Задача линейного сопряжения в семействе весовых пространств

Аверьянов Г.Н.

Задача линейного сопряжения в семействе весовых пространств

01.06.01 Математика и механика

Математика

Дипломы

Вуз: Белгородский государственный университет - национальный исследовательский университет (НИУ «БелГУ»)

ID: 5c1a4de87966e104f6f851a0

UUID: b8c23c80-e5c3-0136-fbe8-525400005860

Язык: Русский

Опубликовано: почти 6 лет назад

Просмотры: 133

Аверьянов Г.Н.

Источник: Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Белгородский государственный национальный исследовательский университет»

Комментировать 0

Рецензировать 0

Скачать - 1,8 МБ

Поделиться работой

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» (НИУ «БелГУ») ИНСТИТУТ ИНЖЕНЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК КАФЕДРА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ В СЕМЕЙСТВЕ ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВ Научно-квалификационная работа аспиранта очной формы обучения направления подготовки: 01.06.01 Математика и механика, образовательная программа: «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление» Аверьянова Георгия Николаевича Научный руководитель: доктор физикоматематических наук, профессор Солдатов А.П. Белгород 2018

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ 3 Глава 1. Задача линейного сопряжения для аналитических функций 1.1 11 Весовые классы Гельдера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Задача линейного сопряжения 1.3 ................. Асимптотика решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 17 20 Глава 2. Задача линейного сопряжения с треугольным матричным коэффициентом 29 2.1 Задача линейного сопряжения в l-мерном пространстве . . . 29 2.2 Каноническая матрица-функция . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Заключение 56 Список использованной литературы 2 57

ВВЕДЕНИЕ Теория дифференциальных уравнений занимает центральное место в математической науке. Развитие этой теории тесно связано с такими классическими областями естествознания, как аэродинамика, гидродинамика, теория упругости, теория электромагнитного поля. Кроме того, в последнее время дифференциальные уравнения находят применение при изучении вопросов биологии, экологии, цифровой обработки сигналов, математического моделирования физических процессов и т.д. В предлагаемой работе изучается задача линейного сопряжения. Пусть Γ - некоторая, кусочно-гладкая кривая. В работе Римана [19], возникает следующая граничная задача: φ+(t) = G(t)φ−(t), где G(t) - заданная на t ∈ Γ, (1) Γ матрица с кусочно-постоянными коэффициентами, а φ+(t) и φ−(t) - граничные значения искомой функций φ(z). Однако Риман не приводит каких-либо указаний, относительно методов решения таких задач. В 1873 г. Ю.В. Сохоцким [27] была решена следующая граничная задача: пусть g(t) - заданная на кривой Γ функция, требуется найти кусочно-аналитическую функцию φ(z) с заданной главной частью на бесконечности по граничному условию φ+(t) − φ−(t) = g(t), 3 (2)

которое выполняется всюду на Γ за исключение конечного множества точек. Эта задача является частным случаем следующей задачи: требуется отыскать кусочно-аналитическую функцию φ(z), удовлетворяющую граничному условию φ+(t) = G(t)φ−(t) + g(t), t ∈ Γ, с заданными на Γ функциями G(t) и g(t). Однородный случай (т.е. случай, когда g(t) = 0) задачи (3) и есть задача (1), впервые сформулированная Риманом. Задачу (3), следуя Н.И. Мусхелишвили [16], принято называть задачей сопряжения или задачей Римана. Таким образом, первое решение частного случая (2) задачи (3) принадлежит Ю. В. Сохоцкому. Именно ему принадлежит метод исследования граничных задач, оказавшийся в последствии самым эффективным - метод интегралов типа Коши. В случае, когда коэффициенты задачи (3) удовлетворяют условию Гельдера с показателем µ (т.е. G(t),g(t) ∈ Cµ(Γ)) и G(t) ̸= 0 при всех значениях t ∈ Γ, задача (3) была решена Ф.Д. Гаховым [14], затем Б.В. Хведелидзе [28], [29] решил задачу (3) при условии, что функция g(t) принадлежит пространству Lp(Γ) при 1 < p < ∞. В работах И.Б. Симоненко [20], [21], [22] был существенно расширен класс коэффициентов G(t), для g(t) ∈ Lp(Γ) при 1 < p < ∞. Во всех случаях решение записывается в виде интеграла типа Коши. Случай, когда Γ является конечной совокупностью разомкнутых линий, изучен Н.И. Мусхелишвили [15]. Для исследования этого случая, 4 (3)

существенно отличающегося от случая Мусхелишвили ввел функции класса замкнутых линий, если она удовлетворяет условию Гельдера всюду, кроме конечного множества точек {τ}, а вблизи точек τ представима в виде ϕ(t) = (t − τ)−µψ(t), где ψ(t) ∈ Cµ(Γ),0 < µ < 1) и изучил свойства интегралов типа Коши в предположении, что их плотности принадлежат к тому же классу. Кроме того, теория этой и других краевых задач для аналитических функций получила глубокое развитие в работах Ф.Д. Гахова [12]-[14], И.Н. Векуа [7]-[10], Н.П. Векуа [11], Б.В. Боярского [4]-[6], А.В. Бицадзе [1]-[3], Б.В. Пальцева [17], [18], А.П. Солдатова [23]-[26]. В свете выше изложенного, можем заключить, что изучение задачи линейного сопряжения в весовых пространствах является актуальным. Объект исследования Задача линейного сопряжения для аналитических функций в весовом пространстве. Цель работы Изучить задачу линейного сопряжения для аналитических функций в весовом пространстве. Методы исследования Применяются методы теории аналитических функций и теории граничных задач. Научная новизна Все результаты являются новыми. Теоретическая значимость работы 5

Полученные результаты носят, в основном, теоретический характер и могут быть применены при исследовании граничных задач для дифференциальных уравнений и систем с частными производными, а так же при исследовании практических вопросов, приводящих к таким задачам. Апробация работы Результаты работы конференциях докладывались на международных "Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения - XXVI Воронеж, 2015 и "Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения - XXVII Воронеж, 2016 Содержание работы В данной работе изучение задачи (3) проводится в весовых пространствах Cλµ (подробному описанию которых посвящен первый параграф первой главы) на плоскости (глава 1) и в l-мерном пространстве (глава 2) для случая, когда коэффициент G(t) представляет собой треугольную матрицу. В первой главе рассматривается классическая задача линейного сопряжения для аналитических функций (3) на ориентированной кусочно-гладкой кривой Γ в семействе весовых пространств Гельдера. Под кусочно-гладкой кривой понимается объединение конечного числа гладких дуг, которые попарно могут пересекаться только по своим концам. Каждая из дуг Γj определённым образом ориентирована и 6

предельные значения φ± в (3) понимаются по отношению к этой ориентации. Задачу (3) будем рассматривать в пространстве с произвольными весовым порядком λ и k ∈ Z. Это пространсво состоит из функций, аналитических в D = C ∖ Γ, которые вне окрестности точек τ ∈ F удовлетворяют условию Гельдера вплоть до границы, а при z → τ ведут себя как O(|z − τ|λτ ), и при z → ∞ ведут себя как O(|z|k−1) (Более точное определение см. в первом параграфе первой главы). Кусочно непрерывный коэффициент G(t) принадлежит классу и предполагается всюду отличным от нуля, включая его односторонние предельные значения в узлах τ ∈ F. Положим . где nτ - количество концов дуг, связынных с τ, G(τ,j) пределы значений функции G(t) по этим концам, στ,j = 1 если это правый конец дуги, στ,j = −1 в противном случае. Пусть æ(G) = IndG − ∑︁τ(ατ + iβτ) ∈ Z, где Ind . Теорема 1. Для любого целочисленного порядка s = (sτ, τ ∈ F) существует единственная функция всюду от7 , которая

лична от нуля, включая предельные значения X± на Γ ∖ F, такая, что , где s(F) = ∑︁τ sτ. Функцию X(z), удовлетворяющую условиям теоремы 1, принято называть канонической (или G-канонической). С ее помощью решение задачи (3) строится следующим образом: Теорема 2. Пусть λτ −ατ ∈/ Z, τ ∈ F, каноническая функция X задачи (3) отвечает семейству sτ = [ατ − λτ], τ ∈ F и æ = æ(G) + s(F) + k. Тогда условия ортогональности ∫︁ [X+(t)]−1g(t)q(t)dt = 0, q ∈ P−æ, Γ необходимы и достаточны для разрешимости задачи (3) в классе , и при их выполнении все ее решения φ даются формулой . В общем случае произвольного λ эти утверждения справедливы по отношению к классу . Во второй главе задача (3) рассматривается для аналитических l− векторфункций φ = (φ1,...,φl) компоненты φk которых имеют конечные порядки на бесконечности, подчиненные условию degφk ≤ nk − 1, 8 1 ≤ k ≤ l, (4)

с заданными целыми числами nk. G - треугольный матричный коэффициент , заданный на кусочно-гладкой кривой Γ. Подробно разобран случай l = 2, когда ⎛ ⎞ G1 G0 G = ⎜ ⎟. (5) ⎝ ⎠ 0 G2 Существует каноническая функция Xk , æk = ∑︁ [αk,τ − λτ] + IndGk − ∑︁ (αk,τ + iβk,τ). (6) τ τ Обозначим Pk класс многочленов степени не выше æk+nk−1 (считая Pk = 0 при æk + nk ≤ 0) и пусть Qk имеет аналогичный смысл по отношению к многочленам степени не выше −(æk + nk) − 1. Таким образом, dim Pk = æk + nk, dimQk = 0 при æk + nk ≥ 0 и dim Pk = 0, dimQk = −(æk + nk) при æk+nk ≤ 0. Во всех случаях dim Pk−dimQk = æk+nk. В соответствии с этими обозначениями можем ввести классы многочленов , . Лемма 1. В разложениях подпространства dim имеют общую размерность r = dim . 9

При этом существует единственный линейный оператор R, который интегрируемой на Γ функции g ∈ L(Γ) ставит в соответствие многочлен со свойством ⟨ap,qi⟩ = ⟨g,qi⟩, где q1,...,qr – некоторый базис в 1 ≤ i ≤ r, . Теорема 3. Пусть условия (6) выполнены для обоих значений k = 1,2 и функции f1, f2 ∈ L(Γ) определяются равенствами с сингулярным оператором Коши S. Тогда задача (3) – (5) разрешима в классе аналитических в D = C ∖ Γ вектор- функций φ = (φ1,φ2) тогда и только тогда, когда , и при выполнении этих условий общее решение задачи дается формулой , , с оператором R Во втором параграфе второй главы решается вопрос существования канонической матрицы-функци и ее использования для решения задачи (3). 10

Теорема 4. Пусть каноническая функция X(z) имеет нормальную форму на бесконечности и подчинена весовому порядку λ. Пусть функция g ∈ Cλµ(Γ,F). Тогда задачи (3) в классе разрешима тогда и только тогда, когда f удовлетворяет условиям ортогональности ∫︁ [(X+)−1g](t)qj(t)dt = 0, degqj ≤ −(æj + k) − 1. Γ При выполнении этих условий общее решение задачи в рассматриваемом классе дается формулой , где многочлен p удовлетворяет условию degpj ≤ æj + k − 1, 11 1 ≤ j ≤ l.

Глава 1. Задача линейного сопряжения для аналитических функций 1.1 Весовые классы Гельдера Рассмотрим классическую задачу линейного сопряжения для аналитических функций φ+ − Gφ− = g (1.1) на ориентированной кусочно-гладкой кривой Γ в семействе весовых пространств Гельдера. Под кусочно-гладкой кривой понимается объединение конечного числа гладких дуг, которые попарно могут пересекаться только по своим концам. Каждая из дуг Γj определённым образом ориентирована и предельные значения φ± в (1.1) понимаются по отношению к этой ориентации. Задача (1.1) хорошо изучена [16] как в пространствах Гельдера, так и в весовых гельдеровых пространствах функций, ограниченных в окрестности точек τ ∈ F или допускающих в них особенности порядка меньше 1. Как известно, основным инструментом ее исследования служат интеграл типа Коши , (1.2) и связанный с ним сингулярный интеграл Коши (1.3) 12

Остановимся подробнее на определении этих пространств. Для компакта K на плоскости обозначим Cµ(K), 0 < µ < 1, обычное пространство Гельдера с µ, показателем которое банахово относительно нормы , где |ϕ|0 означает sup-норму. Для фиксированной точки τ ∈ K пусть означает пространство всех ограниченных функций ϕ(z) на K∖τ, для которых ψ(z) = |z − τ|µϕ(z) ∈ Cµ(K), относительно нормы |ϕ| = |ϕ|0 + [ψ]µ это пространство банахово. Нетрудно показать, что эта норма эквивалентна норме . Наконец, пусть пространство , состоит из всех функций , снабженное "перенесенной"нормой аналогично можно ввести и весовое пространство . Совершенно в ситуации, когда роль τ играет конечное множество F ⊆ K и λ является семейством (λτ, τ ∈ F) вещественных чисел. В этом случае роль |z − τ|λ играет весовая функция ρλ(z) = ∏︁ |z − τ|λτ . τ 13 (1.4)

Введенное весовое пространство обладает следующими свойствами [25]. Лемма 1.1. (a) Операция умножения как билинейное отображение ограничено Cλµ′ × Cλµ′′ → Cλµ′+λ′′. (b) Семейство пространств (Cλµ) монотонно убывает (в смысле вложения банаховых пространств) по каждому из параметров µ и λ. (c) Для любых α ∈ R, ε > 0 и n = 0,1,... функции . (1.5) Утверждение (b) леммы позволяет ввести классы . При λ = 0 их записываем кратко функция в (1.5) принадлежит (1.6) . В этих обозначениях вторая . непрерывны на K и в точках τ ∈ F Очевидно, функции из обращаются в нуль. Поскольку можно , ввести класс , который является конечномерным расширением . Условимся область на комплексной плоскости называть простой, если она односвязна и ограничена кусочно гладким контуром ∂D. Для такой 14

области в определении пространства Cλµ(D,F), где F ⊆ ∂D, весовую функцию (1.4) можно заменить на Rλ(z) = ∏︁ (z − τ)λτ . τ Это пространство ниже используется для аналитических в D функций. Если ζτ ∈ C и Reζτ = λτ, то аналогично лемме 1(c) устанавливается, что для любых многочленов pτ(u). Пространство Cλµ(D,F) можно ввести и для функций, аналитических в любой области D с кусочно гладкой границей. В этом случае некоторые из дуг Γ0 ⊆ Γ могут служить разрезами для области D (т.е. эта область лежит по обе стороны от Γ0). По этой причине вместо замыкания D в обозначении весового пространства используем символ D̂︀. Предварительно остановимся на кусочно гладкой кривой Γ = ∂D подробнее. Как известно, гладкая дуга Γ0 определяется как образ функции γ(s) ∈ C1[0,1], производная γ′(s) которой всюду отлична от нуля. Кроме того, равенство γ(s1) = γ(s2) при s≤s2 влечет либо s1 = s2, либо s1 = 0, s2 = 1. Эта дуга разомкнута при γ(0) ̸= γ(1) и сомкнута в противном случае. Таким образом, концы сомкнутой дуги совпадают и 15

она является кусочно- гладким контуром, гладким при γ′(0) = γ′(1). Одноили двухэлементное множество концов дуги Γ0 обозначим ∂Γ0. Пусть на кусочно - гладкой кривой Γ = ∂D задано конечное подмножество F так, что связные компоненты Γ ∖ F представляют собой гладкие дуги (разомкнутые или сомкнутые) без своих концов. В этом случае точки τ ∈ F называем узлами кривой Γ. Таким образом, кривая Γ и множество F ⊆ Γ с помощью гладких дуг Γj, 1 ≤ j ≤ m, представлены в виде объединений , (1.7) где открытые дуги Γj ∖ ∂Γj попарно не пересекаются. Предположим сначала, что область D конечна, т.е. лежит внутри некоторого круга. Условимся гладкую дугу Γ0 ⊆ D, которая за возможным исключением концов содержится в D, называть разрезом области D. Дополним Γ до кусочно - гладкой кривой Γ̃︀ с помощью конечного числа разрезов так, чтобы все связные компоненты областями. Тогда по определению пространство были простыми состоит из всех аналитических в D функций, которые в связных компонентах D0 открытого множества принадлежат . Совершенно аналогично определяется и пространство компо- условием нентах D0. 16 в связных

Если область D бесконечна, т.е. D ⊇ {|z| ≥ R} для некоторого R > 0, то область DR = D∪{|z| < R} конечна и пространство аналитических в D функций определяется как выше по отношению к области DR. В этом случае для целого k в данном пространстве выделяем подпространство всех функций, допускающих оценку |φ(z)| ≤ C|z|k−1 при |z| ≥ R. Эта оценка равносильна тому, что функция φ(z) в области |z| ≥ R раскладывается в ряд . Наибольшее j < k, для которого cj ̸= 0 в этом разложении, называется порядком degφ на бесконечности. Таким образом, указанную оценку можем выразить условием degφ ≤ k − 1. В частности, при k = 1 функция φ ограничена в окрестности бесконечности. При k = 0 говорим также, что функция φ исчезает на бесконечности. По отношению к функции φ = p, являющейся многочленом, порядок degp является его степенью. В этом случае удобно считать p = 0 при degp < 0. Класс многочленов p степени degp ≤ k −1 обозначим Pk. Таким образом, Pk = 0 при k ≤ 0 и dimPk = k при k > 0. Совершенно аналогично пространство определяется и для функций, аналитических в открытом множестве D с кусочно гладкой границей Γ, состоящим из нескольких областей. В частности, роль D может играть все открытое множество C ∖ Γ. Если кривая Γ ориентируема, т.е. ориентируемы все дуги Γj в (1.7), то тогда для естественным образом определены односторонние 17

граничные значения φ± на Γ ∖ F, которые, очевидно, принадлежат Cλµ(Γ,F). Заметим, что для граничные значения φ± принадлежат соответствующему классу . По определению он состоит из функций ϕ ∈ C(Γ ∖ F), которые на каждой гладкой дуге Γ0 ⊆ Γ, не содержащих внутри точек τ ∈ F, принадлежат , где F0 = F ∩ Γ0. В точках τ ∈ F функция ϕ имеет односторонние предельные значения по каждой дуге, сходящейся к этой точке. Действие интегрального оператора типа Коши (1.2) в весовых пространствах Гельдера (без конкретизации показателя µ) изучено в [16]. В пространствах этот результат был уточнен в [26], который сформулируем отдельно. Теорема 1.1. Пусть кусочно гладкая кривая Γ представлена в виде (1.7) с помощью ориентируемых гладких дуг Γj и D = C ∖ Γ. Тогда интегральный оператор типа Коши I ограничен Cλµ(Γ,F) → , и справедливы формулы Сохоцкого – Племеля 2φ± = ±ϕ + Sϕ, связывающие интегралы (1.2) и (1.3). , и ϕ = φ+ − φ−, то Обратно, если φ = Iϕ + p с некоторым многочленом p ∈ Pk, причем ∫︁ ϕ(t)q(t)dt = 0, q ∈ P−k. Γ Условия ортогональности в этой теореме вытекают из разложения 18 (1.9)

интеграла типа Коши в окрестности ∞. Оно показывает, что неравенство deg(Iϕ) ≤ k−1 обеспечивается условиями cj = 0, 0 ≤ j ≤ −k−1, которые равносильны (1.9). 1.2 Задача линейного сопряжения Обратимся к задаче (1.1), которую в условиях теоремы 1.1 рассматриваем в пространстве с произвольными весовым порядком λ и k ∈ Z. Кусочно - непрерывный коэффициент G(t) принадлежит классу , который предполагается всюду отличным от нуля, включая его односторонние предельные значения в узлах τ ∈ F. Нетрудно показать, что непрерывная на Γ∖F ветвь логарифма lnG также принадлежит . Пусть ρ > 0 столь мало, что круги |z−τ| ≤ ρ с центрами τ ∈ F попарно не пересекаются и Γ ∩ {|z − τ| ≤ ρ} = ∪1≤j≤nτ Γτ,j, (1.9) {|z − τ| < ρ} ∖ Γ = ∪1≤j≤nτ Sτ,j, где гладкие дуги Γτ,j имеют своим общим концом точку τ и за исключением его попарно не пересекаются, а криволинейные сектора Sτ,j, 1 ≤ j ≤ nτ имеют своей общей вершиной τ и попарно не пересекаются. Боковыми сторонами этих секторов служат дуги Γτ,j. 19

Заметим, что в обозначениях (1.7) сумма ∑︁τ nτ = 2m. Предполагается, что ориентация дуг Γτ,j определяется ориентацией Γ. В соответствии с (1.9) в точках множества F функция имеет 2m односторонних предельных значений ϕ(τ,j) = limϕ(t) при t → τ, t ∈ Γτ,j. (1.10) Для этих функций имеем следующее дополнение теоремы 1.1, которое для общих кусочно - гельдеровых функций хорошо известно [16] и которое охватывается приводимой ниже леммой 1.3. , то в секторе Sτ,j интеграл типа Лемма 1.2. Если Коши φ = Iϕ представим в виде , где στ,j = 1 (στ,j = −1), если τ является правым (левым) концом дуги Γτ,j. Положим . (1.11) Каждая дуга Γj с концами τ′,τ′′ в (1.7) содержит две дуги Γτ′,j′ и Γτ′′,j′′, причем στ′,j′ = −στ′′,j′′. Поэтому комплексное число Ind не зависит от выбора ветви логарифма и æ(G) = IndG − ∑︁ (ατ + iβτ) ∈ Z. τ 20 , (1.12) (1.13)

Легко видеть также, что Ind где , означают приращения функции lnG на дугах Γj в (1.7). По этой причине IndG называем индексом Коши функции G. Пользуясь теоремой 1.1 и леммой 1.2, стандартным образом [16] строится так называемая каноническая функция X(z), отвечающая задаче (1.1) в заданном весовом классе . Теорема 1.2. Для любого целочисленного порядка s = (sτ, τ ∈ F) существует единственная функция от- , которая всюду лична от нуля, включая предельные значения X± на Γ ∖ F, в секторах Sτ,j представима в виде X(z) = Xτ,j(z)(z − τ)ατ+iβτ−sτ , z ∈ Sτ,j, где множитель Xτ,j принадлежит (1.14) и всюду отличен от ну- ля, и удовлетворяет условиям X+ = GX−, lim X(z)zæ(G)+s(F) = 1, (1.15) z→∞ где s(F) = ∑︁τ sτ. Доказательство. Исходя из непрерывной на Γ ∖ F ветви логарифма lnG ∈ Cµ(Γ;F), рассмотрим интеграл типа Коши В силу леммы 1.2 эта функция принадлежит , удовлетворяет краевому условию L+ − L− = lnG и в секторах Sτ,j представима в виде 21

, где ζτ фигурирует в (1.12). Согласно (1.11) разность kτ = ζτ − (ατ + iβτ) является целым числом, причем в силу (1.12), (1.13) сумма ∑︁τ kτ совпадает с æ(G). Поэтому функция X(z) = ∏︁ (z − τ)−sτ−kτ eL(z) τ∈F удовлетворяет всем условиям теоремы. Если вместе с X этим условиям удовлетворяет и X1, то их отношение Y = X1/X является ограниченной функцией, которая обладает свойством Y + = Y − и стремится к 1 на бесконечности. Поэтому на основании второй части теоремы 1.1 эта функция тождественно равна 1. Отметим, что асимптотика канонических матриц- функции в точках τ ∈ F для задачи (1.1) в общем векторном случае приведена в [23]. С помощью канонической функции, обычным образом [16] строится эффективное решение задачи (1.1) в классе . Теорема 1.3. Пусть λτ − ατ ∈/ Z, τ ∈ F, каноническая функция X задачи (1.1) отвечает семейству sτ = [ατ − λτ], τ ∈ F и æ = æ(G) + s(F) + k. Тогда условия ортогональности ∫︁ [X+(t)]−1f(t)q(t)dt = 0, q ∈ P−æ, (1.16) Γ необходимы и достаточны для разрешимости задачи (1.1) в классе , и при их выполнении все ее решения φ даются формулой 22

. (1.17) В общем случае произвольного λ эти утверждения справедливы по отношению к классу 1.3 . Асимптотика решения Теорема 1.3 позволяет описать степенно- логарифмическую асимптотику в точках τ ∈ F решений задачи (1.1) при условии, что аналогичное поведение имеет правая часть f задачи (1.1). Начнем со следующего вспомогательного результата. Пусть гладкая дуга Γ0 с концами τ ̸= τ′ ориентирована от τ к τ′, задана простая область D0 ⊆ C∖Γ0, причем Γ0∩∂D0 является дугой с концами τ и . Пусть в области D0 выбрана ветвь логарифма ln(z −τ) с разрезом вдоль Γ0 и граничными значениями ln+(t − τ) = ln(t − τ) и ln−(t − τ) = ln(t − τ) + 2πi на Γ0. Рассмотрим поведение интеграла типа Коши , при z → τ в ситуации, когда функция допускает степенно логарифмическую асимптотику вида , с некоторым многочленом q ∈ Pn и Reζ = λ. Лемма 1.3. (a) Пусть −1 < Reζ = λ < ν < 0. Тогда 23 (1.18)

, (1.19) где многочлен p также принадлежит Pn и однозначно определяется из уравнения p(u) − e2πiζp(u + 2πi) = q(u). (1.20) (b) Пусть Reζ = λ = 0 < ν < 1. Тогда при ζ ̸= 0 имеет место разложение , (1.21) с некоторыми p ∈ Pn и c0 ∈ C. Если ζ = 0, то справедливо разложение (1.19) с той разницей, что p ∈ Pn+1. Доказательство. (a) Убедимся прежде всего, что при e2πiζ ̸= 1 уравнение (1.20) в классе Pn однозначно разрешимо. Очевидно, оператор N этого уравнения можно записать в форме , (1.22) так что многочлен Np имеет ту же степень, что и p. Поэтому равенство Np = 0 влечет p = 0 и, следовательно, оператор N обратим в Pn. Выберем положительные числа ρ1 < ρ2 столь малыми, что пересечение круга {|z − τ| ≤ ρk} с Γ0 является некоторой дугой Γk, k = 1,2 и, пусть Sk есть дополнение к Γ0 в этом круге. Очевидно, утверждение леммы достаточно установить по отношению к сектору S1, записывая условие на функцию φ0 в (1.19) в форме . Применим в секторе S2 24

к функции Ω(z) = (z − τ)ζp[ln(z − τ)], где многочлен p(u) есть решение уравнения (1.20), формулу Коши: . В результате приходим к равенству , где функция H0(z) аналитична в круге |z − τ| < ρ2. Отсюда приходим к равенству (1.19) с функцией , и на основании теоремы 1.1 функция . (b) Предположим сначала, что ζ ̸= 0. В силу очевидного соотношения можем записать с функцией типа . Применяя к интегралу Коши с плотностью ϕ первую часть (a) леммы, приходим к представлению ̃︀ (1.21). Пусть далее ζ = 0. В этом случае (1.22) переходит в . 25

Запишем правую часть в форме N1p′, тогда соответствующие рассуждения (a) показывают, что оператор N1 обратим в классе Pn. Следовательно, уравнение p(u) − p(u + 2πi) = q(u) с правой частью q ∈ Pn разрешимо в классе Pn+1 и определено с точностью до константы. Дальнейшие рассуждения аналогичны предыдущим. Отметим, что уравнение (1.20) можно решить в явной форме. C этой целью рассмотрим аналитическую функцию g(u) = 1 − e2πiu. Исходя из тейлоровского разложения g(ζ + u) по степеням u и операции дифференцирования Dp = p′ в классе многочленов p, введем в этом классе линейную операцию В терминах этой операции уравнение (1.20) можно записать в виде g(ζ + D)p = q. Пусть ζ ̸= 0 и h(u) = (1 − e2πiu)−1. Тогда записывая тождество h(ζ + u)g(ζ + u) = g(ζ + u)h(ζ + u) = 1 для тейлоровских разложений по степеням u, убеждаемся, что операции g(ζ + D) и h(ζ + D) взаимно обратны, так что решением уравнения (1.20) служит p = h(ζ + D)q. При ζ = 0 рассмотрим разложение функции h(u) в ряд Лорана с коэффициентами и соответственно этому разложению положим 26

Тогда аналогично предыдущему проверяется, что g(D)h(D)p = p для любого многочлена p, однако порядок операций здесь существенен. Поэтому многочлен p = h(D)q является решением уравнения (1.20) и в этом случае. Теорема 1.4. Пусть функция есть решение задачи (1.1) с правой частью , которая в окрестности фиксированной точки τ ∈ F представима в виде , (1.23) где Reζ = λτ и qj ∈ Pn, 1 ≤ j ≤ nτ. Тогда если λτ −ατ разность не является целым числом, то в секторах Sτ,j функция φ представима в аналогичном виде , (1.24) с некоторыми многочленами pj ∈ Pn. Если λτ −ατ ∈ Z и ζ ̸= ατ +iβτ, то , (1.25) с некоторыми cj ∈ C и pj ∈ Pn. Наконец, при ζ = λτ + iβτ имеет место представление (1.24) с многочленом pj ∈ Pn+1. Доказательство. Согласно теореме 1.3 решение задачи (1.1) представимо в виде φ = X(φ0 + p0), 27 φ0 = I[(X+)−1f], (1.26)

с некоторым многочленом p0. На основании (1.23) и теоремы 1.2 можем записать , где ζ0 = ζ − (ατ + iβτ) + sτ и Reζ0 = ντ, −1 < ντ ≤ 0. Предположим сначала, что ντ < 0. Тогда в силу леммы 1.3(a) отсюда , (1.27) с многочленом pj ∈ Pn, что для функции φ в (1.26) приводит к представлению (1.24). Если ντ = 0 и Imζ0 ̸= 0, то на основании леммы 1.3(b) , с многочленами pj ∈ Pn. Совместно с (1.26) отсюда следует представление (1.25). Наконец, при ζ0 = 0 из тех же соображений имеем разложение (1.27) с многочленом pj ∈ Pn+1, что приводит к к представлению (1.24) и в этом случае. Проиллюстрируем теорему в ситуации, когда λτ = ζ = 0 и qj являются многочленами нулевой степени, т.е. когда условие (1.23) переходит в . (1.28) На основании теоремы 1.4 отсюда следует, что при 0 < ατ < 1 любое решение задачи (1.1) в секторах Sτ,j также принадлежит классу . Если ατ = 0, но βτ ̸= 0, то согласно (1.25) имеем разложение 28

. Наконец при ατ = βτ = 0 многочлены pj в (1.24) имеют степень 1 и, следовательно, в этом случае . (1.29) Таким образом, решение φ будет ограниченным в окрестности τ для любой функции f вида (1.28) тогда и только тогда, когда ατ + iβτ ̸= 0. По терминологии Н.И. Мусхелишвили [16] точки τ ∈ F, для которых ατ ̸= 0, называются неособенными. Из доказательства теоремы 1.4 и леммы 1.2 видно, что при ατ = 0 коэффициент cj в разложении (1.29) обращаются в нуль тогда и только тогда, когда функция f в (1.28) подчинена условию . (1.30) Здесь учтено, что в соответствии с принятым предположением и теоремой и, следовательно, X+ ∈ 1.2 каноническая функция . Рассмотрим частный случай, когда nτ = 2 и знаки στ,j, j = 1,2, противоположны, например, στ,1 = −στ,2 = 1. Тогда в окрестности τ кривая Γ ориентирована единым образом, причем дуга Γτ,1 лежит слева от τ и ее 29

можно обозначить Γτ,−0, и аналогично Γτ,2 = Γτ,+0. Соответственно предельные значения (1.10) на этих дугах можно обозначить ϕ(τ ± 0). В этом случае (1.11) принимает вид . Пусть G(τ − 0) = G(τ + 0) и выполнено условие (1.28). Тогда для аналитической функции φ в двух секторах Sτ,1 и Sτ,2 будем иметь разложение (1.29). Пусть каноническая функция X(z) в теореме 1.2 построена для случая, когда все sτ = 0. Тогда ее сужение Xj на сектор Sτ,j вместе со своим обратным принадлежит классу . Считая для определенности сектор Sτ,1 расположенным слева от Γ, приходим к заключению, что значения X+(τ ± 0) совпадают с X1(τ) и, следовательно, соотношение (1.30) сводится к равенству f(τ +0) = f(τ −0). Выполнение этого условия необходимо и достаточно для обращения в нуль логарифмического слагаемого в (1.29). В заключение остановимся на случае, когда Γ является кусочно – гладким контуром, т.е. каждая связная компонента этой кривой гомеоморфна окружности, и функция G ∈ Cµ(Γ). Пусть эти компоненты, которые обозначим Γ(1),...,Γ(n), ориентированы определенным образом (по или против часовой стрелки). Поскольку в рассматриваемом случае ατ + iβτ = 0 для всех τ ∈ F, каноническая функция X(z), построенная по теореме 1.2 для 30

s = 0, вместе со своей обратной 1/X(z) принадлежит Cµ(D±). Соответственно для f ∈ Cµ(Γ) теорема 1.3 описывает разрешимость задачи (1.1) a с порядком не выше k − 1 на ∞. классе функций Целое число æ в рассматриваемом случае совпадает с индексом Коши æ = IndG, которое определяется суммой приращений ветви lnG на простых контурах Γ(j) в соответствии с их ориентацией, т.е. æ= . (1.31) Здесь ветвь логарифма предполагается непрерывной на Γ(j) вне фиксированной точки τ(j). Следуя [16, 14], каноническую функцию можно строить по той же схеме, что и в теореме 1.3, но только исходя из компонент Γ(j). Если все слагаемые в правой части (1.31) равны нулю, то lnG ∈ Cµ(Γ) и можно положить X(z) = exp[I(lnG)](z),z ∈ D. В общем случае пусть æj означает j−ое слагаемое в правой части (1.31). Каждый простой контур Γ(j) разбивает плоскость на конечную Dj0 и бесконечную Dj1 области. Выберем точку aj ∈ Dj0 и положим , 31

где σj = 1, если контур Γ(j) ориентирован против часовой стрелки, и σj = −1 в противном случае. Очевидно, обладает свойством lnG0 ∈ и, следовательно, функция Cµ(Γ). Легко видеть, что аналитическая вне Γ функция ⎧ n ⎪ ∏︁ X1(z) = ⎨ Yj(z), канонической ⎪⎩ (z − aj)−æj, для z ∈ Dj0, Yj(z) = j=1 будет 1, коэффициента G1(t). z ∈ Dj1, Соответственно каноническую функцию для коэффициента G можем определить равенством X(z) = X0(z)X1(z), X0(z) = exp[I(lnG0)](z),z ∈ D. Глава 2. Задача линейного сопряжения с треугольным матричным коэффициентом 2.1 Задача линейного сопряжения в l-мерном пространстве Рассмотрим классическую задачу линейного сопряжения φ+ − Gφ− = g (2.1) для аналитических l− вектор-функций φ = (φ1,...,φl) с треугольным матричным коэффициентом G, заданным на кусочно-гладкой кривой Γ. Последняя составлена из конечного числа ориентированных гладких дуг, которые попарно могут пересекаться только по своим концам. 32

Граничные значения φ± понимаются по отношению к этой ориентации. Концы указанных дуг составляют множество F угловых точек кривой. При достаточно малом ρ > 0 кривая Γτ = Γ ∩ {|z − τ| ≤ ρ} состоит из некоторого числа nτ дуг Γτ,j, 1 ≤ j ≤ nτ, с общим концом τ. Для определенности их нумерация выбрана в порядке обхода точки τ против часовой стрелки. По отношению к ориентации Γ дуга Γτ,j может "входить" либо "выходить" из τ, соответственно этому полагаем στ,j = 1 и στ,j = −1. Открытый круг |z − τ| < ρ разбивается Γ на криволинейные сектора Sτ,j, 1 ≤ j ≤ nτ, боковыми сторонами которого служат дуги Γτ,j и Γτ,j+1. При nτ = 1 эти стороны совпадают, т.е Sτ = Sτ,1 представляет собой круг с разрезом вдоль Γτ = Γτ,1. Все принятые в первой главе обозначения относительно весовых классов Гельдера сохраняются без изменений. Как и в первой главе предполагается, что матрица -функция G кусочно - непрерывна и принадлежит классу , причем ее определитель detG всюду отличен от нуля, включая предельные значения , в угловых точках τ ∈ F кривой. Задачу (2.1) рассматриваем в весовом классе аналитических в открытом множестве D = C ∖ F функций, компоненты φk которых имеют конечные порядки на бесконечности, подчиненные условию 33

degφk ≤ nk − 1, 1 ≤ k ≤ l, (2.2) с заданными целыми числами nk. Другими словами, в окрестности ∞ они имеют поведение O(|z|nk−1) или, что равносильно, допускают разложение φk(z) = ∑︁ cj,szs. s≤nk−1 Задача Римана – Гильберта исчерпывающим образом изучена в известных монографиях [16, 11] в классе H* интегрируемых функций φ, принадлежащих с некоторыми λ > −1 и 0 < µ < 1, а также в классах Hε почти ограниченных функций H(D,F^ ) ограниченных функций, при- надлежащих, соответственно, Cλµ(D,F^ ) для всех c некоторым 0 < µ < 1. Однако различные приложения этой задачи требуют исследования этой задачи в пространстве Cλµ для всех весовых порядков. Например, подобная ситуация возникает при рассмотрении задачи Римана– Гильберта в односвязных областях с кусочно - гладкой границей с помощью конформных отображений [25], а также при изучении задачи линейного сопряжения для полианалитических функций. В дальнейшем для простоты ограничимся случаем l = 2, когда ⎛ ⎞ G1 G0 G=⎜ ⎝ ⎟. ⎠ 0 34 G2 (2.3)

В силу треугольности этой матрицы задача (2.1) сводится к последовательному решению двух скалярных задач сопряжения ψ+ − Gkψ− = g, в классе функций бесконеч- k = 1,2, (2.4) , подчиненных условию (2.2) на ности. Запишем для краткости интеграл типа Коши в форме , который при −1 < λ < 0 определяет ограниченный оператор I : Cλµ(Γ,F) → Cλµ(D,F^ ). Исходя из непрерывной на Γ ∖ F ветви логарифма lnGk, которая вместе с Gk принадлежит классу , введем функцию hk = I(lnGk), которая исчезает на бесконечности, м связанную с ней функцию Xk(z) = ehk(z) ∏︁ (z − τ)−sτ , (2.5) τ с некоторыми целыми sτ, которая является канонической для задачи (2.4). В секторах Sτ,j функция hk представима в виде , Положим arg , 35 (2.6)

так что с некоторым целым sk,τ. Заметим, что сумма слагаемых в левой части по τ совпадает с индексом Коши IndGk функции Gk, т.е деленную на 2πi сумму приращений lnGk на дугах, составляющих кривую Γ∖F, которые взяты в соответствии с их ориентацией. Таким образом, IndGk = ∑︁ (αk,τ + iβk,τ + sk,τ). τ (2.7) Очевидно, в секторах Sτ,j функция Xk представима в виде Xk(z) = Ak,τ,j(z)(z − τ)δk,τ+iβk,τ , где A, δk,τ = −sτ + sk,τ + αk,τ, (2.8) . Произвол в выборе целых чисел sτ в определении (2.5) подчиним условию λ ≤ δk < λ + 1 (2.9) по отношению к весовому порядку δk = (δk,τ,τ ∈ F). Тогда [αk,τ − λτ] + sk,τ = sτ, где [x] означает целую часть числа x. С учетом (2.7) отсюда , æk = ∑︁ [αk,τ −λτ]+IndGk−∑︁ (αk,τ +iβk,τ), (2.10) τ τ Как было показано в первой главе с помощью канонической функции легко описать разрешимость задачи (2.4). С этой целью обозначим Pk класс многочленов степени не выше æk +nk −1 (считая Pk = 0 при æk +nk ≤ 0) и пусть Qk имеет аналогичный смысл по отношению к многочленам степени не выше −(æk +nk)−1. Таким образом, dim Pk = 36

æk +nk, dimQk = 0 при æk + nk ≥ 0 и dim Pk = 0, dimQk = −(æk + nk) при æk + nk ≤ 0. Во всех случаях dim Pk − dimQk = æk + nk. Теорема 2.1. При выполнении условий λτ − αk,τ ∈/ Z, τ ∈ F, (2.11) задача (2.4) разрешима в классе функций ψ ∈ Cλµ(D,F^ ), подчиненных условию degψ ≤ nk − 1 на бесконечности, тогда и только тогда, когда ⟨(X+)−1g,q⟩ = 0, q ∈ Qk, где для краткости положено ∫︁ ⟨ϕ,q⟩ = ϕ(t)q(t)dt. Γ При выполнении этого условия ее общее решение дается формулой ψ = XkI[(Xk+)−1g] + Xkp, p ∈ Pk. Отметим, что согласно (2.8) оператор умножения g → (Xk+)−1g . В силу (2.10) весовой порядок λk осуществляет изоморфизм = λ− δk удовлетворяет условию −1 < λk < 0, так что оператор g → XkI[(Xk+)−1g] ограничен Cλµ(Γ,F) → Cλµ(D,F^ ). Если условие (2.10) нарушено для некоторых τ, то можно лишь утверждать, что функция ψ = XkI[(Xk+)−1g] принадлежит классу (т.е. классу для любого ε > 0). Из теоремы также следует, что индекс задачи равен dim Pk − dimQk = æk + nk. 37

Обратимся к задаче (2.1) – (2.3), для которой положим . (2.12) В силу (2.8) эта функция принадлежит классу . Согласно (2.9) весовой порядок δ2−δ1 заключен строго между −1 и 1, так что функция a интегрируема на Γ. В соответствии с этим в принятых выше обозначениях можем ввести классы многочленов , (2.13) , Лемма 2.1. В разложениях (2.14) подпространства dim имеют общую размерность r = dim . При этом существует единственный линейный оператор R, который интегрируемой на Γ функции g ∈ L(Γ) ставит в соответствие многочлен со свойством ⟨ap,qi⟩ = ⟨g,qi⟩, где q1,...,qr – некоторый базис в 1 ≤ i ≤ r, (2.15) . Доказательство. По определению (2.13) билинейная форма ⟨ap,q⟩ невырождена на произведении ⟨ap,q⟩ = в том смысле, что равенства влекут p = 0 и, наоборот, равенства влекут 38

q = 0. Отсюда равенство dim = dim получается непосредственно. В самом деле, пусть элементы p1,...,ps и q1,...,qr образуют базисы, соответственно, . Тогда в силу указанного свойства невырожденности строки и столбцы s × r− матрицы A с элементами ⟨api,qj⟩ линейно независимы, так что эта матрица квадратна. Полагая , систему (2.15) можем записать в форме Поскольку матрица A этой системы обратима, то по отношению к обратной матрице приходим к выражению , так что можем положить Rg = ∑︁ Bijpi⟨g,qj⟩. 1≤i,j≤r То, что оператор R со свойством (2.15) единственен, почти очевидно. В . Тогда ⟨ap,q⟩ = 0 самом деле, пусть для всех q ∈ Q1 и, следовательно, , что в соответствии с разложением (2.14) возможно только для p = 0. Теорема 2.2. Пусть условия (2.10) выполнены для обоих значений k = 1,2 и функции g1, g2 ∈ L(Γ) определяются равенствами (2.16) 39

с сингулярным оператором Коши S. Тогда задача (2.1) – (2.3) разрешима в классе Cλµ(D,F^ ) аналитических в D = C ∖ Γ вектор- функций φ = (φ1,φ2) тогда и только тогда, когда , (2.17) и при выполнении этих условий в обозначениях леммы 2.1 общее решение задачи дается формулой , (2.18) , с оператором R из леммы 2.1. Доказательство. Запишем краевое условие (2.3) в покомпонентном виде , и последовательно ко второму и первому уравнениям применим теорему 2.1. Тогда необходимые и достаточные условия разрешимости задачи примут вид ; (2.19) , при выполнении которых ее решение дается формулами , (2.20) 40

. Из последнего равенства по формуле Сохоцкого- Племеля имеем: , так что в обозначениях (2.12), (2.16) получим . (2.21) В результате первое соотношение в (2.19) примет вид ⟨g1 + ap2,q⟩ = 0, q ∈ Q1. Очевидно, оно равносильно паре . Полагая соотношений , в последнем соотноше- нии можем p2 заменить на . На основании леммы 1 из него следует, что . Совместно с первым соотношением отсюда приходим к условию разрешимости (2.17) для g1. При этом (2.21) переходит в . Подставляя это выражение в (2.20), приходим к справедливости (2.18), что завершает доказательство теоремы. Отметим, что число линейно независимых условий ортогональности в (2.17) равно dim +dimQ2. C другой стороны, формула (2.18) показывает, что пространство решений однородной задачи имеет размерность dimP1 + dim . Поэтому индекс задачи 41

æ(G) = dimP1 + dim Согласно (2.14) dim dim = dimP2 − dim dimQ2. и dim = dimQ2 − dim Подставляя эти выражения в предыдущее равенство и учитывая, что в силу леммы 2.1 dim = dim æ(G) = ∑︁ , приходим к выражению (dimPk − dimQk) = æ1 + æ2 − n1 − n2 k=1,2 для индекса задачи, аналогичному для скалярного случая. 2.2 Каноническая матрица-функция Задачу линейного сопряжения (2.1) в пространстве с любым весовым порядком λ можно решать с помощью канонической матрицы- функции X(z). Вопрос ее существования и асимптотики в точках τ ∈ F были изучены в [23]. Однако в рассматриваемом случае треугольной матрицы этот вопрос решается элементарно. Пусть, как обычно заданы кусочно- гладкая кривая Γ с множеством узлов F и ее дополнение D = C∖Γ. Исходя из весового порядка λ = (λτ, τ ∈ F), рассмотрим семейства весовых пространств Cλµ(Γ,F) и Cλµ(D,F^ ), 0 < µ < 1, где элементами последнего пространства служат аналитические в D функции, имеющие конечный порядок k = degφ на бесконечности. Другими словами, в разложении функции φ в ряд Лорана в окрестности бесконечности по целым степеням zi все коэффициенты с номерами i > 42 .

k обращаются в нуль. Открытые дуги, составляющие Γ, предполагаются ориентированными, так что для функций φ этого класса определены граничные значения φ± ∈ Cλµ(Γ,F). Пусть l×l− матрица - функция G кусочно - непрерывна на Γ и принадлежит классу , т.е. ее сужение на каждую разомкнутую дугу Γ0 ⊆ Γ, для которой F ∩ Γ0 состоит из единственной точки τ0 ∈ F, являющейся одним из ее концов, принадлежит классу , т.е. это сужение непрерывно на малым с некоторым ε > 0. В дальнейшем предполагается, что определитель detG всюду отличен от нуля всюду на Γ, включая его предельные значения в точках τ ∈ F по дугам, сходящимся к τ. По определению аналитическая в D матрица- функция каноническая (по отношению к коэффициенту G или, кратко G− каноническая), если ее определитель всюду отличен от нуля в D, вместе со своим определителем она принадлежит классу Cλµ(D,F^ ) для некоторого весового порядка λ и выполнено краевое условие X+ = GX−. (2.22) Заметим, что если матрица - функция R(z) рациональна, причем ее нули и полюса могут лежать только в F, то вместе с X канонической функцией будет и XR. Класс такие рациональных матриц - функций 43

обозначим ℛ. Верно и обратное: любые две канонические функции связаны соотношением X1 = X2R, В самом деле, в силу R ∈ ℛ. (2.22) (2.24) имеем , что для матрицы- функции равенство дает соотношение Y + = Y −. Поэтому эта функция аналитична в C∖ F и в точках τ ∈ F может допускать только полюса, что возможно только когда она рациональна. Поскольку detY (z) ̸= 0, z ∈ D, нули и полюса этой функции могут лежать только в D. Возникает вопрос существования канонических матриц– функций. Теорема 2.3. Для любого весового порядка λ существует каноническая функция X ∈ Cλµ(D,F^ ). Доказательство. Рассмотрим в классе вектор – функций φ = (φ1,...,φn) однородную задачу линейного сопряжения φ+ − Gφ− = 0, (2.24) которой согласно (2.22) удовлетворяют столбцы канонических матриц. Для этой задачи справедливы следующие утверждения. (i) Пространство решений задачи (2.24) в классе Cλµ(D,F^ ) конечномерно, причем его размерность k(λ) → +∞ при λτ → −∞ хотя бы для одного τ и существует такое натуральное n, что k(λ) = 0 при λτ ≥ n для всех τ. (ii) Пусть точка τ′ ∈ Γ ∖ F, весовой порядок λ˜ задан на множестве 44

F˜ = F ∪{τ′} и совпадает с λ на F, причем λ˜τ′ > −1. Тогда любое решение Первое задачи (2.24) принадлежит Cλµ(D,F^ ). утверждение позволяет составить матрицу, удовлетворяющую условию (2.22). функцию Очевидно, определитель detY принадлежит пространству Cnλµ (D,F^ ) ее и удовлетворяет краевому условию (detY )+ = (detG)detY −. (2.25) Предположим, что detY (z0) = 0в некоторой точке z0 ∈ D и ненулевой вектор ξ ∈ Cn выбран по условию Y (z0)xi = 0. Пусть матрица P ∈ Cn×n осуществляет проектирование Cn на одномерное подпространство, натянутое на вектор ξ, так что Y (z0)P = 0. Рассмотрим рациональную матрицуфункцию R(z) = (z − z0)−1P + 1 − P, где 1 означает единичную матрицу. Поскольку Y (z)R(z) = [Y (z) − Y (z0)]R(z) + Y (z0)(1 − P), (2.26) матрица - функция Y1 = Y R также аналитична в D и ее определитель detY1(z) = (z − z0)−1 detY (z) удовлетворяет (2.25). Очевидно, порядок этой функции на бесконечности по сравнению с порядком detY уменьшился на единицу. 45

Аналогичным образом поступаем и в случае, когда detY +(t0) = 0 в некоторой точке t0 ∈ Γ ∖ F. В этом случае в силу соотношения (2.22), которому удовлетворяет Y , найдется такой ненулевой вектор ξ ∈ Cn, что Y ±(t0)ξ = 0. Полагая Y1 = Y R с R(z) = (z − t0)−1P + 1 − P, аналогично (2.26) можем записать Y ±(t)R(t) = [Y ±(t) − Y ±(t0)]R(t) + Y ±(t0)(1 − P). Это равенство показывает, что матрица функция Y1 удовлетворяет условиям предложения (ii) с τ˜ = t0 и λ˜τ˜ = µ − 1. Поэтому на основании этого предложения она по- прежнему принадлежит классу Cλµ(D,F^ ). Итак, в случае существования нуля функции detY в D или Γ ∖ F можем переходить от Y к Y1 ∈ Cλµ(D,F^ ) с понижением порядка detY на бесконечности на единицу. В силу предложения (i), примененного к задаче (2.25) в классе , эта процедура имеет конечное число шагов, которые исчерпывают все нули detY и приводят к канонической матрице X. Удобно ввести следующее понятие. Каноническая функция X(z) имеет нормальную форму на бесконечности, если в окрестности ∞ она представима в виде X(z) = X0(z)diag(z−æ1,...,z−æl) (2.27) с некоторыми целыми æj, где X0 имеет предел конечный предел X0(∞) при z → ∞, причем detX0(∞) = ̸ 0. 46

По определению две канонические функции X1 и X2 эквивалентны, если они связаны соотношением X1 = X2P, где P является матричным многочленом с постоянным ненулевым определителем. Следующая лемма принадлежит Н.И. Мусхелишвили ([16], стр. 426). Лемма 2.2. Для любой канонической функции X существует эквивалентная ей матрица- функция, имеющая нормальную форму на бесконечности. Доказательство. Пусть матрица- функция X каноническая и −æj есть порядок на бесконечности ее j−го столбца, который обозначим X(j). Поскольку умножение X справа на матрицу перестановки приводит к перестановки ее столцов, не ограничивая общности можно считать, что æj ≤ æj+1. Таким образом, в окрестности ∞ для элементов этой матрицы имеем представление Xij(z) = z−æj[Aij + O(|z|−1)]. (2.28) Предположим, что X не имеет нормальной формы на бесконечности, т.е. deta = 0. Тогда столбцы матрицы A линейно зависимы, так что для некоторого 1 < m ≤ n выполнено соотношение α1A(1) + ... + αmA(m) = 0, αm ̸= 0. Рассмотрим эквивалентную каноническую матрицу X˜, столбцы которой X˜(j) = X(j) при j ̸= m и X˜(m) = α1z−æm+æ1X(1) + ... + αm−1z−æm+æm−1X(m−1) + αmX(m). 47

Тогда X˜ имеет аналогичное (2.28) поведение на бесконечности с целыми æj, которые совпадают с æj при j ̸= m, а æ˜m > æm. Таким образом, эта процедура на каждом шаге понижает порядок на бесконечности одного из столбцов по крайней мере на одну единицу. В соответствии с теоремой 2.3(i) эта процедура на каком-то шаге должна оборваться и привести к канонической функции с нормальной формой на бесконечности. Можно показать, что целые числа æj в лемме 2.2 с точностью до перестановки определены однозначно, они называются частными индексами матрицы X. В качестве иллюстрации рассмотрим случай треугольной матрицы. Очевидно, если матрица-функция ⎛ ⎞ X11 X12 ··· X1l ⎜ ⎟ ⎜ X2l ⎟⎟ ⎜0 X22 ··· ⎟, X=⎜⎜ ⎟ ⎜ ··· ··· ··· ··· ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0 0 ··· Xll аналитична в окрестности ∞ и для некоторых целых æj ее элементы допускает конечные пределы lim zæjXij(z) = aij, 1 ≤ i ≤ j, z→∞ причем aii ̸= 0, то ее частными индексами служат æj, 1 ≤ j ≤ l. 48

В общем случае, когда эти пределы существуют только для i = j, частные индексы могут быть отличны от æj. Примером служит матрица ⎛ 1 z−1 ⎞ X(z) = ⎜ ⎟, ⎝ 0 z−2 ⎠ частными индексами которой служат пара одинаковых чисел −1. Для доказательства достаточно заметить, что ⎛ ⎞⎛ 1 z−1 ⎞ 1 ⎜ 0 что z−1 ⎟=⎜ ⎟⎜ говорить, ⎞ 0 ⎝ 0 z−2 ⎠⎝ −z 1 ⎠ Условимся ⎛ ⎟. ⎝ −z−1 z−2 ⎠ каноническая функция подчинена весовому порядку λ, если . (2.29) Нетрудно видеть, что такая функция с точностью до эквивалентности определена однозначно. В самом деле, произведение φ1φ2 двух функций принадлежит функция однородному принадлежит классу . Поэтому матрица , удовлетворяет краевому условию R+ = R− и имеет конечный порядок на бесконечности. Поэтому она в действительности аналитична на всей плоскости, т.е. 49

является некоторым многочленом P. Таким образом, X2 = X1P. Меняя местами X1 и X2, убеждаемся, что аналогично X1 = X2Q с некоторым многочленом Q. Поскольку detP detQ = 1, определитель каждого из этих многочленов является ненулевой константой, так что X1 ∼ X2. Вопрос о существовании канонических функций, подчиненных заданному весовому порядку, оставляем пока открытым. В скалярном случае он решается явно. В этом случае все канонические функции описываются с помощью интеграла типа Коши который представляет собой аналитическую в D = C∖Γ функцию φ = Iϕ, исчезающую на бесконечности (точнее, ее порядок degϕ ≤ −1). Для нее справедлив следующий результат. Теорема 2.4. Если ϕ ∈ Cλµ(Γ,F) и −1 < λ < 0, то функция φ = Iϕ принадлежит классу Cλµ(D,F^ ) и ее граничныне значения связаны соотношением φ+ − φ− = ϕ. В качестве следствия из этой теоремы выводится следующее предложение. Лемма 2.3. Если , то . Напомним определение последнего пространства. При достаточно ма- 50

лом ε > 0 круг z − τ| ≤ ε с центром τ ∈ F пересекает кривую Γ по дугам Γτ,j, 1 ≤ j ≤ nτ, с общим концом τ. Эти дуги разбивают данный круг на криволинейные сектора Sτ,j, 1 ≤ j ≤ nτ, с общей вершиной τ. В этих обозначениях пространство , можно определить как класс аналитических в D функций, которые принадлежат Cµ(D0) в каждой простой подобласти D0 ⊆ D, граница которой не содержит точек τ ∈ F, а в секторах Sτ,j она принадлежит , т.е. с некоторой постоянной Cτ,j. Конечно, при nτ > 1 сектора Sτ,j являются простыми областями и символ S^τ,j можно заменить на Sτ,j. При 0 < λ < 1 для каждой точки τ ∈ F интеграл Iϕ имеет смысл и в точке z = τ, при этом . Поэтому на основании теоремы 2.4 функция в левой части принадлежит и, следовательно, , что и доказывает лемму. Рассмотрим далее случай, когда функция ϕ кусочно непрерывна на Γ и принадлежит классу . Другими словами, на каждой дуге Γ0 ⊆ Γ ∖ F она принадлежит Cµ(Γ0), а на дугах Γτ,j она принадлежит , т.е. 51

с некоторыми постоянными cτ,j и малым δ > 0. Эти постоянные условимся обозначать cτ,j = ϕ(τ,j). Лемма 2.4. Пусть . Тогда , где выбирается знак +, если дуга Γτ,j входит в точку τ и знак − в противном случае. Доказательство достаточно провести для случая одной дуги Γ с концом τ, считая для определенности ее выходящей из точки τ. В этом случае . С учетом леммы 2.3 можно также считать функцию ϕ постоянной. Пусть ρ > 0 столь мало, что пересечение этой дуги с кругом |z − τ| ≤ ρ состоит из дуги Γ0, так что роль Sτ играет круг |z−τ| < ρ с разрезом вдоль Γ0. Применяя в этой области к аналитической функции lnz формулу Коши, получим , где L0 означает окружность |z − τ| = ρ, ориентированную против часовой стрелки и учтено соотношение (lnz)+ − (lnz)− = −2πi на Γ0. Отсюда . 52

Остается заметить, что правая часть этого равенства аналитична в круге |z − τ| < ρ. Обратимся к рассматриваемой выше скалярной функции . Нетрудно проверить, что любая непрерывна на Γ ∖ F ветвь lnG ее логарифма также принадлежит этому классу, так что можно ввести интеграл типа Коши (2.30) Из последнего утверждения теоремы 2.3 следует, что для любого набора kτ, τ ∈ F целых чисел функция X(z) = eh(z) ∏︁ (z − τ)−kτ (2.31) τ∈F является канонической, причем zæX(z) → 1 при z → ∞ с показателем æ = ∑︁τ kτ. Верно и обратное - любая каноническая функция представима в таком виде. При подходящем выборе целых kτ каноническую функцию можно подчинить заданному весовому порядку. Рассмотрим этот вопрос подробнее. Применим лемму 2.4 к функции ϕ = lnG, которая, как отмечено выше, принадлежит классу . Тогда в обозначениях этой леммы функция X(z) вида (2.30), (2.31) в секторах Sτ,j представима в виде X(z) = (z − τ)cτ−kτ Xτ,j(z), где функции Xτ,j(z) и 1/Xτ,j(z) принадлежат классу 53 (2.32) . При

этом, очевидно, æ = ∑︁ , kτ. (2.33) τ∈F В частности, при λτ ≤ (Recτ) − kτ < λτ + 1 эта функция будет подчинена весовому порядку λ. (2.34) Целое число æ и семейство чисел cτ удобнее представить в несколько иной форме, удобной для приложений. Пусть кривая Γ составлена из гладких ориентируемых дуг Γj, 1 ≤ j ≤ m, с концами в точках τ ∈ F, которые попарно могут пересекаться лишь по своим концам. Исходя из кусочно непрерывной функции lnG, введем индекс Коши IndG функции G на этой кривой. Он определяется как деленное на 2πi сумма приращений функции lnG на этих дугах: Ind . Ясно, что это определение дает комплексное число, которое не зависит от выбора ветви логарифма на дугах Γj, поскольку аддитивная постоянная, отвечающая другой ветви, не сказывается на приращении lnG. Ясно также, что в принятых выше обозначениях IndG = ∑︁ cτ. (2.35) τ Отметим еще, что как функция от G индекс Коши обладает очевидным мультипликативным свойством Ind(G1G2) = IndG1 + IndG2. 54

Помимо IndG с коэффициентом G свяжем еще семейство комплексных чисел , (2.36) где как и в (2.30) выбирается знак +, если дуга Γτ,j входит в точку τ и знак − в противном случае. Кроме того, логарифмы от этих числе выберем специальным образом, полагая , (2.37) так что 2πατ = argwτ и 2πβτ = −ln|wτ|. Удобно еще ввести периодическое дискретное множество Δτ = {ατ + s, s ∈ Z}, пересечение которого с любым интервалом [x,x + 1) содержит ровно одну точку. При необходимости зависимость w,α,β и Δ от G указываем в скобках. Очевидно, с точностью до целочисленного слагаемого числа cτ и совпадают. Таким образом, cτ − kτ = δτ + iβτ, где δτ однозначно определяется из условий δτ ∈ Δτ, λτ ≤ δτ < λτ + 1. (2.38) В частности, (2.32) переходит в X(z) = (z − τ)δτ+iβτ Xτ,j(z). 55 (2.39)

Ясно также, что условие (2.34) можно переписать в форме kτ ≤ (Recτ)− λτ < kτ +1 или, в терминах целой части числа, в форме kτ = [(Recτ)−λτ]. Напомним, что что с точностью до целочисленного слагаемого числа Recτ и ατ совпадают. Поэтому Recτ = [Recτ] + ατ и, следовательно, kτ = [Recτ] + [ατ − λτ] = Recτ − ατ + [ατ − λτ]. С учетом (2.35) отсюда для целого числа æ в (2.33) имеем выражение æ = Re(IndG) − ∑︁ ατ + ∑︁ τ∈F [ατ − λτ]. (2.40) τ∈F Таким образом, имеем следующий результат. Если функция G скалярна, то при подходящем выборе целых чисел kτ в (2.31) каноническую функцию X(z) можно подчинить заданному весовому порядку λ. Более точно, в криволинейных секторах Sτ,j эта функция представима в виде (2.39), где функции Xτ,j(z) и 1/Xτ,j(z) принадлежат классу , а весовой порядок δ определяется из условий (2.38). Кроме того, zæX(z) → 1 при z → ∞ с показателем æ, определяемым формулой (2.40). Как и выше зависимость δ от G при необходимости указываем в скобках, т.е. δ = δ(G). Заметим, что эти числа зависят и от λ. Более точно, как функция от λτ при фиксированном τ она монотонно возрастает, непрерывна слева и сохраняет постоянное значение на интервалах 56

R∖Δτ, претерпевая скачек, равный 1 при переходе через точки из Δτ. Заметим, что целое число æ(G) как функция от λτ обладает тем же свойством с той разницей, что монотонно убывает. С помощью канонической матрицы функции X(z), подчиненной весовому порядку λ и имеющей нормальную форму на ∞, можно явно решать задачу линейного сопряжения φ+ − Gφ− = f (2.41) для l− вектор- функции φ, аналитической в D, порядок на бесконечности которой подчинен дополнительному условию degφ ≤ k − 1, (2.42) где k – заданное целое число. Предполагая f ∈ Cλµ(Γ,F), решение будем искать в классе . Рассмотрим l− вектор- функцию ψ = X−1φ, которая в силу (2.29) принадлежит классу . Согласно (2.27) в окрестности ∞ ее компоненты ψj, 1 ≤ j ≤ l, можно представить в виде , так что в соответствии с (2.42) их порядок подчинен условию degψj ≤ æj + k − 1, 1 ≤ j ≤ l. (2.43) С учетом (2.22) краевое условие (2.41) по отношению к ψ переходит в задачу о скачке ψ+ − ψ − = g 57

с правой частью g = (X+)−1f и ее общее решение (с произвольным порядком на бесконечности) в классе дается формулой , (2.44) с произвольным l− вектор- многочленом p = (p1,...,pl). Нетрудно описать требования на правую часть g и многочлен p, обеспечивающие выполнение условия (2.43). Если k + æj ≥ 0, то интеграл типа Коши в правой части (2.44) удовлетворяет этому условию и дело сводится к degpj ≤ æj+k−1. С другой стороны, при k+æj ≤ 0 многочлен pj должен быть равен нулю и условие (2.43) должно быть выполнено для интеграла типа Коши в правой части (2.43). Для этого интеграла в окрестности ∞ имеем разложение Условие (2.43) требует, чтобы в этом разложении коэффициенты ck для k = −1,...,æj +k обращались в нуль. Поскольку для этих k числа −k −1 пробегают значения 0,1,...,−(æj+k)−1, отсюда приходим к заключению, что функция gj должна удовлетворять условиям ортогональности ∫︁ gj(t)qj(t)dt = 0 (2.45) Γ всем многочленам qj степени degqj ≤ −(æj + k) − 1. Оба случая знака æj +k можно объединить единым образом. С этой целью для единообразия условимся многочлены отрицательной 58

степени считать нулем. Тогда выполнение условия (2.43) для функции ψj в (2.44) равносильно тому, что degpj ≤ æj + k − 1, 1 ≤ j ≤ l, (2.46) и выполнено условие ортогональности (2.45) для всех многочленов qj степени degqj ≤ −(æj + k) − 1. Таким образом, приходим к следующему результату. Теорема 2.5 Пусть каноническая функция X(z) имеет нормальную форму на бесконечности и подчинена весовому порядку λ. Пусть функция f ∈ Cλµ(Γ,F). Тогда задачи (2.41) в классе разрешима тогда и только тогда, когда f удовлетворяет условиям ортогональности ∫︁ [(X+)−1f](t)qj(t)dt = 0, degqj ≤ −(æj + k) − 1. (2.47) Γ При выполнении этих условий общее рассматриваемом классе дается формулой решение задачи , в (2.48) где многочлен p удовлетворяет условию (2.46). Если для целого s положить s+ = max(0,s), то размерность пространства вектор- многочленов p, удовлетворяющих условию (2.46), равна ∑︁j(æj+ k)+. Очевидно, это число определяет и размерность пространства решений однородной задачи (2.41), т.е. задачи (2.24). Аналогично число линейно независимых условий ортогональности (2.46) на правую 59

часть f задачи (2.41), обеспечивающих ее разрешимость, равно ∑︁j(−æj − k)+. Таким образом, индекс задачи дается формулой ∑︁ ∑︁ [(æj + k) − (−æj − k) ] = lk + æj. (2.49) j + + j Возникает вопрос, при каких условиях решение (2.48) будет принадлежать классу Cλµ(D,F^ ). Рассмотрим сначала этот вопрос для скалярного случая l = 1. В этом случае каноническая функция X принадлежит классу Cδµ(D,F^ ), где весовой порядок δ определяется условием (2.38), а X−1 – классу , где −1 < λ − δ ≤ 0. . Поэтому На основании теоремы 2.4 отсюда заключаем, что функция ψ в (2.44) принадлежит классу в случае λτ ∈/ Δτ для всех τ и классу , если это условие нарушено для некоторого τ. В результате приходим к следующему заключению. В предположении λτ ∈/ Δτ, τ ∈ F, (2.50) формула (2.48) определяет решение задачи в классе Cλµ(D,F^ ). Если это условие нарушено, то эта формула дает решение в классе . Рассмотрим далее случай, когда матрица функция G треугольна. Предполагая для простоты l = 2, можем ограничиться матрицей ⎛ ⎞ G1 G3 G=⎜ 60 ⎟.

⎝ ⎠ 0 G2 Каноническую матрицу для этого коэффициента ищем в аналогичном виде ⎛ ⎞ X 1 X3 X=⎜ ⎝ ⎟. ⎠ 0 X2 Тогда соотношение (2.22) для этих матриц сводится к трем поэлементным равенствам . (2.51) Первые два соотношения показывают, что функции Xs, s = 1,2, являются каноническими по отношению к, соответственно, Gs. Пусть эти функции подчинены порядку λ, так что для них имеем представление (2.39) по отношению к δτ(Gs) и βτ(Gs) с поведением zæ(Gs)Xs(z) → 1 на бесконечности. Третье равенство в (2.51) представляет собой неоднородную задачу сопряжения для X3 и ее решение выписывается по формуле (2.47), т.е. . (2.52) Поскольку , на основании теоремы 2.3, примененной к интегралу (2.52), заключаем, что в секторах Sτ,j функция X3 принадлежит классам 61

⎧ µ ⎪⎪⎪⎪⎨ Cδ(G2)(S^τ,j,τ), (2.53) X3(z) ∈ δτ(G2) < δτ(G1), . ⎪⎪⎪⎪⎩ Cδµ(G )−0(S^τ,j,τ), δτ(G2) ≥ δτ(G1), 1 Заметим, что тогда , (2.54) где учтено, что класс Cδµ расширяется с уменьшением δτ. Очевидно, обратная матрица X−1 имеет вид ⎛ ⎞ X1−1 X1−1X2−1X3 X=⎜ ⎟, ⎝ −1 0 ⎠ X2 поэтому на основании (2.54) условие (2.29) для рассматриваемой треугольной матрицы X выполнено, т.е она подчинена весовому порядку λ. Таким образом, можем воспользоваться теоремой 2.5 Напомним, что в этой теореме æs = æs(G) есть частные индексы канонической 62

функции X с нормальной формой на ∞. Согласно (2.52) порядок degX3 ≤ −æ(G1)−1. Поэтому если æ(G2) − æ(G1) − 1 ≤ 0, то частные индексы æ(Gs), s = 1,2, совпадают с частными индексами æs(G) матрицы G. При нарушении этого условия частные индексы æs могут отличаться от æ(Gs) (как показывает приведенный выше пример). Как и в скалярном случае покажем, что формула (2.48) в действительности дает решение . С этой целью рассмотрим компоненты вектора g = (X+)−1f: . C учетом (2.54) и, следовательно, для компонент интеграла ψ = Ig имеем аналогичные соотношения. Поэтому . 63

Заключение В работе получены следующие результаты: В первой главе исследована задача линейного сопряжения для аналитических функций в семействе весовых пространств Гельдера в скалярном случае. Получено явное решение и приведена его асимптотика. Во второй главе исследована задача линейного сопряжения с треугольным матричным коэффициентом, для двумерного случая приводится подробное явное решение. Результаты, полученные в работе, были опубликованы в работах [30], [31], [32], [33]. 64

Список использованной литературы [1] Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР, 1959. [2] Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966. [3] Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. [4] Боярский Б.В. Об особом случае задачи Римана-Гильберта. Докл. АН СССР. 1958. Т. 119. No.3. С.411-414. [5] Боярский Б.В. Об обобщенной граничной задаче Гильберта. Сообщ. АН Граз. СССР. 1960. Т.25. No.4. С.385-390. [6] Боярский Б.В. Анализ разрешимости граничных задач теории функций. В сб.: "Исследования по современным проблемам теории функций комплексного переменного"под ред. А.И. Маркушевича. М.: Физматлит, 1961. С.57-79. [7] Векуа И.Н. Об одной линейной граничной задаче Римана. Тр. Тбилисск. матем. ин-та АН ГрузССР. 1942. Т. 11. С.109-139. [8] Об интегро-дифференциальном уравнении Прандтля. Прикл. матем. и мех. 1945. Т.9. No.2. С.143-150. [9] Новые методы решения эллиптических уравнений. М.-Л.: ГИТТЛ, 65

1948. [10] Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука, 1988. [11] Векуа Н.П. Системы сингуляоных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи. — М.: Наука, 1970. [12] Гахов Ф.Д. Краевые задачи теории аналитических функций и сингулярные интегральные уравнения. Докторская дисс. Тбилиси, 1941; Изв. Казанск. физ.-матем. об-ва. 1949. Т. 14, сер. 3. С.75-160. [13] Гахов Ф.Д. Краевая задача Римана для системы n пар функций, Успехи матем. наук. 1952. Т. 7. No.4. С.3-54. [14] Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Физматгиз, 1963. [15] Мусхелишвили Н.И. Приложение интеграло типа Коши к одному классу сингулярных интегральных уравнений. Труды Тбилисск. мат. ин-та, 1941, Т.10, 43 С. [16] Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. [17] Пальцев Б.В. О канонической матрице решений задачи линейного сопряжения с кусочно-непрерывным матричным коэффициентом на элементарной кусочно-гладкой кривой. Докл. АН СССР. 1987. Т. 297. No.5. С.1054-1058. [18] Пальцев Б.В. Об условиях, обеспечивающих непрерывность вплоть до контура и степенное поведение в окрестностях узловых точек решений однородной задачи линейного сопряжения с 66

кусочнонепрерывным матричным коэффициентом. Докл. АН СССР. 1988. Т. 299. No.3. С.558-562. [19] Б. Риман. Сочинения, пер. с нем., ГИТТЛ, М.-Л., 1948. [20] Симоненко И.Б. Краевая задача Римана для пар функций с измеримыми коэффициентами и ее применение к исследованию сингулярных интегралов в пространствах с весами, Изв. АH СССР (сеp.матем.). 1964. Т.32. С.277-306. [21] Симоненко И.Б. Новый общий метод исследования линейных операторных уравнений типа сингулярных интегральных уравнений. II, Изв. АH СССР (сеp.матем.). 1965. Т.32, No.2. С.757782. [22] Симоненко И.Б. Некоторые общие вопросы теории краевой задачи Римана, Изв. АH СССР (сеp.матем.). 1968. Т.32. С.1138-1146. [23] Солдатов А.П., Кpаевая задача линейного сопpяжения теоpии функций, Изв. АH СССР (сеp.матем.). 1979. Т.43, No.1. С.184-202. [24] Солдатов А.П., Кpаевые задачи теоpии функций в областях с кусочно гладкой границей. Тбилиси 1991. [25] Солдатов А.П., Одномеpные сингуляpные опеpатоpы и кpаевые задачи теоpии функций, М., Высшая школа. 1991. 266 C. [26] Солдатов А.П., Обобщенный интеграл типа Коши, Диффеpенц. уpния. 1991. T.27, No.2. C.3-8. 67

[27] Сохоцкий Ю.В. Об определенных интегралах и функциях, употребляемых при разложении в ряды. С.-Петербург, 1873. [28] Хведелидзе Б.В. О разрывной задача Римана-Привалова для нескольких функций, Сообщения АН Груз. ССР. 1956. Т.17, No.10. С.865-872. [29] Хведелидзе Б.В. О разрывной задача Римана-Привалова с заданным смещением, Сообщения АН Груз. ССР. 1958. Т.21, No.4. С.385-389. [30] Аверьянов Г.Н., Солдатов А.П., Асимптотика решений задачи линейного сопряжения для аналитических функций в угловых точках кривой, Научные ведомости БелГУ, (матем., физика), 2015, 5(202), С.5-17 [31] Аверьянов Г.Н., Солдатов А.П., Задача линейного сопряжения для аналитических функций в семействе весовых пространств Гельдера, Известия вузов. Математика 2015, №9, c. 56–61 [32] Аверьянов Г.Н., Солдатов А.П., Асимптотика решений задачи линейного сопряжения в угловых точках кривой, Дифференциальные уравнения, 2016, Т. 52 №9, c. 1150–1159 [33] Аверьянов Г.Н., Полунин В.А., О модифицированных пространствах Гельдера, Научные ведомости БелГУ, (матем., физика), 2016, 27(248), С.32-35 68

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв