ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДЯЩЕЙ ФУНКЦИИ ДЛЯ АМПЛИТУД ЯДЕРНОГО РАССЕЯНИЯ В ТЕОРИИ ГЛАУБЕРА

Антон Халяпин

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДЯЩЕЙ ФУНКЦИИ ДЛЯ АМПЛИТУД ЯДЕРНОГО РАССЕЯНИЯ В ТЕОРИИ ГЛАУБЕРА

В настоящей работе рассматривается описание ядерных реакций в теории Глаубера, которая широко применяется для анализа взаимодействий при энергиях порядка нескольких сотен МэВ на нуклон. Она показала себя достаточно простой и эффективной при вычислениях сечений адрон- ядерного рассеяния, однако при рассеянии ядра на ядре теория Глаубера становится значительно сложной из– за резко увеличивающегося количества различных вкладов комбинаторного характера. Данная работа посвящена новому подходу, основанному на использовании производящей функции для глауберовских амплитуд, который позволяет находить сечения рассеяния ядра на ядре, не прибегая к дополнительным приближениям. Будет показано, что с помощью вычисленной производящей функцией можно получить все вклады нуклон- нуклонного взаимодействия в амплитуду ядерного рассеяния, что дает более точный результат сечений рассеяния ядра на ядре. Работа является теоретической, ее выводы могут быть полезны для обработки большого количества экспериментальных данных.

Физика

Дипломы

Вуз: Санкт-Петербургский государственный политехнический университет (ФГБОУ ВПО «СПбГПУ»)

ID: 60e92d86e4dde5000173f8b0

UUID: 1ce76750-c36c-0139-3c14-0242ac180005

Язык: Русский

Опубликовано: почти 3 года назад

Просмотры: 86

12.42

Антон Халяпин

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет (ФГБОУ ВПО «СПбГПУ»)

Комментировать 1

Рецензировать 0

Скачать - 441,9 КБ

Поделиться работой

Министерство образования и науки Российской Федерации СанктПетербургский политехнический университет Петра Великого Высшая инженернофизическая школа Работа допущена к защите Директор ВИФШ В.В. Журихина « » 20 г. ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА работа бакалавра ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДЯЩЕЙ ФУНКЦИИ ДЛЯ АМПЛИТУД ЯДЕРНОГО РАССЕЯНИЯ В ТЕОРИИ ГЛАУБЕРА по направлению подготовки (специальности) – 03.03.02 «Физика» Направленность (профиль) – 03.03.02_01 «Физика атомного ядра и элементар ных частиц» Выполнил студент гр.3430302/70101 Халяпин А.В. Руководители профессор ВИФШ, д.ф. м.н. с.н.с. ОТФ ПИЯФ, к.ф. м.н. Бердников Я.А. Шуваев А.Г. Консультант по нормоконтролю И.Г. Голиков СанктПетербург 2021

Аннотация В настоящей работе рассматривается описание ядерных реакций в тео рии Глаубера, которая широко применяется для анализа взаимодействий при энергиях порядка нескольких сотен МэВ на нуклон. Она показала себя до статочно простой и эффективной при вычислениях сечений адрон- ядерного рассеяния, однако при рассеянии ядра на ядре теория Глаубера становится значительно сложной из– за резко увеличивающегося количества различных вкладов комбинаторного характера. Данная работа посвящена новому подходу, основанному на использова нии производящей функции для глауберовских амплитуд, который позволя ет находить сечения рассеяния ядра на ядре, не прибегая к дополнительным приближениям. Будет показано, что с помощью вычисленной производящей функцией можно получить все вклады нуклон- нуклонного взаимодействия в амплитуду ядерного рассеяния, что дает более точный результат сечений рассеяния ядра на ядре. Работа является теоретической, ее выводы могут быть полезны для обработки большого количества экспериментальных дан ных. Также вычислено в качестве примера сечение реакции и полное сечение 12 C − 12 C.

Содержание Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 7 2 3 Теория Глаубера для упругого ядро- ядерного столкновения . . . . . 1.1 Основные положения теории Глаубера . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Амплитуда нуклон- ядерного рассеяния . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Амплитуда ядро– ядерного рассеяния . . . . . . . . . . . . . . 10 Производящая функция для амплитуд ядерного рассеяния . . . . . . 13 2.1 Общий случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Оптическое приближение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Расчет сечения реакции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.1 Ядреная плотность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2 Расчет сечений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Список используемых источников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3

Введение Одной из задач ядерной физики является поиск параметров распреде лений нейтронов и протонов в стабильных и нестабильных изотопов. Практи чески вся информация содержится в данных по соударению частицы (элек тронов, мезонов, протонов или ионов) с ядром. Поэтому представляет интерес теоретическое описание процессов столкновения при высоких энергиях. Тео ретическое рассмотрение ядерных столкновений не так сложно, как может представиться. При энергиях в сотни МэВ ядерная физика оказывается про ще, чем при низких энергиях. Высокоэнергичная частица, проходящая через ядро, незначительно отклоняется и проходит мишень раньше, чем перестрой ка ядра. Энергия этой частицы намного выше, чем у внутриядерных нукло нов, и практически при ее столкновении с каким-либо нуклоном остальные являются неподвижными. В каждом акте рассеяния частица теряет малую долю своего импульса и энергии. Тут мы пренебрегаем статистически малой долей событий, при которой возможны существенные передачи импульса. В результате, большая часть происходящих событий может быть описана на языке, который используется для описания дифракционных явлений в опти ке. Теория, которую мы будем здесь рассматривать является разновидностью теории оптической дифракции. В ядерной физике ей было дано много назва ний (эйкональное приближение, теория Глаубера и дифракционная теория). Дифракционное рассеяние в ядерной физике имеет большое сходство с ди фракцией Фраунгофера, которая распространяется на многократное рассея ние [1]. В данной работе мы рассматриваем упругое столкновение, когда не происходит перестройки участников рассеяния и неупругое, когда ядро мишень возбуждается или разваливается, но составляющие его нуклоны оста ются неизменными [2]. Для стабильных ядер информация о параметрах рас пределения ядерной плотности исходит из данных об упругом рассеянии быст рых частиц на ядерных мишенях. Сравнение данных по упругому рассеянию электронов и протонов дает раздельную информацию о распределении прото нов и нейтронов в ядре. Теория Глаубера [1,2] обычно используется для ана лиза экспериментов по взаимодействию с ядрами при энергиях выше несколь ких сотен МэВ. 4

Отметим, что среднеквадратичный радиус ядра 𝑅𝑟𝑚𝑠 (найденный по экспериментально измеренному сечению) и распределение заряда могут дать информацию о потенциалах и ядерных волновых функциях. Среднеквадра тичный радиус ядра в основном используется для сравнения ядер, которые описываются разными распределениями ядерной плотности. Размер ядра описывается эффективным радиусом 𝑅𝐴 . Для тяжелых стабильных ядер радиус зависит от массового числа 𝐴 1 𝑅𝐴 = 1.15𝐴 3 . Грубая оценка полного неупругого рассеяния ядра A на ядре B задается фор мулой 1 (𝑟) 1 𝜎𝐴𝐵 = 𝜋(𝑅𝐴3 + 𝑅𝐵3 ). Это выражение было уточнено: 1 (𝑟) 1 𝜎𝐴𝐵 = 𝜋𝑅02 (𝐴 3 + 𝐵 3 − 𝑐), где 𝑐 = 1,32 фм. Такое приближение не годится для анализа ядер с гало. Поэтому ис пользуют, описанную выше, теорию Глаубера. Ввиду того, что рассеяние ча стицы происходит не на свободном нуклоне, а на связанных нуклонах, то вводят так называемый ядерный формфактор. Наличие формфактора при водит к тому, что угловое распределение интенсивности быстрых частиц со средоточено в узком конусе. В этом случае можно пренебречь повторным рассеянием. Поскольку исследование экспериментальных данных проводится в рамках модели Глаубера, то было бы интересно произвести точный расчет сечений. Однако аналитический расчета всех диаграмм для ядро-ядерного рассеяния сложен, поэтому используют приближенные методы, такие как оп тическое приближение и приближение жесткой мишени. Глава 1 посвящена основам теории Глаубера, где укажем условия, из которых получим сначала амплитуду для упругого нуклон- нуклонного столк новения (п.1.2), а потом амплитуду ядро- ядерного рассеяния (п.1.3). В главе 2 предлагается вывести для амплитуды упругого ядро- ядер ного рассеяния производящую функцию, которая позволит обойти вышеука занную проблему учета всех диаграмм. 5

В качестве примера в главе 3 продемонстрируем, как из производя щей функции можно получить полное сечение и полное неупругое сечение (сечение реакции) для реакций 12 C − 12 C . 6

1. Теория Глаубера для упругого ядро- ядерного столкновения В данном разделе обсуждаются основы теории Глаубера. Будет выве дена формула для амплитуд упругого ядро- ядерного столкновения. 1.1. Основные положения теории Глаубера Взаимодействие между частицами при достаточно высоких энергиях носит дифракционный характер [1,2]. Особенностью такого взаимодействия является то, что упругое рассеяние непосредственно связано с поглощением частиц. Дифракционные явления имеют место, если длина волны относитель ного движения сталкивающихся частиц мала по сравнению с характерными размерами области, в которой сказывается взаимодействие. Дифракционный характер взаимодействия проявляется при рассеянии нейтронов и протонов на средних и тяжелых ядрах, начиная с энергий порядка 1 МэВ. При та ких энергиях длина свободного пробега нуклона в ядерном веществе мала по сравнению с размерами ядра, и ядро можно рассматривать как черное погло щающее тело. В этом случае дифракционные ядерные явления описываются в рамках эйконального приближения в квантовой механике [3]. С увеличением энергии рассеиваемых нуклонов длина свободного про бега в ядерном веществе возрастает и, если она становится сравнимой с раз мерами ядра, последнее необходимо рассматривать как оптически полупро зрачное тело. При достаточно высоких энергиях падающих адронов, когда длина свободного пробега в ядерном веществе становится значительно боль ше размеров ядра, модель черного или полупрозрачного ядра оказывается неприменимой. Так как в этом случае длина волны падающего нуклона зна чительно меньше радиуса ядерного взаимодействия, то рассеяние на ядре можно рассматривать как многократное дифракционное рассеяние на отдель ных нуклонах. Пусть быстрая частица (нуклон) массой 𝑚, импульсом 𝑘 и кинетиче ской энергией 𝑇 рассеивается на ядре 𝐴, которое рассматривается как мно жество потенциальных ям глубиной 𝑉0 и размера 𝑎. Если выполнены условия 7

𝑘𝑎 ≫ 1, 𝑇 /𝑉0 ≫ 1, (1.1) то угловое распределение при высоких энергиях сосредоточено в узком конусе с пиком рассеяния вперед. Фазовый сдвиг (эйконал) 𝜒𝐴 (𝑏) задается уравнением ∫︁+∞ 𝑚 𝜒𝐴 (𝑏) = − 𝑘 𝑑𝑧𝑉𝐴 (𝑏,𝑧), (1.2) −∞ где 𝑏– прицельный параметр, являющийся двумерным вектором, который ле жит в плоскости, ортогональной импульсу 𝑘 , а 𝑉𝐴 – потенциал ядра 𝐴 [3]. Из условий (1.1) следует, что налетающая частица не взаимодействует с за данным нуклоном более одного раза, а нуклоны мишени не взаимодействуют друг с другом в процессе рассеяния и считаются "замороженными". Ядерный потенциал 𝑉𝐴 , по предположению, формируется из пространственно разделен ных нуклонных потенциалов 𝑉0 . Отсюда, по аналогии с оптикой, следует, что при прохождении частицы через ядро фазы на отдельных нуклонах склады ваются: 𝜒𝐴 (𝑏) = 𝐴 ∑︁ 𝜒𝑁 𝑁 (𝑏𝑗 ), (1.3) 𝑗=1 где 𝜒𝑁 𝑁 (𝑏𝑗 )– фазовый сдвиг на 𝑗 –ом нуклоне ядра, а 𝑏𝑗 его поперечные коор динаты. При вычислении 𝜒𝐴 (𝑏) пренебрегают отклонением частицы от пря молинейного движения. Изложенная дифракционная теория многократных столкновений не учитывает все, что связано со спиновыми и изоспиновыми переменными нук лонов ядра. 1.2. Амплитуда нуклон- ядерного рассеяния Рассмотрим взаимодействие нуклона- снаряда с нуклоном- мишенью. Амплитуда такого упругого рассеяния выражается через фазовый сдвиг 𝜒𝑁 𝑁 (𝑏𝑗 ) такого взаимодействия 𝑓𝑁𝑒𝑙𝑁 (𝑞) 𝑖𝑘 = 2𝜋 ∫︁ 8 𝑑2 𝑏Γ(𝑏)𝑒𝑖𝑞𝑏 , (1.4)

где 𝑞 = 𝑘 − 𝑘 ′ – переданный импульс, 𝑘 ′ - импульс после рассеяния, Γ(𝑏) = 1 − 𝑒𝑖𝜒𝑁 𝑁 (𝑏) - профильная функция нуклона. Интеграл (1.4) берется по множе ству прямолинейных траекторий со всевозможными значениями прицельного параметра [2,4]. Из (1.4) видно, что Γ(𝑏) и 𝑓𝑁𝑒𝑙𝑁 связаны между собой преобразованием Фурье. Обратное к (1.4) 1 Γ𝑁 𝑁 (𝑏𝑗 ) = 2𝜋𝑖𝑘 ∫︁ 𝑑2 𝑞𝑓𝑁𝑒𝑙𝑁 (𝑞)𝑒−𝑖𝑞𝑏𝑗 = 1 − 𝑒𝑖𝜒𝑁 𝑁 (𝑏𝑗 ) . Профильная функция ядра: Γ𝐴 (𝑏; 𝑟1 ,...𝑟𝐴 ) = 1 − 𝑒𝑖 ∑︀𝐴 𝑗=1 𝜒𝑗 (𝑏−𝑏𝑗 ) = 1 − 𝑒𝜒𝐴 (𝑏,𝑏1 ,...𝑏𝐴 ) , (1.5) где 𝑟1 ,...𝑟𝐴 – положения нуклонов, 𝑏𝑖 – их поперечные координаты. Отсюда получаем амплитуду рассеяния нуклон- ядро: ∫︁ 𝑖𝑘 𝑒𝑙 𝑑2 𝑏𝑒𝑖𝑞𝑏 Γ𝐴 (𝑏; 𝑏1 ,...𝑏𝐴 ) = 𝐹ℎ𝐴 (𝑞; 𝑏1 ,...𝑏𝐴 ) = 2𝜋 ∫︁ {︁ }︁ ∑︀𝐴 𝑖𝑘 2 𝑖𝑞𝑏 𝑖 𝑗=1 𝜒𝑗 (𝑏−𝑏𝑗 ) 𝑑 𝑏𝑒 1−𝑒 , 2𝜋 (1.6) которая является оператором в пространстве переменных 𝑏1 ,...𝑏𝐴 . Принимая это во внимание, получаем амплитуду, которая соответствует тому, что яд ро при взаимодействии с нуклоном не меняет состояние |𝐴⟩ (поскольку при упругом столкновении перестройки не происходит) и вычисляется как мат ричный элемент оператора (1.2) в обкладках этих состояний [2,4,5]. Таким образом, 𝑖𝑘 𝑒𝑙 𝐹ℎ𝐴 (𝑞; 𝑏1 ,...𝑏𝐴 ) = 2𝜋 ∫︁ 𝑑2 𝑏𝑒𝑖𝑞𝑏 ⟨𝐴| Γ𝐴 (𝑏; 𝑟1 ,...𝑟𝐴 ) |𝐴⟩ . (1.7) Тогда 𝑒𝑙 𝐹ℎ𝐴 (𝑏; 𝑟1 ,...𝑟𝐴 ) 𝑖𝑘 = 2𝜋 𝐴 [︁ {︁ ∏︁ 1− 1− 𝑖=1 ∫︁ 1 2𝜋𝑖𝑘 2 𝑑 𝑏𝑒 𝑖𝑞𝑏 ∫︁ ∫︁ 𝑑3 𝑟1 ...𝑑3 𝑟𝐴 𝜌(𝑟1 ,...𝑟𝐴 )× 2 ′ −𝑖𝑞 ′ (𝑏−𝑏𝑖 ) 𝑑 𝑞𝑒 (1.8) ]︁}︁ 𝑓𝑁 𝑁 (𝑞 ) , ′ где 𝜌(𝑟1 ,...𝑟2 )- распределение плотности вероятности найти нуклон с коорди натами 𝑟𝑖 , 𝑖 = 1,...,𝐴. 9

Вычисление амплитуды по формуле (1.8) представляется сложной за дачей и оказывается практически решаемой только для легчайших ядер, на пример для водорода, гелия и лития. Задача упрощается, если использовать приближение факторизации плотности ядерной материи: 𝜌(𝑟1 ,...𝑟2 ) = 𝐴 ∏︁ (1.9) 𝜌(𝑟𝑖 ), 𝑖=𝑞 где 𝜌(𝑟𝑖 ) – плотности распределения отдельных нуклонов ядра, нормирован ные на единицу. Делая приближение факторизации, мы пренебрегаем динамическими корреляциями между нуклонами и корреляциями, обусловленными тожде ственностью нуклонов, т.е. нуклоны в ядре рассматриваются независимыми друг от друга [2, 4, 5]. Введем ядерный формфактор ∫︁ 𝑆(𝑞) = 𝑑3 𝑟𝑒−𝑞𝑟 𝜌(𝑟), тогда, интегрируя (1.8) по положению нуклонов,получим 𝐹𝑁𝑒𝑙𝐴 (𝑞) 𝑖𝑘 = 2𝜋 ∫︁ 2 𝑑 𝑏𝑒 𝑖𝑞𝑏 [︁ 1 1− 1− 2𝜋𝑖𝑘 (︁ ∫︁ )︁𝐴 ]︁ , ′ 𝑑2 𝑞 ′ 𝑒−𝑖𝑞 𝑏 𝑓𝑁𝑒𝑙𝑁 (𝑞 ′ )𝑆(𝑞 ′ ) (1.10) где 𝑆(𝑞 ′ )– формфактор, соответствующий одночастичной функции плотно сти. Формула (1.10) интересна тем, что выражает амплитуду упругого столкновения на ядре через известные из эксперимента величины. Например, формфактор ядра и амплитуда рассеяния на нуклонах 𝑓𝑁𝑒𝑙𝑁 (𝑞 ′ ). 1.3. Амплитуда ядро– ядерного рассеяния Рассмотрим теперь упругое столкновение ядра 𝐴 (в состоянии |𝐴⟩) с ядром 𝐵 (в состоянии |𝐵⟩) в системе покоя последнего. Ядерные плотности ′ обозначим как 𝜌𝐴 (𝑏,𝑟1 ,...𝑟𝐴 ) и 𝜌𝐵 (𝑏,𝑟1′ ,...𝑟𝐵 ) для ядер A и B соответственно. Тогда исходя из (1.5) и (1.7) амплитуда упругого рассеяния ядра 𝐴 на ядре 𝐵 с переданным импульсом 𝑞 запишется как ∫︁ 𝑖𝑘 𝑒𝑙 𝐹𝑁 𝐴 (𝑞) = 𝑑2 𝑏𝑒𝑖𝑞𝑏 ⟨𝐴, 𝐵|Γ𝐴𝐵 (𝑏; 𝑟1 ,...,𝑟𝐴 ; 𝑟1′ ,...,𝑟𝐵′ )|𝐵,𝐴⟩. 2𝜋 10

Так же как (1.2) предположим, что фазовый сдвиг 𝜒𝐴𝐵 (𝑏) в ядро– ядерном столкновении равен сумме фазовых сдвигов для каждого нуклон– нуклонного рассеяния. Производя интегрирование по продольной координате 𝑧𝑖 нуклонов, входящая как компонента радиус– вектора 𝑟𝑖 = (𝑥𝑖 ,𝑧𝑖 ), а 𝑥𝑖 – поперечные координаты, получим 𝑒𝑙 𝐹𝐴𝐵 (𝑞) 𝑖𝑘 = 2𝜋 ∫︁ 𝑑2 𝑏𝑒𝑖𝑞𝑏 [1 − 𝑆𝐴𝐵 (𝑏)], (1.11) где 𝑞 – переданный импульс, 𝑘 – импульс налетающего ядра, пересчитанный на нуклон. Интегрирование идет по прицельному параметру 𝑏, который лежит в поперечной плоскости к импульсу 𝑘 . Функция 𝑆𝐴𝐵 (𝑏) задается выражением: {︁ ∏︁ }︁ 𝑆𝐴𝐵 (𝑏) = ⟨𝐴, 𝐵| [1 − Γ𝑁 𝑁 [𝑏 + 𝑥𝑖 − 𝑦𝑗 ] |𝐵,𝐴⟩, (1.12) 𝑖,𝑗 в котором символ ⟨𝐴, 𝐵|...|𝐵,𝐴⟩ означает усреднение по поперечным коорди натам нуклонов 𝑥𝑖 и 𝑦𝑗 в ядрах 𝐴 и 𝐵 . Каждая скобка в этом произведении соответствует паре нуклонов, один из которых относится к ядру 𝐴, а другой– к ядру 𝐵 [6,7]. Единица отвечает отсутствию взаимодействия межу ними, а Γ𝑁 𝑁 [𝑏 + 𝑥𝑖 − 𝑦𝑗 ] соответствует их рассеянию. Поскольку в произведение вхо дят пары (𝑖,𝑗) только один раз, то любой нуклон– снаряд рассеивается на любом нуклоне– мишени не более, чем однократно. Используя поперечные плотности нуклонов 𝜌(𝑥1 ,...𝑥𝑁 ) = ∫︁ ∏︁ 𝑁 𝑑𝑧𝑖 𝜌(𝑥1 ,𝑧1 ,...,𝑥𝑁 ,𝑧𝑁 ), 𝑖=1 выражение (1.12) перепишем как 𝑆𝐴𝐵 (𝑏) = ∫︁ ∏︁ 𝐴 𝑑2 𝑥𝑖 𝑖=1 ∫︁ ∏︁ 𝐵 𝑑2 𝑦𝑗 𝜌(𝑥1 ,...𝑥𝐴 )𝜌(𝑦1 ,...,𝑦𝐵 )× 𝑗=1 {︁ ∏︁ }︁ [1 − Γ𝑁 𝑁 (𝑏 + 𝑥𝑖 − 𝑦𝑗 ) , 𝑖,𝑗 где Γ𝑁 𝑁 (𝑏) = 1 − 𝑒𝑖𝜒𝑁 𝑁 (𝑏) 1 = 2𝜋𝑖𝑘 ∫︁ 𝑑2 𝑞𝑒−1𝑞𝑏 𝑓𝑁𝑒𝑙𝑁 , а 𝑓𝑁𝑒𝑙𝑁 (𝑞)– как обычно, амплитуда нуклон– нуклонного рассеяния. 11 (1.13)

Полное сечение взаимодействия ядер 𝐴 и 𝐵 можно найти, если исполь зовать оптическую теорему [5] 𝑡𝑜𝑡 𝜎𝐴𝐵 4𝜋 𝑒𝑙 = Im𝐹𝐴𝐵 (0) = 2 𝑘 ∫︁ 𝑑2 𝑏[1 − 𝑆𝐴𝐵 (𝑏)] и интегральное сечение упругого рассеяния 𝑒𝑙 𝜎𝐴𝐵 ∫︁ = а сечение реакции (𝑟) 𝜎𝐴𝐵 ∫︁ = 𝑑2 𝑏[1 − 𝑆𝐴𝐵 (𝑏)]2 , 2 𝑑2 𝑏[1 − 𝑆𝐴𝐵 (𝑏)]. 12 (1.14)

2. Производящая функция для амплитуд ядерного рассеяния Вычисление амплитуды рассеяния по формулам (1.11) и (1.12) пред ставляет из себя сложную комбинаторную задачу, так как в них, по предполо жению, нужно учитывать, что заданный налетающий нуклон рассеивается не более одного раза на нуклоне ядра мишени. Для решения этой задачи, можно сохранить только часть всех вкладов в разложении произведения в уравне нии (1.12), что соответствуют так называемому оптическому приближению (п. 2.2), в котором суммируются вклады с не более чем одним рассеянием на каждый нуклон. Численные расчеты в [8] демонстрируют, что оптическое 𝑡𝑜𝑡 приближение недостаточно точное. Разница составляет 10−15% в 𝜎𝐴𝐵 . Чтобы обойти эту трудность, предлагается ввести производящую функцию, позволя ющую учесть все парные комбинаторные вклады. 2.1. Общий случай Для вычисления производящей функции будем исходить из уравнения (1.13). Поскольку мы интересуемся только взаимодействием при котором лю бая заданная пара сталкивается не более одного раза, то удобно ввести так называемый майеровский пропагатор [5] ∆(𝑥 − 𝑦): (2.1) 𝑒Δ(𝑥−𝑦) − 1 = Γ𝑁 𝑁 (𝑥 − 𝑦). Следующим шагом будет представление выражения (1.13) через гаус сов функциональный интеграл. С этой целью введем вспомогательные поля (комплексные функции) Φ(𝑥) и Φ* (𝑥). Заметим, что (2.1) можно представить гауссовым интегралом [5,10,11] N ∫︁ {︃ 𝐷Φ𝐷Φ* exp ∫︁ − }︃ 𝑑2 𝑥𝑑2 𝑦Φ(𝑥)∆−1 (𝑥 − 𝑦)Φ* (𝑦) + ∑︁ 𝑖=1 Φ(𝑥𝑖 ) + ∑︁ Φ(𝑦𝑗 ) 𝑗=1 (2.2) {︃ = exp }︃ ∑︁ ∆(𝑥𝑖 − 𝑦𝑗 ) 𝑖,𝑗 = ∏︁ 𝑖,𝑗 13 𝑒Δ(𝑥𝑖 −𝑦𝑗 ) ,

где N = Det(2𝜋∆)– функциональный определитель [5], а ∆−1 – обратный опе ратор такой, что ∫︀ 𝑑𝑧∆−1 (𝑥 − 𝑧)∆(𝑧 − 𝑦) = 𝛿 (2) (𝑥 − 𝑦). Мера интегрирования 𝑁 ∏︁ 𝑑Φ(𝑥𝑖 ) 𝐷Φ = lim 𝑁 →∞ 2𝜋 𝑖=1 . Делая замену 𝑥 + 𝑏 → 𝑥 в (1.13) и подставляя туда (2.1) с учетом (2.2) получаем в виде функционального интеграла выражение 𝑆𝐴𝐵 (𝑏) = ∫︁ ∏︁ 𝐴 𝑑2 𝑥𝑖 ∫︁ ∏︁ 𝐵 𝑖=1 N 𝑑2 𝑦𝑗 𝜌(𝑥1 − 𝑏,...𝑥𝐴 − 𝑏)𝜌(𝑦1 ,...,𝑦𝐵 )× 𝑗=1 {︃ ∫︁ (2.3) * 𝐷Φ𝐷Φ exp ∫︁ 𝑑2 𝑥𝑑2 𝑦Φ(𝑥)∆−1 (𝑥 − 𝑦)Φ* (𝑦) − }︃ + ∑︁ Φ(𝑥𝑖 ) + 𝑖=1 ∑︁ Φ(𝑦𝑗 ) . 𝑗=1 Будем считать, что плотности нуклонов в ядрах распадаются на произ ведение одночастичных плотностей (1.9). В этом случае уравнение (2.3) будет иметь вид: 𝑆𝐴𝐵 (𝑏) = N {︃ ∫︁ 𝐷Φ𝐷Φ* exp [︃ ∫︁ × ∫︁ − }︃ 𝑑2 𝑥𝑑2 𝑦Φ(𝑥)∆−1 (𝑥 − 𝑦)Φ* (𝑦)) 𝑑2 𝑥𝜌(𝑥 − 𝑏)𝑒Φ(𝑥) ]︃𝐴 [︃ ∫︁ (2.4) ]︃𝐵 𝑑2 𝑦𝜌(𝑦)𝑒Φ * (𝑦) . Вычисление амплитуды (1.11) с использованием этой формулы при заданных 𝐴, 𝐵 и фиксированным прицельным параметром 𝑏 оказывается тяжелой за дачей, в этом случае удобно ввести производящую функцию 𝑍(𝑢,𝑣) частные производные от которой порождают функцию 𝑆𝐴𝐵 (𝑏) ⃒ ⃒ 𝜕𝐴 𝜕𝐵 1 ⃒ 𝑍(𝑢,𝑣) , 𝑆𝐴𝐵 (𝑏) = ⃒ 𝑍(0,0) 𝜕𝑢𝐴 𝜕𝑣 𝐵 𝑢=𝑣=0 (2.5) а {︃ ∫︁ * 𝐷Φ𝐷Φ exp 𝑍(𝑢,𝑣) = ∫︁ +𝑢 ∫︁ − 𝑑2 𝑥𝑑2 𝑦Φ(𝑥)∆−1 (𝑥 − 𝑦)Φ* (𝑦) 𝑑2 𝑥𝜌(𝑥 − 𝑏)𝑒Φ(𝑥) + 𝑣 14 ∫︁ }︃ 𝑑2 𝑦𝜌(𝑦)𝑒Φ * (𝑦) , (2.6)

где 𝑍(0,0) = (Det(2𝜋∆))−1 - нормировочна константа, равная обратному опре делителю. Общий вид введенного ранее майеровского пропагатора не предпола гает короткодействия ядерных сил, поэтому это условие вводится отдельно. Для этого воспользуемся стандартной параметризацией амплитуды упругого нуклон- нуклонного рассеяния 𝑓𝑁𝑒𝑙𝑁 = 𝑖𝑘 𝑡𝑜𝑡 𝜎𝑁 𝑁 − 21 𝛽𝑞 2 𝑒 , 4𝜋 𝑡𝑜𝑡 где– 𝜎𝑁 𝑁 полное нуклон– нуклонное сечение, а 𝛽 –параметр наклона диффе ренциального нуклон– нуклонного сечения в зависимости от 𝑞 . В этой форму ле была отброшена реальная часть 𝑓𝑁𝑒𝑙𝑁 , так как её вклад в сечение реакции мал. Тогда профильная функция Γ𝑁 𝑁 𝑡𝑜𝑡 1 2 𝜎𝑁 𝑁 − 2𝛽 = 𝑒 𝑥. 4𝜋𝛽 Отсюда можно сказать, что если размер ядра 𝑅 много больше радиуса взаи модействия 𝑎 = √ 2𝜋𝛽 , то можно считать, что Γ𝑁 𝑁 𝑡𝑜𝑡 𝜎𝑁 𝑁 (2) = 𝛿 (𝑥). 2 Майеровский пропагатор ищем в виде 𝑥2 ∆(𝑥) = 𝑦𝑒− 2𝛽 , где– 𝑦 комплексное число. При 𝑎/𝑅 ≪ 1 пропагатор сводится к выражению ∆(𝑥) = 2𝜋𝑦𝛽𝛿 (2) (𝑥), (2.7) и, соответственно, 1 (2) 𝛿 (𝑥 − 𝑧). 2𝜋𝑦𝛽 Производящая функция (2.6) примет вид ∫︁ ∫︁ {︁ 1 * 2 𝑍(𝑢,𝑣) = 𝐷Φ𝐷Φ exp 𝑑 𝑥 − Φ(𝑥) Φ* (𝑥) 2𝜋𝑦𝛽 }︁ Φ(𝑥) Φ* (𝑥) +𝑢𝜌(𝑥 − 𝑏)𝑒 + 𝑣𝜌(𝑥)𝑒 . ∆−1 (𝑥 − 𝑧) = 15 (2.8)

Поскольку подынтегральная функция не содержит производных, то функциональный интеграл распадается на произведение обычных интегра лов в каждой точке 𝑥. Зададим его в виде интеграла конечной кратности на квадратной пространственной решетки с вершинами а точках 𝑥𝑛 и с шагом 𝑎 → 0, заменив интегралы в экспоненте на интегральные суммы ∑︀ 𝑥𝑛 𝑓 (𝑥𝑛 )𝑎2 . Гауссов интеграл (2.2) в дискретном виде задается тогда формулой ∏︁ ∫︁ 𝑑Φ(𝑥𝑛 )𝑑Φ* (𝑥𝑛 ) exp N 2𝜋 𝑥 {︃ − ∑︁ 1 𝑛 𝑛 𝑦 }︃ Φ(𝑥𝑛 )Φ* (𝑥𝑛 ) + ∑︁ Φ(𝑥𝑖 ) + 𝑖=1 ∑︁ Φ(𝑦𝑗 ) 𝑗=1 {︁ ∑︁ }︁ = exp 𝑦 𝛿𝑥𝑖 ,𝑦𝑗 , (2.9) 𝑖,𝑗 где 𝛿𝑥𝑖 ,𝑦𝑗 – символ Кронекера для дискретных координат нуклонов. Так как 𝑒𝑦𝛿𝑥𝑖 ,𝑦𝑗 = 1 + (𝑒𝑦 − 1)𝛿𝑥𝑖 ,𝑦𝑗 и 𝛿𝑥𝑖 ,𝑦𝑗 /𝑎2 → 𝛿 (2) (𝑥𝑖 − 𝑦𝑗 ) при 𝑎 → 0, то ∏︁ [︁ 𝑖,𝑗 ]︁ ]︁ 𝑡𝑜𝑡 ∏︁ [︁ 1 𝑡𝑜𝑡 1 𝜎𝑁 𝑁 1 − 𝜎𝑁 𝑁 𝛿(𝑥𝑖 − 𝑦𝑗 ). 𝛿𝑥 ,𝑦 → 1− 2 𝑎2 𝑖 𝑗 2 𝑖,𝑗 В этом случае уравнение для майеровского пропагатора (2.1) переходит в 𝑡𝑜𝑡 1 𝜎𝑁 𝑁 . 2 2 𝑎 Производящая функция (2.6) в дискретной форме примет вид {︁ 1 ∏︁ ∫︁ 𝑑Φ(𝑥𝑛 )𝑑Φ* (𝑥𝑛 ) 𝑍(𝑢,𝑣) = 𝑒𝑥𝑝 − Φ(𝑥𝑛 )Φ* (𝑥𝑛 ) 2𝜋 𝑦 𝑥 𝑒𝑦 − 1 = − 𝑛 +𝑢𝑎2 𝜌(𝑥 − 𝑏)𝑒Φ(𝑥𝑛 ) + 𝑣𝑎2 𝜌(𝑥)𝑒Φ * (𝑥𝑛 ) }, отсюда, взяв интеграл с учетом дискретного вида майеровского пропагатора (2.9), имеем }︁ ∏︁ {︁ ∑︁ 2 𝑀 2 𝑁 𝑍(𝑢,𝑣) = 𝑦 [𝑎 𝑢𝜌(𝑥𝑛 − 𝑏)] [𝑎 𝑣𝜌(𝑥𝑛 )] , 𝑥𝑛 𝑀,𝑁 а отсюда 𝑍(𝑢,𝑣) = 𝐶𝑒𝑊 (𝑢,𝑣) , (2.10) ∫︁ (︁ ∑︁ 𝑒𝑦𝑀 ·𝑁 )︁ 1 2 2 𝑀 2 𝑁 [𝑎 𝑢𝜌(𝑥 − 𝑏)] [𝑎 𝑣𝜌(𝑥)] , 𝑊 (𝑢,𝑣) = 2 𝑑 𝑥 ln 𝑎 𝑀 !𝑁 ! 𝑀 6𝐴,𝑁 6𝐵 16

где 𝐶 – несущественная константа. Формула (2.10) является основной для производящей функции, вычис лив которую, мы сможем найти функцию 𝑆𝐴𝐵 (𝑏) по формуле (2.5), а значит и амплитуду (1.11) или сечение реакции (1.14). Разложим 𝑒𝑦𝑀 ·𝑁 = (1 − 𝑡𝑜𝑡 𝜎𝑁 𝑁 2𝑎2 ) = (1 + ℎ) в ряд по степеням ℎ, тогда функция 𝑊 (𝑢,𝑣) можно переписать в следующем виде 1 𝑊 (𝑢,𝑣) = 2 𝑎 ∫︁ (︀ [︀ ]︀ )︀ 𝑑2 ln exp 𝑎2 𝑢𝜌𝐴 (𝑥 − 𝑏) + 𝑎2 𝑣𝜌𝐵 (𝑦) 𝐹 (𝑢,𝑣) ∫︁ 1 𝐹 (𝑢,𝑣) = 2 𝑑2 𝑥 ln(1 + ℎ[𝑎2 𝜌𝐴 (𝑥 − 𝑏) · 𝑎2 𝜌𝐵 (𝑥)]𝑢𝑣 𝑎 1 + ℎ2 [𝑎4 𝜌2𝐴 (𝑥 − 𝑏) · 𝑎2 𝜌𝐵 (𝑥)𝑢2 𝑣 + 𝑎2 𝜌𝐴 (𝑥 − 𝑏) · 𝑎4 𝜌2𝐵 (𝑥)𝑢𝑣 2 2 +𝑎4 𝜌2𝐴 (𝑥 − 𝑏) · 𝑎4 𝜌2𝐵 (𝑥)𝑢2 𝑣 2 ]). (2.11) Тогда, из условия нормировки одночастичных плотностей, производящая функция примет вид 𝑍(𝑢,𝑣) = 𝑒𝑢+𝑣 𝑒𝐹 (𝑢,𝑣) . При больших 𝐴 и 𝐵 из (2.5) имеем (2.12) 𝑆𝐴𝐵 (𝑏) = 𝑒𝐹 (𝐴,𝐵) . 2.2. Оптическое приближение Рассмотрим теперь частный случай формулы (2.8), когда каждый от дельный нуклон взаимодействует не более одного раза, иначе говоря, в выра жении (1.13) каждый индекс 𝑖, 𝑗 учитывается только один раз. Так же, как и раньше, перепишем функцию 𝑆𝐴𝐵 (𝑏) в оптическом при ближении через функциональный интеграл. Для этого произведение из (1.12) перепишем в виде ∫︁ ∏︁ ∏︁ [︁ [1 − Γ𝑁 𝑁 (𝑥𝑖 − 𝑦𝑖 )] = 1 − 𝑑2 𝑥𝑑2 𝑦 𝑖,𝑗 𝛿 ]︁ Γ(𝑥 − 𝑦) * 𝛿Φ (𝑥) 𝛿Φ𝑛 (𝑦) 𝑚 𝑚,𝑛 ⃒ ⃒ ∏︁ ∏︁ ⃒ * × [1 + Φ𝑖 (𝑥𝑖 )] [1 + Φ𝑗 (𝑥𝑗 )]⃒ , ⃒ 𝑖 𝑗 𝛿 Φ𝑚 (𝑥)=Φ*𝑛 (𝑥)=0 с функциональными производными 𝛿 𝛿Φ𝑚 (𝑥) Φ𝑖 (𝑥𝑖 ) = 𝛿𝑚.𝑖 𝛿(𝑥 − 𝑥𝑖 ). 17

Тогда, принимая во внимание (2.1), напишем правую часть этого равенства в виде {︁ ∫︁ ∏︁ [1 − Γ𝑁 𝑁 (𝑥𝑖 − 𝑦𝑖 )] = exp 𝑑2 𝑥𝑑2 𝑦 𝑖,𝑗 𝛿 }︁ 𝛿 ∆(𝑥 − 𝑦) * 𝛿Φ(𝑥) 𝛿Φ (𝑦) ∏︁ ∏︁ × [1 + Φ𝑖 (𝑥𝑖 )] [1 + Φ*𝑗 (𝑥𝑗 )], 𝑖 𝑗 отсюда функция (1.13) в виде функционального интеграла в оптическом при ближении: (opt) 𝑆𝐴𝐵 = ∫︁ ∏︁ 𝐴 2 𝑑 𝑥𝑖 ∫︁ ∏︁ 𝐵 𝑖=1 ×N ∫︁ 𝑑2 𝑦𝑗 𝜌𝐴 (𝑥1 − 𝑏,...,𝑥𝑖 − 𝑏)𝜌𝐵 (𝑦1 ,...,𝑦𝑗 ) 𝑗=1 {︁ ∫︁ }︁ * 2 2 −1 * 𝐷Φ𝐷Φ exp − 𝑑 𝑥𝑑 𝑦Φ(𝑥)∆ (𝑥 − 𝑦)Φ (𝑦) ∏︁ ∏︁ × [1 + Φ𝑖 (𝑥𝑖 )] [1 + Φ*𝑗 (𝑥𝑗 )]. 𝑖 𝑗 Используем приближение факторизации ядерной плотности (1.9), тогда (opt) 𝑆𝐴𝐵 = N [︃ ∫︁ × ∫︁ {︁ ∫︁ }︁ 2 2 −1 * 𝐷Φ𝐷Φ exp − 𝑑 𝑥𝑑 𝑦Φ(𝑥)∆ (𝑥 − 𝑦)Φ (𝑦) ]︃𝐴 [︃ ∫︁ ]︃𝐵 * 𝑑2 𝑥𝜌𝐴 (𝑥 − 𝑏)(1 + Φ𝑖 (𝑥)) 𝑑2 𝑦𝜌𝐴 (𝑦)(1 + Φ𝑖 (𝑦)) . Эту функцию можно получить дифференцированием функции ∫︁ {︁ ∫︁ 𝑍 (opt) (𝑢,𝑣) = 𝑒𝑢+𝑣 𝐷Φ𝐷Φ* exp − 𝑑2 𝑥𝑑2 𝑦Φ(𝑥)∆−1 (𝑥 − 𝑦)Φ* (𝑦) ∫︁ ∫︁ }︁ 2 2 +𝑢 𝑑 𝑥𝜌𝐴 (𝑥 − 𝑏)Φ𝑖 (𝑥) + 𝑣 𝑑 𝑦𝜌𝐴 (𝑦)Φ𝑖 (𝑦) . (2.13) по 𝑢 и 𝑣 соответственно 𝐴 и 𝐵 раз используя формулу (2.5). Производящая функция оптического приближения (2.13) может быть вычислена явно: 𝑍(𝑢,𝑣) = 𝑒𝑢+𝑣 𝑒𝑢·𝑣𝐷𝐴𝐵 , 𝐷𝐴𝐵 = − ∫︁ 𝑑2 𝑥𝑑2 𝑦𝜌𝐴 (𝑥 − 𝑏)∆(𝑥 − 𝑦)𝜌𝐵 (𝑦), что дает ⃒ ⃒ ∑︁ 1 𝜕 1 𝜕 𝑢·𝑣𝐷𝐴𝐵 ⃒⃒ 𝐴!𝐵! (𝑜𝑝𝑡) 𝑒 𝑆𝐴𝐵 (𝑏) = ⃒ (𝐴 − 𝑘)!(𝐵 − 𝑗)! 𝑘! 𝜕𝑢𝑘 𝑗! 𝜕𝑣 𝑗 ⃒ 𝑘,𝑗6𝐴,𝐵 𝑘 18 𝑗 . 𝑢=𝑣=0

При массовых числах 𝐴,𝐵 ≫ 1, когда ядра не слишком легкие функцию (𝑜𝑝𝑡) 𝑆𝐴𝐵 приближенно можно написать следующим образом (𝑜𝑝𝑡) 𝑆𝐴𝐵 = 𝑒−𝑇𝐴𝐵 (𝑏) , (2.14) где введена функция перекрытия оптического приближения ∫︁ 𝑇𝐴𝐵 (𝑏) = 𝐴𝐵 𝑑2 𝑥𝑑2 𝑦𝜌𝐴 (𝑥 − 𝑏)∆(𝑥 − 𝑦)𝜌𝐵 (𝑦). Поскольку формула (2.13) выводилась из общих соображений, то функция пе рекрытия выражается через произвольный пропагатор ∆(𝑥 − 𝑦), введенный в пункте 2.1. Однако для наших целей необходимо задаться пропагатором в рамках рассматриваемой теории. Так как величина, на которую изменяет ся ядро-ядерная профильная функция, как правило, меньше, чем величина изменения ядерной плотности, можно утверждать, что пропагатор имеет вид 𝑡𝑜𝑡 𝜎𝑁 𝑁 (2) 𝛿 (𝑥 − 𝑦). ∆(𝑥 − 𝑦) = 2 Данный пропагатор аналогичен (2.7) и включает в себя короткодействие ядер ных сил. Разложим экспоненту (2.14) в ряд по степеням функции перекрытия 𝑇𝐴𝐵 : 1 3 1 2 𝑇𝐴𝐵 − 𝑇𝐴𝐵 + ... (2.15) 2! 3! Сопоставим аналитическому выражению для 𝑇𝐴𝐵 графический элемент: (opt) 𝑆𝐴𝐵 = 1 − 𝑇𝐴𝐵 + 𝑇𝐴𝐵 = в котором ∙ - вершины, которые соответствуют одночастич ным плотностям 𝜌𝐴 и 𝜌𝐵 или нуклонам- участникам ядер 𝐴 и 𝐵 , а линия- их взаимодействию [5]. Тогда коэффициенты перед диаграммами не наносились. Видно, что сумми руются вклады с не более чем одним рассеянием на каждый нуклон, что со ответствует оптическому приближению, где единица отвечает за отсутствие 19

взаимодействия. Такое приближение недостаточно точное для интегрального сечения, разница с экспериментальными данными составляет 10 − 15%. Это расхождение можно объяснить тем фактом, что ряды в уравнении (1.12) дают значительные поправки к результатам оптического приближения. Учесть все вклады к ведущему поведению позволяет, введенная в пункте 2.1, произво дящая функция (2.10). Фактически, члены ряда меняются по знаку, поэтому из-за сокращения членов с противоположными знаками конечные суммы этих рядов могут иметь очень разные значения. Таким образом, некоторые классы диаграмм с малым комбинаторным фактором вносят существенный вклад в итоговое значение [5, 8]. Чтобы продемонстрировать, какие нуклон- нуклон ные процессы участвуют, по аналогии с (2.15), разложим (2.12) и получим: Видно, что первая строка этого выражения соответствует оптическо му приближению (ведущие графики), вторая строка- поправки к первой и представляют случай, когда каждый нуклон из ядра 𝐴 (правые вершины) может взаимодействовать несколько раз, но все взаимодействующие нукло ны из 𝐵 (левые вершины) по-прежнему различны. Оптическое приближение совместно с этими поправками называется приближением жесткой мишени. Отметим еще раз, что в описанной в первой главе теории Глаубера дальней шее вычисление диаграмм (3 строчка) несколько сложно для практического применения. 20

(opt) В настоящем пункте зависимость 𝑆𝐴𝐵 была выведена из общих со ображений, однако можно обойтись более простой выкладкой, если учесть только линейное слагаемое по ℎ в 𝐹 (𝑢,𝑣), которая дается выражением (2.12). 21

3. Расчет сечения реакции Значительный объем информации о радиусах ядер и других парамет рах распределения может быть получен из экспериментов по соударениям ядер с промежуточными энергиями. Анализ этих экспериментов обычно вы полняется с помощью теории Глаубера. Экспериментально полученное сече ние реакции при сопоставлении с теоретическими расчетами позволяет опре делить радиус ядра, участвующие в рассматриваемом процессе. Поэтому точ ный расчет сечений является главной задачей. Мы рассчитаем сечение реак ции в оптическом приближении и с использованием производящей функции. В данной работе мы рассматривали 12 C−12 C столкновение при энергии (в системе центра инерции) на нуклон равной 800 МэВ. 3.1. Ядреная плотность При высоких энергиях (800 МэВ на нуклон) экспериментально найде 𝑡𝑜𝑡 ны полное нуклон- нуклонное сечение составляет 𝜎𝑁 𝑁 = 47 мбарн и параметр 𝛽 = 0.2 фм2 . Результаты расчета ядерных сечений зависят от формы распределений ядерных плотностей, см. [9]. Все расчеты, представленные ниже, проводились с использованием распределений Вудса- Саксона и гармонического осцилля тора для ядер как пучка, так и мишени. Трехмерное распределение гармонического осциллятора (HO) имеет вид (︂ )︂ 𝐴/2 − 2 (︁ 𝑟 )︁2 − 𝑟22 𝑒 𝜆 , 𝜌(𝑟) = 𝜌0 1 + 3 𝜆 (3.1) где 𝜌0 – нормировочная постоянная, 𝜆– параметр размера ядра. Это распре деление хорошо подходит для легких ядер, когда массовое число не больше 20 [10, 11]. Определим среднеквадратичный радиус ядра как 𝑅𝑟𝑚𝑠 где 𝑟𝐴2 ∫︁ = √︁ = 𝑟𝐴2 , 𝑟2 𝜌(𝑟)𝑑3 𝑟. 22 (3.2)

Параметр 𝜆 определяется по заданному среднеквадратичному радиу су ядра 𝑅𝑟𝑚𝑠 из уравнения (3.2). Изменяя 𝑅𝑟𝑚𝑠 мы подбираем параметры распределения (3.2) так, чтобы вычисленное сечение, куда входит это распре деление, было приближенно к экспериментально найденному сечению. Чтобы продемонстрировать, как с помощью производящей функции 𝑍(𝑢,𝑣) находятся сечение реакции зададим конкретный среднеквадратичный радиус 𝑅𝑟𝑚𝑠 = 2.49 фм, тогда 𝜆2 = 2.86 фм2 . Сечение плоскостью, которой принадлежит ось 𝑧 , проинтегрированной плотности (3.1) по одной координате 𝑧 изображена на (Рис. 3.1). Рисунок 3.1 — Распределение HO Рассмотрим теперь трехмерное распределение Вудса- Саксона (WS), которое задается выражением 𝜌(𝑟) = 𝜌0 (︁ )︁ , 𝑟−𝑐1 1 + exp 𝑐2 (3.3) где 𝑐1 = 1.15𝐴1/3 для больших 𝐴, но она может быть неверна при неболь ших A, а подбирать по среднеквадратичному радиусу 𝑅𝑟𝑚𝑠 = 2.49 фм, как мы делали в осцилляторной параметризации, а 𝑐2 = 0.54 фм- характерная толщина границы ядра. Параметр 𝑐1 в распределении Вудса–Саксона выби рается согласно расчетным значениям сечений, которые соответствуют экс периментальным сечениям. Одномерное проинтегрированное распределение WS изображено на (Рис.3.2). 23

Рисунок 3.2 — Распределение WS 3.2. Расчет сечений Рассчитаем полное сечение и сечение реакции (полное неупругое). Пол ное сечение восстанавливается по оптической теореме через амплитуду упру гого рассеяния: 4𝜋 el 𝑘 Im𝐹𝐴𝐵 (0) tot = 𝜎𝐴𝐵 . Используя формулу (1.11) найдем сечение функцию 𝑆𝐴𝐵 (𝑏), которая находится по (2.5) или (2.12): ∫︁ tot 𝜎𝐴𝐵 = 2 𝑑2 𝑏[1 − 𝑆𝐴𝐵 (𝑏)]. (3.4) Полное сечение включает в себя упругие и неупругие процессы, следователь r но из амплитуды упругого рассеяния можно выделить неупругую часть 𝜎𝐴𝐵 : r 𝜎𝐴𝐵 = ∫︁ 𝑑2 𝑏[1 − |𝑆𝐴𝐵 (𝑏)|2 ]. (3.5) Тогда сечение упругого процесса: el tot r 𝜎𝐴𝐵 = 𝜎𝐴𝐵 − 𝜎𝐴𝐵 . Напомним, что случай при 𝑆𝐴𝐵 (𝑏) = 1 соответствует полному отсутствию вза имодействия, а 𝑆𝐴𝐵 (𝑏) = 0 отвечает полному поглощению частицы. Отметим также, что упругое рассеяние может иметь место и без неупругого (это воз можно, если |𝑆𝐴𝐵 (𝑏)| = 1), однако обратное невозможно: наличие неупругого рассеяния приводит к наличию упругого. Рассмотрим рассеяние 12 C − 12 C в системе центра инерции при энергии tot r 800 МэВ на нуклон. Найдем сначала 𝜎𝐴𝐵 и 𝜎𝐴𝐵 в оптическом приближении 24

tot = 1571 (2.14) для HO распределения. Тогда получаем по формуле (3.4) 𝜎𝐴𝐵 r = 957 мбарн. Аналогично для WS распределения: и по формуле (3.5) 𝜎𝐴𝐵 r tot = 957 мбарн. = 1574 и 𝜎𝐴𝐵 𝜎𝐴𝐵 Ясно, что учет всех диаграмм даст отличную от оптического прибли жения амплитуду, но поскольку ряды (1.12) представляются знакоперемен ными, то указать заранее разницу нельзя. Для учета всех поправок к веду щему поведению воспользуемся формулами (2.5), (2.10). В нашем процессе 𝐴 = 𝐵 = 12, поэтому в формуле (2.10) функцию 𝑊 (𝑢,𝑣) раскладываем в ряд с сохранением таких степеней 𝑢,𝑣 , которые не больше 12. Тогда полное r tot = 865 мбарн. Видно, что = 1360 мбарн, а сечение реакции 𝜎𝐴𝐵 сечение 𝜎𝐴𝐵 оптическое приближение дает завышенную оценку сечений. Найденные величины хорошо согласуются с расчетами по методу Монте- Карло [5]. 25

Заключение В настоящей работе была изложена теория Глаубера с указанием ее трудностей. Эта теория основана на дифракционной картине явления рассе яния, которая применяется для анализа ядерных столкновений. Однако точ ный расчет всех диаграмм в "классической"формулировке, данной в первой главе, практически невозможен. Для этого была получена во второй главе производящая функция 𝑍(𝑢,𝑣), которая порождала функцию 𝑆𝐴𝐵 , в которой учтены все вклады. Таким образом, по формул (3.4) и (3.5) можно рассчитать более точно сечения ядерных столкновений. Изложенная теория не учитывает: оболочечную модель ядра (экспери менты по упругому рассеянию протона на дейтроне показали, что в теорети ческих расчетах необходимо учитывать d– состояние волновой функции дей трона), включающую принцип Паули, корреляции, связанные с положением внутриядерных нуклонов, изоспиновые переменные и динамические эффек ты ядерных сил. 26

Список используемых источников [1] G.D. Alkhazov, S.L. Belostotsky, and A.A. Vorobyov, Phys. Rep. 42, 89 (1978). [2] R.J. Glauber, Phys. Rev. 100, 242 (1955). [3] L.D. Landau and E.M. Lifshitz. Quantum Mechanics (Non-relativistic theory). Pergamon Press (1965). [4] Балашов В.В. Квантовая теория столкновений. – М.: 2012. – 289 с. [5] G. D. Alkhazov, I. S. Novikov, Yu. Shabelski Int.J.Mod.Phys.E, Vol. 20, 3(2011), 583-627 [6] Барашенков В. С., Тонеев В. Д. "Упругое рассеяние высокоэнергетических частиц на ядрах"УФН 100 425–448 (1970) [7] Васильев А.Н. Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике. Л., Изд-во Ленингр. ун-та, 1976г. 295 с. [8] V. Franco and G.K. Varma, Phys. Rev. C18, 349 (1978). [9] C.Merino,I.S.Novikov,andYu.M.Shabelski,Phys. Rev. C 80, 064616 (2009); arXiv: 0907.1697 [nucl- th]. [10] Г. В. Ефимов, Упругое рассеяние и функциональный интеграл, ТМФ, 2014, том 179, номер 3, 367–386 [11] Г. В. Ефимов, Стационарное уравнение Шредингера нерелятивистской квантовой механики и функциональный интеграл, ТМФ, 2012, том 171, номер 3, 452–474 27

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв

Антонина Болотова

Прочитала вашу работу, результат, конечно, интересный. Теперь амплитуду ядерного рассеяния можно записать в компактом виде, что привлекательно. Да и для расчетов удобно. Можно программку написать нехитрую для расчетов.