Электромагнитные эффекты в динамике вращательного движения экранированного космического аппарата относительно центра масс

Корытников Дмитрий Геннадьевич

Электромагнитные эффекты в динамике вращательного движения экранированного космического аппарата относительно центра масс

Научно-технический прогресс позволил человеку преодолеть земное притяжение и приступить к изучению космического пространства, в частности, околоземного космического пространства. В настоящее время искусственные спутники Земли (ИСЗ) способны решать задачи различной сложности, в разных областях науки, техники и социальной жизни, начиная с военно-разведывательных космических аппаратов (КА), и заканчивая метеорологическими станциями. Развитие космодинамики и возникновение в связи с этим новых направлений в науке и технике продолжают вызывать повышенный интерес исследователей к решению задач, тесно примыкающих к классической задаче механики о вращении твердого тела вокруг точки. Одной из таких таких задач является управление угловым движением ИСЗ относительно его центра масс. Исследуя эту задачу необходимо учитывать разнообразные по своей природе силы и моменты (гравитационные, аэродинамические, электромагнитные и др.), действующие на ИСЗ в околоземном пространстве. Цель данной работы - исследовать эффективность предложенной системы заряженных экранов в решении задачи об управлении вращательным движением экранированного КА относительно центра масс. В работе рассматривается модель нецентрально поля тяготения, что существенно усложняет выражения для гравитационного момента, действующего на КА. Использована методика электродинамической компенсации постоянно действующего возмущающего момента, для решения задачи стабилизации КА, находящегося на регрессирующей вследствие сжатия Земли орбите.

Математика

Дипломы

Вуз: Санкт-Петербургский государственный университет (СПбГУ)

ID: 587d36565f1be77c40d58d06

UUID: 1aa0a066-2a33-4460-965b-e9e5d9a92b70

Язык: Русский

Опубликовано: около 8 лет назад

Просмотры: 8

Корытников Дмитрий Геннадьевич

Источник: Санкт-Петербургский государственный университет

Комментировать 0

Рецензировать 0

Скачать - 758284 bytes

Поделиться работой

Санкт-Петербургский государственный университет Механика и математическое моделирование Теоретическая механика Корытников Дмитрий Геннадьевич Электромагнитные эффекты в динамике вращательного движения экранированного космического аппарата относительно центра масс Бакалаврская работа Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор Тихонов А. А. Рецензент: доктор физ.-мат. наук, профессор Александров А. Ю. Санкт-Петербург 2016

SAINT-PETERSBURG STATE UNIVERSITY Mechanics and mathematical modeling Theoretical mechanics Korytnikov Dmitriy Gennad’yevich Electromagnetic effects in attitude dynamics of a shielded spacecraft with respect to the centre of masses Bachelor’s Thesis Scientific supervisor: Professor, Dr.Sci. A. A. Tikhonov Reviewer: Professor, Dr.Sci. A. Yu. Aleksandrov Saint-Petersburg 2016

Содержание Введение 3 1 Физические и геометрические параметры системы электростатической защиты КА 9 2 Математическая модель вращательного движения КА, взаимодействующего с магнитным полем Земли 11 2.1 Основные понятия и обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Динамические и кинематические уравнения . . . . . . . . . . 15 2.3 Выражение для гравитационного момента с учетом влияния эффектов, вызванных сжатием Земли . . . . . . . . . . . . . 3 Стабилизация КА в прямом положении равновесия 17 21 3.1 Концепция построения электродинамической системы стабилизации КА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 Методика электродинамической компенсации постоянно действующего возмущающего момента . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3 Стабилизация КА в прямом положении равновесия . . . . . 26 3.4 Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Литература 42 3

Введение Актуальность темы Научно-технический прогресс позволил человеку преодолеть земное притяжение и приступить к изучению космического пространства, в частности, околоземного космического пространства. В настоящее время искусственные спутники Земли (ИСЗ) способны решать задачи различной сложности, в разных областях науки, техники и социальной жизни, начиная с военноразведывательных космических аппаратов (КА), и заканчивая метеорологическими станциями. Развитие космодинамики и возникновение в связи с этим новых направлений в науке и технике продолжают вызывать повышенный интерес исследователей к решению задач, тесно примыкающих к классической задаче механики о вращении твердого тела вокруг точки. Одной из таких таких задач является управление угловым движением ИСЗ относительно его центра масс. Исследуя эту задачу необходимо учитывать разнообразные по своей природе силы и моменты (гравитационные, аэродинамические, электромагнитные и др.), действующие на ИСЗ в околоземном пространстве [1]. Анализу динамики вращательного движения ИСЗ посвящены многочисленные работы ряда авторов, в том числе В.И. Попова, В.В. Белецкого, А.А. Хентова, Ф.Л. Черноусько, М.Ю. Овчинникова, А.А. Тихонова, К.А. Антипова и многих других исследователей. Системы управления вращательным движением ИСЗ В зависимости от природы управляющих моментов, воздействующих на угловое движение ИСЗ, и технических средств, используемых в процессах 4

управления, различают активные, пассивные и комбинированные системы управления угловым движением ИСЗ [2]. Если для создания управляющих моментов используются технические средства, для работы которых требуется расход рабочего тела или энергии, имеющихся на борту, то такая система называется активной системой управления. Как отмечает В.И. Попов [2], такие системы в процессе работы используют различные активные устройства: управляемые маховики, газовые реактивные двигатели, магнитоприводы, гироскопические и оптические чувствительные элементы и т.п. Главным достоинством активных систем управления является возможность создавать управляющие моменты, которые по величине существенно больше всех остальных (возмущающих) моментов, действующих на ИСЗ. Активные системы управления обеспечивают высокую точность ориентации ИСЗ при высоком быстродействии [2]. В то же время, высокая стоимость и ограниченное время работы, связанное с ограниченностью запаса энергии или рабочего вещества на борту, являются главными недостатками использования активных систем. Пассивные системы управления, в отличие от активных, не расходуют энергию бортовых источников питания, а используют для создания управляющих моментов естественные силовые факторы, действующие в условиях космического пространства. Пассивные системы, как правило, конструктивно просты и имеют относительно долгий срок службы. Однако, простота пассивных систем влечет за собой меньшую (по сравнению с активными системами) точность ориентации ИСЗ. В отличие от активных систем управления, пассивные системы обеспечивают малые по величине управляющие моменты, поэтому к ним обычно предъявляются требования высокой точности начальной ориентации и малости угловых скоростей, что является большим недостатком и в ряде случаев ведет к ограничению об5

ласти их применения [2]. В настоящее время наиболее распространенными типами пассивных систем управления являются гравитационные системы и магнитные системы, использующие соответственно гравитационное и магнитное поля Земли (ГПЗ, МПЗ) для создания управляющих моментов [2]. Систему управления угловым движением ИСЗ, основанную на взаимодействии ИСЗ с МПЗ, называют электродинамической системой управления (ЭДСУ), а сам процесс управления - электродинамическим управлением (ЭДУ). Комбинированные системы управления включают в себя как активные так и пассивные элементы. Возникновение комбинированных систем вызвано тем, что задачи, которые решаются современными КА подразумевают строгое лимитирование запасов энергии и рабочего тела на борту КА с длительным сроком пребывания на орбите. Комбинированные системы строятся из элементов пассивных и активных систем с таким расчетом, чтобы они по возможности обладали достоинствами тех и других и не имели свойственных им в отдельности недостатков [2]. Электростатическая защита ИСЗ Полет КА в космическом пространстве - сложнейший технологический процесс. Задача управления полетом, несомненно, имеет первоочередной статус. В случае пилотируемого полета, возникает не менее важная задача - защита пилотов КА от радиации. Радиоактивные частицы, присутствующие в космическом вакууме, способны нанести ущерб здоровью пилотов или другим живым организмам на борту. Также радиация может создавать помехи в работе технических приборов, размещенных на борту КА. Прошло чуть более полувека с момента первого полета человека в кос6

мос, но вопросы, связанные с защитой человека от воздействия космической радиации, привлекают исследователей и сегодня. Классические способы защиты от радиации с применением тяжелых металлов оказываются малоэффективными, поскольку влекут за собой увеличение массы КА [3, 4]. Увеличение массы, в свою очередь, влечет за собой необходимость увеличения мощности реактивных двигателей, и, как следствие, происходит увеличение затрат на запуск КА. В основе систем электростатической защиты (СЭСЗ) лежит создание электрического поля около КА, позволяющего влиять на траектории заряженных радиоактивных частиц и отклонять их от защищаемого объема. Этой теме посвящены многочисленные работы ряда авторов, в том числе К.А. Труханова, Т.Я. Рябовой, Д.Х. Морозова, Е.И. Воробьева, Е.Е. Ковалева, R.P. Joshi, Hao Qiu, R.K. Tripathi, J. G. Smith, T. Smith, M. Williams, R. Youngquist, W. Mendell, и многих других исследователей. СЭСЗ, основанные на использовании заряженных сферических поверхностей Во второй половине XX века появилось несколько концепций СЭСЗ, основанных на использовании заряженных сферических поверхностей. В 1964-м году была предложена система, состоящая из двух заряженных концентрических сфер, окружающих КА [3]. В рассматриваемой системе «внутренняя» сфера несет на себе положительный заряд, а «внешняя» - отрицательный. По величине суммарные заряды на обеих сферах одинаковы. Исследования проводились с предположением, что данная СЭСЗ будет применяться в условиях радиационного пояса Земли. Например, на расстоянии порядка двух радиусов Земли от центра Земли преобладают потоки электронов с 7

энергией около 20 МэВ и протонов с энергией около 100 МэВ [5]. Исследование эффективности рассматриваемой СЭСЗ выявило необходимость создания разности потенциалов между сферами не менее 17 МВ. Создавать столь большое во величине напряжение было предложено с помощью генератора Ван Дер Граафа [3]. По оценкам исследователей на практике рассматриваемая СЭСЗ, включающая в себя две сферы (6061 aluminum), электроды, источник энергии для обеспечения работы системы, и прочие расходные материалы, будет иметь массу около 4500 кг . В [3] отмечается что именно большая масса является главным недостатком данной системы. Позже, в 1984-м году, описанная выше система концентрических заряженных сфер исследовалась в задаче радиационной защиты КА от ионов «HZE - излучения» (HZE ions, [6]). Для определенности в качестве вредоносной частицы был рассмотрен изотоп железа 56 Fe c энергией около 1.4 ГэВ, так как он является самым тяжелым из известных ионов спектра частиц космического излучения [3]. Исследуемая СЭСЗ рассмотрена в трех модификациях: 1) одна сфера, окружающая КА, несущая большой по величине положительный заряд, 2) две концентрические сферы, окружающие КА, несущие одинаковые по величине и разные по знаку заряды, 3) две концентрические сферы, окружающие КА, несущие разные по величине и знаку заряды. Исследования показали что рассматриваемые СЭСЗ требуют создания мощного поверхностного потенциала в первом случае и большого по величине напряжения между сферическими поверхностями во втором и третьем случаях, которые было невозможно обеспечить в то время по техническим причинам. Требуемая величина потенциала положительно заряженной сферы в первом случае должна быть порядка 3 ГВ, а это гораздо больше, чем можно было обеспечить в те времена (генератор Ван Дер Граафа, <30 МВ). Также расчеты показали то, что в случаях систем концен8

трических сфер (2, 3), минимальные диаметры внутренней и внешней сфер должны быть не менее 200 м и 400 м соответственно. Такие требования влекут за собой необходимость создания жесткой удерживающей конструкции в системе, которая неизбежно повлечет за собой увеличение общей массы КА вместе с СЭСЗ. Цель работы В статьях [3, 4] исследована СЭСЗ, включающая в себя систему заряженных сферических поверхностей (экранов). Доказана эффективность данной системы в решении задачи радиационной защиты КА. Цель данной работы - исследовать эффективность предложенной системы экранов в решении задачи об управлении вращательным движением экранированного КА относительно центра масс. В работе рассматривается модель нецентрально поля тяготения, что существенно усложняет выражения для гравитационного момента, действующего на КА. Использована методика электродинамической компенсации постоянно действующего возмущающего момента, для решения задачи стабилизации КА, находящегося на регрессирующей вследствие сжатия Земли орбите. 1 Физические и геометрические параметры системы электростатической защиты КА В статьях [3, 4] рассмотрена СЭСЗ, состоящая из 13-ти заряженных сферических экранов (Рис. 1). Защищаемый объем (КА) окружен сферой, радиус которой 20 м. Далее будем называть эту сферу «центральной». Цен9

тральная сфера создает около себя электрическое поле, потенциал которого равен 300 МВ. Геометрический центр данной сферы будем называть «центром системы ЭСЗ». Рис. 1: модель СЭСЗ, 13 заряженных сферических экранов Центры остальных 12 экранов расположены на трех взаимно перпендикулярных осях. Разделим оставшиеся 12 сфер на две группы, которые назовем «ближние» (горизонтальная штриховка, Рис. 1) и «дальние» (наклонная штриховка, Рис. 1). Ближние сферы (6 шт.) имеют радиус 10 м и каждая отстает от центра системы на 50 м. Каждая сфера из группы ближних заряжена положительно и создает около себя электрическое поле с потенциалом в 300 МВ. В то же время, каждая сфера из группы дальних имеет радиус равный 20 м, отстает от центра системы на 160 м, несет на себе отрицательный заряд и создает около себя электрическое поле с потенциалом -300 МВ. Таким образом, рассматриваемая система имеет три плоскости симметрии. В работе [3] предполагается что сферы изготовлены из полимерных материалов с тонким, покрывающим внешнюю часть, слоем металла, напри10

Рис. 2: Физические и геометрические параметры СЭСЗ мер, золота. Таким образом, масса конструкции зависит от конкретных материалов, используемых при изготовлении элементов системы. 2 Математическая модель вращательного движения КА, взаимодействующего с магнитным полем Земли 2.1 Основные понятия и обозначения В работе изучается вращательное движение КА вокруг центра масс под действием гравитационного, магнитного и лоренцева моментов. Центр масс КА движется по круговой орбите. Введем обозначения: C - центр масс КА, Oз - центр Земли. Все далее введенные в рассмотрение системы координат - правые ортогональные. Систему координат Oз X∗ Y∗ Z∗ (соответствующие орты ~i∗ , ~j∗ , ~k∗ ) с началом в центре Земли зададим следующим образом: ось Oз Z∗ направим по оси суточного вращения Земли, ось Oз X∗ направим в восходящий узел орбиты, ось Oз Y∗ зададим так, чтобы плоскость (X∗ Y∗ ) совпадала с плоскостью экватора. Угловая скорость вращения Земли зада- 11

Рис. 3: Основные обозначения и рабочие системы координат ется вектором ω ~ з = ωз~k∗ . Систему координат Oз X∗ Y∗ Z∗ примем в качестве инерциальной. В качестве физической модели КА рассмотрим модель твердого тела. Введем систему координат Cxyz c соответствующими ортами ~i, ~j, ~k, оси которой совпадают с главными центральными осями инерции КА. Тогда в введенной системе координат тензор инерции КА будет иметь вид J = diag (A, B, C). Введем в рассмотрение орбитальную систему координат Cξηζ (соответствующие орты ξ~0 , ~η0 , ζ~0 ), ось Cξ направим вдоль вектора скорости центра масс КА, ось Cη - по нормали к плоскости орбиты, ось Cζ вдоль радиус−→ ~ =− вектора R Oз C. Орбитальная система координат вращается относительно Oз X∗ Y∗ Z∗ с угловой скоростью ω ~ 0 = ω0~η0 . Ориентацию осей системы координат Cξηζ относительно осей системы 12

координат Cxyz зададим с помощью  α  1  A =  β1  γ1 матрицы направляющих косинусов  α2 α3   (1) β2 β3   γ2 γ3 таким образом, что ξ~0 = α1~i + α2~j + α3~k, ~η0 = β1~i + β2~j + β3~k, ζ~0 = γ1~i + γ2~j + γ3~k. Взаимная ориентация систем координат Cξηζ и Oз X∗ Y∗ Z∗ определяется с помощью соотношений ~i∗ = − sin u · ξ~0 + cos u · ζ~0 , ~j∗ = cos i cos u · ξ~0 − sin i · ~η0 + cos i sin u · ζ~0 , (2) ~k∗ = sin i cos u · ξ~0 + cos i · ~η0 + sin i sin u · ζ~0 , \ \ где i = (~k∗ , ~η0 ) - угол наклонения орбиты (Рис. 3), u = (~i∗ , ζ~0 ) - аргумент широты, при этом u = ωπ + ν, где ωπ - аргумент перигея, ν - истинная аномалия. Отметим, что в случае круговой орбиты u = ω0 t. Абсолютная угловая скорость ω ~ и угловая скорость КА относительно орбитальной системы координат ω ~ 0 = p~i + q~j + r~k связаны соотношением ω ~ = ω ~0 + ω ~ 0 . Вектор угловой скорости орбитальной системы координат в осях Cxyz выглядит следующим образом ω ~ 0 = ω0 (β1~i + β2~j + β3~k). (3) С учетом (3) в осях Cxyz компоненты вектора ω ~ имеют вид ωx = p + ω0 β1 , ωy = q + ω0 β2 , 13 ωz = r + ω0 β3 . (4)

С помощью (2) разложим вектор угловой скорости суточного вращения Земли по ортам орбитальной системы координат ω~з = ωз~k∗ = ωз (sin i cos u · ξ~0 + cos i · ~η0 + sin i sin u · ζ~0 ). Электростатические свойства экранированного КА характеризуются плотностью σ распределения заряда по объему V и суммарным зарядом Q = R σdV . Следуя [7] введем в рассмотрение понятия центра заряда, главных V центральных осей заряда и интегральных величин распределения заряда. По аналогии с инерционными свойствами КА как твердого тела, электростатические свойства КА будем характеризовать тензором заряда Σ = diag (a1 , a2 , a3 ) в главных центральных осях заряда Ox01 x02 x03 (соответствующие орты ~i10 ,~i20 ,~i30 ). Начало системы координат Ox01 x02 x03 относительно центра масс КА определяется радиус-вектором Z −→ CO = ρ~0 = x0~i + y0~j + z0~k = Q−1 σ(x01 , x02 , x03 )~ ρ(x01 , x02 , x03 )dV, (5) V где ρ~ - радиус-вектор элемента dV относительно центра масс КА. В (5) интегрирование производится в объему, в котором распределен заряд. В случае поверхностного распределения заряда (как в описанной ранее (п.1) СЭСЗ) интегрирование в формуле (5) стоит производить по поверхности. В системе координат Ox01 x02 x03 справедливы равенства: Z σ(x01 , x02 , x03 )~ ρ 0 dV = 0, где ρ~ 0 = x01~i10 + x02~i20 + x03~i30 , V Z V σ(x01 , x02 , x03 )x01 x02 dV Z = σ(x01 , x02 , x03 )x02 x03 dV V Z = σ(x01 , x02 , x03 )x03 x01 dV = 0. V Элементы тензора Σ вычисляются следующим образом Z 2 ai = σx0i dV, i = 1, 2, 3. V 14

Введем в рассмотрение статические моменты первого и второго порядков. Для краткости записи временно обозначим x1 = x, x2 = y, x3 = z. Тензорные величины P(1) и P(2) определим следующим образом Z Z (1) (2) P = σxi dV = Q~ ρ0 , P = σxi xj dV, i = 1, 2, 3 V V и будем называть их статическими моментами первого и второго порядков соответственно. 2.2 Динамические и кинематические уравнения Для описания вращательного движения КА относительно центра масс будем использовать динамические уравнения Эйлера   Aω̇x + (C − B)ωy ωz = Mx ,    B ω̇y + (A − C)ωz ωx = My ,     C ω̇z + (B − A)ωx ωy = Mz , (6) ~ = Mx~i + My~j + Mz~k, - главный момент сил, приложенных к КА. где M ~ включает в себя разнообразные по своКак упоминалось ранее, момент M ей природе и величине моменты. Наиболее значительным является грави~ Г [1]. При использовании модели тационный момент притяжения Земли M центрального ньютоновского поля тяготения, гравитационный момент имеет вид [1] ~ Г = 3ω02 ((C − B)γ2 γ3 , (A − C)γ3 γ1 , (B − A)γ1 γ2 )> . M Помимо гравитационных сил, существенное влияние на динамику вращательного движения КА вокруг центра масс оказывают силы электродинамического воздействия КА с МПЗ [1]. Далее будем предполагать что КА 15

~ Вследствие этого возникают обладает собственным магнитным моментом I. ~ М и лоренцевых сил M ~ Л . Момент моменты магнитного взаимодействия M ~ М будем вычислять следующим образом M ~ M = I~ × A> B, ~ M (7) ~ - вектор магнитной индукции в центре масс КА [1]. Момент M ~ Л будем где B вычислять следующим образом Z ~ Л = σ~ ~ dV, M ρ × (~v × B) (8) V где ρ~ - радиус-вектор (в системе координат Cxyz) элемента dV заряженного объема КА, ~v - скорость элемента dV относительно МПЗ [1]. В данной работе учитывается только вклад вращающих моментов, опи~ =M ~Г +M ~М +M ~ Л. санных выше. Таким образом, M В дополнение к (6) для описания вращательного движения КА относительно центра масс будем использовать кинематические уравнения Пуассона d~ d d~ ξ0 = ξ~0 × ω ~ − ω0 ζ~0 , η~0 = ~η0 × ω ~, ζ0 = ζ~0 × ω ~ + ω0 ξ~0 . dt dt dt (9) С использованием направляющих косинусов (1) кинематические уравнения можно переписать следующим образом: α̇1 + ωy α3 − ωz α2 = −ω0 γ1 , β̇1 + ωy β3 − ωz β2 = 0, x→y→z 1→2→3 (10) γ̇1 + ωy γ3 − ωz γ2 = ω0 α1 . Конструкция x→y→z 1→2→3 введена для краткости записи и означает цикличе- скую перестановку числовых и символьных индексов в (10). Таким образом, (10) представляет собой девять уравнений в направляющих косинусах. 16

2.3 Выражение для гравитационного момента с учетом влияния эффектов, вызванных сжатием Земли В разделе 2.2 приведено выражение для гравитационного момента, действующего на КА, центр масс которого движется по круговой орбите в случае если гравитационное поле считать ньютоновским центральным полем тяготения. В данной работе рассмотрим более сложную модель гравитационного поля Земли. Далее, начиная с этого момента, будем рассматривать КА, центр масс которого движется по круговой орбите, регрессирующей вследствие сжатия Земли [8]. Будем учитывать вековые возмущения орбиты, вызванные второй зональной гармоникой геопотенциала, т.е. уходом долготы восходящего узла Ω с угловой скоростью kΩ и аргумента перигея ωπ с угловой скоростью kω при постоянном наклонении орбиты i к плоскости экватора (Рис. 4) [8]. Введем в рассмотрение «перигейную» систему координат CXY Z (соответствующие орты ~σ1 , ~σ2 , ~σ3 ) следующим образом: ось CX направим параллельно касательной к орбите в сторону движения центра масс КА в перигее, ось CY - по нормали к плоскости орбиты, ось CZ направим параллельно радиус-вектору перигея орбиты (Рис. 4). Вследствие регрессии орбиты «перигейная» система координат вращается относительно инерциальной системы координат с угловой скоростью ~k = ~kΩ + ~kω = Ω̇~k∗ + ω̇π ~σ2 , где 2 2 Rз 1 Rз kΩ = Ω̇ = −ω0 ε̃ cos i, kω = ω̇π = ω0 ε̃ (5 cos2 i − 1), R 2 R ε̃ ≈ 0.0016239 - безразмерная постоянная величина, определяемая величиной сжатия Земли [31]. Ориентация осей «перигейной» системы координат 17

Рис. 4: относительно орбитальной системы координат определяется матрицей направляющих косинусов    U =  cos(ω0 t) 0 0 sin(ω0 t) 1 0 − sin(ω0 t) 0 cos(ω0 t)      следующим образом ~σi = Ui1 ξ~0 + Ui2~η0 + Ui3 ζ~0 , i = 1, 2, 3. Ориентация «перигейной» системы координат относительно инерциальной системы координат Oз X∗ Y∗ Z∗ определяется матрицей направляющих косинусов  − sin ωπ cos Ω − cos i cos ωπ sin Ω sin i sin Ω cos ωπ cos Ω − cos i sin ωπ sin Ω    P =  − sin ωπ sin Ω + cos i cos ωπ cos Ω − sin i cos Ω cos ωπ sin Ω + cos i sin ωπ cos Ω  sin i cos ωπ cos i 18 sin i sin ωπ

следующим образом ~i∗ = 3 X P1n~σn , ~j∗ = n=1 3 X P2n~σn , ~k∗ = n=1 3 X P3n~σn . n=1 ~ Г в главных центральных С учетом влияния регрессии орбиты вектор M осях инерции имеет компоненты [62] MГx = (C − B)(ω0 + kω )2 RЭ +10 ε̃ sin i sin u R MГy = (A − C)(ω0 + kω )2 RЭ +10 ε̃ sin i sin u R MГz = (B − A)(ω0 + kω )2 +10 ε̃ sin i sin u RЭ R RЭ 3 − 5ε̃ R 2 ! (7 sin2 i sin2 u − 1) γ2 γ3 + RЭ (γ2 W3,3 + γ3 W3,2 ) − 2ε̃ R 3 − 5ε̃ 2 2 RЭ R 2 3 − 5ε̃ RЭ R , (7 sin2 i sin2 u − 1) γ1 γ3 + RЭ (γ3 W3,1 + γ1 W3,3 ) − 2ε̃ R 2 W3,2 W3,3 ! ! 2 ! 2 , W3,1 W3,3 ! (7 sin2 i sin2 u − 1) γ1 γ2 + 2 (γ1 W3,2 + γ2 W3,1 ) − 2ε̃ RЭ R ! 2 W3,1 W3,2 . Здесь RЭ = 6.378136 · 106 м - экваториальный радиус Земли. Матрица W = P U A - матрица направляющих косинусов. Элементы W3i выражаются следующим образом W3,1 = α1 sin i cos u + β1 cos i + γ1 sin i sin u , W3,2 = α2 sin i cos u + β2 cos i + γ2 sin i sin u , W3,3 = α3 sin i cos u + β3 cos i + γ3 sin i sin u . 19

Относительная скорость ~vC , может быть представлена как разность абсолютной и переносной скоростей: ~vC = ~ dR ~ −ω ~ з × R. dt Используя теорему о полной и локальной производных и принимая систему координат CXY Z в качестве подвижной, получим: ~vC = ~ dR ~ =R ~˙ + ~k × R ~ −ω ~ = −ω ~з × R ~з × R dt = R cos(ω0 t)[ω0 − ωз cos i + kω + kΩ cos i]~σ1 − − R(kΩ − ωз ) sin i cos(ωπ + ω0 t)~σ2 + + R sin(ω0 t)[ωз cos i − ω0 − kω − kΩ cos i]~σ3 . В орбитальной системе координат: ~vC = R[ω0 + kω − (ωз − kΩ ) cos i] ξ~0 + R(ωз − kΩ ) sin i cos u ~η0 , где аргумент широты вычисляется по формуле u = ω0 t + ωπ = (ω0 + kω )t. 20 (11)

3 Стабилизация КА в прямом положении равновесия 3.1 Концепция построения электродинамической системы стабилизации КА ~ Л , задаВ работе [7] показано, что для любых реальных КА момент M ваемый формулой (8) можно аппроксимировать выражением ~ Л = P~ (1) × A> (~vC × B), ~ M (12) где ~vC - скорость центра масс КА относительно МПЗ, которая задается равенством ~˙ − ω ~ = R(ω0 − ωЗ cos i) ξ~0 + RωЗ sin i cos u ~η0 , ~З × R ~vC = R (13) ~ заданы в орбитальной системе координат. Статический мовекторы ~vC и B мент первого порядка P~ (1) далее будем обозначать P~ . Выражение (12) полу~ можно считать одичено в предположении, что в формуле (8) векторы ~v и B наковыми во всех точках объема, занимаемого КА, и равными соответствен~ в центре масс КА. Введем обозначение T~ = A> (~vC × B) ~ но векторам ~v и B ~ Л следующим образом и будем далее представлять момент M ~ Л = P~ × T~ . M (14) ~Л и M ~ М являются основой электродинамической системы Моменты M управления КА. Однако, как отмечено в работе [10], стабилизация углово~ Д , необходиго положения КА невозможна без демпфирующего момента M мого для погашения собственных КА в окрестности устойчивого положения равновесия. Используемая в [9] концепция построения электродинамической системы управления на базе совместного использования лоренцева 21

и магнитного моментов с управляемыми электродинамическими параметрами — статическим моментом заряда первого порядка P~ и собственным магнитным моментом I~ - позволяет обеспечить механизм демпфирования собственных колебаний КА. Таким образом, задача состоит в том, чтобы подобрать такой закон изменения вектора P~ , который обеспечивал бы со~ Л , направленной на погашение угловой здание составляющей момента M скорости ω ~ 0 КА в орбитальной системе координат. Следуя [9] введем дополнительные условия для подбора искомого закона: ~ Д вели1. пропорциональность величины демпфирующего момента M чине угловой скорости ω ~ 0; ~ Д под тупым углом к вектору ω 2. направленность момента M ~ 0 , нали\ ~ Д | при (M, ~ ω чие максимального значения |M ~ 0 ) = π и минимального \ ~ = 0 при (M, ~ ω значения |M| ~ 0 ) = π/2. Выбором управляемого момента P~ в виде P~ = QhЛ (t)~ω 0 × T~ удовлетворим описанным выше условиям. Таким образом, демпфирующая составляющая ~ Л имеет вид момента M ~ ЛД = QhЛ (~ω 0 × T~ ) × T~ , M (15) где hЛ - коэффициент пропорциональности, в качестве которого может выступать скалярная функция времени. Выражение (15) можно привести к записи в матричном виде ~ ЛД = −QhЛ (~ω 0 T 2 − T~ (~ω 0 · T~ )) = −QhЛ T~ω 0 , M где  T2  y + Tz2  T =  −Tx Ty  −Tx Tz −Tx Ty Tx2 + Tz2 −Ty Tz 22 −Tx Tz    −Ty Tz  .  2 2 Tx + Ty

Аналогичным образом подойдем к вопросу о подборе закона изменения ~ М , котовектора I~ для создания демпфирующей составляющей момента M рая имеет вид ~ МД = hМ (~ω 0 × A> B) ~ × A> B ~, M где hМ - коэффициент пропорциональности, в качестве которого может вы~ МД = −hv B ω ступать скалярная функция времени. Таким образом, M ~ 0 , где   2 2 B + Bz −Bx By −Bx Bz   y   2 2 B =  −Bx By Bx + Bz −By Bz  .   2 2 −Bx Bz −By Bz Bx + By ~ ЛД и M ~ МД , вклюМатрицы T и B неотрицательны, поэтому моменты M ченные в состав электродинамической системы управления, будут вызывать диссипацию энергии вращательного движения КА относительно центра масс. Таким образом, будет обеспечен процесс стабилизации КА в окрестности устойчивого положения равновесия (A = A0 ). Введем обозначение ~ тогда управляемый вектор P~ = Q~ T~0 = A> vC × B), ρ0 имеет вид 0 (~ ~ 0 × T~ ). P~ = Q(kЛ T~0 + hЛ ω (16) ~ ~ ~ 0 = A> Введем обозначение B 0 B, тогда управляемый вектор I имеет вид ~ 0 + hМ ω ~ I~ = kМ B ~ 0 × A> B. (17) ~Л и M ~ М примут вид Управляющие моменты M ~ Л = Q(kЛ T~0 × T~ + hЛ (~ω 0 × T~ ) × T~ ), M (18) ~ М = kМ B ~ 0 × A> B ~ + hМ (~ω 0 × A> B) ~ × A> B. ~ M (19) Выбор параметров управления kЛ , kМ , hЛ , hМ допускает определенный произвол, ограниченный техническими возможностями системы управления. 23

3.2 Методика электродинамической компенсации постоянно действующего возмущающего момента В предыдущем разделе рассматривалась задача электродинамической стабилизации изолированного положения равновесия КА (в системе коор~Л и M ~ М . Тем не менее, динат Cxyz) с помощью управляющих моментов M существует ряд задач, в которых наличие малого возмущающего момента приводит к исчезновению положений равновесия КА. В данном разделе покажем что не выходя за рамки электродинамической системы управления (т. е. только подбором вектора статического момента заряда КА и вектора собственного магнитного момента КА) можно скомпенсировать влияние постоянно действующего возмущающего момента и обеспечить существование и устойчивость програмного положения равновесия КА. Пусть ~g - вектор постоянно действующего возмущающего момента, который надо скомпенсировать. Введем в рассмотрение ортонормированный базис векторов (~b, ~t, ~s), которые задаются следующим образом ~ ~b = B , ~t = ~ |B| T~ , ~s = |T~ | ~ × T~ B . ~ × T~ | |B Подберем вектор статического момента заряда КА P~g = p1~b + p2~t + p3~s (20) и вектор собственного магнитного момента КА I~g = i1~b + i2~t + i3~s (21) ~Л и M ~ М. так, чтобы вектор ~g лежал в плоскости управляющих моментов M ~ лежат в ортогональных Это возможно потому, что векторы P~g × T~ и I~g × B плоскостях. Таким образом, нужно требовать выполнение равенства h i ~ ~ ~ ~ ~g (Pg × T ) × (Ig × B) = 0. 24 (22)

Вектор ~g в базисе (~b, ~t, ~s) имеет вид ~g = g1~b + g2~t + g3~s , (23) где ~ ~ × T~ ) ~g B ~g T~ ~g (B , g2 = , g3 = . g1 = ~ ~ T~ | |B| |T~ | |B|| С использованием (20) и (21) получаем P~g × T~ = (p1~b + p2~t+ p3~s ) × T~ = |T~ |(p1 ~b × ~t+ p3 ~s × ~t ) = |T~ |(p1~s − p3~b ) , (24) ~ = (i1~b + i2~t + i3~s ) × B ~ = |B|(−i ~ I~g × B s + i3~t ) . 2~ (25) Итого, с учетом (23), (24) и (25) требование (22) примет вид g1 p1 i3 + g2 p3 i2 + g3 p3 i3 = 0. (26) Таким образом, для того чтобы вектор ~g лежал в плоскости управляющих ~Л и M ~ М необходимо подобрать параметры p1 , p3 , i2 , i3 так, моментов M чтобы выполнялось соотношение (26). Для компенсации вектора ~g нужно требовать выполнения соотношения ~ + ~g = 0, k1 P~g × T~ + k2 I~g × B (27) где k1 и k2 - коэффициенты, которые нужно подобрать. С помощью (23), (24) и (25) преобразуем соотношение (27) к виду ~ 3 + g2 )~t + (k1 |T~ |p1 − k2 |B|i ~ 2 + g3 )~s = 0. (−k1 |T~ |p3 + g1 )~b + (k2 |B|i Приравнивая к нулю первые две компоненты вектора из левой части последнего равенства, получим k1 = g1 g2 , k2 = − . ~ 3 |T~ |p3 |B|i 25 (28)

Нетрудно видеть, что такие k1 и k2 удовлетворяют условию равенства нулю третьей компоненты вектора, поскольку оно совпадает с условием (26), и значит выполняется. Также из (28) видно, что необходимо требовать p3 6= 0 и i3 6= 0 . Итого, чтобы скомпенсировать вектор ~g необходимо и достаточно выполнения условия g2 ~ g1 ~ ~ ) + ~g = 0, (Pg × T~ ) − (Ig × B ~ ~ |T |p3 |B|i3 где P~g = p1~b + p3~s, (29) I~g = i2~t + i3~s, (30) и параметры p1 , p3 6= 0, i2 , i3 6= 0 удовлетворяют условию (26). 3.3 Стабилизация КА в прямом положении равновесия Прямым положением равновесия КА (ППР) в орбитальной системе координат называется такое его положение, при котором оси x, y, z совпадают с осями ξ, η, ζ соответственно. В этом положении     1 0 0 α α α   10 20 30       ωx = ωz = 0, ωy = ω0 , A0 =  β10 β20 β30  = 0 1 0 .     γ10 γ20 γ30 0 0 1 (31) Задачи, связанные с электродинамической стабилизацией КА в прямом положении равновесия без учета эффекта сжатия Земли, исследованы в работах Антипова К. А., Петрова К. Г., Тихонова А. А. 26

Введем в рассмотрение «самолетные» углы: ϕ (крен), ψ (рыскание), θ (тангаж) (Рис. 5). «Самолетные» углы используются для определения положения осей системы координат Cxyz относительно осей орбитальной системы координат Cξηζ. «Самолетные» углы и направляющие косинусы Рис. 5: «Самолетные» углы αi , βi , γi , (i = 1, 2, 3) связаны следующими соотношениями α1 = cos ψ cos θ, α2 = − cos ϕ sin ψ + sin ϕ cos ψ sin θ, α3 = sin ϕ sin ψ + cos ϕ cos ψ sin θ, β1 = sin ψ cos θ, β2 = cos ϕ cos ψ + sin ϕ sin ψ sin θ, (32) β3 = − sin ϕ cos ψ + cos ϕ sin ψ sin θ, γ1 = − sin θ, γ2 = sin ϕ cos θ, γ3 = cos ϕ cos θ. Компоненты вектора относительной угловой скорости ω ~ 0 в системе координат Cxyz с использованием «самолетных» углов (см. рис. 5) выглядят 27

следующим образом p = ϕ̇ − ψ̇ sin θ, q = θ̇ cos ϕ + ψ̇ sin ϕ cos θ, r = −θ̇ sin ϕ + ψ̇ cos ϕ cos θ. (33) Подставив (33) в (4) получим ωx = ϕ̇ − ψ̇ sin θ + ω0 sin ψ cos θ, ωy = θ̇ cos ϕ + ψ̇ sin ϕ cos ϑ + ω0 (cos ϕ cos ψ + sin ϕ sin ψ sin θ), ωz = −θ̇ sin ϕ + ψ̇ cos ϕ cos θ + ω0 (− sin ϕ cos ψ + cos ϕ sin ψ sin θ). Дифференциальные уравнения вращательного движения КА под дей~ Л, M ~ М , определяемых выражениями (18) ствием управляющих моментов M ~ Г , учитывающего влияние эффекта сжаи (19), и возмущающего момента M тия Земли (см. раздел 2.3), строятся по схеме Эйлера - Пуассона (6), (9) или в векторном виде d ~Л +M ~М +M ~ Г, (J~ω ) + ω ~ × (J~ω ) = M dt (34) d~ d d~ ξ0 = ξ~0 × ω ~ − ω0 ζ~0 , η~0 = ~η0 × ω ~, ζ0 = ζ~0 × ω ~ + ω0 ξ~0 , dt dt dt где J - тензор инерции КА. Представим выражения (16) и (17) в скалярном виде Px0 = Q kЛ (α10 vCη Bζ − β10 vCξ Bζ + γ10 (vCξ Bη − vCη Bξ )) + + hЛ (q (α3 vCη Bζ − β3 vCξ Bζ + γ3 (vCξ Bη − vCη Bξ )) − −r (α2 vCη Bζ − β2 vCξ Bζ + γ2 (vCξ Bη − vCη Bξ ))) , Py0 = Q kЛ (α20 vCη Bζ − β20 vCξ Bζ + γ20 (vCξ Bη − vCη Bξ )) + + hЛ (r (α1 vCη Bζ − β1 vCξ Bζ + γ1 (vCξ Bη − vCη Bξ )) − −p (α3 vCη Bζ − β3 vCξ Bζ + γ3 (vCξ Bη − vCη Bξ ))) , (35) 28

Pz0 = Q kЛ (α30 vCη Bζ − β30 vCξ Bζ + γ30 (vCξ Bη − vCη Bξ )) + + hЛ (p (α2 vCη Bζ − β2 vCξ Bζ + γ2 (vCξ Bη − vCη Bξ )) − −q (α1 vCη Bζ − β1 vCξ Bζ + γ1 (vCξ Bη − vCη Bξ ))) , Ix0 = kМ (α10 Bξ + β10 Bη + γ10 Bζ ) + + hМ (q (α3 Bξ + β3 Bη + γ3 Bζ ) − r (α2 Bξ + β2 Bη + γ2 Bζ )) , Iy0 = kМ (α20 Bξ + β20 Bη + γ20 Bζ ) + + hМ (r (α1 Bξ + β1 Bη + γ1 Bζ ) − p (α3 Bξ + β3 Bη + γ3 Bζ )) , (36) Iz0 = kМ (α30 Bξ + β30 Bη + γ30 Bζ ) + + hМ (p (α2 Bξ + β2 Bη + γ2 Bζ ) − q (α1 Bξ + β1 Bη + γ1 Bζ )) . Подставляя (31) в (35) и (36) получаем Px0 = Q kЛ vCη Bζ + hЛ (q (α3 vCη Bζ − β3 vCξ Bζ + γ3 (vCξ Bη − vCη Bξ )) − −r (α2 vCη Bζ − β2 vCξ Bζ + γ2 (vCξ Bη − vCη Bξ ))) , Py0 = Q −kЛ vCξ Bζ + hЛ (r (α1 vCη Bζ − β1 vCξ Bζ + γ1 (vCξ Bη − vCη Bξ )) − −p (α3 vCη Bζ − β3 vCξ Bζ + γ3 (vCξ Bη − vCη Bξ ))) , (37) Pz0 = Q kЛ (vCξ Bη − vCη Bξ ) + + hЛ (p (α2 vCη Bζ − β2 vCξ Bζ + γ2 (vCξ Bη − vCη Bξ )) − −q (α1 vCη Bζ − β1 vCξ Bζ + γ1 (vCξ Bη − vCη Bξ ))) , Ix0 = kМ Bξ + hМ (q (α3 Bξ + β3 Bη + γ3 Bζ ) − r (α2 Bξ + β2 Bη + γ2 Bζ )) , Iy0 = kМ Bη + hМ (r (α1 Bξ + β1 Bη + γ1 Bζ ) − p (α3 Bξ + β3 Bη + γ3 Bζ )) , (38) Iz0 = kМ Bζ + hМ (p (α2 Bξ + β2 Bη + γ2 Bζ ) − q (α1 Bξ + β1 Bη + γ1 Bζ )) . 29

~Л и M ~ М имеют С учетом (37) и (38) проекции управляющих моментов M вид MЛx = Q [(−kЛ vCξ Bζ + hЛ (r (α1 vCη Bζ − β1 vCξ Bζ + γ1 (vCξ Bη − vCη Bξ )) − −p (α3 vCη Bζ − β3 vCξ Bζ + γ3 (vCξ Bη − vCη Bξ )))) × × (α3 vCη Bζ − β3 vCξ Bζ + γ3 (vCξ Bη − vCη Bξ )) − − (kЛ (vCξ Bη − vCη Bξ ) + hЛ (p (α2 vCη Bζ − β2 vCξ Bζ + γ2 (vCξ Bη − vCη Bξ )) − −q (α1 vCη Bζ − β1 vCξ Bζ + γ1 (vCξ Bη − vCη Bξ )))) × × (α2 vCη Bζ − β2 vCξ Bζ + γ2 (vCξ Bη − vCη Bξ ))] , MЛy = Q [(kЛ (vCξ Bη − vCη Bξ ) + hЛ (p (α2 vCη Bζ − β2 vCξ Bζ + +γ2 (vCξ Bη − vCη Bξ )) − q (α1 vCη Bζ − β1 vCξ Bζ + γ1 (vCξ Bη − vCη Bξ )))) × × (α1 vCη Bζ − β1 vCξ Bζ + γ1 (vCξ Bη − vCη Bξ )) − − (kЛ vCη Bζ + hЛ (q (α3 vCη Bζ − β3 vCξ Bζ + γ3 (vCξ Bη − vCη Bξ )) − −r (α2 vCη Bζ − β2 vCξ Bζ + γ2 (vCξ Bη − vCη Bξ )))) × × (α3 vCη Bζ − β3 vCξ Bζ + γ3 (vCξ Bη − vCη Bξ ))] , MЛz = Q [(kЛ vCη Bζ + hЛ (q (α3 vCη Bζ − β3 vCξ Bζ + γ3 (vCξ Bη − vCη Bξ )) − −r (α2 vCη Bζ − β2 vCξ Bζ + γ2 (vCξ Bη − vCη Bξ )))) × × (α2 vCη Bζ − β2 vCξ Bζ + γ2 (vCξ Bη − vCη Bξ )) − − (−kЛ vCξ Bζ + hЛ (r (α1 vCη Bζ − β1 vCξ Bζ + γ1 (vCξ Bη − vCη Bξ )) − −p (α3 vCη Bζ − β3 vCξ Bζ + γ3 (vCξ Bη − vCη Bξ )))) × × (α1 vCη Bζ − β1 vCξ Bζ + γ1 (vCξ Bη − vCη Bξ ))] , MМx = (kМ Bη + hМ (r (α1 Bξ + β1 Bη + γ1 Bζ ) − p (α3 Bξ + β3 Bη + γ3 Bζ ))) × × (α3 Bξ + β3 Bη + γ3 Bζ ) − (kМ Bζ + hМ (p (α2 Bξ + β2 Bη + γ2 Bζ ) − −q (α1 Bξ + β1 Bη + γ1 Bζ ))) (α2 Bξ + β2 Bη + γ2 Bζ ) , 30

MМy = (kМ Bζ + hМ (p (α2 Bξ + β2 Bη + γ2 Bζ ) − q (α1 Bξ + β1 Bη + γ1 Bζ ))) × × (α1 Bξ + β1 Bη + γ1 Bζ ) − (kМ Bξ + hМ (q (α3 Bξ + β3 Bη + γ3 Bζ ) − −r (α2 Bξ + β2 Bη + γ2 Bζ ))) (α3 Bξ + β3 Bη + γ3 Bζ ) , MМz = (kМ Bξ + hМ (q (α3 Bξ + β3 Bη + γ3 Bζ ) − r (α2 Bξ + β2 Bη + γ2 Bζ ))) × × (α2 Bξ + β2 Bη + γ2 Bζ ) − (kМ Bη + hМ (r (α1 Bξ + β1 Bη + γ1 Bζ ) − −p (α3 Bξ + β3 Bη + γ3 Bζ ))) (α1 Bξ + β1 Bη + γ1 Bζ ) . При рассмотрении малых колебаний КА, в окрестности прямого положения равновесия справедливо предположение о малости углов ϕ, ψ, θ и ~Л и M ~ М по степеням их производных по времени. Разложим моменты M этих малых величин с точностью до членов второго порядка малости. В результате получим MЛx = l11 (t)(kЛ ϕ + hЛ ϕ̇) + l12 (t)(kЛ θ + hЛ θ̇) + l13 (t)(kЛ ψ + hЛ ψ̇), MЛy = l21 (t)(kЛ ϕ + hЛ ϕ̇) + l22 (t)(kЛ θ + hЛ θ̇) + l23 (t)(kЛ ψ + hЛ ψ̇), (39) MЛz = l31 (t)(kЛ ϕ + hЛ ϕ̇) + l32 (t)(kЛ θ + hЛ θ̇) + l33 (t)(kЛ ψ + hЛ ψ̇), MМx = b11 (t)(kМ ϕ + hМ ϕ̇) + b12 (t)(kМ θ + hМ θ̇) + b13 (t)(kМ ψ + hМ ψ̇), MМy = b21 (t)(kМ ϕ + hМ ϕ̇) + b22 (t)(kМ θ + hМ θ̇) + b23 (t)(kМ ψ + hМ ψ̇), (40) MМz = b31 (t)(kМ ϕ + hМ ϕ̇) + b32 (t)(kМ θ + hМ θ̇) + b33 (t)(kМ ψ + hМ ψ̇), где 2 l11 (t) = −Q (vCη Bξ − vCξ Bη )2 + vCξ Bζ2 , b11 (t) = −(Bη2 + Bζ2 ), l12 (t) = l21 (t) = −QvCξ vCη Bζ2 , b12 (t) = b21 (t) = Bξ Bη , l13 (t) = l31 (t) = QvCη Bζ (vCξ Bη − vCη Bξ ), 2 Bζ2 , l22 (t) = −Q (vCη Bξ − vCξ Bη )2 + vCη b13 (t) = b31 (t) = Bξ Bζ , b22 (t) = −(Bξ2 + Bζ2 ) , l23 (t) = l32 (t) = −QvCξ Bζ (vCξ Bη − vCη Bξ ), b23 (t) = b32 (t) = Bη Bζ , 2 2 l33 (t) = −Q(vCξ + vCη )Bζ2 , b33 (t) = −(Bξ2 + Bη2 ) . 31 (41)

Аналогично поступим с выражением для гравитационного момента (см. ~ Г . Получим 2.3) M MГx = G1 (t) + g11 (t)ϕ + g12 (t)θ + g13 (t)ψ, MГy = G2 (t) + g12 (t)ϕ + g22 (t)θ + g23 (t)ψ, MГz = G3 (t) + g31 (t)ϕ + g32 (t)θ + g33 (t)ψ, где " g11 (t) = (C − B)(ω0 + kω )2 3 − ε̃ RЭ R 2 # 12 − 19 cos2 i − 17 sin2 i cos2 u , 2 RЭ g12 (t) = 2(B − C)(ω0 + kω ) ε̃ sin i cos i cos u, R 2 RЭ 2 g13 (t) = 8(B − C)(ω0 + kω ) ε̃ sin2 i sin u cos u, R 2 RЭ g21 (t) = 2(A − C)(ω0 + kω )2 ε̃ sin i cos i cos u, R # " 2 R Э 12 − 17 cos2 i − 19 sin2 i cos2 u , g22 (t) = (C − A)(ω0 + kω )2 3 − ε̃ R 2 RЭ g23 (t) = 8(A − C)(ω0 + kω )2 ε̃ sin i cos i sin u, R 2 RЭ g31 (t) = 8(B − A)(ω0 + kω )2 ε̃ sin2 i sin u cos u, R 2 RЭ g32 (t) = 8(A − B)(ω0 + kω )2 ε̃ sin i cos i sin u, R 2 RЭ 2 g33 (t) = 2(A − B)(ω0 + kω ) ε̃ cos2 i − sin2 i cos2 u , R 2 32

2 R Э sin i cos i sin u, G1 (t) = 8(C − B)(ω0 + kω )2 ε̃ R 2 RЭ 2 G2 (t) = 8(A − C)(ω0 + kω ) ε̃ sin2 i sin u cos u, R 2 RЭ G3 (t) = 2(A − B)(ω0 + kω )2 ε̃ sin i cos i cos u. R Слагаемые G1 (t), G2 (t), G3 (t) есть главное отличие данной постановки задачи от постановки без учета эффекта сжатия Земли. Упомянутые выше слагаемые способствуют исчезновению прямого положения равнове~Л и сия КА. Продемонстрируем, что подбором управляющих моментов M ~ М удастся скомпенсировать влияние этих слагаемых и обеспечить сущеM ствование ППР КА в орбитальной системе координат на регрессирующей орбите. В соответствии с методикой, предложенной в разделе 3. 2, введем в выражения для векторов P~ и I~ (16), (17) дополнительные слагаемые P~Г и I~Г ~ 0 × T~ + k1 P~Г , P~ = QkЛ T~0 + QhЛ ω ~ 0 + h~ω 0 × A> B ~ + k2 I~Г , I~ = kМ B ~ = G1 (t)~i1 + G2 (t)~i2 + которые будут отвечать за компенсацию момента G G3 (t)~i3 , где ~i1 , ~i2 , ~i3 - временное обозначение ортов системы Cxyz. Введем в рассмотрение матрицу направляющих косинусов   v v v  11 12 13    V = v21 v22 v23    v31 v32 v33 так, что ~b = v11~i1 + v12~i2 + v13~i3 , ~t = v21~i1 + v22~i2 + v23~i3 , 33 ~s = v31~i1 + v32~i2 + v33~i3 .

Элементы матрицы V таковы:  Bx By Bz  ~ ~ ~ |B| |B| |B|    Ty Tz Tx  V =  |T~ | |T~ | |T~ |    By Tz − Bz Ty Bz Tx − Bx Tz Bx Ty − By Tx ~ T~ | ~ T~ | ~ T~ | |B|| |B|| |B||       ,     ~ на оси системы координат Cxyz, где Bx , By , Bz – проекции вектора B ~ а Tx , Ty , Tz – проекции вектора T~ на оси (т. е. координаты вектора A> B), ~ Тогда системы координат Cxyz (т. е. координаты вектора T~ = A> (~vC × B)). следуя (29), (30)    p  1   P~Г = V >  0  ,   p3  0     I~Г = V >  i2  .   i3 Необходимо выбрать параметры p1 , p3 6= 0, i2 , i3 6= 0 так, чтобы они удовлетворяли условию (26), которое в рассматриваемом случае примет вид ~ > B) ~ G(A p1 i 3 + ~ |B| >~ ~ T~ ~ G G((A B) × T~ ) p 3 i2 + p3 i 3 = 0 . ~ T~ | |T~ | |B|| (42) Поскольку в выборе этих параметров существует определенный произвол, для простоты выберем p1 = 0, p3 = 1, i2 = 1. Из равенства (42) получаем i3 = − ~ T~ |B| ~ G . > ~ ~ ~ G((A B) × T ) Управляемые векторы P~ и I~ принимают вид P~ = QkЛ T~0 + QhЛ ω ~ 0 × T~ + k1 V > (0, 0, 1)> , 34

~ 0 + hМ ω ~ + k2 V > I~ = kМ B ~ 0 × A> B ~ T~ |B| ~ G 0, 1, − > B) ~ ~ × T~ ) G((A !> , ~ B ~ 0 = A> ~ где T~0 = A> vC × B), 0 (~ 0 B. Коэффициенты k1 и k2 , определяемые формулами (28), принимают вид: >~ ~ > B) ~ ~ G(A G((A B) × T~ ) k1 = , k2 = . ~ ~ 2 |T~ ||B| |T~ ||B| ~Л и M ~ М имеют вид Итого, управляющие моменты M ~ > B) ~ G(A > 0 > ~ ~ ~ ~ ~ MМ = QkЛ T0 × T + QhЛ (~ω × T ) × T + V (0, 0, 1) × T~ , ~ ~ |T ||B| ~ М = kМ B ~ 0 × A> B ~ + hМ (~ω 0 × A> B) ~ × A> B+ ~ M  !>  >~ ~ ~ T~ |B| ~ B) × T~ )  > G((A G ~  × A> B. + V 0, 1, − 2 > ~ ~ ~ ~ ~ |T ||B| G((A B) × T ) Динамические уравнения Эйлера (в «самолетных» углах) в матричной форме имеют вид  ϕ̈   J  θ̈  ψ̈      ϕ̇ ϕ           ~ = 0,  + H  θ̇  + M  θ  + X      ψ̇ ψ   A 0 0     J =  0 B 0 ,   0 0 C 35 где (43)

       H =       (C − A − B)∗ 0 kΩ sin i sin u −(C − A − B)∗ 0 kΩ sin i sin u −(A + C − B)∗ −(A − C − B)∗ (ω0 + kω + kΩ cos i) kΩ sin i cos u (A + C − B)∗    (ω0 + kω + kΩ cos i)     (A − C − B)∗ −   kΩ sin i cos u     0 − hЛ (lij (t)) − hМ (bij (t)), M = (mij ), m11 = (B − C) (kω + ω0 + kΩ cos i)2 − kΩ2 sin2 i sin2 u − −kЛ l11 (t) − kМ b11 (t) − g11 (t), m12 = (C − B)kΩ (kω + ω0 + kΩ cos i) sin i cos u − kЛ l12 (t) − kМ b12 (t) − g12 (t), m13 = (B − C)kΩ2 sin2 i sin u cos u − kЛ l13 (t) − kМ b13 (t) − g13 (t), m21 = (C − A)kΩ (kω + ω0 + kΩ cos i) sin i cos u − kЛ l21 (t) − kМ b21 (t) − g21 (t), m22 = (A − C)kΩ2 sin2 i cos(2u) − kЛ l22 (t) − kМ b22 (t) − g22 (t), m23 = (A − C)kΩ (kω + ω0 + kΩ cos i) sin i sin u − kЛ l23 (t) − kМ b23 (t) − g23 (t), m31 = (B − A)kΩ2 sin2 i sin u cos u − kЛ l31 (t) − kМ b31 (t) − g31 (t), m32 = (A − B)kΩ sin i sin u(kω + ω0 + kΩ cos i) − kЛ l32 (t) − kМ b32 (t) − g32 (t), m33 = (B − A) (kω + ω0 + kΩ cos i)2 − kΩ2 cos2 u sin2 i − −kЛ l33 (t) − kМ b33 (t) − g33 (t), ~ — вектор с компонентами Xj (t, ϕ, θ, ψ, ϕ̇, θ̇, ψ̇) (j = 1, 3), которые нелиX нейным образом зависят от ϕ, θ, ψ, ϕ̇, θ̇, ψ̇. 36

Рассмотрим систему (43) в линейном приближении       ϕ ϕ̇ ϕ̈             J  θ̈  + H  θ̇  + M  θ  = 0.       ψ ψ̇ ψ̈ (44) e f(t) соПредставим матрицы H и M в виде H = Hcp + H(t), M = Mcp + M ответственно. Здесь матрицы Hcp и Mcp получены покомпонентным усреднением матриц H и M по времени, т.е.    −h l Л 11cp − hМ b11cp      Hcp =  −hЛ l12cp − hМ b12cp   −(ω0 + kω + kΩ cos i)∗    (A − B + C)−  −hЛ l13cp − hМ b13cp −hЛ l12cp − hМ b12cp (ω0 + kω + kΩ cos i)∗  (A − B + C)−        ,        −hЛ l13cp − hМ b13cp −hЛ l22cp − hМ b22cp −hЛ l23cp − hМ b23cp −hЛ l23cp − hМ b23cp −hЛ l33cp − hМ b33cp Mcp = (µij ), µ11 = ((ω0 + kω)2 + 0.5kΩ (4 cos i(ω0 + kω ) + kΩ (3 cos2 i − 1)))(B − C) − −kЛ l11cp − kМ b11cp − g11cp , µ12 = −kЛ l12cp − kМ b12cp − g12cp , µ13 = −kЛ l13cp − kМ b13cp − g13cp , µ21 = −kЛ l21cp − kМ b21cp − g21cp , µ22 = −kЛ l22cp − kМ b22cp − g22cp , µ23 = −kЛ l23cp − kМ b23cp − g23cp , µ31 = −kЛ l31cp − kМ b31cp − g31cp , 37

µ32 = −kЛ l32cp − kМ b32cp − g32cp , µ33 = ((ω0 + kω)2 5 + 0.5kΩ (4 cos i(ω0 + kω ) + kΩ (3 cos2 i − 1)))(B − A) − −kЛ l33cp − kМ b33cp − g33cp , где 2 2 1 RЭ g11cp = (C − B)(ω0 + kω )2 6 − 7ε̃ 2 R ! (1 − 3 cos2 i) , ! RЭ 1 (2 − 3 sin2 i) , g22cp = (C − A)(ω0 + kω )2 6 + 5ε̃ 2 R 2 RЭ g33cp = (B − A)(ω0 + kω )2 ε̃ (1 − 3 cos2 i), R g12cp = g13cp = g21cp = g23cp = g31cp = g32cp = 0, 2 2 l11cp = −Q[hvCη Bξ2 it − 2vCξ hvCη Bξ Bη it + vCξ (hBη2 it + hBζ2 it )], (45) l12cp = l21cp = −QvCξ hvCη Bζ2 it , (46) 2 l13cp = l31cp = Q(vCξ hvCη Bη Bζ it − hvCη Bξ Bζ it ), (47) 2 2 2 l22cp = −Q[hvCη Bξ2 it − 2vCξ hvCη Bξ Bη it + vCξ hBη2 it + hvCη Bζ2 it ], (48) l23cp = l32cp = −QvCξ (vCξ hBη Bζ it − hvCη Bξ Bζ it ), (49) 2 2 l33cp = −Q(vCξ hBζ2 it + hvCη Bζ2 it ), (50) b11cp = −(hBη2 it + hBζ2 it ), b12cp = b21cp = hBξ Bη it , b13cp = b31cp = hBξ Bζ it , b22cp = −(hBξ2 it + hBζ2 it ), b23cp = b32cp = hBη Bζ it , b33cp = −(hBξ2 it + hBη2 it ) . (51) Средние величины h· · · it получены, но по причине громоздкой структуры в данной работе не приводятся. 38

В системе уравнений (44) заменим матрицы H и M их средними значениями Hcp и Mcp :       ϕ ϕ̇ ϕ̈             J  θ̈  + Hcp  θ̇  + Mcp  θ  = 0.       ψ ψ̇ ψ̈ (52) С помощью замены x1 = dϕ , du x4 = ϕ, x2 = dθ , du x3 = x5 = θ, dψ1 , du x6 = ψ1 систему (44) можно привести к безразмерному виду: dx e (u))x, = (N + N du где матрица N имеет блочную структуру:  J −1 Hcp J −1 Mcp − −  ω0 + kω (ω0 + kω )2    N= 0 0 0  1 0 0   0 1 0 0 0 0  0 0 1 (53)      .     (54) 0 0 0 dx = N x являются асимптотически устойчивыми du тогда и только тогда, когда действительные части корней λk характеристиВсе решения системы ческого уравнения det(λI − N ) = 0 отрицательны. Пусть α - наибольший из вещественных частей всех корней λk , k = 1..6, (α < 0), M = kSk · kS −1 k, где S - матрица преобразования матрицы N к жордановой форме. В этих условиях, в соответствии с теоремой 6.3, сформулированной в [11], из выполнения равенства e < kNk 39 −α M (55)

следует, что нулевое решение системы (53) асимптотически устойчиво. Значит нулевое решение исходной нелинейной системы (34) будет устойчивым при постоянно действующих возмущениях [12]. 3.4 Заключение Проведенный с помощью ЭВМ численный анализ показал, что существует большая область параметров ИСЗ и орбиты (с учетом физических параметров СЭСЗ, описанной в разделе 1), при которых выполнено условие (55). 40

Литература 1. Белецкий В.В., Хентов А.А. Вращательное движение намагниченного спутника М., Наука, 1985. 288 с. 2. Попов В. И. Системы ориентации и стабилизации космических аппаратов. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Машиностроение, 1986. - 184 с. 3. Joseph G. Smith, Jr., Trent Smith, Martha Williams, Robert Youngquist, Wendell Mendell. Potential Polymeric Sphere Construction Materials for a Spacecraft Electrostatic Shield. NASA/TM-2006-214302. 4. R.P. Joshi, Hao Qiu, R.K. Tripathi «Evaluation of a combined electrostatic and magnetostatic configuration for active spaceradiation shielding» 2012 [Department of Electrical Computer Engineering, Old Dominion University, Norfolk, VA 23681, USA]. 5. А. М. Гальпер. Радиационный пояс Земли. Соросовский образовательный журнал, №6, 1999. 6. Galactic Cosmic Rays. NASA. 6 June 2012. (http://helios.gsfc.nasa.gov/gcr.html). 7. Петров К. Г., Тихонов А. А. Момент сил Лоренца, действующих на заряженный спутник в магнитном поле Земли. Ч.2: Вычисление момента и оценки его составляющих // Вестник СПбГУб Сер.1, 1999, вып.3(№15), с. 81 - 91. 8. Дубошин Г. Н. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Изд. 2-е. -М., Наука, 1976. 864 с. 41

9. Антипов К. А., Тихонов А. А. Автоматика и Телемеханика, 2007, №8, с. 44 - 56. 10. Сарычев В. А. Влияние сжатия Земли на вращательное движение искусственного спутника // Искусственные спутники Земли. - М.: Изд. АН СССР, 1961, №6, с. 3 - 10. 11. Каленова В. И., Морозов В. М. Линейные нестационарные системы и их приложения к задачам механики. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010.-208с. 12. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М., Наука, 1966. 42

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв