Краевые задачи для псевдо-дифференциальных уравнений

Шабан К.

Краевые задачи для псевдо-дифференциальных уравнений

01.04.01 Математика

Математика

Диссертации

Вуз: Белгородский государственный университет - национальный исследовательский университет (НИУ «БелГУ»)

ID: 5b8886267966e1073081b89f

UUID: 699a4c00-8edf-0136-b762-525400005860

Язык: Русский

Опубликовано: больше 6 лет назад

Просмотры: 41

Шабан К.

Источник: Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Белгородский государственный национальный исследовательский университет»

Комментировать 0

Рецензировать 0

Скачать - 7,1 МБ

Поделиться работой

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ( Н И У « Б е л Г У » ) ИНСТИТУТ ИНЖЕНЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК КАФЕДРА ОБЩЕЙ МАТЕМАТИКИ Магистерская диссертация обучающегося по направлению подготовки (01.04.01) математика очной формы обучения группы00701535 Кутаиба Шабан Научный руководитель Доктор физикоматематических наук Профессор А.В.Глушак Рецензент Зам. директора ИНСТИТУТА по общим вопросом К.Т.Н.ДОЦ: Маматов Е.М. БЕЛГОРОД 2017

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ ПЕРВАЯ ГЛАВА. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 1. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ :ПРОСТРАНСТВА ШВАРЦА И ФУНКЦИЙ И ИХСВОЙСТВА 2. Преобразование Фурье и его свойства 3. Псевдодифференциальные операторы: определение и теория символов 4. Пространства Соболева ВТОРАЯ ГЛАВА. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ПСЕВДО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ 1. Интеграл типа Коши 2. Факторизация эллиптического символа 3. Псевдодифференциальные уравнения в полупространстве 4. Постановка краевых задачах для псевдодифференциальных уравнений ЗАКЛЮЧЕНИЕ ЛИТЕРАТУРА В

ВВЕДЕНИЕ Псевдо операторы дифференциальные Фурье (ИОФ) операторы являются (ПДО) обобщением и интегральные дифференциальных операторов в частных производных. Теория таких операторов активно развивается с 60-х годов прошлого века. Целый ряд результатов современной теории дифференциальных уравнений может быть получена только в рамках теории ПДО и ИОФ. В некоторых случаях применение теории ПДО и ИОФ дает более простые доказательства по сравнению с классическими методами. Ознакомление с теорией ПДО и ИОФ может быть полезно в виду того, что оно дает общий, целостный подход ко многим вопросам анализа. Теория ПДО и ИФО широко представлена в монографической литературе (см. список в конце). По большей части указанные книги дают фундаментальное изложение предмета и рассчитаны на подготовленного читателя. Цель данного пособия выделить из большого количества материала самое необходимое и ознакомить читателя/слушателя с основами теории на языке и в объеме доступном студентам 4–6 курсов. При написании пособия автор попытался сохранить неформальную специфику устной речи. Текст условно делится на формальную и неформальную части; последняя набрана наклонным шрифтом и с дополнительным отступом слева. К формальной части относятся определения, формулировки, доказательства и прочие строгие рассуждения, т. е. то, что при чтении лекций подробно записывается на доске. К неформальной части относится все остальное: замечания, пояснения, комментарии, напоминания, мотивировки тех или иных результатов, т. е. все то, что с одной стороны носит необязательный и одноразовый характер, а с другой делает изложение более живым и доступным. Как это обычно бывает, разные авторы используют разные обозначения. Мы будем придерживаться обозначений, которые согласуются

с [Х, Х1, Х3, GS], иногда позволяя себе по ходу изложения не объяснять некоторые общепринятые обозначения, смысл которых понятен из контекста. На всякий случай, в конце используемых обозначений. приведен достаточно полный список

Глава первая. Обобщѐнные функции и преобразование Фурье §1. Обобщенные функции 1. Пространство S. Пространство S=S( ) определяется как совокупность всех бесконечно дифференцируемых функций ϕ(x) в n-мерном пространстве , убывающих при |x|= → ∞ быстрее любой отрицательной степени |х| вместе со всеми своими производными. Для произвольной функции ϕ(x)€ S обозначим где p=( ) – целочисленный мультииндекс, |p|= +… + , . Топология в S задается нормами(1.1),в частности, последовательность при всех m=0, 1,... Пусть – совокупность всех финитных бесконечно дифференцируемых функций в . Очевидно Лемма 1.1. Пространство S. плотно в S в топологии S. Доказательство. Пусть положим Тогда проверить, Если Для произвольной и, как нетрудно (x) и любых m. Лемма 1.1 доказана. и , то сверткой ϕ функций ϕ(х) и функция (1.2) Делая замену переменных x-y=z, получим называется

(1.3) Очевидно, (1.4) Свертка определена не только для функций на S, а в значительно более широком классе функций. Лемма 1.2. Пусть |f(x)| , Тогда свертка и допускает оценку (1.5) где С не зависит от , m=max(|p|,|t|+n+1). Доказательство. Очевидно, свойства (1.3) и (1.4) остаются в силе и для , так что (1.6) Так как , то При любых действительных t имеет место следующее неравенство: (1.7) Действительно, пусть для определенности t>0. Тогда (1.8) Возводя (1.8) в степень t , получим (1.7). В случае t<0 нужно, чтобы получить (1.7), возвести в степень |t| неравенство 1+|x|<(1+|x-y|)*(1+|y|). В силу (1.6),(1.7) получим

(1.9) и ϕ Следствие 1.1. Если Действительно, в этом случае можно в (1.5) взять t=-1,-2,… Следовательно, , причем 2. Обобщенные функции. Функционал f называется линейным непрерывным функционалом над S, если 1) Для любых (1.10) , и любых комплексных чисел а1 и а2. Через обозначено значение функционала f на функции ; 2) для любой сходящейся в S последовательности (1.11) Линейный непрерывный функционал над S будем называть обобщенной функцией. Функции из S будем часто называть основными функциями. Пример 1.1. Пусть f(x) – локально интегрируемая в смысле Лебега функция, причем для некоторого N>0 (1.12) Тогда функции f(x) можно сопоставить линейный функционал над S по формуле (1.13)

Очевидно, | , так что (1.13) – непрерывный функционал над S. | Функционал вида (1.13) будем называть регулярным функционалом. Известно (см. [43]), что если такая, что почти всюду, то найдется , т.е. функционалы, отвечающие , не совпадают. Мы часто не будем делать различия между регулярным функционалом f и отвечающей ему функцией f(x) и будем обозначать регулярный функционал через f(x). Пример 1.2. Дельта функцией называется обобщенная определяемая по формуле функция, означает «любая функция из S». Линейная комбинация обобщѐнных функций определяется как линейная комбинация функционалов (1.14) Пространство обобщенных функций будем обозначать через S` = S`( Замечание ). 1.1. Выше был определен класс так называемых медленно растущих обобщенных функций. Более широкий класс обобщенных функций (D` или K`) получается, если в качестве пространства основных функций вместо S взять с соответствующей топологией (см. [21]). Однако для дальнейшего достаточно будет функционалов над S. Лемма 1.3.Пусть . Тогда существует m , m=m(f) такое, что (1.15) для любой

Доказательство. Допустим противное. Тогда существует последовательность функций такая, что Обозначим Тогда при любом i Следовательно, Таким в S. С другой стороны, образом, , что противоречит (1.11). Лемма 1.3 доказана. Очевидно, справедливо и обратное: если линейный функционал удовлетворяет оценке (1.15), то он непрерывен. 3.Действия над обобщенными функциями. А) Производной обобщенной функции является, по определению, обобщенная функция, удовлетворяющая соотношению (1.16) Очевидно, – линейный функционал, для которого выполнена оценка вида (1.15) с заменой m на m+|k|. Пусть , Тогда в силу (1.10) и (1.16) (1.16`) Отметим, что обобщенные функции имеют производные всех порядков. Пример 1.3.Пусть определяет регулярный функционал над S( Имеем согласно (1.16) Тогда ). Найдем функционал

( )= . Пример 1.4. Производная k-го порядка -функции определяется согласно (1.16`) по формуле Определение производной от обобщенной функции является естественным, так как в случае, когда f-регулярный функционал, отвечающий |k| раз непрерывно дифференцируемой функции степенного роста . аналогичном смысле естественным являются и приводимые В ниже определения. Б) Пусть (1.17) Производная а(x)f называется обобщенная функция, удовлетворяющая соотношению (1.18) где – комплексно сопряженная к a(x) функция. Если удовлетворяет оценкам (1.17), то , и а(х) причем Следовательно формула (1.18) действительно определяет линейный непрерывный функционал над S. В) Пусть назовем функцию – произвольный вектор. Сдвигом обобщенной функции f определяемую по формуле (1.19) В случае, когда f регулярный функционал, функционал, отвечающий функции f(x-a). так же регулярный

Г) Будем говорить, что последовательность , если (1.20) Отметим что из (1.20) и (1.16`) вытекает, что при любом k (1.21) Пример 1.5. Пусть при всех n=1,2,… оценке (1.12). Пусть удовлетворяет почти всюду. Тогда (1.22) в силу теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла. Обобщенные функции в области, носитель обобщенной функции Носителем непрерывной функции точек, где неограниченная, называется замыкание множества Пусть U- открытая область в (U) совокупность. , вообще говоря финитных бесконечно дифференцируемых функций, носитель которых содержится в U через S(U) обозначим замыкание (U) в топологии пространства S( , так что S (U) Будем говорить, что f-обобщенная функция в области U,если f-линейный и непрерывный функционал над S(U)). Пространство обобщенных функций будем обозначать через S' (U). Пусть F из S' ( ). Функционал над f из S' (U) называется сужением F на область U- если (F, )= (f, для любых из S(U). Oператор сужения будет обозначаться через р: рF=f. Так как о Замкнутое подпространство в S ( ) то по теореме Хана-Банаха любой непрерывный f над S(U) может быт продолжен до некоторого непрерывного функционала F над S( Будем обозначать продолжение f через lf:F=lf Замечание 1.2. возможность продолжения любой обобщѐнной функции в на все пространство R" связно с выбором s (U) в качестве пространства

основных функций . для пространств D' (U) или к' (U) это продолжение не всегда возможно. Преобразование Фурье 1. Преобразование Фурье основных функций. Пусть Преобразование Фурье определяется по формуле = = +…..+ (2.1) Формула обращения преобразования Фурье имеет следующий вид: (2.2) Оператор преобразования Фурье будем иногда обозначать через F, оператор обратного преобразования Фурье через преобразования Фурье функций из S: 1) F( 2) F( 3) равенство Парсеваля в частности 4) F(( a=( . Отметим следующие свойства

Преобразование Фурье обобщенных функций . Пусть f произвольная обобщенная функция. Преобразованием Фурье функционала f называется такая обобщенная функция , что ( Преобразование Фурье обобщенных функций имеет свойства. F( , F( . Пример 2.2. F( F( = . Действительно, = = =( (2.33) Преобразование Фурье финитного функционала. Функционал f из (Rn) называется финитным если его носитель содержится в некотором шаре . Лемма . Любой финитный функционал где g= (Rn) можно представит в виде: регулярные функционалы, определяемые финитными непрерывными функциями . Свертка обобщенной и основной функций. Пусть f из сверткой обобщенной функции f и основной функции будем называть функцию f * =(f(y), Пример 2.8. Пусть ). где целое. Определим

функционал по формуле: (2.84) Так же, как в примере 2.7, показывается, что над . Пусть непрерывный функционал Аналогично (2.80) получим В силу (2.41) Вычисляя интеграл по по формуле (2.86), получим аналогично (2.81) где

Предел при существует, так как доказывается, что . Как и при при Замечание 2.1. Пусть в (2.77) и (2.84) при , при . Тогда . Следовательно, интегрируя в (2.77) и (2,84) по частям, получим Функционалы (2.77) и (2.84) не являются единственными функционалами, удовлетворяющими соотношению (2.89) на функциях нулю при , равных . Очевидно, функционалы также обладают этим свойством при любых . Среди всех таких функционалов функционал (2.77) характеризуется тем, что однородная функция класса отличается от . Отметим, что на многочлен Замечание 2.2. Выясним, когда функция (2.88), является однородной. Так как то где , определяемая формулой

Очевидно, многочлен по когда , причем . Функция – однородный будет однородной тогда и только тогда, , что эквивалентно выполнению условий где При выполнении условий (2.93) . §3. Псевдодифференциальные операторы 1. Класс . Пусть локально суммируемая функция, удовлетворяющая оценке Класс таких функций будем обозначать через . Псевдодифференциальным оператором (п. д. о.) называется оператор, определенный на функциях из по формуле: где – преобразование Фурье символом оператора . Если то в силу (3.2) . Функция – многочлен по , т.е. называется

т.е. – дифференциальный оператор. Таким образом, класс псевдодифференциальных операторов содержит класс дифференциальных операторов. Будем иногда псевдодифференциальный оператор с символом обозначать через по аналогии с дифференциальными операторами. Пусть в (3.1) . Тогда следовательно, – абсолютно интегрируемая функция и, – непрерывная ограниченная функция. В силу свойства преобразования Фурье свертки т.е. при и псеводдифференциальный оператор (п. д. о.) является интегральным оператором типа свертки. При целое такое, что . Пусть и, следовательно, Обозначим найдется Тогда абсолютно интегрируема. . Тогда где оператор Лапласа. Таким образом, п.д.о. можно представить в виде интегродифференциального оператора. Отметим, что при любом удовлетворяет оценке

так как Следовательно, . является ограниченной бесконечно дифференцируемой функцией. 2. П.д.о. с однородными символами. Можно определить псевдодифференциальные операторы и для более широкого класса символов, чем . Пусть – произвольная обобщенная функция. Тогда в силу (1.18) определено произведение для любой Определим теперь псевдодифференциальный оператор в . , действующий из по формуле где оператор определяется согласно (2.28). Если в в , то в в силу (1.18) и образом, п. д. о. в силу леммы 2.1, в силу (2.31). Таким непрерывно отображает в . Пусть . В силу теоремы 2.2 причем из леммы 2.5 следует, что бесконечно дифференцируемая функция, удовлетворяющая оценкам вида (2.46). В приложениях часто встречаются псевдодифференциальные операторы с символами , порождаемыми однородными функциями Пусть , т.е. – однородная функция порядка бесконечно дифференцируемая при Пусть . Тогда функции функционал, который мы также обозначим через имеет вид, аналогичный (3.2) , . отвечает регулярный и п. д. о. с символом

Если – , то в силу примера 2.6 является регулярным функционалом. Согласно (3.8) и – т.е. при п. д. о. является интегральным оператором со слабой особенностью. Пусть . Тогда найдется целое Следовательно, такое, что , где . . Если – четное, , то Если – нечетное, , то где Таким образом, при любом где , функцию , . Следовательно, п. д. о. можно представить в виде – однородные многочлены по с символом в виде интегродифференциального оператора где . степени можно представить

Очевидно, п. д. о. можно многими способами представить в виде интегродифференциального оператора. Пример 3.2. Обозначим через п. д. о. с символом В силу примера 2.6 . . Покажем, что не зависит от где , . В силу (2.70) Сделаем в (3.13) ортогональное преобразование, направив ось вдоль вектора . Получим Как и в (2.73), доказывается, что существует следовательно, Для подставим в (2.74) В частности, при определения . Получим Таким образом, В силу (3.14) и (3.10) п. д. о. и, имеет вид получим константы

В было использовано, что Оператор . Если , то называется ньютоновским потенциалом. Пример 3.2. Пользуясь с символом при найдем представление вида (3.10) для п. д. о. . Так как то так как Пример 3.3. Пусть , где целое. Тогда - оператор Лапласа. Если найдется четное число Следовательно, В частности, такое, что и, следовательно, не является четным, то , где .

Вернемся к рассмотрению п. д. о. (3.12), предполагая, что . Обозначим Функционал не является регулярным и функции на при . Так как , то сужение обобщенной открытую область является регулярным функционалом, отвечающим бесконечно дифференцируемой функции Имеем Так как где – однородный многочлен по порядка , то . Подставляя (3.19) в (3.18), интегрируя а затем перейдя к пределу при Интеграл (3.20) сходится, так как , получим , раз по частям,

Отметим, что в дальнейшем основную роль при изучении псевдодифференциальных операторов будет играть представление (3.9), а не представленья (3.10), (3.12) или (3.20). 3. Сингулярный интегральный оператор. Пусть т.е. имеет нулевой порядок однородности. Обозначим Тогда и, следовательно, аналогично (3.12) п. д. о. символом с можно представить в виде где Покажем, что п. д. о. можно также представить в виде сингулярного интегрального оператора. Пусть . Если существует то будем говорить, что сингулярный интеграл (3.21) сходится в смысле главного значения (в смысле Коши), и обозначим Лемма 3.1. Пусть . Для того, существовал сингулярный интеграл необходимо и достаточно, чтобы чтобы при любой

Доказательство. Имеем Последний интеграл в (3.23), очевидно, сходится, так как . Далее, существует, так как . Для вычисления второго интеграла в (3.23) перейдем к сферическим координатам . Получим Таким образом, существует при любых тогда и только тогда, когда выполнено условие (3.22). Отметим, что в силу (3.23) и (3.22)

Теорема 3.1. Псевдодифференциальный оператор с символом можно представить в виде сингулярного интегрального оператора где Доказательство. Так как интегралы сходятся, то Проинтегрируем в (3.29) по частям. Получим где - элемент площади сферы координаты , получим . Введя сферические

Обозначим Так как , то . Отметим, что функционал не является регулярным. Однако его сужение на функционалом, отвечающим функции является регулярным . В силу (3.29) предел суммы интегралов (3.30) существует, так как второй интеграл в (3.30) имеет предел при Тогда из леммы 3.1 следует, что Таким образом, где Осталось показать, что , то существует

Так как то Следовательно, в силу (2.28) и (1.16) Аналогично (2.75) положим в (3.32) . Переходя к сферическим координатам, получим Так как то Теорема 3.1. доказана. Отметим, что [21]), так что равно площади представляет собой среднее значение на сфере (см. .

Пример 3.4. Обозначим через , п. д. о. с символом . Отметим, что в силу нечетности . Так как то в силу (3.14) и теоремы 3.1 В (3.34) было использовано, что Сингулярные интегральные операторы Пример 3.5. Пусть то п. д. о. Оператор называются операторами Рисса. – п. д. о. с символом . Так как можно представить в виде: называется интегродифференциальным оператором Зигмунда- Кальдерона. Формула (3.17 ) дает другое представление для Отметим, что любой п. д. о. с символом можно представить в виде , где – целое,

где – однородные дифференциальные операторы порядка сингулярные операторы. Действительно, символ , – можно представить в виде где , откуда следует представление (3.36). 4. П. д. о. с однородными символами (продолжение). Пусть и . Тогда функции можно сопоставить функционал формуле (2.77) при или по формуле (2.84) при П. д. о. где по имеет вид определяется по формуле (2.82) при или по формуле (2.88) при Пример 3.6. Обозначим через (2.84) при . функционал, определяемый по формуле Пусть . Тогда формула (2. 90) принимает вид где – площадь сферы Если аналогично (3.13) сделать ортогональное преобразование, направив ось вдоль вектора , то получим, что не зависит от ,

П. д. о. с символом имеет вид Пример 3.7. С помощью (3.38) найдем п. д. о. Так как с символом при . , то Отметим, что формула (3.42) может быть формально получена из (3.16) при . Отметим также при следующие формулы, легко вытекающие из (3.42), (3.15 ). 5. Пусть и , т. е. п. д. о. с символом является интегральным оператором. Обозначим через функцию класса , равную 1 при . Тогда функция и бесконечно дифференцируема, причем Обозначим через п. д. о. с символом Пусть и сравним его с п. д. о. . Тогда , то . . Так как является финитным функционалом и, следовательно, в силу теоремы 2.1 – целая аналитическая функция. Следовательно, при интегральный оператор с ядром при . Обозначим и – . В

силу (3.46) . При – ограниченная функция. Так как , то . Интегральные операторы и отличаются на интегральный оператор с бесконечно дифференцируемым ядром Умножение символа п. д. о. на . приводит к тому, что ядро убывает быстрее любой степени при , в то время как при и при §4. Пространства Соболева – Слободецкого 1. Пространство . Пусть – произвольное действительное число. Пространство Соболева – Слободецкого состоит, по определению, из обобщенных функций , преобразование Фурье которых является локально интегрируемой в смысле Лебега функцией Фурье-образ пространства такой, что будем обозначать через Формула (4.1) определяет норму в пространствах следовательно и , и . . Отметим, что ,а гильбертово пространство относительно скалярного произведения Отсюда, в частности, следует что и полны. Для и (2.28) приобретает вид Применяя к (4.3) неравенство Коши – Буняковского, получим формула

Очевидно, топология в сильнее сходимости по норме в , то подавно . С другой стороны, в силу (4.4), если , то Пусть , т. е. если для любой . Тогда превращается в , т. е. в . – пространство квадратично- интегрируемых в смысле Лебега функций. В силу теоремы Планшереля . Пусть – целое. Тогда при и, следовательно, в силу (2.29) и теоремы Планшереля . Таким образом, функций состоит из интегрируемых с квадратом , обобщенные производные которых при также являются интегрируемыми с квадратом функциями. Норма (4.1) при эквивалентна следующей норме: Пусть теперь – целое. Обозначим . Тогда . Пользуясь разложением можно аналогично (3.11) представить где в виде . Взяв обратное преобразование Фурье от обеих частей равенства (4.6), получим где , где .

Таким образом, обобщенные функции из производные функции из порядка не выше Пример 4.1. Функция любом представляют собой . принадлежит, очевидно, при и не принадлежат при и не принадлежат , так как в силу примера 2.2 . Теорема 4.1. Функции класса Доказательство. плотны в в норме (4.1). Пусть при Обозначим . Функция называется обычно ядром осреднения. Пусть – произвольная функция из теоремы 2.2 и , . В силу леммы 2.5 и . Делая замену переменных получим причем Следовательно, Действительно, и при при и любом фиксированном и . Так что (4.10) следует, например, из теоремы Лебега (см. пример 1.5). Таким образом, для любого найдется такое, что

Так как и, следовательно, убывает при любой отрицательной степени Пусть при любом , то при любом при . Тогда ,быстрее Обозначим , так как и . . Покажем, что . Действительно, воспользовавшись нормой (4.5), эквивалентной (4.1), получим, что при Следовательно, если , то найдется такое, что Из (4.11) и (4.12) следует, что существует функция такая, что . Теорема 4.1 доказана. В силу теоремы 4.1 пространство пополнение по норме 4.1. Для нормы (4.1) при также можно дать выражение в Лемма 4.1. Пусть Доказательство. Пусть можно было бы определить как – нецелом – пространстве. . Норма (4.1) эквивалентна норме . Имеем Применяя к (4.14) равенство Парсеваля при фиксированном , получим

Следовательно, Покажем, что Сделаем в (4.16) ортогональное преобразование координат чтобы ось была направлена вдоль , и после замены на такое, вектора . Тогда получим Отметим, что интеграл (4.17) сходится, так как в окрестностях нуля и Подставив . (4.16) в (4.15), получим, что . В силу теоремы 4.1 норма (4.13) остается конечной для любых Если и – целое, . Лемма 4.1 доказана. , то норма в силу (4.5) и леммы 4.1 эквивалентна следующей норме: Таким образом, пространство пополнение можно было бы определить как по норме (4.18) 2. Сужение на гиперплоскость. Пусть . Обозначим

через норму в пространстве Теорема 4.2. Пусть Тогда любая функция является непрерывной функцией со значениями в Имеет место оценка так что оператор сужения на гиперплоскость ограниченным из Доказательство. в Пусть . сначала преобразование Фурье является . по Обозначим : В силу (2.2) Пользуясь неравенством Коши-Буняковского, получим Сделаем замену переменной Умножив (4.22) на . Тогда и проинтегрировав по через , получим

где не зависит от и . Покажем теперь, что функции класса значениями в непрерывны по со . В силу (2.2) Оценивая (4.25) аналогично (4.22), получим где Отметим, что причем при фиксированном (4.26) на Так как при и проинтегрировав по при (ср. (4.10)). Умножив , получим и , то аналогично (4.10) из (4.28) следует при Пусть и фиксированной функции – произвольная функция из . . В силу теоремы 4.1

существует последовательность . В силу (4.29) функции значениями в такая, что непрерывны по со . Из (4.24) следует, что последовательность фундаментальна по норме пространство . Так как полно, то при каждом фиксированном существует Функция непрерывна по со значениями в как предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций Очевидно, из (4.30) следует, что , т. е. в для любой . Кроме того, . Таким образом, функция в . Следовательно, непрерывна по со значениями в , причем из (4.24) вытекает, что оценка (4.20) имеет место для любых . Теорема 4.2 доказана. Будем обозначать оператор сужения на гиперплоскость Обозначим также через через следующий оператор: В силу (4.22) где . Пример 4.2. Пусть . Покажем, что так что оценка (4.20) не может быть улучшена. Норма эквивалентна, очевидно, следующей норме:

Подставляя в (4.33), получим Так как то Нетрудно также построить примеры, показывающие точность оценки (4.20) при любом Пусть (см., например, [18]). – целое. Обозначим через пространство функций, непрерывных вместе со своими производными до порядка включительно и таких, что при Теорема Норма в 4.3 определяется формулой (теорема вложения С.Л. Соболева). Пусть . Тогда , и, следовательно, Доказательство. Пусть , – преобразование Фурье . В

силу (2.2.) Пользуясь неравенством Коши – Буняковского, получим Пусть Тогда Следовательно, откуда вытекает оценка (4.34). В силу теоремы 4.1 произвольная функция является пределом по норме последовательности . Тогда из (4.34) следует, что последовательность фундаментальна в . Так как , очевидно, полно, то существует . такая, что Отсюда, в частности, вытекает, что стороны, из и, таким образом, перехода при доказана. в следует, что (см. пример 1.5). С другой в . следовательно, . Неравенство (4.34) после предельного остается в силе для любых . Теорема 4.3.

Из теоремы 4.3. следуем, что если достаточно велико, то функции из . достаточно гладки. В частности, если . при всех , то . Пространства 3. и подпространство в . Пространство , состоящее из функций полупространстве . Аналогично формулой (4.1). При . Норма в к Лемма 4.2. Подпространство означает, что . замкнуто в . Доказательство. Пусть . Покажем, что для любой для любой ., т. . Лемма 4.2. доказана. В силу леммы 4.2 пространство Лемма 4.3. Функции класса плотны в . Обозначим через сдвиг обобщенной функции , следовательно, (ср. (4.10)). Так как если найдется на вектор (см. (1.19)). В силу (2.30) и , то согласно (1.19) при . Таким образом, полно. в норме (4.1). Доказательство. Пусть при . . В силу неравенства (4.4) . Следовательно, е. также задается и в силу определения носителя обобщенной для любой Имеем , . При произвольном, в частности отрицательном означает, что функции с носителем в замкнутом принадлежность почти всюду при как - подпространство в состоящее из функций с носителем , определяется , так как в этом случае подавно принадлежит такое, что . Для произвольного

Будем аппроксимировать функциями класса , так, как это делалось при доказательстве теоремы 4.1. Пусть и такие же, как в теореме 4.1. Функция , и, как показано при доказательстве теоремы 4.1, если и достаточно малы. Покажем, что при Достаточно проверить, что , . , так как умножение на не изменяет этого обстоятельства. Имеем в силу (2.45) Так как содержится то , при в полупространстве имеем Следовательно, в силу (4.35) при т.е . Из (4.36) и (4.37) следует, что . Лемма 4.3 доказана. Аналогично доказывается, что функции из плотны в Замечание 4.1.Пусть функций из – замкнутое подпространство . . Тогда представляет собой пространство , продолженных нулем при – целое, . Если сужения Покажем, . Пусть теперь то в силу теоремы 4.2 существуют на гиперплоскость . и что что Действительно, в силу теоремы 4.2 при , где при – непрерывные функции

со значениями в Так как то по непрерывности при в силу определения при . Пример 4.3. Обобщенная функция , так и Пусть принадлежит как – любое. Тогда прямое произведение принадлежит . Действительно, и аналогично (4.24) Таким образом, . Кроме того, следовательно, Пусть , .. т. е. – локально суммируемая функция, удовлетворяющая оценке Псевдо дифференциальный оператор (п. д. о.) с символом на функциях из где определяется по формуле (см. (3.2)) – преобразование Фурье . Таким образом, оператор является Фурье-образом оператора умножения на . Имеет место следующая простая лемма. Лемма 4.4. Пусть при любом оценке . Тогда п. д. о. с символом удовлетворяет

и, следовательно, продолжается по непрерывности до ограниченного оператора из в . Действительно, что и доказывает лемму 4.4. Отметим, что если – неограниченная функция в окрестности какой-либо точки, например в окрестности следовательно, , то оценка (4.38) не имеет места и, – неограниченный оператор из Обозначим через Фурье-образ пространств в . . Теорема 4.4. Пусть функция непрерывна по совокупности переменных при при аналитична по и допускает оценку Тогда оператор умножение на ограничен из Доказательство. Оператор умножения на из в . в силу (4.39) ограничен (см. лемму 4.4). Осталось показать, что для любой . Тогда в силу леммы 2.2 при и допускает оценку Обозначим в . Имеем . Пусть сначала аналитична по

где в силу (4.39) и (4.40). Пользуясь аналитичностью по в полуплоскости непрерывностью в замкнутой полуплоскости и при получим, применяя теорему Коши, где – произвольно. Отсюда в силу (4.39) и (4.40), зависит от . При устремляя т.е. не к бесконечности, получим . Следовательно, произвольная функция из . Если такая, что . Как доказано . Так как силу леммы 4.2, в . Теорема 4.4 для Ограниченность из в - , то в силу леммы 4.3 существует последовательность выше, , , то в доказана. оператора умножения на доказывается аналогично. Отметим, что утверждение псевдодифференциальные теоремы операторы 4.4 равносильно с символами удовлетворяющими условию теоремы 4.4, ограничены из Пример 4.4. Пусть тому, в 1.7, – произвольное действительное число. Обозначим ветвь логарифма и, как в выбрана такой, при - аналитическая по Аналогично через , . Функция чтобы . Очевидно, функция при и любом . , обозначим функцию , при , . , где примере что где при любом аналитична по

в полуплоскости . Обозначим также . В силу теоремы 4.4 оператор умножения на операторы умножения на умножения на непрерывен из и в . Так как взаимно обратны, то оператор осуществляет изоморфизм между . Следовательно, п. д. о. изоморфизм между и с символом при и значений осуществляет и , то произведение при : . Пусть Если и . В частности, если при не зависит от – регулярный функционал, отвечающий локально суммируемой функции , то / . Будем в дальнейшем всегда произведение обозначать через , где . Пусть . Тогда в силу примера 4.4 – п. д. о. с символом . Имеет место следующая формула: где – оператор преобразования Фурье по сначала . Тогда аналитическая по при – функция, удовлетворяющая оценкам (2.10). в силу теоремы Коши ( (4.43). – Если что равносильно произвольная последовательность функция в , то в и, следовательно, при любом , то заведомо в в в . в и, следовательно, переходя существует при в . С другой стороны, так как образом, из такая, что Тогда Таким . Действительно, пусть равенстве .

к пределу в Теорема 4.5 при (теорема , получим (4.43). Палея-Винера). Пусть – непрерывная функция в . При почти всех Тогда со значениями –аналитическая по функция в полуплоскости где при . . Имеет место оценка не зависит от . Обратно, пусть при функция задана локально интегрируемая в , удовлетворяющая оценке (4.44) и аналитическая по при почти всех . Тогда существуем функция что . Доказательство. Пусть , такая, . Обозначим . Так как при (ср. (4.10)), то функция со значениями в равенства Парсеваля значениями. – непрерывная . Следовательно, в силу – непрерывная функция , причем Обозначим . При почти всех . В силу теоремы Планшереля со

При любом таком аналитическая функция при . В силу (4.43) . Следовательно, удовлетворяет все указанным в теореме 4.5 свойствам. Пусть теперь при задана функция в полуплоскости – аналитическая по при почти всех выполнена оценка (4.44) при . Пусть, кроме того, . Обозначим . Вследствие аналитичности при почти всех имеем Рассмотрим Равенство как регулярный функционал над (4.46) можно функционала преобразование Фурье рассматривать как . через Обозначим равенство . производных обратное по Из (4.44), (4.46 ) и равенства Парсеваля следует оценка где – норма в . Обозначим через банахово

пространство локально интегрируемых в функций с нормой В силу (4.47) и плотности в (ср. с теоремой 4.1) является линейным непрерывным функционалом над из теоремы об общем виде функционала над – локально интегрируемая . Следовательно, (см. [31]) вытекает, что функция в , удовлетворяющая оценке Из (2.29) и (4.46) следует что согласно (1.16) означает Подставим в (4.48) , где Получим Из (4.49) в силу примера 1.11 вытекает, что , где – локально интегрируемая функция В силу (4.47 ) где и не зависит от . Следовательно, устремив к , получим

при . Если теперь устремить к нулю, то получим . Таким образом, . Положим Тогда в силу примера 4.4 . и в силу (4.43) . Теорема 4.5 полностью доказана. 4. Пространство . Через обобщенных функций на обозначим пространство (см. § 1, п. 5), допускающих продолжение принадлежащее . Норма в определяется формулой где нижняя грань берется по всем продолжениям , принадлежащим Отметим, что если – какое-нибудь продолжение , также является продолжением , так как сужения на . Следовательно, пространство пространству . Тогда продолжений достигается на функции Пусть , где где оператор . изоморфно фактор, и нижняя грань норм равной при и . Таким образом, – целое. Введем следующую норму: Лемма 4.5. Нормы (4.51) и (4.53) эквивалентны в Доказательство. Так как формуле (4.5), и , то . Рассмотрим случай равной 0 при . . эквивалентна норме для любого продолжения , определяемой по , то Докажем теперь противоположное неравенство. Построим некоторый

специальный оператор продолжения функций c Пусть на . при достаточно больших Обозначим через Числа . следующий оператор: подберем так, чтобы , т. е. чтобы функция была непрерывной вместе со своими производными до порядка . Для этого необходимо, чтобы числа при удовлетворяли следующей системе: Так как определитель системы отличен от нуля (определитель Вандермонда), то отсюда однозначно определяются . Далее, при причем константа в не зависит от . Так как функции класса , то их сужения на плотны в плотны . Следовательно, производя замыкание, получим, что оценка (4.57) справедлива для всех . Таким образом, , что и требовалось доказать. В силу леммы 4.5 можно было также определить как пространство всех функций в с конечной нормой (4.53). Замечание 4.2. Пусть оператором продолжения – целое, с . Пользуясь , можно аналогично

доказательству леммы 4.5. показать (см. [36]), что норма эквивалентна следующей норме: В дальнейшем, для того чтобы иметь возможность применять преобразование Фурье, нам будет удобно пользоваться определением (4.51) нормы в . Определения (4.53) и (4.58) не будут использованы. Так как псевдодифференциальные операторы применяются к функциям, определенным во всем пространстве , то применять их к функциям можно лишь после продолжения на из . Отметим следующую лемму. Лемма 4.6. Пусть , удовлетворяет условиям теоремы 4.4, – оператор сужения функции на - п. д. о. с символом Тогда оператор с на в , где . – произвольное продолжение , не зависит от выбора продолжения и ограничен из . Доказательство. Пусть . В силу Следовательно, – другое продолжение теоремы 4.4 . Оценим , . Пусть так . Тогда что . такое продолжение , что Тогда в силу леммы 4.4 Лемма 4.6 доказана. 5. Сопряженные пространства. Пусть - пространство, сопряженное к т. е. пространство линейных непрерывных функционалов над , – произвольное число. Как и в случае произвольного банахового пространства, пространство определяется с точностью до изоморфизма. В частности, так

как изоморфно произведением (4.2), то гильбертову пространству со скалярным изоморфно самому пространству . В силу теоремы Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала в гильбертовом пространстве любой такой функционал элементом задается и его норма равна . Обозначим Тогда и , где Таким образом, (4.61) устанавливает изоморфизм между значение функционала на элементе , причем задается формулой (4.62). Для дальнейшего удобнее пользоваться реализацией рассматривать и через , а не как гильбертово пространство. Форму (4.62) можно рассматривать после умножения на как расширение непрерывности формы (4.3), определенной для Лемма 4.7. Пусть Обратно, если и по . . Тогда и для любых , то . Доказательство. По определению носителя обобщенной функции для . В силу леммы 4.3 функции класса Отсюда и из неравенства (4.4) следует . Пусть теперь для любых и . Тогда, в частности, определению плотны в это означает, что , для для , т.е. . любых . По . Лемма 4.7 доказана. Пусть – Тогда форма произвольное продолжение .

не зависит от выбора продолжения другое продолжение . Действительно, если , то – . Следовательно, , так как в силу леммы 4.7. Из (4.63) аналогично (4.40) следует оценка как , и так не зависит от выбора продолжения Следовательно, любой функционал над , то элемент задает непрерывный по формуле (4.63), причем в силу леммы 4.7 разным элементам из отвечают разные функционалы. Пусть теперь произвольный непрерывный функционал над . Пространство – гильбертово со скалярным произведением (4.2). Следовательно, по теореме Рисса существует элемент такой, что . . Положим Тогда и Следовательно, произвольный линейный непрерывный функционал над может быть реализован по формуле (4.63), причем . С другой стороны, в силу (4.64) . Таким образом, и доказана следующая лемма. Лемма 4.8. Пусть - сопряженное к произвольное число. Тогда функционала причем значение функционала формулой изоморфно на элементе Аналогично доказывается, что пространство, – , причем значение задается формулой (4.63). изоморфно на элементе при любом , задается

6. Пример 4.5. Пусть при . Обозначим через регулярный функционал, отвечающей функции , а через обозначим предел в регулярных функционалов предела в при . Существование доказывается также, как в примере 1.7. Пусть – п. д. о. с символом Аналогично пусть – п. д. о. с символом предел в . , где регулярных функционалов Найдем представление для – при . в виде интегродифференциальных операторов (см. § 3). Пусть сначала . Тогда в силу (2.35) Докажем, что имеет место следующая формула: Действительно, согласно Так как оператор сужения на Таким образом, , то , где . Отсюда в силу (3.26) и (3.42) получим при –

Следовательно, п. д. о. , при Аналогично при Пусть теперь п. д. о. , . Если имеет вид , имеет вид – целое, то можно представить в виде где Пусть , - п. д. о. в – многочлены от с символом . При и п. д. о. . можно представить в виде (см. (3.17 )) где Если , то и, следовательно, Таким образом, где имеет вид (4.71) при Пусть теперь и (4.71 ) при . – нецелое. Тогда найдется целое . Следовательно, такое, что

Аналогично (4.64 ) В частности, . Далее, , . Так как и , то при Таким образом, при п. д. о. с символом имеет в силу (4.74), (4.75) и (3.15 ) следующий вид: При п. д. о. следующий вид: Следовательно, при имеет в силу 4.74), (4.75) и (3.41)

где п. д. о. имеет вид (4.68), п. д. о. при имеет вид (4.76), а при – (4.76 ). Аналогично показывается, что при п. д. о. представим в следующем виде: где п. д. о. задается формулой (4.69), п. д. о. имеет вид Отметим, что формулы (4.79), (4.79 ), как и предыдущие остаются в силе и при . Замечание 4.3. Найдем сужение функционала – нецелом на полупространство то . Так как является регулярным функционалом, отвечающим бесконечно дифференцируемой при (4.80) по при функции. Следовательно, дифференцируя в и используя формулу (4. 65), получим (ср. (2.41 ))

Замечание 4.4. При интегралы (4.65) и (4.75) легко вычисляются непосредственно. Действительно, при

ГЛАВА ВТОРАЯ. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ §5. Интеграл типа Коши 1. Пусть . Обозначим Очевидно, – аналитическая функция . Лемма 5.1. Для любой существует и где интеграл в смысле главного значения по Коши. Доказательство. Имеем где в полуплоскости

Очевидно, Обозначив . Найдем , получим Таким образом, Так как в силу нечетности подынтегральной функции, то Лемма 5.1 доказана. Пусть .

где . Функция полуплоскости аналитична по в и аналогично (5.2) доказывается, что существует причем Обозначим В силу (5.2) и (5.8) и, следовательно, для любой 2. Пусть нулю при . - оператор умножения на функцию . Имеет место следующая лемма. Лемма 5.2. Для любых где – преобразование Фурье Доказательство. Пусть . Имеем . , равную 1 при и

Отметим следующее свойство преобразования Фурье (ср. (2.4)): если и – абсолютно интегрируемые функции, то Следовательно, делая преобразование Фурье функции и применяя формулу (5.16) по по , получим При (ср. пример 1.5). Так что переходя в (5.17) к пределу при , получим (5.14). Лемма 5.2 доказана. Обозначим через оператор умножения на функцию Аналогично (5.14) доказывается, что где оператор – преобразование Фурье . Таким образом, в силу (5.14) и (5.18) является Фурье-образом оператора образом оператора . Лемма 5.3. При любом и любом удовлетворяет оценки * Случай , а оператор понадобится нам лишь в главе IV. * оператор - Фурье-

Доказательство. Разобьем (5.19) на четыре слагаемых Покажем, что удовлетворяет оценке Сделаем в замену переменных Получим Обозначим через следующий оператор: Оценка (5.22) следует из оценки если положить , умножить (5.26) на при при , и затем проинтегрировать по . Для доказательства оценки (5.26) естественно применить преобразование Меллина, так как ядро порядка где – однородная функция и . Сделаем в (5.25) преобразование Меллина Изменим в (5.27) порядок интегрирования и

сделаем замену переменной преобразование Меллина . Получим где , В силу примера 2.1 Дифференцируя (5.28) по , получим Так как при функция ограничена на прямой то в силу равенства Парсеваля (2.16) Оценка (5.26) доказана. Остальные слагаемые в (5.21) оцениваются аналогично. Их ограниченность в сводится к доказательству оценки (5.26) для интегрального оператора вида (5.25) в котором заменено на . Лемма 5.3. доказана. Теорема 5.1. Операторы определенные на (5.8) ограничены по норме при по непрерывности на . по формулам (5.2) и и, следовательно, продолжаются как ограниченные операторы, действующие из в

Доказательство. Ограниченность оператора на по норме непосредственно вытекает из леммы 5.3 при оператора следует, например, из ограниченности (5.13). В силу (5.14) и (5.18) операторы следовательно, операторов в продолжаются по и и соотношения ограничены по норме непрерывности . При до . Отсюда в образ операторов лежит в - ограниченные операторы, действующие из Замечание 5.1. Пусть и, ограниченных , так что силу замкнутости подпространств Следовательно, . Ограниченность в . . Обозначим Покажем, что при любом т. е. функция в полуплоскости типа Коши. Так как при представимо интегралом , то в силу неравенства интеграл (5.29) сходится при почти всех является аналитической функцией совпадает с (5.17). Пусть и любых . если , то формула (5.29) – произвольная функция из теоремы 4.1 существует последовательность и , сходящаяся к В силу по норме . Из неравенства (5.30) вытекает, что Далее в в в силу теоремы 5.1. и (см. теорему 4.5). Таким образом, переходя

в (5.17) к пределу при , получим, что равенство (5.29) справедливо для . Из теоремы 4.5 вытекает, что при при и по норме . Следовательно, в силу (5.29) при Лемма 5.4. При любая функция однозначно представима в виде где , причем Доказательство. Пусть . . Тогда в силу теоремы 5.1. . Продолжая равенство (5.13) по непрерывности c на , получим Докажем теперь единственность разложения (5.31). Пусть где . Покажем, что Пусть . Тогда, очевидно, . В силу ограниченности оператора лемм 4.2 и 4.3 получим из в и для любых . Следовательно, Аналогично доказывается, что Тогда, применяя к (5.33) операторы и получим . Лемма 5.5. (Формула разложения интеграла типа Коши). Пусть – целое, . Тогда имеет место следующая формула:

где . Доказательство. Раскладывая по формуле геометрической прогрессии, получим Пусть . Умножая (5.37) на и интегрируя по Прибавляя к обеим частям (5.38) (5.36) для , получим , получим в силу (5.12) формулу . В силу теорем 4.1, 4.2 и 5.1 формула (5.36) остается справедливой для любых после замыкания пространства в норме . Аналогично доказывается справедливость для любых формулы где Замечание . 5.2. Пусть неограниченными операторами в Доказательство. Обозначим через . Тогда операторы являются с плотной областью определения. совокупность всех финитных интегрируемых с квадратом функций. Для произвольной функции

обозначим через . Тогда функцию, равную при и при Следовательно, плотно в формулу (5.36) при , получим Очевидно, и равную 0 при для любого . Пусть и , так как принадлежит . . Применяя . Функция тогда и только тогда, когда почти при всех Действительно, если на множестве положительной меры. Множество функций из , удовлетворяющих условию (5.40), обозначим через что плотно в , а следовательно, и в при при . Покажем, . Пусть , где . Очевидно, Пусть – произвольная функция из . Тогда , так как . Обозначим и =0. При

Таким образом, плотно в как в противном случае . Оператор принадлежала бы имеет мести. Обозначим через Тогда плотное в неограничен на для любой множество является неограниченным в Пусть теперь . Тогда , что не , таких, что множество, так как определенный на , так . , и оператор , . для . Пусть при при . Тогда , так как Положим при Очевидно, и стороны, при в при . . С другой и Следовательно, последовательность как при противном случае из заведомо не сходится в можно подпоследовательность, сходящуюся при почти всех неограниченный оператор в Неограниченность оператора в было бы , так выделить . Таким образом, с плотной областью определения. следует из соотношения . Теорема 6.1. Пусть - эллиптический символ. Тогда т допускает единственную, при условии нормировки (6.6), однородную факторизацию.

Доказательство. Функция может быть представлена в виде , где (6.26) факторизуется следующим образом: , где , (6.27) причем, как и в предыдущих параграфах, выбирается ветвь логарифма, действительная на положительной полуоси. Пусть . Обозначим . (6.28) В силу однородности функции , (6.29) . (6.30) Пусть , причем ветвь логарифма выбирается произвольно. Рассмотрим функцию , при При , так как Когда и при , оставаясь вещественной, изменяется от изменяется от нуля до , а до . , – от 0 до – . Следовательно, при

. Таким образом, функция (6.31) имеет при Пусть 2 пределы, равные 1 – приращение аргумента , изменяющемся от при фиксированном и до , m - целое число, так как . При связна, и так как зависит от , очевидно, непрерывно , то число m одно и то же для всех быть разным для предполагать, что m не зависит от сфера . При n = 2 m может . Будем в этом случае дополнительно . Обозначим (6.32) Так как при , , то

Кроме того, Обозначим причем выбирается ветвь логарифма так, чтобы . Покажем, что (6.33) леммы 6.1. Очевидно, удовлетворяет условиям непрерывно дифференцируема при и При . Тогда в силу удовлетворяют оценкам по формуле Лагранжа получим Так как и непрерывна при , то при Из (6.36) – (6.38) следует, что Таким образом, удовлетворяет следовательно, функция при неравенству , непрерывна условию леммы 6.1 и, аналитична по и удовлетворяет

Аналогично функция при аналитична по , непрерывна при оценке вида (6.40) с заменой и удовлетворяет . Отметим, что В силу (5.31) Следовательно, В силу (6.26),(6.27),(6.31),(6.32) и (6.42) имеем где Функции удовлетворяют всем условиям однородной факторизации, причем Докажем теперь единственность факторизации при условии нормировки (6.6). Пусть некоторая другая однородная факторизация , причем

представляет собой аналитическую по функцию во всей плоскости , имеющую степенной порядок роста по и не имеющую нулей. Следовательно, по теореме Лиувилля . Устремляя к , получим Так как предел в (6.48) существует и отличен от нуля и бесконечности, то и, следовательно, и . Таким образом, . Теорема 6.1 доказана. 2. Формула для индекса факторизации. Порядок однородности функции символа называется индексом факторизации эллиптического . В силу (6.44) вообще говоря, комплексное число, Так как и , где . Отметим, что ,

Таким образом, Укажем некоторые примеры вычисления индекса факторизации эллиптического символа. Пример 6. 1. Символ — вещественное, называется сильно эллиптическим, если где — вещественные символы, При любом фиксированном и и изменяющемся от +∞ до —∞, функция описывает контур в комплексной плоскости, целиком лежащий в правой полуплоскости и соединяющий точки и Следовательно, Таким образом, в силу (6.51) где — π/2 < arg A (0, ± 1) < π/2. Если, в частности, А (0, — 1) = А (0, +1), то x= α/2. Пример 6.2. Пусть — четный эллиптический символ, т.е.

Покажем, что при n ≥ 3 индекс факторизации равен (α+iβ)/2. Так как при n ≥ 3 сфера | ξ' | = 1 связна, то (6.54’) В силу четности (6.55) Очевидно, при изменении направления отсчета приращение аргумента меняет знак. Следовательно, в силу (6. 54') и (6. 55) (6.56) Таким образом, , и в силу (6.51) x=(α+iβ)/2. Пример 6. 3. Факторизация однородного эллиптического многочлена. Однородный многочлен при называется эллиптическим, если . Следовательно, при у многочлена действительных корней относительно переменной многочлен многочлена для относительно , нет . Обозначим через натянутый на корни , лежащие в полуплоскости τ <0 при ξ' ≠ 0. Пусть определенности . многочлен, натянутый на корни при ξ' ≠0. Потребуем также, чтобы Аналогично пусть — , лежащие в полуплоскости τ>0 . Тогда (6.57) однородная факторизация Пусть n > 3. Так как то, как и при рассмотрении примера 6.2, доказывается, что Отсюда вытекает, что r—четное число, r = 2m .

Пример 6.4. Пусть n=2 и Коши—Римана следующий , т.е . Тогда при факторизация вид: факторизации символ оператора При — имеет вид: образом, при имеет индекс факторизации равен 1, а при Таким индекс факторизации равен 0. В дальнейшем в случае n=2 будем рассматривать лишь такие эллиптические символы, индекс факторизации которых не зависит от . § 7. Псевдодифференциальные уравнения в полупространстве 1. Пусть А — псевдодифференциальный оператор (п. д. о.) с символом (см. §3) где . В этом параграфе, как и во всей первой части книги, рассматриваются символы , не зависящие от х. Предположим, что символ А (ξ) можно представить в следующем виде: где удовлетворяет оценке для некоторых е>0 и N. Как будет показано во второй части книги, для теории краевых задач в ограниченной области псевдо дифференциальный оператор с символом играет подчиненную роль по сравнению с п. д.

о. в том смысле, что постановка краевой задачи для п. д. о. А и условия ее нормальной разрешимости не зависят от и определяются лишь главной однородной составляющей символа Поэтому в этой и следующей главе мы специальным образом выберем А с символом так, чтобы п. д. о. обладал более простыми по сравнению с свойствами. Выбор ,т.е. удобен, так как при α<0 функция следовательно, п. д. о. при всех становится оператор не вполне неограничена в окрестности ξ = 0 и, неограничен из случае, когда α>0 и Пусть — в при любом s. В при ξ≠0, неограниченным в пространствах с символом Для любой функции обозначим через (ξ) функцию Пусть Покажем, удовлетворяет оценке (7. 3). По формуле Лагранжа имеем где 0<θ<1. Пусть . Тогда Следовательно, при любом знаке . Таким образом, что , у

Отметим следующую простую лемму об эллиптических п. д. о. с символами . Лемма 7.1. Пусть — эллиптический символ, . Тогда при любом s псевдодифференциальное уравнение (п. д. у.) однозначно разрешимо в . Доказательство. Так как удовлетворяет оценкам (6. 3), то для имеют место оценки В силу леммы 4.4 оператор , определенный на функциях из S по формуле вида (7. 1), продолжается до ограниченного оператора из в при любом s. После преобразования Фурье по х уравнение (7. 7) приобретает вид Очевидно, — единственное решение уравнения (7. 9), причем в силу (7. 8) Таким образом, в 2. Перейдем п. д. о. с символом и является обратным к теперь к . ограничен из . исследованию эллиптических псевдодифференциальных уравнений в полупространстве. Пусть — п. д.

о. с символом Псевдодифференциальным уравнением в полупространстве где, т. е. называется уравнение вида при сужения на полупространство выполняется при — оператор . Таким образом, уравнение . Оператор, определяемый уравнением (7.11), ограничен при любом s из Действительно, если то в силу леммы 4. 4. Следовательно, по определению пространства причем . Пусть однородная факторизации — эллиптический символ и факторизация — индекс . Найдем решение уравнения (7. 11), принадлежащее пространству предполагая, что правая часть Для определения , применим метод факторизации, или метод Винера—Хопфа. Пусть существует решение пусть уравнения (7.11) при — произвольное продолжение и c на . Обозначим Так как , силу (7.11) , то и . Следовательно, Сделаем в (7. 13) преобразование Фурье по х. Получим . Кроме того, в

Подставим в (7.14) и умножим (7.14) на , где Получим Обозначим В силу теоремы 4. 4 и леммы 4. 4 так как Уравнение (7.15) в новых обозначениях приобретает вид Предположим, что где к — произвольное целое число. Тогда найдется такое целое число m, что где | δ | < 1/2. Рассмотрим отдельно три случая: m = 0, m>0, m< 0. 3. Пусть m= 0, т. е. Rex — s = δ, | δ | < 1/2. Тогда в (7.19) , Так как | δ | < 1/2, то в силу леммы 5.4 разложение (7. 19) однозначно, причем

Из (7. 16), (7. 17) и (7. 22) следует, что преобразование Фурье любого решения уравнения (7.11) имеет вид Отметим, что (7.23) не зависит от выбора продолжения lf. Действительно, пусть — другое продолжение Так как , т.е. то в силу теоремы 4.4 . Из леммы 5. 4 вытекает, что . Таким образом Если, в частности, f = 0, то можно выбрать If = 0, и, следовательно, в силу . Таким образом, решение уравнения (7.11) единственно в (7.23) случае Rex — s = δ, |δ|<1/2. В дальнейшем всегда будем выбирать такое продолжение lf, чтобы Из (7. 23), (7. 25), леммы 4. 4 и ограниченности оператора П+ в вытекает следующая оценка: Отметим, что при любом является решением уравнения (7.11). Действительно, так как , то В силу теорем 4. 4 и 5. 1 . Следовательно, , т.е. уравнения (7.11), принадлежащее пространству — решение .

Таким образом, доказана следующая теорема. — Теорема 7.1. Пусть , |δ|<1/2. Тогда уравнение (7.11) при любой имеет единственное решение Пример 7.1. . Пусть ,где произвольное действительное число. Обозначим через д. о. с символом следующий . Факторизация символа , предполагая, что 4. 5). Таким образом, . В силу теоремы 7. 1 существует единственное уравнения (7.27), и это решение имеет вид — п. д. о. с символами примера где равен x, Рассмотрим п. д. у. в индекс факторизации где имеет вид: пример решение п. С помощью 4. 5 можно получить выражение для (7. 28) в виде интегродифференциальных операторов. Пусть, например, Тогда в силу (4.68) и (4.69) Отметим, что формулы (7.28) и (7. 28') сохраняют смысл и при τ = 0, lf .

4. Пусть — целое. Тогда в (7.19) Так как неприменима лемма 5.4. Обозначим через многочлен по то к — произвольный степени Пусть где , m: В силу леммы 4.4 и, применяя к лемму 5.4, получим . Умножим (7.29) на Тогда причем в силу теоремы 4.4 Подставим (7. 30) в (7. 19) и перенесем «плюсовые» функции в одну часть равенства, а «минусовые» в другую. Получим Левая часть равенства (7. 31) принадлежит а правая часть — . Следовательно, в силу теоремы 5. 2 (теоремы Лиувилля) (7. 31) равняется многочлену по степени m – 1 где Таким образом, в силу (7.32), (7.16) и (7.17) решение имеет следующий вид: уравнения (7.11)

Аналогично (7. 24) проверяется, что (7. 33) не зависит от выбора продолжения lf (х). Оценим (7. 33). В силу (7. 25), леммы 4. 4 и теоремы 5. 1 где . В силу (7.34) и (7.35) Проверим, что при и произвольных где уравнению (7. 11). Имеем где функция, задается формулой (7.33), удовлетворяет

В силу теорем 4. 4 и 5. 1 . Следовательно, , так как . Таким образом, доказана следующая теорема. — Теорема 7.2. Пусть уравнение (7.11) при , где неединственно — целое,| любой имеет Тогда решение определяется формулой (7.33). Это решение и зависит от т произвольных функций . Имеет место априорная оценка (7.36). 5. Псевдодифференциальные операторы типа потенциала (кограничные операторы). Прежде чем перейти к случаю — | δ | <1/2, изучим некоторый класс операторов, действующих из пространства функций, заданных при , в пространство функций в Псевдодифференциальным оператором или в типа . Пусть потенциала называется оператор, определяемый по формуле где — обратное преобразование Фурье регулярного функционала . Так как и то Таким образом, формула (7. 39) представляет собой результат применения п. д. о. C к обобщенной функции . Аналогично (3. 7), если произвольный функционал над А с символом , определяется по формуле — то п. д. о. типа потенциала

Отметим, что свертка функционала с финитным функционалом определена согласно п. 7 § 2. Пример 7.2. Пусть — п. д. о. с символом . Тогда в силу (3. 16) и (3.42) т.е. является потенциалом двойного слоя для уравнения Лапласа. Если – п. д. о. с символом , то в силу (4.68) 6. Пусть — — целое, |δ|<1/2. Тогда Следовательно, если — , то и подавно . В силу теоремы 7. 1 существует единственное решение уравнения Так как интеграла типа Коши Обозначим , причем имеет вид , то в силу формулы (5.36) разложения .

где Тогда Заключение В этой работе мы рассмотрели пространства Шварца, а затем ввели определение обобщенных функций и их свойств через преобразование Фурье и его характеристики. Чтобы войти в важный предмет (псевдо- дифференциальный оператор) и теорию символов для этих операторов, которые играют важную роль в нашем определении пространств Соболева, эллиптические символы, которые играют большую роль в решении граничных задач псевдо-дифференциального уравнения. наконец, удалось определить картину, существование и единство решения этих задач в положительной полуплоскости пространства . До сих пор молчаливо подразумевалось, что речь идет о ПДО на гладких поверхностях (многообразиях) или в областях, ограниченных гладкими поверхностями. Однако в математической физике, в механике и электродинамике сплошной среды, в различных разделах теории дифференциальных уравнений с частными производными, в теории приближенных методов возникают многочисленные задачи на негладких поверхностях и в областях с негладкой границей. Важный класс таких объектов составляют области с кус очно гладкой границей .

Литература -диканский А.С. сопряженные задачи к эллиптическим псевдодифференциальным краевым задачам-докл.АН СССР.200.№ 5 (1971).1020-1023 -дынин А.С. к теории псевдодифференциальных оператеров на многообразии с краем - докл.АН СССР.186.№ 2 (1969).251-253 -шубин М.А. факторизация матриц .зависящих от параметра и эллиптические уравнения в полупространстве –матем.сб.85. № 1(1971).65-84 -Boutet de monvel. operateurs pseudo-differentiels et problems aux limites elliptiques-Ann. Inst .Fourier,1969( 1970),19,N 2 ,169-268 - Boutet de monvel. Boundary problems for pseudo-differential operatorsActa.math,126,N1-2(1971),11-51 -Hormander L. pseudo-differential operators – Communs pure and Appl.math 18(1965), 501-517.(перевод в сб (псевдо-дифференциальные операторы ) .М.изд-во (мир) 1967. -kohn J.J, .Nirenberg L. on algebra of pseudo-differential operators-Communs pure and Appl.math 18(1965), 269-305.(перевод дифференциальные операторы) .М.изд-во (мир) 1967. в сб (псевдо-

-Shamir E. Elliptic systems of .Amer.Math.soc., 127(1967),107-124. singular integral operators I.-Trans

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв