САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Математико-механический факультет
Кафедра теории вероятностей и математической статистики
Дмитриев Дмитрий Игоревич
Моделирование и оценка параметров
процесса Орнштейна-Уленбека со
случайным коэффициентом вязкости
Дипломная работа
Зав. кафедрой:
д. ф.-м. н., профессор Никитин Я.Ю.
Научный руководитель:
к. ф.-м. н., доцент Русаков О.В.
Рецензент:
д. ф.-м. н., в. н. с. МИАН Гущин А.А.
Санкт-Петербург
2016
SAINT PETERSBURG STATE UNIVERSITY
Mathematics and Mechanics Faculty
Chair of Probability Theory and Mathematical Statistics
Dmitrii Dmitriev
Modelling and parameter estimation for
Ornstein–Uhlenbeck process with a random
coefficient of viscosity
Graduation Thesis
Head of the chair:
Professor Ya.Yu. Nikitin
Scientific supervisor:
Associate Professor O. V. Rusakov
Reviewer:
Steklov Mathematical Institute Leading Scientific Researcher A. A. Gushchin
Saint Petersburg
2016
Содержание
1 Введение.
5
2 Определения и подготовительные результаты.
7
2.1
Преобразование Лапласа, теоремы Бернштейна, ЦПТ для векторов, тауберовы теоремы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Ковариации псевдопуассоновских процессов со случайной интенсивностью
как преобразование Лапласа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2.1
Взвешенная сумма процессов Орнштейна-Уленбека. . . . . . . . .
9
2.2.2
Сумма независимых пуассоновских субординаторов для последовательностей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3
3 Алгоритмы моделирования.
Алгоритм моделирования процесса Орнштейна-Уленбека c фиксирован-
16
Алгоритм моделирования взвешенной суммы процессов Орнштейна-Уленбека
c фиксированным параметром вязкости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3
13
16
ным параметром вязкости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
10
Построение процесса Орнштейна-Уленбека со случайным параметром вязкости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
7
16
Алгоритм моделирования процесса Орнштейна-Уленбека со случайным
параметром вязкости, имеющим недискретное распределение . . . . . . .
4 Оценка параметров.
17
18
4.1
Процесс Орнштейна-Уленбека. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
Процесс Орнштейна-Уленбека со случайным параметром вязкости. Би-
18
нарное распределение интенсивности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
4.2.1
Бинарное распределение случайной вязкости: оценка весов. . . . .
20
4.2.2
Бинарное распределение случайной вязкости: оценка интенсивностей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Заключение
20
21
3
Список литературы
22
Приложение
24
Результаты моделирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
Код моделирования в среде R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
4
1
Введение.
Процесс Орнштейна-Уленбека (ОУ) впервые был представлен в статье Л.С. Орнштейна
и Е.Г. Уленбека 1930 года [1] в качестве модели скоростей частиц в процессе соударения
с окружающими их частицами. Процесс Орнштейна-Уленбека интересен тем, что является единственным (и нетривиальным) стационарным гауссовским марковским процессом, что было доказано в работе [2]. Также процесс ОУ обладает свойством возвращения к среднему. Все эти свойства способствовали распространению его использования
в финансах и финаносовой инженерии. В классической работе Васичека 1977 года [3]
представлена модель для оценки мгновенной процентной ставки. После 2000 года были описаны способы использования процесса ОУ в задачах ценообразования опционов,
оптимизации портфеля и теории рисков.
В настоящее время процесс ОУ изучен достаточно глубоко и для ученых представляют интерес различные модификации и обобщения этого процесса. В частности в работе [8] доказан следующий факт следующий из ЦПТ для векторов: если рассмотреть
независимые копии ψ1 , ψ2 , . . . псевдопуассоновского процесса (для последовательностей
из независимо одинаково распределенных случайных величин) ψ(s), s ≥ 0, построенного
по последовательности (ξ) независимо одинаково распределенных случайных величин,
Eξ0 = 0, Dξ0 = 1, то нормированные суммы вида
N
1 X
ΨN (s) = √
ψi (s)
N i=1
(1.1)
сходятся к стандартному процессу Орнштейна-Уленбека:
ΨN (s) ⇒ U (s),
N → ∞,
(1.2)
где 1.2 понимается как функциональный предел в пространстве Скорохода D[0,Θ] , s ∈
[0, Θ], Θ ≤ ∞, причем cov(U (0), U (s)) = e−λs .
В статье [11] использовалась модель взвешенной суммы независимых процессов ОУ
для обобщения модели Васичека процентной ставки. Для оценки по реальным данным
параметров взвешенной суммы процессов ОУ использовалось численное обратное преобразование Лапласа.
В данной дипломной работе рассматриваются некоторое другое обощение процесса
5
ОУ — процесс Орнштейна-Уленбека со случайным коэффицентом вязкости λ, описаны
его свойства. Такой процесс в работе обозначен Y (s).
Целью данной работы является описание алгоритмов моделирования процесса Y (s)
в среде R. Приводятся некоторые методы оценки параметров.
6
2
Определения и подготовительные результаты.
Определение 1. Стандартный процесс Орнштейна-Уленбека Uλ (t), t ≥ 0 с параметром вязкости λ > 0 — стационарный гауссовский случайный процесс с нулевым
математическим ожиданием и ковариацией
cov(Uλ (t), Uλ (t + τ )) = e−λτ ,
τ ≥ 0.
(2.1)
Ковариацию вида e−λτ можно естественным образом интерпретировать как преобразование Лапласа меры, вырожденной в точке λ > 0 (нормированной на единицу).
Далее мы исследуем обобщение процесса Орнштейна-Уленбека на случай стационарного гауссовского процесса с ковариацией, которая является преобразованием Лапласа
нетривиального распределения (бинарного, в частности).
Нам понадобятся следующие определения и результаты
2.1
Преобразование Лапласа, теоремы Бернштейна, ЦПТ для
векторов, тауберовы теоремы.
Следующие хорошо известные результаты, связанные с преобразованием Лапласа, заимствованы из [4] и преводятся без доказательств. Они составлют теоретическую основу
для преобразований, которые приведены в главе 3 и далее.
Определение 2. Пусть F — вероятностное распределение, сосредоточенное на (0, ∞).
Преобразованием Лапласа ϕ распределения F называют функцию, определенную
для β ≥ 0 равенством
Z∞
ϕF (β) =
e−βx F (dx).
(2.2)
0
Определение 3. Заданная на [0, ∞) функция ϕ называется вполне монотонной, если
она имеет производные ϕ(n) всех порядков и
(−1)n ϕ(n) (β) ≥ 0,
β > 0.
Следующая теорема и ее обратная принадлежат Бернштейну.
7
(2.3)
Теорема 2.1. Функция ϕF на [0, ∞) является преобразованием Лапласа распределения
вероятностей F тогда и только тогда, когда она вполне монотонна и
varphiF (0) = 1.
Теорема 2.2. Функция ϕF на [0, ∞) является вполне монотонной тогда и только
тогда, когда она имеет вид
Z∞
ϕF (β) =
e−βx F (dx),
β > 0,
(2.4)
0
где F — не обязательно конечная мера на [0, ∞).
Сформулируем простую лемму, которая пригодится в дальнейшем.
Лемма 2.1.
f (t) = α1 e−β1 t + . . . + αn e−βn t + . . .
(2.5)
является вполне монотонной функцией для любых неотрицательных α1 + . . . + αn +
. . . > 0, таких что αj ≥ 0, i ≥ 1 и βj > 0, j ≥ 1.
Доказательство.
n (n)
(−1) f
(t) =
∞
X
αj βjn e−βj t ≥ 0,
t > 0.
(2.6)
i=1
Теорема 2.3. Центральная Предельная Теорема (ЦПТ) для векторов
Пусть (ξ) = ξ1 , ξ2 , . . . — последовательность независимых и одинаково распределенных случайных векторов в Rk , k > 1, каждый из которых имеет среднее Eξ1 =
n
P
a ∈ Rk и невырожденную матрицу ковариаций Σ. Обозначим через Sn =
ξj вектор
j=1
частичных сумм.
Тогда при n → ∞ имеет место слабая сходимость распределений векторов:
ηn =
Sn − na
√
→ η,
n
η ∼ N (0, Σ),
(2.7)
где ηn и η — вектора в Rk ; N (0, Σ) — закон k-мерного нормального распределния с
нулевым вектором средних и ковариационной матрицей Σ.
8
Следующие результаты, связывающие ассимптотическое поведение преобразования
Лапласа меры в 0 и ∞, исторически называются тауберовыми теоремами.
Пусть tτ = 1. Тогда τ → 0 при t → ∞.
Теорема 2.4. Пусть V — мера на [0, ∞), преобразование Лапласа γ которой определено
на λ > 0. Тогда каждое из соотношений при p ≥ 0
γ(τ λ)
1
→ p , τ → 0,
γ(τ )
λ
(2.8)
V (tx)
→ xp , t → ∞,
V (t)
(2.9)
и
влечет за собой другое, а также соотношение γ(τ ) ∼ U (t)Γ(p + 1)
Следствие 2.1. Если при некотром a > 1 и t → ∞ выполняется одно из
γ(τ a)
→ 0,
γ(τ )
V (ta)
→ ∞,
V (t)
(2.10)
то
V (t)
→ 0.
γ(τ )
(2.11)
Теорема и следствие остаются верны, если нуль и бесконечность меняются ролями,
т.е. t → 0 и τ → ∞.
2.2
Ковариации псевдопуассоновских процессов со случайной
интенсивностью как преобразование Лапласа.
2.2.1
Взвешенная сумма процессов Орнштейна-Уленбека.
Рассмотрим для начала взвешенную сумму двух независимых процессов ОрнштейнаУленбека Uλ1 (t), Uλ2 (t), t ≥ 0, при λ1 > 0, λ2 > 0, α1 ≥ 0, α2 ≥ 0, α12 + α22 = 1:
Z(t) = Zα1 ,λ1 ;α2 ,λ2 (t) := α1 Uλ1 (t) + α2 Uλ2 (t).
(2.12)
Далее, если не оговорено противное, рассматриваем невырожденный случай α1 >
0, α2 > 0, λ1 6= λ2 .
Свойства Zα1 ,λ1 ;α2 ,λ2 (t):
9
1. Процесс Zα1 ,λ1 ;α2 ,λ2 (t) — стационарный.
2. Z(t) — не марковский.
3. Процесс Z(t) имеет единичную дисперсию.
4. Автоковариация Zα1 ,λ1 ;α2 ,λ2 (t) есть
cov(Z(t)) = α12 e−λ1 t + α22 e−λ2 t .
(2.13)
5. Процесс Zα1 ,λ1 ;α2 ,λ2 (t) является гауссовским.
Замечание. Очевидно, полученная автоковариация 2.13 есть преобразование Лапласа
для вероятностной меры, сосредоточенной в точках λ1 и λ2 c весами α12 и α22 , соответственно.
Данный пример нетрудно распространить, взяв n независимых процессов ОрнштейнаУленбека Uλj (t), t ≥ 0, где λj > 0, j ∈ [1, n]. Сумма таких процессов с весами
αj , j ∈ [1, n], такими что α12 + . . . + αn2 = 1, даст стационарный процесс с единичной
дисперсией и автоковариацией, являющейся преобразованием Лапласа ϕF дискретной
меры F , сосредоточенной в точках λj , j ∈ [1, n] с весами αj2 , j ∈ [1, n], соответственно.
В случае, когда множество весов несчетно способом как 2.12 не удается построить
аналогичный процесс с автоковариацией, которая является преобразованием Лапласа
ϕG уже не дискретной меры G. Эту задачу удается решить способом, описанным ниже.
Подход изложенный в следующих подразделах дает центрированный, гауссовский
процесс с автоковариацией являющейся преобразованием Лапласа ϕλ(ω) , где ω - множество элементарных событий, которое быть более, чем счетно.
2.2.2
Сумма независимых пуассоновских субординаторов для последовательностей.
Возьмем последовательность (ξ) независимых одинаково распределенных случайных
величин
(ξ) := (ξ0 , ξ1 , . . .), Eξ0 = 0, Dξ0 = 1
(2.14)
и независимый от (ξ) пуассоновский процесс Πλ (t), t ≥ 0, λ > 0 — некоторая фиксированная интенсивность.
10
Определение 4. Процессом пуассоновского случайного индекса (пуассоновским субординатором, псевдопуассоновским процессом для последовательностей независимых
одинаково распределенных случайных величин, как в [4]) называется процесс
ψλ (t) := ξΠλ (t) .
(2.15)
В статье [6] приводится полезное представление этого процесса в виде
ψλ (t) =
∞
X
ξk I(Πλ (t) = k).
(2.16)
k=0
Основные свойства ψλ (t):
1. В силу независимости и одинаковой распределенности элементов последовательности (ξ), процесс пуассоновского случайного индекса (ПСИ) ψλ (t) — стационарен.
2. Процесс ψλ (t) — марковский в силу отсутствия элементов последовательности
пуассоновского процесса и независимости, одинаковой распределенности (ξ).
3. Процесс ψλ (t) имеет автоковариационную функцию: cov{ψλ (t), ψλ (0)} = e−λt .
Доказательство. Отметим сначала, что Eψλ (t) = 0 — очевидно.
Далее, пусть t2 > t1 , тогда
cov{ψλ (t1 ), ψλ (t2 )} = E{ψλ (t1 )ψλ (t2 )} =
∞
∞
X
X
= E{
ξk I(Πλ (t1 ) = k)
ξj I(Πλ (t2 ) = j)}.
k=0
j=0
В силу независимости (ξ) почти все произведения дадут ноль — кроме тех, где
k = j. Тогда получаем
∞
X
E{ξk2 I(Πλ (t1 ) = k)I(Πλ (t2 ) = k)}.
(2.17)
k=0
Ясно, что в силу определения (ξ) выполнено Eξk2 = 1. Далее, воспользовавшись
однородностью приращений пуассоновского процесса, получаем
∞
X
P(Πλ (t1 ) = k, Πλ (t2 ) − Πλ (t1 ) = 0) = P{Πλ (t2 ) − Πλ (t1 ) = 0}
k=0
= P(Πλ (t2 − t1 ) = 0) = e−λ(t2 −t1 )
11
Итого кроме свойства (3) доказали и стационарность процесса в широком смысле.
4. Даже если (ξ) из 2.14 являются стандартными нормальными независимо одинаково распределенными случайными величинами, то ψλ (t) все равно не является
гауссовским.
Доказательство. Пусть λ = 1. Рассмотрим ψ(0), ψ(t0 ) для некоторого фиксированного t0 . Тогда
d
ψ(0) + ψ(t0 ) =
∼
2ψ(0);
e−t0
∼
ψ(0) + ψ(0);
1 − e−t0 ,
(2.18)
d
где ψ(0) = ψ(0). Обозначим через κσ (x) плотность N (0, σ). Тогда плотность ψλ (t)
будет выражаться e−t0 κ2 (x) + (1 − e−t0 )κ√2 (x). Очевидно, что выражения такого
вида ∀x, ∀σ > 0, ∀t0 никогда не примет вид κσ (x). Отсюда ψλ (t) — не гауссовский.
Как и в случае с процессом Орнштейна-Уленбека, ковариация процесса ПСИ есть
преобразование Лапласа меры, вырожденной в точке λ > 0.
Далее рассмотрим процессы пуассоновского случайного индекса ψλ1 (t), ψλ2 (t), соответствующие субординированным последовательностям
(ξ 1 ) = (ξ01 , ξ11 , . . .), (ξ 2 ) = (ξ02 , ξ12 , . . .),
(2.19)
которые взаимно независимы и состоят из независимо одинаково распределенных случайных величин (при этом распределения, скажем, ξ01 и ξ02 могут не совпадать).
Рассмотрим взвешенную сумму
∼
Z α1 ,λ1 ;α2 ,λ2 (t) = α1 ψλ1 (t) + α2 ψλ2 (t),
α1 > 0,
Свойста:
∼
1. Процесс Z(t) — стационарный.
∼
2. Процесс Z(t) имеет единичную дисперсию.
12
α2 > 0,
α12 + α22 = 1.
(2.20)
∼
3. Автоковариация Z(t) имеет вид
∼
cov(Z(t)) = α12 e−λ1 t + α22 e−λ2 t .
(2.21)
4. Даже если (ξ) из 2.14 являются стандартными нормальными независимо одинаково распределенными случайными величинами, то ψλ (t) все равно не является
гауссовским.
Доказательство. Аналогично предыдущему доказательству негауссовости.
∼
Замечание. Очевидно, что полученный процесс Z легко распространяется на сумму n
независимых процессов ПСИ.
2.2.3
Построение процесса Орнштейна-Уленбека со случайным параметром
вязкости.
Теперь рассмотрим ω — некоторое множество элементарных событий и λ = λ(ω) — случайную величину сосредоточенную на нем. Построим для этой λ(ω) ПСИ со случайным
коээфицентом вязкости.
Определение 5. Пусть λ = λ(ω), ω ∈ Ω — случайная величина сосредоточенная на
множестве [0, ∞). Π1 (t), t ≥ 0 — пуассоновский процесс с интенсивностью 1. λ и Π1 (t)
— независимы.
Тогда Πλ(ω) (t) = Π1 (λ(ω)t), t ≥ 0 — процесс Кокса.
В качестве ведущего пуассоновского процесса выступит процесс Кокса Πλ(ω) (t), t ≥ 0
такой, что Πλ(ω) (t) = Π1 (λ(ω)t), а случайная интенсивность(вязкость) λ(ω) и Π(1) —
независимы.
Далее аналогично ПСИ можем построить ПСИ со случайным коээфицентом вязкости:
ψλ(ω) (t) =
∞
X
ξk I(Πλ(ω) (t) = k).
k=0
Основные свойства получившегося процесса:
1. Процесс ψλ(ω) (t) — стационарен.
13
(2.22)
2. Процесс ψλ(ω) (t) — не марковский, (если λ(ω) нетривиальна).
3. Автоковариационная процесса ψλ(ω) (t):
cov{ψλ(ω) (t), ψλ(ω) (0)} = Ee−λ(ω)t .
(2.23)
Замечание. Ee−λ(ω)t в точности есть преобразование Лапласа распределения λ(ω).
4. Даже если (ξ) из 2.14 являются стандартными нормальными независимо одинаково распределенными случайными величинами, то ψλ (t) все равно не является
гауссовским.
Доказательство. Аналогично предыдущему доказательству негауссовости.
j
Возьмем последовательность (ψλ(ω)
(s)) независимых одинаково распределенных слу-
чайных процессов:
j
1
2
N
(ψλ(ω)
(s)) := (ψλ(ω)
(s), ψλ(ω)
(s), . . . , ψλ(ω)
(s)).
(2.24)
Рассмотрим нормированную сумму
N
1 X j
ΨN (s) = √
ψλ(ω) (s).
N j=1
(2.25)
По ЦПТ для векторов имеет место сходимость в смысле конечномерных распределений к гауссовскому стационарному случайному процессу Y (s), s ≥ 0:
ΨN (s) ⇒ Y (s), s ≥ 0,
N → ∞.
(2.26)
Определение 6. Случайный процесс Y (s) будем называть процессом ОрнштейнаУленбека со случайным параметром вязкости λ = λ(ω).
Процесс Y (s) имеет следующие свойства по построению:
1. Процесс Y (s) — cтационарен.
2. Процесс Y (s) — не марковский.
3. Автоковариация Y (s)
cov(Y (s)) = Ee−λ(ω)s .
14
(2.27)
4. Процесс Y (s) является гауссовским процессом.
Замечание. cov(Y (s)) является преобразованием Лапласа функции распределения связанной со случайной величиной λ = λ(ω)
В данной дипломной работе мы рассмотрим частный случай процесса Y (s), который
обозначим Y2 (s), когда ω = {ω1 , ω2 }. Связано это с тем, что моделирование и оценка
параметров очень сложна, а задача даже в такой постановке интересна и имеет практические примения. В [11] перечисляются возможные применения таких процессов.
В таком случае λ(ω) примет вид:
λ(ω) =
λ1 ; с вероятностью p
(соответствует ω1 )
(2.28)
λ2 ; с вероятностью q = 1 − p (соответствует ω2 ).
Автоковариация Y2 (s):
cov(Y2 (s)) = pe−λ1 s + qe−λ2 s .
(2.29)
Замечание. Пусть Z2 (t) — взвешенная сумма процессов Орнштейна-Уленбека 2.12, при
√
√
n = 2. Тогда при k = 2, p = α12 , q = α22 , p+q = 1 мы получим Z2 (t) = pUλ1 (t)+ qUλ2 (t)
c
cov(Z2 (t)) = peλ1 t + qeλ2 t
15
(2.30)
3
Алгоритмы моделирования.
3.1
Алгоритм моделирования процесса Орнштейна-Уленбека c
фиксированным параметром вязкости.
Возьмем последовательность () независимых одинаково распределенных нормальных
случайных величин
() := (0 , 1 , . . .), i ∼ N (0, 1).
Пусть Aλ =
√
(3.1)
1 − e−2λ . Тогда Uλ (1) = 0 e−λ + Aλ 1 , а Uλ (n), n > 1 определяются
следующими рекуррентными формулами:
Uλ (n + 1) = Uλ (n)e−λ + Aλ n+1 .
(3.2)
Утверждение 3.1. Полученный таким образом процесс Uλ (n) — стандартный процесс Орнштейна-Уленбека Uλ (t) смоделированный для дискретного t.
Замечание. Если в формулу 3.2 подставить случайную λ, то последовательность (Uλ (n))
перестает быть гауссовским.
3.2
Алгоритм моделирования взвешенной суммы процессов Орнштейн
Уленбека c фиксированным параметром вязкости.
Рассмотрим алгоритм моделирования для ~λ = (λ1 , . . . , λk ), k ≥ 2:
1. Задаем вектор коэффицентов ~λ.
2. Задаем вектор коэффицентов α
~,
k
P
αi = 1.
i=1
3. Моделируем Uλ1 , . . . , Uλk используя алгоритм из предыдущей подглавы
4. Процесс Z :=
k
P
αi Uλi .
i=1
Полученный процесс Z — взвешенная сумма процессов Орнштейна-Уленбека 2.12.
Утверждение 3.2. Z2 (s) и Y2 (s) — являются гауссовскими и имеют одинаковые математическе ожидание и автоковариацию, значит мы можем воспользоваться данным способом для моделирования Y2 (s).
16
В формуле 3.2 использует дискретное “математическое” время. Процесс ОрнштейнаУленбека с непрерывным “физическим” временем моделируется на основе разбиения
отрезка [0, T ]1 с шагом h. При этом в формуле 3.2 λ следует заменить на λh. В последнем
выражении λ — интенсивность(вязкость) на единицу “физического” времени
3.3
Алгоритм моделирования процесса Орнштейна-Уленбека со
случайным параметром вязкости, имеющим недискретное
распределение
Основная формула, реализующая данный алгоритм — 2.24.
Для ψ 1 (t), 0 ≥ t ≥ T < ∞ снасала разыгрываем значение λ1 в соответствии с её законом распределения, задаваемым, например, её преобразованием Лапласа Ee−λ(ω)t , t ≥ 0.
(В частности, например, можно взять равномерное распределние на [δ, Θ];
0 < δ <
Θ < ∞).
Затем реализуем ведущий пуассоновский процесс Π1 (λ1 t). Рассмотрим интервал вида ∆j := [Θj , Θj+1 ], j ≥ 0, Θ0 = 0; Θj — момент j-того скачка Π1 (λ1 t).
Каждой точке интервала ∆j приписываем значение ξj , которое разыгрывается предварительно. Наилучшим распределением для задачи моделирования гауссовского процесса Орнштейна-Уленбека со случайным параметром вязкости будет нормальное распределение для ξj , которое моделируется, например, методом полярных координат.
Таким образом мы получили 1-ый пуассоновский субординатор. 2-ой и последующие
до N -ого получаются независимым образом, с тем же распределением. Отметим, что
λ(ω) разыгрывается независимо и дает значения λ2 , . . . , λN соответственно.
Заключает алгоритм подстановка полученых значений ψ j в формулу 2.24. При этом
мы можем рассматривать любые конечномерные распределения ΨN (t).
1
Терминальный момент времени 0 < T < ∞ (часто T можно положить равным 1) используется в
подразделе 4.1
17
4
Оценка параметров.
4.1
Процесс Орнштейна-Уленбека.
В самом простом случае стандартного процесса Орнштейна-Уленбека, λ — неслучайная.
Процесс Орнштейна-Уленбека можно определить, как решение уравнения Ланжевена
(Langevin). Например, смотри [12].
Оценку параметра для процесса Орнштейна-Уленбека Uλ (t) можно провести воспользовавшись методом оценки максимального правдоподобия приведенной в [12].
Пусть задан процесс Орнштейна-Уленбека на ξ(t), 0 ≤ t ≤ T с параметром вязкости
θ ∈ (−∞, ∞) Тогда
ξ 2 (T ) − T
θbT (ξ) := T
.
R
2
2 ξ (t)dt
(4.1)
0
В нашем случае λ = −θ, λ > 0, a ξ(t) есть Uλ (t).
4.2
Процесс Орнштейна-Уленбека со случайным параметром вязкости. Бинарное распределение интенсивности.
Рассмотрим процесс Y2 (t) c бинарной интенсивностью.
Пусть
Y2 (t) =
√
pUλ1 (t) +
√
qUλ2 (t), p > 0, q > 0, p + q = 1
(4.2)
— процесс Орнштейна-Уленбека со случайным параметром вязкости λ(ω). Его ковариация имеет вид
cov(Y2 (t)) := pe−λ1 t + qe−λ2 t .
(4.3)
Так как статистическая оценка автоковариации в нуле определена заметно лучше,
чем в окрестности ∞ (смотри результаты моделирования в приложении), поэтому мы
используем численное дифференцирование в нуле для ковариационной функции, оцениванием параметр, а затем “исправляем” поведение ковариации в ∞, воспользовавшись
тауберовыми теоремами.
18
Для процесса Орнштейна-Уленбека со случайным бинарным параметров вязкости
естесственная задача заключается в исследовании оценки λT (U ) опредленной в формуле 4.1 в случае, когда либо параметр q → ∞ либо параметр λ2 близок к бесконечности.
Интерес представляет рост качества этой оценки при данных предельных предположениях.
Для данной оценки известно смещение bT (θ) := Mθ ((θbT (ξ)−θ) и среднеквадратичная
ошибка BT (θ) := Mθ ((θbT (ξ) − θ)2 .
Теорема 4.1. Cмещение bT (θ) и среднеквадратичная ошибка BT (θ) задаются формулами:
Z∞
bT (θ) =
∂ − θT
[e 2 ρT (θ, a)]da,
∂θ
(4.4)
0
BT (θ) = e
− θT
2
Z∞
Z∞
ρT (θ, a)da +
0
a
∂ 2 − θT
[e 2 ρT (θ, a)]da,
∂θ2
(4.5)
0
где ρT (θ, a) :
s
ρT (θ, a) :=
√
2 θ2 + 2a
√
√
√
√
.
( θ2 + 2a + θ)e− θ2 +2aT + ( θ2 + 2a − θ)e θ2 +2aT
(4.6)
Повторяем, что в нашем случае λ = −θ, λ > 0, a ξ(t) есть Uλ (t).
В работе [11] рассматривалась модель ставки, которая описывалась процессом ОрнштейнаУленбека со случайной бинарной вязкостью. Там использовался алгоритм оценки и
значений (λ1 , λ2 ) и соответствующих весов. Метод, применяемый в данной статье, основывается на обращении преобразовании Лапласа для меры. Эта задача, в принципе,
относится к классу некорректных задач. Поэтому требуется весьма и не всегда однозначный алгоритм, в частности, метод регуляризации по Тихонову.
Далее в настоящей дипломной работе решаются более частные задачи (оценка одно
из параметров p, λ1 , λ2 ), когда остальные два предполагаются неизвестными. Такая
задача корректна и просто решается.
covt0 Y2 (t) = −λ1 pe−λ1 t − λ2 qe−λ2 t ,
(4.7)
covt0 Y2 (t)|t=0 = −λ1 p − λ2 q.
(4.8)
19
Для работы с реальными данными вместо covt0 Y2 (t)|t=0 подставим соответствующие
численные производные.
4.2.1
Бинарное распределение случайной вязкости: оценка весов.
Пусть известны λ1 и λ2 , оценим p и q, тогда
p=
4.2.2
covt0 Y2 (t)|t=0 + λ2
,
λ2 − λ1
q=−
covt0 Y2 (t)|t=0 + λ1
.
λ2 − λ1
(4.9)
Бинарное распределение случайной вязкости: оценка интенсивностей.
Пусть известны p и q, а также только один из λ1 и λ2 , например, λ1 . Тогда
λ2 =
covt0 Y2 (t)|t=0 + λ1 p
.
p−1
20
(4.10)
5
Заключение
В работе была проделано моделирование простого случая процесса Орнштейна-Уленбека
со случайным параметром вязкости λ, обозначаемого Y (s), и приведены некоторые простейшие оценки параметров. В дальнейшем очевидным продолжением исследования
является моделирование и оценки параметров для более сложных множеств значений
ω. Также для изучения представляет интерес связь Y (s) и преобразования Фенхеля,
которое в данном случае будет представлять из себя меру отличия процесса Y (s) от
стандартного процесса Орнштейна-Уленбека.
21
Список литературы
[1] Uhlenbeck G.E. and Ornstein L.S. On the Theory of Brownian Motion. Phys. Rev., том
36:823-841, 1930
[2] Breiman L. Probability. SIAM, Philadelphia, USA, 1992
[3] Vasicek. O. A. An equilibrium characterisation of the term structure. J. Fin. Econ., том
5:177-188, 1977
[4] В. Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее риложения. Том 2. М., Мир, 1984.
[5] А.Н. Ширяев, Вероятность. 2-е издание. Наука, 1989
[6] О.В. Русаков. Суммы независимых пуассонвоских субординаторов и их связь со
строго α-устойчивыми процессами типа Орнштейна-Уленбека. Вероятность и статистика. 13, Зап. научн. сем. ПОМИ, том 361:123-137, 2008.
[7] О.В. Русаков. Пуассоновские субординаторы, поле Винера-Орнштейна-Уленбека и
связь броуновских мостов с переходными характеристиками процессов ОрнштейнУленбека. Вероятность и статистика. 16, Зап. научн. сем. ПОМИ, том 384:225-237,
2010.
[8] О.В. Русаков. Относительная компактность сумм независимых одинаково распределенных псевдопуассоновских процессов в пространстве Скорохода. Зап. научн. сем.
ПОМИ, том 442:122-132, 2015.
[9] И.В. Кондратюк. Ковариационные свойства пуассоновских субординаторов для
некоторого класса стационарных последовательностей, 2013
[10] Д.А. Никифоров. Исследование псевдопуассоновских процессов со случайной интенсивностью с помощью ее проебразования Лапласа, 2015
[11] О.В. Русаков, Д.Б Аплеев. Обобщение модели Васичека на случай многих факторов: пример спот-ставки с двумя факторами. Прикладная информатика, том
6(24):90-101, 2014
22
[12] Р.Ш. Липцер, А.Н. Ширяев. Статистика случайных процессов, нелинейная фильтрация и смежные вопросы Наука, 1974
[13] Argimiro Arratia, Alejandra Cabana, Enrique M. Cabana. Modeling Stationary Data
by a Class of Generalized Ornstein-Uhlenbeck Processes: The Gaussian Case. 13th
International Symposium, IDA 2014, Leuven, Belgium. Proceedings pp 13-24.
[14] Core Development Team. R: A language and environment for statistical computing. R
Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. ISBN 3-900051-07-0. 2011
23
Приложение
Результаты моделирования
0
−3
−2
−1
OU(t)
1
2
3
Simulation
0
200
400
600
800
1000
t
Рис. 1: λ = 0.3
0.4
0.2
0.0
ACF
0.6
0.8
1.0
Autocorrelation
0
20
40
60
80
Lag
Рис. 2: λ = 0.3
24
100
0
−2
−1
OU(t)
1
2
Simulation
0
200
400
600
800
1000
t
Рис. 3: λ1 = 0.0933, λ2 = 0.0713, α1 = 0.963, α2 = 0.269
0.4
0.2
0.0
ACF
0.6
0.8
1.0
Autocorrelation
0
20
40
60
80
100
Lag
Рис. 4: λ1 = 0.0933, λ2 = 0.0713, α1 = 0.963, α2 = 0.269
25
0
−3
−2
−1
OU(t)
1
2
3
Simulation
0
200
400
600
800
1000
t
Рис. 5: λ1 = 0.147, λ2 = 0.989, α1 = 0.147, α2 = 0.989
0.4
0.2
0.0
ACF
0.6
0.8
1.0
Autocorrelation
0
20
40
60
80
100
Lag
Рис. 6: λ1 = 0.147, λ2 = 0.989, α1 = 0.147, α2 = 0.989
26
0
−3
−2
−1
OU(t)
1
2
3
Simulation
0
200
400
600
800
1000
t
Рис. 7: λ1 = 16.4, λ2 = 10.7, α1 = 0.142, α2 = 0.99
0.4
0.2
0.0
ACF
0.6
0.8
1.0
Autocorrelation
0
20
40
60
80
100
Lag
Рис. 8: λ1 = 16.4, λ2 = 10.7, α1 = 0.142, α2 = 0.99
27
Код моделирования в среде R
Listing 1: OU Modelling
# Simulates OU process ( according to OVIR ’ s paper )
generate _ ou <- function (a , sigma , m , n = 1000 , graph = TRUE ) {
# Exact numerical O r n s t e i n в Ђ “ U h l e n b e c k process simulation
# Empty array :
u <- numeric ( n )
lag . max = 10 * log10 ( n )
rnd <- rnorm ( n )
# Initial value :
u [1] <- a + sigma * rnd [1]
# Other elements :
for ( i in 2: length ( u ) ) {
u [ i ] <- u [ i - 1] * exp ( - m ) +
a * (1 - exp ( - m ) ) +
sqrt (1 - exp ( -2 * m ) ) * sigma * rnd [ i ]
}
# Creating output :
result <- list (
series = u ,
viscosity = m ,
mean = a ,
sigma = sigma
)
if ( graph ) {
par ( mfrow = c (2 ,1) )
plot (u , type = ’l ’ , xlab = ’t ’ , ylab = ’X ( t ) ’ ,
main = " O r n s t e i n в Ђ “ U h l e n b e c k simulation " )
abline ( h = a )
abline ( h = 0)
acf (u , type = " correlation " , lag . max = lag . max ,
28
main = " Autocorrelation " )
par ( mfrow = c (1 ,1) )
}
return ( result )
}
generate _ alpha _ coeff _ vector <- function ( n = 2 , min = 0 , max = 1)
{
x <- runif (n , min = min , max = max )
f _ norm <- norm ( as . matrix ( x ) ," f " )
result <- x / f _ norm
}
generate _ lambda _ coeff _ vector <- function ( n = 2 , min = 0.01 , max = 0.1)
{
result <- runif (n , min = min , max = max )
}
generate _ ou _ n <- function ( ou _ n =2 , ou _ sim _ n = 1000 , a = 0 , sigma = 1 , m
= 0.1 , need _ graphs = FALSE , lambda _ min = 0.01 , lambda _ max = 0.1)
{
# ou <- seq _ len ( n )
alpha <- generate _ alpha _ coeff _ vector ( n = ou _ n )
lambda <- generate _ lambda _ coeff _ vector ( n = ou _n , min = lambda _ min ,
max = lambda _ max )
ou1 <- generate _ ou (0 , 1 , lambda [1] , n = ou _ sim _n , graph = need _ graphs
) $ series
ou2 <- generate _ ou (0 , 1 , lambda [2] , n = ou _ sim _n , graph = need _ graphs
) $ series
ou _ res <- rbind ( ou1 , ou2 )
if ( ou _n >2) {
for ( i in (3: ou _ n ) )
{
new _ ou <- generate _ ou (0 , 1 , lambda [ i ] , n = ou _ sim _n , graph = need
_ graphs ) $ series
ou _ res <- rbind ( ou _ res , new _ ou )
29
}
}
# Making result of the same type as generate _ ou to reuse code :
viscosity , mean ,
# sigma arguments are not of resulting process , but its components
result <- list (
series = as . vector ( alpha % * % ou _ res ) ,
viscosity = m ,
mean = a ,
sigma = sigma ,
alpha = alpha ,
lambda = lambda
)
}
plot _ ou _ sim <- function ( ou , lag . max = 100) {
if ( is . null ( names ( ou ) ) ) {
series <- ou
m <- mean ( series )
} else {
series <- ou $ series
m <- ou $ mean
}
plot ( series , type = ’l ’ , xlab = ’t ’ , ylab = ’ OU ( t ) ’ ,
main = " OU simulation " )
}
plot _ ou _ info <- function ( ou , lag . max = 100 , label = " OU " ) {
if ( is . null ( names ( ou ) ) ) {
series <- ou
m <- mean ( series )
} else {
series <- ou $ series
m <- ou $ mean
30
}
plot ( series , type = ’l ’ , xlab = ’t ’ , ylab = ’ OU ( t ) ’ ,
main = " Simulation " )
abline ( h = m )
abline ( h = -m )
dev . print ( pdf , paste0 ( label , " _ sim . pdf " ) )
acf ( series , type = " correlation " , lag . max = lag . max ,
main = " Autocorrelation " )
dev . print ( pdf , paste0 ( label , " _ acf . pdf " ) )
}
ou _ 1 <- generate _ ou (0 , 1 , 0.3 , n = 1000 , graph = FALSE )
plot _ ou _ info ( ou _ 1 , label = " OU _ 1 _ lam _ 03 " )
ou _ 2 _ 1 <- generate _ ou _ n ( ou _ n =2 , ou _ sim _ n = 1000 , a = 0 , sigma = 1 , m =
0.1 , need _ graphs = FALSE , lambda _ min = 0.01 , lambda _ max = 0.1)
plot _ ou _ info ( ou _ 2 _ 1 , label = " OU _ 2 _ lam _ 001 _ 01 " )
ou _ 2 _ 2 <- generate _ ou _ n ( ou _ n =2 , ou _ sim _ n = 1000 , a = 0 , sigma = 1 , m =
0.1 , need _ graphs = FALSE , lambda _ min = 0.1 , lambda _ max = 1)
plot _ ou _ info ( ou _ 2 _ 2 , label = " OU _ 2 _ lam _ 01 _ 1 " )
ou _ 2 _ 3 <- generate _ ou _ n ( ou _ n =2 , ou _ sim _ n = 1000 , a = 0 , sigma = 1 , m =
0.1 , need _ graphs = FALSE , lambda _ min = 5 , lambda _ max = 20)
plot _ ou _ info ( ou _ 2 _ 3 , label = " OU _ 3 _ lam _ 5 _ 20 " )
31
Отзывы:
Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв