Гипотеза подковы для минимайзера максимального расстояния

Мы изучаем свойства множеств $\Sigma$, обладающих минимальной длиной (одномерной мерой Хаусдорфа) в классе замкнутых связных множеств $\Sigma \subset \mathbb{R}^2$, удовлетворяющих неравенству $$\max_{y \in M} \dist(y,\Sigma) \leq r$$ для заданного компактного множества $M \subset \mathbb{R}^2$ и для заданного числа $r > 0$. Такие множества можно воспринимать как водопроводы минимальной длины, подходящие на расстояние не более $r$ к каждой точке множества $M$, которое можно считать множеством потребителей воды. В настоящей работе доказывается гипотеза Миранды, Паолини и Степанова, описывающая множество минимайзеров для частного случая, когда $M$ является окружностью радиуса $R>0$, удовлетворяющего условию $r < R/4.98$. Более того, мы показываем, что если $M$ является границей гладкого выпуклого множества с минимальным радиусом кривизны $R$, то любой минимайзер $\Sigma$ имеет схожую структуру при условии $r < R/5$. Кроме того, мы доказываем схожее утверждение для локальных минимайзеров.