САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Математико-механический факультет
Кафедра теоретической и прикладной механики
Орехов Константин Андреевич
Моделирование и исследование устойчивости электромеханических
систем с помощью уравнений Лагранжа-Ньютона
Магистерская диссертация
Допущена к защите.
Зав. кафедрой:
д.ф.-м.н., профессор Товстик П.Е.
Научный руководитель:
ведущий инженер, к.ф.-м.н. Родюков Ф.Ф.
Рецензент:
доцент, к.ф.-м.н. Диевский В.А.
Санкт-Петербург
2016
SAINT-PETERSBURG STATE UNIVERSITY
Mathematics and Mechanics Faculty
Department of Theory and Applied Mechanics
Orekhov Konstantin Andreevich
Modeling and study of electromechanical system stability with the help of
Lagrange-Newton equations
Master's Thesis
Head of Department:
Professor, Dr. of Science Tovstik P.E.
Scientific supervisor:
Chief Engineer, Ph.D. of Science Rodyukov F.F.
Reviewer:
Docent, Ph.D. of Science Dievsky V.A.
Saint-Petersburg
2016
Î Ã Ë À Â Ë Å Í È Å
ñòð.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1. Ôîðìàëèçì óðàâíåíèé Ëàãðàíæà-Íüþòîíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. Ïàðàäîêñû ñóùåñòâóþùåé òåîðèè îäíîôàçíîãî òðàíñôîðìàòîðà è
èõ ðàçðåøåíèå ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé Ëàãðàíæà-Íüþòîíà . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3. Òåîðèÿ ðåàëüíîãî îäíîôàçíîãî òðàíñôîðìàòîðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4. Óñòàíîâèâøèéñÿ ðåæèì ðàáîòû îäíîôàçíîãî òðàíñôîðìàòîðà ïî
óðàâíåíèÿì Ëàãðàíæà-Íüþòîíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Ãëàâà I. ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈ ÐÀÁÎÒÛ ÂÅÒÐÎÝËÅÊÒÐÎÑÒÀÍÖÈÈ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Ãëàâà II. ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÛÉ ÌÀßÒÍÈÊ Â ÁÛÑÒÐÎÏÅÐÅÌÅÍÍÎÌ ÌÀÃÍÈÒÍÎÌ ÏÎËÅ ÍÅÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÎÉ ÌÎÙÍÎÑÒÈ . . . . . 15
Ãëàâà III. ÓÐÀÂÍÅÍÈß ËÀÃÐÀÍÆÀ-ÌÀÊÑÂÅËËÀ ÄËß ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÎÃÎ ÌÀßÒÍÈÊÀ Ñ ÑÎËÅÍÎÈÄÎÌ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1. Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå èññëåäóåìîé ñèñòåìû . . . . . . . . . . . 19
2. Ïåðåõîä ê áåçðàçìåðíîé ôîðìå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3. Ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ äëÿ òîêîâ i1 , i2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Ãëàâà IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß ËÀÃÐÀÍÆÀ - ÍÜÞÒÎÍÀ Â ÒÅÎÐÈÈ ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÛÕ ÌÀßÒÍÈÊÎÂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1. Ñîñòàâëåíèå óðàâíåíèé Ëàãðàíæà-Íüþòîíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2. Ïåðåõîä ê áåçðàçìåðíîé ôîðìå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3. Ïðèáëèæåííîå âû÷èñëåíèå ïîòîêîñöåïëåíèé ψ1 , ψ2 . . . . . . . . . . . . . 25
4. Ïðèáëèæåííîå óðàâíåíèå äëÿ èññëåäîâàíèÿ íà óñòîé÷èâîñòü ðàññìàòðèâàåìîé ýëåêòðîìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
ÂÛÂÎÄÛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è.
Ýëåêòðîìåõàíèêà - ðàçäåë ýëåêòðîòåõíèêè, â êîòîðîì ðàññìàòðèâàþòñÿ çàäà÷è î ïðåâðàùåíèè ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè â ìåõàíè÷åñêóþ ðàáîòó è
íàîáîðîò.
Ìíîæåñòâî ðàçëè÷íûõ êîíñòðóêöèé ýëåêòðè÷åñêèõ ìàøèí è èõ ïðèìåíåíèå â íàóêå è â áûòó, íà÷èíàÿ ñ ìîùíûõ ñèëîâûõ óñòðàíîâîê âåòðîýëåêòðîñòàíöèé è êîí÷àÿ òîí÷àéøèìè ïðèáîðàìè è ìåõàíèçìàìè, ïîòðåáîâàëè
ñîçäàíèÿ åäèíîé òåîðèè òàêèõ ìàøèí. Ýòà òåîðèÿ, ñ îäíîé ñòîðîíû - ÷àñòü
òåîðåòè÷åñêîé ýëåêòðîòåõíèêè, à ñ äðóãîé - ðàçäåë àíàëèòè÷åñêîé ìåõàíèêè
è òðåáóåò îò ìåõàíèêîâ - òåîðåòèêîâ ïîñòðîåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé,
âåðíî îïèñûâàþùèõ ñëîæíûå ôèçè÷åñêèå ïðîöåññû âîçíèêàþùèå ïðè âçàèìîäåéñòâèè ïîëåé è òîêîâ.
 ñîâðåìåííîé íàó÷íîé ëèòåðàòóðå, ïîñâÿù¼ííîé ìîäåëèðîâàíèþ ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ âíóòðè ýëåêòðîìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû, ìîæíî
âñòðåòèòü èññëåäîâàíèÿ, ïðèâîäÿùèå ê ïàðàäîêñàëüíûì ðåçóëüòàòàì.
 ìîíîãðàôèè [1, ñ. 52] ââåäåíî ïîíÿòèå "ôîðìàëüíî äèññèïàòèâíûõ
ñèë". Òàê íàçâàíî ñëàãàåìîå â ìåõàíè÷åñêîì óðàâíåíèè äâèæåíèÿ ýëåêòðîïðîâîäÿùåãî ìàÿòíèêà â áûñòðîïåðåìåííîì ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå, íîñÿùåå äèññèïàòèâíûé õàðàêòåð, íî èìåþùåå îòðèöàòåëüíûé çíàê. Âîò ýòî
óðàâíåíèå:
θ̈ + (2n − εβ cos2 θ)θ̇ + (β cos θ + k) sin θ = 0,
ãäå
θ óãîë îòêëîíåíèÿ ìàÿòíèêà îò âåðòèêàëè,
n áåçðàçìåðíîå ìåõàíè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå â òî÷êå ïîäâåñà ìàÿòíèêà,
ε áåçðàçìåðíîå ýëåêòðè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå ýëåêòðîïðîâîäÿùåãî êîíòóðà ìàÿòíèêà,
β áåçðàçìåðíûé êîýôôèöèåíò, ñâÿçàííûé ñ ïàðàìåòðàìè âîçáóæäàþùåãî êîëåáàíèÿ ìàÿòíèêà ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ,
k áåçðàçìåðíûé êîýôôèöèåíò, ñâÿçàííûé ñ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé
ìàÿòíèêà.
Âðåìÿ â ýòîì óðàâíåíèè áåçðàçìåðíîå τ .
2
Î÷åâèäíî, ÷òî â äàííîì óðàâíåíèè ýëåêòðè÷åñêîå ðàññåÿíèå (äèññèïàöèÿ) íîñèò ðàñêà÷èâàþùèé õàðàêòåð. Ýòî âûçûâàåò áîëüøèå ñîìíåíèÿ, òàê
êàê çàêîíû ïðèðîäû åäèíû. Ïîýòîìó äèññèïàòèâíûå ñèëû âñåãäà äîëæíû
èìåòü óñïîêàèâàþùèé, à íå ðàñêà÷èâàþùèé ñèñòåìó õàðàêòåð.
Ãëàâíîé çàäà÷åé íàñòîÿùåãî èññëåäîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîâåðêà íå ÿâëÿþòñÿ ëè óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà-Íüþòîíà ñðåäñòâîì èçáåæàòü óïîìÿíóòîãî
ïàðàäîêñà ñ ýëåêòðîìàãíèòíûì ìàÿòíèêîì. Âåäü ñ èõ ïîìîùüþ óæå ïîëó÷åíà àäåêâàòíûå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ýëåêòðè÷åñêèõ ìàøèí ïåðåìåííîãî
òîêà.
Ïîñêîëüêó ìåòîä óðàâíåíèé Ëàãðàíæà-Íüþòîíà íå ðàñïðîñòðàíåí ïîêà øèðîêî, òî îáëåã÷åíèþ åãî îñâîåíèÿ ïîñâÿùåíî Ââåäåíèå. Ïîýòîìó âî
Ââåäåíèè ïî÷òè ïîëíîñòüþ âîñïðîèçâåäåíà Ãëàâà I èç ìîíîãðàôèè [3, ññ.
5-24].
3
Ââåäåíèå
1. Ôîðìàëèçì óðàâíåíèé Ëàãðàíæà - Íüþòîíà.
Âñïîìíèì ôîðìóëèðîâêó II-ãî çàêîíà Íüþòîíà, äàííóþ èì â òðàêòàòå
[10, ñ. 40]: ”Èçìåíåíèå êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíî ïðèëîæåííîé äâèæóùåé ñèëå è ïðîèñõîäèò ïî íàïðàâëåíèþ òîé ïðÿìîé, ïî êîòîðîé
ýòà ñèëà ïðîèñõîäèò”. Ôîðìóëèðîâêà çàêîíà ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè
Ôàðàäåÿ ñîîòâåòñòâóåò ôîðìóëèðîâêå âòîðîãî çàêîíà ìåõàíèêè Íüþòîíà.
Îáðàòèìñÿ íåïîñðåäñòâåííî ê óïîìÿíóòûì çàêîíàì.
II-îé çàêîí Íüþòîíà â ôîðìå ñàìîãî Íüþòîíà.
d(mv)
dp
=
= f,
dt
dt
ãäå p = mv êîëè÷åñòâî äâèæåíèÿ, èëè èìïóëüñ òåëà ìàññîé m.
II-îé çàêîí Íüþòîíà ñ äèññèïàöèåé.
ṗ = −rv + f,
v=
p
;
m
(1.1)
r
p + f.
m
Çäåñü r ìåõàíè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå.
ṗ = −
(1.2)
Çàêîí ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè Ôàðàäåÿ.
dΨ
= −e = u,
dt
ãäå e è u ýëåêòðîäâèæóùàÿ ñèëà è íàïðÿæåíèå íà êàòóøêå èíäóêòèâíîñòè.
Ψ = Li, ãäå L èíäóêòèâíîñòü êàòóøêè (àíàëîã ìàññû).
II-îé çàêîí Êèðõãîôà ñ äèññèïàöèåé.
Ψ̇ = −Ri + u sin ωt,
i=
Ψ
;
L
(1.3)
R
Ψ + u sin ωt.
(1.4)
L
Çäåñü R ýëåêòðè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè.
Óðàâíåíèÿ (1.2) è (1.4) çàïèñàíû â èìïóëüñàõ p è èõ àíàëîãàõ â ýëåêòðîìåõàíèêå ïîòîêîñöåïëåíèÿõ Ψ. Óðàâíåíèÿ æå Ëàãðàíæà ïðèñïîñîáëåíû
äëÿ îáîáù¼ííûõ êîîðäèíàò q è îáîáù¼ííûõ ñêîðîñòåé q̇ . Ïîýòîìó êîãäà èñïîëüçóþò ýòè óðàâíåíèÿ â ýëåêòðîìåõàíèêå, òî âíîñèòñÿ ïðèíöèïèàëüíàÿ
îøèáêà. Îíà ñîñòîèò â òîì, ÷òî íåïðàâèëüíî çàïèñûâàþòñÿ ñèëû äèññèïàöèè, ò.å. íå ÷åðåç èìïóëüñû ïîòîêîñöåïëåíèÿ à ÷åðåç îáîáù¼ííûå ñêîðîñòè òîêè. ×òîáû óñòðàíèòü ýòó îøèáêó, íàäî âåðíóòüñÿ ê ôîðìå çàïèñè
âòîðîãî çàêîíà ìåõàíèêè â ôîðìå Íüþòîíà. Äëÿ ýòîãî íàäî îïðåäåëèòü
êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ íå â ôîðìå Ëåéáíèöà
Ψ̇ = −
4
1
mv 2 ,
2
à â ôîðìå Íüþòîíà, èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ (èìïóëüñà p),
ò.å.
T′ =
T =
1
1
(mv)2 = p2 .
2
2
Î÷åâèäíî, ÷òî T = mT ′ .
Òàêæå î÷åâèäíî, ÷òî äèññèïàòèâíóþ ôóíêöèþ íåîáõîäèìî çàïèñûâàòü
â ñëåäóþùåì âèäå
1 r
1 r
(mv)2 =
(p)2 .
2m
2m
Äëÿ êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè
D=
Te′ =
1 2
Li ,
2
ãäå i òîê. Òîãäà
1
1
(Li)2 = Ψ2 .
2
2
Ñîîòâåòñòâåííî äèññèïàòèâíóþ ôóíêöèþ íàäî çàïèñàòü òàê
Te = LTe′ =
1R
1R 2
(Li)2 =
Ψ .
2L
2L
Î÷åâèäíî, ÷òî óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà íàäî çàïèñûâàòü òîæå â ôîðìå Íüþòîíà.  ñëó÷àå íàëè÷èÿ òîëüêî ñèë äèññèïàöèè â êëàññè÷åñêîé
ìåõàíèêå îíè áóäóò âûãëÿäåòü ñëåäóþùèì îáðàçîì
De =
d ∂T
∂D
∂T
+
−
= f.
dt ∂p
∂p
m∂q
Çäåñü ôóíêöèþ îáîáù¼ííîé ñêîðîñòè âûïîëíÿåò èìïóëüñ òåëà, à q è m
îáîáùåííàÿ êîîðäèíàòà (ðàññòîÿíèå) è ìàññà òåëà ñîîòâåòñòâåííî.
À â ñëó÷àå ýëåêòðîìåõàíèêè îíè ïðèîáðåòàþò òàêîé âèä
d ∂Te
∂De
∂Te
+
−
= f.
dt ∂ψ
∂ψ
L∂q
Çäåñü ôóíêöèþ îáîáù¼ííîé ñêîðîñòè âûïîëíÿåò ïîòîêîñöåïëåíèå, à q è L
îáîáùåííàÿ êîîðäèíàòà (ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä) è èíäóêòèâíîñòü êîíòóðà.
5
2. Ïàðàäîêñû ñóùåñòâóþùåé òåîðèè îäíîôàçíîãî òðàíñôîðìàòîðà è èõ ðàçðåøåíèå ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé Ëàãðàíæà-Íüþòîíà.
ðà.
Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà óðàâíåíèÿ îäíîôàçíîãî òðàíñôîðìàòî-
Ðèñ. 1:
Ñõåìà îäíîôàçíîãî òðàíñôîðìàòîðà.
Îí ñîñòîèò èç äâóõ êàòóøåê èíäóêòèâíîñòè, íàìîòàííûõ äðóã íà äðóãà, èìåþùèõ èçîëÿöèîííûé ñëîé ìåæäó ñîáîé è îáùèé ôåððîìàãíèòíûé
ñåðäå÷íèê. Î÷åâèäíî, ÷òî ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ îíè èìåþò îäíó è òó
æå ìàãíèòíóþ îñü. Ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äîëæíà èìåòü îäíó
íåçàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ. Íàïîìíèì, ÷òî ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíåíèé äëÿ
ýëåêòðè÷åñêèõ êîíòóðîâ, ñâÿçàííûõ ìåæäó ñîáîé çàêîíîì ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè Ôàðàäåÿ ñóùåñòâåííî èñïîëüçóåòñÿ ïîíÿòèå ïîòîêîñöåïëåíèÿ
àíàëîãà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ (èìïóëüñà) â ìåõàíèêå. Ñîîòâåòñòâåííî ìû
äîëæíû áûëè áû èñïîëüçîâàòü óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà, ãäå âìåñòî îáîáù¼ííûõ ñêîðîñòåé èñïîëüçóþòñÿ èìïóëüñû, ò.å. óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà â ôîðìå
Íüþòîíà. Íî òàê êàê äî ñèõ ïîð äëÿ ýòîé öåëè èñïîëüçóþòñÿ ïðîñòî óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà, òî ïðèõîäèì ê ïàðàäîêñàëüíûì âûâîäàì.
Çàïèñûâàÿ óðàâíåíèÿ äëÿ ýòèõ äâóõ êîíòóðîâ ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé
Ëàãðàíæà -Ìàêñâåëëà, ïðèõîäèì ê òàêîé ñèñòåìå
Ψ̇1 = −R1 i1 + u sin ωt,
Ψ1 = L1 i1 + M i2 ,
Ψ̇2 = −R2 i2 ;
Ψ2 = M i1 + L2 i2 .
6
(3.1)
Âèä äèññèïàòèâíûõ ñèë çäåñü íå ñîîòâåòñòâóåò èñïîëüçóåìûì çäåñü èìïóëüñàì ïîòîêîñöåïëåíèÿì Ψ1 , Ψ2 .  ðåçóëüòàòå îêàçûâàåòñÿ, ÷òî îìè÷åñêèå ñîïðîòèâëåíèÿ R1 , R2 èçìåíÿþò ðàçìåðíîñòü ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà.
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ïîëîæèòü ýòè ñîïðîòèâëåíèÿ ðàâíûìè íóëþ, òî ðàññìàòðèâàåìàÿ ñèñòåìà ðàçáèâàåòñÿ íà äâå íåçàâèñèìûå, êàæäàÿ ñî ñâîåé
íåçàâèñèìîé êîîðäèíàòîé.  ñëó÷àå æå R1 > 0, R2 > 0 ïîðÿäîê ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû âîçðàñòàåò äî äâóõ. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ìåõàíèêè ýòî è ÿâëÿåòñÿ ïàðàäîêñîì.
Äðóãîé ïàðàäîêñ ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Åñëè ñîïðîòèâëåíèå âòîðè÷íîãî êîíòóðà R2 = 0, ò.å. îí ÿâëÿåòñÿ ñâåðõïðîâîäÿùèì,òî Ψ2 ≡ 0 (òàê êàê
íà÷àëüíîå óñëîâèå äëÿ Ψ2 (0) = 0). Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ïðåîáðàçîâàíèÿ ýíåðãèè â òàêîì òðàíñôîðìàòîðå íå îñóùåñòâëÿåòñÿ. Íî ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ îòñóòñòâèå ñîïðîòèâëåíèÿ â îäíîì èëè îáîèõ êîíòóðàõ
íå ÿâëÿåòñÿ ïðåïÿòñòâèåì ê ïðîöåññó ïðåîáðàçîâàíèÿ ýíåðãèè. Ýòî è ÿâëÿåòñÿ âòîðûì ïàðàäîêñîì â ñîâðåìåííîé òåîðèè òðàíñôîðìàòîðîâ. Íàäî
åùå äîáàâèèòü ñëåäóþùåå. Õîòÿ â óðàâíåíèè âòîðîì ïðèâåäåííîé ñèñòåìû íàïðÿæåíèå íà âòîðè÷íîì êîíòóðå ïîëàãàåòñÿ ðàâíûì íóëþ, íî êîãäà
ðå÷ü çàõîäèò îá ýòîì íàïðÿæåíèè íà ïðàêòèêå, òî åãî âûâîäÿò èç òåîðèè
èäåàëüíîãî òðàíñôîðìàòîðà. Èç íåå ïîëó÷àþò, ÷òî íà âòîðè÷íîì êîíòóðå
íàïðÿæåíèå ðàâíî íàïðÿæåíèþ íà ïåðâè÷íîì, óìíîæåííîå íà îòíîøåíèå
êîëè÷åñòâà âèòêîâ äâóõ êàòóøåê. Íî òàêîå ðàññóæäåíèå íåêîððåêòíî, òàê
êàê ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ó èäåàëüíîãî òðàíñôîðìàòîðà
îòñóòñòâóþò ïîòîêè
√
ýëåêòðîìàãíèòíîãî ðàññåÿíèÿ (ò.å. M = L1 L2 ), à R1 = R2 = 0. Íî âåäü
ìû óæå çíàåì, ÷òî ïðè R2 = 0 ïðåáðàçîâàíèÿ ýíåðãèè â ðàññìàòðèâàåìîé
ìîäåëè íå ïðîèñõîäèò! Ïîëó÷àåì ïîðî÷íûé êðóã.
×òîáû ðàçîðâàòü ýòîò ïîðî÷íûé êðóã, íàäî áûòü ïîñëåäîâàòåëüíûìè è
ê ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å ïðèìåíÿòü íå óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà - Ìàêñâåëëà, à óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà â ôîðìå Íüþòîíà. Òîãäà ýëåêòðîêèíåòè÷åñêóþ
ýíåðãèþ è äèññèïàòèâíóþ ôóíêöèþ íàäî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáïàçîì
T =
1 2 1 2
1 R1 2 1 R2 2
Ψ + Ψ . D=
Ψ +
Ψ .
2 1 2 2
2 L1 1 2 L2 2
(3.2)
Òåïåðü óðàâíåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû ïðèíèìàþò òàêîé âèä
Ψ̇1 = −
R1
Ψ1 + u sin ωt,
L1
Ψ1 = L1 i1 + M i2 ,
Ψ̇2 = −
R2
Ψ2 ;
L2
Ψ2 = M i1 + L2 i2 .
(3.3)
(3.4)
Î÷åâèäíî, ÷òî ïåðâûé èç ðàññìîòðåííûõ âûøå ïàðàäîêñîâ (îá èñêàæåíèè
ðàçìåðíîñòè ðåàëüíîãî ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà ñ åäèíèöû äî äâóõ) ïðè ïðàâèëüíîé çàïèñè óðàâíåíèé èñ÷åçàåò.
Íî âîçíèêàåò âîïðîñ: êàêàÿ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ ñèëà ïðèëîæåíà êî âòîðè÷íîé îáìîòêå? Âåäü ïî ñóùåñòâóþùèì ïðåäñòàâëåíèÿì îíà ðàâíà íóëþ,
òàê êàê âî âòîðè÷íîé îáìîòêå íåò ñàìîñòîÿòåëüíîãî èñòî÷íèêà ýëåêòðîäâèæóùåé ñèëû (ÝÄÑ)! Îòâåòîì íà íåãî ñëóæàò äâà çàêîíà ýëåêòðîìàãíèòíîé
7
èíäóêöèè äëÿ îäíîôàçíîãî òðàíñôîðìàòîðà: ïåðâûé äëÿ íåâðàùàþùåãîñÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, à âòîðîé äëÿ âðàùàþùåãîñÿ çëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.
Ïåðâûé çàêîí. Âî íåâðàùàþùåìñÿ ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå êî âòîðè÷íîé îáìîòêå îäíîôàçíîãî òðàíñôîðìàòîðà ïðèëîæåíî íàïðÿæåíèå â ñëåäóþùåì âèäå
u2 =
M
ωΨ1 cos γ2 .
L1
(3.5)
Âòîðîé çàêîí. Âî âðàùàþùåìñÿ ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå êî âòîðè÷íîé
îáìîòêå òðàíñôîðìàòîðà ïðèëîæåíî íàïðÿæåíèå â ñëåäóþùåì âèäå
u2 =
M R2
Ψ1 cos γ2 .
L1 L2
(3.6)
 ïðèâåäåííûõ âûøå ôîðìóëàõ Ψ1 Ψ2 ïîòîêîñöåïëåíèÿ ïåðâè÷íîé è
âòîðè÷íîé îáìîòîê, R1 R2 àêòèâíûå ñîïðîòèâëåíèÿ ýòèõ îáìîòîê, L1 L2
èíäóêòèâíîñòè ýòèõ îáìîòîê, M âçàèìîèíäóêòèâíîñòü ìåæäó íèìè,
γ2 óãîë ìåæäó ìàãíèòíûìè îñÿìè ïåðâè÷íîé è âòîðè÷íîé îáìîòîê, ω
óãëîâàÿ ÷àñòîòà ïîäâîäèìîãî ê ïåðâè÷íîé îáìîòêå íàïðÿæåíèÿ.
Âòîðîé çàêîí áóäåì èñïîëüçîâàòü äëÿ òàê íàçûâàåìûõ âðàùàþùèõñÿ
òðàíñôîðìàòîðîâ, ò.å. ýëåêòðè÷åñêèõ ìàøèí ïåðåìåííîãî òîêà. À äëÿ ïðîñòûõ îäíîôàçíûõ òðàíñôîðìàòîðîâ áóäåì èñïîëüçîâàòü ïåðâûé çàêîí.
Çàáåãàÿ âïåðåä, ñêàæåì, ÷òî â ïåðâîì ñëó÷àå áîëüøàÿ ÷àñòü ýíåðãèè, ïîäàâàåìàÿ íà ïåðâè÷íûé êîíòóð òðàíñôîðìàòîðà èäåò íà íàãðåâàíèå òðàíñôîðìàòîðà. Âî âòîðîì æå ñëó÷àå ýíåðãèÿ âðàùàþùåãîñÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî ïåðâè÷íûìè îáìîòêàìè, èäåò â îñíîâíîì íà ñîçäàíèå
ýëåêòðîìàãíèòíîãî ìîìåíòà, çàõâàòûâàþùåãî âî âðàùåíèå âòîðè÷íûå îáìîòêè. È åùå: åñëè â ïåðâîì ñëó÷àå ïðåîáðàçîâàíèå ýíåðãèè ìîæåò ïðîèñõîäèòü ïðè ñâåðõïðîâîäÿùåé âòîðè÷íîé îáìîòêå, òî âî âòîðîì ñëó÷àå ïðè
ñâåðõïðîâîäÿùèõ âòîðè÷íûõ îáìîòêàõ ñîçäàíèå â íèõ ýëåêòðîìàãíèòíîãî
ìîìåíòà â àñèíõðîííûõ ìàøèíàõ áóäåò íåâîçìîæíî. Èìåííî ïîýòîìó âî
2
âòîðîì çàêîíå ïîÿâëÿåòñÿ ìíîæèòåëü R
L2 .
3. Òåîðèÿ ðåàëüíîãî îäíîôàçíîãî òðàíñôîðìàòîðà.
Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà - Íüþòîíà óñòðàíÿþò èçëîæåííûå âûøå ïàðàäîêñû ñóùåñòâóþùåé òåîðèè îäíîôàçíîãî òðàíñôîðìàòîðà. Ïîñêîëüêó ïðè èõ
èñïîëüçîâàíèè íå òðåáóåòñÿ ïðåäïîëîæåíèÿ íè îá îòñóòñòâèè ïîòîêîâ ðàññåÿíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè, íè î ñâåðõïðîâîäèìîñè êîíòóðîâ òðàíñôîðìàòîðà, òî íàçîâåì íîâóþ òåîðèþ òåîðèåé ðåàëüíîãî îäíîôàçíîãî òðàíñôîðìàòîðà. Èñïîëüçóÿ ïåðâûé çàêîí ýëåêòðîèàãíèòíîé èíäóêöèè äëÿ òðàíñôîðìàòîðà è ñ÷èòàÿ óãîë γ2 = 0, ïîëó÷èì ñëåäóþøóþ ïîëíóþ ñèñòåìó
óðàâíåíèé Ëàãðàíæà - Íüþòîíà äëÿ ðåàëüíîãî îäíîôàçíîãî òðàíñôîðìàòîðà.
8
Ψ̇1 +
Ψ̇2 +
R1
Ψ1 = um sin ωt,
L1
R2
M
Ψ2 =
ωΨ1 ;
L2
L1
Ψ1 = L1 i1 + M i2 , Ψ2 = M i1 + L2 i2,
i1 =
i2 =
L2 Ψ1 − M Ψ2
,
µL1 L2
−M Ψ1 + L1 Ψ2
µL1 L2
(µ = 1 −
M2
).
L1 L2
Íàéäåì ÷àñòíîå ðåøåíèå èñõîäíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé äëÿ óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà ðàáîòû òðàíñôîðìàòîðà:
Ψ1 = −
Ψ2 = −
um
(cos ωt − ε1 sin ωt),
ω(1 + ε21 )
um M
[(1 − ε1 ε2 ) sin ωt + (ε1 + ε2 ) cos ωt],
ωL1 (1 + ε21 )(1 + ε22 )
i1 =
um
[(1−µ)(1−ε1 ε2 )+ε1 (1+ε22 )] sin ωt+[1+ε22 −(1−µ)(ε1 +ε2 )] cos ωt],
µωL1 (1 + ε21 )(1 + ε22 )
i2 =
1−µ
um
[−(1−ε1 ε2 +ε1 +ε1 ε22 ) sin ωt+(1+ε22 −ε1 −ε2 ) cos ωt],
µ ωM (1 + ε21 )(1 + ε22 )
u2 =
M
um M
(cos ωt − ε1 sin ωt);
ωΨ1 = −
L1
L1 (1 + ε21 )
ε1 =
R1
R2
, ε2 =
.
ωL1
ωL2
Òàê êàê äëÿ ýëåêòðè÷åñêèõ ìàøèí îòíîøåíèÿ àêòèâíûõ ñîïðîòèâëåíèé
ê ðåàêòèâíûì åñòü ìàëûå âåëè÷èíû âòîðîãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, òî ïðèâåäåííûå ôîðìóëû áåç óùåðáà äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ öåëåé ìîãóò áûòü çíà÷èòåëüíî
óïðîùåíû, à èìåííî:
um
cos ωt,
ω
um M
sin ωt,
Ψ2 ≈ −
ωL1
1 um
[(1 − µ) sin ωt − cos ωt],
i1 ≈ ·
µ ωL1
Ψ1 ≈ −
i2 ≈
1 − µ um
·
(cos ωt − sin ωt),
µ
ωM
u2 =
M
um M
ωΨ1 ≈ −
cos ωt.
L1
L1
9
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî âûøåïåðå÷èñëåííûå ïàðàäîêñû ñóùåñòâóþùåé òåîðèè òðàíñôîðìàòîðîâ ñíÿòû. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî åñëè ïîñëåäíèå ôîðìóëû
òðàêòîâàòü êàê òî÷íûå äëÿ òðàíñôîðìàòîðà ñî ñâåðõïðîâîäÿùèìè êîíòóðàìè, òî ñëåäóåò âûâîä î íîðìàëüíîé òðàíñôîðìàöèè ýíåðãèè â ýòîì ñëó÷àå.
Ñêàæåì íåñêîëüêî ñëîâ î ïðàêòè÷åñêîé ñòîðîíå âîïðîñà. Èç ïðàêòèêè
ýêñïëóàòàöèè òðàíñôîðìàòîðîâ èçâåñòíî, ÷òî îòíîøåíèå ìîäóëåé íàïðÿæåíèé íà ïåðâè÷íîì è âòîðè÷íîì êîíòóðàõ òðàíñôîðìàòîðà îòíîñÿòñÿ êàê
êîëè÷åñòâà âèòêîâ â íèõ. À ýòî çíà÷èò, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíîå ðàññåÿíèå
ìåæäó êîíòóðàìè íàñòîëüêî ìàëî, ÷òî èì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Òîãäà êîýôôèöèåíò ýëåêòðîìàãíèòíîãî ðàññåÿíèÿ µ ìîæíî ïîëîæèòü ðàâíûí íóëþ.
Ñëåäîâàòåëüíî
√
M = L1 L2
è äàëåå ñëåäóåò, ÷òî
M
u2 =
ωΨ1 ≈ −um
L1
√
L1
w1
cos ωt = −um
cos ωt,
L2
w2
ãäå w1 , w2 ÷èñëî âèòêîâ ïåðâè÷íîé è âòîðè÷íîé îáìîòîê.
Òàêèì îáðàçîì âûñêàçàííîå âûøå óòâåðæäåíèå õîðîøî ïîäòâåðæäàåòñÿ
ïðàêòèêîé ýêñïëóàòàöèè ðåàëüíûõ òðàíñôîðìàòîðîâ.
Çàìåòèì, ÷òî ââåäåííûé ïåðâûé çàêîí ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè äëÿ
ñòàòè÷åñêîãî òðàíñôîðìàòîðà íå òðåáóåò óñëîâèÿ çàìêíóòîñòè âòîðè÷íîãî
êîíòóðà (âïðî÷åì, êàê è â çàêîíå Ôàðàäåÿ). Òî åñòü îí äåéñòâóåò è â ñëó÷àå
ðàçîìêíóòîñòè âòîðè÷íîãî êîíòóðà.
4. Óñòàíîâèâøèéñÿ ðåæèì ðàáîòû îäíîôàçíîãî òðàíñôîðìàòîðà ïî óðàâíåíèÿì Ëàãðàíæà - Ìàêñâåëëà
Ðàññìîòðåíèå ñóùåñòâóþùåé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè òðàíñôîðìàòîðà,
ïîëó÷åííîé ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé Ëàãðàíæà - Ìàêñâåëëà, â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå åãî ðàáîòû äàåò íàì åùå îäèí ïîâîä èñïîëüçîâàòü â òåîðèè òðàíñôîðìàòîðà èìåíî óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà - Íüþòîíà.
Äëÿ óäîáñòâà ÷èòàòåëÿ ïîâòîðèì çäåñü óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà - Ìàêñâåëëà:
Ψ̇1 = −R1 i1 + u sin ωt, Ψ̇2 = −R2 i2 ;
Ψ1 = L1 i1 + M i2 ,
Ψ2 = M i1 + L2 i2 .
Öåëåñîîáðàçíî ïåðåéòè â íèõ ê áåçðàçìåðíîé ôîðìå, òàê êàê â ðàçìåðíîé ôîðìå âûêëàäêè ñëèøêîì ãðîìîçäêè (â ýòîì ñìûñëå, êñòàòè, óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà - Íüþòîíà ãîðàçäî ïðîùå). Áåçðàçìåðíîå âðåìÿ τ ââåäåì òàê
τ = ωt. Îñòàëüíûå ïåðåìåííûå â áåçðàçìåðíîé ôîðìå (ñ ÷åðòî÷êîé ñâåðõó)
ââåäåì òàê
Ψ1 =
um
um
um
um
Ψ̄1 , Ψ2 =
Ψ̄2 , i1 =
ī1 , i2 =
ī2 .
ω
ω
ωL1
ωL2
10
 áåçðàçìåðíîé ôîðìå èññëåäóåìûå óðàâíåíèÿ ïðèìóò òàêîé âèä (óñëîâèìñÿ çà áåçðàçìåðíûìè âåëè÷èíàìè îñòàâëÿòü èõ ïðåæíèå îáîçíà÷åíèÿ, òî÷êà
íàä ïåðåìåííîé áóäåò òåïåðü îáîçíà÷àòü äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî áåçðàçìåðíîìó âðåìåíè):
Ψ̇1 + ε1 i1 = sin τ, Ψ̇2 + ε2 i2 = 0;
Ψ1 = i1 + n2 i2 ,
Ψ2 = n1 i1 + i2 ,
ãäå
ε1 =
R2
M
M
R1
, ε2 =
, n1 =
, n2 =
.
ωL1
ωL2
L1
L2
Âûðàçèì i1 , i2 ÷åðåç Ψ1 , Ψ2 è ïîäñòàâèì èõ â ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ
ñèñòåìû.
i1 =
1
1
· (Ψ1 − n2 Ψ2 ), i2 = · (−n1 Ψ1 + Ψ2 ), µ = 1 − n1 n2 ;
µ
µ
ε1
(Ψ1 − n2 Ψ2 ) = sin τ,
µ
ε2
Ψ̇2 + (−n1 Ψ1 + Ψ2 ) = 0.
µ
Ψ̇1 +
Èç ýòîé ñèñòåìû íàéäåì ÷àñòíîå ðåøåíèå (óñòàíîâèâøèéñÿ ðåæèì ðàáîòû),
à ÷åðåç íåãî è çíà÷åíèÿ òîêîâ i1 , i2 :
Ψ1 =
µ2
· [ε1 (ε22 + µ) sin τ − (µ2 + ε1 ε2 n1 n2 + ε22 ) cos τ ],
∆
Ψ 2 = ε 2 · n1 ·
i1 =
µ2
· [(ε1 ε2 − µ) sin τ − (ε1 + ε2 ) cos τ ],
∆
µ2
· {[ε1 + ε2 + ε2 µ(ε2 ε2 − µ)] sin τ − (µ + ε22 ) cos τ },
∆
i2 = n1 ·
µ2
· [−(ε1 + ε2 ) sin τ + (µ − ε1 ε2 ) cos τ ],
∆
∆ = (µ2 + ε1 ε2 n1 n2 + ε21 )(µ2 + ε1 ε2 n1 n2 + ε22 ) − ε1 ε2 n1 n2 (ε1 + ε2 )2 .
Ïàðàäîêñ äîïîëíèòåëüíûé çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïðè ñâåðõïðîâîäÿùåì
âòîðè÷íîì êîíòóðå, êîãäà ε2 = 0, ïîòîêîñöåïëåíèå ýòîãî êîíòóðà î÷åâèäíî ðàâíî íóëþ, à òîê â íåì ïðè ýòîì îòëè÷åí îò íóëÿ!. Ðåøåíèå ñèñòåìû
ïðè ε2 = 0 ìàòåìàòè÷åñêè óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìó. Íî ÷åëîâåêà äóìàþùåãî
òàêàÿ ñèòóàöèÿ óäîâëåòâîðèòü íå ìîæåò!
Î÷åâèäíî, ÷òî îïèñàííàÿ ñèòóàöèÿ, ïðîòèâîðå÷àùàÿ çàêîíàì ôèçèêè,
íå âîçíèêàåò, åñëè äëÿ îïèñàíèÿ ïðîöåññîâ â òðàíñôîðìàòîðàõ ïðèìåíÿòü
óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà - Íüþòîíà è ïåðâûé çàêîí ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè äëÿ íåâðàùàþùèõñÿ òðàíñôîðìàòîðîâ.
11
Ãëàâà I. ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈ
ÐÀÁÎÒÛ ÂÅÒÐÎÝËÅÊÒÐÎÑÒÀÍÖÈÈ
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèëîæåíèÿ ìåòîäà óðàâíåíèé Ëàãðàíæà-Íüþòîíà
èñïîëüçóåì èõ äëÿ èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè ðàáîòû âåòðîýëåêòðîñòàíöèè.
Âåòðîýëåêòðîñòàíöèè (ÂÝÑ) ýêîëîãè÷åñêè ñàìûå ÷èñòûå èñòî÷íèêè
ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè. Îíè ñòðîèëèñü â 30-å ãã, íî íå ïîëó÷èëè øèðîêîãî
ðàñïðîñòðàíåíèÿ èç-çà íåêîíêóðåíòíîñïîñîáíîñòè ïî ñðàâíåíèþ ñ ãèäðîýëåêòðîñòàíöèÿìè.  ñâÿçè ñ èçìåíåíèåì ýêîëîãè÷åñêîé îáñòàíîâêè âçãëÿäû íà ÂÝÑ çà ðóáåæîì óæå ïåðåñìîòðåíû, è îíè òàì â íàñòîÿùåå âðåìÿ
ñíîâà ñòðîÿòñÿ.
Çà âðåìÿ, ïðîòåêøåå ñ 30-õ ãã ìíîãîå èçìåíèëîñü êàê â ïëàíå íîâûõ
òåõíîëîãèé, òàê è â ïëàíå íîâûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ âîçìîæíîñòåé äëÿ íàõîæäåíèÿ îïòèìàëüíûõ ïàðàìåòðîâ ÂÝÑ è òåì ñàìûì óëó÷øåíèÿ âñåõ èõ
ïîêàçàòåëåé.
Íà ÂÝÑ â êà÷åñòâå ãåíåðàòîðîâ ýëåêòðè÷åñêîé ýíåðãèè èñïîëüçóþòñÿ
àñèíõðîííûå ãåíåðàòîðû (ÀÃ) è ñèíõðîííûå ãåíåðàòîðû (ÑÃ). Ïðè òåîðåòè÷åñêîì èññëåäîâàíèè ðåæèìîâ ðàáîòû ÂÝÑ âìåñòî óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ äèíàìèêó Àà è ÑÃ, èñïîëüçóþòñÿ ëèøü èõ õîðîøî èçâåñòíûå ìåõàíè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè. Áîëåå ïîëíîå è ïðàâèëüíîå ïðåäñòàâëåíèå î
äèíàìèêå ÂÝÑ ìîæåò äàòü ïðèâëå÷åíèå ê èõ èññëåäîâàíèþ ïîëíûõ óðàâíåíèé Ëàãðàíæà-Íüþòîíà äëÿ ãåíåðàòîðîâ ïåðåìåííîãî òîêà.  íàñòîÿùåé
ðàáîòå áóäåì èññëåäîâàòü ÂÝÑ ñ ÑÃ.
Ðèñ. 2:
Ýëåêòðè÷åñêàÿ ñõåìà ñèíõðîííîãî ãåíåðàòîðà.
12
Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà-Íüþòîíà äëÿ ÑÃ ÂÝÑ âîçüìåì èç ìîíîãðàôèè [2,
ñ. 75]:
Ψ̇x = −εs Ψx + Ψy − 1,
Ψ̇y = −εs Ψy − Ψx ,
ẋ = −εf x + sy + εf Ψx − uf sin θ,
(1)
ẏ = −εf y − sx + εf Ψy − uf cos θ,
θ̇ = s,
[
]
1−µ
2
ṡ = −δ 2
(Ψy x − Ψx y) + cv .
µ
 óðàâíåíèÿõ (1) Ψx , Ψy ïîòîêîñöåïëåíèÿ ñòàòîðíûõ îáìîòîê ÑÃ; x, y
ìàãíèòíûå çàðÿäû (ìàãíèòîíû) ñòàòîðíûõ îáìîòîê; εs , εf ñîïðîòèâëåíèÿ ñòàòîðíûõ è îáìîòîê âîçáóæäåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî; uf ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå íà ðåàëüíîé îáìîòêå âîçáóæäåíèÿ; θ óãîë ïîâîðîòà ðîòîðà ÑÃ;
s ñêîëüæåíèå; δ ýëåêòðîìåõàíè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ, îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíàÿ ìîìåíòó èíåðöèè ðîòîðà; µ êîýôôèöèåíò ýëåêòðîìàãíèòíîãî
2
ðàññåÿíèÿ ýíåðãèè (µ = 1 − LM
); M âçàèìîèíäóêòèâíîñòü ìåæäó èíäóês Lf
òèâíîñòÿìè îáìîòîê ñòàòîðà Ls è ðîòîðà Lf ; v ñêîðîñòü âåòðà.
c=
cw F lγωs Rs
,
2pu2m εs g
ãäå F ïëîùàäü ëîïàñòè ðåïåëëåðà, l ïëå÷î ëîïàñòè ðåïåëëåðà, cw
êîýôôèöèåíò àýðîäèíàìè÷åñêîãî ñîïðîòèâëåíèÿ, γ óäåëüíûé âåñ âîçäóõà,
g óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ.
Âñå ïåðåìåííûå è êîíñòàíòû â óðàâíåíèÿõ (1) áåçðàçìåðíûå âåëè÷èíû.
Çàìåòèì, ÷òî ñòðóêòóðà óðàâíåíèé (1) àäåêâàòíî îòðàæàåò ôèçè÷åñêèå
îñîáåííîñòè ýëåêòðè÷åñêèõ ìàøèí ïåðåìåííîãî òîêà. À èìåííî, ðàçìåðíîñòü ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà ýëåêòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñèñòåìû (1) ðàâíÿåòñÿ äâóì, òî åñòü ñîîòâåòñòâóåò ïëîñêîìó õàðàêòåðó ìàãíèòíîãî ïîëÿ
òàêèõ ìàøèí. À ïðè óäàëåíèè ðîòîðà èç ñòàòîðà ìàøèíû (ïðè ýòîì µ = 1)
âëèÿíèå íà íåãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ñòàòîðà óñòðàíÿåòñÿ. Ýòîò ðåçóëüòàò î÷åâèäåí ñ òî÷êè çðåíèÿ çäðàâîãî ñìûñëà. Íî ñ òî÷êè çðåíèÿ óðàâíåíèé
Ïàðêà-Ãîðåâà äëÿ ïîäîáíûõ ìàøèí ýòî âëèÿíèå îñòàåòñÿ [3, ñ. 84-85].
 ýëåêòðè÷åñêèõ ìàøèíàõ èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå
εs ∼ 10−2 ,
ïîýòîìó èç ïåðâûõ äâóõ óðàâíåíèé ñèñòåìû (1) ïîëó÷àåì ïðèáëèæåííî
Ψx ≈ 0, Ψy ≈ 1.
Ñîîòâåòñòâåííî ñèñòåìà (1) ïðèíèìàåò ñëåäóþùèé âèä:
ẋ = −εf x + sy − uf sin θ,
13
ẏ = −εf y − sx + εf − uf cos θ,
(2)
θ̇ = s,
ṡ = −δ(2bx + cv 2 ).
b=
1−µ
µ
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïàðàìåòð δ î÷åíü ìàëàÿ âåëè÷èíà (δ ∼ 10−3 ÷ 10−5 ),
â ïîñëåäíåé ñèñòåìå ìîæíî îñóùåñòâèòü ïðÿìîå ðàçäåëåíèå äâèæåíèé íà
ìåäëåííûå ìåõàíè÷åñêèå è áûñòðûå ýëåêòðè÷åñêèå. Äëÿ ýòîãî ”çàìîðîçèì”
â ýëåêòðè÷åñêèõ óðàâíåíèÿõ ìåäëåííûå ïåðåìåííûå s, θ. Òîãäà ýòè óðàâíåíèÿ ñòàíîâÿòñÿ ëèíåéíûìè. Î÷åâèäíî, ÷òî åå ðåøåíèÿ óñòîé÷èâû è äîñòèãàþò ñâîèõ óñòàíîâèâøèõñÿ çíà÷åíèé íàñòîëüêî áûñòðî, ÷òî â ìåõàíè÷åñêèõ
óðàâíåíèÿõ ìåäëåííûå ïåðåìåííûå ïðàêòè÷åñêè íå óñïåâàþò èçìåíèòüñÿ.
Ïîýòîìó â ìåõàíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ìîæíî ïîäñòàâèòü òîëüêî óñòàíîâèâøååñÿ çíà÷åíè x:
x=−
ε2f
1
[εf uf sin θ + s(εf + uf cos θ)].
+ s2
Ïîäñòàâèâ ýòî çíà÷åíèå x â âûðàæåíèå äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ìîìåíòà,
íàéäåì åãî â òàêîì âèäå:
Me = 2bx = −
=−
ãäå
0,
ε2f
ε2f
2b
[εf uf sin θ + s(εf + uf cos θ)] =
+ s2
√
]
2b [
εf s + ε2f + s2 uf cos(θ + β) ,
2
+s
s
εf
sin β = √
, cos β = √
.
ε2f + s2
ε2f + s2
 ìàëîé îêðåñòíîñòè óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà Ñà ÂÝÑ, êîãäà s = s0 =
s2
≪ 1 =⇒ sin β ≈ 0, cos β ≈ 1.
ε2f
Ýëåêòðîìàãíèòíûé ìîìåíò â ýòîé îêðåñòíîñòè èìååò òàêîé ñòàíäàðòíûé
âèä:
b
Me ≈ −2 (s + uf sin θ).
εf
Îêîí÷àòåëüíî ìàëûå êîëåáàíèÿ ðîòîðà Ñà ÂÝÑ îïèñûâàþòñÿ òàêèì îáðàçîì:
[
]
b
θ̈ + δ 2 (θ̇ + uf sin θ) − cv 2 = 0.
(3)
εf
Ëèíåàðèçàöèÿ óðàâíåíèÿ (3) â îêðåñòíîñòè ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ äàåò òàêîå õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå:
]
[
b
2
2
λ + δ 2 (λ + uf ) − cv = 0.
εf
14
Èç íåãî ñëåäóåò, ÷òî óñëîâèåì óñòîé÷èâîñòè ðàáîòû ÂÝÑ ÿâëÿåòñÿ ñîáëþäåíèå ñëåäóþùåãî ñîîòíîøåíèÿ:
√
buf
buf
2
2
> cv =⇒ v < 2
.
εf
cεf
15
Ãëàâà II. ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÛÉ ÌÀßÒÍÈÊ Â
ÁÛÑÒÐÎÏÅÐÅÌÅÍÍÎÌ ÌÀÃÍÈÒÍÎÌ ÏÎËÅ
ÍÅÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÍÎÉ ÌÎÙÍÎÑÒÈ
Ðàññìàòðèâàåìàÿ çäåñü çàäà÷à óæå èññëåäîâàëàñü (ñì., íàïðèìåð, [1, ñ.
50-56]). Åå ïîñòàíîâêà âûçûâàåò áîëüøèå ñîìíåíèÿ, òàê êàê ïðè íåîãðàíè÷åííîé ìîùíîñòè ïîëÿ êàê äàëåêî íè óäàëÿé ìàÿòíèê ýòî íèêàê íå ñêàæåòñÿ
íà åãî äâèæåíèè. Íåñìîòðÿ íà ýòî, õî÷åòñÿ óòî÷íèòü íåêîòîðûå âûêëàäêè
èç óïîìÿíóòîé ïóáëèêàöèè, ÷òîáû ðàçâåÿòü âñå ñîìíåíèÿ.
Ðèñ. 3:
Ñõåìà ýëåêòðîìàãíèòíîãî ìàÿòíèêà.
Äëÿ ñîçäàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ýòîãî ìàÿòíèêà èñïîëüçóåì óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà-Ìàêñâåëëà.
1 2
1
J θ̇ , Te = Li2 + iSB0 sin νt sin θ
2
2
ìåõàíîêèíåòè÷åñêàÿ è ýëåêòðîêèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèè ñîîòâåòñòâåííî,
Tm =
Π = mgl(1 − cos θ),
D = De + Dm =
1 2
Ri + ρθ̇2
2
ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ è ñóììàðíàÿ äèññèïàòèâíàÿ ôóíêöèÿ ñîîòâåòñòâåííî.
16
Çäåñü
J ìîìåíò èíåðöèè ìàÿòíèêà,
m ìàññà ìàÿòíèêà,
l äëèíà ìàÿòíèêà,
R ñîïðîòèâëåíèå ìàÿòíèêà ,
ρ êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëåíèÿ â òî÷êå ïîäâåñà ìàÿòíèêà,
B, ν ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ è óãëîâàÿ ÷àñòîòà ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ,
S ïëîùàäü ðàìêè ìàÿòíèêà .
Èñïîëüçóÿ âûøåïðèâåäåííûå âûðàæåíèÿ äëÿ ýíåðãèé è ðàññåÿíèÿ ÷àñòè
èõ íà ñîïðîòèâëåíèÿõ, âûâîäèì ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ äëÿ óãëà ïîâîðîòà
ìàÿòíèêà è òîêà:
J θ̈ + 2ρθ̇ − iSB sin νt cos θ + mgl sin θ = 0,
Li̇ + SB θ̇ sin νt cos θ + νSBop cos νt sin θ + Ri = 0.
(1)
Ïåðåõîäÿ â ýòèõ óðàâíåíèÿõ ê áåçðàçìåðíîé ôîðìå, ââåäåì ñíà÷àëà áåçðàçìåðíîå âðåìÿ
τ = νt ⇒ t = ν −1 τ.
Ïðè ýòîì óðàâíåíèÿ (1) ïðèìóò òàêîé âèä:
d2 θ
dθ
+ 2ρ
− BSi sin τ cos θ + mgl sin θ = 0,
dτ 2
dτ
di
dθ
Lν
+ BSν
sin τ cos θ + BSν cos τ sin θ + Ri = 0.
dτ
dτ
Äàëåå ââîäèì áåçðàçìåðíûé òîê ī ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Jν 2
(2)
BS
ī.
νL
Óðàâíåíèÿ (2) òîãäà ïðèíèìàþò òàêîé âèä:
i=
dθ2
ρ dθ
(BS)2
mgl
+
2
−
ī sin τ cos θ + 2 sin θ = 0,
dτ 2
ν 2 J dτ
ν 2 JL
ν J
dī
R
dθ
+
ī +
sin τ cos θ + cos τ sin θ = 0.
dτ
νL
dτ
Íàêîíåö, ââåäåì áåçðàçìåðíûå ïàðàìåòðû:
(3)
(BS)2
mgl
R
ρ
=
n,
= 2β,
= k,
= ε.
2
2
2
ν J
ν JL
ν J
νL
Óñëîâèìñÿ òåïåðü çà áåçðàçìåðíîé ïåðåìåííîé ī îñòàâèòü åå ïðåæíåå
îáîçíà÷åíèå, à òî÷êà íàä ïåðåìåííîé òåïåðü áóäåò îáîçíà÷àòü äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî áåçðàçìåðíîìó èðåìåíè τ . Ñ ó÷åòîì ýòîãî çàìå÷àíèÿ îêîí÷àòåüíî óðàâíåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ìàÿòíèêà â áåçðàçìåðíîé ôîðìå ïðèìóò
òàêîé âèä:
17
θ̈ + 2nθ̇ − 2βi sin τ cos θ + k sin θ = 0,
i̇ + εi + θ̇ sin τ cos θ + cos τ sin θ = 0.
(4)
Òàê êàê ñ÷èòàåì, ÷òî âåëè÷èíà ν äîñòàòî÷íî âåëèêà, òî áóäåì ñ÷èòàòü,
÷òî ν −1 ∼ 10−2 . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðè ýòîì ðàññìàòðèâàåìàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé èìååò ìåäëåííîå ìåõàíè÷åñêîå äâèæåíèå è áûñòðîå ýëåêòðè÷åñêîå.
 òàêèõ ñëó÷àÿõ ïðèìåíÿåòñÿ ñëåäóþùèé ïðèáëèæåííûé ìåòîä èññëåäîâàíèÿ: èç óðàâíåíèé áûñòðûõ äâèæåíèé íàõîäèòñÿ èõ ÷àñòíîå óñòàíîâèâøååñÿ
ðåøåíèå, êîòîðîå ïîäñòàâëÿåòñÿ â óðàâíåíèÿ ìåäëåííûõ äâèæåíèé.  íàøåì ñëó÷àå, ïðèìåíÿÿ ýòîò ìåòîä, èùåì ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ äëÿ
òîêà èç (4) â òàêîì âèäå:
i = A sin τ sin θ + B cos τ sin θ + C sin τ cos θ + D cos τ cos θ.
 ðåçóëüòàòå ïðèäåì ê ñèñòåìå ÷åòûðåõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, â ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ êîòîðîé ïðèäåì ê òàêîìó âèäó íåèçâåñòíûé êîýôôèöèåíòîâ A, B, C, D:
]
1 [
(1 − θ̇2 )2 + ε2 (1 + θ̇2 ) ,
A=−
det
]
ε [
B=−
(1 − θ̇2 )(1 − θ̇2 + θ̇) + ε2 (1 + θ̇2 − θ̇) ,
det
C=
εθ̇
(1 − θ̇2 − ε2 ),
det
D=
ãäå
(5)
ε2 θ̇
(1 + ε2 ),
det
det = (1 − θ̇2 + ε2 )2 + 4ε2 θ̇2 .
Ïîñêîëüêó ìàêñèìàëüíûé ïîðÿäîê ìàëîñòè îáðàòíîé ÷àñòîòû ν åñòü
äâà, òî èìååì ñëåäóþùèå ïîðÿäêè ìàëîñòè äëÿ θ̇, ε:
θ̇ ∼ 10−2 , ε ∼ 10−2 .
Èìåÿ â âèäó ýòè îöåíêè, êîýôôèöèåíòàì (5) ñëåäóåò ïðèäàòü ñëåäóþùèé
âèä:
det ≈ 1,
A ≈ −1,
B ≈ −εθ̇,
C ≈ εθ̇,
D ≈ ε2 θ̇.
18
i = − sin τ sin θ − εθ̇(cos τ sin θ − sin τ cos θ − ε cos τ cos θ).
(6)
Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå äëÿ òîêà (6) â ïåðâîå èç óðàâíåíèé (4), ïîëó÷èì
θ̈ + (2n − 2βε sin2 τ cos2 θ + 2βε sin τ cos τ sin θ cos θ−
−2βε2 sin τ cos τ cos2 θ)θ̇ + (2β sin2 τ cos θ + k) sin θ = 0.
Îñðåäíÿÿ â ýòîì âûðàæåíèè áûñòðûå ïåðåìåííûå çà ïåðèîä 2π , ïðèäåì
îêîí÷àòåëüíî ê óðàâíåíèþ:
θ̈ + (2n − εβ cos2 θ)θ̇ + (β cos θ + k) sin θ = 0.
(7)
Êàê âèäèì, ýëåêòðè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå ε âõîäèò â äèññèïàòèâíûé ÷ëåí
ýòîãî óðàâíåíèÿ ñî çíàêîì ìèíóñ. Òî åñòü îíî èìååò ðàñêà÷èâàþùèé õàðàêòåð, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ñàìîé ñóòè äèññèïàöèè ýíåðãèè.  ìîíîãðàôèè [1, ñ.
52] ýòîò ÷ëåí íàçâàí ”ôîðìàëüíî äèññèïàòèâíîé” ñèëîé, íîñÿùåé ðàñêà÷èâàþùèé õàðàêòåð. Ñîîòâåòñòâóþùèé ïàðàãðàô ýòîé ìîíîãðàôèè [ññ. 50-56]
ïîñâÿùåí âñåñòîðîííåìó èññëåäîâàíèþ ýòîãî óðàâíåíèÿ, ïðè÷åì ýòîò ÷ëåí
ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ôèçè÷åñêàÿ ðåàëüíîñòü.
Ïîçâîëèì ñåáå â ýòîì íå ñîãëàñèòüñÿ òàê êàê ìû ñòîëêíóëèñü çäåñü ñ î÷åâèäíûì ïàðàäîêñîì. Íî ïðåæäå îáðàòèì âíèìàíèå íà òî îáñòîÿòåëüñòâî,
÷òî ïðè íåîãðàíè÷åííîé ìîùíîñòè ïîëÿ êàê äàëåêî íè óäàëÿé ìàÿòíèê ýòî
íèêàê íå ñêàæåòñÿ íà åãî äâèæåíèè. ×òîáû áîëåå àäåêâàòíî îïèñàòü äâèæåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ìàÿòíèêà, ðàññìîòðèì â ñëåäóþùåé ãëàâå âìåñòî
ïîëÿ íåîãðàíè÷åííîé ìîùíîñòè êàòóøêó èíäóêòèñíîñòè (ñîëåíîèä), ñîçäàþùóþ ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå îãðàíè÷åííîé ìîùíîñòè.
19
Ãëàâà III. ÓÐÀÂÍÅÍÈß ËÀÃÐÀÍÆÀ-ÌÀÊÑÂÅËËÀ ÄËß
ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÎÃÎ ÌÀßÒÍÈÊÀ Ñ ÑÎËÅÍÎÈÄÎÌ
1.Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå èññëåäóåìîé ñèñòåìû.
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü áóäåò àäåêâàòíî âîñïðîèçâîäèòü ñîîòâåòñòâóþùèé ôèçè÷åñêèé îáúåêò, åñëè áóäóò âûðàáîòàíû ïðàâèëà ñîîòâåòñòâèÿ,
äîêàçûâàþùèå ýòó àäåêâàòíîñòü. [7, ñ. 330]
Ðèñ. 4:
Ýëåêòðîìàãíèòíé ìàÿòíèê ïëþñ ñîëåíîèä.
Äëÿ ñîñòàâëåíèÿ óðàâíåíèé Ëàãðàíæà-Ìàêñâåëëà äëÿ èññëåäóåìîé ýëåêòðîìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû âûïèøåì âûðàæåíèÿ äëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ýíåðãèé è äèññèïàòèâíûõ ôóíêöèé:
Tm = 21 J θ̇2 ; Te = 21 L1 i21 + M i1 i2 sin θ + 21 L2 i22 ,
Π = mgl(1 − cosθ),
De = 21 r1 i21 + 21 r2 i22 ,
Dm = ρθ̇2 ,
ãäå
J ìîìåíò èíåðöèè êîíòóðà ìàÿòíèêà ñ íàâåäåííûì òîêîì,
m ìàññà ìàÿòíèêà,
l äëèíà ìàÿòíèêà,
Lj , rj èíäóêòèâíîñòü è ñîïðîòèâëåíèå êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè è êîíòóðà ìàÿòíèêà, j = 1, 2,
M àìïëèòóäíîå çíà÷åíèå âçàèìîèíäóêòèâíîñòè ìåæäó êàòóøêîé èíäóêòèâíîñòè è êîíòóðîì ìàÿòíèêà,
S ïëîùàäü êîíòóðà ìàÿòíèêà,
ρ ìåõàíè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå â òî÷êå ïîäâåñà ìàÿòíèêà,
u(t) ïåðåìåííîå íàïðÿæåíèå, ïðèëîæåííîå ê êàòóøêå èíäóêòèâíîñòè.
20
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ÷àñòîòà u(t) ìîæåò ìåíÿòüñÿ â øèðîêîì äèàïàçîíå,
ò. å.
u = u(νt), ãäå çà ν îáîçíà÷åíà ýòà ÷àñòîòà.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà u(t) = u sin(νt).
Óðàâíåíèå Ëàãðàíæà-Ìàêñâåëëà äëÿ ïåðåìåííîé i1 ïðèìåò ñëåäóþùèé
âèä:
L1 i̇1 + M i̇2 sin θ + M θ̇i2 cos θ + r1 i1 = u sin(νt).
Óðàâíåíèå äëÿ ïåðåìåííîé i2 áóäåò èìåòü âèä:
L2 i̇2 + M i̇1 sin θ + M θ̇i1 cos θ + r2 i2 = 0.
Óðàâíåíèå æå äëÿ ìåõàíè÷åñêîé ïåðåìåííîé θ âûãëÿäèò òàê:
J θ̈ + 2ρθ̇ − M i1 i2 cos θ + mgl sin θ = 0.
2. Ïåðåõîä ê áåçðàçìåðíîé ôîðìå.
Áåçðàçìåðíîå âðåìÿ τ ââîäèì òàê:
τ = νt.
Áåçðàçìåðíûå òîêè ī1 , ī2 ââîäèì ñëåäóþùèì îáðàçîì:
i1 =
u
u
ī1 , i2 =
ī2 .
νL1
νL2
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì
r1
dī1
M dī2
M dθ
ī2 cos θ +
ī1 = sin τ,
+
sin θ +
dτ
L2 dτ
L2 dτ
νL1
dī2
r2
M dī1
M dθ
ī1 cos θ +
ī2 = 0,
+
sin θ +
dτ
L1 dτ
L1 dτ
νL2
(1)
d2 θ
ρ dθ
M u2
mgl
+2
−
ī1 ī2 cos θ + 2 sin θ = 0.
2
4
dτ
νJ dτ
L1 L2 ν J
ν J
Äëÿ áåçðàçìåðíûõ ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû (1) ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
M
M
= n1 ,
= n2 ,
L1
L2
ãäå n1 , n2 êîýôôèöèåíòû òðàíñôîðìàöèè;
r2
ρ
u2
mgl
r1
= ε1 ,
= ε2 ,
= n, 4
= 2β, 2 = k.
νL1
νL2
νJ
ν JL1
ν J
Óñëîâèìñÿ äëÿ áåçðàçìåðíûõ òîêîâ îñòàâèòü èõ ïðåæíèå îáîçíà÷åíèÿ,
à òî÷êà íàä ïåðåìåííîé òåïåðü áóäåò îáîçíà÷àòü äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî
áåçðàçìåðíîìó âðåìåíè τ . Òîãäà ñèñòåìà (1) ïðèìåò òàêîé âèä:
21
i̇1 + n2 i̇2 sin θ + n2 θ̇i2 cos θ + ε1 i1 = sin τ,
i̇2 + n1 i̇1 sin θ + n1 θ̇i1 cos θ + ε2 i2 = 0,
(2)
θ̈ + 2nθ̇ − 2βn2 i1 i2 cos θ + k sin θ = 0.
Âèä ñèñòåìû (2) äëÿ ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ.
i̇1 = det−1 [−(ε1 − n1 n2 θ̇ sin θ cos θ)i1 + n2 (ε2 sin θ − θ̇ cos θ)i2 + sin τ ],
i̇2 = det−1 [n1 (ε1 sin θ − θ̇ cos θ)i1 − (ε2 − n1 n2 θ̇ sin θ cos θ)i2 − n1 sin θ sin τ ],
θ̇ = ω,
ω̇ = −2nω + 2βi1 i2 cos θ − k sin θ,
ãäå det = 1 − n1 n2 sin θ.
2
3. Ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ äëÿ òîêîâ i1 , i2 .
Èñïîëüçóÿ ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (2), áóäåì èñêàòü ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ äëÿ òîêîâ i1 , i2 â ñëåäóþùåì âèäå:
i1 = A sin τ + B cos τ,
i2 = C sin τ + D cos τ.
Ïîñëå ïîäñòàíîâêè ýòèõ âûðàæåíèé â ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (2) è
ïðèðàâíèâàíèÿ êîýôôèöèåíòû ïðè cos τ è sin τ ïîëó÷èì äëÿ A, B, C, D
òàêèå âûðàæåíèÿ:
ε1 − l
,
det
1−m
B=−
,
det
A=
(3)
n1
{−(ε1 −l) sin θ+(1−m)θ̇ cos θ−ε2 [(1−m) sin θ+(ε1 −l)θ̇ cos θ]},
(1 + ε22 )det
n1
D=
{ε2 [−(ε1 −l) sin θ+(1−m)θ̇ cos θ]+(1−m) sin θ+(ε1 −l)θ̇ cos θ}.
(1 + ε22 )det
C=
 (3) ââåäåíû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
n1 n2
[sin2 θ − θ̇2 cos2 θ + ε2 θ̇ sin(2θ)],
(1 + ε22 )det1
n1 n2
l=
[−ε2 (sin2 θ − θ̇2 cos2 θ) + θ̇ sin(2θ)],
(1 + ε22 )det1
m=
(4)
det1 = (1 − m)2 + (ε1 − l)2 .
Óïðîùåíèå óñðåäíåííûõ ïî áûñòðîìó âðåìåíè τ âûðàæåíèé
äëÿ A, B, C, D .
22
 ìåõàíè÷åñêîå óðàâíåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé (2) âõîäèò ïðîèçâåäåíèå
òîêîâ i1 i2 :
i1 i2 = (A sin τ +B cos τ )(C sin τ +D cos τ ) = AC sin2 τ +(AD+BC) sin τ cos τ +BD cos2 τ.
= AC sin2 τ + (AD + BC) sin τ cos τ + BD cos2 τ.
(5)
Óñðåäíÿÿ âûðàæåíèÿ (5) çà ïåðèîä ïî τ , ïîëó÷èì
1
(AC + BD).
(6)
2
Ñ÷èòàÿ ε21 ≈ 0, ε22 ≈ 0, ε1 ε2 ≈ 0, θ̇2 ≈ 0 ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ, õîòÿ è óòîìèòåëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïðèõîäèì ê òàêîìó âèäó âûðàæåíèÿ (6):
< i1 i2 >=
1
n1
(AC + BD) ≈
[−det2 + 2n1 n2 ε2 θ̇ sin(2θ)] sin θ.
2
2det2
< i1 i2 >=
Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â òðåòüå óðàâíåíèå ñèñòåìû (2), ïîëó÷èì
θ̈ + 2nθ̇ − β
]
n1 n2 [
2
2n
n
ε
θ̇
sin(2θ)
−
det
sin θ cos θ + k sin θ = 0,
1 2 2
det2
èëè
[
]
(1 − µ)2 sin2 (2θ)
θ̈ + n − βε2
θ̇+
(1 − (1 − µ) sin2 θ)2
+ [β(1 − µ) cos θ + k] sin θ = 0,
ãäå
M2
= 1 − n1 n2 −→ n1 n2 = 1 − µ
L1 L2
µ êîýôôèöèåíò ýëåêòðîìàãíèòíîãî ðàññåÿíèÿ ýíåðãèè.
 ñëó÷àå óäàëåíèÿ ìàÿòíèêà îò ñîëåíîèäà íà äîñòàòî÷íî áîëüøîå ðàññòîÿíèå âçàèìîèíäóêòèâíîñòü M ìîæíî ïîëîæèòü ðàâíîé íóëþ. Òîãäà î÷åâèäíî, ÷òî µ = 1 è ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ïðåâðàùàåòñÿ â óðàâíåíèå êîëåáàíèé îáû÷íîãî ìàÿòíèêà:
µ=1−
θ̈ + 2nθ̇ + k sin θ = 0.
Òî åñòü ðàññìàòðèâàåìàÿ ìîäåëü ñèñòåìû áëèæå ê ðåàëüíîñòè, ÷åì â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå. Îäíàêî ïàðàäîêñ ñ ”ôàêòè÷åñòè äèññèïàòèâíûì ÷ëåíîì”
îñòàëñÿ. Çíà÷èò èññëåäîâàòü åå íà óñòîé÷èâîñòü íå èìååò íèêàêîãî ïðàêòè÷åñêîãî ñìûñëà.
 ñëåäóþùåé ãëàâå ìû âîñïîëüçóåìñÿ äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ èçó÷àåìîé ýëåêòðîìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû âìåñòî óðàâíåíèé ËàãðàíæàÌàêñâåëëà óðàâíåíèÿìè Ëàãðàíæà-Íüþòîíà è ïðîàíàëèçèðóåì ïîëó÷åííóþ ìîäåëü íà åå ôèçè÷åñêóþ àäåêâàòíîñòü èñõîäíîé ìîäåëè.
23
Ãëàâà IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß ËÀÃÐÀÍÆÀ-ÍÜÞÒÎÍÀ
 ÒÅÎÐÈÈ ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÛÕ ÌÀßÒÍÈÊÎÂ
1. Ñîñòàâëåíèå óðàâíåíèé Ëàãðàíæà-Íüþòîíà.
Ðèñ. 5:
Ýëåêòðîìàãíèòíûé ìàÿòíèê ïëþñ ñîëåíîèä.
Äëÿ ñîñòàâëåíèÿ óðàâíåíèé Ëàãðàíæà-Íüþòîíà äëÿ èññëåäóåìîé ýëåêòðîìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû âûïèøåì âûðàæåíèÿ äëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ýíåðãèé è äèññèïàòèâíûõ ôóíêöèé:
Te =
1 2
(ψ + ψ22 ),
2 1
Tm =
Dm = ρθ̇2 ,
1 2
J θ̇ ,
2
De =
1 r1 2
r2 2
( ψ +
ψ ),
2 L1 1 L2 2
Π = mgl(1 − cos θ).
ψ1 = L1 i1 + M i2 sin θ,
ψ2 = L2 i2 + M i1 sin θ.
d ∂Te
∂De
+
= Qj ,
dt ∂ψj
∂ψj
j = 1, 2.
∂Π
∂Dm
∂Te
d ∂Tm
+
= 0, j = 1, 2.
+
−
dt ∂ θ̇
Lj ∂θ
∂θ
∂ θ̇
(
)
∑ ∂Te
ψ1
ψ2
Me =
=
i2 +
i1 M cos θ.
Lj ∂θ
L1
L2
j
24
L2 ψ1 − M ψ2 sin θ
L1 ψ2 − M ψ1 sin θ
i2 =
.
2 ,
2
L1 L2 − M sin θ
L1 L2 − M 2 sin2 θ
[
( 2
)
]
M cos θ
ψ1
ψ22
Me =
2ψ
ψ
−
+
M
sin
θ
.
1 2
L1
L2
L1 L2 − M 2 sin2 θ
i1 =
ψ̇1 = −
ψ̇2 = −
r1
ψ1 + u sin(νt),
L1
r2
M r2
ψ2 +
ψ1 sin θ,
L2
L1 L2
J θ̈ = −2ρθ̇ − mgl sin θ+
[
( 2
)
]
ψ22
M cos θ
ψ1
+
+
2ψ1 ψ2 −
M sin θ .
L1
L2
L1 L2 − M 2 sin2 θ
ψ̇1 = −
r1
ψ1 + u sin(νt),
L1
r2
M r2
ψ2 +
ψ1 sin θ,
L2
L1 L2
[
( 2
)
]
M cos θ
ψ1
ψ22
J θ̈+2ρθ̇+mgl sin θ+
2ψ1 ψ2 −
+
M sin θ = 0,
L1
L2
L1 L2 [1 − (1 − µ) sin2 θ]
ψ̇2 = −
ãäå µ = 1 −
M2
L1 L2
êîýôôèöèåíò ýëåêòðîìàãíèòíîãî ðàññåÿíèÿ ýíåðãèè.
2. Ïåðåõîä ê áåçðàçìåðíîé ôîðìå.
τ = νt,
Me =
u2
M̄e ,
L1 ν 2
M̄e =
ψ1 =
u
ψ̄1 ,
ν
ψ2 =
Mu
ψ̄2 .
L1 ν
[
]
1−µ
2ψ̄1 ψ̄2 − [ψ̄12 + (1 − µ)ψ̄22 ] sin θ cos θ.
2
1 − (1 − µ) sin θ
ψ̇1 = −ε1 ψ1 + sin τ,
ψ̇2 = −ε2 ψ2 + ε2 ψ1 sin θ,
θ̈ + 2nθ̇ + k sin θ −
(1)
2β(1 − µ) cos θ
{2ψ1 ψ2 − [ψ12 + (1 − µ)ψ22 ] sin θ} = 0,
1 − (1 − µ) sin2 θ
ãäå ââåäåíû ñëåäóþùèå áåçðàçìåðíûå ïàðàìåòðû:
ε1 =
r1
,
νL1
ε2 =
r2
,
νL2
n=
ρ
ν3J
2β =
u2
ν 4 JL
k=
1
mgl
.
ν2J
 (1) çà ïåðåìåííûìè îñòàâëåíû èõ ïðåæíèå îáîçíà÷åíèÿ, à òî÷êà íàä ïåðåìåííîé òåïåðü îáîçíà÷àåò äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî áåçðàçìåðíîìó âðåìåíè
τ.
25
3. Ïðèáëèæåííîå âû÷èñëåíèå ïîòîêîñöåïëåíèé ψ1 , ψ2 .
Ïîëàãàÿ ε1 << 1, äëÿ ïîòîêîñöåïëåíèÿ ψ1 èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû
(1) íàõîäèì ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå
ψ1 = − cos τ,
(2)
êîòîðîå, ïîäñòàâëÿÿ âî âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (1), äëÿ íàõîæäåíèÿ ψ
ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå:
ψ̇2 + ε2 ψ2 = −ε2 cos τ sin θ.
(3)
Ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3) èùåì â ñëåäóþùåì âèäå:
ψ2 = A sin τ sin θ + B cos τ sin θ + C sin τ cos θ + D cos τ cos θ.
(4)
Ïîñëå åãî ïîäñòàíîâêè â óðàâíåíèå (3) è ïðèïàâíèâàíèÿ êîýôôèöèåíòîâ
ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèÿõ ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìå óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî êîýôôèöèåíòîâ A, B, C, D:
A − Dθ̇ + ε2 B = −ε2 ,
−B − C θ̇ + ε2 A = 0,
−D + Aθ̇ + ε2 C = 0,
(5)
B θ̇ + C + ε2 D = 0.
Èç (5) ëåãêî íàõîäèì
A=−
ε2
,
1 + ε22 + θ̇2
B=−
ε22
,
1 + ε22 + θ̇2
(6)
C = 0,
D=
ε2 θ̇
.
1 + ε22 + θ̇2
Ñ ó÷åòîì (6) âûðàæåíèå äëÿ ψ2 ïðèîáðåòàåò ñëåäóþùèé âèä:
ψ2 =
ε2
(− sin τ sin θ − ε2 cos τ sin θ + θ̇ cos τ cos θ).
1 + ε22 + θ̇2
4. Ïðèáëèæåííîå óðàâíåíèå äëÿ èññëåäîâàíèÿ íà
óñòîé÷èâîñòü ðàññìàòðèâàåìîé ýëåêòðîìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû.
Ïîëàãàÿ ε22 ≈ 0 −→ ψ22 ≈ 0, θ̇2 ≈ 0, ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó âèäó
èñêîìîãî óðàâíåíèÿ:
26
[
]
[
]
ε2 β(1 − µ) cos2 θ
β(1 − µ) cos θ
θ̈ + 2 n +
θ̇ +
+ k sin θ = 0.
1 − (1 − µ) sin2 θ
1 − (1 − µ) sin2 θ
(7)
Î÷åâèäíî, ÷òî çäåñü àêòèâíîå ýëåêòðè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå ε2 èìååò
óñïîêàèâàþùèé ñèñòåìó õàðàêòåð, êàê ýòî è äîëæíî èìååòü ìåñòî â ðåàëüíîñòè. Îòñþäà ñëåäóåò âûâîä, ÷òî èìååò ïðàêòè÷åñêèé ñìûñë âñåñòîðîííåå
èññëåäîâàíèå êàê óðàâíåíèÿ (7), òàê è ñèñòåìû (1). Çäåñü æå ìû îãðàíè÷èìñÿ òîëüêî èññëåäîâàíèåì óðàâíåíèÿ (1) íà ëîêàëüíóþ óñòîé÷èâîñòü.
Ïðè óñëîâèè sin θ = 0 èìååì äâà ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ:
íèæíåå
θ=0
è âåðõíåå
θ = π.
 îêðåñòíîñòè íèæíåãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ èìååì
sin θ ≈ θ, cos θ ≈ 1, sin2 θ ≈ 0, cos2 θ ≈ 1.
Óðàâíåíèþ (7), ëèíåàðèçîâàííîìó â îêðåñòíîñòè íèæíåãî ïîëîæåíèÿ
ðàâíîâåñèÿ ñîîòâåòñòâóåò ñäåäóþùåå õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå:
λ2 + 2[n + ε2 β(1 − µ)]λ + [β(1 − µ) + k] = 0.
Î÷åâèäíî, ÷òî íèæíåå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî.
 îêðåñòíîñòè âåðõíåãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ èìååì
sin θ ≈ θ, cos θ ≈ −1, sin2 θ ≈ 0, cos2 θ ≈ 1.
Óðàâíåíèþ (7), ëèíåàðèçîâàííîìó â îêðåñòíîñòè âåðõíåãî ïîëîæåíèÿ
ðàâíîâåñèÿ ñîîòâåòñòâóåò ñäåäóþùåå õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå:
λ2 + 2[n + ε2 β(1 − µ)]λ + [−β(1 − µ) + k] = 0.
Î÷åâèäíî, ÷òî âåðõíåå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ óñòîé÷èâî ïðè ñîáëþäåíèè
óñëîâèÿ:
k > β(1 − µ).
27
ÂÛÂÎÄÛ
1. Íà ïðèìåðå îäíîôàçíîãî òðàíñôîðìàòîðà èçó÷åí ìåòîä óðàâíåíèé
Ëàãðàíæà-Íüþòîíà.
2. Ìåòîä óðàâíåíèé Ëàãðàíæà-Íüþòîíà ïðèìåíåí ïðè ìîäåëèðîâàíèè è
èññëåäîâàíèè íà óñòîé÷èâîñòü ðàáîòû âåòðîýëåêòðîñòàíöèè.
3. Ïðè àíàëèçå óðàâíåíèé ýëåêòðîìàãíèòíîãî ìàÿòèêà, ðàáîòàþùåãî îò
ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ íåîãðàíè÷åííîé ìîùíîñòè, âûÿâëåíî íàëè÷èå ÷ëåíà, ñâÿçàííîãî ñ ýëåêòðè÷åñêîé äèññèïàöèåé ýíåðãèè ñî çíàêîì, ïðîòèâîïîëîæíûì ôèçè÷åñêîìó ñìûñëó ÿâëåíèÿ.
4. Ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé Ëàãðàíæà-Ìàêñâåëëà ïîñòðîåíà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ýëåêòðîìàãíèòíîãî ìàÿòíèêà, ðàáîòàþùåãî îò êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè. Õîòÿ ýòà çàäà÷à áîëåå àäåêâàòíà ôèçè÷åñêîìó îáúåêòó, ÷åì â
ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, íî ÷ëåí ñ ýëåêòðè÷åñêîé äèññèïàöèåé òîæå èìååò ïðîòèâîïîëîæíûé çäðàâîìó ñìûñëó çíàê.
5. Ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé Ëàãðàíæà-Íüþòîíà ïîñòðîåíà ìàòåìàòè÷åñêàÿ
ìîäåëü ýëåêòðîìàãíèòíîãî ìàÿòíèêà, ðàáîòàþùåãî îò êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè. Ýòà ìîäåëü îêàçàëàñü ïîëíîñòüþ àäåêâàòíà ôèçè÷åñêîìó îáúåêòó.
Ïîýòîìó è ÷ëåí ñ ýëåêòðè÷åñêîé äèññèïàöèåé â íåé èìååò çíàê, ñîîòâåòñòâóþùèé çäðàâîìó ñìûñëó. Äåëàåòñÿ âûâîä, ÷òî èìåííî ýòà ìîäåëü èìååò
ïðàêòè÷åñêóþ öåííîñòü, ïîýòîìó åå ïîëíîå ìàòåìàòè÷åñêîå èññëåäîâàíèå
öåëåñîîáðàçíî.
6. Ïîñëåäíÿÿ ìîäåëü èññëåäîâàíà íà ëîêàëüíóþ óñòîé÷èâîñòü åå ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ. Ïîêàçàíî, ÷òî íèæíåå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî, à äëÿ âåðõíåãî ïîëîæåíèÿ íàéäåíî óñëîâèå åãî óñòîé÷èâîñòè.
Ëèòåðàòóðà
1. Ñêóáîâ Ä.Þ., Õîäæàåâ Ê.Ø. Íåëèíåéíàÿ ýëåêòðîìåõàíèêà. Ì.:
ÔÈÇÌÀÒËÈÒ, 2003. 360 ñ.
2. Ðîäþêîâ Ô.Ô. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü áîëüøîé ýëåêòðîýíåðãåòè÷åñêîé ñèñòåìû. ÑÏá.: Èçä-âî Ñ.-Ïåòåðá. óí-òà, 2006. 153 ñ.
3. Ðîäþêîâ Ô.Ô. ×åòûðå øàãà âïåð¼ä â òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ
è â ýëåêòðîìåõàíèêå. LAP Lambert Academic Publishing, 2013. - 116 p.
4. Ëüâîâè÷ À.Þ. Ýëåêòðîìåõàíè÷åñêèå ñèñòåìû. Ë.: Èçä-âî Ñ.-Ïåòåðáóðã.
óí-òà, 1989. - 296 ñ.
5. Ïàñûíêîâ Â.Å., Ðîäþêîâ Ô.Ô. Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå ðàáîòû
âåòðîýëåêòðîñòàíöèè// Äèíàìèêà è óñòîé÷èâîñòü ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì /
Ïîä ðåä. Ï.Å. Òîâñòèêà. ÑÏá.: Èçä-âî Ñ.-Ïåòåðáóðãñêîãî óí-òà. 1997. Ñ.
56-61. (Ïðèêëàäíàÿ ìåõàíèêà; Âûï. 10).
6. Ïåðëè Ñ.Á. Âåòðîíàñîñíûå è âåòðîýëåêòðè÷åñêèå àãðåãàòû. ÎÍÒÈ,
Õàðüêîâ, 1938, 266ñ.
7. Êîðí Ã., Êîðí Ò. Ñïðàâî÷íèê ïî ìàòåìàòèêå. Ì.: Íàóêà,1968. - 720 ñ.
28
Отзывы:
Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв