Сохрани и опубликуйсвоё исследование
О проекте | Cоглашение | Партнёры
магистерская диссертация по направлению подготовки : 15.04.03 - Прикладная механика
Источник: Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Дальневосточный федеральный университет»
Комментировать 0
Рецензировать 0
Скачать - 5,9 МБ
Enter the password to open this PDF file:
-
Оглавление Введение ................................................................................................................... 4 Глава 1. Постановка задачи исследования ........................................................... 6 П. 1.1 Обзор методов определения упругопластического деформирования цилиндров под воздействием температур .......................... 6 Пункт 1.2. Общие уравнения математической модели для термоупругопластического деформирования цилиндра при неравномерном распределении температур ................................................... 13 Глава 2 Определение температурного поля в толстостенных цилиндрах при разных способах температурной обработки ............................ 27 Пункт 2.1. Распределение температуры в цилиндре при горячей посадке на цилиндрический вал (1 слой-вал). Аналитическое решение и (1 слой-цилиндр). Численное и аналитическое решение. ................................................................................... 27 Пункт 2.2. Распределение температуры в цилиндре при горячей посадке на цилиндрический вал (2 слоя- вал и цилиндр). Численное решение. ........................................................................ 33 Глава 3. Упругопластическое деформирование цилиндра при неравномерном нагреве с учетом изменяющихся механических свойств материала. ................................................................................................ 41 П. 3.1 Термоупругие напряжения в сплошном двухслойном цилиндре при нестационарном распределении температуры для материалов с разными механическими коэффициентами ..................... 41 П. 3.2. Термоупругопластическое деформирование цилиндра при отсутствии упрочнения, условии текучести Мизеса и постоянном пределе текучести. ....................................................................... 55 Пункт 3.3. Термоупругопластическое деформирование цилиндра с условием текучести Мизеса, с учетом зависимости температуры от предела текучести. .......................................... 70 Заключение ............................................................................................................ 76 Список литературы ............................................................................................... 77 Приложение А ....................................................................................................... 79 Приложение Б ........................................................................................................ 81 Приложение В........................................................................................................ 83
Введение Математическое моделирование изменения свойств материалов в процессе тепловой обработки с учетом изменяющихся теплофизических и механических характеристик, остается актуальной задачей моделирования объектов и явлений. Среди многообразных процессов температурной обработки материалов (сварки, штамповки и др.) выделяется метод горячей посадки, с помощью которого фактически получаются новые конструкционные слоистые материалы, такие как биметаллы, триметаллы и стеклометаллические трубы. Ясно, что материалы, из которых методом горячей посадки изготавливаются новые слоистые композиты и детали обладают комплексом новых свойств, которые, в том числе, зависят от характера деформирования, уровня остаточных напряжений и от накопления необратимых деформаций, после температурной обработки. Задачи по определению термоупругопластических напряжений и деформаций в условиях нелинейной зависимости свойств от температуры в слоистых конструкционных материалах практически не имеют аналитических решений, несмотря на постоянный интерес исследователей. Поэтому актуальна разработка качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей для технологий тепловой обработки слоистых конструкционных материалов и сопряженных систем деталей, с учетом возникающих областей пластического деформирования и изменения их границ. Целью данной работы являлась разработка численноаналитического метода определения термоупругопластических
напряжений и деформаций в осесимметричном длинном цилиндре при условии неравномерного изменения температуры по радиусу цилиндра. Для достижения цели решались следующие задачи: • Задача 1. Термоупругопластическое деформирование цилиндра при отсутствии упрочнения, условии текучести Мизеса и постоянном пределе текучести. • Задача 2. Термоупругопластическое деформирование цилиндра с условием текучести Мизеса, с учетом зависимости температуры предела текучести. • Задача 3. Термоупругопластическое деформирование цилиндра при неравномерном нагреве с учетом изменяющихся механических свойств материала: Модуль Юнга, коэффициента линейного температурного расширения и предела текучести.
Глава 1. Постановка задачи исследования П. 1.1 Обзор методов определения упругопластического деформирования цилиндров под воздействием температур Горячая посадка в инженерную практику была введена выдающимся отечественным ученым и инженером Акселем Вильгельмовичем Гадолиным. Именно двухслойные стволы орудий, таким способом созданные, смогли выдерживать высокое давление пороховых газов. В этом состояло блестящее решение к тому времени совершенно необходимой к разрешению инженерной задачи. С тех пор технологическая операция сборки цилиндрических деталей способом горячей посадки оказывается соответствующими общепризнанной методическими и снабжается указаниями к ее использованию. Расчетная часть данных методик, призванная рекомендовать условия для достижения требуемого натяга в сборке, базируется на теории термоупругости или на теории температурных напряжений в упругих телах. Тем положением, что в процессе посадки невозможно накопление в материале сборки необратимых деформаций, пренебрегают. Объяснение тому находят в невозможности прогнозировать итоговый натяг при условии учета непреодолимых возникающих. необратимых расчетных К настоящему деформаций трудностей, времени при из-за этом обстоятельства существенно изменились. Теперь современная вычислительная техника и современные вычислительные технологии способны предоставить необходимые вычислительные возможности для решения задачи теории температурных напряжений о способе горячей посадки с учетом необратимого деформирования материалов сборки. Иначе, теперь есть возможность
усовершенствовать сомнительных методики допущений расчетов об операции отсутствии без необратимого деформирования. Именно решение данной задачи ставится целью настоящей работы. Тепловые и деформационные процессы неразделимы. Каким же способом, исходя из классического опыта, следует учесть в математической называемого модели горячей термомеханического посадкой, возможное процесса, необратимое деформирование материалов сборки? Отметим еще раз, что ряд технологических и особенно прочностных расчетов всецело пренебрегает самой возможностью существования необратимых деформаций. Расчеты проводятся в рамках теории термоупругости [1,5,6]. Когда связанностью тепловых и деформационных процессов пренебрегают, то получают теорию температурных напряжений в упругих телах. Именно последняя теория является основной для расчетов процессов сборки горячей посадкой, и именно такие расчеты рекомендуются технологическими и техническими условиями . Вязкие свойства материалов сборки могут задавать их ползучесть и последующую релаксацию напряжений [12]. Однако эти процессы являются медленными и не смогут оказать существенного влияния на нестационарные процессы деформирования, сопровождающие горячую посадку. В отличие от деформаций ползучести пластические деформации накапливаются быстро со временем, сравнимым со временем протекания процесса теплопроводности в данной технологической операции [12]. Следовательно, наиболее адекватной математической моделью для расчетного прогнозирования процесса, происходящего в условиях сборки
горячей посадкой, является математическая модель упругопластического тела [4,13]. Только на основании данной модели, возможно, будет учтено влияние процесса накопления необратимых параметры деформаций на основные технологической рассчитываемые операции сборки упругопластических деталей способом горячей посадки. При этом следует иметь в виду, что при значительных изменениях температуры упругие постоянные, и, что особенно важно, предел текучести могут изменять свои значения. Среди моделей материалов упругопластического различают два деформирования варианта, принципиально отличающиеся в подходе к описанию процесса накопления необратимых деформаций. Первый из них обобщенно называют деформационной теорией пластичности, второйтеорией пластического течения. Основоположником и наиболее ярким представителем деформационной теории пластичности является А.А. Ильюшин [4]. Им разработаны фундаментальные основания такой теории, (сформулирован принцип изотропии, принцип запаздывания и др.) установлены конкретные зависимости «напряжения-деформации» для ряда частных случаев (простой деформации, малой кривизны и других теорий). Наибольшее распространение в инженерной практике получил вариант деформационной пластичности, называемый теорией упругопластических процессов. Данный подход, обобщенный на случай термопластичности Ю.Н. Шевченко, широко использовался его учениками и последователями. Обобщения касались не только оснований теории упругопластических процессов (постулата изотропии и других теорий) [14], но и методов решения краевых задач термопластичности в условиях стационарных и
нестационарных термомеханических воздействий. Отдельно следует отметить развитие на такой основе теории тонкостенных конструкций, когда такие элементы конструкции находятся в условиях интенсивного термомеханического нагружения; создание адекватных численных методов расчета. Обобщение этого подхода на случай учета больших деформаций было осуществлено учеными Пермской школы механиков. Теория пластического течения в расчетах термомеханических процессов использовалась существенно более редко. Связанно это с тем, что такие расчеты требуют более проработанных алгоритмов и соответствующих вычислительных технологий. Поэтому публикации с подобными расчетами, исключая ряд простейших задач, появились только в конце прошлого столетия. В этом случае выделяются области необратимого деформирования (области пластического течения), а вне таких областей материал деформируется обратимо (упруго). Упругопластические границы разделяющие такие области, являются элементами решения краевой задачи. Они продвигаются по материалу, и, следовательно, их положения обязаны определяться в процессе решения задачи, что накладывает дополнительные требования к методами решения. Более того, уже в одной из первых работ, посвященных упругопластическому деформированию толстостенной трубы в условиях нестационарных термомеханических воздействий, Д. Бленд впервые заметил, что при использовании кусочно- линейного условия пластичности максимального касательно напряжения Треска-Сен-Венана область пластического течения может, в свою очередь, разделяться на части, в которых течение происходит по-разному. Связано это с тем, что
системы дифференциальных уравнений, определяющие течения, оказываются разными при соответствии напряженных состояний разным граням или ребрам призмы Треска, форму которой в пространстве главных напряжений принимает поверхность нагружения (условие пластичности). Необходимость отслеживать в процессе решения задачи положений таких граничных поверхностей, так же как и упругопластических границ, приводит к усложнениям в алгоритмах расчетов. Отказ от использования классического пластического потенциала Треска- Сен-Венана заменой его гладкой поверхностью нагружения, например, цилиндром Мизеса, приводит только к усложнению математического аппарата, поскольку только при задании условий пластичности кусочно-линейной зависимостью в целом ряде случаев уравнение равновесия удается проинтегрировать. Из-за этого в абсолютном большинстве работ, посвященных решению краевых задач термопластичности, используется именно кусочно- линейный пластический потенциал Треска- СенВенана. Наибольшую трудность в своем решении имеют краевые задачи термопластичности, в которых распределение температур нестационарно, и, как следствие, температурные напряжения являются неустановившимися. Это характерно для задач, моделирующих процессы сварки, консолидации расплавов, локального отжига и др. Технологическая операция горячей посадки относится именно к таковым. Снижение прочности материалов в зоне термического влияния шва остается до настоящего времени основной проблемой сварочного производства. Такая задача с определением
остаточных напряжений рассматривалась в зоне неоднократно. материаловедческие аспекты термического Если не проблемы, влияния рассматривать связанные с твердотельными фазовыми превращениями, а интересоваться только уровнем и распределением остаточных напряжений в окрестности сварного шва, то приходим к задаче теории неустановившихся температурных напряжений. К задачам данной теории относятся и задачи, моделирующие процесс закалки материала зоны термического влияния. Несмотря на выверенную экспериментальную проработку, целый ряд таких инженерно-технологических решений, включающих в себя материаловедческие аспекты, с позиций теории температурных напряжений в упругопластических материалах еще требует своего исследования. То же относится и к многочисленным исследованиям процессов консолидации расплавов в металлургии. Зависимость предела текучести от температуры в таких работах предполагалась линейной. Рассчитывались температурные напряжения в условиях развития областей пластического течения. Задача расчетного прогнозирования эволюции температурных напряжений в процессах, происходящих в условиях технологической операции сборки способом горячей посадки, в своей постановочной части относится к простейшим задачам теории термопластичности и, в частности, теории температурных напряжений в упругопластических телах. Поэтому такие задачи рассматривались неоднократно. Преимущественно были рассмотрены одномерные задачи в условиях соответствия напряжений плоскому напряженному
состоянию. В качестве условия пластичности принималось условие максимальных касательных напряжений (критерий Треска- Сен-Венана), а зависимость предела текучести от времени полагалась линейной. Наряду с этим в зависимыми линейно от температуры считались также упругие постоянные. Замеченные еще Д. Блендом разделения области пластического течения на части, в которых течение задается разными системами уравнений в зависимости от принадлежности напряженных состояний разным граням и ребрам поверхности нагружения, в этих работах не отражались. В этой связи следует отметить работу, которая не посвящена задаче посадки, а в ней только рассмотрены температурные напряжения в цилиндре конечных размеров, возникающие при его термомеханическом нагружении. Было показано, что напряженное состояние имеет возможность переходить с грани призмы Треска на ребро с возникновением состояния полной пластичности. Появления повторного пластического течения во всех этих работах не наблюдалось. В настоящее время математическая модель термопластичности и теории температурных напряжений в упругопластических материалах получила различные обобщения. Последние направлены на описание более сложных свойств реальных материалов, включая структурные изменения, учет больших деформаций. Замеченные особенности решений, связанные с использованием кусочно-линейных пластических потенциалов, несомненно проявятся термоупругопластичности вызванными и в наряду соответствующими усложненных с новыми моделях эффектами, усложнениями. Поэтому изучение таких особенностей в рамках классической модели
упругопластичности типа Пранделя-Рейса важно и для теорий, строящихся на основе усложненных моделей. Получили развитие и методы вычисления температурных напряжений в упругопластических телах. Главным образом такие методы связаны с дискретизацией области деформирования и адаптацией к таким задачам разработанных ранее процедур методов конечных разностей и конечных элементов. Анализ имеющихся подходов позволяет заметить следующее: даже одномерные задачи сборки методом горячей посадки в условиях плоской деформации до настоящего времени своего решения не нашли; упрощения, связанные с использованием кусочно-линейных потенциалов пластического течения (условие Треска- Сен-Венана, условие Ишлинского-Ивлева), предложенные в полной мере вычислительные не использованы; процедуры из-за их громоздкости трудно будет рекомендовать в качестве методики расчетного прогнозирования технологической операции по сборке горячей посадкой. Отмеченное выше позволяет сформулировать цель предпринимаемого исследования и в соответствии с такой целью указать задачи данного исследования. Пункт 1.2. Общие уравнения математической модели для термоупругопластического деформирования цилиндра при неравномерном распределении температур Будем считать деформации малыми. Симметричный тензор деформаций будет выражаться через перемещения 𝑢𝑖 в прямоугольной ДСК при помощи формул: 1 𝑒𝑖𝑗 = (𝑢𝑖,𝑗 + 𝑢𝑗,𝑖 ) 2 (1.1)
Запятая перед индексом i обозначает частную производную по координате x. В случае данного приближения не существенно, будут относиться координаты к деформированному или недеформированному состоянию. Тензор скоростей деформаций 𝜀𝑖𝑗 будет выражаться через скорости 𝑢̇ 𝑖,𝑗 через соотношение: 1 𝜀𝑖𝑗 = (𝑢̇ 𝑖,𝑗 + 𝑢̇ 𝑗,𝑖 ) 2 (1.2) Изменения в геометрии, вызванные деформацией, не учитываются также и при составлении уравнений равновесия. Поэтому безразлично, напряжений 𝜎𝑖𝑗 будет отнесен к ли симметричный деформированному тензор или к недеформированному состоянию. Обозначая массовые силы на единицу объема через 𝑋𝑖 , и удельные поверхностные нагрузки через 𝑝𝑖 , получим уравнения равновесия в объеме тела: 𝜎𝑖𝑗,𝑗 + 𝑋𝑖 = 0 (1.3) и краевые условия на поверхности: 𝜎𝑖𝑗,𝑗 𝑛𝑗 = 𝑝𝑖 (1.4) Единичный вектор внешней нормали к поверхности обозначен как 𝑛𝑗 . Принято условие суммирования по повторяющимся индексам.
Если массовые силы в учет не берутся, и отсутствуют внешние нагрузки, уравнение равновесия запишется в виде: 𝜎𝑖𝑗,𝑗 = 0 (1.5) Условия равновесия можно объединить в одном уравнении виртуальных работ: (1.6) ∫ 𝜎𝑖𝑗 𝑒̇𝑖𝑗 𝑑𝑣 = ∫ 𝑋𝑖 𝑢𝑖 𝑑𝑣 + ∫ 𝑝𝑖 𝑢𝑖 𝑑𝑆 справедливым для любого распределения напряжений 𝜎𝑖𝑗 , уравновешенного внешними нагрузками 𝑋𝑖 , 𝑝𝑖 и для любого перемещения 𝑢𝑖 с соответствующим ему распределением деформаций 𝑒𝑖𝑗 (1.1). Объемный интеграл распространен по всему объему тела, поверхностный – по всей его поверхности. Если внешние нагрузки зависят от времени, но скорости изменения этих нагрузок 𝑋̇𝑖 , 𝑝̇ 𝑖 достаточно малы, то задачу можно считать квазистатической. В этом случае уравнения равновесия для скоростей изменения напряжений формально идентичны уравнениям (1.3) и (1.4), а уравнение виртуальных работ справедливо для любого распределения скоростей изменения напряжений 𝜎̇𝑖𝑗 , уравновешенного скоростями изменения внешних нагрузок 𝑋̇𝑖 , 𝑝̇𝑖 . Для всех соотношений предполагаем, что напряжения, скорости изменения напряжений, перемещения и скорости имеют непрерывные первые производные по координатам. Предполагается, что действительные деформации𝑒𝑖𝑗 элемента тела можно представить в виде суммы упругих 𝑝 деформаций 𝑒𝑖𝑗𝑒 и пластических деформаций 𝑒𝑖𝑗 :
𝑝 𝑒𝑖𝑗 = 𝑒𝑖𝑗𝑒 + 𝑒𝑖𝑗 (1.7) Упругие деформации определяются законом Гука: 𝑒𝑖𝑗𝑒 = 𝐴𝑖𝑗𝑘𝑙 𝜎𝑘𝑙 (1.8) где тензор упругих коэффициентов обладает свойствами симметрии: 𝐴𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝐴𝑗𝑖𝑘𝑙 = 𝐴𝑖𝑗𝑙𝑘 = 𝐴𝑘𝑙𝑖𝑗 (1.9) Для исследования деформаций изотропных материалов закон Гука записывается через коэффициенты Ламе: 𝑒 𝜎𝑖𝑗 = 𝜆𝑒𝑘𝑘 𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇𝑒𝑖𝑗𝑒 (1.10) 𝜆, 𝜇 – параметры Ламе, зависящие от материала и постоянные при любых изменениях механических характеристик материала. При температурном влиянии используется обобщение закона Гука, отражающее зависимость температурных напряжений от поля температур: соотношение ДюамеляНеймана: 𝑒 𝜎𝑖𝑗 = (𝜆𝑒𝑘𝑘 𝛿𝑖𝑗 − 𝑚Θ) + 2𝜇𝑒𝑖𝑗𝑒 (1.11) 𝑚 = 3𝛼𝑘(𝑇𝑚𝑎𝑥 − 𝑇0 ) (1.12) Θ= 𝑇 − 𝑇0 𝑇𝑚𝑎𝑥 − 𝑇0 (1.13) 3𝜆 + 2𝜇 3 (1.14) 𝑘=
где Θ – обезразмеренное поле температур, 𝑇 – температурное поле, 𝑇0 – комнатная температура, 𝑇𝑚𝑎𝑥 – максимальная температура, 𝛼 – коэффициент температурного расширения материала. Соотношения между напряжениями и пластическими деформациями выводились различными способами, причем всегда использовались некоторые более или менее приемлемые предположения. основан Наиболее на удовлетворительный фундаментальном подход квазитермодинамическом постулате Друккера. Применительно к элементу тела этот постулат можно сформулировать следующим образом. Рассмотрим элемент, находящийся в некотором исходном напряженном состоянии; пусть внешним воздействием А (отличным от напряжения) воздействия, медленно порождающего прикладываются дополнительные напряжения. В дополнительных напряжений внешнее исходные и снимаются процессе приложения воздействие А совершает неотрицательную работу; работа, совершенная внешним воздействием за полный цикл приложения и снятия дополнительных напряжений, также неотрицательная. Другими словами, полезная энергия не может быть выделена из элемента приложениях пользоваться и из системы исходных фундаментального геометрическими напряжений. постулата образами. В удобно Напряженное состояние элемента тела может быть представлено точкой в прямоугольных координатах 𝜎𝑖𝑗 девятимерного пространства напряжений. Предполагается, что пластические деформации не изменяются, если точка напряжений лежит в некоторой области, которую будем называть упругой областью;
соответствующее напряженное состояние 𝜎𝑖𝑗𝑠 будем называть безопасным. Приращения пластической деформации могут возникнуть лишь в том случае, если точка напряжений попадет на границу упругой области. Эту границу будем называть пределом текучести или поверхностью текучести. Напряженное состояние 𝜎𝑖𝑗𝑎 , соответствующее точке в упругой области или на поверхности текучести, будем называть допустимым. Таким образом, фундаментальный постулат приводит к следующим заключениям: 1) Если 𝜎𝑖𝑗 – напряженное состояние на поверхности текучести, которому соответствуют скорости 𝑝 пластической деформации 𝑒̇𝑖𝑗 , то для всех безопасных и допустимых напряженных состояний имеют место соотношения: 𝑝 (1.15) 𝑝 (1.16) [𝜎𝑖𝑗 − 𝜎𝑖𝑗𝑠 ]𝑒̇𝑖𝑗 > 0 [𝜎𝑖𝑗 − 𝜎𝑖𝑗𝑎 ]𝑒̇𝑖𝑗 ≥ 0 2) Если 𝜎̇𝑖𝑗 – скорости изменения напряжений, которым 𝑝 соответствуют скорости пластической деформации 𝑒̇𝑖𝑗 , то: 𝑝 𝜎̇𝑖𝑗 𝑒̇𝑖𝑗 ≥ 0 (1.17) 3) Вследствие (1.16) поверхность текучести выпуклая. Необходимо также отметить, что следствия из фундаментального постулата Друккера имеют место только Никаких для скоростей заключений пластической деформации. относительно полных
пластических деформаций сделать нельзя, если неизвестна вся «история» элемента. Идеально пластический материал характеризуется тем, что он не может воспринимать напряжения, превосходящие определенный фиксированный предел текучести. Таким образом, поверхность текучести и упругая область не зависят от «истории» нагружения элемента. Кроме того, упругая область должна теперь содержать ненапряженное состояние (𝜎𝑖𝑗 = 0). Скорость диссипации энергии в единице объема: 𝑝 𝑝 𝜎𝑖𝑗 𝑒̇𝑖𝑗 = 𝐹(𝑒̇𝑖𝑗 ) > 0 будет однозначной функцией скоростей (1.18) пластической деформации. В (1.17) 𝜎𝑖𝑗 – напряженное состояние на поверхности текучести, соответствующее отличным от нуля скоростям пластической деформации. Пропорциональному возрастанию скоростей пластической деформации отвечает пропорциональное возрастание скорости диссипации энергии. Для идеально пластического материала вместо неравенства (1.17) имеем: 𝑝 𝜎̇𝑖𝑗 𝑒̇𝑖𝑗 = 0 (1.19) для всех соответственных скоростей изменения напряжения и скоростей пластической деформации. Действительно, если напряженное состояние лежит в упругой области, то (1.19) выполняется, так как скорости пластической деформации равны нулю. Если же напряженное состояние находится на пределе текучести, то 𝜎𝑖𝑗 + 𝜎̇𝑖𝑗 𝑑𝑡 должно быть допустимым напряженным состоянием. Следовательно, на основании (1.16):
𝑝 𝜎̇𝑖𝑗 𝑒̇𝑖𝑗 ≤ 0 (1.20) Комбинируя (1.17) и (1.20), получаем (1.19). С другой 𝑝 𝑝 стороны, если 𝜎̇𝑖𝑗(1) , 𝑒̇𝑖𝑗(1) и 𝜎̇𝑖𝑗(2) , 𝑒̇𝑖𝑗(2) – две различные пары соответственных скоростей изменения напряжения и скоростей пластических деформаций, отвечающих одному и тому же напряженному состоянию на пределе текучести, то условие (1.17) приводит к неравенствам: 𝑝 𝑝 (1.21) 𝜎̇𝑖𝑗(1) 𝑒̇𝑖𝑗(2) ≤ 0, 𝜎̇𝑖𝑗(2) 𝑒̇𝑖𝑗(1) ≤ 0 Если поверхность текучести регулярная в окрестности точки на этой поверхности, т.е. она имеет непрерывно изменяющуюся касательную гиперплоскость, то эта поверхность может быть описана уравнением: (1.22) 𝑓(𝜎𝑖𝑗 ) = 0 где знак функции текучести f (симметричной относительно 𝜎𝑖𝑗 и 𝜎𝑗𝑖 )выбран так, что в упругой области f<0.Теперь скорости пластической деформации определяются называемым ассоциированным законом соотношением, пластического течения: 𝑝 𝑒̇𝑖𝑗 = 𝜆 𝜕𝑓 𝜕𝜎𝑖𝑗 𝜕𝑓 = 0, если 𝑓 ≤ 0, 𝑓̇ = 𝜆 𝜎̇ < 0 𝜕𝜎𝑖𝑗 𝑖𝑗 𝜆{ ≥ 0, если 𝑓 = 0, 𝑓̇ = 0 (1.23) (1.24)
Как следует из формы этих соотношений, функция текучести играет роль потенциала для скоростей пластической деформации и поэтому часто называется пластическим потенциалом. Геометрически представить скорости это означает, пластической что если деформации в девятимерном пространстве напряжений, то тензор скоростей пластической деформации пространстве) имеет (вектор направление в девятимерном внешней нормали к поверхности текучести. Следствием (1.23) является условие сохранения объема при пластическом деформировании: 𝑝 𝑝 𝑝 𝑒11 + 𝑒22 + 𝑒33 = 0 (1.25) Т.е. материал считается пластически несжимаемым. В простейшем случае в качестве поверхности нагружения можно принять условие пластичности максимального касательного напряжения (условие Треска): (1.26) max|𝜎𝑖 − 𝜎𝑗 | = 2𝐾 Температурные напряжения возникают вследствие неравномерного нагрева тела. В областях с различной температурой расширение происходит материала – различное температурные температурное деформации. Вследствие неравномерного распределения этих деформаций и возникают напряжения, которые препятствуют этому процессу. Каждый материал обладает своим пределом текучести, который имеет ярко выраженную зависимость от температуры. Считается, что существует функция максимального
касательного напряжения (1.26), которую можно сравнить с пределом текучести достигает К. Если за все время нагрева она не нулевого значения, то можно говорить о термоупругом нагреве тела, т.е. возникающие при этом деформации и напряжения проявляют упругие свойства, и при возвращение материала в (охлаждение до начальной первоначальное температуры состояние распределения), принимают свои начальные значения. Если на тело не действуют никакие внешние силы, то деформации и напряжения при начальной температуре принято считать нулевыми. Если же условие пластичности при нагреве выполняется, напряжения при нагреве достигают определенного значения, и появляется зона пластического деформирования: область, в которой напряжения достигли предела текучести. Часть деформаций, появившихся при этом процессе, сохраняется при последующем остывании тела (остаточные деформации), вследствие чего сохраняются и напряжения, связанные с этими деформациями. Обычно процесс накопления необратимых деформаций и напряжений можно наблюдать в случае возникновения больших значений градиентов температур, а следовательно и больших температурных напряжений, способных вызвать процесс пластического течения. При нагревании тела энергия источника распределяется на внутреннюю энергию (появление температуры) и механическую энергию напряжений. В общем случае при построении поля напряжений учитывается связь между распределением энергии: внутренняя энергия переходит в энергию деформирования материала, кроме того, при резких перепадах температур присутствует влияние инерции. Для
построения модели температурных деформаций и напряжений воспользуемся частным случаем линейной квазистатической несвязной теории, в котором расчет механических характеристик происходит независимо от температурного состояния материала и не учитывается превращение энергии, причем процесс нагревания в большинстве случаев считают медленным, чтобы избежать появления инерционных членов. Такая модель во многом ряде задач довольно точно описывает температурные деформации и напряжения. Постановка задачи данного исследования • Математическая постановка задачи заключается в определении функций: распределения температуры в соединении T и компонент тензоров напряжений σij и деформаций σij и εij. Тепловой поток в процессе нагрева и выдержки намного превосходит тепловую энергию деформирования поэтому, используется несвязная задача теплопереноса и деформирования, т.е. задачи решаются последовательно, а именно на каждом временном слое последовательно решаются две задачи. • Определяется распределение температуры в цилиндре и вале. • Решается краевая задача определения напряженнодеформированного состояния для отдельно цилиндра или сопряженная для вала и цилиндра. Неравномерное тепловое расширение в общем случае не может происходить свободно в сплошной среде: оно вызывает тепловые (термические, температурные) напряжения. Знание величины и характера действия температурных напряжений
необходимо для всестороннего анализа прочности конструкции. Температурные напряжения сами по себе и в сочетании с механическими напряжениями от внешних сил могут вызвать появление трещин и разрушение конструкции из материала с повышенной хрупкостью. Некоторые материалы при быстром возникновении напряжений, обусловленном действием резко нестационарного температурного поля, становятся хрупкими и не выдерживают теплового удара. Повторное действие температурных напряжений приводит к термоусталостному разрушению элементов конструкции. Тепловые напряжения могут вызвать значительную пластическую деформацию, ведущую к полному или прогрессирующему разрушению конструкции, термовыпучивание и т. п. Исследования по термоупругости сначала стимулировались задачами о термоупругих конструкций. Они напряжениях проводились на в элементах основе теории, разработанной Дюамелем (1838) и Нейманом (1841), которые исходили из следующего предположения: полная деформация является суммой упругой деформации, связанной с напряжениями обычными соотношениями, и чисто теплового расширения, соответствующего известному из классической теории теплопроводности температурному полю. С принципиальной точки зрения теория Дюамеля-Неймана для нестационарных тепловых и механических воздействий оказалась ограниченной: она не позволяет строго описать движение упругого тела, связанное с его тепловым состоянием. При определенных условиях нестационарный нагрев сопровождается динамическими эффектами в конструкции.
В общем случае изменение температуры тела происходит не только вследствие подвода тепла от внешних источников, но и в результате самого деформировании тела процесса от деформирования. механических или При тепловых воздействий, протекающих с большой скоростью, возникает так называемый эффект связанности, обусловленный взаимодействием полей деформации и температуры. Он проявляется в образовании и движении тепловых потоков внутри тела, возникновении связанных упругих и тепловых волн, термоупругом рассеянии энергии и т. п. Последовательное рассмотрение процессов упругого деформирования и теплопроводности в их взаимосвязи возможно только на основе термодинамических соображений. Томсон (1855) впервые применил основные законы термодинамики для изучения свойств упругого тела. Ряд исследователей: Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц (1953) и др., - с помощью методов классической термодинамики получили связанные уравнения термоупругости. Однако в рамках классической термодинамики строгий анализ справедлив лишь для изотермического и адиабатического обратимых процессов деформирования. неразрывно Реальный связанный теплопроводности, необратимым. процесс с является Термодинамика деформирования, необратимым в общем процессом случае необратимых также процессов, разработанная в последние годы, позволила более строго поставить задачу о необратимом процессе деформирования и дать единую трактовку механических и тепловых процессов, нашедшую отражение в работах Био (1956), Чедвика (1960), Боли и Уэйнера (1960) и др. В связи с этим более четко определилась теория термоупругости, обобщающая
классическую теорию упругости и теорию теплопроводности. Она охватывает следующие теплопроводностью в явления: теле при перенос тепла стационарном и нестационарном теплообмене между ним и внешней средой, термоупругие напряжения, вызванные температуры, динамические эффекты нестационарных процессах нагрева и, градиентами при в резко частности, термоупругие колебания тонкостенных конструкций при тепловом ударе, термомеханические эффекты, обусловленные взаимодействием полей деформации и температуры.
Глава 2 поля в способах Пункт 2.1. Распределение температуры в цилиндре при Определение температурного толстостенных цилиндрах при разных температурной обработки горячей посадке на цилиндрический вал (1 слой-вал). Аналитическое решение и (1 слой-цилиндр). Численное и аналитическое решение. Постановка аналитической задачи теплопроводности для цилиндра (вала) с граничными условиями третьего рода: 𝜕𝑇̃(𝑟̃ , 𝐹0 ) 𝜕 2 𝑇̃(𝑟̃ , 𝐹0 ) 1 𝜕𝑇̃(𝑟̃ , 𝐹0 ) = + 𝜕𝐹0 𝜕𝑟̃ 2 𝑟̃ 𝜕𝑟̃ (2.1 (𝐹0 > 0, 0 < 𝑟̃ < 𝑟̃1 ), 𝑇̃(𝑟̃ , 0) = 1 (2.2 ) ) 𝜕𝑇̃(1, 𝐹0 ) + 𝐵𝑖 ∙ 𝑇̃(1, 𝐹0 ) = 0 𝜕𝑟̃ (2.3 )
𝜕𝑇̃(1, 𝐹0 ) + 𝐵𝑖 ∙ 𝑇̃(1, 𝐹0 ) = 0 𝜕𝑟̃ (2.4 ) Где 𝑇̃ = (𝑇 − 𝑇𝑐𝑝 )/(𝑇0 − 𝑇𝑐𝑝 ) – относительная избыточная температура, Тср - коэффициент температура теплоотдачи, теплопроводности, а Bi = 𝜗𝑅 𝜆 окружающей 𝜆 – среды, 𝛼- коэффициент - число Био. Используя метод разделения переменных, решение задачи можно представить в виде: 𝑚 𝑇̃(𝑟̃ , 𝐹0 ) = ∑ 𝐴𝑖 𝑋𝑖 (𝜆𝑖 , 𝑟̃ )𝑒 (−𝜆𝑖 𝑟̃ ) 𝑖=1 (2.5) Где 𝑋𝑖 (𝜆𝑖 , 𝑟̃ )- функции, удовлетворяющие уравнению Бесселя вида: 𝑑 2 𝑋(𝜆, 𝑟̃ ) 1 𝑑𝑋(𝜆, 𝑟̃ ) + + 𝜆𝑋(𝜆, 𝑟̃ ) = 0 𝑑𝑟̃ 2 𝑟̃ 𝑑𝑟̃ (2.6) Основные граничные условия для этого уравнения будут: 𝑋 ′ (1) + 𝐵𝑖𝑋(1) = 0 (2.7) 𝑋 ′ (0) = 0 (2.8) Решение задачи отыскивается в виде следующего ряда: 𝑛 𝑋(𝜆, 𝑟̃ ) = ∑ 𝐶𝑖 𝑁𝑖 (𝑟̃ ) 𝑖=0 (2.9)
Где 𝐶𝑖 - неизвестные коэффициенты, 𝑁𝑖 (𝑟̃ ) = 𝑟̃ 𝑖 - координатные функции. Ограничиваясь шестью членами ряда, получим шесть неизвестных коэффициентов, при этом граничных условий, необходимых для их определения, имеем всего два. Для нахождения неизвестных коэффициентов еще три граничных условия будут иметь вид: 𝑋(0) = 1 (2.10) 𝜆 2 (2.11) 𝑋 ′′ (0) = − 𝑋 ′′′ (0) = 0 (2.12) Еще одно граничное условие получается в точке 𝑟̃ = 1. Для этого продифференцируем уравнение (2.1) по F0: 𝜕 2 𝑇̃ (1, 𝐹0 ) 𝜕𝑇̃(1, 𝐹0 ) + 𝐵𝑖 =0 𝜕𝐹0 𝜕𝑟̃ 𝜕𝐹0 (2.13) После этого продифференцируем получившееся уравнение по 𝑟̃ и запишем его значение в 𝑟̃ = 1: 𝜕 2 𝑇̃(1, 𝐹0 ) 𝜕 3 𝑇̃(1, 𝐹0 ) 𝜕 2 𝑇̃(1, 𝐹0 ) 𝜕𝑇̃(1, 𝐹0 ) = + − 𝜕𝑟̃ 𝜕𝐹0 𝜕𝑟̃ 3 𝜕𝑟̃ 2 𝜕𝑟̃ Перепишем соотношение (2.6) с учетом (2.14) уравнения теплопроводности (2.3): 𝜕 2 𝑇̃(1, 𝐹0 ) 𝜕 2 𝑇̃(1, 𝐹0 ) 𝜕𝑇̃(1, 𝐹0 ) = −𝐵𝑖 [ + ]=0 𝜕𝑟̃ 𝜕𝐹0 𝜕𝑟̃ 2 𝜕𝑟̃ Сравним соотношения (2.15) и (2.6): (2.15)
𝜕 3 𝑇̃(1, 𝐹0 ) 𝜕 2 𝑇̃(1, 𝐹0 ) 𝜕𝑇̃(1, 𝐹0 ) + − 𝜕𝑟̃ 3 𝜕𝑟̃ 2 𝜕𝑟̃ 𝜕 2 𝑇̃(1, 𝐹0 ) 𝜕𝑇̃(1, 𝐹0 ) + 𝐵𝑖 [ + ]=0 𝜕𝑟̃ 2 𝜕𝑟̃ (2.16) Из этого выражения получим дополнительное граничное условие: 𝜕 3 𝑇̃(1, 𝐹0 ) 𝜕 2 𝑇̃(1, 𝐹0 ) 𝜕𝑇̃(1, 𝐹0 ) (𝐵𝑖 (𝐵𝑖 + + 1) + − 1) 𝜕𝑟̃ 3 𝜕𝑟̃ 2 𝜕𝑟̃ (2.17) =0 Итого, все граничные условия имеют вид: 𝑋 ′ (1) + 𝐵𝑖𝑋(1) = 0 (2.18) 𝑋 ′ (0) = 0 (2.19) 𝑋(0) = 1 (2.20) 𝑋 ′′ (0) = − 𝜆 2 (2.21) 𝑋 ′′′ (0) = 0 (2.22) 𝑋 ′′′ (1) + (𝐵𝑖 + 1)𝑋 ′′ (1) + (𝐵𝑖 − 1)𝑋 ′ (1) = 0 (2.23) Подставляя (2.9) в полученные выше граничные условия, получим шесть уравнений, из которых можно определить неизвестные коэффициенты 𝐶𝑖 . Ниже приведены графики численного решения задачи о распределении температур коэффициентах теплоотдачи: в вале при различных
Рис. 1. Распределение температуры в вале, коэффициент теплоотдачи 1, радиус 10 см. На рис.1. - .4. изображены графики, отображающие распределение температур при нагреве в вале различными радиусами и с различными значениями коэффициента теплоотдачи. При малых радиусах вала график распределения температур показан практически линейным с небольшим возрастанием. С повышением коэффициента теплоотдачи и радиуса распределение динамичные: температур меняется на более
Рис. 2. Распределение температуры в вале, коэффициент теплоотдачи 100, радиус 𝑟 = 0.05 м. Рис. 3. Распределение температуры в вале, коэффициент теплоотдачи 10, радиус 𝑟 = 1 м.
Рис. 4. Распределение температуры в вале, коэффициент теплоотдачи 100, радиус 𝑟 = 1м. Пункт 2.2. Распределение температуры в цилиндре при горячей посадке на цилиндрический вал (2 слоя- вал и цилиндр). Численное решение.
Рис. 5. Геометрия задачи. В данном пункте мы рассматриваем температурную задачу для бесконечного двухслойного цилиндра, состоящего из разных материалов, r = r1 – граница сопряжения материалов (Рис.5). Уравнение теплопроводности для материалов с переменными теплофизическими коэффициентами в цилиндрической системе координат имеет вид: T c T где T – теплоемкость, плотность T – T 1 T T r , t r r r c T – материала, коэффициент (2.24) удельная теплопроводности, которые, учитывая использование разных материалов, могут быть записаны как: 𝑐𝑠ℎ (𝑇), 𝑐𝑐𝑙 (𝑇), 𝑟 ∈ [0, 𝑟0 ), 𝑟 ∈ (𝑟0 , 𝑟1 ], (2.25) 𝜆 (𝑇), 𝜆(𝑇) = { 𝑠ℎ 𝜆𝑐𝑙 (𝑇), 𝑟 ∈ [0, 𝑟0 ), 𝑟 ∈ (𝑟0 , 𝑟1 ], (2.26) 𝜌 (𝑇), 𝜌(𝑇) = { 𝑠ℎ 𝜌𝑐𝑙 (𝑇), 𝑟 ∈ [0, 𝑟0 ), 𝑟 ∈ (𝑟0 , 𝑟1 ], (2.27) 𝑐(𝑇) = { Начальное и граничное условия при r = 0: T t 0 T0 const; T r 0. (2.28) r 0 На границе сопряжения слоев должно быть выполнено условие равенства тепловых потоков:
T T T T . r r r1 0 r r r1 0 (2.29) На внешней границе цилиндра теплообмен с окружающей средой происходит по 3-му закону Ньютона: T T r T r r2 Te t , r r2 (2.30) здесь – коэффициент теплоотдачи, Te t – температурный режим, который задается на внешней границе цилиндра, исходя из физической постановки конкретной задачи. Tw – температура на границе, Trel – температура внешней среды (или вала), T0 – начальная температура. Приведем переменные к безразмерному виду: 𝑇̃ = 𝑇 𝑇0 𝑟 , 𝑇̃0 = , 𝑟̃ = 𝑇𝑤 𝑇𝑤 𝑟1 𝐹0 = 𝜆(𝑇)𝑡 𝑐(𝑇)𝜌(𝑡)𝑟12 𝐵𝑖 = где 𝑇̃– относительная (2.31) 𝜗𝑟1 𝜆(𝑇) температура,𝑇̃𝑐𝑝 – относительная температура среды,𝑇̃0 – относительная начальная температура, 𝑟̃ – безразмерная координата, Fo – число Фурье, Bi – число Био. Перепишем параметры: все уравнения через безразмерные
𝜕𝑇̃ 𝜕𝐹0 = 𝜕𝑇̃ 11 𝜕 (2.32) (𝜆𝑟̃ 𝜕𝑟̃ ) 𝜆 𝑟̃ 𝜕𝑟̃ 𝑇̃|𝐹0=0 = 𝑇̃0 (2.33) 𝜕𝑇̃ | =0 𝜕𝑟̃ 𝑟̃ =0 (2.34) 𝜕𝑇̃ | 𝑟2 = −𝐵𝑖 (𝑇̃|𝑟̃ =𝑟2 − 𝑇̃𝑐𝑝 ) 𝜕𝑟̃ 𝑟̃ =𝑟1 𝑟1 (2.35) Построим пространственно-временную сетку r t . Для этого построим сетки по координате r и по времени t: 𝜔𝑟 = (𝑟̃𝑖 = 𝑟̃𝑖−1 + ∆𝑘 , 𝑟̃0 = 0, 𝑖 = ̅̅̅̅̅̅ 1, 𝑛1 , 𝑘 = 1; 𝑖 (2.36) = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑛1 + 1, 𝑛2 , 𝑘 = 2) r2 1 1 r1 где 1 , 2 . n1 n2 t Fo j Fo j 1 Fo , Fo0 0, j 1, m , где ∆𝐹0 = 𝑐 𝜆0,𝑗−1 2 0,𝑗−1 𝜌0,𝑗−1 𝑟1 ∆𝑡 Введем дополнительный коэффициент: 𝐾𝑖,𝑗 = Система Рассмотрим 𝜆𝑖,𝑗−1 𝑐0,𝑗−1 𝜌0,𝑗−1 ,𝐾 = 1 𝜆0,𝑗−1 𝑐𝑖,𝑗−1 𝜌𝑖,𝑗−1 0,𝑗 решается с аппроксимацию неявной схемой: помощью уравнения (2.37) метода прогонки. (2.32) линейной
𝑇̃𝑖,𝑗 − 𝑇̃𝑖,𝑗−1 𝐾𝑖,𝑗 ∆𝐹0 = (2.38) 1 − 𝑇̃𝑖,𝑗 ) (𝜉 1 (𝑇̃ 𝜆𝑖,𝑗−1 (∆𝑘 )2 𝑟̃𝑖 𝑖+2,𝑗 𝑖+1,𝑗 − 𝜉𝑖−1,𝑗 (𝑇̃𝑖,𝑗 − 𝑇𝑖−1,𝑗 )) 2 1 𝜉𝑖+1,𝑗 = (𝜆𝑖,𝑗−1 𝑟̃𝑖 + 𝜆𝑖+1,𝑗−1 𝑟̃𝑖+1 ) 2 2 (2.39) 1 𝜉𝑖−1.𝑗 = (𝜆𝑖,𝑗−1 𝑟̃𝑖 + 𝜆𝑖−1,𝑗−1 𝑟̃𝑖−1 ) 2 2 (2.40) для i 1,.., n1 1, n1 1,..n2 1. Перепишем начальное и граничные условия, а также условие сопряжения слоев через аппроксимированные уравнения: 𝑇̃𝑖,0 = 𝑇̃0 , 𝑖 = ̅̅̅̅̅̅ 0, 𝑛2 (2.41) 𝑇̃1,𝑗 = 𝑇̃0,𝑗 (2.42) 𝑇̃𝑛1,𝑗 − 𝑇̃𝑛1−1,𝑗 𝑇̃𝑛 +1,𝑗 − 𝑇̃𝑛1,𝑗 =− 1 ∆1 ∆2 (2.43) 𝑇̃𝑛2 ,𝑗 − 𝑇̃𝑛2−1,𝑗 = −𝐵𝑖(𝑇̃𝑛2,𝑗 − 𝑇̃𝑛2−1,𝑗 ) ∆2 (2.44) 𝐾𝑖,𝑗 Система уравнений (2.41)-(2.44) относительно 𝑇̃𝑖,𝑗 примет вид: 𝐴𝑖,𝑗 𝑇̃𝑖−1,𝑗 − 𝐶𝑖,𝑗 𝑇̃𝑖,𝑗 + 𝐵𝑖,𝑗 𝑇̃𝑖+1,𝑗 = 𝐹𝑖,𝑗 , 𝑖 ∈ ̅̅̅̅̅̅ 0, 𝑛2 (2.45) При условии (2.41) коэффициенты системы (2.45) будут следующие: 𝐴0,𝑗 = 1, 𝐵0,𝑗 = 0, 𝐶0,𝑗 = 1, 𝐹0,𝑗 = 0 (2.46)
𝐴𝑖,𝑗 = 𝐶𝑖,𝑗 𝜉𝑖−1,𝑗 2 𝜆𝑖,𝑗−1 (∆𝑘 )2 𝑟̃𝑖 , 𝐵𝑖,𝑗 = 𝜉𝑖+1,𝑗 (2.47) 2 𝜆𝑖,𝑗−1 (∆𝑘 )2 𝑟̃𝑖 𝜉𝑖+1,𝑗 + 𝜉𝑖−1 𝐾𝑖,𝑗 𝐾𝑖,𝑗 = + , 𝐹 = − 𝑇̃ 𝑖,𝑗 𝜆𝑖,𝑗−1 (∆𝑘 )2 𝑟̃𝑖 ∆𝐹0 ∆𝐹0 𝑖,𝑗−1 2 (2.48) 2 для i 1,.., n1 1, n1 1,..n2 1. При условии (2.43) для i n1 имеем: 𝐴𝑛1,𝑗 = − 𝐾1,𝑗 𝐾1,𝑗 1 1 , 𝐵𝑛1,𝑗 = , 𝐶𝑛1,𝑗 = − ( + ) , 𝐹𝑛1,𝑗 ∆1 ∆2 ∆1 ∆2 (2.49) =0 При условии (2.44) для 𝐴𝑛2,𝑗 = i n2 имеем: 1 1 𝑗 , 𝐵𝑛2,𝑗 = 0, 𝐶𝑛2,𝑗 = + 𝐵𝑖𝑗 , 𝐹𝑛2,𝑗 = −𝐵𝑖𝑗 𝑇̃𝑐𝑝 ∆2 ∆2 При решении задачи по методу прогонки при прямом ходе сначала вычисляются прогоночные коэффициенты: 𝑘0,𝑗 = 1, 𝜈0,𝑗 = 0 𝑘𝑖,𝑗 = 𝐵𝑖,𝑗 𝐶𝑖,𝑗 −𝐴𝑖,𝑗 𝑘𝑖−1,𝑗 , 𝜈𝑖,𝑗 = 𝐴𝑖,𝑗 𝜈𝑖−1,𝑗 −𝐹𝑖,𝑗 𝐶𝑖,𝑗 −𝐴𝑖,𝑗 𝑘𝑖−1,𝑗 , (2.51) для 𝑖 = (2.52) 1. . 𝑛2 − 1 𝑘𝑛2,𝑗 = 1 ∆2 𝑗 , 𝜈𝑛2,𝑗 = 𝐵𝑖𝑗 𝑇𝑐𝑝 1 + 𝐵𝑖𝑗 ∆2 1 + 𝐵𝑖𝑗 ∆2 (2.53) Затем при обратном ходе вычисляются значения 𝑇𝑖,𝑗 : (2.50)
𝑇𝑛2,𝑗 = 𝜈𝑛2,𝑗 + 𝑘𝑛2,𝑗 𝜈𝑛2−1,𝑗 , 𝑇𝑖,𝑗 = 𝑘𝑖,𝑗 𝑇𝑖+1,𝑗 + 𝜈𝑖,𝑗 , 𝑖 1 − 𝑘𝑛2,𝑗 𝑘𝑛2−1,𝑗 (2.54) = 𝑛2 − 1. .0 Рис. 6. Распределение температур в цилиндре при нагреве, коэффициент теплоотдачи 10, толщина цилиндра 0.5м. Рис. 7. Распределение температур в цилиндре при остывании, коэффициент теплоотдачи 100, толщина цилиндра 0.5м.
Рис. 8. Распределение температур в цилиндре при остывании, коэффициент теплоотдачи 100, толщина цилиндра 0.5м. Рис. 9. Распределение температур в сопряженной задаче, коэффициент теплоотдачи 100, общий радиус 20 см.
Глава 3. Упругопластическое деформирование цилиндра при неравномерном нагреве с учетом изменяющихся механических свойств материала. П. 3.1 Термоупругие напряжения в сплошном двухслойном цилиндре при нестационарном распределении температуры для материалов с разными механическими коэффициентами Дифференциальное уравнение равновесия при использовании гипотезы о плоской деформации в случае осевой симметрии имеет вид: rr rr 0 r r (3.1) В случае термоупругого равновесия в областях, где отсутствуют необратимые деформации, термоупругой деформации записываются компоненты с помощью соотношений Коши в цилиндрической системе координат:
rr ur u , r r r (3.2) Уравнение Дюамеля-Неймана: rr 2 rr T 2 T (3.3) zz T здесь rr u u 1 ru , r r r r (3 2 ) , – температурное расширение, , – постоянные Ламе, E – модуль упругости, – коэффициент расширения. На границах материалов выполняется rr r1 0, rr r1 0, , ur r1 0, ur r1 0, , rr r2 , 0. условие: (3.4) Поскольку в нашей задаче рассматривается двухслойный цилиндр, выполненный из различных материалов, перемещения, деформации и напряжения имеют вид: u g , g , g , 0 r r1, u, , m m m u , , , r1 r r2 . (3.5) Тогда уравнение Дюамеля-Неймана через перемещения примет вид:
rr 2 ur ur T (r ) r r (3.6) ur u r T (r ) r r (3.7) 2 Перепишем уравнение равновесия через перемещения, так как: rr 2u T 2 2r ur и r r r r r ur u u ur T (r ) 2 r r T (r ) rr r r r r r r (3.8) ur ur ur ur ur 2 ur T r 2 T (r ) r r r r r r r u u 2 r 2 2r . rr r 2 Тогда, подставляя найденное в дифференциальное уравнения равновесия, получим: (3.9) 2ur 2ur T 2 ur 2ur 2 2 2 ur 2 0 r r r r r r r r Группируем это выражение и делим на 2 : 2ur ur ur T r 2 rr r 2 2 r Поскольку: (3.10)
1 d (ru) 1 d (ru) 1 d d (ru) 1 2 2 u ru ' r r dr r dr r dr dr r 1 1 1 ru " u ' u ' u " u ' 2 u, r r r (3.11) тогда уравнение Ламе в цилиндрической системе координат примет вид: (3.12) d 1 d (rur ) T 3 2 T 1 dT dr r dr 2 r 2 r 1 dr следовательно, при плоском напряженном состоянии уравнение Ламе примет вид: d 1 d (rur ) dT (1 ) 1 1 dr r dr dr (3.13) Возьмем от каждого выражения интеграл: d 1 d (ru ) dT r dr r dr r dr r 1(1 1) dr dr 1 1 r r 1 d (rur ) 1 (1 1 )T A* r dr Где A 1 d (ru) 1 1 1 T r , A 2 A* . 1 r1 dr r 1 Умножаем на r и интегрируем еще раз, получим: (3.14) (3.15)
r r r d (ru ) * r dr r dr r 1(1 1)Trdr r A rdr 1 1 1 (3.16) r rur (1 1 )1Trdr Ar 2 B r1 (3.17) Общее решение этого уравнения будет: 1 1 B ur Trdr Ar 1 r r1 r (3.18) Ag , B g , 0 r r1, A, B m m A , B , r1 r r2 . (3.19) r Поскольку перемещения должны быть ограничены при r 0, пусть B = 0. После подстановки значений ur , получим rr , , zz : (3.20) rr E E u E u u T 1 1 2 r r 1 r 1 2 (3.21) E E u E u u T 1 1 2 r r 1 r 1 2 zz E E u u T 1 1 2 r r 1 2 (3.22) du 1 1 Trdr 1 T A B , Так как 1 1 1 dr r 2 r1 r2 r
1 d ru 1 1 1T 2 A : r dr а Имея значения в приложении (3.1), подставим в выражения: E rr 1 1 2 1 1 1 E E T 1 1 1 1 1 2 r 1 1 1 2 2 E E 1ETrdr 2 1 r r1 1 1 2 1 E E E rr 1 1 2 1 1 2 E B A 2 , 1 r (3.23) r 1 ETrdr T 2 1 r r1 r (3.24) E E B 1 E E B A ETrdr A . 1 1 2 1 r 2 1 r 2 r1 1 1 2 1 r 2 Учитывая приложения (3.1), получим: r 1 AE1 E B rr 2 1E1Trdr 1 2 r r1 1 1 1 1 r (3.25) Теперь найдем : E 1 1 1T 2 A 1 1 2 1 1 r B E ETrdr A T , 1 1 r2 1 r1 (3.26) r 2 1 2 (3.27) r 1 EA E1B 2 1E1Trdr E11T 1 r r1 1 1 1 1 r 2 Из соотношения (3.22) имеем:
(3.28) zz E E T 1 T 2 A 1 2 1 1 2 1 1 zz E11T 21E1 A 1 212 (3.29) При отсутствии закрепления с торцевых поверхностей цилиндра и вала принято использовать гипотезу о плоском деформированном состоянии использовать в обобщенном виде sh sh zcl C3cl (t ), z C3 (t ). (3.30) rsh,cl sh,cl 2sh,cl rsh,cl sh,cl (sh,cl zsh,cl ) 3K sh,cl %sh,cl , sh ,cl sh,cl 2sh,cl sh ,cl sh,cl ( sh ,cl r sh ,cl z ) 3K sh,cl %sh,cl , zsh,cl sh,cl rsh,cl sh,cl sh,cl 2sh,cl zsh,cl 3K sh,cl %sh,cl , Перемещения соотношениями связывающие в каждом слое определяются ur (3.18- 3.19), напряжения с а уравнения деформациями, (3.6-3.7), дополнятся слагаемыми, содержащими C3cl (t ) и C3sh (t ) соответственно. Для определения постоянных интегрирования условия (3.4) дополняются условием отсутствия нагрузки на торцах: r1 r2 r0 r1 g m z rdr z rdr, (3.32) Ниже приводятся результаты решения предложенной задачи, с учетом обобщенного плоского деформированного состояния, для вала при его неравномерном нагреве, для (3.31)
цилиндра при сопряженной его неравномерном системы вал-цилиндр охлаждении при и для распределениях температуры приведенных на графиках Главы 2. Рис. 10. Интенсивность напряжений для цилиндра радиусом 20 см при упругих деформациях.
Рис. 11. Напряжения по R для цилиндра радиусом 20 см при упругих деформациях. Рис. 12. напряжения по Z для цилиндра радиусом 20 см при упругих деформациях.
Рис. 13. Напряжения по 𝜑 для цилиндра радиусом 20 см при упругих деформациях. Рис. 14. Интенсивность упругих напряжений в вале радиусом 10см.
Рис. 15. Напряжения по R для вала радиусом 10 см при упругих деформациях. Рис. 16. Напряжения по Z для вала радиусом 10 см при упругих деформациях.
Рис. 17. Напряжения по 𝜑 для вала радиусом 10 см при упругих деформациях.
Рис. 18. Интенсивность упругих напряжений для вала и цилиндра радиусами по 10 см. Рис. 19. Напряжения по R для вала и цилиндра радиусами по 10 см при упругих деформациях.
Рис. 20. Напряжения по Z для вала и цилиндра радиусами по 10 см при упругих деформациях. Рис. 21. Напряжения по 𝜑 для вала и цилиндра радиусами по 10 см при упругих деформациях.
П. 3.2. Термоупругопластическое деформирование цилиндра при отсутствии упрочнения, условии текучести Мизеса и постоянном пределе текучести. Задача об определении пластических деформаций при условии текучести Мизеса. Рассматривается пластическая деформация цилиндра (сплошного, несжимаемого, предел текучести которого не зависит от температуры) С учетом осевой симметрии и обобщенного плоского деформируемого состояния: 𝜀𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. , 𝑈𝜑 = 0. , 𝑈𝑟 (𝑟) (3.33) Соотношения Коши: 𝜀𝑟 = 𝜕𝑈 𝑈 . , 𝜀𝜑 = . , 𝜀𝑧 𝜕𝑟 𝑟 (3.34) В упругой области закон Гука: 𝑒 𝜀𝑖𝑗 = Где 1 2𝜇 (𝜎𝑖𝑗 + ( − 1) 𝜎𝛿𝑖𝑗 ) 2𝜇 3𝑘 (3.35)
1 𝜎11 + 𝜎22 + 𝜎33 , 𝜎 = 𝜎𝑘𝑘 = 3 3 0, 𝑖 ≠ 𝑗 𝛿𝑖𝑗 = { 1, 𝑖 = 𝑗 𝜇= 𝐸 , 2(1 + 𝜈) 𝐾= 𝐸 1 , 𝜈 = 0,5, =0 3(1 − 2𝜈) 𝐾 𝑒 𝜀𝑖𝑗 = 𝜀𝑖𝑗 + 𝛼𝑇𝛿𝑖𝑗 , 𝜀 = 𝜀𝑒 + 𝜀𝑇, 𝑒 𝜀𝑖𝑗 = 𝜀𝑖𝑗 − 𝛼𝑇𝛿𝑖𝑗 𝜀𝑅𝑅 (1 − 2𝜈) = 𝜎𝑅𝑅 + 𝛼𝑇 3 3𝐸 (3.36) (3.37) (3.38) (3.39) Где 𝛼- коэффициент линейного температурного расширения. Если 𝜈 = 0.5, то 𝜀̇𝑅𝑅 = 3𝛼𝑇̇ => 3𝛼𝑇 Соотношения Коши: 𝜀𝑧 = 𝜕𝑈 𝑈 , 𝜀𝜑 = , 𝜀𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡(𝑡) 𝜕𝑧 𝑟 (3.40) т. к. 𝜀𝑅𝑅 = 3𝛼𝑇 𝜕𝑈 𝑈 + + 𝜀𝑧 = 3𝛼𝑇 𝜕𝑧 𝑟 𝑈 𝑈 ′ + = 3𝛼𝑇 − 𝜀𝑧 𝑟 (3.41) 𝑈 =𝑎∙𝑏 (3.43) 𝑎′ 𝑏 + 𝑏 ′ 𝑎 + 𝑏′ + { (3.42) 𝑎𝑏 = 3𝛼𝑇 − 𝜀𝑧 𝑟 𝑏 𝑑𝑏 𝑏 𝑑𝑏 𝑑𝑟 = 0 => = − => ∫ = −∫ , 𝑟 𝑑𝑟 𝑟 𝑏 𝑟 1 𝑎′ 𝑏 = 3𝛼𝑇 − 𝜀𝑧 , 𝑎′ ∙ = 3𝛼𝑇 − 𝜀𝑧 𝑟 𝑑𝑎 3𝛼𝑇𝑟 =( − 𝜀𝑧 𝑟) 𝑑𝑟 𝑟1 (3.44) 𝑏= 1 (3. 𝑟 (3.45) 45 ) (3.46) (3. 46 )
𝑟 3𝛼𝑇𝑟 𝜀𝑟 𝑟 2 𝑎 = ∫( − 𝜀𝑧 𝑟) 𝑑𝑟 = − + 3 ∫ 𝛼𝑇𝑟𝑑𝑟 + 𝐶0 𝑟1 2 𝑟0 (3.47) (3. 47 ) (3.48) 𝑢 =𝑎∙𝑏 𝑟 1 𝜀𝑧 𝑟 2 𝑢 = (− + 3 ∫ 𝛼𝑇𝑟𝑑𝑟 + 𝐶0 ) 𝑟 2 𝑟0 (3.49) 𝜀𝑧 3𝛼 𝑟 𝐶0 𝑢=− 𝑟+ ∫ 𝑇𝑟𝑑𝑟 + 2 𝑟 𝑟0 𝑟 (3.50) 𝜀̇𝑟 3𝛼 𝑟 𝐶0 𝜀̇𝑟 = − − 2 ∫ 𝑇̇ 𝑟𝑑𝑟 + 3𝛼𝑇 − 2 2 𝑟 𝑟0 𝑟 𝜀̇𝑧 3𝛼 𝑟 𝐶0 𝜀̇𝜑 = − + 2 ∫ 𝑇̇𝑟𝑑𝑟 + 2 2 𝑟 𝑟0 𝑟 { (3.51) В случае, если цилиндр сплошной (𝑟0 = 0), то 𝐶0 = 0. 𝜀̇𝑟 3𝛼 𝑟 𝜀̇𝑟 = − − 2 ∫ 𝑇̇𝑟𝑑𝑟 + 3𝛼𝑇̇ 2 𝑟 0 𝜀̇𝑧 3𝛼 𝑟 𝜀̇𝜑 = − + 2 ∫ 𝑇̇ 𝑟𝑑𝑟 2 𝑟 0 { 𝜎11 + 𝜎22 + 𝜎33 𝑆𝑖𝑗 = 𝜎𝑖𝑗 − 𝜎𝛿𝑖𝑗 , 𝜎 = 3 𝜀11 + 𝜀22 + 𝜀33 𝑒𝑖𝑗 = 𝜀𝑖𝑗 − 𝜀𝛿𝑖𝑗 , 𝜀 = 3 𝜀𝑧 + 𝜀𝜑 + 𝜀𝑧 2 1 𝑒𝑟 = 𝜀𝑟 − = 𝜀𝑧 − (𝜀𝜑 + 𝜀𝑧 ) 3 3 3 2 1 𝑒𝜑 = 𝜀𝜑 − (𝜀𝑟 + 𝜀𝑧 ) 3 3 2 1 𝑒𝑧 = 𝜀𝑧 − (𝜀𝑧 + 𝜀𝜑 ) { 3 3 𝜎11 + 𝜎22 + 𝜎33 𝑆𝑖𝑗 = 𝜎𝑖𝑗 − 𝜎𝛿𝑖𝑗 , 𝜎 = 3 𝜀11 + 𝜀22 + 𝜀33 𝑒𝑖𝑗 = 𝜀𝑖𝑗 − 𝜀𝛿𝑖𝑗 , 𝜀 = 3 (3.52) (3.53) (3.54) (3.55) (3.56) (3.57)
𝑒̇𝑧 = 𝜀̇𝑧 − 𝛼𝑇̇ 𝜀̇𝑧 3𝛼 𝑟 𝐶0 𝑒̇𝑟 = − − 2 ∫ 𝑇̇𝑟𝑑𝑟 + 𝛼𝑇̇ − 2 2 𝑟 𝑟1 𝑟 𝑟 𝜀̇𝑧 3𝛼 𝐶0 𝑒̇𝜑 = − + 2 ∫ 𝑇̇𝑟𝑑𝑟 − 𝛼𝑇̇ + 2 2 𝑟 𝑟1 𝑟 { (3.58) Для сплошного цилиндра: 𝜀̇𝑧 3𝛼 𝑟 𝑒̇𝑟 = − − 2 ∫ 𝑇̇𝑟𝑑𝑟 + 2𝛼𝑇̇ 2 𝑟 0 𝜀̇𝑧 3𝛼 𝑟 𝑒̇𝜑 = − + 2 ∫ 𝑇̇𝑟𝑑𝑟 − 𝛼𝑇̇ 2 𝑟 𝑟1 { 𝑒̇𝑧 = 𝜀̇𝑧 − 𝛼𝑇̇ (3.59) За искомые переменные примем: 𝑆𝑧 , 𝑆 = 𝜎𝑟 − 𝜎𝜑 = 𝑆𝑟 − 𝑆𝜑 𝜀𝑧 , 𝜀 = 𝜀𝑟 − 𝜀𝜑 (3.60) 3𝛼 𝑟 3𝛼 𝑟 2 𝜕𝑇̇ 2 ̇ ̇ 𝜀̇ = −2 ∙ 2 ∫ 𝑇𝑟𝑑𝑟 + 3𝛼𝑇 ∙ 𝑟 = 2 (∫ 𝑟 𝑑𝑟) 𝑟 0 𝑟 𝜕𝑟 0 (3.61) 3𝛼 𝑟 2 𝜕𝑇̇ 𝜀̇ = 2 (∫ 𝑟 𝑑𝑟) 𝑟 𝜕𝑟 0 (3.62) Определим 𝜀̇: ̇ : Определим 𝑆𝑖𝑗 𝑒̇𝑖𝑗 = 𝑆̇𝑖𝑗 + 𝜆𝑆𝑖𝑗 2𝜇 ̇ = 2𝜇𝑒̇𝑖𝑗 − 𝜆𝑆𝑖𝑗 𝑆𝑖𝑗 { 𝜆 ̇ = 2𝜇(𝑒̇𝑖𝑗 − 𝑆𝑖𝑗 𝑆 ) 2𝜇 𝑖𝑗 (3.63) (3.64)
𝜆 𝑆 ) 2𝜇 𝑟 𝜆 ̇ = 2𝜇(𝑒̇𝜑 − 𝑆𝜑 𝑆 ) 2𝜇 𝜑 𝜆 𝑆𝑧̇ = 2𝜇(𝑒̇𝑧 − 𝑆) { 2𝜇 𝑧 𝑆𝑟̇ = 2𝜇(𝑒̇𝑟 − (3.65) Зная значения 𝑆̇, получим: 𝜆 (𝜎 − 𝜎)) 2𝜇 𝑟 − 𝜆 𝜎̇𝜑 − 𝜎̇ = 2𝜇(𝜀̇𝜑 − 𝜀̇0 − (𝜎 − 𝜎)) { 2𝜇 𝜑 (3.66) 𝑆̇ = 2𝜇(𝜀̇ − (1 − 𝑔)𝜆𝑆 (3.67) 𝜎̇𝑟 − 𝜎̇ = 2𝜇(𝜀̇𝑧 − 𝜀̇0 − 𝑆̇𝑧 = 2𝜇(𝜀̇𝑧 − 𝜀̇0 − 𝜆 𝑆) 2𝜇 𝑧 (3.68) 𝜀̇𝑧 + 𝜀̇𝑟 + 𝜀̇𝜑 3 𝑆𝑧̇ = 2𝜇(𝜀̇𝑧 − 𝛼𝑇̇ − (1 − 𝑔)𝜆𝑆𝑧 ) (3.69) 𝜀̇0 = (3.70) Если исходить из условия текучести Мизеса, то результаты в явном виде не получаются, но зато удается вывести более простые выражения для зависимостей скоростей напряжений от 𝑇,̇ 𝜀̇𝑧 и от самих напряжений, которыми весьма удобно пользоваться при расчетах в числовой форме. За исключением различия в условиях текучести, общая задача остается такой же. В частности, по-прежнему считаем, что коэффициент Пуассона 𝜈 = 1⁄2 и все механические свойства, включая условие текучести, не зависят от температуры. Ограничимся случаем сплошного цилиндра, для чего в выражениях положим 𝑎 = 0, 𝐶0 = 0 , так, что:
1 3𝛼 𝑟 𝜀̇𝑟 = − 𝜀̇𝑧 − 2 ∫ 𝑇̇ 𝑟𝑑𝑟 + 3𝛼𝑇̇ 2 𝑟 0 (3.71) 1 3𝛼 𝑟 𝜀̇𝜃 = − 𝜀̇𝑧 + 2 ∫ 𝑇̇ 𝑟𝑑𝑟 2 𝑟 0 В качестве искомых переменных удобно принять компоненту девиатора осевого напряжения 𝑠𝑧 и разность напряжений: 𝑠 = 𝜎𝑟 − 𝜎𝜃 = 𝑠𝑟 − 𝑠𝜃 (3.72) И соответствующие деформации 𝜀𝑧 и 𝜀 = 𝜀𝑙 − 𝜀𝜃 (3.73) Из предыдущих формул следует, что: 𝜀̇ = 3 [𝛼𝑇̇ − 2𝛼 𝑟 3𝛼 𝑟 2 𝜕𝑇 ̇ ∫ 𝑇 𝑟𝑑𝑟] = 2 ∫ 𝑟 𝑑𝑟 𝑟2 0 𝑟 0 𝜕𝑟 (3.74) Так что 𝜀̇ определяется исключительно температурным полем. Воспользовавшись зависимостями между напряжениями и деформациями, приведенными ранее, получим следующие два уравнения для скоростей напряжения: 𝑠̇ = 2𝜇[𝜀̇ − (1 − 𝑔)𝜆𝑠] 𝑠̇𝑧 = 2𝜇[𝜀̇𝑧 − 𝛼𝑇̇ − (1 − 𝑔)𝜆𝑠𝑧 ] (3.75) Где функция 𝑔(𝑟, 𝑡)определяется совершенно так же, как 𝑔(𝑥, 𝑡). Принимая во внимание, что непосредственно находим: 𝑠𝑟 + 𝑠𝜃 + 𝑠𝑧 = 0 ,
1 1 𝑠𝑖𝑗 𝑠𝑖𝑗 = (𝑠 2 + 3𝑠𝑧2 ), 2 4 1 𝑠𝑖𝑗 𝑠̇ 𝑖𝑗 = (𝑠𝑠̇ + 3𝑠𝑧 𝑠̇𝑧 ), 2 (3.76) 𝐸 𝑠𝑖𝑗 𝑠̇𝑖𝑗 = 𝜇[𝑠𝜀̇ + 3𝑠𝑧 (𝜀̇𝑧 − 𝛼𝑇̇)] Причем последнее соотношение получено непосредственно из предыдущего путем замены 𝑠̇ и 𝑠̇𝑧 их выражениями при 𝜆 = 0. При известных 𝑠 и 𝑠𝑧 компоненты напряжения 𝜎𝑟 , 𝜎𝜃 , 𝜎𝑧 можно вычислить следующим образом. Из уравнения равновесия и условия, что цилиндрическая поверхность r=b свободна от нагрузок, получаем: 𝑏 𝑠 𝑑𝑟 𝑟 (3.77) 𝜎0 = 𝜎𝑟 − 𝑠 (3.78) 1 𝜎𝑧 = 𝑠𝑧 + (𝜎𝑟 + 𝜎𝜃 + 𝜎𝑧 ) 3 (3.79) 1 𝜎𝑧 = (2𝜎𝑟 − 𝑠 + 3𝑠𝑧 ) 2 (3.80) 𝜎𝑟 = ∫ 𝑟0 Тогда И Или Чтобы удовлетворить условию, согласно которому равнодействующая сил в любом поперечном сечении цилиндра должна быть нулем, используем выражения:
𝑏 𝑏 1 𝑏 𝑠𝑑𝜚 ∫ 𝑟𝜎𝑧 𝑑𝑟 = ∫ [2 ∫ − 𝑠 + 3𝑠𝑧 ]𝑟𝑑𝑟 2 0 𝜚 0 𝑟 (3.81) И так как 𝑏 𝑏 𝑠𝑑𝜚 1 𝑏 ∫ [∫ ]𝑟𝑑𝑟 = ∫ 𝑠𝑟𝑑𝑟, 𝜚 2 0 0 𝜚 (3.82) То условие может быть записано в виде: 𝑏 ∫ 𝑟𝑠𝑧 𝑑𝑟 = 0 (3.83) 0 Или 𝑏 ∫ 𝑟𝑠̇𝑧 𝑑𝑟 = 0 (3.84) 0 Подставляя в (3.84) значение (3.75) для 𝜀𝑧 и выражая 𝜆 по формуле, относящейся к случаю, когда условие текучести не зависит от температуры, что дает: 𝑠𝑖𝑗 𝑒̇𝑖𝑗𝑃 1 1 𝐸 𝜆= = 𝑠 𝑠̇ = [𝑠𝜀̇ + 3𝑠𝑧 (𝜀̇𝑧 − 𝛼𝑇̇)] 𝑖𝑗 𝑖𝑗 2𝑘 2 4𝜇𝑘 2 4𝑘 2 (3.85) Получаем в результате следующее выражение для 𝜀̇𝑧 : 𝑏 𝑠 ∫0 (2𝛼𝑇̇ + (1 − 𝑔) 𝑧2 [𝑠𝜀̇ − 3𝛼𝑠𝑧 𝑇̇])𝑟𝑑𝑟 2𝑘 𝜀̇𝑧 = 𝑏 3 𝑏 2 − 2 ∫0 (1 − 𝑔)𝑠𝑧2 𝑟𝑑𝑟 2𝑘 (3.86) Таким образом, получены все уравнения, необходимые для определения скоростей напряжений 𝑠̇ и 𝑠̇𝑧 в любой момент
времени в зависимости от значений 𝑠, 𝑠𝑧 и 𝑇̇ в этот же момент. Скорости 𝑠̇ и 𝑠̇𝑧 можно найти по формулам (3.75), определяя 𝜀̇, согласно (3.74), а 𝜀̇𝑧 -(3.86). Величина 𝜆 находится из выражения (3.85), а условия для определения 𝑔(𝑟, 𝑡) можно выразить через рассматриваемые функции в следующем виде: 1 2 (𝑠 + 3𝑠𝑧2 ) 4 1 < 𝑘 2 или если (𝑠 2 + 3𝑠𝑧2 ) = 𝑘 2 4 и 𝑠𝜀̇ + 3𝑠𝑧 (𝜀̇𝑧 − 𝛼𝑇̇) ≤ 0; 𝑔(𝑟, 𝑡) = 1, если 𝑔(𝑟, 𝑡) = 0, (3.87) 1 2 (𝑠 + 3𝑠𝑧2 ) 4 если = 𝑘 2 и 𝑠𝜀̇ + 3𝑠𝑧 (𝜀̇𝑧 − 𝛼𝑇̇) ≥ 0 Значения 𝑠 и 𝑠𝑧 находятся путем интегрирования функций 𝑠̇ и 𝑠̇𝑧 по времени, что легко может быть выполнено с помощью цифровой вычислительной машины. Аппроксимация уравнений: 𝑟 𝜕𝑇̇ ∫ 𝑟2 𝑑𝑟 = 𝜕𝑟 0 𝑟 𝑟 ∫ 𝑈𝑑𝑣 = 0 𝑈𝑉|𝑟0 − ∫ 𝑉𝑑𝑢 0 = 𝑈 = 𝑟 => 𝑑𝑢 = 2𝑟𝑑𝑟 𝜕𝑇̇ 𝑑𝑣 = => 𝑑𝑣 = 𝑑𝑇̇ => 𝑉 = 𝑇̇] [ 𝜕𝑟 𝑟 ̇ 𝑟 𝑟 2 2 ̇ (𝑟) ̇ ̇ = 𝑟 ∗ 𝑇|0 − 2 ∫ 𝑟𝑇𝑑𝑟 = 𝑟 𝑇 − 2 ∫ 𝑟𝑇𝑑𝑟 ≈ 2 0 0 (3.88)
𝑖 ∆𝑇[𝑖, 𝑛] ∆𝑇[𝑘, 𝑛] 𝑟𝑖2 ∙ − ∑ ∆𝑟 (𝑘∆𝑟 ∙ + (𝑘 + 1)∆𝑟 ∆𝑡 ∆𝑡 𝑘=0 ∙ ∆𝑇[𝑘 + 1, 𝑛] ) ∆𝑡 Уравнение 2. 𝜀[𝑖, 𝑛 + 1] − 𝜀[𝑖, 𝑛] = 𝜀̇[𝑖, 𝑛] ∆𝑡 3𝛼 ∆𝜀[𝑖, 𝑛] = [(𝑟∆𝑟)2 ∙ ∆𝑇[𝑖, 𝑛] 𝑖∆𝑟 𝜀̇ = (3.89) (3.90) 𝑖 − ∑(∆𝑟)2 (𝑘∆𝑇[𝑘, 𝑛] 𝑘=0 + (𝑘 + 1)∆𝑇[𝑘 + 1, 𝑛]) Если ∆𝑟- постоянный шаг, то ∆𝜀[𝑖, 𝑛] = 3𝛼∆𝑇[𝑖, 𝑛] (3.91) 𝑖 1 − 2 ∑(𝑘∆𝑇[𝑘, 𝑛] + (𝑘 + 1)∆𝑇[𝑘 + 1, 𝑛]) 𝑖 𝑘=0 Уравнение 3. 𝑡 𝑆̇ = 2𝜇(𝜀̇ − (1 − 𝑔)𝜆𝑆), 𝑆 = ∫ 𝑆̇𝑑𝑡 (3.92) 0 𝑆̇[𝑖, 𝑛] = 𝑛 𝑆[𝑖, 𝑛] = ∑ 𝑙=0 𝑆[𝑖, 𝑛 + 1] − 𝑆[𝑖, 𝑛] ∆𝑡 𝑆[𝑖, 𝑙 + 1] − 𝑆[𝑖, 𝑙] ∙ ∆𝑡 ∆𝑡 (3.93) (3.94) 1. ∆𝑆[𝑖, 𝑛] = 2𝜇(∆𝜀[𝑖, 𝑛] − (1 − 𝑔[𝑖, 𝑛] ∙ 𝜆[𝑖, 𝑛] ∙ ∑𝑛𝑙=0 ∆𝑆[𝑖, 𝑙]∆𝑡 (3.95)
𝑆𝑧̇ = 2𝜇[𝜀̇𝑧 − 𝛼𝑇̇ − (1 − 𝑔)𝜆𝑆𝑧 Числитель уравнения 4. Проведем необходимые вычисления: 𝑟1 ∫ (2𝛼𝑇̇ + (1 − 𝑔) 0 𝛼𝑇̇ = 𝛼𝑇̇[𝑖, 𝑛] = 𝛼 𝑆𝑧 [𝑆𝜀̇ − 3𝛼𝑆𝑧 ∙ 𝑇̇]𝑟𝑑𝑟) 2𝑅2 𝑇[𝑖, 𝑛 + 1] − 𝑇[𝑖, 𝑛] 𝛼∆𝑇[𝑖, 𝑛] ~ ∆𝑡 ∆𝑡 𝑛 𝑆𝑧 = ∑ 𝑙=0 ∆𝑆𝑧 [𝑖, 𝑙] ∙ ∆𝑡 ∆𝑡 В таком случае, числитель имеет вид: Υ𝑟 ∑𝑛𝑙=0 ∆𝑆𝑧 [𝑘, 𝑙] 1 ∙ ∑[(2𝛼∆𝑇[𝑘, 𝑛] + (1 − 𝑔[𝑘, 𝑛])) ∙ ∙ 2 2𝜎𝑡2 𝑘=0 𝑛 𝑛 ∙ [∑ 𝑆[𝑘, 𝑙] ∙ ∆𝜀[𝑘, 𝑛] − 3𝛼(∑ ∆𝑆𝑧 [𝑘, 𝑙]) ∙ ∆𝑇[𝑘, 𝑛]])) ∙ 𝑙=0 𝑙=0 ∙ 𝑟𝑘 + (2𝛼∆𝑇[𝑘 + 1, 𝑛] + (1 ∑𝑛𝑙=0 ∆𝑆𝑧 [𝑘 + 1, 𝑙] − 𝑔[𝑘 + 1, 𝑛]) ∙ 2𝜎𝑇2 𝑛 ∙ [(∑ 𝑆[𝑘 + 1, 𝑙] ∙ ∆𝜀[𝑘 + 1, 𝑛] 𝑙=0 𝑛 − 3𝛼(∑ ∆𝑆𝑧 [𝑘 + 1, 𝑙]) ∙ ∆𝑇[𝑘 + 1, 𝑛]] 𝑙=0 ∙ 𝑟𝑘+1 ] = (∗) Знаменатель уравнения 4. (3.96)
𝑟12 𝑟1 3 − 2 ∫ (1 − 𝑔)𝑆𝑟2 𝑟𝑑𝑟 2𝜎𝑇 0 = (Υ∆𝑟)2 Υ 3 − 2 ∑((1 − 𝑔[𝑘, 𝑛] 2𝜎𝑇 (3.97) 𝑘=0 𝑛 ∙ ∆𝑡(∑ ∆𝑆𝑟 [𝑖, 𝑙])2 ∙ 𝑘 ∙ ∆𝑟 + 𝑙=0 +(1 − 𝑔)[𝑘 + 1, 𝑛]) n 1 ∙ ∆𝑡(∑ ∆𝑆𝑟 [𝑘 + 1, 𝑛])2 (𝑘 + 1)∆𝑟) ∙ ∆𝑟 2 𝑘=0 Итак, знаменатель будет иметь вид: Υ 3 (Υ𝑟2 − 2 ∑[(1 4𝜎𝑇 𝑘=0 𝑛 − 𝑔[𝑘, 𝑛](∑ ∆𝑆𝑧 [𝑘, 𝑙])2 ∙ 𝑘 + (𝑘 + 1)(1 𝑙=0 𝑛 − 𝑔[𝑘 + 1, 𝑛]))(∑ ∆𝑆𝑟 [𝑘 + 1, 𝑛])2 ) = (∗∗) 𝑙=0 (3.98)
Рис. 22. Интенсивность напряжений для вала при пластических деформациях.
Рис. 23. Напряжения по R для вала при пластических деформациях. Рис. 24. Напряжения по 𝜑 для вала при пластических деформациях.
Рис. 25. Напряжения по Z для вала при пластических деформациях.
Рис. 26. Интенсивность пластических деформаций для вала радиусом 20 см. Пункт 3.3. Термоупругопластическое деформирование цилиндра с условием текучести Мизеса, с учетом зависимости температуры от предела текучести. Рассмотрим цилиндр, состоящий из двух слоев, первый слой из упругого, а второй из упруго-пластичного материала. Перемещения и деформации, возникающие в цилиндре, малы. Температура в теле распределяется равномерно. Решение данной задачи производится в цилиндрической системе координат. Уравнение равновесия принимает вид: 𝜕𝜎𝑟𝑟 𝜎𝑟𝑟 − 𝜎𝜑𝜑 + = 0; ∂𝑟 𝑟 (3.99) Зависимость между деформациями и напряжениями задается обобщенным законом Гука: 𝜎𝑖𝑗 = ∑𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 ∙ 𝜀𝑘𝑙 , (3.100) где С𝑖𝑗𝑘𝑙 – тензор коэффициентов упругости. Деформация может быть представлена в виде суммы упругой и пластической частей и температурного расширения: 𝑒 𝑃 𝑇 𝜀𝑘𝑙 = 𝜀𝑘𝑙 + 𝜀𝑘𝑙 + 𝜀𝑘𝑙 ; 𝑘, 𝑙 = 𝑟, 𝜑, 𝑧; Температурная деформация теплового расширения: 𝑇 𝜀𝑘𝑙 = 𝛼∆𝑇; (3.101) подчиняется закону
Из уравнений (3.100) и (3.101) получаем: 𝑃 𝜎𝑟𝑟 = (𝜆 + 2𝜇)𝜀𝑟𝑟 + 𝜆𝜀𝜑𝜑 + 𝜆𝜀𝑧𝑧 − 2𝜇𝜀𝑟𝑟 − 3𝐾𝛼∆𝑇; 𝑃 𝜎𝜑𝜑 = 𝜆𝜀𝑟𝑟 + (𝜆 + 2𝜇)𝜀𝜑𝜑 + 𝜆𝜀𝑧𝑧 − 2𝜇𝜀𝜑𝜑 − 3𝐾𝛼∆𝑇; (3.102) 𝑃 𝜎𝑧𝑧 = 𝜆𝜀𝑟𝑟 + 𝜆𝜀𝜑𝜑 + (𝜆 + 2𝜇)𝜀𝑧𝑧 − 2𝜇𝜀𝑧𝑧 − 3𝐾𝛼∆𝑇. 𝜈𝐸 где, 𝜆 = (1+𝜈)(1−2𝜈) и 𝜇 = 𝐸 2(1+𝜈) – упругие постоянные 2 Ламе, 𝐾 = 𝜆 + 𝜇 – модуль всестороннего сжатия и 𝛼 – 3 температурный коэффициент линейного расширения. Выражая в этих формулах деформации через перемещения: 𝜀𝑟𝑟 = 𝜕𝑢 𝑢 , 𝜀𝜑𝜑 = и 𝜀𝑧𝑧 = 0, 𝜕𝑟 𝑟 и затем подставляя полученные значения для 𝜎𝑟 и 𝜎𝜑 в уравнение равновесия (3.101) получим следующее дифференциальное уравнение для перемещений u: 𝜕 2 𝑢 1 𝜕𝑢 𝑢 + − = 0. 𝜕𝑟 2 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 2 (3.103) Будим считать, что в начальный момент времени напряжения и перемещения равны нулю: 𝑢(𝑟, 0) = 0; 𝜎𝑖𝑗 (𝑟, 0) = 0; 𝑖, 𝑗 = 𝑟, 𝜑, 𝑧. Так же примем, что напряжения по 𝑟 на внешней границе отсутствуют, а в центральной точке цилиндра перемещения равны 0: 𝜎𝑟 (𝑅, 𝑡) = 0; 𝑢(0, 𝑡) = 0. (3.104)
На границе двух слоев, напряжения по 𝑟 первого слоя, равны напряжениям второго слоя: 𝜎𝑟𝐼 = 𝜎𝑟𝐼𝐼 ; (3.105) где 𝜎𝑟𝐼 – напряжения по 𝑟 первого слоя, 𝜎𝑟𝐼𝐼 – напряжения по 𝑟 второго слоя. Пластические деформации вычисляются: 𝑃 𝜀𝑟𝑟 = 𝑆𝑟𝑟 2∙𝜇 𝑃 𝜀𝜑𝜑 = 𝑆𝜑𝜑 2∙𝜇 𝑃 𝜀𝑧𝑧 = 𝑆𝑧𝑧 2∙𝜇 (3.106) Девиаторы напряжений равны: 2 1 ∙ 𝜎𝑟𝑟 − ∙ (𝜎𝜑𝜑 + 𝜎𝑧𝑧 ) 3 3 2 1 𝑆𝜑𝜑 = ∙ 𝜎𝜑𝜑 − ∙ (𝜎𝑟𝑟 + 𝜎𝑧𝑧 ) 3 3 2 1 𝑆𝑧𝑧 = ∙ 𝜎𝑧𝑧 − ∙ (𝜎𝑟𝑟 + 𝜎𝜑𝜑 ) 3 3 𝑆𝑟𝑟 = (3.107) Интенсивность напряжений: 2 2 𝑃 − 𝜀 𝑃 ) + (𝜀 𝑃 − 𝜀 𝑃 ) + (𝜀 𝑃 − 𝜀 𝑃 )2 (𝜀𝑟𝑟 𝜑𝜑 𝜑𝜑 𝑧𝑧 𝑟𝑟 𝑧𝑧 𝜀𝑖𝑃 = √2 ∙ 9 𝑃 𝜀𝑟𝑟 3 ∙ 𝜀𝑖𝑃 = ∙𝑆 2 ∙ 𝜎 𝑇 𝑟𝑟 𝑃 𝜀𝜑𝜑 3 ∙ 𝜀𝑖𝑃 = ∙𝑆 2 ∙ 𝜎 𝑇 𝜑𝜑 (3.108)
𝑃 𝜀𝑧𝑧 3 ∙ 𝜀𝑖𝑃 = ∙𝑆 2 ∙ 𝜎 𝑇 𝑧𝑧 Рис. 27. Интенсивность напряжений для сопряженной задачи при пластических деформациях.
Рис. 28. Напряжения по R для сопряженной задачи при пластических деформациях. Рис. 29. Напряжения по 𝜑 для сопряженной задачи при пластических деформациях.
Рис. 30. Напряжения по Z для сопряженной задачи при пластических деформациях.
Заключение Разработан численно-аналитический технологических напряжений в метод сопряженной расчета системе цилиндров – вала и муфты для технологии горячей посадки. Дискретизация по временной шкале позволяет на каждом временном шаге определять возможность появления области пластического деформирования, ее границы и рассчитать напряженно-деформируемое Невозможность состояние получения во всей аналитического сборке. решения обусловлена выбором поверхности нагружения в виде условия пластического течения Мизеса. Возможность пластического течения рассматривается не только в материале, из которого изготовлен внешний цилиндр (муфта), но и в вале. Приведены результаты тестовых расчетов технологических напряжений при посадке муфты на вал из разных по свойствам металлов. Решение данной задачи предлагаемый в работе определения эволюции позволяет алгоритм предположить, можно термических развить напряжений что для в многослойных трубах. При продолжении исследования по данной теме в выбранном направлении актуальна разработка метода расчета технологических напряжений в сопряженной системе полых цилиндров для технологии горячей посадки.
Список литературы 1. Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. // Изд. «МИР» 1964., Москва 2. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Математические модели термомеханики. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 168с. 3. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука. 1966. 232с. 4. Ильюшин А.А. Пластичность. М.: Изд-во АН СССР. 1963. 272с. 5. Карнаухов В.Г. Связанные задачи термоупругости. – К.: Наука, думка, 1982. – 260с. 6. Коваленко А.Д. Термоупругость. – Киев: Изд-во АН УССР, 1975. – 216с. 7. Космодамианский А.С., Калоеров С.А. Температурные напряжения в многосвязных пластинах. – Донецк: Виша шк., 1983. – 160с. 8. Лыков А.В. Теория теплопроводности. – М.: Высшая школа, 1967. – 599с. 9. Седов Л.И. Механика сплошных сред. – В 2 т. М.: Наука, 1973. – 536с. Т.1. 10. Ткачева, А.В. Температурные напряжения в толстостенной трубе / А.В. Ткачева // Фундаментальная механика в качестве основы совершенствования промышленных технологий, технических устройств и конструкций. -2015. 11.Ткачева, А.В. Численное исследование температурных напряжений, вызванных процессом горячей посадки
цилиндрических деталей/ А.В. Ткачева, Е.П. Дац // Сборник докладов международной конференции «Успехи механики сплошных сред», приуроченной к 75летию академика В.А. Левина, Иркутск. -2014. –С.481. 12. Ткачева, А.В. Эволюция температурных напряжений в условиях сборки упругопластических деталей способом горячей посадки. – Комсомольск-на-Амуре, 2016. 13. Локошенко. А.М. Ползучесть и длительная прочность металлов / А.М.Локошенко. – М.: Физматлит, 2015. 14. Ишлинский, А.Ю. Математическая теория пластичности / А.Ю. Ишлинский, Д.Д. Ивлев. – М.: Физматлит, 2001. 15. Шевченко, Ю.Н. Физические уравнения термовязкопластичности / Ю.Н. Шевченко, Н.Н. Терехов. – Киев: Нукова думка, 1982.
Приложение А Температурная задача для цилиндра в ПМП MAPLE: > >
> > >
Приложение Б Температурная задача для вала в ПМП MAPLE: > >
Приложение В Термоупругопластическая задача в ПМП MAPLE: > >
>
> > > >
Отзывы:
Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв