Математическое моделирование изгиба балки

Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО» Кафедра математического и компьютерного моделирования наименование кафедры Математическое моделирование изгиба балки наименование темы курсовой работы полужирным шрифтом студента (ки) КУРСОВАЯ РАБОТА курса 313 группы 3 направления (специальности) 01.03.02 Прикладная математика и информатика код и наименование направления (специальности) Механико-математический факультет наименование факультета, института, колледжа Пронин Андрей Александрович фамилия, имя, отчество Научный руководитель доц., к.т.н. должность, уч. степень, уч. звание И. А. Панкратов подпись, дата Зав. кафедрой зав.каф., д.ф.-м.н. должность, уч. степень, уч. звание инициалы, фамилия Ю. А. Блинков подпись, дата Саратов 2014 инициалы, фамилия

CÎÄÅÐÆÀÍÈÅ Ñòð. ÂÂÅÄÅÍÈÅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Ïîñòàíîâêà çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Ìåòîäû âçâåøåííûõ íåâÿçîê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1 2.2 2.3 2.4 3 ïîòî÷å÷íîé êîëëîêàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . êîëëîêàöèè ïî ïîäîáëàñòÿì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ãàëåðêèíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ðåëåÿ-Ðèòöà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7 8 9 Ìîäåëèðîâàíèå èçãèáà áàëêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.1 3.2 3.3 3.4 4 Ìåòîä Ìåòîä Ìåòîä Ìåòîä Àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ìåòîä ïîòî÷å÷íîé êîëëîêàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ìåòîä êîëëîêàöèè ïî ïîäîáëàñòÿì. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ìåòîä Ãàëåðêèíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 12 13 15 Âûâîäû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 À Èñõîäíûé êîä ðåàëèçàöèè ìåòîäà âçâåøåííûõ íåâÿçîê. . . . . . . 21 ÑÏÈÑÎÊ ÈÑÏÎËÜÇÎÂÀÍÍÛÕ ÈÑÒÎ×ÍÈÊÎÂ . . . . . . . . . . . . . . . 23 2

ÂÂÅÄÅÍÈÅ Ìîäåëèðîâàíèå ýòî èññëåäîâàíèå êàêîãî ëèáî îáúåêòà èëè ñèñòåìû îáúåêòîâ ïóòåì ïîñòðîåíèÿ è èçó÷åíèÿ èõ ìîäåëåé. Ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî ìåòîäîâ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Â äàííîé ðàáîòå èçó÷àåòñÿ çàäà÷à îòêëîíåíèÿ áàëêè åäèíè÷íîé äëèíû ñ åäèíè÷íîé æåñòêîñòüþ íà èçãèá [1]. Èìååòñÿ äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå 4-ãî ïîðÿäêà ñ êðàåâûìè óñëîâèÿìè. Çàäà÷à áóäåò ðåøàòüñÿ ìåòîäàìè âçâåøåííûõ íåâÿçîê. Ïîñëå ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ ñðàâíèì ðåçóëüòàòû è íàéäåì íàèëó÷øèé ìåòîä. 3

1 Ïîñòàíîâêà çàäà÷è Áàëêà åäèíè÷íîé äëèíû è åäèíè÷íîé æåñòêîñòè çàêðåïëåíà íà êîíöàõ (ñì. ðèñ. 1.1). Ïðè âîçäåéñòâèè âíåøíåé ñèëû îíà íà÷èíàåò èçãèáàòüñÿ. Íåîáõîäèìî ðàññ÷èòàòü èçãèá ýòîé áàëêè. Ðèñóíîê 1.1 Çàêðåïëåííàÿ áàëêà ïîä íàãðóçêîé Èçâåñòíî, ÷òî ñìåùåíèå áàëêè åäèíè÷íîé äëèíû è åäèíè÷íîé æåñòêîñòè çàêðåïëåííîé íà êîíöàõ îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì: d4 ϕ(x) = sin(πx) dx4 (1.1) c ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ϕ(x) = dϕ(x) = 0, dx x = 0, 1. (1.2) Ìû ïîëó÷èëè êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1.1) ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (1.2). Äëÿ ðåøåíèÿ ïîäîáíûõ êðàåâûõ çàäà÷ òðàäèöèîííî ïðèìåíÿåòñÿ ìåòîä êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé [2,3]. Â íàñòîÿùåé ðàáîòå áóäóò èñïîëüçîâàíû ðàçëè÷íûå ìåòîäû âçâåøåííûõ íåâÿçîê [4]. 4

2 2.1 Ìåòîäû âçâåøåííûõ íåâÿçîê Ìåòîä ïîòî÷å÷íîé êîëëîêàöèè Èçëîæèì ñóòü ìåòîäà ïîòî÷å÷íîé êîëëîêàöèè [5]. Ïóñòü íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü ôóíêöèþ y = y(x) , óäîâëåòâîðÿþùóþ ëèíåéíîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ L(y(x)) = y 00 + p(x)y 0 + q(x)y = f (x) (3.1) è ëèíåéíûìè êðàåâûìè óñëîâèÿìè ) Γa (y) ≡ α0 y(a) + α1 y 0 (a) = A Γb (y) ≡ β0 y(b) + β1 y 0 (b) = B Âûáåðåì íåêîòîðóþ ñîâîêóïíîñòü ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ôóíêöèé U0 (x), U1 (x), ..., Un (x) (3.3) êîòîðóþ íàçîâåì ñèñòåìîé áàçèñíûõ ôóíêöèé. Ïóñòü ôóíêöèÿ U0 (x) óäîâëåòâîðÿåò íåîäíîðîäíûì êðàåâûì óñëîâèÿì Γa (U0 ) = A, Γb (U0 ) = B (3.4) à îñòàëüíûå ôóíêöèè óäîâëåòâîðÿþò ñîîòâåòñòâóþùèì îäíîðîäíûì êðàåâûì óñëîâèÿì: Γa (Ui ) = 0, Γb (Ui ) = 0, i = 1, 2, ..., n (3.5) Åñëè êðàåâûå óñëîâèÿ îäíîðîäíû (A=B=0), òî ìîæíî ïîëîæèòü U0 (x) = 0 è ðàññìàòðèâàòü ëèøü ñèñòåìó ôóíêöèé Ui (x), i = 1, 2, ..., n. Áóäåì èñêàòü ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è (3.1) â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè áàçèñíûõ ôóíêöèé ỹ(x) = U0 (x) + n X ci Ui (x) (3.6) i=1 5

Òîãäà ôóíêöèÿ y óäîâëåòâîðÿåò êðàåâûì óñëîâèÿì . Â ñàìîì äåëå, â ñèëó ëèíåéíîñòè êðàåâûõ óñëîâèé èìååì Γa (y) = Γa (U0 ) n X ci Γa (Ui ) = A i=1 n X ci 0 = A, i=1 è àíàëîãè÷íî Γb (y) = B. Ñîñòàâèì ôóíêöèþ R = L(y) − f (x). Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà âìåñòî y âûðàæåíèå (3.6), áóäåì èìåòü R(x, c1 , ..., cn ) ≡ L(y) − f (x) = L(U0 ) − f (x) + n X ci L(Ui ) (3.7) i=1 Åñëè ïðè íåêîòîðîì âûáîðå êîýôôèöèåíòîâ ci âûïîëíåíî ðàâåíñòâî R(x, c1 , ..., cn ) = 0, a ≤ x ≤ b òî ôóíêöèÿ y ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì ðåøåíèåì êðàåâîé çàäà÷è (3.1). Îäíàêî ïîäîáðàòü òàê óäà÷íî ôóíêöèè Ui è êîýôôèöèåíòû ci â îáùåì ñëó÷àå íå óäàåòñÿ. Ïîýòîìó îãðàíè÷èâàþòñÿ òåì, ÷òî òðåáóþò, ÷òîáû ôóíêöèÿ R(x, c1 , ..., cn ) îáðàùàëàñü â íóëü â çàäàííîé ñèñòåìå òî÷åê x1 , x2 , ..., xn èç èíòåðâàëà [a, b], êîòîðûå íàçûâàþòñÿ òî÷êàìè êîëëîêàöèè. Òî÷êè êîëëîêàöèé ìîãóò áûòü ðàñïîëîæåíû ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì â îáëàñòè, íàïðèìåð, ðàâíîìåðíî. Ñóùåñòâåííûì óñëîâèåì êîððåêòíîé ôîðìóëèðîâêè ÷èñëåííîãî àëãîðèòìà ÿâëÿåòñÿ òîëüêî íåîáõîäèìîñòü ñîâïàäåíèÿ ÷èñëà òî÷åê ñ êîëè÷åñòâîì íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ â âûðàæåíèè ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ. Ñàìà ôóíêöèÿ R íàçûâàåòñÿ íåâÿçêîé óðàâíåíèÿ (3.1). Î÷åâèäíî, ÷òî â òî÷êàõ êîëëîêàöèè äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (3.1) áóäåò óäîâëåòâîðåíî òî÷íî, è íåâÿçêà â ýòèõ òî÷êàõ ðàâíà íóëþ. 6

Èòàê, ìåòîä êîëëîêàöèè ïðèâîäèò ê ñèñòåìå ëèíåéíûõ óðàâíåíèé  R(x1 , c1 , ..., cn ) = 0   (3.8) .......   R(xn , c1 , ..., cn ) = 0 Ýòó ñèñòåìó ìîæíî çàïèñàòü â ìàòðè÷íîé ôîðìå , ãäå Kmn = Un |x=xn , Mm = f |x=xn Èç ñèñòåìû (3.8) â ñëó÷àå åå ñîâìåñòíîñòè ìîæíî îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíòû c1 , ..., cn , ïîñëå ÷åãî ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è äàåòñÿ ôîðìóëîé (3.6). 2.2 Ìåòîä êîëëîêàöèè ïî ïîäîáëàñòÿì Ïóñòü íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü ôóíêöèþ y = y(x) , óäîâëåòâîðÿþùóþ ëèíåéíîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ (3.1) c ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (3.2) Â ýòîì ìåòîäå ïðèíèìàåòñÿ óñëîâèå, ñîãëàñíî êîòîðîìó èíòåãðàë îò íåâÿçêè îáðàùàåòñÿ â íîëü äëÿ ðÿäà ïîäîáëàñòåé xn−1 < x < xn Zxn Rdx = 0 xn−1 Â ìàòðè÷íîé ôîðìå ýòî çàïèñûâàåòñÿ òàê: Zxn Kmn = Zxn L(Un )dx, Mm = xn−1 f dx xn−1 7

2.3 Ìåòîä Ãàëåðêèíà Ñîãëàñíî ìåòîäó Ãàëåðêèíà äëÿ ìèíèìèçàöèè îøèáêè ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ èñïîëüçóåòñÿ óñëîâèå îáðàùåíèÿ â íóëü èíòåãðàëà îò ôóíêöèè íåâÿçêè ñ âåñàìè, ðàâíûìè áàçèñíûì ôóíêöèÿì ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ. Ïóñòü äàíî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ñ ëèíåéíûìè êðàåâûìè óñëîâèÿìè L(y(x)) = f (x) (3.9) Γa (y) ≡ α0 y(a) + α1 y 0 (a) = A Γb (y) ≡ β0 y(b) + β1 y 0 (b) = B ) (3.10) Áóäåì èñêàòü ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ýòîé êðàåâîé çàäà÷è â âèäå ñóììû y(x) ≈ ỹ(x) = ϕ0 (x) + n X ak ϕk (x)(3.13) k=1 ãäå ϕ0 (x) íåêîòîðàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ íåîäíî- ðîäíûì êðàåâûì óñëîâèÿì (3.11), à ϕk (x), k = 1, 2, ...(1 ≤ k < ∞) êàêàÿ-òî ñèñòåìà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ôóíêöèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ îäíîðîäíûì êðàåâûì óñëîâèÿì Γa (y)(ϕk ) = 0, Γb (y)(ϕk ) = 0 (3.12) è, êðîìå òîãî ôóíêöèè ϕk (x) ïðè (1 ≤ k < ∞) îáðàçóþò â êëàññå ôóíêöèé c2[a, b], óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì (3.11), ïîëíóþ ñèñòåìó. Çàìåòèì, ÷òî ñâîéñòâî ïîëíîòû ïîíèìàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Îáîçíà÷èì ÷åðåç G êëàññ ôóíêöèé y(x), ïðèíàäëåæàùèõ c2[a, b] (ò. å. äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ íà [a, b]) è óäîâëåòâîðÿþùèõ ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (3.11). Ãîâîðÿò, ÷òî ñèñòåìà ôóíêöèé ϕk (x) ïîëíà â êëàññå G, åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 è ëþáîé ôóíêöèè y(x) ∈ G ìîæíî óêàçàòü òàêîå n è òàêèå ïàðàìåòðû a1 , a2 , ..., an , ÷òî èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî

(i)

y (x) − gn (x)

< ε, i = 0, 1, 2, a ≤ x ≤ b, ãäå gn = Pn k=1 ak ϕk (x) 8

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîé äîïóñòèìîé ôóíêöèè y(x) ∈ G íàéäåòñÿ òàêàÿ ôóíêöèÿ gn (x) , êîòîðàÿ íà [a, b] áóäåò ñêîëü óãîäíî òî÷íî ïðèáëèæàòü ôóíêöèþ y(x) âìåñòå ñ åå ïðîèçâîäíûìè y 0 (x) è y 00 (x) . Ìåòîä Ãàëåðêèíà ñîñòîèò â òîì, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è (3.9), (3.10) èùåòñÿ â âèäå (3.11), ïðè÷åì òðåáóþò îðòîãîíàëüíîñòè L(y(x)) − f (x) ê ôóíêöèÿì ïîëíîé ñèñòåìû ϕk (x) äëÿ k = 1, 2..., n, ò. å. Zb [L(ỹ(x)) − f (x)] ϕk (x)dx = 0, 1 ≤ k ≤ n (3.12) a ãäå ỹ(x) = ϕ0 (x) + n X ak ϕk (x) k=1 Ýòî äàåò àëãåáðàè÷åñêóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ak . Íàéäÿ èç íåå êîýôôèöèåíòû, ïîëó÷èì ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå. Â ìàòðè÷íîé ôîðìå ýòî çàïèñûâàåòñÿ òàê: Z Kmk = Z ϕm L(ϕk )dV , Mm = V ϕm f dV V Åñëè îïåðàòîð L(U ) íåëèíåéíûé, òî ñèñòåìà (3.12) òîæå áóäåò íåëèíåéíîé è ðåøåíèå åå âåñüìà çàòðóäíèòåëüíî. Åñëè æå îïåðàòîð L(U ) ëèíåéíûé, òî ñèñòåìà (3.12) òàêæå áóäåò ëèíåéíîé è ìîæíî ðåøàòü çàäà÷ó ñ áîëüøèì ÷èñëîì êîýôôèöèåíòîâ. 2.4 Ìåòîä Ðåëåÿ-Ðèòöà Ïóñòü äàíî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ñ ëèíåéíûìè êðàåâûìè óñëîâèÿìè L(y(x)) = f (x) ) Γa (y) ≡ α0 y(a) + α1 y (a) = A Γb (y) ≡ β0 y(b) + β1 y 0 (b) = B 0 9

Áóäåì èñêàòü ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ýòîé êðàåâîé çàäà÷è â âèäå ñóììû y(x) ≈ ỹ(x) = ϕ0 (x) + n X ak ϕk (x)(3.13) k=1 Êðàåâûå óñëîâèÿ âûïîëíÿþòñÿ äëÿ âñåõ çíà÷åíèé ïîñòîÿííûõ a1 .....an Ñóòü ìåòîäà Ðåëåÿ-Ðèòöà ñîñòîèò â ïîëó÷åíèè äëÿ Y Z [(ỹ(x)){1/2L(ỹ(x)) + f (x)}]dV = 0 (3.14) (ỹ(x)) = V Ñòàöèîíàðíîãî çíà÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî a1 .....an Èñïîëüçóÿ ïðåäñòàâëåíèÿ (3.13) ôóíêöèîíàë ìîæíî çàïèñàòü â âèäå Z Z n X n n Y X X (y) = (am ak /2) ϕm L(ϕk )dV + am ϕm f dV (3.15) m=1 k=1 m=1 V V ýòî âûðàæåíèå ïðèíèìàåò ñòàöèîíàðíîå çíà÷åíèå , åñëè δΠ/δa1 = δΠ/δa2 = .... = δΠ/δan = 0 Âû÷èñëèâ ïðîèçâîäíûå îò ôóíêöèîíàëà (3.15), ïðèõîäèì ê ñèñòåìå ëèíåéíûõ óðàâíåíèé n X k=1 Z Z ϕm L(ϕk )dV = ak V ϕm f dV V Â ìàòðè÷íîé ôîðìå ýòî çàïèñûâàåòñÿ òàê: Z Kmk = Z ϕm L(ϕk )dV , Mm = V ϕm f dV (3.16) V Ñòîèòü çàìåòèòü , ÷òî ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ òîæäåñòâåííî ðàâíû óðàâíåíèÿì óðàâíåíèÿì , ïîëó÷åííûì â ìåòîäå Ãàëåðêèíà. Àïïðîêñèìàöèè , ïîëó÷àåìûå ìåòîäàìè Ðåëåÿ-Ðèòöà è ìåòîäîì Ãàëåðêèíà áóäóò òîæäåñòâåííû, åñëè îïåðàòîð L ñèììåòðè÷åí. 10

3 3.1 Ìîäåëèðîâàíèå èçãèáà áàëêè Àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå Íàéäåì àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ d4 ϕ(x) = sin(πx) (4.1) dx4 dϕ(x) = 0, x = 0, 1. dx Ïðîèíòåãðèðóåì ïðàâóþ è ëåâóþ ÷àñòü 4 ðàçà [6, 7], ïîëó÷èì îáùåå ðåøåíèå Z Z Z Z sin(πx) ϕ(x) = sin(πx)dx = C4 x3 + C3 x2 + C2 x + C1 + π4 c ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ϕ(x) = Ïîäñòàâèì ïîëó÷åííîå îáùåå ðåøåíèå â ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ. Ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé   C1 = 0     C1 + C2 + C3 = 0   1 C2 = − 3   π   1  3C4 + 2C3 + C2 = 3  π Ðåøèâ ýòó ñèñòåìó ïîëó÷èì  C1 = 0      C4 = 0   1 C2 = − 3  π    1   C3 = 3  π Â èòîãå ïîëó÷àåì òî÷íîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (4.1) x2 x sin(πx) ϕ(x) = 3 − 3 + (4.2) π π π4 11

3.2 Ìåòîä ïîòî÷å÷íîé êîëëîêàöèè Èìååì óðàâíåíèå ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (4.1). Ïîäáåðåì áàçèñíûå ôóíêöèè òàê, ÷òî áû îíè óäîâëåòâîðÿëè îäíîðîäíûì êðàåâûì óñëîâèÿì. Ïóñòü ýòî áóäóò ôóíêöèè âèäà Nk = xm+1 ∗ (1 − x)2 (4.3) Ýòè ôóíêöèè äåéñòâèòåëüíî óäîâëåòâîðÿþò ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì. Nk (1) = Nk (0) = dNk (1) dNk (0) = =0 dx dx Òàê êàê íàøè ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ îäíîðîäíû, ïîëó÷èì ñëåäóþùåå ïðèáëèæåíèå ỹ(x) = n X ak N k k=1 Äëÿ áîëåå òî÷íî ïðèáëèæåíèÿ âîçüìåì n = 3 Òîãäà ïîëó÷èì ïðèáëèæåíèå ỹ(x) = a1 x2 (1 − x)2 + a2 x3 (1 − x)2 + a3 x4 (1 − x)2 d4 ỹ(x) Íåâÿçêà R áóäåò ðàâíà R = L(ỹ(x)) − f (x) = − sin(πx) = dx4 d4 (a1 x2 (1 − x)2 + a2 x3 (1 − x)2 + a3 x4 (1 − x)2 ) − sin(πx) dx4 Ïîñ÷èòàåì íåâÿçêó L(ỹ(x)) = 24a1 + (120x − 48)a2 + (360x2 − 240x + 24)a3 R = L(ỹ(x))−f (x) = 24a1 +(120x−48)a2 +(360x2 −240x+24)a3 −sin(πx) (4.4) 1 1 3 Â êà÷åñòâå òî÷åê êîëëîêàöèè âîçüìåì òî÷êè x = ; ; . 4 2 4 Ïî ìàòðè÷íîìó ïðåäñòàâëåíèþ ñèñòåìû (3.8) èìååì Kmk = Nk |x=xm è Mm = f |x=xm ãäå m = 1, 2, 3

24 −18 −13.5

K =

24 12 −6

24 42 46.5

0.7071068

M =

0.7071068

Ïîëó÷èì ñèñòåìó  24a1 − 18a2 − 13.5a3 = 0.7071068  24a1 + 12a2 − 6a3 = 1   24a1 + 42a2 + 46.5a3 = 0.7071068 Ðåøèì åå ñ ïîìîùüþ ìåòîäà Ãàóññà [8]. Çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòîâ a1 = 0.0319036, a2 = 0.0130175, a3 = −0.0130175 Ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ỹ(x) = (0.0319036(x2 (1−x)2 )+0.0130175(x3 (1−x)2 )−0.0130175(x4 (1−x)2 )) Ñðàâíèì ïîëó÷åííîå ðåøåíèå ñ òî÷íûì è ïîëó÷èì ãðàôèêè. Ðèñóíîê 3.1 Ôîðìà áàëêè, ìåòîä ïîòî÷å÷íîé êîëëîêàöèè 3.3 Ìåòîä êîëëîêàöèè ïî ïîäîáëàñòÿì Ðåøèì íàøå óðàâíåíèå (4.1) ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ìåòîäîì êîëëîêàöèè ïî ïîäîáëàñòÿì. Â êà÷åñòâå áàçèñíûõ âîçüìåì òå æå ôóíêöèè Nk = xm+1 ∗ (1 − x)2 . 13

Ðèñóíîê 3.2 Ïîãðåøíîñòü, ìåòîä ïîòî÷å÷íîé êîëëîêàöèè Ïîëó÷èì ïðèáëèæåíèå ỹ(x) = a1 x2 (1 − x)2 + a2 x3 (1 − x)2 + a3 x4 (1 − x)2 Íåâÿçêà ìåòîäà êîëëîêàöèè ïî ïîäîáëàñòÿì íè÷åì íå îòëè÷àåòñÿ îò íåâÿçêè ïðåäûäóùåãî ìåòîäà (4.4) 1 1 2 2 3 3 3 3 Òîãäà èíòåãðàë îò íåâÿçêè â ýòèõ îáëàñòÿõ îáðàùàåòñÿ â 0  1      R3   Rdx = 0     0    2      Z3    Rdx = 0   1     3    1 Z     Rdx = 0      2    3 Â êà÷åñòâå ïîäîáëàñòåé âîçüìåì x ∈ {0; }, { ; }, { ; 1}

8 − −

9 9

K =

8 4− 9

52 232

−

8 − 3 9 14

0.012139

M =

0.0323817

0.012139

Òàê êàê Ka = M ïîëó÷èì ñèñòåìó  82 8  8a1 − a2 − a3 = 0.012139    9 9  8 8a1 + 4a2 − a3 = 0.0323817  9   232 52  a3 = 0.012139 8a1 − a2 − 3 9 Çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòîâ a1 = 0.03238173, a2 = 0.01213893, a3 = −0.01203777 Ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ỹ(x) = (0.03238173(x2 (1−x)2 )+0.01213893(x3 (1−x)2 )−0.01203777(x4 (1− x)2 )) Ðèñóíîê 3.3 Ôîðìà áàëêè, ìåòîä êîëëîêàöèè ïî ïîäîáëàñòÿì 3.4 Ìåòîä Ãàëåðêèíà Ðåøèì íàøå óðàâíåíèå (4.1) ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ìåòîäîì êîëëîêàöèè Ãàëåðêèíà. Â êà÷åñòâå áàçèñíûõ âîçüìåì ôóíêöèè Nk = xm+1 ∗ (1 − x)2 . 15

Ðèñóíîê 3.4 Ïîãðåøíîñòü, ìåòîä êîëëîêàöèè ïî ïîäîáëàñòÿì Ïîëó÷èì ïðèáëèæåíèå ỹ(x) = a1 x2 (1 − x)2 + a2 x3 (1 − x)2 + a3 x4 (1 − x)2 Íåâÿçêà ìåòîäà Ãàëåðêèíà íè÷åì íå îòëè÷àåòñÿ îò íåâÿçêè ïðåäûäóùåãî ìåòîäà (4.4) Çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ êîýôôèöèåíòîâ èç ñèñòåìû (3.12) Zb [L(ỹ(x)) − f (x)] Nm (x)dx = 0, 1 ≤ m ≤ n a Ãäå Äëÿ n = 3 ïîëó÷èì ñèñòåìó    [L(ỹ(x)) − f (x)] N1 (x)dx = 0    0   1 R [L(ỹ(x)) − f (x)] N2 (x)dx = 0 (4.6)  0    1 R   [L(ỹ(x)) − f (x)] N2 (x)dx = 0  R1 0 Ïîäñòàâèì(4.3) è (4.4) â (4.6)    (24a1 + (120x − 48)a2 + (360x2 − 240x + 24)a3 − sin(πx))x2 (1 − x)2 dx = 0    0   1 R 2 3 2 (24a1 + (120x − 48)a2 + (360x − 240x + 24)a3 − sin(πx))x (1 − x) dx = 0  0    1 R  2 4 2  (24a1 + (120x − 48)a2 + (360x − 240x + 24)a3 − sin(πx))x (1 − x) dx = 0  R1 0 16

Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó ïîëó÷èì 4 2 8

5 5 35

2 12 9

5 35 35

8 9 8

35 35 35

0.027847

M =

0.013923

0.0077063

K =

Èìååì Ka = M , ñîñòàâèì ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé  4 2 8 a1 + a2 + a3 = 0.027847     5 5 35    2 12 9 a1 + a2 + a3 = 0.013923  5 35 35     8 9 8  a1 + a2 + a3 = 0.0077063 35 35 35 Çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòîâ a1 = 0.0321594, a2 = 0.0123053, a3 = −0.01203777 Ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ỹ(x) = (0.0321594(x2 (1 − x)2 ) + 0.0123053(x3 (1 − x)2 ) − 0.01203777(x4 (1 − x)2 )) Ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî äëÿ äàííîãî óðàâíåíèÿ ñ óêàçàííûìè âûøå ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèÿ ìåòîäîì Ðåëåÿ-Ðèòöà òîæäåñòâåííû ìåòîäó Ãàëåðêèíà. Ïîëó÷àåòñÿ òî÷íî òàêàÿ æå ÑËÀÓ, êàê è â ìåòîäå Ãàëåðêèíà. 17

Ðèñóíîê 3.5 Ôîðìà áàëêè, ìåòîä Ãàëåðêèíà Ðèñóíîê 3.6 Ïîãðåøíîñòü, ìåòîä Ãàëåðêèíà 18

4 Âûâîäû Ðàññìîòðåâ ðåçóëüòàòû ìåòîäîâ ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî äëÿ äàííîé çàäà÷è âûãîäíåå èñïîëüçîâàòü ìåòîä Ãàëåðêèíà , íî è äðóãèå ìåòîäû äàþò ñðàâíèòåëüíî íåáîëüøóþ ïîãðåøíîñòü. Íàèáîëüøàÿ ïîãðåøíîñòü ó ìåòîäà êîëëîêàöèè ïî ïîäîáëàñòÿì. Ïîãðåøíîñòü ìåòîäîâ ïðåæäå âñåãî çàâèñèò îò âûáîðà áàçèñíûõ ôóíêöèé. Äëÿ ñðàâíåíèÿ áûëè èñïîëüçîâàíû äðóãèå áàçèñíûå ôóíêöèè óäîâëåòâîðÿþùèå ãðàíè÷íûì óñëîâèÿ(sin2 (mπx)), è ïîãðåøíîñòü ó íèõ çíà÷èòåëüíî âûøå. Êðîìå òîãî , ñàìî ÷èñëî áàçèñíûõ ôóíêöèé òîæå èãðàåò ðîëü ñàìî ÷èñëî áàçèñíûõ ôóíêöèé . Ïîãðåøíîñòü óìåíüøàåòñÿ ïðè óâåëè÷åíèè ÷èñëà áàçèñíûõ ôóíêöèé. Íàèáîëåå ïðîñòûì ÿâëÿåòñÿ ìåòîä ïîòî÷å÷íîé êîëëîêàöèè,ïî ïðè÷èíå îòñóòñòâèÿ íåîáõîäèìîñòè ñ÷èòàòü èíòåãðàëû, ÷òî ìîæåò áûòü äîâîëüíî òðóäîåìêî. Â äàëüíåéøåì ïðåäïîëàãàåòñÿ ïðèìåíèòü äëÿ ðåøåíèÿ êðàåâûõ çàäà÷ ìåòîä êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ [9, 10]. 19

ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Ðàññìîòðåíà çàäà÷à î ñìåùåíèè áàëêè æåñòêî çàêðåïëåííîé ñ êîíöîâ. Ñ ïîìîùüþ ìåòîäîâ ìèíèìèçàöèè íåâÿçêè áûëè ïîëó÷åíû ðåçóëüòàòû , êîòîðûå ñðàâíèâàëèñü ñ òî÷íûì ðåøåíèåì. Íàéäåí íàèëó÷øèé ìåòîä äëÿ äàííîé çàäà÷è (ìåòîä Ãàëåðêèíà). Â öåëîì, ìåòîäû ìèíèìèçàöèè íåâÿçêè ñâîäÿò ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è ê ðåøåíèþ ÑËÀÓ, ÷òî çàìåòíî ïðîùå. Ïðè ïðàâèëüíîì âûáîðå òèïà áàçèñíûõ ôóíêöèé è èõ êîëè÷åñòâà, ìåòîäû ìèíèìèçàöèè íåâÿçêè äàþò ðåçóëüòàò ñ ìèíèìàëüíîé ïîãðåøíîñòüþ. 20

ÏÐÈËÎÆÅÍÈÅ À Èñõîäíûé êîä ðåàëèçàöèè ìåòîäà âçâåøåííûõ íåâÿçîê 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 #include <iostream> #include <cmath> using namespace std; bool converge(double *xk, double *xkp,int K,double eps) { double norm = 0; for (int i = 0; i < K; i++) { norm += (xk[i] - xkp[i])*(xk[i] - xkp[i]); } if(sqrt(norm) >= eps) return false; return true; } int main() { setlocale(LC_ALL, ""); int N, i, j; int method; cout << "Ââåäèòå ðàçìåð êâàäðàòíîé ìàòðèöû: "; cin >> N; double eps, A[N][N], B[N],p[N],x[N]; cout << "Ââåäèòå òî÷íîñòü âû÷èñëåíèé: "; cin >> eps; cout << "Çàïîëíèòå ìàòðèöó À: " << endl << endl; for (i = 0; i < N; i++) { x[i]=0; for (j = 0; j < N; j++) { cout << "A[" << i << "][" << j << "] = "; cin >> A[i][j]; } } cout << "Âàøà ìàòðèöà À:" << endl; for (i = 0; i < N; i++) { for (j = 0; j < N; j++) { cout << A[i][j] << " "; } cout << endl; } cout << "Çàïîëíèòå ñòîëáåö ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ: " << endl; for (i = 0; i < N; i++) { cout << "Â[" << i+1 << "] = "; cin >> B [i]; } do 21

48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 { for (int i = 0; i < N; i++) p[i] = x[i]; for (int i = 0; i < N; i++) { double var = 0; for (int j = 0; j < i; j++) var += (A[i][j] * x[j]); for (int j = i + 1; j < N; j++) var += (A[i][j] * p[j]); x[i] = (B[i] - var) / A[i][i]; } } while (!converge(x, p,N,eps)); cout << "Ðåøåíèå ÑËÀÓ: " << endl; for (i = 0; i < N; i++) { cout << "X[" << i+1 << "] = " << x[i]<<endl; } return 0; } 22

ÑÏÈÑÎÊ ÈÑÏÎËÜÇÎÂÀÍÍÛÕ ÈÑÒÎ×ÍÈÊÎÂ 1. Çåíêåâè÷ Î. Ìîðãàí Ê. Êîíå÷íûå ýëåìåíòû è àïïðîêñèìàöèÿ. Ì.: Ìèð, 1986. 318 ñ. 2. Àíäåðñîí Ä. Òàííåõèëë Äæ. Ïëåò÷åð Ð. Âû÷èñëèòåëüíàÿ ãèäðîìåõàíèêà è òåïëîîáìåí. Ì.: Ìèð, 1990. Ò. 1. 384 ñ. 3. Ôëåò÷åð Ê. Âû÷èñëèòåëüíûå ìåòîäû â äèíàìèêå æèäêîñòåé. Ì.: Ìèð, 1991. Ò. 1. 504 ñ. 4. È.À. Ïàíêðàòîâ. Ââåäåíèå â ìåòîäû âçâåøåííûõ íåâÿçîê. URL: http://www.sgu.ru/sites/default/files/textdocsfiles/2013/12/ 10/fem_introduction.pdf (äàòà îáðàùåíèÿ: 25.03.2015). 5. Ðåéçëèí Â.È., Áûêîâ Ñ.Ô. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû ïðîåêòèðîâàíèÿ. Òîìñê: Èçä-âî Òîìñêîãî ïîëèòåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà, 2010. 144 ñ. 6. Ïîíòðÿãèí Ë.Ñ. Îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. Ì.: Íàóêà, 1974. 331 ñ. 7. Àðíîëüä Â. È. Îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. Èæåâñê: Èæåâñêàÿ ðåñïóáëèêàíñêàÿ òèïîãðàôèÿ, 2000. 368 ñ. 8. Áàõâàëîâ Í.Ñ. Æèäêîâ Í.Ï. Êîáåëüêîâ Ã.Ì. ×èñëåííûå ìåòîäû. Ì.: Íàóêà, 1975. 632 ñ. 9. Êîííîð Äæ. Áðåááèà Ê. Ìåòîä êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ â ìåõàíèêå æèäêîñòè. Ë.: Ñóäîñòðîåíèå, 1979. 264 ñ. 10. Äåêëó Æ. Ìåòîä êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ. Ì. : Ìèð, 1985. 354 ñ. 23

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв