Кафедра
«Теоретическая механика»
Определение эффективных механических
характеристик материалов со случайной
упаковкой частиц
Студент гр. 43604/1 С.А.Воробьев
Научный руководитель: В.А.Кузькин
1
Введение
•
•
Одна из основных проблем в использовании метода частиц для
моделирования макроскопических процессов состоит в том, что
регулярные упаковки частиц существенно анизотропны. Для
достижения изотропии используются аморфные, нерегулярные
упаковки частиц [1].
Материалами с аморфной структурой являются: стекло, смола, битум.
Кристаллическая
Аморфная
1. Кривцов А. М. Деформирование и разрушение твердых тел с микро-
структурой.
2
Модель и задачи
Модель:
• Упаковка случайно размещенных частиц
• Взаимодействие между частицами посредством линейных
пружин
Задачи:
• Создание модели
• Вычисление модуля Юнга, коэффициента Пуассона
• Вычисление деформации разрушения
3
Постановка задачи
Граничные условия:
10 3
10 3
10 3
На образец материала накладывается мгновенная деформация
в направлении одной из осей x или y.
4
Формулы для расчета упругих
модулей
1
0 ( x y ) x
E
y
Закон Гука
x 0
x
1
y ( y x ) E y
E
y
1
x ( x y )
E
1
y ( y x )
E
y 0
0
1
( y x ) y
E
x
y
1
x ( x y ) E x
E
x
5
Вычисление напряжений
1
y Fi
L i
1
x Fi
L i
10 3
Пример рассматриваемого сечения в
упаковке для вычисления нормальных
напряжений по y.
10 3
Пример рассматриваемого сечения в
упаковке для вычисления нормальных
напряжений по x.
6
Создание упаковки
•
•
•
•
Создание модели аморфного
материала происходит
«набрасыванием» частиц
Для генерации частиц
упаковка разделена на 9
ячеек
Место для появления новой
частицы выбирается
проверкой по расстоянию до
соседних частиц в ячейке и
до частиц в соседних ячейках
7
Число попыток равно 2 *10
Проверка
x2 y2 r 2
Упаковка из ~10000 случайно набросанных частиц.
Для отображения используется программа Ovito .
7
Алгоритм расчета модуля Юнга и
коэффициента Пуассона
• Создается модель со случайной упаковкой
частиц
• На образец материала накладывается
мгновенная деформация в направлении
одной из осей x или y
• Производится расчет напряжений
• Решается система:
1
x ( x y )
E
1
y ( y x )
E
E
8
Вычисление модуля Юнга при
растяжении и сжатии
Обезразмеривание модуля Юнга:
F
E F a
E
*
L
c ac L
Графики сходимости модуля Юнга при растяжении
(слева) и сжатии (справа) упаковки вдоль оси y.
9
Вычисление модуля Юнга при
растяжении и сжатии
Графики сходимости модуля Юнга при растяжении
(слева) и сжатии (справа) упаковки вдоль оси x.
10
Вычисление коэффициента Пуассона
при растяжении и сжатии
x
y
Графики сходимости коэффициента Пуассона при
растяжении (слева) и сжатии (справа) упаковки вдоль
оси y.
11
Вычисление коэффициента Пуассона
при растяжении и сжатии
y
x
Графики сходимости коэффициента Пуассона при
растяжении (слева) и сжатии (справа) упаковки вдоль
оси x.
Модуль Юнга и коэффициент Пуассона при
растяжении и сжатии вдоль обеих осей одинаковы,
значит материал изотропен
12
Сходимость модуля Юнга с увеличением числа
экспериментов с разным числом частиц.
Число экспериментов для каждого из размеров упаковки равно 10:
График сходимости модуля Юнга с увеличением числа
экспериментов.
13
Поведение упаковки при сжатии
вдоль вертикальной оси
разрушение
0.03
0
Normal stress y
14
Сходимость критической
деформации от числа частиц
• На образец материала
накладывается мгновенная
деформация направленная
по оси y равная -1e-5
• Нагружение происходит
до разрушения материала
График сходимости деформации разрушения при
сжатии упаковки вдоль оси у.
15
Выводы
•
•
•
•
•
•
•
•
Исследованы зависимости механических характеристик материала со случайной
упаковкой частиц от числа частиц.
Показано, что с увеличением числа частиц в упаковке сходятся такие
характеристики материала, как модуль Юнга, коэффициент Пуассона,
деформация разрушения.
Продемонстрировано, что модуль Юнга данной упаковки, подверженной
растяжению или сжатию, отличается на 0,4% по оси y и на 0,5% по оси x. Значения
модуля Юнга для размеров упаковки 1000 и 100000 отличаются на 60%.
Коэффициент Пуассона, полученный для растяжения или сжатия упаковки вдоль
оси y, различается на 0,5%, вдоль оси x на 0,3%. Значения коэффициента
Пуассона для размеров упаковки 1000 и 10000 отличаются на 10%.
При числе частиц в упаковке, равном 50*1000, можно считать, что были
достигнуты предельные значения модуля Юнга и коэффициента Пуассона.
Дисперсия полученных значений для модуля Юнга при количестве экспериментов,
равном 10, уменьшается при увеличении числа частиц в упаковке.
Упругие свойства модели изотропны и одинаковы для растяжения и сжатия.
Таким образом, удалось продемонстрировать cходимость механических
характеристик созданной модели.
16
Отзывы:
Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв