Решение задач неравновесной
газовой динамики в приближении поуровневой кинетики

Мишин Лев Дмитриевич

Решение задач неравновесной газовой динамики в приближении поуровневой кинетики

Мишин Лев Дмитриевич Решение задач неравновесной газовой динамики в приближении поуровневой кинетики Научный руководитель: Профессор, д.ф.-м.н., Кустова Елена Владимировна Механика и математическое моделирование Молекулярно-кинетическая теория жидкости и газа Кафедра гидроаэромеханики Цель работы - изучение влияния многоквантовых VT переходов на параметры течения газа в релаксационной зоне ударной волны. Численно решается система уравнений поуровневой колебательно-химической кинетики и газодинамики, записанная в нулевом приближении метода Энскога-Чепмена. Получены распределения гидродинамических переменных для бинарной смеси атомов и молекул кислорода с колебательной релаксацией и диссоциацией в набегающем потоке. Отмечается несущественное влияние многоквантовых обменов на заселенности колебательных уровней и молярную долю атомов вблизи фронта ударной волны. Новизна работы заключается в учете многоквантовых VT переходов колебательной энергии. Также подробно рассмотрена и подготовлена к численному решению система уравнений, описывающая двумерное течение газа в пограничном слое у полубесконечной пластины в приближении поуровневой кинетики. Список литературы содержит 14 источников. Мишин Л.Д. Решение задач неравновесной газовой динамики в приближении поуровневой кинетики: магистерская дис.: защищена 07.06.2016 / Мишин Лев Дмитриевич. – СПб, 2016. – 33 с. – Библиогр.: с. 33.

Математика

Диссертации

Вуз: Санкт-Петербургский государственный университет (СПбГУ)

ID: 587d36835f1be77c40d59121

UUID: 32b02b96-21b2-49a4-b883-f1b2900330e3

Язык: Русский

Опубликовано: больше 7 лет назад

Просмотры: 26

Мишин Лев Дмитриевич

Источник: Санкт-Петербургский государственный университет

Комментировать 0

Рецензировать 0

Скачать - 2053303 bytes

Поделиться работой

Санкт-Петербургский государственный университет Механика и математическое моделирование Молекулярно-кинетическая теория жидкости и газа Мишин Лев Дмитриевич Решение задач неравновесной газовой динамики в приближении поуровневой кинетики Магистерская работа Научный руководитель: Профессор, д.ф.-м.н., Кустова Е.В. Рецензент: Научный сотрудник лаборатории вычислительной аэродинамики, Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН к.ф.-м.н. Шоев Г.В. Санкт-Петербург 2016

SAINT-PETERSBURG STATE UNIVERSITY Mechanics and Mathematical Modelling Molecular Kinetic Theory of Fluids and Gases Lev Mishin Solution of non-equilibrium gas-dynamics problems in state-to-state kinetics approach Master’s Thesis Scientific supervisor: PhD, Professor Elena Kustova Reviewer: PhD, Researcher, Laboratory of computational aerodynamics, Institute of Theoretical and Applied Mechanics Siberian Branch of RAS Georgiy Shoev Saint-Petersburg 2016

Оглавление Введение 2 Течение за фронтом ударной волны 4 2.1 Система уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Коэффициенты скорости переходов колебательной энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 4 5 Сравнение моделей для коэффициентов скорости VT обменов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.3 Коэффициенты скорости диссоциации . . . . . . . . . 12 2.1.4 Уравнения сохранения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Система уравнений в безразмерном виде . . . . . . . . . . . 16 2.2.1 Уравнения для зaселенностей . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.2 Уравнение движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.3 Уравнение энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Интегрирование системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Распределение макропараметров за фронтом ударной волны 19 Течение в пограничном слое у пластины 26 3.1 Система уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2 Граничные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Заключение 31 Список литературы 32 1

Введение При решении задач, связанных с описанием входа космических аппаратов и твердых тел в верхние слои атмосферы, необходимо моделирование термически и химически неравновесных течений реагирующих смесей газов. Наиболее детальным описанием неравновесных течений является приближение поуровневой кинетики [1], справедливое в условиях быстрой релаксации поступательно-вращательных степеней свободы и медленной колебательной релаксации и химических реакций. В таких условиях для описания течения недостаточно уравнений сохранения, и система уравнений гидродинамики должна быть дополнена уравнениями детальной колебательно-химической кинетики для заселенностей колебательных уровней. Типичными задачами высотной аэродинамики являются задачи о течении за фронтом ударной волны и в пограничном слое. При расчете параметров газа в релаксационной зоне за фронтом ударной волны необходимо численно решить систему уравнений, состоящую из уравнений сохранения и уравнений колебательно-химической кинетики. Скорость и сложность вычислений напрямую зависят от количества учитываемых параметров. На данный момент существуют работы по расчету релаксационной зоны за ударной волной в поуровневом приближении с учетом одноквантовых 𝑉 𝑇 переходов, при этом обычно пренебрегают многоквантовыми обменами, так как их вероятности заметно ниже и, соответственно, вклад должен быть незначительным. В настоящей работе рассматривается система уравнений поуровневой кинетики, полученных в нулевом приближении метода Энскога-Чепмена и приведенных в [1], в предположении о том, что поток одномерный и стационарный. Новизна данного исследования заключается в учете различного количества возможных 𝑉 𝑇 переходов и сравнении с результатами полученными при учете однокван2

товых обменов. Используется модель диссоциации Тринора-Маррона [2], результаты расчетов группы Капителли [3] для коэффициентов скорости 𝑉 𝑇 обмена в кислороде и азоте. В данной работе проведено сравнение двух моделей для коэффициентов скоростей 𝑉 𝑇 переходов в азоте и кислороде, а также исследовано влияние многоквантовых обменов на газодинамические макропараметры. Также подробно рассмотрена и подготовлена к численному решению система уравнений, описывающая двумерное течение газа в пограничном слое у полубесконечной пластины в приближении поуровневой кинетики. 3

Течение за фронтом ударной волны 2.1 Система уравнений Рассмотрим детальную колебательную и химическую кинетику за плоской ударной волной в условиях сильной колебательной и химической неравновесности. Поток предполагается одномерным и стационарным. Рассматривается бинарная смесь двухатомного газа 𝐴2 и атомов 𝐴 с реакциями диссоциации, рекомбинации и VT переходами колебательной энергии. Система уравнений, описывающих одномерное стационарное течение за фронтом ударной волны имеет вид [1]: 𝑑(𝑣𝑛𝑖 ) = 𝑅𝑖𝑣𝑖𝑏𝑟 + 𝑅𝑖𝑑𝑖𝑠𝑠−𝑟𝑒𝑐 , 𝑑𝑥 ∑︁ 𝑑(𝑣𝑛𝑎 ) = −2 𝑅𝑖𝑑𝑖𝑠𝑠−𝑟𝑒𝑐 , 𝑑𝑥 𝑖 𝑖 = 0, ..., 𝐿, (2.1) (2.2) 𝜌0 𝑣0 = 𝜌𝑣, (2.3) 𝜌0 𝑣02 + 𝑝0 = 𝜌𝑣 2 + 𝑝, 𝑣02 𝑣2 = ℎ0 + . ℎ+ 2 2 (2.4) (2.5) 𝑥 — расстояние от фронта ударной волны; 𝑛𝑎 — количество атомов; 𝑖 — номер колебательного уровня; 𝑛𝑖 — заселенности 𝑖−х колебательных уровней; 𝜌 — плотность; 𝑣 — скорость потока; 𝑝 — давление; ℎ — удельная энтальпия; 𝑅𝑖𝑣𝑖𝑏𝑟 — скорости обменов колебательной энергией; 𝑅𝑖𝑑𝑖𝑠𝑠−𝑟𝑒𝑐 — скорости диссоциации. В настоящей работе рассматриваются смеси 𝑂2 /𝑂 и 𝑁2 /𝑁 . Число колебательных уровней 𝑂2 : 𝐿𝑂2 = 46 [3], 𝑁2 : 𝐿𝑁2 = 46 [1]. 4

2.1.1 Коэффициенты скорости переходов колебательной энергии Рассмотрим уравнения колебательно-химической кинетики (2.1) и (2.2), правые части этих уравнений описывают изменение заселенности колебательных уровней 𝑛𝑖 вследствие VT обменов колебательной энергией, реакций диссоциации и рекомбинации: 𝑅𝑖 = 𝑅𝑖𝑣𝑖𝑏𝑟 + 𝑅𝑖𝑑𝑖𝑠𝑠−𝑟𝑒𝑐 = 𝑅𝑖𝑉 𝑇 + 𝑅𝑖𝑑𝑖𝑠𝑠−𝑟𝑒𝑐 , (2.6) а также изменение числа атомов в результате химических реакций 𝑅𝑎 = −2 ∑︁ 𝑅𝑖𝑑𝑖𝑠𝑠−𝑟𝑒𝑐 . (2.7) 𝑖 В данной работе не учитываются 𝑉 𝑉 обмены колебательными квантами, так как они слабо влияют на динамику течения за ударной волной. Выражения для скорости изменения заселенностей колебательных уровней молекул вследствие VT переходов имеют вид: 𝑅𝑖𝑉 𝑇 = ∑︁ 𝑑 𝑛𝑑 ∑︁ (︀ )︀ 𝑘𝑖𝑑′ 𝑖 𝑛𝑖′ − 𝑘𝑖𝑖𝑑 ′ 𝑛𝑖 . (2.8) 𝑖′ ̸=𝑖 𝑑 — химический сорт партнера по столкновению. Для вычисления 𝑅𝑖𝑉 𝑇 необходимо знать коэффициенты скорости 𝑉 𝑇 переходов колебательной энергии 𝑘𝑖𝑖𝑑 ′ , выражения для этих коэффициентов можно найти в работах [3, 4], эти формулы являются результатом аппроксимации точных траекторных расчетов Г. Биллинга [5, 6]. Рассмотрим ко𝐴2 𝐴 эффициенты скорости 𝑉 𝑇 обмена 𝑘𝑖,𝑖−1 , 𝑘𝑖,𝑖 ′: 𝐴2 (𝑖) + 𝐴2 → 𝐴2 (𝑖 − 1) + 𝐴2 , (2.9) 𝐴2 (𝑖) + 𝐴 → 𝐴2 (𝑖′ ) + 𝐴. (2.10) 5

Для столкновений с молекулой имеем [4]: 𝑁2 𝑁2 𝛿𝑉 𝑇 (𝑖−1) 𝑘𝑖,𝑖−1 = 𝑖𝑘10 𝑒 , где [︀ ]︀ 𝑁2 𝑘10 = exp −3, 24093 − 140, 69597/𝑇 0,2 , (2.11) 𝛿𝑉 𝑇 = 0, 26679 − 6, 99237 · 10−5 𝑇 + 4, 70073 · 10−9 𝑇 2 . (2.13) 𝑂2 𝑂2 𝛿𝑉 𝑇 (𝑖−1) 𝑘𝑖,𝑖−1 = 𝑖𝑘1,0 𝑒 (2.14) 𝑇 1.8 · 1012 𝑒𝑥𝑝(122/𝑇 1/3 )(1 − 𝑒𝑥𝑝(−2273.7/𝑇 )) 2.99 = √ 𝑇 (2.12) 𝑂2 𝑘1,0 = (2.15) 𝛿𝑉 𝑇 (2.16) Размерность коэффициентов 𝑐𝑚3 /𝑠. Для случая, когда при 𝑉 𝑇 обмене молекула сталкивается с атомом, существует несколько моделей, по которым могут быть расчитаны коэффициенты скорости переходов, все они предполагают учет многоквантовых 𝑉 𝑇 переходов. Модель Биллинга-Капителли Данная модель является аппроксимацией траекторных расчетов Биллинга [5], выражения для 𝑘𝑉 𝑇 в азоте и кислороде приведены ниже: [︀ ]︀ 𝑁 𝑘𝑖,𝑖 = exp 𝑏0 + 𝑏1 (𝑖 − 𝑖′ ) + 𝑏2 (𝑖 − 𝑖′ )2 + 𝑖(𝑐0 + 𝑐1 (𝑖 − 𝑖′ ) + 𝑐2 (𝑖 − 𝑖′ )2 ) , ′ 𝑂 𝑘𝑖,𝑖 ′ 𝑖 > 𝑖′ 𝑂2 2 7 · 10−14 𝜀𝑂 1 − 𝜀0 = (3𝑖 − 2) 0.124 exp(30/𝑇 1/3 ) 𝑂2 2 константы 𝑏𝑖 , 𝑐𝑖 приведены в [1]. 𝜀𝑂 0 и 𝜀1 — колебательные энергии первых двух уровней молекулы кислорода, имеют размерность 𝑐𝑚−1 . Модель Капителли Более поздние расчеты группы Капителли, основанные на современных траекторных расчетах [3], с использованием поверхности потенциальной 6

𝑂 энергии [7], дают следующие выражения для 𝑘𝑖,𝑖 ′: [︃ ]︃ 𝑖,𝑖′ ′ ′ 1 𝑎2 𝑂 𝑘𝑖,𝑖 exp 𝑎𝑖,𝑖 + 𝑎𝑖,𝑖 ′ (𝑇 ) = 1 + 3 ln(𝑇 ) , 27 ln(𝑇 ) ′ ′ 𝑎𝑖,𝑖 𝑗 = ′ 𝑏𝑖,𝑖 𝑗1 + ′ 𝑏𝑖,𝑖 𝑗2 ′ 𝑖 > 𝑖′ ′ 𝑖,𝑖 𝑖,𝑖 2 𝑏𝑖,𝑖 𝑗3 + 𝑏𝑗4 𝑖 + 𝑏𝑗5 𝑖 ln(𝑖) + 1021 exp(𝑖) ′ ′ ′ ′ ′ 2 𝑏𝑖,𝑖 𝑗𝑘 = 𝑐𝑗𝑘1 + 𝑐𝑗𝑘2 ln(𝑖 − 𝑖 ) + 𝑐𝑗𝑘3 (𝑖 − 𝑖 ) exp(−(𝑖 − 𝑖 )) + 𝑐𝑗𝑘4 (𝑖 − 𝑖 ) ′ ′ ′ ′ 𝑖,𝑖 𝑖𝑖 где коэффициенты 𝑎𝑖,𝑖 𝑗 , 𝑏𝑗𝑘 , 𝑐𝑗𝑘𝑣 можно найти в работах [3, 8]. Коэффициенты скорости обратных переходов вычисляются на основании соотношений детального баланса [1]. Модель FHO Траекторные расчеты с помощью методов молекулярной динамики имеют высокую точность, но требуют большого количества вычислительных ресурсов. Такие расчеты были проведены для ряда молекул, включая 𝐻2 , 𝑁2 , 𝑂2 и 𝐶𝑂 для широкого диапазона температур и колебательных квантовых чисел. Модель нагруженного гармонического осциллятора FHO [9] предполагает, что каждый 𝑉 𝑇 -преход представляется последовательностью "виртуальных"одноквантовых обменов в процессе одного столкновения. Полная вероятность перехода вычисляется путем сложения всех вероятностей возможных способов перехода. Число таких способов, не обязательно уникальное даже для одноквантовых обменов, быстро растет с числом доступных квантовых состояний системы, в которой происходит столкновение, т.е. для многоквантовых обменов, столкновений атом-молекула и, также для высокоэнергетических столкновений. В работе [9] приводится аналитическое выражение вероятности 𝑉 𝑇 -перехода для столкновений атом-молекула: ′ 𝑃𝑉 𝑇 (𝑖 → 𝑖′ , 𝜀) = 𝑖!𝑖′ !𝜀𝑖+𝑖 𝑒𝑥𝑝(−𝜀) (︃ 𝑛 ∑︁ 𝑟=0 𝑟 (−1 ) 1 𝑟!(𝑖 − 𝑟)!(𝑖′ − 𝑟)! 𝜀𝑟 )︃2 , ′ где 𝑖 и 𝑖 — начальное и конечное состояние молекулы соответственно, 𝑛 = 𝑚𝑖𝑛(𝑖, 𝑖′ ) и 𝜀 — среднее число квантов, переданных изначально осциллятору, не совершающему колебания. Более подробное описание модели 7

также можно найти в работе [9], в этой же работе указано, что использование траекторных расчетов дает более точный результат. 2.1.2 Сравнение моделей для коэффициентов скорости VT обменов Проведем расчеты и построим графики для коэффициентов 𝑘𝑉 𝑇 . На графиках видно, что коэффициенты скорости VT переходов для одно- и многоквантовых обменов имеют один порядок, а значит могут существенно влиять на газодинамические параметры. Также можно увидеть различие между коэффициентами для разных газов. Для азота модель FHO, предложенная Адамовичем, и модель Капителли хорошо согласуются друг с другом, при этом, при низких температурах модель Капителли дает более высокие значения коэффициента скорости 𝑉 𝑇 обменов. Для кислорода модели качественно различаются при низких температурах: у Капителли коэффициент 𝑘𝑉 𝑇 зависит от температуры в значительно меньшей степени на всем рассматриваемом диапазоне, для модели FHO картина полностью аналогична азоту. При этом, в большинстве случаев, модель модель FHO дает более высокие значения коэффициента скорости 𝑉 𝑇 обменов средних и высоких температурах. По результатам анализа было решено выбрать модель [3] для дальнейших расчетов как наиболее актуальную. 8

Рис. 2.1: Зависимость коэффициентов скорости VT переходов на 0-й колебательный уровень для моделей FHO [9] и Капителли [3] в азоте (слева) и в кислороде (справа) от 𝑇, 𝐾. 9

Рис. 2.2: Зависимость коэффициентов скорости VT переходов с 10-го колебательного уровня для моделей FHO [9] и Капителли [3] в азоте (слева) и в кислороде (справа) от 𝑇, 𝐾. 10

Рис. 2.3: Зависимость коэффициентов скорости VT переходов с 20-го колебательного уровня для моделей FHO [9] и Капителли [3] в азоте (слева) и в кислороде (справа) от 𝑇, 𝐾. 11

Рис. 2.4: Зависимость коэффициентов скорости VT переходов с 40-го колебательного уровня для моделей FHO [9] и Капителли [3] в азоте (слева) и в кислороде (справа) от 𝑇, 𝐾. 2.1.3 Коэффициенты скорости диссоциации Скорость изменения заселенностей колебательных уровней молекул вследствие диссоциации и рекомбинации определяется выражением: 12

𝑅𝑖𝑑𝑖𝑠𝑠−𝑟𝑒𝑐 = ∑︁ 𝑑 𝑑 𝑛𝑑 (𝑘𝑟𝑒𝑐,𝑖 𝑛2𝑎 − 𝑘𝑖,𝑑𝑖𝑠𝑠 𝑛𝑖 ). (2.17) 𝑑=𝑎,𝑚 Будем рассматривать модель Тринора-Маррона [2], допускающую диссоциацию с любого уровня. Коэффициент скорости диссоциации молекулы с уровня 𝑖 запишется в следующем виде [1]: 𝑑 𝑑 𝑘𝑖,𝑑𝑖𝑠𝑠 = 𝑍𝑖𝑑 (𝑇 )𝑘𝑑𝑖𝑠𝑠,𝑒𝑞 (𝑇 ), (2.18) 𝑑 𝑘𝑑𝑖𝑠𝑠,𝑒𝑞 (𝑇 ) — осредненный с учетом термически равновесного однотемпера- турного больцмановского распределения коэффициент скорости диссоциации, для его вычисления может быть использован закон Аррениуса: )︂ 𝐷 𝑑 𝑘𝑑𝑖𝑠𝑠,𝑒𝑞 , (2.19) = 𝐴𝑇 𝑛 exp − 𝑘𝑇 𝑇 — температура газа; 𝐷 — энергия диссоциации молекулы; 𝑑 — хими(︂ ческий сорт партнера по столкновению; коэффициенты 𝐴 и 𝑛 обычно получают на основе экспериментальных данных, таблицы для этих коэффициентов можно найти в работах [10, 11], в частности, в настоящей работе использовались значения: 𝐴 = 3.7 · 1021 , 𝑛 = −1.6. 𝑍𝑖𝑑 — множитель, учитывающий неравновесность (фактор неравновесности). [︂ (︂ )︂]︂ 𝑍 𝑣𝑖𝑏𝑟 (𝑇 ) 𝜀𝑖 1 1 𝑍𝑖 (𝑇 ) = 𝑍𝑖 (𝑇, 𝑈 ) = 𝑣𝑖𝑏𝑟 exp + 𝑍 (−𝑈 ) 𝑘 𝑇 𝑈 (2.20) 𝑍 𝑣𝑖𝑏𝑟 — равновесная колебательная статистическая сумма; 𝜀𝑖 — колебательная энергия; 𝑘 — постоянная Больцмана. В настоящей работе колебательные энергии 𝜀𝑖 вычислены с помощью модели ангармонического осциллятора. Выражение для статистической суммы имеет вид: 𝑍 𝑣𝑖𝑏𝑟 (𝑇 ) = ∑︁ 𝑖 𝜀𝑖 )︁ exp − 𝑘𝑇 (︁ (2.21) Для практического использования модели Тринора-Маррона важно подобрать значения параметра 𝑈 так, чтобы они обеспечивали хорошее согласие значений коэффициентов с экспериментальными данными либо с результатами расчетов по более точным моделям. Возьмем 𝑈 = 𝐷/(6𝑘), как рекомендованное в [1]. 13

Коэффициент скорости рекомбинации 𝑘𝑟𝑒𝑐,𝑖 определяется из соотношения детального баланса: (︂ 𝑘𝑟𝑒𝑐,𝑖 = 𝑘𝑖,𝑑𝑖𝑠𝑠 𝑚𝑚 𝑚2𝑎 )︂3/2 )︂ (︂ 𝜀 − 𝐷 𝑖 , ℎ3 (2𝜋𝑘𝑇 )−3/2 𝑍 𝑟𝑜𝑡 exp − 𝑘𝑇 (2.22) ℎ — постоянная Планка; 𝑚𝑎 , 𝑚𝑚 — массы частиц; 𝑍 𝑟𝑜𝑡 — вращательная статистическая сумма, для жесткого ротатора она представляется в виде: 8𝜋 2 𝐼𝐴2 𝑘𝑇 , (2.23) 𝑍 = 𝜎ℎ2 где 𝜎 — фактор симметрии, для гомоядерных молекул 𝜎 = 2; 𝐼𝐴2 — момент 𝑟𝑜𝑡 инерции молекулы относительно оси вращения ℎ , (2.24) 8𝜋 2 𝐵𝑒𝐴2 𝑐 𝐵𝑒 — спектроскопическая вращательная постоянная, 𝑐 — скорость света. 𝐼𝐴2 = 14

2.1.4 Уравнения сохранения Рассмотрим уравнения (2.3) - (2.5) и запишем их в дифференциальной форме: 𝜌𝑑𝑣 = −𝑣𝑑𝜌, (︀ )︀ 𝑑 𝜌𝑣 2 + 𝑝 = 𝑣 2 𝑑𝜌 + 2𝑣𝜌𝑑𝑣 + 𝑑𝑝 = 0, ∑︁ 𝜌= 𝑚𝑚 𝑛𝑖 + 𝑚𝑎 𝑛𝑎 , (2.25) (2.26) 𝑖 𝑑𝑝 = 𝑘𝑇 𝑑𝑛 + 𝑘𝑛𝑑𝑇, ∑︁ 𝑛= 𝑛𝑖 + 𝑛𝑎 , где 𝑝 = 𝑛𝑘𝑇, 𝑖 𝑣2 𝑑(ℎ + ) = 0. 2 (2.27) С учетом (2.25) уравнение (2.26) примет вид: 𝜌𝑣𝑑𝑣 + 𝑑𝑝 = 0 (2.28) Рассмотрим более подробно уравнение (2.27): (︂ 7 ˆ 2 𝑅𝑚 𝑇 + 1 𝜌𝑚 ℎ= ∑︀ 𝑖 𝜀𝑖 𝑛𝑖 + 𝜀𝑚 𝑚𝑚 )︂ (︁ 𝜌𝑚 + 𝜌 5 ˆ 2 𝑅𝑎 𝑇 + 𝜀𝑎 𝑚𝑎 )︁ 𝜌𝑎 𝜌 , (2.29) где 𝜀𝑚 , 𝜀𝑎 — энергия образования молекулы или атома; 𝑅ˆ𝑎 , 𝑅ˆ𝑎 — газовые постоянные для атомов и молекул соответственно. Дифференциал энталпии выражается через неизвестные следующим образом: 𝑑ℎ = ∑︁ 𝜕ℎ 𝜕ℎ 𝜕ℎ 𝑑𝑇 + 𝑑𝑛𝑎 + 𝑑𝑛𝑖 , 𝜕𝑇 𝜕𝑛𝑎 𝜕𝑛 𝑖 𝑖 𝜕ℎ 𝜌𝑚 𝑚𝑎 = (ℎ𝑎 − ℎ𝑚 ), 𝜕𝑛𝑎 𝜌2 𝜕ℎ 𝜀𝑖 𝑚𝑚 ∑︁ 𝜌𝑎 𝑚𝑚 = − 𝜀𝑖 𝑛𝑖 + (ℎ𝑚 − ℎ𝑎 ), 𝜕𝑛𝑖 𝜌 𝜌𝜌𝑚 𝑖 𝜌2 7 ˆ 5 ˆ 𝜕ℎ 2 𝑅𝑚 𝜌𝑚 2 𝑅𝑎 𝜌𝑎 = + , 𝜕𝑇 𝜌 𝜌 15

где: (︃ 7 ˆ 1 ∑︁ 𝜀𝑚 ℎ𝑚 = 𝑅𝑚 𝑇 + 𝜀𝑖 𝑛𝑖 + 2 𝜌𝑚 𝑖 𝑚𝑚 (︂ )︂ 𝜀𝑎 5 ˆ ℎ𝑎 = 𝑅𝑎 𝑇 + 2 𝑚𝑎 𝐿 ∑︁ 𝜌𝑎 = 𝑛𝑎 𝑚𝑎 ; 𝜌𝑚 = 𝑛𝑖 𝑚𝑚 )︃ 𝑖=0 𝜌 = 𝜌𝑚 + 𝜌 𝑎 Таким образом, закон сохранения энергии можно переписать через газодинамические переменные 𝑛𝑎 , 𝑛𝑖 , 𝑇 , 𝑣. 2.2 Система уравнений в безразмерном виде Для численного решения системы (2.1)-(2.5) необходимо обезразмерить входящие в нее уравнения. Для этого нужно ввести соответствующие характерные величины. Возьмем в качестве таких величин для переменной 𝑥 — длину свободного пробега перед фронтом волны 𝑙0 ; для скорости 𝑣 и температуры 𝑇 — их значения перед фронтом ударной волны 𝑣0 и 𝑇0 ; для заселенностей 𝑛𝑖 и числа атомов 𝑛𝑎 — общее число частиц перед фронтом 𝑁0 . Длина свободного пробега получается из формулы: где 𝜎𝑚𝑜𝑙 𝑘𝑇0 , 𝑙0 = √ 2 𝜎𝑚𝑜𝑙 𝑝0 — диаметр столкновения молекул. (2.30) Подставим в систему обезразмеренные величины: 𝑥 = 𝑥˜𝑙0 ; 𝑣 = 𝑣˜𝑣0 ; 𝑇 = 𝑇˜𝑇0 ; 𝑛𝑖 = 𝑛˜𝑖 𝑁0 ; 𝑛𝑎 = 𝑛˜𝑎 𝑁0 и перепишем ее относительно 𝑥˜, 𝑣˜, 𝑇˜, 𝑛˜𝑖 , 𝑛˜𝑎 . 2.2.1 Уравнения для зaселенностей Сначала рассмотрим уравнения (2.1) - (2.2): 16 (2.31)

𝑑(𝑣𝑛𝑖 ) = 𝑅𝑖𝑣𝑖𝑏𝑟 + 𝑅𝑖𝑑𝑖𝑠𝑠−𝑟𝑒𝑐 , 𝑑𝑥 ∑︁ 𝑑(𝑣𝑛𝑎 ) = −2 𝑅𝑖𝑑𝑖𝑠𝑠−𝑟𝑒𝑐 . 𝑑𝑥 𝑖 𝑖 = 0, ..., 𝐿, После подстановки величин (2.31) домножим его на (︀ )︀ 𝑙0 𝑑(˜ 𝑣 𝑛˜𝑖 ) = · 𝑅𝑖𝑣𝑖𝑏𝑟 + 𝑅𝑖𝑑𝑖𝑠𝑠−𝑟𝑒𝑐 , 𝑑˜ 𝑥 𝑁0 𝑣0 ∑︁ 𝑑(˜ 𝑣 𝑛˜𝑎 ) 𝑙0 = −2 · 𝑅𝑖𝑑𝑖𝑠𝑠−𝑟𝑒𝑐 . 𝑑˜ 𝑥 𝑁0 𝑣 0 𝑖 2.2.2 𝑙0 , получим: 𝑁0 𝑣0 𝑖 = 0, ..., 𝐿, (2.32) (2.33) Уравнение движения Рассмотрим уравнение движения в дифференциальной форме (2.28), подставим в него безразмерные величины: 𝜌= ∑︁ 𝑚𝑐 𝑛𝑐,𝑖 = 𝑛0 · 𝑐,𝑖 ∑︁ 𝑚𝑐 𝑛˜𝑐,𝑖 = 𝑚0 𝑁0 𝜌˜, 𝑐,𝑖 𝑝 = 𝑛𝑘𝑇 = 𝑁0 𝑇0 𝑘˜ 𝑛𝑇˜ = 𝑁0 𝑘𝑇0 𝑝˜, где в качестве 𝑚0 берется масса молекулы 𝑂2 , получим: 𝑚0 𝑣02 𝑁0 𝑣˜𝜌˜𝑑˜ 𝑣 + 𝑁0 𝑘𝑇0 𝑑˜ 𝑝 = 0, остается разделить на характерные вличины: 𝑚0 𝑣02 𝑣˜𝜌˜𝑑˜ 𝑣 + 𝑑˜ 𝑝 = 0. 𝑘𝑇0 2.2.3 (2.34) Уравнение энергии Теперь рассмотрим уравнение энергии (2.5) в дифференциальной форме: 𝑣2 𝑑 ℎ+ 2 (︂ 17 )︂ = 0,

для обезразмеривания энтальпии можно взять множитель венство можно переписать в виде: 𝑘𝑇0 , тогда ра𝑚0 (︂ )︂ 𝑚0 𝑣02 𝑣˜2 𝑑 ℎ̃ + =0 𝑘𝑇0 2 (2.35) Таким образом можно записать систему (2.1)-(2.5) относительно безразмерных переменных 𝑥˜, 𝑣˜, 𝑇˜, 𝑛˜𝑖 , 𝑛˜𝑎 : (︀ )︀ 𝑑(˜ 𝑣 𝑛˜𝑖 ) 𝑙0 = · 𝑅𝑖𝑣𝑖𝑏𝑟 + 𝑅𝑖𝑑𝑖𝑠𝑠−𝑟𝑒𝑐 , 𝑑˜ 𝑥 𝑁0 𝑣0 ∑︁ 𝑑(˜ 𝑣 𝑛˜𝑎 ) 𝑙0 = −2 · 𝑅𝑖𝑑𝑖𝑠𝑠−𝑟𝑒𝑐 , 𝑑˜ 𝑥 𝑁0 𝑣 0 𝑖 𝑚0 𝑣02 𝑣˜𝜌˜𝑑˜ 𝑣 + 𝑑˜ 𝑝 = 0, 𝑘𝑇0 (︂ )︂ 𝑚0 𝑣02 𝑣˜2 𝑑 ℎ̃ + = 0. 𝑘𝑇0 2 𝑖 = 0, ..., 𝐿, (2.36) (2.37) (2.38) (2.39) Теперь система готова к численному решению. Заметим также, что уравнения сохранения (2.3)-(2.5) удобно использовать для контроля за ходом интегрирования системы. 18

2.3 Интегрирование системы Для численного интегрирования системы была написана, отлажена и оптимизирована программа в среде Matlab, для интегрирования использовался встроенный метод переменного порядка с адаптивным шагом интегрирования. Для решения требовалось записать систему в нормальной форме. Так как пакет Matlab ориентирован на быструю работу с данными в виде матриц и векторов, то для приведения системы к нормальной форме было использовано обращение матрицы коэффициентов и умножение ее на вектор правой части, в итоге система приобрела вид: 𝑑𝑦 = 𝐴−1 𝐹, (2.40) 𝑑𝑥 где 𝐴 — матрица коэффициентов системы (2.36)-(2.39); 𝐹 — вектор правой части этой системы; 𝑦 — вектор безразмерных переменных системы. 2.4 Распределение макропараметров за фронтом ударной волны Расчеты проводились при следующих начальных условиях: число Маха 𝑛𝑁2 = 1, 𝑛𝑎 = 0; начальное распределе𝑀0 = 15; 𝑇0 = 293𝐾; 𝑝0 = 100Па; 𝑛 ние частиц — равновесное больцмановское: )︂ (︂ 𝑛𝑖 1 𝜀𝑖 = . exp − 𝑁0 𝑍𝑣𝑖𝑏𝑟 (𝑇0 ) 𝑘𝑇0 Считаем колебательную релаксацию и химические реакции замороженными во фронте волны. Для пересчета начальных значений температуры, скорости и давления сразу за фронтом ударной волны использовались соотношения Ренкина-Гюгонио [12]. Ниже приведены относительные графики зависимостей газодинамических параметров от расстояния от фронта ударной волны, а также их отклонения при учете только одноквантовых и 1-3 квантовых переходов от результатов, полученных с учетом 1-5 квантовых переходов, в зависимости от расстояния от фронта ударной волны. 19

Рис. 2.5: Слева — зависимость безразмерных заселенностей колебательных уровней (0-го, 1-го и 10-го) от расстояния от фронта ударной волны, справа — относительное отклонение заселенностей расчитанных с учетом только одноквантовых обменов (1), первых трех многоквантовых обменов (3) от результатов, полученных с учетом первых пяти (5) многоквантовых VT обменов. 20

Рис. 2.6: Слева — зависимость безразмерных заселенностей колебательных уровней (20-го и 40-го), а также числовая плотность атомов 𝑂 от расстояния от фронта ударной волны, справа — относительное отклонение заселенностей расчитанных с учетом только одноквантовых обменов (1), первых трех многоквантовых обменов (3) от результатов, полученных с учетом первых пяти (5) многоквантовых VT обменов. 21

Рис. 2.7: Слева — зависимость температуры, скорости и плотности потока от расстояния за фронтом волны, справа — относительное отклонение этих величин расчитанных с учетом только одноквантовых обменов (1), первых трех многоквантовых обменов (3) от результатов, полученных с учетом первых пяти (5) многоквантовых VT обменов. Из рисунков видно, что для кислорода все рассмотренные газодинамические параметры очень мало зависят от количества учитываемых мно22

гоквантовых 𝑉 𝑇 переходов. Таким образом, при моделировании течения за ударнгой волной в бинарной смеси 𝑂2 /𝑂 достаточно учесть только одноквантовые обмены. Ниже приведены несколько результатов для смеси 𝑁2 /𝑁 , представленных в работе [13]. На этих графиках видно, что в азоте многоквантовые переходы играют намного большую роль и при рассмотрении заселенностей их необходимо учитывать. Также видно, что релаксационные процессы в кислороде заканчиваются существенно быстрее, чем в азоте. Рис. 2.8: Слева — зависимость безразмерных заселенностей колебательных уровней (0-го и 10-го) от расстояния от фронта ударной волны, справа — относительное отклонение заселенностей расчитанных с учетом только одноквантовых обменов (1), первых трех многоквантовых обменов (3) от результатов, полученных с учетом первых пяти (5) многоквантовых VT обменов. 23

Рис. 2.9: Слева — зависимость безразмерных заселенностей колебательных уровней (20-го и 40-го), а также числовая плотность атомов 𝑁 от расстояния от фронта ударной волны, справа — относительное отклонение заселенностей расчитанных с учетом только одноквантовых обменов (1), первых трех многоквантовых обменов (3) от результатов, полученных с учетом первых пяти (5) многоквантовых VT обменов. 24

Рис. 2.10: Слева — зависимость температуры, скорости и плотности потока от расстояния за фронтом волны, справа — относительное отклонение этих величин расчитанных с учетом только одноквантовых обменов (1), первых трех многоквантовых обменов (3) от результатов, полученных с учетом первых пяти (5) многоквантовых VT обменов. 25

Течение в пограничном слое у пластины При моделировании обтекания твердого тела верхними слоями атмосферы также возникает задача о течении в пограничном слое. Рассмотрим течение в пограничном слое, образующемся на пластине в приближении поуровневой кинетики. Приведем уравнения, моделирующие такой поток, к виду, удобному для численного решения. 3.1 Система уравнений Случай обтекания плоской пластины моделируется системой уравнений в частных производных [1]: 𝜕 𝜕 𝜕 (𝑛𝑐𝑖 𝑣𝑥 ) + (𝑛𝑐𝑖 𝑣𝑦 ) + (𝑛𝑐𝑖 𝑉𝑐𝑖𝑦 ) = 𝑅𝑐𝑖 , 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝑖 = 0, ..., 𝐿𝑐 , 𝑐 = 𝑁, 𝑁2 , (︂ )︂ (︂ )︂ 𝜕𝑣𝑥 𝜕𝑣𝑥 𝑑𝑝 𝜕 𝜕𝑣𝑥 𝜌 𝑣𝑥 + 𝑣𝑦 + − 𝜇 = 0, 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑑𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 )︂ (︂ )︂2 (︂ 𝜕ℎ 𝜕ℎ 𝑑𝑝 𝜕𝑞𝑦 𝜕𝑣𝑥 𝜌 𝑣𝑥 + 𝑣𝑦 − 𝑣𝑥 + −𝜂 = 0. 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑑𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 (3.1) (3.2) (3.3) 𝑛𝑎 — количество атомов; 𝑖 — номер колебательного уровня; 𝑛𝑖 — заселенности 𝑖−х колебательных уровней; 𝜌 — плотность; 𝑣 — скорость потока; 𝑝 — давление; ℎ — удельная энтальпия; 𝑅𝑖𝑣𝑖𝑏𝑟 — скорости обменов колебательной энергией; 𝑅𝑖𝑑𝑖𝑠𝑠−𝑟𝑒𝑐 — скорости диссоциации; 𝑉𝑐𝑖𝑦 — компонента скорости диффузии, которая имеет вид: 26

𝑉𝑐𝑖𝑦 = − ∑︁ 𝑑𝑘 𝜕 (︁ 𝑛𝑑𝑘 )︁ 𝐷𝑇𝑐 𝜕𝑇 𝐷𝑐𝑖𝑑𝑘 − , 𝜕𝑦 𝑛 𝑇 𝜕𝑦 (3.4) где 𝐷𝑐𝑖𝑑𝑘 , 𝐷𝑇𝑐 — коэффициенты диффузии и термодиффузии соответственно: 1 [︀ 𝑐𝑖 ]︀ 1 [︀ 𝑐𝑖 𝑑𝑘 ]︀ D ,D , 𝐷𝑇𝑐𝑖 = D ,A (3.5) 3𝑛 3𝑛 A, D — векторные функции собственной скорости частиц, 𝑞𝑦 — тепловой 𝐷𝑐𝑖𝑑𝑘 = поток: ′ 𝜕𝑇 𝑞𝑦 = −𝜆 𝜕𝑦 −𝑝 ∑︁ 𝑐𝑖 (︂ )︂ 𝜕 (︁ 𝑛𝑐𝑖 )︁ ∑︁ 7 𝑐 𝐷𝑇𝑐𝑖 + 𝑘𝑇 + 𝜀𝑖 + 𝜀𝑐 𝑛𝑐𝑖 𝑉𝑐𝑖𝑦 , 𝜕𝑦 𝑛 2 𝑐𝑖 (3.6) 𝑘 [A, A] — коэффициент теплопроводности. 𝜆𝑡𝑟 и 3 описывают перенос энергии связанный с различными столкновения- где 𝜆′ = 𝜆𝑡𝑟 + 𝜆𝑟𝑜𝑡 = 𝜆𝑟𝑜𝑡 ми. Алгоритм вычисления коэффициентов теплопроводности, диффузии и термодиффузии предложен в работе [1]. Он состоит в решении систем линейных алгебраических уравнений для коэффициентов разложения поправки первого порядка к функции распределения по полиномам Сонина и Вальдмана-Трубенбахера. Коэффициентами систем являются интегральные скобки, которые после преобразования можно выразить через (𝑙,𝑟) стандартные Ω𝑐𝑑 интегралы и время релаксации вращательной энергии. Число уравнений сравнимо с общим числом колебательных состояний в смеси. Подробности можно найти в [1]. Для упрощения и обезразмеривания этой системы обычно применяют преобразование координат Лиза-Дородницына [1]: ∫︁ 𝑥 𝜉(𝑥) = 𝜇𝛿 𝜌𝛿 𝑣𝛿 𝑑𝑥 0 ∫︁ 𝑦 𝑣𝛿 𝜂(𝑥, 𝑦) = √ 𝜌𝑑𝑦. 2𝜉 0 (3.7) (3.8) индекс 𝛿 относится к параметрам на внешней границе пограничного слоя. Для упрощения вместо 𝑣𝑦 вводится новая переменная 𝑉𝑦 : 27

)︂ (︂ 2𝜉 𝜕𝜂 𝜌𝑣𝑦 , 𝑉𝑦 = 𝐹 +√ 𝜕𝜉/𝜕𝑥 𝜕𝑥 2𝜉 𝑣𝑥 ℎ 𝐹 = ,𝑔 = . 𝑣𝛿 ℎ𝛿 Производные новых координат по старым: 𝜕𝜉 𝜕𝑥 𝜕𝜉 𝜕𝑦 𝜕𝜂 𝜕𝑥 𝜕𝜂 𝜕𝑦 = 𝜇𝛿 𝜌𝛿 𝑣𝛿 = 𝜉𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, = 0, (3.9) (3.10) 𝜉𝑥 𝜂, 2𝜉 𝑣𝛿 𝜌 =√ . 2𝜉 = (3.11) (3.12) Тогда: 𝜕𝜉 𝜕 𝜕 = + 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕 𝜕𝜂 𝜕 = = 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝜂 𝜕𝜂 𝜕 𝜕 𝜉𝑥 𝜕 = 𝜉𝑥 + 𝜂 , 𝜕𝑦 𝜕𝜂 𝜕𝑦 2𝜉 𝜕𝜂 𝑣𝜌 𝜕 √𝛿 . 2𝜉 𝜕𝜂 (3.13) (3.14) Структура левых части уравнений практически одинакова, и в общем случае может быть записана следующим образом: (︂ )︂ 𝜕 𝜕 𝜉𝑥 𝑣𝛿 𝜕 𝑉 𝜕 2𝜉𝐹 (3.15) 𝑣𝑥 + 𝑣𝑦 = + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 2𝜉 𝜕𝜉 2𝜉 𝜕𝜂 Подставим их в исходные уравнения и после ряда преобразований получим [14] 𝜕𝑦𝑐𝑖 𝜕𝑦𝑐𝑖 𝜕𝐽𝑐𝑖𝑦 + 𝑉𝑦 + = 𝑅˜𝑐𝑖 (3.16) 𝜕𝜉 𝜕𝜂 𝜕𝜂 (︂ )︂ 𝜕𝐹 𝜕𝐹 𝜕 𝜕𝐹 2𝜉𝐹 + 𝑉𝑦 = 𝐾 , (3.17) 𝜕𝜉 𝜕𝜂 𝜕𝜂 𝜕𝜂 (︂ )︂ 𝜕𝑔 𝜕𝑔 𝜕 𝐾 𝜕𝑔 2𝜉𝐹 + 𝑉𝑦 = + 𝜕𝜉 𝜕𝜂 𝜕𝜂 𝑃 𝑟 𝜕𝜂 (︃ (︃ )︃ (︂ )︂2 (︂ )︂)︃ 2 ∑︁ ∑︁ 𝑣 𝜕𝐹 𝜕 𝐾 𝜕𝑦𝑐𝑖 ℎ𝑐 𝜕 ℎ𝑐 − − (3.18) + 𝛿𝐾 𝐽𝑐𝑖𝑦 ℎ𝛿 𝜕𝜂 𝜕𝜂 𝑃 𝑟 𝑐 𝜕𝜂 ℎ𝛿 𝜕𝜂 ℎ 𝛿 𝑐 2𝜉𝐹 28

√ 𝜌𝑐𝑖 𝜌𝑐 𝑉𝑐𝑖𝑦 2𝜉 𝜌 Здесь введены пременные 𝑦𝑐𝑖 = откуда 𝑛𝑐𝑖 = 𝑦𝑐𝑖 . 𝐽𝑐𝑖𝑦 = — 𝜌 𝑚𝑐 𝜉𝑥 2𝜉 безразмерный диффузионный поток, 𝑅˜𝑐𝑖 = 𝑅𝑐𝑖 — безразмерная ско𝜌𝑣𝛿 𝜉𝑥 𝜌𝜇 рость химических реакций, 𝐾 = — параметер Чепмена-Рубезина. 𝜌𝛿 𝜇𝛿 Рассмотрим диффузионный поток с учетом введенных переменных: (︃ )︃ (︁ )︁ ∑︁ 𝐷𝑇𝑐 𝜕𝑇 𝑣𝛿 𝜌 𝜕𝑥𝑑𝑘 𝐷𝑇𝑐 𝜕𝑇 𝜕 𝑛𝑑𝑘 𝐷𝑐𝑖𝑑𝑘 𝐷𝑐𝑖𝑑𝑘 − = −√ + 𝑉𝑐𝑖𝑦 = − 𝜕𝑦 𝑛 𝑇 𝜕𝑦 𝜕𝜂 𝑇 𝜕𝜂 2𝜉 𝑑𝑘 𝑑𝑘 (︂ )︂ ∑︁ 𝜕 (︁ 𝑛𝑐𝑖 )︁ ∑︁ 7 ′ 𝜕𝑇 𝑞𝑦 = −𝜆 −𝑝 𝐷𝑇𝑐𝑖 + 𝑘𝑇 + 𝜀𝑐𝑖 + 𝜀𝑐 𝑛𝑐𝑖 𝑉𝑐𝑖𝑦 = 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝑛 2 𝑐𝑖 (︃ )︃ 𝑐𝑖 )︂ ∑︁ ∑︁ (︂ 7 𝑣𝛿 𝜌 𝜕𝑇 𝜕𝑥 𝑐𝑖 = − √ · 𝜆′ +𝑝 + 𝑘𝑇 + 𝜀𝑐𝑖 + 𝜀𝑐 𝑛𝑥𝑐𝑖 𝑉𝑐𝑖𝑦 𝐷𝑇𝑐𝑖 𝜕𝜂 𝜕𝜂 2 2𝜉 𝑐𝑖 𝑐𝑖 ∑︁ где 𝑥𝑑𝑘 = 3.2 𝑛𝑑𝑘 . 𝑛 Граничные условия Граничные условия на стенке для некаталитической поверхности 𝑦 = 0 и на внешней границе пограничного слоя 𝑦 = 𝛿 имеют вид: 𝑦=0: 𝑦=𝛿: 𝑣𝑥0 = 𝑣𝑦0 = 0, 𝜕𝑛𝑖 ⃒⃒ 𝜕𝑇 ⃒⃒ = = 0; ⃒ ⃒ 𝜕𝑦 𝑦=0 𝜕𝑦 𝑦=0 𝑣𝑥𝛿 = 𝑣𝛿 , ℎ = ℎ𝛿 , 𝑛𝛿𝑖 = 𝑛𝑒𝑞 𝑖 (𝑇𝛿 ), ⃒ 𝜕𝑣𝑥 ⃒ = 0. ⃒ 𝜕𝑦 𝑦=𝛿 29

С учетом переменных Лиза-Дородницына граничные условия примут вид: 𝜂=0: 𝜂 = 𝜂𝑚𝑎𝑥 : 𝐹0 = 𝑉𝑦0 = 0, 𝜕𝑇 ⃒⃒ 𝜕𝑛𝑖 ⃒⃒ = = 0; ⃒ ⃒ 𝜕𝜂 𝜂=0 𝜕𝜂 𝜂=0 𝐹𝛿 = 1, 𝑔𝛿 = 1, 𝑦𝑐 = 𝑦𝑐𝑒𝑞 (𝑝𝛿 , 𝑇𝛿 ), 𝜕𝐹 ⃒⃒ = 0. ⃒ 𝜕𝜂 𝜂=𝜂𝑚𝑎𝑥 Таким образом система уравнений подготовлена к численному интегрированию. Для этого можно использовать решатели включенные в пакет Matlab PDE Toolbox, основанные на конечно-элементных методов или математический пакет Comsol. Решение данной системы для конкретных условий планируется в дальнейшей работе. 30

Заключение В данной работе произведено сравнение двух моделей, описывающих многоквантовые 𝑉 𝑇 переходы в смесях 𝑂2 /𝑂 и 𝑁2 /𝑁 , для дальнейших расчетов была использована модель Капителли, как наиболее актуальная на сегодняшний день. Были произведены расчеты для кислорода и азота с учетом различного количества многоквантовых обменов. Показано, что многоквантовые 𝑉 𝑇 переходы могут по-разному влиять на газодинамические параметры для разных газов, в частности в случае кислорода влияние многоквантовых обменов несущественно, несмотря на то, что коэффициенты скорости 𝑉 𝑇 переходов одного порядка; в азоте — наоборот, учет многоквантовых переходов оказывает существенное влияние на макропараметры потока. Также показано, что скорость релаксации азота и кислорода существенно различаются. Система уравнений, описывающая движение в пограничном слое, была приведена к виду , удобному для численного интегрирования, и написана программа для вычисления всех входящих в данные уравнения коэффициентов. В дальнейшем планируется исследование влияния многоквантовых обменов на течение в пограничном слое. 31

Литература [1] Е.А. Нагнибеда, Е.В. Кустова. Кинетическая теория процессов переноса и релаксации в потоках неравновесных реагирующих газов. // СПб.: Изд. С.-Петерб. ун-та, 2003. 272 с. [2] Marrone P.V., Threanor C.E. Chemical relaxation with preferential dissociation from excited vibration levels // Phys. Fluids/ 1963/ Vol. 6. N 9. P. 1215-1221. [3] Fabrizio Espositoa, Iole Armenisea, Giulia Capittaa, Mario Capitellia, O–O2 state-tostate vibrational relaxation and dissociation rates based on quasiclassical calculations // Chemical Physics Volume 351, Issues 1–3, 3 July 2008, Pages 91–98 [4] Capitelli M., Armenise I., Gorse C. State-to-state approach in the kinetics of air components under re-entry conditions // J. Thermophys. Heat Transfer. 1997. Vol. 11. N 4. P. 570-578 [5] Billing G.D., Fisher E.R. VV- and VT-rate coefficients in 𝑁2 by a quantum-classical model // Chem. Phys. 1979. Vol. 43. P. 395-401 [6] Billing G.D., Kolesnick R.E. Vibrational relaxation of oxigen. State to state rate constants // Chem. Phys. Lett. 1992. Vol. 200. N 4. P. 382-386 [7] A.J.C. Varandas & A.A.C.C. Pais, A realistic double many-body expansion (DMBE) potential energy surface for ground-state O3 from a multiproperty fit to ab initio calculations, and to experimental spectroscopic, inelastic scattering, and kinetic isotope thermal rate data // Molecular Physics: An International Journal at the Interface Between Chemistry and Physics, Volume 65, Issue 4, 1988 [8] PHYS4ENTRY planetary entry integrated models seventh framework programme [интернет ресурс]: phys4entrydb.ba.imip.cnr.it/Phys4EntryDB/index.php. [9] Igor V. Adamovich, Sergey O. Macheret, J. William Rich, Charles E. Treanor Vibrational Energy Transfer Rates Using a Forced Harmonic Oscillator Model // Journal of Thermophysics and Heat Transfer Vol. 12, No. 1, January-March 1998 32

[10] Ступоченко Е.В., Лосев С.А., Осипов А.И. Релаксационные процессы в ударных волнах. // М.: Наука, 1965. 484 с. [11] Неравновесные физико-химические процессы в аэродинамике // Под ред. Г.И. Майкапара. М.: Машиностроение, 1972. 344 с. [12] А.В. Белова, А.И. Буравцев. Руководство к лабораторным работам по аэрогазодинамике // СПб.: Изд-во С.-Петерб.ун-та, 2004.-344с. [13] Л.Д. Мишин, Е.В. Кустова О влиянии многоквантовых обменов на газодинамические параметры в релаксационной зоне за ударной волной // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1 : Математика, механика, астрономия. 2016. Вып. 2. [14] Е.В. Кустова. Уравнения теории пограничного слоя. // СПб.: Изд. С.-Петерб. унта, 2003. 272 с. 33

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв