МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования
«Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова»
Кафедра математического моделирования
Сдано на кафедру
«7» июня 2019 г.
Заведущий кафедрой
д.ф.-м.н., профессор
Кащенко С.А.
Выпускная квалификационная работа
Локальная динамика модели оптоэлектронного осциллятора
(Направление подготовки 01.03.02 Прикладная математика и информатика)
Научный руководитель
доцент
д. ф.-м. н., доцент
Кащенко И.С.
«7» июня 2019 г.
Студент группы ПМИ-41БО
Маслеников И.Н.
«7» июня 2019 г.
Ярославль, 2019 г.
Реферат
Объем 17 с. 2 гл. 5 источников.
Характеристический квазиполином, асимптотическое представление корней,
нормальная форма.
Рассмотрена модель оптоэлектронный осциллятор. Она имеет вид дифференциальноинтегрального уравнения с запаздыванием вида:
Z t
dx
x (s) ds = β1 F (x(t − τ )) .
ε +x+δ
dt
t0
Поставлена задача изучения локальной динамики в окрестности состояния равновесия уравнения, для этого мы построим характеристическое уравнение и определим положение его корней. В зависимости от значений параметров узнаем поведение решений
в окрестности состояния равновесия, устойчиво или неустойчиво оно. Определим критические моменты параметров, когда состояние равновесия меняет свою устойчивость.
Сделаем асимптотическое приближение корней характеристического многочлена. Данное разложение показывает поведение решений в окрестности состояния равновесия при
критическом параметре. В результате проведенных исследований приводится дифференциальное уравнение, решение которого стремится к решению нашего дифференциальноинтегрального уравнения, тогда решение дифференциального уравнения асимптотическое
по невязке равномерное по t ≥ 0.
1
Содержание
1 Введение
3
2
4
4
5
6
Исследование устойчивости состояния равновесия
2.1 Построение характеристического квазиполинома . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Исследование характеристического квазиполинома при малых |β| . . . . . .
2.3 Разложение характеристических корней по малому параметру . . . . . . . .
3 Построение нормальной формы уравнения.
8
2
3.1 Построение нормальной формы при β1 = 1 + ε β. . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 Построение нормальной формы при β1 = −(1 + ε2 β). . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Заключение
15
5 Литература
16
2
1
Введение
Рассмотрим дифференциально-интегральное уравнение с запаздыванием [1], которое представляет собой реализацию модифицированного уравнения Икеды с задержкой по времени:
Z t
dx
x (s) ds = β1 F (x(t − τ )) .
(1)
ε +x+δ
dt
t0
Здесь β1 — параметр, τ — параметр запаздывания, вещественный и положительный. Функция F достаточно гладкая, не ограничивая общности можно считать, что F (0) = 0. Таким
образом, уравнение (1) имеет нулевое состояние равновесия, если это не так, то можно
сделать соответствующую замену.
В работе [1] уравнение исследовалось численными методами, подбирались параметры,
начальные условия, строились сложные квазипериодические режимы, так называемые химеры, при этом рассматривался случай, когда параметры ε = 0.005 и δ = 0.016. В силу
этого будем предполагать, что параметры ε и δ малы (0 < ε 1, 0 < δ 1) и пропорциональны: ε = kδ, k > 0.
Поставим задачу исследовать локальную динамику в окрестности состояния равновесия. В пункте 2.1 мы построим характеристический многочлен. В 2.2 мы изучим характеристическое уравнение при малом параметре β, покажем устойчивость состояния
равновесия. В 2.3 пункте мы построим асимптотическое приближения корней уравнения
(1), выделим действительную часть. В последнем параграфе делаем построение квази
нормальной формы при параметре β1 = ±(1 + ε2 β1 ).
Отметим, что в статье [2] рассмотрено похожее уравнение оптоэлектронного осциллятора, в котором параметр δ не является малым.
3
2
2.1
Исследование устойчивости состояния равновесия
Построение характеристического квазиполинома
Сделаем замену ẏ(t) = x(t) в уравнении (1), перенесем часть слагаемых в правую часть и
перейдем к системе:
εẋ = β1 F (x(t − τ )) − x − δy,
(2)
εẏ = εx.
Сделаем замену времени t∗ = τ t, чтобы нормировать запаздывание, после чего переименуем t∗ в t, получим систему:
−1
ετ ẋ = β1 F (x(t − 1)) − x − δy,
(3)
ετ −1 ẏ = εx.
Заметим, что x = 0, y = 0 является состоянием равновесия системы (3). Будем исследовать устойчивость состояния равновесия. Выделим линейную часть из F (x(t − 1)).
F (z) = Ḟ (0)z + O(z 2 ).
Введем параметр β = Ḟ (0) · β1 , β − const. Для исследования устойчивости линеаризуем
(3) на нулевом состоянии равновесия:
−1
ετ ẋ = −x − δy + βx(t − 1),
(4)
ετ −1 ẏ = εx.
Для построения характеристического уравнения
(4)
воспользуемся
методом
системы
x
α1
α
0
1
Эйлера. Будем искать ее решение в виде:
=
eλt , где
6=
нетриy
α2
α2
0
виальный вектор.
Сделаем замену η = ετ −1 и выполним подстановку, после очевидных преобразований
получим:
−1 + βe−λ − ηλ −δ
α1
eλt = 0.
(5)
τη
−ηλ
α2
Поскольку нас не интересует тривиальный вектор, нам нужно чтобы определитель
матрицы (5) был равен нулю:
det
−1 + βe−λ − ηλ −δ
τη
−ηλ
= 0.
Построим характеристический квазиполином. Используя условие kδ = ε, получим:
τ 2η
= 0.
k
(6)
ηλ2 + λ − λβe−λ + kη = 0.
(7)
ηλ2 + λ − λβe−λ +
Переименуем
τ2
в k:
k
Нас интересует расположение корней уравнения (7) относительно мнимой оси [4]. Состояние равновесия будет устойчивым, если все корни будут иметь отрицательную вещественную часть, и неустойчивым, если хотя бы один корень будет иметь положительную
вещественную часть.
4
2.2
Исследование характеристического квазиполинома при малых |β|
Рассмотрим характеристическое уравнение при β = 0 и малом η > 0. Сделаем замену:
λ=
µ
.
η
Заменим в характеристическом уравнении (7) переменные, до множим на η и перенесем
в правую часть экспоненту.
µ
µ2 + µ + η 2 k = µβe− η .
(8)
При β = 0 уравнение становится квадратным, корни которого равны:
p
−1 ± 1 − 4η 2 k
µ1,2 =
.
2
Нетрудно увидеть, что Reµ1,2 < 0. При нулевом β состояние равновесия устойчиво, все
решения (1) из некоторой окрестности нуля стремятся к состоянию равновесия [5].
Исследуем наше характеристическое уравнение, когда |β| мало, но не ноль.
Теорема 1 При |β| < 1 и достаточно малом ε, все корни (8) имеют отрицательные вещественные части.
Предположим обратное, что есть корень µ с неотрицательной вещественной частью,
т.е. Reµ ≥ 0. Разделим уравнение (8) на µ, это можно сделать, т.к. µ = 0 не является
корнем.
µ+1+
µ
kη 2
= βe− η .
µ
(9)
Представим µ = α + iγ и оценим модуль левой части.
|βe−
α+iγ
η
| = |β||e−
α+iγ
η
| ≤ |β|e−
α+iγ
η
≤ |β|.
Оценим левую часть:
kη 2
kη 2
kη 2 (α − iγ)
| = |α + iγ + 1 +
| = |α + iγ + 1 +
|=
µ
(α + iγ)
(α2 + γ 2 )
s
2
2
kη 2 α
kη 2 γ
=
α+1+ 2
+ γ− 2
.
(α + γ 2 )
(α + γ 2 )
2
kη 2 γ
≥ 0, а так
Рассмотрим второе слагаемое, оно всегда неотрицательно γ − 2
(α + γ 2 )
как мы рассматриваем случай α ≥ 0, то первое слагаемое всегда будет не меньше единицы.
|µ + 1 +
kη 2 α
α+1+ 2
(α + γ 2 )
2
≥ 1.
Отсюда следует, что при β < 1 ни на мнимой оси, ни в правой комплексной полуплоскости у характеристического уравнения (9) нет корней. Следовательно, теорема доказана.
Таким образом, при |β| < 1 состояние равновесия устойчиво, и все решения (1) с начальными условиями из его некоторой окрестности стремятся к нулю [5].
5
2.3
Разложение характеристических корней по малому параметру
В предыдущем пункте мы определили |β| < 1, теперь рассмотрим β = ±(1 + ε2 β1 ), при
β1 > 0 , как это показано в [3]. Переименуем η в ε в уравнении (7), и получим:
ελ2 + λ + kε = λβe−λ .
(10)
Для определенности параметр β = 1 + ε2 β1 при n 6= 0, β1 > 0. Выделим первый член
разложения асимптотического ряда:
λ = λ0 + o(1).
Подставим в уравнение (10) и всё, что будет иметь порядок малости больше чем o(1)
сгруппируем.
λ0 e−λ0 = λ0 + o(1).
Выделяя главную часть, получаем:
λ0 (e−λ0 − 1) = 0.
У этого уравнения корнями являются:
λ0 = 0 λn0 = 2πni, n ∈ N .
Отметим, что нулевой корень имеет кратность 2. Уточним асимптотику при λn0 6= 0,
чтобы определить вещественную часть каждого корня. Представим разложение корней
уравнения (10) в виде:
λn = λn0 + ελn1 + ε2 λn2 + (ε2 ), λn0 = 2πni.
Подставим разложение корней в уравнение (10), получим:
ε (λn0 + ελn1 )2 + λn0 + ελn1 + ε2 λn2 + kε + (ε2 ) =
2
2
= (1 + ε2 β1 ) λn0 + ελn1 + ε2 λn2 e−(λn0 +ελn1 +ε λn2 +(ε ) ,
Так как ελn1 + ε2 λn2 мало, то разложим экспоненту в ряд Тейлора:
ε (λ2n0 + ελn0 λn1 ) + λn0 + ελn1 + ε2 λn2 + kε + (ε2 ) =
= (1 + ε2 β1 ) (λn0 + ελn1 + ε2 λn2 ) 1 − ελn1 − ε2 λn2 +
ε2 2
λ
2 n1
+ (ε2 ) .
(11)
Раскроем скобки и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра.
При ε0 имеем верное равенство:
λn0 = λn0 , λn0 = 2πni.
При ε1 получим:
λ2n0 + λn1 + k = λn1 − λn0 λn1 , n 6= 0,
λ2 + k
λn1 = − n0
,
λn0
(−4π 2 n2 + k) i
λn1 =
, n 6= 0.
2πn
При ε2 получим:
6
(12)
λn0 λn1 + λn2 = λn2 −
λ2n1
− λn0
λ2
λn2 − n1
2
2λn0 λn1 + λ2n1 λ2n1
+
+ β1 ,
λn0
2
k2
2 2
4π
n
−
2k
+
2 n2
k
1
k2
2 2
4π
= 4πn −
−
4π n − 2k + 2 2 + β1 , n 6= 0.
i −
πn
2πn
2
4π n
λn2 = −
λn2
(13)
λ2n1
+ β1 . Теперь при некоторых n Reλn2
Из уравнения (13) мы видим, что Reλn2 =
2
может быть больше 0, а значит состояние равновесия станет не устойчивым.
Проделаем аналогичные действия при β = 1 + ε2 β1 и n = 0. Представим разложение
корней уравнения (10) в виде:
λ=
√
3
3
ελ1 + ελ2 + ε 2 λ3 + o(ε 2 ).
По аналогии выполняем те же действия, в результате получаем:
√
−k
λ1 = ± ki, λ2 =
.
4
Нулевой корень устойчив.
Теорема 2 При β = 1 + ε2 β1 корни характеристического уравнения допускают асимптотическое представление вида:
λn = λn0 + ελn1 + ε2 λn2 + o(ε2 ), n 6= 0, где
λ2n0 + k
,
λn0
λ2
+ n1 + β1 ,
2
λn0 = 2πni, λn1 = −
λn2 = −
λ=
√
2λn0 λn1 + λ2n1
λn0
3
3
ελ1 + ελ2 + ε 2 λ3 + o(ε 2 ), λ0 = 0, где
√
−k
.
λ1 = ± ki, λ2 =
4
Аналогичные построения можно провести и при β = −(1 + ε2 β1 ).
Теорема 3 При β = −(1 + ε2 β1 ) корни характеристического уравнения допускают асимптотическое представление вида:
λn = λn0 + ελn1 + ε2 λn2 + o(ε2 ), где
λ2n0 + k
,
λn0
λ2
+ n1 + β1 ,
2
λn0 = π(2n + 1)i, λn1 = −
2λn0 λn1 + λ2n1
λn0
−εk
λ=
+ o(ε), λ0 = 0.
2
λn2 = −
7
3
Построение нормальной формы уравнения.
Система (3) допускает запись в виде (14):
εÿ + ẏ + kεy = βF (ẏ(t − 1)).
(14)
Разложим в уравнении (14) функцию F в ряд Тейлора:
εÿ + ẏ + kεy = β1 ẏ(t − 1) + β2 (ẏ(t − 1))2 + β3 (ẏ(t − 1))3 + . . .
(15)
Где β2 , β3 некоторые постоянные.
3.1
Построение нормальной формы при β1 = 1 + ε2 β.
Рассмотрим задачу построения нормальной формы для уравнения (15), при параметре
β = 1 + ε2 β1 , β1 > 0. При таком β характеристическое уравнение имеет бесконечное количество корней, стремящихся к мнимой оси, таким образом, реализуется критический
случай бесконечной размерности. Для исследования поведения решений воспользуемся
методом квазинормальных форм [3]. Представим функцию y в виде асимптотического
ряда:
y = ε2 V (t) + ε4 U1 (t) + . . . .
(16)
Где U1 периодическая с периодом 1: U1 (t) ≡ U1 (t + 1).
Функция V (t) представляется в виде ряда Фурье:
V (t) =
∞
X
2λ
eiIm(λn0 +ελn1 +ε
n2 +...)t
Vn (τ ), где τ = ε2 t.
−∞
n6=0
Значения λn0 , λn1 , λn2 определяются из асимптотики корней уравнения (10) (см. теорему
2).
Обозначим ξn (ε):
ξn (ε) = i(λn0 + ελn1 + ε2 λn2 + . . .), где
2
λn0 + k
,
λn0 = 2πn, λn1 = Im −
λn0
2λn0 λn1 + −λ2n1
λn2 = Im −
.
λn0
Для удобства выпишем явно первую и вторую производную функции V :
∞
X
(ξn Vn (τ ) + ε2 Vn0 (τ ))eξn t ,
(17)
(ξn2 Vn (τ ) + 2ξn ε2 Vn0 (τ ) + ε4 Vn00 (τ ))eξn t .
(18)
V̇ =
−∞
n6=0
V̈ =
∞
X
−∞
n6=0
Рассмотрим подробнее ẏ(t − 1):
8
∞
P
ẏ(t − 1) = ε2
∞
P
= ε2
(ξn Vn (τ − ε2 ) + ε2 Vn0 (τ − ε2 ))eξn (t−1) + ε4 U̇1 (t − 1) + . . . =
−∞
n6=0
(19)
(ξn Vn (τ − ε2 ) + ε2 Vn0 (τ − ε2 ))eξn t e−ξn + ε4 U̇1 (t − 1) + . . .
−∞
n6=0
Разложим в ряды Тейлора выражения e−ξn и Vn (τ − ε2 ), получим:
1
2
2
2
e−ξn = e−2πni−ελ1 −ε λ2 −... = 1 − ελ1 − ε2 λ2 + ε λ1 + . . . ,
(20)
2
2
2 0
Vn (τ − ε ) = Vn (τ ) − ε Vn (τ ) + . . .
Подставим (16), (17), (18), (19), (20) в уравнение (15), будем приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра ε и соответствующих eξn t , выпишем
результат в явном виде:
∞
P
ε(ε2
+ε2
∞
P
(ξn2 Vn (τ ) + 2ξn ε2 Vn0 (τ ) + ε4 Vn00 (τ ))eξn t + ε4 Ü1 + ε6 Ü2 )+
−∞
n6=0
(ξn Vn (τ ) + ε2 Vn0 (τ ))eξn t + ε4 U̇1 + ε6 U̇2 + kε(ε2
−∞
n6=0
β1 (ε2
∞
P
∞
P
eξn t Vn (τ ) + ε4 U1 + ε6 U2 ) + o(ε4 ) =
−∞
n6=0
(ξn (Vn (τ ) − ε2 Vn0 (τ )) + ε2 (Vn0 (τ ) − ε2 Vn00 (τ )))eξn t (1 − ελ1 − ε2 λ2 + 21 ε2 λ21 )+
−∞
n6=0
+ε4 U̇1 (t − 1) + ε6 U̇2 (t − 1)) + β2 (ε2
+ε2 (Vn0 (τ ) − ε2 Vn00 (τ )))eξn t (1 − ελ1 − ε2 λ2 +
∞
P
(ξn (Vn (τ ) − ε2 Vn0 (τ ))+
−∞
n6=0
1 2 2
ε λ1 )
2
+ ε4 U̇1 (t − 1) + ε6 U̇2 (t − 1))2 .
(21)
Раскроем скобки, приравняем коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра ε и соответствующих eξn t .
При ε2 eξn t имеем верное тождество:
λn0 Vn (τ ) = λn0 Vn (τ ).
При ε3 eξn t снова получаем верное тождество:
λ2n0 Vn (τ ) + λn1 Vn (τ ) + kVn (τ ) = λn1 Vn (τ ) − λn1 λn0 Vn (τ ).
При ε4 получаем:
∞
P
−∞
n6=0
∞
P
e
ξn t
eξn t (2λn0 λn1 Vn (τ ) − λn2 Vn (τ ) + Vn0 (τ )) + U̇1 =
((λn2 Vn (τ ) −
−∞
n6=0
+
∞
P
λn0 Vn0 (τ )
+
Vn0 (τ ))
−
λ2n1 Vn (τ )
λn0 βVn (τ )eξn t + U̇1 (t − 1) + β2
−∞
n6=0
∞
P
1 2
− λn2 − λn1 λn0 Vn (τ ))+
2
ϕ2n (V )e(π2ni+o(ε))t .
−∞
n6=0
где ϕ2n (V ) - это соответствующий коэффициент ряда Фурье, для функции:
2
∞
X
π2niVn (τ )eξn t .
−∞
n6=0
9
(22)
Упростив уравнение (22), получаем:
Vn0 (τ ) =
λ2n1 + 2β
β2
Vn (τ ) +
ϕ2n (V ).
2
λn0
(23)
Подставим значение λn1 и λn0 в уравнение (23) и получим бесконечную систему уравнений:
1
k2
β2
2 2
0
(24)
Vn (τ ) = −
4π n − 2k + 2 2 Vn (τ ) + βVn (τ ) +
ϕ2n (V ).
2
4π n
2πni
Рассмотрим дифференциальное уравнение вида с краевыми условиями:
2 !
∂V
1 ∂ 2V
k2 2
∂V
=
+ kV − J (V ) + βV + β2 J
,
∂τ
2 ∂ 2r
2
∂r
R1
(25)
V (τ, r)dr = 0,
(26)
0
V (τ, r) ≡ V (τ, r + 1).
Здесь через J(V ) обозначена первообразная функции V с нулевым средним:
J 2 (V ) = J(J(V )), (J(V ))0r ≡ V.
Представим функцию V из уравнения (25) в виде:
V =
∞
X
e2πnir Vn (τ ).
(27)
−∞
n6=0
Подставив формулу (27) в уравнение (25) и приравняв коэффициенты получившихся
рядов Фурье, мы получим построчное равенство, что для каждого n справедливо равенство (24).
Таким образом, задача (25), (26) определяет в главном решения уравнения (15).
Теорема 4 Пусть V∗ - решение (25) с краевыми условиями (26), причем V∗ =
∞
P
e2πnir Vn (τ ),
−∞
n6=0
∞
P
тогда y = ε2
eξn r Vn (τ ) является асимптотическим по невязке равномерно по t ≥ 0 ре-
−∞
n6=0
шением (15).
Доказательство теоремы следует из построения решений сделанных ранее.
3.2
Построение нормальной формы при β1 = −(1 + ε2 β).
Проделаем аналогичные действия сделанные ранее. Рассмотрим задачу построения нормальной формы для уравнения (15), при параметре β = −(1 + ε2 β1 ), β1 > 0. При таком
β характеристическое уравнение имеет бесконечное количество корней, стремящихся к
мнимой оси, таким образом, реализуется критический случай бесконечной размерности.
Представим функцию y в виде ряда:
y = εV (t) + εW (τ ) + ε2 U1 (t) + ε3 U2 (t) + . . .
10
(28)
Где U1 , U2 периодические с периодом 1: U1 (t) ≡ U1 (t + 1), U2 (t) ≡ U2 (t + 1). Функция W
такая, что среднее значение β2 V̇ 2 − kW (τ ) равняется 0, то есть:
β2
W (τ ) =
k
Z1
V̇ 2 (t, τ )dt.
0
Функция V (t) представляется в виде ряда Фурье:
V (t) =
∞
X
2λ
eiIm(λn0 +ελn1 +ε
n2 +...)t
Vn (τ ), где τ = ε2 t.
−∞
Значения λn0 , λn1 , λn2 определяются из асимптотического приближения корней уравнения
(10) (см. Теорему 3).
Обозначим ξn (ε):
ξn (ε) = i(λn0 + ελn1 + ε2 λn2 + . . .), где
2
λn0 + k
,
λn0 = π(2n + 1), λn1 = Im −
λn0
2λn0 λn1 + −λ2n1
λn2 = Im −
.
λn0
Для удобства выпишем первую и вторую производную функции V , они имеют схожий
вид с функциями (17) и (18).
∞
X
(ξn Vn (τ ) + ε2 Vn0 (τ ))eξn t ,
(29)
(ξn2 Vn (τ ) + 2ξn ε2 Vn0 (τ ) + ε4 Vn00 (τ ))eξn t .
(30)
V̇ =
−∞
V̈ =
∞
X
−∞
Рассмотрим подробнее ẏ(t − 1):
∞
P
ẏ(t − 1) = ε
−∞
2
3
(ξn Vn (τ − ε2 ) + ε2 Vn0 (τ − ε2 ))eξn (t−1) + ε3 Ẇ (τ − ε2 )+
+ε U̇1 (t − 1) + ε U̇2 (t − 1) + . . . = ε
∞
P
−∞
(ξn Vn (τ − ε2 ) + ε2 Vn0 (τ − ε2 ))eξn t e−ξn +
(31)
+ε3 Ẇ (τ − ε2 ) + ε2 U̇1 (t − 1) + ε3 U̇2 (t − 1) + . . .
Разложим в ряды Тейлора функции e−ξn , Vn (τ − ε2 ) и W (τ − ε2 ), получим:
1 2 2
−ξn
−π(2n+1)i−ελn1 −ε2 λn2 −...
2
e
=e
= (−1) 1 − ελn1 − ε λn2 + ε λn1 + . . . ,
2
2
2 0
Vn (τ − ε ) = Vn (τ ) − ε Vn (τ ) + . . . ,
W (τ − ε2 ) = W (τ ) − ε2 W 0 (τ ) + . . .
(32)
Подставим (28), (29), (30), (31), (32) в уравнение (15), будем приравнивать коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра ε и соответствующих eξn t , выпишем
результат в явном виде:
11
ε(ε
∞
P
−∞
(ξn2 Vn (τ ) + 2ξn ε2 Vn0 (τ ) + ε4 Vn00 (τ ))eξn t + ε5 W 00 (τ ) + ε2 Ü1 + ε3 Ü2 )+
+ε
∞
P
−∞
(ξn Vn (τ ) + ε2 Vn0 (τ ))eξn t + ε3 W 0 (τ ) + ε2 U̇1 + ε3 U̇2 +
+kε(ε
∞
P
eξn t Vn (τ ) + εW (τ ) + ε2 U1 + ε3 U2 ) + o(ε4 ) =
−∞
∞
P
−(1 + ε2 β)(ε
−∞
(ξn (Vn (τ ) − ε2 Vn0 (τ )) + ε2 (Vn0 (τ ) − ε2 Vn00 (τ )))eξn t ·
1
·(−1)(1 − ελn1 − ε2 λn2 + ε2 λ2n1 ) + ε3 (W 0 (τ ) − ε2 W 00 (τ )) + ε2 U̇1 (t − 1) + ε3 U̇2 (t − 1))+
2
∞
P
+β2 (ε (ξn (Vn (τ ) − ε2 Vn0 (τ )) + ε2 (Vn0 (τ ) − ε2 Vn00 (τ )))eξn t ·
−∞
1
·(−1)(1 − ελn1 − ε2 λn2 + ε2 λ2n1 ) + ε3 (W 0 (τ ) − ε2 W 00 (τ )) + ε2 U̇1 (t − 1) + ε3 U̇2 (t − 1))2 +
2
∞
P
+β3 (ε (ξn (Vn (τ ) − ε2 Vn0 (τ )) + ε2 (Vn0 (τ ) − ε2 Vn00 (τ )))eξn t ·
−∞
1
·(−1)(1 − ελn1 − ε2 λn2 + ε2 λ2n1 ) + ε3 (W 0 (τ ) − ε2 W 00 (τ )) + ε2 U̇1 (t − 1) + ε3 U̇2 (t − 1))3 .
2
(33)
Раскроем скобки, приравняем коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра ε и соответствующих eξn t .
При ε получаем верное тождество:
λn0 Vn (τ )eξn t = λn0 Vn (τ )eξn t .
При ε2 получаем:
∞
P
∞
P
−∞
λ2n0 Vn (τ )eξn t +
∞
P
λn1 Vn (τ )eξn t + U̇1 +
−∞
∞
P
kVn (τ )eξn t + kW (τ ) =
−∞
(−1)(−λn1 Vn (τ ) + λn1 λn0 Vn (τ ))eξn t − U̇1 (t − 1) + β2
−∞
∞
P
(34)
g2n (V )e(π2ni+o(ε))t .
−∞
где g2n (V ) - это коэффициенты ряда Фурье для функции:
!2
∞
X
π(2n + 1)iVn (τ )eξn t .
−∞
После сокращений из уравнения (34) определяется U̇1 :
∞
X
1
g2n (V (t, τ ))e(π2ni+o(ε))t − kW (τ )),
U̇1 = (β2
2
−∞
1
U̇1 = (β2 V̇ 2 − kW (τ )).
2
U1 находится в виде:
1
U1 =
2
Zr
β2 V̇ 2 (s, τ ) − W (τ )ds.
0
Обратим внимание, что U1 периодическая, т.к. среднее значение подынтегральной функции равно нулю.
12
При ε3 получаем:
∞
P
∞
P
eξn t 2λn0 λn1 Vn (τ ) + Ü1 +
−∞
−∞
ξn t
(−1)e
−∞
+β2
∞
P
∞
P
(λn2 Vn (τ ) + Vn0 (τ ))eξn t + U̇2 + kU1 + W 0 (τ ) =
1
((−1)(λn2 Vn (τ ) − λn0 Vn0 (τ ) + Vn0 (τ )) + λ2n1 Vn (τ ) + (−λn2 + λ2n1 )λn0 Vn (τ ))−
2
∞
P
−(U̇2 (t − 1) + W 0 (τ )) +
λn0 βVn (τ )eξn t + U̇1 (t − 1)+
(π(2n+1)i+o(ε))t
ϕ2n (V )e
+ β2
−∞
∞
P
−∞
f2n (V )e(π2ni+o(ε))t + β3
−∞
∞
P
ϕ3n (V )e(π(2n+1)i+o(ε))t .
−∞
(35)
где ϕ2n (V ) коэффициенты ряда Фурье для функции:
(−2)U̇1 (t − 1)
∞
X
π(2n + 1)iVn (τ )eξn t ;
−∞
ϕ3n (V ) коэффициенты ряда Фурье для функции:
(−1)
∞
X
!3
π(2n + 1)iVn (τ )
;
−∞
f2n (V ) а коэффициенты ряда Фурье для функции:
(−2)
∞
X
ξn t
λn0 Vn (τ )e
−∞
·
∞
X
λm0 λm1 Vm (τ )eξm t .
−∞
Уравнение (35) упрощается до вида:
Ü1 + 2U̇2 + kU1 + 2W 0 (τ ) − β2
∞
P
f2n (V )e(π2ni+o(ε))t =
−∞
∞
P
1
(−λn0 Vn0 (τ ) + λ2n1 λn0 Vn (τ ) + λn0 βVn (τ ) + β2 ϕ2n (V ) + β3 ϕ3n (V ))e(π(2n+1)i+o(ε))t .
2
−∞
(36)
В уравнении (36) левая часть периодическая, а правая антипериодическая, равенство возможно тогда и только тогда, когда левая и правая часть равна 0.
U̇2 определяется в виде:
∞
X
1
U̇2 = (β2
f2n (V )e(π2ni+o(ε))t − Ü1 − kU1 − 2W 0 (τ )).
2
−∞
Рассмотрим антипериодическую часть уравнения (36) и разложим её на соответствующие степени eξn t :
1
λn0 Vn0 (τ ) = λ2n1 λn0 Vn (τ ) + λn0 βVn (τ ) + β2 ϕ2n (V ) + β3 ϕ3n (V ).
2
Подставим значения λn1 и λn0 в уравнение (37) :
1
k2
2
2
0
π (2n + 1) − 2k + 2
Vn (τ )+
Vn (τ ) = −
2
π (2n + 1)2
β2
β3
+βVn (τ ) +
ϕ2n (V ) +
ϕ3n (V ).
π(2n + 1)i
π(2n + 1)i
13
(37)
(38)
Рассмотрим дифференциальное уравнение вида с краевыми условиями:
∂V
1 ∂ 2V
k2 2
∂V
=
+ kV − J (V ) + βV + β2 J U1
+ β3 J
∂τ
2 ∂ 2r
2
∂r
R1
∂V
∂r
3 !
,
(39)
V (τ, r)dr = 0,
(40)
0
V (τ, r) ≡ −V (τ, r + 1).
Через J(V ), как и ранее, обозначена первообразная функции V с нулевым средним:
J 2 (V ) = J(J(V )), (J(V ))0r ≡ V.
Представим функцию V из уравнения (39) в виде:
V =
∞
X
eπ(2n+1)ir Vn (τ ).
(41)
−∞
Подставив формулу (41) в уравнение (39) и приравняв коэффициенты получившихся
рядов Фурье, мы получим построчное равенство, что для каждого n справедливо равенство (37).
Теорема 5 Пусть V∗ - решение (39) с краевыми условиями (40), причем V∗ =
∞
P
eπ(2n+1)ir Vn (τ ),
−∞
тогда y = ε2
∞
P
eξn r Vn (τ ) является асимптотическим по невязке равномерно по t ≥ 0 ре-
−∞
шением (15).
Доказательство теоремы следует из построений решения сделанных ранее.
14
4
Заключение
Была рассмотрена модель оптоэлектронного осциллятора, найдено его состояние равновесия. Для изучения локальной динамики уравнения был рассмотрен характеристический
квазиполином. Выделены критические значения параметра β, при котором состояние равновесия меняет свою устойчивость. Найдено асимптотическое представление корней характеристического квазиполинома при критическом значении параметра β. Интересным
оказывается то, что кроме основной «цепочки» стремящихся к мнимой оси корней существует еще один близкий к нулю корень характеристического уравнения. Построено
асимптотическое представление корней при малом изменении параметра β1 . Главным результатом работы является построение нормальной формы решения уравнения (15) при
критических параметрах β1 .
15
5
Литература
1. Larger L., Maistrenko Y., Penkovskyi B.. Virtual Chimera States for Delayed-Feedback
Systems// Physical Review Letters, 2013. Vol. 111. pp. 054103.
2. Григорьева Е.В., Кащенко С.А., Глазков Д.В.. Особенности локальной динамики модели оптико-электронного осцилятора с запаздыванием.// Моделирование и анализ
информационных систем. Т.25, №1, 2018, с. 71-82.
3. Кащенко И.С. Асимптотическое разложение решений уравнений: методические указания. Ярославль: ЯрГУ, 2011.
4. Кащенко И.С. Метод квазинормальных форм в уравнениях с запаздыванием: методические указания. Ярославль: ЯрГУ, 2011.
5. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.
16
Отзывы:
Авторизуйтесь, чтобы оставить отзывАлександр Крестин, Спасибо большое очень приятно)) Вообще это забавно что если прокомментировать много много работ других, просто поддержать сказав что человек молодец, провел исследование в которое вложил все свои знания за годы обучения, то некоторые ребята в ответ пишут комментарии под моей работой)
Очень интересная работа, и такой высокий уровень!)
Вера Зеленова, спасибо большое) мне очень приятно что моя работа кого то очень сильно заинтересовала)
Игорь Маслеников, Круто, что не останавливаетесь на достигнутом! Ждем улучшенную работу тогда! Буду следить на обновлениями)
Игорь Маслеников, О, здорово. Сделаю, пожалуй также (потому что планы те же). Спасибо!
Игорь Маслеников, Классно звучит)
очень сильно!
Вера Зеленова, да работа продолжается сейчас идет численный обсчет улучшение теории и тд.
Вера Зеленова, Я в конце второго курса подошел к будущему научнику и сказал о желании хорошо так трудится и о желании пойти в аспирантуру. В аспирантуре необходимо защищать работу перед серьезными людьми и она должна быть очень сильной и прорывной. Он предложил эту задачу вот я ее и решаю.
Вера Зеленова, с начальной школы с русским было плохо, но хотя бы умел считать
Вера Зеленова, конечно!
Вера Зеленова, на написание диплома по этой теме ушло 2 года, сейчас я продолжаю заниматься этим же так что плюс еще один год.
Проныра, озорник, Любитель книг. Ловкач, игрок – Жизнь между строк. И потому – Открыт ему. Незримый путь В любую суть. Танец злобного гения На страницах произведения. Эта игра. Без сомнения Обреченных ждет поражение. Подсыпать в душу яд Всегда он рад. Всего за час Прочтет он вас. Он волен взять И поменять Строку. И с ней Смысл темы всей. Танец злобного гения На страницах произведения. Это игра. Без сомнения Обреченных ждет поражение. Источник teksty-pesenok.ru Открыт роман, Читатель пьян. Разлив вино, Шагнул в окно. Танец злобного гения На страницах произведения. Это игра. Без сомнения Обреченных ждет поражение. Танец злобного гения На страницах произведения. Это игра. Без сомнения Обреченных ждет поражение.
Очень здорово!
И каждый раз осмысливается по-новому!
Перечитываю снова и снова вашу работу!
Планируете или может уже пишете что-то еще по этой теме? Или другое научное исследование?
Почему выбрали именно такую работу?
Давно ли вы интересуетесь математикой?
Игорь Маслеников, Обязательно расскажите, если примените в жизни!
Игорь Маслеников, Примерно сколько?)
Сергей Каспарян, спасибо В целом да, конечно я проделал уже часть численных моделирований. Но по работе нужно еще делать и делать. Она очень сложная.
Валерия Митрофанова, спасибо
Вера Зеленова, в целом да
Вера Зеленова, очень много
Вера Зеленова, еще раз спасибо
Вера Зеленова, спасибо
Карина Романова, спасибо
Марина Арс, спасибо
Максим Родищев, спасибо
Назаров Ирвин , спасибо
Сергей Котлеткин, спасибо
Карина Девочкина, спасибо
Федор Смирнов, спасибо!
Отлично!
Продолжайте в том же духе! Успехов!
Очень интересная работа!
К примеру -телекоммуникационные сети. Актуальными являются задачи повышения скорости передачи данных и защищенности передаваемых сообщений? Если рассматривать путем применения оптоэлектронных генераторов для формирования стабильной высокочастотной (от радио- до терагерцового диапазона) несущей
В численном эксперименте установлены основные устойчивые динамические режимы?
Здравствуйте! Как вы считаете, ваша работа носит более социальный характер применения или экономический?
Знаете ли вы применение в жизни вашего исследования?
Много ли ушло времени на выполнение работы?
Классная идея работы!
Интересно было читать!
Супер!
Классная работа, все бы такими были, по существу
Супер!!))
Интересно
Сильная работа!
Классно
Очень даже неплохо
Дарья Аксенова, спасибо!
Ксения Ранькова, спасибо!
Александр Христофоров, спасибо!
Полина Маркова, спасибо!
Малина Фелисова, спасибо!
Фаина Райкина, спасибо!
Вова Небрежин, спасибо!
Раиса Степанова, спасибо!
Григорий Майков, спасибо!
Марина Карпова, спасибо!
Арина Смирнова, спасибо!
Людвиг Ди, спасибо!
Екатерина Аксенова, спасибо!
Розалия Цветкова, спасибо!
Давид Фирсов, спасибо!
Федор Марсов, спасибо!
Карина Девочкина, спасибо!
Роман Каразин, спасибо!
Так держать
Лучший!
Класс
Интересненько, однако
Странная работа.....ничего не понял
👍
Суперская работа
Молодец автор!
Лучшая работа определенно
Работа интересная
Ну такая себе, средняя работа
Работа заслуживает внимания
Увлекательно
Супер!! Огонь статья
Шикарно
Превосходно
Перспективная тематика и автор постарался
💣💣💥
))) классная статья
Достойно, автор молодец!
Лучший
Качественная работа
Здорово))))
спасибо!
спасибо!
спасибо!
спасибо!
спасибо!
спасибо!
спасибо!
Маруся Фила, спасибо!
Маруся Фила, спасибо!
Багрова Вера, спасибо!
Вера Зеленова, спасибо!
Вера Зеленова, спасибо!
Молодец
Круто!
Огонь
👍👍👍
Молодец
Прекрасная работа
Тема любопытная
Подпишись на меня
Класс
Супер
Интересненько
Очень интересная работа, продолжай в том же духе
Такие авторы - наше будущее!
Здорово, что математикой интересуются, и ее развивают!
Пётр Ионов, спасибо
Павел Ильяшенко, спасибо
Матвей Стройный, спасибо
Вера Зеленова, спасибо
Вера Зеленова, благодарю
Вера Зеленова, спасибо
Дмитрий Кононец, Буду продолжать
Дмитрий Кононец, Спасибо
Класс!
Достойно, молодец демидовец!
Замечательная работа! Всего в ней в достатке
Желаю больших успехов в дальнейшем!
Такие работы нельзя оставлять без внимания!
Очень интересная работа и выполнена качественно, было приятно читать. Спасибо!
Продолжай в том же духе и бери новые высоты!
Очень сильная работа!
Ахмед Магамедов, спасибо
Ахмед Магамедов, спасибо
Лилия Ростова, спасибо
Жанна Прусова, спасибо
Эмилия Алиева, спасибо
Роза Харитонова, спасибо
Молодец)))
Лазер-пушка
Да вы что, это огонь
Норм, ничего так
Сложно, как-то для понимания
Класс)))))
Лучший!
!!! Топовая работа
Супер
Вакуу, мне нравится статья, автор красавчик
Классная работа
Офигительно
Автор, замечательная работа
Интересно!
Роман Королев, спасибо!
Олеся Речкина, спасибо!
Диана Рогова, спасибо!
Иван Степанов, спасибо!
Роман Живрин, спасибо!
Александр Фомин , спасибо!
Любовь Родионова, спасибо!
Илья Поточкин, спасибо!
Ирина Иванова, спасибо!
Анна Емец, спасибо!
Любопытная тема
Здорово!
Интересная работа!! Выделяется на фоне других)
Потрясающе
Круто
Математика это мощь
Класс!!
Автор молодец!
Необычная тематика
Супер!
Мария Ильина, спасибо
Максим Громов, Максон спасибо)) от души
Инна Проскурина, спасибо
Соснин Александр, спасибо Саня
Дмитрий Ростов, спасибо
Ободков Максим, спасибо
Егор Медведев, каждому свое мнение
Артем Смирнов, спасибо
Кирилл Панов, Киря спасибо) Рад тебя тут видеть
Евгений Красавин, спасибо
Никита Смирнов, спасибо
Ваня Петров, спасибо
Любопытно, хотела бы я разбираться в данной тематике также здорово
Согласен с Александром давалось очень тяжело не каждый способен даже среди студентов-математиков толком разобрать в этой теме. А игорь еще и диплом на эту тему написал, одним словом - респект
Достойная работа
Дифференциально-интегральное уравнение с запаздыванием пожалуй одна из сложнейших тем высшей математики. Очень рад за своего бывшего одногруппника, что его работа увидит широкая общественность и что так много людей уже заинтересовались этим дипломом.
Егор, зависть плохое чувство
Одна из лучших работ университета. Игорь действительно сильный специалист в своей области.
Слабая работа
Интересно
работа правда сильная в области математики, нужно ее продвинуть в топы. распространите своим друзьям. подтянем математическое сообщество!!!
Супер!!
топ!
класс!!! Админам респект!
Максим Громов, Здаров Макс:))))
Артем Нуцков, спасибо!
Алеша Николаев, ну это математика
сильная работа, жаль что ей уделено мало внимания
Отличная работа!
Заставляет задуматься
Да есть такое)
Интересные у вас исследования в вузе
Спасибо
Классная работа
3 года уже решаем эту задачу
Довольно интересная тематика, как долго вы ее развиваете со своим руководителем?