Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Физический факультет
205 группа
Кагиров Ринат Рустамович
Курсовая работа
Вселенная с несколькими отскоками
Руководитель научной работы
КАНДИДАТ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК СЕРГЕЙ
АНДРЕЕВИЧ МИРОНОВ
12 мая 2021г.
Москва, 2021 г.
1
Введение
Последние исследования показали, что теории Хорндески и их расширения,
предлагают замечательные точки зрения для решения различных космологических проблем, таких как эволюция с отскоком или Гинезисом. Была
показана в работах [1, 3, 4] возможность существования устойчивой эволюции с одним отскоком. В данной работе рассматривается возможность
существования устойчивого решения с несколькими отскоками в рамках
расширенных теорий Хорндески.
2
Основы
Из классического действия Эйнштейна-Гильберта и принципа наименьшего действия были получены уравнения поля в случае отсутствия материи
(Tµν = 0) и Λ = 0:
Z
√
(1)
S = R −g d4 x
1
Gµν = Rµν − Rgµν = 0
2
(2)
Далее было получено квадратичное действие S 2 путем замены:
gµν = ηµν + hµν
(3)
где ηµν и hµν плоский метрический тензор и его малые возмущения, соответственно.
1
1
(2)
2
2
2
SEH = − (∂σ hµν ) + (∂µ h) + (∂ ν hµν ) + η µν hµν ∂ µ ∂ ν hµν
2
2
(4)
Из уравнений поля (2) путем той же замены (3) были получены EOM 1 :
−∂λ ∂ λ hµν + ∂ λ ∂µ hλν + ∂ λ ∂ν hλµ − ∂µ ∂ν hλλ = 0
(5)
Далее пользуясь ADM формализмом [5] было получено крайне важное в
дальнейшем уравнение распространения гравитационных волн:
h(T T ) = 0
(6)
Где индексы ТТ означают бесследовость и поперечность.
2.1
Теории Хорндески
В данном разделе обсуждаются теории Хорндески. В теориях Хорндески
упомянутое действие Эйнштейна-Гильберта модернизируется следующим
образом (сигнатура: - + + +):
Z
√
S = d4 x −g (L2 + L3 + L4 + L5 + LBH )
(7)
где
L2 = F (π, X),
(8)
L3 = K(π, X)π
L4 = −G4 (π, X)R + 2G4X (π, X) (π)2 − π;µν π ;µν
(9)
(10)
1
ν
L5 = G5 (π, X)Gµν π;µν + G5X (π)3 − 3ππ;µν π ;µν + 2π;µν π ;µρ π;ρ
(11)
3
0 0 0
LBH = F4 (π, X)µνρ σ µ ν
+ F5 (π, X)
ρσ
π,µ π,µ0 π;νν 0 π;ρρ0 +
µνρσ µ ν ρ σ 0
0 0 0
(12)
π,µ π,µ0 π;νν 0 π;ρρ0 π;σσ0
Здесь π − скалярное (галилеонное) поле, X = g µν π,µ π,ν ,
π,µ = ∂µ π, π;µν = ∇ν ∇µ π, π = g µν ∇ν ∇µ π, G4X = ∂G4 /∂X и т. д.;
Теория Хорндески является наиболее общей скалярно-тензорной теорией модифицированной гравитации, характеризующейся наличием вторых
производных в лагранжиане, которые тем не менее не приводят к появлению производных третьего и более высоких порядков в уравнениях поля.
Было проверено, что для L3 = K(π, X) действительно не возникает третьих производных при варьировании по π, для других же слагаемых действия (7) вычисления становятся невообразимыми и проводятся с помощью
компьютерной алгебры.
2.2
Один отскок
Теории Хорндески дарят прекрасные возможности для рассмотрения различных сценариев эволюции Вселенной, мы рассмотрим отскок. Такая модель предполагает, что изначально происходит сжатие Вселенной, которое
в некоторый момент времени (момент «отскока») сменяется расширением [2, 3]
Нас интересуют космологические модели, описываемые пространственноплоской метрикой Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера (FLRW):
ds2 = dt2 − a2 (t)δij dxi dxj .
В обзоре [2] было показано, что можно подобрать такие функции методом реконструкции, описывающие (7), что будут выполняться все условия
на стабильность решений, а именно:
1. Выполнение уравнений поля, которые следуют из (7)
δg 00 : F − 2FX X − 6HKX X π̇ + Kπ X + 6H 2 G4 +
+6HG4π π̇ − 24H 2 X (G4X + G4XX X) + 12HG4πX X π̇−
−6H 2 X 2 (5F4 + 2F4X X) = 0
δg ii :
(13)
F − X (2KX π̈ + Kπ ) + 2 3H 2 + 2Ḣ G4 −
−12H 2 G4X X − 8ḢG4X X − 8HG4X π̈ π̇−
−16HG4XX X π̈ π̇ + 2(π̈ + 2H π̇)G4π +
+4XG4πX (π̈ − 2H π̇) + 2XG4ππ − 2F4 X 3H 2 X+
+2ḢX + 8H π̈ π̇) − 8HF4X X 2 π̈ π̇−
−4HF4π X 2 π̇ = 0
(14)
2. Отсутствие градиентных неустойчивостей и решений с духами (условия на скорость распространения тензорных и скалярных возмущений, точные формулы этих условий мы определим ниже)
Аналогично (4) в работе [4] было получено квадратичное действие для
возмущений в теории с лагранжианом (7):
!
Z
ĜT T 2 FT
(∇ζ)2
3
3
T 2
S = dt d xa [(
ḣik − 2 ∂i hkl
+ −3ĜT ζ̇ 2 + FT
8
8a
a2
∆β
∆β
∆ζ
−2GT α 2 + 2ĜT ζ̇ 2 + 6Θαζ̇ − 2Θα 2 + Σα2
a
a
a
(15)
Со следующими коэффициентами:
GT = 2G4 − 4G4X X + G5π X − 2HG5X X π̇
FT = 2G4 − 2G5X X π̈ − G5π X
D = 2F4 X π̇ + 6HF5 X 2
ĜT = GT + Dπ̇
Θ = −KX X π̇ + 2G4 H − 8HG4X X − 8HG4XX X 2 + G4π π̇ + 2G4πX X π̇
−5H 2 G5X X π̇ − 2H 2 G5XX X 2 π̇ + 3HG5π X + 2HG5πX X 2
+10HF4 X 2 + 4HF4X X 3 + 21H 2 F5 X 2 π̇ + 6H 2 F5X X 3 π̇
Σ = FX X + 2FXX X 2 + 12HKX X π̇ + 6HKXX X 2 π̇ − Kπ X − KπX X 2
−6H 2 G4 + 42H 2 G4X X + 96H 2 G4XX X 2 + 24H 2 G4XXX X 3
−6HG4π π̇ − 30HG4πX X π̇ − 12HG4πXX X 2 π̇ + 30H 3 G5X X π̇
+26H 3 G5XX X 2 π̇ + 4H 3 G5XXX X 3 π̇ − 18H 2 G5π X − 27H 2 G5πX X 2
−6H 2 G5πXX X 3 − 90H 2 F4 X 2 − 78H 2 F4X X 3 − 12H 2 F4XX X 4
−168H 3 F5 X 2 π̇ − 102H 3 F5X X 3 π̇ − 12H 3 F5XX X 4 π̇.
(16)
Из структуры квадратичного действия (15) видно, что α и β — нединамические степени свободы. Варьируя действие (15) по этим переменным,
получим два уравнения связи:
∆β
1
∆ζ
=
3Θ
ζ̇
−
(G
+
D
π̇)
+
Σα
,
T
a2
Θ
a2
(17)
GT ζ̇
α=
Θ
Решив эти два уравнения, действие (15) можно переписать в терминах только динамических степеней свободы:
2
2
R
FT
S = dt d3 xa3 G8T ḣTij − 8a
∂k hTij +
2
(18)
i
2
+GS ζ̇ 2 − FS (∇ζ)
2
a
Где введены обозначения:
GS =
2
ΣGT
Θ2
+ 3GT ,
FS =
1 dξ
a dt
− FT ,
ξ=
a(GT +D π̇)GT
Θ
(19)
.
Таким образом, действие (15) содержит одну скалярную ζ и две тензорных hTij степени свободы. Квадраты скоростей звука для скалярных и
тензорных мод имеют следующий вид соответственно.
c2T =
FT
,
GT
c2S =
FS
.
GS
(20)
Именно на эти величины накладываются ограничения:
GT ≥ FT > > 0,
2.3
GS ≥ FS > > 0.
(21)
Несколько отскоков
После анализа полученных результатов [1, 2, 3, 4] для одного отскока возникает логичный вопрос: возможно ли подобрать такие функции в (7), которые будут описывать бесконечное количество отскоков (Cyclic Universe).
В этом разделе мы занимаемся поиском этих функций и их анализом.
Основная идея совпадает с методом построения устойчивых решений,
описанных в [1, 2, 3, 4].
Мы взяли за масштабный фактор следующую зависимость (исходя из
того, что в момент отскока H(tbounce ) = 0, а a(tbounce ) 6= H 0 (tbounce ) 6= 0)
a(t) = 2 − cos(t)
(22)
Которому соответствует:
Sin(t)
2 − Cos(t)
(23)
−1 + 2 cos(t)
(−2 + cos(t))2
(24)
H=
Ḣ =
Далее нам нужно подобрать такие функции в (7), чтобы выполнялись два
упомянутых условия.
Так как существует определенный произвол в выборе функций, для
удобства будем искать их в следующем виде:
F (π, X) = f0 (π) + f1 (π)X + f2 (π)X 2 ,
K(π, X) = k1 (π)X,
G4 (π, X) = 21 + g40 (π) + g41 X,
G5 (π, X) = 0
F4 (π, X) = f40 (π),
F5 (π, X) = 0
(25)
Без ограничения общности можно считать, что: π(t) = t, следовательно
X = 1, а производные функций (25) выражаются следующим образом:
FX = f1 (t) + 2f2 (t), FXX = 2f2 (t),
KX = k1 (t), G4X = g41
(26)
Рис. 1: Зависимости a(t), H(t) и Ḣ(t)
Ясно, что уравнения поля и условия на скорость света не определяют точно
нужные нам функции, поэтому они будут выбраны из удобства и некоторых других условий.Например, должна выполняться запрещающая теорема
(no-go теорема), ограничивающая поведение ξ(t), а именно - эта функция
должна быть монотонно возрастающей на всем решении. Тогда:
Θ = cos(t)
D = 2 sin(t)
(27)
GT = FT = 1
f0 = b + c0 sin(αt)
Таким образом мы можем точно определить интересующий нас лагранжиан с тремя параметрами, которые изменяют решения при их варьировании.
Далее подставив (27) и выраженные функции в уравнения поля (13-14),
были найдены неизвестные функции f1 и f2 :
f1 = −2c0 cos(αt) − 2b − 68 sin(t) + 51 cos(t) +
170−213 sin(t)
cos(t)−2
3−108 sin(t)
(cos(t)−2)2
+ 111
(28)
sin(t)+1)
219 sin(t)−52
f2 = c0 cos(αt) + b + 53 sin(t) − 17 cos(t) + 3(56
+
−
36
(cos(t)−2)2
cos(t)−2
(29)
Теперь у нас есть все функции (с точностью то постоянных коэффициентов), которые понадобятся для полного описания лагранжиана (7).
2.4
+
Анализ устойчивости
Далее нам нужно подобрать такие коэффициенты α, c0 , b, чтобы выполнялись условия на скорости распространения возмущений скалярных мод
(21), так как тензорные мы положили равными 1.
Предоставим здесь явные выражения для функций, входящих в коэффициенты при квадратичном действии:
Gτ = 1
(30)
Fτ = 1
FS =
cos(t) − 2 2 tan2 (t) + tan(t) sec(t) + 1
cos(t) − 2
(31)
(32)
GS = 8(1−2 1sec(t))2 sec4 (t) 32c0 (cos(t) − 2)2 cos(αt)+
2(91 − 64b) cos(t) + 4(4b + 105) cos(2t) + 144b − 16 sin(t)−
236 sin(2t) + 64 sin(3t) − 126 cos(3t) + 3 cos(4t) − 415)
(33)
ξ(t) = (2 sin(t) + 1)(−(cos(t) − 2)) sec(t)
(34)
c2S (2(cos(t)
− 2)(−8 sin(t) + 3 cos(t) + 4 cos(2t) + cos(3t) − 12))/
32c0 (cos(t) − 2)2 cos(αt) + 2(91 − 64b) cos(t) + 4(4b + 105) cos(2t)+
144b − 16 sin(t) − 236 sin(2t) + 64 sin(3t) − 126 cos(3t) + 3 cos(4t) − 415)
(35)
c2T = 1
(36)
Далее были построены графики полученных функций скорости при различных коэффициентах α, c0 , b для того, чтобы определить те самые коэффициенты, удовлетворяющие условиям устойчивости.
Представлены зависимости c2S (t) при различных коэффициентах α, c0 , b.
Нашим условиям удовлетворяет случай при b > 12, а α, c0 можно выбирать
в достаточно широких диапазонах, что подтверждает устойчивость найденных решений. (Рис. 2-5)
Также были построены зависимости Fs (t), Gs (t), ξ(t) при найденных значениях параметров. (Рис. 6-8).
Итак, мы получили такие значения параметров при которых выполняются условия на устойчивость решений, причем все коэффициенты удовлетворяют им с достаточно широкой окрестностью.
2.5
Заключение
Было проведено исследование современных теорий эволюции Вселенной. В
рамках расширенной теории Хорнденски были построены устойчивые решения для нескольких отскоков.
3
Графики
Рис. 2: Неустойчивое решение c2S , b < 5
Рис. 3: Сверхсветовое распространение скалярных возмущений, c2S > 1.
b = 5.36, α = 0.035, c0 = 3.94
Рис. 4: Неустойчивое решение, сверхсветовое распространение c2S > 1, b < 0
Рис. 5: Устойчивое решение, 0 < c2S < 1, b > 12
Рис. 6: Устойчивое решение, ξ(t)
Рис. 7: Устойчивое решение, FS (t)
Рис. 8: Устойчивое решение, GS (t)
Список литературы
[1] Anna Ijjas. Space-time slicing in horndeski theories and its implications for
non-singular bouncing solutions. Journal of Cosmology and Astroparticle
Physics, 2018(02):007, 2018.
[2] R Kolevatov, S Mironov, N Sukhov, and V Volkova. Cosmological bounce
and genesis beyond horndeski. Journal of Cosmology and Astroparticle
Physics, 2017(08):038, 2017.
[3] S Mironov, V Rubakov, and V Volkova. Bounce beyond horndeski with gr
asymptotics and γ-crossing. Journal of Cosmology and Astroparticle Physics,
2018(10):050, 2018.
[4] S Mironov, V Rubakov, and V Volkova. Genesis with general relativity
asymptotics in beyond horndeski theory. Physical Review D, 100(8):083521,
2019.
[5] Valery A Rubakov and Dmitry S Gorbunov. Introduction to the Theory of
the Early Universe: Hot big bang theory. World Scientific, 2011.
Отзывы:
Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв