Распределение нулей дзета-функции Римана на очень коротких промежутках критической прямой

До Дык Там

Распределение нулей дзета-функции Римана на очень коротких промежутках критической прямой

01.06.01 Математика и механика

Математика

Дипломы

Вуз: Белгородский государственный университет - национальный исследовательский университет (НИУ «БелГУ»)

ID: 5c1a55097966e104f6f85327

UUID: f8ad09b0-e5c7-0136-fd6f-525400005860

Язык: Русский

Опубликовано: больше 5 лет назад

Просмотры: 10

До Дык Там

Источник: Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Белгородский государственный национальный исследовательский университет»

Комментировать 0

Рецензировать 0

Скачать - 543,5 КБ

Поделиться работой

ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÎÅ ÀÂÒÎÍÎÌÍÎÅ ÎÁÐÀÇÎÂÀÒÅËÜÍÎÅ Ó×ÐÅÆÄÅÍÈÅ ÂÛÑØÅÃÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ¾ÁÅËÃÎÐÎÄÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÍÀÖÈÎÍÀËÜÍÛÉ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÑÊÈÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ¿ (ÍÈÓ ¾ÁåëÃÓ¿) ÔÀÊÓËÜÒÅÒ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ È ÅÑÒÅÑÒÂÅÍÍÎÍÀÓ×ÍÎÃÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÏÅÄÀÃÎÃÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÈÍÑÒÈÒÓÒÀ Êàôåäðà ìàòåìàòèêè ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ ÍÓËÅÉ ÄÇÅÒÀ-ÔÓÍÊÖÈÈ ÐÈÌÀÍÀ ÍÀ Î×ÅÍÜ ÊÎÐÎÒÊÈÕ ÏÐÎÌÅÆÓÒÊÀÕ ÊÐÈÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÏÐßÌÎÉ Íàó÷íî-êâàëèôèêàöèîííàÿ ðàáîòà àñïèðàíòà î÷íîé ôîðìû îáó÷åíèÿ íàïðàâëåíèÿ ïîäãîòîâêè: 01.06.01 Ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà îáðàçîâàòåëüíàÿ ïðîãðàììà: Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà, àëãåáðà è òåîðèÿ ÷èñåë 4 êóðñà Äî Äûê Òàìà Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü: äîêòîð ôèçèêîìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê Ãðèöåíêî Ñåðãåé Àëåêñàíäðîâè÷ ÁÅËÃÎÐÎÄ 2018

Îãëàâëåíèå Îáîçíà÷åíèÿ 3 Ââåäåíèå 4 1 2 Ãëàâà 1. Âñïîìîãàòåëüíûå óòâåðæäåíèÿ 15 1.1 Âñïîìîãàòåëüíûå ëåììû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2 Îñíîâíûå ëåììû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3 Âûâîäû ïî ïåðâîé ãëàâå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Ãëàâà 2. Íóëè äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà íà êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé 44 2.1 Âñïîìîãàòåëüíûå ëåììû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2 Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.3 Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.4 3 Âûâîäû ïî âòîðîé ãëàâå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Ãëàâà 3: Íóëè äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â îêðåñòíîñòè êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé 73 3.1 Âñïîìîãàòåëüíûå ëåììû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.2 Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.3 Âûâîäû ïî òðåòüåé ãëàâå 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Çàêëþ÷åíèå 81 Ñïèñîê ëèòåðàòóðû 82

Îáîçíà÷åíèÿ c, c1 , c2 , · · · ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿííûå; p, p1 , p2 · · · ïðîñòûå ÷èñëà; s êîìïëåêñíîå ÷èñëî, σ = <(s), t = =(s); τ (n) ÷èñëî ðàçëè÷íûõ íàòóðàëüíûõ äåëèòåëåé ÷èñëà n; ϕ(n) ôóíêöèÿ Ýéëåðà ÷èñëî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, íå ïðåâîñõîäÿùèõ n è âçàèìíî ïðîñòûõ ñ n; çàïèñü d | n îçíà÷àåò, ÷òî n êðàòíî d; çàïèñü a ≡ b (mod m) îçíà÷àåò, ÷òî m | (a − b); µ(n) ôóíêöèÿ Ìåáèóñà, êîòîðàÿ ðàâíà åäèíèöå ïðè n = 1, ðàâíà íóëþ, 2 k åñëè p |n è ðàâíà (−1) , åñëè n ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ k ðàçëè÷íûõ ïðîñòûõ ñîìíîæèòåëåé; Λ(n) ôóíêöèÿ Ìàíãîëüäòà, êîòîðàÿ ðàâíà ln p ïðè n = pk , ðàâíà íóëþ, k åñëè n 6= p ; π(x) ÷èñëî ïðîñòûõ ÷èñåë, íå ïðåâîñõîäÿùèõ x; ψ(x) ôóíêöèÿ ×åáûøåâà ñóììà çíà÷åíèé ôóíêöèè Λ(n) ïî n, íå ïðåâîñõîäÿùèì x; (a, b) íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü ÷èñåë a è b; kξk ðàññòîÿíèå îò äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà ξ äî áëèæàéøåãî öåëîãî ÷èñëà; [α] öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà α; Γ(s) ãàììà-ôóíêöèÿ Ýéëåðà; ζ(s) äçåòà-ôóíêöèÿ Ðèìàíà; çàïèñü A B îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ïîñòîÿííàÿ c òàêàÿ, ÷òî |A| 6 cB ; çàïèñü A B îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóþò ïîñòîÿííûå c1 , c2 òàêèå, ÷òî c1 B 6 A 6 c2 B . 3

Ââåäåíèå Àêòóàëüíîñòü òåìû Ðàñïðåäåëåíèå íóëåé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà íà êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé Äçåòà-ôóíêöèÿ Ðèìàíà îïðåäåëÿåòñÿ â ïîëóïëîñêîñòè <(s) > 1 ñóììîé ðÿäà Äèðèõëå +∞ X ζ(s) = n−s . n=1 Ïðè âåùåñòâåííûõ s ýòà ôóíêöèÿ èçó÷àëàñü Ë. Ýéëåðîì, êîòîðîìó ïðèíàä- ëåæèò çàìå÷àòåëüíîå òîæäåñòâî, âûðàæàþùåå íèå ζ(s) ÷åðåç ýéëåðîâî ïðîèçâåäå- −1 Y 1 1− s ζ(s) = , <(s) > 1, p p ãäå â ïðàâîé ÷àñòè ñòîèò ïðîèçâåäåíèå ïî âñåì ïðîñòûì ÷èñëàì p. Ýéëåðà óêàçûâàåò íà ñâÿçü, êîòîðàÿ ñóùåñòâóåò ìåæäó ôóíêöèåé Òîæäåñòâî ζ(s) è ïðî- ñòûìè ÷èñëàìè. Áåðíõàðä Ðèìàí ñòàë èçó÷àòü äçåòà-ôóíêöèþ êàê ôóíêöèþ êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. Èì áûëà äîêàçàíà ôîðìóëà: π −s/2 1 ζ(s) = + Γ 2 s(s − 1) s +∞ Z s/2−1 x −s/2−1/2 +x ω(x)dx, (1) 1 ãäå ω(x) = +∞ X 2 e−πn x . n=1 ζ(s) íà âñþ êîìïëåêñíóþ ïëîñêîñòü. Ïðàâàÿ ÷àñòü èçìåíèòñÿ ïðè çàìåíå s íà 1 − s, ò.å. ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî: s 1 − s π −s/2 Γ ζ(s) = π (s−1)/2 Γ ζ(1 − s). (2) 2 2 Ýòà ôîðìóëà ïðîäîëæàåò (1) íå Ðàâåíñòâî (2) íàçûâàþò ôóíêöèîíàëüíûì óðàâíåíèåì äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà. Èç (1) ñëåäóåò, ÷òî ζ(s) íà âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè- s = 1, ãäå îíà èìååò ïðîñòîé ïîëþñ ñ âû÷åòîì, ðàâíûì 1. Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ζ(s) íå îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè <(s) > 1 è ïðè <(s) < 0 çà èñêëþ÷åíèåì s = −2, −4, · · · . Çíà÷åíèÿ s = −2, −4, · · · íàçûâàþò òðèâèàëüíûìè íóëÿìè äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà. Îíè ÿâëÿþòñÿ ïîëþñàìè ôóíêöèè Γ(s/2). Á. Ðèìàí äîêàçàë, ÷òî ζ(s) èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî íåòðèâèàëüíûõ íóëåé. Âñå ýòè íóëè ëåæàò â ïîëîñå 0 < <(s) < 1 è ÿâëÿþòñÿ êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè. ÷åñêîé ôóíêöèåé ñ åäèíñòâåííîé îñîáåííîñòüþ â òî÷êå 4

0 < <(s) < 1 Â òåîðèè äçåòà-ôóíêöèè ïîëîñó íàçûâàþò êðèòè÷åñêîé. Â 1859 ã. Á. Ðèìàí âûñêàçàë ãèïîòåçó î òîì, ÷òî âñå êîìïëåêñíûå íóëè äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà ëåæàò íà ïðÿìîé <(s) = 1/2. <(s) = 1/2 íàçûâàåòñÿ î íóëÿõ ζ(s) íå äîêàçàíà Ïðÿìàÿ òè÷åñêîé. Â íàñòîÿùåå âðåìÿ ãèïîòåçà Ðèìàíà êðèè íå îïðîâåðãíóòà. Íóëè äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà èãðàþò èñêëþ÷èòåëüíóþ ðîëü â òåîðèè ïðîñòûõ ÷èñåë. Á. Ðèìàí â ðàáîòå [1, ñ. 216] ¾Î ÷èñëå ïðîñòûõ ÷èñåë, íå ïðåâûøàþùèõ äàííîé âåëè÷èíû¿ îáíàðóæèë, ÷òî êîëè÷åñòâî ïðîñòûõ ÷èñåë, íå ïðåâîñõîäÿùèõ ζ(s). x, âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ñóììó ñ êîìïëåêñíûìè íóëÿìè äçåòà-ôóíêöèè Äëÿ ôóíêöèè ×åáûøåâà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà X xρ x(ln x)2 ψ(x) = x − +O , ρ T |=(ρ)|6T ãäå 2 6 T 6 x, è ρ íóëè äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â êðèòè÷åñêîé ïîëîñå. Â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ñïðàâåäëèâà ãèïîòåçà Ðèìàíà, ìîæíî ïîëó÷èòü àñèìïòîòè÷åñêóþ ôîðìóëó ψ(x) = x + O √ x(ln x)2 . Ïðîáëåìà ðàñïðåäåëåíèÿ íóëåé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà, â îñîáåííîñòè ãèïîòåçà Ðèìàíà, ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç òðóäíåéøèõ è èíòåðåñíûõ ïðîáëåì àíàëèòè÷åñêîé òåîðèè ÷èñåë. Íà ïðîòÿæåíèè ïîëóòîðà ñòîëåòèé ïîëó÷åíî áîëüøîå êîëè÷åñòâî ðåçóëüòàòîâ, ïîñâÿùåííûõ ýòîé ïðîáëåìå. Â 1914 ã. Ã. Õàðäè [2] äîêàçàë áåñêîíå÷íîñòü ìíîæåñòâà íóëåé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà íà êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé. Ïîçäíåå, â 1921 ã. Ã. Õàðäè ñîâìåñòíî ñ Äæ. a > 0, 5 ñóùåñòâóþò T0 = T0 (a) è c = c(a) > 0 a òàêèå, ÷òî ïðè T > T0 ïðîìåæóòîê (T, T + H), H = T ñîäåðæèò íå ìåíüøå, ÷åì c(a)H íóëåé ôóíêöèè ζ(0, 5 + it). Ïóñòü N0 (T ) ÷èñëî íóëåé ôóíêöèè ζ(0, 5 + it) òàêèõ, ÷òî 0 < t 6 T . Ëèòòëâóäîì [3] äîêàçàë, ÷òî äëÿ Â ñîðîêîâûõ ãîäàõ ÕÕ âåêà À. Ñåëüáåðã [4], óñîâåðøåíñòâîâàâ ðàññóæäåíèÿ Ã. Õàðäè è Äæ. Ëèòòëâóäà, ïîëó÷èë ïðàâèëüíóþ ïî ïîðÿäêó îöåíêó ñíèçó äëÿ ÷èñëà íóëåé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà íà ïðîìåæóòêàõ êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé. Ñ ïîìîùüþ òàê íàçûâàåìîé èäåè ¾óñïîêàèâàþùåãî ìíîæèòåëÿ¿ îí äîêàçàë ñëåäóþùóþ òåîðåìó: Òåîðåìà A. T0 = T0 (a) Åñëè òàêèå, ÷òî H ≥ T a , ãäå a > 1/2, ïðè T > T0 ñïðàâåäëèâî òî ñóùåñòâóþò c = c(a) > 0 è íåðàâåíñòâî N0 (T + H) − N0 (T ) > c(a)H (ln T ) . (3) Èç ôîðìóëû Ðèìàíà-Ìàíãîëüäòà (ñì. [5, c. 44]): N (T ) = T T T ln − + O(ln T ) 2π 2π 2π 5 (4)

N (T ) íóëåé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â ïðÿìîóãîëüíèêå 0 6 <(s) 6 1, 0 6 =(s) 6 T è òåîðåìû À ñëåäóåò, ÷òî ïîëîæèòåëüíàÿ äîëÿ íóëåé ôóíêöèè ζ(s) ëåæèò íà ïðÿìîé <(s) = 1/2. A. Ñåëüáåðã âûñêàçàë ãèïîòåçó î òîì, ÷òî ïàðàìåòð a â åãî òåîðåìå ìîæíî âçÿòü ìåíüøèì, ÷åì 1/2. äëÿ ÷èñëà Ñåëüáåðãîâñêîå óñîâåðøåíñòâîâàíèå ïîäõîäà Õàðäè è Ëèòòëâóäà ñîñòîèò â òîì, ÷òî ôóíêöèÿ ζ(s) óñïîêàèâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ìíîãî÷ëåíà Äèðèõëå. Äëÿ ïî- ñòðîåíèÿ ýòîãî ìíîãî÷ëåíà À. Ñåëüáåðã ñóùåñòâåííî âîñïîëüçîâàëñÿ íàëè÷èåì ó ζ(s) ýéëåðîâîãî ïðîèçâåäåíèÿ −1 Y 1 1− s ζ(s) = , <(s) > 1, p p ãäå â ïðàâîé ÷àñòè ñòîèò ïðîèçâåäåíèå ïî âñåì ïðîñòûì ÷èñëàì p. Ìåòîä Ñåëü- áåðãà-Õàðäè-Ëèòòëâóäà èçó÷åíèÿ íóëåé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà ïðèìåíåí âî ìíîãèõ çàäà÷àõ î íóëÿõ ðÿäîâ Äèðèõëå, èìåþùèõ ýéëåðîâîå ïðîèçâåäåíèå. Òàêæå ñòîèòü îòìåòèòü ðîáîòó Í. Ëåâèíñîíà [6], â êîòîðîé îí ïîëó÷èë ñèëüíûé ðåçóëüòàò î äîëå íóëåé ôóíêöèè N0 (T ) > 1/3N (T ) ÷òî ζ(s) íà êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé. Äîêàçàíî, äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ýòî íåðàâåíñòâî, çàìåíèâ êîíñòàíòó 1/3 T. Ïîòîì Á. Êîðíè [7] óòî÷íèë â ïðàâîé ÷àñòè íà 2/5. Â âîñüìèäåñÿòûõ ãîäàõ XX âåêà À. À. Êàðàöóáà âûïîëíèë ðÿä çàìå÷àòåëüíûõ ðàáîò î íóëÿõ äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà [816]. Â ÷àñòíîñòè, â [8] îí äîêàçàë ìåòîäîì òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñóìì ãèïîòåçó À. Ñåëüáåðãà î ÷èñëå íóëåé äçåòàôóíêöèè Ðèìàíà íà êîðîòêèõ ïðîìåæóòêàõ êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé. Äîêàçàíî, ÷òî H = T a+ω1 , ãäå a = 27/82 è ω1 ïðîóñëîâèåì 0 < ω1 < 0, 001. Îáñòîÿòåëüñòâîì, óòâåðæäåíèå òåîðåìû A èìååò ìåñòî ïðè èçâîëüíîå ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî ñ êîòîðîå ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü óëó÷øåíèå, ÿâëÿþòñÿ íåòðèâèàëüíûå îöåíêè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñóìì ñïåöèàëüíîãî âèäà W1 (T ) è W2 (T ) (ñì. ëåììà 16). Â 1984 ã. À. À. Êàðàöóáà [9] ïîëó÷èë îöåíêó âèäà (3) äëÿ ïî÷òè âñåõ çíà÷åíèé T èç ïðîìåæóòêà [X, 2X] è H = T ω2 , ω2 ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Äðóãèìè ñëîâàìè, îí ðåøèë çàäà÷ó ïîëó÷åíèÿ îöåíîê ñåëüáåðãîâñêîãî òèïà äëÿ ïî÷òè âñåõ î÷åíü êîðîòêèõ ïðîìåæóòêîâ. Â 1992 ã., ïðèìåíèâ ñâîé íîâûé ïîäõîä, À. À. Êàðàöóáà [10] äîêàçàë, ÷òî ïðè Xè √ 6 H 6 X 1/3 , exp exp 2a1 ln ln X äîñòàòî÷íîì áîëüøîì ãäå a1 2X , íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ, ïî÷òè âñå ïðîìåæóòêè (T, T + H), ãäå X 6 T 6 ñîäåðæàò íå ìåíüøå, ÷åì s ! ln X H (ln H) exp −a1 ln ln H íóëåé íå÷åòíîãî ïîðÿäêà ôóíêöèè ζ(0, 5 + it). 6

X δ δ > 0 íèæíèé ïðåäåë H ñóùåñòâåííî ìåíüøå ln ln X èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî Çàìåòèì, ÷òî ïðè ëþáîì ìàëîì H > exp exp 2a1 . Äëÿ √ s ! √ ln X H (ln H) exp −a1 ln > H exp a1 ln ln X . ln H Ýòî íåðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî îöåíêà À.À. Êàðàöóáû ïðè ìàëûõ H íåñêîëü- êî ñëàáåå îöåíêè À. Ñåëüáåðãà â òåîðåìå À, íî òî÷íåå òîé, êîòîðàÿ ïîëó÷åíà Õàðäè-Ëèòòëâóäîì â 1921 ã. Â ýòîì íàïðàâëåíèè Ë. Â. Êèñåëåâà [17] ïîëó÷èëà ðåçóëüòàò ïîäîáíîãî ðîäà äëÿ ïî÷òè âñåõ çíà÷åíèé T èç ïðîìåæóòêà X, X + X 11/12+ω3 è H = X ω3 , ω3 ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Ðàñïðåäåëåíèå íóëåé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â îêðåñòíîñòè êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé Â 1896 ã. Âàëëå-Ïóññåí äîêàçàë, ÷òî ζ(1 + it) íå îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè äåé- ñòâèòåëüíûõ t. Îòñþäà ñëåäóåò àñèìïòîòè÷åñêèé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîñòûõ ÷èñåë ψ(x) ∼ x. Â 1899 ã. Âàëëå-Ïóññåí ïîëó÷èë áîëåå òî÷íûé ðåçóëüòàò î ãðàíèöå íóëåé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà. Äîêàçàíî, ÷òî ñóùåñòâóåò àáñîëþòíàÿ ïîñòîÿííàÿ òàêàÿ, ÷òî â îáëàñòè s-ïëîñêîñòè âèäà <(s) > 1 − íåò íóëåé äçåòà-ôóíêöèè ζ(s). c>0 c (ln |t| + 2) Ãðàíèöó íóëåé ζ(s) óòî÷íÿëè ìíîãèå ìàòåìàòè- êè. Ïðèâåäåì òîëüêî ðåçóëüòàò È. Ì. Âèíîãðàäîâà [18]: Ñóùåñòâóåò àáñîëþòíàÿ ïîñòîÿííàÿ c>0 s-ïëîñêîñòè âèäà c <(s) > 1 − , 2/3 1/3 (ln t) (ln ln t) òàêàÿ, ÷òî â îáëàñòè t > 10, äçåòà-ôóíêöèÿ Ðèìàíà íå èìååò íóëåé. N (σ, T ) ÷èñëî íóëåé ζ(s) â ïðÿìîóãîëüíèêå σ < <s < 1, 0 < =s 6 T . Åñëè âåðíà ãèïîòåçà Ðèìàíà, òî ïðè σ > 1/2 ôóíêöèÿ N (σ, T ) òîæäåñòâåííî Ïóñòü ðàâíà íóëþ. Ïîñêîëüêó ãèïîòåçà Ðèìàíà íå äîêàçàíà è íå îïðîâåðãíóòà, ðÿä âûäàþùèõñÿ ìàòåìàòèêîâ çàíèìàëñÿ áåçóñëîâíûìè îöåíêàìè ñâåðõó ôóíêöèè N (σ, T ) ïðè σ > 1/2. Â 1924 ã. Äæ. Ëèòòëâóä [19] íà îñíîâå òåîðåìû î êîëè÷åñòâå íóëåé àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè â ïðÿìîóãîëüíèêå äîêàçàë ñëåäóþùóþ òåîðåìó: Òåîðåìà (Ëèòòëâóä). Ïðè 1/2 < σ 6 1 ðàâíîìåðíî ïî îöåíêà N (σ, T ) = O T 1 ln . σ − 0, 5 σ − 0, 5 7 σ ñïðàâåäëèâà

Ñëåäñòâèå (Ëèòòëâóä). êîíå÷íîñòè âìåñòå ñ îáëàñòè Φ(t) ïîëîæèòåëüíàÿ è ñòðåìÿùàÿñÿ ê áåñt ôóíêöèÿ, òî ïî÷òè âñå êîìïëåêñíûå íóëè ζ(s) ëåæàò â

σ −

< Φ(t) ln ln t .

ln t Åñëè Â ñîðîêîâûõ ãîäàõ À. Ñåëüáåðã [4, 20] äîêàçàë ñëåäóþùèå òåîðåìû: Òåîðåìà D. σ H ≥ T a, Åñëè ãäå a > 1/2, òî ïðè 1/2 < σ 6 1 ðàâíîìåðíî ïî ñïðàâåäëèâà îöåíêà N (σ, T + H) − N (σ, T ) = O H . σ − 0, 5 À. Ñåëüáåðã òàêæå âûñêàçàë ãèïîòåçó î òîì, ÷òî ïàðàìåòð ìîæíî âçÿòü ìåíüøèì, ÷åì a â òåîðåìå D 1/2. T a 6 H 6 T , ãäå a ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî, 0, 5 < a 6 1, òî ðàâíîìåðíî ïî σ , 0, 5 6 σ 6 1, ñïðàâåäëèâà îöåíêà − 12 (σ− 21 ) ! H . N (σ, T + H) − N (σ, T ) = O H (ln T ) √ T Òåîðåìà (À. Ñåëüáåðã). Åñëè Çíà÷åíèå ýòîé òåîðåìû ñîñòîèò â òîì, ÷òî ¾ïî÷òè âñå¿ íåòðèâèàëüíûå íóëè ôóíêöèè ζ(s) ëåæàò â î÷åíü óçêîé îêðåñòíîñòè êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé. Íåòðèâèàëüíàÿ îöåíêà òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñóììû ñïåöèàëüíîãî âèäà W (T ) (ñì. ëåììó 18) ïîçâîëèëà â 1985 ã. À.À. Êàðàöóáå [11] äîêàçàòü ãèïîòåçó À. Ñåëüáåðãà. Äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà: Òåîðåìà (À.À. Êàðàöóáà). σ61 ðàâíîìåðíî ïî σ H > T a, Åñëè ãäå a > 27/82, òî ïðè 1/2 < ñïðàâåäëèâà îöåíêà N (σ, T + H) − N (σ, T ) = O H . σ − 0, 5 (5) Ïîçäíåå, â 1996 ã. À.À. Êàðàöóáà [16] äîêàçàë ïëîòíîñòíóþ òåîðåìó äëÿ ñëó÷àÿ êîðîòêîãî ïðîìåæóòêà (T, T + H) Òåîðåìà (À.À. Êàðàöóáà). ñ H < T 1/2 : 27/82 < a 6 1 ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî, T > T0 (a) > 0, H = T . Ïðè 1/2 6 σ 6 1 âûïîëíÿåòñÿ îöåíêà 0,0001(2σ−1) N (σ, T + H) − N (σ, T − H) = O H (ln T ) H −1 T 27/82 , Ïóñòü a ãäå ïîñòîÿííàÿ â çíàêå O çàâèñèò òîëüêî îò Ë.Â. Êèñåëåâà [21, 22] äîêàçàëà, ÷òî ïðè a. 0, 5 < σ 6 1 è H = T ω4 , ω4 ïðî- èçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, íåðàâåíñòâî (5) ñïðàâåäëèâî äëÿ ïî÷òè âñåõ çíà÷åíèé T èç ïðîìåæóòêà [X, X + X 11/12+ω4 ]. 8

B 2003 ã. Ì.À. Êîðîë¼â [23] ïîëó÷èë ðåçóëüòàò, ÿâëÿþùèéñÿ àíàëîãîì ïëîòíîñòíûõ òåîðåì À. Ñåëüáåðãà è À.À. Êàðàöóáû äëÿ î÷åíü êîðîòêèõ ïðîìåæóòêîâ (T, T + H], êîòîðûé ñïðàâåäëèâ äëÿ ¾ïî÷òè âñåõ¿ çíà÷åíèé Òåîðåìà (Ì.À. Êîðîë¼â). T: ω5 ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ íåðàâåíñòâó 0 < ω5 < 0, 01, c = c(ω5 ) > 0 ïîñòîÿííàÿ, X > X0 (ω5 ) > 0, H = X ω5 , è ïóñòü E ìíîæåñòâî çíà÷åíèé T èç ïðîìåæóòêà (X, 2X), äëÿ êîòîðûõ ïðè ëþáîì σ , 1/2 6 σ 6 1, âåðíà îöåíêà Ïóñòü N (σ, T + H) − N (σ, T − H) 6 cHX −0,01ω5 (2σ−1) ln X. Òîãäà äëÿ ìåðû ýòîãî ìíîæåñòâà ñïðàâåäëèâà àñèìïòîòè÷åñêàÿ ôîðìóëà µ(E) = X − O(X 1−0,1ω5 ). Öåëü ðàáîòû Öåëü äàííîé ðàáîòû ïîëó÷èòü îöåíêè ¾ñåëüáåðãîâñêîãî òèïà¿ (ñì. òåîðåìû A è D) äëÿ ÷èñëà íóëåé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà íà ¾ïî÷òè âñåõ¿ î÷åíü êîðîòêèõ ïðîìåæóòêàõ êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé è å¼ îêðåñòíîñòè â ñëó÷àå, êîãäà îñðåäíåíèå èä¼ò ïî êîðîòêîìó îòðåçêó. Îáúåêò èññëåäîâàíèÿ Îáúåêò èññëåäîâàíèÿ äçåòà-ôóíêöèÿ Ðèìàíà è å¼ íóëè. Ïðåäìåò èññëåäîâàíèÿ Ïðåäìåò èññëåäîâàíèÿ íóëè äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà íà î÷åíü êîðîòêèõ ïðîìåæóòêàõ êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé è å¼ îêðåñòíîñòè. Íàó÷íàÿ íîâèçíà Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ðàáîòû ÿâëÿþòñÿ íîâûìè è çàêëþ÷àþòñÿ â ñëåäóþùåì: ζ(0, 5+it), ëåæàùèõ íà î÷åíü êîðîòêèõ ïðîìåæóòêàõ âèäà [T, T + X ], äëÿ ¾ïî÷òè âñåõ¿ çíà÷åíèé T èç 7/8+ε ïðîìåæóòêà [X, X + X ], 0 < ε < 0, 01 ïðîèçâîëüíîå ìàëîå ÷èñëî. 1. Ïîëó÷åíà îöåíêà ñíèçó ÷èñëà íóëåé ôóíêöèè ε , ëåæàùèõ íà î÷åíü ζ(0, 5+it) √ êîðîòêèõ ïðîìåæóòêàõ âèäà [T, T +H], exp exp 2a ln ln X 6 H 6 X ε, 2. Ïîëó÷åíà îöåíêà ñíèçó ÷èñëà íóëåé ôóíêöèè äëÿ ¾ïî÷òè âñåõ¿ çíà÷åíèé 0, 01 T èç ïðîìåæóòêà ïðîèçâîëüíîå ìàëîå ÷èñëî è a>0 [X, X + X 7/8+ε ], ãäå 0<ε< íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ. 3. Ïîëó÷åíà îöåíêà ñâåðõó ÷èñëà íóëåé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà, ëåæàùèõ â 0, 5 < σ 6 <s < 1, T 6 =s 6 T + X ε , äëÿ ¾ïîT èç ïðîìåæóòêà [X, X + X 7/8+ε ], 0 < ε < 0, 01 ïðÿìîóãîëüíèêàõ âèäà ÷òè âñåõ¿ çíà÷åíèé ïðîèçâîëüíîå ìàëîå ÷èñëî. 9

Ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ Â äèññåðòàöèè èñïîëüçóþòñÿ ìåòîäû À. À. Êàðàöóáû ïîëó÷åíèÿ îöåíêè ¾ñåëüáåðãîâñêîãî òèïà¿ äëÿ ÷èñëà íóëåé ζ(s) íà ¾ïî÷òè âñåõ¿ êîðîòêèõ ïðîìåæóòêàõ êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé è å¼ îêðåñòíîñòè, îöåíêà êëàññè÷åñêîé ñóììû Êëîîñòåðìàíà, à òàêæå ìåòîä òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñóìì. Ïðàêòè÷åñêàÿ è òåîðåòè÷åñêàÿ öåííîñòü Ðàáîòà íîñèò òåîðåòè÷åñêèé õàðàêòåð. Å¼ ðåçóëüòàòû è ìåòîäû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû â äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèÿõ, ïîñâÿùåííûõ ðàñïðåäåëåíèþ íóëåé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà è L−ôóíêöèè Äèðèõëå. Àïðîáàöèÿ ðåçóëüòàòîâ Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ðàáîòû äîêëàäûâàëèñü • íà Ìåæäóíàðîäíîé Ðîññèéñêî-Êèòàéñêîé êîíôåðåíöèè ¾Àêòóàëüíûå ïðîáëåìû ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè è ôèçèêè¿ Ïðèýëüáðóñüå, ïîñ. Ýëüáðóñ, Ðîññèÿ, 1418 äåêàáðÿ 2015 ã. • íà XIII Ìåæäóíàðîäíîé êîíôåðåíöèè ¾Àëãåáðà, òåîðèÿ ÷èñåë è äèñêðåòíàÿ ãåîìåòðèÿ: ñîâðåìåííûå ïðîáëåìû è ïðèëîæåíèÿ¿, ïîñâÿùåííàÿ âîñüìèäåñÿòèïÿòèëåòèþ ñî äíÿ ðîæäåíèÿ ïðîôåññîðà Ñåðãåÿ Ñåðãååâè÷à Ðûøêîâà, ã. Òóëà, Ðîññèÿ, 2530 ìàÿ 2015 ã. • íà XXIII Ìåæäóíàðîäíîé íàó÷íîé êîíôåðåíöèè ñòóäåíòîâ, àñïèðàíòîâ è ìîëîäûõ ó÷åíûõ ¾Ëîìîíîñîâ¿, ã. Ìîñêâà, Ðîññèÿ, 11-15 àïðåëÿ 2016 ã. • íà Ìåæäóíàðîäíîé êîíôåðåíöèè ¾Àëãåáðà, òåîðèÿ ÷èñåë: ñîâðåìåííûå ïðîáëåìû è ïðèëîæåíèÿ¿, ïîñâÿùåííàÿ 70-ëåòèþ ñî äíÿ ðîæäåíèÿ ïðîôåññîðîâ Ã. È. Àðõèïîâà è Ñ. Ì. Âîðîíèíà, ã. Ñàðàòîâ, Ðîññèÿ, 1215 ñåíòÿáðÿ 2016 ã. Ïóáëèêàöèè Ïî òåìå äèññåðòàöèè îïóáëèêîâàíî 11 ïå÷àòíûõ ðàáîò, â òîì ÷èñëå 7 â èçäàíèÿõ ïî ïåðå÷íþ ÂÀÊ. Ñïèñîê ñòàòåé àâòîðà ïðèâåäåí â êîíöå äèññåðòàöèè. Ñòðóêòóðà è îáúåì ðàáîòû Äèññåðòàöèÿ ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ, òðåõ ãëàâ è ñïèñêà ëèòåðàòóðû. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû ñîäåðæèò 28 íàèìåíîâàíèé. Îáùèé îáúåì äèññåðòàöèè - 84 ñòðàíèöû ìàøèíîïèñíîãî òåêñòà. 10

Ñîäåðæàíèå äèññåðòàöèè Âî ââåäåíèè îáîñíîâûâàåòñÿ àêòóàëüíîñòü òåìû äèññåðòàöèè, äàåòñÿ êðàòêèé èñòîðè÷åñêèé îáçîð ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷åííûõ ðàíåå è ñâÿçàííûõ ñ òåìàòèêîé äèññåðòàöèîííîé ðàáîòû, ôîðìóëèðóþòñÿ îñíîâíûå ðåçóëüòàòû äèññåðòàöèè è äàåòñÿ êðàòêîå îïèñàíèå ìåòîäîâ äîêàçàòåëüñòâà. Ïåðâàÿ ãëàâà äèññåðòàöèè ñîäåðæèò ðÿä âñïîìîãàòåëüíûõ ëåìì, èçâåñò- íûõ â ëèòåðàòóðå, à òàêæå îñíîâíóþ ëåììó 14, â êîòîðîé îöåíèâàåòñÿ êðàòíàÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ñóììà, ïåðåìåííûå ñóììèðîâàíèÿ êîòîðîé óäîâëåòâîðÿþò îïðåäåëåííûì óñëîâèÿì ñâÿçè. Ïðè îöåíêå ýòîé ñóììû èñïîëüçóþòñÿ ìåòîä òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñóìì è êëàññè÷åñêàÿ îöåíêà èçâåñòíîé òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñóììû Êëîîñòåðìàíà. Âòîðàÿ ãëàâà ñîñòîèò èõ òðåõ ïàðàãðàôîâ è ñîäåðæèò èññëåäîâàíèå ðàñ- ïðåäåëåíèÿ íóëåé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà íà êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé. Â ïåðâîì ïàðàãðàôå äîêàçàíû ëåììû 16 è 17, êîòîðûå ïîñâÿùåíû îöåíêàì â ñðåäíåì Wj (T ) è Qj (T ), j = 1, 2. Èç ýòèõ ëåìì ñëåäóþò îöåíêè ñâåðõó ñóìì Wj (T ) è Qj (T ), j = 1, 2, äëÿ ¾ïî÷òè âñåõ¿ çíà÷åíèé T èç ïðîìåæóòêà [X, X + X1 ]. çíà÷åíèé òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñóìì ñïåöèàëüíîãî âèäà Îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì âòîðîé ãëàâû ÿâëÿþòñÿ òåîðåìû: Ïóñòü ε1 ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ 0 < ε1 < 0, 01. Ïóñòü, äàëåå, c1 = c1 (ε1 ) > 0 íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ, Òåîðåìà 1. X > X0 (ε1 ) > 0, H = X ε1 , X1 = X 7/8+ε1 . ×åðåç E1 îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî òåõ T ∈ [X, X + X1], äëÿ êîòîðûõ èíòåðâàë [T, T + H] ñîäåðæèò ìåíüøå, ÷åì c1H (ln T ) íóëåé íå÷åòíîãî ïîðÿäêà ôóíêöèè ζ(0, 5+it). Òîãäà äëÿ ìåðû ýòîãî ìíîæåñòâà µ(E1) ñïðàâåäëèâà îöåíêà µ(E1 ) X1 H −0,4 , ãäå ïîñòîÿííàÿ â çíàêå àáñîëþòíàÿ. Òåîðåìà 2. Ïóñòü ε2 ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ 0 < ε2 < 0, 01, a íåêîòîðàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Ïóñòü, äàëåå, X > X0 (ε2 ) > 0, X1 = X 7/8+ε2 , √ exp exp 2a ln ln X 6 H 6 X ε2 . ×åðåç E2 îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî òåõ çíà÷åíèé T èç ïðîìåæóòêà [X, X + X1 ], äëÿ êîòîðûõ èíòåðâàë [T, T + H] ñîäåðæèò ìåíüøå, ÷åì s ! ln X H (ln H) exp −a ln ln H 11

íóëåé íå÷åòíîãî ïîðÿäêà ôóíêöèè ζ(0, 5 + it). Òîãäà äëÿ ìåðû ýòîãî ìíîæåñòâà µ(E2) ñïðàâåäëèâà îöåíêà µ(E2 ) X1 H −0,4 , ãäå ïîñòîÿííàÿ â çíàêå àáñîëþòíàÿ. Äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì 1 è 2 ñîñòàâëÿþò ñîäåðæàíèå ïàðàãðàôîâ 2 è 3 âòîðîé ãëàâû. Îïèøåì îñíîâíûå ýòàïû äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 1. 0 < h < h1 < 1 íåêîòîðûå ÷èñëà, çíà÷åíèÿ êîòîðûõ áóäóò îïðåäåëåíû ïîçäíåå. Äëÿ T ∈ [X, X + X1 ] îïðåäåëèì ìíîæåñòâî E òàêèõ t èç [T, T + H], Ïóñòü ÷òî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî j1 (t) > j2 (t), ãäå Z h1 j1 (t) = e −(u/h)2

j2 (t) =

|F (t + u)| du; −h1 h1 −(u/h)2 e −h1

F (t + u)du

. F (t) ôóíêöèÿ Õàðäè-Ñåëüáåðãà (ñì. ëåììó 9). Çàìåòèì, ÷òî åñëè t ∈ E , òî â îòðåçêå (t − h1 , t + h1 ) ñîäåðæèòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå îäèí íóëü íå÷åòíîãî ïîðÿäêà ôóíêöèè ζ(0, 5+it). Èç îïðåäåëåíèÿ ìíîæåñòâà E ëåãêî íàõîäèì íåðàÇäåñü âåíñòâî: p ãäå µ(E) ìåðà ìíîæåñòâà Z T +H I1 = µ(E)I1 + p HI2 > I3 , (6) E, 2 Z T +H (j1 (t)) dt, I2 = T Z 2 (j2 (t)) dt, I3 = T T +H j1 (t)dt. T Åñëè ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå îöåíêè I1 h2 H, I3 > chH, I2 6 c0 h2 H, √ c > 2 c0 , òî èç íåðàâåíñòâà (6) h1 (ln X)−1 ñëåäóåò íåðàâåíñòâî ãäå ñëåäóåò îöåíêó µ(E) H . (7) Îòêóäà ïðè N0 (T + H) − N0 (T ) H ln T. Ìîæíî äîêàçàòü äëÿ âñåõ ìåðû O X1 H −0,4 T ∈ [X, X + X1 ] èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî I3 > chH, c > 0. 12 çà èñêëþ÷åíèåì ïîäìíîæåñòâà

Èíòåãðàëû èíòåãðàë I1 è I2 îöåíèâàþòñÿ ïî÷òè îäèíàêîâî. Ðàññìîòðèì, íà ïðèìåð, I1 . Ïîëüçóÿñü ïðèáëèæåííûì ôóíêöèîíàëüíûì óðàâíåíèåì ôóíêöèè Õàðäè-Ñåëüáåðãà (ñì. ëåììà 9), ïîëó÷èì

Z T +H

a(λ)

−it

2 √ λ

dt + O h2 HL−10 ; I1 h

√ λ T

λ6 2πT I1 h2 H (Σ0 (T ) + W 0 (T )) + O h2 HL−10 , ãäå X |a(λ)|2 Σ (T ) = λ √ 0 T 2π λ6 ñóììà äèàãîíàëüíûõ ñëàãàåìûõ, à W 0 (T ) = X λ1 <λ2 6P a(λ1 )a(λ2 ) √ λ1 λ2 λ2 λ1 iT ñóììà íå äèàãîíàëüíûõ ñëàãàåìûõ. Ñóììà O(1). H λ2 exp − ln 2 λ1 2 ! Σ0 (T ) îöåíåíà â ëåììå 10 âåëè÷èíîé Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî W 0 (T ) = O H −0,2 O X1 H −0,4 . Òàêèì îáðàçîì, îöåíêè (7) ñïðàâåäëèâû äëÿ âñåõ T ∈ [X, X + X1 ] çà èñêëþ −0,4 . Îòêóäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû ÷åíèåì ïîäìíîæåñòâà ìåðû O X1 H äëÿ âñåõ T ∈ [X, X + X1 ] çà èñêëþ÷åíèåì ïîäìíîæåñòâà ìåðû 1. Âòîðàÿ çàäà÷à, ðåøàåìàÿ â òðåòüåì ïàðàãðàôå, ðîäñòâåííà ïåðâîé. Îñîáåííîñòü âòîðîé çàäà÷è ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïðè ëþáîì √ H = exp exp 2a ln ln X ñóùåñòâåííî ìåíüøå X δ δ > 0 íèæíèé ïðåäåë . Â ýòîì ñëó÷àå íå óäàåòñÿ Σ0 (T ) = O(1). Îöåí[T, T + H] íåìíîãî ñëàáåå ïîëó÷èòü îöåíêó äëÿ ñóììû äèàãîíàëüíûõ ñëàãàåìûõ âèäà ζ(0, 5 + it) â èíòåðâàëå δ ñëó÷àå H = X . Ïðè å¼ äîêàçàòåëüñòâå êà äëÿ ÷èñëà íóëåé ôóíêöèè òîé, êîòîðàÿ ïîëó÷åíà â ïðèìåíÿåòñÿ ïîäõîä À. À. Êàðàöóáû (ñì. [10]). Òðåòüÿ ãëàâà äèññåðòàöèè ïîñâÿùåíà èññëåäîâàíèþ êîëè÷åñòâà íóëåé ζ(s) â îêðåñòíîñòè êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé è ñîñòîèò èç äâóõ ïàðàãðàôîâ. Â ïåðâîì ïàðàãðàôå äîêàçàíû ëåììû 18 è 19, êîòîðûå ïîñâÿùåíû îöåíêàì â ñðåäíåì çíà÷åíèé òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñóìì ñïåöèàëüíîãî âèäà ëåìì ñëåäóþò îöåíêè ñâåðõó ñóìì èç ïðîìåæóòêà W (T ) è Q(T ) W (T ) Q(T ). Èç ýòèõ äëÿ ¾ïî÷òè âñåõ¿ çíà÷åíèé [X, X + X1 ]. Îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì âòîðîé ãëàâû ÿâëÿþòñÿ òåîðåìû: 13 è T

Ïóñòü ε3 ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ 0 < ε3 < 0, 01. Ïóñòü, äàëåå, c3 = c3 (ε3 ) > 0 íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ, Òåîðåìà 3. H = X ε3 , X > X0 (ε3 ) > 0, Ïðè 1/2 X1 = X 7/8+ε3 . îáîçíà÷èì ÷åðåç E3 ìíîæåñòâî òåõ T èç ïðîìåæóòêà , äëÿ êîòîðûõ íåðàâåíñòâî < σ < 1 [X, X + X1 ] N (σ, T + H) − N (σ, T ) 6 c3 H σ − 0, 5 íå âûïîëíÿåòñÿ. Òîãäà äëÿ ìåðû ýòîãî ìíîæåñòâà µ(E3) ñïðàâåäëèâà îöåíêà: µ(E3 ) X1 H −0,4 , ãäå ïîñòîÿííàÿ â çíàêå àáñîëþòíàÿ. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3 ñîñòàâëÿåò ñîäåðæàíèå ïàðàãðàôà 2 òðåòüåé ãëàâû. Îíî ïðîâîäèòñÿ ïî ñõåìå ðàáîòû À. À. Êàðàöóáû [11], ïðè ýòîì ñóùåñòâåííî èñïîëüçóþòñÿ îöåíêè ñóìì ìåæóòêà W (T ) è Q(T ) äëÿ ¾ïî÷òè âñåõ¿ çíà÷åíèé T èç ïðî- [X, X + X1 ]. Áëàãîäàðíîñòè Àâòîð âûðàæàåò ãëóáîêóþ áëàãîäàðíîñòü ñâîåìó íàó÷íîìó ðóêîâîäèòåëþ Ñ. À. Ãðèöåíêî çà ïîñòàíîâêó çàäà÷è è ïîëåçíûå îáñóæäåíèÿ. 14

1 1.1 Ãëàâà 1. Âñïîìîãàòåëüíûå óòâåðæäåíèÿ Âñïîìîãàòåëüíûå ëåììû Â ýòîì ïàðàãðàôå ôîðìóëèðóþòñÿ èçâåñòíûå â ëèòåðàòóðå óòâåðæäåíèÿ, êîòîðûå ïîíàäîáÿòñÿ íàì â äàëüíåéøåì. Ëåììà 1. Ïóñòü q öåëîå ïîëîæèòåëüíîå; u è v öåëûå ÷èñëà. Èìååò ìåñòî îöåíêà X x mod q 2πi (ux + vx̄) exp q q 1 2 +κ min np o p (u, q), (v, q) , ãäå x̄ îçíà÷àåò, ÷òî x̄x ≡ 1 (mod q); κ ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî; ïîñòîÿííàÿ â çíàêå çàâèñèò òîëüêî îò κ. Äîêàçàòåëüñòâî ñì., íàïðèìåð, â [24], ñ. 50. Ëåììà 2. Ïóñòü F (x) è G(x) äåéñòâèòåëüíûå ôóíêöèè, G(x)/F 0(x) ìîíîòîííàÿ ôóíêöèÿ è F 0(x)/G(x) > m > 0 (èëè F 0(x)/G(x) 6 −m < 0) íà âñåì èíòåðâàëå (a, b). Òîãäà

Z b

G(x)eiF (x) dx

6 4 .

m a Äîêàçàòåëüñòâî ñì., íàïðèìåð, â [25], ñ. 73. Ëåììà 3. Ïóñòü F (x) äåéñòâèòåëüíàÿ, äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ è ïóñòü F 00(x) > r > 0 (èëè F 00(x) 6 −r < 0 ) íà èíòåðâàëå (a, b), ïóñòü G(x)/F 0 (x) ìîíîòîííà, à |G(x)| 6 M. Òîãäà

Z b

8M iF (x)

G(x)e

6 √ . dx

r a Äîêàçàòåëüñòâî ñì., íàïðèìåð, â [25], ñ. 73. Ëåììà 4. Ïóñòü f (x) è ϕ(x) âåùåñòâåííûå ôóíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùèå íà îòðåçêå [a, b] ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: 1) f 00(x) è ϕ0(x) íåïðåðûâíû; 2) |f 0(x)| 6 δ < 1, 0 < f 00(x) 1; 3) ñóùåñòâóþò ÷èñëà 0 < H , 0 < b − a 6 U òàêèå, ÷òî ϕ(x) H , ϕ0(x) HU −1 . Òîãäà ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî X a<x6b 2πif (x) ϕ(x)e b Z ϕ(x)e2πif (x) dx + O(H), = a ïðè÷åì ïîñòîÿííàÿ â çíàêå O çàâèñèò òîëüêî îò δ. 15

Äîêàçàòåëüñòâî ñì. â [26], ñ. 73. Ëåììà 5. Ïóñòü F (x) è ϕ(x) äåéñòâèòåëüíûå ôóíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùèå íà îòðåçêå [a, b] ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: 1) ñóùåñòâóþò ÷èñëà H > 0, 1 < A U , òàêèå, ÷òî A−1 F 00 (u) A−1 , F 000 (u) (AU )−1 , ϕ(u) H, ϕ0 (u) HU −1 , ϕ00 (u) HU −2 ; 2) ïðè íåêîòîðîì u0, a 6 u0 6 b, F 0(u0) = 0; 3) ôóíêöèÿ G= ϕ(u + u0 ) ϕ(u0 ) p − F 0 (u + u0 ) 2 (F (u + u0 ) − F (u0 )) F 00 (u0 ) èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî ó÷àñòêîâ ìîíîòîííîñòè. Òîãäà èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ àñèìïòîòè÷åñêàÿ ôîðìóëà: b 1 + i ϕ(u0 )e2πiF (u0 ) p ϕ(u)e du = √ + O (H) + 2 F 00 (u0 ) a √ √ −1 −1 0 0 +O H min |F (a)| , A + O H min |F (b)| , A . Z 2πiF (u) Äîêàçàòåëüñòâî ñì., íàïðèìåð, â [27, ñ. 23]. Ëåììà 6. Ïóñòü α= a θ + 2 , (a, q) = 1, q > 1, |θ| 6 1. q q Òîãäà ïðè ëþáîì β , U > 0, P > 1 èìååì P X −1 min U, kαx + βk 6 6(P q −1 + 1)(U + q ln q). x=1 Äîêàçàòåëüñòâî ñì., íàïðèìåð, â [27, ñ. 94]. Ëåììà 7. Ïóñòü f (x) êîìïëåêñíîçíà÷íàÿ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ íà [a, b] ôóíêöèÿ, cn ïðîèçâîëüíûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà, C(x) = X cn . a<n6x Òîãäà X a<n6b Z cn f (n) = − b C(x)f 0 (x)dx + C(b)f (b). a 16

Äîêàçàòåëüñòâî Ëåììà 8. Ïóñòü f (s) ðåãóëÿðíàÿ ôóíêöèÿ â ïîëîñå a 6 <s 6 b, s = σ + it. Ïóñòü |f (s)| −→ +∞ ðàâíîìåðíî ïî σ ∈ [a, b], è ïóñòü ïðè λ > 0 ñì., íàïðèìåð, â [27, ñ. 29]. Z +∞ 1/λ |f (σ + it)| J(σ; λ) = λ dt . −∞ Òîãäà ïðè ïðîèçâîëüíûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñëàõ λ, µ ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî J(σ; λp + µq) 6 J p (a; λ)J q (b; µ), ãäå p= b−σ , b−a q= σ−a , b−a a 6 σ 6 b. Äîêàçàòåëüñòâî ñì. â [28]. Ââåäåì òåïåðü îáîçíà÷åíèÿ, êîòîðûå íàì ïîíàäîáÿòñÿ â äàëüíåéøåì: Y íåêîòîðûé ïàðàìåòð, çíà÷åíèå êîòîðîãî áóäåì îïðåäåëÿòü â êîíêðåòíîì ñëó÷àå; λ, λ1 , λ2 · · · ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà, çíàìåíàòåëü êîòîðûõ íå ïðåâîñõîäèò äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà α(ν) Y; íàõîäÿòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ 1 p = ζ(s) ∞ X α(ν) n=1 ν2 , <s > 1, α(1) = 1, |α(ν)| 6 1, ν = 1, 2, · · · ; ÷èñëà β(ν) è a(λ) îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:  ln ν α(ν) 1 − , åñëè 1 6 ν < Y, ln Y β(ν) =  0, åñëè ν > Y, ïðè÷åì a(λ) = X β(ν1 )β(ν2 ) ; ν2 (8) nν1 =λν2 ôóíêöèÿ F (t) çàäàåòñÿ ðàâåíñòâîì F (t) = eiθ(t) ζ (0, 5 + it) |ϕ (0, 5 + it)|2 , ãäå iθ(t) e X β(ν) π −it/2 Γ (1/4 + it/2) , ϕ(s) = . = |Γ (1/4 + it/2)| νs ν6Y Äëÿ ôóíêöèè F (t) ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ïðèáëèæåííîå óðàâíåíèå. 17

Ëåììà 9. Ïðè T ìåñòî ðàâåíñòâî 6 t 6 T + H, H 6 T 1/3 , P = p , T /2π Y 6 H 0,01 èìååò F (t) = F1 (t) + F1 (t) + O H 2 T −0,75 Y ln3 T , ãäå iθ1 (t) F1 (t) = e X a(λ) π T √ λ−it , θ1 (t) = t (ln P ) − − . 2 8 λ λ6P Äîêàçàòåëüñòâî ñì., íàïðèìåð, â [15], ñ. 28-30. Ëåììà 10. Ïóñòü c ïîñòîÿííîå ÷èñëî, 0 < c < 1. Ñïðàâåäëèâû îöåíêè X a2 (λ) λ6P P λ =O ln P ln Y , X a2 (λ) ln P , =O λ ln Y λ6P 1−c X a2 (λ) c ln P =O . λ ln Y 1−c <λ6P Äîêàçàòåëüñòâî ñì., íàïðèìåð, â [8]. Ëåììà 11. Ïóñòü ε ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ 0 < ε < 0, 01, X > X0 (ε) > 0, X1 = X 7/8+ε , H = X ε , Y = H 0,01 . Òîãäà ñïðàâåäëèâà îöåíêà

2 Z X+X1 X 2

1/2

ζ(σ + it) |ϕ(σ + it)|2 dσ

dt X1 Y 2 L3 . Äîêàçàòåëüñòâî ñì. â [17, ñ. 494]. Ëåììà 12. Ïóñòü t > 2π, ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà x è y óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì x > h > 0, y > h > 0, 2πxy = t. Òîãäà ïðè 0 < σ0 6 σ 6 2 ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî: 1/2−σ X X 1 t 1 ζ(s) = ζ(σ + it) = + exp(−2πiθ(t)) + s 1−s n 2π n n6y n6x +O t 1/2−σ −1+σ ãäå θ(t) = x + O y −σ ln t , t t t 1 ln − − 2π 2π 2π 8 h σ0 è ïîñòîÿííûå â çíàêå O çàâèñÿò òîëüêî îò è . 18

Äîêàçàòåëüñòâî ñì. â [26, ñ. 83]. Ëåììà 13. Ïóñòü ïðè íàòóðàëüíûõ ν è m ÷èñëà δ(ν) è a(m) îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì ðàâåíñòâîì X µ2 (r) X µ(νr)µ(r) δ(ν) = ϕ(rν) rν<Y r<Y √ X a(m) = nν=m n6P,ν<Y Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ îöåíêà Σ= X !−1 ϕ(r) , νδ(ν) √ . n (9) a2 (m) = O(1). m<P Y Äîêàçàòåëüñòâî ñì. â [26, ñ. 149]. 1.2 Îñíîâíûå ëåììû Â ýòîì ïàðàãðàôå áóäóò äîêàçàíû ëåììû îá îöåíêàõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ èíòåãðàëîâ ñïåöèàëüíîãî âèäà. Ïðè îöåíêå ýòèõ èíòåãðàëîâ èñïîëüçóþòñÿ ìåòîäîì òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñóìì è êëàññè÷åñêîé îöåíêîé èçâåñòíîé ñóììû Êëîîñòåðìàíà. Â ýòîì ïàðàãðàôå áóäåì óïîòðåáëÿòü ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: ε ïðîèçâîëüíî ÷èñëî, óñëîâèþ 0 < ε < 0, 01, X > X0 (ε) > óäîâëåòâîðÿþùåå √ 0, X1 = X 7/8+ε , exp exp 2a ln ln X 6 H 6 X ε , a > 0 ïîñòîÿííàÿ, Y = p p H 0,01 , P0 = X/(2π), P2 = (X + X1 )/(2π), M = [P2 Y ] + 1, L = ln X , 0 < ν1 , ν2 , ν3 , ν4 < Y öåëûå ÷èñëà, α = ν2 /ν1 , β = ν1 ν4 /(ν2 ν3 ), γ = ν4 /ν3 . Ëåììà 14. Ïóñòü N < N1 6 2N ñëåäóþùèìè ðàâåíñòâàìè Z X+X1 J= X 6 P0 α . Èíòåãðàëû I , J îïðåäåëÿþòñÿ

X iT X

1 n2

× √

n n n 1 2 1

P0 α<n1 6P2 α n1 β<n2 6n1 β(1+L/H) 1 ig2 ×n−ig n2 exp − 1 H n2 ln 2 n1 β 2 !

2 2πin1 l

exp

dT,

iT Z X+X1

X X 1 n2

I= × √

n n n 1 2 1 X

N <n1 6N1 n1 β<n2 6n1 β (1+ HL ) 19

2 !

2 n2 H

1 ig2 ln × n−ig n exp −

dT, 1 2

2 n1 β ãäå −M/2 < l 6 M/2 ôèêñèðîâàííîå öåëîå ÷èñëî è g1, g2 ôèêñèðîâàííûå ÷èñëà òàêèå, ÷òî |g1| < 1, |g2| < 1. Òîãäà ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà X 1 Y 2 L3 X1 Y 4 L7 J ,I , H H ãäå ïîñòîÿííûå â çíàêàõ àáñîëþòíûå. Äîêàçàòåëüñòâî. J I) Îöåíèì . Âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùåé ôîðìóëîé +∞ Z exp −t2 − iat dt = −∞ √ a 2 . π exp − 2 (10) Ïðèìåíÿÿ (10), ïîñëåäîâàòåëüíî íàõîäèì: Z +∞ J − e −∞ T −X X1 2

X X

× √

n n 1 2

P0 α<n1 6P2 α n1 β<n2 6n1 β(1+ L ) H × n2 n1 iT 1 ig2 n−ig n2 exp − 1 n2 H ln 2 n1 β 2 !

2 2πin1 l

exp

dT =

X X 1 2

= X1 e−v

× √ n n 1 2 −∞

P0 α<n1 6P2 α n1 β<n2 6n1 β(1+ L ) H ! i(vX1 +X) 2

2 n2 n2 2πin1 l

H 1 ig2 × n−ig n2 exp − ln exp

dv = 1

n1 2 n1 β M iX ig1 X X 1 n2 n3 n3 = X1 × √ n n n n n n n 1 2 3 4 1 4 1 L Z +∞ P0 α<n1 6P2 α n1 β<n2 6n1 β(1+ ) H P0 α<n3 6P2 α L n3 β<n4 6n3 β(1+ H ) 2 ! 2 ! H n2 H n4 exp − ln exp − ln × 2 n1 β 2 n3 β Z +∞ 2πi(n1 − n3 )l n n 2 3 × exp exp −v 2 + ivX1 ln dv M n n 1 4 −∞ 2 ! X X 1 X1 n2 n3 X1 exp − ln . √ n n n n 2 n n 1 2 3 4 1 4 L n2 × n4 ig2 P0 α<n1 ,n3 6P2 α P0 γ<n2 ,n4 6P2 γ(1+ ) H 20

Åñëè |n2 n3 − n1 n4 | > P22 αγ XL1 , òî

2 ! 2

n n L X n n L 2 3 1 2 3

> , exp − ln 6 exp − .

n1 n4

2X1 2 n1 n4 16 Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ÷àñòü ïîñëåäíåé êðàòíîé ñóììû, îòâå÷àþùàÿ òàêèì ñëàãàåìûì, åñòü âåëè÷èíà X1 J 2 P0 αγ 2 O(e−0,01L ). R X P0 α<n1 ,n3 6P2 α L P0 γ<n2 ,n4 6P2 γ(1+ H ) L 2 |n2 n3 −n1 n4 |6P2 αγ X 1 õîäèò âåëè÷èíû 1+O e (n1 , n2 , n3 , n4 ), ïàð (n2 , n3 ) ãäå X R1 = 6 óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì: P0 α < n1 , n3 6 P2 α, L , P0 γ < n2 , n4 6 P2 γ 1 + H L |n2 n3 − n1 n4 | 6 P22 αγ . X1 ÷èñëà n1 è n4 , òî ÷èñëî âîçìîæíûõ R1 , −0,01L2 X1 −0,01L2 R + O e , P02 αγ ÷èñëî âîçìîæíûõ íàáîðîâ Åñëè çàôèêñèðóåì X 6 ãäå Òåì ñàìûì, ïîëó÷àåì: −P22 αγL/X1 +n1 n4 6m6n1 n4 +P22 αγL/X1 P22 αγL2 . τ (m) X1 Îòêóäà ïîëó÷àåì Xα2 γ 2 L3 P2 γL P22 αγL2 R (P2 − P0 )α . H X1 H Ñëåäîâàòåëüíî, X1 Xα2 γ 2 L3 X1 αγL3 X 1 Y 2 L3 J 2 2 = 6 . P0 α β H H H I . Êàê ýòî áûëî ñäåëàíî äëÿ J èìååì:

i(X+g2 )

X X n2 n3

I X1

n n 1 4

N <n1 ,n3 6N1 n1 β<n2 6n1 β(1+ HL )

n β<n 6n β(1+ L ) II) Îöåíèì òåïåðü 3 4 21 3 H íå ïðåâîñ-

× n3 n1 i(g1 −g2 )

η(n1 , n2 , n3 , n4 )

ãäå 2 ! 1 H n2 η(n1 , n2 , n3 , n4 ) = √ exp − ln × n1 n2 n3 n4 2 n1 β 2 ! 2 ! n4 n2 n3 H X1 ln ln × exp − exp − . 2 n3 β 2 n1 n4 |n2 n3 − n1 n4 | > N 2 βL/X1 , òî

2 ! 2

L n n X n n L 2 3 1 2 3

ln , exp − ln . 6 exp −

n1 n4

2X1 2 n1 n4 16 Åñëè Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ÷àñòü ïîñëåäíåé êðàòíîé ñóììû, îòâå÷àþùàÿ òàêèì ñëàãàåìûì, åñòü âåëè÷èíà 2 O(e−0,01L ). Òåì ñàìûì, ïîëó÷àåì: −0,01L2 I 6 X1 (Σ + 2 |W |) + O e ãäå Σ , (11) ÷àñòü ïîñëåäíåé ñóììû, îòâå÷àþùàÿ òàêèì ñëàãàåìûì, ó êîòîðûõ n2 n3 = n1 n4 , à W ñëàãàåìûì, ó êîòîðûõ 1 6 n2 n3 − n1 n4 6 N 2 βL/X1 . Îöåíèì ñóììó Σ. Òðèâèàëüíî èìååì: 1 Σ6 2 N β X X 1. N <n1 ,n3 6N1 n1 β<n2 6n1 β(1+ L ) H L n3 β<n4 6n3 β(1+ H ) n1 n4 =n2 n3 Ïóñòü d = (n1 , n3 ). Òîãäà n1 = db, n3 = da, (b, a) = 1. Èç óñëîâèÿ n1 n4 = n2 n3 ñëåäóåò, ÷òî n4 = ma è n2 = mb. Îòêóäà ïîëó÷àåì Σ6 1 X N 2β 16d6N X X N1 N d <b,a6 d L dβ<m6dβ(1+ H ) (b,a)=1 22 1.

β = ν1 ν4 /(ν2 ν3 ) è νj , j = 1, 2, 3, 4 öåëûå ÷èñëà. Èìååì X X dν1 ν4 L 1= 16 . H L L Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî dβ<m6dβ(1+ H ) dν1 ν4 <mν2 ν3 6dν1 ν4 (1+ H ) Îòêóäà ñëåäóåò 1 X N 2 dν1 ν4 L Y 2 L2 6 . Σ6 2 N β d2 H H (12) 16d6N Ðàññìîòðèì ñóììó W. Ïóñòü l = n2 n3 − n1 n4 Òîãäà N 2 βL 16l6 , X1 è d = (n1 , n3 ). n3 = da, n1 = db, (a, b) = 1. Ñëåäîâàòåëüíî N 2 βL , 1 6 l1 6 X1 d l = dl1 , an2 − bn4 = l1 . Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî n4 ≡ −l1 b (mod a) è n2 = bn4 + l1 . a Ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé: 1 a X 2πix(n4 + l1 b) exp a a − a2 6x< 2 ( 1, = 0, åñëè n4 ≡ −l1 b (mod a), â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ, W ñëåäóþùèì îáðàçîì: X 1 X X 1 X W = d N 2 βL N a a N N 2 βL ïðåîáðàçóåì ñóììó d6 ãäå l1 6 X1 d <b, a6 d1 (b, a)=1 − 2 6x< a2 adβ<n4 6adβ (1+ L )− l1 H b iX 0 l1 a i(g1 −g2 ) 2πix(n4 + l1 b) 1+ exp η1 (b, a, l1 , n4 ), bn4 b a X 0 = X + g2 , η1 (b, a, l1 , n4 ) = Â X1 d X W ñóììèðîâàíèå ïî n4 e −( H 2 ln( bn4 +l1 dabβ 2 2 n4 )) e−( H2 ln( daβ )) e− p bn4 (bn4 + l1 ) èäåò ïî ïðîìåæóòêó L adβ < n4 6 adβ 1 + H 23 − l1 . b X1 2 2 bn4 +l1 ln bn 4 . (13)

Äîáàâèòü ê W òå ñëàãàåìûå, ó êîòîðûõ L adβ 1 + H l1 L − < n4 6 adβ 1 + , b H à ïîòîì îòíÿòü èõ. Ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó: |W | 6 |W 0 | + |W 00 | , ãäå W 0 ÷àñòü ñóììû W , îòâå÷àþùàÿ òåì n4 , êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ adβ < n4 6 adβ(1 + à (14) W 00 L ), H W , îòâå÷àþùàÿ L l1 L adβ 1 + − < n4 6 adβ 1 + . H b H ÷àñòü ñóììû 1) Ðàññìîòðèì ñóììó W 00 . Çàìåòèì, ÷òî N βL l1 6 X −0,25 . b X1 Ïîýòîìó â ïðîìåæóòêå L adβ 1 + H l1 L − < n4 6 adβ 1 + . b H ëèáî íåò öåëîãî ÷èñëà, ëèáî ñîäåðæèòñÿ òîëüêî îäíî öåëîå ÷èñëî, êîòîðîå ðàâíÿåòñÿ L . = adβ 1 + H ñóììèðîâàíèå ïî n4 è b. Ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó: X 1 X X 1 X |W 00 | 6 × d a a a N N 2 βL N 2 βL N n∗4 Ìåíÿåì ïîðÿäîê d6 l1 6 X1 X1 d d <a6 1 d − 2 6x< 2

0 iX

i(g −g ) 1 2 2πixl1 b l1 a

∗ ×

1+ ∗ e a η1 (b, a, l1 , n4 )

bn4 b

d <b6B

(b, a)=1 ãäå l1 N1 ; B = min d adβ(1 + L/H) − n∗4 ×òîáû âûäåëèòü ìíîæèòåëè 2πixl1 b exp , a 24 .

ïðèìåíèì ê ñóììå ïî b ïðåîáðàçîâàíèå Àáåëÿ (ñì. ëåììó 7). Ïîëîæèì â ýòîé ëåììå 2πixl1 b cb = exp ; a iX 0 l1 a i(g1 −g2 ) f (u) = 1 + ∗ η1 (u, a, l1 , n∗4 ). un4 u ∗ Èç îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè η1 (u, a, l1 , n4 ) (ñì. ôîðìóëó (13)) ñëåäóþò íåðàâåíñòâà: Y 2d 0 XY 2 Ld . f (u) 2 ; f (u) N X1 N 2 u Îòñþäà íàéäåì îöåíêó: W 00 XY 2 L X X X1 N 2 N 2 βL N 2 βL d6 l1 6 X1 X1 d X N1 N d <a6 d 1 a X |U | , (15) x = 0, òî èìååò ìåñòî − a2 6x< a2 ãäå 2πixl1 b exp , a X U= N d <b6B1 (a,b)=1 N/d < B1 6 B íåêîòîðîå ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî. Åñëè òðèâèàëüíàÿ îöåíêà N N 6 . d d U 6 B1 − Åñëè x 6= 0, òî â ñèëó ëåììû 1 èìååì U a0,5 X 0,01ε (xl1 , a) L. U Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå îöåíêè äëÿ â (15), ïîëó÷èì:  W 00 XY 2 L2 X X X1 N 2 N 2 βL N 2 βL d6 6 X1 l1 6 X1 d X 1+0,01ε Y 2 L2 X X1 N 2 N 2 βL d6 = X1 d XY 2 L2 X X X1 N 2 N 2 βL N 2 βL d6 6 l1 6 X1 X 1+0,01ε Y 2 L2 X X1 N 2 N 2 βL d6 X1 X1 X  X 1 +  N1 N d <a6 d X N1 N d <a6 d N1 N d <a6 d − a2 6x< a2 x6=0 N1 N d <a6 d X X  X 0,01ε √ a 1 √ a 1 √ a X X 0,01ε (xl1 , a)  6 √  a (xl1 , a) + X −0,2 6 − a2 6x< a2 x6=0 X τ (m) (m, a) + X −0,2 = 2 aβL 16|m|6 N2dX 1 X τ (m) 2 aβL 16|m|6 N2dX 1 25 X d1 |(m,a) ϕ(d1 ) + X −0,2 =

X 1+0,01ε Y 2 L2 X = X1 N 2 N 2 βL d6 X1 N1 N d <a6 d X 1+0,01ε Y 2 L2 X X1 N 2 N 2 βL d6 1 X √ ϕ(d1 ) a X X1 N1 N d <a6 d d6 aβL 16|m|6 N2dX 1 d1 |m 1 N 2 aX 0,01ε βL X ϕ(d1 ) √ + X −0,2 2dX1 d1 a d1 |a X N1 N d <a6 d X1 τ (m) + X −0,2 2 d1 |a X X 1+0,01ε Y 2 L2 X X1 N 2 N 2 βL X 1 N 2 aX 0,02ε βL 1 √ + X −0,2 6 . 2dX1 H a 2) Ðàññìîòðèì ñóììó W0 = X 1 X d N 2 βL N 2 βL d6 l1 6 X1 X1 d l iX 0 ln 1+ bn1 X e 4 e X N1 N d <a6 d 1 a d, a X − a2 6x< a2 N1 N d <b6 d (a,b)=1 2πix(n4 +l1 b) a a i(g1 −g2 ) b L adβ<n4 6adβ (1+ H ) Ïðè ôèêñèðîâàííûõ ÷èñëàõ X η1 (b, a, l1 , n4 ). è l1 , ïîëîæèì N1 L N ; M = adβ; M1 = adβ 1 + ; B = ; B1 = d d H a i(g1 −g2 ) l 2πix(n4 +l1 b) iX 0 ln 1+ bn1 4 a ϕ(b, n4 , x) = e η1 (u, a, l1 , v). e ; h(u, v) = u Ïóñòü X X X − a2 6x< a2 N d <b6u adβ<n4 6v F (u, v) = ϕ(b, n4 , x). (a,b)=1 Èç îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè η1 (u, a, l1 , v) (ñì. (13)) íàõîäèì íåðàâåíñòâà: L2 HL HL3 1 ; |hu (u, v)| 2 ; |hv (u, v)| 2 ; |huv (u, v)| 2 2 . |h(u, v)| 6 uv uv uv uv Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ñóììó: X S= X − a2 6x< a2 N <b6 N1 d d X ϕ(b, n4 , x)h(b, n4 ). L adβ<n4 6adβ (1+ H ) (a,b)=1 Ïðèìåíèì ïðåîáðàçîâàíèÿ Àáåëÿ ê ñóììå ïî Z B1 Z M1 Z B M n4 â S. Ïîëó÷àåì: F (u, M1 )hu (u, M1 )du− B 26 è B1 F (u, v)huv dudv − S= b (16)

M1 Z − F (B1 , v)hv (B1 , v)dv + F (B1 , M1 )h(B1 , M1 ). M Ïåðåõîäÿ ê íåðàâåíñòâó, ïîëó÷èì: S F (B2 , M2 ) L4 d , N 2β ãäå F (B2 , M2 ) = max |F (u, v)| . B<u6B1 M <v6M1 B , B2 çàâèñÿò îò d, à M , M2 çàâèñÿò d, óäîâëåòâîðÿþùèõ a N/d, âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ: Çàìåòèì, ÷òî ÷èñëà è B B2 îò a, d . Äëÿ ëþáûõ a N N βL ; M M2 N β; M2 − M . d H Ïîñòàâëÿÿ ïîëó÷åííóþ îöåíêó â ôîðìóëó, îïðåäåëÿþùóþ |W 0 | X X (17) X 2 2 ïîëó÷èì: L4 K, N 2β ãäå K= W 0, d6 NXβL l1 6 NX βL d 1 1 N1 N d <a6 d 1 × a

X X l1

0 2πix(n +l b) 4 1 iX ln 1+ bn

. 4 e a ×

− a2 6x< a2 B<b6B2 M <n4 6M2

(a,b)=1 K íà äâå ñóììû: K1 ÷àñòü ýòîé ñóììû, ãàåìûì ñ óñëîâèåì x 6= 0, K2 îñòàëüíûì ñëàãàåìûì. 2.1) Îöåíèì ñóììó K2 . Ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé ( X 1, åñëè (b, a) = 1, µ(d1 ) = 0, åñëè (b, a) > 1, d /(b,a) Ðàçîáüåì ñóììó îòâå÷àþùàÿ ñëà- 1 ïðåîáðàçóåì ñóììó K2 = X K2 X 2 2 d6 NXβL l1 6 NX βL d 1 òàê: 1 X N1 N d <a6 d

iX 0 X X X

. µ(d) 1 +

bn4

M <n4 6M2 B<b6B2 d1 |(a,b) Îòñþäà ñëåäóåò íåðàâåíñòâî: K2 6 X 2 X 2 X 1 d1 N d1 6 d6 NXβL l1 6 NX βL d 1 1 27 1 d X N1 N dd1 <a1 6 dd1 1 × a1

0 iX

X l1

× 1+

d b n 1 1 4 M <n4 6M2

<b1 6 B2

d d 1 1 K2.2 , ãäå ñëàãàåìûå ñ d1 6 Ðàçîáüåì ïîñëåäíþþ ñóììó íà äâå ñóììû d1 > ñëàãàåìûå, ó êîòîðûõ òðèâèàëüíî ñóììó X X1 , à â K2.1 , K2.2 X X 2 2 X d6 NXβL l1 6 NX βL d 1 X N1 N dd1 <a1 6 dd1 Îöåíèì ñóììó K2.2 . 1 a1 1 N1 X X1 <d1 6 d X X M <n4 6M2 B2 B d1 <b1 6 d1 1 × d1 N 2 Y 2 L2 1 . H X 0 exp iX ln 1 + B2 B d1 <b1 6 d1 íàõîäèì K2.1 âõîäÿò X X1 . Îöåíèâàÿ â Ïóñòü K2.3 = Ïðèìåíÿÿ ê ñóììå è ïîëó÷àåì: |K2.1 | × K2.1 K2.3 l1 d1 b1 n4 . ëåììó 4 è ïîëàãàÿ â íåé B B2 X0 l1 a= , b= , ϕ(z) = 1, f (z) = ln 1 + , d1 d1 2π d1 zn4

Xl 1

X N βL < X −0,1 < 1, |f 0 (z)| =

2πz(d1 n4 z + l1 )

X13

Z B2

2πif (x) K2.3 =

e dx

+ O(1).

1 Äëÿ îöåíêè K2.3 âîñïîëüçóåìñÿ ëåììîé 2. Íàõîäèì îöåíêó:

Z B2

N 3β

2πif (z) e dz

Xl1 d2 d1 1 Òåì ñàìûì, ïîëó÷àåì: K2.3 N 3β + 1. Xl1 d2 d1 Òàêèì îáðàçîì, ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó: |K2.2 | X X X 1 d1 X 2 2 d1 6 X d6 NXβL l1 6 NX βL 1 d 1 1 X N1 N dd1 <a1 6 dd1 28 1 a1 X M <n4 6M2 N 3β +1 . Xl1 d2 d1

Ñëåäîâàòåëüíî N 2 Y 2 L3 . H K2.2 Èç îöåíîê äëÿ K2.1 è K2.2 ñëåäóåò, ÷òî N 2 Y 2 L3 K2 . H 2.2) Îöåíèì òåïåðü ñóììó K1 (18) ñâåðõó. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî N > X10,5−0,5ε . 1 6 l1 6 βLX −ε < 1. Êðîìå ýòîãî, èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî l1 X Xl1 exp 2πi ln 1 + = exp 2πi + O X −0,7 . 2π bn4 2πbn4 Åñëè ýòî íå òàê, òî Òàêèì îáðàçîì, èìååì |K1 | 6 X X 2 X 2 d6 NXβL l1 6 NX βL d 1 1 N1 N d <a6 d 1 × a

2 X

N 2πixn 4 ×

+ O , exp a X 0,075+ε

− a2 6x< a2 M <n4 6M2

x6=0

(19) ãäå X S= B<b6B2 (b,a)=1 iXl1 exp bn4 2πixl1 b exp . a Äàëåå, ïðèìåíèì ïðåîáðàçîâàíèå Àáåëÿ ê ñóììå S. Ïîëó÷àåì: S = S1 + S2 , (20) ãäå Z B2 S1 = B X B<b6u (b,a)=1 S2 = iXl1 iXl1 2πixl1 b du, exp exp a un4 u2 n4 X B<b6B2 (b,a)=1 2πixl1 b iXl1 exp exp . a B2 n4 Îñâîáîäèìñÿ îò çàâèñèìîñòè ïðåäåëà ñóììèðîâàíèÿ ïî b â ñóììå ðåìåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ. Ïîëó÷àåì: 1 X S1 = a a X − 2 6y< a2 B<b6B+a (b,a)=1 2πi(xl1 b + yb) exp × a 29 S1 îò ïå-

Z B2 × B 2πiyr iXl1 iXl1 exp − exp du. a un4 u2 n4 X B<r6u (21) Ïîäñòàâëÿÿ (20) è (21) â (19), ïîëó÷èì: N2 K1 6 K3 + K4 + O X X 2 X 2 N1 N d <a6 d d6 NXβL l1 6 NX βL d 1 1 , X 0,075+ε ãäå K3 = 1 a X × − a2 6x< a2 x6=0

X X 2πixl1 b

xn4 Xl1

2πi + a 2πB2 n4 e ×

e a

M <n4 6M2

B<b6B2

(b,a)=1 X X X 1 X K4 = × 2 a a a N N 2 βL N 2 βL N d6 l1 6 X1 d X1 d <a6 − 2 6y< 2 1 d

Z B2 X X

2πi(xl1 b+yb)

a ×

× e

B − a2 6x< a2 B<b6B+a

(b,a)=1 x6=0

× X e− 2πiyr a M <n4 6M2 B<r6u Ðàçîáüåì ñóììó K6

xn Xl 2πi a 4 + 2πun1 iXl1

4 e du

. u2 n4

K4 íà 3 ñóììû: K5 îòâå÷àåò òàêèì ñëàãàåìûì, ó êîòîðûõ y = 0, ñëàãàåìûì, ó êîòîðûõ y 6= 0 K7 X x< è Xl1 a 2πuM22 ëèáî x> Xl1 a , 2πuM 2 ñëàãàåìûì, ó êîòîðûõ y 6= 0 è Xl1 a Xl1 a 6 x 6 . 2πuM22 2πuM 2 Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì: N2 |K1 | 6 |K3 | + |K5 | + |K6 | + |K7 | + O a) Îöåíèì K3 . X 0,075+ε Èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî: |K3 | 6 X 2 X 2 d6 NXβL l1 6 NX βL d 1 1 X N1 N d <a6 d 30 1 a X − a2 6x< a2 x6=0 |U | |E| , . (22)

ãäå X U= B<b6B2 (a,b)=1 X E= 2πixl1 b̄ exp , a M <n4 6M2 Xl1 xn4 exp 2πi + a 2πB2 n4 . Â ñèëó ëåììû 1 èìååì U a0,5 X 0,01ε (xl1 , a) L. E. Îöåíèì ñóììó Çàìåíèì ñóììó E èíòåãðàëîì, ïðèìåíèâ ëåììó 4. Âñå óñëî- âèÿ ëåììû âûïîëíÿþòñÿ. Ïîëó÷èì: Z M2 Xl1 xz exp 2πi + dz + O(1). a 2πB2 z E= M Åñëè x < 0 èëè x > 2Xl1 /(πN 2 β 2 ), òî ïðèìåíèì ê ïîñëåäíåìó èíòåãðàëó ëåììó 2. Âñå óñëîâèÿ ëåììû âûïîëíÿþòñÿ. Íàõîäèì îöåíêó E Åñëè a . |x| 0 < x 6 2Xl1 /(πN 2 β 2 ), òî äëÿ îöåíêè ïîñëåäíåãî èíòåãðàëà âîñïîëüçóåì- ñÿ ëåììîé 3. Ïîëàãàÿ â ýòîé ëåììå xz Xl1 + , a 2πB2 z f (z) = íàéä¼ì f 0 (z) = x Xl1 − , a 2πB2 z 2 Ñëåäîâàòåëüíî U Èç ïîëó÷åííûõ îöåíîê äëÿ K3 X 2 X 2 + 1 N1 N d <a6 d 1  a 0,5 a X X X −a/26x<a/2 x6=0 0,01ε 0<x62Xl1 /(πN 2 β 2 ) 6 2X 0,01ε L X 2 d6 NXβL 1 Xl1 Xl1 d > > 0. πB2 z 3 πN 4 β 3 N 2 β 1,5 E√ . Xl1 d E ñëåäóåò, ÷òî  X d6 NXβL l1 6 NX βL d 1 è f 00 (z) = X √ N1 N d <a6 d 31 a1,5 X 0,01ε (xl1 , a) L + |x| 2 1,5 (xl , a) LN β √ 1 Xl1 d a X 6 X (xl1 , a) + x a 2 0<x6 2 l1 6 NX βL d 1 

N 2 β 1,5 X 0,01ε L X 1 √ √ + X d N 2 βL d6 x Âíóòðåííÿÿ ñóììà ïî çîì: X1 1 X √ a N 2 βL X N1 N d <a6 d l1 6 1 è l1 â ïåðâîì ñëàãàåìîì îöåíèâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðà- 2 0<x6 2 l1 6 NX βL d l1 6 1 N 2 βL X1 d 2XL 0<x6 πX dβ (xl1 , a) √ . l1 X (xl1 , a) N 2 βL X X (xl1 , a) 6 = x X d l x 1 1 a a N 2 βL X = X1 d X X τ (m) 2 16m6 N2XaβL d (m, a) N 2 βL = m X1 d 1 = X1 d 0<x6 2 X 2 16m6 N2XaβL d τ (m) X ϕ(d1 ) = m d1 |(m,a) 1 N 2 βL X ϕ(d1 ) X1 d d1 |a X 2 τ (m) m 16m6 N2XaβL 1d d1 |m N 2 X 0,02ε βL2 N 2 X 0,01ε βL2 X ϕ(d1 ) . X1 d d1 X1 d d1 |a Ïî àíàëîãèè èìååì: X X 2 2XL 0<x6 πX l1 6 NX βL 1 dβ d (xl1 , a) X 1+0,02ε N L2 √ p . l1 (X1 d)3 β 1 Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì X K3 Y L 2 d6 NXβL 1 X √ N 2 X 0,02ε βL2 a + X d 1 N N d <a6 N 2 β 1,5 Y L X 1 √ + √ X d 2 N βL d6 X1 1 d X N1 N d <a6 d 1 X 1+0,02ε N L2 √ p a (X1 d)3 β N 3,5 X 0,02ε Y βL3 X 0,5+0,02ε N 3,5 Y βL3 N2 + < . X1 H X11,5 b) Îöåíèì ñâåðõó ñóììó

X X X 1

Z B2 X X 2πixl1 b

a K5 = × e 2

a B a a

2 2 N N − 2 6x< 2 B<b6B+a <a6 d1 d6 NXβL l1 6 NX βL

1 1d d (b,a)=1 x6=0

X X xn4 Xl1 2πi a + 2πun iXl1

4 × e du

. u2 n4

B<r6u M <n4 6M2 32

Ñóììà ïî îöåíêà b â K5 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó Ðàìàíóäæàíà. Äëÿ íå¼ ñïðàâåäëèâà

2πixl1 b

exp

6 (xl1 , a). a

B<b6B+a

(b,a)=1

Îòêóäà òðèâèàëüíî èìååì: X K5 6 X 2 X 2 d6 NXβL l1 6 NX βL d 1 X ×

(xl1 , a)Xl1

a − a2 6x< 2 x6=0 ãäå B < u0 6 B2 1 N1 N d <a6 d X e 1 × a2 Xl xn 2πi a 4 + 2πu01n 4 M <n4 6M2

, n4

íåêîòîðîå ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî. Ïðèìåíèì ê ñóììå ïî n4 ïðåîáðàçîâàíèå Àáåëÿ. Ïîëó÷àåì

ãäå xn Xl 2πi a 4 + 2πu01n X e 4 M <n4 6M2 M < M3 6 M2

Nβ

X e

xn Xl 2πi a 4 + 2πu01n

4 M <n4 6M3

íåêîòîðîå ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî. Ïîñëåäíÿÿ ñóììà ïî óæå îöåíåíà â ïóíêòå a). Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì: X K5 6 X 2 2 X d6 NXβL l1 6 NX βL d 1 1 N1 N d <a6 d  1 × a2  Xl1  X a × (xl1 , a) + 2 Nβ x a 0<x6 2 X 0<x XXL βd N 2 β 1,5  (xl1 , a) √ . Xl1 d 1 Ïîñëå íåñëîæíûõ âû÷èñëåíèé ïðèõîäèì ê îöåíêå N2 K5 . H c) Îöåíèì ñóììó K6 = X 2 X 2 d6 NXβL l1 6 NX βL d 1 1 X N1 N d <a6 d

B2 X X 1

a2 a B − 2 6y< a2

x∈ / [Xl1 a/(2πuM22 ),Xl1 a/(2πuM 2 )] y6=0

x6=0 33 n4

X × e 2πi(xl1 b+yb) a X e− 2πiyr a e X 4 n4 M <n4 6M2 N d <r6u B<b6B+a (b,a)=1 Xl xn 2πi a 4 + 2πun1

iXl1

. u2

Â ñèëó ëåììû 1 èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî X B<b6B+a (b,a)=1 2πi(xl1 b + yb) exp a a0,5 X 0,01ε (a, y) . (23) Êðîìå ýòîãî, ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî:

− 2πiyr e a

6 .

|y| (24) B<r6u Îòêóäà ïîëó÷àåì X 1 X (a, y) X 1+0,01ε X X √ K6 l1 × N |y| a a a N N N 2 βL N 2 βL d6 X1 l1 6 d X1 d <a6 − 2 6y< 2 y6=0 1 d X × |Q| , (25) x∈ / [Xl1 a/(2πu0 M22 ),Xl1 a/(2πu0 M 2 )] x6=0 ãäå B < u0 6 B2 íåêîòîðîå ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî è Q= e X xn Xl 2πi a 4 + 2πu 1n 0 4 M <n4 6M2 Ïðèìåíÿÿ ê Q . n4 ïðåîáðàçîâàíèÿ Àáåëÿ, ïîòîì ïåðåõîäÿ îò ïîëó÷èâøåãî ðàâåí- ñòâà ê íåðàâåíñòâó, ïîëó÷èì: Q 1 |Q1 | , Nβ ãäå Q1 = xn Xl 2πi a 4 + 2πu 1n X e 0 4 , M <n4 6M3 ãäå M < M3 6 M2 íåêîòîðîå ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî. Çàìåíèòü Q1 èíòåãðàëîì, ïðèìåíèâ ê íåé ëåììó 4. Ïîëàãàÿ â ýòîé ëåììå ϕ(z) = 1, f (z) = íàõîäèì xz Xl1 + , a 2πu0 z

3 Xl 1

< < 1. |f (z)| =

− a 2πu0 z 2

4 0 34

Ïîëó÷èì: M3 Z Xl1 xz exp 2πi + a 2πu0 z Q1 = M dz + O (1) . Îöåíèì ïîñëåäíèé èíòåãðàë â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèÿ x. Åñëè x < 0, òî ýòîò èíòåãðàë îöåíèâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ëåììû 2. Ïîëó÷àåì Q1 Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè Ïóñòü x<0 a . |x| èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî: 0 < x < Xl1 a/(2πu0 M22 ) Q a . N β |x| ëèáî x > Xl1 a/(2πu0 M 2 ). Îöåíèì ïîñëåäíèé èíòåãðàë äâóìÿ ñïîñîáàìè. Ïðèìåíÿåì ê ýòîìó èíòåãðàëó ëåììó 3. Ïîëó÷àåì:

M3 M Xl1 xz exp 2πi + a 2πu0 z Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè f 0 (z) =

N 2 β 3/2 . dz

√ Xl1 d 0 < x < Xl1 a/(2πu0 M22 ), òî x x Xl1 Xl1 x Xl1 6 − − 6 − < 0. 2 2 a 2πu0 z a 2πu0 M3 a 2πu0 M22 B ñèëó ëåììû 2 èìååì

M3 M Xl1 xz + exp 2πi a 2πu0 z

−1 x

Xl 1 dz

− a 2πu0 M 2 . 3 0 < x < Xl1 a/(2πu0 M22 ) äëÿ Q1 ñïðàâåäëèâà ! −1 2 3/2 x Xl1 N β Q1 min a − 2πu0 M 2 , √Xl d + O(1). 1 3 Òàêèì îáðàçîì, ïðè îöåíêà: Ñëåäîâàòåëüíî, ! −1 2 3/2 1 x Xl N β 1 1 ,√ Q min − +O . Nβ a 2πu0 M32 Nβ Xl1 d À åñëè x > Xl1 a/(2πu0 M 2 ), f 0 (z) = òî x Xl1 x Xl1 − > − > 0. a 2πu0 z 2 a 2πu0 M 2 x > Xl1 a/(2πu0 M 2 ) äëÿ Q ñïðàâåäëèâà îöåíêà: ! −1 2 3/2 x 1 Xl 1 N β 1 Q min a − 2πu0 M 2 , √Xl d + O N β . Nβ 1 Ïî àíàëîãèè ïðè 35

Ïîäñòàâëÿåì âûøå ïîëó÷åííûå îöåíêè äëÿ Q â (25): X 1 X 1+0,01ε X X √ × l K6 1 N 2β a N N N 2 βL N 2 βL d6 l1 6 X1 d X1 d <a6 1 d  X (a, y)   ×  |y| a a − 2 6y< 2 y6=0  X 1+ X − a2 6x<0 − a2 6x<a/2  a + G + G1  , |x| (26) x6=0 ãäå ! −1 2 3/2 x N β Xl1 √ G= min , − , a 2πu0 M 2 Xl d 1 3 16x<a/2 ! −1 2 3/2 X x N β Xl 1 G1 = min a − 2πu0 M 2 , √Xl d . 1 16x<a/2 X Ïðèìåíèòü ê ñóììå G ëåììó 6. Ïîëîãàÿ â ýòîé ëåììå a 1 N 2 β 3/2 ; P = ,α = ,U = √ 2 a Xl1 d íàõîäèì N 2 β 3/2 + aL. G √ Xl1 d Ïî àíàëîãèè èìååì Îöåíèòü âíóòðåííþþ ñóììó X (a, y) = |y| a a − 2 6y< 2 y6=0 N 2 β 3/2 G1 √ + aL. Xl1 d ïî y â ïðàâîé ÷àñòè (26) X − a2 6y< a2 y6=0 6L ñëåäóþùèì îáðàçîì: X 1 X 1 X ∗ ∗ ϕ(d ) = ϕ(d ) 6 |y| ∗ |y| a a ∗ d |a d |(a,y) X ϕ(d∗ ) d∗ |a − 2 6y< 2 y6=0, d∗ |y X 0,01ε L. d∗ Ïîäñòàâèòü ïîëó÷åííûå îöåíêè â (26). Ïîëó÷àåì: X 1 X 1+0,02ε L X X N 2 β 3/2 √ K6 l1 aL + √ N 2β a Xl d 1 N1 N N 2 βL N 2 βL d6 X1 l1 6 d X1 d <a6 d X 1+0,02ε N 3,5 Y 2 L4 X 0,5+0,02ε N 3,5 Y 2 L3 N2 + < . X12 H X11,5 36 (27)

c) Îñòàåòñÿ îöåíèòü ñóììó X X K7 = X 2 2 N N <a6 d1 d6 NXβL l1 6 NX βL 1 1d d × X e 2πi(xl1 b+yb) a P P e− 2πiyr a B<r6u B<b6B+a (b,a)=1 ×åðåç X

Z 1 X

a2 a − 2 6y< a2

y6=0 e X X Xl xn 2πi a 4 + 2πun1 4 n4 M <n4 6M2 áóäåì îáîçíà÷àòü âíóòðåííþþ ñóììó ïî × Xl1 a Xl1 a 6x6 2πuM 2 2πuM22 n4

Xl1

du . u2

â ïðàâîé ÷àñòè. Çàìåíèòü èíòåãðàëîì, ïðèìåíèâ ê íåé ëåììó 4. Íàõîäèì: Z M2 P = M 1 xz Xl1 1 exp 2πi + dz + O . z a 2πuz Nβ Äàëåå, ïðèìåíèòü ê ïîñëåäíåìó èíòåãðàëó ìåòîä ñòàöèîíàðíîé ôàçû (ëåììà 5). Ïîëàãàÿ â íåé N 4β 3 1 xz Xl1 1 ,A = , U = N β, ϕ(z) = , f (z) = + . H= Nβ Xl1 d z a 2πuz Çàìåòèì, ÷òî óñëîâèå AU íå âûïîëíÿåòñÿ, îäíàêî, ëåììà 5 îñòàåòñÿ ñïðà- O(H) âåäëèâîé è áåç ýòîãî òðåáîâàíèÿ, åñëè îñòàòîê çàìåíèòü íà O(HAU −1 ). Âñå îñòàëüíûå óñëîâèÿ âûïîëíÿþòñÿ; íàõîäèì: 1+i P = √ 2 2πua Xl1 x 1/4 r exp 4πi Xl1 x 2πua ! + O(R), ãäå ! −1 2 3/2 N β 1 N β 1 x Xl1 √ + + min − R= , + N β Xl1 d N β a 2πuM 2 Xl1 d ! −1 2 3/2 N β 1 x Xl1 √ + min − , . a 2πuM 2 Nβ Xl1 d 2 2 Ïîäñòàâëÿåì ýòó àñèìïòîòè÷åñêóþ ôîðìóëó â K7 . Ïîëó÷àåì: |K7 | |K7.1 | + |K7.2 | , K7.1 ÷àñòü ñóììû K7 , îòâå÷àþùàÿ ãëàâíîìó ÷ëåíó àñèìïòîòè÷åñêîé ôîðìóëû, à K7.2 îñòàòî÷íîìó. Îöåíèì K7.2 . Ñíà÷àëî èìååì: X X X 1 X √ a Xl1 d |K7.2 | aY (a, y) × 2 a |y| N a a N N 2 βL N 2 βL N ãäå d6 X1 l1 6 X1 d d <a6 1 d 37 − 2 6y< 2 y6=0

× Xl ! −1 2 3/2 x N β N β 1 Xl1 1 ,√ + + min − + 2 N β Xl1 d N β a 2πuM Xl1 d 2 X x N 2 β12 !! −1 2 3/2 x N β Xl1 1 ,√ min − . + 2 Nβ a 2πuM2 Xl1 d Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü âûøå ïîëó÷åííûìè íåðàâåíñòâàìè (23) è (24). Ïðèìåíèì ê âíóòðåííåé ñóììå ïî XY |K7.2 | N x X ëåììó 6, ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó: d 2 d6 NXβL 1 X X l1 2 l1 6 NX βL 1d N1 N d <a6 d 1 X (a, y) √ × |y| a a a − 2 6y< 2 y6=0 1 aL N β 1/2 Xl1 × + + +√ . N 3 β 3 dβ N β Xl1 d Ïîëüçóÿñü íåðàâåíñòâîì (27), ïîëó÷èì: X 2+0,01ε Y L4 N 2,5 X 1+0,01ε N 3,5 Y L3 + + |K7.2 | X13 X12 N2 X 2+0,01ε N 3,5 Y 3 L3 X 0,5+0,01ε N 3,5 Y 3 L2,5 + . + 3/2 X12 H X 1 Ðàññìîòðèì K7.1 . Ìåíÿåì ïîðÿäîê ñóììèðîâàíèÿ ïî Ïîëó÷àåì K7.1 = X X X 2 2 N N <a6 d1 d6 NXβL l1 6 NX βL 1 1d d 1 a2 X x è èíòåãðèðîâàíèÿ. × − a2 6y< a2 y6=0

X X

2πi(xl b + yb) 1 ×

exp × a

Xl1 a 6x6 Xl1 B<b6B+a

2πB2 M22 2πBM 2 (b,a)=1

1/4 Z U1 X q 1/4 Xl x 1 2πiyr (1 + i)(2π) au Xl1 4πi 2πua

√ du

, × exp − e

a Xl1 x u2 2 U B<r6u ãäå Xl1 a N N Xl1 a U = max B, , U = min B , . 1 2 2πxM22 d 2πxM 2 d Ñ ïîìîùüþ îöåíêè ñóììû Êëîîñòåðìàíà ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó: K7.1 X 3/4 L X 2 X 2 d6 NXβL l1 6 NX βL d 1 38 1 3/4 l1 ×

1 X × N1 N d <a6 d X a5/4 − a 6y< a 2 Xl x (N β)1 2 2 y6=0 X (a, y)X 0,01ε 1 x1/4 ×

! r

U1 X

2πiyr Xl1 x 1

exp − ×

exp 4πi du

, 7/4

a 2πua u (28) B<r6u Ðàññìîòðèì ïîñëåäíèé èíòåãðàë. Ïóñòü r g(u) = 2 Xl1 x . 2πua Òîãäà ëåãêî íàõîäèì r 0 g (u) = − Ïóñòü r 6 U. Xl1 x <− 2πu3 a Xl1 x < 0, 2πU13 a Xl1 d2 g (u) . N 3β 0 Ïî ëåììå 2 èìååì (− 2πiyr a ) X Z U1 2πig(u) e e U B<r6U Ïóñòü s N 9/4 β du . u7/4 Xl1 d5/4 |y| 1 r > U . Ïîìåíÿåì ïîðÿäîê ñóììèðîâàíèå è èíòåãðèðîâàíèÿ. Z U1 X Z U1 X 2πiyr 1 2πig(u) − − 2πiyr 2πig(u) 1 a du = e du. e a e e 7/4 u7/4 u U U <r6u r U <r6U 1 Äàëåå, èíòåãðèðóåì èíòåãðàë ïî ÷àñòÿì, çàíåñÿ ýêñïîíåíòó ïîä äèôôåðåíöèàëîì. Ïîëó÷àåì: U1 Z e2πig(U1 ) e2πig(r) du = − − u7/4 2πig 0 (U1 )(U1 )7/4 2πig 0 (r)r7/4 Z U1 1 − e2πig(u) d . 2πig 0 (u)u7/4 r 2πig(u) e r 1 Îòêóäà ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó: X U <r6U1 − 2πiyr a e( ) Z r U1

2πiyr 1

− a )

2πig(u) ( e du e +

g 0 (U1 )(U1 )7/4 u7/4 1 U <r6U1

X 2πig(r)

2πiyr 2πiyr e 1

e(− a ) 0 e(− a )

d 0

7/4 7/4

g (r)r g (u)u U U <r6U1 U <r6u

q 5/4

Xl1 x yr 2πi − a +2 2πra Nβ N 1

Xl1 |y| d g 0 (r)r7/4

U <r6U1 39

×åðåç S áóäåì îáîçíà÷àòü ñóììó ïî r. S Ïðèìåíÿÿ ê ïðåîáðàçîâàíèå Àáåëÿ, ïîòîì ïåðåõîäÿ ê íåðàâåíñòâó, ïîëó÷àåì:

Xl1 x

yr X 2πi − a +2 2πra

N β

e S

Xl1 d1/4

U <r6U 5/4 2 ãäå r U < U2 6 U1 íåêîòîðîå ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî. Äàëåå, çàìåíèòü ñóììó ïî èíòåãðàëîì, ïðèìåíèâ ëåììó 4. Ïîëó÷àåì: yr exp 2πi − + 2 a X U <r6U2 Z U2 exp 2πi − = U yv +2 a r r !! Xl1 x 2πra Xl1 x 2πva = !! dv + O(1). Îöåíèì ïîñëåäíèé èíòåãðàë ñâåðõó â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèÿ ýòîò èíòåãðàë ÷åðåç V. Îáîçíà÷èì Åñëè r y<− òî äëÿ îöåíêè èíòåãðàëà V 2Xl1 xad3 =D πN 3 D 6 y < 0, a > y > 0, 2 V 4 a . |y| V ïðèìåíÿÿ ê s Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü èëè âîñïîëüçóåìñÿ ëåììîé 2. Ïîëó÷èì: V Â ñëó÷àå êîãäà y. ëåììó 3, ïîëó÷èì N 5a N 2 β 1/2 √ 3 . Xl1 xd5 d Xl1 x Xl1 /(N 2 β 2 ). Èç ïîëó÷åííûõ îöåíîê ñëåäóåò, ÷òî K7.1 X 3/4+0,01ε L X 2 X 2 d6 NXβL l1 6 NX βL d 1 1 3/4 1 X l1 N1 N d <a6 d a5/4 X Xl x (N β)1 2 1 x1/4 ×   N 9/4 β ×  Xl1 d5/4 X (a, y) N 5/4 β X a + (a, y) +1 + 1/4 |y| |y| Xl 1d a a a a − 6y< − 6y< 2 y6=0 2 2 y6=0 5/4 + 2 1/2 2  N β X N β (a, y)  √ . Xl1 d1/4 D6y<0 Xl1 d3 40

Âíóòðåííèå ñóììû ïî y îöåíèâàþòñÿ ñâåðõó ïî àíàëîãèè ñ òåì, êàê áûëî ïîëó- ÷åíî íåðàâåíñòâî (27). Êðîìå ýòîãî, èìååì: r − Xl1 d 2Xl1 xad3 = D . πN 3 N 2β Ïîñëå íåñëîæíûõ âû÷èñëåíèé ïîëó÷èì: X K7.1 X 3/4+0,01ε L X 2 3/4 2 d6 NXβL l1 6 NX βL d 1 1 1 X l1 N1 N d <a6 d a5/4 X Xl x (N β)1 2 1 x1/4 × √ X 0,5+0,02ε N 2,5 β 2 L2 N 9/4 X 0,01ε βL N 5/4 X 0,01ε β √ × + + X1 Xl1 d5/4 Xl1 d3/4 N2 X 1+0,01ε N 3,5 βL2 . + X12 H îöåíîê äëÿ K7.1 è K7.2 ñëåäóåò, ÷òî Èç Èç (18), (22) è îöåíîê äëÿ ñóìì Èç (11), (12), (14), (16), (17) è N2 K7 < . H Kj , j = 3, 5, 6, 7, 8, ïîëó÷àåì: N 2 Y 2 L3 . K H îöåíêè äëÿ K ñëåäóåò: I X1 Y 4 L 7 . H Ëåììà 15. Ïóñòü X Q(T ) = P0 α 1+ L H X L <n1 6P α P γ<n2 6P0 γ (1+ H ) 1 √ n1 n2 n2 n1 iT 2 n H ig2 −ig1 − 2 ln n12β n2 n1 e . Òîãäà èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî Z X+X1 I= Äîêàçàòåëüñòâî. X ×åðåç D(n, T ) X1 L7 |Q(T )| dT . H îáîçíà÷àåì ñëàãàåìîå ñóììû Q(T ). Ñïðàâåä- ëèâà ñëåäóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîîòíîøåíèé

X X X X

|Q(T )| =

× 2

P0 α <n 6P α P γ<n 6P γ 1+ L P0 α <n0 6P α P γ<n0 6P γ 1+ L M 0 (

1+ HL 1 2 0 2 0 ( H ) 1+ HL 1 2 H) 41

M −1 M −1 X X × D(n, T )e l(n −n0 ) 2πi 1M 1 l0 (n −n0 ) 2πi 2M 2 e l=0 l0 =0

M −1 X 1 X X ln1 l 0 n2

6 D(n, T )e2πi M e2πi M

0 l + 1l + 1

P α

l,l0 =0

1+0HL <n1 6P2 α P0 γ<n2 6P0 γ (1+ HL )

Îòêóäà ïîëó÷àåì I6L 2 Z X+X1 |Q0 (T )| dT, (29) X ãäå X 0 Q (T ) = P0 α 1+ L H 0 6 l, l0 < M X 2πi D(n, T )e ln1 M 2πi e l 0 n2 M , L <n1 6P2 α P0 γ<n2 6P0 γ (1+ H ) íåêîòîðûå ôèêñèðîâàííûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Ïóñòü P0 α , B = P2 α, 1 + HL H v 2 L A1 = P0 γ, B1 = P0 γ 1 + , g(u, v) = e−( 2 ln uβ ) , H 0n X X 1 1 1 2 i(T −g1 ) 2πi ln i(T +g2 ) 2πi l M e M e . F (u, v) = √ (n1 ) √ (n2 ) n1 n2 A= A1 <n2 6v A<n1 6u Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà: HL HL H 2 L2 g(u, v) 6 1; gu (u, v) ; gv (u, v) ; guv (u, v) . u v uv n1 Ïðèìåíÿÿ ê ñóììå ïî Z 0 B Z è n2 â Q(T ) ïðåîáðàçîâàíèå Àáåëÿ, ïîëó÷èì B1 Z B F (u, v)guv (u, v)dudv − Q (T ) = A F (u, B1 )gu (u, B1 )du− A A1 Z B1 − F (B, v)gv (B, v)dv + F (B, B1 )g(B, B1 ). A1 Îòêóäà ñëåäóåò Z X+X1 |Q0 (T )| dT L4 I1 , (30) X ãäå Z X+X1 X+X1 |F (u, v)| dT = I1 = max A<u6B A1 <v6B1 Z X X 42 |F (B 0 , B10 )| dT.

Ïðèìåíÿÿ ê I1 èíòåãðàëüíîå íåðàâåíñòâî Êîøè, ïîëó÷èì p I1 6 ãäå (31)

1 1

i(T −g1 ) 2πi ln M J1 = e √ (n1 )

dT,

n1 X 0 A<n1 6B

Z X+X1

l 0 n2

1 i(T +g2 ) 2πi M

J2 = e √ (n2 )

dT. n 2 X

A1 <n2 6B10

Z Îöåíèì J1 . X+X1 Èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî X J1 X1 P0 α 1+ L H Åñëè J1 J2 , n1 6= n3 , <n1 , n3 6P2 α 1 − e √ n1 n3 X1 2 n ln n1 2 3 . òî

n1 − n3

2π

> .

X + X1 Ñëåäîâàòåëüíî, − e X1 2 n ln n1 2 3 < e− √ X . Îòêóäà ïîëó÷àåì    X  J1 X1  Pα 0 1+ L H <n1 6P2 α √  X 1 − X +e  n1 P α 0 1+ L H <n1 6P2 α 2   1    √   n1  √ −√ X X1 L X1 L + X1 Xe . H H Àíàëîãè÷íî ïîëó÷èì J2 X1 L . H Óòâåðæäåíèå ëåììû ñëåäóåò èç (29)-(31) è îöåíîê 1.3 J1 è J2 . Âûâîäû ïî ïåðâîé ãëàâå Èñïîëüçóÿ èçâåñòíûå ðàáîòû è îöåíêè (ðàçäåë 1.2) óäàëîñü äîêàçàòü 2 ëåììû, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ óòî÷íåíèåì ðàíåå ñóùåñòâóþùèõ îöåíîê èç ðàáîò À. À. Êàðàöóáû, Ë. Â. Êèñåëåâîé. Â ëåììàõ 14 è 15 ïîëó÷åíû íîâûå îöåíêè ñâåðõó äëÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ èíòåãðàëîâ ñïåöèàëüíîãî âèäà. Ýòè ëåììû íåîáõîäèìû äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðåçóëüòàòîâ î íóëÿõ äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà íà êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé. 43

2 Ãëàâà 2. Íóëè äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà íà êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé Â ýòîé ãëàâå ïðèâåäåíû äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì 1 è 2, ñôîðìóëèðîâàííûå âî ââåäåíèè. 2.1 Âñïîìîãàòåëüíûå ëåììû Ëåììà 16. Ïóñòü ε ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ 0 < √ ε < 0, 01, X > X0 (ε) > 0, exp exp 2a ln ln X 6 H 6 X ε , a > 0 íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ, Y = H 0,01, X1 = X 7/8+ε. Ïóñòü, äàëëå, 0 < h < h1 < 1 íåêîòîðûå ôèêñèðîâàííûå ÷èñëà. Ïðè j = 1, 2 ñóììû Wj (T ) îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè: X X a(λ1 )a(λ2 ) λ2 iT − H ln λ2 2 √ W1 (T ) = e 2 λ1 , λ1 λ1 λ2 λ 6P λ <λ 1 ãäå 1 2 X X a(λ1 )d(λ1 )a(λ2 )d(λ2 ) λ2 iT − H ln λ2 2 √ W2 (T ) = e 2 λ1 , λ1 λ1 λ2 λ1 6P λ1 <λ2 p P = T /(2π) a(λ) iu Z h1 P −(u/h)2 d(λ) = e du. λ −h1 , ÷èñëà îïðåäåëåíû â (8), è Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå îöåíêè: Z X+X1 X1 Y 12 L9 , H |W1 (T )|2 dT X Z X+X1 X1 h4 Y 12 L9 , H |W2 (T )|2 dT X ãäå L = ln X è ïîñòîÿííûå â çíàêå àáñîëþòíûå. Äîêàçàòåëüñòâî. d(λ) Ïîëüçóÿñü îïðåäåëåíèåì Z h1 Z h1 W2 (T ) = −h1 2 , íàõîäèì 2 e−(u1 /h) e−(u2 /h) −h1 X X a(λ1 )a(λ2 ) √ × λ λ 1 2 λ 6P λ <λ 1 1 2 2 ! H λ2 i(u1 −u2 ) 1 iu2 ×λ−iu λ exp − du1 du2 ; ln P 1 2 2 λ1

Z h1 Z h1

X X a(λ )a(λ ) 2 −(u1 /h)2 −(u2 /h)2

√1 |W2 (T )| 6 e × e

λ λ −h1 −h1 1 2 λ 6P λ <λ λ2 λ1 iT 1 44 1 2

2 !

λ2 λ2 H

1 iu2 × λ−iu λ2 ln exp −

du1 du2 = 1

λ1 2 λ1

Z h1 /h Z h1 /h

X X a(λ )a(λ ) 2 2 −u21 −u22

√1 =h e e

λ λ −h1 /h −h1 /h 1 2 λ1 6P λ1 <λ2 2 !

iT λ2 H λ2

1 ihu2 ln exp − × λ−ihu λ2

du1 du2 . 1

λ1 2 λ1 iT Ïîýòîìó, ïðèìåíÿÿ íåðàâåíñòâî Êîøè, áóäåì èìåòü Z X+X1 2 |W2 (T )| dT 6 2h 4 Z X X+X1 |W3 (T )|2 dT, X ãäå X X a(λ1 )a(λ2 ) −ig ig λ2 iT − H ln λ2 2 √ W3 (T ) = λ1 1 λ2 2 e 2 λ1 , λ1 λ1 λ2 λ 6P λ <λ 1 1 2 |g1 | < 1, |g2 | < 1. Ïóñòü W (T ) îäíà èç äâóõ ñóìì W1 (T ) è W3 (T ). ×åðåç D(λ, T ) îáîçíà÷àåì ñëàãàåìûå W (T ). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ÷àñòü ñóììû W (T ), îòâå÷àþùàÿ òàêèì g1 , g2 íåêîòîðûå ôèêñèðîâàííûå ÷èñëà òàêèå, ÷òî ñëàãàåìûì, ó êîòîðûõ L , λ2 > λ1 1 + H åñòü âåëè÷èíà 2 O(e−0,01L ). Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì

−0,02L2 |W (T )| 6

. D(λ, T )

+ O e

λ1 6P

λ1 <λ2 6λ1 (1+ HL )

a(λ) (ñì. (8)) èìååì

X X

+ O(e−0,02L2 ), |W (T )| Φ(n, T )

ν2

ν1 ,ν2 ,ν3 ,ν4 6Y

n 6P

ν ν 1 νν1 ν

n1 ν1 ν4 <n2 6n1 ν1 ν4 (1+ HL )

Â ñèëó îïðåäåëåíèÿ ÷èñëà 2 3 2 3 ãäå åñëè iT n ν ν 2 1 n2 − H ln 2 2 3 Φ(n, T ) = √ e 2 n1 ν1 ν4 n1 n2 n1 W (T ) = W1 (T ), à iT 2 n ν ν H 1 n2 ig2 −ig1 − 2 ln n21 ν21 ν34 n2 n1 e Φ(n, T ) = √ n1 n2 n1 45

åñëè W (T ) = W3 (T ). ν1 , ν2 , ν3 , ν4 , ïîëó÷àåì

−0,02L2

. Φ(n, T )

+ O e

ν2

ν ν n1 6P νν1 ν

n1 ν1 ν4 <n2 6n1 ν1 ν4 (1+ HL ) Äàëåå, ïðèìåíÿÿ íåðàâåíñòâî Êîøè ê ñóììå ïî 2 |W (T )| Y X 4 ν1 ,ν2 ,ν3 ,ν4 6Y 2 3 2 3 Ñëåäîâàòåëüíî,

Z X+X1 Z X+X1

2 8 −0,02L2 |W (T )| dT Y , Φ(n, T )

dT + O X1 e

X X n1 6αP

n1 β<n2 6n1 β(1+ HL )

ν1 , ν2 , ν3 , ν4 íåêîòîðûå ôèêñèðîâàííûå íàòóp ðàëüíûå ÷èñëà, íå ïðåâîñõîäÿùèå Y . Ïóñòü P0 = X/2π . Ðàçáèâàÿ ïðîìåæóòîê ñóììèðîâàíèÿ ïî n1 íà äâà ïðîìåæóòêà òî÷êîé P0 α, ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó: Z X+X1 2 8 −0,02L2 |W (T )| dT Y (G1 + G2 ) + O X1 e , (32) ãäå α = ν2 /ν1 , β = ν1 ν4 /(ν2 ν3 ) è X ãäå

X+X1

X X

dT, G1 = Φ(n, T )

n1 6P0 α n1 β<n2 6n1 β(1+ L )

Z X+X1

X X

dT.

Φ(n, T ) G2 =

P0 α<n1 6P α n1 β<n2 6n1 β(1+ L ) H p G2 ñâåðõó. Ïóñòü P2 = (X + X1 )/(2π), M = [P2 α] + 1. Z Îöåíèì Ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé 1 M X M −M 2 <l6 2 2πil(n − n0 ) exp M ïðåîáðàçóåì ïîäûíòåãðàëüíóþ ñóììó ïî X P0 α<n1 6P α L n1 β<n2 6n1 β(1+ H ) 1 Φ(n, T ) = M X ( 1, = 0, n1 , n2 â K(l, T ) åñëè åñëè n = n0 , n 6= n0 , G2 òàê: X P0 α<n01 6P α M −M 2 <l6 2 2πin01 l , exp − M ãäå K(l, T ) = X X P0 α<n1 6P2 α n1 β<n2 6n1 β(1+ L ) H 46 2πin1 l . Φ(n, T ) exp M

Ïåðåõîäÿ îò ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ê íåðàâåíñòâó, ïîëó÷èì:

X |K(l, T )| X

6 Φ(n, T ) .

|l| + 1

− M2 <l6 M2

P0 α<n1 6αP L

n1 β<n2 6n1 β(1+ H ) Ïðèìåíèì ê ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâî Êîøè:

X X |K(l, T )|2

. Φ(n, T )

6 L

|l| + 1 −M/2<l6M/2

P0 α<n1 6αP L

n1 β<n2 6n1 β(1+ H ) Ñëåäîâàòåëüíî, X G2 6 L M −M 2 <l6 2 1 |l| + 1 Z X+X1 2 2 Z X+X1 |K(l, T )| dT 6 L X 2 |K(l0 , T )| dT, X M/2 < l0 6 M/2 íåêîòîðîå ôèêñèðîâàííîå öåëîå ÷èñëî. Âñïîìèíàÿ îïðåäåëåíèå K(l, T ), ïåðåïèøåì ýòî íåðàâåíñòâî â ñëåäóþùåì âèäå: ãäå G2 L2 J, ãäå Z X+X1 X J= X 2πin1 l0 dT. Φ(n, T ) exp M X P0 α<n1 6αP2 n1 β<n2 6n1 β(1+ L ) H Èíòåãðàë J îöåíåí â ëåììå 14: X1 Y 2 L3 J . H Ñëåäîâàòåëüíî, X1 Y 2 L5 G2 . H (33) G1 . Ðàçîáüåì ïðîìåæóòîê ñóììèðîâàíèÿ ïî n1 âèäà N < n1 6 N1 6 2N , N 6 P0 α. Ïðèõîäèì Îñòàëîñü îöåíèòü ñâåðõó G1 íà L ïðîìåæóòêè íåðàâåíñòâó: G1 L2 Z X+X1 X

dT. Φ(n, T )

N <n1 6N1 n1 β<n2 6n1 β(1+ L )

H Ïîñëåäíèé èíòåãðàë îöåíåí â ëåììå 14 òàê: X 1 Y 4 L7 I . H 47 â ê

Ñëåäîâàòåëüíî, X1 Y 4 L9 . G1 H (34) Èç (32)-(34) ñëåäóåò: Z X+X1 |W (T )|2 dT X X1 Y 12 L9 . H Îòêóäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå ëåììû. Ñëåäñòâèå 1. Ïóñòü W1(T ) è W2(T ) ñóììû â ëåììå 16, è ïóñòü S ∗ = T ∈ [X, X + X1 ] | |W1 (T )| > H −0,2 ; S ∗∗ = T ∈ [X, X + X1 ] | |W2 (T )| > h2 H −0,2 . Òîãäà ñïðàâåäëèâû îöåíêè µ(S ∗ ) 6 X1 H −0,4 ; µ(S ∗∗ ) 6 X1 H −0,4 , ãäå µ(S) îçíà÷àåò ìåðó ìíîæåñòâà S . Äîêàçàòåëüñòâî. Â ñèëó ëåììû 16 èìååì Z X+X1 |W1 (T )|2 dT 6 AX1 H −1 L9 Y 12 , X ãäå ïîñòîÿííàÿ Z A>0 â ïðàâîé ÷àñòè àáñîëþòíàÿ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èìååì X+X1 Z 2 |W1 (T )| dT > X S∗ |W1 (T )|2 dT > µ(S ∗ )H −0,4 . Ñëåäîâàòåëüíî, µ(S ∗ ) 6 AX1 H −0,6 L9 Y 12 6 X1 H −0,4 . Ïî àíàëîãèè èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî: µ(S ∗∗ ) 6 X1 H −0,4 . Ëåììà 17. Ïóñòü ε ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ 0 < √ ε < 0, 01, X > X0 (ε) > 0, exp exp 2a ln ln X 6 H 6 X ε , a > 0 íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ, Y = H 0,01, X1 = X 7/8+ε. Ïóñòü, äàëëå, 0 < h < h1 < 1 íåêîòîðûå ôèêñèðîâàííûå ÷èñëà. Ïðè j = 1, 2 ñóììû Qj (T ) îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè: X X a(λ1 )a(λ2 ) λ2 iT − H ln λ2 2 √ Q1 (T ) = e 2 λ1 , λ1 λ1 λ2 λ 6P P <λ 1 2 48

ãäå X X a(λ1 )d(λ1 )a(λ2 )d(λ2 ) λ2 iT − H ln λ2 2 √ Q2 (T ) = e 2 λ1 , λ1 λ1 λ2 λ1 6P P <λ2 p P = T /(2π) a(λ) iu Z h1 P 2 d(λ) = e−(u/h) du. λ −h1 , ÷èñëà îïðåäåëåíû â (8), è Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå îöåíêè: Z X+X1 |Q1 (T )| dT X1 H −1 L7 Y 4 , X Z X+X1 |Q2 (T )| dT h2 X1 H −1 L7 Y 4 , X ãäå L = ln X è ïîñòîÿííûå â çíàêå àáñîëþòíûå. Äîêàçàòåëüñòâî. d(λ) Ïîëüçóÿñü îïðåäåëåíèåì , íàõîäèì

X X a(λ )a(λ ) 2 −(u1 /h) −(u2 /h)

√1 e e × |Q2 (T )| 6

λ λ −h1 −h1 1 2 λ1 6P P <λ2 2 !

iT H λ2 λ2

2 exp − ln × λ1−iu1 λiu

du1 du2 6 2

λ1 2 λ1

Z h1 /h Z h1 /h

X X a(λ )a(λ ) 2 2 −u21 −u22

√1 × 6h e e

λ λ −h1 /h −h1 /h 1 2 λ1 6P P <λ2 iT 2 !

λ2 H λ2

1 ihu2 × λ−ihu λ2 exp − ln

du1 du2 . 1

λ1 2 λ1 Z h1 Z h1 2 2 Ïîýòîìó èìååì: Z X+X1 2 Z X+X1 |Q2 (T )| dT 6 h X |Q3 (T )| dT, (35) X ãäå X X a(λ1 )a(λ2 ) −ig ig λ2 iT − H ln λ2 2 √ λ1 1 λ2 2 e 2 λ1 , Q3 (T ) = λ1 λ1 λ2 λ 6P P <λ 1 2 |g1 | < 1, |g2 | < 1. Ïóñòü Q(T ) îäíà èç äâóõ ñóìì Q1 (T ) è Q3 (T ). ×åðåç D(λ, T ) îáîçíà÷àåì p ñëàãàåìûå Q(T ). Ïóñòü P0 = X/(2π). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ÷àñòü ñóììû W (T ), g1 , g2 íåêîòîðûå ôèêñèðîâàííûå ÷èñëà òàêèå, ÷òî îòâå÷àþùàÿ òàêèì ñëàãàåìûì, ó êîòîðûõ L λ2 > P0 1 + H 49

èëè λ1 6 P0 åñòü âåëè÷èíà L 1+ H −1 , 2 O(e−0,01L ). Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì

−0,02L2 . D(λ, T )

+ O e |Q(T )| 6

P0 /(1+ HL )<λ1 6P

P <λ 6P (1+ L ) 2 0 H a(λ) (ñì. (8)) èìååì

X X 2

|Q(T )| Φ(n, T )

+ O(e−0,02L ),

Pν

ν1 ,ν2 ,ν3 ,ν4 6Y

0 2 <n 6P ν2

ν1 (1+ HL ) 1 ν1

P ν4 <n2 6P0 ν4 (1+ L )

Â ñèëó îïðåäåëåíèÿ ÷èñëà ν3 ν3 H ãäå 1 Φ(n, T ) = √ n1 n2 åñëè Q(T ) = Q1 (T ), iT e − H 2 2 n ν ν ln n2 ν2 ν3 1 1 4 à 1 Φ(n, T ) = √ n1 n2 åñëè n2 n1 n2 n1 iT 2 −ig1 − nig e 2 n1 H 2 ln n2 ν2 ν3 n1 ν1 ν4 2 Q(T ) = Q3 (T ). Ñëåäîâàòåëüíî, Z X+X1 4 −0,01L2 |Q(T )| dT Y I + O X1 e , (36) X ãäå

Z X+X1

I= Φ(n, T )

dT,

Pα X

0 L <n1 6P α

(1+ H )

P γ<n2 6P0 γ(1+ L ) H α = ν2 /ν1 , β = ν1 ν4 /(ν2 ν3 ), γ = ν4 /ν3 íàòóðàëüíûå ÷èñëà, íå Èíòåãðàë I ν1 , ν2 , ν3 , ν4 ïðåâîñõîäÿùèå Y . è íåêîòîðûå ôèêñèðîâàííûå îöåíåí â ëåììå 15 òàê: X1 L7 . I H Óòâåðæäåíèå ëåììû ñëåäóåò èç (35), (36) è ýòîãî íåðàâåíñòâà. 50

Ñëåäñòâèå 2. Ïóñòü Q1(T ) è Q2(T ) ñóììû â ëåììå 17 è V ∗ = T ∈ [X, X + X1 ] | |Q1 (T )| > H −0,4 ; V ∗∗ = T ∈ [X, X + X1 ] | |Q2 (T )| > h2 H −0,4 . Òîãäà ñïðàâåäëèâû îöåíêè µ(V ∗ ) 6 X1 H −0,4 ; µ(V ∗∗ ) 6 X1 H −0,4 , ãäå µ(V ) îçíà÷àåò ìåðó ìíîæåñòâà V . Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäñòâèÿ 2 ïðîâîäèòñÿ ïî àíàëîãèè ñ äîêàçàòåëüñòâîì ñëåäñòâèÿ 1. 2.2 Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1 Ïóñòü ε1 ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ 0 < ε1 < 0, 01, è ïóñòü c1 = c1 (ε1 ) > 0 íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ, Òåîðåìà 1. X > X0 (ε1 ) > 0, H = X ε1 , X1 = X 7/8+ε1 . ×åðåç E1 îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî òåõ T ∈ [X, X + X1], äëÿ êîòîðûõ èíòåðâàë [T, T + H] ñîäåðæèò ìåíüøå, ÷åì c1H ln T íóëåé íå÷åòíîãî ïîðÿäêà ôóíêöèè ζ(0, 5+it). Òîãäà äëÿ ìåðû ýòîãî ìíîæåñòâà µ(E1) ñïðàâåäëèâà îöåíêà µ(E1 ) X1 H −0,4 , ãäå ïîñòîÿííàÿ â çíàêå àáñîëþòíàÿ. Äîêàçàòåëüñòâî. Wj (T ) Qj (T ) Ïóñòü ∗ è ∗ ∗∗ S ,S ,V èV ÷èñëà T èç ìíîæåñòâà Ïóñòü, äàëåå ðèâàòü ∗∗ , j = 1, 2 ñóììû èç ëåìì 16 è 17. ìíîæåñòâà â ñëåäñòâèÿõ 1 è 2. Áóäåì ðàññìàò- [X, X + X1 ] \ (S ∗ ∪ S ∗∗ ∪ V ∗ ∪ V ∗∗ ) . Äëÿ íèõ âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà: |Q1 (T )| < H −0,4 ; |Q2 (T )| < h2 H −0,4 , |W1 (T )|2 < H −0,4 ; |W2 (T )|2 < h4 H −0,4 . Èç ðàññìàòðèâàåìûõ ÷èñåë ñòâî

T (37) âûáðîñèì òå, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåí- 2

ζ(σ + i(T + H − 1)) |ϕ(σ + i(T + H − 1))|2 dσ

+ 1/2

Z 2

H +

ζ(σ + i(T + 1)) |ϕ(σ + i(T + 1))|2 dσ

> . L 1/2 51

S0 Îáîçíà÷àåì ÷åðåç ìíîæåñòâî âûáðîøåííûõ ÷èñåë. Èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî: µ(S 0 )HL−1 6 J1 + J2 , ãäå (38)

Z 2

dT,

ζ(σ + i(T + 1)) |ϕ(σ + i(T + 1))| dσ J1 =

1/2 S0

Z 2

dT.

ζ(σ + i(T + H − 1)) |ϕ(σ + i(T + H − 1))| dσ J2 =

S0 Ïðèìåíèòü ê J1 1/2 èíòåãðàëüíîå íåðàâåíñòâî Êîøè. Íàõîäèì: X+X1 Z J12 6 µ (S 0 )

2 1/2 X

ζ(σ + i(T + 1)) |ϕ(σ + i(T + 1))|2 dσ

dT. Â ñèëó ëåììû 11 ñëåäóåò, ÷òî p J1 6 µ (S 0 ) X1 Y 2 L3 . Ïî àíàëîãèè íàõîäèì p J2 6 µ (S 0 ) X1 Y 2 L3 . Ïîäñòàâèòü îöåíêè J1 è J2 â íåðàâåíñòâî (38). Ïîëó÷àåì: µ (S 0 ) 6 X1 H −1 . Ïóñòü P0 = p X/(2π). Ââåäåì ñëåäóþùèå ïàðàìåòðû h= Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî X è h1 = 2h. 0 < h < h1 < 1. ×èñëà 0 < α < 1 è 0 < A T 6 t 6 T + H ðàññìàòðèâàþòñÿ èíòåãðàëû j2 (t): Z h1 j1 (t) = e −(u/h)2 −h1 ãäå A , α ln P0 òàê âåëèêî, ÷òî áóäóò îïðåäåëåíû ïîçäíåå. Ïðè j1 (t) (39) F (t)

|F (t + u)| du, j2 (t) =

h1 −(u/h)2 e −h1

F (t + u)du

, ôóíêöèÿ ÕàðäèÑåëüáåðãà. Îáîçíà÷èì ÷åðåç E ïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî ïîäìíîæåñòâî èíòåðâàëà j1 (t) > j2 (t). Òàê êàê âíå (T, T + H), íà êîòîðîì âûE äâà èíòåãðàëà j1 (t) è j2 (t) ðàâíû, òî èìååì Z Z Z j1 (t)dt − j1 (t)dt = E T +H T Z T 52 Z j1 (t)dt − j2 (t)dt > Ē T +H T +H j2 (t)dt. T

Ïðèìåíÿÿ èíòåãðàëüíîå íåðàâåíñòâî Êîøè, ïðèõîäèì ê ñîîòíîøåíèþ: p ãäå µ(E) ìåðà ìíîæåñòâà T +H Z I1 = µ(E)I1 + p HI2 > I3 , E, T +H Z 2 Z 2 (j1 (t)) dt, I2 = T I3 Îöåíèì èíòåãðàë T +H Z h1 T 2 e−(u/h) |F (t + u)| dudt = I3 = −h1 T Z h1 /h =h −v 2 Z −v 2 T +H Z |F (t + hv)| dtdv = e −h1 /h T T +H+hv −1 Z T +H−1 |F (t)| dtdv > he e =h j1 (t)dt. ñíèçó. Èìååì Z h1 /h T +H (j2 (t)) dt, I3 = T Z (40) −h1 /h |F (t)| dt > T +hv

> he−1

T +1 T +H−1 T +1

ζ(0, 5 + it)ϕ2 (0, 5 + it)dt

. (41) Γ ïðÿìîóãîëüíèê ñ âåðøèíàìè 0, 5 + i(T + 1), 2 + i(T + 1), 2 + i(T + H − 1) è 0, 5 + i(T + H − 1). Òîãäà ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî Z ζ(s)ϕ2 (s)ds = 0. Ïóñòü Γ Ýòî ðàâåíñòâî ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê: Z T +H−1 Z 2 T +H−1 ζ(0, 5 + it)ϕ (0, 5 + it)dt = T +1 ζ(2 + it)ϕ2 (2 + it)dt+ T +1 Z 2 ζ(σ + i(T + H − 1))ϕ2 (σ + i(T + H − 1))dσ− +i 0,5 Z 2 −i ζ(σ + i(T + 1))ϕ2 (σ + i(T + 1))dσ. 0,5 Ïðè <(s) > 1 èìååì +∞ +∞ X X X X a(m) β(ν1 )β(ν2 ) ζ(s)ϕ (s) = , s = 1+ s (nν ν ) m 1 2 n=1 m=2 2 ν1 <Y ν2 <Y ãäå a(m) = X nν1 ν2 =m 53 β(ν1 )β(ν2 ). (42)

Çàìåòèì, ÷òî X |a(m)| 6 1 6 τ3 (m). nν1 ν2 =m Îòñþäà íàõîäèì Z T +H−1 2 ζ(2 + it)ϕ (2 + it)dt = H − 2 + T +1 Z +∞ X a(m) m=2 m2 T +H−1 m−it dt = T +1 = H + O(1). T ∈ / S 0 , òî äâà ïîñëåäíèõ èíòåãðàëà â ïðàâîé −1 âåëè÷èíà O(HL ). Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì: Z T +H−1 ζ(0, 5 + it)ϕ2 (0, 5 + it)dt = H + O HL−1 . Êðîìå ýòîãî, òàê êàê åñòü ÷àñòè (42) T +1 Èç (41) ñëåäóåò, ÷òî I3 > e−1 hH + O hHL−1 . (43) Ðàññìîòðèì èíòåãðàë T +H Z h1 Z I1 = e−(u/h) 2 2 |F (t + u)|du dt. −h1 T Èìååì Z h1 e−(u/h) 2 2 Z 2 |F (t + u)|du = h −h1 h1 /h !2 2 e−v |F (t + vh)|dv 6 −h1 /h 2 h1 /h Z 6h e −v 2 Z dv −h1 /h < √ h1 /h 2 e−v |F (t + vh)|2 dv < −h1 /h 2 Z h1 /h πh 2 e−v |F (t + vh)|2 dv. −h1 /h Ïîäñòàâèòü ýòî íåðàâåíñòâî â ôîðìóëó, îïðåäåëÿþùóþ I1 6 √ 2 T +H Z 6 2 Z h1 /h πh −v 2 e −h1 /h h1 /h πh Ïîëó÷àåì: 2 e−v |F (t + vh)|2 dvdt 6 −h1 /h T √ Z I1 . Z T +H+1 2 2 Z T +H+1 |F (t)| dt 6 πh dv T −1 |F (t)|2 dt. T −1 Ïîëüçóÿñü ïðèáëèæåííûì ôóíêöèîíàëüíûì óðàâíåíèåì õîäèì ê íåðàâåíñòâó I1 h2 (J + HL−10 ), 54 F (t) (ëåììà 9), ïðè-

ãäå

T +H+1

X Z J= T −1 λ6P

2 a(λ) −it

√ λ

dt.

λ Äàëåå, èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîîòíîøåíèé: Z +∞ J −∞

X 2 a(λ) −it

−((t−T )/H)

√ λ

dt = e

λ λ6P

X a(λ) −i(vH+T )

−v 2

√ λ =H e

dv 6

λ −∞ λ6P X X a(λ1 )a(λ2 ) λ2 iT Z +∞ −v2 +ivH ln λ2 λ1 √ 6H dv = e λ1 λ λ −∞ 1 2 λ1 6P λ2 6P 2 ! X X a(λ1 )a(λ2 ) λ2 iT √ H λ2 √ = πH exp − ln = λ1 2 λ1 λ λ 1 2 λ1 6P λ2 6P √ = πH (Σ1 + |W10 (T )|) , Z +∞ ãäå Σ1 = X a2 (λ) λ λ6P X W10 (T ) = λ1 <λ2 6P a(λ1 )a(λ2 ) √ λ1 λ2 λ2 λ1 , iT exp − H λ2 ln 2 λ1 2 ! . Çàìåòèì, ÷òî çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü ñëåäóþùåé ôîðìóëîé: Z +∞ 2 exp −t − iat dt = √ −∞ Ñóììà Σ1 a 2 π exp − . 2 îöåíåíà â ëåììå 10 òàê: Σ1 = O ln P ln Y . Â ñèëó (37) èìååì: |W10 (T )| = |W1 (T ) − Q1 (T )| 6 |W1 (T )| + |Q1 (T )| 6 2H −0,2 . Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì îöåíêó ñâåðõó äëÿ I1 h2 H I1 : ln P + 2H −0,2 + L−10 ln Y 55 2 200ε−1 1 h H, (44)

ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì X. Îöåíèì èíòåãðàë Z T +H I2 = h1

e−(u/h) 2 −h1 T

F (t + u)du

dt. Ïîëüçóÿñü ëåììîé 9, íàõîäèì Z T +H I2 T

X a(λ)d(λ)

−it

√ λ

dt + Hh2 L−10 ,

λ λ6P ãäå Z h1 d(λ) = e−(u/h) 2 −h1 iu P du. λ Îöåíèì èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè òàê æå, êàê áûë îöåíåí èíòåãðàë J: I2 H Σ2 + W20 (T ) + h2 L−10 , ãäå Σ2 = X a2 (λ)d2 (λ) λ λ6P W20 (T ) = a(λ1 )d(λ1 )a(λ2 )d(λ2 ) √ λ1 λ2 X λ1 <λ2 6P Îöåíèì d(λ) (45) , λ2 λ1 iT 2 e(−(H/2 ln(λ2 /λ1 )) ) . äâóìÿ ðàçíûìè ñïîñîáàìè. Òðèâèàëüíî, èìååì Z h1 |d(λ)| 6 e −(u/h) 2 du 6 2h −h1 Êðîìå òîãî, åñëè h1 /h Z 2 e−u du < 0 0 < λ < P , òî Z h1 P −(u/h)2 d(λ) = e exp iu ln du = λ −h1 Z h1 /h P 2 =h e−u exp iuh ln du = λ −h1 /h Z +∞ P =h exp −u2 + iuh ln du− λ −∞ Z P −u2 du = −h e exp iuh ln λ |u|>h1 /h 2 ! √ h P = πh exp − ln − R1 , 2 λ 56 √ πh.

ãäå

Z +∞

P 2 −u e exp iuh ln du

= |R1 | 6 2

h λ h1 /h

1 P 2 = 2

− exp −(h1 /h) + ih1 ln − ih ln(P/λ) λ

−1 Z +∞ P 1 P 2

2 − de−u

h ln exp iuh ln e−(h1 /h) . ih ln(P/λ) h1 /h λ λ Ñëåäîâàòåëüíî, |d(λ)| min h, h exp − Òåïåðü îöåíèì Σ2 . h P ln 2 λ 2 ! + ln λ Ðàçáèâàÿ ñóììèðîâàíèå ïî äëÿ êàæäîé èõ ÷àñòåé ñâîåé îöåíêîé X a2 (λ) Σ2 λ −α |d(λ)|, P λ −1 ! e−(h1 /h) 2 . íà äâå ÷àñòè è ïîëüçóÿñü ïîëó÷àåì h2 exp −2 λ6P P0 −2 2 !! P h1 + ln exp −2 + h2 λ h h P ln 2 λ 2 ! X P P0−α <λ6P + a2 (λ) . λ Ïîëüçóÿñü òåì, ÷òî h= ïðè λ 6 P P0−α A , α ln P0 h1 = 2h, ïîëó÷àåì îöåíêè h P h A ln > α ln P0 = , 2 λ 2 2 −2 2 h P −2 ln 6 (α ln P0 ) 6 , λ A ! 2 ! −2 X a2 (λ) h P P 2 h2 exp −2 ln + ln e−2(h1 /h) λ 2 λ λ λ6P P0−α X a2 (λ) A2 A2 1 ln P 1 h2 e− 2 + 2 4 h2 h2 e− 2 + 2 4 . λ Ae ln Y Ae −α λ6P P0 Çäåñü äëÿ îöåíêè ñóììû ïî Âòîðàÿ ñóììà ïî λ λ ìû âîñïîëüçîâàëèñü ëåììîé 10. â ïðàâîé ÷àñòè (47) îöåíåíà â ëåììå 10: X P P0−α <λ6P a2 (λ) < λ X P 1−α <λ6P 57 (46) a2 (λ) α ln P . λ ln Y (47)

Òàêèì îáðàçîì, èç (47) ñëåäóåò, ÷òî: ln P Σ2 h2 ln Y A2 e− 2 + Äëÿ îöåíêè ñóììû 1 +α A2 e4 W20 (T ) 2 − A2 h2 200ε−1 + e 1 1 +α . A2 e4 âîñïîëüçóåìñÿ (37). Íàõîäèì: |W10 (T )| = |W2 (T ) − Q2 (T )| 6 |W2 (T )| + |Q2 (T )| 6 2h2 H −0,2 . Σ2 è W20 (T ) ïîëó÷àåì: 2 1 2 −1 − A2 −0,2 −10 I2 6 c1 h H 200ε1 e +L . + 2 4 + α + 2H Ae Èç (45) è îöåíîê äëÿ Âîçüìåì A è X òàêèå áîëüøèå, ÷òîáû 2 − A2 c1 200ε−1 e 1 1 + 2 4 Ae 6 1 ; 16e2 1 −0,2 −10 c1 200ε−1 2H + L 6 . 1 8e2 Äàëåå, âîçüìåì α òàêîå ìàëåíüêîå, ÷òîáû c1 200ε−1 1 α 6 Òîãäà èìååì 1 . 16e2 h2 H I2 6 . 4e2 (48) Èç (40), (43), (44) è (48) ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî µ(E) > c2 H, c2 = c2 (ε1 ) > 0. (T, Ðàçäåëèì −1èíòåðâàë T + H) íà èíòåðâàëû âèäà (nh1 , nh1 + h1 ), ãäå n = −1 −1 T h1 , T h1 +1, · · · , (T + H)h1 . Èç ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî −1 ïî êðàéíåé ìåðå c2 Hh1 − 2 èç íèõ ñîäåðæèò òî÷êó t èç ìíîæåñòâà E . Åñëè èíòåðâàë (nh1 , nh1 + h1 ) ñîäåðæèò òî÷êó t èç ìíîæåñòâà E , òî â èíòåðâàëå (t − h1 , t + h1 ), à ñëåäîâàòåëüíî, è â èíòåðâàëå (nh1 − h1 , nh1 + 2h1 ) ñîäåðæèòñÿ õîòÿ áû îäèí íóëü íå÷åòíîãî ïîðÿäêà ôóíêöèè ζ(0, 5+it). Ñëåäîâàòåëüíî, íóëåé íå÷åòíîãî ïîðÿäêà ôóíêöèè ζ(0, 5 + it) íà èíòåðâàëå (T, T + H) íå ìåíüøå, ÷åì 1 c2 Hh−1 − 2 > c3 H ln T, c3 = c3 (ε1 ) > 0. 1 3 Òåì ñàìûì, ìû äîêàçàëè, ÷òî êàæäûé èíòåðâàë (T, T + H), ãäå T ∈ [X, X + X1 ] \ (S ∗ ∪ S ∗∗ ∪ S 0 ∪ V ∗ ∪ V ∗∗ ), ñîäåðæèò íå ìåíüøå c3 H ln T íóëåé ôóíêöèè ζ(0, 5 + it). Èç ñëåäñòâèé 1, 2 è (39) ïîëó÷àåì: µ(S ∗ ∪ S ∗∗ ∪ S 0 ∪ V ∗ ∪ V ∗∗ ) X1 H −0,4 , îòêóäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû 1. 58

2.3 Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2 Ïóñòü ε2 ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ 0 < ε2 < 0, 01, a íåêîòîðàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Ïóñòü, äàëåå, Òåîðåìà 2. X > X0 (ε2 ) > 0, X1 = X 7/8+ε2 √ , exp exp 2a ln ln X 6 H 6 X ε2 . ×åðåç E2 îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî òåõ çíà÷åíèé T èç ïðîìåæóòêà [X, X + X1 ], äëÿ êîòîðûõ èíòåðâàë [T, T + H] ñîäåðæèò ìåíüøå, ÷åì s ! ln X H (ln H) exp −a ln ln H íóëåé íå÷åòíîãî ïîðÿäêà ôóíêöèè ζ(0, 5 + it). Òîãäà äëÿ ìåðû ýòîãî ìíîæåñòâà µ(E2) ñïðàâåäëèâà îöåíêà µ(E2 ) X1 H −0,4 , ãäå ïîñòîÿííàÿ â çíàêå àáñîëþòíàÿ. Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì δ<1 è δ X 6H 6X ε2 δ 0 < ñ óñëîâèåì , óòâåðæäåíèå òåîðåìû 2 ñëåäóåò èç òåîðåìû 1. Ïîýòî- ìó áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî H 6 Xδ, ãäå êîíêðåòíîå ìàëîå çíà÷åíèå δ áóäåò îïðåäåëåíî ïîçäíåå. Wj (T ) è Qj (T ), j = 1, 2 ñóììû èç ∗∗ ∗ S , V è V ∗∗ ìíîæåñòâà â ñëåäñòâèÿõ 1 è 2. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ÷èñëà T èç ìíîæåñòâà Ïóñòü ëåìì 16 è 17. Ïóñòü äàëåå S ∗, [X, X + X1 ] \ (S ∗ ∪ S ∗∗ ∪ V ∗ ∪ V ∗∗ ) . Äëÿ íèõ âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà: |Q1 (T )| < H −0,4 ; |Q2 (T )| < h2 H −0,4 , |W1 (T )|2 < H −0,4 ; |W2 (T )|2 < h4 H −0,4 . Ââåäåì ñëåäóþùèå ïàðàìåòðû s s ln X 1 ln X 1 , h= ln , ln = ln c ln H c ln H ln Y s ln X a1 , α= . h1 = 2h ln ln Y ln(1/c) Ïðè T 6t6T +H ðàññìàòðèâàþòñÿ èíòåãðàëû 59 j1 (t) è j2 (t): (49)

Z h1 2 e−(u/h) j1 (t) = F (t) 2 e−(u/h) −h1 −h1 ãäå h1

|F (t + u)| du, j2 (t) =

F (t + u)du

, ôóíêöèÿ ÕàðäèÑåëüáåðãà (ñì. ëåììó 9). [T, T + H], íà êîòîðîì âûïîëíÿåòñÿ j1 (t) > j2 (t). Òàê êàê âíå E äâà èíòåãðàëà j1 (t) è j2 (t) ðàâíû, òî èìååì Z Z T +H Z Z T +H Z T +H α α α α j1 (t)dt = j1 (t)dt − j2 (t)dt > j1 (t)dt − j2α (t)dt; Îáîçíà÷èì ÷åðåç E E ïîäìíîæåñòâî èíòåðâàëà T Ē T T òî åñòü I1 + I2 > I3 . (50) ãäå Z Z α I1 = (j1 (t)) dt, I3 Z α (j2 (t)) dt, I2 = T +H I3 = (j1 (t))α dt. T T E Îöåíèì T +H ñíèçó. Ñíà÷àëî èìååì α u 2 exp − |F (t + u)|du = h −h1 !α Z h1 /h = hα exp −v 2 |F (t + vh)|dv > Z h1 −h1 /h > hα e−α α 1 Z |F (t + vh)|dv . −1 Äàëåå, â ñèëó íåðàâåíñòâà Ãåëüäåðà èìååì Z 1 Z α |F (t + vh)| dv 6 −1 1−α Z 1 α 1 |F (t + vh)|dv 1dv −1 . −1 Òàêèì îáðàçîì, èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî 1 (j1 (t)) > hα e−α 2 α Z 1 |F (t + vt)|α dv. −1 Ïîäñòàâëÿÿ ýòî íåðàâåíñòâî â ôîðìóëó, îïðåäåëÿþùóþ 1 I3 > hα e−α 2 Ïóñòü Z T +H Z 1 α −1 α Z I3 , ïîëó÷àåì T +H−1 |F (t)|α dt. |F (t + vh)| dvdt > h e T A = 2[ln2 T ] + 1. −1 T +1 Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ 2 f (s) = (s + iT − 1)ζ(s + iT )ϕ (s + iT ) exp 60 s 2A H . (51)

Ôóíêöèÿ f (s) ÿâëÿåòñÿ öåëîé. Äàëåå, èìååì

exp

= exp < s ,

H H 2A (s) 2A = (σ + it) =− 2A X k 2A−k k i−k C2A t σ , k=0 <s 2A = −t 2A + A X 2k 2A−2k 2k (−1)k+1 C2A t σ k=1 2A−2 = −t2A + O t Êðîìå òîãî, ïðè 1/2 6 <s 6 2 è ïðè t −→ ∞, t −→ ∞

(s + iT − 1)ζ(s + iT )ϕ2 (s + iT ) = O(|t|2 ),

ϕ2 (s)

= O(Y ). Òàêèì îáðàçîì, |f (s)| −→ 0 Ïðèìåíèì ê ôóíêöèè f (s) ïðè |t| −→ +∞ ðàâíîìåðíî ïî σ. ëåììó 8. Ïîëàãàÿ 1 1 α 2−α 3α 1 ,p = ,q = ,σ = 2 − , a = , λ = , b = 2, µ = 2 α 2−α 2 2 4 Z +∞ λ 1/λ J(σ; λ) = |f (σ + it)| dt , −∞ íàõîäèì 3α 1 1 1 J 2− ; 1 6 J α/2 ; J (2−α)/2 2; . 4 2 α 2−α Îöåíèì J (2 − 3α/4; 1) ñíèçó. Èìååì Z +∞

3α 3α

f 2 −

dt > J 2− ;1 = + it

4 4 −∞ Z 0,5H

3α 3α

1− + it + iT ζ 2 − + it + iT × >

4 4 0 2A !

3α 2 − 3α/4 + it

× ϕ2 2 − + it + iT exp <

dt >

4 H

Z 0,5H

3α 3α −1 2

ζ 2 −

dt. >e T + it + iT ϕ 2 − + it + iT

4 4 0 Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî ïðè 0 6 t 6 0, 5H

3α

2 −

< H, + it

4 61 (52)

òî

2 − 3α/4 + it

< 1,

H exp < 2 − 3α/4 + it H 2A ! > e−1 . s = 2 − 3α/4 + it + iT , 0 6 t 6 0, 5H . Âîñïîëüçóåìñÿ ïðîñòåéøèì ïðèáëèæåíèåì ôóíêöèè ζ(s). Ïðè 0 < σ0 6 σ 6 2, πx > |t1 | > 2π , s1 = σ + it1 Ïóñòü X 1 x1−s1 −σ + O ζ(s1 ) = + x ln x . s1 n s − 1 1 n6x x = 2T ; íàéäåì X 1 −1 ζ(s) = + O T . ns Ïîëîæèì äëÿ íàøåãî ñëó÷àÿ n62T Êðîìå ýòîãî, ϕ(s) = X β(ν) νs ν<Y ; ϕ(s) = O(1). Ïîýòîìó ζ(s)ϕ(s) = X c(m) −1 + O T , s m 2 n62T Y ãäå X c(m) = β(ν1 )β(ν2 ). nν1 ν2 =m β(1) = 1, òî c(1) = 1; òàê êàê |β(ν)| 6 1, |c(m)| 6 τ3 (m). Ñëåäîâàòåëüíî, 3α J 2− ;1 > 4

Z 0,5H X

c(m) −i(t+T ) −1

m dt + O HT > e−1 T

0, 5H +

T H. (53) m2−3α/4 0

2 26m62T Y Òàê êàê J (2; 1/(2 − α)) ñâåðõó. Èìååì Z +∞ 1/(2−α) 1 2−α J 2; = |f (2 + it)| dt . 2−α −∞ Îöåíèì òåïåðü Ïðåæäå âñåãî, Z +∞ 2−α |f (2 + it)| Z +∞ (|1 + it + iT | × dt = −∞ −∞ 2A !

2 + it 2−α ×

ζ(2 + it + iT )ϕ2 (2 + it + iT )

dt exp (2 − α)< H 62

Z +∞ (|t| + T )2−α exp (2 − α)< −∞ Åñëè |t| 6 0, 5H , 2 + it H 2A ! dt. òî

2 + it

< 1.

H è, ñëåäîâàòåëüíî, Z 0,5H (|t| + T )2−α exp (2 − α)< −0,5H Åñëè |t| > 0, 5H , 2 + it H 2A ! dt T 2−α H. òî 2A <(2 + it) = −t 2A − A X 1 2n C2A (−1)n t2A−2n 22n 6 − t2A . 2 n=1 Ñëåäîâàòåëüíî, Z (|t| + T )2−α exp (2 − α)< |t|>0,5H +∞ 2 + it H 2A ! dt 2A ! 2−α t < dt 2 H 0,5H 2A ! 2A ! Z +∞ Z T t 1 t 1 dt + t2−α exp − dt T 2−α exp − 2 H 2 H T 0,5H Z +∞ Z +∞ 2−α 2 3−α T H exp −0, 5v dv + H t2 exp −0, 5t2A T 2−α H. Z (|t| + T )2−α exp − 0,5 T /H Òåì ñàìûì ïîëó÷èëè J (2; 1/(2 − α)) T H 1/(2−α) . (54) Èç (52) (54) íàõîäèì TH J α/2 (2−α)/2 1 1 1/(2−α) ; TH ; 2 α Ñëåäîâàòåëüíî, Z +∞ c1 H 1/2 |f (1/2 + it)|α dt > c1 T α H, −∞ ãäå T α/2 àáñîëþòíàÿ ïîñòîÿííàÿ. 63 J α/2 1 1 ; . 2 α

Äàëåå èìååì Z +∞ Z α +2H |f (1/2 + it)| dt 6 −∞ α Z |f (1/2 + it)|α dt. |f (1/2 + it)| dt + −2H |t|>2H Îöåíèì âòîðîé èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ñâåðõó. Ïðåæäå âñåãî Ïðè

− + i(t + T )

× + it + i(t + T )

2 2A !

1 0, 5 + it ×

ϕ + i(t + T )

exp < . 2 H |t| > 2H èìååì 2A < (0, 5 + it) = −t 2A − A X 2m C2A (−1)m t2A−2m 2−2m 6 m=1 1 2 2A−2 6 −t2A + C2A t 6 − t2A ; 2 2A ! 2A ! 0, 5 + it 1 t exp < 6 exp − . H 2 H Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëüçóÿñü òðèâèàëüíûìè îöåíêàìè ôóíêöèé ζ(s) è ϕ(s), õîäèì ê íåðàâåíñòâó Z |f (1/2 + it)|α dt |t|>2H 6 T4 Z +∞ 2H α (t + T )4α exp − 2 t H 2A ! dt 6 2A ! Z +∞ α α t 4 4 5 4 dt = T H t exp − t2A dt = t exp − 2 H 2 2H 2 Z αu 1 4 5 +∞ = T H exp − u2/A+1/(2A)−1 du 6 2A 2 22A Z +∞ αu 1 4 5 −A 1 4 5 −A T H 2 du 6 T H 2 . 6 exp − 2A 2 αA 22A Z +∞ Ïî îïðåäåëåíèþ 1 = ln(1/c) 1 1 >√ > . ln ln 2T ln ln X A = 2 ln2 T + 1, 1 > α > =q 1 ln X ln ln H 64 ïðè-

Ïîýòîìó Z α Z α 2H |f (1/2 + it)| dt 6 0, 5c1 T H; |t|>2H |f (1/2 + it)|α dt > 0, 5c1 T α H. −2H Âñïîìèíàÿ îïðåäåëåíèå ôóíêöèè Z α 2H 0, 5c1 T H 6 f (s), ïåðåïèøåì ýòî íåðàâåíñòâî òàê |−0, 5 + i(t + T )|α |ζ (0, 5 + i(t + T ))|α × −2H 2A !

α 0, 5 + it ×

ϕ (0, 5 + it + iT )

exp α< dt. H Åñëè |t| 6 0, 5H , òî

2A 2A

0, 5 + it

< 1.

H H

À åñëè |t| > 0, 5H , òî

2 2A−2 0, 5 + it t

−t2A + C2A < 0. < 6

H H 2A Ïîýòîìó 0, 5 + it exp α< H 2A ! 6 e. Ñëåäîâàòåëüíî, c1 α T H6e 2 Z 2H −2H

2 1

− + i(t + T )

dt 6 + i(t + T ) + i(t + T )

2 6 2eT α Z 2H −2H Z 2H

2 1

dt; + i(t + T ) + i(t + T )

ζ(0, 5 + i(t + T ))ϕ2 (0, 5 + i(t + T ))

α dt > c2 H, −2H c2 > 0 àáñîëþòíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Òàê êàê T1 = T + 0, 5H , H1 = 0, 25H − 0, 5 òàêèå æå ïî ïîðÿäêó ðîñòà, òàê T è H , òî èç ýòîãî íåðàâåíñòâà ñëåäóåò Z T +H−1 Z 2H1 α |F (t)| dt = |F (t + T1 )|α dt > c3 H, ãäå T +1 ãäå −2H1 c3 > 0 àáñîëþòíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Èç (51) è ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà íàõîäèì I3 > e−1 c3 hα H. 65 (55)

T +H+1

X Z T −1 λ6P

2 a(λ) −it

√ λ

dt + HX −0,2 .

λ Íàêîíåö, äëÿ èíòåãðàëà â ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà íàõîäèì îöåíêó Z

T +H+1

X T −1 Z λ6P +∞ 6H −∞

2 2 !

X Z +∞

a(λ) −it

t−T a(λ) −it

√ λ

dt √ λ

dt 6 exp −

H λ λ −∞ λ6P

X a(λ) −i(T +vH)

−v 2

√ λ e

dv H

λ λ6P X |a(λ)|2 λ λ6P ! + |W10 (T )| , ãäå W10 (T ) = X X λ1 6P λ1 <λ2 6P a(λ1 )a(λ2 ) √ λ1 λ2 66 λ2 λ1 iT − e H 2 2 λ ln λ2 1 ,

Ñóììà ¾äèàãîíàëüíûõ ñëàãàåìûõ¿ îöåíåíà â ëåììå 10 òàê: X |a(λ)|2 λ λ6P Ñóììà ¾íåäèàãîíàëüíûõ ñëàãàåìûõ¿ ln X . ln Y W10 (T ) îöåíèì ñ ïîìîùüþ (49) òàê: |W10 (T )| = |W1 (T ) − Q1 (T )| 6 |W1 (T )| + |Q1 (T )| < 2H −0,2 . Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì α/2 c4 (µ(E))1−α/2 hα H α/2 I1 6 I2 . Ïåðåéäåì ê îöåíêå Z I2 6 H 1−α/2 ln X ln Y α/2 , c4 > 0. (56) Ïðèìåíÿÿ íåðàâåíñòâî Ãåëüäåðà, ïîëó÷àåì T +H T

2 !α/2 2

u . exp − F (t + u)du

dt h −h1

h1 Îïÿòü ïîëüçóÿñü ëåììîé 9, íàõîäèì T +H Z T

h1 −h1

2 Z

2 e−(u/h) F (t + u)du

dt 6

X a(λ)d(λ)

−it

√ λ

dt+

λ λ6P T +H T

X a(λ)d(λ) −it

−0,2 2 −((t−T )/H)2

√ λ

dt + HX −0,2 h2 +HX h 6e e

λ −∞ λ6P H Σ + W20 (T ) + h2 X −0,2 , Z +∞ ãäå X |a(λ)d(λ)|2 Σ= λ λ6P Z , h1 d(λ) = e −(u/h)2 −h1 è W20 (T ) a(λ1 )d(λ1 )a(λ2 )d(λ2 ) √ λ1 λ2 Ðàçáèâàÿ ñóììèðîâàíèå ïî λ X = X λ1 6P λ1 <λ2 6P Òåïåðü îöåíèì Σ. λ2 λ1 iu P du, λ iT e 2 λ2 − H 2 ln λ 1 . íà äâå ÷àñòè è ïîëüçóÿñü íåðàâåíñòâîì (46), ïîëó÷àåì Σ λ6P H 2 a (λ) λ −4c X h2 exp −2 +h 2 h P ln 2 λ X P H −4c <λ6P 67 2 ! + ln a2 (λ) . λ P λ −2 ! e−2(h1 /h) 2 + (57)

Ïîëüçóÿñü òåì, ÷òî s 1 ln X ln , h= c (ln H) ln Y ïðè λ 6 P H −4c s ln X h1 = 2h ln , ln Y ïîëó÷àåì îöåíêè s h P h1 ln X ln > 2ch (ln H) = 2 ln = , 2 λ ln Y h −2 P ln 6 (4c (ln H))−2 6 h2 , λ ! 2 ! −2 X a2 (λ) h P P 2 h2 exp −2 ln + ln e−2(h1 /h) λ 2 λ λ λ6P H −4c X 2 −7 a (λ) ln X 2 ln X 2 h . h exp −8 ln ln Y λ ln Y (58) λ6P Çàìåòèì, ÷òî çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü îöåíêîé èç ëåììû 10 X a2 (λ) =O λ λ6P ln X ln Y . Îïÿòü â ñóëó ëåììû 10 èìååò ìåñòî îöåíêà âòîðîé ñóììû ïî λ â ïðàâîé ÷àñòè (57): X P H −4c <λ6P c ln H a2 (λ) . λ ln Y (59) Èç (57) (59) ïîëó÷àåì Σ h2 Ñóììà W20 (T ) ln X ln Y −7 + c ln H ln Y ! (60) îöåíèì ñ ïîìîùüþ (49) òàê: |W20 (T )| = |W2 (T ) − Q2 (T )| < 2h2 H −0,2 . Òàêèì îáðàçîì, èìååì I2 6 hα H ãäå c5 > 0 c5 ln X ln Y −7 c ln H + + 2H −0,2 ln Y àáñîëþòíàÿ ïîñòîÿííàÿ. 68 !!α/2 ,

Òàê êàê Y = H 0,01 , òî c ln H = 100c. ln Y Äàëåå, c> ln X ln Y −7 , òàê êàê ýòî ýêâèâàëåíòíî òàêèì íåðàâåíñòâàì: ln X ln Y 7 1 > ; c 7 ln ln X ln Y s 1 ln X > ln = ln . c ln H Êðîìå ýòîãî, c > H −0,2 , òàê êàê s 1 ln X 0, 2 ln H > ln = ln ; c ln H 1 H 0,2 > ; c H > (ln X)1000 . Èç ïðèâåäåííûõ îöåíîê ñëåäóåò, ÷òî Ïîýòîìó îöåíêó I2 ln X ln Y −7 + c ln H + 2H −0,2 6 103c. ln Y ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê: I2 6 Hhα (103cc5 )α/2 Áóäåì ñ÷èòàòü ïàðàìåòð δ α ln(103cc5 ) = Hhα e 2 . òàêèì, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî p ln(1/δ) > 2 ln(103c5 ). Òîãäà èìååì 1 ln(103cc5 ) = − ln − ln(103c5 ) = c 1 1 1 1 1 1 =− ln + ln − ln(103c5 ) 6 − ln , 2 c 2 c 2 c Òàê êàê H 6 Xδ, òî s r 1 1 1 ln X 1 1 ln = ln > ln > ln(103c5 ). 2 c 2 ln H 2 δ Ñëåäîâàòåëüíî, 1 1 ln(103cc5 ) 6 − ln . 2 c 69 (61)

B ñèëó α= a1 ln(1/c) ñëåäóåò, ÷òî I2 6 hα He−a1 /4 . Ïîäñòàâëÿÿ (55), (56) è ýòî íåðàâåíñòâî â (50), ïîëó÷àåì: α/2 c4 µ(E)1−α/2 e−1 c3 − e−a/4 H 1−α/2 6 Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü c3 < e−1 . ln X ln Y ×èñëî α/2 . a1 íàéäåì èç óðàâ- íåíèÿ e−a1 /4 = e−2 c3 ßñíî, ÷òî òó δ, a1 > 12. Ïî çàäàííîìó òåïåðü a1 îïðåäåëèì ïîëîæèòåëüíóþ êîíñòàí- êàê íàèáîëüøåå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ (61) è íåðàâåíñòâó a 1 p 1 6 , ln(1/δ) 2 ò. å. âîçüìåì −4a21 δ = min 0, 01; e Òîãäà ïðè −4 ln2 (103c5 ) ;e H 6 X δ âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà s r 1 ln X 1 ln = ln > ln > 2a1 ; c ln H δ . 0<α= a1 1 6 . ln(1/c) 2 Òàêèì îáðàçîì, µ(E) > Òàê êàê 0 < α 6 1/2, −α/(2−α) −2 c4 (e c3 )2/(2−α) H ln X ln Y −α/(2−α) . òî èç ýòîãî íåðàâåíñòâà íàõîäèì µ(E) > c6 H ln X ln Y −α . (62) (T, Ðàçäåëèì −1èíòåðâàë T + H) íà èíòåðâàëû âèäà (nh1 , nh1 + h1 ), ãäå n = −1 −1 T h1 , T h1 + 1, · · · , (T + H)h1 . Èç ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî ïî êðàéíåé ìåðå " c6 H èç íèõ ñîäåðæèò òî÷êó æèò òî÷êó t t ln X ln Y èç ìíîæåñòâà èç ìíîæåñòâà E, −α E. # h−1 −2 1 òî â èíòåðâàëå 70 (nh1 , nh1 + h1 ) ñîäåð(t − h1 , t + h1 ), à ñëåäîâàòåëüíî, Åñëè èíòåðâàë

(nh1 − h1 , nh1 + 2h1 ) ñîäåðæèòñÿ õîòÿ áû îäèí íóëü íå÷åòíîãî ïîðÿäêà ôóíêöèè ζ(0, 5+it). Ñëåäîâàòåëüíî, íóëåé íå÷åòíîãî ïîðÿäêà ôóíêöèè ζ(0, 5 + it) íà èíòåðâàëå (T, T + H) íå ìåíüøå, ÷åì " ! −α # −α 1 H ln X H ln X c6 − 2 > c7 . 3 h1 ln Y h1 ln Y è â èíòåðâàëå Òàê êàê h1 = ln X 1 ln c (ln H) ln Y s 1 a1 ln X , ln = ln ,α = , Y = H 0,01 , ln(1/c) c ln H òî N0 (T + H) − N0 (T ) > c7 H (ln H) e−R , ãäå s ln X + ln ln R1 + α ln R1 , R = ln ln H Òàê êàê R1 = ln X . ln Y s ln X < ln , ln H ln X ln H ln X s a1 ln 100 ln X ln H α ln R1 = s < 2a1 ln ln H , ln X ln ln H ln ln (R1 ) = ln ln 100 òî s ln X R 6 (2 + 2a1 ) ln ; ln H s ! ln X , N0 (T + H) − N0 (T ) > H (ln H) exp −a ln ln H ãäå a>0 àáñîëþòíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Òåì ñàìûì, ìû äîêàçàëè, ÷òî êàæäûé èíòåðâàë ∗ X1 ] \ (S ∪ S ∗∗ ∗ ∗∗ ∪ V ∪ V ), (T, T + H), ãäå T ∈ [X, X + ñîäåðæèò íå ìåíüøå s ! ln X H (ln H) exp −a ln ln H íóëåé ôóíêöèè ζ(0, 5 + it). Èç ñëåäñòâèÿ 1 è 2 ïîëó÷àåì: µ(S ∗ ∪ S ∗∗ ∪ V ∗ ∪ V ∗∗ ) X1 H −0,4 , îòêóäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû 2. 71

2.4 Âûâîäû ïî âòîðîé ãëàâå Â ýòîé ãëàâå ñ ïîìîùüþ ìåòîäà À. À. Êàðàöóáû äîêàçàíî ÷òî ïî÷òè âñå î÷åíü êîðîòêèå ïðîìåæóòêè êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé ñîäåðæàò, ïðàâèëüíî ïî ïîðÿäêó, ÷èñëî íóëåé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà, êîòîðûå àñèìïòîòè÷åñêè, ñ òî÷íîñòüþ äî êîíñòàíòû îïèñûâàåòñÿ ôîðìóëîé Ìàíãîëüäòà. 72

3 Ãëàâà 3: Íóëè äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â îêðåñòíîñòè êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé 3.1 Âñïîìîãàòåëüíûå ëåììû Ëåììà 18. Ïóñòü ε ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ 0 < ε < 0, 01, X > X0 (ε) > 0, H = X ε , Y = H 0,01 , X1 = X 7/8+ε . Ïðè íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ m, m1, m2 ïîëîæèì −iT m1 m2 X X exp − D(m1 , m2 ) = a(m1 )a(m2 ) W (T ) = H m2 ln 2 m1 2 ! , D(m1 , m2 ), m1 <P Y m1 <m2 ãäå ; ÷èñëà a(m) îïðåäåëåíû â (9). Òîãäà ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ îöåíêà: p P = T /(2π) Z X+X1 X X1 Y 10 L9 , |W (T )| dT H 2 ãäå L = ln X ; ïîñòîÿííàÿ â çíàêå àáñîëþòíàÿ. Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè m2 L >1+ , m1 H 2 ! L2 H m2 ln < exp − . exp − 2 m1 64 òî Ñ äðóãîé ñòîðîíû X µ(νr)µ(r) δ(ν) = ϕ(rν) rν<Y µ(ν) X µ2 (r) = ϕ(ν) ϕ(r) rν<Y (r,ν)=1 X µ2 (r) !−1 = ϕ(r) r<Y !−1 X µ2 (r) 1 < . ϕ(r) ϕ(ν) r<Y Òàêèì îáðàçîì, òðèâèàëüíî îöåíèâàÿ ÷àñòü ñóììû W (T ), îòâå÷àþùóþ òàêèì ñëàãàåìûì, ó êîòîðûõ m2 > m1 (1 + èìååì X m1 <P Y L m2 >m1 (1+ H ) D(m1 , m2 ) X X ν1 ,ν2 <Y n1 ν1 <n2 ν2 <P Y L n2 ν2 >n1 ν1 (1+ H ) 73 L ), H √ ν1 ν2 − L 2 e 64 = O exp(−0, 01L2 ) . √ n1 n2

Ñëåäîâàòåëüíî,

2 S(ν1 , ν2 )

+ O(e−0,02L ), |W (T )|2

ν1 ,ν2 <Y ãäå X S(ν1 , ν2 ) = X D (n1 ν1 , n2 ν2 ) . L n1 6P Y /ν1 n1 ν1 <n2 ν2 6n1 ν1 (1+ H ) ν1 , ν2 , Äàëåå, ïðèìåíÿÿ íåðàâåíñòâî Êîøè ê ñóììå ïî 2 X |W (T )|2 Y 2 ïîëó÷èì |S(ν1 , ν2 )|2 + O(e−0,02L ). ν1 ,ν2 <Y Ñëåäîâàòåëüíî, Z X+X1 |W (T )|2 dT X

Z X+X1

X X

dT + O(X1 e−0,02L2 ), Y6 Φ(n, T )

n1 6P Y /ν1 n1 β<n2 6n1 β(1+ L )

H ãäå Φ(n, T ) = √ 1 n1 n2 n2 n1 iT exp − H n2 ln 2 n1 β 2 ! , α = Y /ν1 , β = ν1 /ν2 è ν1 , ν2 íåêîòîðûå ôèêñèðîâàííûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, íå p ïðåâîñõîäÿùèå Y . Ïóñòü P0 = X/(2π). Ðàçáèâàÿ ïðîìåæóòîê ñóììèðîâàíèÿ ïî n1 íà äâà ïðîìåæóòêà òî÷êîé P0 α, ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó: Z X+X1 |W (T )|2 dT Y 6 (G1 + G2 ), (63) X ãäå

X+X1

X X

dT,

Φ(n, T ) G1 =

n1 6P0 α n1 β<n2 6n1 β(1+ L ) H

Z X+X1

X X

dT. G2 = Φ(n, T )

P0 α<n1 6P α n1 β<n2 6n1 β(1+ L )

H p G2 ñâåðõó. Ïóñòü P2 = (X + X1 )/(2π), M = [P2 α] + 1. Z Îöåíèì ôîðìóëîé 1 M M −1 X l=0 exp 0 2πil(n − n ) M 74 ( 1, = 0, åñëè åñëè n = n0 , n 6= n0 , Ïîëüçóÿñü

ïðåîáðàçóåì ïîäûíòåãðàëüíóþ ñóììó â X X P0 α<n1 6P α n1 β<n2 6n1 β(1+ L ) G2 òàê: M −1 1 X Φ(n, T ) = M X l=0 P0 α<n01 6P α H 2πi (n01 l) exp − K(l, T ), M (64) ãäå X K(l, T ) = X P0 α<n1 6P2 α n1 β<n2 6n1 β(1+ L ) 2πin1 l Φ(n, T ) exp . M H n01 â ïðàâîé ÷àñòè (64) ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ îöåí

0 X 2πin1 l

M exp − .

M l + 1

0 Äëÿ âíóòðåííåé ñóììû ïî êà:

P0 α<n1 6P α Èç ðàâåíñòâà (64) ñëåäóåò, ÷òî: X Φ(n, T ) P0 α<n1 6P α L n1 β<n2 6n1 β(1+ H ) M −1 X l=0 1 |K(l, T )| . l+1 Ïðèìåíÿÿ íåðàâåíñòâî Êîøè, ïîëó÷àåì:

M −1

X X 1

|K(l, T )|2 . Φ(n, T )

l1 + 1 l=0

P0 α<n1 6P α L

n1 β<n2 6n1 β(1+ H )

Ñëåäîâàòåëüíî, G2 6 L M −1 X l=0 1 l+1 Z X+X1 2 Z X+X1 |K(l, T )| dT 6 L X 0 6 l0 < M íåêîòîðîå îïðåäåëåíèå K(l, T ), ïîëó÷èì ãäå 2 X ôèêñèðîâàííîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Âñïîìèíàÿ G2 L2 J, ãäå

X iT X

1 n2

J= × √

P0 α<n1 6P2 α n1 β<n2 6n1 β(1+ L ) n1 n2 n1 H ! 2

2 0

H n2 2πin1 l

× exp − exp ln

dT.

2 n1 β M Z 2 |K(l0 , T )| dT, X+X1 75

Èíòåãðàë J îöåíåí â ëåììå 14 òàê: X1 Y 2 L3 J . H Ñëåäîâàòåëüíî, G2 X1 Y 2 L5 . H (65) G1 . Ðàçîáüåì ïðîìåæóòîê ñóììèðîâàíèÿ ïî n1 â G1 íà L âèäà N < n1 6 N1 6 2N , N 6 P0 α. Ïðèõîäèì ê íåðàâåíñòâó: Ðàññìîòðèì ïðîìåæóòêè G1 L2 I, ãäå Z X+X1 I= X

iT X n

X 1 n2 − H2 ln n 2β

dT.

1 e √

n n n 1 2 1

N <n1 6N1 n1 β<n2 6n1 β(1+ L ) H Èíòåãðàë I îöåíåí â ëåììå 14 òàê: I X1 Y 4 L 7 . H Ñëåäîâàòåëüíî, X1 Y 4 L9 . G1 H (66) Óòâåðæäåíèå ëåììû ñëåäóåò èç (63), (65) è (66). Ñëåäñòâèå 3. Ïóñòü S ìíîæåñòâî òåõ T èç èíòåðâàëà [X, X + X1], äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |W (T )|2 > H −0,4 . Òîãäà äëÿ ìåðû ìíîæåñòâà S ñïðàâåäëèâà îöåíêà µ(S) 6 X1 H −0,4 . Äîêàçàòåëüñòâî ñëåäñòâèÿ 3 ïðîâîäèòñÿ ïî àíàëîãèè ñ äîêàçàòåëüñòâîì ñëåäñòâèÿ 1 ãëàâû 2. Ëåììà 19. Ïóñòü ε ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ 0 < ε < 0, 01, X > X0 (ε) > 0, H = X ε , Y = H 0,01 , X1 = X 7/8+ε . Ïðè íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ m, m1, m2 ïîëîæèì m1 D(m1 , m2 ) = a(m1 )a(m2 ) m2 76 −iT H m2 exp − ln 2 m1 2 ! ,

X Q(T ) = X D(m1 , m2 ), m1 6P Y P Y <m2 ãäå ; ÷èñëà a(m) îïðåäåëåíû â (9). Òîãäà ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ îöåíêà: p P = T /(2π) Z X+X1 X X1 Y 2 L7 |Q(T )| dT H ãäå L = ln X ; ïîñòîÿííàÿ â çíàêå àáñîëþòíàÿ. p Äîêàçàòåëüñòâî. P0 = X/(2π) Ïóñòü . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ÷àñòü ñóììû Q(T ), îòâå÷àþùàÿ òàêèì ñëàãàåìûì, ó êîòîðûõ åñòü −1 L L m1 6 P0 1 + , èëè m2 > P0 1 + H H −0,01L2 âåëè÷èíà O e . Ïîýòîìó èìååì X X −0,01L2 D(m1 , m2 ) + O e . Q(T ) = P0 1+ L H L <m1 6P Y P Y <m2 6P0 (1+ H ) a(m) (ñì. (9)) è ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò:

X X 1 |Q(T )| 6 × √

P n1 n2 L ν1 ,ν2 <Y

0 P Y /ν2 <n2 6P0 /ν2 (1+ H )

ν1 (1+ HL ) <n1 6P Y /ν1 iT n ν 2

n2 − H2 ln n2 ν2

−0,01L2 1 1 × e .

+O e

n1 Èç îïðåäåëåíèÿ ÷èñëà Ïîýòîìó áóäåì èìåòü Z X+X1 2 |Q(T )| dT 6 Y I + X1 e −0,01L2 , X ãäå

Z X+X1

iT X n2 ν2 H 1 n2 − ln

e 2 n1 ν1

dT, I= √

n1 n2 n1 X P0

<n1 6P Y /ν1 L

ν1 (1+ H )

P Y /ν2 <n2 6P0 /ν2 (1+ L ) H 0 < ν1 , ν2 < Y íåêîòîðûå ôèêñèðîâàííûå ÷èñëà. Èíòåãðàë 15 òàê I X1 L7 H −1 . Îòêóäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå ëåììû. 77 I îöåíåí â ëåììå

Ñëåäñòâèå 4. Ïóñòü V ìíîæåñòâî òåõ T èç èíòåðâàëà [X, X + X1], äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî |Q(T )| > H −0,4 . Òîãäà äëÿ ìåðû ìíîæåñòâà V ñïðàâåäëèâà îöåíêà µ(V ) 6 X1 H −0,4 . Ñëåäñòâèå 4 äîêàçûâàåòñÿ ïî àíàëîãèè ñ äîêàçàòåëüñòâîì ñëåäñòâèÿ 1 ãëàâû 2. 3.2 Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3 Ïóñòü ε3 ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ 0 < ε3 < 0, 01, è ïóñòü c3 = c3 (ε3 ) > 0 íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ, Òåîðåìà 3. H = X ε3 , X > X0 (ε3 ) > 0, Ïðè 0, 5 X1 = X 7/8+ε3 . îáîçíà÷èì ÷åðåç E3 ìíîæåñòâî òåõ T èç ïðîìåæóòêà , äëÿ êîòîðûõ íåðàâåíñòâî < σ < 1 [X, X + X1 ] N (σ, T + H) − N (σ, T ) 6 c3 H σ − 0, 5 íå âûïîëíÿåòñÿ. Òîãäà äëÿ ìåðû ýòîãî ìíîæåñòâà µ(E3) ñïðàâåäëèâà îöåíêà: µ(E3 ) X1 H −0,4 , ãäå ïîñòîÿííàÿ â çíàêå àáñîëþòíàÿ. Äîêàçàòåëüñòâî. W (T ) Q(T ) Ïóñòü S è V è ñóììû â ëåììàõ 18 è 19. Ïóñòü, äàëåå, ìíîæåñòâà â ñëåäñòâèÿõ 3 è 4. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ÷èñëà T èç ìíîæåñòâà [X, X + X1 ] \ (S ∪ V ). Äëÿ íèõ âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà |W (T )|2 < H −0,4 , |Q(T )| < H −0,4 . (67) Ââåäåì òåïåðü ôóíêöèþ f (s) = X δ(ν)ν 1−s , ν<Y ãäå ÷èñëà δ(ν) îïðåäåëåíû â ëåììå 13. Âîñïîëüçóåìñÿ íåðàâåíñòâîì, âûâîä êîòîðîãî ñîäåðæèòñÿ â ðàáîòå [4, c. 53]: 1 H J + O(ln T ), 2π N (σ, T + H) − N (σ, T )dσ 6 ln 2 H 0,5 Z 78

ãäå T +H Z |ζ(0, 5 + it)|2 |f (0, 5 + it)|2 dt. J= T Ïîëüçóÿñü ïðèáëèæåííûì ôóíêöèîíàëüíûì óðàâíåíèåì ζ(s) (ëåììà 12), ïî- ëó÷àåì J 6 8J1 + O HT −0,5 Y L4 , ãäå T +H Z J1 = T Âñïîìèíàÿ îïðåäåëåíèå f (s),

X 1

√ n

|f (0, 5 + it)|2 dt.

n6P J1 òàê:

2 Z T +H

a(m)m

dt, J1 =

T ìîæíî ïåðåïèñàòü m6P Y ãäå ÷èñëà a(m) îïðåäåëåíû â (9). Èìååò ìåñòî öåïî÷êà ñîîòíîøåíèé Z +∞ J1 6 e −∞ t−T exp − H

2 2 !

a(m)m

dt 6

m6P Y iT 2 ! m1 H m1 6 eH a(m1 )a(m2 ) exp − ln × m2 2 m2 m1 ,m2 6P Y Z +∞ m 1 × exp −v 2 − ivH ln dv = m2 −∞ iT 2 ! X √ m1 H m1 = e πH a(m1 )a(m2 ) exp − ln 6 m2 2 m2 m1 ,m2 6P Y √ 6 e πH (Σ + 2 |W 0 (T )|) , X ãäå X Σ= a2 (m), m<P Y è W 0 (T ) = X m1 <m2 <P Y Ñóììà Σ m1 a(m1 )a(m2 ) m2 −iT H m2 exp − ln 2 m1 îöåíåíà â ëåììå 13 òàê: Σ = O(1). W 0 (T ) îöåíèâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ (67): |W 0 (T )| = |W (T ) − Q(T )| 6 2H −0,2 . 79 2 ! .

Òàêèì îáðàçîì, ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà: Z J1 = O(H), 1 N (σ, T + H) − N (σ, T )dσ = O(H). J = O(H), 0,5 Ïóñòü σ > 0, 5 è σ1 = 0, 5 + 0, 5(σ − 0, 5) < σ . Îïðåäåëÿåì g(α) = N (α, T + H) − N (α, T ). α1 6 α2 . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî Z σ 1 N (α, T + H) − N (α, T )dα 6 N (σ, T + H) − N (σ, T ) 6 σ − σ1 σ1 Z 1 2 H 6 N (α, T + H) − N (α, T )dα = O . σ − 0, 5 0,5 σ − 0, 5 Çàìåòèì, ÷òî g(α2 ) 6 g(α1 ) ïðè Òåì ñàìûì ìû äîêàçàëè íåðàâåíñòâî N (σ, T + H) − N (σ, T ) ñïðàâåäëèâî äëÿ âñåõ T èç ìíîæåñòâà H σ − 0, 5 [X, X + X1 ] \ (S ∪ V ). Â ñèëó ñëåäñòâèÿ 3 èìååì µ(S ∪ V ) X1 H −0,4 , îòêóäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû 3. 3.3 Âûâîäû ïî òðåòüåé ãëàâå Â ýòîé ãëàâå äîêàçàíà òåîðåìà î êîëè÷åñòâå íóëåé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà â óçêîé îêðåñòíîñòè êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé. Ðåçóëüòàò ÿâëÿåòñÿ íîâûì è óòî÷íÿåò ðåçóëüòàòû À. À. Êàðàöóáû è Ë. Â. Êèñåëåâîé. 80

Çàêëþ÷åíèå Â äèññåðòàöèè èññëåäîâàíî ðàñïðåäåëåíèå íóëåé ζ(s) íà êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé è â îêðåñòíîñòè ýòîé ïðÿìîé. Ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ ïî÷òè âñåõ 0 < ε < 0, 01, ïðîìåæóòîê [T, T + X ε ] T ∈ [X, X 7/8+ε ], êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé ñîäåðæèò ïðà- âèëüíîå ïî ïîðÿäêó êîëè÷åñòâî íóëåé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà. Òàêæå ïîëó÷åí àíàëîãè÷íûé ðåçóëüòàò äëÿ ïî÷òè âñåõ ïðîìåæóòêîâ êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé äëèíû ñóùåñòâåííî ìåíüøå X ε. Â ýòîì ñëó÷àå îöåíêà ñíèçó ÷èñëà íóëåé ôóíêöèè ζ(0, 5 + it), ëåæàùèõ â òàêèõ êîðîòêèõ ïðîìåæóòêàõ, ñëàáåå òîé, êîòîðàÿ ïîëó÷åíà À. Ñåëüáåðãîì â 1942 ã., íî òî÷íåå êëàññè÷åñêîé îöåíêè Õàðäè-Ëèòòëâóäà N (σ, T ) ÷èñëî íóëåé ôóíêöèè ζ(s), ëåæàùèõ â ïðÿìîóãîëüíèêå 1/2 < σ 6 <(s) < 1, 0 < =(s) 6 T . Ïîëó÷åíà ðàâíîìåðíàÿ 7/8+ε îöåíêà ïî σ âåëè÷èíû N (σ, T + H) − N (σ, T ) äëÿ ïî÷òè âñåõ T ∈ [X, X ], 0 < ε < 0, 01. 1921 ãîäà. Èçó÷åíà ôóíêöèÿ Îñíîâàíèåì äîêàçàòåëüñòâ ðåçóëüòàòîâ äèññåðòàöèè ÿâëÿåòñÿ îöåíêà ñâåðõó äëÿ ñïåöèàëüíîé êðàòíîé òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñóììû. Îòìåòèì, ÷òî äëèíó îòðåçêà îñðåäíåíèÿ X1 = X θ , θ > 7/8 îïðåäåëÿåò îöåíêà ýòîé òðèãîíîìåòðè- ÷åñêîé ñóììû. Ïåðñïåêòèâíîé äëÿ äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèé ïðåäñòàâëÿåòñÿ çàäà÷à îá óìåíüøåíèè äëèíû îòðåçêà îñðåäíåíèÿ. Ìåòîä èññëåäîâàíèÿ íóëåé ζ(s), èñïîëüçîâàííûé â íàñòîÿùåé ðàáîòå, ìîæíî ïðèìåíèòü â çàäà÷àõ î íóëÿõ ðÿäîâ Äèðèõëå, èìåþùèõ ýéëåðîâîå ïðîèçâåäåíèå. 81

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [1] Ðèìàí Á. Ñî÷èíåíèÿ// Ì.Ë.: ÎÃÈÇ, 1948. 479 c. [2] Hardy G.H. "Sur les zeros de la fonction ζ(s)// Comp. Rend. Acad. Sci., 1914.vol. 158. pp. 1012-1014. [3] Hardy G. H., Littlewood J. E. The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line // Mathematische Zeitschrift. 1921. Vol. 10. pp. 283-317. [4] Selberg A. On the zeros of Riemann's zeta-function // Skr. Norske Vid. Akad. Oslo. 1942. Vol. 10. pp. 1-59. [5] Êàðàöóáà À.À., Êîðîë¼â Ì. À. Àðãóìåíò äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà// ÓÌÍ. 2005 Ò. 60, 3. C. 41-96. [6] Levinson N. More than one third of the zeros of Riemann's zeta-function are on σ = 1/2// Adv. in Math. 1974, v. 13, p. 383-436. [7] Conrey B. More than two fths of the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line// J. Reine Angew. Math. 1989. Vol. 399. pp. 1-26. [8] Êàðàöóáà À. À. Î íóëÿõ ôóíêöèè ζ(s) íà êîðîòêèõ ïðîìåæóòêàõ êðèòè÷å- ñêîé ïðÿìîé // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ñåð. ìàòåì. 1984. T. 48, 3. C. 569-584. [9] Êàðàöóáà À. À. Ðàñïðåäåëåíèå íóëåé ôóíêöèè ζ(1/2+it) // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ñåð. ìàòåì. 1984. Ò. 48, âûï. 6. Ñ. 1214-1224. [10] Êàðàöóáà À. À. Î êîëè÷åñòâå íóëåé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà, ëåæàùèõ íà ïî÷òè âñåõ êîðîòêèõ ïðîìåæóòêàõ êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé // Èçâ. ÐÀÍ. Ñåð. ìàòåì. 1992. Ò. 56,2. Ñ. 372-397. [11] Êàðàöóáà À. À. Î íóëÿõ ôóíêöèè ζ(s) â îêðåñòíîñòè êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé// Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ñåð. ìàòåì. 1985 Ò. 49, âûï. 2. Ñ. 326333. [12] Êàðàöóáà À. À. Î ðàññòîÿíèè ìåæäó ñîñåäíèìè íóëÿìè äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà, ëåæàùèìè íà êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé // Òð. ÌÈÀÍ ÑÑÑÐ. 1981. Ò. 157. Ñ. 49-63. [13] Êàðàöóáà À. À. Î íóëÿõ äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà íà êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé // Òð. ÌÈÀÍ ÑÑÑÐ. 1985. Ò. 167, Ñ. 167-178. [14] Êàðàöóáà À. À. Î âåùåñòâåííûõ íóëÿõ ôóíêöèè ζ(1/2 + it) // ÓÌÍ. 1985. Ò. 40, 4. Ñ. 171-172. [15] Êàðàöóáà À. À. Äçåòà-ôóíêöèÿ Ðèìàíà è åå íóëè // ÓÌÍ. 1985. Ò. 40, 5. Ñ. 23-82. 82

[16] Êàðàöóáà À. À. Ïëîòíîñòíàÿ òåîðåìà è ïîâåäåíèå àðãóìåíòà äçåòà- ôóíêöèè Ðèìàíà // Ìàòåì. çàìåòêè. 1996. Ò.60, 3. Ñ. 448449. [17] Êèñåëåâà Ë. Â. Î êîëè÷åñòâå íóëåé ôóíêöèè ζ(s) íà ïî÷òè âñåõ êîðîòêèõ ïðîìåæóòêàõ êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ñåð. ìàòåì. 1988. Ò. 52, âûï. 3. Ñ. 479-500. [18] Âèíîãðàäîâ È. Ì. Íîâàÿ îöåíêà ôóíêöèè ζ(1 + it)// Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ñåð. ìàòåì., 1958. Ò. 22, âûï. 2. Ñ. 161-164. [19] Littlewood J. E. On the zeros of the Riemann zeta-function// Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1924 Vol. 22. pp 295-318 doi:10.1017/S0305004100014225 [20] Selberg A. Contributions to the theory of the Riemann zeta-function // Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 1946. Vol. 48. 5. pp. 89-155. [21] Êèñåëåâà Ë. Â. Î ðàñïðåäåëåíèè íóëåé ôóíêöèè ζ(s) â îêðåñòíîñòè êðèòè- ÷åñêîé ïðÿìîé// Ìàòåì. çàìåòêè. 1988. Ò. 43, âûï. 1. Ñ. 3-11. [22] Êèñåëåâà Ë. Â. Î íóëÿõ ôóíêöèè ζ(s) â îêðåñòíîñòè êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé// Ìàòåì. çàìåòêè. 1989 Ò. 46, âûï. 4. Ñ. 114115. [23] Êîðîë¼â Ì. À. Îá àðãóìåíòå äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà íà êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé// Èçâ. ÐÀÍ. Ñåð. ìàòåì., 2003. Vol.67, 2. C. 2160. [24] Ìàëûøåâ À. Â. Î ïðåäñòàâëåíèè öåëûõ ÷èñåë ïîëîæèòåëüíûìè êâàäðàòè÷íûìè ôîðìàìè // Òð. ÌÈÀÍ ÑÑÑÐ 1962. Ò. 65. Ñ. 3-212. [25] Òèò÷ìàðø Å. Ê. Òåîðèÿ äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà // Ì.: Ìèð, 1953. 406 c. [26] Âîðîíèí Ñ. Ì., Êàðàöóáà À. À. Äçåòà-ôóíêöèÿ Ðèìàíà. // Ì.: Ôèçìàòëèò, 1994. 376 c. [27] Êàðàöóáà À. À. Îñíîâû àíàëèòè÷åñêîé òåîðèè ÷èñåë. Ì.: Íàóêà, 1983. 240 ñ. [28] Gabriel R. M. Some results concerning the intergrals of moduli of regular functions along certain curves// J. London Math. Soc. 1927. vol. 2. P. 112117. ÐÀÁÎÒÛ ÀÂÒÎÐÀ ÏÎ ÒÅÌÅ ÄÈÑÑÅÐÒÀÖÈÈ 1. Äî Äûê Òàì Î ðàñïðåäåëåíèè íóëåé ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé L- ôóíêöèé Äèðõëå, ëåæàùèõ íà êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé// Íàó÷íûå âåäîìîñòè ÁåëÃÓ Ñåðèÿ: Ìàòåìàòèêà. Ôèçèêà 2015. 5(202) âûï. 38. Ñ. 38-43. 83

2. Äî Äûê Òàì Ðàñïðåäåëåíèå íóëåé, ëåæàùèõ íà êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé, ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé L-ôóíêöèé Äèðèõëå// ×åáûøåâñêèé ñáîðíèê. 2015. 16, âûï. 3. Ñ.183-208. 3. Äî Äûê Òàì Îá îäíîé çàäà÷å À.À. Êàðàöóáû// Íàó÷íûå âåäîìîñòè ÁåëÃÓ Ñåðèÿ: Ìàòåìàòèêà. Ôèçèêà 2016. 6(227) âûï. 42. Ñ. 70-76. 4. Äî Äûê Òàì Î íóëÿõ äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà, ëåæàùèõ íà ïî÷òè âñåõ î÷åíü êîðîòêèõ ïðîìåæóòêàõ êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé// Íàó÷íûå âåäîìîñòè ÁåëÃÓ Ñåðèÿ: Ìàòåìàòèêà. Ôèçèêà 2016. 13(234) âûï. 43. Ñ. 59-66. 5. Äî Äûê Òàì Î êîëè÷åñòâå íóëåé ζ(s) â îêðåñòíîñòè êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé// Íàó÷íûå âåäîìîñòè ÁåëÃÓ Ñåðèÿ: Ìàòåìàòèêà. Ôèçèêà 2016. 13(234) âûï. 43. Ñ. 67-71. 6. Äî Äûê Òàì Î íóëÿõ äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà ζ(s), ëåæàùèõ íà ïî÷òè âñåõ êîðîòêèõ ïðîìåæóòêàõ êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé// ×åáûøåâñêèé ñáîðíèê. 2016. . 17, âûï. 1. Ñ. 71-89. 7. Äî Äûê Òàì Î êîëè÷åñòâå íóëåé äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíà, ëåæàùèõ â ¾ïî÷òè âñåõ¿ î÷åíü êîðîòêèõ ïðîìåæóòêàõ îêðåñòíîñòè êðèòè÷åñêîé ïðÿìîé// ×åáûøåâñêèé ñá., 2016. . 17, âûï. 3. Ñ 106-124. 84

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв