîòêèõ ïðîìåæóòêîâ.
 1992 ã., ïðèìåíèâ ñâîé íîâûé ïîäõîä, À. À. Êàðàöóáà [10] äîêàçàë, ÷òî ïðè
Xè
√
6 H 6 X 1/3 ,
exp exp 2a1 ln ln X
äîñòàòî÷íîì áîëüøîì
ãäå
a1
2X ,
íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ, ïî÷òè âñå ïðîìåæóòêè
(T, T + H), ãäå X 6 T 6
ñîäåðæàò íå ìåíüøå, ÷åì
s
!
ln X
H (ln H) exp −a1 ln
ln H
íóëåé íå÷åòíîãî ïîðÿäêà ôóíêöèè
ζ(0, 5 + it).
6
X
δ
δ
> 0 íèæíèé ïðåäåë H ñóùåñòâåííî ìåíüøå
ln ln X
èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
Çàìåòèì, ÷òî ïðè
ëþáîì
ìàëîì
H > exp exp 2a1
. Äëÿ
√
s
!
√
ln X
H (ln H) exp −a1 ln
> H exp a1 ln ln X .
ln H
Ýòî íåðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî îöåíêà À.À. Êàðàöóáû ïðè ìàëûõ
H
íåñêîëü-
êî ñëàáåå îöåíêè À. Ñåëüáåðãà â òåîðåìå À, íî òî÷íåå òîé, êîòîðàÿ ïîëó÷åíà
Õàðäè-Ëèòòëâóäîì â 1921 ã.
 ýòîì íàïðàâëåíèè Ë. Â. Êèñåëåâà [17] ïîëó÷èëà ðåçóëüòàò ïîäîáíîãî ðîäà
äëÿ ïî÷òè âñåõ çíà÷åíèé
T
èç ïðîìåæóòêà
X, X + X 11/12+ω3 è H = X ω3 , ω3
ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî.
Ðàñïðåäåëåíèå íóëåé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â îêðåñòíîñòè êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé
 1896 ã. Âàëëå-Ïóññåí äîêàçàë, ÷òî
ζ(1 + it)
íå îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè äåé-
ñòâèòåëüíûõ t. Îòñþäà ñëåäóåò àñèìïòîòè÷åñêèé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîñòûõ
÷èñåë
ψ(x) ∼ x.
 1899 ã. Âàëëå-Ïóññåí ïîëó÷èë áîëåå òî÷íûé ðåçóëüòàò î ãðàíèöå íóëåé
äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà. Äîêàçàíî, ÷òî ñóùåñòâóåò àáñîëþòíàÿ ïîñòîÿííàÿ
òàêàÿ, ÷òî â îáëàñòè
s-ïëîñêîñòè
âèäà
<(s) > 1 −
íåò íóëåé äçåòà-ôóíêöèè
ζ(s).
c>0
c
(ln |t| + 2)
Ãðàíèöó íóëåé
ζ(s)
óòî÷íÿëè ìíîãèå ìàòåìàòè-
êè. Ïðèâåäåì òîëüêî ðåçóëüòàò È. Ì. Âèíîãðàäîâà [18]: Ñóùåñòâóåò àáñîëþòíàÿ
ïîñòîÿííàÿ
c>0
s-ïëîñêîñòè âèäà
c
<(s) > 1 −
,
2/3
1/3
(ln t) (ln ln t)
òàêàÿ, ÷òî â îáëàñòè
t > 10,
äçåòà-ôóíêöèÿ Ðèìàíà íå èìååò íóëåé.
N (σ, T ) ÷èñëî íóëåé ζ(s) â ïðÿìîóãîëüíèêå σ < <s < 1, 0 < =s 6 T .
Åñëè âåðíà ãèïîòåçà Ðèìàíà, òî ïðè σ > 1/2 ôóíêöèÿ N (σ, T ) òîæäåñòâåííî
Ïóñòü
ðàâíà íóëþ. Ïîñêîëüêó ãèïîòåçà Ðèìàíà íå äîêàçàíà è íå îïðîâåðãíóòà, ðÿä
âûäàþùèõñÿ ìàòåìàòèêîâ çàíèìàëñÿ áåçóñëîâíûìè îöåíêàìè ñâåðõó ôóíêöèè
N (σ, T )
ïðè
σ > 1/2.
 1924 ã. Äæ. Ëèòòëâóä [19] íà îñíîâå òåîðåìû î êîëè÷åñòâå íóëåé àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè â ïðÿìîóãîëüíèêå äîêàçàë ñëåäóþùóþ òåîðåìó:
Òåîðåìà (Ëèòòëâóä).
Ïðè
1/2 < σ 6 1
ðàâíîìåðíî ïî
îöåíêà
N (σ, T ) = O
T
1
ln
.
σ − 0, 5 σ − 0, 5
7
σ
ñïðàâåäëèâà
Ñëåäñòâèå (Ëèòòëâóä).
êîíå÷íîñòè âìåñòå ñ
îáëàñòè
Φ(t) ïîëîæèòåëüíàÿ è ñòðåìÿùàÿñÿ ê áåñt ôóíêöèÿ, òî ïî÷òè âñå êîìïëåêñíûå íóëè ζ(s) ëåæàò â
ln t
Åñëè
 ñîðîêîâûõ ãîäàõ À. Ñåëüáåðã [4, 20] äîêàçàë ñëåäóþùèå òåîðåìû:
Òåîðåìà D.
σ
H ≥ T a,
Åñëè
ãäå
a > 1/2,
òî ïðè
1/2 < σ 6 1
ðàâíîìåðíî ïî
ñïðàâåäëèâà îöåíêà
N (σ, T + H) − N (σ, T ) = O
H
.
σ − 0, 5
À. Ñåëüáåðã òàêæå âûñêàçàë ãèïîòåçó î òîì, ÷òî ïàðàìåòð
ìîæíî âçÿòü ìåíüøèì, ÷åì
a
â òåîðåìå D
1/2.
T a 6 H 6 T , ãäå a ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî,
0, 5 < a 6 1, òî ðàâíîìåðíî ïî σ , 0, 5 6 σ 6 1, ñïðàâåäëèâà îöåíêà
− 12 (σ− 21 ) !
H
.
N (σ, T + H) − N (σ, T ) = O H (ln T ) √
T
Òåîðåìà (À. Ñåëüáåðã).
Åñëè
Çíà÷åíèå ýòîé òåîðåìû ñîñòîèò â òîì, ÷òî ¾ïî÷òè âñå¿ íåòðèâèàëüíûå íóëè
ôóíêöèè
ζ(s)
ëåæàò â î÷åíü óçêîé îêðåñòíîñòè êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé.
Íåòðèâèàëüíàÿ îöåíêà òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñóììû ñïåöèàëüíîãî âèäà
W (T )
(ñì. ëåììó 18) ïîçâîëèëà â 1985 ã. À.À. Êàðàöóáå [11] äîêàçàòü ãèïîòåçó À.
Ñåëüáåðãà. Äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:
Òåîðåìà (À.À. Êàðàöóáà).
σ61
ðàâíîìåðíî ïî
σ
H > T a,
Åñëè
ãäå
a > 27/82,
òî ïðè
1/2 <
ñïðàâåäëèâà îöåíêà
N (σ, T + H) − N (σ, T ) = O
H
.
σ − 0, 5
(5)
Ïîçäíåå, â 1996 ã. À.À. Êàðàöóáà [16] äîêàçàë ïëîòíîñòíóþ òåîðåìó äëÿ ñëó÷àÿ êîðîòêîãî ïðîìåæóòêà
(T, T + H)
Òåîðåìà (À.À. Êàðàöóáà).
ñ
H < T 1/2 :
27/82 < a 6 1 ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî,
T > T0 (a) > 0, H = T . Ïðè 1/2 6 σ 6 1 âûïîëíÿåòñÿ îöåíêà
0,0001(2σ−1)
N (σ, T + H) − N (σ, T − H) = O H (ln T ) H −1 T 27/82
,
Ïóñòü
a
ãäå ïîñòîÿííàÿ â çíàêå
O
çàâèñèò òîëüêî îò
Ë.Â. Êèñåëåâà [21, 22] äîêàçàëà, ÷òî ïðè
a.
0, 5 < σ 6 1
è
H = T ω4 , ω4
ïðî-
èçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, íåðàâåíñòâî (5) ñïðàâåäëèâî äëÿ ïî÷òè âñåõ
çíà÷åíèé
T
èç ïðîìåæóòêà
[X, X + X 11/12+ω4 ].
8
B 2003 ã. Ì.À. Êîðîë¼â [23] ïîëó÷èë ðåçóëüòàò, ÿâëÿþùèéñÿ àíàëîãîì ïëîòíîñòíûõ òåîðåì À. Ñåëüáåðãà è À.À. Êàðàöóáû äëÿ î÷åíü êîðîòêèõ ïðîìåæóòêîâ
(T, T + H],
êîòîðûé ñïðàâåäëèâ äëÿ ¾ïî÷òè âñåõ¿ çíà÷åíèé
Òåîðåìà (Ì.À. Êîðîë¼â).
T:
ω5 ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ íåðàâåíñòâó 0 < ω5 < 0, 01, c = c(ω5 ) > 0 ïîñòîÿííàÿ,
X > X0 (ω5 ) > 0, H = X ω5 , è ïóñòü E ìíîæåñòâî çíà÷åíèé T èç ïðîìåæóòêà
(X, 2X), äëÿ êîòîðûõ ïðè ëþáîì σ , 1/2 6 σ 6 1, âåðíà îöåíêà
Ïóñòü
N (σ, T + H) − N (σ, T − H) 6 cHX −0,01ω5 (2σ−1) ln X.
Òîãäà äëÿ ìåðû ýòîãî ìíîæåñòâà ñïðàâåäëèâà àñèìïòîòè÷åñêàÿ ôîðìóëà
µ(E) = X − O(X 1−0,1ω5 ).
Öåëü ðàáîòû
Öåëü äàííîé ðàáîòû ïîëó÷èòü îöåíêè ¾ñåëüáåðãîâñêîãî òèïà¿ (ñì. òåîðåìû
A è D) äëÿ ÷èñëà íóëåé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà íà ¾ïî÷òè âñåõ¿ î÷åíü êîðîòêèõ
ïðîìåæóòêàõ êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé è å¼ îêðåñòíîñòè â ñëó÷àå, êîãäà îñðåäíåíèå
èä¼ò ïî êîðîòêîìó îòðåçêó.
Îáúåêò èññëåäîâàíèÿ
Îáúåêò èññëåäîâàíèÿ äçåòà-ôóíêöèÿ Ðèìàíà è å¼ íóëè.
Ïðåäìåò èññëåäîâàíèÿ
Ïðåäìåò èññëåäîâàíèÿ íóëè äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà íà î÷åíü êîðîòêèõ ïðîìåæóòêàõ êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé è å¼ îêðåñòíîñòè.
Íàó÷íàÿ íîâèçíà
Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ðàáîòû ÿâëÿþòñÿ íîâûìè è çàêëþ÷àþòñÿ â ñëåäóþùåì:
ζ(0, 5+it), ëåæàùèõ íà î÷åíü
êîðîòêèõ ïðîìåæóòêàõ âèäà [T, T + X ], äëÿ ¾ïî÷òè âñåõ¿ çíà÷åíèé T èç
7/8+ε
ïðîìåæóòêà [X, X + X
], 0 < ε < 0, 01 ïðîèçâîëüíîå ìàëîå ÷èñëî.
1. Ïîëó÷åíà îöåíêà ñíèçó ÷èñëà íóëåé ôóíêöèè
ε
, ëåæàùèõ íà î÷åíü
ζ(0,
5+it)
√
êîðîòêèõ ïðîìåæóòêàõ âèäà [T, T +H], exp exp 2a ln ln X
6 H 6 X ε,
2. Ïîëó÷åíà îöåíêà ñíèçó ÷èñëà íóëåé ôóíêöèè
äëÿ ¾ïî÷òè âñåõ¿ çíà÷åíèé
0, 01
T
èç ïðîìåæóòêà
ïðîèçâîëüíîå ìàëîå ÷èñëî è
a>0
[X, X + X 7/8+ε ],
ãäå
0<ε<
íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ.
3. Ïîëó÷åíà îöåíêà ñâåðõó ÷èñëà íóëåé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà, ëåæàùèõ â
0, 5 < σ 6 <s < 1, T 6 =s 6 T + X ε , äëÿ ¾ïîT èç ïðîìåæóòêà [X, X + X 7/8+ε ], 0 < ε < 0, 01
ïðÿìîóãîëüíèêàõ âèäà
÷òè âñåõ¿ çíà÷åíèé
ïðîèçâîëüíîå ìàëîå ÷èñëî.
9
Ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ
 äèññåðòàöèè èñïîëüçóþòñÿ ìåòîäû À. À. Êàðàöóáû ïîëó÷åíèÿ îöåíêè ¾ñåëüáåðãîâñêîãî òèïà¿ äëÿ ÷èñëà íóëåé
ζ(s) íà ¾ïî÷òè âñåõ¿ êîðîòêèõ ïðîìåæóòêàõ
êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé è å¼ îêðåñòíîñòè, îöåíêà êëàññè÷åñêîé ñóììû Êëîîñòåðìàíà, à òàêæå ìåòîä òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñóìì.
Ïðàêòè÷åñêàÿ è òåîðåòè÷åñêàÿ öåííîñòü
Ðàáîòà íîñèò òåîðåòè÷åñêèé õàðàêòåð. ż ðåçóëüòàòû è ìåòîäû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû â äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèÿõ, ïîñâÿùåííûõ ðàñïðåäåëåíèþ íóëåé
äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà è
L−ôóíêöèè
Äèðèõëå.
Àïðîáàöèÿ ðåçóëüòàòîâ
Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ðàáîòû äîêëàäûâàëèñü
•
íà Ìåæäóíàðîäíîé Ðîññèéñêî-Êèòàéñêîé êîíôåðåíöèè ¾Àêòóàëüíûå ïðîáëåìû ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè è ôèçèêè¿ Ïðèýëüáðóñüå, ïîñ. Ýëüáðóñ,
Ðîññèÿ, 1418 äåêàáðÿ 2015 ã.
•
íà XIII Ìåæäóíàðîäíîé êîíôåðåíöèè ¾Àëãåáðà, òåîðèÿ ÷èñåë è äèñêðåòíàÿ ãåîìåòðèÿ: ñîâðåìåííûå ïðîáëåìû è ïðèëîæåíèÿ¿, ïîñâÿùåííàÿ âîñüìèäåñÿòèïÿòèëåòèþ ñî äíÿ ðîæäåíèÿ ïðîôåññîðà Ñåðãåÿ Ñåðãååâè÷à Ðûøêîâà, ã. Òóëà, Ðîññèÿ, 2530 ìàÿ 2015 ã.
•
íà XXIII Ìåæäóíàðîäíîé íàó÷íîé êîíôåðåíöèè ñòóäåíòîâ, àñïèðàíòîâ è
ìîëîäûõ ó÷åíûõ ¾Ëîìîíîñîâ¿, ã. Ìîñêâà, Ðîññèÿ, 11-15 àïðåëÿ 2016 ã.
•
íà Ìåæäóíàðîäíîé êîíôåðåíöèè ¾Àëãåáðà, òåîðèÿ ÷èñåë: ñîâðåìåííûå
ïðîáëåìû è ïðèëîæåíèÿ¿, ïîñâÿùåííàÿ 70-ëåòèþ ñî äíÿ ðîæäåíèÿ ïðîôåññîðîâ Ã. È. Àðõèïîâà è Ñ. Ì. Âîðîíèíà, ã. Ñàðàòîâ, Ðîññèÿ, 1215 ñåíòÿáðÿ
2016 ã.
Ïóáëèêàöèè
Ïî òåìå äèññåðòàöèè îïóáëèêîâàíî 11 ïå÷àòíûõ ðàáîò, â òîì ÷èñëå 7 â èçäàíèÿõ
ïî ïåðå÷íþ ÂÀÊ. Ñïèñîê ñòàòåé àâòîðà ïðèâåäåí â êîíöå äèññåðòàöèè.
Ñòðóêòóðà è îáúåì ðàáîòû
Äèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ, òðåõ ãëàâ è ñïèñêà ëèòåðàòóðû. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû ñîäåðæèò 28 íàèìåíîâàíèé. Îáùèé îáúåì äèññåðòàöèè - 84 ñòðàíèöû
ìàøèíîïèñíîãî òåêñòà.
10
Ñîäåðæàíèå äèññåðòàöèè
Âî
ââåäåíèè
îáîñíîâûâàåòñÿ àêòóàëüíîñòü òåìû äèññåðòàöèè, äàåòñÿ êðàòêèé
èñòîðè÷åñêèé îáçîð ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷åííûõ ðàíåå è ñâÿçàííûõ ñ òåìàòèêîé
äèññåðòàöèîííîé ðàáîòû, ôîðìóëèðóþòñÿ îñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè è
äàåòñÿ êðàòêîå îïèñàíèå ìåòîäîâ äîêàçàòåëüñòâà.
Ïåðâàÿ ãëàâà
äèññåðòàöèè ñîäåðæèò ðÿä âñïîìîãàòåëüíûõ ëåìì, èçâåñò-
íûõ â ëèòåðàòóðå, à òàêæå îñíîâíóþ ëåììó 14, â êîòîðîé îöåíèâàåòñÿ êðàòíàÿ
òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ñóììà, ïåðåìåííûå ñóììèðîâàíèÿ êîòîðîé óäîâëåòâîðÿþò
îïðåäåëåííûì óñëîâèÿì ñâÿçè. Ïðè îöåíêå ýòîé ñóììû èñïîëüçóþòñÿ ìåòîä
òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñóìì è êëàññè÷åñêàÿ îöåíêà èçâåñòíîé òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñóììû Êëîîñòåðìàíà.
Âòîðàÿ ãëàâà
ñîñòîèò èõ òðåõ ïàðàãðàôîâ è ñîäåðæèò èññëåäîâàíèå ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ íóëåé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà íà êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé.  ïåðâîì
ïàðàãðàôå äîêàçàíû ëåììû 16 è 17, êîòîðûå ïîñâÿùåíû îöåíêàì â ñðåäíåì
Wj (T ) è Qj (T ), j = 1, 2.
Èç ýòèõ ëåìì ñëåäóþò îöåíêè ñâåðõó ñóìì Wj (T ) è Qj (T ), j = 1, 2, äëÿ ¾ïî÷òè
âñåõ¿ çíà÷åíèé T èç ïðîìåæóòêà [X, X + X1 ].
çíà÷åíèé òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñóìì ñïåöèàëüíîãî âèäà
Îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì âòîðîé ãëàâû ÿâëÿþòñÿ òåîðåìû:
Ïóñòü ε1 ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ
0 < ε1 < 0, 01. Ïóñòü, äàëåå, c1 = c1 (ε1 ) > 0 íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ,
Òåîðåìà
1.
X > X0 (ε1 ) > 0,
H = X ε1 ,
X1 = X 7/8+ε1 .
×åðåç E1 îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî òåõ T ∈ [X, X + X1], äëÿ êîòîðûõ èíòåðâàë [T, T + H] ñîäåðæèò ìåíüøå, ÷åì c1H (ln T ) íóëåé íå÷åòíîãî ïîðÿäêà
ôóíêöèè ζ(0, 5+it). Òîãäà äëÿ ìåðû ýòîãî ìíîæåñòâà µ(E1) ñïðàâåäëèâà îöåíêà
µ(E1 ) X1 H −0,4 ,
ãäå ïîñòîÿííàÿ â çíàêå àáñîëþòíàÿ.
Òåîðåìà 2. Ïóñòü ε2 ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ
0 < ε2 < 0, 01, a íåêîòîðàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Ïóñòü, äàëåå,
X > X0 (ε2 ) > 0,
X1 = X
7/8+ε2
,
√
exp exp 2a ln ln X 6 H 6 X ε2 .
×åðåç E2 îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî òåõ çíà÷åíèé T èç ïðîìåæóòêà [X, X +
X1 ], äëÿ êîòîðûõ èíòåðâàë [T, T + H] ñîäåðæèò ìåíüøå, ÷åì
s
!
ln X
H (ln H) exp −a ln
ln H
11
íóëåé íå÷åòíîãî ïîðÿäêà ôóíêöèè ζ(0, 5 + it). Òîãäà äëÿ ìåðû ýòîãî ìíîæåñòâà µ(E2) ñïðàâåäëèâà îöåíêà
µ(E2 ) X1 H −0,4 ,
ãäå ïîñòîÿííàÿ â çíàêå àáñîëþòíàÿ.
Äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì 1 è 2 ñîñòàâëÿþò ñîäåðæàíèå ïàðàãðàôîâ 2 è 3 âòîðîé
ãëàâû.
Îïèøåì îñíîâíûå ýòàïû äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 1.
0 < h < h1 < 1 íåêîòîðûå ÷èñëà, çíà÷åíèÿ êîòîðûõ áóäóò îïðåäåëåíû ïîçäíåå. Äëÿ T ∈ [X, X + X1 ] îïðåäåëèì ìíîæåñòâî E òàêèõ t èç [T, T + H],
Ïóñòü
÷òî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
j1 (t) > j2 (t),
ãäå
Z
h1
j1 (t) =
e
−(u/h)2
|F (t + u)| du;
−h1
h1
−(u/h)2
e
−h1
.
F (t) ôóíêöèÿ Õàðäè-Ñåëüáåðãà (ñì. ëåììó 9). Çàìåòèì, ÷òî åñëè t ∈ E ,
òî â îòðåçêå (t − h1 , t + h1 ) ñîäåðæèòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå îäèí íóëü íå÷åòíîãî
ïîðÿäêà ôóíêöèè ζ(0, 5+it). Èç îïðåäåëåíèÿ ìíîæåñòâà E ëåãêî íàõîäèì íåðàÇäåñü
âåíñòâî:
p
ãäå
µ(E)
ìåðà ìíîæåñòâà
Z
T +H
I1 =
µ(E)I1 +
p
HI2 > I3 ,
(6)
E,
2
Z
T +H
(j1 (t)) dt, I2 =
T
Z
2
(j2 (t)) dt, I3 =
T
T +H
j1 (t)dt.
T
Åñëè ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå îöåíêè
I1 h2 H, I3 > chH, I2 6 c0 h2 H,
√
c > 2 c0 , òî èç íåðàâåíñòâà (6)
h1 (ln X)−1 ñëåäóåò íåðàâåíñòâî
ãäå
ñëåäóåò îöåíêó
µ(E) H .
(7)
Îòêóäà ïðè
N0 (T + H) − N0 (T ) H ln T.
Ìîæíî äîêàçàòü äëÿ âñåõ
ìåðû
O X1 H
−0,4
T ∈ [X, X + X1 ]
èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
I3 > chH, c > 0.
12
çà èñêëþ÷åíèåì ïîäìíîæåñòâà
Èíòåãðàëû
èíòåãðàë
I1
è
I2
îöåíèâàþòñÿ ïî÷òè îäèíàêîâî. Ðàññìîòðèì, íà ïðèìåð,
I1 . Ïîëüçóÿñü ïðèáëèæåííûì ôóíêöèîíàëüíûì óðàâíåíèåì ôóíêöèè
Õàðäè-Ñåëüáåðãà (ñì. ëåììà 9), ïîëó÷èì
λ6 2πT
I1 h2 H (Σ0 (T ) + W 0 (T )) + O h2 HL−10 ,
ãäå
X |a(λ)|2
Σ (T ) =
λ
√
0
T
2π
λ6
ñóììà äèàãîíàëüíûõ ñëàãàåìûõ, à
W 0 (T ) =
X
λ1 <λ2 6P
a(λ1 )a(λ2 )
√
λ1 λ2
λ2
λ1
iT
ñóììà íå äèàãîíàëüíûõ ñëàãàåìûõ. Ñóììà
O(1).
H λ2
exp −
ln
2
λ1
2 !
Σ0 (T ) îöåíåíà â ëåììå 10 âåëè÷èíîé
Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî
W 0 (T ) = O H −0,2
O X1 H −0,4 .
Òàêèì îáðàçîì, îöåíêè (7) ñïðàâåäëèâû äëÿ âñåõ T ∈ [X, X + X1 ] çà èñêëþ
−0,4
. Îòêóäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû
÷åíèåì ïîäìíîæåñòâà ìåðû O X1 H
äëÿ âñåõ
T ∈ [X, X + X1 ]
çà èñêëþ÷åíèåì ïîäìíîæåñòâà ìåðû
1.
Âòîðàÿ çàäà÷à, ðåøàåìàÿ â òðåòüåì ïàðàãðàôå, ðîäñòâåííà ïåðâîé. Îñîáåííîñòü
âòîðîé çàäà÷è ñîñòîèò
â òîì, ÷òî ïðè ëþáîì
√
H = exp exp 2a ln ln X
ñóùåñòâåííî ìåíüøå
X
δ
δ > 0
íèæíèé ïðåäåë
.  ýòîì ñëó÷àå íå óäàåòñÿ
Σ0 (T ) = O(1). Îöåí[T, T + H] íåìíîãî ñëàáåå
ïîëó÷èòü îöåíêó äëÿ ñóììû äèàãîíàëüíûõ ñëàãàåìûõ âèäà
ζ(0, 5 + it) â èíòåðâàëå
δ
ñëó÷àå H = X . Ïðè å¼ äîêàçàòåëüñòâå
êà äëÿ ÷èñëà íóëåé ôóíêöèè
òîé, êîòîðàÿ ïîëó÷åíà â
ïðèìåíÿåòñÿ
ïîäõîä À. À. Êàðàöóáû (ñì. [10]).
Òðåòüÿ ãëàâà
äèññåðòàöèè ïîñâÿùåíà èññëåäîâàíèþ êîëè÷åñòâà íóëåé
ζ(s)
â îêðåñòíîñòè êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé è ñîñòîèò èç äâóõ ïàðàãðàôîâ.  ïåðâîì
ïàðàãðàôå äîêàçàíû ëåììû 18 è 19, êîòîðûå ïîñâÿùåíû îöåíêàì â ñðåäíåì
çíà÷åíèé òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñóìì ñïåöèàëüíîãî âèäà
ëåìì ñëåäóþò îöåíêè ñâåðõó ñóìì
èç ïðîìåæóòêà
W (T )
è
Q(T )
W (T )
Q(T ).
Èç ýòèõ
äëÿ ¾ïî÷òè âñåõ¿ çíà÷åíèé
[X, X + X1 ].
Îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì âòîðîé ãëàâû ÿâëÿþòñÿ òåîðåìû:
13
è
T
Ïóñòü ε3 ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ
0 < ε3 < 0, 01. Ïóñòü, äàëåå, c3 = c3 (ε3 ) > 0 íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ,
Òåîðåìà
3.
H = X ε3 ,
X > X0 (ε3 ) > 0,
Ïðè 1/2
X1 = X 7/8+ε3 .
îáîçíà÷èì ÷åðåç E3 ìíîæåñòâî òåõ T èç ïðîìåæóòêà
, äëÿ êîòîðûõ íåðàâåíñòâî
< σ < 1
[X, X + X1 ]
N (σ, T + H) − N (σ, T ) 6 c3
H
σ − 0, 5
íå âûïîëíÿåòñÿ. Òîãäà äëÿ ìåðû ýòîãî ìíîæåñòâà µ(E3) ñïðàâåäëèâà îöåíêà:
µ(E3 ) X1 H −0,4 ,
ãäå ïîñòîÿííàÿ â çíàêå àáñîëþòíàÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3 ñîñòàâëÿåò ñîäåðæàíèå ïàðàãðàôà 2 òðåòüåé ãëàâû. Îíî ïðîâîäèòñÿ ïî ñõåìå ðàáîòû À. À. Êàðàöóáû [11], ïðè ýòîì ñóùåñòâåííî
èñïîëüçóþòñÿ îöåíêè ñóìì
ìåæóòêà
W (T )
è
Q(T )
äëÿ ¾ïî÷òè âñåõ¿ çíà÷åíèé
T
èç ïðî-
[X, X + X1 ].
Áëàãîäàðíîñòè
Àâòîð âûðàæàåò ãëóáîêóþ áëàãîäàðíîñòü ñâîåìó íàó÷íîìó ðóêîâîäèòåëþ Ñ. À.
Ãðèöåíêî çà ïîñòàíîâêó çàäà÷è è ïîëåçíûå îáñóæäåíèÿ.
14
1
1.1
Ãëàâà 1. Âñïîìîãàòåëüíûå óòâåðæäåíèÿ
Âñïîìîãàòåëüíûå ëåììû
 ýòîì ïàðàãðàôå ôîðìóëèðóþòñÿ èçâåñòíûå â ëèòåðàòóðå óòâåðæäåíèÿ, êîòîðûå ïîíàäîáÿòñÿ íàì â äàëüíåéøåì.
Ëåììà 1. Ïóñòü q öåëîå ïîëîæèòåëüíîå; u è v öåëûå ÷èñëà. Èìååò
ìåñòî îöåíêà
X
x
mod q
2πi (ux + vx̄)
exp
q
q
1
2 +κ
min
np
o
p
(u, q), (v, q) ,
ãäå x̄ îçíà÷àåò, ÷òî x̄x ≡ 1 (mod q); κ ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî;
ïîñòîÿííàÿ â çíàêå çàâèñèò òîëüêî îò κ.
Äîêàçàòåëüñòâî ñì., íàïðèìåð, â [24], ñ. 50.
Ëåììà 2. Ïóñòü F (x) è G(x) äåéñòâèòåëüíûå ôóíêöèè, G(x)/F 0(x)
ìîíîòîííàÿ ôóíêöèÿ è F 0(x)/G(x) > m > 0 (èëè F 0(x)/G(x) 6 −m < 0) íà
âñåì èíòåðâàëå (a, b). Òîãäà
m
a
Äîêàçàòåëüñòâî ñì., íàïðèìåð, â [25], ñ. 73.
Ëåììà 3. Ïóñòü F (x) äåéñòâèòåëüíàÿ, äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ è ïóñòü F 00(x) > r > 0 (èëè F 00(x) 6 −r < 0 ) íà èíòåðâàëå (a, b), ïóñòü
G(x)/F 0 (x) ìîíîòîííà, à |G(x)| 6 M. Òîãäà
r
a
Äîêàçàòåëüñòâî ñì., íàïðèìåð, â [25], ñ. 73.
Ëåììà 4. Ïóñòü f (x) è ϕ(x) âåùåñòâåííûå ôóíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùèå
íà îòðåçêå [a, b] ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:
1) f 00(x) è ϕ0(x) íåïðåðûâíû;
2) |f 0(x)| 6 δ < 1, 0 < f 00(x) 1;
3) ñóùåñòâóþò ÷èñëà 0 < H , 0 < b − a 6 U òàêèå, ÷òî ϕ(x) H , ϕ0(x)
HU −1 .
Òîãäà ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
X
a<x6b
2πif (x)
ϕ(x)e
b
Z
ϕ(x)e2πif (x) dx + O(H),
=
a
ïðè÷åì ïîñòîÿííàÿ â çíàêå O çàâèñèò òîëüêî îò δ.
15
Äîêàçàòåëüñòâî ñì. â [26], ñ. 73.
Ëåììà 5. Ïóñòü F (x) è ϕ(x) äåéñòâèòåëüíûå ôóíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùèå íà îòðåçêå [a, b] ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:
1) ñóùåñòâóþò ÷èñëà H > 0, 1 < A U , òàêèå, ÷òî
A−1 F 00 (u) A−1 , F 000 (u) (AU )−1 ,
ϕ(u) H, ϕ0 (u) HU −1 , ϕ00 (u) HU −2 ;
2) ïðè íåêîòîðîì u0, a 6 u0 6 b, F 0(u0) = 0;
3) ôóíêöèÿ
G=
ϕ(u + u0 )
ϕ(u0 )
p
−
F 0 (u + u0 )
2 (F (u + u0 ) − F (u0 )) F 00 (u0 )
èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî ó÷àñòêîâ ìîíîòîííîñòè.
Òîãäà èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ àñèìïòîòè÷åñêàÿ ôîðìóëà:
b
1 + i ϕ(u0 )e2πiF (u0 )
p
ϕ(u)e
du = √
+ O (H) +
2
F 00 (u0 )
a
√
√
−1
−1
0
0
+O H min |F (a)| , A + O H min |F (b)| , A .
Z
2πiF (u)
Äîêàçàòåëüñòâî ñì., íàïðèìåð, â [27, ñ. 23].
Ëåììà 6. Ïóñòü
α=
a
θ
+ 2 , (a, q) = 1, q > 1, |θ| 6 1.
q q
Òîãäà ïðè ëþáîì β , U > 0, P > 1 èìååì
P
X
−1
min U, kαx + βk
6 6(P q −1 + 1)(U + q ln q).
x=1
Äîêàçàòåëüñòâî ñì., íàïðèìåð, â [27, ñ. 94].
Ëåììà 7. Ïóñòü f (x) êîìïëåêñíîçíà÷íàÿ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ íà [a, b] ôóíêöèÿ, cn ïðîèçâîëüíûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà,
C(x) =
X
cn .
a<n6x
Òîãäà
X
a<n6b
Z
cn f (n) = −
b
C(x)f 0 (x)dx + C(b)f (b).
a
16
Äîêàçàòåëüñòâî
Ëåììà 8. Ïóñòü f (s) ðåãóëÿðíàÿ ôóíêöèÿ â ïîëîñå a 6 <s 6 b, s =
σ + it. Ïóñòü |f (s)| −→ +∞ ðàâíîìåðíî ïî σ ∈ [a, b], è ïóñòü ïðè λ > 0
ñì., íàïðèìåð, â [27, ñ. 29].
Z
+∞
1/λ
|f (σ + it)|
J(σ; λ) =
λ
dt .
−∞
Òîãäà ïðè ïðîèçâîëüíûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñëàõ λ, µ ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî
J(σ; λp + µq) 6 J p (a; λ)J q (b; µ),
ãäå
p=
b−σ
,
b−a
q=
σ−a
,
b−a
a 6 σ 6 b.
Äîêàçàòåëüñòâî ñì. â [28].
Ââåäåì òåïåðü îáîçíà÷åíèÿ, êîòîðûå íàì ïîíàäîáÿòñÿ â äàëüíåéøåì:
Y
íåêîòîðûé ïàðàìåòð, çíà÷åíèå êîòîðîãî áóäåì îïðåäåëÿòü â êîíêðåòíîì
ñëó÷àå;
λ, λ1 , λ2 · · ·
ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà, çíàìåíàòåëü êîòîðûõ íå ïðåâîñõîäèò
äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
α(ν)
Y;
íàõîäÿòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ
1
p
=
ζ(s)
∞
X
α(ν)
n=1
ν2
,
<s > 1,
α(1) = 1, |α(ν)| 6 1, ν = 1, 2, · · · ;
÷èñëà β(ν) è a(λ) îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
ln
ν
α(ν) 1 −
, åñëè 1 6 ν < Y,
ln Y
β(ν) =
0, åñëè ν > Y,
ïðè÷åì
a(λ) =
X β(ν1 )β(ν2 )
;
ν2
(8)
nν1 =λν2
ôóíêöèÿ
F (t)
çàäàåòñÿ ðàâåíñòâîì
F (t) = eiθ(t) ζ (0, 5 + it) |ϕ (0, 5 + it)|2 ,
ãäå
iθ(t)
e
X β(ν)
π −it/2 Γ (1/4 + it/2)
, ϕ(s) =
.
=
|Γ (1/4 + it/2)|
νs
ν6Y
Äëÿ ôóíêöèè
F (t)
ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ïðèáëèæåííîå óðàâíåíèå.
17
Ëåììà 9. Ïðè T
ìåñòî ðàâåíñòâî
6 t 6 T + H, H 6 T 1/3 , P =
p
,
T /2π Y 6 H 0,01
èìååò
F (t) = F1 (t) + F1 (t) + O H 2 T −0,75 Y ln3 T ,
ãäå
iθ1 (t)
F1 (t) = e
X a(λ)
π
T
√ λ−it , θ1 (t) = t (ln P ) − − .
2
8
λ
λ6P
Äîêàçàòåëüñòâî ñì., íàïðèìåð, â [15], ñ. 28-30.
Ëåììà 10. Ïóñòü c ïîñòîÿííîå ÷èñëî, 0 < c < 1. Ñïðàâåäëèâû îöåíêè
X a2 (λ)
λ6P
P
λ
=O
ln P
ln Y
,
X a2 (λ)
ln P
,
=O
λ
ln
Y
λ6P 1−c
X a2 (λ)
c ln P
=O
.
λ
ln
Y
1−c
<λ6P
Äîêàçàòåëüñòâî ñì., íàïðèìåð, â [8].
Ëåììà 11. Ïóñòü ε ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ 0 <
ε < 0, 01, X > X0 (ε) > 0, X1 = X 7/8+ε , H = X ε , Y = H 0,01 . Òîãäà ñïðàâåäëèâà
îöåíêà
ζ(σ + it) |ϕ(σ + it)|2 dσ
dt X1 Y 2 L3 .
Äîêàçàòåëüñòâî ñì. â [17, ñ. 494].
Ëåììà 12. Ïóñòü t > 2π, ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà x è y óäîâëåòâîðÿþò
óñëîâèÿì x > h > 0, y > h > 0, 2πxy = t. Òîãäà ïðè 0 < σ0 6 σ 6 2
ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî:
1/2−σ X
X 1
t
1
ζ(s) = ζ(σ + it) =
+
exp(−2πiθ(t))
+
s
1−s
n
2π
n
n6y
n6x
+O t
1/2−σ −1+σ
ãäå
θ(t) =
x
+ O y −σ ln t ,
t
t
t
1
ln
−
−
2π 2π 2π 8
h σ0
è ïîñòîÿííûå â çíàêå O çàâèñÿò òîëüêî îò è .
18
Äîêàçàòåëüñòâî ñì. â [26, ñ. 83].
Ëåììà 13. Ïóñòü ïðè íàòóðàëüíûõ ν è m ÷èñëà δ(ν) è a(m) îïðåäåëÿþòñÿ
ñëåäóþùèì ðàâåíñòâîì
X µ2 (r)
X µ(νr)µ(r)
δ(ν) =
ϕ(rν)
rν<Y
r<Y
√
X
a(m) =
nν=m
n6P,ν<Y
Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ îöåíêà
Σ=
X
!−1
ϕ(r)
,
νδ(ν)
√
.
n
(9)
a2 (m) = O(1).
m<P Y
Äîêàçàòåëüñòâî ñì. â [26, ñ. 149].
1.2
Îñíîâíûå ëåììû
 ýòîì ïàðàãðàôå áóäóò äîêàçàíû ëåììû îá îöåíêàõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ èíòåãðàëîâ ñïåöèàëüíîãî âèäà. Ïðè îöåíêå ýòèõ èíòåãðàëîâ èñïîëüçóþòñÿ ìåòîäîì
òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñóìì è êëàññè÷åñêîé îöåíêîé èçâåñòíîé ñóììû Êëîîñòåðìàíà.
 ýòîì ïàðàãðàôå áóäåì óïîòðåáëÿòü ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
ε ïðîèçâîëüíî ÷èñëî,
óñëîâèþ 0 < ε < 0, 01, X > X0 (ε) >
óäîâëåòâîðÿþùåå
√
0, X1 = X 7/8+ε , exp exp 2a ln ln X 6 H 6 X ε , a > 0 ïîñòîÿííàÿ, Y =
p
p
H 0,01 , P0 = X/(2π), P2 = (X + X1 )/(2π), M = [P2 Y ] + 1, L = ln X , 0 <
ν1 , ν2 , ν3 , ν4 < Y öåëûå ÷èñëà, α = ν2 /ν1 , β = ν1 ν4 /(ν2 ν3 ), γ = ν4 /ν3 .
Ëåììà 14. Ïóñòü N < N1 6 2N
ñëåäóþùèìè ðàâåíñòâàìè
Z
X+X1
J=
X
6 P0 α
. Èíòåãðàëû I , J îïðåäåëÿþòñÿ
P0 α<n1 6P2 α n1 β<n2 6n1 β(1+L/H)
1 ig2
×n−ig
n2 exp −
1
H
n2
ln
2
n1 β
2 !
N <n1 6N1 n1 β<n2 6n1 β (1+ HL )
19
2
n1 β
ãäå −M/2 < l 6 M/2 ôèêñèðîâàííîå öåëîå ÷èñëî è g1, g2 ôèêñèðîâàííûå
÷èñëà òàêèå, ÷òî |g1| < 1, |g2| < 1.
Òîãäà ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà
X 1 Y 2 L3
X1 Y 4 L7
J
,I
,
H
H
ãäå ïîñòîÿííûå â çíàêàõ àáñîëþòíûå.
Äîêàçàòåëüñòâî.
J
I) Îöåíèì
. Âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùåé ôîðìóëîé
+∞
Z
exp −t2 − iat dt =
−∞
√
a 2
.
π exp −
2
(10)
Ïðèìåíÿÿ (10), ïîñëåäîâàòåëüíî íàõîäèì:
Z
+∞
J
−
e
−∞
T −X
X1
2
P0 α<n1 6P2 α n1 β<n2 6n1 β(1+ L )
H
×
n2
n1
iT
1 ig2
n−ig
n2 exp −
1
n2
H
ln
2
n1 β
2 !
P0 α<n1 6P2 α n1 β<n2 6n1 β(1+ L )
H
!
i(vX1 +X)
2
H
1 ig2
×
n−ig
n2 exp −
ln
exp
n1
2
n1 β
M
iX ig1
X
X
1
n2 n3
n3
= X1
×
√
n
n
n
n
n
n
n
1
2
3
4
1
4
1
L
Z
+∞
P0 α<n1 6P2 α n1 β<n2 6n1 β(1+ )
H
P0 α<n3 6P2 α
L
n3 β<n4 6n3 β(1+ H
)
2 !
2 !
H
n2
H
n4
exp −
ln
exp −
ln
×
2
n1 β
2
n3 β
Z +∞
2πi(n1 − n3 )l
n
n
2
3
× exp
exp −v 2 + ivX1 ln
dv
M
n
n
1
4
−∞
2 !
X
X
1
X1
n2 n3
X1
exp −
ln
.
√
n
n
n
n
2
n
n
1
2
3
4
1
4
L
n2
×
n4
ig2
P0 α<n1 ,n3 6P2 α P0 γ<n2 ,n4 6P2 γ(1+ )
H
20
Åñëè
|n2 n3 − n1 n4 | > P22 αγ XL1 ,
òî
2X1
2
n1 n4
16
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ÷àñòü ïîñëåäíåé êðàòíîé ñóììû, îòâå÷àþùàÿ òàêèì ñëàãàåìûì, åñòü âåëè÷èíà
X1
J 2
P0 αγ
2
O(e−0,01L ).
R
X
P0 α<n1 ,n3 6P2 α
L
P0 γ<n2 ,n4 6P2 γ(1+ H
)
L
2
|n2 n3 −n1 n4 |6P2 αγ X
1
õîäèò âåëè÷èíû
1+O e
(n1 , n2 , n3 , n4 ),
ïàð
(n2 , n3 )
ãäå
X
R1 =
6
óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì:
P0 α < n1 , n3 6 P2 α,
L
,
P0 γ < n2 , n4 6 P2 γ 1 +
H
L
|n2 n3 − n1 n4 | 6 P22 αγ .
X1
÷èñëà n1 è n4 , òî ÷èñëî âîçìîæíûõ
R1 ,
−0,01L2
X1
−0,01L2
R
+
O
e
,
P02 αγ
÷èñëî âîçìîæíûõ íàáîðîâ
Åñëè çàôèêñèðóåì
X
6
ãäå
Òåì ñàìûì, ïîëó÷àåì:
−P22 αγL/X1 +n1 n4 6m6n1 n4 +P22 αγL/X1
P22 αγL2
.
τ (m)
X1
Îòêóäà ïîëó÷àåì
Xα2 γ 2 L3
P2 γL P22 αγL2
R (P2 − P0 )α
.
H
X1
H
Ñëåäîâàòåëüíî,
X1 Xα2 γ 2 L3
X1 αγL3
X 1 Y 2 L3
J 2 2
=
6
.
P0 α β
H
H
H
I . Êàê ýòî áûëî ñäåëàíî äëÿ J èìååì:
N <n1 ,n3 6N1 n1 β<n2 6n1 β(1+ HL )
n β<n 6n β(1+ L )
II) Îöåíèì òåïåðü
3
4
21
3
H
íå ïðåâîñ-
ãäå
2 !
1
H
n2
η(n1 , n2 , n3 , n4 ) = √
exp −
ln
×
n1 n2 n3 n4
2
n1 β
2 !
2 !
n4
n2 n3
H
X1
ln
ln
× exp −
exp −
.
2
n3 β
2
n1 n4
|n2 n3 − n1 n4 | > N 2 βL/X1 , òî
2X1
2
n1 n4
16
Åñëè
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ÷àñòü ïîñëåäíåé êðàòíîé ñóììû, îòâå÷àþùàÿ òàêèì ñëàãàåìûì, åñòü âåëè÷èíà
2
O(e−0,01L ).
Òåì ñàìûì, ïîëó÷àåì:
−0,01L2
I 6 X1 (Σ + 2 |W |) + O e
ãäå
Σ
,
(11)
÷àñòü ïîñëåäíåé ñóììû, îòâå÷àþùàÿ òàêèì ñëàãàåìûì, ó êîòîðûõ
n2 n3 = n1 n4 ,
à
W
ñëàãàåìûì, ó êîòîðûõ
1 6 n2 n3 − n1 n4 6 N 2 βL/X1 .
Îöåíèì ñóììó
Σ.
Òðèâèàëüíî èìååì:
1
Σ6 2
N β
X
X
1.
N <n1 ,n3 6N1 n1 β<n2 6n1 β(1+ L )
H
L
n3 β<n4 6n3 β(1+ H
)
n1 n4 =n2 n3
Ïóñòü
d = (n1 , n3 ).
Òîãäà
n1 = db,
n3 = da,
(b, a) = 1.
Èç óñëîâèÿ
n1 n4 = n2 n3
ñëåäóåò, ÷òî
n4 = ma
è
n2 = mb.
Îòêóäà ïîëó÷àåì
Σ6
1 X
N 2β
16d6N
X
X
N1
N
d <b,a6 d
L
dβ<m6dβ(1+ H
)
(b,a)=1
22
1.
β = ν1 ν4 /(ν2 ν3 ) è νj , j = 1, 2, 3, 4 öåëûå ÷èñëà. Èìååì
X
X
dν1 ν4 L
1=
16
.
H
L
L
Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî
dβ<m6dβ(1+ H )
dν1 ν4 <mν2 ν3 6dν1 ν4 (1+ H )
Îòêóäà ñëåäóåò
1 X N 2 dν1 ν4 L Y 2 L2
6
.
Σ6 2
N β
d2 H
H
(12)
16d6N
Ðàññìîòðèì ñóììó
W.
Ïóñòü
l = n2 n3 − n1 n4
Òîãäà
N 2 βL
16l6
,
X1
è
d = (n1 , n3 ).
n3 = da,
n1 = db,
(a, b) = 1.
Ñëåäîâàòåëüíî
N 2 βL
,
1 6 l1 6
X1 d
l = dl1 ,
an2 − bn4 = l1 .
Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî
n4 ≡ −l1 b
(mod a)
è
n2 =
bn4 + l1
.
a
Ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé:
1
a
X
2πix(n4 + l1 b)
exp
a
a
− a2 6x< 2
(
1,
=
0,
åñëè
n4 ≡ −l1 b (mod a),
â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ,
W ñëåäóþùèì îáðàçîì:
X 1 X
X 1 X
W =
d N 2 βL N
a a
N
N 2 βL
ïðåîáðàçóåì ñóììó
d6
ãäå
l1 6
X1
d
<b, a6 d1
(b, a)=1
− 2 6x< a2 adβ<n4 6adβ (1+ L )− l1
H
b
iX 0
l1
a i(g1 −g2 )
2πix(n4 + l1 b)
1+
exp
η1 (b, a, l1 , n4 ),
bn4
b
a
X 0 = X + g2 ,
η1 (b, a, l1 , n4 ) =
Â
X1 d
X
W
ñóììèðîâàíèå ïî
n4
e
−( H
2 ln(
bn4 +l1
dabβ
2
2
n4
)) e−( H2 ln( daβ
)) e−
p
bn4 (bn4 + l1 )
èäåò ïî ïðîìåæóòêó
L
adβ < n4 6 adβ 1 +
H
23
−
l1
.
b
X1
2
2
bn4 +l1
ln bn
4
.
(13)
Äîáàâèòü ê
W
òå ñëàãàåìûå, ó êîòîðûõ
L
adβ 1 +
H
l1
L
− < n4 6 adβ 1 +
,
b
H
à ïîòîì îòíÿòü èõ. Ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó:
|W | 6 |W 0 | + |W 00 | ,
ãäå
W 0 ÷àñòü ñóììû W , îòâå÷àþùàÿ òåì n4 , êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ
adβ < n4 6 adβ(1 +
à
(14)
W 00
L
),
H
W , îòâå÷àþùàÿ
L
l1
L
adβ 1 +
− < n4 6 adβ 1 +
.
H
b
H
÷àñòü ñóììû
1) Ðàññìîòðèì ñóììó
W 00 .
Çàìåòèì, ÷òî
N βL
l1
6
X −0,25 .
b
X1
Ïîýòîìó â ïðîìåæóòêå
L
adβ 1 +
H
l1
L
− < n4 6 adβ 1 +
.
b
H
ëèáî íåò öåëîãî ÷èñëà, ëèáî ñîäåðæèòñÿ òîëüêî îäíî öåëîå ÷èñëî, êîòîðîå ðàâíÿåòñÿ
L
.
= adβ 1 +
H
ñóììèðîâàíèå ïî n4 è b. Ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó:
X 1 X
X 1 X
|W 00 | 6
×
d
a
a
a
N
N 2 βL
N 2 βL N
n∗4
Ìåíÿåì ïîðÿäîê
d6
l1 6
X1
X1 d
d
<a6
1
d
− 2 6x< 2
i(g
−g
)
1
2
2πixl1 b
l1
a
1+ ∗
e a η1 (b, a, l1 , n4 )
(b, a)=1
ãäå
l1
N1
;
B = min
d adβ(1 + L/H) − n∗4
×òîáû âûäåëèòü ìíîæèòåëè
2πixl1 b
exp
,
a
24
.
ïðèìåíèì ê ñóììå ïî
b
ïðåîáðàçîâàíèå Àáåëÿ (ñì. ëåììó 7). Ïîëîæèì â ýòîé
ëåììå
2πixl1 b
cb = exp
;
a
iX 0
l1
a i(g1 −g2 )
f (u) = 1 + ∗
η1 (u, a, l1 , n∗4 ).
un4
u
∗
Èç îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè η1 (u, a, l1 , n4 ) (ñì. ôîðìóëó (13)) ñëåäóþò íåðàâåíñòâà:
Y 2d 0
XY 2 Ld
.
f (u) 2 ; f (u)
N
X1 N 2 u
Îòñþäà íàéäåì îöåíêó:
W 00
XY 2 L X X
X1 N 2 N 2 βL N 2 βL
d6
l1 6
X1
X1 d
X
N1
N
d <a6 d
1
a
X
|U | ,
(15)
x = 0,
òî èìååò ìåñòî
− a2 6x< a2
ãäå
2πixl1 b
exp
,
a
X
U=
N
d <b6B1
(a,b)=1
N/d < B1 6 B
íåêîòîðîå ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî. Åñëè
òðèâèàëüíàÿ îöåíêà
N
N
6 .
d
d
U 6 B1 −
Åñëè
x 6= 0,
òî â ñèëó ëåììû 1 èìååì
U a0,5 X 0,01ε (xl1 , a) L.
U
Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå îöåíêè äëÿ
â (15), ïîëó÷èì:
W 00
XY 2 L2 X X
X1 N 2
N 2 βL
N 2 βL
d6
6
X1
l1 6
X1 d
X 1+0,01ε Y 2 L2 X
X1 N 2
N 2 βL
d6
=
X1 d
XY 2 L2 X X
X1 N 2
N 2 βL
N 2 βL
d6
6
l1 6
X1
X 1+0,01ε Y 2 L2 X
X1 N 2
N 2 βL
d6
X1
X1
X
X
1 +
N1
N
d <a6 d
X
N1
N
d <a6 d
N1
N
d <a6 d
− a2 6x< a2
x6=0
N1
N
d <a6 d
X
X
X 0,01ε
√
a
1
√
a
1
√
a
X
X 0,01ε (xl1 , a)
6
√
a
(xl1 , a) + X −0,2 6
− a2 6x< a2
x6=0
X
τ (m) (m, a) + X −0,2 =
2
aβL
16|m|6 N2dX
1
X
τ (m)
2
aβL
16|m|6 N2dX
1
25
X
d1 |(m,a)
ϕ(d1 ) + X −0,2 =
X 1+0,01ε Y 2 L2 X
=
X1 N 2
N 2 βL
d6
X1
N1
N
d <a6 d
X 1+0,01ε Y 2 L2 X
X1 N 2
N 2 βL
d6
1 X
√
ϕ(d1 )
a
X
X1
N1
N
d <a6 d
d6
aβL
16|m|6 N2dX
1
d1 |m
1 N 2 aX 0,01ε βL X ϕ(d1 )
√
+ X −0,2
2dX1
d1
a
d1 |a
X
N1
N
d <a6 d
X1
τ (m) + X −0,2
2
d1 |a
X
X 1+0,01ε Y 2 L2 X
X1 N 2
N 2 βL
X
1 N 2 aX 0,02ε βL
1
√
+ X −0,2 6 .
2dX1
H
a
2) Ðàññìîòðèì ñóììó
W0 =
X 1 X
d N 2 βL
N 2 βL
d6
l1 6
X1
X1 d
l
iX 0 ln 1+ bn1
X
e
4
e
X
N1
N
d <a6 d
1
a
d, a
X
− a2 6x< a2
N1
N
d <b6 d
(a,b)=1
2πix(n4 +l1 b)
a
a i(g1 −g2 )
b
L
adβ<n4 6adβ (1+ H
)
Ïðè ôèêñèðîâàííûõ ÷èñëàõ
X
η1 (b, a, l1 , n4 ).
è l1 , ïîëîæèì
N1
L
N
; M = adβ; M1 = adβ 1 +
;
B = ; B1 =
d
d
H
a i(g1 −g2 )
l
2πix(n4 +l1 b)
iX 0 ln 1+ bn1
4
a
ϕ(b, n4 , x) = e
η1 (u, a, l1 , v).
e
; h(u, v) =
u
Ïóñòü
X
X
X
− a2 6x< a2
N
d <b6u
adβ<n4 6v
F (u, v) =
ϕ(b, n4 , x).
(a,b)=1
Èç îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè
η1 (u, a, l1 , v)
(ñì. (13)) íàõîäèì íåðàâåíñòâà:
L2
HL
HL3
1
; |hu (u, v)| 2 ; |hv (u, v)| 2 ; |huv (u, v)| 2 2 .
|h(u, v)| 6
uv
uv
uv
uv
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ñóììó:
X
S=
X
− a2 6x< a2 N <b6 N1
d
d
X
ϕ(b, n4 , x)h(b, n4 ).
L
adβ<n4 6adβ (1+ H
)
(a,b)=1
Ïðèìåíèì ïðåîáðàçîâàíèÿ Àáåëÿ ê ñóììå ïî
Z
B1
Z
M1
Z
B
M
n4
â
S.
Ïîëó÷àåì:
F (u, M1 )hu (u, M1 )du−
B
26
è
B1
F (u, v)huv dudv −
S=
b
(16)
M1
Z
−
F (B1 , v)hv (B1 , v)dv + F (B1 , M1 )h(B1 , M1 ).
M
Ïåðåõîäÿ ê íåðàâåíñòâó, ïîëó÷èì:
S F (B2 , M2 )
L4 d
,
N 2β
ãäå
F (B2 , M2 ) = max |F (u, v)| .
B<u6B1
M <v6M1
B , B2 çàâèñÿò îò d, à M , M2 çàâèñÿò
d, óäîâëåòâîðÿþùèõ a N/d, âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ:
Çàìåòèì, ÷òî ÷èñëà
è
B B2
îò
a, d .
Äëÿ ëþáûõ
a
N
N βL
; M M2 N β; M2 − M
.
d
H
Ïîñòàâëÿÿ ïîëó÷åííóþ îöåíêó â ôîðìóëó, îïðåäåëÿþùóþ
|W 0 |
X
X
(17)
X
2
2
ïîëó÷èì:
L4
K,
N 2β
ãäå
K=
W 0,
d6 NXβL l1 6 NX βL
d
1
1
N1
N
d <a6 d
1
×
a
0
2πix(n
+l
b)
4
1
iX ln 1+ bn
− a2 6x< a2 B<b6B2 M <n4 6M2
(a,b)=1
K íà äâå ñóììû: K1 ÷àñòü ýòîé ñóììû,
ãàåìûì ñ óñëîâèåì x 6= 0, K2 îñòàëüíûì ñëàãàåìûì.
2.1) Îöåíèì ñóììó K2 . Ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé
(
X
1, åñëè (b, a) = 1,
µ(d1 ) =
0, åñëè (b, a) > 1,
d /(b,a)
Ðàçîáüåì ñóììó
îòâå÷àþùàÿ ñëà-
1
ïðåîáðàçóåì ñóììó
K2 =
X
K2
X
2
2
d6 NXβL l1 6 NX βL
d
1
òàê:
1
X
N1
N
d <a6 d
M <n4 6M2 B<b6B2
d1 |(a,b)
Îòñþäà ñëåäóåò íåðàâåíñòâî:
K2 6
X
2
X
2
X 1
d1
N
d1 6
d6 NXβL l1 6 NX βL
d
1
1
27
1
d
X
N1
N
dd1 <a1 6 dd1
1
×
a1
d
d
1
1
K2.2 , ãäå
ñëàãàåìûå ñ d1 6
Ðàçîáüåì ïîñëåäíþþ ñóììó íà äâå ñóììû
d1 >
ñëàãàåìûå, ó êîòîðûõ
òðèâèàëüíî ñóììó
X
X1 , à â
K2.1 ,
K2.2
X
X
2
2
X
d6 NXβL l1 6 NX βL
d
1
X
N1
N
dd1 <a1 6 dd1
Îöåíèì ñóììó
K2.2 .
1
a1
1
N1
X
X1 <d1 6 d
X
X
M <n4 6M2
B2
B
d1 <b1 6 d1
1
×
d1
N 2 Y 2 L2
1
.
H
X
0
exp iX ln 1 +
B2
B
d1 <b1 6 d1
íàõîäèì
K2.1 âõîäÿò
X
X1 . Îöåíèâàÿ
â
Ïóñòü
K2.3 =
Ïðèìåíÿÿ ê ñóììå
è
ïîëó÷àåì:
|K2.1 |
×
K2.1
K2.3
l1
d1 b1 n4
.
ëåììó 4 è ïîëàãàÿ â íåé
B
B2
X0
l1
a= , b=
, ϕ(z) = 1, f (z) =
ln 1 +
,
d1
d1
2π
d1 zn4
X N βL < X −0,1 < 1,
|f 0 (z)| =
1
Äëÿ îöåíêè
K2.3
âîñïîëüçóåìñÿ ëåììîé 2. Íàõîäèì îöåíêó:
Xl1 d2 d1
1
Òåì ñàìûì, ïîëó÷àåì:
K2.3
N 3β
+ 1.
Xl1 d2 d1
Òàêèì îáðàçîì, ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó:
|K2.2 |
X
X
X 1
d1
X
2
2
d1 6 X
d6 NXβL l1 6 NX βL
1
d
1
1
X
N1
N
dd1 <a1 6 dd1
28
1
a1
X
M <n4 6M2
N 3β
+1 .
Xl1 d2 d1
Ñëåäîâàòåëüíî
N 2 Y 2 L3
.
H
K2.2
Èç îöåíîê äëÿ
K2.1
è
K2.2
ñëåäóåò, ÷òî
N 2 Y 2 L3
K2
.
H
2.2) Îöåíèì òåïåðü ñóììó
K1
(18)
ñâåðõó. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî
N > X10,5−0,5ε .
1 6 l1 6 βLX −ε < 1. Êðîìå ýòîãî, èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
l1
X
Xl1
exp 2πi
ln 1 +
= exp 2πi
+ O X −0,7 .
2π
bn4
2πbn4
Åñëè ýòî íå òàê, òî
Òàêèì îáðàçîì, èìååì
|K1 | 6
X
X
2
X
2
d6 NXβL l1 6 NX βL
d
1
1
N1
N
d <a6 d
1
×
a
(19)
ãäå
X
S=
B<b6B2
(b,a)=1
iXl1
exp
bn4
2πixl1 b
exp
.
a
Äàëåå, ïðèìåíèì ïðåîáðàçîâàíèå Àáåëÿ ê ñóììå
S.
Ïîëó÷àåì:
S = S1 + S2 ,
(20)
ãäå
Z
B2
S1 =
B
X
B<b6u
(b,a)=1
S2 =
iXl1
iXl1
2πixl1 b
du,
exp
exp
a
un4
u2 n4
X
B<b6B2
(b,a)=1
2πixl1 b
iXl1
exp
exp
.
a
B2 n4
Îñâîáîäèìñÿ îò çàâèñèìîñòè ïðåäåëà ñóììèðîâàíèÿ ïî
b
â ñóììå
ðåìåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ. Ïîëó÷àåì:
1 X
S1 =
a a
X
− 2 6y< a2 B<b6B+a
(b,a)=1
2πi(xl1 b + yb)
exp
×
a
29
S1
îò ïå-
Z
B2
×
B
2πiyr
iXl1 iXl1
exp −
exp
du.
a
un4 u2 n4
X
B<r6u
(21)
Ïîäñòàâëÿÿ (20) è (21) â (19), ïîëó÷èì:
N2
K1 6 K3 + K4 + O
X
X
2
X
2
N1
N
d <a6 d
d6 NXβL l1 6 NX βL
d
1
1
,
X 0,075+ε
ãäå
K3 =
1
a
X
×
− a2 6x< a2
x6=0
(b,a)=1
X X
X 1 X
K4 =
×
2
a
a
a
N
N 2 βL
N 2 βL N
d6
l1 6
X1
d
X1 d
<a6
− 2 6y< 2
1
d
×
X
e−
2πiyr
a
M <n4 6M2
B<r6u
Ðàçîáüåì ñóììó
K6
xn
Xl
2πi a 4 + 2πun1 iXl1
K4 íà 3 ñóììû: K5 îòâå÷àåò òàêèì ñëàãàåìûì, ó êîòîðûõ y = 0,
ñëàãàåìûì, ó êîòîðûõ
y 6= 0
K7
X
x<
è
Xl1 a
2πuM22
ëèáî
x>
Xl1 a
,
2πuM 2
ñëàãàåìûì, ó êîòîðûõ
y 6= 0
è
Xl1 a
Xl1 a
6
x
6
.
2πuM22
2πuM 2
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì:
N2
|K1 | 6 |K3 | + |K5 | + |K6 | + |K7 | + O
a) Îöåíèì
K3 .
X 0,075+ε
Èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî:
|K3 | 6
X
2
X
2
d6 NXβL l1 6 NX βL
d
1
1
X
N1
N
d <a6 d
30
1
a
X
− a2 6x< a2
x6=0
|U | |E| ,
.
(22)
ãäå
X
U=
B<b6B2
(a,b)=1
X
E=
2πixl1 b̄
exp
,
a
M <n4 6M2
Xl1
xn4
exp 2πi
+
a
2πB2 n4
.
 ñèëó ëåììû 1 èìååì
U a0,5 X 0,01ε (xl1 , a) L.
E.
Îöåíèì ñóììó
Çàìåíèì ñóììó
E
èíòåãðàëîì, ïðèìåíèâ ëåììó 4. Âñå óñëî-
âèÿ ëåììû âûïîëíÿþòñÿ. Ïîëó÷èì:
Z
M2
Xl1
xz
exp 2πi
+
dz + O(1).
a
2πB2 z
E=
M
Åñëè
x < 0 èëè x > 2Xl1 /(πN 2 β 2 ), òî ïðèìåíèì ê ïîñëåäíåìó èíòåãðàëó ëåììó
2. Âñå óñëîâèÿ ëåììû âûïîëíÿþòñÿ. Íàõîäèì îöåíêó
E
Åñëè
a
.
|x|
0 < x 6 2Xl1 /(πN 2 β 2 ), òî äëÿ îöåíêè ïîñëåäíåãî èíòåãðàëà âîñïîëüçóåì-
ñÿ ëåììîé 3. Ïîëàãàÿ â ýòîé ëåììå
xz
Xl1
+
,
a
2πB2 z
f (z) =
íàéä¼ì
f 0 (z) =
x
Xl1
−
,
a 2πB2 z 2
Ñëåäîâàòåëüíî
U
Èç ïîëó÷åííûõ îöåíîê äëÿ
K3
X
2
X
2
+
1
N1
N
d <a6 d
1
a
0,5
a X
X
X
−a/26x<a/2
x6=0
0,01ε
0<x62Xl1 /(πN 2 β 2 )
6 2X 0,01ε L
X
2
d6 NXβL
1
Xl1
Xl1 d
>
> 0.
πB2 z 3
πN 4 β 3
N 2 β 1,5
E√
.
Xl1 d
E ñëåäóåò, ÷òî
X
d6 NXβL l1 6 NX βL
d
1
è
f 00 (z) =
X √
N1
N
d <a6 d
31
a1,5 X 0,01ε (xl1 , a) L
+
|x|
2 1,5
(xl , a) LN β
√ 1
Xl1 d
a
X
6
X (xl1 , a)
+
x
a
2
0<x6 2
l1 6 NX βL
d
1
N 2 β 1,5 X 0,01ε L X 1
√
√
+
X
d
N 2 βL
d6
x
Âíóòðåííÿÿ ñóììà ïî
çîì:
X1
1 X
√
a N 2 βL
X
N1
N
d <a6 d
l1 6
1
è l1 â ïåðâîì ñëàãàåìîì îöåíèâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðà-
2
0<x6 2
l1 6 NX βL
d
l1 6
1
N 2 βL
X1 d
2XL
0<x6 πX
dβ
(xl1 , a)
√ .
l1
X (xl1 , a) N 2 βL X X (xl1 , a)
6
=
x
X
d
l
x
1
1
a
a
N 2 βL
X
=
X1 d
X
X
τ (m)
2
16m6 N2XaβL
d
(m, a) N 2 βL
=
m
X1 d
1
=
X1 d
0<x6 2
X
2
16m6 N2XaβL
d
τ (m) X
ϕ(d1 ) =
m
d1 |(m,a)
1
N 2 βL X
ϕ(d1 )
X1 d
d1 |a
X
2
τ (m)
m
16m6 N2XaβL
1d
d1 |m
N 2 X 0,02ε βL2
N 2 X 0,01ε βL2 X ϕ(d1 )
.
X1 d
d1
X1 d
d1 |a
Ïî àíàëîãèè èìååì:
X
X
2
2XL
0<x6 πX
l1 6 NX βL
1 dβ
d
(xl1 , a)
X 1+0,02ε N L2
√
p
.
l1
(X1 d)3 β
1
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì
X
K3 Y L
2
d6 NXβL
1
X √ N 2 X 0,02ε βL2
a
+
X
d
1
N
N
d
<a6
N 2 β 1,5 Y L X 1
√
+ √
X
d
2
N βL
d6
X1
1
d
X
N1
N
d <a6 d
1 X 1+0,02ε N L2
√ p
a
(X1 d)3 β
N 3,5 X 0,02ε Y βL3 X 0,5+0,02ε N 3,5 Y βL3
N2
+
<
.
X1
H
X11,5
b) Îöåíèì ñâåðõó ñóììó
2
2
N
N
− 2 6x< 2 B<b6B+a
<a6 d1
d6 NXβL l1 6 NX βL
X
X
xn4
Xl1
2πi a + 2πun iXl1
Ñóììà ïî
îöåíêà
b â K5 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó Ðàìàíóäæàíà. Äëÿ íå¼ ñïðàâåäëèâà
Îòêóäà òðèâèàëüíî èìååì:
X
K5 6
X
2
X
2
d6 NXβL l1 6 NX βL
d
1
X
×
a
− a2 6x< 2
x6=0
ãäå
B < u0 6 B2
1
N1
N
d <a6 d
X
e
1
×
a2
Xl
xn
2πi a 4 + 2πu01n
4
M <n4 6M2
íåêîòîðîå ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî. Ïðèìåíèì ê ñóììå ïî
n4
ïðåîáðàçîâàíèå Àáåëÿ. Ïîëó÷àåì
ãäå
xn
Xl
2πi a 4 + 2πu01n
X
e
4
M <n4 6M2
M < M3 6 M2
íåêîòîðîå ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî. Ïîñëåäíÿÿ ñóììà ïî
óæå îöåíåíà â ïóíêòå a). Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì:
X
K5 6
X
2
2
X
d6 NXβL l1 6 NX βL
d
1
1
N1
N
d <a6 d
1
×
a2
Xl1 X
a
×
(xl1 , a) +
2
Nβ
x
a
0<x6 2
X
0<x XXL
βd
N 2 β 1,5
(xl1 , a) √
.
Xl1 d
1
Ïîñëå íåñëîæíûõ âû÷èñëåíèé ïðèõîäèì ê îöåíêå
N2
K5
.
H
c) Îöåíèì ñóììó
K6 =
X
2
X
2
d6 NXβL l1 6 NX βL
d
1
1
X
N1
N
d <a6 d
x∈
/ [Xl1 a/(2πuM22 ),Xl1 a/(2πuM 2 )]
y6=0
X
×
e
2πi(xl1 b+yb)
a
X
e−
2πiyr
a
e
X
4
n4
M <n4 6M2
N
d <r6u
B<b6B+a
(b,a)=1
Xl
xn
2πi a 4 + 2πun1
 ñèëó ëåììû 1 èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
X
B<b6B+a
(b,a)=1
2πi(xl1 b + yb)
exp
a
a0,5 X 0,01ε (a, y) .
(23)
Êðîìå ýòîãî, ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî:
|y|
(24)
B<r6u
Îòêóäà ïîëó÷àåì
X 1 X (a, y)
X 1+0,01ε X X
√
K6
l1
×
N
|y|
a
a
a
N
N
N 2 βL
N 2 βL
d6
X1
l1 6
d
X1 d
<a6
− 2 6y< 2
y6=0
1
d
X
×
|Q| ,
(25)
x∈
/ [Xl1 a/(2πu0 M22 ),Xl1 a/(2πu0 M 2 )]
x6=0
ãäå
B < u0 6 B2
íåêîòîðîå ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî è
Q=
e
X
xn
Xl
2πi a 4 + 2πu 1n
0 4
M <n4 6M2
Ïðèìåíÿÿ ê
Q
.
n4
ïðåîáðàçîâàíèÿ Àáåëÿ, ïîòîì ïåðåõîäÿ îò ïîëó÷èâøåãî ðàâåí-
ñòâà ê íåðàâåíñòâó, ïîëó÷èì:
Q
1
|Q1 | ,
Nβ
ãäå
Q1 =
xn
Xl
2πi a 4 + 2πu 1n
X
e
0 4
,
M <n4 6M3
ãäå
M < M3 6 M2 íåêîòîðîå ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî. Çàìåíèòü Q1 èíòåãðàëîì,
ïðèìåíèâ ê íåé ëåììó 4. Ïîëàãàÿ â ýòîé ëåììå
ϕ(z) = 1, f (z) =
íàõîäèì
xz
Xl1
+
,
a
2πu0 z
Ïîëó÷èì:
M3
Z
Xl1
xz
exp 2πi
+
a
2πu0 z
Q1 =
M
dz + O (1) .
Îöåíèì ïîñëåäíèé èíòåãðàë â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèÿ
x.
Åñëè
x < 0,
òî ýòîò
èíòåãðàë îöåíèâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ëåììû 2. Ïîëó÷àåì
Q1
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè
Ïóñòü
x<0
a
.
|x|
èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî:
0 < x < Xl1 a/(2πu0 M22 )
Q
a
.
N β |x|
ëèáî
x > Xl1 a/(2πu0 M 2 ).
Îöåíèì ïîñëåäíèé
èíòåãðàë äâóìÿ ñïîñîáàìè. Ïðèìåíÿåì ê ýòîìó èíòåãðàëó ëåììó 3. Ïîëó÷àåì:
M3
M
Xl1
xz
exp 2πi
+
a
2πu0 z
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè
f 0 (z) =
√
Xl1 d
0 < x < Xl1 a/(2πu0 M22 ),
òî
x
x
Xl1
Xl1
x
Xl1
6 −
−
6 −
< 0.
2
2
a 2πu0 z
a 2πu0 M3
a 2πu0 M22
B ñèëó ëåììû 2 èìååì
M3
M
Xl1
xz
+
exp 2πi
a
2πu0 z
−
a 2πu0 M 2
.
3
0 < x < Xl1 a/(2πu0 M22 ) äëÿ Q1 ñïðàâåäëèâà
!
−1
2 3/2
x
Xl1
N β
Q1 min
a − 2πu0 M 2
, √Xl d + O(1).
1
3
Òàêèì îáðàçîì, ïðè
îöåíêà:
Ñëåäîâàòåëüíî,
!
−1
2 3/2
1
x
Xl
N
β
1
1
,√
Q
min
−
+O
.
Nβ
a 2πu0 M32
Nβ
Xl1 d
À åñëè
x > Xl1 a/(2πu0 M 2 ),
f 0 (z) =
òî
x
Xl1
x
Xl1
−
>
−
> 0.
a 2πu0 z 2
a 2πu0 M 2
x > Xl1 a/(2πu0 M 2 ) äëÿ Q ñïðàâåäëèâà îöåíêà:
!
−1
2 3/2
x
1
Xl
1
N
β
1
Q
min
a − 2πu0 M 2
, √Xl d + O N β .
Nβ
1
Ïî àíàëîãèè ïðè
35
Ïîäñòàâëÿåì âûøå ïîëó÷åííûå îöåíêè äëÿ
Q
â (25):
X 1
X 1+0,01ε X X
√ ×
l
K6
1
N 2β
a
N
N
N 2 βL
N 2 βL
d6
l1 6
X1
d
X1 d
<a6
1
d
X (a, y)
×
|y|
a
a
− 2 6y< 2
y6=0
X
1+
X
− a2 6x<0
− a2 6x<a/2
a
+ G + G1
,
|x|
(26)
x6=0
ãäå
!
−1
2 3/2
x
N β
Xl1
√
G=
min
,
−
,
a 2πu0 M 2
Xl
d
1
3
16x<a/2
!
−1
2 3/2
X
x
N
β
Xl
1
G1 =
min
a − 2πu0 M 2
, √Xl d .
1
16x<a/2
X
Ïðèìåíèòü ê ñóììå
G
ëåììó 6. Ïîëîãàÿ â ýòîé ëåììå
a
1
N 2 β 3/2
;
P = ,α = ,U = √
2
a
Xl1 d
íàõîäèì
N 2 β 3/2
+ aL.
G √
Xl1 d
Ïî àíàëîãèè èìååì
Îöåíèòü âíóòðåííþþ ñóììó
X (a, y)
=
|y|
a
a
− 2 6y< 2
y6=0
N 2 β 3/2
G1 √
+ aL.
Xl1 d
ïî y â ïðàâîé ÷àñòè (26)
X
− a2 6y< a2
y6=0
6L
ñëåäóþùèì îáðàçîì:
X 1
X
1 X
∗
∗
ϕ(d ) =
ϕ(d )
6
|y| ∗
|y|
a
a
∗
d |a
d |(a,y)
X ϕ(d∗ )
d∗ |a
− 2 6y< 2
y6=0, d∗ |y
X 0,01ε L.
d∗
Ïîäñòàâèòü ïîëó÷åííûå îöåíêè â (26). Ïîëó÷àåì:
X 1
X 1+0,02ε L X X
N 2 β 3/2
√
K6
l1
aL + √
N 2β
a
Xl
d
1
N1
N
N 2 βL
N 2 βL
d6
X1
l1 6
d
X1 d
<a6
d
X 1+0,02ε N 3,5 Y 2 L4 X 0,5+0,02ε N 3,5 Y 2 L3
N2
+
<
.
X12
H
X11,5
36
(27)
c) Îñòàåòñÿ îöåíèòü ñóììó
X
X
K7 =
X
2
2
N
N
<a6 d1
d6 NXβL l1 6 NX βL
1
1d d
×
X
e
2πi(xl1 b+yb)
a
P
P
e−
2πiyr
a
B<r6u
B<b6B+a
(b,a)=1
×åðåç
X
y6=0
e
X
X
Xl
xn
2πi a 4 + 2πun1
4
n4
M <n4 6M2
áóäåì îáîçíà÷àòü âíóòðåííþþ ñóììó ïî
×
Xl1 a
Xl1 a
6x6 2πuM
2
2πuM22
n4
â ïðàâîé ÷àñòè. Çàìåíèòü
èíòåãðàëîì, ïðèìåíèâ ê íåé ëåììó 4. Íàõîäèì:
Z
M2
P =
M
1
xz
Xl1
1
exp 2πi
+
dz + O
.
z
a
2πuz
Nβ
Äàëåå, ïðèìåíèòü ê ïîñëåäíåìó èíòåãðàëó ìåòîä ñòàöèîíàðíîé ôàçû (ëåììà
5). Ïîëàãàÿ â íåé
N 4β 3
1
xz
Xl1
1
,A =
, U = N β, ϕ(z) = , f (z) =
+
.
H=
Nβ
Xl1 d
z
a
2πuz
Çàìåòèì, ÷òî óñëîâèå
AU
íå âûïîëíÿåòñÿ, îäíàêî, ëåììà 5 îñòàåòñÿ ñïðà-
O(H)
âåäëèâîé è áåç ýòîãî òðåáîâàíèÿ, åñëè îñòàòîê
çàìåíèòü íà
O(HAU −1 ).
Âñå îñòàëüíûå óñëîâèÿ âûïîëíÿþòñÿ; íàõîäèì:
1+i
P = √
2
2πua
Xl1 x
1/4
r
exp 4πi
Xl1 x
2πua
!
+ O(R),
ãäå
!
−1
2 3/2
N β
1
N β
1
x
Xl1
√
+
+
min
−
R=
,
+
N β Xl1 d N β
a 2πuM 2
Xl1 d
!
−1
2 3/2
N β
1
x
Xl1
√
+
min
−
,
.
a 2πuM 2
Nβ
Xl1 d
2
2
Ïîäñòàâëÿåì ýòó àñèìïòîòè÷åñêóþ ôîðìóëó â
K7 .
Ïîëó÷àåì:
|K7 | |K7.1 | + |K7.2 | ,
K7.1 ÷àñòü ñóììû K7 , îòâå÷àþùàÿ ãëàâíîìó ÷ëåíó àñèìïòîòè÷åñêîé ôîðìóëû, à K7.2 îñòàòî÷íîìó.
Îöåíèì K7.2 . Ñíà÷àëî èìååì:
X X
X 1 X √
a Xl1 d
|K7.2 |
aY
(a,
y)
×
2
a
|y|
N
a
a
N
N 2 βL
N 2 βL N
ãäå
d6
X1
l1 6
X1 d
d
<a6
1
d
37
− 2 6y< 2
y6=0
×
Xl
!
−1
2 3/2
x
N β
N β
1
Xl1
1
,√
+
+
min
−
+
2
N β Xl1 d N β
a 2πuM
Xl1 d
2
X
x N 2 β12
!!
−1
2 3/2
x
N β
Xl1
1
,√
min
−
.
+
2
Nβ
a 2πuM2
Xl1 d
Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü âûøå ïîëó÷åííûìè íåðàâåíñòâàìè (23) è (24). Ïðèìåíèì ê âíóòðåííåé ñóììå ïî
XY
|K7.2 |
N
x
X
ëåììó 6, ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó:
d
2
d6 NXβL
1
X
X
l1
2
l1 6 NX βL
1d
N1
N
d <a6 d
1 X (a, y)
√
×
|y|
a a
a
− 2 6y< 2
y6=0
1
aL
N β 1/2
Xl1
×
+
+
+√
.
N 3 β 3 dβ N β
Xl1 d
Ïîëüçóÿñü íåðàâåíñòâîì (27), ïîëó÷èì:
X 2+0,01ε Y L4 N 2,5 X 1+0,01ε N 3,5 Y L3
+
+
|K7.2 |
X13
X12
N2
X 2+0,01ε N 3,5 Y 3 L3 X 0,5+0,01ε N 3,5 Y 3 L2,5
+
.
+
3/2
X12
H
X
1
Ðàññìîòðèì
K7.1 .
Ìåíÿåì ïîðÿäîê ñóììèðîâàíèÿ ïî
Ïîëó÷àåì
K7.1 =
X
X
X
2
2
N
N
<a6 d1
d6 NXβL l1 6 NX βL
1
1d d
1
a2
X
x
è èíòåãðèðîâàíèÿ.
×
− a2 6y< a2
y6=0
1/4
Z U1 X
q
1/4
Xl
x
1
2πiyr (1 + i)(2π)
au
Xl1 4πi 2πua
a
Xl1 x
u2
2
U B<r6u
ãäå
Xl1 a
N
N
Xl1 a
U = max B,
,
U
=
min
B
,
.
1
2
2πxM22
d
2πxM 2
d
Ñ ïîìîùüþ îöåíêè ñóììû Êëîîñòåðìàíà ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó:
K7.1 X
3/4
L
X
2
X
2
d6 NXβL l1 6 NX βL
d
1
38
1
3/4
l1 ×
1
X
×
N1
N
d <a6 d
X
a5/4 − a 6y< a
2
Xl
x (N β)1 2
2
y6=0
X
(a, y)X 0,01ε
1
x1/4
×
a
2πua u
(28)
B<r6u
Ðàññìîòðèì ïîñëåäíèé èíòåãðàë. Ïóñòü
r
g(u) = 2
Xl1 x
.
2πua
Òîãäà ëåãêî íàõîäèì
r
0
g (u) = −
Ïóñòü
r 6 U.
Xl1 x
<−
2πu3 a
Xl1 x
< 0,
2πU13 a
Xl1 d2
g (u)
.
N 3β
0
Ïî ëåììå 2 èìååì
(− 2πiyr
a )
X
Z
U1
2πig(u)
e
e
U
B<r6U
Ïóñòü
s
N 9/4 β
du
.
u7/4
Xl1 d5/4 |y|
1
r > U . Ïîìåíÿåì ïîðÿäîê ñóììèðîâàíèå è èíòåãðèðîâàíèÿ.
Z U1 X
Z U1
X
2πiyr
1
2πig(u)
−
− 2πiyr
2πig(u) 1
a
du
=
e
du.
e a e
e
7/4
u7/4
u
U U <r6u
r
U <r6U
1
Äàëåå, èíòåãðèðóåì èíòåãðàë ïî ÷àñòÿì, çàíåñÿ ýêñïîíåíòó ïîä äèôôåðåíöèàëîì. Ïîëó÷àåì:
U1
Z
e2πig(U1 )
e2πig(r)
du =
−
−
u7/4
2πig 0 (U1 )(U1 )7/4 2πig 0 (r)r7/4
Z U1
1
−
e2πig(u) d
.
2πig 0 (u)u7/4
r
2πig(u)
e
r
1
Îòêóäà ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó:
X
U <r6U1
− 2πiyr
a
e(
)
Z
r
U1
g 0 (U1 )(U1 )7/4
u7/4
1
U <r6U1
g
(r)r
g
(u)u
U
U <r6U1
U <r6u
Xl1 x
yr
2πi − a +2 2πra
Nβ
N
1
×åðåç
S
áóäåì îáîçíà÷àòü ñóììó ïî
r.
S
Ïðèìåíÿÿ ê
ïðåîáðàçîâàíèå Àáåëÿ,
ïîòîì ïåðåõîäÿ ê íåðàâåíñòâó, ïîëó÷àåì:
U <r6U
5/4
2
ãäå
r
U < U2 6 U1
íåêîòîðîå ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî. Äàëåå, çàìåíèòü ñóììó ïî
èíòåãðàëîì, ïðèìåíèâ ëåììó 4. Ïîëó÷àåì:
yr
exp 2πi − + 2
a
X
U <r6U2
Z
U2
exp 2πi −
=
U
yv
+2
a
r
r
!!
Xl1 x
2πra
Xl1 x
2πva
=
!!
dv + O(1).
Îöåíèì ïîñëåäíèé èíòåãðàë ñâåðõó â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèÿ
ýòîò èíòåãðàë ÷åðåç
V.
Îáîçíà÷èì
Åñëè
r
y<−
òî äëÿ îöåíêè èíòåãðàëà
V
2Xl1 xad3
=D
πN 3
D 6 y < 0,
a
> y > 0,
2
V
4
a
.
|y|
V
ïðèìåíÿÿ ê
s
Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü
èëè
âîñïîëüçóåìñÿ ëåììîé 2. Ïîëó÷èì:
V
 ñëó÷àå êîãäà
y.
ëåììó 3, ïîëó÷èì
N 5a
N 2 β 1/2
√ 3
.
Xl1 xd5
d Xl1
x Xl1 /(N 2 β 2 ).
Èç ïîëó÷åííûõ îöåíîê ñëåäóåò, ÷òî
K7.1 X 3/4+0,01ε L
X
2
X
2
d6 NXβL l1 6 NX βL
d
1
1
3/4
1
X
l1
N1
N
d <a6 d
a5/4
X
Xl
x (N β)1 2
1
x1/4
×
N 9/4 β
×
Xl1 d5/4
X (a, y)
N 5/4 β X
a
+
(a, y)
+1 +
1/4
|y|
|y|
Xl
1d
a
a
a
a
− 6y<
− 6y<
2
y6=0
2
2
y6=0
5/4
+
2 1/2
2
N β X N β (a, y)
√
.
Xl1 d1/4 D6y<0
Xl1 d3
40
Âíóòðåííèå ñóììû ïî
y
îöåíèâàþòñÿ ñâåðõó ïî àíàëîãèè ñ òåì, êàê áûëî ïîëó-
÷åíî íåðàâåíñòâî (27). Êðîìå ýòîãî, èìååì:
r
−
Xl1 d
2Xl1 xad3
=
D
.
πN 3
N 2β
Ïîñëå íåñëîæíûõ âû÷èñëåíèé ïîëó÷èì:
X
K7.1 X 3/4+0,01ε L
X
2
3/4
2
d6 NXβL l1 6 NX βL
d
1
1
1
X
l1
N1
N
d <a6 d
a5/4
X
Xl
x (N β)1 2
1
x1/4
×
√
X 0,5+0,02ε N 2,5 β 2 L2
N 9/4 X 0,01ε βL N 5/4 X 0,01ε β
√
×
+
+
X1
Xl1 d5/4
Xl1 d3/4
N2
X 1+0,01ε N 3,5 βL2
.
+
X12
H
îöåíîê äëÿ K7.1 è K7.2 ñëåäóåò, ÷òî
Èç
Èç (18), (22) è îöåíîê äëÿ ñóìì
Èç (11), (12), (14), (16), (17) è
N2
K7 <
.
H
Kj , j = 3, 5, 6, 7, 8,
ïîëó÷àåì:
N 2 Y 2 L3
.
K
H
îöåíêè äëÿ K ñëåäóåò:
I
X1 Y 4 L 7
.
H
Ëåììà 15. Ïóñòü
X
Q(T ) =
P0 α
1+ L
H
X
L
<n1 6P α P γ<n2 6P0 γ (1+ H
)
1
√
n1 n2
n2
n1
iT
2
n
H
ig2 −ig1 − 2 ln n12β
n2 n1 e
.
Òîãäà èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
Z
X+X1
I=
Äîêàçàòåëüñòâî.
X
×åðåç
D(n, T )
X1 L7
|Q(T )| dT
.
H
îáîçíà÷àåì ñëàãàåìîå ñóììû
Q(T ).
Ñïðàâåä-
ëèâà ñëåäóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîîòíîøåíèé
P0 α <n 6P α P γ<n 6P γ 1+ L P0 α <n0 6P α P γ<n0 6P γ 1+ L M
0 (
1+ HL 1 2 0 2 0 ( H ) 1+ HL 1
2
H)
41
M
−1 M
−1
X
X
×
D(n, T )e
l(n −n0 )
2πi 1M 1
l0 (n −n0 )
2πi 2M 2
e
l=0 l0 =0
1+0HL <n1 6P2 α P0 γ<n2 6P0 γ (1+ HL )
Îòêóäà ïîëó÷àåì
I6L
2
Z
X+X1
|Q0 (T )| dT,
(29)
X
ãäå
X
0
Q (T ) =
P0 α
1+ L
H
0 6 l, l0 < M
X
2πi
D(n, T )e
ln1
M
2πi
e
l 0 n2
M
,
L
<n1 6P2 α P0 γ<n2 6P0 γ (1+ H
)
íåêîòîðûå ôèêñèðîâàííûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Ïóñòü
P0 α
, B = P2 α,
1 + HL
H
v 2
L
A1 = P0 γ, B1 = P0 γ 1 +
, g(u, v) = e−( 2 ln uβ ) ,
H
0n
X
X
1
1
1
2
i(T −g1 ) 2πi ln
i(T +g2 ) 2πi l M
e M
e
.
F (u, v) =
√ (n1 )
√ (n2 )
n1
n2
A=
A1 <n2 6v
A<n1 6u
Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà:
HL
HL
H 2 L2
g(u, v) 6 1; gu (u, v)
; gv (u, v)
; guv (u, v)
.
u
v
uv
n1
Ïðèìåíÿÿ ê ñóììå ïî
Z
0
B
Z
è
n2
â
Q(T )
ïðåîáðàçîâàíèå Àáåëÿ, ïîëó÷èì
B1
Z
B
F (u, v)guv (u, v)dudv −
Q (T ) =
A
F (u, B1 )gu (u, B1 )du−
A
A1
Z
B1
−
F (B, v)gv (B, v)dv + F (B, B1 )g(B, B1 ).
A1
Îòêóäà ñëåäóåò
Z
X+X1
|Q0 (T )| dT L4 I1 ,
(30)
X
ãäå
Z
X+X1
X+X1
|F (u, v)| dT =
I1 = max
A<u6B
A1 <v6B1
Z
X
X
42
|F (B 0 , B10 )| dT.
Ïðèìåíÿÿ ê
I1
èíòåãðàëüíîå íåðàâåíñòâî Êîøè, ïîëó÷èì
p
I1 6
ãäå
(31)
i(T −g1 ) 2πi ln
M
J1 =
e
√ (n1 )
Z
Îöåíèì
J1 .
X+X1
Èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
X
J1 X1
P0 α
1+ L
H
Åñëè
J1 J2 ,
n1 6= n3 ,
<n1 , n3 6P2 α
1
−
e
√
n1 n3
X1
2
n
ln n1
2
3
.
òî
X + X1
Ñëåäîâàòåëüíî,
−
e
X1
2
n
ln n1
2
3
< e−
√
X
.
Îòêóäà ïîëó÷àåì
X
J1 X1
Pα
0
1+ L
H
<n1 6P2 α
√
X
1
− X
+e
n1
P α
0
1+ L
H
<n1 6P2 α
2
1
√
n1
√ −√ X
X1 L
X1 L
+ X1 Xe
.
H
H
Àíàëîãè÷íî ïîëó÷èì
J2
X1 L
.
H
Óòâåðæäåíèå ëåììû ñëåäóåò èç (29)-(31) è îöåíîê
1.3
J1
è
J2 .
Âûâîäû ïî ïåðâîé ãëàâå
Èñïîëüçóÿ èçâåñòíûå ðàáîòû è îöåíêè (ðàçäåë 1.2) óäàëîñü äîêàçàòü 2 ëåììû, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ óòî÷íåíèåì ðàíåå ñóùåñòâóþùèõ îöåíîê èç ðàáîò À. À.
Êàðàöóáû, Ë. Â. Êèñåëåâîé.  ëåììàõ 14 è 15 ïîëó÷åíû íîâûå îöåíêè ñâåðõó
äëÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ èíòåãðàëîâ ñïåöèàëüíîãî âèäà. Ýòè ëåììû íåîáõîäèìû äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðåçóëüòàòîâ î íóëÿõ äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà íà êðèòè÷åñêîé
ïðÿìîé.
43
2
Ãëàâà 2. Íóëè äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà íà
êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé
 ýòîé ãëàâå ïðèâåäåíû äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì 1 è 2, ñôîðìóëèðîâàííûå âî
ââåäåíèè.
2.1
Âñïîìîãàòåëüíûå ëåììû
Ëåììà 16. Ïóñòü ε ïðîèçâîëüíîå
÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå
óñëîâèþ 0 <
√
ε < 0, 01, X > X0 (ε) > 0, exp exp 2a ln ln X 6 H 6 X ε , a > 0 íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ, Y = H 0,01, X1 = X 7/8+ε. Ïóñòü, äàëëå, 0 < h < h1 < 1
íåêîòîðûå ôèêñèðîâàííûå ÷èñëà. Ïðè j = 1, 2 ñóììû Wj (T ) îïðåäåëÿþòñÿ
ðàâåíñòâàìè:
X X a(λ1 )a(λ2 ) λ2 iT − H ln λ2 2
√
W1 (T ) =
e 2 λ1 ,
λ1
λ1 λ2
λ 6P λ <λ
1
ãäå
1
2
X X a(λ1 )d(λ1 )a(λ2 )d(λ2 ) λ2 iT − H ln λ2 2
√
W2 (T ) =
e 2 λ1 ,
λ1
λ1 λ2
λ1 6P λ1 <λ2
p
P = T /(2π)
a(λ)
iu
Z h1
P
−(u/h)2
d(λ) =
e
du.
λ
−h1
, ÷èñëà
îïðåäåëåíû â (8), è
Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå îöåíêè:
Z
X+X1
X1 Y 12 L9
,
H
|W1 (T )|2 dT
X
Z
X+X1
X1 h4 Y 12 L9
,
H
|W2 (T )|2 dT
X
ãäå L = ln X è ïîñòîÿííûå â çíàêå àáñîëþòíûå.
Äîêàçàòåëüñòâî.
d(λ)
Ïîëüçóÿñü îïðåäåëåíèåì
Z
h1
Z
h1
W2 (T ) =
−h1
2
, íàõîäèì
2
e−(u1 /h) e−(u2 /h)
−h1
X X a(λ1 )a(λ2 )
√
×
λ
λ
1 2
λ 6P λ <λ
1
1
2
2 !
H
λ2
i(u1 −u2 )
1 iu2
×λ−iu
λ
exp
−
du1 du2 ;
ln
P
1
2
2
λ1
X X a(λ )a(λ )
2
−(u1 /h)2 −(u2 /h)2
λ
λ
−h1 −h1
1
2
λ 6P λ <λ
λ2
λ1
iT
1
44
1
2
X X a(λ )a(λ )
2
2
−u21 −u22
λ
λ
−h1 /h −h1 /h
1
2
λ1 6P λ1 <λ2
2 !
1 ihu2
ln
exp −
× λ−ihu
λ2
λ1
2
λ1
iT
Ïîýòîìó, ïðèìåíÿÿ íåðàâåíñòâî Êîøè, áóäåì èìåòü
Z
X+X1
2
|W2 (T )| dT 6 2h
4
Z
X
X+X1
|W3 (T )|2 dT,
X
ãäå
X X a(λ1 )a(λ2 ) −ig ig λ2 iT − H ln λ2 2
√
W3 (T ) =
λ1 1 λ2 2
e 2 λ1 ,
λ1
λ1 λ2
λ 6P λ <λ
1
1
2
|g1 | < 1, |g2 | < 1.
Ïóñòü W (T ) îäíà èç äâóõ ñóìì W1 (T ) è W3 (T ). ×åðåç D(λ, T ) îáîçíà÷àåì
ñëàãàåìûå W (T ). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ÷àñòü ñóììû W (T ), îòâå÷àþùàÿ òàêèì
g1 , g2
íåêîòîðûå ôèêñèðîâàííûå ÷èñëà òàêèå, ÷òî
ñëàãàåìûì, ó êîòîðûõ
L
,
λ2 > λ1 1 +
H
åñòü âåëè÷èíà
2
O(e−0,01L ).
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì
+ O(e−0,02L2 ),
|W (T )|
Φ(n,
T
)
n1 ν1 ν4 <n2 6n1 ν1 ν4 (1+ HL )
 ñèëó îïðåäåëåíèÿ ÷èñëà
2 3
2 3
ãäå
åñëè
iT n ν ν 2
1
n2
− H ln 2 2 3
Φ(n, T ) = √
e 2 n1 ν1 ν4
n1 n2 n1
W (T ) = W1 (T ), à
iT
2
n ν ν
H
1
n2
ig2 −ig1 − 2 ln n21 ν21 ν34
n2 n1 e
Φ(n, T ) = √
n1 n2 n1
45
åñëè
W (T ) = W3 (T ).
ν1 , ν2 , ν3 , ν4 , ïîëó÷àåì
n1 ν1 ν4 <n2 6n1 ν1 ν4 (1+ HL )
Äàëåå, ïðèìåíÿÿ íåðàâåíñòâî Êîøè ê ñóììå ïî
2
|W (T )| Y
X
4
ν1 ,ν2 ,ν3 ,ν4 6Y
2 3
2 3
Ñëåäîâàòåëüíî,
2
8
−0,02L2
|W (T )| dT Y
,
Φ(n, T )
ν1 , ν2 , ν3 , ν4 íåêîòîðûå
ôèêñèðîâàííûå íàòóp
ðàëüíûå ÷èñëà, íå ïðåâîñõîäÿùèå Y . Ïóñòü P0 =
X/2π . Ðàçáèâàÿ ïðîìåæóòîê
ñóììèðîâàíèÿ ïî n1 íà äâà ïðîìåæóòêà òî÷êîé P0 α, ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó:
Z X+X1
2
8
−0,02L2
|W (T )| dT Y (G1 + G2 ) + O X1 e
,
(32)
ãäå
α = ν2 /ν1 , β = ν1 ν4 /(ν2 ν3 )
è
X
ãäå
n1 6P0 α n1 β<n2 6n1 β(1+ L )
P0 α<n1 6P α n1 β<n2 6n1 β(1+ L )
H
p
G2 ñâåðõó. Ïóñòü P2 = (X + X1 )/(2π), M = [P2 α] + 1.
Z
Îöåíèì
Ïîëüçóÿñü
ôîðìóëîé
1
M
X
M
−M
2 <l6 2
2πil(n − n0 )
exp
M
ïðåîáðàçóåì ïîäûíòåãðàëüíóþ ñóììó ïî
X
P0 α<n1 6P α
L
n1 β<n2 6n1 β(1+ H
)
1
Φ(n, T ) =
M
X
(
1,
=
0,
n1 , n2
â
K(l, T )
åñëè
åñëè
n = n0 ,
n 6= n0 ,
G2 òàê:
X
P0 α<n01 6P α
M
−M
2 <l6 2
2πin01 l
,
exp −
M
ãäå
K(l, T ) =
X
X
P0 α<n1 6P2 α n1 β<n2 6n1 β(1+ L )
H
46
2πin1 l
.
Φ(n, T ) exp
M
Ïåðåõîäÿ îò ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ê íåðàâåíñòâó, ïîëó÷èì:
n1 β<n2 6n1 β(1+ H )
Ïðèìåíèì ê ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâî Êîøè:
n1 β<n2 6n1 β(1+ H )
Ñëåäîâàòåëüíî,
X
G2 6 L
M
−M
2 <l6 2
1
|l| + 1
Z
X+X1
2
2
Z
X+X1
|K(l, T )| dT 6 L
X
2
|K(l0 , T )| dT,
X
M/2 < l0 6 M/2 íåêîòîðîå ôèêñèðîâàííîå öåëîå ÷èñëî. Âñïîìèíàÿ îïðåäåëåíèå K(l, T ), ïåðåïèøåì ýòî íåðàâåíñòâî â ñëåäóþùåì âèäå:
ãäå
G2 L2 J,
ãäå
Z
X+X1
X
J=
X
2πin1 l0
dT.
Φ(n, T ) exp
M
X
P0 α<n1 6αP2 n1 β<n2 6n1 β(1+ L )
H
Èíòåãðàë
J
îöåíåí â ëåììå 14:
X1 Y 2 L3
J
.
H
Ñëåäîâàòåëüíî,
X1 Y 2 L5
G2
.
H
(33)
G1 . Ðàçîáüåì ïðîìåæóòîê ñóììèðîâàíèÿ ïî n1
âèäà N < n1 6 N1 6 2N , N 6 P0 α. Ïðèõîäèì
Îñòàëîñü îöåíèòü ñâåðõó
G1
íà
L
ïðîìåæóòêè
íåðàâåíñòâó:
G1 L2
Z
X+X1
X
N <n1 6N1 n1 β<n2 6n1 β(1+ L )
H
Ïîñëåäíèé èíòåãðàë îöåíåí â ëåììå 14 òàê:
X 1 Y 4 L7
I
.
H
47
â
ê
Ñëåäîâàòåëüíî,
X1 Y 4 L9
.
G1
H
(34)
Èç (32)-(34) ñëåäóåò:
Z
X+X1
|W (T )|2 dT
X
X1 Y 12 L9
.
H
Îòêóäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå ëåììû.
Ñëåäñòâèå 1. Ïóñòü W1(T ) è W2(T ) ñóììû â ëåììå 16, è ïóñòü
S ∗ = T ∈ [X, X + X1 ] | |W1 (T )| > H −0,2 ;
S ∗∗ = T ∈ [X, X + X1 ] | |W2 (T )| > h2 H −0,2 .
Òîãäà ñïðàâåäëèâû îöåíêè
µ(S ∗ ) 6 X1 H −0,4 ;
µ(S ∗∗ ) 6 X1 H −0,4 ,
ãäå µ(S) îçíà÷àåò ìåðó ìíîæåñòâà S .
Äîêàçàòåëüñòâî.
 ñèëó ëåììû 16 èìååì
Z
X+X1
|W1 (T )|2 dT 6 AX1 H −1 L9 Y 12 ,
X
ãäå ïîñòîÿííàÿ
Z
A>0
â ïðàâîé ÷àñòè àáñîëþòíàÿ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èìååì
X+X1
Z
2
|W1 (T )| dT >
X
S∗
|W1 (T )|2 dT > µ(S ∗ )H −0,4 .
Ñëåäîâàòåëüíî,
µ(S ∗ ) 6 AX1 H −0,6 L9 Y 12 6 X1 H −0,4 .
Ïî àíàëîãèè èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî:
µ(S ∗∗ ) 6 X1 H −0,4 .
Ëåììà 17. Ïóñòü ε ïðîèçâîëüíîå
÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå
óñëîâèþ 0 <
√
ε < 0, 01, X > X0 (ε) > 0, exp exp 2a ln ln X 6 H 6 X ε , a > 0 íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ, Y = H 0,01, X1 = X 7/8+ε. Ïóñòü, äàëëå, 0 < h < h1 < 1
íåêîòîðûå ôèêñèðîâàííûå ÷èñëà. Ïðè j = 1, 2 ñóììû Qj (T ) îïðåäåëÿþòñÿ
ðàâåíñòâàìè:
X X a(λ1 )a(λ2 ) λ2 iT − H ln λ2 2
√
Q1 (T ) =
e 2 λ1 ,
λ1
λ1 λ2
λ 6P P <λ
1
2
48
ãäå
X X a(λ1 )d(λ1 )a(λ2 )d(λ2 ) λ2 iT − H ln λ2 2
√
Q2 (T ) =
e 2 λ1 ,
λ1
λ1 λ2
λ1 6P P <λ2
p
P = T /(2π)
a(λ)
iu
Z h1
P
2
d(λ) =
e−(u/h)
du.
λ
−h1
, ÷èñëà
îïðåäåëåíû â (8), è
Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå îöåíêè:
Z
X+X1
|Q1 (T )| dT X1 H −1 L7 Y 4 ,
X
Z
X+X1
|Q2 (T )| dT h2 X1 H −1 L7 Y 4 ,
X
ãäå L = ln X è ïîñòîÿííûå â çíàêå àáñîëþòíûå.
Äîêàçàòåëüñòâî.
d(λ)
Ïîëüçóÿñü îïðåäåëåíèåì
, íàõîäèì
X X a(λ )a(λ )
2
−(u1 /h) −(u2 /h)
λ
λ
−h1 −h1
1
2
λ1 6P P <λ2
2 !
X X a(λ )a(λ )
2
2
−u21 −u22
λ
λ
−h1 /h −h1 /h
1
2
λ1 6P P <λ2
iT
2 !
1 ihu2
× λ−ihu
λ2
exp −
ln
λ1
2
λ1
Z
h1
Z
h1
2
2
Ïîýòîìó èìååì:
Z
X+X1
2
Z
X+X1
|Q2 (T )| dT 6 h
X
|Q3 (T )| dT,
(35)
X
ãäå
X X a(λ1 )a(λ2 ) −ig ig λ2 iT − H ln λ2 2
√
λ1 1 λ2 2
e 2 λ1 ,
Q3 (T ) =
λ1
λ1 λ2
λ 6P P <λ
1
2
|g1 | < 1, |g2 | < 1.
Ïóñòü Q(T ) îäíà èç äâóõ ñóìì Q1 (T ) è Q3 (T ). ×åðåç D(λ, T ) îáîçíà÷àåì
p
ñëàãàåìûå Q(T ). Ïóñòü P0 =
X/(2π). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ÷àñòü ñóììû W (T ),
g1 , g2
íåêîòîðûå ôèêñèðîâàííûå ÷èñëà òàêèå, ÷òî
îòâå÷àþùàÿ òàêèì ñëàãàåìûì, ó êîòîðûõ
L
λ2 > P0 1 +
H
49
èëè
λ1 6 P0
åñòü âåëè÷èíà
L
1+
H
−1
,
2
O(e−0,01L ). Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì
P <λ 6P (1+ L )
2
0
H
a(λ) (ñì. (8)) èìååì
 ñèëó îïðåäåëåíèÿ ÷èñëà
ν3
ν3
H
ãäå
1
Φ(n, T ) = √
n1 n2
åñëè
Q(T ) = Q1 (T ),
iT
e
−
H
2
2
n ν ν
ln n2 ν2 ν3
1 1 4
à
1
Φ(n, T ) = √
n1 n2
åñëè
n2
n1
n2
n1
iT
2 −ig1 −
nig
e
2 n1
H
2
ln
n2 ν2 ν3
n1 ν1 ν4
2
Q(T ) = Q3 (T ). Ñëåäîâàòåëüíî,
Z X+X1
4
−0,01L2
|Q(T )| dT Y I + O X1 e
,
(36)
X
ãäå
P γ<n2 6P0 γ(1+ L )
H
α = ν2 /ν1 , β = ν1 ν4 /(ν2 ν3 ), γ = ν4 /ν3
íàòóðàëüíûå ÷èñëà, íå
Èíòåãðàë
I
ν1 , ν2 , ν3 , ν4
ïðåâîñõîäÿùèå Y .
è
íåêîòîðûå ôèêñèðîâàííûå
îöåíåí â ëåììå 15 òàê:
X1 L7
.
I
H
Óòâåðæäåíèå ëåììû ñëåäóåò èç (35), (36) è ýòîãî íåðàâåíñòâà.
50
Ñëåäñòâèå 2. Ïóñòü Q1(T ) è Q2(T ) ñóììû â ëåììå 17 è
V ∗ = T ∈ [X, X + X1 ] | |Q1 (T )| > H −0,4 ;
V ∗∗ = T ∈ [X, X + X1 ] | |Q2 (T )| > h2 H −0,4 .
Òîãäà ñïðàâåäëèâû îöåíêè
µ(V ∗ ) 6 X1 H −0,4 ;
µ(V ∗∗ ) 6 X1 H −0,4 ,
ãäå µ(V ) îçíà÷àåò ìåðó ìíîæåñòâà V .
Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäñòâèÿ 2 ïðîâîäèòñÿ ïî àíàëîãèè ñ äîêàçàòåëüñòâîì ñëåäñòâèÿ 1.
2.2
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1
Ïóñòü ε1 ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ
0 < ε1 < 0, 01, è ïóñòü c1 = c1 (ε1 ) > 0 íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ,
Òåîðåìà
1.
X > X0 (ε1 ) > 0,
H = X ε1 ,
X1 = X 7/8+ε1 .
×åðåç E1 îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî òåõ T ∈ [X, X + X1], äëÿ êîòîðûõ èíòåðâàë [T, T + H] ñîäåðæèò ìåíüøå, ÷åì c1H ln T íóëåé íå÷åòíîãî ïîðÿäêà
ôóíêöèè ζ(0, 5+it). Òîãäà äëÿ ìåðû ýòîãî ìíîæåñòâà µ(E1) ñïðàâåäëèâà îöåíêà
µ(E1 ) X1 H −0,4 ,
ãäå ïîñòîÿííàÿ â çíàêå àáñîëþòíàÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Wj (T ) Qj (T )
Ïóñòü
∗
è
∗
∗∗
S ,S ,V èV
÷èñëà T èç ìíîæåñòâà
Ïóñòü, äàëåå
ðèâàòü
∗∗
,
j = 1, 2
ñóììû èç ëåìì 16 è 17.
ìíîæåñòâà â ñëåäñòâèÿõ 1 è 2. Áóäåì ðàññìàò-
[X, X + X1 ] \ (S ∗ ∪ S ∗∗ ∪ V ∗ ∪ V ∗∗ ) .
Äëÿ íèõ âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà:
|Q1 (T )| < H −0,4 ;
|Q2 (T )| < h2 H −0,4 ,
|W1 (T )|2 < H −0,4 ;
|W2 (T )|2 < h4 H −0,4 .
Èç ðàññìàòðèâàåìûõ ÷èñåë
ñòâî
T
(37)
âûáðîñèì òå, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåí-
2
ζ(σ + i(T + H − 1)) |ϕ(σ + i(T + H − 1))|2 dσ
ζ(σ + i(T + 1)) |ϕ(σ + i(T + 1))|2 dσ
S0
Îáîçíà÷àåì ÷åðåç
ìíîæåñòâî âûáðîøåííûõ ÷èñåë. Èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå
íåðàâåíñòâî:
µ(S 0 )HL−1 6 J1 + J2 ,
ãäå
(38)
ζ(σ
+
i(T
+
1))
|ϕ(σ
+
i(T
+
1))|
dσ
J1 =
ζ(σ
+
i(T
+
H
−
1))
|ϕ(σ
+
i(T
+
H
−
1))|
dσ
J2 =
S0
Ïðèìåíèòü ê
J1
1/2
èíòåãðàëüíîå íåðàâåíñòâî Êîøè. Íàõîäèì:
X+X1
Z
J12 6 µ (S 0 )
ζ(σ + i(T + 1)) |ϕ(σ + i(T + 1))|2 dσ
dT.
 ñèëó ëåììû 11 ñëåäóåò, ÷òî
p
J1 6 µ (S 0 ) X1 Y 2 L3 .
Ïî àíàëîãèè íàõîäèì
p
J2 6 µ (S 0 ) X1 Y 2 L3 .
Ïîäñòàâèòü îöåíêè
J1
è
J2
â íåðàâåíñòâî (38). Ïîëó÷àåì:
µ (S 0 ) 6 X1 H −1 .
Ïóñòü
P0 =
p
X/(2π).
Ââåäåì ñëåäóþùèå ïàðàìåòðû
h=
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî
X
è
h1 = 2h.
0 < h < h1 < 1. ×èñëà 0 < α < 1 è 0 < A
T 6 t 6 T + H ðàññìàòðèâàþòñÿ èíòåãðàëû
j2 (t):
Z
h1
j1 (t) =
e
−(u/h)2
−h1
ãäå
A
,
α ln P0
òàê âåëèêî, ÷òî
áóäóò îïðåäåëåíû ïîçäíåå. Ïðè
j1 (t)
(39)
F (t)
,
ôóíêöèÿ ÕàðäèÑåëüáåðãà.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç
E
ïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
ïîäìíîæåñòâî èíòåðâàëà
j1 (t) > j2 (t).
Òàê êàê âíå
(T, T + H), íà êîòîðîì âûE äâà èíòåãðàëà j1 (t) è j2 (t)
ðàâíû, òî èìååì
Z
Z
Z
j1 (t)dt −
j1 (t)dt =
E
T +H
T
Z
T
52
Z
j1 (t)dt −
j2 (t)dt >
Ē
T +H
T +H
j2 (t)dt.
T
Ïðèìåíÿÿ èíòåãðàëüíîå íåðàâåíñòâî Êîøè, ïðèõîäèì ê ñîîòíîøåíèþ:
p
ãäå
µ(E)
ìåðà ìíîæåñòâà
T +H
Z
I1 =
µ(E)I1 +
p
HI2 > I3 ,
E,
T +H
Z
2
Z
2
(j1 (t)) dt, I2 =
T
I3
Îöåíèì èíòåãðàë
T +H
Z
h1
T
2
e−(u/h) |F (t + u)| dudt =
I3 =
−h1
T
Z
h1 /h
=h
−v 2
Z
−v 2
T +H
Z
|F (t + hv)| dtdv =
e
−h1 /h
T
T +H+hv
−1
Z
T +H−1
|F (t)| dtdv > he
e
=h
j1 (t)dt.
ñíèçó. Èìååì
Z
h1 /h
T +H
(j2 (t)) dt, I3 =
T
Z
(40)
−h1 /h
|F (t)| dt >
T +hv
ζ(0, 5 + it)ϕ2 (0, 5 + it)dt
.
(41)
Γ ïðÿìîóãîëüíèê ñ âåðøèíàìè 0, 5 + i(T + 1), 2 + i(T + 1), 2 + i(T +
H − 1) è 0, 5 + i(T + H − 1). Òîãäà ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
Z
ζ(s)ϕ2 (s)ds = 0.
Ïóñòü
Γ
Ýòî ðàâåíñòâî ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê:
Z
T +H−1
Z
2
T +H−1
ζ(0, 5 + it)ϕ (0, 5 + it)dt =
T +1
ζ(2 + it)ϕ2 (2 + it)dt+
T +1
Z
2
ζ(σ + i(T + H − 1))ϕ2 (σ + i(T + H − 1))dσ−
+i
0,5
Z
2
−i
ζ(σ + i(T + 1))ϕ2 (σ + i(T + 1))dσ.
0,5
Ïðè
<(s) > 1
èìååì
+∞
+∞ X X
X
X
a(m)
β(ν1 )β(ν2 )
ζ(s)ϕ (s) =
,
s = 1+
s
(nν
ν
)
m
1
2
n=1
m=2
2
ν1 <Y ν2 <Y
ãäå
a(m) =
X
nν1 ν2 =m
53
β(ν1 )β(ν2 ).
(42)
Çàìåòèì, ÷òî
X
|a(m)| 6
1 6 τ3 (m).
nν1 ν2 =m
Îòñþäà íàõîäèì
Z
T +H−1
2
ζ(2 + it)ϕ (2 + it)dt = H − 2 +
T +1
Z
+∞
X
a(m)
m=2
m2
T +H−1
m−it dt =
T +1
= H + O(1).
T ∈
/ S 0 , òî äâà ïîñëåäíèõ èíòåãðàëà â ïðàâîé
−1
âåëè÷èíà O(HL ). Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì:
Z T +H−1
ζ(0, 5 + it)ϕ2 (0, 5 + it)dt = H + O HL−1 .
Êðîìå ýòîãî, òàê êàê
åñòü
÷àñòè (42)
T +1
Èç (41) ñëåäóåò, ÷òî
I3 > e−1 hH + O hHL−1 .
(43)
Ðàññìîòðèì èíòåãðàë
T +H
Z
h1
Z
I1 =
e−(u/h)
2
2
|F (t + u)|du dt.
−h1
T
Èìååì
Z
h1
e−(u/h)
2
2
Z
2
|F (t + u)|du = h
−h1
h1 /h
!2
2
e−v |F (t + vh)|dv
6
−h1 /h
2
h1 /h
Z
6h
e
−v
2
Z
dv
−h1 /h
<
√
h1 /h
2
e−v |F (t + vh)|2 dv <
−h1 /h
2
Z
h1 /h
πh
2
e−v |F (t + vh)|2 dv.
−h1 /h
Ïîäñòàâèòü ýòî íåðàâåíñòâî â ôîðìóëó, îïðåäåëÿþùóþ
I1 6
√
2
T +H
Z
6
2
Z
h1 /h
πh
−v 2
e
−h1 /h
h1 /h
πh
Ïîëó÷àåì:
2
e−v |F (t + vh)|2 dvdt 6
−h1 /h
T
√
Z
I1 .
Z
T +H+1
2
2
Z
T +H+1
|F (t)| dt 6 πh
dv
T −1
|F (t)|2 dt.
T −1
Ïîëüçóÿñü ïðèáëèæåííûì ôóíêöèîíàëüíûì óðàâíåíèåì
õîäèì ê íåðàâåíñòâó
I1 h2 (J + HL−10 ),
54
F (t)
(ëåììà 9), ïðè-
λ
Äàëåå, èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîîòíîøåíèé:
Z
+∞
J
−∞
λ
−∞
λ6P
X X a(λ1 )a(λ2 ) λ2 iT Z +∞ −v2 +ivH ln λ2
λ1
√
6H
dv =
e
λ1
λ
λ
−∞
1
2
λ1 6P λ2 6P
2 !
X X a(λ1 )a(λ2 ) λ2 iT
√
H λ2
√
= πH
exp −
ln
=
λ1
2
λ1
λ
λ
1
2
λ1 6P λ2 6P
√
= πH (Σ1 + |W10 (T )|) ,
Z
+∞
ãäå
Σ1 =
X a2 (λ)
λ
λ6P
X
W10 (T ) =
λ1 <λ2 6P
a(λ1 )a(λ2 )
√
λ1 λ2
λ2
λ1
,
iT
exp −
H λ2
ln
2
λ1
2 !
.
Çàìåòèì, ÷òî çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü ñëåäóþùåé ôîðìóëîé:
Z
+∞
2
exp −t − iat dt =
√
−∞
Ñóììà
Σ1
a 2
π exp −
.
2
îöåíåíà â ëåììå 10 òàê:
Σ1 = O
ln P
ln Y
.
 ñèëó (37) èìååì:
|W10 (T )| = |W1 (T ) − Q1 (T )| 6 |W1 (T )| + |Q1 (T )| 6 2H −0,2 .
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì îöåíêó ñâåðõó äëÿ
I1 h2 H
I1 :
ln P
+ 2H −0,2 + L−10
ln Y
55
2
200ε−1
1 h H,
(44)
ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì
X.
Îöåíèì èíòåãðàë
Z
T +H
I2 =
h1
dt.
Ïîëüçóÿñü ëåììîé 9, íàõîäèì
Z
T +H
I2
T
λ
λ6P
ãäå
Z
h1
d(λ) =
e−(u/h)
2
−h1
iu
P
du.
λ
Îöåíèì èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè òàê æå, êàê áûë îöåíåí èíòåãðàë
J:
I2 H Σ2 + W20 (T ) + h2 L−10 ,
ãäå
Σ2 =
X a2 (λ)d2 (λ)
λ
λ6P
W20 (T )
=
a(λ1 )d(λ1 )a(λ2 )d(λ2 )
√
λ1 λ2
X
λ1 <λ2 6P
Îöåíèì
d(λ)
(45)
,
λ2
λ1
iT
2
e(−(H/2 ln(λ2 /λ1 )) ) .
äâóìÿ ðàçíûìè ñïîñîáàìè. Òðèâèàëüíî, èìååì
Z
h1
|d(λ)| 6
e
−(u/h)
2
du 6 2h
−h1
Êðîìå òîãî, åñëè
h1 /h
Z
2
e−u du <
0
0 < λ < P , òî
Z h1
P
−(u/h)2
d(λ) =
e
exp iu ln
du =
λ
−h1
Z h1 /h
P
2
=h
e−u exp iuh ln
du =
λ
−h1 /h
Z +∞
P
=h
exp −u2 + iuh ln
du−
λ
−∞
Z
P
−u2
du =
−h
e exp iuh ln
λ
|u|>h1 /h
2 !
√
h P
= πh exp −
ln
− R1 ,
2 λ
56
√
πh.
−
exp −(h1 /h) + ih1 ln
−
ih ln(P/λ)
λ
h ln
exp iuh ln
e−(h1 /h) .
ih ln(P/λ) h1 /h
λ
λ
Ñëåäîâàòåëüíî,
|d(λ)| min h, h exp −
Òåïåðü îöåíèì
Σ2 .
h P
ln
2 λ
2 !
+ ln
λ
Ðàçáèâàÿ ñóììèðîâàíèå ïî
äëÿ êàæäîé èõ ÷àñòåé ñâîåé îöåíêîé
X a2 (λ)
Σ2
λ
−α
|d(λ)|,
P
λ
−1
!
e−(h1 /h)
2
.
íà äâå ÷àñòè è ïîëüçóÿñü
ïîëó÷àåì
h2 exp −2
λ6P P0
−2
2 !!
P
h1
+ ln
exp −2
+ h2
λ
h
h P
ln
2 λ
2 !
X
P P0−α <λ6P
+
a2 (λ)
.
λ
Ïîëüçóÿñü òåì, ÷òî
h=
ïðè
λ 6 P P0−α
A
,
α ln P0
h1 = 2h,
ïîëó÷àåì îöåíêè
h P
h
A
ln > α ln P0 = ,
2 λ
2
2
−2
2
h
P
−2
ln
6 (α ln P0 ) 6
,
λ
A
!
2 !
−2
X a2 (λ)
h P
P
2
h2 exp −2
ln
+ ln
e−2(h1 /h)
λ
2 λ
λ
λ6P P0−α
X a2 (λ) A2
A2
1
ln
P
1
h2 e− 2 + 2 4 h2
h2 e− 2 + 2 4 .
λ
Ae
ln Y
Ae
−α
λ6P P0
Çäåñü äëÿ îöåíêè ñóììû ïî
Âòîðàÿ ñóììà ïî
λ
λ
ìû âîñïîëüçîâàëèñü ëåììîé 10.
â ïðàâîé ÷àñòè (47) îöåíåíà â ëåììå 10:
X
P P0−α <λ6P
a2 (λ)
<
λ
X
P 1−α <λ6P
57
(46)
a2 (λ)
α ln P
.
λ
ln Y
(47)
Òàêèì îáðàçîì, èç (47) ñëåäóåò, ÷òî:
ln P
Σ2 h2
ln Y
A2
e− 2 +
Äëÿ îöåíêè ñóììû
1
+α
A2 e4
W20 (T )
2
− A2
h2 200ε−1
+
e
1
1
+α .
A2 e4
âîñïîëüçóåìñÿ (37). Íàõîäèì:
|W10 (T )| = |W2 (T ) − Q2 (T )| 6 |W2 (T )| + |Q2 (T )| 6 2h2 H −0,2 .
Σ2 è W20 (T ) ïîëó÷àåì:
2
1
2
−1
− A2
−0,2
−10
I2 6 c1 h H 200ε1 e
+L
.
+ 2 4 + α + 2H
Ae
Èç (45) è îöåíîê äëÿ
Âîçüìåì
A
è
X
òàêèå áîëüøèå, ÷òîáû
2
− A2
c1 200ε−1
e
1
1
+ 2 4
Ae
6
1
;
16e2
1
−0,2
−10
c1 200ε−1
2H
+
L
6
.
1
8e2
Äàëåå, âîçüìåì
α
òàêîå ìàëåíüêîå, ÷òîáû
c1 200ε−1
1 α 6
Òîãäà èìååì
1
.
16e2
h2 H
I2 6
.
4e2
(48)
Èç (40), (43), (44) è (48) ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî
µ(E) > c2 H,
c2 = c2 (ε1 ) > 0.
(T,
Ðàçäåëèì
−1èíòåðâàë
T + H) íà
èíòåðâàëû âèäà (nh1 , nh1 + h1 ), ãäå n =
−1
−1
T h1 , T h1 +1, · · · , (T + H)h1 . Èç ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî
−1
ïî êðàéíåé ìåðå c2 Hh1
− 2 èç íèõ ñîäåðæèò òî÷êó t èç ìíîæåñòâà E . Åñëè
èíòåðâàë (nh1 , nh1 + h1 ) ñîäåðæèò òî÷êó t èç ìíîæåñòâà E , òî â èíòåðâàëå
(t − h1 , t + h1 ), à ñëåäîâàòåëüíî, è â èíòåðâàëå (nh1 − h1 , nh1 + 2h1 ) ñîäåðæèòñÿ
õîòÿ áû îäèí íóëü íå÷åòíîãî ïîðÿäêà ôóíêöèè ζ(0, 5+it). Ñëåäîâàòåëüíî, íóëåé
íå÷åòíîãî ïîðÿäêà ôóíêöèè ζ(0, 5 + it) íà èíòåðâàëå (T, T + H) íå ìåíüøå, ÷åì
1
c2 Hh−1
−
2
> c3 H ln T, c3 = c3 (ε1 ) > 0.
1
3
Òåì ñàìûì, ìû äîêàçàëè, ÷òî êàæäûé èíòåðâàë (T, T + H), ãäå T ∈ [X, X +
X1 ] \ (S ∗ ∪ S ∗∗ ∪ S 0 ∪ V ∗ ∪ V ∗∗ ), ñîäåðæèò íå ìåíüøå c3 H ln T íóëåé ôóíêöèè
ζ(0, 5 + it). Èç ñëåäñòâèé 1, 2 è (39) ïîëó÷àåì:
µ(S ∗ ∪ S ∗∗ ∪ S 0 ∪ V ∗ ∪ V ∗∗ ) X1 H −0,4 ,
îòêóäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû 1.
58
2.3
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2
Ïóñòü ε2 ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ
0 < ε2 < 0, 01, a íåêîòîðàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Ïóñòü, äàëåå,
Òåîðåìà
2.
X > X0 (ε2 ) > 0,
X1 = X
7/8+ε2
√
, exp exp 2a ln ln X 6 H 6 X ε2 .
×åðåç E2 îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî òåõ çíà÷åíèé T èç ïðîìåæóòêà [X, X +
X1 ], äëÿ êîòîðûõ èíòåðâàë [T, T + H] ñîäåðæèò ìåíüøå, ÷åì
s
!
ln X
H (ln H) exp −a ln
ln H
íóëåé íå÷åòíîãî ïîðÿäêà ôóíêöèè ζ(0, 5 + it). Òîãäà äëÿ ìåðû ýòîãî ìíîæåñòâà µ(E2) ñïðàâåäëèâà îöåíêà
µ(E2 ) X1 H −0,4 ,
ãäå ïîñòîÿííàÿ â çíàêå àáñîëþòíàÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Çàìåòèì, ÷òî ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì
δ<1
è
δ
X 6H 6X
ε2
δ
0 <
ñ óñëîâèåì
, óòâåðæäåíèå òåîðåìû 2 ñëåäóåò èç òåîðåìû 1. Ïîýòî-
ìó áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî
H 6 Xδ,
ãäå êîíêðåòíîå ìàëîå çíà÷åíèå
δ
áóäåò
îïðåäåëåíî ïîçäíåå.
Wj (T ) è Qj (T ), j = 1, 2 ñóììû èç
∗∗
∗
S , V è V ∗∗ ìíîæåñòâà â ñëåäñòâèÿõ 1 è 2.
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ÷èñëà T èç ìíîæåñòâà
Ïóñòü
ëåìì 16 è 17. Ïóñòü äàëåå
S ∗,
[X, X + X1 ] \ (S ∗ ∪ S ∗∗ ∪ V ∗ ∪ V ∗∗ ) .
Äëÿ íèõ âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà:
|Q1 (T )| < H −0,4 ;
|Q2 (T )| < h2 H −0,4 ,
|W1 (T )|2 < H −0,4 ;
|W2 (T )|2 < h4 H −0,4 .
Ââåäåì ñëåäóþùèå ïàðàìåòðû
s
s
ln X
1
ln X
1
, h=
ln
,
ln = ln
c
ln H
c ln H
ln Y
s
ln X
a1
, α=
.
h1 = 2h ln
ln Y
ln(1/c)
Ïðè
T 6t6T +H
ðàññìàòðèâàþòñÿ èíòåãðàëû
59
j1 (t)
è
j2 (t):
(49)
Z
h1
2
e−(u/h)
j1 (t) =
F (t)
2
e−(u/h)
−h1
−h1
ãäå
h1
,
ôóíêöèÿ ÕàðäèÑåëüáåðãà (ñì. ëåììó 9).
[T, T + H], íà êîòîðîì âûïîëíÿåòñÿ j1 (t) > j2 (t). Òàê êàê âíå E äâà èíòåãðàëà j1 (t) è j2 (t) ðàâíû, òî èìååì
Z
Z T +H
Z
Z T +H
Z T +H
α
α
α
α
j1 (t)dt =
j1 (t)dt −
j2 (t)dt >
j1 (t)dt −
j2α (t)dt;
Îáîçíà÷èì ÷åðåç
E
E
ïîäìíîæåñòâî èíòåðâàëà
T
Ē
T
T
òî åñòü
I1 + I2 > I3 .
(50)
ãäå
Z
Z
α
I1 =
(j1 (t)) dt,
I3
Z
α
(j2 (t)) dt,
I2 =
T +H
I3 =
(j1 (t))α dt.
T
T
E
Îöåíèì
T +H
ñíèçó. Ñíà÷àëî èìååì
α
u 2
exp −
|F (t + u)|du =
h
−h1
!α
Z h1 /h
= hα
exp −v 2 |F (t + vh)|dv
>
Z
h1
−h1 /h
> hα e−α
α
1
Z
|F (t + vh)|dv
.
−1
Äàëåå, â ñèëó íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà èìååì
Z
1
Z
α
|F (t + vh)| dv 6
−1
1−α Z
1
α
1
|F (t + vh)|dv
1dv
−1
.
−1
Òàêèì îáðàçîì, èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
1
(j1 (t)) > hα e−α
2
α
Z
1
|F (t + vt)|α dv.
−1
Ïîäñòàâëÿÿ ýòî íåðàâåíñòâî â ôîðìóëó, îïðåäåëÿþùóþ
1
I3 > hα e−α
2
Ïóñòü
Z
T +H
Z
1
α −1
α
Z
I3 ,
ïîëó÷àåì
T +H−1
|F (t)|α dt.
|F (t + vh)| dvdt > h e
T
A = 2[ln2 T ] + 1.
−1
T +1
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
2
f (s) = (s + iT − 1)ζ(s + iT )ϕ (s + iT ) exp
60
s 2A
H
.
(51)
Ôóíêöèÿ
f (s)
ÿâëÿåòñÿ öåëîé. Äàëåå, èìååì
H
H
2A
(s)
2A
= (σ + it)
=−
2A
X
k 2A−k k
i−k C2A
t
σ ,
k=0
<s
2A
= −t
2A
+
A
X
2k 2A−2k 2k
(−1)k+1 C2A
t
σ
k=1
2A−2
= −t2A + O t
Êðîìå òîãî, ïðè
1/2 6 <s 6 2
è
ïðè
t −→ ∞,
t −→ ∞
(s + iT − 1)ζ(s + iT )ϕ2 (s + iT ) = O(|t|2 ),
= O(Y ).
Òàêèì îáðàçîì,
|f (s)| −→ 0
Ïðèìåíèì ê ôóíêöèè
f (s)
ïðè
|t| −→ +∞
ðàâíîìåðíî ïî
σ.
ëåììó 8. Ïîëàãàÿ
1
1
α
2−α
3α
1
,p = ,q =
,σ = 2 −
,
a = , λ = , b = 2, µ =
2
α
2−α
2
2
4
Z +∞
λ
1/λ
J(σ; λ) =
|f (σ + it)| dt ,
−∞
íàõîäèì
3α
1
1
1
J 2−
; 1 6 J α/2
;
J (2−α)/2 2;
.
4
2 α
2−α
Îöåíèì J (2 − 3α/4; 1) ñíèçó. Èìååì
Z +∞
1−
+ it + iT ζ 2 −
+ it + iT ×
>
dt.
>e T
+
it
+
iT
ϕ
2
−
+
it
+
iT
4
4
0
Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî ïðè 0 6 t 6 0, 5H
H
exp <
2 − 3α/4 + it
H
2A !
> e−1 .
s = 2 − 3α/4 + it + iT , 0 6 t 6 0, 5H . Âîñïîëüçóåìñÿ ïðîñòåéøèì
ïðèáëèæåíèåì ôóíêöèè ζ(s). Ïðè 0 < σ0 6 σ 6 2, πx > |t1 | > 2π , s1 = σ + it1
Ïóñòü
X 1
x1−s1
−σ
+
O
ζ(s1 ) =
+
x
ln
x
.
s1
n
s
−
1
1
n6x
x = 2T ; íàéäåì
X 1
−1
ζ(s) =
+
O
T
.
ns
Ïîëîæèì äëÿ íàøåãî ñëó÷àÿ
n62T
Êðîìå ýòîãî,
ϕ(s) =
X β(ν)
νs
ν<Y
;
ϕ(s) = O(1).
Ïîýòîìó
ζ(s)ϕ(s) =
X c(m)
−1
+
O
T
,
s
m
2
n62T Y
ãäå
X
c(m) =
β(ν1 )β(ν2 ).
nν1 ν2 =m
β(1) = 1, òî c(1) = 1; òàê êàê |β(ν)| 6 1, |c(m)| 6 τ3 (m). Ñëåäîâàòåëüíî,
3α
J 2−
;1 >
4
2
26m62T Y
Òàê êàê
J (2; 1/(2 − α)) ñâåðõó. Èìååì
Z +∞
1/(2−α)
1
2−α
J 2;
=
|f (2 + it)| dt
.
2−α
−∞
Îöåíèì òåïåðü
Ïðåæäå âñåãî,
Z
+∞
2−α
|f (2 + it)|
Z
+∞
(|1 + it + iT | ×
dt =
−∞
−∞
2A !
ζ(2 + it + iT )ϕ2 (2 + it + iT )
Z
+∞
(|t| + T )2−α exp (2 − α)<
−∞
Åñëè
|t| 6 0, 5H ,
2 + it
H
2A !
dt.
òî
H
è, ñëåäîâàòåëüíî,
Z
0,5H
(|t| + T )2−α exp (2 − α)<
−0,5H
Åñëè
|t| > 0, 5H ,
2 + it
H
2A !
dt T 2−α H.
òî
2A
<(2 + it)
= −t
2A
−
A
X
1
2n
C2A
(−1)n t2A−2n 22n 6 − t2A .
2
n=1
Ñëåäîâàòåëüíî,
Z
(|t| + T )2−α exp (2 − α)<
|t|>0,5H
+∞
2 + it
H
2A !
dt
2A !
2−α
t
<
dt
2
H
0,5H
2A !
2A !
Z +∞
Z T
t
1
t
1
dt +
t2−α exp −
dt
T 2−α
exp −
2 H
2 H
T
0,5H
Z +∞
Z +∞
2−α
2
3−α
T
H
exp −0, 5v dv + H
t2 exp −0, 5t2A T 2−α H.
Z
(|t| + T )2−α exp −
0,5
T /H
Òåì ñàìûì ïîëó÷èëè
J (2; 1/(2 − α)) T H 1/(2−α) .
(54)
Èç (52) (54) íàõîäèì
TH J
α/2
(2−α)/2
1 1
1/(2−α)
;
TH
;
2 α
Ñëåäîâàòåëüíî,
Z
+∞
c1
H
1/2
|f (1/2 + it)|α dt > c1 T α H,
−∞
ãäå
T
α/2
àáñîëþòíàÿ ïîñòîÿííàÿ.
63
J
α/2
1 1
;
.
2 α
Äàëåå èìååì
Z
+∞
Z
α
+2H
|f (1/2 + it)| dt 6
−∞
α
Z
|f (1/2 + it)|α dt.
|f (1/2 + it)| dt +
−2H
|t|>2H
Îöåíèì âòîðîé èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ñâåðõó. Ïðåæäå
âñåãî
Ïðè
exp <
.
2
H
|t| > 2H
èìååì
2A
< (0, 5 + it)
= −t
2A
−
A
X
2m
C2A
(−1)m t2A−2m 2−2m 6
m=1
1
2 2A−2
6 −t2A + C2A
t
6 − t2A ;
2
2A !
2A !
0, 5 + it
1 t
exp <
6 exp −
.
H
2 H
Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëüçóÿñü òðèâèàëüíûìè îöåíêàìè ôóíêöèé
ζ(s)
è
ϕ(s),
õîäèì ê íåðàâåíñòâó
Z
|f (1/2 + it)|α dt
|t|>2H
6 T4
Z
+∞
2H
α
(t + T )4α exp −
2
t
H
2A !
dt 6
2A !
Z +∞
α
α
t
4
4 5
4
dt = T H
t exp − t2A dt =
t exp −
2 H
2
2H
2
Z
αu
1 4 5 +∞
=
T H
exp −
u2/A+1/(2A)−1 du 6
2A
2
22A
Z +∞
αu
1 4 5 −A
1 4 5 −A
T H 2
du 6
T H 2 .
6
exp −
2A
2
αA
22A
Z
+∞
Ïî îïðåäåëåíèþ
1
=
ln(1/c)
1
1
>√
>
.
ln ln 2T
ln ln X
A = 2 ln2 T + 1, 1 > α >
=q
1
ln X
ln ln
H
64
ïðè-
Ïîýòîìó
Z
α
Z
α
2H
|f (1/2 + it)| dt 6 0, 5c1 T H;
|t|>2H
|f (1/2 + it)|α dt > 0, 5c1 T α H.
−2H
Âñïîìèíàÿ îïðåäåëåíèå ôóíêöèè
Z
α
2H
0, 5c1 T H 6
f (s),
ïåðåïèøåì ýòî íåðàâåíñòâî òàê
|−0, 5 + i(t + T )|α |ζ (0, 5 + i(t + T ))|α ×
−2H
2A !
exp α<
dt.
H
Åñëè
|t| 6 0, 5H ,
òî
H
H 2A
Ïîýòîìó
0, 5 + it
exp α<
H
2A !
6 e.
Ñëåäîâàòåëüíî,
c1 α
T H6e
2
Z
2H
−2H
dt 6
+
i(t
+
T
)
+
i(t
+
T
)
dt;
+
i(t
+
T
)
+
i(t
+
T
)
ζ(0, 5 + i(t + T ))ϕ2 (0, 5 + i(t + T ))
α dt > c2 H,
−2H
c2 > 0 àáñîëþòíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Òàê êàê T1 = T + 0, 5H , H1 = 0, 25H − 0, 5
òàêèå æå ïî ïîðÿäêó ðîñòà, òàê T è H , òî èç ýòîãî íåðàâåíñòâà ñëåäóåò
Z T +H−1
Z 2H1
α
|F (t)| dt =
|F (t + T1 )|α dt > c3 H,
ãäå
T +1
ãäå
−2H1
c3 > 0 àáñîëþòíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Èç (51) è ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà íàõîäèì
I3 > e−1 c3 hα H.
65
(55)
Îöåíèì
I1
ñâåðõó. Ïîëüçóÿñü íåðàâåíñòâîì Ãåëüäåðà, íàõîäèì
T +H
Z
I1 6 (µ(E))1−α/2
2 !α/2
u 2
exp −
|F (t + u)|du dt
.
h
−h1
T
Èìååì
h1
Z
2
u 2
|F (t + u)|du =
exp −
h
−h1
!2
Z h1 /h
= h2
exp −v 2 |F (t + vh)|dv 6
Z
h1
−h1 /h
2
Z
h1 /h
exp −v
6h
2
Z
h1 /h
dv
−h1 /h
exp −v 2 |F (t + vh)|2 dv
−h1 /h
2
h1 /h
Z
h
exp −v 2 |F (t + vh)|2 dv.
−h1 /h
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì:
2/α
I1
2/α−1 2
(µ(E))
T +H
Z
Z
h
2/α−1 2
Z
exp −v 2 |F (t + vh)|2 dvdt 6
−h1 /h
T
6 (µ(E))
h1 /h
h1 /h
exp −v
h
2
T +H+1
Z
|F (t)|2 dt
dv
−h1 /h
T −1
2/α−1 2
(µ(E))
Z
T +H+1
|F (t)|2 dt.
h
T −1
Ïîëüçóÿñü ïðèáëèæåííûì óðàâíåíèåì
F (t) (ñì. ëåììó 9), ïðèõîäèì ê íåðàâåí-
ñòâó
Z
T +H+1
|F (t)|2 dt
T −1
λ
Íàêîíåö, äëÿ èíòåãðàëà â ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà íàõîäèì îöåíêó
Z
λ
λ6P
X |a(λ)|2
λ
λ6P
!
+ |W10 (T )| ,
ãäå
W10 (T ) =
X
X
λ1 6P λ1 <λ2 6P
a(λ1 )a(λ2 )
√
λ1 λ2
66
λ2
λ1
iT
−
e
H
2
2
λ
ln λ2
1
,
Ñóììà ¾äèàãîíàëüíûõ ñëàãàåìûõ¿ îöåíåíà â ëåììå 10 òàê:
X |a(λ)|2
λ
λ6P
Ñóììà ¾íåäèàãîíàëüíûõ ñëàãàåìûõ¿
ln X
.
ln Y
W10 (T )
îöåíèì ñ ïîìîùüþ (49) òàê:
|W10 (T )| = |W1 (T ) − Q1 (T )| 6 |W1 (T )| + |Q1 (T )| < 2H −0,2 .
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì
α/2
c4 (µ(E))1−α/2 hα H α/2
I1 6
I2 .
Ïåðåéäåì ê îöåíêå
Z
I2 6 H 1−α/2
ln X
ln Y
α/2
, c4 > 0.
(56)
Ïðèìåíÿÿ íåðàâåíñòâî Ãåëüäåðà, ïîëó÷àåì
T +H
T
h1
Îïÿòü ïîëüçóÿñü ëåììîé 9, íàõîäèì
T +H
Z
T
dt + HX −0,2 h2
+HX
h 6e
e
λ
−∞
λ6P
H Σ + W20 (T ) + h2 X −0,2 ,
Z
+∞
ãäå
X |a(λ)d(λ)|2
Σ=
λ
λ6P
Z
,
h1
d(λ) =
e
−(u/h)2
−h1
è
W20 (T )
a(λ1 )d(λ1 )a(λ2 )d(λ2 )
√
λ1 λ2
Ðàçáèâàÿ ñóììèðîâàíèå ïî
λ
X
=
X
λ1 6P λ1 <λ2 6P
Òåïåðü îöåíèì
Σ.
λ2
λ1
iu
P
du,
λ
iT
e
2
λ2
− H
2 ln λ
1
.
íà äâå ÷àñòè è ïîëüçóÿñü
íåðàâåíñòâîì (46), ïîëó÷àåì
Σ
λ6P H
2
a (λ)
λ
−4c
X
h2 exp −2
+h
2
h P
ln
2 λ
X
P H −4c <λ6P
67
2 !
+ ln
a2 (λ)
.
λ
P
λ
−2
!
e−2(h1 /h)
2
+
(57)
Ïîëüçóÿñü òåì, ÷òî
s
1
ln X
ln
,
h=
c (ln H)
ln Y
ïðè
λ 6 P H −4c
s
ln X
h1 = 2h ln
,
ln Y
ïîëó÷àåì îöåíêè
s
h P
h1
ln X
ln > 2ch (ln H) = 2 ln
= ,
2 λ
ln Y
h
−2
P
ln
6 (4c (ln H))−2 6 h2 ,
λ
!
2 !
−2
X a2 (λ)
h P
P
2
h2 exp −2
ln
+ ln
e−2(h1 /h)
λ
2 λ
λ
λ6P H −4c
X 2
−7
a (λ)
ln X
2 ln X
2
h
.
h exp −8 ln
ln Y
λ
ln Y
(58)
λ6P
Çàìåòèì, ÷òî çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü îöåíêîé èç ëåììû 10
X a2 (λ)
=O
λ
λ6P
ln X
ln Y
.
Îïÿòü â ñóëó ëåììû 10 èìååò ìåñòî îöåíêà âòîðîé ñóììû ïî
λ
â ïðàâîé ÷àñòè
(57):
X
P H −4c <λ6P
c ln H
a2 (λ)
.
λ
ln Y
(59)
Èç (57) (59) ïîëó÷àåì
Σ h2
Ñóììà
W20 (T )
ln X
ln Y
−7
+
c ln H
ln Y
!
(60)
îöåíèì ñ ïîìîùüþ (49) òàê:
|W20 (T )| = |W2 (T ) − Q2 (T )| < 2h2 H −0,2 .
Òàêèì îáðàçîì, èìååì
I2 6 hα H
ãäå
c5 > 0
c5
ln X
ln Y
−7
c ln H
+
+ 2H −0,2
ln Y
àáñîëþòíàÿ ïîñòîÿííàÿ.
68
!!α/2
,
Òàê êàê
Y = H 0,01 ,
òî
c ln H
= 100c.
ln Y
Äàëåå,
c>
ln X
ln Y
−7
,
òàê êàê ýòî ýêâèâàëåíòíî òàêèì íåðàâåíñòâàì:
ln X
ln Y
7
1
> ;
c
7 ln
ln X
ln Y
s
1
ln X
> ln = ln
.
c
ln H
Êðîìå ýòîãî,
c > H −0,2 ,
òàê êàê
s
1
ln X
0, 2 ln H > ln
= ln
;
c
ln H
1
H 0,2 > ;
c
H > (ln X)1000 .
Èç ïðèâåäåííûõ îöåíîê ñëåäóåò, ÷òî
Ïîýòîìó îöåíêó
I2
ln X
ln Y
−7
+
c ln H
+ 2H −0,2 6 103c.
ln Y
ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê:
I2 6 Hhα (103cc5 )α/2
Áóäåì ñ÷èòàòü ïàðàìåòð
δ
α
ln(103cc5 )
= Hhα e 2
.
òàêèì, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
p
ln(1/δ) > 2 ln(103c5 ).
Òîãäà èìååì
1
ln(103cc5 ) = − ln − ln(103c5 ) =
c
1 1 1 1
1 1
=−
ln + ln − ln(103c5 ) 6 − ln ,
2 c 2 c
2 c
Òàê êàê
H 6 Xδ,
òî
s
r
1 1 1
ln X
1
1
ln =
ln
>
ln > ln(103c5 ).
2 c
2
ln H
2
δ
Ñëåäîâàòåëüíî,
1 1
ln(103cc5 ) 6 − ln .
2 c
69
(61)
B ñèëó
α=
a1
ln(1/c)
ñëåäóåò, ÷òî
I2 6 hα He−a1 /4 .
Ïîäñòàâëÿÿ (55), (56) è ýòî íåðàâåíñòâî â (50), ïîëó÷àåì:
α/2
c4 µ(E)1−α/2
e−1 c3 − e−a/4 H 1−α/2 6
Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü
c3 < e−1 .
ln X
ln Y
×èñëî
α/2
.
a1
íàéäåì èç óðàâ-
íåíèÿ
e−a1 /4 = e−2 c3
ßñíî, ÷òî
òó
δ,
a1 > 12. Ïî çàäàííîìó òåïåðü a1
îïðåäåëèì ïîëîæèòåëüíóþ êîíñòàí-
êàê íàèáîëüøåå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ (61) è íåðàâåíñòâó
a
1
p 1
6 ,
ln(1/δ) 2
ò. å. âîçüìåì
−4a21
δ = min 0, 01; e
Òîãäà ïðè
−4 ln2 (103c5 )
;e
H 6 X δ âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà
s
r
1
ln X
1
ln = ln
> ln > 2a1 ;
c
ln H
δ
.
0<α=
a1
1
6 .
ln(1/c) 2
Òàêèì îáðàçîì,
µ(E) >
Òàê êàê
0 < α 6 1/2,
−α/(2−α) −2
c4
(e c3 )2/(2−α) H
ln X
ln Y
−α/(2−α)
.
òî èç ýòîãî íåðàâåíñòâà íàõîäèì
µ(E) > c6 H
ln X
ln Y
−α
.
(62)
(T,
Ðàçäåëèì
−1èíòåðâàë
T + H) íà
èíòåðâàëû âèäà (nh1 , nh1 + h1 ), ãäå n =
−1
−1
T h1 , T h1 + 1, · · · , (T + H)h1 . Èç ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî
ïî êðàéíåé ìåðå
"
c6 H
èç íèõ ñîäåðæèò òî÷êó
æèò òî÷êó
t
t
ln X
ln Y
èç ìíîæåñòâà
èç ìíîæåñòâà
E,
−α
E.
#
h−1
−2
1
òî â èíòåðâàëå
70
(nh1 , nh1 + h1 ) ñîäåð(t − h1 , t + h1 ), à ñëåäîâàòåëüíî,
Åñëè èíòåðâàë
(nh1 − h1 , nh1 + 2h1 ) ñîäåðæèòñÿ õîòÿ áû îäèí íóëü íå÷åòíîãî
ïîðÿäêà ôóíêöèè ζ(0, 5+it). Ñëåäîâàòåëüíî, íóëåé íå÷åòíîãî ïîðÿäêà ôóíêöèè
ζ(0, 5 + it) íà èíòåðâàëå (T, T + H) íå ìåíüøå, ÷åì
"
!
−α #
−α
1
H ln X
H ln X
c6
− 2 > c7
.
3
h1 ln Y
h1 ln Y
è â èíòåðâàëå
Òàê êàê
h1 =
ln X
1
ln
c (ln H)
ln Y
s
1
a1
ln X
, ln = ln
,α =
, Y = H 0,01 ,
ln(1/c)
c
ln H
òî
N0 (T + H) − N0 (T ) > c7 H (ln H) e−R ,
ãäå
s
ln X
+ ln ln R1 + α ln R1 ,
R = ln
ln H
Òàê êàê
R1 =
ln X
.
ln Y
s
ln X
< ln
,
ln H
ln X
ln H
ln X
s
a1 ln 100
ln X
ln H
α ln R1 = s
< 2a1 ln ln H ,
ln X
ln
ln H
ln ln (R1 ) = ln ln 100
òî
s
ln X
R 6 (2 + 2a1 ) ln
;
ln H
s
!
ln X
,
N0 (T + H) − N0 (T ) > H (ln H) exp −a ln
ln H
ãäå
a>0
àáñîëþòíàÿ ïîñòîÿííàÿ.
Òåì ñàìûì, ìû äîêàçàëè, ÷òî êàæäûé èíòåðâàë
∗
X1 ] \ (S ∪ S
∗∗
∗
∗∗
∪ V ∪ V ),
(T, T + H), ãäå T ∈ [X, X +
ñîäåðæèò íå ìåíüøå
s
!
ln X
H (ln H) exp −a ln
ln H
íóëåé ôóíêöèè
ζ(0, 5 + it).
Èç ñëåäñòâèÿ 1 è 2 ïîëó÷àåì:
µ(S ∗ ∪ S ∗∗ ∪ V ∗ ∪ V ∗∗ ) X1 H −0,4 ,
îòêóäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû 2.
71
2.4
Âûâîäû ïî âòîðîé ãëàâå
 ýòîé ãëàâå ñ ïîìîùüþ ìåòîäà À. À. Êàðàöóáû äîêàçàíî ÷òî ïî÷òè âñå î÷åíü
êîðîòêèå ïðîìåæóòêè êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé ñîäåðæàò, ïðàâèëüíî ïî ïîðÿäêó,
÷èñëî íóëåé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà, êîòîðûå àñèìïòîòè÷åñêè, ñ òî÷íîñòüþ äî
êîíñòàíòû îïèñûâàåòñÿ ôîðìóëîé Ìàíãîëüäòà.
72
3
Ãëàâà 3: Íóëè äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â
îêðåñòíîñòè êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé
3.1
Âñïîìîãàòåëüíûå ëåììû
Ëåììà 18. Ïóñòü ε ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ 0 <
ε < 0, 01, X > X0 (ε) > 0, H = X ε , Y = H 0,01 , X1 = X 7/8+ε . Ïðè íàòóðàëüíûõ
÷èñëàõ m, m1, m2 ïîëîæèì
−iT
m1
m2
X X
exp −
D(m1 , m2 ) = a(m1 )a(m2 )
W (T ) =
H m2
ln
2
m1
2 !
,
D(m1 , m2 ),
m1 <P Y m1 <m2
ãäå
; ÷èñëà a(m) îïðåäåëåíû â (9).
Òîãäà ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ îöåíêà:
p
P = T /(2π)
Z
X+X1
X
X1 Y 10 L9
,
|W (T )| dT
H
2
ãäå L = ln X ; ïîñòîÿííàÿ â çíàêå àáñîëþòíàÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Åñëè
m2
L
>1+ ,
m1
H
2 !
L2
H m2
ln
< exp −
.
exp −
2
m1
64
òî
Ñ äðóãîé ñòîðîíû
X µ(νr)µ(r)
δ(ν) =
ϕ(rν)
rν<Y
µ(ν) X µ2 (r)
=
ϕ(ν)
ϕ(r)
rν<Y
(r,ν)=1
X µ2 (r)
!−1
=
ϕ(r)
r<Y
!−1
X µ2 (r)
1
<
.
ϕ(r)
ϕ(ν)
r<Y
Òàêèì îáðàçîì, òðèâèàëüíî îöåíèâàÿ ÷àñòü ñóììû
W (T ),
îòâå÷àþùóþ òàêèì
ñëàãàåìûì, ó êîòîðûõ
m2 > m1 (1 +
èìååì
X
m1 <P Y
L
m2 >m1 (1+ H
)
D(m1 , m2 )
X
X
ν1 ,ν2 <Y n1 ν1 <n2 ν2 <P Y
L
n2 ν2 >n1 ν1 (1+ H
)
73
L
),
H
√
ν1 ν2 − L 2
e 64 = O exp(−0, 01L2 ) .
√
n1 n2
ν1 ,ν2 <Y
ãäå
X
S(ν1 , ν2 ) =
X
D (n1 ν1 , n2 ν2 ) .
L
n1 6P Y /ν1 n1 ν1 <n2 ν2 6n1 ν1 (1+ H
)
ν1 , ν2 ,
Äàëåå, ïðèìåíÿÿ íåðàâåíñòâî Êîøè ê ñóììå ïî
2
X
|W (T )|2 Y 2
ïîëó÷èì
|S(ν1 , ν2 )|2 + O(e−0,02L ).
ν1 ,ν2 <Y
Ñëåäîâàòåëüíî,
Z
X+X1
|W (T )|2 dT
X
dT + O(X1 e−0,02L2 ),
Y6
Φ(n,
T
)
n1 6P Y /ν1 n1 β<n2 6n1 β(1+ L )
H
ãäå
Φ(n, T ) = √
1
n1 n2
n2
n1
iT
exp −
H
n2
ln
2
n1 β
2 !
,
α = Y /ν1 , β = ν1 /ν2 è ν1 , ν2 íåêîòîðûå
ôèêñèðîâàííûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, íå
p
ïðåâîñõîäÿùèå Y . Ïóñòü P0 =
X/(2π). Ðàçáèâàÿ ïðîìåæóòîê ñóììèðîâàíèÿ
ïî n1 íà äâà ïðîìåæóòêà òî÷êîé P0 α, ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó:
Z X+X1
|W (T )|2 dT Y 6 (G1 + G2 ),
(63)
X
ãäå
n1 6P0 α n1 β<n2 6n1 β(1+ L )
H
P0 α<n1 6P α n1 β<n2 6n1 β(1+ L )
H
p
G2 ñâåðõó. Ïóñòü P2 = (X + X1 )/(2π), M = [P2 α] + 1.
Z
Îöåíèì
ôîðìóëîé
1
M
M
−1
X
l=0
exp
0
2πil(n − n )
M
74
(
1,
=
0,
åñëè
åñëè
n = n0 ,
n 6= n0 ,
Ïîëüçóÿñü
ïðåîáðàçóåì ïîäûíòåãðàëüíóþ ñóììó â
X
X
P0 α<n1 6P α n1 β<n2 6n1 β(1+ L )
G2
òàê:
M −1
1 X
Φ(n, T ) =
M
X
l=0 P0 α<n01 6P α
H
2πi (n01 l)
exp −
K(l, T ),
M
(64)
ãäå
X
K(l, T ) =
X
P0 α<n1 6P2 α n1 β<n2 6n1 β(1+ L )
2πin1 l
Φ(n, T ) exp
.
M
H
n01 â ïðàâîé ÷àñòè (64) ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ îöåí
0
Äëÿ âíóòðåííåé ñóììû ïî
êà:
P0 α<n1 6P α
Èç ðàâåíñòâà (64) ñëåäóåò, ÷òî:
X
Φ(n, T )
P0 α<n1 6P α
L
n1 β<n2 6n1 β(1+ H
)
M
−1
X
l=0
1
|K(l, T )| .
l+1
Ïðèìåíÿÿ íåðàâåíñòâî Êîøè, ïîëó÷àåì:
Ñëåäîâàòåëüíî,
G2 6 L
M
−1
X
l=0
1
l+1
Z
X+X1
2
Z
X+X1
|K(l, T )| dT 6 L
X
0 6 l0 < M íåêîòîðîå
îïðåäåëåíèå K(l, T ), ïîëó÷èì
ãäå
2
X
ôèêñèðîâàííîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Âñïîìèíàÿ
G2 L2 J,
ãäå
P0 α<n1 6P2 α n1 β<n2 6n1 β(1+ L ) n1 n2 n1
H
!
2
2
n1 β
M
Z
2
|K(l0 , T )| dT,
X+X1
75
Èíòåãðàë
J
îöåíåí â ëåììå 14 òàê:
X1 Y 2 L3
J
.
H
Ñëåäîâàòåëüíî,
G2
X1 Y 2 L5
.
H
(65)
G1 . Ðàçîáüåì ïðîìåæóòîê ñóììèðîâàíèÿ ïî n1 â G1 íà L
âèäà N < n1 6 N1 6 2N , N 6 P0 α. Ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó:
Ðàññìîòðèì
ïðîìåæóòêè
G1 L2 I,
ãäå
Z
X+X1
I=
X
N <n1 6N1 n1 β<n2 6n1 β(1+ L )
H
Èíòåãðàë
I
îöåíåí â ëåììå 14 òàê:
I
X1 Y 4 L 7
.
H
Ñëåäîâàòåëüíî,
X1 Y 4 L9
.
G1
H
(66)
Óòâåðæäåíèå ëåììû ñëåäóåò èç (63), (65) è (66).
Ñëåäñòâèå 3. Ïóñòü S ìíîæåñòâî òåõ T èç èíòåðâàëà [X, X + X1],
äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
|W (T )|2 > H −0,4 .
Òîãäà äëÿ ìåðû ìíîæåñòâà S ñïðàâåäëèâà îöåíêà
µ(S) 6 X1 H −0,4 .
Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäñòâèÿ 3 ïðîâîäèòñÿ ïî àíàëîãèè ñ äîêàçàòåëüñòâîì ñëåäñòâèÿ 1 ãëàâû 2.
Ëåììà 19. Ïóñòü ε ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ 0 <
ε < 0, 01, X > X0 (ε) > 0, H = X ε , Y = H 0,01 , X1 = X 7/8+ε . Ïðè íàòóðàëüíûõ
÷èñëàõ m, m1, m2 ïîëîæèì
m1
D(m1 , m2 ) = a(m1 )a(m2 )
m2
76
−iT
H m2
exp −
ln
2
m1
2 !
,
X
Q(T ) =
X
D(m1 , m2 ),
m1 6P Y P Y <m2
ãäå
; ÷èñëà a(m) îïðåäåëåíû â (9).
Òîãäà ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ îöåíêà:
p
P = T /(2π)
Z
X+X1
X
X1 Y 2 L7
|Q(T )| dT
H
ãäå L = ln X ; ïîñòîÿííàÿ â çíàêå àáñîëþòíàÿ.
p
Äîêàçàòåëüñòâî.
P0 = X/(2π)
Ïóñòü
. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ÷àñòü ñóììû
Q(T ),
îòâå÷àþùàÿ òàêèì ñëàãàåìûì, ó êîòîðûõ
åñòü
−1
L
L
m1 6 P0 1 +
,
èëè m2 > P0 1 +
H
H
−0,01L2
âåëè÷èíà O e
. Ïîýòîìó èìååì
X
X
−0,01L2
D(m1 , m2 ) + O e
.
Q(T ) =
P0
1+ L
H
L
<m1 6P Y P Y <m2 6P0 (1+ H )
a(m) (ñì. (9)) è ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò:
0
P Y /ν2 <n2 6P0 /ν2 (1+ H )
ν1 (1+ HL ) <n1 6P Y /ν1
iT n ν 2
n1
Èç îïðåäåëåíèÿ ÷èñëà
Ïîýòîìó áóäåì èìåòü
Z
X+X1
2
|Q(T )| dT 6 Y I + X1 e
−0,01L2
,
X
ãäå
P Y /ν2 <n2 6P0 /ν2 (1+ L )
H
0 < ν1 , ν2 < Y
íåêîòîðûå ôèêñèðîâàííûå ÷èñëà. Èíòåãðàë
15 òàê
I X1 L7 H −1 .
Îòêóäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå ëåììû.
77
I
îöåíåí â ëåììå
Ñëåäñòâèå 4. Ïóñòü V ìíîæåñòâî òåõ T èç èíòåðâàëà [X, X + X1],
äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
|Q(T )| > H −0,4 .
Òîãäà äëÿ ìåðû ìíîæåñòâà V ñïðàâåäëèâà îöåíêà
µ(V ) 6 X1 H −0,4 .
Ñëåäñòâèå 4 äîêàçûâàåòñÿ ïî àíàëîãèè ñ äîêàçàòåëüñòâîì ñëåäñòâèÿ 1 ãëàâû
2.
3.2
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3
Ïóñòü ε3 ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ
0 < ε3 < 0, 01, è ïóñòü c3 = c3 (ε3 ) > 0 íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ,
Òåîðåìà
3.
H = X ε3 ,
X > X0 (ε3 ) > 0,
Ïðè 0, 5
X1 = X 7/8+ε3 .
îáîçíà÷èì ÷åðåç E3 ìíîæåñòâî òåõ T èç ïðîìåæóòêà
, äëÿ êîòîðûõ íåðàâåíñòâî
< σ < 1
[X, X + X1 ]
N (σ, T + H) − N (σ, T ) 6 c3
H
σ − 0, 5
íå âûïîëíÿåòñÿ. Òîãäà äëÿ ìåðû ýòîãî ìíîæåñòâà µ(E3) ñïðàâåäëèâà îöåíêà:
µ(E3 ) X1 H −0,4 ,
ãäå ïîñòîÿííàÿ â çíàêå àáñîëþòíàÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî.
W (T ) Q(T )
Ïóñòü
S
è
V
è
ñóììû â ëåììàõ 18 è 19. Ïóñòü, äàëåå,
ìíîæåñòâà â ñëåäñòâèÿõ 3 è 4.
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ÷èñëà
T
èç ìíîæåñòâà
[X, X + X1 ] \ (S ∪ V ).
Äëÿ íèõ
âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà
|W (T )|2 < H −0,4 , |Q(T )| < H −0,4 .
(67)
Ââåäåì òåïåðü ôóíêöèþ
f (s) =
X
δ(ν)ν 1−s ,
ν<Y
ãäå ÷èñëà
δ(ν)
îïðåäåëåíû â ëåììå 13.
Âîñïîëüçóåìñÿ íåðàâåíñòâîì, âûâîä êîòîðîãî ñîäåðæèòñÿ â ðàáîòå [4, c. 53]:
1
H
J
+ O(ln T ),
2π
N (σ, T + H) − N (σ, T )dσ 6 ln
2
H
0,5
Z
78
ãäå
T +H
Z
|ζ(0, 5 + it)|2 |f (0, 5 + it)|2 dt.
J=
T
Ïîëüçóÿñü ïðèáëèæåííûì ôóíêöèîíàëüíûì óðàâíåíèåì
ζ(s) (ëåììà 12), ïî-
ëó÷àåì
J 6 8J1 + O HT −0,5 Y L4 ,
ãäå
T +H
Z
J1 =
T
Âñïîìèíàÿ îïðåäåëåíèå
f (s),
T
ìîæíî ïåðåïèñàòü
m6P Y
ãäå ÷èñëà
a(m)
îïðåäåëåíû â (9). Èìååò ìåñòî öåïî÷êà ñîîòíîøåíèé
Z
+∞
J1 6 e
−∞
t−T
exp −
H
m6P Y
iT
2 !
m1
H m1
6 eH
a(m1 )a(m2 )
exp −
ln
×
m2
2
m2
m1 ,m2 6P Y
Z +∞
m
1
×
exp −v 2 − ivH ln
dv =
m2
−∞
iT
2 !
X
√
m1
H m1
= e πH
a(m1 )a(m2 )
exp −
ln
6
m2
2
m2
m1 ,m2 6P Y
√
6 e πH (Σ + 2 |W 0 (T )|) ,
X
ãäå
X
Σ=
a2 (m),
m<P Y
è
W 0 (T ) =
X
m1 <m2 <P Y
Ñóììà
Σ
m1
a(m1 )a(m2 )
m2
−iT
H m2
exp −
ln
2
m1
îöåíåíà â ëåììå 13 òàê:
Σ = O(1).
W 0 (T )
îöåíèâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ (67):
|W 0 (T )| = |W (T ) − Q(T )| 6 2H −0,2 .
79
2 !
.
Òàêèì îáðàçîì, ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà:
Z
J1 = O(H),
1
N (σ, T + H) − N (σ, T )dσ = O(H).
J = O(H),
0,5
Ïóñòü
σ > 0, 5
è
σ1 = 0, 5 + 0, 5(σ − 0, 5) < σ .
Îïðåäåëÿåì
g(α) = N (α, T + H) − N (α, T ).
α1 6 α2 . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
Z σ
1
N (α, T + H) − N (α, T )dα 6
N (σ, T + H) − N (σ, T ) 6
σ − σ1 σ1
Z 1
2
H
6
N (α, T + H) − N (α, T )dα = O
.
σ − 0, 5 0,5
σ − 0, 5
Çàìåòèì, ÷òî
g(α2 ) 6 g(α1 )
ïðè
Òåì ñàìûì ìû äîêàçàëè íåðàâåíñòâî
N (σ, T + H) − N (σ, T )
ñïðàâåäëèâî äëÿ âñåõ
T
èç ìíîæåñòâà
H
σ − 0, 5
[X, X + X1 ] \ (S ∪ V ).
 ñèëó ñëåäñòâèÿ
3 èìååì
µ(S ∪ V ) X1 H −0,4 ,
îòêóäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû 3.
3.3
Âûâîäû ïî òðåòüåé ãëàâå
 ýòîé ãëàâå äîêàçàíà òåîðåìà î êîëè÷åñòâå íóëåé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â
óçêîé îêðåñòíîñòè êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé. Ðåçóëüòàò ÿâëÿåòñÿ íîâûì è óòî÷íÿåò
ðåçóëüòàòû À. À. Êàðàöóáû è Ë. Â. Êèñåëåâîé.
80
Çàêëþ÷åíèå
 äèññåðòàöèè èññëåäîâàíî ðàñïðåäåëåíèå íóëåé
ζ(s)
íà êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé
è â îêðåñòíîñòè ýòîé ïðÿìîé. Ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ ïî÷òè âñåõ
0 < ε < 0, 01,
ïðîìåæóòîê
[T, T + X ε ]
T ∈ [X, X 7/8+ε ],
êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé ñîäåðæèò ïðà-
âèëüíîå ïî ïîðÿäêó êîëè÷åñòâî íóëåé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà. Òàêæå ïîëó÷åí
àíàëîãè÷íûé ðåçóëüòàò äëÿ ïî÷òè âñåõ ïðîìåæóòêîâ êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé äëèíû ñóùåñòâåííî ìåíüøå
X ε.
 ýòîì ñëó÷àå îöåíêà ñíèçó ÷èñëà íóëåé ôóíêöèè
ζ(0, 5 + it), ëåæàùèõ â òàêèõ êîðîòêèõ ïðîìåæóòêàõ, ñëàáåå òîé, êîòîðàÿ ïîëó÷åíà À. Ñåëüáåðãîì â 1942 ã., íî òî÷íåå êëàññè÷åñêîé îöåíêè Õàðäè-Ëèòòëâóäà
N (σ, T ) ÷èñëî íóëåé ôóíêöèè ζ(s), ëåæàùèõ â
ïðÿìîóãîëüíèêå 1/2 < σ 6 <(s) < 1, 0 < =(s) 6 T . Ïîëó÷åíà ðàâíîìåðíàÿ
7/8+ε
îöåíêà ïî σ âåëè÷èíû N (σ, T + H) − N (σ, T ) äëÿ ïî÷òè âñåõ T ∈ [X, X
],
0 < ε < 0, 01.
1921 ãîäà. Èçó÷åíà ôóíêöèÿ
Îñíîâàíèåì äîêàçàòåëüñòâ ðåçóëüòàòîâ äèññåðòàöèè ÿâëÿåòñÿ îöåíêà ñâåðõó äëÿ ñïåöèàëüíîé êðàòíîé òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñóììû. Îòìåòèì, ÷òî äëèíó
îòðåçêà îñðåäíåíèÿ
X1 = X θ , θ > 7/8
îïðåäåëÿåò îöåíêà ýòîé òðèãîíîìåòðè-
÷åñêîé ñóììû. Ïåðñïåêòèâíîé äëÿ äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèé ïðåäñòàâëÿåòñÿ
çàäà÷à îá óìåíüøåíèè äëèíû îòðåçêà îñðåäíåíèÿ. Ìåòîä èññëåäîâàíèÿ íóëåé
ζ(s), èñïîëüçîâàííûé â íàñòîÿùåé ðàáîòå, ìîæíî ïðèìåíèòü â çàäà÷àõ î íóëÿõ
ðÿäîâ Äèðèõëå, èìåþùèõ ýéëåðîâîå ïðîèçâåäåíèå.
81
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] Ðèìàí Á. Ñî÷èíåíèÿ// Ì.Ë.: ÎÃÈÇ, 1948. 479 c.
[2] Hardy G.H. "Sur les zeros de la fonction
ζ(s)//
Comp. Rend. Acad. Sci.,
1914.vol. 158. pp. 1012-1014.
[3] Hardy G. H., Littlewood J. E. The zeros of Riemann's zeta-function on the
critical line // Mathematische Zeitschrift. 1921. Vol. 10. pp. 283-317.
[4] Selberg A. On the zeros of Riemann's zeta-function // Skr. Norske Vid. Akad.
Oslo. 1942. Vol. 10. pp. 1-59.
[5] Êàðàöóáà À.À., Êîðîë¼â Ì. À. Àðãóìåíò äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà// ÓÌÍ.
2005 Ò. 60, 3. C. 41-96.
[6] Levinson N. More than one third of the zeros of Riemann's zeta-function are
on
σ = 1/2//
Adv. in Math. 1974, v. 13, p. 383-436.
[7] Conrey B. More than two fths of the zeros of the Riemann zeta function are
on the critical line// J. Reine Angew. Math. 1989. Vol. 399. pp. 1-26.
[8] Êàðàöóáà À. À. Î íóëÿõ ôóíêöèè
ζ(s) íà êîðîòêèõ ïðîìåæóòêàõ êðèòè÷å-
ñêîé ïðÿìîé // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ñåð. ìàòåì. 1984. T. 48, 3. C. 569-584.
[9] Êàðàöóáà À. À. Ðàñïðåäåëåíèå íóëåé ôóíêöèè
ζ(1/2+it) // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ.
Ñåð. ìàòåì. 1984. Ò. 48, âûï. 6. Ñ. 1214-1224.
[10] Êàðàöóáà À. À. Î êîëè÷åñòâå íóëåé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà, ëåæàùèõ íà
ïî÷òè âñåõ êîðîòêèõ ïðîìåæóòêàõ êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé // Èçâ. ÐÀÍ. Ñåð.
ìàòåì. 1992. Ò. 56,2. Ñ. 372-397.
[11] Êàðàöóáà À. À. Î íóëÿõ ôóíêöèè
ζ(s) â îêðåñòíîñòè êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé//
Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ñåð. ìàòåì. 1985 Ò. 49, âûï. 2. Ñ. 326333.
[12] Êàðàöóáà À. À. Î ðàññòîÿíèè ìåæäó ñîñåäíèìè íóëÿìè äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà, ëåæàùèìè íà êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé // Òð. ÌÈÀÍ ÑÑÑÐ. 1981. Ò. 157.
Ñ. 49-63.
[13] Êàðàöóáà À. À. Î íóëÿõ äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà íà êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé //
Òð. ÌÈÀÍ ÑÑÑÐ. 1985. Ò. 167, Ñ. 167-178.
[14] Êàðàöóáà À. À. Î âåùåñòâåííûõ íóëÿõ ôóíêöèè
ζ(1/2 + it) // ÓÌÍ. 1985.
Ò. 40, 4. Ñ. 171-172.
[15] Êàðàöóáà À. À. Äçåòà-ôóíêöèÿ Ðèìàíà è åå íóëè // ÓÌÍ. 1985. Ò. 40, 5.
Ñ. 23-82.
82
[16] Êàðàöóáà
À.
À.
Ïëîòíîñòíàÿ
òåîðåìà
è
ïîâåäåíèå
àðãóìåíòà
äçåòà-
ôóíêöèè Ðèìàíà // Ìàòåì. çàìåòêè. 1996. Ò.60, 3. Ñ. 448449.
[17] Êèñåëåâà Ë. Â. Î êîëè÷åñòâå íóëåé ôóíêöèè
ζ(s) íà ïî÷òè âñåõ
êîðîòêèõ
ïðîìåæóòêàõ êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ñåð. ìàòåì. 1988. Ò.
52, âûï. 3. Ñ. 479-500.
[18] Âèíîãðàäîâ È. Ì. Íîâàÿ îöåíêà ôóíêöèè
ζ(1 + it)//
Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ñåð.
ìàòåì., 1958. Ò. 22, âûï. 2. Ñ. 161-164.
[19] Littlewood J. E. On the zeros of the Riemann zeta-function// Mathematical
Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1924 Vol. 22. pp 295-318
doi:10.1017/S0305004100014225
[20] Selberg A. Contributions to the theory of the Riemann zeta-function // Archiv
for Mathematik og Naturvidenskab. 1946. Vol. 48. 5. pp. 89-155.
[21] Êèñåëåâà Ë. Â. Î ðàñïðåäåëåíèè íóëåé ôóíêöèè
ζ(s) â îêðåñòíîñòè êðèòè-
÷åñêîé ïðÿìîé// Ìàòåì. çàìåòêè. 1988. Ò. 43, âûï. 1. Ñ. 3-11.
[22] Êèñåëåâà Ë. Â. Î íóëÿõ ôóíêöèè
ζ(s) â îêðåñòíîñòè êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé//
Ìàòåì. çàìåòêè. 1989 Ò. 46, âûï. 4. Ñ. 114115.
[23] Êîðîë¼â Ì. À. Îá àðãóìåíòå äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà íà êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé// Èçâ. ÐÀÍ. Ñåð. ìàòåì., 2003. Vol.67, 2. C. 2160.
[24] Ìàëûøåâ À. Â. Î ïðåäñòàâëåíèè öåëûõ ÷èñåë ïîëîæèòåëüíûìè êâàäðàòè÷íûìè ôîðìàìè // Òð. ÌÈÀÍ ÑÑÑÐ 1962. Ò. 65. Ñ. 3-212.
[25] Òèò÷ìàðø Å. Ê. Òåîðèÿ äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà // Ì.: Ìèð, 1953. 406 c.
[26] Âîðîíèí Ñ. Ì., Êàðàöóáà À. À. Äçåòà-ôóíêöèÿ Ðèìàíà. // Ì.: Ôèçìàòëèò,
1994. 376 c.
[27] Êàðàöóáà À. À. Îñíîâû àíàëèòè÷åñêîé òåîðèè ÷èñåë. Ì.: Íàóêà, 1983. 240
ñ.
[28] Gabriel R. M. Some results concerning the intergrals of moduli of regular
functions along certain curves// J. London Math. Soc. 1927. vol. 2. P. 112117.
ÐÀÁÎÒÛ ÀÂÒÎÐÀ ÏÎ ÒÅÌÅ ÄÈÑÑÅÐÒÀÖÈÈ
1. Äî Äûê Òàì Î ðàñïðåäåëåíèè íóëåé ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé
L-
ôóíêöèé
Äèðõëå, ëåæàùèõ íà êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé// Íàó÷íûå âåäîìîñòè ÁåëÃÓ
Ñåðèÿ: Ìàòåìàòèêà. Ôèçèêà 2015. 5(202) âûï. 38. Ñ. 38-43.
83
2. Äî Äûê Òàì Ðàñïðåäåëåíèå íóëåé, ëåæàùèõ íà êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé, ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé
L-ôóíêöèé Äèðèõëå// ×åáûøåâñêèé ñáîðíèê. 2015.
16, âûï. 3. Ñ.183-208.
3. Äî Äûê Òàì Îá îäíîé çàäà÷å À.À. Êàðàöóáû// Íàó÷íûå âåäîìîñòè ÁåëÃÓ
Ñåðèÿ: Ìàòåìàòèêà. Ôèçèêà 2016. 6(227) âûï. 42. Ñ. 70-76.
4. Äî Äûê Òàì Î íóëÿõ äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà, ëåæàùèõ íà ïî÷òè âñåõ î÷åíü
êîðîòêèõ ïðîìåæóòêàõ êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé// Íàó÷íûå âåäîìîñòè ÁåëÃÓ
Ñåðèÿ: Ìàòåìàòèêà. Ôèçèêà 2016. 13(234) âûï. 43. Ñ. 59-66.
5. Äî Äûê Òàì Î êîëè÷åñòâå íóëåé
ζ(s) â îêðåñòíîñòè êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé//
Íàó÷íûå âåäîìîñòè ÁåëÃÓ Ñåðèÿ: Ìàòåìàòèêà. Ôèçèêà 2016. 13(234)
âûï. 43. Ñ. 67-71.
6. Äî Äûê Òàì Î íóëÿõ äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà
ζ(s),
ëåæàùèõ íà ïî÷òè
âñåõ êîðîòêèõ ïðîìåæóòêàõ êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé// ×åáûøåâñêèé ñáîðíèê.
2016. . 17, âûï. 1. Ñ. 71-89.
7. Äî Äûê Òàì Î êîëè÷åñòâå íóëåé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà, ëåæàùèõ â ¾ïî÷òè âñåõ¿ î÷åíü êîðîòêèõ ïðîìåæóòêàõ îêðåñòíîñòè êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé//
×åáûøåâñêèé ñá., 2016. . 17, âûï. 3. Ñ 106-124.
84
Отзывы:
Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв