ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
(НИУ «БелГУ»)
ИНСТИТУТ ИНЖЕНЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ЕСТЕСТВЕННЫХ
НАУК
КАФЕДРА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ В СЕМЕЙСТВЕ
ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
Научно-квалификационная работа
аспиранта очной формы обучения
направления подготовки: 01.06.01 Математика и механика,
образовательная программа: «Дифференциальные уравнения,
динамические системы и оптимальное управление»
Аверьянова Георгия Николаевича
Научный руководитель:
доктор физикоматематических наук,
профессор Солдатов А.П.
Белгород 2018
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
3
Глава 1. Задача линейного сопряжения для аналитических
функций
1.1
11
Весовые классы Гельдера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Задача линейного сопряжения
1.3
.................
Асимптотика решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
17
20
Глава 2. Задача линейного сопряжения с треугольным матричным коэффициентом
29
2.1
Задача линейного сопряжения в l-мерном пространстве . . .
29
2.2
Каноническая матрица-функция . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Заключение
56
Список использованной литературы
2
57
ВВЕДЕНИЕ
Теория дифференциальных уравнений занимает центральное место в
математической науке. Развитие этой теории тесно связано с такими
классическими
областями
естествознания,
как
аэродинамика,
гидродинамика, теория упругости, теория электромагнитного поля.
Кроме того, в последнее время дифференциальные уравнения находят
применение при изучении вопросов биологии, экологии, цифровой
обработки сигналов, математического моделирования физических
процессов и т.д.
В предлагаемой работе изучается задача линейного сопряжения.
Пусть Γ - некоторая, кусочно-гладкая кривая. В работе Римана [19],
возникает следующая граничная задача:
φ+(t) = G(t)φ−(t),
где G(t) - заданная на
t ∈ Γ,
(1)
Γ матрица с кусочно-постоянными
коэффициентами, а φ+(t) и φ−(t) - граничные значения искомой
функций φ(z). Однако Риман не приводит каких-либо указаний,
относительно методов решения таких задач. В 1873 г. Ю.В. Сохоцким
[27] была решена следующая граничная задача: пусть g(t) - заданная
на кривой Γ функция, требуется найти кусочно-аналитическую
функцию φ(z) с заданной главной частью на бесконечности по
граничному условию
φ+(t) − φ−(t) = g(t),
3
(2)
которое выполняется всюду на Γ за исключение конечного множества
точек. Эта задача является частным случаем следующей задачи:
требуется
отыскать
кусочно-аналитическую
функцию
φ(z),
удовлетворяющую граничному условию
φ+(t) = G(t)φ−(t) + g(t),
t ∈ Γ,
с заданными на Γ функциями G(t) и g(t). Однородный случай (т.е.
случай, когда g(t) = 0) задачи (3) и есть задача (1), впервые
сформулированная Риманом. Задачу (3), следуя Н.И. Мусхелишвили
[16], принято называть задачей сопряжения или задачей Римана.
Таким образом, первое решение частного случая (2) задачи (3)
принадлежит Ю. В. Сохоцкому. Именно ему принадлежит метод
исследования граничных задач, оказавшийся в последствии самым
эффективным - метод интегралов типа Коши.
В случае, когда коэффициенты задачи (3) удовлетворяют условию
Гельдера с показателем µ (т.е. G(t),g(t) ∈ Cµ(Γ)) и G(t) ̸= 0 при всех
значениях t ∈ Γ, задача (3) была решена Ф.Д. Гаховым [14], затем Б.В.
Хведелидзе [28], [29] решил задачу (3) при условии, что функция g(t)
принадлежит пространству Lp(Γ) при 1 < p < ∞. В работах И.Б.
Симоненко [20], [21], [22] был существенно расширен класс
коэффициентов G(t), для g(t) ∈ Lp(Γ) при 1 < p < ∞. Во всех случаях
решение записывается в виде интеграла типа Коши.
Случай, когда Γ является конечной совокупностью разомкнутых
линий, изучен Н.И. Мусхелишвили [15]. Для исследования этого случая,
4
(3)
существенно
отличающегося
от
случая
Мусхелишвили ввел функции класса
замкнутых
линий,
если она удовлетворяет
условию Гельдера всюду, кроме конечного множества точек {τ}, а
вблизи точек τ представима в виде ϕ(t) = (t − τ)−µψ(t), где ψ(t) ∈ Cµ(Γ),0
< µ < 1) и изучил свойства интегралов типа Коши в предположении, что
их плотности принадлежат к тому же классу.
Кроме того, теория этой и других краевых задач для аналитических
функций получила глубокое развитие в работах Ф.Д. Гахова [12]-[14],
И.Н. Векуа [7]-[10], Н.П. Векуа [11], Б.В. Боярского [4]-[6], А.В. Бицадзе
[1]-[3], Б.В. Пальцева [17], [18], А.П. Солдатова [23]-[26].
В свете выше изложенного, можем заключить, что изучение задачи
линейного сопряжения в весовых пространствах является актуальным.
Объект исследования
Задача линейного сопряжения для аналитических функций в
весовом
пространстве.
Цель работы
Изучить задачу линейного сопряжения для аналитических функций
в весовом пространстве.
Методы исследования
Применяются методы теории аналитических функций и теории
граничных задач.
Научная новизна
Все результаты являются новыми.
Теоретическая значимость работы
5
Полученные результаты носят, в основном, теоретический характер
и могут быть применены при исследовании граничных задач для
дифференциальных уравнений и систем с частными производными, а
так же при исследовании практических вопросов, приводящих к таким
задачам.
Апробация работы
Результаты
работы
конференциях
докладывались
на
международных
"Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения - XXVI
Воронеж, 2015 и "Современные методы теории краевых задач.
Понтрягинские чтения - XXVII Воронеж, 2016
Содержание работы
В данной работе изучение задачи (3) проводится в весовых
пространствах Cλµ (подробному описанию которых посвящен первый
параграф первой главы) на плоскости (глава 1) и в l-мерном
пространстве (глава 2) для случая, когда коэффициент
G(t)
представляет собой треугольную матрицу.
В первой главе рассматривается классическая задача линейного
сопряжения для аналитических функций (3) на ориентированной
кусочно-гладкой кривой Γ в семействе весовых пространств Гельдера.
Под кусочно-гладкой кривой понимается объединение конечного числа
гладких дуг, которые попарно могут пересекаться только по своим
концам. Каждая из дуг Γj определённым образом ориентирована и
6
предельные значения φ± в (3) понимаются по отношению к этой
ориентации.
Задачу (3) будем рассматривать в пространстве
с
произвольными весовым порядком λ и k ∈ Z. Это пространсво состоит
из функций, аналитических в D = C ∖ Γ, которые вне окрестности точек
τ ∈ F удовлетворяют условию Гельдера вплоть до границы, а при z → τ
ведут себя как O(|z − τ|λτ ), и при z → ∞ ведут себя как O(|z|k−1) (Более
точное определение см. в первом параграфе первой главы). Кусочно непрерывный коэффициент G(t) принадлежит классу
и
предполагается всюду отличным от нуля, включая его односторонние
предельные значения в узлах τ ∈ F.
Положим
.
где nτ - количество концов дуг, связынных с τ, G(τ,j) пределы значений
функции G(t) по этим концам, στ,j = 1 если это правый конец дуги, στ,j =
−1 в противном случае.
Пусть
æ(G) = IndG − ∑︁τ(ατ + iβτ) ∈ Z,
где
Ind
.
Теорема 1. Для любого целочисленного порядка s = (sτ, τ ∈ F)
существует единственная функция
всюду от7
, которая
лична от нуля, включая предельные значения X± на Γ ∖ F, такая, что
,
где s(F) = ∑︁τ sτ.
Функцию X(z), удовлетворяющую условиям теоремы 1, принято
называть канонической (или G-канонической). С ее помощью решение
задачи (3) строится следующим образом:
Теорема 2. Пусть λτ −ατ ∈/ Z, τ ∈ F, каноническая функция X задачи
(3) отвечает семейству sτ = [ατ − λτ], τ ∈ F и æ = æ(G) + s(F) + k.
Тогда условия ортогональности
∫︁
[X+(t)]−1g(t)q(t)dt = 0,
q ∈ P−æ,
Γ
необходимы и достаточны для разрешимости задачи (3) в классе
, и при их выполнении все ее решения φ даются формулой
.
В общем случае произвольного λ эти утверждения справедливы по отношению к классу
.
Во второй главе задача (3) рассматривается для аналитических l−
векторфункций φ = (φ1,...,φl) компоненты φk которых имеют конечные
порядки на бесконечности, подчиненные условию
degφk ≤ nk − 1,
8
1 ≤ k ≤ l,
(4)
с заданными целыми числами nk. G - треугольный матричный
коэффициент , заданный на кусочно-гладкой кривой Γ. Подробно
разобран случай l = 2, когда
⎛
⎞
G1 G0
G = ⎜ ⎟.
(5) ⎝ ⎠
0 G2
Существует каноническая функция Xk
,
æk = ∑︁ [αk,τ − λτ] + IndGk − ∑︁ (αk,τ + iβk,τ).
(6) τ
τ
Обозначим Pk класс многочленов степени не выше æk+nk−1 (считая Pk =
0 при æk + nk ≤ 0) и пусть Qk имеет аналогичный смысл по отношению к
многочленам степени не выше −(æk + nk) − 1. Таким образом, dim Pk =
æk + nk, dimQk = 0 при æk + nk ≥ 0 и dim Pk = 0, dimQk = −(æk + nk) при
æk+nk ≤ 0. Во всех случаях dim Pk−dimQk = æk+nk. В соответствии с этими
обозначениями можем ввести классы многочленов
,
.
Лемма 1. В разложениях
подпространства
dim
имеют общую размерность r = dim
.
9
При этом существует единственный линейный оператор R,
который интегрируемой на Γ функции g ∈ L(Γ) ставит в
соответствие многочлен
со свойством
⟨ap,qi⟩ = ⟨g,qi⟩,
где q1,...,qr – некоторый базис в
1 ≤ i ≤ r,
.
Теорема 3. Пусть условия (6) выполнены для обоих значений k = 1,2
и функции f1, f2 ∈ L(Γ) определяются равенствами
с сингулярным оператором Коши S.
Тогда задача (3) – (5) разрешима в классе
аналитических
в D = C ∖ Γ вектор- функций φ = (φ1,φ2) тогда и только тогда, когда
,
и при выполнении этих условий общее решение задачи дается
формулой
,
,
с оператором R
Во втором параграфе второй главы решается вопрос существования
канонической матрицы-функци и ее использования для решения
задачи (3).
10
Теорема 4. Пусть каноническая функция X(z) имеет нормальную
форму на бесконечности и подчинена весовому порядку λ. Пусть
функция g ∈ Cλµ(Γ,F). Тогда задачи (3) в классе
разрешима
тогда и
только тогда, когда f удовлетворяет условиям ортогональности
∫︁
[(X+)−1g](t)qj(t)dt = 0,
degqj ≤ −(æj + k) − 1.
Γ
При
выполнении
этих
условий
общее
решение
задачи
в
рассматриваемом классе дается формулой
,
где многочлен p удовлетворяет условию degpj ≤ æj + k − 1,
11
1 ≤ j ≤ l.
Глава 1. Задача линейного сопряжения для аналитических функций
1.1
Весовые классы Гельдера
Рассмотрим
классическую
задачу
линейного
сопряжения
для
аналитических функций
φ+ − Gφ− = g
(1.1)
на ориентированной кусочно-гладкой кривой Γ в семействе весовых
пространств Гельдера. Под кусочно-гладкой кривой понимается
объединение конечного числа гладких дуг, которые попарно могут
пересекаться только по своим концам. Каждая из дуг Γj определённым
образом ориентирована и предельные значения φ± в (1.1) понимаются
по отношению к этой
ориентации.
Задача (1.1) хорошо изучена [16] как в пространствах Гельдера, так и
в весовых гельдеровых пространствах функций, ограниченных в
окрестности точек τ ∈ F или допускающих в них особенности порядка
меньше 1. Как известно, основным инструментом ее исследования
служат интеграл типа Коши
,
(1.2)
и связанный с ним сингулярный интеграл Коши
(1.3)
12
Остановимся подробнее на определении этих пространств. Для
компакта K на плоскости обозначим Cµ(K), 0 < µ < 1, обычное
пространство
Гельдера
с
µ,
показателем
которое
банахово
относительно нормы
,
где |ϕ|0 означает sup-норму.
Для фиксированной точки τ ∈ K пусть
означает
пространство всех ограниченных функций ϕ(z) на K∖τ, для которых
ψ(z) = |z − τ|µϕ(z) ∈ Cµ(K), относительно нормы |ϕ| = |ϕ|0 + [ψ]µ это
пространство
банахово.
Нетрудно
показать,
что
эта
норма
эквивалентна норме
.
Наконец, пусть пространство
, состоит из всех функций
,
снабженное
"перенесенной"нормой
аналогично можно ввести и весовое пространство
.
Совершенно
в ситуации,
когда роль τ играет конечное множество F ⊆ K и λ является семейством
(λτ, τ ∈ F) вещественных чисел. В этом случае роль |z − τ|λ играет
весовая функция
ρλ(z) = ∏︁ |z − τ|λτ .
τ
13
(1.4)
Введенное весовое пространство обладает следующими свойствами
[25].
Лемма 1.1. (a) Операция умножения как билинейное отображение
ограничено Cλµ′ × Cλµ′′ → Cλµ′+λ′′.
(b)
Семейство пространств (Cλµ) монотонно убывает (в
смысле вложения банаховых пространств) по каждому из
параметров µ и λ.
(c)
Для любых α ∈ R, ε > 0 и n = 0,1,... функции
.
(1.5)
Утверждение (b) леммы позволяет ввести классы
.
При λ = 0 их записываем кратко
функция
в (1.5) принадлежит
(1.6)
. В этих обозначениях вторая
.
непрерывны на K и в точках τ ∈ F
Очевидно, функции из
обращаются в нуль. Поскольку
можно
,
ввести класс
,
который является конечномерным расширением
.
Условимся область на комплексной плоскости называть простой,
если она односвязна и ограничена кусочно гладким контуром ∂D. Для
такой
14
области в определении пространства Cλµ(D,F), где F ⊆ ∂D, весовую
функцию (1.4) можно заменить на
Rλ(z) = ∏︁ (z − τ)λτ .
τ
Это пространство ниже используется для аналитических в D функций.
Если ζτ ∈ C и Reζτ = λτ, то аналогично лемме 1(c) устанавливается, что
для любых многочленов pτ(u).
Пространство Cλµ(D,F) можно ввести и для функций, аналитических
в любой области D с кусочно гладкой границей. В этом случае
некоторые из дуг Γ0 ⊆ Γ могут служить разрезами для области D (т.е. эта
область лежит
по обе стороны от Γ0). По этой причине вместо замыкания D в
обозначении весового пространства используем символ D̂︀.
Предварительно остановимся на кусочно гладкой кривой Γ = ∂D
подробнее. Как известно, гладкая дуга Γ0 определяется как образ
функции γ(s) ∈ C1[0,1], производная γ′(s) которой всюду отлична от
нуля. Кроме того, равенство γ(s1) = γ(s2) при s≤s2 влечет либо s1 = s2,
либо s1 = 0, s2 = 1. Эта дуга разомкнута при γ(0) ̸= γ(1) и сомкнута в
противном случае. Таким образом, концы сомкнутой дуги совпадают и
15
она является кусочно- гладким контуром, гладким при γ′(0) = γ′(1).
Одноили двухэлементное множество концов дуги Γ0 обозначим ∂Γ0.
Пусть на кусочно - гладкой кривой Γ = ∂D задано конечное
подмножество F так, что связные компоненты Γ ∖ F представляют
собой гладкие дуги (разомкнутые или сомкнутые) без своих концов. В
этом случае точки τ ∈ F называем узлами кривой Γ. Таким образом,
кривая Γ и множество F ⊆ Γ с помощью гладких дуг Γj, 1 ≤ j ≤ m,
представлены в виде
объединений
,
(1.7)
где открытые дуги Γj ∖ ∂Γj попарно не пересекаются.
Предположим сначала, что область D конечна, т.е. лежит внутри некоторого круга. Условимся гладкую дугу Γ0 ⊆ D, которая за возможным
исключением концов содержится в D, называть разрезом области D.
Дополним Γ до кусочно - гладкой кривой Γ̃︀ с помощью конечного числа
разрезов так, чтобы все связные компоненты
областями. Тогда по определению пространство
были простыми
состоит из
всех аналитических в D функций, которые в связных компонентах D0
открытого множества
принадлежат
. Совершенно
аналогично определяется
и пространство
компо-
условием
нентах D0.
16
в связных
Если область D бесконечна, т.е. D ⊇ {|z| ≥ R} для некоторого R > 0, то
область DR = D∪{|z| < R} конечна и пространство
аналитических в D функций определяется как выше по отношению к
области DR. В этом случае для целого k в данном пространстве
выделяем подпространство
всех функций, допускающих
оценку |φ(z)| ≤ C|z|k−1 при |z| ≥ R. Эта оценка равносильна тому, что
функция φ(z) в области |z| ≥ R раскладывается в ряд
.
Наибольшее j < k, для которого cj ̸= 0 в этом разложении, называется
порядком degφ на бесконечности. Таким образом, указанную оценку
можем выразить условием degφ ≤ k − 1. В частности, при k = 1 функция
φ ограничена в окрестности бесконечности. При k = 0 говорим также,
что функция φ исчезает на бесконечности. По отношению к функции φ
= p, являющейся многочленом, порядок degp является его степенью. В
этом случае удобно считать p = 0 при degp < 0. Класс многочленов p
степени degp ≤ k −1 обозначим Pk. Таким образом, Pk = 0 при k ≤ 0 и
dimPk = k при k > 0.
Совершенно аналогично пространство
определяется и для
функций, аналитических в открытом множестве D с кусочно гладкой
границей Γ, состоящим из нескольких областей. В частности, роль D
может играть все открытое множество C ∖ Γ. Если кривая Γ
ориентируема, т.е. ориентируемы все дуги Γj в (1.7), то тогда для
естественным образом определены односторонние
17
граничные значения φ± на Γ ∖ F, которые, очевидно, принадлежат
Cλµ(Γ,F). Заметим, что для
граничные значения φ±
принадлежат соответствующему классу
. По определению он
состоит из функций ϕ ∈ C(Γ ∖ F), которые на каждой гладкой дуге Γ0 ⊆ Γ,
не содержащих внутри точек τ ∈ F, принадлежат
, где F0 = F ∩ Γ0. В точках τ ∈ F функция ϕ имеет односторонние предельные значения по каждой дуге, сходящейся к этой точке.
Действие интегрального оператора типа Коши (1.2) в весовых
пространствах Гельдера (без конкретизации показателя µ) изучено в
[16]. В пространствах
этот результат был уточнен в [26], который
сформулируем
отдельно.
Теорема 1.1. Пусть кусочно гладкая кривая Γ представлена в виде
(1.7) с помощью ориентируемых гладких дуг Γj и D = C ∖ Γ.
Тогда интегральный оператор типа Коши I ограничен Cλµ(Γ,F) →
, и справедливы формулы Сохоцкого –
Племеля 2φ± = ±ϕ + Sϕ, связывающие интегралы (1.2) и (1.3).
, и ϕ = φ+ − φ−, то
Обратно, если
φ = Iϕ + p с некоторым многочленом p ∈ Pk, причем
∫︁
ϕ(t)q(t)dt = 0,
q ∈ P−k.
Γ
Условия ортогональности в этой теореме вытекают из разложения
18
(1.9)
интеграла типа Коши в окрестности ∞. Оно показывает, что
неравенство deg(Iϕ) ≤ k−1 обеспечивается условиями cj = 0, 0 ≤ j ≤
−k−1, которые
равносильны (1.9).
1.2
Задача линейного сопряжения
Обратимся к задаче (1.1), которую в условиях теоремы 1.1 рассматриваем в пространстве
с произвольными весовым порядком λ и
k ∈ Z. Кусочно - непрерывный коэффициент G(t) принадлежит классу
, который предполагается всюду отличным от нуля, включая
его односторонние предельные значения в узлах τ ∈ F. Нетрудно
показать, что непрерывная на Γ∖F ветвь логарифма lnG также
принадлежит
.
Пусть ρ > 0 столь мало, что круги |z−τ| ≤ ρ с центрами τ ∈ F попарно
не пересекаются и
Γ ∩ {|z − τ| ≤ ρ} = ∪1≤j≤nτ Γτ,j,
(1.9)
{|z − τ| < ρ} ∖ Γ = ∪1≤j≤nτ Sτ,j,
где гладкие дуги Γτ,j имеют своим общим концом точку τ и за
исключением его попарно не пересекаются, а криволинейные сектора
Sτ,j, 1 ≤ j ≤ nτ имеют своей общей вершиной τ и попарно не
пересекаются. Боковыми сторонами этих секторов служат дуги Γτ,j.
19
Заметим, что в обозначениях (1.7) сумма ∑︁τ nτ = 2m. Предполагается,
что ориентация дуг Γτ,j определяется ориентацией Γ.
В соответствии с (1.9) в точках множества F функция
имеет 2m односторонних предельных значений
ϕ(τ,j) = limϕ(t)
при
t → τ, t ∈ Γτ,j.
(1.10)
Для этих функций имеем следующее дополнение теоремы 1.1, которое
для общих кусочно - гельдеровых функций хорошо известно [16] и
которое охватывается приводимой ниже леммой 1.3.
, то в секторе Sτ,j интеграл типа
Лемма 1.2. Если
Коши φ = Iϕ представим в виде
,
где στ,j = 1 (στ,j = −1), если τ является правым (левым) концом дуги
Γτ,j.
Положим
.
(1.11)
Каждая дуга Γj с концами τ′,τ′′ в (1.7) содержит две дуги Γτ′,j′ и Γτ′′,j′′,
причем στ′,j′ = −στ′′,j′′. Поэтому комплексное число
Ind
не зависит от выбора ветви логарифма и
æ(G) = IndG − ∑︁ (ατ + iβτ) ∈ Z.
τ
20
,
(1.12)
(1.13)
Легко видеть также, что
Ind
где
,
означают приращения функции lnG на дугах Γj в (1.7). По
этой причине IndG называем индексом Коши функции G.
Пользуясь теоремой 1.1 и леммой 1.2, стандартным образом [16]
строится так называемая каноническая функция X(z), отвечающая
задаче (1.1) в заданном весовом классе
.
Теорема 1.2. Для любого целочисленного порядка s = (sτ, τ ∈ F) существует единственная функция
от-
, которая всюду
лична от нуля, включая предельные значения X± на Γ ∖ F, в секторах
Sτ,j представима в виде
X(z) = Xτ,j(z)(z − τ)ατ+iβτ−sτ , z ∈ Sτ,j,
где множитель Xτ,j принадлежит
(1.14)
и всюду отличен от ну-
ля, и удовлетворяет условиям
X+ = GX−,
lim X(z)zæ(G)+s(F) = 1,
(1.15) z→∞
где s(F) = ∑︁τ sτ.
Доказательство. Исходя из непрерывной на Γ ∖ F ветви логарифма
lnG ∈ Cµ(Γ;F), рассмотрим интеграл типа Коши
В силу леммы 1.2 эта функция принадлежит
, удовлетворяет
краевому условию L+ − L− = lnG и в секторах Sτ,j представима в виде
21
,
где ζτ фигурирует в (1.12). Согласно (1.11) разность kτ = ζτ − (ατ + iβτ)
является целым числом, причем в силу (1.12), (1.13) сумма ∑︁τ kτ
совпадает с æ(G). Поэтому функция
X(z) = ∏︁
(z − τ)−sτ−kτ eL(z)
τ∈F
удовлетворяет всем условиям теоремы.
Если вместе с X этим условиям удовлетворяет и X1, то их отношение
Y = X1/X является ограниченной функцией, которая обладает свойством
Y + = Y − и стремится к 1 на бесконечности. Поэтому на основании второй
части теоремы 1.1 эта функция тождественно равна 1.
Отметим, что асимптотика канонических матриц- функции в точках τ
∈ F для задачи (1.1) в общем векторном случае приведена в [23]. С
помощью канонической функции, обычным образом [16] строится
эффективное решение задачи (1.1) в классе
.
Теорема 1.3. Пусть λτ − ατ ∈/ Z, τ ∈ F, каноническая функция X задачи
(1.1) отвечает семейству sτ = [ατ − λτ], τ ∈ F и æ = æ(G) + s(F) + k. Тогда
условия ортогональности
∫︁
[X+(t)]−1f(t)q(t)dt = 0,
q ∈ P−æ,
(1.16)
Γ
необходимы и достаточны для разрешимости задачи (1.1) в классе
, и при их выполнении все ее решения φ даются формулой
22
.
(1.17)
В общем случае произвольного λ эти утверждения справедливы по
отношению к классу
1.3
.
Асимптотика решения
Теорема
1.3
позволяет
описать
степенно-
логарифмическую
асимптотику в точках τ ∈ F решений задачи (1.1) при условии, что
аналогичное поведение имеет правая часть f задачи (1.1). Начнем со
следующего вспомогательного результата.
Пусть гладкая дуга Γ0 с концами τ ̸= τ′ ориентирована от τ к τ′, задана
простая область D0 ⊆ C∖Γ0, причем Γ0∩∂D0 является дугой с концами τ
и
. Пусть в области D0 выбрана ветвь логарифма ln(z −τ) с разрезом
вдоль Γ0 и граничными значениями ln+(t − τ) = ln(t − τ) и ln−(t − τ) =
ln(t − τ) + 2πi на Γ0. Рассмотрим поведение интеграла типа Коши
,
при z → τ в ситуации, когда функция
допускает степенно
логарифмическую асимптотику вида
,
с некоторым многочленом q ∈ Pn и Reζ = λ.
Лемма 1.3. (a) Пусть −1 < Reζ = λ < ν < 0. Тогда
23
(1.18)
,
(1.19)
где многочлен p также принадлежит Pn и однозначно определяется
из уравнения
p(u) − e2πiζp(u + 2πi) = q(u).
(1.20)
(b) Пусть Reζ = λ = 0 < ν < 1. Тогда при ζ ̸= 0 имеет место
разложение
,
(1.21)
с некоторыми p ∈ Pn и c0 ∈ C. Если ζ = 0, то справедливо разложение
(1.19) с той разницей, что p ∈ Pn+1.
Доказательство. (a) Убедимся прежде всего, что при e2πiζ ̸= 1
уравнение (1.20) в классе Pn однозначно разрешимо. Очевидно,
оператор N этого уравнения можно записать в форме
,
(1.22)
так что многочлен Np имеет ту же степень, что и p. Поэтому равенство
Np = 0 влечет p = 0 и, следовательно, оператор N обратим в Pn.
Выберем положительные числа ρ1 < ρ2 столь малыми, что
пересечение круга {|z − τ| ≤ ρk} с Γ0 является некоторой дугой Γk, k = 1,2
и, пусть Sk есть дополнение к Γ0 в этом круге. Очевидно, утверждение
леммы достаточно установить по отношению к сектору S1, записывая
условие
на функцию φ0 в (1.19) в форме
. Применим в секторе S2
24
к функции Ω(z) = (z − τ)ζp[ln(z − τ)], где многочлен p(u) есть решение
уравнения (1.20), формулу Коши:
.
В результате приходим к равенству
,
где функция H0(z) аналитична в круге |z − τ| < ρ2. Отсюда приходим к
равенству (1.19) с функцией
,
и на основании теоремы 1.1 функция
.
(b) Предположим сначала, что ζ ̸= 0. В силу очевидного соотношения
можем записать
с функцией
типа
. Применяя к интегралу
Коши с плотностью ϕ первую часть (a) леммы, приходим к
представлению
̃︀
(1.21).
Пусть далее ζ = 0. В этом случае (1.22) переходит в
.
25
Запишем правую часть в форме N1p′, тогда соответствующие
рассуждения (a) показывают, что оператор N1 обратим в классе Pn.
Следовательно, уравнение p(u) − p(u + 2πi) = q(u) с правой частью q ∈
Pn разрешимо в классе Pn+1 и определено с точностью до константы.
Дальнейшие рассуждения аналогичны предыдущим.
Отметим, что уравнение (1.20) можно решить в явной форме. C этой
целью рассмотрим аналитическую функцию g(u) = 1 − e2πiu. Исходя из
тейлоровского разложения g(ζ + u) по степеням u и операции
дифференцирования Dp = p′ в классе многочленов p, введем в этом
классе линейную операцию
В терминах этой операции уравнение (1.20) можно записать в виде g(ζ
+ D)p = q. Пусть ζ ̸= 0 и h(u) = (1 − e2πiu)−1. Тогда записывая тождество
h(ζ + u)g(ζ + u) = g(ζ + u)h(ζ + u) = 1 для тейлоровских разложений по
степеням u, убеждаемся, что операции g(ζ + D) и h(ζ + D) взаимно
обратны, так что решением уравнения (1.20) служит p = h(ζ + D)q.
При ζ = 0 рассмотрим разложение функции h(u) в ряд Лорана
с коэффициентами
и соответственно этому разложению положим
26
Тогда аналогично предыдущему проверяется, что g(D)h(D)p = p для
любого многочлена p, однако порядок операций здесь существенен.
Поэтому многочлен p = h(D)q является решением уравнения (1.20) и в
этом случае.
Теорема 1.4. Пусть функция
есть решение задачи
(1.1) с правой частью
, которая в окрестности
фиксированной точки τ ∈ F представима в виде
,
(1.23)
где Reζ = λτ и qj ∈ Pn, 1 ≤ j ≤ nτ.
Тогда если λτ −ατ разность не является целым числом, то в
секторах Sτ,j функция φ представима в аналогичном виде
,
(1.24)
с некоторыми многочленами pj ∈ Pn. Если λτ −ατ ∈ Z и ζ ̸= ατ +iβτ, то
,
(1.25)
с некоторыми cj ∈ C и pj ∈ Pn. Наконец, при ζ = λτ + iβτ имеет место
представление (1.24) с многочленом pj ∈ Pn+1.
Доказательство. Согласно теореме 1.3 решение
задачи
(1.1) представимо в виде
φ = X(φ0 + p0),
27
φ0 = I[(X+)−1f],
(1.26)
с некоторым многочленом p0. На основании (1.23) и теоремы 1.2
можем записать
,
где ζ0 = ζ − (ατ + iβτ) + sτ и Reζ0 = ντ, −1 < ντ ≤ 0.
Предположим сначала, что ντ < 0. Тогда в силу леммы 1.3(a) отсюда
,
(1.27)
с многочленом pj ∈ Pn, что для функции φ в (1.26) приводит к
представлению (1.24).
Если ντ = 0 и Imζ0 ̸= 0, то на основании леммы 1.3(b)
,
с многочленами pj ∈ Pn. Совместно с (1.26) отсюда следует
представление (1.25). Наконец, при ζ0 = 0 из тех же соображений
имеем разложение (1.27) с многочленом pj ∈ Pn+1, что приводит к к
представлению (1.24) и в этом
случае.
Проиллюстрируем теорему в ситуации, когда λτ = ζ = 0 и qj являются
многочленами нулевой степени, т.е. когда условие (1.23) переходит в
.
(1.28)
На основании теоремы 1.4 отсюда следует, что при 0 < ατ < 1 любое
решение
задачи (1.1) в секторах Sτ,j также принадлежит классу
. Если ατ = 0, но βτ ̸= 0, то согласно (1.25) имеем разложение
28
.
Наконец при ατ = βτ = 0 многочлены pj в (1.24) имеют степень 1 и,
следовательно, в этом случае
.
(1.29)
Таким образом, решение φ будет ограниченным в окрестности τ для
любой функции f вида (1.28) тогда и только тогда, когда ατ + iβτ ̸= 0. По
терминологии Н.И. Мусхелишвили [16] точки τ ∈ F, для которых ατ ̸= 0,
называются неособенными.
Из доказательства теоремы 1.4 и леммы 1.2 видно, что при ατ = 0
коэффициент cj в разложении (1.29) обращаются в нуль тогда и только
тогда, когда функция f в (1.28) подчинена условию
.
(1.30)
Здесь учтено, что в соответствии с принятым предположением и
теоремой
и, следовательно, X+ ∈
1.2 каноническая функция
.
Рассмотрим частный случай, когда nτ = 2 и знаки στ,j, j = 1,2,
противоположны, например, στ,1 = −στ,2 = 1. Тогда в окрестности τ
кривая Γ ориентирована единым образом, причем дуга Γτ,1 лежит слева
от τ и ее
29
можно обозначить Γτ,−0, и аналогично Γτ,2 = Γτ,+0. Соответственно
предельные значения (1.10) на этих дугах можно обозначить ϕ(τ ± 0).
В этом случае (1.11) принимает вид
.
Пусть G(τ − 0) = G(τ + 0) и выполнено условие (1.28). Тогда для
аналитической функции φ в двух секторах Sτ,1 и Sτ,2 будем иметь
разложение (1.29). Пусть каноническая функция X(z) в теореме 1.2
построена для случая, когда все sτ = 0. Тогда ее сужение Xj на сектор Sτ,j
вместе со своим обратным принадлежит классу
. Считая
для определенности сектор Sτ,1 расположенным слева от Γ, приходим к
заключению, что значения X+(τ ± 0) совпадают с X1(τ) и,
следовательно, соотношение (1.30) сводится к равенству f(τ +0) = f(τ
−0). Выполнение этого условия необходимо и достаточно для
обращения в нуль логарифмического слагаемого
в (1.29).
В заключение остановимся на случае, когда Γ является кусочно –
гладким контуром, т.е. каждая связная компонента этой кривой
гомеоморфна окружности, и функция G ∈ Cµ(Γ). Пусть эти компоненты,
которые обозначим Γ(1),...,Γ(n), ориентированы определенным образом
(по или против часовой стрелки). Поскольку в рассматриваемом случае
ατ + iβτ = 0 для всех τ ∈ F, каноническая функция X(z), построенная по
теореме 1.2 для
30
s = 0, вместе со своей обратной 1/X(z) принадлежит Cµ(D±).
Соответственно для f ∈ Cµ(Γ) теорема 1.3 описывает разрешимость
задачи (1.1) a
с порядком не выше k − 1 на ∞.
классе функций
Целое число æ в рассматриваемом случае совпадает с индексом
Коши æ = IndG, которое определяется суммой приращений ветви lnG
на простых контурах Γ(j) в соответствии с их ориентацией, т.е.
æ=
.
(1.31)
Здесь ветвь логарифма предполагается непрерывной на Γ(j) вне
фиксированной точки τ(j).
Следуя [16, 14], каноническую функцию можно строить по той же
схеме, что и в теореме 1.3, но только исходя из компонент Γ(j). Если все
слагаемые в правой части (1.31) равны нулю, то lnG ∈ Cµ(Γ) и можно
положить
X(z) = exp[I(lnG)](z),z ∈ D.
В общем случае пусть æj означает j−ое слагаемое в правой части
(1.31). Каждый простой контур Γ(j) разбивает плоскость на конечную Dj0
и бесконечную Dj1 области. Выберем точку aj ∈ Dj0 и положим
,
31
где σj = 1, если контур Γ(j) ориентирован против часовой стрелки, и σj =
−1 в противном случае. Очевидно,
обладает свойством lnG0 ∈
и, следовательно, функция
Cµ(Γ). Легко видеть, что аналитическая вне Γ функция
⎧
n
⎪
∏︁
X1(z) =
⎨
Yj(z),
канонической
⎪⎩ (z − aj)−æj,
для
z ∈ Dj0,
Yj(z) =
j=1
будет
1,
коэффициента
G1(t).
z ∈ Dj1,
Соответственно
каноническую функцию для коэффициента G можем определить
равенством
X(z) = X0(z)X1(z),
X0(z) = exp[I(lnG0)](z),z ∈ D.
Глава 2. Задача линейного сопряжения с треугольным
матричным коэффициентом
2.1
Задача линейного сопряжения в l-мерном пространстве
Рассмотрим классическую задачу линейного сопряжения
φ+ − Gφ− = g
(2.1)
для аналитических l− вектор-функций φ = (φ1,...,φl) с треугольным
матричным коэффициентом G, заданным на кусочно-гладкой кривой Γ.
Последняя составлена из конечного числа ориентированных гладких
дуг, которые попарно могут пересекаться только по своим концам.
32
Граничные значения φ± понимаются по отношению к этой ориентации.
Концы указанных дуг составляют множество F угловых точек кривой.
При достаточно малом ρ > 0 кривая Γτ = Γ ∩ {|z − τ| ≤ ρ} состоит из
некоторого числа nτ дуг Γτ,j, 1 ≤ j ≤ nτ, с общим концом τ. Для
определенности их нумерация выбрана в порядке обхода точки τ
против часовой стрелки. По отношению к ориентации Γ дуга Γτ,j может
"входить" либо "выходить" из τ, соответственно этому полагаем στ,j = 1
и στ,j = −1. Открытый круг |z − τ| < ρ разбивается Γ на криволинейные
сектора Sτ,j, 1 ≤ j ≤ nτ, боковыми сторонами которого служат дуги Γτ,j и
Γτ,j+1. При nτ = 1 эти стороны совпадают, т.е Sτ = Sτ,1 представляет собой
круг с разрезом вдоль Γτ = Γτ,1.
Все принятые в первой главе обозначения относительно весовых
классов Гельдера сохраняются без изменений. Как и в первой главе
предполагается, что матрица -функция G кусочно - непрерывна и
принадлежит классу
, причем ее определитель detG всюду отличен от нуля,
включая предельные значения
,
в угловых точках τ ∈ F кривой.
Задачу
(2.1)
рассматриваем
в
весовом
классе
аналитических в открытом множестве D = C ∖ F функций, компоненты
φk которых имеют конечные порядки на бесконечности, подчиненные
условию
33
degφk ≤ nk − 1,
1 ≤ k ≤ l,
(2.2)
с заданными целыми числами nk. Другими словами, в окрестности ∞
они имеют поведение O(|z|nk−1) или, что равносильно, допускают
разложение
φk(z) = ∑︁
cj,szs. s≤nk−1
Задача Римана – Гильберта исчерпывающим образом изучена в
известных монографиях [16, 11] в классе H* интегрируемых функций φ,
принадлежащих
с некоторыми λ > −1 и 0 < µ < 1, а также в классах
Hε почти ограниченных функций H(D,F^
) ограниченных функций, при-
надлежащих, соответственно, Cλµ(D,F^ ) для всех
c
некоторым 0 < µ < 1. Однако различные приложения этой задачи
требуют исследования этой задачи в пространстве Cλµ для всех весовых
порядков. Например, подобная ситуация возникает при рассмотрении
задачи Римана– Гильберта в односвязных областях с кусочно - гладкой
границей с помощью конформных отображений [25], а также при
изучении задачи линейного сопряжения для полианалитических
функций.
В дальнейшем для простоты ограничимся случаем l = 2, когда
⎛
⎞
G1 G0
G=⎜
⎝
⎟.
⎠
0
34
G2
(2.3)
В силу треугольности этой матрицы задача (2.1) сводится к
последовательному решению двух скалярных задач сопряжения
ψ+ − Gkψ− = g,
в классе функций
бесконеч-
k = 1,2,
(2.4)
, подчиненных условию (2.2) на
ности.
Запишем для краткости интеграл типа Коши в форме
,
который при −1 < λ < 0 определяет ограниченный оператор I : Cλµ(Γ,F) →
Cλµ(D,F^ ). Исходя из непрерывной на Γ ∖ F ветви логарифма lnGk,
которая вместе с Gk принадлежит классу
, введем функцию hk
=
I(lnGk), которая исчезает на бесконечности, м связанную с ней функцию
Xk(z) = ehk(z) ∏︁ (z − τ)−sτ ,
(2.5)
τ
с некоторыми целыми sτ, которая является канонической для задачи
(2.4).
В секторах Sτ,j функция hk представима в виде
,
Положим
arg
,
35
(2.6)
так что
с некоторым целым sk,τ. Заметим, что сумма слагаемых в левой части
по τ совпадает с индексом Коши IndGk функции Gk, т.е деленную на 2πi
сумму приращений lnGk на дугах, составляющих кривую Γ∖F, которые
взяты в соответствии с их ориентацией. Таким образом,
IndGk = ∑︁ (αk,τ + iβk,τ + sk,τ). τ
(2.7)
Очевидно, в секторах Sτ,j функция Xk представима в виде
Xk(z) = Ak,τ,j(z)(z − τ)δk,τ+iβk,τ ,
где A,
δk,τ = −sτ + sk,τ + αk,τ,
(2.8)
.
Произвол в выборе целых чисел sτ в определении (2.5) подчиним
условию
λ ≤ δk < λ + 1
(2.9)
по отношению к весовому порядку δk = (δk,τ,τ ∈ F). Тогда [αk,τ − λτ] + sk,τ
= sτ, где [x] означает целую часть числа x. С учетом (2.7) отсюда
,
æk = ∑︁ [αk,τ −λτ]+IndGk−∑︁ (αk,τ +iβk,τ), (2.10) τ
τ
Как было показано в первой главе с помощью канонической
функции легко описать разрешимость задачи (2.4). С этой целью
обозначим Pk класс многочленов степени не выше æk +nk −1 (считая Pk
= 0 при æk +nk ≤ 0) и пусть Qk имеет аналогичный смысл по отношению
к многочленам степени не выше −(æk +nk)−1. Таким образом, dim Pk =
36
æk +nk, dimQk = 0 при æk + nk ≥ 0 и dim Pk = 0, dimQk = −(æk + nk) при æk +
nk ≤ 0. Во всех случаях dim Pk − dimQk = æk + nk.
Теорема 2.1. При выполнении условий
λτ − αk,τ ∈/ Z, τ ∈ F,
(2.11)
задача (2.4) разрешима в классе функций ψ ∈ Cλµ(D,F^ ), подчиненных
условию degψ ≤ nk − 1 на бесконечности, тогда и только тогда, когда
⟨(X+)−1g,q⟩ = 0, q ∈ Qk,
где для краткости положено
∫︁
⟨ϕ,q⟩ =
ϕ(t)q(t)dt.
Γ
При выполнении этого условия ее общее решение дается формулой
ψ = XkI[(Xk+)−1g] + Xkp, p ∈ Pk.
Отметим, что согласно (2.8) оператор умножения g → (Xk+)−1g
. В силу (2.10) весовой порядок λk
осуществляет изоморфизм
= λ− δk удовлетворяет условию −1 < λk < 0, так что оператор g →
XkI[(Xk+)−1g] ограничен Cλµ(Γ,F) → Cλµ(D,F^ ). Если условие (2.10)
нарушено для некоторых τ, то можно лишь утверждать, что функция ψ
= XkI[(Xk+)−1g] принадлежит классу
(т.е. классу
для любого ε >
0).
Из теоремы также следует, что индекс задачи равен dim Pk − dimQk
= æk + nk.
37
Обратимся к задаче (2.1) – (2.3), для которой положим
.
(2.12)
В силу (2.8) эта функция принадлежит классу
. Согласно (2.9)
весовой порядок δ2−δ1 заключен строго между −1 и 1, так что функция
a интегрируема на Γ. В соответствии с этим в принятых выше
обозначениях можем ввести классы многочленов
,
(2.13)
,
Лемма 2.1. В разложениях
(2.14)
подпространства
dim
имеют общую размерность r = dim
.
При этом существует единственный линейный оператор R,
который интегрируемой на Γ функции g ∈ L(Γ) ставит в
соответствие многочлен
со свойством
⟨ap,qi⟩ = ⟨g,qi⟩,
где q1,...,qr – некоторый базис в
1 ≤ i ≤ r,
(2.15)
.
Доказательство. По определению (2.13) билинейная форма ⟨ap,q⟩
невырождена на произведении
⟨ap,q⟩ =
в том смысле, что равенства
влекут p = 0 и, наоборот, равенства
влекут
38
q = 0. Отсюда равенство dim
= dim
получается непосредственно.
В самом деле, пусть элементы p1,...,ps и q1,...,qr образуют базисы,
соответственно,
. Тогда в силу указанного свойства
невырожденности строки и столбцы s × r− матрицы A с элементами
⟨api,qj⟩ линейно независимы, так что эта матрица квадратна.
Полагая
, систему (2.15) можем записать в форме
Поскольку матрица A этой системы обратима, то по отношению к
обратной
матрице
приходим к выражению
,
так что можем положить
Rg = ∑︁
Bijpi⟨g,qj⟩.
1≤i,j≤r
То, что оператор R со свойством (2.15) единственен, почти очевидно. В
. Тогда ⟨ap,q⟩ = 0
самом деле, пусть
для
всех q ∈ Q1 и, следовательно,
, что в соответствии с разложением
(2.14) возможно только для p = 0.
Теорема 2.2. Пусть условия (2.10) выполнены для обоих значений k
= 1,2 и функции g1, g2 ∈ L(Γ) определяются равенствами
(2.16)
39
с сингулярным оператором Коши S.
Тогда задача (2.1) – (2.3) разрешима в классе Cλµ(D,F^ )
аналитических в D = C ∖ Γ вектор- функций φ = (φ1,φ2) тогда и только
тогда, когда
,
(2.17)
и при выполнении этих условий в обозначениях леммы 2.1 общее
решение задачи дается формулой
,
(2.18)
,
с оператором R из леммы 2.1.
Доказательство. Запишем краевое условие (2.3) в покомпонентном
виде
,
и последовательно ко второму и первому уравнениям применим
теорему 2.1. Тогда необходимые и достаточные условия разрешимости
задачи примут вид
;
(2.19)
,
при выполнении которых ее решение дается формулами
,
(2.20)
40
.
Из последнего равенства по формуле Сохоцкого- Племеля имеем:
,
так что в обозначениях (2.12), (2.16) получим
.
(2.21)
В результате первое соотношение в (2.19) примет вид
⟨g1 + ap2,q⟩ = 0, q ∈ Q1.
Очевидно,
оно
равносильно
паре
. Полагая
соотношений
, в последнем
соотноше-
нии можем p2 заменить на . На основании леммы 1 из него следует,
что
. Совместно с первым соотношением отсюда приходим к
условию
разрешимости (2.17) для g1. При этом (2.21) переходит в
.
Подставляя это выражение в (2.20), приходим к справедливости (2.18),
что завершает доказательство теоремы.
Отметим, что число линейно независимых условий ортогональности
в (2.17) равно dim
+dimQ2. C другой стороны, формула (2.18)
показывает, что пространство решений однородной задачи имеет
размерность dimP1 + dim
. Поэтому индекс задачи
41
æ(G) = dimP1 + dim
Согласно (2.14) dim
dim
= dimP2 − dim
dimQ2.
и dim
= dimQ2 − dim
Подставляя эти выражения в предыдущее равенство и учитывая, что в
силу леммы 2.1 dim
= dim
æ(G) = ∑︁
, приходим к выражению
(dimPk − dimQk) = æ1 + æ2 − n1 − n2
k=1,2
для индекса задачи, аналогичному для скалярного случая.
2.2
Каноническая матрица-функция
Задачу линейного сопряжения (2.1) в пространстве
с любым
весовым порядком λ можно решать с помощью канонической
матрицы- функции X(z). Вопрос ее существования и асимптотики в
точках τ ∈ F были изучены в [23]. Однако в рассматриваемом случае
треугольной матрицы этот вопрос решается элементарно.
Пусть, как обычно заданы кусочно- гладкая кривая Γ с множеством
узлов F и ее дополнение D = C∖Γ. Исходя из весового порядка λ = (λτ, τ
∈ F), рассмотрим семейства весовых пространств Cλµ(Γ,F) и Cλµ(D,F^ ),
0 < µ < 1, где элементами последнего пространства служат
аналитические в D функции, имеющие конечный порядок k = degφ на
бесконечности.
Другими словами, в разложении функции φ в ряд Лорана в окрестности
бесконечности по целым степеням zi все коэффициенты с номерами i >
42
.
k обращаются в нуль. Открытые дуги, составляющие Γ, предполагаются
ориентированными, так что для функций φ этого класса определены
граничные значения φ± ∈ Cλµ(Γ,F).
Пусть l×l− матрица - функция G кусочно - непрерывна на Γ и
принадлежит классу
, т.е. ее сужение на каждую
разомкнутую дугу Γ0 ⊆ Γ, для которой F ∩ Γ0 состоит из единственной
точки τ0 ∈ F, являющейся одним из ее концов, принадлежит классу
, т.е. это
сужение непрерывно на
малым
с некоторым
ε > 0. В дальнейшем предполагается, что определитель detG всюду
отличен от нуля всюду на Γ, включая его предельные значения в точках
τ ∈ F по дугам, сходящимся к τ.
По определению аналитическая в D матрица- функция каноническая
(по отношению к коэффициенту G или, кратко G− каноническая), если
ее определитель всюду отличен от нуля в D, вместе со своим
определителем она принадлежит классу Cλµ(D,F^ ) для некоторого
весового порядка λ и выполнено краевое условие
X+ = GX−.
(2.22)
Заметим, что если матрица - функция R(z) рациональна, причем ее
нули и полюса могут лежать только в F, то вместе с X канонической
функцией будет и XR. Класс такие рациональных матриц - функций
43
обозначим ℛ. Верно и обратное: любые две канонические функции
связаны соотношением
X1 = X2R,
В
самом
деле,
в
силу
R ∈ ℛ.
(2.22)
(2.24)
имеем
, что для матрицы- функции
равенство
дает
соотношение Y + = Y −. Поэтому эта функция аналитична в C∖ F и в точках
τ ∈ F может допускать только полюса, что возможно только когда она
рациональна. Поскольку detY (z) ̸= 0, z ∈ D, нули и полюса этой функции
могут лежать только в D.
Возникает вопрос существования канонических матриц– функций.
Теорема 2.3. Для любого весового порядка λ существует
каноническая функция X ∈ Cλµ(D,F^ ).
Доказательство. Рассмотрим в классе
вектор – функций φ =
(φ1,...,φn) однородную задачу линейного сопряжения
φ+ − Gφ− = 0,
(2.24)
которой согласно (2.22) удовлетворяют столбцы канонических матриц.
Для этой задачи справедливы следующие утверждения.
(i) Пространство решений задачи (2.24) в классе Cλµ(D,F^ )
конечномерно, причем его размерность k(λ) → +∞ при λτ → −∞ хотя бы
для одного τ и существует такое натуральное n, что k(λ) = 0 при λτ ≥
n для всех τ.
(ii) Пусть точка τ′ ∈ Γ ∖ F, весовой порядок λ˜ задан на множестве
44
F˜ = F ∪{τ′} и совпадает с λ на F, причем λ˜τ′ > −1. Тогда любое решение
Первое
задачи (2.24) принадлежит Cλµ(D,F^ ).
утверждение позволяет составить матрицу,
удовлетворяющую
условию
(2.22).
функцию
Очевидно,
определитель detY принадлежит пространству Cnλµ (D,F^ )
ее
и
удовлетворяет краевому условию
(detY )+ = (detG)detY −.
(2.25)
Предположим, что detY (z0) = 0в некоторой точке z0 ∈ D и ненулевой
вектор ξ ∈ Cn выбран по условию Y (z0)xi = 0. Пусть матрица P ∈ Cn×n
осуществляет проектирование Cn на одномерное подпространство,
натянутое на вектор ξ, так что Y (z0)P = 0. Рассмотрим рациональную матрицуфункцию R(z) = (z − z0)−1P + 1 − P, где 1 означает единичную
матрицу.
Поскольку
Y (z)R(z) = [Y (z) − Y (z0)]R(z) + Y (z0)(1 − P),
(2.26)
матрица - функция Y1 = Y R также аналитична в D и ее определитель
detY1(z) = (z − z0)−1 detY (z)
удовлетворяет
(2.25).
Очевидно,
порядок
этой
функции
на
бесконечности по сравнению с порядком detY уменьшился на единицу.
45
Аналогичным образом поступаем и в случае, когда detY +(t0) = 0 в
некоторой точке t0 ∈ Γ ∖ F. В этом случае в силу соотношения (2.22),
которому удовлетворяет Y , найдется такой ненулевой вектор ξ ∈ Cn, что
Y ±(t0)ξ = 0. Полагая Y1 = Y R с R(z) = (z − t0)−1P + 1 − P, аналогично
(2.26) можем записать
Y ±(t)R(t) = [Y ±(t) − Y ±(t0)]R(t) + Y ±(t0)(1 − P).
Это равенство показывает, что матрица функция Y1 удовлетворяет
условиям предложения (ii) с τ˜ = t0 и λ˜τ˜ = µ − 1. Поэтому на основании
этого предложения она по- прежнему принадлежит классу Cλµ(D,F^ ).
Итак, в случае существования нуля функции detY в D или Γ ∖ F можем
переходить от Y к Y1 ∈ Cλµ(D,F^ ) с понижением порядка detY на
бесконечности на единицу. В силу предложения (i), примененного к
задаче (2.25) в классе
, эта процедура имеет конечное число шагов,
которые исчерпывают все нули detY и приводят к канонической
матрице X.
Удобно ввести следующее понятие. Каноническая функция X(z)
имеет нормальную форму на бесконечности, если в окрестности ∞ она
представима в виде
X(z) = X0(z)diag(z−æ1,...,z−æl)
(2.27)
с некоторыми целыми æj, где X0 имеет предел конечный предел X0(∞)
при z → ∞, причем detX0(∞) =
̸ 0.
46
По определению две канонические функции X1 и X2 эквивалентны,
если они связаны соотношением X1 = X2P, где P является матричным
многочленом с постоянным ненулевым определителем.
Следующая лемма принадлежит Н.И. Мусхелишвили ([16], стр. 426).
Лемма 2.2. Для любой канонической функции X существует
эквивалентная ей матрица- функция, имеющая нормальную форму
на бесконечности.
Доказательство. Пусть матрица- функция X каноническая и −æj есть
порядок на бесконечности ее j−го столбца, который обозначим X(j).
Поскольку умножение X справа на матрицу перестановки приводит к
перестановки ее столцов, не ограничивая общности можно считать, что
æj ≤ æj+1. Таким образом, в окрестности ∞ для элементов этой матрицы
имеем представление
Xij(z) = z−æj[Aij + O(|z|−1)].
(2.28)
Предположим, что X не имеет нормальной формы на бесконечности,
т.е. deta = 0. Тогда столбцы матрицы A линейно зависимы, так что для
некоторого 1 < m ≤ n выполнено соотношение
α1A(1) + ... + αmA(m) = 0,
αm ̸= 0.
Рассмотрим эквивалентную каноническую матрицу X˜, столбцы
которой
X˜(j) = X(j) при j ̸= m и
X˜(m) = α1z−æm+æ1X(1) + ... + αm−1z−æm+æm−1X(m−1) + αmX(m).
47
Тогда X˜ имеет аналогичное (2.28) поведение на бесконечности с
целыми æj, которые совпадают с æj при j ̸= m, а æ˜m > æm.
Таким образом, эта процедура на каждом шаге понижает порядок
на бесконечности одного из столбцов по крайней мере на одну
единицу. В соответствии с теоремой 2.3(i) эта процедура на каком-то
шаге должна оборваться и привести к канонической функции с
нормальной формой на
бесконечности.
Можно показать, что целые числа æj в лемме 2.2 с точностью до
перестановки определены однозначно, они называются частными
индексами матрицы X. В качестве иллюстрации рассмотрим случай
треугольной матрицы.
Очевидно, если матрица-функция
⎛
⎞
X11 X12 ···
X1l
⎜
⎟
⎜
X2l ⎟⎟
⎜0
X22 ···
⎟,
X=⎜⎜
⎟
⎜ ···
···
··· ··· ⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
0
0
··· Xll
аналитична в окрестности ∞ и для некоторых целых æj ее элементы
допускает конечные пределы
lim zæjXij(z) = aij,
1 ≤ i ≤ j, z→∞
причем aii ̸= 0, то ее частными индексами служат æj, 1 ≤ j ≤ l.
48
В общем случае, когда эти пределы существуют только для i = j,
частные индексы могут быть отличны от æj. Примером служит матрица
⎛
1 z−1
⎞
X(z) = ⎜
⎟,
⎝ 0 z−2 ⎠
частными индексами которой служат пара одинаковых чисел −1. Для
доказательства достаточно заметить, что
⎛
⎞⎛
1 z−1
⎞
1
⎜
0
что
z−1
⎟=⎜
⎟⎜
говорить,
⎞
0
⎝ 0 z−2 ⎠⎝ −z 1 ⎠
Условимся
⎛
⎟.
⎝ −z−1 z−2 ⎠
каноническая
функция
подчинена
весовому порядку λ, если
.
(2.29)
Нетрудно видеть, что такая функция с точностью до эквивалентности
определена однозначно. В самом деле, произведение φ1φ2 двух
функций
принадлежит
функция
однородному
принадлежит классу
. Поэтому матрица , удовлетворяет
краевому условию R+ = R− и имеет конечный порядок на бесконечности.
Поэтому она в действительности аналитична на всей плоскости, т.е.
49
является некоторым многочленом P. Таким образом, X2 = X1P. Меняя
местами
X1 и X2, убеждаемся, что аналогично X1 = X2Q с некоторым многочленом
Q. Поскольку detP detQ = 1, определитель каждого из этих многочленов
является ненулевой константой, так что X1 ∼ X2.
Вопрос о существовании канонических функций, подчиненных
заданному весовому порядку, оставляем пока открытым. В скалярном
случае он решается явно. В этом случае все канонические функции
описываются с помощью интеграла типа Коши
который представляет собой аналитическую в D = C∖Γ функцию φ = Iϕ,
исчезающую на бесконечности (точнее, ее порядок degϕ ≤ −1). Для нее
справедлив следующий результат.
Теорема 2.4. Если ϕ ∈ Cλµ(Γ,F) и −1 < λ < 0, то функция φ = Iϕ
принадлежит классу Cλµ(D,F^ ) и ее граничныне значения связаны
соотношением φ+ − φ− = ϕ.
В качестве следствия из этой теоремы выводится следующее
предложение.
Лемма 2.3. Если
, то
.
Напомним определение последнего пространства. При достаточно
ма-
50
лом ε > 0 круг z − τ| ≤ ε с центром τ ∈ F пересекает кривую Γ по дугам
Γτ,j, 1 ≤ j ≤ nτ, с общим концом τ. Эти дуги разбивают данный круг на
криволинейные сектора Sτ,j, 1 ≤ j ≤ nτ, с общей вершиной τ. В этих
обозначениях пространство
, можно определить
как класс аналитических в D функций, которые принадлежат Cµ(D0) в
каждой простой подобласти D0 ⊆ D, граница которой не содержит
точек τ ∈ F, а в секторах Sτ,j она принадлежит
, т.е.
с некоторой постоянной Cτ,j. Конечно, при nτ > 1 сектора Sτ,j являются
простыми областями и символ S^τ,j можно заменить на Sτ,j.
При 0 < λ < 1 для каждой точки τ ∈ F интеграл Iϕ имеет смысл и в
точке z = τ, при этом
.
Поэтому на основании теоремы 2.4 функция в левой части
принадлежит
и, следовательно,
, что и доказывает
лемму.
Рассмотрим далее случай, когда функция ϕ кусочно непрерывна на
Γ и принадлежит классу
. Другими словами, на каждой дуге
Γ0 ⊆ Γ ∖ F она принадлежит Cµ(Γ0), а на дугах Γτ,j она принадлежит
, т.е.
51
с некоторыми постоянными cτ,j и малым δ > 0. Эти постоянные
условимся обозначать cτ,j = ϕ(τ,j).
Лемма 2.4. Пусть
. Тогда
,
где выбирается знак +, если дуга Γτ,j входит в точку τ и знак − в
противном случае.
Доказательство достаточно провести для случая одной дуги Γ с
концом τ, считая для определенности ее выходящей из точки τ. В этом
случае
.
С учетом леммы 2.3 можно также считать функцию ϕ постоянной.
Пусть ρ > 0 столь мало, что пересечение этой дуги с кругом |z − τ| ≤
ρ состоит из дуги Γ0, так что роль Sτ играет круг |z−τ| < ρ с разрезом
вдоль Γ0. Применяя в этой области к аналитической функции lnz
формулу Коши, получим
,
где L0 означает окружность |z − τ| = ρ, ориентированную против
часовой стрелки и учтено соотношение (lnz)+ − (lnz)− = −2πi на Γ0.
Отсюда
.
52
Остается заметить, что правая часть этого равенства аналитична в круге
|z − τ| < ρ.
Обратимся
к
рассматриваемой
выше
скалярной
функции
. Нетрудно проверить, что любая непрерывна на Γ ∖ F
ветвь lnG ее логарифма также принадлежит этому классу, так что можно
ввести интеграл типа Коши
(2.30)
Из последнего утверждения теоремы 2.3 следует, что для любого
набора kτ, τ ∈ F целых чисел функция
X(z) = eh(z) ∏︁
(z − τ)−kτ
(2.31)
τ∈F
является канонической, причем zæX(z) → 1 при z → ∞ с показателем æ
= ∑︁τ kτ. Верно и обратное - любая каноническая функция представима
в таком виде. При подходящем выборе целых kτ каноническую
функцию можно подчинить заданному весовому порядку. Рассмотрим
этот вопрос подробнее.
Применим лемму 2.4 к функции ϕ = lnG, которая, как отмечено
выше, принадлежит классу
. Тогда в обозначениях этой
леммы функция X(z) вида (2.30), (2.31) в секторах Sτ,j представима в виде
X(z) = (z − τ)cτ−kτ Xτ,j(z),
где функции Xτ,j(z) и 1/Xτ,j(z) принадлежат классу
53
(2.32)
. При
этом, очевидно,
æ = ∑︁
,
kτ.
(2.33)
τ∈F
В частности, при
λτ ≤ (Recτ) − kτ < λτ + 1
эта функция будет подчинена весовому порядку λ.
(2.34)
Целое число æ и семейство чисел cτ удобнее представить в
несколько иной форме, удобной для приложений. Пусть кривая Γ
составлена из гладких ориентируемых дуг Γj, 1 ≤ j ≤ m, с концами в
точках τ ∈ F, которые попарно могут пересекаться лишь по своим
концам. Исходя из кусочно непрерывной функции lnG, введем индекс
Коши IndG функции G на этой кривой. Он определяется как деленное
на 2πi сумма приращений функции lnG на этих дугах:
Ind
.
Ясно, что это определение дает комплексное число, которое не зависит
от выбора ветви логарифма на дугах Γj, поскольку аддитивная
постоянная, отвечающая другой ветви, не сказывается на приращении
lnG. Ясно также, что в принятых выше обозначениях
IndG = ∑︁ cτ.
(2.35)
τ
Отметим еще, что как функция от G индекс Коши обладает
очевидным мультипликативным свойством Ind(G1G2) = IndG1 + IndG2.
54
Помимо IndG с коэффициентом G свяжем еще семейство
комплексных чисел
,
(2.36)
где как и в (2.30) выбирается знак +, если дуга Γτ,j входит в точку τ и знак
− в противном случае. Кроме того, логарифмы от этих числе выберем
специальным образом, полагая
,
(2.37)
так что 2πατ = argwτ и 2πβτ = −ln|wτ|.
Удобно еще ввести периодическое дискретное множество Δτ = {ατ +
s, s ∈ Z}, пересечение которого с любым интервалом [x,x + 1) содержит
ровно одну точку. При необходимости зависимость w,α,β и Δ от G
указываем в скобках.
Очевидно, с точностью до целочисленного слагаемого числа cτ и
совпадают. Таким образом, cτ − kτ = δτ + iβτ, где δτ однозначно
определяется из условий
δτ ∈ Δτ,
λτ ≤ δτ < λτ + 1.
(2.38)
В частности, (2.32) переходит в
X(z) = (z − τ)δτ+iβτ Xτ,j(z).
55
(2.39)
Ясно также, что условие (2.34) можно переписать в форме kτ ≤
(Recτ)− λτ < kτ +1 или, в терминах целой части числа, в форме kτ =
[(Recτ)−λτ].
Напомним, что что с точностью до целочисленного слагаемого числа
Recτ и ατ совпадают. Поэтому Recτ = [Recτ] + ατ и, следовательно,
kτ = [Recτ] + [ατ − λτ] = Recτ − ατ + [ατ − λτ].
С учетом (2.35) отсюда для целого числа æ в (2.33) имеем выражение
æ = Re(IndG) − ∑︁
ατ + ∑︁
τ∈F
[ατ − λτ].
(2.40)
τ∈F
Таким образом, имеем следующий результат. Если функция G
скалярна, то при подходящем выборе целых чисел kτ в (2.31)
каноническую функцию X(z) можно подчинить заданному весовому
порядку λ. Более точно, в криволинейных секторах Sτ,j эта функция
представима в виде (2.39), где функции Xτ,j(z) и 1/Xτ,j(z) принадлежат
классу
, а весовой порядок δ определяется из условий
(2.38). Кроме того, zæX(z) → 1 при z → ∞ с показателем æ,
определяемым формулой (2.40).
Как и выше зависимость δ от G при необходимости указываем в
скобках, т.е. δ = δ(G). Заметим, что эти числа зависят и от λ. Более точно,
как функция от λτ при фиксированном τ она монотонно возрастает,
непрерывна слева и сохраняет постоянное значение на интервалах
56
R∖Δτ, претерпевая скачек, равный 1 при переходе через точки из Δτ.
Заметим, что целое число æ(G) как функция от λτ обладает тем же
свойством с той разницей, что монотонно убывает.
С помощью канонической матрицы функции X(z), подчиненной
весовому порядку λ и имеющей нормальную форму на ∞, можно явно
решать задачу линейного сопряжения
φ+ − Gφ− = f
(2.41)
для l− вектор- функции φ, аналитической в D, порядок на
бесконечности которой подчинен дополнительному условию
degφ ≤ k − 1,
(2.42)
где k – заданное целое число. Предполагая f ∈ Cλµ(Γ,F), решение будем
искать в классе
.
Рассмотрим l− вектор- функцию ψ = X−1φ, которая в силу (2.29)
принадлежит классу
. Согласно (2.27) в окрестности ∞ ее
компоненты ψj, 1 ≤ j ≤ l, можно представить в виде
, так
что в соответствии с (2.42) их порядок подчинен условию
degψj ≤ æj + k − 1,
1 ≤ j ≤ l.
(2.43)
С учетом (2.22) краевое условие (2.41) по отношению к ψ переходит в
задачу о скачке
ψ+ − ψ − = g
57
с правой частью g = (X+)−1f и ее общее решение (с произвольным
порядком на бесконечности) в классе
дается формулой
,
(2.44)
с произвольным l− вектор- многочленом p = (p1,...,pl).
Нетрудно описать требования на правую часть g и многочлен p,
обеспечивающие выполнение условия (2.43). Если k + æj ≥ 0, то
интеграл типа Коши в правой части (2.44) удовлетворяет этому условию
и дело сводится к degpj ≤ æj+k−1. С другой стороны, при k+æj ≤ 0
многочлен pj должен быть равен нулю и условие (2.43) должно быть
выполнено для интеграла типа Коши в правой части (2.43). Для этого
интеграла в окрестности ∞ имеем разложение
Условие (2.43) требует, чтобы в этом разложении коэффициенты ck для
k = −1,...,æj +k обращались в нуль. Поскольку для этих k числа −k −1
пробегают значения 0,1,...,−(æj+k)−1, отсюда приходим к заключению,
что функция gj должна удовлетворять условиям ортогональности
∫︁
gj(t)qj(t)dt = 0
(2.45)
Γ
всем многочленам qj степени degqj ≤ −(æj + k) − 1.
Оба случая знака æj +k можно объединить единым образом. С этой
целью для единообразия условимся многочлены отрицательной
58
степени считать нулем. Тогда выполнение условия (2.43) для функции
ψj в (2.44) равносильно тому, что
degpj ≤ æj + k − 1,
1 ≤ j ≤ l,
(2.46)
и выполнено условие ортогональности (2.45) для всех многочленов qj
степени degqj ≤ −(æj + k) − 1.
Таким образом, приходим к следующему результату.
Теорема 2.5 Пусть каноническая функция X(z) имеет нормальную
форму на бесконечности и подчинена весовому порядку λ. Пусть
функция f ∈ Cλµ(Γ,F). Тогда задачи (2.41) в классе
разрешима тогда и только тогда, когда f удовлетворяет условиям
ортогональности
∫︁
[(X+)−1f](t)qj(t)dt = 0,
degqj ≤ −(æj + k) − 1.
(2.47)
Γ
При выполнении этих условий общее
рассматриваемом классе дается формулой
решение
задачи
,
в
(2.48)
где многочлен p удовлетворяет условию (2.46).
Если для целого s положить s+ = max(0,s), то размерность пространства
вектор- многочленов p, удовлетворяющих условию (2.46), равна ∑︁j(æj+
k)+. Очевидно, это число определяет и размерность пространства
решений однородной задачи (2.41), т.е. задачи (2.24). Аналогично
число линейно независимых условий ортогональности (2.46) на правую
59
часть f задачи (2.41), обеспечивающих ее разрешимость, равно ∑︁j(−æj
− k)+. Таким образом, индекс задачи дается формулой
∑︁
∑︁
[(æj + k) − (−æj − k) ] = lk + æj. (2.49) j
+
+
j
Возникает вопрос, при каких условиях решение (2.48) будет
принадлежать классу Cλµ(D,F^ ). Рассмотрим сначала этот вопрос для
скалярного случая l = 1. В этом случае каноническая функция X
принадлежит классу Cδµ(D,F^ ), где весовой порядок δ определяется
условием (2.38), а X−1 –
классу
, где −1 < λ − δ ≤ 0.
. Поэтому
На основании теоремы 2.4 отсюда заключаем, что функция ψ в (2.44)
принадлежит классу
в случае λτ ∈/ Δτ для всех τ и классу
, если это условие нарушено для некоторого τ.
В результате приходим к следующему заключению. В предположении
λτ ∈/ Δτ,
τ ∈ F,
(2.50)
формула (2.48) определяет решение задачи в классе Cλµ(D,F^ ). Если это
условие нарушено, то эта формула дает решение в классе
.
Рассмотрим далее случай, когда матрица функция G треугольна.
Предполагая для простоты l = 2, можем ограничиться матрицей
⎛
⎞
G1 G3
G=⎜
60
⎟.
⎝
⎠
0
G2
Каноническую матрицу для этого коэффициента ищем в аналогичном
виде
⎛
⎞
X 1 X3
X=⎜
⎝
⎟.
⎠
0
X2
Тогда соотношение (2.22) для этих матриц сводится к трем
поэлементным равенствам
.
(2.51)
Первые два соотношения показывают, что функции Xs, s = 1,2, являются
каноническими по отношению к, соответственно, Gs. Пусть эти функции
подчинены порядку λ, так что для них имеем представление (2.39) по
отношению к δτ(Gs) и βτ(Gs) с поведением zæ(Gs)Xs(z) → 1 на
бесконечности.
Третье равенство в (2.51) представляет собой неоднородную задачу
сопряжения для X3 и ее решение выписывается по формуле (2.47), т.е.
.
(2.52)
Поскольку
, на
основании теоремы 2.3, примененной к интегралу (2.52), заключаем,
что в секторах Sτ,j функция X3 принадлежит классам
61
⎧
µ
⎪⎪⎪⎪⎨
Cδ(G2)(S^τ,j,τ),
(2.53)
X3(z) ∈
δτ(G2) < δτ(G1),
.
⎪⎪⎪⎪⎩ Cδµ(G
)−0(S^τ,j,τ),
δτ(G2) ≥ δτ(G1),
1
Заметим, что тогда
,
(2.54)
где учтено, что класс Cδµ расширяется с уменьшением δτ. Очевидно,
обратная матрица X−1 имеет вид
⎛
⎞
X1−1 X1−1X2−1X3
X=⎜
⎟,
⎝
−1
0
⎠
X2
поэтому на основании (2.54) условие (2.29) для рассматриваемой
треугольной матрицы X выполнено, т.е она подчинена весовому
порядку λ.
Таким образом, можем воспользоваться теоремой 2.5 Напомним,
что в этой теореме æs = æs(G) есть частные индексы канонической
62
функции X с нормальной формой на ∞. Согласно (2.52) порядок degX3
≤ −æ(G1)−1. Поэтому если
æ(G2) − æ(G1) − 1 ≤ 0,
то частные индексы æ(Gs), s = 1,2, совпадают с частными индексами
æs(G) матрицы G. При нарушении этого условия частные индексы æs
могут отличаться от æ(Gs) (как показывает приведенный выше пример).
Как и в скалярном случае покажем, что формула (2.48) в
действительности дает решение
. С этой целью
рассмотрим компоненты
вектора g = (X+)−1f:
.
C учетом (2.54)
и, следовательно, для компонент интеграла ψ = Ig имеем аналогичные
соотношения. Поэтому
.
63
Заключение
В работе получены следующие результаты:
В первой главе исследована задача линейного сопряжения для
аналитических функций в семействе весовых пространств Гельдера в
скалярном случае. Получено явное решение и приведена его
асимптотика.
Во второй главе исследована задача линейного сопряжения с
треугольным матричным коэффициентом, для двумерного случая
приводится подробное явное решение.
Результаты, полученные в работе, были опубликованы в работах [30],
[31], [32], [33].
64
Список использованной литературы
[1] Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР,
1959.
[2] Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений
второго порядка. М.: Наука, 1966.
[3] Бицадзе
А.В.
Некоторые
классы
уравнений
в
частных
производных. М.: Наука, 1981.
[4] Боярский Б.В. Об особом случае задачи Римана-Гильберта. Докл.
АН СССР. 1958. Т. 119. No.3. С.411-414.
[5] Боярский Б.В. Об обобщенной граничной задаче Гильберта.
Сообщ. АН Граз. СССР. 1960. Т.25. No.4. С.385-390.
[6] Боярский Б.В. Анализ разрешимости граничных задач теории
функций. В сб.: "Исследования по современным проблемам
теории функций комплексного переменного"под ред. А.И.
Маркушевича. М.: Физматлит, 1961. С.57-79.
[7] Векуа И.Н. Об одной линейной граничной задаче Римана. Тр.
Тбилисск. матем. ин-та АН ГрузССР. 1942. Т. 11. С.109-139.
[8] Об интегро-дифференциальном уравнении Прандтля. Прикл.
матем. и мех. 1945. Т.9. No.2. С.143-150.
[9] Новые методы решения эллиптических уравнений. М.-Л.: ГИТТЛ,
65
1948.
[10] Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука, 1988.
[11] Векуа Н.П. Системы сингуляоных интегральных уравнений и
некоторые граничные задачи. — М.: Наука, 1970.
[12] Гахов Ф.Д. Краевые задачи теории аналитических функций и
сингулярные интегральные уравнения. Докторская дисс. Тбилиси,
1941; Изв. Казанск. физ.-матем. об-ва. 1949. Т. 14, сер. 3. С.75-160.
[13] Гахов Ф.Д. Краевая задача Римана для системы n пар функций,
Успехи матем. наук. 1952. Т. 7. No.4. С.3-54.
[14] Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Физматгиз, 1963.
[15] Мусхелишвили Н.И. Приложение интеграло типа Коши к одному
классу сингулярных интегральных уравнений. Труды Тбилисск.
мат. ин-та, 1941, Т.10, 43 С.
[16] Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.:
Наука, 1968.
[17] Пальцев Б.В. О канонической матрице решений задачи линейного
сопряжения с кусочно-непрерывным матричным коэффициентом
на элементарной кусочно-гладкой кривой. Докл. АН СССР. 1987.
Т. 297. No.5. С.1054-1058.
[18] Пальцев Б.В. Об условиях, обеспечивающих непрерывность
вплоть до контура и степенное поведение в окрестностях узловых
точек решений однородной задачи линейного сопряжения с
66
кусочнонепрерывным матричным коэффициентом. Докл. АН
СССР. 1988. Т.
299. No.3. С.558-562.
[19] Б. Риман. Сочинения, пер. с нем., ГИТТЛ, М.-Л., 1948.
[20] Симоненко И.Б. Краевая задача Римана для пар функций с
измеримыми коэффициентами и ее применение к исследованию
сингулярных интегралов в пространствах с весами, Изв. АH СССР
(сеp.матем.). 1964. Т.32. С.277-306.
[21] Симоненко И.Б. Новый общий метод исследования линейных
операторных
уравнений
типа
сингулярных
интегральных
уравнений. II, Изв. АH СССР (сеp.матем.). 1965. Т.32, No.2. С.757782.
[22] Симоненко И.Б. Некоторые общие вопросы теории краевой
задачи
Римана, Изв. АH СССР (сеp.матем.). 1968. Т.32. С.1138-1146.
[23] Солдатов А.П., Кpаевая задача линейного сопpяжения теоpии
функций, Изв. АH СССР (сеp.матем.). 1979. Т.43, No.1. С.184-202.
[24] Солдатов А.П., Кpаевые задачи теоpии функций в областях с
кусочно гладкой границей. Тбилиси 1991.
[25] Солдатов А.П., Одномеpные сингуляpные опеpатоpы и кpаевые
задачи теоpии функций, М., Высшая школа. 1991. 266 C.
[26] Солдатов А.П., Обобщенный интеграл типа Коши, Диффеpенц.
уpния. 1991. T.27, No.2. C.3-8.
67
[27] Сохоцкий Ю.В. Об определенных интегралах и функциях,
употребляемых при разложении в ряды. С.-Петербург, 1873.
[28] Хведелидзе Б.В. О разрывной задача Римана-Привалова для
нескольких функций, Сообщения АН Груз. ССР. 1956. Т.17, No.10.
С.865-872.
[29] Хведелидзе Б.В. О разрывной задача Римана-Привалова с
заданным смещением, Сообщения АН Груз. ССР. 1958. Т.21, No.4.
С.385-389.
[30] Аверьянов Г.Н., Солдатов А.П., Асимптотика решений задачи
линейного сопряжения для аналитических функций в угловых
точках кривой, Научные ведомости БелГУ, (матем., физика), 2015,
5(202), С.5-17
[31] Аверьянов Г.Н., Солдатов А.П., Задача линейного сопряжения для
аналитических функций в семействе весовых пространств
Гельдера, Известия вузов. Математика 2015, №9, c. 56–61
[32] Аверьянов Г.Н., Солдатов А.П., Асимптотика решений задачи
линейного
сопряжения
в
угловых
точках
кривой,
Дифференциальные уравнения, 2016, Т. 52 №9, c. 1150–1159
[33] Аверьянов
Г.Н.,
Полунин
В.А.,
О
модифицированных
пространствах Гельдера, Научные ведомости БелГУ, (матем.,
физика), 2016, 27(248),
С.32-35
68
Отзывы:
Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв