Анализ колебаний  растянутых стержней и прямоугольных пластин численным и асимптотическими методами

Бабин Александр Константинович

Анализ колебаний растянутых стержней и прямоугольных пластин численным и асимптотическими методами

Рассматривается задача о колебании растянутого жесткозаделанного стержня и задача о колебании растянутой в обоих направлениях пластины с граничными условиями жёсткой заделки по двум противоположным краям и шарнирного опирания по двум другим краям. Для данных задач при числе волн равном 1 и 5 получено численное решение, решение по первому и по второму для стержней приближению метода Вишика и Люстерника и решение по методу динамического краевого эффекта. На основе полученных данных проводится оценка области применимости первого и второго приближения метода Вишика и Люстерника и метода динамического краевого эффекта. Для большего числа волн получено уменьшение области применимости метода Вишика и Люстерника, и увеличение области применимости метода динамического краевого эффекта.

Математика

Диссертации

Вуз: Санкт-Петербургский государственный университет (СПбГУ)

ID: 587d36825f1be77c40d59116

UUID: 37d8310c-18bb-41a7-a3ed-b862afb10651

Язык: Русский

Опубликовано: почти 8 лет назад

Просмотры: 7

Бабин Александр Константинович

Источник: Санкт-Петербургский государственный университет

Комментировать 0

Рецензировать 0

Скачать - 427987 bytes

Поделиться работой

Правительство Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет» Кафедра теоретической и прикладной механики Бабин Александр Константинович Анализ колебаний стержней и прямоугольных пластин численным и асимптотическими методами Магистерская диссертация Допущен к защите. Зав. кафедрой: проф, д.ф.-м.н. Товстик П.Е. Научный руководитель: проф, д.ф.-м.н. Бауэр С.М. Рецензент: д.ф.-м.н. Абрамян А.К. Санкт-Петербург 2016

SAINT-PETERSBURG STATE UNIVERSITY Department of theoretical and applied mechanics Aleksandr Babin Analysis of vibrations of stretched beams and rectangular plates by numerical and asymptotic methods Master’s Thesis Admitted for defence. Head of the chair doctor of sciences P. Tovstik Scientific supervisor: prof, doctor of sciences S. Bauer Reviewer: doctor of sciences A. Abramian Saint-Petersburg 2016

Содержание 1 Колебания растянутого жёстко закреплённого стержня 4 1.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Численное решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Метод динамического краевого эффекта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Решение задачи по методу Вишика и Люстерника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Сравнение результатов при числе волн n=1 и n=5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6 Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Колебания растянутой прямоугольной пластинки 14 2.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Численное решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3 Метод динамического краевого эффекта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4 Решение задачи по методу Вишика и Люстерника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.5 Сравнение результатов при числе волн n=1 и n=5, m=1 и m=5 . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.6 Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3

1 Колебания растянутого жёстко закреплённого стержня 1.1 Постановка задачи Рассматривается задача о колебании растянутого жестко закреплённого стержня. На основе этой задачи, имеющей известное численное решение, проводится оценка области применимости асимптотических методов Вишика и Люстерника и динамического краевого эффекта. Уравнение колебаний стержня имеет вид [1]: 𝜕2 𝜕2𝑤 𝜕2𝑤 𝜕2𝑤 (𝐸𝐽 ) + 𝜌𝑆 − 𝑇 = 0. 𝜕𝑥2 𝜕𝑥2 𝜕𝑡2 𝜕𝑥2 Здесь 𝐸 — модуль упругости стержня, 𝐽 — момент инерции сечения, 𝐸𝐽 — жёсткость на изгиб, 𝜌 — плотность материала, 𝑆 — площадь поперечного сечения, 𝑇 — сила натяжения, 𝑤 — нормальный прогиб. Решение линейной задачи можно искать в виде: 𝑤(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥) sin 𝜔𝑡. Для однородного стержня постоянного сечения можно разделить переменные и получить уравнение для функции 𝑋(𝑥): 𝐸𝐽𝑋 𝐼𝑉 − 𝜔 2 𝜌𝑆𝑋 − 𝑇 𝑋 ′′ = 0. (1) Граничные условия имеют вид: 𝑋(0) = 𝑋(𝑙) = 𝑋 ′ (0) = 𝑋 ′ (𝑙) = 0, где 𝑙 — длина стержня. Примем 𝑥 ¯ = 𝑥/𝑙, и перейдем к безразмерному виду. В дальнейшем изложении будем использовать обозначение 𝑥 вместо безразмерной переменной 𝑥 ¯. В этом случае краевая задача для жёстко закреплённого стержня имеет вид: ⎧ ⎨ 𝐸𝐽𝑋 𝐼𝑉 − 𝜔 2 𝜌𝑆𝑙4 𝑋 − 𝑇 𝑙2 𝑋 ′′ = 0. ⎩ 1.2 𝑋(0) = 𝑋(1) = 𝑋 ′ (0) = 𝑋 ′ (1) = 0. Численное решение Характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (1) имеет вид 𝜆4 − 𝜆2 (︂ 𝑇 𝑙2 𝐸𝐽 )︂ − 𝜌ℎ𝜔 2 𝑙4 = 0. 𝐸𝐽 Корни характеристического уравнения 𝑇 𝑙2 /𝐸𝐽 + √︀ 𝑇 2 𝑙4 /(𝐸𝐽)2 + 4𝜌ℎ𝜔 2 𝑙4 /𝐸𝐽 , 2 √︀ 𝑇 𝑙2 /𝐸𝐽 − 𝑇 2 𝑙4 /(𝐸𝐽)2 + 4𝜌ℎ𝜔 2 𝑙4 /𝐸𝐽 −𝜆22 = . 2 𝜆21 = Решение может быть представлено в виде 4

𝑋(𝑥) = 𝐶1 sin 𝜆2 𝑥 + 𝐶2 cos 𝜆2 𝑥 + 𝐶3 ch 𝜆1 𝑥 + 𝐶4 sh 𝜆1 𝑥, Константы могут быть определены из граничных условий 𝑋(0) = 0 =⇒ 𝐶2 + 𝐶3 = 0 =⇒ 𝐶3 = −𝐶2 . 𝑋 ′ (0) = 0 =⇒ 𝜆2 𝐶1 + 𝜆1 𝐶4 = 0 =⇒ 𝐶4 = −𝐶1 𝜆2 . 𝜆1 𝑋(1) = 0 =⇒ 𝐶1 sin 𝜆2 + 𝐶2 cos 𝜆2 − 𝐶2 ch 𝜆1 + 𝐶4 sh 𝜆1 = 0. 𝑋 ′ (1) = 0 =⇒ 𝜆2 𝐶1 cos 𝜆2 − 𝜆2 𝐶2 sin 𝜆2 − 𝜆1 𝐶2 sh 𝜆1 − 𝜆1 𝐶1 𝜆2 ch 𝜆1 = 0. 𝜆1 Тогда (︂ 𝐶2 = 𝐶1 )︂ 𝜆2 sh 𝜆1 − sin 𝜆2 / (cos 𝜆2 − ch 𝜆1 ) 𝜆1 И для существования нетривиального решения необходимо, чтобы (︀ )︀ 2𝜆2 𝜆1 (1 − ch 𝜆1 cos 𝜆2 ) + sh 𝜆1 sin 𝜆2 𝜆21 − 𝜆22 = 0. Таким образом, частоты колебаний растянутого жёстко закреплённого стержня определяется из следующего уравнения ⎧ 2 √︀ 𝑇 𝑙2 2𝑙 𝜔 ⎪ ⎪ √ 𝜌𝑆 (1 − cos 𝜆 ch𝜆 ) + sh𝜆1 sin 𝜆2 = 0, ⎪ 2 1 ⎪ 𝐸𝐽 ⎪ 𝐸𝐽 ⎪ ⎪ [︃ ]︃ √︂ ⎪ ⎪ ⎨ 2 𝑙2 𝑇 4𝜔 2 𝜌𝑆𝐸𝐽 𝜆1 = 1+ 1+ , 2𝐸𝐽 𝑇2 ⎪ ⎪ ⎪ [︃ ]︃ √︂ ⎪ ⎪ ⎪ 𝑙2 𝑇 4𝜔 2 𝜌𝑆𝐸𝐽 ⎪ 2 ⎪ ⎪ . ⎩ 𝜆2 = 2𝐸𝐽 −1 + 1 + 𝑇2 (2) Рассмотрим два случая: когда отношение 𝐸𝐽/𝑙2 𝑇 меньше и больше 1. Введём 2 безразмерных параметра 𝜇 и 𝜀, каждый из которых меняется в промежутке [0, 1]: 𝜇2 = 𝐸𝐽/𝑙2 𝑇 , 𝜀 = 1/𝜇. Обозначим Λ = 𝜌𝑆𝜔 2 𝑙2 /𝑇 , тогда уравнение (2) можно переписать в следующем виде ⎧ √ 1 ⎪ ⎪ 2 Λ (1 − cos 𝜆2 ch𝜆1 ) + sh𝜆1 sin 𝜆2 = 0, ⎪ ⎪ 𝜇 ⎪ ⎪ ⎨ ]︁ √︀ 1 [︁ 2 , 𝜆21 = 1 + 1 + 4Λ𝜇 ⎪ 2𝜇2 ⎪ ⎪ ]︁ ⎪ √︀ ⎪ 2 1 [︁ ⎪ ⎩ 𝜆2 = −1 + 1 + 4Λ𝜇2 . 2 2𝜇 Для 𝜀2 = 𝑙2 𝑇 /𝐸𝐽, при 𝐴 = 𝜌𝑆𝜔 2 𝑙4 /𝐸𝐽, получим ⎧ √ ⎪ 2 𝐴 (1 − cos 𝜆2 ch𝜆1 ) + 𝜀2 sh𝜆1 sin 𝜆2 = 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ [︃ ]︃ √︂ ⎪ ⎪ ⎪ 𝜀2 4𝐴 ⎨ 2 𝜆1 = 1+ 1+ 4 , 2 𝜀 ⎪ ⎪ [︃ ]︃ √︂ ⎪ ⎪ ⎪ 𝜀2 4𝐴 ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎩ 𝜆2 = 2 −1 + 1 + 𝜀4 . Частоты колебаний могут быть найдены при численном решении уравнений (3) и (4). 5 (3) (4)

1.3 Метод динамического краевого эффекта Метод динамического краевого эффекта был разработан В.В. Болотиным [2, 3, 4, 5]. Предполагается, что решается уравнение, в котором все члены имеют одинаковый асимптотический порядок. Рассмотрим сначала упрощённую постановку задачи, т.е. уравнение (1) при 𝑇 = 0 [6]. 𝑋 𝐼𝑉 − 𝑎2 𝜔 2 𝑋 = 0, здесь 𝑎2 = (5) 𝑆𝜌𝑙4 𝐸𝐽 . Известно, что задача для шарнирно опёртого стержня имеет точное решение 𝑋𝑛 (𝑥) = sin 𝜋𝑛𝑥. В этом случае безразмерная длина волны, соответствующая 𝑛-ой форме колебаний, составляет 1/𝑛. Естественно предположить, что вдали от границ при колебаниях форма прогиба для жестко опёртого стержня будет мало отличаться от формы прогиба шарнирно опёртого стержня, поэтому будем искать решение задачи о колебаниях жестко закрепленного стержня (5) в виде 𝑋 = 𝑋1 + 𝑋2 , где 𝑑2 𝑋2 − 𝑎𝜔𝑋2 = 0 𝑑𝑥2 𝑑2 𝑋1 + 𝑎𝜔𝑋1 = 0 𝑑𝑥2 При этом функция 𝑋1 описывает основные колебания (︂ 𝑎𝜔 = 𝜋 𝜆𝑥 )︂2 , 𝑋1 (𝑥) = sin 𝜋(𝑥 − 𝑥0 ) . 𝜆𝑥 Здесь 𝑥0 — неизвестный сдвиг по фазе, 𝜆𝑥 — длина волны. Уравнение 𝑑2 𝑋2 − 𝑑𝑥2 (︂ 𝜋 𝜆𝑥 )︂2 𝑋2 = 0, используем для построения интегралов краевого эффекта: 𝜋𝑥 𝑋2 = 𝐶1 𝑒− 𝜆𝑥 + 𝐶2 𝑒− 𝜋(𝑥−𝑙) 𝜆𝑥 , Граничные условия позволяют определить неизвестные константы. При 𝑥 = 0 𝑋1 (0) + 𝑋2 (0) = 𝑋1′ (0) + 𝑋2′ (0) = 0, то есть (︂ 𝐶1 − sin 𝜋𝑥0 𝜆𝑥 )︂ (︂ 𝐶1 − cos = 0, 𝜋𝑥0 𝜆𝑥 )︂ = 0, а при 𝑥 = 1 𝑋1 (1) + 𝑋2 (1) = 𝑋1′ (1) + 𝑋2′ (1) = 0, то есть (︂ 𝐶2 + sin 𝜋(1 − 𝑥0 ) 𝜆𝑥 )︂ (︂ = 0, 𝐶2 + cos 𝜋(1 − 𝑥0 ) 𝜆𝑥 Получаем 4 уравнения относительно 4 неизвестных: 𝜆𝑥 , 𝑥0 , 𝐶1 , 𝐶2 . 6 )︂ = 0.

Из первых двух уравнений имеем: (︂ tg 𝜋 𝜋𝑥0 = + 𝜋𝑘, 𝜆𝑥 4 𝜋𝑥0 𝜆𝑥 )︂ =1 (︂ или 𝑥0 = 𝜆𝑥 )︂ 1 +𝑘 ; 4 Аналогично из граничных условий на правом конце стержня: 𝜋(1 − 𝑥0 ) 𝜋 = + 𝜋𝑛; 𝜆𝑥 4 1 1 1 − − 𝑛 = + 𝑘; 𝜆𝑥 4 4 или 𝜆𝑥 = 1 , 1/2 + 𝑚 где 𝑚 = 𝑘 + 𝑛. Таким образом, частоты колебаний может быть определены из равенства 2 𝜔𝑛 = 𝜋 2 (𝑛 + 1/2) . 𝑎𝑙2 Теперь пусть 𝑇 ̸= 0, в этом случае уравнение (1) принимает вид 𝑋 𝐼𝑉 − 𝜀2 𝑋 ′′ − 𝑎2 𝜔 2 𝑋 = 0, Соответствующее характеристическое уравнение в этом случае имеет корни √︂ 𝜀2 𝜀4 2 𝜆 = ± + 𝑎2 𝜔 2 . 2 4 а частоты колебаний шарнирно опёртого стержня имеют вид 𝜔𝑛2 (︂ )︂ 𝑇 𝐸𝐽 𝜋 2 𝑛2 𝐸𝐽𝜋 4 𝑛4 𝑇 𝑙2 2 𝐸𝐽 𝜋 4 𝑛4 + = · 1+ 𝑙 . = 𝜌𝑆 𝑙4 𝐸𝐽 𝜌𝑆 𝑙2 𝜌𝑆𝑙4 𝐸𝐽𝑛2 Форма колебаний в этом случае имеет вид 𝑋 = sin 𝜆𝑥, 𝜆 = 𝜋𝑛. В случае жестко опёртого стержня основное решение ищем, как и раньше, в виде 𝑋 = 𝑋1 + 𝑋2 𝑋1 = sin 𝜋(𝑥 − 𝑥0 ) . 𝜆𝑥 Пусть 𝜆21 > 0, а 𝜆22 < 0, тогда 𝑑2 𝑋2 + 𝜆22 𝑋2 = 0. 𝑑𝑥2 𝑑2 𝑋1 + 𝜆21 𝑋1 = 0, 𝑑𝑥2 Используя замену Λ̄2 = −𝜆2 , получаем выражение для интегралов краевого эффекта 𝑋2 в виде 𝑋2 = 𝐶1 𝑒−Λ̄𝑥 + 𝐶2 𝑒Λ̄(𝑥−1) , √︂ (︂ )︂2 (︂ )︂2 𝜋 𝜀2 𝜀2 𝜋 2 𝜆1 = , + + 𝑎2 𝜔𝑛2 = , 𝜆𝑥 2 4 𝜆𝑥 или 2 𝑎 𝜔𝑛2 (︂ = 𝜋 𝜆𝑥 )︂4 −𝜀 2 (︂ 𝜋 𝜆𝑥 )︂2 ¯ 𝑥 , 𝐶1 , 𝐶2 , 𝑥0 найдём из граничных условий. Выражения для 𝜆 7 .

На левом краю 𝑋(0) = 𝐶1 − sin 𝜋𝑥0 = 0, 𝜆𝑥 𝑋 ′ (0) = −𝐶1 Λ̄ + 𝜋 𝜋𝑥0 cos = 0, 𝜆𝑥 𝜆𝑥 и таким образом, 𝜋𝑥0 𝜋 1 = · , 𝜆𝑥 𝜆𝑥 Λ̄ tg а из условий справа 𝐶2 − sin 𝜋(1 − 𝑥0 ) 𝜋 𝜋(1 − 𝑥0 ) = 0 𝐶2 Λ̄ − cos = 0, 𝜆𝑥 𝜆𝑥 𝜆𝑥 Таким образом, для безразмерной длины волны 𝜆𝑥 и сдвига по фазе 𝑥0 имеем 2 уравнения: 𝜋 1 𝜋𝑥0 = · , 𝜆𝑥 𝜆𝑥 Λ̄ (6) 𝜋 1 𝜋(1 − 𝑥0 ) = · . 𝜆𝑥 𝜆𝑥 Λ̄ (7) tg tg Из уравнений (6) и (7) можно получить 𝑥0 1 − 𝑥0 = + 𝑘 ⇒ 1 − 2𝑥0 = 𝑘𝜆𝑥 , 𝜆𝑥 𝜆𝑥 и 𝜋𝑥0 tg = 𝜆𝑥 (︀ (︃√︂ 𝜀2 𝜆2 1 + 2𝑥 𝜋 )︃−1 ≈1− 𝜀2 𝜆2𝑥 . 𝜋2 При увеличении числа волн длина волны колебаний становится малой величиной, поэтому )︀ 𝜀2 𝜆2𝑥 /𝜋 2 ≪ 1 и приведённое выше уравнение можно решать асимптотическим методом [7]. В нулевом приближении 𝜋𝑥0 𝑥0 𝜋 1 = + 𝜋𝑚 =⇒ = + 𝑚. 𝜆𝑥 4 𝜆𝑥 4 Если представить 𝜋𝑥0 /𝜆𝑥 в виде 𝜋𝑥0 /𝜆𝑥 = 𝜋/4 + 𝛿, то тогда можно получить, что 𝛿 = −𝜀2 𝜆2𝑥 /2𝜋 2 . Для частоты стержня в этом случае имеем 𝜔𝑛2 = 𝜋 4 𝐸𝐽 𝜌𝑙4 (︂ 1 +𝑛 2 )︂4 + 𝜋2 𝑇 𝐸𝐽 (︂ 1 +𝑛 2 )︂2 . Для уравнения −𝜇2 𝑋 𝐼𝑉 + 𝑋 ′′ + Λ𝑋 = 0, получаем решение Λ = 𝜇2 1.4 (︁ 𝜋 2 + 𝜋𝑛 )︁4 + (︁ 𝜋 2 )︁2 + 𝜋𝑛 . (8) Решение задачи по методу Вишика и Люстерника Метод Вишика и Люстерника помогает определять собственные значения и функции в случае сингулярно-возмущённого дифференциального уравнения. Решение рассматриваемой задачи в первом приближении по методу Вишика и Люстерника представлено в [7]. 8

Рассмотрим краевую задачу 𝐴𝜇 : 𝑛 ∑︁ 𝑘=1 𝑚 𝑑𝑘+𝑚 𝑦 ∑︁ 𝑑𝑘 𝑦 𝜇 𝑎𝑚+𝑘 𝑘+𝑚 + 𝑎𝑘 𝑘 = 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑘 𝑘=0 𝑑𝑙 𝑦 = 𝑞𝑗𝑙 при 𝑥 = 𝑥1 , 𝑥2 𝑗 = 1, 2; 𝑑𝑥𝑙 𝑥 ∈ [𝑥1 , 𝑥2 ], 𝑙 = 0, 1, ..., 𝑚𝑗 + 𝑛𝑗 − 1, 𝑚1 + 𝑚2 = 𝑚, (9) 𝑛1 + 𝑛2 = 𝑛. При 𝜇 = 0 задача 𝐴𝜇 вырождается в задачу 𝐴0 : 𝑚 ∑︁ 𝑎𝑘 𝑘=0 𝑥 ∈ [𝑥1 , 𝑥2 ], 𝑑𝑘 𝑦 = 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥𝑘 𝑑𝑙 𝑦 = 𝑞𝑗𝑙 при 𝑥 = 𝑥1 , 𝑥2 𝑗 = 1, 2; 𝑑𝑥𝑙 𝑙 = 0, 1, ..., 𝑚𝑗 + 𝑛𝑗 − 1, 𝑚1 + 𝑚2 = 𝑚. Дополнительное характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (9), имеет вид 𝑛 ∑︁ 𝑎𝑚+𝑘 𝜆𝑘 = 0. (10) 𝑘=0 Если уравнение (10) имеет 𝑛1 корней с отрицательной вещественной частью и 𝑛2 корней с положительной, то при решении задачи 𝐴0 методом Вишика и Люстерника надо отбросить 𝑛1 граничных условий слева и 𝑛2 справа, а решение задачи 𝐴𝜇 представляется в виде: 𝑦(𝑥, 𝜇) ∼ = 𝑦00 (𝑥, 𝜇) + 𝑍 (1) (𝑥, 𝜇) + 𝑍 (2) (𝑥, 𝜇), где 𝑦00 (𝑥, 𝜇) = ∞ ∑︁ 𝜇𝑘 𝑦𝑘 (𝑥), 𝑘=0 а 𝑍 (1) (𝑥, 𝜇), 𝑍 (2) (𝑥, 𝜇) — интегралы краевого эффекта, причем 𝑍 (𝑗) (𝑥, 𝜇) = 𝜇𝑛𝑗 ∞ ∑︁ (𝑗) 𝜇𝑘 𝑍𝑘 (𝜂𝑗 ), 𝜂𝑗 = (−1)𝑗+1 · 𝑘=0 (1) 𝑥 − 𝑥𝑗 , 𝑗 = 1, 2. 𝜇 (2) 𝑍𝑘 (𝜂1 ) −→ 0 при 𝜂1 −→ ∞, а 𝑍𝑘 (𝜂2 ) −→ 0 при 𝜂2 −→ −∞. В рассматриваемой задаче: −𝜇2 𝑋 𝐼𝑉 + 𝑋 ′′ + Λ𝑋 = 0, 𝑋(0) = 𝑋(1) = 𝑋 ′ (0) = 𝑋 ′ (1) = 0, дополнительное характеристическое уравнение имеет вид −𝜆2 + 1 = 0. Поэтому задача 𝐴0 имеет вид: 𝑑2 𝑋0 + Λ0 𝑋0 = 0, 𝑑𝑥2 𝑋0 (0) = 𝑋0 (1) = 0. √ 𝑋0 = 𝐴 sin Λ 0 = 𝑛2 𝜋 2 , √ Λ𝑥 + 𝐵 cos 𝑋0 = sin 𝑛𝜋𝑥, 9 Λ𝑥. 𝑛 = 1, 2, ... (11)

Решение задачи 𝐴𝜇 можно искать в виде 𝑋(𝑥) = 𝑋0 (𝑥) + (1) 𝜇𝑍0 )︂ (︂ )︂ (︂ 𝑥 1−𝑥 (2) + 𝜇𝑍0 , 𝜇 𝜇 (1)′ (1)′ Граничное условие при 𝑥 = 0 𝑋 ′ (0) = 0, тогда 𝑋0′ (0) + 𝑍0 (0) = 0, т.е. 𝜋𝑛 + 𝑍0 (0) = 0. Подставляя значения производных от 𝑋 в (11), и, приравнивая члены при наименьших степенях 𝜇, получим: 1 (1)′′′′ 1 (1)′′ 𝑍 (𝜂1 ) + 𝑍0 (𝜂1 ) = 0, 𝜇 0 𝜇 где 𝜂1 = 𝑥 . 𝜇 Общее решение этого уравнения имеет вид (1) 𝑍0 (𝜂1 ) = 𝐶1 + 𝐶2 𝜂1 + 𝐶3 𝑒𝜂1 + 𝐶4 𝑒−𝜂1 . Константы 𝐶1 = 𝐶2 = 𝐶3 = 0, так как (1) 𝑍0 (𝜂1 ) −→ 0, при 𝜂1 −→ ∞, Из граничного условия для 𝜂1 = 𝑥/𝜇 получим 𝐶4 = 𝜋𝑛. Аналогично, используя условия для 𝜂2 = (1 − 𝑥)/𝜇, получим: (1) 𝑍0 (𝜂1 ) = 𝜋𝑛𝑒−𝜂1 , (2) 𝑍0 (𝜂2 ) = (−1)𝑛+1 𝜋𝑛𝑒−𝜂2 . Если подставить Λ = Λ0 + 𝜇Λ1 и 𝑋(𝑥) = 𝑋0 (𝑥) + 𝜇𝑋1 (𝑥) в уравнение (11), оставить только члены при 𝜇, то получаем уравнение 𝑑2 𝑋1 + Λ0 𝑋1 = −Λ1 𝑋0 , где 𝑋0 (𝑥) = sin 𝑛𝜋𝑥, Λ0 = 𝑛2 𝜋 2 . 𝑑𝑥2 Решение однородной задачи 𝑋1 одн (𝑥) = 𝐶1 sin 𝜋𝑛𝑥 + 𝐶2 cos 𝜋𝑛𝑥. Частное решение 𝑋1 част (𝑥) = Λ1 𝑥 cos 𝜋𝑛𝑥/2𝜋𝑛. Тогда 𝑋1 (𝑥) = 𝑋1 одн (𝑥) + 𝑋1 част (𝑥). Из граничных условий получаем (1) 𝑋(0) = 0 ⇒ 𝑋1 (0) + 𝑍0 (0) = 0 ⇒ 𝐶2 + 𝜋𝑛 = 0 ⇒ 𝐶2 = −𝜋𝑛. (2) 𝑋(1) = 0 ⇒ 𝑋1 (1) + 𝑍0 (0) = 0 ⇒ (−1)𝑛 𝐶2 + (−1)𝑛 Λ1 − (−1)𝑛 𝜋𝑛 = 0 ⇒ Λ1 = 4𝜋 2 𝑛2 . 2𝜋𝑛 А составляющая 𝑋1 (𝑥) равна 𝑋1 (𝑥) = −𝜋𝑛 cos 𝜋𝑛𝑥 + 2𝜋𝑛𝑥 cos 𝜋𝑛𝑥. Собственное число Λ в первом приближении Λ = 𝑛2 𝜋 2 + 4𝜇𝑛2 𝜋 2 . (12) Собственная функция в нулевом приближении удовлетворяющая всем граничным условиям, имеет вид 𝑋(𝑥) = sin 𝑛𝜋𝑥 + 𝜇 (−𝜋𝑛 cos 𝜋𝑛𝑥 + 2𝜋𝑛𝑥 cos 𝜋𝑛𝑥) + 𝜇𝜋𝑛𝑒−𝜂1 + 𝜇(−1)𝑛+1 𝜋𝑛𝑒−𝜂2 + 𝑂(𝜇2 ). Рассмотрим второе приближение метода Вишика и Люстерника. Решение в этом случае можно искать в виде 𝑋(𝑥) = 𝑋0 (𝑥) + 𝜇𝑋1 (𝑥) + (1) 𝜇𝑍0 (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ 𝑥 1−𝑥 𝑥 1−𝑥 (2) 2 (1) 2 (2) + 𝜇𝑍0 + 𝜇 𝑍1 + 𝜇 𝑍1 , 𝜇 𝜇 𝜇 𝜇 10

(1)′ (1)′ Из граничных условий при 𝑥 = 0 𝑋 ′ (0) = 0, тогда 𝑋1′ (0) + 𝑍1 (0) = 0, т.е. 2𝜋𝑛 + 𝑍0 (0) = 0. Подставляя значения производных от 𝑋 в (11), и, приравнивая члены при наименьших степенях 𝜇, получим: 1 (1)′′′′ 1 (1)′′ 𝑍 (𝜂1 ) + 𝑍1 (𝜂1 ) = 0, 𝜇 1 𝜇 где 𝜂1 = 𝑥 . 𝜇 Общее решение этого уравнения имеет вид (1) 𝑍1 (𝜂1 ) = 𝐶1 + 𝐶2 𝜂1 + 𝐶3 𝑒𝜂1 + 𝐶4 𝑒−𝜂1 . Константы 𝐶1 = 𝐶2 = 𝐶3 = 0, так как (1) 𝑍1 (𝜂1 ) −→ 0, при 𝜂1 −→ ∞, Из граничного условия для 𝜂1 = 𝑥/𝜇 получим 𝐶4 = 2𝜋𝑛. Аналогично, используя условия для 𝜂2 = (1 − 𝑥)/𝜇, получим: (1) 𝑍1 (𝜂1 ) = 2𝜋𝑛𝑒−𝜂1 , (2) 𝑍1 (𝜂2 ) = (−1)𝑛+1 2𝜋𝑛𝑒−𝜂2 . Если представить Λ в виде Λ = Λ0 + 𝜇Λ1 + 𝜇2 Λ2 и 𝑋(𝑥) = 𝑋0 (𝑥) + 𝜇𝑋1 (𝑥) в уравнение (11), оставить только члены при 𝜇2 , то получаем уравнение 𝑑2 𝑋2 𝑑4 𝑋0 + Λ0 𝑋2 = −Λ2 𝑋0 − Λ1 𝑋1 + , 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥4 (13) где 𝑋0 (𝑥) = sin 𝑛𝜋𝑥, Λ0 = 𝑛2 𝜋 2 , 𝑋1 (𝑥) = −𝜋𝑛 cos 𝜋𝑛𝑥 + 2𝜋𝑛𝑥 cos 𝜋𝑛𝑥, Λ1 = 4𝜋 2 𝑛2 . Ищем решение уравнения (13) в виде 𝑋2 (𝑥) = 𝐶1 sin 𝜋𝑛𝑥 + 𝐶2 cos 𝜋𝑛𝑥 + 𝐶3 𝑥2 sin 𝜋𝑛𝑥 + 𝐶4 sin 𝜋𝑛𝑥 + 𝐶5 𝑥 cos 𝜋𝑛𝑥 + 𝐶6 𝑥2 cos 𝜋𝑛𝑥. Подставляя 𝑋2 (𝑥), 𝑋1 (𝑥), 𝑋0 (𝑥), Λ0 , Λ1 в уравнение (13) можно получить 𝐶6 = 0, 𝐶3 = −2𝜋 2 𝑛2 , 𝐶4 = 2𝜋 2 𝑛2 , 𝐶5 = Λ2 𝑝𝑖3 𝑛3 − − 2𝜋𝑛. 2𝜋𝑛 2 Из граничных условий (1) 𝑋(0) = 0 ⇒ 𝑋2 (0) + 𝑍1 (0) = 0 ⇒ 𝐶2 + 2𝜋𝑛 = 0 ⇒ 𝐶2 = −2𝜋𝑛. 𝑋(1) = 0 ⇒ (2) 𝑋2 (1)+𝑍1 (0) 𝑛 = 0 ⇒ (−1) 𝐶2 +(−1) 𝑛 (︂ )︂ Λ2 𝑝𝑖3 𝑛3 − − 2𝜋𝑛 −(−1)𝑛 2𝜋𝑛 = 0 ⇒ Λ2 = 12𝜋 2 𝑛2 +𝜋 4 𝑛4 . 2𝜋𝑛 2 Уравнение для 𝑋2 (𝑥) имеет вид 𝑋2 (𝑥) = 2𝜋 2 𝑛2 (𝑥 − 𝑥2 ) sin 𝜋𝑛𝑥 + 𝜋𝑛(2𝑥 − 1) cos 𝜋𝑛. И собственное число Λ во втором приближении равно (︀ )︀ Λ = 𝑛2 𝜋 2 + 4𝜇𝑛2 𝜋 2 + 𝜇2 12𝑛2 𝜋 2 + 𝑛4 𝜋 4 . 11 (14)

1.5 Сравнение результатов при числе волн n=1 и n=5 В таблицах №1,2 и на рис.1, 2 приведены частоты, полученные численно, методом динамического краевого эффекта и методом Вишика и Люстерника, для разных 𝜇 при 𝑛 = 1 и 𝑛 = 5. Λчисл — безразмерная частота, полученная при решении системы уравнений (3), ΛВиЛ1 — частота, полученная при решении уравнения (12), ΛВиЛ2 — частота, полученная при решении уравнения (14), ΛДКЭ — частота, полученная при решении уравнения (8). Λ = 𝜌𝑆𝜔 2 𝑙2 /𝑇, 𝜇2 = 𝐸𝐽/𝑙2 𝑇 . Таблица 1. Сравнение результатов при n=1 𝜇 𝜀 Λчисл ΛВиЛ1 ΛВиЛ2 ΛДКЭ 0.005 200 10.073 10.067 10.072 22.219 0.00625 160 10.125 10.116 10.125 22.226 0.01 100 10.288 10.264 10.286 22.256 0.02 50 10.752 10.659 10.746 22.404 0.04 25 11.847 11.449 11.794 22.996 0.08 12.5 14.837 13.028 14.409 25.363 0.1 10 16.804 13.818 15.976 27.138 0.125 8 19.759 14.804 18.177 29.912 0.17 5.895 26.485 16.568 22.781 36.402 0.24 4.1075 41.855 19.481 32.274 51.435 0.4 2.5 92.347 25.661 60.196 101.108 Жирным шрифтом выделены строки, в которых погрешность метода динамического краевого эффекта равна погрешности первого и второго приближения метода Вишика и Люстерника. Рис. 1: Сравнение Λчисл , ΛВиЛ1 , ΛВиЛ2 и ΛДКЭ при 𝑛 = 1, 𝜇 = 0...0.3 Если сначала рассматривать только первое приближение решения по методу Вишика и Люстерника, то можно отметить, что при 𝑛 = 1 и 𝜇 < 0.17 ближе к точному это решение, а при 𝜇 > 0.17 более точным является решение по методу динамического краевого эффекта. При 𝜇 = 0.17 погрешности как решения, построенного по первому приближению метода Вишика и Люстерника, и решения, построенного по методу динамического краевого эффекта, равны 37.44%. 12

Если рассматривать второе приближение решения по методу Вишика и Люстерника, то можно отметить, что при 𝑛 = 1 и 𝜇 < 0.24 ближе к точному это решение, а при 𝜇 > 0.24 более точным является решение по методу динамического краевого эффекта. При 𝜇 = 0.17 погрешности как решения, построенного по второму приближению метода Вишика и Люстерника, и решения, построенного по методу динамического краевого эффекта, равны 22.89%. Таблица 2. Сравнение результатов при n=5 𝜇 𝜀 Λчисл ΛВиЛ1 ΛВиЛ2 ΛДКЭ 0.005 200 253.308 251.675 253.271 300.784 0.008 125 258.872 254.636 258.722 304.261 0.01 100 263.286 256.609 262.994 307.469 0.02351 42.535 308.883 269.943 305.23 347.822 0.04 25 404.782 286.219 388.365 441.172 0.05 20 485.679 296.088 455.692 521.394 0.0533 18.75 516.531 299.378 480.969 552.093 0.067 15 659.552 312.537 596.278 694.713 Рис. 2: Сравнение Λчисл , ΛВиЛ1 , ΛВиЛ2 и ΛДКЭ при 𝑛 = 5, 𝜇 = 0...0.06 При 𝑛 = 5 и 𝜇 = 0.02351 погрешности, и решения, построенного по первому приближению метода Вишика и Люстерника, и решения, построенного по методу динамического краевого эффекта равны 12.6%. При 𝑛 = 5 𝜇 = 0.0533 погрешности, и решения, построенного по второму приближению метода Вишика и Люстерника, и решения, построенного по методу динамического краевого эффекта равны 7.9%. Расчёты проводились и для других значений 𝑛. Вводя обозначение 𝐶 = (ΛДКЭ − Λчисл ) /Λчисл , получим отношение относительной погрешности (𝐶) от числа волн (𝑛) при 𝜇 = 0.05 для метода динамического краевого эффекта. График зависимости 𝐶 от 𝑛 представлен на рисунке 3. Видно, что относительная погрешность решения, полученного методом динамического краевого эффекта, как и ожидалось, с ростом числа волн уменьшается. Надо отметить, что все соотношения, представленные в работе, справедливы, если длина волны √︀ существенно больше размеров поперечного сечения, т.е. при 1/𝑛 ≫ 𝑆/𝑙2 . 13

Рис. 3: Зависимость относительной погрешности 𝐶 от числа волн 𝑛 = 1...10 при 𝜇 = 0.05 1.6 Заключение Рассмотрена задача о колебании растянутого жёстко закрепленного стержня. Для данной задачи сравниваются 1) численное решение, 2) решение по первому и второму приближению метода Вишика и Люстерника, 3) решение по методу динамического краевого эффекта. Проведена оценка области применимости первого и второго приближения метода Вишика и Люстерника и метода динамического краевого эффекта. Как и следовало ожидать при малом 𝜇 лучше работает метод Вишика и Люстерника, созданный для решения сингулярно-возмущённых уравнений, но при увеличении 𝜇 метод Вишика и Люстерника работает всё хуже по сравнению с методом динамического краевого эффекта, применяемым обычно для уравнений, в которых все члены имеют одинаковый асимптотический порядок. Преимущество метода Вишика и Люстерника заключается в том, что можно получать в теории сколь угодно точное приближение, но, как было показано выше, сложность получения того или иного приближения значительно повышается. Решение же по методу динамического краевого эффекта не имеет никаких приближений, кроме нулевого, поэтому это решение нельзя улучшить, но чем больше число волн 𝑛, тем в более широком диапазоне параметров более точным является решение, полученное по методу динамического краевого эффекта. 2 Колебания растянутой прямоугольной пластинки 2.1 Постановка задачи Рассматривается задача о колебании растянутой в обоих направлениях прямоугольной пластинки. Рассматриваются граничные условия шарнирного опирания по двум противоположным краям и жёсткого закрепления по двум другим. На основе этой задачи проводится оценка области применимости асимптотических методов Вишика и Люстерника и динамического краевого эффекта. 14

Уравнение колебаний пластинки имеет вид 𝐷∆2 𝑊 − 𝑇 ∆𝑊 − 𝜌ℎ𝜔 2 𝑊 = 0. Граничные условия ⎧ 𝜕𝑊 𝜕𝑊 ⎪ ⎪ (0, 𝑦) = (𝑎, 𝑦) = 0, ⎨ 𝑊 (0, 𝑦) = 𝑊 (𝑎, 𝑦) = 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕2𝑊 𝜕2𝑊 ⎪ ⎪ ⎩ 𝑊 (𝑥, 0) = 𝑊 (𝑥, 𝑏) = (𝑥, 0) = (𝑥, 𝑏) = 0. 𝜕𝑦 2 𝜕𝑦 2 Решение будем искать в виде: 𝑥 𝜋𝑚𝑦 𝑊 = 𝑋( ) sin . 𝑎 𝑏 Для пластинки можно разделить переменные и получить уравнение для 𝑋(𝑥/𝑎): (︂ (︁ )︂ (︂(︁ )︂ 𝜋𝑚𝑎 )︁2 𝑇 𝑎2 𝜋𝑚𝑎 )︁4 𝑇 𝑎2 (︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2 𝜌ℎ𝜔 2 𝑎4 + + − 𝑋 𝐼𝑉 − 𝑋 ′′ 2 +𝑋 = 0. 𝑏 𝐷 𝑏 𝐷 𝑏 𝐷 (15) Если рассмотреть случай растяжения в направлении, которому соответствуют граничные условия жёсткого закрепления, то тогда уравнение колебаний пластинки имеет вид 𝐷∆2 𝑊 − 𝑇 𝜕2𝑊 − 𝜌ℎ𝜔 2 𝑊 = 0. 𝜕𝑥2 Уравнение для 𝑋(𝑥/𝑎) выглядит следующим образом: 𝑋 2.2 𝐼𝑉 (︂ (︁ )︂ (︂(︁ )︂ 𝜋𝑚𝑎 )︁2 𝑇 𝑎2 𝜋𝑚𝑎 )︁4 𝜌ℎ𝜔 2 𝑎4 −𝑋 2 + +𝑋 − = 0. 𝑏 𝐷 𝑏 𝐷 ′′ Численное решение Характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (15) имеет вид (︂ (︁ )︂ (︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁4 𝑇 𝑎2 (︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2 𝜌ℎ𝜔 2 𝑎4 𝜋𝑚𝑎 )︁2 𝑇 𝑎2 𝜆𝐼𝑉 − 𝜆2 2 + + + − = 0. 𝑏 𝐷 𝑏 𝐷 𝑏 𝐷 2 𝜆21 = 2 ((𝜋𝑚𝑎)/𝑏) + (𝑇 𝑎2 )/𝐷 + √︀ (𝑇 2 𝑎4 )/𝐷2 + 4(𝜌ℎ𝜔 2 𝑎4 )/𝐷 , 2√︀ 2 ((𝜋𝑚𝑎)/𝑏) + (𝑇 𝑎2 )/𝐷 − (𝑇 2 𝑎4 )/𝐷2 + 4(𝜌ℎ𝜔 2 𝑎4 )/𝐷 𝜆22 = − . 2 Тогда получаем уравнение с граничными условиями 2 ⎧ ⎨ 𝑋(𝑥) = 𝐶1 sin 𝜆2 𝑥 + 𝐶2 cos 𝜆2 𝑥 + 𝐶3 ch 𝜆1 𝑥 + 𝐶4 sh 𝜆1 𝑥, ⎩ 𝑋(0) = 𝑋(1) = 𝑋 ′ (0) = 𝑋 ′ (1) = 0. Далее идут выкладки, аналогичные приведённым в разделе (1.2), из которых следует (︀ )︀ 2𝜆2 𝜆1 (1 − ch 𝜆1 cos 𝜆2 ) + sh 𝜆1 sin 𝜆2 𝜆21 − 𝜆22 = 0. 15 (16)

⎧ (︀ )︀ ⎪ ⎪ 2𝜆2 𝜆1 (1 − ch 𝜆1 cos 𝜆2 ) + sh 𝜆1 sin 𝜆2 𝜆21 − 𝜆22 = 0, ⎪ ⎪ ⎪ √︀ ⎪ 2 ⎨ 2 ((𝜋𝑚𝑎/)𝑏) + (𝑇 𝑎2 )/𝐷 + (𝑇 2 𝑎4 )/𝐷2 + 4(𝜌ℎ𝜔 2 𝑎4 )/𝐷 2 , 𝜆 = 2√︀ ⎪ 1 ⎪ ⎪ 2 ⎪ 2 2 4 2 2 4 ⎪ 2 ⎪ ⎩ 𝜆2 = −2 ((𝜋𝑚𝑎/)𝑏) − (𝑇 𝑎 )/𝐷 + (𝑇 𝑎 )/𝐷 + 4(𝜌ℎ𝜔 𝑎 )/𝐷 . 2 Рассмотрим два случая: когда отношение 𝐷/𝑎2 𝑇 меньше или больше 1. Введём 2 безразмерных параметра 𝜇 и 𝜀, каждый из которых меняется в промежутке [0, 1]: 𝜇2 = 𝐷/𝑎2 𝑇 , 𝜀 = 1/𝜇. Обозначим Λ = 𝜌ℎ𝜔 2 𝑎2 тогда последнее уравнение примет вид: ⎧ (︀ )︀ ⎪ ⎪ 2𝜆2 𝜆1 (1 − ch 𝜆1 cos 𝜆2 ) + sh 𝜆1 sin 𝜆2 𝜆21 − 𝜆22 = 0, ⎪ ⎪ ⎪ √︀ ⎪ 2 ⎨ 2 ((𝜋𝑚𝑎)/𝑏) + 1/𝜇2 + 1/𝜇4 + 4Λ/𝜇2 2 , 𝜆1 = 2 ⎪ ⎪ √︀ ⎪ 2 ⎪ 2 4 2 ⎪ ⎪ ⎩ 𝜆22 = −2 ((𝜋𝑚𝑎)/𝑏) − 1/𝜇 + 1/𝜇 + 4Λ/𝜇 . 2 (17) Для 𝜀2 = 𝑎2 𝑇 /𝐷, при 𝐴 = 𝜌ℎ𝜔 2 𝑎4 /𝐷, получим ⎧ (︀ )︀ ⎪ ⎪ 2𝜆2 𝜆1 (1 − ch 𝜆1 cos 𝜆2 ) + sh 𝜆1 sin 𝜆2 𝜆21 − 𝜆22 = 0, ⎪ ⎪ ⎪ √ ⎪ 2 ⎨ 2 ((𝜋𝑚𝑎)/𝑏) + 𝜀2 + 𝜀4 + 4𝐴 2 , 𝜆1 = ⎪ 2 ⎪ √ ⎪ 2 ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ ⎩ 𝜆22 = −2 ((𝜋𝑚𝑎)/𝑏) − 𝜀 + 𝜀 + 4𝐴 . 2 Для случая растяжения в направлении, которому соответствуют граничные условия жёсткого закрепления, характеристическое уравнение имеет вид 𝜆 𝜆21 = 𝜆22 =− 𝐼𝑉 (︂ (︁ )︂ (︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2 𝑇 𝑎2 𝜋𝑚𝑎 )︁4 𝜌ℎ𝜔 2 𝑎4 −𝜆 2 + + − = 0. 𝑏 𝐷 𝑏 𝐷 2 2 √︁ 2 √︁ 2 ((𝜋𝑚𝑎)/𝑏) + (𝑇 𝑎2 )/𝐷 + 2 (𝑇 2 𝑎4 )/𝐷2 + 4 ((𝜋𝑚𝑎)/𝑏) (𝑇 𝑎2 )/𝐷 + 4(𝜌ℎ𝜔 2 𝑎4 )/𝐷 , 2 2 ((𝜋𝑚𝑎)/𝑏) + (𝑇 𝑎2 )/𝐷 − 2 (𝑇 2 𝑎4 )/𝐷2 + 4 ((𝜋𝑚𝑎)/𝑏) (𝑇 𝑎2 )/𝐷 + 4(𝜌ℎ𝜔 2 𝑎4 )/𝐷 2 . ⎧ ⎨ 𝑋(𝑥) = 𝐶1 sin 𝜆2 𝑥 + 𝐶2 cos 𝜆2 𝑥 + 𝐶3 ch 𝜆1 𝑥 + 𝐶4 sh 𝜆1 𝑥, ⎩ 𝑋(0) = 𝑋(1) = 𝑋 ′ (0) = 𝑋 ′ (1) = 0. Далее идут выкладки, аналогичные приведённым в разделе (1.2), из которых следует (︀ )︀ 2𝜆2 𝜆1 (1 − ch 𝜆1 cos 𝜆2 ) + sh 𝜆1 sin 𝜆2 𝜆21 − 𝜆22 = 0. ⎧ (︀ )︀ ⎪ ⎪ 2𝜆2 𝜆1 (1 − ch 𝜆1 cos 𝜆2 ) + sh 𝜆1 sin 𝜆2 𝜆21 − 𝜆22 = 0, ⎪ ⎪ ⎪ √︁ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 2 ⎨ 2 ((𝜋𝑚𝑎)/𝑏) + 1/𝜇 + 1/𝜇4 + 4 ((𝜋𝑚𝑎)/𝑏𝜇) + 4Λ/𝜇2 2 𝜆1 = , ⎪ 2 ⎪ √︁ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ −2 ((𝜋𝑚𝑎)/𝑏) − 1/𝜇2 + 1/𝜇4 + 4 ((𝜋𝑚𝑎)/𝑏𝜇) + 4Λ/𝜇2 ⎪ ⎪ 2 ⎩ 𝜆2 = . 2 Для 𝜀2 = 𝑎2 𝑇 /𝐷, при 𝐴 = 𝜌ℎ𝜔 2 𝑎4 /𝐷, получим 16 (18)

⎧ (︀ )︀ ⎪ ⎪ 2𝜆2 𝜆1 (1 − ch 𝜆1 cos 𝜆2 ) + sh 𝜆1 sin 𝜆2 𝜆21 − 𝜆22 = 0, ⎪ ⎪ ⎪ √︁ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 2 ⎨ 𝜀4 + 4 ((𝜋𝑚𝑎𝜀)/𝑏) + 4𝐴 2 ((𝜋𝑚𝑎)/𝑏) + 𝜀 + , 𝜆21 = 2 ⎪ ⎪ √︁ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ −2 ((𝜋𝑚𝑎)/𝑏) − 𝜀2 + 𝜀4 + 4 ((𝜋𝑚𝑎𝜀)/𝑏) + 4𝐴 ⎪ 2 ⎪ ⎩ 𝜆2 = . 2 2.3 Метод динамического краевого эффекта Характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (15) имеет вид (︂ (︁ )︂ (︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2 𝑇 𝑎2 𝜋𝑚𝑎 )︁4 𝑇 𝑎2 (︁ 𝜋𝑎 )︁2 𝜌ℎ𝜔 2 𝑎4 𝜆𝐼𝑉 − 𝜆2 2 + + + − = 0. 𝑏 𝐷 𝑏 𝐷 𝑏 𝐷 2 𝜆21 = 2 (𝜋𝑚𝑎/𝑏) + 𝑇 𝑎2 /𝐷 + √︀ 𝑇 2 𝑎4 /𝐷2 + 4𝜌ℎ𝜔 2 𝑎4 /𝐷 , 2√︀ 2 2 (𝜋𝑚𝑎/𝑏) + 𝑇 𝑎2 /𝐷 − 𝑇 2 𝑎4 /𝐷2 + 4𝜌ℎ𝜔 2 𝑎4 /𝐷 . 𝜆22 = − 2 Пусть далее 𝜀2 = 𝑎2 𝑇 /𝐷 и 𝐴 = 𝜌𝑆𝜔 2 𝑎4 /𝐷 тогда √ 2 2 (𝜋𝑚𝑎/𝑏) + 𝜀2 + 𝜀4 + 4𝐴 = , 2 √ 2 −2 (𝜋𝑚𝑎/𝑏) − 𝜀2 + 𝜀2 + 4𝐴 . 𝜆22 = 2 Естественно предположить, что вдали от границ при колебаниях форма прогиба для направления 𝜆21 пластинки, соответствующего граничным условиям жёсткого опирания, будет мало отличаться от формы прогиба шарнирно опёртой пластинки, поэтому будем искать решение задачи о колебаниях жестко закрепленного пластинки (15) в виде 𝑋 = 𝑋1 + 𝑋2 , где 𝑋1 = sin − 𝜀4 +𝐴= 4 (︂ 𝐴= 𝜋 𝜆𝑥 (︂ 𝜋 𝜆𝑥 (︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2 𝑏 )︂4 )︂4 (︂ +2 (︂ +2 𝜋 𝜆𝑥 − 𝜋 𝜆𝑥 𝜀2 + 2 )︂2 (︂(︁ )︂2 (︂(︁ 𝜋(𝑥 − 𝑥0 ) . 𝜆𝑥 √ 𝜀4 + 4𝐴 = 2 𝜋𝑚𝑎 )︁2 𝜀2 + 𝑏 2 𝜋𝑚𝑎 )︁2 𝜀2 + 𝑏 2 )︂ + (︂ 𝜋 𝜆𝑥 )︂ + )︂2 . (︂(︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2 𝑏 (︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁4 𝑏 + 𝜀2 𝜀2 + 2 (︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2 𝑏 Пусть далее 𝜆 = 𝜆1 . Тогда 𝑋2 = 𝐶1 𝑒−𝜆𝑥 + 𝐶2 𝑒𝜆(𝑥−1) . 𝑋2 (0) = 𝐶1 , 𝑋2 (1) = 𝐶2 , 𝑋2′ (0) = −𝐶1 𝜆, Тогда 17 )︂2 𝑋2′ (1) = 𝐶2 𝜆. . .

𝜋𝑥0 𝜋 𝜋𝑥0 , 𝑋1′ (0) = cos , 𝜆𝑥 𝜆𝑥 𝜆𝑥 𝜋 (1 − 𝑥0 ) 𝜋 𝜋 (1 − 𝑥0 ) 𝑋1 (1) = sin , 𝑋1′ (0) = cos . 𝜆𝑥 𝜆𝑥 𝜆𝑥 𝑋1 (0) = − sin Так как 𝑋 = 𝑋1 + 𝑋2 . Тогда 𝜋 𝜋𝑥0 𝜋𝑥0 = 0, − 𝐶1 𝜆 + cos = 0, 𝜆𝑥 𝜆𝑥 𝜆𝑥 𝜋 (1 − 𝑥0 ) 𝜋 𝜋 (1 − 𝑥0 ) 𝐶2 + sin = 0, 𝐶2 𝜆 + cos = 0. 𝜆𝑥 𝜆𝑥 𝜆𝑥 𝐶1 − sin 𝜋 𝜋 (1 − 𝑥0 ) = tg . 𝜆𝜆𝑥 𝜆𝑥 𝜋 𝜋𝑥0 = tg , 𝜆𝜆𝑥 𝜆𝑥 tg 𝜋𝑥0 𝜋 (1 − 𝑥0 ) 1 − 𝑥0 𝑥0 1 − 𝑘𝜆𝑥 = tg =⇒ = + 𝑘 =⇒ 𝑥0 = . 𝜆𝑥 𝜆𝑥 𝜆𝑥 𝜆𝑥 2 − (︁ 𝜋𝑎 )︁2 𝑏 − √ 𝜀2 + 2 𝜀4 + 4𝐴 = 2 (︂ )︂2 (︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2 √︀ 𝜋 4 + 𝜀2 =⇒ 𝜆 = 𝜀 + 4𝐴 = 2 +2 𝜆𝑥 𝑏 tg 𝜋𝑥0 tg = 𝜆𝑥 𝜋𝑥0 𝜋 𝜋𝑥0 = =⇒ tg = 𝜆𝑥 𝜆𝜆𝑥 𝜆𝑥 (︂ 𝜋 𝜆𝑥 √︃(︂ )︂2 . 𝜋 𝜆𝑥 )︂2 +2 (︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2 𝑏 + 𝜀2 . 𝜋 √︁ . 2 2 𝜆𝑥 (𝜋/𝜆𝑥 ) + 2 (𝜋𝑚𝑎/𝑏) + 𝜀2 (︃(︂ )︃ (︃ (︂ )︃−1/2 )︂2 )︂2 𝜀2 𝜆2𝑥 𝜆𝑥 𝑚𝑎 𝜀2 𝜆2𝑥 𝜋𝑥0 𝜆𝑥 𝑚𝑎 1 𝜋 + 2 +1 + 2 ≈ 1 =⇒ 2 =1− = + 𝜋𝑙. 𝑏 𝜋 2 𝑏 𝜋 𝜆𝑥 4 𝜋 (1 − 𝑘𝜆𝑥 ) 𝜋 𝜋 𝜋 = + 𝜋𝑙 =⇒ = + 𝜋 (2𝑙 + 𝑘) . 2𝜆𝑥 4 𝜆𝑥 2 Обозначим 𝑛 = 2𝑙 + 𝑘. Тогда 𝜋 1 𝜋 . = + 𝜋𝑛 =⇒ 𝜆𝑥 = 𝜆𝑥 2 1/2 + 𝑛 4 𝐴 = (𝜋/2 + 𝜋𝑛) + 2 (𝜋/2 + 𝜋𝑛) 2 (︂(︁ 𝜋𝑎 )︁2 𝜀2 + 𝑏 2 )︂ + (︁ 𝜋𝑎 )︁4 𝑏 + 𝜀2 (︁ 𝜋𝑎 )︁2 𝑏 . Воспользуемся тем, что 𝜇 = 1/𝜀 и 𝐴 = Λ/𝜇2 . Тогда 4 𝐴 = (𝜋/2 + 𝜋𝑛) + 2 (𝜋/2 + 𝜋𝑛) 2 4 2 Λ = 𝜇2 (𝜋/2 + 𝜋𝑛) + 2 (𝜋/2 + 𝜋𝑛) (︂(︁ (︂ 𝜋𝑚𝑎 )︁2 𝜀2 + 𝑏 2 )︂ (︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2 1 2 𝜇2 𝑏 + + )︂ (︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁4 𝑏 + 𝜇2 + 𝜀2 (︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁4 𝑏 (︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2 𝑏 + . (︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2 𝑏 . (19) Для случая растяжения в направлении, которому соответствуют граничные условия жёсткого закрепления, характеристическое уравнение имеет вид 𝜆 𝐼𝑉 (︂ (︁ )︂ (︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2 𝑇 𝑎2 𝜋𝑚𝑎 )︁4 𝜌ℎ𝜔 2 𝑎4 −𝜆 2 + + − = 0. 𝑏 𝐷 𝑏 𝐷 2 18

2 𝜆21 = 2 (𝜋𝑚𝑎/𝑏) + 𝑇 𝑎2 /𝐷 + √︁ 2 𝑇 2 𝑎4 /𝐷2 + 4 (𝜋𝑚𝑎/𝑏) 𝑇 𝑎2 /𝐷 + 4𝜌ℎ𝜔 2 𝑎4 /𝐷 , 2 2 𝜆22 = − 2 (𝜋𝑚𝑎/𝑏) + 𝑇 𝑎2 /𝐷 − √︁ 2 𝑇 2 𝑎4 /𝐷2 + 4 (𝜋𝑚𝑎/𝑏) 𝑇 𝑎2 /𝐷 + 4𝜌ℎ𝜔 2 𝑎4 /𝐷 . 2 Пусть далее 𝜀2 = 𝑎2 𝑇 /𝐷 и 𝐴 = 𝜌𝑆𝜔 2 𝑎4 /𝐷 тогда √︁ 2 𝜆21 = 𝜆22 = 2 (𝜋𝑚𝑎/𝑏) + 𝜀2 + 2 𝜀4 + 4 (𝜋𝑚𝑎/𝑏) 𝜀2 + 4𝐴 , √︁ 2 2 2 −2 (𝜋𝑚𝑎/𝑏) − 𝜀2 + 𝜀2 + 4 (𝜋𝑚𝑎/𝑏) 𝜀2 + 4𝐴 2 Далее, поступая также как и выше в этом разделе, получаем 4 Λ = 𝜇2 (𝜋/2 + 𝜋𝑛) + 2 (𝜋/2 + 𝜋𝑛) 2.4 2 (︂ 𝜇2 (︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2 𝑏 + 1 2 )︂ + 𝜇2 (︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁4 𝑏 . (20) Решение задачи по методу Вишика и Люстерника После замен 𝜇2 = 𝐷/𝑎2 𝑇 и Λ = 𝜌ℎ𝜔 2 𝑎2 в уравнении (15) получаем (︂ )︂ (︂ )︂ (︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2 (︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁4 (︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2 −𝜇2 𝑋 𝐼𝑉 + 𝑋 ′′ 2𝜇2 + 1 + 𝑋 −𝜇2 − + Λ = 0. 𝑏 𝑏 𝑏 −𝜆2 + 1 − 2𝜇2 (︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2 𝑏 = 0 =⇒ −𝜆2 + 1 = 0. Нулевое приближение: (︂ )︂ (︂ )︂ (︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2 (︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁4 (︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2 𝑋0′′ 2𝜇2 + 1 + 𝑋0 −𝜇2 − + Λ0 = 0. 𝑏 𝑏 𝑏 Характеристическое уравнение )︂ (︂ (︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁4 (︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2 (︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2 + 1 − 𝜇2 − + Λ0 = 0. 𝜆2 2𝜇2 𝑏 𝑏 𝑏 Тогда √︃ 𝜆1,2 = ±𝑖 4 2 −𝜇2 (𝜋𝑚𝑎/𝑏) − (𝜋𝑚𝑎/𝑏) + Λ0 2 2𝜇2 (𝜋𝑚𝑎/𝑏) + 1 √︂ 𝑋0 = 𝐶1 sin Λ0 − (︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2 𝑏 √︂ =⇒ 𝜆1,2 = ±𝑖 √︂ 𝑥 + 𝐶2 cos Λ0 − Λ0 − (︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2 𝑏 (︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2 𝑏 𝑥. 𝑋0 (0) = 0 =⇒ 𝐶2 = 0. √︂ 𝑋0 (1) = 0 =⇒ (1) Тогда 𝑋0 = sin 𝜋𝑛𝑥. 𝑍0 (2) и 𝑍0 Λ0 − (︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2 𝑏 (︂ (︁ 𝑚𝑎 )︁2 )︂ = 𝜋𝑛 =⇒ Λ0 = 𝜋 2 𝑛2 + . 𝑏 получаются те же значения как и для стержня. 19 .

Если 𝑋 = 𝑋0 + 𝜇𝑋1 , Λ = Λ0 + 𝜇Λ1 , то получаем уравнение )︂ (︂ (︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2 𝑋1′′ + − + Λ0 𝑋1 = −Λ1 𝑋0 . 𝑏 2 Так как − (𝜋𝑚𝑎/𝑏) + Λ0 = 𝜋 2 𝑛2 , то мы получаем то же самое уравнение и те же граничные условия, что и для стержня. Следовательно Λ1 = 4𝜋 2 𝑛2 . Тогда (︂ (︁ 𝑚𝑎 )︁2 )︂ + 4𝜇𝜋 2 𝑛2 . Λ = 𝜋 2 𝑛2 + 𝑏 (21) Рассмотрим случай растяжения в направлении, которому соответствуют граничные условия жёсткого закрепления. После замен 𝜇2 = 𝐷/𝑎2 𝑇 и Λ = 𝜌ℎ𝜔 2 𝑎2 в уравнении (16) получаем (︂ (︁ )︂ (︁ 𝜋𝑚𝑎 )︁2 𝑇 𝑎2 𝜋𝑚𝑎 )︁4 𝜌ℎ𝜔 2 𝑎4 𝜆𝐼𝑉 − 𝜆2 2 + + − = 0. 𝑏 𝐷 𝑏 𝐷 Далее, поступая также как и выше в этом разделе, получаем Λ = 𝜋 2 𝑛2 + 4𝜇𝜋 2 𝑛2 . 2.5 (22) Сравнение результатов при числе волн n=1 и n=5, m=1 и m=5 В таблицах №3,4 и на рис.4,5 приведены частоты, полученные численно, методом динамического краевого эффекта и методом Вишика и Люстерника, для разных 𝜇 при 𝑛 = 1 и 𝑛 = 5. Λчисл — безразмерная частота, полученная при решении системы уравнений (18), ΛВиЛ — частота, полученная при решении уравнения (21), ΛДКЭ — частота, полученная при решении уравнения (19). Λ = 𝜌𝑆𝜔 2 𝑙2 /𝑇, 𝜇2 = 𝐸𝐽/𝑙2 𝑇 . Результаты приведены для квадратной пластинки, т.е. 𝑎/𝑏 = 1, число волн по оси 𝑦 равно 1, т.е. 𝑚 = 1. Результаты для 𝑚 = 5 представлены в таблицах №5,6 и на рис.6,7. Таблица 3. Сравнение результатов при n=1, m=1 𝜇 𝜀 Λчисл ΛВиЛ ΛДКЭ 0.005 200 19.949 19.937 32.102 0.00625 160 20.006 19.986 32.117 0.01 100 20.186 20.134 32.179 0.02 50 20.741 20.529 32.488 0.04 25 22.208 21.318 33.562 0.1 10 29.9 23.687 42.365 0.125 8 34.728 24.674 48.153 0.1485 6.73415 40.183 25.602 54.764 0.4 2.5 155.984 35.531 196.698 Видно, что при 𝑛 = 1 и 𝜇 = 0.1485 погрешности, и решения, построенного по первому приближению метода Вишика и Люстерника, и решения, построенного по методу динамического краевого эффекта, равны 36.3%. 20

Рис. 4: Сравнение Λчисл , ΛВиЛ1 , ΛВиЛ2 и ΛДКЭ при 𝑛 = 1, 𝜇 = 0...0.3, 𝑎/𝑏 = 1, 𝑚 = 1 Таблица 4. Сравнение результатов при n=5, m=1 𝜇 𝜀 Λчисл ΛВиЛ ΛДКЭ 0.005 200 263.303 261.545 310.803 0.008 125 269.064 264.505 314.513 0.01 100 273.662 266.479 317.938 0.02289 43.68891 318.732 279.2 358.263 0.04 25 423.03 296.088 460.627 0.05 20 508.699 305.958 546.24 0.0625 16 641.967 318.295 680.011 Рис. 5: Сравнение Λчисл , ΛВиЛ1 , ΛВиЛ2 и ΛДКЭ при 𝑛 = 5, 𝜇 = 0...0.06, 𝑎/𝑏 = 1, 𝑚 = 1 При 𝑛 = 5 и 𝜇 = 0.02289 погрешности, и решения, построенного по первому приближению метода Вишика и Люстерника, и решения, построенного по методу динамического краевого эффекта, равны 12.4%. Можно заметить, что для случая растяжения в обоих направлениях при фиксированном 𝑚 = 1 и при увеличении числа 𝑛 было получено уменьшение области применимости метода Вишика и Люстерника и увеличение - метода динамического краевого эффекта, также как при растяжении стержней. 21

Таблица 5. Сравнение результатов при n=1, m=5 𝜇 𝜀 Λчисл ΛВиЛ ΛДКЭ 0.005 200 258.457 256.807 270.755 0.00625 160 259.436 256.856 271.772 0.01 100 263.611 257.004 276.18 0.014 71.2924 270.171 257.163 283.178 0.02 50 283.866 257.399 297.88 0.04 25 364.308 258.189 384.678 0.1 10 926.233 260.558 992.27 0.125 8 1302.451 261.545 1399.14 Рис. 6: Сравнение Λчисл , ΛВиЛ1 , ΛВиЛ2 и ΛДКЭ при 𝑛 = 1, 𝜇 = 0...0.3, 𝑎/𝑏 = 1, 𝑚 = 5 Видно, что при 𝑛 = 1, 𝑚 = 5 и 𝜇 = 0.014 погрешности, и решения, построенного по первому приближению метода Вишика и Люстерника, и решения, построенного по методу динамического краевого эффекта, равны 4.8%. Таблица 6. Сравнение результатов при n=5, m=5 𝜇 𝜀 Λчисл ΛВиЛ ΛДКЭ 0.005 200 504.644 498.415 552.729 0.008 125 517.422 501.376 564.326 0.01 100 528.524 503.35 575.03 0.0135 73.8371 553.341 506.847 599.836 0.04 25 953.7 532.959 1021.051 0.05 20 1205.779 542.828 1288.663 0.0625 16 1599.262 555.165 1706.809 При 𝑛 = 5, 𝑚 = 5 и 𝜇 = 0.0135 погрешности, и решения, построенного по первому приближению метода Вишика и Люстерника, и решения, построенного по методу динамического краевого эффекта, равны 8.4%. Можно заметить, что для случая растяжения в обоих направлениях при фиксированном 𝑚 и при увеличении числа 𝑛 получено уменьшение области применимости метода Вишика и Люстерника и 22

Рис. 7: Сравнение Λчисл , ΛВиЛ1 , ΛВиЛ2 и ΛДКЭ при 𝑛 = 5, 𝜇 = 0...0.06, 𝑎/𝑏 = 1, 𝑚 = 5 увеличение - метода динамического краевого эффекта. Тоже самое и для фиксированного 𝑛 и при увеличении числа 𝑛. Но если зафиксированное число 𝑚 достаточно большое, то при увеличении числа 𝑛 изменение того или иного метода будет незначительным. Если же зафиксированное число 𝑛 достаточно большое, то при увеличении числа 𝑚 изменение того или иного метода будет на много больше, чем при случае, описанном в предыдущем предложении. Случаю растяжения в направлении, которому соответствуют граничные условия жёсткого закрепления, соответствуют в тех же обозначениях таблицы №7,8 и графики 10,11. Таблица 7. Сравнение результатов при n=1, m=1 𝜇 𝜀 Λчисл ΛВиЛ ΛДКЭ 0.005 200 10.08 10.067 22.232 0.00625 160 10.136 10.116 22.247 0.01 100 10.316 10.264 22.309 0.02 50 10.872 10.659 22.618 0.04 25 12.338 11.449 23.853 0.1 10 20.031 13.817 32.495 0.125 8 24.858 14.804 38.283 0.1485 6.73415 30.313 15.732 44.895 0.4 2.5 146.115 25.661 186.828 Видно, что при 𝑛 = 1, 𝑚 = 1 и 𝜇 = 0.1485 погрешности, и решения, построенного по первому приближению метода Вишика и Люстерника, и решения, построенного по методу динамического краевого эффекта, равны 48.1%. 23

Рис. 8: Сравнение Λчисл , ΛВиЛ1 , ΛВиЛ2 и ΛДКЭ при 𝑛 = 1, 𝜇 = 0...0.3, 𝑎/𝑏 = 1, 𝑚 = 1 Таблица 8. Сравнение результатов при n=5, m=1 𝜇 𝜀 Λчисл ΛВиЛ ΛДКЭ 0.005 200 253.433 251.675 300.934 0.008 125 259.194 254.636 304.644 0.01 100 263.792 256.61 308.068 0.02289 43.68891 308.862 269.331 348.393 0.04 25 413.16 286.219 450.757 0.05 20 498.829 296.088 536.371 0.0625 16 632.097 308.425 670.141 Рис. 9: Сравнение Λчисл , ΛВиЛ1 , ΛВиЛ2 и ΛДКЭ при 𝑛 = 5, 𝜇 = 0...0.06, 𝑎/𝑏 = 1, 𝑚 = 1 При 𝑛 = 5, 𝑚 = 1 и 𝜇 = 0.0229 погрешности, и решения, построенного по первому приближению метода Вишика и Люстерника, и решения, построенного по методу динамического краевого эффекта, равны 12, 8%. Можно заметить, что для случая растяжения в обоих направлениях при фиксированном 𝑚 = 1 и при увеличении числа 𝑛 было получено уменьшение области применимости метода Вишика и Люстерника и увеличение - метода динамического краевого эффекта, также как при растяжении стержней. Для случаев растяжения в обоих направлениях и растяжения в направлении, которому соответству24

ют граничные условия жёсткого закрепления, области применимости обоих методов не меняются при различных параметрах 𝑛 и фиксированном 𝑚 = 1. Результаты для 𝑚 = 5 представлены в таблицах №9,10 и на рис.10,11. Таблица 9. Сравнение результатов при n=1, m=5 𝜇 𝜀 Λчисл ΛВиЛ ΛДКЭ 0.005 200 11.717 10.067 24.015 0.00625 160 12.696 10.116 25.032 0.01 100 16.871 10.264 29.44 0.014 71.2924 23.43 10.423 36.438 0.02 50 37.126 10.659 51.14 0.04 25 117.568 11.449 137.938 0.1 10 679.493 13.817 745.53 0.125 8 1055.71 14.804 1152.4 Рис. 10: Сравнение Λчисл , ΛВиЛ1 , ΛВиЛ2 и ΛДКЭ при 𝑛 = 1, 𝜇 = 0...0.3, 𝑎/𝑏 = 1, 𝑚 = 5 Видно, что при 𝑛 = 1, 𝑚 = 5 и 𝜇 = 0.014 погрешности, и решения, построенного по первому приближению метода Вишика и Люстерника, и решения, построенного по методу динамического краевого эффекта, равны 55.5%. Таблица 10. Сравнение результатов при n=5, m=5 𝜇 𝜀 Λчисл ΛВиЛ ΛДКЭ 0.005 200 257.904 251.675 305.989 0.008 125 270.682 254.636 317.586 0.01 100 281.784 256.61 328.29 0.0135 73.837 306.601 260.107 353.095 0.04 25 706.96 286.219 774.311 0.05 20 959.039 296.088 1041.924 0.0625 16 1352.522 308.425 1460.069 При 𝑛 = 5, 𝑚 = 5 и 𝜇 = 0.0135 погрешности, и решения, построенного по первому приближению метода Вишика и Люстерника, и решения, построенного по методу динамического краевого эффекта, равны 15.16%. 25

Рис. 11: Сравнение Λчисл , ΛВиЛ1 , ΛВиЛ2 и ΛДКЭ при 𝑛 = 5, 𝜇 = 0...0.06, 𝑎/𝑏 = 1, 𝑚 = 5 Для случаев растяжения в обоих направлениях и растяжения в направлении, которому соответствуют граничные условия жёсткого закрепления, области применимости обоих методов не меняются при различных параметрах 𝑛 и фиксированном 𝑚 = 5. Так как тоже самое было получено при 𝑚 = 1, то можно сделать вывод, что области применимости того или иного метода совпадают в двух этих случаях при различных параметрах 𝑛 и 𝑚. Следовательно, все выводы, справедливые для случая растяжения в обоих направлениях справедливы и для случая растяжения в направлении, которому соответствуют граничные условия жёсткого закрепления. 2.6 Заключение Рассмотрены задача о колебаниях растянутой пластинки в обоих направлениях при граничных условиях шарнирного опирания по 2-м противоположным краям и жёсткого закрепления по двум другим краям. Также рассмотрена задача о колебаниях растянутой пластинки в направлении, которому соответствуют граничные условия жёсткого закрепления. Для данных задач сравниваются 1) численное решение, 2) решение по первому приближению метода Вишика и Люстерника, 3) решение по методу динамического краевого эффекта. Проведена оценка области применимости первого приближения метода Вишика и Люстерника и метода динамического краевого эффекта. При 𝑛 = 1, 𝑚 = 1 и 𝜇 ≤ 0.1485 решение, построенное по первому приближению метода Вишика и Люстерника, ближе к точному решению, а при 𝜇 > 0.1485 более точным является решение по методу динамического краевого эффекта. Вблизи точки 𝜇 = 0.1485 погрешности как решения, полученного по методу Вишика и Люстерника, так и решения полученного методом динамического краевого эффекта, равны 36.3%. При 𝑛 = 5, 𝑚 = 1 и 𝜇 ≤ 0.02289 более точным является решение по первому приближению метода Вишика и Люстерника, а при 𝜇 > 0.02289 — решение по методу динамического краевого эффекта. Вблизи точки 𝜇 = 0.02289 погрешности как решения, полученного по методу Вишика и Люстерника, 26

так и решения, полученного методом динамического краевого эффекта, равны 12.4%. При 𝑛 = 1, 𝑚 = 5 и 𝜇 ≤ 0.014 решение, построенное по первому приближению метода Вишика и Люстерника, ближе к точному решению, а при 𝜇 > 0.014 более точным является решение по методу динамического краевого эффекта. Вблизи точки 𝜇 = 0.014 погрешности как решения, полученного по методу Вишика и Люстерника, так и решения полученного методом динамического краевого эффекта, равны 4.8%. При 𝑛 = 5, 𝑚 = 5 и 𝜇 ≤ 0.0135 более точным является решение по первому приближению метода Вишика и Люстерника, а при 𝜇 > 0.0135 — решение по методу динамического краевого эффекта. Вблизи точки 𝜇 = 0.0135 погрешности как решения, полученного по методу Вишика и Люстерника, так и решения, полученного методом динамического краевого эффекта, равны 8.4%. Можно заметить, что первое приближение метода Вишика и Люстерника для пластин в случае растяжения в обоих направлениях при 𝑚 = 1 работает хуже, чем первое приближение метода Вишика и Люстерника для стержней. Было показано, что области применимости того или иного метода в случае растяжения в направлении, которому соответствуют граничные условия жёсткого закрепления, достаточно близки к областям применимости для случая растяжения в обоих направлениях. Тогда выводы, справедливые для случая растяжения в обоих направлениях справедливы и для случая растяжения в направлении, которому соответствуют граничные условия жёсткого закрепления. Список литературы [1] Бидерман В. Л. Теория Механических колебаний, М., «Высшая школа», 1980, 408. [2] Болотин В.В. Асимптотический метод в теории колебаний упругих пластин и оболочек, Тр. конф. по теории пластин и оболочек 1961, выпуск 1, 21-25 [3] Болотин В.В. Динамический краевой эффект при колебаниях пластинок. Инж. сборн., т.31, Изд. АН СССР, 1960. [4] Болотин В.В. Краевой эффект при колебаниях упругих оболочек. Прикл. матем. мех., т.24, №5 Изд. АН СССР, 1960. [5] Кудрявцев Е.П. О влиянии сдвигов и инерции вращения на изгибные колебания упругих стержней. Известия АН СССР, ОТН, Мехатроника и машиностроение, №5, 1960. [6] Образцов И.Ф., Нерубайло Б.В., Андрианов И.В. Асимптотические методы в строительной механике тонкостенных конструкций, М. Машиностроение, 1991, 429. [7] Бауэр С.М., Смирнов А.Л.,Товстик П.Е., Филиппов С.Б. Ассимптотические методы в механике твёрдого тела, М.-И.: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований 2007. 360 27

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв