ÌÈÍÎÁÐÍÀÓÊÈ ÐÎÑCÈÈ
Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå áþäæåòíîå îáðàçîâàòåëüíîå
ó÷ðåæäåíèå
âûñøåãî îáðàçîâàíèÿ
¾ßðîñëàâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ï.Ã. Äåìèäîâà¿
Êàôåäðà ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ
Ñäàíî íà êàôåäðó
¾16¿ èþíÿ 2020 ã.
Çàâåäóþùèé êàôåäðîé
ä.ô.-ì.í., äîöåíò
Êàùåíêî È. Ñ.
Âûïóñêíàÿ êâàëèôèêàöèîííàÿ ðàáîòà
Ëîêàëüíàÿ äèíàìèêà óðàâíåíèÿ ñ áîëüøèì çàïàçäûâàíèåì
è ïåðèîäè÷åñêèìè êîýôôèöèåíòàìè
íàïðàâëåíèå ïîäãîòîâêè
01.03.02 Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è èíôîðìàòèêà
Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü
çàâåäóþùèé êàôåäðîé
ä.ô.-ì.í., äîöåíò
Êàùåíêî È. Ñ.
¾16¿ èþíÿ 2020 ã.
Ñòóäåíò ãðóïïû ÏÌÈ-41ÁÎ
Òàòàíîâà Å. Ì.
¾16¿ èþíÿ 2020 ã.
ßðîñëàâëü 2020 ã.
Ðåôåðàò
Îáúåì 24 ñ., 2 ãë., 4 ðèñ., 5 èñòî÷íèêîâ.
 ðàáîòå èññëåäóþòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì â
êðèòè÷åñêîì ñëó÷àå, êîãäà íàäêðèòè÷íîñòü íå ÿâëÿåòñÿ êîíñòàíòîé. Ñ ïîìîùüþ àñèìïòîòè÷åñêèõ ìåòîäîâ ñòðîÿòñÿ êâàçèíîðìàëüíûå ôîðìû.  õîäå
èññëåäîâàíèÿ äåëàåòñÿ âûâîä, ÷òî â ñëó÷àå ñ ôèêñèðîâàííûì çàïàçäûâàíèåì
íîðìàëüíàÿ ôîðìà ÿâëÿåòñÿ äâóìåðíîé, à â ñëó÷àå ñ áîëüøèì çàïàçäûâàíèåì
ñòàíîâèòñÿ íåàâòîíîìíîé.
Êëþ÷åâûå ñëîâà:
àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû, ìåòîä êâàçèíîðìàëü-
íûõ ôîðì, óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì, ñîñòîÿíèå ðàâíîâåñèÿ.
2
Ñîäåðæàíèå
Ââåäåíèå
4
1
Óðàâíåíèå ñ ôèêñèðîâàííûì çàïàçäûâàíèåì
5
1.1
Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé êâàçèïîëèíîì óðàâíåíèÿ . . . . . . . . . .
6
1.2
Òî÷êà áèôóðêàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3
Áèôóðêàöèÿ ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.4
Óðàâíåíèå Õàò÷èíñîíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2
Óðàâíåíèå ñ áîëüøèì çàïàçäûâàíèåì
15
2.1
Ñëó÷àé a áëèçêîãî ê 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2
Ñëó÷àé a áëèçêîãî ê -1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Çàêëþ÷åíèå
23
3
Ââåäåíèå
Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì âîçíèêàþò âî ìíîãèõ
ïðèêëàäíûõ çàäà÷àõ: â íåéðîäèíàìèêå, ëàçåðíîé ôèçèêå, â çàäà÷àõ ìàòåìàòè÷åñêîé ýêîëîãèè, â îïèñàíèè ðàáîòû ÿäåðíîãî ðåàêòîðà, â ðàäèîôèçèêå
è âî ìíîãèõ äðóãèõ îáëàñòÿõ çíàíèé [13].
 ðàáîòå áóäåò ðàññìîòðåíî óðàâíåíèå
ẋ + x = ax(t − T ) + f (x).
Äèíàìè÷åñêèå ñâîéñòâà åãî ðåøåíèé â êðèòè÷åñêîì ñëó÷àå îïðåäåëÿþòñÿ
óêîðî÷åííûì íîðìàëèçîâàííûì óðàâíåíèåì
dξ
= λ1 ξ + d|ξ|2 ξ,
dτ
ãäå êîýôôèöèåíòû λ1 è d êîìïëåêñíûå ÷èñëà [1]. Ýòî âåðíî äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà çíà÷åíèå ïàðàìåòðà a áëèçêî ê êðèòè÷åñêîìó è îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì
a = a0 + εa1 .
 äàííîì ñëó÷àå íàäêðèòè÷íîñòü a1 - êîíñòàíòà. Öåëü ðàáîòû èññëåäîâàòü ëîêàëüíóþ (â îêðåñòíîñòè íóëåâîãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ) äèíàìèêó
äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì â ñëó÷àå, êîãäà íàäêðèòè÷íîñòü íå ÿâëÿåòñÿ êîíñòàíòîé.
 ñëó÷àÿõ, áëèçêèì ê êðèòè÷åñêèì, äëÿ èññëåäîâàíèÿ áóäåò ïðèìåíåíà
òåîðèÿ íîðìàëüíûõ ôîðì Ïóàíêàðå. Ïðèâåäåíèå ê íîðìàëüíûì ôîðìàì îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðè ïîìîùè ðÿäîâ ïî ñòåïåíÿì îòêëîíåíèÿ îò ðàâíîâåñèÿ èëè
ïåðèîäè÷åñêîãî ðåøåíèÿ [4].
Îñîáîå âíèìàíèå áóäåò óäåëåíî ñëó÷àþ, êîãäà ïàðàìåòð T , õàðàêòåðèçó-
4
þùèé çàïàçäûâàíèå, ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèì, ò.å.
T 1.
 ñëó÷àå, êîãäà ñîñòîÿíèå ðàâíîâåñèÿ òåðÿåò óñòîé÷èâîñòü, ïðè óñëîâèè
ïîñòîÿííîé íàäêðèòè÷íîñòè, àíàëîã íîðìàëüíîé ôîðìû èìååò âèä íåëèíåéíîãî ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ [1]. Òàê, ïðè a áëèçêîì ê 1, ñîîòâåòñòâóþùàÿ
êðàåâàÿ çàäà÷à èìååò âèä
du 1 d2 u
=
+ a1 u − f2 u2 ,
2
dτ
2 dr
u(τ, r + 1) = u(τ, r).
 íàñòîÿùåé ðàáîòû ìû èññëåäóåì ëîêàëüíóþ (â îêðåñòíîñòè íóëåâîãî
ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ) äèíàìèêó äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì â ñëó÷àå, êîãäà íàäêðèòè÷íîñòü íåïîñòîÿííàÿ, ò.å.
a = ±(1 + ε2 a1 (t)).
 ðàáîòå ìû ñ ïîìîùüþ àñèìïòîòè÷åñêèõ ìåòîäîâ ïîñòðîèì â êðèòè÷åñêèõ ñëó÷àÿõ àíàëîãè íîðìàëüíûõ êâàçèíîðìàëüíûå ôîðìû.
1
Óðàâíåíèå ñ ôèêñèðîâàííûì
çàïàçäûâàíèåì
Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé, êîãäà çàïàçäûâàíèå T ôèêñèðîâàííî.
Ðàññìîòðèì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ñ çàïàçäûâàíèåì
ẋ + x = ax(t − T ) + f (x),
(1)
ãäå a - ïðîèçâîëüíûé ïàðàìåòð, T > 0 - ôèêñèðîâàííîå âðåìÿ çàïàçäûâàíèÿ,
5
f (x) - ôóíêöèÿ, èìåþùàÿ â íóëå ïîðÿäîê âûøå ïåâîãî.
1.1
Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé êâàçèïîëèíîì óðàâíåíèÿ
Êàê äëÿ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, äëÿ óðàâíåíèÿ (1)
èìååò ìåñòî òåîðåìà Ëÿïóíîâà îá óñòîé÷èâîñòè ïî ïåðâîìó ïðèáëèæåíèþ [4].
Ðàññìîòðèì ëèíåàðèçîâàííîå íà íóëåâîì ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ óðàâíåíèå
(1):
ẋ + x = ax(t − T ).
(2)
Àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ðåøåíèé îäíîðîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ðåøåíèÿìè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ [2].
Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé êâàçèïîëèíîì óðàâíåíèÿ (2):
λ + 1 = ae−λT
(3)
Êîðíè ñ ïîëîæèòåëüíîé âåùåñòâåííîé ÷àñòüþ äàþò ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñòóùèå ïî ìîäóëþ ðåøåíèÿ, ïîýòîìó áóäåì èññëåäîâàòü ïîâåäåíèå ðåøåíèé
óðàâíåíèÿ (1) â ìàëîé îêðåñòíîñòè ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ, êîãäà êâàçèïîëèíîì (3) èìååò êîðíè ñ íóëåâîé âåùåñòâåííîé ÷àñòüþ è íå èìååò ñ ïîëîæèòåëüíîé.  ýòîì ñëó÷àå ðåøåíèÿ (2) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâû.
1.2
Òî÷êà áèôóðêàöèè
Óðàâíåíèå (3) èìååò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî êîðíåé.  ñèëó èõ íåïðåðûâíîé
çàâèñèìîñòè îò ïàðàìåòðà a, íàéäóòñÿ òàêèå a+ (T ) > 0 è a− (T ) < 0, ÷òî
ïðè a− (T ) < a < a+ (T ) âñå êîðíè êâàçèïîëèíîìà èìåþò îòðèöàòåëüíûå
âåùåñòâåííûå ÷àñòè, à ïðè a = a+ (T ) è ïðè a = a− (T ) êâàçèïîëèíîì (3)
èìååò ÷èñòî ìíèìûé êîðåíü λ0 = iω [1]. À, çíà÷èò, åñòü è åìó êîìïëåêñíîñîïðÿæåííûé. Èòàê, êâàçèïîëèíîì èìååò ïàðó ÷èñòî ìíèìûõ êîðíåé λ =
±iω , ãäå ω > 0. Òàêæå åñòü íóëåâîå ðåøåíèå, òîãäà a = 1.
6
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé a < 0. Ïîëîæèì â (3) a = a− (T ) = a0 è λ = iω .
Ïîëó÷èì
iω = −1 + a0 e−iωT .
Âûäåëèì äåéñòâèòåëüíóþ è ìíèìóþ ÷àñòè:
−1 = a0 cos ωT ,
ω = −a0 sin ωT .
Îòñþäà
a20 = 1 + ω 2 ,
(4)
tan ωT = −ω.
(5)
Ïóñòü ω∗ - íàèìåíüøèé ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü óðàâíåíèÿ (5). Òîãäà a0 =
−
p
1 + ω∗2 .
Ïðè âñåõ a0 < a < 0 âñå êîðíè óðàâíåíèÿ (3) èìåþò îòðèöàòåëüíûå âå-
ùåñòâåííûå ÷àñòè, à ïðè a < a0 ñóùåñòâóåò êîðåíü (3) ñ ïîëîæèòåëüíîé
âåùåñòâåííîé ÷àñòüþ [1]. Ïðè a = a0 ÷åðåç ìíèìóþ îñü âïðàâî ïåðåõîäÿò äâà
êîðíÿ. Òàêèì îáðàçîì, a0 ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé áèôóðêàöèè.
1.3
Áèôóðêàöèÿ ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ
Èçó÷èì äèíàìèêó óðàâíåíèÿ (1), â ñëó÷àå, êîãäà çíà÷åíèå ïàðàìåòðà a
áëèçêî ê êðèòè÷åñêîìó, ò.å.
a = a0 + εa1 (t).
Çäåñü 0 < ε 1 - ìàëûé ïàðàìåòð, a1 (t) - ôóíêöèÿ, çàâèñÿùàÿ îò âðåìåíè t.
Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé êâàçèïîëèíîì (3) èìååò ïàðó ÷èñòî ìíèìûõ êîðíåé
λ = ±iω0 , à âñå îñòàëüíûå èìåþò îòðèöàòåëüíûå âåùåñòâåííûå ÷àñòè. Çíà÷èò,
ëèíåàðèçîâàííîå óðàâíåíèå èìååò ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå x = e±iω0 t .
7
Ðàçëîæèì ôóíêöèþ f (x) â ðÿä Òåéëîðà â îêðåñòíîñòè íóëÿ. Ïîëó÷èì
ẋ + x = (a0 + εa1 (t))x(t − T ) + f2 x2 + f3 x3 + o(x3 ).
(6)
Âûïîëíèì ïîäñòàíîâêó ñëåäóþùåãî âèäà:
x(t, ε) =
√
¯ )e−iω0 t ] + εx2 (t, τ ) + ε3/2 x3 (t, τ ) + o(ε3/2 ),
ε[ξ(τ )eiω0 t + ξ(τ
(7)
ãäå τ = εt, à x2 è x3 ÿâëÿþòñÿ 2π/ω0 -ïåðèîäè÷íûìè ïî áûñòðîé ïåðåìåííîé
t.
Ïîäñòàâèì ôîðìóëó (2) â óðàâíåíèå (6). Ïðèðàâíÿåì êîýôôèöèåíòû ïðè
îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ ε.
Íà ïåðâîì øàãå ïîëó÷àåì
iω0 + 1 = a0 e−iω0 T ,
−iω0 + 1 = a0 eiω0 T ,
à â ñèëó îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èí a0 è ω0 ýòî âåðíûå òîæäåñòâà.
Íà âòîðîì øàãå ïðèäåì ê äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ îòíîñèòåëüíî
x2 :
∂x2
+ x2 = a0 x2 (t − T, τ ) + f2 [ξ 2 (τ )e2iω0 t + 2|ξ(τ )|2 + ξ¯2 (τ )e−2iω0 t ].
∂t
×àñòíîå ðåøåíèå èìååò âèä:
x2 (t, τ ) = x20 (τ ) + x21 (τ )e2iω0 t + x̄21 (τ )e−2iω0 t .
Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â óðàâíåíèå íà x2 (t, τ ), íàõîäèì, ÷òî
x20 (τ ) = −
2f2
|ξ(τ )|2 ,
−1 + a0
8
x21 (τ ) =
f2
ξ 2 (τ ).
−2iω
T
0
2iω0 + 1 − a0 e
Ñîáèðàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè ε3/2 , ïîëó÷èì âûðàæåíèå
∂x3
+ x3 − a0 x3 (t − T, τ ) =
∂t
¯
−iω0 T dξ iω0 t
iω0 T dξ −iω0 t
= − (1 + a0 T e
) e + (1 + a0 T e
) e
+ a1 (t)(ξ(τ )eiω0 (t−T ) +
dτ
dτ
¯ )e−iω0 (t−T ) ) + 2f2 x2 (t − T, τ )(ξ(τ )eiω0 t + ξ(τ
¯ )e−iω0 t )+
+ ξ(τ
¯ )e−iω0 t )3 .
+ f3 (ξ(τ )eiω0 t + ξ(τ
Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ 2π/ω0 -ïåðèîäè÷åñêèõ
ðåøåíèé ýòîãî óðàâíåíèÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî íåîäíîðîäíàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ
äîëæíà áûòü îðòîãîíàëüíà ðåøåíèþ çàäà÷è, ñîïðÿæåííîé èñõîäíîé. Åå ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ x = eiω0 t è x = e−iω0 t . Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì ñèñòåìó
äâóõ óðàâíåíèé:
Z 2π
ω0
2π
dξ
¯ )eiω0 T
− (1 + a0 T e−iω0 T )
+ ξ(τ
a1 (t)e−2iω0 t dt+
ω0 dτ
0
Z 2π
ω0
2f22
2π
−iω0 T
+ ξ(τ )e
a1 (t)dt +
ξ(τ )|ξ(τ )|2 −
−2iω
T
0
2iω0 + 1 − a0 e
ω0
0
2
4f2 2π
2π
−
ξ(τ )|ξ(τ )|2 + 3f3 ξ(τ )|ξ(τ )|2 = 0,
−1 + a0 ω0
ω0
2π
Z
Z 2π
¯
ω0
ω0
2π
d
ξ
¯ )eiω0 T
− (1 + a0 T eiω0 T )
+ ξ(τ )e−iω0 T
a1 (t)e2iω0 t dt + ξ(τ
a1 (t)dt+
ω0 dτ
0
0
2f22
2π ¯
4f22 2π ¯
2
+
ξ(τ )|ξ(τ )| −
ξ(τ )|ξ(τ )|2
2iω
T
0
−2iω0 + 1 − a0 e
ω0
−1 + a0 ω0
2π ¯
+ 3f3 ξ(τ
)|ξ(τ )|2 = 0.
ω0
Ïîëó÷èëè óêîðî÷åííóþ íîðìàëèçîâàííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé, êîòîðóþ
9
ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê
dξ
= λ1 ξ + λ2 ξ¯ + dξ|ξ|2 ,
dτ
(8)
ãäå
Z 2π
ω0
ω0 e−iω0 T
λ1 =
a1 (t)dt,
2π(1 + a0 T e−iω0 T ) 0
Z 2π
ω0
ω0 eiω0 T
λ2 =
a1 (t)e−2iω0 t dt,
−iω
T
2π(1 + a0 T e 0 ) 0
4f22
1
2f22
−
.
d=
+
1 + a0 T e−iω0 T
−1 + a0 2iω0 + 1 − a0 e−2iω0 T + 3f3
Òåîðåìà 1.
Ïóñòü ó óðàâíåíèÿ (8) åñòü ãðóáîå ñîñòîÿíèå ðàâíîâåñèÿ ξ∗ .
Òîãäà ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ çíà÷åíèÿõ ε óðàâíåíèå (6) èìååò ãðóáîå ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå âèäà
x(t, ε) =
Òåîðåìà 2.
√
ε[ξ∗ eiω0 t + ξ¯∗ e−iω0 t ] + O(ε).
Ïóñòü ó óðàâíåíèÿ (8) åñòü ãðóáûé öèêë ξ∗ . Òîãäà ïðè äîñòà-
òî÷íî ìàëûõ çíà÷åíèÿõ ε óðàâíåíèå (6) èìååò ãðóáûé òîð.
x(t, ε) =
√
ε[ξ∗ (εt)eiω0 t + ξ¯∗ (εt)e−iω0 t ] + O(ε).
Ïðåäñòàâèì ξ(τ ) â ïîêàçàòåëüíîé ôîðìå:
ξ(τ ) = ρ(τ )eiϕ(τ ) .
(9)
Ïîäñòàâèì (9) â óðàâíåíèå (8). Ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ àìïëèòóäû ρ(τ ) è äëÿ ôàçû ϕ(τ ):
10
dρ
= (Re λ1 )ρ + (Re λ2 ) cos 2ϕ · ρ + (Im λ2 ) sin 2ϕ · ρ + (Re d)ρ3 ,
dτ
dϕ
= Im λ1 − (Re λ2 ) sin 2ϕ + (Im λ2 ) cos 2ϕ + (Im d)ρ2 .
dτ
(10)
(11)
Îòìåòèì, ÷òî â îòëè÷èå îò ñëó÷àÿ a1 ≡ const íè (10), íè (11) íå îòùåïëÿþòñÿ îò ñèñòåìû, è íîðìàëüíàÿ ôîðìà ÿâëÿåòñÿ äâóìåðíîé ñèñåìîé. Ó ýòîé
íîðìàëüíîé ôîðìû óñòîé÷èâûìè ìîãóò áûòü òîëüêî ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ è
ïåðèîäè÷åñêèå ðåøåíèÿ.
Ðèñ. 1: Ãðàôèê ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1). Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ: a0
=
3
−2.261826, T = 1, ε = 0.01, a1 (t) = cos(2t), f (x) = −x .
Ðèñ. 2: Ãðàôèê ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1). Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ: a0
3
−2.261826, T = 1, ε = 0.01, a1 (t) = cos(ω0 t), f (x) = −x .
11
=
1.4
Óðàâíåíèå Õàò÷èíñîíà
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì øèðîêî èñïîëüçóþùååñÿ â ïîïóëÿöèîííîé äèíàìèêå óðàâíåíèå Õàò÷èíñîíà [5]:
(12)
ẋ = λ(1 − x(t − 1)) · x,
ãäå λ - ïîëîæèòåëüíûé ïàðàìåòð. Çàìåòèì, ÷òî ýòî óðàâíåíèå èìååò ñîñòîÿíèå ðàâíîâåñèÿ x = 1. Îíî òåðÿåò óñòîé÷èâîñòü ïðè λ =
π
2.
Ðàññìîòðèì
óðàâíåíèå (12) â ñëó÷àå, êîãäà çíà÷åíèå ïàðàìåòðà áëèçêî ê êðèòè÷åñêîìó,
ò.å.
λ=
π
+ ε · a(t).
2
Ïðîèçâåä¼ì çàìåíó
x = 1 + y.
Òîãäà óðàâíåíèå (12) ïðèíèìàåò ñëåäóþùèé âèä:
ẏ = −λy(t − 1) · (1 + y),
(13)
çäåñü ñîîòâåòñòâóþùåå ñîñòîÿíèå ðàâíîâåñèÿ y = 0.
Âûïîëíèì ñëåäóþùóþ ïîäñòàíîâêó:
y(t, ε) =
√
π
¯ )e−i π2 t ] + εy2 (t, τ ) + ε3/2 y3 (t, τ ) + o(ε3/2 ),
ε[ξ(τ )ei 2 t + ξ(τ
(14)
ãäå τ = εt, à y2 è y3 ÿâëÿþòñÿ 4-ïåðèîäè÷íûìè ïî áûñòðîé ïåðåìåííîé t.
Ïîäñòàâèì ôîðìóëó (14) â óðàâíåíèå (13). Ïðèðàâíÿåì êîýôôèöèåíòû
ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ ε.
Íà ïåðâîì øàãå ïîëó÷àåì âåðíûå òîæäåñòâà.
12
Íà âòîðîì øàãå ïðèäåì ê äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ îòíîñèòåëüíî
y2 :
π
∂y2
¯ )e−i π2 (t−1) ] · [ξ(τ )ei π2 t + ξ(τ
¯ )e−i π2 t ]
= −λ · y2 (t − 1, τ ) − λ[ξ(τ )ei 2 (t−1) + ξ(τ
∂t
×àñòíîå ðåøåíèå èìååò âèä:
π
π
y2 (t, τ ) = y20 (τ ) + y21 (τ )e2i 2 t + ȳ21 (τ )e−2i 2 t .
Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â óðàâíåíèå íà y2 (t, τ ), íàõîäèì, ÷òî
y20 (τ ) = 0,
y21 (τ ) =
2−i 2
ξ (τ ).
5
Ñîáèðàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè ε3/2 , ïîëó÷èì âûðàæåíèå
3π
π
2−i 2
2 + i ¯2
∂y3
π
= − [y(t − 1, τ ) − ξ(τ )ei 2 t ·
ξ (τ ) − ξ(τ )e−i 2 t ·
ξ (τ )−
∂t
2
5
5
¯ )ei π2 t 2 − i ξ 2 (τ ) − ξ(τ
¯ )e−i 3π2 t 2 + i ξ¯2 (τ )+
− ξ(τ
5
5
3π
π
2i + 1 3
2i − 1
ξ (τ )ei 2 t +
ξ(τ )ξ¯2 (τ )ei− 2 t −
+
5
5
π
3π
2i + 1 2 ¯
2i − 1 ¯3
−
ξ (τ )ξ(τ )ei 2 t −
ξ (τ )e−i 2 t ]+
5
5
π
¯ )e−i π2 (t−1) ]−
+ a(t) · [ξ(τ )ei 2 (t−1) + ξ(τ
−
π
π
π
· [−ξ 0 (τ ) · ei 2 (t−1) − ξ¯0 (τ ) · e−i 2 (t−1) ]
2
Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ 4-ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèé ýòîãî óðàâíåíèÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî íåîäíîðîäíàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ
äîëæíà áûòü îðòîãîíàëüíà ðåøåíèþ çàäà÷è, ñîïðÿæåííîé èñõîäíîé. Åå ðåπ
π
øåíèåì ÿâëÿåòñÿ x = ei 2 t è x = e−i 2 t .
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì óêîðî÷åííóþ íîðìàëèçîâàííîå óðàâíåíèå, êî-
13
òîðóþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê
dξ
= λ1 ξ + λ2 ξ¯ + dξ|ξ|2 ,
dτ
(15)
ãäå
Z 4
2i
λ1 = −
a(t)dt,
2 + πi 0
Z 4
2i
a(t)e−iπt dt,
λ2 =
2 + πi 0
π(1 − 3i)
.
d=
5(2 + πi)
Óðàâíåíèå (15) ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíîé ôîðìîé äëÿ (12) ïðè λ áëèçêîì ê π2 .
Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà, àíàëîãè÷íàÿ òåîðåìàì 1 è 2.
Òåîðåìà 3.
Ïóñòü ó óðàâíåíèÿ (15) åñòü ãðóáîå ñîñòîÿíèå ðàâíîâåñèÿ
èëè ãðóáûé öèêë. Òîãäà ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ çíà÷åíèÿõ ε óðàâíåíèå (13)
èìååò ãðóáîå ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå èëè ãðóáûé òîð ñîîòâåòñòâåííî òîé æå
óñòîé÷èâîñòè âèäà (14):
y(t, ε) =
√
π
¯ )e−i π2 t ] + O(ε).
ε[ξ(τ )ei 2 t + ξ(τ
Äàëåå ïðåäñòàâëåíû ãðàôèêè ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (13), è ìû ìîæåì çàìåòèòü, ÷òî ëèáî ðåøåíèÿ ñõîäÿòñÿ ê íóëþ, ëèáî ê 4-ïåðèîäè÷åñêèì ôóíêöèÿì.
14
Ðèñ. 3: Ãðàôèê ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2). Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ: λ0 =
0.01, a(t) = −cos(t) − 2.
π
2, ε
=
Ðèñ. 4: Ãðàôèê ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2). Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ: λ0 =
0.01, a(t) = cos2 (πt).
π
2, ε
=
2
Óðàâíåíèå ñ áîëüøèì çàïàçäûâàíèåì
Áóäåì èññëåäîâàòü òåïåðü óðàâíåíèå ñ áîëüøèì çàïàçäûâàíèåì
ẋ + x = ax(t − T ) + f (x),
(16)
ãäå a - ïðîèçâîëüíûé ïàðàìåòð, f (x) - ôóíêöèÿ, èìåþùàÿ â íóëå ïîðÿäîê
âûøå ïåâîãî, à ïàðàìåòð T , õàðàêòåðèçóþùèé çàïàçäûâàíèå, ÿâëÿåòñÿ äîñòàòîíî áîëüøèì, ò.å.
T 1.
15
×åðåç ε îáîçíà÷èì ìàëûé ïàðàìåòð ε = T −1 . Òîãäà
0 < ε 1.
×òîáû èçáàâèòüñÿ îò áîëüøîãî çàïàçäûâàíèÿ, â óðàâíåíèè (16) ïðîèçâåä¼ì
çàìåíó âðåìåíè t → T t. Ïåðåîáîçíà÷èì x(T t) → x(t). Òîãäà x(t − T ) →
x(t − 1), ò.å. ïîëó÷èëè èç áîëüøîãî çàïàçäûâàíèÿ ôèêñèðîâàííîå.  èòîãå
ïðèõîäèì ê ýâèâàëåíòíîìó óðàâíåíèþ
εẋ + x = ax(t − 1) + f (x).
(17)
Êàê äëÿ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, äëÿ óðàâíåíèÿ
(16) èìååò ìåñòî òåîðåìà Ëÿïóíîâà îá óñòîé÷èâîñòè ïî ïåðâîìó ïðèáëèæåíèþ [4]. Ðàññìîòðèì ëèíåàðèçîâàííîå íà íóëåâîì ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ óðàâíåíèå (16):
εẋ + x = ax(t − 1).
Àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ðåøåíèé îäíîðîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíî-ðàçíîñòíî
óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ðåøåíèÿìè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ [4]. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé êâàçèïîëèíîì ëèíåàðèçîâàííîãî â íóëå óðàâíåíèÿ (17) èìååò âèä:
ελ + 1 = ae−λT .
(18)
Åñëè âñå êîðíè èìåþò îòðèöàòåëüíûå (è îòäåëåííûå îò ìíèìîé îñè) âåùåñòâåííûå ÷àñòè, òî ñîñòîÿíèå ðàâíîâåñèÿ (17) óñòðîé÷èâî. Ýòî ïðîèñõîäèò
ïðè |a| < 1. Åñëè åñòü êîðíè ñ ïîëîæèòåëüíîé âåùåñòâåííîé ÷àñòüþ, òî áóäåò
íåóñòîé÷èâîå ñîñòîÿíèå ðàâíîâåñèÿ. Ýòî âûïîëíÿåòñÿ ïðè |a| > 1. Ïîýòîìó
ìû áóäåì èññëåäîâàòü ñëó÷àé, êîãäà ñóùåñòâóþò êîðíè (18) ñ íóëåâîé âåùåñòâåííîé ÷àñòüþ è íåò ñ ïîëîæèòåëüíîé. Ýòî ïðîèñõîäèò ïðè a = ±1.
16
Ðàçëîæèì ôóíêöèþ f (x) â ðÿä Òåéëîðà â îêðåñòíîñòè íóëÿ. Ïîëó÷èì
εẋ + x = ax(t − 1) + f2 x2 + f3 x3 + o(x3 ).
(19)
Èçó÷èì ñëó÷àè a áëèçêîãî ê 1 è −1.
2.1
Ñëó÷àé
a
áëèçêîãî ê 1
Èçó÷èì äèíàìèêó óðàâíåíèÿ (19) â ñëó÷àå, êîãäà çíà÷åíèå ïàðàìåòðà a
áëèçêî ê êðèòè÷åñêîìó, ò.å.
a = 1 + ε2 · a1 (t).
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü a1 êàê îãðàíè÷åííóþ ôóíêöèþ, ïðåäñòàâèì å¼ â
âèäå òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ïîëèíîìà:
a1 (t) = a11 e
iω1 t
iωn t
+ . . . + a1n e
=
n
X
(a1j eiωj t ).
j=1
Ïîëîæèì
x=ε
2
∞
X
ξk (τ )e2πikr + ε4 x1 (τ, r) + . . . ,
(20)
k=−∞
ãäå τ = ε2 t, r = (1 − ε + ε2 )t, à ôóíêöèÿ x1 (τ, r) ïðåäïîëàãàåòñÿ ïî÷òè
ïåðèîäè÷åñêîé ïî âòîðîìó àðãóìåíòó.
Ïîäñòàâèì âûðàæåíèå (20) äëÿ x â óðàâíåíèå (19) è áóäåì ñîáèðàòü êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ ε. Íà ïåðâîì øàãå ïðè ε2 è âòîðîì
øàãå ïðè ε3 ïîëó÷èì âåðíûå òîæäåñòâà. Íà òðåòüåì øàãå (ïðè ε4 ) ïðèä¼ì ê
17
óðàâíåíèþ îòíîñèòåëüíî x1 :
∞
X
x1 (τ, r) = x1 (τ, r − 1) + a1 (r) ·
ξk (τ )e
2πikr
−
k=−∞
∞
X
dξk 2πikr
e
+ f2 · (
dτ
2π 2 k 2 ξk (τ )e2πikr −
k=−∞
k=−∞
∞
X
−
∞
X
ξk (τ )e2πikr )2 .
k=−∞
Ïóñòü ϕk (ξ) - êîýôôèöèåíò ïðè e2πikr â ðàçëîæåíèè
∞
X
(ξk (τ )e2πikr )2
k=−∞
â ðÿä Ôóðüå.
Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä
∞ X
n
X
x1 (τ, r) − x1 (τ, r − 1) =
k=−∞
−
a1j eiωj r+2πikr · ξk (τ ) − 2π 2 k 2 ξk (τ )e2πikr −
j=1
dξk 2πikr
e
+ f2 · ϕk (ξ)e2πikr .
dτ
Ôóíêöèÿ x1 ðàñêëàäûâàåòñÿ â ðÿä Ôóðüå ïî òåì æå ôóíêöèÿì, ÷òî è
ïðàâàÿ ÷àñòü:
x1 (τ, r) =
∞
X
2πikr
(x11k (τ ) · e
+
n
X
x12kj (τ ) · e2πikr+iωj r ).
j=1
k=−∞
Ïðèðàâíÿåì êîýôôèöèåíòû ïðè e2πikr+iωj r ïðè ωj 6= 2πl:
∞
X
x12k (τ ) · (e
iωk r
iωk (r−1)
−e
2πikr
)·e
=
∞ X
n
X
k=−∞ j=1
k=−∞
Îòñþäà ÿâíî íàõîäÿòñÿ x12k (τ ).
18
a1j ξk (τ ) · e2πikr+iωj r .
Ïóñòü a1∗ (r) ôóíêöèÿ, ñîäåðæàùàÿ â ñåáå òå ñëàãàåìûå a1 (r), ÷àñòîòû
êîòîðûõ êðàòíû 2π . Ïðèðàâíÿåì êîýôôèöèåíòû ïðè eiωj r ïðè ωj = 2πl:
0=
∞
X
2πikr
a1∗ (r) · ξk e
2 2
2πikr
− 2π k ξk (τ )e
k=−∞
dξk 2πikr
2πikr
−
e
+ f2 · ϕk (ξ)e
. (21)
dτ
Ðàññìîòðèì ïàðàáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå âèäà
∂u 1 ∂ 2 u
=
+ a1∗ (r) · u(τ, r) + f2 u2 ,
2
∂τ
2 dr
(22)
ñ ïåðèîäè÷åñêèìè êðàåâûìè óñëîâèÿìè
u(τ, r) = u(τ, r + 1).
(23)
Åñëè ðàçëîæèòü ðåøåíèå çàäà÷è (22), (23) â ðÿä Ôóðüå
u(τ, r) =
∞
X
ξk (τ ) · e2πikr ,
k=−∞
òî äëÿ îïðåäåëåíèÿ àìïëèòóä ξk (τ ) ïîëó÷èì â òî÷íîñòè ñèñòåìó (21).
Ðåøåíèÿ çàäà÷è (22) ÷åðåç ôîðìóëó (20) îïðåäåëÿþò ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ
(8). Ïîýòîìó áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî çàäà÷à (22), (23) ÿâëÿåòñÿ êâàçèíîðìàëüíîé
ôîðìîé äëÿ èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ (16).
Òåîðåìà 4.
Ïóñòü u(τ, r) - îãðàíè÷åííîå ïðè τ → ∞ ðåøåíèå çàäà÷è
(22), (23), òîãäà èñõîäíîå óðàâíåíèå (19) èìååò àñèìïòîòè÷÷åñêîå ïî íåâÿçêå
ñ òî÷íîñòüþ äî o(ε4 ) ðàâíîìåðíî ïî t ≥ 0 ðåøåíèå âèäà (20).
2.2
Ñëó÷àé
a
áëèçêîãî ê -1
Èçó÷èì äèíàìèêó óðàâíåíèÿ (19) â ñëó÷àå, êîãäà çíà÷åíèå ïàðàìåòðà a
19
áëèçêî ê êðèòè÷åñêîìó, ò.å.
a = −1 + ε2 · a1 (t)
Áóäåì àíàëîãè÷íî ðàññìàòðèâàòü a1 êàê îãðàíè÷åííóþ ôóíêöèþ â âèäå
òðèãèíîìåòðè÷åñêèõ ïîëèíîìîâ. Ïðåäñòàâèì ôóíêöèþ a1 (r) â âèäå òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ïîëèíîìà:
a1 (t) = a11 e
iω1 t
iωn t
+ . . . + a1n e
=
n
X
(a1j eiωj t ).
j=1
Ïîëîæèì
x=ε
∞
X
ξk (τ )e2πi(2k+1)r + ε2 x2 (τ, r) + ε3 x3 (τ, r) + . . . ,
(24)
k=−∞
ãäå τ = ε2 t, r = (1 − ε + ε2 )t, à ôóíêöèè x2 (τ, r) è x3 (τ, r) ïðåäïîëàãàþòñÿ
ïî÷òè ïåðèîäè÷åñêèìè ïî âòîðîìó àðãóìåíòó.
Ïóñòü
u(τ, r) =
∞
X
ξk (τ ) · eπi(2k+1)r .
k=−∞
Ïîäñòàâèì âûðàæåíèå (24) äëÿ x â óðàâíåíèå (19) è áóäåì ñîáèðàòü êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ ε. Íà ïåðâîì øàãå ïðè ε1 ïîëó÷èì
âåðíîå òîæäåñòâî.
Íà âòîðîì øàãå ïðè ε2 ïîëó÷èì:
0 = −x2 − x2 (τ, r − 1) + f2 u2 ,
îòêóäà ìîæíî âûðàçèòü x2 :
x2 =
f2 2
u.
2
20
Íà òðåòüåì øàãå ïðè ε3 ïðèä¼ì ê óðàâíåíèþ îòíîñèòåëüíî x3 :
∂u
1 ∂ 2 u ∂u
x3 (τ, r) + x3 (τ, r − 1) + 2f2 u ·
= −a1 (r) · u + · 2 −
− 2f2 x2 u − f3 u3 .
∂r
2 ∂r
∂τ
Ïîäñòàâèì íàéäåííîå çíà÷åíèå x2 , ïîëó÷àåì:
∂u
1 ∂ 2 u ∂u
x3 (τ, r) + x3 (τ, r − 1) + 2f2 u ·
= −a1 (r) · u + · 2 −
+ (f22 − f3 )u3 .
∂r
2 ∂r
∂τ
Ïóñòü ϕk (ξ) - êîýôôèöèåíò ïðè e2πikr â ðàçëîæåíèè
∞
X
(ξk (τ )e2πikr )3
k=−∞
â ðÿä Ôóðüå.
Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä
n
X
∂u
x3 (τ, r) + x3 (τ, r − 1) + 2f2 u ·
=−
(a1j eiωj r ) · u+
∂r
j=1
1 ∂ 2 u ∂u
+ · 2−
+ (f22 − f3 )u3 .
2 ∂r
∂τ
Ôóíêöèÿ x3 ðàñêëàäûâàåòñÿ â ðÿä Ôóðüå ïî òåì æå ôóíêöèÿì, ÷òî è
ïðàâàÿ ÷àñòü:
x3 (τ, r) =
∞
X
πi(2k+1)r
(x31k · e
+
n
X
x32kj · eπi(2k+1)r+iωj r ).
j=1
k=−∞
Ïðèðàâíÿåì êîýôôèöèåíòû ïðè eπi(2k+1)r+iωj r ïðè ωj 6= 2πl:
∞
X
iωk r
x32k (τ ) · (e
iωk (r−1)
+e
πi(2k+1)r
)·e
=−
∞ X
n
X
a1j ξk (τ ) · eπi(2k+1)r+iωj r .
k=−∞ j=1
k=−∞
Èç ýòîãî óðàâíåíèÿ ÿâíî íàõîäÿòñÿ x32k (τ ).
Ïóñòü a1∗ (r) ôóíêöèÿ, ñîäåðæàùàÿ â ñåáå òå ñëàãàåìûå a1 (r), ÷àñòîòû
21
êîòîðûõ êðàòíû 2π . Ïðèðàâíÿåì êîýôôèöèåíòû ïðè eiωj r ïðè ωj = π(2l + 1):
∂u
1 ∂ 2 u ∂u
x3 (τ, r) + x3 (τ, r − 1) + 2f2 u ·
= −a1∗ (r) · u + · 2 −
+ (f22 − f3 )u3 .
∂r
2 ∂r
∂τ
 ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ ïî r ôóíêöèÿ, à ñïðàâà òîæå
çàâèñèò îò r, íî àíòèïåðèîäè÷åñêàÿ, çíà÷èò, ïðàâàÿ ÷àñòü ðàâíà íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî, ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî:
∂u 1 ∂ 2 u
=
− a1∗ (r) · u(τ, r) + (f22 − f3 )u3
∂τ
2 ∂r2
(25)
ñ àíòèïåðèîäè÷åñêèìè êðàåâûìè óñëîâèÿìè
u(τ, r) = −u(τ, r + 1).
(26)
Êðàåâàÿ çàäà÷à (25), (26) ÿâëÿåòñÿ êâàçèíîðìàëüíîé ôîðìîé äëÿ èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ (19) ïðè a, áëèçêîì ê −1.
Òåîðåìà 5.
Ïóñòü u(τ, r) - îãðàíè÷åííîå ïðè τ → ∞ ðåøåíèå çàäà÷è
(25), (26) òîãäà èñõîäíîå óðàâíåíèå (19) èìååò àñèìïòîòè÷÷åñêîå ïî íåâÿçêå
ñ òî÷íîñòüþ äî o(ε3 ) ðàâíîìåðíî ïî t ≥ 0 ðåøåíèå âèäà (24).
22
Çàêëþ÷åíèå
Ìû èññëåäîâàëè äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ çàïàçäûâàíèåì â êðèòè÷åñêîì ñëó÷àå, êîãäà íàäêðèòè÷íîñòü íå ÿâëÿåòñÿ êîíñòàíòîé, ïîñòðîåíû
íîðìàëüíûå ôîðìû.  ñëó÷àå ñ ôèêñèðîâàííûì çàïàçäûâàíèåì íîðìàëüíàÿ
ôîðìà ÿâëÿåòñÿ äâóìåðíîé.  ñëó÷àå ñ áîëüøèì çàïàçäûâàíèåì íîðìàëüíàÿ
ôîðìà ñòàíîâèòñÿ íåàâòîíîìíîé.
23
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] Êàùåíêî È. Ñ. Ìåòîä êâàçèíîðìàëüíûõ ôîðì â óðàâíåíèÿõ ñ çàïàçäûâàíèåì. ßðîñëàâëü, 2012. Ñ. 5-23.
[2]
Erneux T.
Applied delay dierential equations. Berlin : Springer, 2009.
[3]
Êàùåíêî Ñ. À., Ìàéîðîâ Â. Â.
Ìîäåëè âîëíîâîé ïàìÿòè. Ì. : Êíèæíûé
äîì ËÈÁÐÎÊÎÌ, 2009.
[4] Àðíîëüä Â. È. Äîïîëíèòåëüíûå ãëàâû òåîðèè îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ì.: Íàóêà, 1978.
[5] G. E. Hutchinson, Circular causal in ecology, Ann. N.Y. Acad. Sci. 50 (1948)
221246.
24
Отзывы:
Авторизуйтесь, чтобы оставить отзывЗамечательный реферат, оформлен согласно требованиям. Работа написана лаконично, но весьма содержательно. Екатерина, желаем Вам успехов!
и хорошего настроения
удачи
успехов в конкурсе
Наверное было затрачено много времени и труда на работу
Продолжай свое исследование
Админам респект
Красиво написанная работа
Так держать
Молодец
Интересная работа!