Задачи анализа и моделирования тенденций временных рядов

Ткачева Е.В.

Задачи анализа и моделирования тенденций временных рядов

01.03.02 Прикладная математика и информатика

Математика

Дипломы

Вуз: Белгородский государственный университет - национальный исследовательский университет (НИУ «БелГУ»)

ID: 5b88889c7966e1073081b9a4

UUID: e1410460-8ee0-0136-b867-525400005860

Язык: Русский

Опубликовано: около 6 лет назад

Просмотры: 5

Ткачева Е.В.

Источник: Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Белгородский государственный национальный исследовательский университет»

Комментировать 0

Рецензировать 0

Скачать - 2,3 МБ

Поделиться работой

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» (НИУ «БелГУ») ИНСТИТУТ ИНЖЕНЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК КАФЕДРА ОБЩЕЙ МАТЕМАТИКИ ЗАДАЧИ АНАЛИЗА И МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕНДЕНЦИЙ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ Выпускная квалификационная работа обучающегося по направлению подготовки 01.03.02 Прикладная математика и информатика очной формы обучения, группы 07001305 Ткачевой Евгении Валерьевны Научный руководитель к.ф.-м.н., доцент Ерина Т.А. БЕЛГОРОД 2017

Оглавление ВВЕДЕНИЕ ....................................................................................................................................3 1. Математические методы анализа временных рядов ..............................................................7 1.1 Оценка данных .....................................................................................................................7 1.2 Выявление тенденций в развитии временного ряда ........................................................8 1.3 Аналитическое сглаживание временного ряда. ..............................................................11 2. Прогнозирование на основе временных рядов .....................................................................17 2.1 Прогнозирование на основе кривых роста ......................................................................17 2.2 Прогнозирование на основе адаптивных моделей .........................................................19 2.2.1 Экспоненциальное сглаживание ...............................................................................21 2.2.2 Модели линейного роста ...........................................................................................25 2.2.3 Стохастический процесс Тейла И Вейджа ...............................................................27 2.2.4 Сезонные модели ........................................................................................................29 2.2.5 Прогнозирование с коэффициентами сезонности ...................................................30 2.2.6 Аддитивная модель сезонных явлений ....................................................................32 2.2.7 Модели авторегрессии — скользящего среднего (метод Бокса —Дженкинса) ...35 3. Автоматизация построения моделей .....................................................................................36 3.1 Разработка программного средства .................................................................................36 3.1.1 Функции системы .......................................................................................................36 3.1.2 Технические требования к системе. .........................................................................38 3.1.3 Описание программы. ................................................................................................39 3.1.4 Результат работы системы .........................................................................................43 3.2 Анализ работы программной системы ............................................................................44 ЗАКЛЮЧЕНИЕ............................................................................................................................59 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ..................................................................60 ПРИЛОЖЕНИЕ ...........................................................................................................................63 2

ВВЕДЕНИЕ Современное общество постоянно испытывает необходимость в прогнозировании. Решение задачи прогнозирования играет важнейшую роль в процессах как стратегического планирования, так и оперативного управления в различных сферах науки и техники. Одним из методов, позволяющих обеспечить точное планирование, является прогнозирование. Несмотря на большое количество разработанных методов, все они преследуют одну и ту же цель — предсказать события, которые произойдут в будущем, чтобы учесть их при разработке планов и стратегии развития компании. Задача прогнозирования будущих значений временного ряда на основе его исторических значений является основой для финансового планирования в экономике и торговле, планирования, управления и оптимизации объемов производства, складского контроля и т.д. В настоящее время компаниями осуществляется накопление исторических значений экономических и физических показателей в базах данных, что существенно увеличивает объемы входной информации для задачи прогнозирования. Вместе с тем, развитие аппаратных и программных средств предоставляет все более мощные вычислительные платформы, на которых возможна реализация сложных алгоритмов прогнозирования. Кроме того, современные подходы к экономическому и техническому управлению предъявляют все более жесткие требования к точности прогнозирования. Таким образом, задача прогнозирования временных рядов усложняется одновременно с развитием информационных технологий. В настоящее время задача прогнозирования различных временных рядов актуальна и является неотъемлемой частью ежедневной работы многих 3

компаний. Задача прогнозирования временного ряда решается на основе создания модели прогнозирования, адекватно описывающей исследуемый процесс. Существенным недостатком авторегрессионного класса является большое число неоднозначна свободных и параметров, ресурсоемка. идентификация Существенным которых недостатком класса нейросетевых моделей является недоступность промежуточных вычислений, выполняющихся в «черном ящике», и, как следствие, сложность интерпретации результатов моделирования. Кроме того, еще одним недостатком данного класса моделей является сложность выбора алгоритма обучения нейронной сети. Применение каких-либо из существующих в настоящее время математических моделей и методов прогнозирования временных рядов тесно связано со спецификой предметной области и классификацией прогнозируемого временного ряда. Задача прогнозирования финансовых временных рядов была и остается актуальной, поскольку предсказание является необходимым элементом любой инвестиционной деятельности, ведь сама идея инвестирования – вложения денег с целью получения дохода в будущем – основывается на идее прогнозирования будущего Таким образом, задача анализа и прогнозирования работы предприятия является актуальной. Существуют два общепринятых подхода к прогнозированию: качественный и количественный. Методы качественного прогнозирования особенно важны, если исследователю недоступны количественные данные. Как правило, эти методы носят весьма субъективный характер. Если имеются статистические данные об объекте исследования за прошедший временной период, следует применять методы количественного прогнозирования. Эти методы позволяют предсказать состояние объекта в будущем на основе данных о его прошлом. Методы 4 количественного прогнозирования

разделяются на две категории: анализ временных рядов и методы анализа причинно-следственных зависимостей. Цель работы – реализация компьютерной поддержки анализа и моделирования тенденций временных рядов. Задачи: 1. Провести анализ существующих методов анализа и моделирования тенденций временных рядов; 2. Проанализировать подходы к прогнозированию временных рядов с учетом ограничений каждого подхода; 3. Проанализировать существующий инструментарий; 4. Спроектировать программную систему анализа и моделирования тенденций временных рядов; 5. Разработать программную систему; 6. Протестировать работу программной системы. Объект исследования – методы анализа и моделирования тенденций временных рядов. Предмет исследования – программная поддержка анализа и моделирования тенденций временных рядов. Методы исследования – методы алгоритмического сглаживания, методы аналитического сглаживания, адаптивные методы временных рядов. Данная ВКР состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников. Во введении представлена актуальность, цель, задачи, предмет и объект исследования. В первой главе представлено описание математических методов анализа временных рядов, сформулированы цели и задачи исследования. Во второй главе приведено описание методов прогнозирования на основе кривых роста и на основе адаптивных методов. 5

В третьей главе приведено описание разработанного в среде Delphi программного средства и проведен анализ его работы путем сравнения результатов расчета в программном средстве с аналогичными показателями, рассчитанными с использованием табличного процессора MS Excel. ВКР написана на 62 страницах, содержит 1 таблицу, 64 формулы, 21 рисунок, 1 приложение. 6

1. Математические методы анализа временных рядов 1.1 Оценка данных Анализ временных рядов, отражающих развитие экономических процессов, начинается с оценки данных. Уровни исследуемого показателя обязательно должны быть сопоставимыми, однородными и устойчивыми, а их число должно быть достаточно велико. Сопоставимость достигается в результате одинакового подхода к наблюдениям на разных этапах формирования динамического ряда. Уровни во временных рядах должны иметь одинаковые:  единицы измерения;  шаг наблюдений;  интервал времени;  методику расчета;  элементы, относящиеся к неизменной совокупности. Однородность данных означает отсутствие сильных изменений тенденций, а также аномальных наблюдений, которые нетипичныt для данного ряда. Аномальные наблюдения обычно проявляются в виде сильного изменения уровня – скачка или спада – с последующим приблизительным восстановлением предыдущего уровня. Наличие аномалии резко искажает результаты моделирования. Поэтому аномальные наблюдения необходимо исключить из временного ряда, заменив их расчетными значениями. Устойчивость характеризуется преобладанием закономерности над случайностью в изменении уровней ряда. На графиках устойчивых временных рядов закономерность прослеживается визуально, на графиках неустойчивых рядов изменения последовательных уровней представляются хаотичными, и поэтому поиск закономерностей в формировании значений 7

уровней таких рядов лишен смысла. Требование полноты данных обусловливается тем, что закономерность может обнаружиться лишь при наличии минимально допустимого объема наблюдений. Экстраполяционное прогнозирование экономических процессов, представленных одномерными временными рядами, сводится к выполнению следующих основных этапов: 1) предварительный анализ данных; 2) построение моделей: формирование набора аппроксимирующих функций (кривых роста) и численное оценивание параметров моделей; 3) проверка адекватности моделей и оценка их точности; 4) выбор лучшей модели; 5) расчет точечного и интервального прогнозов. 1.2 Выявление тенденций в развитии временного ряда При анализе и прогнозировании рядов динамики самой важной задачей является определение основной тенденции развития исследуемого процесса. Одним из приемов выявления тенденции является метод скользящей средней. Данный метод относится к методам алгоритмического сглаживания временного ряда. После применения данного метода уравнение тренда (неслучайной функции времени, описывающей общее изменение процесса во времени) в явном виде не находят, но ряд приобретает более гладкий вид, по которому проще подобрать подходящую функцию для моделирования тенденции. Метод скользящего среднего состоит в замене абсолютных данных средними арифметическими за отдельные периоды. Расчет средних ведется способом скольжения, то есть постепенным исключением из принятого периода скольжения первого уровня и включением следующего. Алгоритм скользящего среднего заключается в следующем:  f t   m  w xt  k , t  m  1, m  2, ..., n  m, k m (1.1) k 8

где wk – некоторые весовые коэффициенты, в сумме равные 1, т.е. m w k m k  1. при переходе от t к t+1 в составе слагаемых происходит замена только одного слагаемого x(t – m) слагаемым x(t + m + 1). Определение весов wk основано на следующей процедуре. Для 2m+1 элементов временного ряда x(1), x(2),…, x(2m+1) строится полином степени p методом наименьших квадратов; значение этого  полинома используют для расчёта значений оценки тренда f t  в средней точке этого отрезка ряда m + 1, т.е.   f m  1  x m  1. (1.2) Эта же процедура выполняется для отрезка временного ряда x(2),…, x(2m+2), что приводит к процедуре взвешенного скользящего суммирования, по которой веса определяются из следующей таблицы. Таблица 1.1 Веса коэффициентов m 1 2 3 веса 1/3, 1/3, 1/3 -3/35, 12/35, 17/35, 12/35, –3/35 –2/21, 3/21, 6/21, 7/21, 6/21, 3/21, –2/21 Методы скользящего среднего основываются на том, что все значения временного ряда имеют одинаковую информационную ценность. Однако в  задачах прогноза, в которых сглаженная функция f t  используется обычно для формирования прогнозов на несколько шагов вперёд, недавние значения x(t) являются более ценными, чем значения ряда в далёком прошлом, так как ряд далее будет вести себя так, какова сформировавшаяся тенденция в настоящем и недалёком прошлом. Эта идея реализована в методе экспоненциально взвешенного скользящего среднего Брауна 9

 1   1  t    f t  1  x t  1   f t , t  1, 2, ... 1  t 1 1  t 1  f 1  x 1. (1.3) Но наиболее эффективным способом выявления основной тенденции развития является аналитическое выравнивание. При этом уровни ряда динамики выражаются в виде функции времени: При таком подходе считается, что влияние других факторов на зависимый показатель несущественно или косвенно сказывается через фактор времени. Основная тенденция (тренд) показывает, как воздействуют систематические факторы на уровень ряда динамики, а колеблемость уровней около тренда служит мерой воздействия остаточных факторов. Оценка качества модели сводится к оценке ее точности и адекватности. Проверка адекватности выбранных моделей реальному процессу (в аем олуч п ет асч р р о б вы частности, адекватности полученной кривой роста) строится на анализе и лекц х ы н сч ато кр остаточной компоненты. х вы и кр Остаточная ор б вы е ы н ай ч слу компонента а х д о п получается после еи тклн о выделения из исследуемого ряда систематической составляющей (тренда и ель д о м ю ен м и р п ю н ед ср периодической составляющей, если она присутствует во временном ряду). сти о азн р р о б вы т р о эксп Принято считать, что модель адекватна описываемому процессу, если ков зам остаточная к б и ош в и лен ко последовательность (ряд я кц ф и тен ау ки ен ц о остатков) представляет сло и ч собой случайную компоненту ряда. т ен ц и коэф ю твеи со Поэтому при оценке «качества» модели проверяют, удовлетворяет ли оле б г еско тч ли ан ей вн о р у остаточная последовательность следующим свойствам: ято н и р п ке ам н и д 1. случайности колебаний уровней ряда; ста о р 2. соответствию й н д о вх распределения остаточной е ы н ай ч слу компоненты у ваем сы и п о нормальному закону с нулевым математическим ожиданием; тавя со т ен ц и эф ко 3. независимости значений уровней ряда остатков между собой. результа зац н и м 10 м ы н сч ато кр ели д о м

1.3 Аналитическое сглаживание временного ряда. Аналитическое сглаживание предполагает построение аналитической еско тч али н т ен о м функции в явном виде, описывающей тенденцию изменения процесса во етом уч ели од м ка яд р о п й н ед ср времени. Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции: если т и асч р я н х вер ы м у и р ген  линейный тренд: y t  a  b  t ; а н ч вели  гипербола: y t  a  b ; t  экспоненциальный тренд: y t  eabt ( или y t  a  bt ); ели д о м м таки  степенная функция: y t  a  t b ; за гн о р п  полиномы различных степеней: y t  a  b1  t  b2  t 2  ...  bm  t m . а н ч вели Множество математических функций, используемых для построения ог ан д ет д у б х ы н и аш м уравнения тренда, можно свести в 3 группы: х льы ач н я и ен стр о п  Функции с монотонным характером возрастания (убывания) и ави ед н и еляц р ко а гд то отсутствием пределов роста (снижения); ю кау т о см езави н  Кривые с насыщением, т.е. устанавливается нижняя или верхняя але д а тем си граница изменения уровней ряда; а тогд ер м  S– образные кривые, т.е. кривые с насыщением, имеющие точку м и н сред ть о азб р ету н п м ко перегиба. е вн и глаж В первую группу функций входят полиномы k-й степени: сй вероятн ем аш н у о н ем вр y t  a  b1  t  b2  t 2  ...  bm  t m (1.4) При k=1 получают линейный тренд. При нем уровни динамического х ы ен олуч п е льзван о сп и есл и ряда изменяются равным абсолютным приростом (параметр b). ект эф й као и н к б и ш о При k=2 получают параболу второй степени. Данная функция й н ед ср рекомендуется для моделирования вал тер н и а и етр м н эко тенденции, тавляе со если м ы етн асч р временной ряд характеризуется постоянным абсолютным ускорением, т.е. постоянными еи ач зн ся у еб тр 11 е вн и сглаж

являются вторые разности (приросты абсолютных приростов). В этом случае тов н элем й еи ач зн еи ач зн е льо ач н скорость ряда изменяется линейно. Параметр a означает начальный уровень ы сезон еса ц о р п е вы о сн т д во и р п ряда динамики при t=0. Параметр b1 представляет собой средний т ен ц и коэф в и лен ко х вы и кр абсолютный прирост за весь период времени, если t обозначено так, что м и н сред t  0 . ки ч то тве су и р п Параметр b2 характеризует половину абсолютного ускорения е и ран вы вй сн о е о альн зу ви динамического ряда. х вы кри К кривым с насыщением можно отнести гиперболы вида: з ли ан еты асч р а яд р ya b ; t (1.5) ya b . ct (1.6) я д о сх и b t Равносторонняя гипербола ( y  a  ) при b>0 означает, что уровни ряда ая м и д х б ео н ательсво зд и снижаются во времени и асимптотически приближаются к параметру a. е вн и сглаж г н сезо еты м ар п Если b<0, то уравнение тренда y  a  егси р вто b характеризует тенденцию к t с тер н и у росту уровней ряда с асимптотической границей, равной параметру a. м су ть ы б ям вн о р у м это К числу S-образных кривых можно отнести логистическую кривую и ой н врем з гн о р п ке ч то кривую Гомперца. excl Логистическую кривую вида ав б ри п y е и ан р вы 1 c  abt (1.7) называют кривой Перла-Рида. В ней верхняя асимптота составит величину ум ракти п еи ач зн ет асч р Точка перегиба у этой кривой равна t p  ели од м равно ке ам н и д ка б и ш о 1 c ln . Значение y в точке перегиба ln b a х льы ач н м сло и ч 1 . 2c Чаще применяется логистическая кривая вида остя равн y е ваи сн о c , 1  beat ется льзу о п (1.8) 12 1 . c

где c – верхняя асимптота; е ян вли b и a – параметры функции; остаея Кривая Гомперца з ли ан y  ca b t (1.9) й о м у след Верхняя асимптота соответствует значению параметра c, а нижняя а н олж д р о б вы а и ч лу о равна 0, если ln a<0. екотрая н Если ln a>0, то кривая имеет нижнюю асимптоту, равную величине и н ед со ель д о ет ж о м параметра c. ы н ч вели Точкой перегиба данной кривой будет t p  м улевы н в го у кр c e 1 1 ln ( ) со значением ln b ln a ставлн ед р п функции yt  , где e – основание натурального алгоритма. p веса ью щ м о п Наиболее простую экономическую интерпретацию имеет линейная о тльн ваи ред п и кц н у ф г м лн о сп и функция yt  a  bt : а – начальный уровень временного ряда в момент времени t  0 ; b – средний затем м ето ч у д ен р тво ску и за период абсолютный прирост уровней ряда. ован след и й щ ю у ьи вар Параметры а и b находятся по формулам: к аш н и м г р вто n n a n  y  b t i 1 i i 1 n b i Существует е п ти n i 1 n i 1 n ti yi   ti  yi i 1 n n ti2  ( ti )2 i 1 ; n i 1 несколько . (1.10) способов определения еи ач зн типа еи д ж о ах н тенденции: качественный анализ изучаемого процесса, построение и визуальный анализ еты арм п графика я и тавлен со зависимости г м олн сп и уровней ы м у и р ген ряда асти ч автокорреляционной функции. ескх ч р и п эм 13 от времени, еся у р ти п ад использование м лн о п

Тип тенденции можно определить путем сравнения коэффициентов вется казы о автокорреляции первого к стаи порядка, од вы ть ы б рассчитанных по и ч ад исходным и преобразованным уровням ряда. Если временной ряд имеет линейную ог н врем м о д каж х ы тр ко сти о азн р тенденцию, то его соседние уровни y t и y t 1 тесно коррелируют. В этом т р о эксп е ы вн ти п ад ве сн о случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного х ы ставлн ед р п const ели вы ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит нелинейную сь н ч то ое вн ти п ад слть и ч вы м у акти р п тенденцию, например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции ет расч тказв о ы ен стр о п первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем м таки г м лн о сп и тс явлю г еско ч ам н и д соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее х ы ан д м сло и ч и м ы етн асч р выражена нелинейная тенденция в изучаемом временном ряде, тем в г м олн сп и й н ед ср а д ен тр большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов. я врем н ож м е ы тн и асч р ескх ч р и п эм При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний ставля ед р п вал тер н и если значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. сотавляе Корреляционную й ы елан сд зависимость е ы твн и ад между я н стач о последовательными кй ч то уровнями ятс д о ах н временного ряда количественно можно измерить с помощью линейного утрей вн я еи авн ср е ы р вто коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и м и щ ую ослед п т о азб р ву сер и еляц р ко уровнями этого же ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени. ую ац орм ф н и е ы тн и асч р если Формула для расчета коэффициента автокорреляции первого порядка г м олн сп и м ло тей т р о ксп между соседними уровнями ряда yt и yt 1 .имеет вид: в о ем и р п еты арм п n r1   y t t 2 n  y t 2 t а н ч вели  y1  yt 1  y2   y1  2 , n  y t 2 t 1  y2  (1.11) 2 где y1  1 n  yt , n  1 t 2 y2  1 n  yt 1. n  1 t 2 (1.12) Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго вая осн я ем вр м и ящ х д о п и более высоких порядков. е п ти ка б и ош 14

По величине коэффициентов корреляции можно сделать вывод о ью щ м о п структуре ряда. я ац орм ф н и Если ве сн о наиболее высоким и н есц б о ю у ац м р о ф н и оказался коэффициент зй гн о р п автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только а ряд и ен стр о п я н ед ср тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции ервог п есколь н ваетя сы и п о р ти п ад порядка  , то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в  я н х вер к и н еб ч у моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не и н соед з рогн п является значимым, и лекц кл о можно г н сезо сделать одно стаея о из двух предположений и кц н у ф относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и ель од х ч зад елй д о м циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию н ож м тем си и ен стр о п и кц н у ф , для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. л ай ф ве сн о а м р о ф Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, сти о азн р к и н еб ч у второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией (АКФ) й и етвю сущ я и ен стр о п м сло и ч временного ряда. екотрая н Для стационарного временного ряда с увеличением величины лага м улевы н ьш ен м в аго ш взаимосвязь yt и yt  ослабевает, и АКФ характеризуется убыванием, что орт эксп ей льш о б графически представляется затухающей кривой. ьш ен м затем АКФ дает представление о внутренней структуре динамического ряда. ом вн ти п ад ста о р ка ен ц о С помощью АКФ можно определить наличие или отсутствие в ряду ели од м ятс д о ах н ели д о м динамики периодических колебаний и соответственно величину периода еског ч ам н и д ел д о м а яд р колебаний: она равна той величине лага τ, при которой коэффициент сравн льта езу р в ети р ко автокорреляции уровней наибольший. еть м и м тво ед ср Для динамического ряда с монотонной тенденцией к возрастанию (или и лн ед р п о м таки я еи ач зн уменьшению) уровней АКФ имеет значения, близкие к +1, которые медленно к б и ош етвля щ су о т о см зави снижаются с увеличением величины лага. елях ц cl ex Если ряд характеризуется сменой тенденций, то АКФ примет значения, в корети ет м и р п стремительно я и н д реж уп уменьшающиеся с тс явлю о р п увеличением явлетс величины лага й н след о п и сопровождаемые иногда сменой знака коэффициента автокорреляции. м вн роти п Выбор наилучшего а х д о п ели од м уравнения еты м ар п в случае, когда ряд содержит затем й еи ач зн нелинейную тенденцию, можно осуществить путем перебора основных форм з ли ан к и н еб ч у 15 аем ч лу о п й сетво

тренда, расчета по каждому уравнению скорректированного коэффициента к и н еб уч м ы ен стр о п st n co детерминации и средней ошибки аппроксимации. я ац терп н и Параметры я д о сх и каждого из й н сред перечисленных выше тез о п ги трендов можно е ц н ко определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной вторегси ы сен и ч лу о п а всегд время t  1, 2, ..., n , а в качестве зависимой переменной – фактические уровни вать о след и н зако ы д ето м временного ряда y t . Для нелинейных трендов предварительно проводят л ай ф у этм о п т д во и р п стандартную процедуру их линеаризации. м ы твн и ад Некоторую специфику имеет оценка параметров кривых с насыщением е вторы тс явлю о р п ка б и ш о й щ ю у след . По этим функциям должна быть сначала определена асимптота. Если она ак н од е ц н ко г во ер п веса может быть задана исследователем на основе анализа временного ряда, то е д ви кте ар х ве сн о другие параметры могут быть оценены по МНК. е ы н ай случ ая н степ 16 е п ти

2. Прогнозирование на основе временных рядов 2.1 Прогнозирование на основе кривых роста Прогнозирование кривых еи ач зн роста (кривых р акто ф насыщения) для ет м и прогнозирования требует соблюдения определенных условий. тервал н и тл и асч р 1. Исходный временной ряд должен быть очень длинным (30-40 лет). я еи ач зн р о б вы ло ед р п твеу со 2. Исходный временной ряд не должен иметь скачков, и тенденция ве осн й естки ж а н ч вели такого ряда должна описываться достаточно плавной кривой. г н сезо а н ч вели ты ен ц и эф ко если 3. Использование кривых роста в прогнозировании социальнох ы ен ч лу о п т р о эксп экономических явлений может давать достаточно хорошие результаты, если ег щ ваю сы и оп еты м ар п е вн и сглаж м и щ ю у след о п предел насыщения будет определен сравнительно точно. ое зуальн ви т о см зави Особенностью кривых ки ен ц о тк о азб р роста является ван р ели д о м то, что абсолютные приращения уменьшаются по мере приближения к пределу. Однако процесс т д ерн б ак н д о щ теку о еквтн ад роста идет до конца. ор б вы Наиболее распространенными кривыми роста, используемыми в й сери и ен стр о п х ы тр ко статистической практике прогнозирования, являются кривая Гомперца и затем я н х вер е льо ач н кривая Перла-Рида. й и н сред Особенностью уравнений этих кривых является то, что их параметры еи ач зн ставля ед р п я ац п тер н и могут быть определены методом наименьших квадратов лишь приближенно. ка б и ш о азе ф д о вх там ен ц и эф ко Поэтому для расчета этих кривых используется методы, основанные на х ы н и аш м а ряд т и ж ер д со й щ ю у след разбиении исходного ряда динамики на отдельные группы. от см зави з ли ан твм ед ср о п Например, для того чтобы осуществить прогноз на основе кривой й щ ую варьи еса ц о р п ятс д о вы Гомперца, необходимо вычислить значения параметров по следующим сл и ч вы тс явлю о р п й о н ем вр формулам: е льы ач н d cn  2 , d 1 (2.1) 17

где n – число уровней ряда в каждой части; d1 = S2 – S1; d2 = S3 – S2; Si – результа ероп и н тс ен ц о сумма элементов i-той части временного ряда, i=1,2,3 т ен ц и коэф lg b  d 1 c  1 c n  2 1 д ен р тк о азб р , (2.2) d  1 lg a   S  1  n  1 c n  1 (2.3) Чтобы использовать данную кривую для экстраполяции за пределы й сезон й щ ю у след х вы и кр исходного ряда динамики, достаточно подставить соответствующее значение ы лем роб п уся треб м и щ ю у след о п еств кач xt в уравнение кривой. ую ьш ен м Наряду с кривой Гомперца достаточно широкое распространение ск ои п ели д о м м о д каж получила также кривая Перла-Рида. ер м Эта ю ен м и р п кривая выражает т оен м модифицированную геометрическую ели д о м прогрессию, в которой возрастание затухает по мере приближения к я еи уравн м ы тн и асч р м ы ен стр о п некоторому определенному пределу. Максимальный предел устанавливается, щ ею м и прежде зая рогн п я еи ач зн всего, на основании еть м и з ли ан конкретного изучения исследуемого м н сезо социально-экономического явления. ятс од вы Кривая Перла-Рида описывается уравнением: зу харктеи там ен ц и коэф ки ен ц о 1  a  bc x y (2.4) Параметры уравнения находятся следующим образом: ка яд р о п d c  1 b 1 ; 2  c n  1 d п с  2; d 1   вется казы о d  1  a   S  1  n  1 c n  1   (2.5) Параметры уравнения кривой Перла-Рида определяются так же, как и кх и граф етвля щ су о ве сн о параметры кривой Гомперца, за исключением того, что в последнем случае ьест ле о б arm т аю ч лу о п не используется прием логарифмирования. Кроме того, нужно иметь в виду, ы н ч вели если 18 еи авн р у е ы н ай ч слу

1 умножается на 10000, y что в зависимости от масштаба данных величина если 100000 или 1000000. е ы н ай ч слу еско тч али н и ялен вы 2.2 Прогнозирование на основе адаптивных моделей Адаптивные методы могут ан д тре применяться для ая тр ко прогнозирования показателей фондового рынка, денежных потоков, изменений ежедневных ке точ з ли ан ятс ен зм и ть о азб р остатков на складах, в инструментальных кладовых, магазинах. С помощью я ац терп н и этих же методов ет уд б экономических и лн ед р п о удается описать эволюцию тв ен ц и эф ко характеристик изделий й о н ем вр ы сан и ер п и изменения технико- м о д каж переменных параметров ть и ач зн б о химических процессов, изучить поведение показателя частоты отказов а н ч вели там ен ц и эф ко м ы етн асч р ы сан и ер п оборудования в зависимости от его возраста, а также при анализе сезонных и н ед ср г о ан д ест о ар явлений. В ряде случаев эти методы могут применяться для прогнозирования я еи сравн х ы н ай ч слу ей льш о б макропоказателей. Методы адаптивного прогнозирования применяются там, есо ч акти ф тся у и р ген ве сн о где основной информацией для прогноза являются временные ряды. ьест за гн о р п ч али н Инструментом прогноза при адаптивном методе служит модель. ю ву и кр я ем вр вая и кр Первоначальная оценка параметров этой модели основывается на данных сутве ри п льтаы езу р й естки ж базового (исходного) временного ряда. На основе новых данных, получаемых еи ач зн м таки ет м и и ван о еб тр на каждом следующем шаге, происходит корректировка параметров модели а н ч вели в о ем и р п ы д ето м ью щ м о п во времени, их адаптация к новым, непрерывно изменяющимся условиям ы н врем и ч ад и вн о р у развития явления. Таким образом, модель постоянно «впитывает» новую и м ы ен олуч п ы д ето м егси р авто ву сер информацию и приспосабливается к ней. д о вы Адаптивные модели изолированных рядов при всей их простоте могут екотрая н й ы твн и ад е ы тр ко давать более надежные результаты, чем сложные эконометрические системы ьест еског ч ам н и д века о р п я д о сх и уравнений. В то же время адаптивные методы пригодны лишь для обработки ог н врем м су ем льзван о сп и рядов с умеренными изменениями во времени и при построении е ян вли краткосрочных если прогнозов. еты арм Под краткосрочным 19 м лн о п прогнозом ке ч то обычно

подразумевается прогноз на один (либо на несколько) интервал времени. Сам л ач сн века о р п льта езу р я еи авн ср интервал может быть любым. ерз ч всех Адаптивные модели способны отражать изменяющиеся во времени сум ятс д о вы тказв о условия, учитывать информационную ценность различных членов временной огут м е ваи сн о ьест последовательности и давать достаточно точные оценки будущих членов и кц ун ф ью щ м о п ей вн о р у вать о след и данного ряда. е ц кон Реальный анализируемый процесс протекает в изменяющихся условиях и ялен вы й о б лю д о ех р , составляющих его внешнюю среду. Он вынужден адаптироваться к й елы б ьест й н д о вх внешней среде. А модель адаптируется к ряду, представляющему этот м улевы н асы н и ф в ко зам процесс. если При построении адаптивных моделей используются в основном о тльн ваи ед р п ль еско н дискретные временные ряды, в которых наблюдения делаются через еи ач зн х ы ен ч лу о п у о н ем вр е и ш р о х фиксированный интервал времени, принимаемый за единицу счета. еты н п ком е зы гн о р х ы н ем вр При этом временной ряд может быть детерминированным, если елат д значения членов й ы елан сд ю ву и кр временного ряда я н х вер точно определены х льы ач н какой-либо г во ер п математической функцией, либо случайным, если значения могут быть елать сд е льо ач н д ето м описаны только с помощью распределения вероятностей. ка оряд п х ы альн экстрем т ен о м Для описания временных рядов используются математические модели. е ы н д о сх и ели д о м х ы ан д Представим, что временной ряд xt, генерируемый некоторой моделью, можно окл я вн и сглаж й н ед ср представить в виде двух компонент и острен п и ен стр о п xt   t   t , (2.6) где величина εt генерируется случайным неавтокоррелированным ог ум след и если процессом с нулевым математическим ожиданием и конечной (не ав б ри п й ваы о и р ген щ теку обязательно постоянной) дисперсией, а величина ξt может быть генерирована м и хд еоб н м это а д ето м либо детерминированной функцией, либо случайным процессом, либо какойй н д о вх м это связи сло и ч нибудь их комбинацией. Величины εt и ξt различаются характером еств ч коли ая н степ воздействия на значения последующих членов ряда. Переменная εt влияет е ян вли ы м у и р ген п кар я и ан р вы только на значение синхронного ей члена ряда, в то время как величина ξt в ользуетя сп и льтаы езу р т ен о м известной степени определяет значение нескольких или всех последующих я еи сравн ель д о м зу ктеи ар х 20 авн р

членов ряда. Через величину ξt осуществляется взаимодействие членов ряда. я кц ф и аутен ты ен ц и эф ко й о ен аж р вы ели д о м Таким образом, в ней содержится информация, необходимая для получения оскльу п льтаы езу р кх и аф гр прогнозов. Величину ξt принято называть уровнем ряда в момент t, а закон ваетя сы и оп т о см зави х ы вн зо еали р а м су эволюции уровня во времени — трендом. Тренд может быть выражен как закон з ли ан я еи авн ср cl ex детерминированной, так и случайной функциями, либо их комбинацией. а гд то еи ач зн Стохастические тренды имеют, например, ряды со случайным уровнем или а ряд й о м у след г во ер п н я и ац п тер случайным скачкообразным характером роста. если еи ач зн Компоненты временного ряда ξt и εt ненаблюдаемы. Они являются ю ер сп и д й тр ко теоретическими величинами. Их выделение и составляет предмет анализа ету арм п е н р сто й сетво временного ряда в задаче прогнозирования. Оценку будущих членов ряда ки ен оц сутве ри п зв ли ан о р п й н д о вх обычно делают по прогнозной модели. Прогнозная модель - это модель, с й терф н и а яд р ве сн о зу ктеи ар х аппроксимирующая тренд. Прогнозы — это оценки будущих уровней ряда, а ет расч ю у ей н ли т ен ц и эф ко последовательность прогнозов для различных периодов упреждения τ = 1, 2, л ай ф я ац м р о ф н и та ен ц и эф ко ..., k составляет оценку тренда. ательсво зд и При построении прогнозной модели выдвигается гипотеза о динамике т и ерж сод ей вн о р у т и ж ер д со величины ξt , т. е. о характере тренда. зв ли роан п и ен стр о п Однако в связи с тем, что уверенность в гипотезе всегда относительна, ерзч рассматриваемые ям вн о р у модели наделяются яет вли адаптивными еты асч р свойствами, ет асч р способностью к корректировке исходной гипотезы или даже к замене ее к и н еб уч ю у ац м р о ф н и ель д о м другой, более адекватно (с точки зрения точности прогнозов) отражающей ве сн о елать сд ес ц о р ер сп и д поведение реального ряда. кх и граф о еквтн ад Простейшая адаптивная модель основывается на вычислении так если я и тц п ад называемой экспоненциальной средней. з ли ан й сетво 2.2.1 Экспоненциальное сглаживание Предположим, что исследуется временной ряд xt. ка б и ш о 21

Выявление и и уровн производится а ряд с анализ тенденции ету н п м ко помощью его динамического выравнивания ряда й н сезо или т о аб р часто сглаживания. Экспоненциальное сглаживание — один из простейших и распространенных а тем си м лн о п ято н и р п приемов выравнивания ряда. В его основе лежит расчет экспоненциальных ь уровен тс явлю т и ж ер д со средних. е такж Экспоненциальное сглаживание ряда осуществляется по рекуррентной е ви тсу о формуле е ваи сн о ая н степ S t   xt   S t 1 , (2.7) где St — значение экспоненциальной средней в момент t; я н и ац ер п о е вн и сглаж α — параметр сглаживания, α=const, 0 < α < 1; β = 1 — α. р о и естац н Экспоненциальную среднюю St можно выразить через значения го н сред у о н ем вр веи о р п временного ряда х: т аю олуч п St   xt   St 1   xt    xt 1   2 S t 2  ...    xt    xt 1    2 xt 2  ...    l xt l  ...   N S 0  (2.8) N 1     xt l   S 0 , l N l 0 где N — количество членов ряда; а и олуч м н сезо So — некоторая величина, характеризующая начальные условия для е ы р вто м о д каж первого применения формулы (3.1) при t = 1. од вы и ялен вы Так как β < 1, то при N    N  0 , а сумма коэффициентов а гд ко  N 1 l     1. Тогда S i     xt l . l еи ач зн l 0 l 0 Это означает, что величина St оказывается взвешенной суммой всех еск ч и аф гр еэко и м н и ен стр о п членов ряда. Причем веса падают экспоненциально в зависимости от еско тч ли ан и н есц б о я еи авн ср давности («возраста») наблюдения. Если, например, а = 0,3, то текущее е вн и сглаж у этм о п ю у ьш ен м 22

наблюдение будет иметь вес 0,3, а веса предшествующих данных составят рван ели од м тс явлю в го у кр если соответственно 0,21; 0,147; 0,1029 и т. д. еты арм п Рассмотрим, ряд, генерированный моделью ет м и р п delphi xt  a1   t , (2.9) где a1 — const; елат д εt — случайные неавтокоррелированные отклонения, или шум, со го н ед ср средним значением 0 и дисперсией σ2. ы тоб ч р о б вы Применим к нему процедуру экспоненциального сглаживания. Тогда ован ю ер сп и д   ету н п м ко  St     xt l     a1   t l   a1     l  t l , l l l 0 l 0 l 0 (2.10) Найдем математическое ожидание ве осн в п си о M S t   M xt   a1 . и дисперсию (2.11) у оэтм п 2       2 DS t   M S t  a1   M    l  t l     2   2l  2   2. 2  l 0    l 0   (2.12) Так как 0 < α < 1, D(St) < D (xt)=σ2. Таким образом, экспоненциальная й елы б средняя St вая и кр имеет то же математическое ожидание, что и ряд х, но меньшую дисперсию. Как видно из т вод ри п тем у п е вн и глаж (3.4), при высоком значении α дисперсия экспоненциальной средней и ям уровн ставля ед р п й тако незначительно отличается от дисперсии ряда х. Чем меньше α, тем в большей елй зд и х казн еу ш вы е д ви степени сокращается дисперсия экспоненциальной средней. и уровн ц ли таб Следовательно, экспоненциальное сглаживание можно представить, д рен а н ч вели льтаы езу р как фильтр, на вход которого в виде потока последовательно поступают ом д каж я и о стр з ер ч члены исходного ряда, а на выходе формируются текущие значения есв ц о р п ен м еи ач зн экспоненциальной средней. ован след и 23 м н сезо

И чем меньше α, тем в большей степени фильтруются, подавляются я и ен ч лу о п я еи авн ср колебания исходного ряда. е вы кри ы сезон Экспоненциальная средняя часто используется для краткосрочного сл и ч вы еты м ар п прогнозирования. В этом случае предполагается, что ряд генерируется серву и кц н у ф e activ моделью xt  a1, t   t , (2.13) й о н ем вр где . a1,t — варьирующий во времени средний уровень ряда; х вы и кр и кц н у ф εt — случайные неавтокоррелированные отклонения с нулевым всех я н и ац ер п о математическим ожиданием и дисперсией σ2. к б и ош ели д о м Прогнозная модель имеет вид ервог п   x t   a1, t , (2.14) ль ы кр ш где x t  — прогноз, сделанный в момент t на τ единиц времени (шагов) елать сд о н ай ч слу х ы тльн квар вперед;  a1, t — оценка a1,t. и ялен вы Средством оценки единственного параметра модели служит  средняя a1, t  S t . Таким образом, все свойства т и ерж сод экспоненциальная и р тео ьш ен м н ч вели ая н степ экспоненциальной средней распространяются на прогнозную модель. В еи ач зн ель д о м й н ед ср частности, если St-1 рассматривать как прогноз на 1 шаг вперед, то в сотавляе ет асч р выражении (2) величина (xt — St-1) есть погрешность этого прогноза, а новый я ац орм ф н и й и н ед ср е льы ач н я тр о есм н прогноз St получается в результате корректировки предыдущего прогноза с вести р о и естац н я сан и п о учетом его ошибки. В этом и состоит существо адаптации. и текущ ели д о м е и сящ тн о При краткосрочном прогнозировании желательно как можно быстрее ск и о п ели д о м отразить изменения а1,t и в то же время как можно лучше «очистить» ряд от щ ею м и т о см зави г то случайных колебаний. еств кач Таким образом, с одной стороны, следует увеличивать вес более ес роц п й о н важ я еи ач зн я кц ф и тен ау свежих наблюдений, что может быть достигнуто повышением α, с другой ор и естац н е такж 24 н ж о м

стороны, для сглаживания случайных отклонений величину α нужно ть и ач зн об гсе н зо елать сд уменьшить. и уровн Эти два требования находятся в противоречии. Поиск компромиссного м вн ти о р п м агр и д значения α составляет задачу оптимизации модели. в и колен вая и кр Экспоненциальное и ен ч вклю м выравнивание е вы и кр всегда требует предыдущего а всегд значения экспоненциальной средней. Когда процесс только начинается, котрй м таки а д ен тр егси р авто должна быть некоторая величина S0, которая может быть использована в ве осн тью ен сб о м тво ед ср cl ex качестве значения, предшествующего S1. Если есть прошлые данные к тс явлю к ам н и д о н ай ч слу моменту начала выравнивания, то в качестве начального значения So можно ели од м лы о б ар п зу ктеи ар х я и ен стр о п использовать арифметическую среднюю всех имеющихся точек или какой-то т гу о м г еско ч ам н и д елая ц их части. Когда для такого оценивания So нет данных, требуется осква а н лж о д авн р предсказание начального уровня ряда. я сход и м агр и д Предсказание может быть сделано исходя из априорных знаний о этом к и н еб ч у я р д стан й щ у ы ед р п процессе или на основе его аналогии с другими процессами. После k шагов а тем си е н р сто и кц н у ф вес, придаваемый начальному значению, равен (1 - α)k. Если есть уверенность ой вн ти п ад я и р тео если а яд р в справедливости начального значения So, то можно коэффициент α взять лы о б ар п сло и ч у о н ем вр малым. Если такой уверенности нет, то параметру α следует дать большое ор б вы й щ ю у след к б и ш о ая м и д х б ео н значение, с таким расчетом, чтобы влияние начального значения быстро т о аб р arm г н д о сх и cl ex уменьшилось. Однако большое значение α может явиться причиной большой ы н вход й ер сп и д а х д о п связи дисперсии колебаний St. Если требуется подавление этих колебаний, то после ве осн ка яд р о п е ц н ко ри тп д во достаточного удаления от начального момента времени величину α можно ой б лю н зако ч али н убавить. ьест 2.2.2 Модели линейного роста Экспоненциальная средняя дает систематическую ошибку, когда карп а яд р е ы н д о сх и временной ряд имеет тенденцию линейного роста. Для этого случая я врем и лн ед р п о ю еш вн разработано несколько вариантов адаптивных моделей, также использующих еи ач зн его н 25 и ям вн о р у ес ц о р п

процедуру экспоненциального сглаживания. В основе моделей лежит ой н врем я и ен стр о п ть и лж о ед р п гипотеза о том, что прогноз может быть получен по уравнению    x t   a1, t   a2, t , этом ея у ти р о эксп й и н ед ср (2.15) ки ен ц о где a1, t , a 2, t — текущие оценки коэффициентов адаптивного полинома казтелй о п явлетс первого порядка. еи ач зн Одной из первых моделей этого типа была двухпараметрическая слть и ч вы ваи сн о х льы ач н там ен ц и эф ко модель Ч. Хольта, в которой оценка коэффициентов производится я врем м ы твн и ад ей вн о р у следующим образом: отказв    a1, t   1 xt  1   1  a1, t 1  a 2, t 1 ;     a 2, t   2 a1, t  a1, t 1   1   2  a 2, t 1 , (2.16) где α1 и α 2 — параметры экспоненциального сглаживания (0< α1,α2<1), х ы ан д р о б вы которые также называют параметрами адаптации. еи ач зн е вн и сглаж Эти уравнения могут быть переписаны в виде: ет м ри п а яд р х ы альн ем экстр    a1, t  a1, t 1  a 2, t 1   1 et ;   a 2, t  a 2, t 1   1 2 et , (2.17) где et  xt  x1 t  1 — ошибка прогноза. м лн о п Частным случаем модели Хольта является модель линейного роста ке точ х ы ан д е льо ач н д о вы Брауна: тся ю ч азли р      a1, t  a1, t 1  a2, t 1  1   2 et ;   2 a2, t  a2, t 1  1    et , (2.18) где параметр β — коэффициент дисконтирования, характеризующий ве осн в ко и атн р обесценение данных наблюдения за единицу времени, 0 < β < 1. равн р о б вы ват и ен ц о Если модель Хольта усовершенствовать путем включения разности ую олн п ы н ем вр ет м и ошибок, то получим полную трехпараметрическую модель прогнозирования ован след и й и н ед ср веса Дж. Бокса и Г. Дженкинса: терс н уи 26

   x t   a1, t   a2, t ,    a1, t   1 xt  1   1  a1, t 1  a 2, t 1    3 et  et 1 ;     a 2, t   2 a1, t  a1, t 1   1   2  a 2, t 1 , (2.19) я н ед ср где α1, α2, α3 являются параметрами модели (0< α1, α2, α3 <1); в о д ен тр  et  xt  x1 t  1 — ошибка прогнозирования. е ы ан д На основе практических испытаний модели на многих экономических ет расч о тльн ваи ед р п ету н п м ко рядах Бокс и Дженкинс пришли к выводу, что включение в модель разности й н сезо ей уровн ю у ьш ен м если ошибок не является необходимым. Коэффициент α3 всегда оказывался тс роявлю п еты м ар п м левы у н близким к нулю. Это объясняется стохастическим характером данных, и, в сравн а д ето м ки ч то частности, тем, что корреляция ошибок в подобных случаях неустойчива. й н сред и м ы етн асч р если К положительным чертам метода Брауна можно отнести следующие: если ав б и р п м левы у н в аго ш логичная, ясная и легко понимаемая концепция; оптимальное значение е такж ет м ар п сл и ч вы единственного параметра можно быстро найти эмпирическим путем; ор б вы льк то ятс д о вы а н ч вели коэффициенты модели прогнозирования оцениваются совместно таким е и сящ отн а гд то й ы ем у зр ли ан образом, чтобы уменьшить автокорреляцию в остатках. Все это делает ваетя сы и оп щ теку м еи щ асы н модель Брауна легко применимой. тольк ятс д о вы 2.2.3 Стохастический процесс Тейла И Вейджа Г. Тейл и С. Вейдж в целях дальнейшего изучения свойств адаптивных х ы н кратосч ель д о м т о аб р моделей предложили применить двухпараметрический предиктор Хольта для сотавляе ст вер и н у ьш ен м прогнозирования некоторого вероятностного процесса, характеризующегося ве осн стохастическим й естки ж трендом. я н сред Они вывели выражения ы н д о вх для з гн о р п определения оптимальных параметров адаптации, минимизирующих средний квадрат але д г еско тч ли ан тв ен ц и эф ко ошибки прогнозирования. еског тч ли ан Процесс Тейла—Вейджа аналитически записывается как: ет арм п ет асч р 27

xt  a1, t   t ; a1, t  a1, t 1  a 2, t ; (2.20) ели д о м a 2, t  a 2, t 1   t , где a1,t — значение уровня исследуемого временного ряда xt в момент t; ель д о м реб тся у ей льш о б a2,t — прирост уровня от момента t—1 к моменту t й ущ ы ред п а н ч вели εt , υt — временные последовательности с нулевым математическим у этм о п если ожиданием, постоянными дисперсиями и отсутствием ковариации, т. е. ель од м еса ц о р п M  t   M  t   0;  2 t  t ' ; M  t  t '     0 t  t ';  2 t  t ' ; M  t  t '     0 t  t '; (2.21) вае зи гн о р M  t  t '   0 для любой пары (t, t’). тся ю у р ц ф и д о м Временной ряд xt не является стационарным и не имеет строго и ялен вы явлетс определенной автоковариационной функции. Вторые же разности этого ряда ы ряд и кц н у ф м тр ко й ы ествн кач имеют вполне определенную автоковариационную функцию елй зд и а гд то Схема составления прогноза выглядит следующим образом: у оэтм п еся у р ти п ад в п си о    a1, t  1 xt  1  1  a1, t 1  a2, t 1 ;     a2, t   2 a1, t  a1, t 1   1   2  a2, t 1 ;    x t   a1, t   a2, t ; (2.22) (2.23) 0  1 ,  2  1. Если ошибку прогноза, сделанного в момент t на 1 шаг вперед, м ущ ы ред п й и кц н у ф й щ ю у след обозначить через e1(t), то уравнения адаптации (2.22) и (2.23) можно записать каую р о б вы ь вен о р у в виде: а д ен тр    a1, t  a1, t 1  a 2, t 1   1 e1 (t  1) ;   a 2, t  a 2, t 1   e1 t  1; (2.24)   1  2 . 28

Ошибка прогноза: еса роц п     e1 t   xt 1  a1,t  a 2,t  a1,t  a 2,t   t 1   t 1   a1,t  a 2,t     a1,t  a1,t   a 2,t  a 2,t    t 1   t 1 (2.25) ло ед р п Следовательно, ошибка прогноза является суммой трех компонент: г о ан д тавляе со ве о н ошибки оценки уровня процесса в момент t, ошибки оценки прироста уровня е ы вн ти п ад затем еи ач зн и ен стр о п ч ги ло ан в момент t и комбинации случайных компонент υ и ε в момент t + 1. ост льн рави п ы елн 2.2.4 Сезонные модели В экономике многие а д трен явления характеризуются в и лен ко периодически ь вен о р у повторяющимися сезонными эффектами. Соответственно временные ряды, д о вы ью щ м о п тью ен сб о их отражающие, содержат периодические сезонные колебания. Эти ряды и их м и скользящ г во ер п к ам н и д колебания можно представить, как генерируемые моделями двух основных ы сезон твм ед ср о п еи д ж о ах н типов: моделями с мультипликативными и с аддитивными коэффициентами г во ер п сти о азн р й щ ю у след сезонности. Модели первого типа имеют вид: еств ч коли елат д xt   t   t ;  t  a1, t f t , (2.26) там ен ц и эф ко где динамика величины a1,t характеризует тенденцию развития процесса; я н сред ы н ч вели явлетс ft, ft-1, ft-l+1 - коэффициенты сезонности; ель д о м l — количество фаз в полном сезонном цикле (если ряд представляет я и ен аж тр о cl ex й еи д лю аб н месячные наблюдения, то в экономике обычно l =12, при квартальных з ли ан е и ш р о х данных l = 4 и т. п.); й н ослед п εt — неавтокоррелированный шум с нулевым математическим ожиданием. ь вен о р у Модели второго типа записываются как: у ваем сы и оп тв ен ц и эф ко 29 а н ч вели

xt  t   t ; t  a1, t  g t , (2.27) где величина a1,t описывает тенденцию развития процесса; зе ли ан века о р п и н ед со gt , gt-1, gt-l+1 - аддитивные коэффициенты сезонности; м вн ти о р п l — количество фаз в полном сезонном цикле; а н ч вели arm εt — неавтокоррелированный шум с нулевым математическим ожиданием. г льо ач н st n co Адаптивная модель ая м и хд еоб н с мультипликативной д о вы сезонностью была я еи авн ср предложена П.Р. Уинтерсом. Аддитивная модель рассмотрена Г. Тейлом и С. и ован треб а м су й еи ач зн Вейджем. есколь н 2.2.5 Прогнозирование с коэффициентами сезонности Модель имеет вид: я кц ф и аутен x   a1, t   1  t  1   1  a1, t 1 0   1  1; f t l   x f t   2  t  1   2  f t 1 0   2  1. a1, t (2.28) м еи щ асы н  Как видим, a1, t является взвешенной суммой текущей оценки й о звестн и й о м у след с тер н и у xt , f t l полученной путем очищения от сезонных колебаний фактических данных xt овки устан ьест есв ц о р п  и предыдущей оценки a1, t 1 . ри хк вы В качестве коэффициента сезонности ft берется его наиболее поздняя м и хд еоб н ве сн о ель д о м оценка, сделанная для аналогичной фазы цикла. ки ен ц о ер м й щ ю у след  Затем величина a1, t , полученная по первому уравнению, используется еског ч ам н и д тавляе со кй ч то для определения новой оценки коэффициента сезонности по второму ое зуальн ви ги ло ан уравнению. 30 а яд р

Прогноз следующего значения ряда:    x1 t   a1, t f t l 1. ы н ч вели т ен о м (2.29) й н ед ср Более общим выражением для прогноза на τ шагов вперед будет:    x t   a1, t f t l  ,   l. (2.30) и орм а и етр м н эко а н и х р о д асы н и ф  Величины a1, t и f t могут быть записаны через прошлые данные и ь р н о и стац еи ач зн ы н ч вели начальные условия: ели вы t  n x t l  a1, t   1  1   1   t  n  1   1  a1, 0 ; f t l  n n 0 J   n x J 1 f t   2  1   2   t  nl  1   2  f i ,0 , a1, t  nl n 0 (2.31) г о н ем вр где a1, 0 — начальное значение а1; г льо ач н  f i , 0 — начальное значение f в соответствующей i фазе (месяце) цикла (года); к стаи и лекц кл о t l J — наибольшая целая часть . ели од ету н п м ко Следовательно, прогноз является функцией всех прошлых значений а н ч вели ка яд р о п а м су    фактического ряда, параметров 1 и  2 и начальных условий a1, 0 , f1,0 , f 2, 0 , …, н ож м м ы н сч ато кр авст ер н  f l ,0 . Влияние начальных условий на прогноз зависит от величины весов и е ы н ай случ если я н стач о  длины ряда, предшествующего текущему моменту t. Влияние a1, 0 обычно ет м ар п льк то ес ц о р п ая н степ  будет уменьшаться быстрее, чем влияние начальных значений f i ,0 , так как a1 ч склю и и м ы етн асч р ка б и ш о  пересматривается на каждом шаге, а f t только один раз за цикл. х ы тльн квар а яд р казтелй о п Если эта сезонная модель прогнозирования, структура которой не твм осред п содержит элементов применяется для й и етвю сущ для ем аш н отражения прогнозирования я ем вр ен м какой-либо ч ги ло ан ряда, тенденции характеризующегося  роста, и м ы н сезо в и кр ярко выраженной тенденцией, то коэффициенты f t перестают быть простыми вая осн д о и ер п 31 о еквтн ад

коэффициентами сезонности и вскоре вбирают в себя в определенной мере х ч зад й и кц н у ф я и р тео в то н элем эффект роста. ятс аход н Полная сезонная модель Уинтерса с линейным ростом имеет вид: н ч ы об г о м у след и т ен ц и эф ко x    a1, t  1  t  1  1  a1, t 1  a2, t 1 ; f t l   x f t   2  t  1   2  f t 1 ; a1, t     a2, t   3 a1, t  a1, t 1   1   3  a2, t 1 0  1 ,  2 ,  3  1;     x t   a1, t   a2, t  f t l  . (2.32) в и кр Единственным изменением в выражении для a1, t является добавление а н ч вели  a 2, t 1 — наиболее поздней е ян вли е ян вли оценки аддитивного ьест фактора роста, ей льш о б характеризующего изменение среднего за полный сезонный цикл уровня ц ли таб г еско ч ам н и д о тльн ваи ед р п д о вы процесса за единицу времени (месяц). Выражение для обновления тся рую ц ф и од м к со и п я ем вр  коэффициента сезонности остается тем же, что и раньше. Оценки a 2, t ет арм п модифицируются по ве осн еты м ар п аналогичной процедуре ы м у и р ген экспоненциального сглаживания. Прогноз является здесь функцией прошлых и текущих данных, х зы рогн п х ы ан д ется льзу о п я ван р ели д о м параметров 1 ,  2 ,  3 и первоначальных значений ев ш каты й ы твн и ад    a1, 0 , a 2 , 0 , f i ,0 . Качество и точность прогнозов зависит от этих факторов. ьест к б и ош льтаы езу р Оптимальные параметры если 1 ,  2 ,  3 Уинтерс предлагает находить х ы ставлн ед р п экспериментальным путем. Критерием сравнения он берет стандартное ве осн д о ех р ся у еб тр отклонение ошибки. к б и ош 2.2.6 Аддитивная модель сезонных явлений Несмотря ту оен м на то, что для экономических временных ательсво зд и рядов мультипликативная модель обычно оказывается наиболее подходящей, ользуетя сп и г о н взеш 32 м ы ен стр о п

иногда требуется аддитивная модель. Рассмотрим аддитивную модель а гд то й о н ем вр м тво ед ср е вы и кр сезонных явлений с линейным ростом, предложенную Г. Тейлом и С. х льы ач н е м р о ф и н вед о р п Вейджем. Построение такой модели имеет целью упрощение процедуры от раб его н а гд ко в ети р ко прогнозирования, поскольку комбинация мультипликативной сезонной ю у ей н ли века о р п модели с линейным ростом математически громоздка. Кроме того, на го н сред и ван о еб тр а яд р е и ш р о х практике чаще встречаются экспоненциальные тенденции, чем линейные. аем олуч п го н ед ср я н и ац ер п о Поэтому замена значений первоначального временного ряда их логарифмами етв сущ я н ед ср ть о азб р преобразует экспоненциальную тенденцию в линейную и одновременно хольта г н д о сх и еты м ар мультипликативную сезонную модель в аддитивную. Тогда временной ряд ету н п ком х лы ш о р п й н д о вх (исходный или преобразованный) можно представить следующим образом: ве осн ем льзван о сп и х ы н ай ч слу xt  a1,t  g t   t ; (2.33) a1,t  a1,t 1  a2,t , м таки где a1,t— величина уровня процесса после элиминирования сезонных льтаы езу р й ваы о и р ген ве о н колебаний; a2,t — аддитивный коэффициент роста; х лы рош п й о вн ти п ад gt — аддитивный коэффициент сезонности; д ето м εt — белый шум. м олн п  Сначала рассмотрим адаптивную процедуру обновления значения a1, t . ка ен оц ве сн о ав б и р п B момент t мы располагаем наблюдением xt, о котором известно, что а д трен м ы н ай ч слу xt  a1,t  gt   t (2.34) т ен о м Однако о шуме и сезонном факторе gt никакой информации нет. м ы етн расч а д ен тр й щ ю у ьи вар Величину εt заменим нулем, а в качестве заменителя для gt возьмем самую тл и расч еты м ар вая и кр последнюю оценку сезонного фактора gt-l, где l — период сезонного цикла. утся ри ген Величину  xt  g t l м тво ед ср тв ен ц и эф ко е д о х будем рассматривать как новое ≪фактическое≫ значение ет расч и р тео a1,t. Последней оценкой уровня а1 является елй од м ле о б аи моменту t-1, а не t. у ваем сы и оп 33  a1, t 1 т о аб р , но она соответствует

Поэтому необходимо к a1, t 1 добавить еще a2, t .Но так как оценку a2, t мы ом д каж х ы ен ч лу о п еще не можем получить, то вместо нее берем оценку a 2, t 1 , полученную на отез п ги й и етвю щ су ятс д о ах н предыдущем шаге. ве осн Это приводит к следующей процедуре адаптации: ю еш вн ль еско н     a1,t  1 xt  g t l   1  1 a1, t 1  a2, t 1 , (2.35) которая при данных весах  1 и 1  1  оценивает а1,t через наиболее свежее ы н ч вели а н ч вели с й ф тер н и м таки наблюдение xt и ранее подсчитанные величины a1,t 1 , a2,t 1 , g t l . т оен м в ети р ко Та же процедура применяется для получения оценки gt. Новое зн али ка яд р о п  «фактическое» значение сезонного фактора будет xt  a1, t , а старое значение я и кц ун ф зац н и м е зьм во х ы ан д равно g t l , экспоненциально-сглаженное значение т и ж ер д со    g t   3 xt  a1, t   1   3  g t l (2.36) ету н п м ко Все три параметра сглаживания будут удовлетворять условию 0< α1, α2, р о и естац н ац п тер н и α3 <1. Адаптивное прогнозирование теперь провести сравнительно просто. ч али н я вн и сглаж асти ч Предположим, что t — текущий момент времени, так что a1,t , a2,t , gt , gt 1 ет уд б й еи ач зн имеются в нашем распоряжении. Предположим также, что мы хотим а еч кон и ч ад ь р н о и стац получить прогноз величины xt+τ (прогноз на τ шагов вперед). Экстраполируем ели од зу харктеи тенденцию линейного е и м экон с тер н и у роста, используя м тво ед ср самое последнее в о ем и р п в го у кр значение  коэффициента a 2,t , добавляем самую свежую оценку сезонного члена для ч склю и явлетс о р д вен а гд то этой фазы цикла и пренебрегаем шумом. В результате получаем ели од м всех з гн о р п     x t   a1, t   a2, t  g t l  (2.37) тея и кр при условии, что 0 < τ< l. Если l < τ < 2l, то необходимо g t l  заменить на з ер ч вая сн о  g t 2l  . 34

Однако на практике удобнее осуществлять адаптивное регулирование тем си т ен ц и эф ко х ы ан д    a1,t , a 2,t и g t с помощью уравнений, связывающих эти величины с ошибкой л ай ф ету н п м ко прогноза, сделанного в конце периода t — 1 на один шаг вперед. ован след и елях ц е льзван о сп и 2.2.7 Модели авторегрессии — скользящего среднего (метод Бокса — Дженкинса) Для описания моделей потребуются следующие обозначения: д о вы явлетс xt — значение ряда в момент t; утем п ер сп и д εt – белый шум с дисперсией  2 . о р д вен Модель основывается на гипотезе, что изучаемый процесс является в и лен ко ю ер сп и д я еи авн ср выходом линейного фильтра, на вход которого подан процесс белого шума, й щ ую след ю ер сп и д х ы альн ем экстр зн еи ач т. е. что член ряда xt является взвешенной суммой текущего и предыдущих ы д ви т р о ксп ть ы б ваетя сы и п о значений входного потока: агрм и д xt     t   1  t 1   2  t 2  ... (2.38) ету м ар п где μ= const в общем случае является параметром, характеризующим ой н важ если и ен ч аклю процесс. Если последовательность ψ1, ψ2, … конечна или бесконечна, но теори али р б д о п сходится, то процесс xt будет стационарным. Тогда μ — среднее значение, х ы ен олуч п я ац м р о ф н и д ето м егси р вто вокруг которого процесс варьирует. В противном случае xt — нестационарен л ач сн ая н степ ь р н о и стац и μ не имеет особого смысла, кроме как некой точки отсчета уровня процесса сум й о н ем вр ть ы б . 35 т и ж ер д со ели д о м

3. Автоматизация построения моделей 3.1 Разработка программного средства Программная система должна осуществлять: од ери п й о н важ  Проверку ряда на стационарность (критерий, основанный на ект эф ы н ли д выборочной медиане); ве осн  Проведение алгоритмического сглаживания, на основе скользящего еств кач и ван о еб тр cl ex среднего или взвешенного скользящего среднего для удаления из ряда от разб ету н п м ко й сетво экстремальных значений и придания ему более гладкого вида; ве осн ы яд р и ен стр о п  Определение структуры ряда на основе расчета коэффициентов в п си о arm вая сн о автокорреляции;  Моделирование сезонных колебаний результа авст ер н  Нахождение тренда в виде основных функций (оценка параметров); ула орм ф у о н ем вр т ен ц и эф ко  Выбор наиболее подходящей модели для описания эмпирического еств ч коли я еи авн ср вки о стан у процесса посредством вычисления коэффициента детерминации, остаточной етвля осущ еса ц о р п я еи ач зн дисперсии и средней ошибки аппроксимации и их сравнения; е ач зн об ет м ар п еты м ар п  Прогнозирование на основе построенной модели; авн ср е ы н ай ч слу  Прогнозирование на основе кривых роста; вае зи гн о р р акто ф  Прогнозирование на основе адаптивных моделей временных рядов; е о стар i h elp d х ы н ай ч слу  Интерпретацию результатов, выводы и пояснения системы. ели д о м я еи ач зн 3.1.1 Функции системы Система должна обеспечивать следующие функции: е ы тн и расч т аю ч лу о п х льы ач н 1. Ввод информации, характеризующей исследуемый процесс. азе ф и м р о 36

 Значения независимых переменных (то есть массива времени); ом вн ти п ад елй зд и ая тр ко  Значения зависимой переменной; вае зи рогн явлетс 2. Анализ временного ряда, его структуры, подбор тенденции, м это м н сезо т д во и р п исследование ряда на стационарность и наличие сезонных колебаний. еи ач зн м ы етн асч р й сетво 3. Вывод информации о параметрах системы: ается олуч п а яд р  Вывод о наличии тренда; я и ран вы  Вывод о структуре ряда; ой н важ е д о х  Параметры трендов; е и ран вы  Вывод об оптимальном тренде; еи ач зн  Вывод рассчитанных значений; ью щ ом п м ы ен стр о п  Вывод прогнозных значений по построенным моделям; ка оряд п асти ч  Вывод построенных прогнозов на основе кривых роста; и м ы етн расч й ы елан сд arm  Вывод построенных прогнозов на основе адаптивных моделей. етвля осущ ес ц о р еи ач зн Входной информацией системы является: тервал н и х ы льн си 1. Информация об исследуемой экономической модели: о значениях ч склю и ве сн о м вн ти о р п исследуемого показателя в соответствующие периоды времени. сл и ч вы д о ех р Выходной информацией системы является: я еи ач зн вая сн о 1. Информация о наличии или отсутствии тренда. ы ен олуч п я н х вер 2. Информация о структуре ряда. оть разб ке ам н и д 3. Информация о типе выбранной модели. ет ж о м елая ц 4. Информация о наличии или отсутствии сезонных колебаний. льтаы езу р д ен р 2. Информация о параметрах трендов. ка ен оц х лы ш о р п 3. Построенные прогнозы. т о аб р 4. Таблицы с расчетными значениями зависимой переменной. вй сн о еств ж о н м Приложение должно быть разработано в стиле мультидокументального етом уч и м ы ен ч лу о п и ы н ер м у интерфейса (MDI). В качестве документа здесь используется анализируемая а ряд и явлен ы века о р п вая и кр модель – файл Excel с входной информацией. вая осн льтаы езу р Доступ к файлам с входной информацией может осуществляться как ей ольш б е н р сто ь вен о р у через локальные диски, так и путем доступа к сетевому окружению. Для в то н элем орт эксп е льы ач н али р б д о п функционирования системы дополнительных компонентов (серверной части) х ы альн экстрем и лн ед р п о 37 я еи ач зн

не требуется. Для минимизации трудозатрат на установку и обслуживание века о р п з ли ан программного продукта его необходимо разработать таким образом, чтобы ро д вен ь ен ч о е зьм во ели вы процесс установки и обновления был наиболее простым, не требовалось н ч ы об а м р о ф я и кц н у ф больших трудозатрат. Поэтому принято решение разработать программу в й ы твн и ад н ч вели х ы альн ем экстр виде исполнимого модуля (*.exe) и файла конфигурации (*.ini). Для з гн о р п м р о ф ет м и х ги у р д установки программы специальная инсталляция не требуется, установка м и н сред стаея о есм тч и кр должна осуществляться копированием вышеуказанных файлов. и лн ред оп и ван о еб тр 3.1.2 Технические требования к системе. В связи с отсутствием регулярной сетевой нагрузки при работе з ли ан т у кн ы лем б о р п программы оптимизации сетевой нагрузки не требуется, поэтому в алгоритме еть м и етя льзу о сп и еи ач зн работы программы обращение к серверу баз данных не предусмотрено. ящ сен и от есх ч и м н эко а всегд Требования к рабочей станции: операционная система Windows XP, а н ч вели д во т гу о м объем ОЗУ – не менее 1 ГБ, процессор Celeron 2000 ГГц, жесткий диск не еско тч ли ан менее ы елн 80 ГБ. Должна ели од м быть х лы ш о р п настроена т ен о м ая щ б о доменная аутентификация м ы н ай ч слу пользователей, каждый пользователь должен иметь свою отдельную учетную е вы кри вая и кр ц ли таб ть ы б запись в Active Directory. На клиентской машине должен быть установлен ей и кц ун ф е зы гн о р е ваи сн о Microsoft Office XP или более новая версия. ег щ ваю сы и оп зй гн о р п Общая структура программного комплекса приведена на рис 3.1. ой вн ти п ад и к ен ц о 38 ле о б ер сп и д

Рис 3.1 Общая структура программного комплекса века о р п e activ Модель приложения построена по следующему принципу: в и колен т о см зави  Интерфейс программы построен в стиле MDI-приложения. ое вн ти п ад  Чтение ваи сн о входных л ред п данных я ем вр осуществляется через авн р COM-объект ету м ар п Excel.Application.  Расчет и анализ выполняется на стороне клиентского приложения. ая м и хд еоб н м о вн ти п ад тл и асч р  Значения расчетных параметров выводятся в текстовом виде с г м олн сп и я н ед ср ю твеи со возможностью их копирования в буфер обмена Windows. ты ен ц и коэф а яд р егси р вто  Таблица результирующих данных экспортируется в Excel через й ы м у и р ген ея у ти р о эксп о р д вен COM-объект.  Диаграмма экспортируется в Excel через COM-объект. ка б и ош х ы тр ко 3.1.3 Описание программы. Основная форма приложения имеет вид: я врем е ы р вто 39 г о н ем вр

Рис 3.2 Основная форма MDI-приложения ей льш о б Дочерняя форма приложения создается для анализа входных данных. ей и кц ун ф ю ву и кр д о и ер п е и ш р о х На первом этапе для ее создания необходимо выбрать файл с входными ц н и ед еты м ар п д о ех р данными формата Excel (рис 3.3): з ли ан есм роц п Рис 3.3 Выбор файла с входными данными и кц н у ф д ето м 40

После этого будет создана форма с двумя закладками. На первой есколь н агов ш ы сен и ч лу о п и м ы етн асч р закладке будут отображены исходные данные (рис 3.4): и кц ун ф androi м ы н ай ч слу Рис 3.4 Исходные данные после импорта из Excel г то яет вли еи тклн о На второй закладке выводятся результаты расчета по всем вариантам ая ш ростей п сти о азн р елй зд и моделей регрессии и осуществляется выбор оптимальной модели (рис 3.5): овать след и й ы твн и ад е о альн зу ви а яд р Рис 3.5 Результаты расчета модели л ай ф После этого осуществляется запуск Excel через COM-объект и экспорт н и ерац оп я м и льзящ ско тем си в Excel таблицы с расчетными данными (рис 3.6): ы ставлн ед р п в ко зам ль ы кр ш 41 а гд о н и

Рис 3.6 Экспорт в Excel таблицы с расчетными данными ятс д о ах н ьест Формирование отчетов: экспорт в Excel путем запуска этого ы ум ри ген ка яд р о п м и ящ х д о п я еи ач зн приложения с передачей в него информации по технологии COM. ет м и й и сер Под входной информацией понимается вся информация, необходимая есо ч акти ф ке ч то я еи ач зн для решения задачи и расположенная на различных носителях: первичных ы елн х ы ен ч лу о п етвля щ су о документах, машинных носителях, в памяти персонального компьютера. льог ач н т ен о м свен ко Входной информацией для системы является: ч склю и м и д х б ео н  Значения независимых переменных анализируемого процесса. е вы о сн а яд р  Значение зависимой переменной. Может быть получена в файле ки ен оц асти ч ав б и р п си о еквтн ад Excel. В ходе разработки системы результатными показателями являются: н вторегси т о см зави ак н д о  информация о расчетном значении зависимой переменной; а н ч вели ая н степ ев ш каты  информация о выбранном оптимальном методе; ы ен стр о п м и щ ю у след о п  диаграмма с расчетными значениями зависимой переменной. кх и аф гр еты м ар п В результате расчета получаем значение параметров возможных ая н степ е льы ач н 42 тся у и р ген

моделей и выбираем оптимальную модель. ертся б ы м у и р ген 3.1.4 Результат работы системы На рис 3.7 представлен результат построения исходного временного тем у п ка яд р о п ряда и проверки ряда на стационарность. вал тер н и острен п и Рис 3.7 Проверка ряда на стационарность и визуальное отображение ряда а ряд На рис. 3.8 ю у ьш ен м представлено зй гн о р п визуальное ель д о м отображение ы ен ч лу о п временного ряда и построение аналитического линейного тренда. м таки если щ ею м и 43 исходного

Рис 3.8 Проверка ряда на стационарность и визуальное отображение ряда н ож м й щ ю у след ету н п м ко На рис. 3.9 представлены значения трендов, рассчитанные методом й н д о вх еи д ж о ах н е зы гн о р скользящего среднего при m=1,2,3, рассчитанные методом экспоненциально ятс од вы есто вм взвешенного скользящего среднего Брауна, а также их визуальное ы сезон г н д о сх и ес ц о р явлетс представление. 3.2 Анализ работы программной системы Проведем расчеты с использованием MS Excel для сравнения я еи уравн ке ам н и д ьест результатов 1. исследование ряда на стационарность на основе критерия, основанного ц ли таб я еи ач зн на выборочной данные медиане. 44 если

Рис 3.9 Расчет трендов методом скользящего среднего и методом Брауна й и етвю сущ ве сн о ц н и ед й о ен аж р вы По представленному временному ряду вычислили наблюдаемые тс явлю е акти р п значения количества серий и длины самой протяженной серии и сравнили з ли ан ю н сред я и р тео а м су выполнение следующих неравенств сравнения с теоретическими значениями. еств кач м о д каж  ван о след и  vn   0,5 n  2  1,96 n  1 ,  n   1,43lnn  1, и сделали вывод о наличии тренда, поскольку неравенства не выполнились л ай ф ог ан д м это и н ед со (см. рис. 3.10). Результаты расчета совпали с аналогичными, выполненными в й и текущ та ен ц и эф ко м ы тн и асч р программе. 45

Рис 3.10 Проверка ряда на стационарность еи тклн о х ы ан д 2. Проведение алгоритмического сглаживания, на основе скользящего г еско ч ам н и д ая щ б о среднего или взвешенного скользящего среднего для удаления из ряда з ли ан ет асч р ты ен ц и эф ко экстремальных значений и придания ему более гладкого вида (см. рис. ели од м ется у р и лан п м ы етн асч р 3.11); е льн си Рис 3.11 Построение тренда методом скользящего среднего щ ею м и и м ы етн асч р Результаты совпали с аналогичными, полученными с использованием отм э я д о сх и если программы.  Определение структуры ряда на основе расчета коэффициентов ен олуч п вая и кр ес ц о р автокорреляции; вется оказы Рассчитали коэффициенты автокорреляции r1, r2, … , r8. Рассчитанные еи ач зн ер м значения совпали с полученными в результате работы программы (см. рис. т оен м 3.5). Поскольку етя льзу о сп и самым ю сотвеи большим 46 у этм о п значением веса является коэффициент и н ед со

автокорреляции первого порядка, то временной ряд содержит трендовую ту оен м компоненту, но, е д ви возможно, нелинейную. щ ею м и х ы тльн квар Предварительно можно ен м предположить наличие сезонных колебаний с периодом 8. еств ч коли г н д о сх и й о см зави Рис 3.12 Определение структуры временного ряда ели д о м связи После этого были построены основные виды трендов, которые и орм ы н ли д ем ящ асто н е вы и кр автоматически предлагает для построения MS Excel. Полученные уравнения ть ы б я ем вр е д ви полностью совпали с рассчитанными с помощью разработанной программы т оен м за гн о р п е льо ач н (рис. 3.4, 3.5).  Выбор наиболее подходящей модели для описания эмпирического й и н сред казтелй о п льк то процесса посредством вычисления коэффициента детерминации, остаточной ая м и хд еоб н ет асч р к со и п дисперсии и средней ошибки аппроксимации и их сравнения; ставля ред п ю у ей н ли Рассчитывают для каждой модели теоретические значения тренда, аем олуч п е вн и сглаж г льо ач н коэффициент детерминации, остаточную дисперсию и среднюю ошибку расч если аппроксимации. если оптимальный ровека п На тренд, основе й щ ю у след сравнения м ы етн асч р рассчитывают ая м и д х б ео н 47 этих статистику показателей слть и ч вы выбирают Дарбина-Уотсона е ы тн и асч р для

определения адекватности выбранной модели, и делают прогноз по данной оказтелй п и ен ч аклю й ы ем у зр ли ан модели (рис. 3.14 - 3.17). ет уд б 3440 y = 23,759ln(x) + 3345,2 R² = 0,5361 3420 3400 3380 y = 2,5511x + 3369 R² = 0,274 3360 3340 2 y = 0,027x 3 - 1,4991x 2 + 22,433x + 3312y = -0,7307x + 16,435x + 3322,7 R² = 0,7535 R² = 0,7667 3320 3300 3280 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Рис 3.13 Нахождение тренда в виде основных функций (оценка параметров) ом д каж еты м ар п ка б и ш о ей вн о р у Рис 3.14 Расчет теоретических значений по полученным уравнениям ки ен оц т и ж ер д со 48 если

Рис 3.15 Расчет остаточной дисперсии по построенным моделям ятс ен зм и м тр ко Рис 3.16 Расчет средней ошибки аппроксимации по построенным моделям ой ен раж вы к стаи а н лж о д  Прогнозирование на основе построенной модели; елать сд т ен о м Рис 3.17 Расчет статистики Дарбина-Уотсона по построенным моделям и эл д кен ка б и ш о есм ц о р п прогноза по наиболее подходящим моделям а яд р ели д о м Таким образом, наиболее подходящими для описания использованных я ен щ и оч м тр ко а яд р эмпирических данных являются полиномы второго и третьего порядков. сл и ч вы м агр и д ть о азб р Аналогичные результаты были получены на основе работы программы. вает сы и оп еты м ар п и м ы етн асч р 49 а яд р

 Моделирование сезонных колебаний сло и ч Построили аддитивную модель временного ряда. о б ли всех ятс ен зм и 1. Провели сглаживание исходных уровней ряда методом скользящей м еи щ асы н ет асч р е льзван о сп и средней к аш н и м 2. Вычислили центрированные скользящие средние г льо ач н 3. Нашли оценки й о н ем вр сезонной компоненты ак н д о как разность й о н ем вр между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими ха од п а н и х р о д ет м и средними 4. Рассчитали значения сезонной компоненты с учетом того, сезонные и кореляц ет асч р х ы н и аш м e activ воздействия за период должны взаимопогашаться (сумма значений и кц н у ф я и р тео я н ед ср сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю) м таки а яд р у еб тр н ч вели 5. Исключили влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из зв ли ан о р п каждого уровня ро д вен ке ч то исходного сь н ч то временного ет м ар п ряда, в результате ьест полученные данные содержат только тенденцию и случайную е льн си льк то х ы н и аш м компоненту 6. Провели аналитическое выравнивание последнего ряда (с помощью еты арм ен м ю у ьш е льо ач н линейного тренда) для получения трендовой компоненты а ряд р о б вы века о р п 7. К уровням трендовой компоненты прибавили значения сезонной ст о и р п го н ед ср й ы елан сд компоненты 8. Для оценки качества построенной модели рассчитали сумму ую ац орм ф н и века о р п й ы твн и ад квадратов полученных абсолютных ошибок отез п ги г н сезо 9. Сделали прогноз по полученной аддитивной модели й ы зруем ли ан ели д о м  Прогнозирование на основе кривых роста; еи д ахож н ста о р  Прогнозирование на основе адаптивных моделей временных рядов; з ли ан тве су и р п ть и ач зн б о 1) Прогнозирование на основе модели Брауна т ен ц и коэф й н д о вх Выполним прогнозирование для линейного тренда и для параболы ен оц к со и п е льо ач н второго порядка. ю сотвеи Для линейного экспоненциального тренда если прогнозирование сглаживания ке точ осуществили й ы твн и ад последовательности: если 50 методом я и тавлен со в простого следующей

Определили параметры линейного тренда а0 и а1, описывающего 1. п кар ель д о м тенденцию исходного временного ряда. Параметры а0 и а1 определяются к и н еб ч у сутве ри п е ы вн ти п ад й о м у след методом наименьших квадратов. androi Определили начальные условия первого и второго порядков 2. ерй сп и д тся ер б х ы тльн квар (порядок начальных условий определяется числом параметров уравнения ха од п м н сезо сти о азн р г н сезо тренда – линейного тренда - а0 и а1) по формулам вида: та ен ц и коэф азе ф - начальное условие первого порядка: оле б S 0 1  y   a0  1  ы д ето м a1 (3.1) - начальное условие второго порядка: й ы твн и ад S 0 2  y   a0  21     г н сезо a1 (3.2) где а0 и а1 – параметры уравнения тренда, полученные методом наименьших ваи осн т у кн етя льзу о сп и квадратов. еи ач зн 3. Рассчитали экспоненциальные средние первого и второго я н и ац ер п о а еч н ко порядка: остя равн - экспоненциальная средняя первого порядка: S t 1  y   yt  1    S 0 1  y  ; и м р о ьест (3.3) где уt – значение последнего фактического уровня исходного временного ьест если т о см зави ряда; - экспоненциальная средняя второго порядка: а м р о ф если S t 2  y     S t 1  y   1     S 0 2  y  (3.4) Прогноз построили по модели вида: е ц кон х ч зад    y*t  L  a  a t , 0 1 (3.5) х зы гн о р п Получили: y^t+L=3380,96+4,2115t ет м и р п 51

где оценки коэффициентов модели определяются по следующим формулам:  a0  2S t 1  y   S t 2  y  ; й елы б ставля ед р п к б и ш о   1  a1  S  y   S 2  y   t   1 t Ошибку прогноза определили по следующей формуле: 4.  y* tL (3.6) й н сезо м н сезо   1  41     51   2  2 4  3   t  2 2 L2 (3.7) 5  2      y  где  y - средняя квадратическая ошибка, рассчитанная по отклонениям ьест androi щ ею м и эмпирических значений признака от теоретических, полученных по ой н врем еи ач зн уравнению линейного тренда: ен и разб y  й ы твн и ад *    y  y t  L  i   2 , nK (3.8) где К – число степеней свободы, определяемое в зависимости от длины я еи сравн в аго ш е акти р п исходного временного ряда (n) и числа параметров уравнения тренда. ут кн ю у ьш ен м ательсво зд и Основные показатели экспоненциального сглаживания для ряда ей уровн льта езу р ятс д о ах н динамики, описываемого параболой второго порядка, рассчитали по еса роц п стаея о я и ен стр о п следующим формулам. вая осн Начальные условия: ой н врем - первого порядка S o1 ( y)  a 0  1 S o2 ( y)  a 0  2(1   ) еско тч али н - второго порядка й сери - третьего порядка S o3 ( y)  a0  ы ен олуч п  3(1   )  a1   a1  Экспоненциальные средние: я и ран вы 52 (1   )(2   ) a2 ; 2 2 a1  (1   )(3  2 ) 2 3(1   )(4  3 ) a2 . 2 2 a 2 ; (3.9)

- первого порядка S t1 ( y)    yt  (1   )S 01 ( y) ; - второго порядка S t2 ( y)    S t1 ( y)  (1   )S 02 ( y) ; а н орхи д ростм (3.10) ве сн о S t3 ( y)    S t2 ( y)  (1   )S 03 ( y). - третьего порядка е д ви Модель прогноза: если 1 â 2 t2 2 ŷ t  L  â 0 + â 1 t + (3.11) получили: Оценка параметров модели прогноза: елат д ь вен о р у â 0 = 3S t1 ( y)  S t2   S t3 ( y) â1 =  6  5 S   ( y)  2(5  4 )S 1 2(1   ) 2 t 2 t ( y )  (4  3 ) S t3 ( y )  (3.12) 2 S t1 ( y)  2S t2 ( y)  S t3 ( y) â2 = 2 (1   ) Ошибка прогноза определяется по формуле: х еуказн ш вы   ŷ tL =  y м это 2  3  3 t , где 2 3  y (y =  i  y tL ) 2 n3 (3. 13) . Полученные результаты представлены на рис. 3.18. Они совпали с и ы ерн ум ка б и ш о рассчитанными в программе. есто вм Рис 3.18 Прогнозирование на основе модели Брауна й н ед ср 53 твм ед ср о п

2) Прогнозирование на основе модели Хольта од вы тве су и р п Рассчитали коэффициенты модели: есм тч кри з гн о р п - определили начальные значения коэффициентов модели ен м cl ex    a11  x1, a21  x2  a11 (3.14) ы д ви и параметров адаптации й елы б 1  0,1, 2  0,1. - рассчитали текущие значения коэффициентов регрессии екотры н т ю льзу о сп и    a1t  1 xt  1  1 a1t 1  a2t 1 ;     a2t   2 a1t  a1t 1   1   2 a2t 1, t  2, 9. (3.15) сл и ч вы Подобрали оптимальные значения параметров адаптации в п си о й ы твн и ад 1  0,8, 2  0,9. Рассчитали прогнозные значения по адаптивной модели ьш ен м ка яд р о п г еско ч ам н и д - рассчитали текущие коэффициенты модели (t  2, 12) с использованием ровеи п я еи авн ср оптимально настроенных параметров адаптации. вая кри ету н п м ко - рассчитали прогнозные значения yt , (t=13; 14; 15) по модели с текущими а сум я н и ац ер п о ц ли таб коэффициентами для момента t=12. кл о Результаты расчетов представлены на рис. 3.19. Они полностью й льы ач н т аю ч лу о п совпали с расситанными с помощью программы. олы арб п г м лн о сп и 54

Рис 3.19 Прогнозирование на основе модели Хольта та ен ц и эф ко е о альн зу ви 3) Построение модели Авторегрессии-скользящего среднего (ARMA) ервог п я и ен ч лу о п Проверили, какую модель лучше построить по исходным данным ую олн п й о н ем вр и н есц б о ес ц о р п модель авторегрессии первого порядка AR(1) Yt  a 0  a1Yt 1   t , где од ери п  t  Y t  Yt , или щ ею м и авторегрессионную модель скользящей х ч зад средней е ач зн б о ARMA(1,1) Yt  a0  a1Yt 1 b1  t 1  u , где u t - ненаблюдаемая ошибка в данном а н ч вели тся у и р ген t уравнении. е и м экон Сформировали ряды Yt и Yt-1. Проверили временной ряд на ав б ри п м ы н сч ато кр стационарность с помощью критерия Дики-Фуллера. ост ри п ели д о м Оценили параметры модели Yt   0   1Yt 1   t с помощью МНК. твм осред п е льы ач н Рассчитали статистики DFрасч для проверки значимости корня: DFрасч  1 / S  1 елй од м а н ч вели елй д о м где 1  1  1 , а S  - стандартная ошибка  1 и сравнили ее с критическим 1 еств ч ли ко е ач зн б о значением расширенного критерия Дикки-Фуллера при 95%-ном уровне и текущ н и каш лу значимости 55 если

EDF  0  1 T  2 T 2 , (  0 =-2,57 (1%) или -1,94 (5%); 1  -1,96 (1%) или -0,398 й сезон и ван о еб тр у этм о п я ван р ели д о м (5%); 2  -10,04 (1%) или 0 (5%)). ю сотвеи и м ы етн асч р Получили, что DFрасч>EDF, то ряд нестационарен для данного уровня ет ож м и м р о з ли ан значимости. Далее сформировали ряд ΔYt=Yt-Yt-1, оценили параметры модели я и ен отраж сл и ч вы Yt   0   1 Yt 1   t и ен ч аклю DF расч  , рассчитали статистику сло и ч  S и сравнили ее с х льы ач н критическим значением расширенного критерия Дикки-Фуллера на 95%-ном ет расч я н стач о ке ч то уровне значимости, льое ач н  0 =-3,43 (1%) или -2,86 (5%); 1  -6,00 (1%) или -2,74(5%); 2  -29,25 (1%) в п оси г еско ч ам н и д к стаи й еи ач зн или -8,36 (5%), там ен ц и коэф так как модель содержит свободный член. е и хорш м и н ед ср Получили, что DFрасч<EDF, таким образом, ряд стационарен, то есть т и расч а яд р у ед ц о р п и м р о представляет собой процесс I(1). ту оен м кте ар х После этого определили порядок авторегрессии для преобразованного ов ем ри п я и тавлен со еи авн р у ряда, рассчитав частные коэффициенты автокорреляции. Их анализ показал, ет расч я и о стр ка б и ш о что имеет смысл строить модель ARMA(1,1,0). ог н врем я еи уравн й ер сп и д После этого рассчитали прогнозные значения по формулам: ы н ч вели я ван р ели д о м  Yt 1   0  (   1)Yt   Yt 1   Yt 2   0  (  1)Yt 1  Yt 56 х ы тр ко

Рис 3.20 Исследование ряда я ван р ели д о м Рис 3.21 Построение модели ARMA(1,1,0) и построение прогноза я н стач о т и асч р  Интерпретация результатов, выводы и пояснения системы. ет арм п ег льзящ ско в аго ш Таким образом, анализ показал работоспособность системы и ет м ри п е льзван о сп и адекватность полученных результатов. ес роц 57 е ан р

Основные выводы и результаты Проведен анализ методов анализа и моделирования временных рядов, а й еи д лю аб н тся ер б я ер сп и д также прогнозирования на основе данных моделей. Разработана программная ью щ м о п н стач о д етвля щ су о ется у р и лан п система, автоматизирующая моделирование и прогнозирование процессов с ки ен ц о е льо ач н использованием аппарата временных рядов. Были проведены аналитические л ач сн к б и ш о елат д и лекц расчеты реализованных в программе моделей на основе известных в теории и м ы ен олуч п ц ли таб ью щ м о п формул и использованием табличного процессора MS Excel. Сравнение сок и п результатов ы тр еко н ль кры ш показало еи ач зн работоспособность тво ску и программы проводимых ею расчетов и формулируемых выводов. од ери п екая стч ги ло 58 и правильность за гн о р п

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Цель работы достигнута. Реализована компьютерная поддержка е отсуви елй зд и и ен стр о п века о р п анализа и моделирования тенденций временных рядов. серву еты м ар п Поставленные задачи решены: ог н врем я м д лю еаб н 1. Проведен анализ существующих методов анализа и моделирования тенденций временных рядов; 2. Проанализированы подходы к прогнозированию временных рядов с учетом ограничений каждого подхода; 3. Проанализирован существующий инструментарий; 4. Спроектирована программная система анализа и моделирования тенденций временных рядов; 5. Разработана программная система; 6. Протестирована работа программной системы. В дальнейшем планируется доработка программы: добавление в нее моделей финансовой эконометрики, автоматизации построения и анализа моделей авторегрессии и скользящего среднего первого порядка. 59

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Айвазян, С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики: учебник для вузов – М.: ЮНИТИ, 1998. – 1022 с. 2. Берндт Э. Практика эконометрики: классика и современность. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. - 863 с. 3. Вендров А.М. Проектирование программного обеспечения экономических информационных систем: учебник – М.: «АСТ», 2004. – 456 с. 4. Елисеева И.И. Эконометрика. – М.: «Финансы и статистика», 2003, 344 с. 5. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник / Под общ. ред. д.э.н., проф. А.В. Сидоровича; МГУ им. М.В. Ломоносова. – 3-е изд., перераб. – М.: Издательство «Дело и Сервис», 2001. – 368 с. 6. Карп Д.Б. Эконометрика: основные формулы с комментариями. Учебно-методическое пособие. Владивосток, 2004. - 50 с. 7. Практикум по эконометрике - Елисеева И.И. - Учебное пособие. – М.: «Финансы и статистика», 2003 - 192 с. 8. Кендэл М. Временные ряды. - М.: Финансы и статистика, 1981. 9. Колеников С.. Прикладной эконометрической анализ в статистическом пакете Stata, 2003. 10.Кнут Д. Искусство программирования: В 3 т. / Д. Кнут. – М.: Основные алгоритмы : Вильямс, 2006. – Т. 1. – 720 с. 11. Кнут Д. Искусство программирования: В 3 т. / Д. Кнут. – М.: Получисленные методы: Вильямс, 2007. – Т. 2. – 832 с. 12.Кругов В. В. Методы прогнозирования многомерных временных рядов // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. – 2005. - № 2. – С. 62-66. 60

13.Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов: Учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 2003.416с: ил. 14.Магнус, Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс: учебник – 6-е изд., перераб. и доп. – М.: Дело, 2004. – 576 с. 15.Минашкин В.Г. Садовникова Н.А. Шмойлова Р.А. Бизнес-статистика и прогнозирование /Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. - М., 2008. – 154с. 16.Осипов Д.Л. Базы данных и Delphi. Теория и практика - БХВПетербург, 2011, 752 с. 17.Осипов Д.Л. Delphi. Программирование для Windows, OS X, iOS и Android - БХВ-Петербург, 2014, 464 с. 18.Проблемы показателей прогнозирования / Р.М. некоторых Энтов [и макроэкономических др.] 28.11.2002 - http://www.iet.ru/publication.php. 19.Разработка учебно-методических материалов для преподавания курсов по применению социально- количественного экономических задач. инструментария к Исследовательский решению проект инициативной группы под руководством Елены Вакуленко. // Экономическая социология, 2010 - Т. 11. № 4. 20.Ратникова Т.А. Введение в эконометрический анализ панельных данных. Москва: Издательский дом ГУ-ВШЭ, 2010. 21.Ржаницына В. Анализ полугодовой отчетности // Консультант, № 15, август 2005 г. // Справочно-правовая система «Гарант» 22.Стрижов В.В., Шакин В.В. Прогноз и управление в авторегрессионных моделях/ В. В. Стрижов, В. В. - http://www.ccas.ru 23.Тихомиров, Н.П., Дорохина Е.Ю. Эконометрика: учебник – М.: Издательство «Экзамен», 2003. – 512 с. 24.Шанченко, Н. И. Лекции по эконометрике: учебное пособие 61

Ульяновск : УлГТУ, 2008. – 139 с. 25.Швайко П. Эконометрические модели анализа и прогнозирования емкости первичного рынка ГКО // Эковест. – 2002. - № 2. – С. 111 – 153. 26.Шкрыль А. Разработка клиент-серверных приложений в Delphi - БХВПетербург, 2006, 480 с. 62

ПРИЛОЖЕНИЕ Листинг процедур программы Const zero=1.0E-15; MaxVec=128; type TMDIChild = class(TForm) PageControl1: TPageControl; TSParams: TTabSheet; TSResult: TTabSheet; GridXY: TStringGrid; Panel1: TPanel; BitBtn1: TBitBtn; MemoRes: TMemo; procedure FormClose(Sender: TObject; var Action: TCloseAction); private public xyInp,yRes:array[1..16000,1..5] of real; xInp,yInp:array[1..16000] of real; xls:TMyExcel; procedure LoadXls(fname:string); procedure Single_Regression; procedure Multi_Regression; procedure Method_Line(var S_ost:real;FuncType:integer); function MainFunc(a,b,x:real; FuncType:integer):real; function MainFunc1(a,b,x:real; FuncType:integer):real; end; TVec=array [1..MaxVec] of float; TMatr=array [1..MaxVec] of TVec; function Opred(Nx,Ny:integer;const A:TMatr):float; implementation {$R *.dfm} uses UFisher; function AlgDop(x,y,Nx,Ny:integer;const A:TMatr):float; VAR r:float; m:TMatr; i,j,ii,jj:integer; Begin 63

ii:=0; for i:=1 to Ny do if i<>y then begin inc(ii); jj:=0; for j:=1 to Nx do if j<>x then begin inc(jj); m[ii,jj]:=A[i,j]; end; end; r:=Opred(Nx-1,Ny-1,m); if Odd(x+y) then r:=-r; Result:=r; End; function Opred(Nx,Ny:integer;const A:TMatr):float; VAR i,n:integer; Begin Result:=0; if Nx<>Ny then begin Application.MessageBox('Opred: Матрица не квадратная !', 'Ошибка!'); exit; end; n:=Nx; case n of 0:Result:=0; 1:Result:=A[1,1]; 2:Result:=A[1,1]*A[2,2]-A[1,2]*A[2,1]; Else for i:=1 to n do Result:=Result+A[1,i]*AlgDop(i,1,Nx,Ny,A); End; End; function Kramer(Nx,Ny:integer;const A:TMatr; const H:TVec; var X:TVec):boolean; VAR i,j,n:integer; ta:TMatr; d:float; Begin Result:=false; if Nx<>Ny then begin 64

Application.MessageBox('Opred: Матрица не квадратная!', 'Ошибка!'); exit; end; n:=Nx; d:=Opred(Nx,Ny,A); if abs(d)<zero then begin Application.MessageBox('Определитель равен 0, решений нет!', 'Ошибка!'); exit; end; Result:=true; for i:=1 to n do begin ta:=A; for j:=1 to n do ta[j,i]:=H[j]; X[i]:=Opred(Nx,Ny,ta)/d; end; End; procedure TMDIChild.FormClose(Sender: TObject; var Action: TCloseAction); begin Action := caFree; end; procedure TMDIChild.LoadXls(fname: string); var xs:array[1..16000,1..5] of string; i,j,a,row,rowcnt,colcnt:integer; s:string; begin xls:=TMyExcel.Create; xls.RunExcel; xls.FileOpen(fname); xls.SetSheet(1); row:=1; colcnt:=0; rowcnt:=0; for j:=1 to 5 do begin s:=xls.Cells[row,1+j-1]; if s='' then break; inc(colcnt); end; if colcnt<2 then 65

begin xls.CloseExcel; Application.MessageBox('Недостаточно колонок в таблице исходных данных!', 'Ошибка в исходном файле!'); exit; end; GridXY.ColCount:=colcnt; inc(row); for i:=1 to 16000 do begin for j:=1 to colcnt do begin xs[i,j]:=xls.Cells[row+i-1,j]; end; if xs[i,1]='' then break; inc(rowcnt); end; if rowcnt<7 then begin xls.CloseExcel; Application.MessageBox('Недостаточно строк в таблице исходных данных!', 'Ошибка в исходном файле!'); exit; end; GridXY.RowCount:=rowcnt+1; for j:=1 to colcnt do GridXY.Cells[j-1,0]:=xls.Cells[1,j]; for i:=1 to rowcnt do for j:=1 to colcnt do begin s:=xs[i,j]; GridXY.Cells[j-1,i]:=s; a:=Pos(',',s); if a>0 then s[a]:='.'; val(s,xyInp[i,j],a); end; xls.CloseExcel; xls.Free; if colcnt=2 then Single_Regression; if colcnt>2 then Multi_Regression; end; procedure TMDIChild.Multi_Regression; var 66

i,j,k,ny,nx:integer; MAstd,MA:TMatr; MHstd,MXstd,MH,MX,AvgX,SigmaX:TVec; AvgY,SigmaY:real; sxd,syd,snd:string; begin ny:=GridXY.RowCount-1; nx:=GridXY.ColCount-1; for j:=1 to nx do begin AvgX[j]:=0; SigmaX[j]:=0; end; for i:=1 to ny do begin for j:=1 to nx do begin AvgX[j]:=AvgX[j]+xyInp[i,j]; SigmaX[j]:=SigmaX[j]+sqr(xyInp[i,j]); end; AvgY:=AvgY+xyInp[i,nx+1]; SigmaY:=SigmaY+sqr(xyInp[i,nx+1]); end; AvgY:=AvgY/ny; SigmaY:=SigmaY/ny; for j:=1 to nx do SigmaX[j]:=SigmaX[j]-sqr(AvgX[j]); MHstd[1]:=0; for i:=1 to nx do MAstd[1,i+1]:=0; MAstd[1,1]:=ny; for j:=1 to ny do begin MHstd[1]:=MHstd[1]+(xyInp[j,nx+1]-AvgY)/SigmaY; for i:=1 to nx do MAstd[1,i+1]:=MAstd[1,i+1]+(xyInp[j,i]-AvgX[i])/SigmaX[i]; end; for i:=1 to nx do begin MHstd[i+1]:=0; MAstd[i+1,1]:=MAstd[1,i+1]; for j:=1 to ny do begin MHstd[i+1]:=MHstd[i+1]+(xyInp[j,i]-AvgX[i])/SigmaX[i]* 67

(xyInp[j,nx+1]-AvgY)/SigmaY; for k:=1 to nx do MAstd[i+1,k+1]:=MAstd[i+1,k+1]+(xyInp[j,i]-AvgX[i])/SigmaX[i]* (xyInp[j,k]-AvgX[k])/SigmaX[k]; end; end; if not Kramer(nx+1,nx+1,MAstd,MHstd,MXstd) then begin MemoRes.Lines.Add('Решений нет!'); exit; end; MemoRes.Lines.Add('Вектор коэффициентов Beta:'); for j:=1 to nx+1 do MemoRes.Lines.Add('B['+IntToStr(j-1)+']='+FloatStr0(MXstd[j],6)); MH[1]:=0; for i:=1 to nx do MA[1,i+1]:=0; MA[1,1]:=ny; for j:=1 to ny do begin MH[1]:=MH[1]+xyInp[j,nx+1]; for i:=1 to nx do MA[1,i+1]:=MA[1,i+1]+xyInp[j,i]; end; for i:=1 to nx do begin MH[i+1]:=0; MA[i+1,1]:=MA[1,i+1]; for j:=1 to ny do begin MH[i+1]:=MH[i+1]+xyInp[j,i]*xyInp[j,nx+1]; for k:=1 to nx do MA[i+1,k+1]:=MA[i+1,k+1]+xyInp[j,i]*xyInp[j,k]; end; end; if not Kramer(nx+1,nx+1,MA,MH,MX) then begin MemoRes.Lines.Add('Решений нет!'); exit; end; MemoRes.Lines.Add('Вектор коэффициентов B:'); for j:=1 to nx+1 do MemoRes.Lines.Add('B['+IntToStr(j-1)+']='+FloatStr0(MX[j],6)); 68

MemoRes.Lines.Add('Частные коэффициенты эластичности Э:'); for j:=1 to nx do MemoRes.Lines.Add('Э['+IntToStr(j)+']='+ FloatStr0(MX[j]*AvgX[j]/AvgY,6)); for i:=1 to ny do begin yRes[i,1]:=MX[1]; for j:=1 to nx do yRes[i,1]:=yRes[i,1]+MX[j+1]*xyInp[i,j]; end; xls:=TMyExcel.Create; xls.RunExcel; xls.XlSheet.Name:='Результат'; for j:=1 to nx do xls.Cells[1,j]:='X'+IntToStr(j); xls.Cells[1,nx+1]:='Y-Исх.данные'; xls.Cells[1,nx+2]:='Расчет'; for i:=1 to ny do begin for j:=1 to nx do xls.Cells[i+1,j]:=xyInp[i,j]; xls.Cells[i+1,nx+1]:=xyInp[i,nx+1]; xls.Cells[i+1,nx+2]:=yRes[i,1]; end; sxd:='C1'; syd:='C'+IntToStr(nx+1); snd:='C'+IntToStr(nx+2); xls.XlApp.Charts.Add; xls.XlApp.ActiveChart.ChartType := xlLineMarkers; xls.XlApp.ActiveChart.Location(Where:=xlLocationAsNewSheet, Name:='ДиаграммаГрафики'); xls.XlApp.ActiveChart.HasDataTable := true; xls.SetRange(2, nx+1, ny+1, nx+1); xls.XlApp.ActiveChart.SetSourceData (Source:=xls.Range, PlotBy:=xlColumns); xls.XlApp.ActiveChart.SeriesCollection(1).XValues := '=Результат!R2'+sxd+':R'+ IntToStr(ny+1)+sxd; xls.XlApp.ActiveChart.SeriesCollection(1).Values := '=Результат!R2'+syd+':R'+ IntToStr(ny+1)+syd; xls.XlApp.ActiveChart.SeriesCollection(1).Name := 'Исх.данные'; xls.XlApp.ActiveChart.SeriesCollection.NewSeries; xls.XlApp.ActiveChart.SeriesCollection(2).XValues := '=Результат!R2'+sxd+':R'+ IntToStr(ny+1)+sxd; 69

xls.XlApp.ActiveChart.SeriesCollection(2).Values := '=Результат!R2'+snd+':R'+ IntToStr(ny+1)+snd; xls.XlApp.ActiveChart.SeriesCollection(2).Name := 'Расчет'; end; procedure TMDIChild.Single_Regression; var i,j,rowcnt,colcnt:integer; S_ost:array[1..5] of real; begin colcnt:=GridXY.ColCount; rowcnt:=GridXY.RowCount-1; if colcnt<>2 then exit; for i:=1 to 5 do Method_Line(S_ost[i],i); xls:=TMyExcel.Create; xls.RunExcel; xls.XlSheet.Name:='Результат'; xls.SetRangeArray(1,1,'X','Y-Исх.данные','Линейная','Гипербола', 'Степенная','Показательная','Экспоненциальная'); for i:=1 to rowcnt do begin xls.Cells[i+1,1]:=xyInp[i,1]; xls.Cells[i+1,2]:=xyInp[i,2]; for j:=1 to 5 do xls.Cells[i+1,j+2]:=yRes[i,j]; end; xls.XlApp.Charts.Add; xls.XlApp.ActiveChart.ChartType := xlLineMarkers; xls.XlApp.ActiveChart.Location(Where:=xlLocationAsNewSheet, Name:='ДиаграммаГрафики'); xls.XlApp.ActiveChart.HasDataTable := true; xls.SetRange(2, 1, rowcnt+1, 6); xls.XlApp.ActiveChart.SetSourceData (Source:=xls.Range, PlotBy:=xlColumns); xls.XlApp.ActiveChart.SeriesCollection(1).XValues := '=Результат!R2C1:R'+ IntToStr(rowcnt+1)+'C1'; xls.XlApp.ActiveChart.SeriesCollection(1).Values := '=Результат!R2C2:R'+ IntToStr(rowcnt+1)+'C2'; xls.XlApp.ActiveChart.SeriesCollection(1).Name := 'Исх.данные'; //xls.XlApp.ActiveChart.SeriesCollection.NewSeries; xls.XlApp.ActiveChart.SeriesCollection(2).XValues := '=Результат!R2C1:R'+ IntToStr(rowcnt+1)+'C1'; 70

xls.XlApp.ActiveChart.SeriesCollection(2).Values := '=Результат!R2C3:R'+ IntToStr(rowcnt+1)+'C3'; xls.XlApp.ActiveChart.SeriesCollection(2).Name := 'Линейная'; xls.XlApp.ActiveChart.SeriesCollection(3).XValues := '=Результат!R2C1:R'+ IntToStr(rowcnt+1)+'C1'; xls.XlApp.ActiveChart.SeriesCollection(3).Values := '=Результат!R2C4:R'+ IntToStr(rowcnt+1)+'C4'; xls.XlApp.ActiveChart.SeriesCollection(3).Name := 'Гипербола'; xls.XlApp.ActiveChart.SeriesCollection(4).XValues := '=Результат!R2C1:R'+ IntToStr(rowcnt+1)+'C1'; xls.XlApp.ActiveChart.SeriesCollection(4).Values := '=Результат!R2C5:R'+ IntToStr(rowcnt+1)+'C5'; xls.XlApp.ActiveChart.SeriesCollection(4).Name := 'Степенная'; xls.XlApp.ActiveChart.SeriesCollection(5).XValues := '=Результат!R2C1:R'+ IntToStr(rowcnt+1)+'C1'; xls.XlApp.ActiveChart.SeriesCollection(5).Values := '=Результат!R2C6:R'+ IntToStr(rowcnt+1)+'C6'; xls.XlApp.ActiveChart.SeriesCollection(5).Name := 'Показательная'; xls.XlApp.ActiveChart.SeriesCollection(6).XValues := '=Результат!R2C1:R'+ IntToStr(rowcnt+1)+'C1'; xls.XlApp.ActiveChart.SeriesCollection(6).Values := '=Результат!R2C7:R'+ IntToStr(rowcnt+1)+'C7'; xls.XlApp.ActiveChart.SeriesCollection(6).Name := 'Экспоненциальная'; { Charts.Add ActiveChart.ChartType = xlLineMarkers ActiveChart.SetSourceData Source:=Sheets("Лист2").Range("A2:A10"), PlotBy:= _ xlColumns ActiveChart.SeriesCollection.NewSeries ActiveChart.SeriesCollection(1).XValues = "=Лист2!R2C1:R10C1" ActiveChart.SeriesCollection(1).Name = "=""R""" ActiveChart.SeriesCollection(2).XValues = "=Лист2!R2C1:R10C1" ActiveChart.SeriesCollection(2).Values = "=Лист2!R2C2:R10C2" ActiveChart.Location Where:=xlLocationAsObject, Name:="Лист1" With ActiveChart .HasTitle = True .ChartTitle.Characters.Text = "Диагр" .Axes(xlCategory, xlPrimary).HasTitle = True .Axes(xlCategory, xlPrimary).AxisTitle.Characters.Text = "X" .Axes(xlValue, xlPrimary).HasTitle = True .Axes(xlValue, xlPrimary).AxisTitle.Characters.Text = "Y" End With ActiveChart.HasDataTable = False } xls.Free; 71

end; function TMDIChild.MainFunc(a, b, x: real; FuncType:integer): real; begin Result:=a+b*x; end; function TMDIChild.MainFunc1(a, b, x: real; FuncType:integer): real; begin Result:=0; case FuncType of 1:Result:=a+b*x; 2:Result:=a+b/x; 3:Result:=a*exp(b*ln(x)); 4:Result:=a*exp(x*ln(b)); 5:Result:=exp(a+b*x); end; end; procedure TMDIChild.Method_Line(var S_ost: real;FuncType:integer); var KoefA,KoefB,CovXY,Xavg,Yavg,X2avg,{YXavg,}Y2avg,Sigma2X,Sigma2Y,Rxy:real; Aavg,S_fact,F_Fisher,F_FisherTab,M_a,M_b,tb_Student,ta_Student:real; i,n:integer; sform,stesnota:string; begin n:=GridXY.RowCount-1; Xavg:=0; Yavg:=0; X2avg:=0; //YXavg:=0; Y2avg:=0; sform:=''; case FuncType of 1:sform:='a+b*x'; 2:sform:='a+b/x'; 3:sform:='a*x^b'; 4:sform:='a*b^x'; 5:sform:='exp(a+b*x)'; end; MemoRes.Lines.Add('Формула аппроксимации: '+sform); for i:=1 to n do begin xInp[i]:=xyInp[i,1]; 72

yInp[i]:=xyInp[i,2]; case FuncType of 2:xInp[i]:=1/xInp[i]; //a+b/x 3:begin //a*x^b xInp[i]:=ln(xInp[i]); yInp[i]:=ln(yInp[i]); end; 4:begin //a*b^x yInp[i]:=ln(yInp[i]); end; 5:begin //exp(a+b*x) yInp[i]:=ln(yInp[i]); end; end; Xavg:=Xavg+xInp[i]; X2avg:=X2avg+sqr(xInp[i]); Yavg:=Yavg+yInp[i]; Y2avg:=Y2avg+sqr(yInp[i]); //YXavg:=YXavg+xInp[i]*yInp[i]; end; Xavg:=Xavg/n; X2avg:=X2avg/n; Yavg:=Yavg/n; Y2avg:=Y2avg/n; //YXavg:=YXavg/n; CovXY:=0; for i:=1 to n do CovXY:=CovXY+(xInp[i]-Xavg)*(yInp[i]-Yavg); CovXY:=CovXY/n; Sigma2X:=X2avg-sqr(Xavg); Sigma2Y:=Y2avg-sqr(Yavg); KoefB:=CovXY/Sigma2X; KoefA:=Yavg-KoefB*Xavg; Rxy:=KoefB*sqrt(Sigma2X/Sigma2Y); stesnota:=''; case abs(trunc(Rxy*100)) of 0..9:stesnota:='Весьма слабая'; 10..30:stesnota:='Слабая'; 31..50:stesnota:='Умеренная'; 51..70:stesnota:='Заметная'; 71..90:stesnota:='Высокая'; 91..100:stesnota:='Весьма высокая'; end; MemoRes.Lines.Add('Теснота линейной связи между переменными: '+ stesnota+ifs(Rxy<0,' обратная',' прямая')); 73

MemoRes.Lines.Add('Линейный коэффициент корреляции:'+FloatStrT(Rxy,6)); Aavg:=0; S_ost:=0; S_fact:=0; for i:=1 to n do begin yRes[i,FuncType]:=MainFunc(KoefA,KoefB,xInp[i],FuncType); if abs(yInp[i])>0.000000001 then Aavg:=Aavg+abs((yInp[i]-yRes[i,FuncType])/yInp[i]); S_ost:=S_ost+sqr(yInp[i]-yRes[i,FuncType]); S_fact:=S_fact+sqr(yRes[i,FuncType]-Yavg); end; S_ost:=S_ost/(n-2); Aavg:=Aavg/n*100; MemoRes.Lines.Add('Средняя ошибка аппроксимации:'+FloatStrT(Aavg,6)+'%'); MemoRes.Lines.Add('Факторная дисперсия на одну степень свободы:'+ FloatStr0(S_fact,6)); MemoRes.Lines.Add('Остаточная дисперсия на одну степень свободы:'+ FloatStr0(S_ost,6)); F_Fisher:=S_fact/S_ost; F_FisherTab:=GetFisherKoef(1,n-2); MemoRes.Lines.Add('F-критерий Фишера:'+FloatStr0(F_Fisher,6)+ ' Табличное значение ='+FloatStr0(F_FisherTab,6)); M_b:=sqrt(S_ost/Sigma2X/n); tb_Student:=KoefB/M_b; M_a:=sqrt(S_ost*X2avg*n/Sigma2X)/n; ta_Student:=KoefA/M_a; MemoRes.Lines.Add('Критерий Стьюдента: ta='+FloatStr0(ta_Student,6)+ ' tb='+FloatStr0(tb_Student,6)); MemoRes.Lines.Add('Ma='+FloatStr0(m_a,6)+' Mb='+FloatStr0(m_b,6)); case FuncType of 3:KoefA:=exp(KoefA); 4:begin KoefA:=exp(KoefA); KoefB:=exp(KoefB); end; 5:begin //KoefA:=exp(KoefA); end; end; for i:=1 to n do begin yRes[i,FuncType]:=MainFunc1(KoefA,KoefB,xyInp[i,1],FuncType); end; MemoRes.Lines.Add('Коэффициенты A='+FloatStrT(KoefA,6)+' B='+FloatStrT(KoefB,6)); 74

end; end. 75

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв