Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Санкт-Петербургский государственный университет»
Кафедра теоретической и прикладной механики
Бабин Александр Константинович
Анализ колебаний стержней и прямоугольных
пластин численным и асимптотическими методами
Магистерская диссертация
Допущен к защите.
Зав. кафедрой:
проф, д.ф.-м.н. Товстик П.Е.
Научный руководитель:
проф, д.ф.-м.н. Бауэр С.М.
Рецензент:
д.ф.-м.н. Абрамян А.К.
Санкт-Петербург
2016
SAINT-PETERSBURG STATE UNIVERSITY
Department of theoretical and applied mechanics
Aleksandr Babin
Analysis of vibrations of stretched beams and rectangular
plates by numerical and asymptotic methods
Master’s Thesis
Admitted for defence.
Head of the chair
doctor of sciences P. Tovstik
Scientific supervisor:
prof, doctor of sciences S. Bauer
Reviewer:
doctor of sciences A. Abramian
Saint-Petersburg
2016
Содержание
1 Колебания растянутого жёстко закреплённого стержня
4
1.1
Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2
Численное решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Метод динамического краевого эффекта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.4
Решение задачи по методу Вишика и Люстерника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.5
Сравнение результатов при числе волн n=1 и n=5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.6
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2 Колебания растянутой прямоугольной пластинки
14
2.1
Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.2
Численное решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.3
Метод динамического краевого эффекта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.4
Решение задачи по методу Вишика и Люстерника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.5
Сравнение результатов при числе волн n=1 и n=5, m=1 и m=5 . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.6
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3
1
Колебания растянутого жёстко закреплённого стержня
1.1
Постановка задачи
Рассматривается задача о колебании растянутого жестко закреплённого стержня. На основе этой
задачи, имеющей известное численное решение, проводится оценка области применимости асимптотических методов Вишика и Люстерника и динамического краевого эффекта.
Уравнение колебаний стержня имеет вид [1]:
𝜕2
𝜕2𝑤
𝜕2𝑤
𝜕2𝑤
(𝐸𝐽
)
+
𝜌𝑆
−
𝑇
= 0.
𝜕𝑥2
𝜕𝑥2
𝜕𝑡2
𝜕𝑥2
Здесь 𝐸 — модуль упругости стержня, 𝐽 — момент инерции сечения, 𝐸𝐽 — жёсткость на изгиб,
𝜌 — плотность материала, 𝑆 — площадь поперечного сечения, 𝑇 — сила натяжения, 𝑤 — нормальный
прогиб. Решение линейной задачи можно искать в виде:
𝑤(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥) sin 𝜔𝑡.
Для однородного стержня постоянного сечения можно разделить переменные и получить уравнение
для функции 𝑋(𝑥):
𝐸𝐽𝑋 𝐼𝑉 − 𝜔 2 𝜌𝑆𝑋 − 𝑇 𝑋 ′′ = 0.
(1)
Граничные условия имеют вид:
𝑋(0) = 𝑋(𝑙) = 𝑋 ′ (0) = 𝑋 ′ (𝑙) = 0,
где 𝑙 — длина стержня.
Примем 𝑥
¯ = 𝑥/𝑙, и перейдем к безразмерному виду. В дальнейшем изложении будем использовать
обозначение 𝑥 вместо безразмерной переменной 𝑥
¯. В этом случае краевая задача для жёстко закреплённого стержня имеет вид:
⎧
⎨ 𝐸𝐽𝑋 𝐼𝑉 − 𝜔 2 𝜌𝑆𝑙4 𝑋 − 𝑇 𝑙2 𝑋 ′′ = 0.
⎩
1.2
𝑋(0) = 𝑋(1) = 𝑋 ′ (0) = 𝑋 ′ (1) = 0.
Численное решение
Характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (1) имеет вид
𝜆4 − 𝜆2
(︂
𝑇 𝑙2
𝐸𝐽
)︂
−
𝜌ℎ𝜔 2 𝑙4
= 0.
𝐸𝐽
Корни характеристического уравнения
𝑇 𝑙2 /𝐸𝐽 +
√︀
𝑇 2 𝑙4 /(𝐸𝐽)2 + 4𝜌ℎ𝜔 2 𝑙4 /𝐸𝐽
,
2
√︀
𝑇 𝑙2 /𝐸𝐽 − 𝑇 2 𝑙4 /(𝐸𝐽)2 + 4𝜌ℎ𝜔 2 𝑙4 /𝐸𝐽
−𝜆22 =
.
2
𝜆21
=
Решение может быть представлено в виде
4
𝑋(𝑥) = 𝐶1 sin 𝜆2 𝑥 + 𝐶2 cos 𝜆2 𝑥 + 𝐶3 ch 𝜆1 𝑥 + 𝐶4 sh 𝜆1 𝑥,
Константы могут быть определены из граничных условий
𝑋(0) = 0 =⇒ 𝐶2 + 𝐶3 = 0 =⇒ 𝐶3 = −𝐶2 .
𝑋 ′ (0) = 0 =⇒ 𝜆2 𝐶1 + 𝜆1 𝐶4 = 0 =⇒ 𝐶4 = −𝐶1
𝜆2
.
𝜆1
𝑋(1) = 0 =⇒ 𝐶1 sin 𝜆2 + 𝐶2 cos 𝜆2 − 𝐶2 ch 𝜆1 + 𝐶4 sh 𝜆1 = 0.
𝑋 ′ (1) = 0 =⇒ 𝜆2 𝐶1 cos 𝜆2 − 𝜆2 𝐶2 sin 𝜆2 − 𝜆1 𝐶2 sh 𝜆1 − 𝜆1 𝐶1
𝜆2
ch 𝜆1 = 0.
𝜆1
Тогда
(︂
𝐶2 = 𝐶1
)︂
𝜆2
sh 𝜆1 − sin 𝜆2 / (cos 𝜆2 − ch 𝜆1 )
𝜆1
И для существования нетривиального решения необходимо, чтобы
(︀
)︀
2𝜆2 𝜆1 (1 − ch 𝜆1 cos 𝜆2 ) + sh 𝜆1 sin 𝜆2 𝜆21 − 𝜆22 = 0.
Таким образом, частоты колебаний растянутого жёстко закреплённого стержня определяется из
следующего уравнения
⎧ 2 √︀
𝑇 𝑙2
2𝑙 𝜔
⎪
⎪
√
𝜌𝑆
(1
−
cos
𝜆
ch𝜆
)
+
sh𝜆1 sin 𝜆2 = 0,
⎪
2
1
⎪
𝐸𝐽
⎪
𝐸𝐽
⎪
⎪
[︃
]︃
√︂
⎪
⎪
⎨ 2
𝑙2 𝑇
4𝜔 2 𝜌𝑆𝐸𝐽
𝜆1 =
1+ 1+
,
2𝐸𝐽
𝑇2
⎪
⎪
⎪
[︃
]︃
√︂
⎪
⎪
⎪
𝑙2 𝑇
4𝜔 2 𝜌𝑆𝐸𝐽
⎪
2
⎪
⎪
.
⎩ 𝜆2 = 2𝐸𝐽 −1 + 1 +
𝑇2
(2)
Рассмотрим два случая: когда отношение 𝐸𝐽/𝑙2 𝑇 меньше и больше 1. Введём 2 безразмерных параметра 𝜇 и 𝜀, каждый из которых меняется в промежутке [0, 1]: 𝜇2 = 𝐸𝐽/𝑙2 𝑇 , 𝜀 = 1/𝜇. Обозначим
Λ = 𝜌𝑆𝜔 2 𝑙2 /𝑇 , тогда уравнение (2) можно переписать в следующем виде
⎧ √
1
⎪
⎪
2 Λ (1 − cos 𝜆2 ch𝜆1 ) + sh𝜆1 sin 𝜆2 = 0,
⎪
⎪
𝜇
⎪
⎪
⎨
]︁
√︀
1 [︁
2 ,
𝜆21 =
1
+
1
+
4Λ𝜇
⎪
2𝜇2
⎪
⎪
]︁
⎪
√︀
⎪ 2
1 [︁
⎪
⎩ 𝜆2 =
−1 + 1 + 4Λ𝜇2 .
2
2𝜇
Для 𝜀2 = 𝑙2 𝑇 /𝐸𝐽, при 𝐴 = 𝜌𝑆𝜔 2 𝑙4 /𝐸𝐽, получим
⎧ √
⎪
2 𝐴 (1 − cos 𝜆2 ch𝜆1 ) + 𝜀2 sh𝜆1 sin 𝜆2 = 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
[︃
]︃
√︂
⎪
⎪
⎪
𝜀2
4𝐴
⎨ 2
𝜆1 =
1+ 1+ 4 ,
2
𝜀
⎪
⎪
[︃
]︃
√︂
⎪
⎪
⎪
𝜀2
4𝐴
⎪
2
⎪
⎪
⎩ 𝜆2 = 2 −1 + 1 + 𝜀4 .
Частоты колебаний могут быть найдены при численном решении уравнений (3) и (4).
5
(3)
(4)
1.3
Метод динамического краевого эффекта
Метод динамического краевого эффекта был разработан В.В. Болотиным [2, 3, 4, 5]. Предполагается,
что решается уравнение, в котором все члены имеют одинаковый асимптотический порядок.
Рассмотрим сначала упрощённую постановку задачи, т.е. уравнение (1) при 𝑇 = 0 [6].
𝑋 𝐼𝑉 − 𝑎2 𝜔 2 𝑋 = 0,
здесь 𝑎2 =
(5)
𝑆𝜌𝑙4
𝐸𝐽 .
Известно, что задача для шарнирно опёртого стержня имеет точное решение
𝑋𝑛 (𝑥) = sin 𝜋𝑛𝑥.
В этом случае безразмерная длина волны, соответствующая 𝑛-ой форме колебаний, составляет 1/𝑛.
Естественно предположить, что вдали от границ при колебаниях форма прогиба для жестко опёртого стержня будет мало отличаться от формы прогиба шарнирно опёртого стержня, поэтому будем
искать решение задачи о колебаниях жестко закрепленного стержня (5) в виде 𝑋 = 𝑋1 + 𝑋2 , где
𝑑2 𝑋2
− 𝑎𝜔𝑋2 = 0
𝑑𝑥2
𝑑2 𝑋1
+ 𝑎𝜔𝑋1 = 0
𝑑𝑥2
При этом функция 𝑋1 описывает основные колебания
(︂
𝑎𝜔 =
𝜋
𝜆𝑥
)︂2
,
𝑋1 (𝑥) = sin
𝜋(𝑥 − 𝑥0 )
.
𝜆𝑥
Здесь 𝑥0 — неизвестный сдвиг по фазе, 𝜆𝑥 — длина волны.
Уравнение
𝑑2 𝑋2
−
𝑑𝑥2
(︂
𝜋
𝜆𝑥
)︂2
𝑋2 = 0,
используем для построения интегралов краевого эффекта:
𝜋𝑥
𝑋2 = 𝐶1 𝑒− 𝜆𝑥 + 𝐶2 𝑒−
𝜋(𝑥−𝑙)
𝜆𝑥
,
Граничные условия позволяют определить неизвестные константы.
При 𝑥 = 0
𝑋1 (0) + 𝑋2 (0) = 𝑋1′ (0) + 𝑋2′ (0) = 0,
то есть
(︂
𝐶1 − sin
𝜋𝑥0
𝜆𝑥
)︂
(︂
𝐶1 − cos
= 0,
𝜋𝑥0
𝜆𝑥
)︂
= 0,
а при 𝑥 = 1
𝑋1 (1) + 𝑋2 (1) = 𝑋1′ (1) + 𝑋2′ (1) = 0,
то есть
(︂
𝐶2 + sin
𝜋(1 − 𝑥0 )
𝜆𝑥
)︂
(︂
= 0,
𝐶2 + cos
𝜋(1 − 𝑥0 )
𝜆𝑥
Получаем 4 уравнения относительно 4 неизвестных: 𝜆𝑥 , 𝑥0 , 𝐶1 , 𝐶2 .
6
)︂
= 0.
Из первых двух уравнений имеем:
(︂
tg
𝜋
𝜋𝑥0
= + 𝜋𝑘,
𝜆𝑥
4
𝜋𝑥0
𝜆𝑥
)︂
=1
(︂
или 𝑥0 = 𝜆𝑥
)︂
1
+𝑘 ;
4
Аналогично из граничных условий на правом конце стержня:
𝜋(1 − 𝑥0 )
𝜋
= + 𝜋𝑛;
𝜆𝑥
4
1
1
1
− − 𝑛 = + 𝑘;
𝜆𝑥
4
4
или
𝜆𝑥 =
1
,
1/2 + 𝑚
где 𝑚 = 𝑘 + 𝑛.
Таким образом, частоты колебаний может быть определены из равенства
2
𝜔𝑛 =
𝜋 2 (𝑛 + 1/2)
.
𝑎𝑙2
Теперь пусть 𝑇 ̸= 0, в этом случае уравнение (1) принимает вид
𝑋 𝐼𝑉 − 𝜀2 𝑋 ′′ − 𝑎2 𝜔 2 𝑋 = 0,
Соответствующее характеристическое уравнение в этом случае имеет корни
√︂
𝜀2
𝜀4
2
𝜆 =
±
+ 𝑎2 𝜔 2 .
2
4
а частоты колебаний шарнирно опёртого стержня имеют вид
𝜔𝑛2
(︂
)︂
𝑇 𝐸𝐽 𝜋 2 𝑛2
𝐸𝐽𝜋 4 𝑛4
𝑇 𝑙2 2
𝐸𝐽 𝜋 4 𝑛4
+
=
· 1+
𝑙 .
=
𝜌𝑆 𝑙4
𝐸𝐽 𝜌𝑆 𝑙2
𝜌𝑆𝑙4
𝐸𝐽𝑛2
Форма колебаний в этом случае имеет вид
𝑋 = sin 𝜆𝑥,
𝜆 = 𝜋𝑛.
В случае жестко опёртого стержня основное решение ищем, как и раньше, в виде 𝑋 = 𝑋1 + 𝑋2
𝑋1 = sin
𝜋(𝑥 − 𝑥0 )
.
𝜆𝑥
Пусть 𝜆21 > 0, а 𝜆22 < 0, тогда
𝑑2 𝑋2
+ 𝜆22 𝑋2 = 0.
𝑑𝑥2
𝑑2 𝑋1
+ 𝜆21 𝑋1 = 0,
𝑑𝑥2
Используя замену Λ̄2 = −𝜆2 , получаем выражение для интегралов краевого эффекта 𝑋2 в виде
𝑋2 = 𝐶1 𝑒−Λ̄𝑥 + 𝐶2 𝑒Λ̄(𝑥−1) ,
√︂
(︂ )︂2
(︂ )︂2
𝜋
𝜀2
𝜀2
𝜋
2
𝜆1 =
,
+
+ 𝑎2 𝜔𝑛2 =
,
𝜆𝑥
2
4
𝜆𝑥
или
2
𝑎
𝜔𝑛2
(︂
=
𝜋
𝜆𝑥
)︂4
−𝜀
2
(︂
𝜋
𝜆𝑥
)︂2
¯ 𝑥 , 𝐶1 , 𝐶2 , 𝑥0 найдём из граничных условий.
Выражения для 𝜆
7
.
На левом краю
𝑋(0) = 𝐶1 − sin
𝜋𝑥0
= 0,
𝜆𝑥
𝑋 ′ (0) = −𝐶1 Λ̄ +
𝜋
𝜋𝑥0
cos
= 0,
𝜆𝑥
𝜆𝑥
и таким образом,
𝜋𝑥0
𝜋 1
=
· ,
𝜆𝑥
𝜆𝑥 Λ̄
tg
а из условий справа
𝐶2 − sin
𝜋(1 − 𝑥0 )
𝜋
𝜋(1 − 𝑥0 )
= 0 𝐶2 Λ̄ −
cos
= 0,
𝜆𝑥
𝜆𝑥
𝜆𝑥
Таким образом, для безразмерной длины волны 𝜆𝑥 и сдвига по фазе 𝑥0 имеем 2 уравнения:
𝜋 1
𝜋𝑥0
=
· ,
𝜆𝑥
𝜆𝑥 Λ̄
(6)
𝜋 1
𝜋(1 − 𝑥0 )
=
· .
𝜆𝑥
𝜆𝑥 Λ̄
(7)
tg
tg
Из уравнений (6) и (7) можно получить
𝑥0
1 − 𝑥0
=
+ 𝑘 ⇒ 1 − 2𝑥0 = 𝑘𝜆𝑥 ,
𝜆𝑥
𝜆𝑥
и
𝜋𝑥0
tg
=
𝜆𝑥
(︀
(︃√︂
𝜀2 𝜆2
1 + 2𝑥
𝜋
)︃−1
≈1−
𝜀2 𝜆2𝑥
.
𝜋2
При увеличении числа волн длина волны колебаний становится малой величиной, поэтому
)︀
𝜀2 𝜆2𝑥 /𝜋 2 ≪ 1 и приведённое выше уравнение можно решать асимптотическим методом [7].
В нулевом приближении
𝜋𝑥0
𝑥0
𝜋
1
= + 𝜋𝑚 =⇒
= + 𝑚.
𝜆𝑥
4
𝜆𝑥
4
Если представить 𝜋𝑥0 /𝜆𝑥 в виде 𝜋𝑥0 /𝜆𝑥 = 𝜋/4 + 𝛿, то тогда можно получить, что 𝛿 = −𝜀2 𝜆2𝑥 /2𝜋 2 .
Для частоты стержня в этом случае имеем
𝜔𝑛2 =
𝜋 4 𝐸𝐽
𝜌𝑙4
(︂
1
+𝑛
2
)︂4
+
𝜋2 𝑇
𝐸𝐽
(︂
1
+𝑛
2
)︂2
.
Для уравнения
−𝜇2 𝑋 𝐼𝑉 + 𝑋 ′′ + Λ𝑋 = 0,
получаем решение
Λ = 𝜇2
1.4
(︁ 𝜋
2
+ 𝜋𝑛
)︁4
+
(︁ 𝜋
2
)︁2
+ 𝜋𝑛 .
(8)
Решение задачи по методу Вишика и Люстерника
Метод Вишика и Люстерника помогает определять собственные значения и функции в случае
сингулярно-возмущённого дифференциального уравнения. Решение рассматриваемой задачи в первом
приближении по методу Вишика и Люстерника представлено в [7].
8
Рассмотрим краевую задачу 𝐴𝜇 :
𝑛
∑︁
𝑘=1
𝑚
𝑑𝑘+𝑚 𝑦 ∑︁ 𝑑𝑘 𝑦
𝜇 𝑎𝑚+𝑘 𝑘+𝑚 +
𝑎𝑘 𝑘 = 𝑓 (𝑥)
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑘
𝑘=0
𝑑𝑙 𝑦
= 𝑞𝑗𝑙 при 𝑥 = 𝑥1 , 𝑥2 𝑗 = 1, 2;
𝑑𝑥𝑙
𝑥 ∈ [𝑥1 , 𝑥2 ],
𝑙 = 0, 1, ..., 𝑚𝑗 + 𝑛𝑗 − 1,
𝑚1 + 𝑚2 = 𝑚,
(9)
𝑛1 + 𝑛2 = 𝑛.
При 𝜇 = 0 задача 𝐴𝜇 вырождается в задачу 𝐴0 :
𝑚
∑︁
𝑎𝑘
𝑘=0
𝑥 ∈ [𝑥1 , 𝑥2 ],
𝑑𝑘 𝑦
= 𝑓 (𝑥)
𝑑𝑥𝑘
𝑑𝑙 𝑦
= 𝑞𝑗𝑙 при 𝑥 = 𝑥1 , 𝑥2 𝑗 = 1, 2;
𝑑𝑥𝑙
𝑙 = 0, 1, ..., 𝑚𝑗 + 𝑛𝑗 − 1, 𝑚1 + 𝑚2 = 𝑚.
Дополнительное характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (9), имеет вид
𝑛
∑︁
𝑎𝑚+𝑘 𝜆𝑘 = 0.
(10)
𝑘=0
Если уравнение (10) имеет 𝑛1 корней с отрицательной вещественной частью и 𝑛2 корней с положительной, то при решении задачи 𝐴0 методом Вишика и Люстерника надо отбросить 𝑛1 граничных
условий слева и 𝑛2 справа, а решение задачи 𝐴𝜇 представляется в виде:
𝑦(𝑥, 𝜇) ∼
= 𝑦00 (𝑥, 𝜇) + 𝑍 (1) (𝑥, 𝜇) + 𝑍 (2) (𝑥, 𝜇),
где
𝑦00 (𝑥, 𝜇) =
∞
∑︁
𝜇𝑘 𝑦𝑘 (𝑥),
𝑘=0
а 𝑍 (1) (𝑥, 𝜇), 𝑍 (2) (𝑥, 𝜇) — интегралы краевого эффекта, причем
𝑍 (𝑗) (𝑥, 𝜇) = 𝜇𝑛𝑗
∞
∑︁
(𝑗)
𝜇𝑘 𝑍𝑘 (𝜂𝑗 ),
𝜂𝑗 = (−1)𝑗+1 ·
𝑘=0
(1)
𝑥 − 𝑥𝑗
, 𝑗 = 1, 2.
𝜇
(2)
𝑍𝑘 (𝜂1 ) −→ 0 при 𝜂1 −→ ∞, а 𝑍𝑘 (𝜂2 ) −→ 0 при 𝜂2 −→ −∞.
В рассматриваемой задаче:
−𝜇2 𝑋 𝐼𝑉 + 𝑋 ′′ + Λ𝑋 = 0,
𝑋(0) = 𝑋(1) = 𝑋 ′ (0) = 𝑋 ′ (1) = 0,
дополнительное характеристическое уравнение имеет вид
−𝜆2 + 1 = 0.
Поэтому задача 𝐴0 имеет вид:
𝑑2 𝑋0
+ Λ0 𝑋0 = 0,
𝑑𝑥2
𝑋0 (0) = 𝑋0 (1) = 0.
√
𝑋0 = 𝐴 sin
Λ 0 = 𝑛2 𝜋 2 ,
√
Λ𝑥 + 𝐵 cos
𝑋0 = sin 𝑛𝜋𝑥,
9
Λ𝑥.
𝑛 = 1, 2, ...
(11)
Решение задачи 𝐴𝜇 можно искать в виде
𝑋(𝑥) = 𝑋0 (𝑥) +
(1)
𝜇𝑍0
)︂
(︂ )︂
(︂
𝑥
1−𝑥
(2)
+ 𝜇𝑍0
,
𝜇
𝜇
(1)′
(1)′
Граничное условие при 𝑥 = 0 𝑋 ′ (0) = 0, тогда 𝑋0′ (0) + 𝑍0 (0) = 0, т.е. 𝜋𝑛 + 𝑍0 (0) = 0. Подставляя
значения производных от 𝑋 в (11), и, приравнивая члены при наименьших степенях 𝜇, получим:
1 (1)′′′′
1 (1)′′
𝑍
(𝜂1 ) + 𝑍0 (𝜂1 ) = 0,
𝜇 0
𝜇
где 𝜂1 =
𝑥
.
𝜇
Общее решение этого уравнения имеет вид
(1)
𝑍0 (𝜂1 ) = 𝐶1 + 𝐶2 𝜂1 + 𝐶3 𝑒𝜂1 + 𝐶4 𝑒−𝜂1 .
Константы 𝐶1 = 𝐶2 = 𝐶3 = 0, так как
(1)
𝑍0 (𝜂1 ) −→ 0,
при 𝜂1 −→ ∞,
Из граничного условия для 𝜂1 = 𝑥/𝜇 получим 𝐶4 = 𝜋𝑛. Аналогично, используя условия для 𝜂2 =
(1 − 𝑥)/𝜇, получим:
(1)
𝑍0 (𝜂1 ) = 𝜋𝑛𝑒−𝜂1 ,
(2)
𝑍0 (𝜂2 ) = (−1)𝑛+1 𝜋𝑛𝑒−𝜂2 .
Если подставить Λ = Λ0 + 𝜇Λ1 и 𝑋(𝑥) = 𝑋0 (𝑥) + 𝜇𝑋1 (𝑥) в уравнение (11), оставить только члены
при 𝜇, то получаем уравнение
𝑑2 𝑋1
+ Λ0 𝑋1 = −Λ1 𝑋0 , где 𝑋0 (𝑥) = sin 𝑛𝜋𝑥, Λ0 = 𝑛2 𝜋 2 .
𝑑𝑥2
Решение однородной задачи 𝑋1 одн (𝑥) = 𝐶1 sin 𝜋𝑛𝑥 + 𝐶2 cos 𝜋𝑛𝑥. Частное решение 𝑋1 част (𝑥) =
Λ1 𝑥 cos 𝜋𝑛𝑥/2𝜋𝑛. Тогда 𝑋1 (𝑥) = 𝑋1 одн (𝑥) + 𝑋1 част (𝑥).
Из граничных условий получаем
(1)
𝑋(0) = 0 ⇒ 𝑋1 (0) + 𝑍0 (0) = 0 ⇒ 𝐶2 + 𝜋𝑛 = 0 ⇒ 𝐶2 = −𝜋𝑛.
(2)
𝑋(1) = 0 ⇒ 𝑋1 (1) + 𝑍0 (0) = 0 ⇒ (−1)𝑛 𝐶2 + (−1)𝑛
Λ1
− (−1)𝑛 𝜋𝑛 = 0 ⇒ Λ1 = 4𝜋 2 𝑛2 .
2𝜋𝑛
А составляющая 𝑋1 (𝑥) равна
𝑋1 (𝑥) = −𝜋𝑛 cos 𝜋𝑛𝑥 + 2𝜋𝑛𝑥 cos 𝜋𝑛𝑥.
Собственное число Λ в первом приближении
Λ = 𝑛2 𝜋 2 + 4𝜇𝑛2 𝜋 2 .
(12)
Собственная функция в нулевом приближении удовлетворяющая всем граничным условиям, имеет
вид
𝑋(𝑥) = sin 𝑛𝜋𝑥 + 𝜇 (−𝜋𝑛 cos 𝜋𝑛𝑥 + 2𝜋𝑛𝑥 cos 𝜋𝑛𝑥) + 𝜇𝜋𝑛𝑒−𝜂1 + 𝜇(−1)𝑛+1 𝜋𝑛𝑒−𝜂2 + 𝑂(𝜇2 ).
Рассмотрим второе приближение метода Вишика и Люстерника. Решение в этом случае можно
искать в виде
𝑋(𝑥) = 𝑋0 (𝑥) + 𝜇𝑋1 (𝑥) +
(1)
𝜇𝑍0
(︂ )︂
(︂
)︂
(︂ )︂
(︂
)︂
𝑥
1−𝑥
𝑥
1−𝑥
(2)
2 (1)
2 (2)
+ 𝜇𝑍0
+ 𝜇 𝑍1
+ 𝜇 𝑍1
,
𝜇
𝜇
𝜇
𝜇
10
(1)′
(1)′
Из граничных условий при 𝑥 = 0 𝑋 ′ (0) = 0, тогда 𝑋1′ (0) + 𝑍1 (0) = 0, т.е. 2𝜋𝑛 + 𝑍0 (0) = 0.
Подставляя значения производных от 𝑋 в (11), и, приравнивая члены при наименьших степенях 𝜇,
получим:
1 (1)′′′′
1 (1)′′
𝑍
(𝜂1 ) + 𝑍1 (𝜂1 ) = 0,
𝜇 1
𝜇
где 𝜂1 =
𝑥
.
𝜇
Общее решение этого уравнения имеет вид
(1)
𝑍1 (𝜂1 ) = 𝐶1 + 𝐶2 𝜂1 + 𝐶3 𝑒𝜂1 + 𝐶4 𝑒−𝜂1 .
Константы 𝐶1 = 𝐶2 = 𝐶3 = 0, так как
(1)
𝑍1 (𝜂1 ) −→ 0,
при 𝜂1 −→ ∞,
Из граничного условия для 𝜂1 = 𝑥/𝜇 получим 𝐶4 = 2𝜋𝑛.
Аналогично, используя условия для 𝜂2 = (1 − 𝑥)/𝜇, получим:
(1)
𝑍1 (𝜂1 ) = 2𝜋𝑛𝑒−𝜂1 ,
(2)
𝑍1 (𝜂2 ) = (−1)𝑛+1 2𝜋𝑛𝑒−𝜂2 .
Если представить Λ в виде Λ = Λ0 + 𝜇Λ1 + 𝜇2 Λ2 и 𝑋(𝑥) = 𝑋0 (𝑥) + 𝜇𝑋1 (𝑥) в уравнение (11), оставить
только члены при 𝜇2 , то получаем уравнение
𝑑2 𝑋2
𝑑4 𝑋0
+ Λ0 𝑋2 = −Λ2 𝑋0 − Λ1 𝑋1 +
,
2
𝑑𝑥
𝑑𝑥4
(13)
где 𝑋0 (𝑥) = sin 𝑛𝜋𝑥, Λ0 = 𝑛2 𝜋 2 , 𝑋1 (𝑥) = −𝜋𝑛 cos 𝜋𝑛𝑥 + 2𝜋𝑛𝑥 cos 𝜋𝑛𝑥, Λ1 = 4𝜋 2 𝑛2 .
Ищем решение уравнения (13) в виде
𝑋2 (𝑥) = 𝐶1 sin 𝜋𝑛𝑥 + 𝐶2 cos 𝜋𝑛𝑥 + 𝐶3 𝑥2 sin 𝜋𝑛𝑥 + 𝐶4 sin 𝜋𝑛𝑥 + 𝐶5 𝑥 cos 𝜋𝑛𝑥 + 𝐶6 𝑥2 cos 𝜋𝑛𝑥.
Подставляя 𝑋2 (𝑥), 𝑋1 (𝑥), 𝑋0 (𝑥), Λ0 , Λ1 в уравнение (13) можно получить
𝐶6 = 0, 𝐶3 = −2𝜋 2 𝑛2 , 𝐶4 = 2𝜋 2 𝑛2 , 𝐶5 =
Λ2
𝑝𝑖3 𝑛3
−
− 2𝜋𝑛.
2𝜋𝑛
2
Из граничных условий
(1)
𝑋(0) = 0 ⇒ 𝑋2 (0) + 𝑍1 (0) = 0 ⇒ 𝐶2 + 2𝜋𝑛 = 0 ⇒ 𝐶2 = −2𝜋𝑛.
𝑋(1) = 0 ⇒
(2)
𝑋2 (1)+𝑍1 (0)
𝑛
= 0 ⇒ (−1) 𝐶2 +(−1)
𝑛
(︂
)︂
Λ2
𝑝𝑖3 𝑛3
−
− 2𝜋𝑛 −(−1)𝑛 2𝜋𝑛 = 0 ⇒ Λ2 = 12𝜋 2 𝑛2 +𝜋 4 𝑛4 .
2𝜋𝑛
2
Уравнение для 𝑋2 (𝑥) имеет вид
𝑋2 (𝑥) = 2𝜋 2 𝑛2 (𝑥 − 𝑥2 ) sin 𝜋𝑛𝑥 + 𝜋𝑛(2𝑥 − 1) cos 𝜋𝑛.
И собственное число Λ во втором приближении равно
(︀
)︀
Λ = 𝑛2 𝜋 2 + 4𝜇𝑛2 𝜋 2 + 𝜇2 12𝑛2 𝜋 2 + 𝑛4 𝜋 4 .
11
(14)
1.5
Сравнение результатов при числе волн n=1 и n=5
В таблицах №1,2 и на рис.1, 2 приведены частоты, полученные численно, методом динамического
краевого эффекта и методом Вишика и Люстерника, для разных 𝜇 при 𝑛 = 1 и 𝑛 = 5. Λчисл —
безразмерная частота, полученная при решении системы уравнений (3), ΛВиЛ1 — частота, полученная
при решении уравнения (12), ΛВиЛ2 — частота, полученная при решении уравнения (14), ΛДКЭ —
частота, полученная при решении уравнения (8). Λ = 𝜌𝑆𝜔 2 𝑙2 /𝑇, 𝜇2 = 𝐸𝐽/𝑙2 𝑇 .
Таблица 1. Сравнение результатов при n=1
𝜇
𝜀
Λчисл
ΛВиЛ1
ΛВиЛ2
ΛДКЭ
0.005
200
10.073
10.067
10.072
22.219
0.00625
160
10.125
10.116
10.125
22.226
0.01
100
10.288
10.264
10.286
22.256
0.02
50
10.752
10.659
10.746
22.404
0.04
25
11.847
11.449
11.794
22.996
0.08
12.5
14.837
13.028
14.409
25.363
0.1
10
16.804
13.818
15.976
27.138
0.125
8
19.759
14.804
18.177
29.912
0.17
5.895
26.485
16.568
22.781
36.402
0.24
4.1075
41.855
19.481
32.274
51.435
0.4
2.5
92.347
25.661
60.196
101.108
Жирным шрифтом выделены строки, в которых погрешность метода динамического краевого эффекта равна погрешности первого и второго приближения метода Вишика и Люстерника.
Рис. 1: Сравнение Λчисл , ΛВиЛ1 , ΛВиЛ2 и ΛДКЭ при 𝑛 = 1, 𝜇 = 0...0.3
Если сначала рассматривать только первое приближение решения по методу Вишика и Люстерника,
то можно отметить, что при 𝑛 = 1 и 𝜇 < 0.17 ближе к точному это решение, а при 𝜇 > 0.17 более точным
является решение по методу динамического краевого эффекта. При 𝜇 = 0.17 погрешности как решения,
построенного по первому приближению метода Вишика и Люстерника, и решения, построенного по
методу динамического краевого эффекта, равны 37.44%.
12
Если рассматривать второе приближение решения по методу Вишика и Люстерника, то можно отметить, что при 𝑛 = 1 и 𝜇 < 0.24 ближе к точному это решение, а при 𝜇 > 0.24 более точным является
решение по методу динамического краевого эффекта. При 𝜇 = 0.17 погрешности как решения, построенного по второму приближению метода Вишика и Люстерника, и решения, построенного по методу
динамического краевого эффекта, равны 22.89%.
Таблица 2. Сравнение результатов при n=5
𝜇
𝜀
Λчисл
ΛВиЛ1
ΛВиЛ2
ΛДКЭ
0.005
200
253.308
251.675
253.271
300.784
0.008
125
258.872
254.636
258.722
304.261
0.01
100
263.286
256.609
262.994
307.469
0.02351
42.535
308.883
269.943
305.23
347.822
0.04
25
404.782
286.219
388.365
441.172
0.05
20
485.679
296.088
455.692
521.394
0.0533
18.75
516.531
299.378
480.969
552.093
0.067
15
659.552
312.537
596.278
694.713
Рис. 2: Сравнение Λчисл , ΛВиЛ1 , ΛВиЛ2 и ΛДКЭ при 𝑛 = 5, 𝜇 = 0...0.06
При 𝑛 = 5 и 𝜇 = 0.02351 погрешности, и решения, построенного по первому приближению метода
Вишика и Люстерника, и решения, построенного по методу динамического краевого эффекта равны
12.6%.
При 𝑛 = 5 𝜇 = 0.0533 погрешности, и решения, построенного по второму приближению метода
Вишика и Люстерника, и решения, построенного по методу динамического краевого эффекта равны
7.9%.
Расчёты проводились и для других значений 𝑛. Вводя обозначение 𝐶 = (ΛДКЭ − Λчисл ) /Λчисл , получим отношение относительной погрешности (𝐶) от числа волн (𝑛) при 𝜇 = 0.05 для метода динамического краевого эффекта. График зависимости 𝐶 от 𝑛 представлен на рисунке 3.
Видно, что относительная погрешность решения, полученного методом динамического краевого эффекта, как и ожидалось, с ростом числа волн уменьшается.
Надо отметить, что все соотношения, представленные в работе, справедливы, если длина волны
√︀
существенно больше размеров поперечного сечения, т.е. при 1/𝑛 ≫ 𝑆/𝑙2 .
13
Рис. 3: Зависимость относительной погрешности 𝐶 от числа волн 𝑛 = 1...10 при 𝜇 = 0.05
1.6
Заключение
Рассмотрена задача о колебании растянутого жёстко закрепленного стержня. Для данной задачи
сравниваются
1) численное решение,
2) решение по первому и второму приближению метода Вишика и Люстерника,
3) решение по методу динамического краевого эффекта.
Проведена оценка области применимости первого и второго приближения метода Вишика и Люстерника и метода динамического краевого эффекта.
Как и следовало ожидать при малом 𝜇 лучше работает метод Вишика и Люстерника, созданный для
решения сингулярно-возмущённых уравнений, но при увеличении 𝜇 метод Вишика и Люстерника работает всё хуже по сравнению с методом динамического краевого эффекта, применяемым обычно для
уравнений, в которых все члены имеют одинаковый асимптотический порядок. Преимущество метода
Вишика и Люстерника заключается в том, что можно получать в теории сколь угодно точное приближение, но, как было показано выше, сложность получения того или иного приближения значительно
повышается. Решение же по методу динамического краевого эффекта не имеет никаких приближений,
кроме нулевого, поэтому это решение нельзя улучшить, но чем больше число волн 𝑛, тем в более широком диапазоне параметров более точным является решение, полученное по методу динамического
краевого эффекта.
2
Колебания растянутой прямоугольной пластинки
2.1
Постановка задачи
Рассматривается задача о колебании растянутой в обоих направлениях прямоугольной пластинки.
Рассматриваются граничные условия шарнирного опирания по двум противоположным краям и жёсткого закрепления по двум другим. На основе этой задачи проводится оценка области применимости
асимптотических методов Вишика и Люстерника и динамического краевого эффекта.
14
Уравнение колебаний пластинки имеет вид
𝐷∆2 𝑊 − 𝑇 ∆𝑊 − 𝜌ℎ𝜔 2 𝑊 = 0.
Граничные условия
⎧
𝜕𝑊
𝜕𝑊
⎪
⎪
(0, 𝑦) =
(𝑎, 𝑦) = 0,
⎨ 𝑊 (0, 𝑦) = 𝑊 (𝑎, 𝑦) =
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕2𝑊
𝜕2𝑊
⎪
⎪
⎩ 𝑊 (𝑥, 0) = 𝑊 (𝑥, 𝑏) =
(𝑥,
0)
=
(𝑥, 𝑏) = 0.
𝜕𝑦 2
𝜕𝑦 2
Решение будем искать в виде:
𝑥
𝜋𝑚𝑦
𝑊 = 𝑋( ) sin
.
𝑎
𝑏
Для пластинки можно разделить переменные и получить уравнение для 𝑋(𝑥/𝑎):
(︂ (︁
)︂
(︂(︁
)︂
𝜋𝑚𝑎 )︁2 𝑇 𝑎2
𝜋𝑚𝑎 )︁4 𝑇 𝑎2 (︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2 𝜌ℎ𝜔 2 𝑎4
+
+
−
𝑋 𝐼𝑉 − 𝑋 ′′ 2
+𝑋
= 0.
𝑏
𝐷
𝑏
𝐷
𝑏
𝐷
(15)
Если рассмотреть случай растяжения в направлении, которому соответствуют граничные условия
жёсткого закрепления, то тогда уравнение колебаний пластинки имеет вид
𝐷∆2 𝑊 − 𝑇
𝜕2𝑊
− 𝜌ℎ𝜔 2 𝑊 = 0.
𝜕𝑥2
Уравнение для 𝑋(𝑥/𝑎) выглядит следующим образом:
𝑋
2.2
𝐼𝑉
(︂ (︁
)︂
(︂(︁
)︂
𝜋𝑚𝑎 )︁2 𝑇 𝑎2
𝜋𝑚𝑎 )︁4 𝜌ℎ𝜔 2 𝑎4
−𝑋 2
+
+𝑋
−
= 0.
𝑏
𝐷
𝑏
𝐷
′′
Численное решение
Характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (15) имеет вид
(︂ (︁
)︂ (︁
𝜋𝑚𝑎 )︁4 𝑇 𝑎2 (︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2 𝜌ℎ𝜔 2 𝑎4
𝜋𝑚𝑎 )︁2 𝑇 𝑎2
𝜆𝐼𝑉 − 𝜆2 2
+
+
+
−
= 0.
𝑏
𝐷
𝑏
𝐷
𝑏
𝐷
2
𝜆21
=
2 ((𝜋𝑚𝑎)/𝑏) + (𝑇 𝑎2 )/𝐷 +
√︀
(𝑇 2 𝑎4 )/𝐷2 + 4(𝜌ℎ𝜔 2 𝑎4 )/𝐷
,
2√︀
2 ((𝜋𝑚𝑎)/𝑏) + (𝑇 𝑎2 )/𝐷 − (𝑇 2 𝑎4 )/𝐷2 + 4(𝜌ℎ𝜔 2 𝑎4 )/𝐷
𝜆22 = −
.
2
Тогда получаем уравнение с граничными условиями
2
⎧
⎨ 𝑋(𝑥) = 𝐶1 sin 𝜆2 𝑥 + 𝐶2 cos 𝜆2 𝑥 + 𝐶3 ch 𝜆1 𝑥 + 𝐶4 sh 𝜆1 𝑥,
⎩
𝑋(0) = 𝑋(1) = 𝑋 ′ (0) = 𝑋 ′ (1) = 0.
Далее идут выкладки, аналогичные приведённым в разделе (1.2), из которых следует
(︀
)︀
2𝜆2 𝜆1 (1 − ch 𝜆1 cos 𝜆2 ) + sh 𝜆1 sin 𝜆2 𝜆21 − 𝜆22 = 0.
15
(16)
⎧
(︀
)︀
⎪
⎪
2𝜆2 𝜆1 (1 − ch 𝜆1 cos 𝜆2 ) + sh 𝜆1 sin 𝜆2 𝜆21 − 𝜆22 = 0,
⎪
⎪
⎪
√︀
⎪
2
⎨
2 ((𝜋𝑚𝑎/)𝑏) + (𝑇 𝑎2 )/𝐷 + (𝑇 2 𝑎4 )/𝐷2 + 4(𝜌ℎ𝜔 2 𝑎4 )/𝐷
2
,
𝜆 =
2√︀
⎪ 1
⎪
⎪
2
⎪
2
2 4
2
2 4
⎪ 2
⎪
⎩ 𝜆2 = −2 ((𝜋𝑚𝑎/)𝑏) − (𝑇 𝑎 )/𝐷 + (𝑇 𝑎 )/𝐷 + 4(𝜌ℎ𝜔 𝑎 )/𝐷 .
2
Рассмотрим два случая: когда отношение 𝐷/𝑎2 𝑇 меньше или больше 1. Введём 2 безразмерных
параметра 𝜇 и 𝜀, каждый из которых меняется в промежутке [0, 1]: 𝜇2 = 𝐷/𝑎2 𝑇 , 𝜀 = 1/𝜇. Обозначим
Λ = 𝜌ℎ𝜔 2 𝑎2 тогда последнее уравнение примет вид:
⎧
(︀
)︀
⎪
⎪
2𝜆2 𝜆1 (1 − ch 𝜆1 cos 𝜆2 ) + sh 𝜆1 sin 𝜆2 𝜆21 − 𝜆22 = 0,
⎪
⎪
⎪
√︀
⎪
2
⎨
2 ((𝜋𝑚𝑎)/𝑏) + 1/𝜇2 + 1/𝜇4 + 4Λ/𝜇2
2
,
𝜆1 =
2
⎪
⎪
√︀
⎪
2
⎪
2
4
2
⎪
⎪
⎩ 𝜆22 = −2 ((𝜋𝑚𝑎)/𝑏) − 1/𝜇 + 1/𝜇 + 4Λ/𝜇 .
2
(17)
Для 𝜀2 = 𝑎2 𝑇 /𝐷, при 𝐴 = 𝜌ℎ𝜔 2 𝑎4 /𝐷, получим
⎧
(︀
)︀
⎪
⎪
2𝜆2 𝜆1 (1 − ch 𝜆1 cos 𝜆2 ) + sh 𝜆1 sin 𝜆2 𝜆21 − 𝜆22 = 0,
⎪
⎪
⎪
√
⎪
2
⎨
2 ((𝜋𝑚𝑎)/𝑏) + 𝜀2 + 𝜀4 + 4𝐴
2
,
𝜆1 =
⎪
2
⎪
√
⎪
2
⎪
2
2
⎪
⎪
⎩ 𝜆22 = −2 ((𝜋𝑚𝑎)/𝑏) − 𝜀 + 𝜀 + 4𝐴 .
2
Для случая растяжения в направлении, которому соответствуют граничные условия жёсткого закрепления, характеристическое уравнение имеет вид
𝜆
𝜆21 =
𝜆22
=−
𝐼𝑉
(︂ (︁
)︂ (︁
𝜋𝑚𝑎 )︁2 𝑇 𝑎2
𝜋𝑚𝑎 )︁4 𝜌ℎ𝜔 2 𝑎4
−𝜆 2
+
+
−
= 0.
𝑏
𝐷
𝑏
𝐷
2
2
√︁
2
√︁
2 ((𝜋𝑚𝑎)/𝑏) + (𝑇 𝑎2 )/𝐷 +
2
(𝑇 2 𝑎4 )/𝐷2 + 4 ((𝜋𝑚𝑎)/𝑏) (𝑇 𝑎2 )/𝐷 + 4(𝜌ℎ𝜔 2 𝑎4 )/𝐷
,
2
2 ((𝜋𝑚𝑎)/𝑏) + (𝑇 𝑎2 )/𝐷 −
2
(𝑇 2 𝑎4 )/𝐷2 + 4 ((𝜋𝑚𝑎)/𝑏) (𝑇 𝑎2 )/𝐷 + 4(𝜌ℎ𝜔 2 𝑎4 )/𝐷
2
.
⎧
⎨ 𝑋(𝑥) = 𝐶1 sin 𝜆2 𝑥 + 𝐶2 cos 𝜆2 𝑥 + 𝐶3 ch 𝜆1 𝑥 + 𝐶4 sh 𝜆1 𝑥,
⎩
𝑋(0) = 𝑋(1) = 𝑋 ′ (0) = 𝑋 ′ (1) = 0.
Далее идут выкладки, аналогичные приведённым в разделе (1.2), из которых следует
(︀
)︀
2𝜆2 𝜆1 (1 − ch 𝜆1 cos 𝜆2 ) + sh 𝜆1 sin 𝜆2 𝜆21 − 𝜆22 = 0.
⎧
(︀
)︀
⎪
⎪
2𝜆2 𝜆1 (1 − ch 𝜆1 cos 𝜆2 ) + sh 𝜆1 sin 𝜆2 𝜆21 − 𝜆22 = 0,
⎪
⎪
⎪
√︁
⎪
⎪
⎪
2
2
2
⎨
2 ((𝜋𝑚𝑎)/𝑏) + 1/𝜇 + 1/𝜇4 + 4 ((𝜋𝑚𝑎)/𝑏𝜇) + 4Λ/𝜇2
2
𝜆1 =
,
⎪
2
⎪
√︁
⎪
⎪
⎪
2
2
⎪
−2 ((𝜋𝑚𝑎)/𝑏) − 1/𝜇2 + 1/𝜇4 + 4 ((𝜋𝑚𝑎)/𝑏𝜇) + 4Λ/𝜇2
⎪
⎪ 2
⎩
𝜆2 =
.
2
Для 𝜀2 = 𝑎2 𝑇 /𝐷, при 𝐴 = 𝜌ℎ𝜔 2 𝑎4 /𝐷, получим
16
(18)
⎧
(︀
)︀
⎪
⎪
2𝜆2 𝜆1 (1 − ch 𝜆1 cos 𝜆2 ) + sh 𝜆1 sin 𝜆2 𝜆21 − 𝜆22 = 0,
⎪
⎪
⎪
√︁
⎪
⎪
⎪
2
2
2
⎨
𝜀4 + 4 ((𝜋𝑚𝑎𝜀)/𝑏) + 4𝐴
2
((𝜋𝑚𝑎)/𝑏)
+
𝜀
+
,
𝜆21 =
2
⎪
⎪
√︁
⎪
⎪
⎪
2
2
⎪
−2 ((𝜋𝑚𝑎)/𝑏) − 𝜀2 + 𝜀4 + 4 ((𝜋𝑚𝑎𝜀)/𝑏) + 4𝐴
⎪ 2
⎪
⎩ 𝜆2 =
.
2
2.3
Метод динамического краевого эффекта
Характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (15) имеет вид
(︂ (︁
)︂ (︁
𝜋𝑚𝑎 )︁2 𝑇 𝑎2
𝜋𝑚𝑎 )︁4 𝑇 𝑎2 (︁ 𝜋𝑎 )︁2 𝜌ℎ𝜔 2 𝑎4
𝜆𝐼𝑉 − 𝜆2 2
+
+
+
−
= 0.
𝑏
𝐷
𝑏
𝐷
𝑏
𝐷
2
𝜆21 =
2 (𝜋𝑚𝑎/𝑏) + 𝑇 𝑎2 /𝐷 +
√︀
𝑇 2 𝑎4 /𝐷2 + 4𝜌ℎ𝜔 2 𝑎4 /𝐷
,
2√︀
2
2 (𝜋𝑚𝑎/𝑏) + 𝑇 𝑎2 /𝐷 − 𝑇 2 𝑎4 /𝐷2 + 4𝜌ℎ𝜔 2 𝑎4 /𝐷
.
𝜆22 = −
2
Пусть далее 𝜀2 = 𝑎2 𝑇 /𝐷 и 𝐴 = 𝜌𝑆𝜔 2 𝑎4 /𝐷 тогда
√
2
2 (𝜋𝑚𝑎/𝑏) + 𝜀2 + 𝜀4 + 4𝐴
=
,
2
√
2
−2 (𝜋𝑚𝑎/𝑏) − 𝜀2 + 𝜀2 + 4𝐴
.
𝜆22 =
2
Естественно предположить, что вдали от границ при колебаниях форма прогиба для направления
𝜆21
пластинки, соответствующего граничным условиям жёсткого опирания, будет мало отличаться от формы прогиба шарнирно опёртой пластинки, поэтому будем искать решение задачи о колебаниях жестко
закрепленного пластинки (15) в виде 𝑋 = 𝑋1 + 𝑋2 , где
𝑋1 = sin
−
𝜀4
+𝐴=
4
(︂
𝐴=
𝜋
𝜆𝑥
(︂
𝜋
𝜆𝑥
(︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2
𝑏
)︂4
)︂4
(︂
+2
(︂
+2
𝜋
𝜆𝑥
−
𝜋
𝜆𝑥
𝜀2
+
2
)︂2 (︂(︁
)︂2 (︂(︁
𝜋(𝑥 − 𝑥0 )
.
𝜆𝑥
√
𝜀4 + 4𝐴
=
2
𝜋𝑚𝑎 )︁2 𝜀2
+
𝑏
2
𝜋𝑚𝑎 )︁2 𝜀2
+
𝑏
2
)︂
+
(︂
𝜋
𝜆𝑥
)︂
+
)︂2
.
(︂(︁
𝜋𝑚𝑎 )︁2
𝑏
(︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁4
𝑏
+ 𝜀2
𝜀2
+
2
(︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2
𝑏
Пусть далее 𝜆 = 𝜆1 . Тогда
𝑋2 = 𝐶1 𝑒−𝜆𝑥 + 𝐶2 𝑒𝜆(𝑥−1) .
𝑋2 (0) = 𝐶1 ,
𝑋2 (1) = 𝐶2 ,
𝑋2′ (0) = −𝐶1 𝜆,
Тогда
17
)︂2
𝑋2′ (1) = 𝐶2 𝜆.
.
.
𝜋𝑥0
𝜋
𝜋𝑥0
, 𝑋1′ (0) =
cos
,
𝜆𝑥
𝜆𝑥
𝜆𝑥
𝜋 (1 − 𝑥0 )
𝜋
𝜋 (1 − 𝑥0 )
𝑋1 (1) = sin
, 𝑋1′ (0) =
cos
.
𝜆𝑥
𝜆𝑥
𝜆𝑥
𝑋1 (0) = − sin
Так как 𝑋 = 𝑋1 + 𝑋2 . Тогда
𝜋
𝜋𝑥0
𝜋𝑥0
= 0, − 𝐶1 𝜆 +
cos
= 0,
𝜆𝑥
𝜆𝑥
𝜆𝑥
𝜋 (1 − 𝑥0 )
𝜋
𝜋 (1 − 𝑥0 )
𝐶2 + sin
= 0, 𝐶2 𝜆 +
cos
= 0.
𝜆𝑥
𝜆𝑥
𝜆𝑥
𝐶1 − sin
𝜋
𝜋 (1 − 𝑥0 )
= tg
.
𝜆𝜆𝑥
𝜆𝑥
𝜋
𝜋𝑥0
= tg
,
𝜆𝜆𝑥
𝜆𝑥
tg
𝜋𝑥0
𝜋 (1 − 𝑥0 )
1 − 𝑥0
𝑥0
1 − 𝑘𝜆𝑥
= tg
=⇒
=
+ 𝑘 =⇒ 𝑥0 =
.
𝜆𝑥
𝜆𝑥
𝜆𝑥
𝜆𝑥
2
−
(︁ 𝜋𝑎 )︁2
𝑏
−
√
𝜀2
+
2
𝜀4 + 4𝐴
=
2
(︂ )︂2
(︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2
√︀
𝜋
4
+ 𝜀2 =⇒ 𝜆 =
𝜀 + 4𝐴 = 2
+2
𝜆𝑥
𝑏
tg
𝜋𝑥0
tg
=
𝜆𝑥
𝜋𝑥0
𝜋
𝜋𝑥0
=
=⇒ tg
=
𝜆𝑥
𝜆𝜆𝑥
𝜆𝑥
(︂
𝜋
𝜆𝑥
√︃(︂
)︂2
.
𝜋
𝜆𝑥
)︂2
+2
(︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2
𝑏
+ 𝜀2 .
𝜋
√︁
.
2
2
𝜆𝑥 (𝜋/𝜆𝑥 ) + 2 (𝜋𝑚𝑎/𝑏) + 𝜀2
(︃(︂
)︃
(︃ (︂
)︃−1/2
)︂2
)︂2
𝜀2 𝜆2𝑥
𝜆𝑥 𝑚𝑎
𝜀2 𝜆2𝑥
𝜋𝑥0
𝜆𝑥 𝑚𝑎
1
𝜋
+ 2 +1
+ 2
≈ 1 =⇒
2
=1−
= + 𝜋𝑙.
𝑏
𝜋
2
𝑏
𝜋
𝜆𝑥
4
𝜋 (1 − 𝑘𝜆𝑥 )
𝜋
𝜋
𝜋
= + 𝜋𝑙 =⇒
= + 𝜋 (2𝑙 + 𝑘) .
2𝜆𝑥
4
𝜆𝑥
2
Обозначим 𝑛 = 2𝑙 + 𝑘. Тогда
𝜋
1
𝜋
.
= + 𝜋𝑛 =⇒ 𝜆𝑥 =
𝜆𝑥
2
1/2 + 𝑛
4
𝐴 = (𝜋/2 + 𝜋𝑛) + 2 (𝜋/2 + 𝜋𝑛)
2
(︂(︁
𝜋𝑎 )︁2 𝜀2
+
𝑏
2
)︂
+
(︁ 𝜋𝑎 )︁4
𝑏
+ 𝜀2
(︁ 𝜋𝑎 )︁2
𝑏
.
Воспользуемся тем, что 𝜇 = 1/𝜀 и 𝐴 = Λ/𝜇2 . Тогда
4
𝐴 = (𝜋/2 + 𝜋𝑛) + 2 (𝜋/2 + 𝜋𝑛)
2
4
2
Λ = 𝜇2 (𝜋/2 + 𝜋𝑛) + 2 (𝜋/2 + 𝜋𝑛)
(︂(︁
(︂
𝜋𝑚𝑎 )︁2 𝜀2
+
𝑏
2
)︂
(︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2
1
2
𝜇2
𝑏
+
+
)︂
(︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁4
𝑏
+ 𝜇2
+ 𝜀2
(︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁4
𝑏
(︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2
𝑏
+
.
(︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2
𝑏
.
(19)
Для случая растяжения в направлении, которому соответствуют граничные условия жёсткого закрепления, характеристическое уравнение имеет вид
𝜆
𝐼𝑉
(︂ (︁
)︂ (︁
𝜋𝑚𝑎 )︁2 𝑇 𝑎2
𝜋𝑚𝑎 )︁4 𝜌ℎ𝜔 2 𝑎4
−𝜆 2
+
+
−
= 0.
𝑏
𝐷
𝑏
𝐷
2
18
2
𝜆21 =
2 (𝜋𝑚𝑎/𝑏) + 𝑇 𝑎2 /𝐷 +
√︁
2
𝑇 2 𝑎4 /𝐷2 + 4 (𝜋𝑚𝑎/𝑏) 𝑇 𝑎2 /𝐷 + 4𝜌ℎ𝜔 2 𝑎4 /𝐷
,
2
2
𝜆22 = −
2 (𝜋𝑚𝑎/𝑏) + 𝑇 𝑎2 /𝐷 −
√︁
2
𝑇 2 𝑎4 /𝐷2 + 4 (𝜋𝑚𝑎/𝑏) 𝑇 𝑎2 /𝐷 + 4𝜌ℎ𝜔 2 𝑎4 /𝐷
.
2
Пусть далее 𝜀2 = 𝑎2 𝑇 /𝐷 и 𝐴 = 𝜌𝑆𝜔 2 𝑎4 /𝐷 тогда
√︁
2
𝜆21 =
𝜆22 =
2 (𝜋𝑚𝑎/𝑏) + 𝜀2 +
2
𝜀4 + 4 (𝜋𝑚𝑎/𝑏) 𝜀2 + 4𝐴
,
√︁ 2
2
2
−2 (𝜋𝑚𝑎/𝑏) − 𝜀2 + 𝜀2 + 4 (𝜋𝑚𝑎/𝑏) 𝜀2 + 4𝐴
2
Далее, поступая также как и выше в этом разделе, получаем
4
Λ = 𝜇2 (𝜋/2 + 𝜋𝑛) + 2 (𝜋/2 + 𝜋𝑛)
2.4
2
(︂
𝜇2
(︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2
𝑏
+
1
2
)︂
+ 𝜇2
(︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁4
𝑏
.
(20)
Решение задачи по методу Вишика и Люстерника
После замен 𝜇2 = 𝐷/𝑎2 𝑇 и Λ = 𝜌ℎ𝜔 2 𝑎2 в уравнении (15) получаем
(︂
)︂
(︂
)︂
(︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2
(︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁4 (︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2
−𝜇2 𝑋 𝐼𝑉 + 𝑋 ′′ 2𝜇2
+ 1 + 𝑋 −𝜇2
−
+ Λ = 0.
𝑏
𝑏
𝑏
−𝜆2 + 1 − 2𝜇2
(︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2
𝑏
= 0 =⇒ −𝜆2 + 1 = 0.
Нулевое приближение:
(︂
)︂
(︂
)︂
(︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2
(︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁4 (︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2
𝑋0′′ 2𝜇2
+ 1 + 𝑋0 −𝜇2
−
+ Λ0 = 0.
𝑏
𝑏
𝑏
Характеристическое уравнение
)︂
(︂
(︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁4 (︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2
(︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2
+ 1 − 𝜇2
−
+ Λ0 = 0.
𝜆2 2𝜇2
𝑏
𝑏
𝑏
Тогда
√︃
𝜆1,2 = ±𝑖
4
2
−𝜇2 (𝜋𝑚𝑎/𝑏) − (𝜋𝑚𝑎/𝑏) + Λ0
2
2𝜇2 (𝜋𝑚𝑎/𝑏) + 1
√︂
𝑋0 = 𝐶1 sin
Λ0 −
(︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2
𝑏
√︂
=⇒ 𝜆1,2 = ±𝑖
√︂
𝑥 + 𝐶2 cos
Λ0 −
Λ0 −
(︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2
𝑏
(︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2
𝑏
𝑥.
𝑋0 (0) = 0 =⇒ 𝐶2 = 0.
√︂
𝑋0 (1) = 0 =⇒
(1)
Тогда 𝑋0 = sin 𝜋𝑛𝑥. 𝑍0
(2)
и 𝑍0
Λ0 −
(︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2
𝑏
(︂
(︁ 𝑚𝑎 )︁2 )︂
= 𝜋𝑛 =⇒ Λ0 = 𝜋 2 𝑛2 +
.
𝑏
получаются те же значения как и для стержня.
19
.
Если 𝑋 = 𝑋0 + 𝜇𝑋1 , Λ = Λ0 + 𝜇Λ1 , то получаем уравнение
)︂
(︂ (︁
𝜋𝑚𝑎 )︁2
𝑋1′′ + −
+ Λ0 𝑋1 = −Λ1 𝑋0 .
𝑏
2
Так как − (𝜋𝑚𝑎/𝑏) + Λ0 = 𝜋 2 𝑛2 , то мы получаем то же самое уравнение и те же граничные условия,
что и для стержня. Следовательно Λ1 = 4𝜋 2 𝑛2 . Тогда
(︂
(︁ 𝑚𝑎 )︁2 )︂
+ 4𝜇𝜋 2 𝑛2 .
Λ = 𝜋 2 𝑛2 +
𝑏
(21)
Рассмотрим случай растяжения в направлении, которому соответствуют граничные условия жёсткого закрепления. После замен 𝜇2 = 𝐷/𝑎2 𝑇 и Λ = 𝜌ℎ𝜔 2 𝑎2 в уравнении (16) получаем
(︂ (︁
)︂ (︁
𝜋𝑚𝑎 )︁2 𝑇 𝑎2
𝜋𝑚𝑎 )︁4 𝜌ℎ𝜔 2 𝑎4
𝜆𝐼𝑉 − 𝜆2 2
+
+
−
= 0.
𝑏
𝐷
𝑏
𝐷
Далее, поступая также как и выше в этом разделе, получаем
Λ = 𝜋 2 𝑛2 + 4𝜇𝜋 2 𝑛2 .
2.5
(22)
Сравнение результатов при числе волн n=1 и n=5, m=1 и m=5
В таблицах №3,4 и на рис.4,5 приведены частоты, полученные численно, методом динамического краевого эффекта и методом Вишика и Люстерника, для разных 𝜇 при 𝑛 = 1 и 𝑛 = 5. Λчисл — безразмерная
частота, полученная при решении системы уравнений (18), ΛВиЛ — частота, полученная при решении
уравнения (21), ΛДКЭ — частота, полученная при решении уравнения (19). Λ = 𝜌𝑆𝜔 2 𝑙2 /𝑇, 𝜇2 = 𝐸𝐽/𝑙2 𝑇 .
Результаты приведены для квадратной пластинки, т.е. 𝑎/𝑏 = 1, число волн по оси 𝑦 равно 1, т.е. 𝑚 = 1.
Результаты для 𝑚 = 5 представлены в таблицах №5,6 и на рис.6,7.
Таблица 3. Сравнение результатов при n=1, m=1
𝜇
𝜀
Λчисл
ΛВиЛ
ΛДКЭ
0.005
200
19.949
19.937
32.102
0.00625
160
20.006
19.986
32.117
0.01
100
20.186
20.134
32.179
0.02
50
20.741
20.529
32.488
0.04
25
22.208
21.318
33.562
0.1
10
29.9
23.687
42.365
0.125
8
34.728
24.674
48.153
0.1485
6.73415
40.183
25.602
54.764
0.4
2.5
155.984
35.531
196.698
Видно, что при 𝑛 = 1 и 𝜇 = 0.1485 погрешности, и решения, построенного по первому приближению
метода Вишика и Люстерника, и решения, построенного по методу динамического краевого эффекта,
равны 36.3%.
20
Рис. 4: Сравнение Λчисл , ΛВиЛ1 , ΛВиЛ2 и ΛДКЭ при 𝑛 = 1, 𝜇 = 0...0.3, 𝑎/𝑏 = 1, 𝑚 = 1
Таблица 4. Сравнение результатов при n=5, m=1
𝜇
𝜀
Λчисл
ΛВиЛ
ΛДКЭ
0.005
200
263.303
261.545
310.803
0.008
125
269.064
264.505
314.513
0.01
100
273.662
266.479
317.938
0.02289
43.68891
318.732
279.2
358.263
0.04
25
423.03
296.088
460.627
0.05
20
508.699
305.958
546.24
0.0625
16
641.967
318.295
680.011
Рис. 5: Сравнение Λчисл , ΛВиЛ1 , ΛВиЛ2 и ΛДКЭ при 𝑛 = 5, 𝜇 = 0...0.06, 𝑎/𝑏 = 1, 𝑚 = 1
При 𝑛 = 5 и 𝜇 = 0.02289 погрешности, и решения, построенного по первому приближению метода
Вишика и Люстерника, и решения, построенного по методу динамического краевого эффекта, равны
12.4%.
Можно заметить, что для случая растяжения в обоих направлениях при фиксированном 𝑚 = 1 и при
увеличении числа 𝑛 было получено уменьшение области применимости метода Вишика и Люстерника
и увеличение - метода динамического краевого эффекта, также как при растяжении стержней.
21
Таблица 5. Сравнение результатов при n=1, m=5
𝜇
𝜀
Λчисл
ΛВиЛ
ΛДКЭ
0.005
200
258.457
256.807
270.755
0.00625
160
259.436
256.856
271.772
0.01
100
263.611
257.004
276.18
0.014
71.2924
270.171
257.163
283.178
0.02
50
283.866
257.399
297.88
0.04
25
364.308
258.189
384.678
0.1
10
926.233
260.558
992.27
0.125
8
1302.451
261.545
1399.14
Рис. 6: Сравнение Λчисл , ΛВиЛ1 , ΛВиЛ2 и ΛДКЭ при 𝑛 = 1, 𝜇 = 0...0.3, 𝑎/𝑏 = 1, 𝑚 = 5
Видно, что при 𝑛 = 1, 𝑚 = 5 и 𝜇 = 0.014 погрешности, и решения, построенного по первому приближению метода Вишика и Люстерника, и решения, построенного по методу динамического краевого
эффекта, равны 4.8%.
Таблица 6. Сравнение результатов при n=5, m=5
𝜇
𝜀
Λчисл
ΛВиЛ
ΛДКЭ
0.005
200
504.644
498.415
552.729
0.008
125
517.422
501.376
564.326
0.01
100
528.524
503.35
575.03
0.0135
73.8371
553.341
506.847
599.836
0.04
25
953.7
532.959
1021.051
0.05
20
1205.779
542.828
1288.663
0.0625
16
1599.262
555.165
1706.809
При 𝑛 = 5, 𝑚 = 5 и 𝜇 = 0.0135 погрешности, и решения, построенного по первому приближению
метода Вишика и Люстерника, и решения, построенного по методу динамического краевого эффекта,
равны 8.4%.
Можно заметить, что для случая растяжения в обоих направлениях при фиксированном 𝑚 и при
увеличении числа 𝑛 получено уменьшение области применимости метода Вишика и Люстерника и
22
Рис. 7: Сравнение Λчисл , ΛВиЛ1 , ΛВиЛ2 и ΛДКЭ при 𝑛 = 5, 𝜇 = 0...0.06, 𝑎/𝑏 = 1, 𝑚 = 5
увеличение - метода динамического краевого эффекта. Тоже самое и для фиксированного 𝑛 и при
увеличении числа 𝑛. Но если зафиксированное число 𝑚 достаточно большое, то при увеличении числа 𝑛
изменение того или иного метода будет незначительным. Если же зафиксированное число 𝑛 достаточно
большое, то при увеличении числа 𝑚 изменение того или иного метода будет на много больше, чем
при случае, описанном в предыдущем предложении.
Случаю растяжения в направлении, которому соответствуют граничные условия жёсткого закрепления, соответствуют в тех же обозначениях таблицы №7,8 и графики 10,11.
Таблица 7. Сравнение результатов при n=1, m=1
𝜇
𝜀
Λчисл
ΛВиЛ
ΛДКЭ
0.005
200
10.08
10.067
22.232
0.00625
160
10.136
10.116
22.247
0.01
100
10.316
10.264
22.309
0.02
50
10.872
10.659
22.618
0.04
25
12.338
11.449
23.853
0.1
10
20.031
13.817
32.495
0.125
8
24.858
14.804
38.283
0.1485
6.73415
30.313
15.732
44.895
0.4
2.5
146.115
25.661
186.828
Видно, что при 𝑛 = 1, 𝑚 = 1 и 𝜇 = 0.1485 погрешности, и решения, построенного по первому приближению метода Вишика и Люстерника, и решения, построенного по методу динамического краевого
эффекта, равны 48.1%.
23
Рис. 8: Сравнение Λчисл , ΛВиЛ1 , ΛВиЛ2 и ΛДКЭ при 𝑛 = 1, 𝜇 = 0...0.3, 𝑎/𝑏 = 1, 𝑚 = 1
Таблица 8. Сравнение результатов при n=5, m=1
𝜇
𝜀
Λчисл
ΛВиЛ
ΛДКЭ
0.005
200
253.433
251.675
300.934
0.008
125
259.194
254.636
304.644
0.01
100
263.792
256.61
308.068
0.02289
43.68891
308.862
269.331
348.393
0.04
25
413.16
286.219
450.757
0.05
20
498.829
296.088
536.371
0.0625
16
632.097
308.425
670.141
Рис. 9: Сравнение Λчисл , ΛВиЛ1 , ΛВиЛ2 и ΛДКЭ при 𝑛 = 5, 𝜇 = 0...0.06, 𝑎/𝑏 = 1, 𝑚 = 1
При 𝑛 = 5, 𝑚 = 1 и 𝜇 = 0.0229 погрешности, и решения, построенного по первому приближению
метода Вишика и Люстерника, и решения, построенного по методу динамического краевого эффекта,
равны 12, 8%.
Можно заметить, что для случая растяжения в обоих направлениях при фиксированном 𝑚 = 1 и
при увеличении числа 𝑛 было получено уменьшение области применимости метода Вишика и Люстерника и увеличение - метода динамического краевого эффекта, также как при растяжении стержней.
Для случаев растяжения в обоих направлениях и растяжения в направлении, которому соответству24
ют граничные условия жёсткого закрепления, области применимости обоих методов не меняются при
различных параметрах 𝑛 и фиксированном 𝑚 = 1.
Результаты для 𝑚 = 5 представлены в таблицах №9,10 и на рис.10,11.
Таблица 9. Сравнение результатов при n=1, m=5
𝜇
𝜀
Λчисл
ΛВиЛ
ΛДКЭ
0.005
200
11.717
10.067
24.015
0.00625
160
12.696
10.116
25.032
0.01
100
16.871
10.264
29.44
0.014
71.2924
23.43
10.423
36.438
0.02
50
37.126
10.659
51.14
0.04
25
117.568
11.449
137.938
0.1
10
679.493
13.817
745.53
0.125
8
1055.71
14.804
1152.4
Рис. 10: Сравнение Λчисл , ΛВиЛ1 , ΛВиЛ2 и ΛДКЭ при 𝑛 = 1, 𝜇 = 0...0.3, 𝑎/𝑏 = 1, 𝑚 = 5
Видно, что при 𝑛 = 1, 𝑚 = 5 и 𝜇 = 0.014 погрешности, и решения, построенного по первому приближению метода Вишика и Люстерника, и решения, построенного по методу динамического краевого
эффекта, равны 55.5%.
Таблица 10. Сравнение результатов при n=5, m=5
𝜇
𝜀
Λчисл
ΛВиЛ
ΛДКЭ
0.005
200
257.904
251.675
305.989
0.008
125
270.682
254.636
317.586
0.01
100
281.784
256.61
328.29
0.0135
73.837
306.601
260.107
353.095
0.04
25
706.96
286.219
774.311
0.05
20
959.039
296.088
1041.924
0.0625
16
1352.522
308.425
1460.069
При 𝑛 = 5, 𝑚 = 5 и 𝜇 = 0.0135 погрешности, и решения, построенного по первому приближению
метода Вишика и Люстерника, и решения, построенного по методу динамического краевого эффекта,
равны 15.16%.
25
Рис. 11: Сравнение Λчисл , ΛВиЛ1 , ΛВиЛ2 и ΛДКЭ при 𝑛 = 5, 𝜇 = 0...0.06, 𝑎/𝑏 = 1, 𝑚 = 5
Для случаев растяжения в обоих направлениях и растяжения в направлении, которому соответствуют граничные условия жёсткого закрепления, области применимости обоих методов не меняются при
различных параметрах 𝑛 и фиксированном 𝑚 = 5. Так как тоже самое было получено при 𝑚 = 1, то
можно сделать вывод, что области применимости того или иного метода совпадают в двух этих случаях
при различных параметрах 𝑛 и 𝑚. Следовательно, все выводы, справедливые для случая растяжения
в обоих направлениях справедливы и для случая растяжения в направлении, которому соответствуют
граничные условия жёсткого закрепления.
2.6
Заключение
Рассмотрены задача о колебаниях растянутой пластинки в обоих направлениях при граничных условиях шарнирного опирания по 2-м противоположным краям и жёсткого закрепления по двум другим
краям. Также рассмотрена задача о колебаниях растянутой пластинки в направлении, которому соответствуют граничные условия жёсткого закрепления. Для данных задач сравниваются
1) численное решение,
2) решение по первому приближению метода Вишика и Люстерника,
3) решение по методу динамического краевого эффекта.
Проведена оценка области применимости первого приближения метода Вишика и Люстерника и
метода динамического краевого эффекта.
При 𝑛 = 1, 𝑚 = 1 и 𝜇 ≤ 0.1485 решение, построенное по первому приближению метода Вишика и
Люстерника, ближе к точному решению, а при 𝜇 > 0.1485 более точным является решение по методу
динамического краевого эффекта. Вблизи точки 𝜇 = 0.1485 погрешности как решения, полученного по
методу Вишика и Люстерника, так и решения полученного методом динамического краевого эффекта,
равны 36.3%.
При 𝑛 = 5, 𝑚 = 1 и 𝜇 ≤ 0.02289 более точным является решение по первому приближению метода
Вишика и Люстерника, а при 𝜇 > 0.02289 — решение по методу динамического краевого эффекта.
Вблизи точки 𝜇 = 0.02289 погрешности как решения, полученного по методу Вишика и Люстерника,
26
так и решения, полученного методом динамического краевого эффекта, равны 12.4%.
При 𝑛 = 1, 𝑚 = 5 и 𝜇 ≤ 0.014 решение, построенное по первому приближению метода Вишика и
Люстерника, ближе к точному решению, а при 𝜇 > 0.014 более точным является решение по методу
динамического краевого эффекта. Вблизи точки 𝜇 = 0.014 погрешности как решения, полученного по
методу Вишика и Люстерника, так и решения полученного методом динамического краевого эффекта,
равны 4.8%.
При 𝑛 = 5, 𝑚 = 5 и 𝜇 ≤ 0.0135 более точным является решение по первому приближению метода
Вишика и Люстерника, а при 𝜇 > 0.0135 — решение по методу динамического краевого эффекта.
Вблизи точки 𝜇 = 0.0135 погрешности как решения, полученного по методу Вишика и Люстерника,
так и решения, полученного методом динамического краевого эффекта, равны 8.4%.
Можно заметить, что первое приближение метода Вишика и Люстерника для пластин в случае
растяжения в обоих направлениях при 𝑚 = 1 работает хуже, чем первое приближение метода Вишика
и Люстерника для стержней.
Было показано, что области применимости того или иного метода в случае растяжения в направлении, которому соответствуют граничные условия жёсткого закрепления, достаточно близки к областям
применимости для случая растяжения в обоих направлениях. Тогда выводы, справедливые для случая
растяжения в обоих направлениях справедливы и для случая растяжения в направлении, которому
соответствуют граничные условия жёсткого закрепления.
Список литературы
[1] Бидерман В. Л. Теория Механических колебаний, М., «Высшая школа», 1980, 408.
[2] Болотин В.В. Асимптотический метод в теории колебаний упругих пластин и оболочек, Тр. конф. по
теории пластин и оболочек 1961, выпуск 1, 21-25
[3] Болотин В.В. Динамический краевой эффект при колебаниях пластинок. Инж. сборн., т.31, Изд. АН
СССР, 1960.
[4] Болотин В.В. Краевой эффект при колебаниях упругих оболочек. Прикл. матем. мех., т.24, №5 Изд. АН
СССР, 1960.
[5] Кудрявцев Е.П. О влиянии сдвигов и инерции вращения на изгибные колебания упругих стержней. Известия АН СССР, ОТН, Мехатроника и машиностроение, №5, 1960.
[6] Образцов И.Ф., Нерубайло Б.В., Андрианов И.В. Асимптотические методы в строительной механике тонкостенных конструкций, М. Машиностроение, 1991, 429.
[7] Бауэр С.М., Смирнов А.Л.,Товстик П.Е., Филиппов С.Б. Ассимптотические методы в механике твёрдого
тела, М.-И.: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований 2007.
360
27
Отзывы:
Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв