Асимптотическое поведение приращений сумм в схеме серий независимых случайных величин

Мушенко Святослав Васильевич

Асимптотическое поведение приращений сумм в схеме серий независимых случайных величин

В дипломной работе было проведено исследование асимптотического поведения приращений сумм в схеме серий независимых случайных величин, в том числе были изложены полученные ранее результаты, а также получен аналог законов повторного логарифма для приращений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин.

Математика

Дипломы

Вуз: Санкт-Петербургский государственный университет (СПбГУ)

ID: 587d364d5f1be77c40d58bf9

UUID: 9494e9d9-c9d7-4cb5-b492-e2b7ac66551e

Язык: Русский

Опубликовано: почти 8 лет назад

Просмотры: 6

Мушенко Святослав Васильевич

Источник: Санкт-Петербургский государственный университет

Комментировать 0

Рецензировать 0

Скачать - 150627 bytes

Поделиться работой

Санкт-Петербургский государственный университет Математика Теория вероятностей и математическая статистика Мушенко Святослав Васильевич Асимптотическое поведение приращений сумм в схеме серий независимых случайных величин. Дипломная работа Научный руководитель: профессор, доктор физ.-мат.наук, Фролов А.Н. Рецензент: профессор, доктор физ.-мат.наук, Розовский Л.В Санкт-Петербург 2016

SAINT-PETERSBURG STATE UNIVERSITY Mathematics Probability Theory and Mathematical Statistic Mushenko Svjatoslav Vasil'evich The asymptotic behavior of increments of sums for arrays of independent random variables. Graduation Thesis Scientific supervisor: Professor, Doctor of Sciences, Andrei Frolov Reviewer: Professor, Doctor of Sciences, Leonid Rozovsky Saint-Petersburg 2016

Оглавление. 1. Введение 2. Результаты 3. Список используемой литературы 1 2 12 16

1. Введение. В этой работе мы исследовали асимптотическое поведение приращений сумм в схеме серий независимых случайных величин, в том числе изложили полученные ранее результаты, а также получили аналог законов повторного логарифма для приращений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин. Для начала рассмотрим следующую теорему, которая была получена А.Н.Фроловым [1, стр. 122]. Пусть a(x), x ≥ 0 - неубывающая x не убывает. непрерывная функция, такая, что 1 ≤ a(x) ≤ x и a(x) Положим an = [a(n)] для всех натуральных n. Теорема 1. Пусть {Xk } – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, EX1 = 0, EX12 = 1 и h0 > 0. Предположим, что lnann → ∞. Обозначим Sn = X1 + X2 + ... + Xn , Un = max (Sk+an − Sk ), Wn = 0≤k≤n−an Тогда lim sup max max (Sk+j − Sk ). 0≤k≤n−an 1≤j≤an Wn Un = lim sup = 1 п.н. bn bn (1) где bn = 2an (ln ann + ln ln n). Если дополнительно выполнено условие ln ln n = o(ln ann ) , то в соотношении (1) можно заменить lim sup на lim. В начале Теорема 1 была доказана М.Чёргё и Ревесом [9] для случая, в котором выполняется условие Крамера (существует h1 > 0 такая, что EehX < ∞ при |h| < h1 ) с использованием сильного принципа инвариантности Комлоша-Майора-Тушнади. Принцип Комлоша-Майора-Тушнади формулируется следующим образом. Пусть X –случайная величина с EX = 0, удовлетворяюще2

му условию Крамера. Тогда можно построить вероятностное пространство и задать на нем последовательность независимых случайных величин {Xk }, имеющих одинаковое с X распределение, и стандартный винеровский процесс w(t) так, что Sn − w(n) = O(ln n) п.н. Теорема 1 имела разнообразные следствия . Ее результаты были названы законами сильной аппроксимации. В последствии А.Н.Фроловым теорема была доказана и для случая выполнения одностороннего условия Крамера (h0 = sup{h : EehX < ∞} > 0 ). Для доказательства теоремы была использована техника анализа вероятностей больших уклонений. Важным фактом является то, что упомянутая теорема обладает рядом интересных закономерностей которые не встречались ранее. Очевидно то, что заключение теоремы Хартмана-Винтнера [1, стр.111] о законе повторного логарифма мы можем получить из соотношения (1) при an = n. При ln ann ∼ ln ln n выражение (1) представляет собой закон повторного логарифма для приращений, но в отличие от теоремы Хармана–Винтера в которой верхний предел равен 1, в нашем случае он равен некоторой другой постоянной С. Если последовательность an возрастает достаточно медленно, то и последовательность Ubnn становится более устойчивой и имеет предел. Из вышеописанного можно заключить , что промежуточным между законами Эрдёша-Реньи [1,стр.117] и законом повторного логарифма является закон Чёргё-Ревеса. В исследовании поведения последовательности Un долгое время можно было обнаружить некоторую дихотомию: ее поведение исследовали отдельно для малых (an = O(ln n)) и больших ( lnann → ∞) приращений. Это было обусловлено тем, что в случае малых приращений нормирующая последовательность bn зависит от распределения X1 , подчас даже однозначно определяет данное распределение. Результаты теоремы для малых приращений называются законами Эрдёша-Реньи [1, стр.117] и Шеппа. В случае больших приращений нормирующая последовательность зависит лишь от лишь от некото3

рых численных характеристик. Эти результаты именуются законами Чёргё-Ревеса [1, стр.122]. А.Н.Фроловым был предложен универсальный подход [4-6] к сильным предельным теоремам для сумм независимых одинаково распределённых случайных величин. Полученная там теория смогла объединить в себе законы Эрдёша-Реньи и Шеппа, законы Чёргё-Ревеса, закон повторного логарифма и усиленный закон больших чисел. Одним из важнейших моментов было то, что она содержала формулу универсальной нормирующей последовательности сильных предельных теорем для приращений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин. В случае разнораспределенных слагаемых возможны две различные постановки задачи об отыскании асимптотики приращений сумм. Первая постановка совпадает с постановкой случая одинаков распределенных слагаемых. Задача состоит в том, чтобы отыскать последовательность положительных постоянных bn такую, что либо выполнено Un = 1 п.н., (2) bn либо выполнено (2) с заменой lim sup на lim в тех случаях, когда это возможно. Альтернативная постановка состоит в том, чтобы найти последовательность положительных постоянных {bn,k } такую, что либо lim sup Sk+an − Sk = 1 п.н., (3) 0≤k≤n−an bn,k либо последнее соотношение выполнено с заменой lim sup на lim. Обе задачи представляют существенный интерес, но так как обе близки, можно ограничится первым вариантом. В работе А.Н.Фролова [2] был предложен единый подход к сильным предельным теоремам для приращений сумм неодинаково распределенных случайных величин и доказаны теоремы 2—6. Вместе с Un мы будем рассматривать Wn и Rn = Sn − Sn−an . lim sup max 4

Пусть {σi2 } последовательность положительных чисел такая, что Bn = ni=1 σi2 → ∞ . Положим B0 = 0. Обозначим Bn∗ = max (Bk+an − Bk ). 0≤k≤n−an Пусть выполнены следующие два условия: n 1) последовательность { B Bn∗ } эквивалентна некоторой неубывающей последовательности. 2 2) max1≤ i≤ n Bσi∗ → 0. n Для фиксированных n и > 0 определим последовательность натуральных чисел {im } следующим образом. Положим i0 = 0 , im = min{i : Bi ≥ 2mBn∗ } , где m = 1, 2, ..., M − 1, M = min{m : im ≥ n − an } . Обозначим iM = n − an . В случае M = 1 мы считаем, что последовательность {im } состоит из двух элементов i0 = 0 и i1 = n − an . Подчеркнем, что im = im (n, ), M = M (n, ). Заметим, что в силу условия 2) мы имеем Bim = Bim −1 + σi2m < 2(m + 1)Bn∗ ≤ Bim+1 . Поэтому im+1 > im , если n достаточно велико. Следовательно {im } и M корректно определены для всех достаточно больших n. Обозначим Bn βn = log ∗ + log log Bn . Bn Теорема 2. ([3, стр. 263]) Пусть выполнены условия 1) и 2) Пусть {bn } - последовательность положительных постоянных такая, что выполнены следующие условия: A) последовательность {bn } эквивалентна некоторой неубывающей последовательности и lim sup lim sup θ1 k→∞ 5 bnk+1 = 1, b nk (4)

где nk = min n : Bn > θk . B) для всех достаточно малых > 0 существуют δ > 0 и H1 > 0 такие, что неравенство max P (Sim +an − Sim−1 ≥ (1 + )bn ) ≤ H1 e−(1+δ)βn 1≤m≤M (5) выполнено для всех достаточно больших n. С) Для любого > 0 существует q > 0 такое, что min min P (Sim−1 +j − Sim−1 ≥ −bn ) ≥ q, (6) min min P (Sim +an − Sim−1 +j ≥ −bn ) ≥ q, (7) 1≤m≤M 1≤j≤im −im−1 +an 1≤m≤M 1≤j≤im −im−1 +an для всех достаточно больших n. Тогда Wn lim sup ≤ 1 п.н. bn (8) Условие A) можно заменить условием A’) соотношение (4) выполнено с заменой nk на n k , где n k = min{n : nk ≤ n < nk+1 , bn = minnk ≤m<nk+1 bm } , nk = min n : Bn > θk . Условия B) и C) можно заменить условиями Bn∗ 1+ lim sup an n( ) < ∞ Bn для любого > 0 и B’) для всех достаточно малых > 0 существует δ > 0 и H1 > 0 такие, что неравенство max max P (Sk+j − Sk ≥ (1 + )bn ) ≤ H1 e−(1+δ)βn 0≤k≤n−an 1≤j≤an выполнено для всех достаточно больших n. 6 (9)

В соотношении (5) можно заменить (1 + )bn на (1 + )bn , где c – произвольное фиксированное число. Условие C) выполнено, если для > 0 существует q > 0 такое, что для любых 1 ≤ i ≤ j ≤ n и всех достаточно больших n выполняется неравенство P (Sj − Si ≥ −bn ) ≥ q. Последнее условие эквивалентно условию для любого > 0 > 0существует q > 0 такое, что для любых 1 ≤ i ≤ n и всех достаточно больших n выполняется неравенство P (Sn − Si ≥ −bn ) ≥ q. Условия B) выполнено, в частности, если Xi симметричный или Sn bn → 0 по вероятности. Теорема 3. ([3, стр. 264])Пусть выполнены условия 1) и 2) и для любого θ > 1 Nk lim inf k > 0, (10) k→∞ θ где Nk -число элементов в множестве Ik = {n : θk < Bn ≤ θk+1 }. Пусть {pn } – последовательность положительных постоян ных, такая , что ∞ n=1 pn < ∞. Определим nk по формуле n k = min{n : n ∈ Ik , Bn pn = min Bm pm }. m∈Ik (11) Пусть {bn } – последовательность положительных постоянных, такая , что выполнены условие C) Теоремы 2 и следующие два условия: A1) {bn } эквивалентна некоторой неубывающей последовательности и выполнено соотношение b n (12) lim sup lim sup k = 1. θ1 k→∞ bnk+1 B1) Для всех достаточно малых > 0 существуют δ > 0 H1 > 0 и H2 > 0 такие, что неравенства max P (Sim +an − Sim−1 ≥ (1 + )bn ) ≤ H1 e−(1+δ)βn + H2 Bn∗ pn , (13) 1≤m≤M 7

выполнено для всех достаточно больших n. Тогда справедливо (8). Условия A1) можно заменить условием A1’) соотношение (12) выполнено с заменой n k на n k , где n k = min{n : n k ≤ n < n k+1 , bn = minnk ≤n<nk+1 bn }. Обозначим B n = Bn − Bn−an , βn = log Bn + log log Bn . B n Теорема 4. ([3, стр. 265])Пусть {bn } –последовательность поBn ложительных постоянных. Пусть последовательность { B n } эквивалентна некоторой неубывающей последовательности. Bn Если lim sup B n < 1, то предположим, что для любого > 0 сущетсвуют τ > 0 и H3 > 0 такие, что неравенство P (Sn − Sn−an ≥ (1 − )bn ) ≥ H3 e−(1−τ )βn (14) выполнено для всех достаточно больших n. σn2 Bn Если B → 1, то предположим, что Bn → 0, для любых > 0 и n θ > 1 неравенство P (Snk − Snk−1 ≥ (1 − )bnk ) ≥ H3 e−(1−τ )βnk , (15) выполнено для всех достаточно больших k, где nk = min{n : Bn > θk }, и выполнено условие C’) для любых > 0 и θ > 1 существует q > 0 такое, что P (Snk−1 − Snk −ank ≥ bnk ) ≥ q, 8

для всех достаточно больших k. Тогда Rn lim sup ≥ 1 п.н. bn (16) Обозначим Bn = min (B(k+1)an − B(k)an ). 0≤k≤ ann −1 Теорема 5. ([3, стр. 266])Пусть {bn } – последовательность положительных постоянных. Предположим, что выполнено условие Bn 1) и B ∗ → 1. n Пусть n log B Bn∗ → ∞. (17) log log max(Bn , n) Пусть для > 0 существуют τ > 0 H4 > 0 такие, что неравенство minn P (S(k+1)an − Skan ≥ (1 + )bn ) ≥ H4 e−(1+τ )βn , 0≤k≤ an (18) выполнено для всех достаточно больших n. Тогда Un lim inf ≥ 1 п.н. (19) bn Из теорем 2-5 и неравенств Rn ≤ Un ≤ Wn вытекает следующая теорема. Теорема 6. ([3, стр. 266])Пусть выполнены условия теорем 2 и Bn∗ 3. Предположим, что B → 1. Тогда n lim sup Wn Un Rn = lim sup = lim sup = 1 п.н. bn bn bn 9 (20)

Если дополнительно предположить, что выполнены условия теоремы 5, то Un Wn = lim = 1 п.н. (21) lim bn bn Условия теоремы 2 можно заменить на условия теоремы 3. В работе Ки [3] была рассмотрена сильная сходимость сумм одинаково распределенных случайных величин в схеме серий независимых случайных величин. Рассмотрим {Xn , n ≥ 1}– последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Усиленный закон больших чисел Колмогорова : Для того, чтобы n k=1 Xk n → a п.н. при n → ∞ необходимо и достаточно EX11 < ∞. (22) Закон повторного логарифма Хартмана–Винтнера утверждает: n k=1 Xk lim sup √ n→∞ 2n ln ln n n k=1 Xk = 1 и lim inf √ n→∞ 2n ln ln n = −1 п.н. (23) при условии EX1 = 0, EX12 = 1. Рассмотрим схему серий {Xnk , k = 1, 2, ..., n; n = 1, 2, ...} независимых одинаково распределенных случайных величин с EX11 = 0. Положим Sn = nk=1 Xnk . Ху, Морич и Тейлор [7] доказали, следующую теорему. Теорема 7. Для того чтобы Sn → 0 п.н. n 10

при n → ∞ необходимо и достаточно 2 < ∞. EX11 (24) Ху и Вебер [8] доказали теорему. 4 2 Теорема 8. Пусть выполнено EX11 < ∞ и EX11 = 1, тогда lim sup √ n→∞ . Sn Sn √ = 1 и lim inf = −1 п.н. n→∞ 2n ln n 2n ln n (25) Заметим, что (24) и (25) отличаются от (22) и (23) соответственно тем, что при расширении законов подобного закону больших чисел или закону повторного логарифма с последовательности на схему серий требуются более сильные условия. В работе Ки [3] усиленный закон Марцинкевича был расширен на схемы серий и приведены необходимые и достаточные условия для выполнения (4). Теорема 9. ([3, стр.2]) Пусть 12 < α < ∞, тогда следующие условия равносильны: a) Существует вещественное μ такое, что Sn − nμ → 0 п.н. nα (26) при n → ∞, 2 b)E|X11 | α < ∞. Кроме того, если (b) выполнено, то при α > 1 (5) верно для любого действительного μ, а при 12 < α ≤ 1 (5) верно для μ = E(X11 ). Теорема 10. ([3, стр.2]) Для выполнения (4) необходимо и достаточно E|X11 |4 (log+ |X11 |)−2 < ∞, E|X11 |2 = 1, EX11 = 0, где log+ (x) = log(max(e, x)). 11 (27)

2. Результаты. В качестве результата данной работы получена теорема 11, которая является аналогом теоремы 2[3] для приращений сумм в схеме серий независимых одинаково распределенных случайных величин. Теорема 11. Пусть a(x), x ≥ 0– неубывающая непрерывная x функция такая , что 1 ≤ a(x) ≤ x и a(x) не убывает. Положим an = [a(n)] для любого натурального n. Предположим, что an > cn для некоторого c ∈ (0, 1) и для всех достаточно больших n. Пусть {Xnk , k = 1, 2, ..., n; n = 1, 2, ...} – схема серий независимых одинаково распределенных случайных ве2 4 личин, такая что EX √ 11 = 0, EX11 = 1, EX11 < ∞. Обозначим n Sn = k=1 Xnk , bn = 2an ln n. Тогда Sn − Sn−an lim sup = 1 п.н. bn Доказательство. В начале докажем, что lim sup Sn −Sbnn−an ≤ 1 п.н. Аналогично доказательству теоремы √ 2 из [3] мы возьмем θ > 0, n рассмотрим Sn = k=1 Xnk I(|Xnk | ≤ θ an ln n). Докажем, что ∞ n=1 P ( max |X1k | > θ an ln n) < ∞. 1≤k≤an Для этого достаточно доказать, что ∞ n=1 an P (|X1k | > θ an ln n) < ∞. 12

Рассмотрим событие Ak = ( ak ln k ≤ |X11 | ≤ ak+1 ln k + 1). Отсюда мы имеем ∞ 4 E|X11 | = ≥ c2 k=1 ∞ k=1 4 E|X11 | I(Ak ) ≥ k 2 P (Ak ) ≥ c2 ≥ ∞ k=1 k ∞ ( a2k 2 ln kP (Ak ) ≥ c n)P (Ak ) = c2 k=1 n=1 ∞ c2 an P (|X11 | n=1 ∞ ( ∞ 2 k=1 ∞ n=1 k=n k 2 ln2 kP (Ak ) ≥ n)P (Ak ) ≥ > an ln n). Далее |X11 |3 I(|X11 | ≥ θ an ln n) ≤ an |EX11 I(|X11 | ≥ θ an ln n)| ≤ an E |X11 |2 √ an E|X11 |3 I(|X11 | ≥ θ an ln n) ≤ →0 θ2 an ln n при n → ∞. √ 1+ε Для любого положительного ε, δ = min(1, ε), Δ = 1+δ 2, θ = min( Δ5 , 1). В теореме [3, стр. 3] было доказано, что 1+δ 2 1 4 x5 |x| e ≤1+x+ x + 4x + e 2 δ 5! для любого вещественного x. Положим x X 11 t=Δ = X11 I(|X11 | ≤ θ an ln n) − EX11 I(|X11 | ≤ θ an ln n), ln n aln . 13

Мы имеем 2 2 EX 11 = E(X11 I(|X11 | ≤ θ an ln n) − EX11 I(|X11 | ≤ θ an ln n)) = 2 2 I(|X11 | ≤ θ an ln n)) ≤ EX11 , = D(X11 I(|X11 | ≤ θ an ln n)) ≤ E(X11 4 EX 11 = E(X11 I(|X11 | ≤ θ an ln n) − EX11 I(|X11 | ≤ θ an ln n))4 = = 4 I(|X11 | EX11 ≤ θ an ln n)− 3 I(|X11 | ≤ θ an ln n)EX11 I(|X11 | ≤ θ an ln n)+ −4EX11 2 I(|X11 | +6EX11 ≤ θ an ln n)(EX11 I(|X11 | ≤ θ an ln n))2 − −4EX11 I(|X11 | ≤ θ an ln n)(EX11 I(|X11 | ≤ θ an ln n))3 + +(EX11 I(|X11 | ≤ θ an ln n))4 ≤ 4 4 I(|X11 | ≤ θ an ln n) ≤ 32EX11 . ≤ 32EX11 Отсюда следует, что E(exp tX 11 ) ≤ E(1 + tX11 + 1 + δ 2 2 1 4 1 5 5 |tX| t X11 + 4 t4 X t X11 e ) ≤ 11 + 2 δ 5! 32 1+δ 2 2 4 4 t EX11 + 4 t4 EX11 + t5 EX11 θ an ln n exp(2θt an ln n) ≤ 2 δ 2.5 1 + δ 2 32 4 ln2 n n 4 5 ln 4 ≤ exp( exp(ln n2θΔ )EX11 )≤ t + 4 Δ 2 EX11 + Δ 2.5 2 δ an an 1+δ 2 1 ≤ exp( t + 1.1 ) 2 n для любых достаточно больших n. ≤1+ 14

Pn = P (Sn − Sn−an − E(Sn − Sn−an ) > (1 + ) 2an ln n) = = P (San − E San > (1 + ) 2an ln n) ≤ ≤ E(exp(t(San − E San )))exp(−(1 + )t 2an ln n) ≤ √ 1+δ 2 ≤ 2 exp(an t − (1 + )t 2an ln n) = 2 (1 + )2 (1 + )2 ln n − 2 ln n) < = 2exp( 1+δ 1+δ < 2exp(−(1 + ) ln n) = 2n−(1+) ∞ n=1 Pn Ряд получим будет сходиться. Применяя лемму Бореля-Кантелли, lim sup Sn − Sn−an ≤ 1 п.н. bn Теперь докажем lim sup Sn −Sbnn−an ≥ 1 п.н. Pn = P (Sn − Sn−an ≥ (1 − ) 2an ln n) = = P (San ≥ (1 − ) 2an ln n) ∼ 2 ∼ exp(−(1 − )2 ln n) = n−(1−) по теореме 6.4 из [1]. ∞ n=1 Pn Ряд получим будет расходиться. Применяя лемму Бореля-Кантелли Sn − Sn−an ≥ 1 п.н. bn Отсюда будет следовать утверждение теоремы. lim sup 15

Список литературы [1] Фролов А.Н. Предельные теоремы теории вероятностей: учеб. пособие.— СПБ.: Из-дво С.-Петерб.Ун-та, 2014. — 152 с. [2] Фролов А.Н. Сильные предельные теоремы для приращений сумм независимых случайных величин. Записки научнных семинаров ПОМИ, 2004, т. 311, стр. 260-285 [3] Qi Y.C. On strong convergence of arrays. Bull. Austral. Math. Soc., 1994, v.50 , pp.219-223 [4] Фролов А.Н. Об асимптотическом поведении приращений сумм независимых случайных величин. ДАН 372, No.5(200), стр. 596599. [5] Frolov A. N. On one-sided strong laws for increments of sums of i.i.d. random variables.–Studia Sci. Math. Hungar., 39 (2002)., pp. 333-359. [6] Фролов А. Н. Предельные теоремы для приращений сумм независимых случайных величин.Теор. вероятн. и ее примен. 48, вып. 1 (2003), стр. 104-121. [7] Hu T.C., Moricz F. and Taylor R.L. Strong laws of large numbers for arrays of rowwise independent random variables, Acta Math. Hungar. 54 (1989), pp. 153-162. [8] Hu T.C., and Weber N.C. On the rate of convergence in the strong law of large numbers for arrays, Bull. Austral. Math. Soc. 45 (1992), pp. 479-482. [9] Csörgő М., Révész P. Strong approximations in probability and statistics. Budapest: Akadémiai. Kiadó, (1981). 16

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв