Решение задача трех тел

Моделирование и решение задачи трех материальных тел в условиях земного притяжения Зададимся тремя эллипсами, расположим их так, чтобы большие полуоси были (а, а1, ,а2) были расположены вертикально, а нижний фокус каждого эллипса был общим. ( Рис.1). Полуоси а ˃ а1 ˃ а2. В точке О , точка общего фокуса, разместим оси координат ОХ и OY. На верхних концах полуосей находятся материальные точки с массами m, m₁, m₂ Отпустим все три тела 1, 2, 3 одновременно, и будем Рис. 1 определять их координаты по осям OY и ОХ. При падении происходиn равноускоренное движение, то есть при падении координата OY будет меняться по следующей формуле: 𝒚 = 𝒚˳ ˖𝒗˳𝒕˖ 𝟏 𝟐 𝒈𝒕𝟐 ;(1) где: 𝒚˳ - начальная координата равная верхней точке большой оси эллипса ; 𝒗˳ - начальная скорость, в данном случае равна нулю; 𝒈 – ускорение свободного падения; 𝒕 – время. Отсюда, относительно точки отсчета в центре эллипса, учитывая направление падения, получим: 𝒚=𝒂− 𝟏 𝟐 𝒈𝒕𝟐 ;(2) Координаты 𝒚´ относительно точки отсчета расположенном в точке общего фокуса будут определятся как : 𝒚´ = 𝒂 − 𝟏 𝟐 𝒈𝒕𝟐 + √𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 ; (3) где √𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 = 𝒄 есть фокусное расстояние эллипса Тогда формула (3) примет вид: 𝒚´ = 𝒂 − 𝟏 𝟐 𝒈𝒕𝟐 + 𝒄; (4) Каноническое уравнение эллипса имеет формулу:

𝒙𝟐 + 𝒂𝟐 𝒚𝟐 𝒃𝟐 = 𝟏 (5); так как большая полуось направлена по оси OY, то в нашем случае формула примет вид: 𝒚𝟐 𝒂𝟐 + 𝒙𝟐 𝒃𝟐 = 𝟏 ; (6) Из уравнения (5) получим, что: 𝒙 = 𝒃 √𝟏 − 𝟏 𝟐 (𝒂− 𝒈𝒕𝟐 )𝟐 𝒂𝟐 ; (7) Так как в нашем случае оси OY эллипсов не смещены по оси OX, то координаты 𝒙 = 𝒙´. Получаем, что относительно центра координат в общем фокусе имеет место быть следующие соотношения для эллипсов 𝟏 (𝒂 − 𝟐 𝒈𝒕𝟐 )𝟐 √ 𝒙= 𝒃 𝟏− 𝒂𝟐 𝒚´ = 𝒂 − 𝟏 𝟐 𝒈𝒕𝟐 + с Соответственно координаты эллипсов будут для двух других эллипсов Для второго эллипса: 𝟏 (𝒂₁ − 𝟐 𝒈𝒕𝟐 )𝟐 𝒙₁ = 𝒃₁ √𝟏 − 𝒂₁𝟐 𝒚₁´ = 𝒂₁ − 𝟏 𝟐 𝒈𝒕𝟐 + с₁ Для третьего эллипса: 𝒙₂ = 𝒃₂√𝟏 − 𝒚₂´ = 𝒂₂ − 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 (𝒂₂− 𝒈𝒕𝟐 )𝟐 𝒂₂𝟐 𝒈𝒕𝟐 + с₂ Между этими телами будет происходить взаимодействие по закону всемирного тяготения с силой 𝑭=𝜸 𝒎₁𝒎₂ 𝑹𝟐 ; (8) где: 𝜸 – гравитационная постоянная; 𝒎₁ 𝒎₂ - массы взаимодействующих тел; R – расстояние между телами. Зная координаты тел, можно определить расстояние между ними по формуле: 𝑹 = √(𝒙₂ − 𝒙₁)𝟐 + (𝒚₂´ − 𝒚₁´)𝟐 ; (8) Подставим вместо координат их значения:

Расстояние между телами массой m₁ и m₂ вычисляется как: 𝑹₁₂ = 𝟏 𝟐 )𝟐 √(𝒃₂√𝟏 − (𝒂₂− 𝟐 𝒈𝒕 𝒂₂𝟐 − 𝒃₁ √𝟏 − 𝟏 𝟐 )𝟐 (𝒂₂− 𝒈𝒕 𝟐 == √(𝒃₂√𝟏 − 𝒂₂𝟐 𝟏 𝟐 (𝒂₁− 𝒈𝒕𝟐 )𝟐 − 𝒃₁ √𝟏 − 𝒂₁𝟐 𝟏 𝟐 )𝟐 + (( 𝒂₂ − (𝒂₁− 𝒈𝒕𝟐 )𝟐 𝒂₁𝟐 𝟏 𝟐 𝒈𝒕𝟐 + 𝒄₂) − (𝒂₁ − 𝟏 𝟐 𝒈𝒕𝟐 + 𝒄₁))𝟐 )𝟐 + (( 𝒂₂ + 𝒄₂) − (𝒂₁ + 𝒄₁))𝟐 ; (9) Тела m₁ и m₂ имеют общий центр масс, который находится между ними на прямой линии, и определяется правилом рычага: 𝒎₁𝒅₁ = 𝒎₂𝒅₂ ; (10) где: d₁ и d₂ - расстояние до центра масс. Заменим тела m₁ и m₂ одним телом равным массой сумме (m₁ + m₂) этих тел расположенным в центре масс тел m₁ и m₂. Тогда силу взаимного притяжения между этими телам и телом массой m определим как взаимодействие двух тел: 𝑭=γ (𝒎₁+𝒎₂)𝒎 𝑹″𝟐 ; (10) где: 𝑹″𝟐 – расстояние от тела m до центра масс системы двух тел Отношение длин расстояний λ от тел m₁ и m₂ до центра масс будет равно отношению их масс : 𝒎₁ 𝝀 = 𝒎₂ ; (11) Тогда координаты центра масс определим как: 𝒙″ = 𝒚″ = √𝟏− 𝟏 𝟐 𝟐 𝒈𝒕 ) 𝟐 𝒂₁𝟐 (𝒂₁− 𝒎₂𝒃₂√𝟏− + 𝟏 𝟐 𝟐 𝒈𝒕 ) 𝟐 𝒂₂𝟐 (𝒂₂− 𝒎₂ ;(12) 𝒎₁ 𝒎₂ 𝟏+ 𝟏 𝟐 𝒎₁(𝒂₂− 𝒂₁− 𝒈𝒕𝟐 + 𝒄₁+ 𝒎₁ 𝒎₂ 𝟏+ 𝟏 𝟐 𝒈𝒕 + 𝒄₂) 𝟐 𝒎₂ ; (13) Теперь согласно формуле (8) определим расстояние от центра масс тел m₁ и m₂ до тела массой m 𝑹″ = √(𝒙 − 𝒙″ )𝟐 + (𝒚 − 𝒚″ )𝟐 , подставим значения координат, и получим

𝒃 √𝟏 − 𝑹″ = 𝟐 𝟏 (𝒂− 𝒈𝒕𝟐 ) 𝟐 𝒂𝟐 − 𝒃₁ √𝟏− (𝒂₁− 𝟏 𝟐 𝟐 𝒈𝒕 ) 𝟐 𝒂₁𝟐 √ 𝟏− 𝒎₁𝒃₂ + 𝒎₁ 𝟏+ 𝒎₂ 𝒎2 ( + ((𝒂 − 𝟏 𝟐 𝒈𝒕𝟐 + с) − 𝟏 𝟐 𝒎₁(𝒂₂− 𝒂₁− 𝒈𝒕𝟐 + 𝒄₁+ √ 𝒎₁ 𝒎₂ 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝒈𝒕 ) 𝟐 𝒂₂𝟐 (𝒂₂− 𝟏 𝟐 𝒈𝒕 + 𝒄₂) 𝟐 𝒎₂ 𝟏+ 𝟐 ) ; (14) ) Подставим значение расстояния между центром масс двух тел m₁ и m₂ и телом m в формулу (10), вычислим силу взаимодействия в любой момент времени: (𝒎₁+𝒎₂)𝒎 𝑭=γ 𝟐 𝟏 𝟐 √ (𝒂− 𝟐 𝒈𝒕 ) 𝒃 𝟏− − 𝟐 𝒂 𝟐 𝟏 (𝒂₂− 𝒈𝒕𝟐 ) √ 𝟐 𝟏− 𝟐 𝟏 𝒂₂𝟐 (𝒂₁− 𝒈𝒕𝟐 ) 𝒎₁𝒃₂ √ 𝟐 𝒃₁ 𝟏− + 𝒎₂ 𝒂₁𝟐 𝒎₁ 𝟏+ 𝒎₂ ( + ( 𝟏 𝒎₁(𝒂₂− 𝒈𝒕𝟐 + 𝒄₂) 𝟏 𝟐 𝒂₁− 𝒈𝒕𝟐 + 𝒄₁+ 𝟏 𝟐 𝟐 𝒎₂ (𝒂− 𝒈𝒕 + с) − 𝒎₁ 𝟐 𝟏+ 𝒎₂ 𝟐 𝟐 ; (15) ) ) Таким образом, в любой момент времени t можем определить силу взаимодействия трех тел между собой. Бармаков Руслан Юсупович 23 сентября 2017 г. Г. Пенза

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв