Ìèíèñòåðñòâî íàóêè è âûñøåãî îáðàçîâàíèÿ Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè
ÔÃÁÎÓ ÂÎ ¾ÑÃÓ èì. Ïèòèðèìà Ñîðîêèíà¿
Èíñòèòóò òî÷íûõ íàóê è èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé
Êàôåäðà ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ è êèáåðíåòèêè
ÍÅÈÇÎÒÅÐÌÈ×ÅÑÊÎÅ ÍÀÏÎÐÍÎÅ ÒÅ×ÅÍÈÅ
ÂßÇÊÎÉ ÆÈÄÊÎÑÒÈ
Âûïóñêíàÿ êâàëèôèêàöèîííàÿ ðàáîòà ïî íàïðàâëåíèþ ïîäãîòîâêè
02.03.01 Ìàòåìàòèêà è êîìïüþòåðíûå íàóêè
Âûïîëíèë
ñòóäåíò 149 ãðóïïû
À.Â. Íàäóòêèíà
Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü
ä.ô.-ì.í., äîöåíò
Í.À. Áåëÿåâà
Çàâåäóþùèé êàôåäðîé ÌÌèÊ
ê.ô.-ì.í., äîöåíò
Þ.Í. Áåëÿåâ
Ñûêòûâêàð 2020
Ñîäåðæàíèå
Ââåäåíèå
3
1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è
4
1.1. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Óðàâíåíèå ïåðåíîñà òåïëà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Áåçðàçìåðíàÿ ìîäåëü òå÷åíèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. ×èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷è
2.1. Äèñêðåòíàÿ ìîäåëü. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Àëãîðèòì ðåøåíèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
5
6
9
9
10
3. Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ
13
Çàêëþ÷åíèå
18
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
19
Ïðèëîæåíèå 1. Ãðàôèêè ðàñïðåäåëåíèÿ ñêîðîñòè è òåìïåðàòóðû òå÷åíèÿ
20
Ïðèëîæåíèå 2. Ïðîãðàììà ÷èñëåííîãî àëãîðèòìà
28
Íàäóòêèíà À.Â. Íåèçîòåðìè÷åñêîå íàïîðíîå òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè
3
Àííîòàöèÿ
Ïîñòðîåíà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü íåèçîòåðìè÷åñêîãî íàïîðíîãî òå÷åíèÿ âÿçêîé
æèäêîñòè â áåçðàçìåðíîì âèäå. Ðàçðàáîòàí àëãîðèòì íà îñíîâå ìåòîäà ïðîãîíêè è
ñîñòàâëåíà ïðîãðàììà ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ. Ïðèâîäÿòñÿ ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ è ïðîâåäåí ÷èñëåííûé àíàëèç ïðè âàðüèðîâàíèè ïàðàìåòðîâ.
Ââåäåíèå
Ãèäðîäèíàìèêà èçó÷àåò çàêîíû äâèæåíèÿ æèäêîñòåé. Ïðîöåññ ïîñòðîåíèÿ è èçó÷åíèÿ
ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé òå÷åíèé æèäêîñòåé â ðàçëè÷íûõ óñëîâèÿõ ÿâëÿåòñÿ âàæíîé çàäà÷åé ãèäðîäèíàìèêè. Ðàáîòà ñ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëüþ äàåò âîçìîæíîñòü èññëåäîâàòü
ïîâåäåíèå, ñâîéñòâà èçó÷àåìîãî îáúåêòà.
Öåëü ðàáîòû ïîñòðîåíèå ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè, îïèñûâàþùåé íåèçîòåðìè÷åñêîå
íàïîðíîå òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè ïî êàíàëó êðóãîâîãî ñå÷åíèÿ.
Çàäà÷è èññëåäîâàíèÿ:
• èçó÷èòü èñòî÷íèêè ëèòåðàòóðû ïî èññëåäóåìîé òåìå;
• îïðåäåëèòü â îáùåì âèäå ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ îïèñàíèÿ òå÷åíèÿ;
• ïðèâåñòè ôèçè÷åñêèå ïàðàìåòðû ñèñòåìû â áåçðàçìåðíûé âèä;
• ðàçðàáîòàòü àëãîðèòì ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ;
• ñîñòàâèòü ïðîãðàììó ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ;
• ïðîâåñòè ÷èñëåííûé ýêñïåðèìåíò;
• ïðîâåñòè ÷èñëåííûé àíàëèç áåçðàçìåðíîé ìîäåëè ïðè âàðüèðîâàíèè ïàðàìåòðîâ.
Ðàññìàòðèâàþòñÿ âÿçêèå æèäêîñòè, íàïðèìåð, íåôòÿíûå æèäêîñòè, ñîñóäèñòûå òå÷åíèÿ è òàê äàëåå. Ïîýòîìó èññëåäóåìàÿ ìîäåëü àêòóàëüíà äëÿ ìíîãèõ îáëàñòåé: òåõíè÷åñêàÿ, ìåäèöèíñêàÿ.
 ðàáîòàõ [1; 2; 3; 6] ïðåäñòàâëåíà ìîäåëü òå÷åíèÿ, êîòîðàÿ îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì
äâèæåíèÿ Íàâüå-Ñòîêñà [4] è óðàâíåíèåì ïåðåíîñà òåïëà [5].
Íàäóòêèíà À.Â. Íåèçîòåðìè÷åñêîå íàïîðíîå òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè
1.
4
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è
Ðàññìàòðèâàåòñÿ íåèçîòåðìè÷åñêîå íàïîðíîå òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè ïî êàíàëó êðóãîâîãî ñå÷åíèÿ, â êðóãëîé òðóáå [1; 2; 3; 6]. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ñòðîèòñÿ ïðè ñëåäóþùèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ: îñåñèììåòðè÷íîå òå÷åíèå ïî òðóáå ïðîèñõîäèò ïîä äåéñòâèåì
ïîñòîÿííîãî ãðàäèåíòà äàâëåíèÿ, íàïðàâëåííîãî âäîëü îñè òðóáû z :
p = p(z), b = −
dp
= const;
dz
(1.1)
ñ÷èòàåì îòëè÷íîé îò íóëÿ ëèøü îñåâóþ ñîñòàâëÿþùóþ ñêîðîñòè, çàâèñÿùóþ îò óäàëåíèÿ
r îò îñè òðóáû è âðåìåíè t:
V~ = (0, 0, V (r, t));
(1.2)
çàâèñèìîñòü âÿçêîñòè îò òåìïåðàòóðû T = T (r, t) çàäàåì â âèäå:
µ = µ(T ) = µ0 exp(−β(T − T0 )),
(1.3)
ãäå T0 òåìïåðàòóðà îêðóæàþùåé ñðåäû, µ0 çíà÷åíèå âÿçêîñòè ïðè T = T0 ; æèäêîñòü
íåñæèìàåìà, òî åñòü
ρ = const;
(1.4)
~ = 0 (â öèëèíäðè÷åâ ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå òå÷åíèÿ (1.2) óñëîâèå íåðàçðûâíîñòè div V
ñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò) âûïîëíÿåòñÿ:
1 ∂(r · 0) ∂0 ∂(r · V (r, t))
1 ∂(rVr ) ∂Vϕ ∂(rVz )
~
+
+
+
+
=
= 0.
(1.5)
div V =
r
∂r
∂ϕ
∂z
r
∂r
∂ϕ
∂z
Òå÷åíèå îïèñûâàåòñÿ óðàâ~ = 0, â äèôíåíèåì äâèæåíèÿ Íàâüå - Ñòîêñà, êîòîðîå ïðè óñëîâèè íåðàçðûâíîñòè div V
ôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðàõ, èìååò âèä [4]:
#
"
∂ V~
+ (V~ , ∇)V~ = − grad p + µ∆V~ + 2(grad µ, ∇)V~ + grad µ × rot V~ + ρF~ ,
(1.6)
ρ
∂t
1.1.
Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè.
~ âåêòîðíîå ïîëå ñêîðîñòè, t âðåìÿ, ∇ îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà, p
ãäå ρ ïëîòíîñòü, V
äàâëåíèå, µ êîýôôèöèåíò âÿçêîñòè, ∆ âåêòîðíûé îïåðàòîð Ëàïëàñà, rot âåêòîðíûé
äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð íàä âåêòîðíûì ïîëåì, F~ âåêòîðíîå ïîëå ìàññîâûõ ñèë.
Ðàñïèøåì ñëàãàåìûå óðàâíåíèÿ (1.6) â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (r, ϕ, z), ïðè
îòñóòñòâèè ìàññîâûõ ñèë F~ = 0:
∂
1
∂
∂
(V~ , ∇)V~ = Vr
+ Vϕ
+ Vz
(Vr e~r + Vϕ e~ϕ + Vz e~z ) =
∂r
r ∂ϕ
∂z
∂Vr 1 ∂Vr
∂Vr Vϕ2
1
∂Vϕ 1 ∂Vϕ
∂Vϕ
= Vr
+ Vϕ
+ Vz
−
e~r +
Vr Vϕ + Vr
+ Vϕ
+ Vz
e~ϕ +
∂r
r ∂ϕ
∂z
r
r
∂r
r
∂ϕ
∂z
∂Vz 1 ∂Vz
∂Vz
∂0 1
∂0
∂0 0
+ Vr
+ Vϕ
+ Vz
e~z = 0 ·
+ ·0·
+ V (r, t) ·
−
e~r +
∂r
r ∂ϕ
∂z
∂r r
∂ϕ
∂z r
1
∂0 1
∂0
∂0
+
·0+0·
+ ·0·
+ V (r, t) ·
e~ϕ +
r
∂r r
∂ϕ
∂z
∂V (r, t) 1
∂V (r, t)
∂V (r, t)
+ 0·
+ ·0·
+ V (r, t) ·
e~z ; ⇒ (V~ , ∇)V~ = (0, 0, 0);
∂r
r
∂ϕ
∂z
(1.7)
5
Íàäóòêèíà À.Â. Íåèçîòåðìè÷åñêîå íàïîðíîå òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè
ãðàäèåíò äàâëåíèÿ çàïèøåòñÿ
∂p 1 ∂p ∂p
dp
grad p =
,
,
; grad p = 0, 0,
; grad p = (0, 0, −b) ;
∂r r ∂ϕ ∂z
dz
(1.8)
âûðàæåíèå äëÿ îïåðàòîðà Ëàïëàñà îò ïîëÿ ñêîðîñòè èìååò âèä
Vϕ
Vr 2 ∂Vϕ
2 ∂Vr
~
, ∆Vϕ − 2 + 2
, ∆Vz = (0, 0, ∆Vz );
∆V = ∆Vr − 2 −
r
r ∂ϕ
r
r ∂ϕ
∂ 2 Vz
∂ 2V
1 ∂
∂V
1 ∂ 2 Vz ∂ 2 Vz 1 ∂Vz
1 ∂V
∆Vz =
; ∆Vz =
=
r
⇒
(1.9)
+ 2
+
+
+
∂r2
r ∂ϕ2
∂z 2
r ∂r
∂r2
r ∂r
r ∂r
∂r
1
∂V
∂µ
∂
1
∂µ
∂µ
µ∆V~ = 0, 0,
rµ(T )
; grad µ =
,
,
; grad µ = (0, 0, 0).
r ∂r
∂r
∂r r ∂ϕ ∂z
Ïðîåêöèÿ óðàâíåíèÿ Íàâüå-Ñòîêñà íà îñü z ñ ó÷åòîì ïðåîáðàçîâàíèé (1.7) − (1.9) ïðèíèìàåò âèä:
∂V
1 ∂
∂V
ρ
=
rµ(T )
+ b.
(1.10)
∂t
r ∂r
∂r
1.2.
Óðàâíåíèå ïåðåíîñà òåïëà.
cρ
∂T
+ V~ grad T
∂t
Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå ïåðåíîñà òåïëà [5]:
0
= div(κ grad T ) + σik
∂Vi
,
∂xk
(1.11)
~ âåêòîðíîå ïîëå ñêîðîñòè, grad ãðàäèåíò, div
ãäå T òåìïåðàòóðà, t âðåìÿ, V
0
äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð, îòîáðàæàþùèé âåêòîðíîå ïîëå íà ñêàëÿðíîå, σik òåíçîð
íàïðÿæåíèé; c òåïëîåìêîñòü, ρ ïëîòíîñòü æèäêîñòè, κ êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü ïîñòîÿííûìè.
 öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (r, ϕ, z) ïîëó÷àåì:
∂T
∂T 1 ∂T ∂T
,
,
, 0, 0 ; V~ grad T = 0;
=
grad T =
∂r r ∂ϕ ∂z
∂r
1 ∂
∂T
∂0 ∂0
1 ∂
∂T
div(grad T ) =
r
+
+
=
r
;
(1.12)
r ∂r
∂r
∂ϕ ∂z
r ∂r
∂r
1 ∂
∂T
div(κ grad T ) = κ
r
;
r ∂r
∂r
êîìïîíåíòû ñèììåòðè÷íîãî òåíçîðà íàïðÿæåíèé â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò:
∂Vϕ Vϕ
∂V
∂V
∂V
∂V
1
r
r
z
r
2µ
µ r
+
+ r
µ
+
∂r
∂ϕ
∂r
∂z
∂r
0
∂V
V
∂V
∂V
∂V
V
∂V
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
1
1
1
r
r
z
;
σik =
2µ r
+ r
µ
+r
µ r ∂ϕ + ∂r + r
∂ϕ
∂z
∂ϕ
∂V
∂V
∂V
∂V
∂V
ϕ
1
z +
r
µ
µ
+r z
2µ z
∂r
∂z
∂z
∂ϕ
∂z
0
⇒ 0
µ ∂Vz
∂r
0 µ ∂Vz
∂r
0
0 ;
0
0
Íàäóòêèíà À.Â. Íåèçîòåðìè÷åñêîå íàïîðíîå òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè
6
îäíà íåíóëåâàÿ êîìïîíåíòà
0
0
0
σik → σrz = σzr = µ(T )
∂Vz
∂V
= µ(T )
;
∂r
∂r
∂Vi
∂Vz
∂V
→
=
;
∂xk
∂r
∂r
2
∂V
0 ∂Vi
= µ(T )
.
σik
∂xk
∂r
(1.13)
Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé (1.12) (1.13) ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå:
∂T
1 ∂
cρ
=κ
∂t
r ∂r
2
∂T
∂V
r
+ µ(T )
.
∂r
∂r
(1.14)
Òàêèì îáðàçîì, èç óðàâíåíèé (1.10) è (1.14) ïîëó÷èì ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñêîðîñòè è òåìïåðàòóðû òå÷åíèÿ:
∂V
1 ∂
∂V
ρ
=
rµ(T )
+ b;
(1.15)
∂t
r ∂r
∂r
∂T
1
cρ
=κ
∂t
r
∂
∂r
2
∂T
∂V
r
+ µ(T )
;
∂r
∂r
(1.16)
ñ íà÷àëüíûìè:
V |t=0 = 0; T |t=0 = T0 ;
(1.17)
è ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè:
∂V
∂r
= 0;
r=0
∂T
∂r
= 0;
(1.18)
r=0
V |r=R = 0; T |r=R = T0 .
(1.19)
Ïðèâåäåì ñèñòåìó (1.15) (1.19) ê áåçðàçìåðíîìó âèäó. Îáåçðàçìåðèâàíèå íåîáõîäèìî äëÿ òîãî, ÷òîáû óïðîñòèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé, èñêëþ÷èâ ìíîæåñòâî ôèçè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ. Áåçðàçìåðíàÿ âåëè÷èíà ýòî âåëè÷èíà ñ ðàçìåðíîñòüþ åäèíèöà.
Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå (1.15), ïîëîæèì:
1.3.
Áåçðàçìåðíàÿ ìîäåëü òå÷åíèÿ.
θ = β(T − T0 ), [T − T0 ] = ãðàä, [β] =
1
ãðàä
, ⇒ [θ] =
,
ãðàä
ãðàä
⇒ θ áåçðàçìåðíàÿ âåëè÷èíà;
0 ≤ r ≤ R(: R), x =
r
ì
, ⇒ 0 ≤ x ≤ 1, ⇒ [x] = ,
R
ì
⇒ x áåçðàçìåðíàÿ âåëè÷èíà. Ðàçäåëèì îáå ÷àñòè (1.15) íà b è èñïîëüçóåì ïîëó÷åííûå
áåçðàçìåðíûå âåëè÷èíû, èìååì:
ρ ∂V
1
∂
∂
V µ0
=
xR exp(−θ)
+ 1;
b ∂t
xR ∂(xR)
∂(xR)
b
ρ ∂V
1 ∂
∂ V µ0
⇒
=
x exp(−θ)
+ 1.
b ∂t
x ∂x
∂x bR2
7
Íàäóòêèíà À.Â. Íåèçîòåðìè÷åñêîå íàïîðíîå òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè
Ïóñòü
u=
V µ0
êã × ñ
Ïà
êã
ì
êã
, [b] =
= 2
, [V ] = , [µ0 ] = Ïà × ñ =
=
, [R] = ì,
2
2
bR
ñ
ì×ñ
ì×ñ
ì
ì × ñ2
⇒ [u] =
ì × êã × ì2 × ñ2
,
ñ × ì × ñ × êã × ì2
⇒ u áåçðàçìåðíàÿ âåëè÷èíà, îòñþäà
V =
ubR2
;
µ0
òîãäà
ρ ∂V
ρ∂
=
b ∂t
b ∂t
2
ρR2 ∂u
êã
êã × ì2 × ì × ñ
ρR ∂u
=
, [ρ] = 3 ,
=
;
µ0 ∂t
ì
µ0 ∂t
ì3 × êã × ñ
ρR2 ∂u
1 ∂
∂u
⇒
=
x exp(−θ)
+ 1.
µ0 ∂t
x ∂x
∂x
ubR2
µ0
(1.20)
Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå (1.16):
1
∂T
1 ∂θ
θ + T0 , ⇒
=
;
β
∂t
β ∂t
2
1
1 ∂θ
∂
1 ∂θ
∂
ubR2
=κ
cρ
xR
+ µ0 exp(−θ)
;
β ∂t
xR ∂(xR)
β ∂(xR)
∂(xR)
µ0
2
κR ∂
cρ ∂θ
∂θ
b2 R4 ∂u
=
⇒
x
+ µ0 exp(−θ) 2 2
;
β ∂t
xR2 βR ∂x
∂x
µ0 R
∂x
2
κ
κ ∂
∂θ
b2 R 2
∂u
cρ ∂θ
; : 2
=
x
+
exp(−θ)
β ∂t
xR2 β ∂x
∂x
µ0
∂x
R β
2
cρR2 ∂θ
1 ∂
∂θ
b2 βR4
∂u
=
x
+
exp(−θ)
.
κ ∂t
x ∂x
∂x
κµ0
∂x
T =
Ïóñòü
κt
, τ ≥ 0;
(1.21)
cρR2
ì × êã
ì2
κt
ì × êã × ñ × ñ2 × ãðàä × ì3
[κ] = 3
, [t] = ñ, [c] = 2
, [τ ] =
=
,
ñ × ãðàä
ñ × ãðàä
cρR2
ñ3 × ãðàä × ì2 × êã × ì2
τ=
⇒ τ áåçðàçìåðíàÿ âåëè÷èíà;
∂θ
1 ∂
=
∂τ
x ∂x
îáîçíà÷èì:
2
∂θ
b2 βR4
∂u
x
+
exp(−θ)
;
∂x
κµ0
∂x
4 2
R4 βb2
R βb
ì4 × êã2 × ñ3 × ãðàä × ì × ñ
δ=
, [δ] =
=
,
κµ0
κµ0
ãðàä × ì4 × ñ4 × ì × êã × êã
⇒ δ áåçðàçìåðíàÿ âåëè÷èíà;
∂θ
1 ∂
⇒
=
∂τ
x ∂x
2
∂θ
∂u
x
+ δ exp(−θ)
.
∂x
∂x
(1.22)
Íàäóòêèíà À.Â. Íåèçîòåðìè÷åñêîå íàïîðíîå òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè
Èç âûðàæåíèÿ (1.21):
t=
8
cρR2 τ
.
κ
Ïîäñòàâëÿåì â (1.20):
ρR2
∂u
1 ∂
∂u
=
x exp(−θ)
+ 1;
cρR2 τ
µ0
x ∂x
∂x
∂
κ
κ ∂u
1 ∂
∂u
=
x exp(−θ)
+ 1;
cµ0 ∂τ
x ∂x
∂x
ïóñòü
κ
κ
ì × êã × ñ2 × ãðàä × ì × ñ
ε=
, [ε] =
=
,
cµ0
cµ0
ñ3 × ãðàä × ì2 × êã
⇒ ε áåçðàçìåðíàÿ âåëè÷èíà;
∂u
1 ∂
⇒ε
=
∂τ
x ∂x
∂u
x exp(−θ)
+ 1.
∂x
Èç óðàâíåíèé (1.22) (1.23) ïîëó÷èì ñèñòåìó áåçðàçìåðíûõ óðàâíåíèé:
1 ∂
∂u
∂u
=
x exp(−θ)
+ 1;
ε
∂τ
x ∂x
∂x
1 ∂
∂θ
=
∂τ
x ∂x
2
∂θ
∂u
;
x
+ δ exp(−θ)
∂x
∂x
(1.23)
(1.24)
(1.25)
ñ íà÷àëüíûìè:
u|τ =0 = 0; θ|τ =0 = 0;
(1.26)
è ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè:
∂u
∂x
= 0;
x=0
∂θ
∂x
= 0;
(1.27)
x=0
u|x=1 = 0; θ|x=1 = 0;
(1.28)
ãäå u áåçðàçìåðíàÿ ñêîðîñòü, θ áåçðàçìåðíàÿ òåìïåðàòóðà, x áåçðàçìåðíàÿ ïðîñòðàíñòâåííàÿ êîîðäèíàòà, τ áåçðàçìåðíîå âðåìÿ, ε è τ áåçðàçìåðíûå ïàðàìåòðû
æèäêîñòè.
Íàäóòêèíà À.Â. Íåèçîòåðìè÷åñêîå íàïîðíîå òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè
2.
9
×èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷è
2.1.
Äèñêðåòíàÿ ìîäåëü.
Äëÿ òîãî, ÷òîáû îïèñàòü ìîäåëü (1.24) (1.28) ñ ïîìîùüþ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ, íåîáõîäèìî çàìåíèòü îáëàñòü íåïðåðûâíîãî èçìåíåíèÿ îáëàñòüþ
äèñêðåòíîãî, òî åñòü ïåðåéòè îò íåïðåðûâíîé ìîäåëè ê äèñêðåòíîé. Äëÿ ýòîãî íóæíî ðàçáèòü îñåâîé è âðåìåííîé îòðåçêè, ââåñòè ðàçíîñòíóþ ñõåìó. Ïîñëå îñóùåñòâëåíèÿ òàêîé
ïðîöåäóðû ìû ïðèõîäèì ê àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìå óðàâíåíèé [7].
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî ôóíêöèé äâóõ àðãóìåíòîâ (x, τ ).  êà÷åñòâå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ âîçüìåì ïðÿìîóãîëüíèê:
D = 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ τ ≤ tmax .
Ðàçîáüåì îòðåçêè [0, 1] íà îñè õ è [0, tmax ] íà îñè τ íà n è m ÷àñòåé ñîîòâåòñòâåííî. ×åðåç òî÷êè äåëåíèÿ ïðîâîäèì ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå ñîîòâåòñòâóþùèì îñÿì.  ðåçóëüòàòå ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ïðÿìûõ ïîëó÷àåì óçëû (xi , τj ), êîòîðûå îáðàçóþò ïðîñòðàíñòâåííîâðåìåííóþ ñåòêó:
0 = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = 1,
xi+1 − xi = ∆x, i ∈ 0..n;
τj = j∆τ ≥ 0, ∆τ = τj+1 − τj , j ∈ 0..m
âðåìåííîé øàã.
Äëÿ óðàâíåíèÿ (1.24) çàìåíèì ïðîèçâîäíûå ñëåäóþùèìè ðàçíîñòíûìè ñîîòíîøåíèÿìè:
ui,j − ui,j−1
∂u
≈
;
∂τ
∆τ
ui+1,j − ui,j
∂u
≈
;
∂x
∆x
∂θ
θi+1,j−1 − θi,j−1
≈
;
∂x
∆x
∂ 2u
ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j
≈
.
∂x2
∆x2
Àíàëîãè÷íî, äëÿ óðàâíåíèÿ (1.25) çàìåíèì ïðîèçâîäíûå ðàçíîñòíûìè ñîîòíîøåíèÿìè:
θi,j − θi,j−1
∂θ
≈
;
∂τ
∆τ
∂θ
θi+1,j − θi,j
≈
;
∂x
∆x
∂ 2θ
θi+1,j − 2θi,j + θi−1,j
≈
;
2
∂x
∆x2
∂u
ui+1,j − ui,j
≈
;
∂x
∆x
2
u2i+1,j − 2ui+1,j ui,j + u2i,j
∂u
.
≈
∂x
∆x2
Òàêèì îáðàçîì, íåïðåðûâíàÿ ìîäåëü (1.24) (1.28) ïðåîáðàçóåòñÿ â äèñêðåòíóþ ìîäåëü:
ui,j − ui,j−1
1
ui+1,j − ui,j
θi+1,j−1 − θi,j−1
ε
=
exp(−θi,j−1 )
− xi exp(−θi,j−1 )
·
∆τ
xi
∆x
∆x
ui+1,j − ui,j
ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j
+ xi exp(−θi,j−1 )
+ 1;
·
∆x
∆x2
(2.1)
Íàäóòêèíà À.Â. Íåèçîòåðìè÷åñêîå íàïîðíîå òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè
10
1 θi+1,j − θi,j
θi+1,j − 2θi,j + θi−1,j
θi,j − θi,j−1
=
+ xi
+
∆τ
xi
∆x
∆x2
2
ui+1,j − 2ui+1,j ui,j + u2i,j
+ δ exp(−θi,j−1 )
;
∆x2
(2.2)
ui,0 = 0, θi,0 = 0;
(2.3)
ñ íà÷àëüíûìè:
è ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè:
∂u
∂x
≈
x=0
∂θ
∂x
≈
x=0
ui+1,j − ui,j
∆x
x=0
θi+1,j − θi,j
∆x
x=0
= 0 ⇒ u1,j = u0,j ;
(2.4)
= 0 ⇒ θ1,j = θ0,j ;
(2.5)
un,j = 0, θn,j = 0.
2.2.
Àëãîðèòì ðåøåíèÿ.
(2.6)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü (2.1) (2.6) ðåøàåòñÿ ÷èñëåííî
ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ïðîãîíêè.
Âûïîëíèì íåêîòîðûå ïðåîáðàçîâàíèÿ äëÿ (2.1):
ui+1,j − ui,j
∆τ
exp(−θi,j−1 )
− xi exp(−θi,j−1 )·
ui,j − ui,j−1 =
xi ε
∆x
θi+1,j−1 ui+1,j − θi+1,j−1 ui,j − θi,j−1 ui+1,j + θi,j−1 ui,j
+
·
∆x2
ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j
∆τ
;
+ xi exp(−θi,j−1 )
+
2
∆x
ε
∆τ
∆τ
ui,j 1 +
exp(−θi,j−1 ) (∆x − xi θi+1,j−1 + xi θi,j−1 + 2xi ) = ui+1,j
exp(−θi,j−1 )·
2
xi ∆x ε
xi ∆x2 ε
∆τ
∆τ
· (∆x − xi θi+1,j−1 + xi θi,j−1 + xi ) +
exp(−θi,j−1 )ui−1,j xi + ui,j−1 +
.
2
xi ∆x ε
ε
Ââîäèì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
gi,j−1 = ui,j−1 +
∆τ
;
ε
çíà÷åíèÿ ôóíêöèè θi,j áåðåì ñ ïðåäûäóùåãî ñëîÿ j − 1, òàê êàê îíè íåèçâåñòíû:
1
kθ,j−1
= exp(−θi,j−1 );
2
kθ,j−1
= ∆x − xi θi+1,j−1 + xi θi,j−1 + xi .
Ïîñëå ïîëó÷àåì:
ui,j
1
2
1
2
(kθ,j−1
+ xi )
kθ,j−1
∆τ kθ,j−1
∆τ kθ,j−1
=
u
+
1+
i+1,j
ε
xi ∆x2
ε
xi ∆x2
1
xi
∆τ kθ,j−1
+ui−1,j
+ gi,j−1 .
ε xi ∆x2
(2.7)
Äëÿ íàõîæäåíèÿ ñåòî÷íîãî çíà÷åíèÿ ôóíêöèè ui,j ïî ôîðìóëå (2.7) èñïîëüçóåì ïðîãîíî÷íóþ ôîðìóëó:
ui+1,j = Ei+1 ui,j + Fi+1,j ,
(2.8)
Íàäóòêèíà À.Â. Íåèçîòåðìè÷åñêîå íàïîðíîå òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè
11
ãäå Ei+1 , Fi+1,j ïðîãîíî÷íûå êîýôôèöèåíòû. Ïîäñòàâèì (2.8) â (2.7) è ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ èñêîìîé ôóíêöèè ui,j â ñëåäóþùåì âèäå:
ui,j = ui−1,j
1
∆τ kθ,j−1
xi
+
2
2
1
)
εxi ∆x2 + ∆τ kθ,j−1 (kθ,j−1 + xi − Ei+1 kθ,j−1
1
2
Fi+1,j ∆τ kθ,j−1
kθ,j−1
+ εxi ∆x2 gi,j−1
+
.
1
2
2
εxi ∆x2 + ∆τ kθ,j−1
(kθ,j−1
+ xi − Ei+1 kθ,j−1
)
(2.9)
Âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäñòâèåì ïðîãîíî÷íîé ôîðìóëû:
ui,j = Ei ui−1,j + Fi,j
(2.10)
è èç (2.9) ïîëó÷èì âûðàæåíèÿ äëÿ ïðîãîíî÷íûõ êîýôôèöèåíòîâ Ei , Fi,j , êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò ðåêóððåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ:
Ei =
Fi,j =
1
∆τ kθ,j−1
xi
;
1
2
2
εxi ∆x2 + ∆τ kθ,j−1 (kθ,j−1 + xi − Ei+1 kθ,j−1
)
1
2
Fi+1,j ∆τ kθ,j−1
kθ,j−1
+ εxi ∆x2 gi,j−1
.
1
2
2
εxi ∆x2 + ∆τ kθ,j−1
(kθ,j−1
+ xi − Ei+1 kθ,j−1
)
(2.11)
(2.12)
Ïðåîáðàçóåì (2.2):
θi+1,j − θi,j
θi+1,j − 2θi,j + θi−1,j
θi,j − θi,j−1
+ xi
+
∆x
∆x2
2
ui+1,j − 2ui+1,j ui,j + u2i,j
+δ∆τ exp(−θi,j−1 )
;
∆x2
∆τ
∆τ
(∆x + 2xi ) = θi+1,j
(∆x + xi )+
θi,j 1 +
2
xi ∆x
xi ∆x2
∆τ
∆τ
+θi−1,j
xi + θi,j−1 +
δ exp(−θi,j−1 )(u2i+1,j − 2ui+1,j ui,j + u2i,j ).
2
xi ∆x
∆x2
Ââåäåì îáîçíà÷åíèå:
∆τ
=
xi
hi,j−1 = θi,j−1 +
è ïîëó÷àåì:
∆τ 1
δkθ,j−1 (u2i+1,j − 2ui+1,j ui,j + u2i,j );
2
∆x
∆τ
∆τ
(∆x + 2xi ) = θi+1,j
(∆x + xi )+
θi,j 1 +
2
xi ∆x
xi ∆x2
(2.13)
∆τ
+θi−1,j
xi + hi,j−1 .
xi ∆x2
Âîñïîëüçóåìñÿ ïðîãîíî÷íîé ôîðìóëîé äëÿ íàõîæäåíèÿ ñåòî÷íîãî çíà÷åíèÿ ôóíêöèè θi,j :
θi+1,j = Gi+1 θi,j + Hi+1,j ,
(2.14)
ãäå Gi+1 , Hi+1,j ïðîãîíî÷íûå êîýôôèöèåíòû. Ïîäñòàâèì (2.14) â (2.13) è ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ èñêîìîé ôóíêöèè θi,j :
∆τ xi
+
xi
+ ∆τ (∆x + 2xi − Gi+1 (∆x + xi ))
Hi+1,j ∆τ (∆x + xi ) + xi ∆x2 hi,j−1
+
.
xi ∆x2 + ∆τ (∆x + 2xi − Gi+1 (∆x + xi ))
θi,j = θi−1,j
∆x2
(2.15)
12
Íàäóòêèíà À.Â. Íåèçîòåðìè÷åñêîå íàïîðíîå òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè
Èç (2.14) ñëåäóåò:
θi,j = Gi θi−1,j + Hi,j ;
(2.16)
òîãäà ïîëó÷àåì âûðàæåíèÿ äëÿ ïðîãîíî÷íûõ êîýôôèöèåíòîâ Gi , Hi,j :
Gi =
∆τ xi
;
xi ∆x2 + ∆τ (∆x + 2xi − Gi+1 (∆x + xi ))
(2.17)
Hi,j =
Hi+1,j ∆τ (∆x + xi ) + xi ∆x2 hi,j−1
.
xi ∆x2 + ∆τ (∆x + 2xi − Gi+1 (∆x + xi ))
(2.18)
Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ (2.3) ïîçâîëÿþò îïðåäåëèòü ñåòî÷íûå çíà÷åíèÿ â íóëåâîì ñëîå:
ui,0 = 0, θi,0 = 0.
(2.19)
 êàæäîé òî÷êå j - ãî ñëîÿ, äâèãàÿñü ñïðàâà íàëåâî (îò i ê i − 1) îïðåäåëÿåì ïðîãîíî÷íûå êîýôôèöèåíòû ñ ó÷åòîì ïðàâîãî ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ (2.6), èç ïðîãîíî÷íûõ ôîðìóë
ïîëó÷àåì:
un,j = En un−1,j + Fn,j ;
θn,j = Gn θn−1,j + Hn,j ;
ñëåäîâàòåëüíî,
En = 0, Fn,j = 0;
(2.20)
Gn = 0, Hn,j = 0.
(2.21)
Äâèãàÿñü ñëåâà íàïðàâî, ñ ó÷åòîì ëåâîãî ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ (2.4)(2.5), èç ïðîãîíî÷íûõ
ôîðìóë íàõîäèì:
u1,j = E1 u0,j + F1,j ;
θ1,j = G1 θ0,j + H1,j ;
îòêóäà
F1,j
;
1 − E1
H1,j
=
.
1 − G1
u0,j =
(2.22)
θ0,j
(2.23)
Íàäóòêèíà À.Â. Íåèçîòåðìè÷åñêîå íàïîðíîå òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè
3.
13
Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ
Çàäà÷à ÷èñëåííîãî ýêñïåðèìåíòà ñîñòîÿëà â îïðåäåëåíèè îïòèìàëüíûõ çíà÷åíèé n
(÷èñëà òî÷åê ðàçáèåíèÿ ïî îñè x), m (÷èñëà òî÷åê ðàçáèåíèÿ ïî îñè τ ), ïðè êîòîðûõ
òå÷åíèå óñòàíàâëèâàåòñÿ, ñòàíîâèòñÿ ñòàöèîíàðíûì, à òàêæå â îïðåäåëåíèè âëèÿíèÿ ε, δ
áåçðàçìåðíûõ ïàðàìåòðîâ æèäêîñòè íà òå÷åíèå.  ïðèëîæåíèè 1 ïðåäñòàâëåíû íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ äëÿ íåèçîòåðìè÷åñêîãî íàïîðíîãî òå÷åíèÿ
âÿçêîé æèäêîñòè. Ëèñòèíã ïðîãðàììû ïðåäñòàâëåí â ïðèëîæåíèè 2. Ïðîãðàììà ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ âûïîëíåíà íà ÿçûêå C# â ñðåäå ðàçðàáîòêè Visual Studio.
Ñíà÷àëà îïðåäåëÿåì áàçîâûé ãðàôèê (ðèñ. 1), îòíîñèòåëüíî êîòîðîãî áóäóò ïðîâîäèòüñÿ ýêñïåðèìåíòû. Íà ðèñ. 1 èçîáðàæåíû êðèâûå ðàñïðåäåëåíèÿ ñêîðîñòè u(x, τ ) è
òåìïåðàòóðû θ(x, τ ) íåèçîòåðìè÷åñêîãî íàïîðíîãî òå÷åíèÿ âÿçêîé æèäêîñòè ïðè ñëåäóþùèõ âõîäíûõ äàííûõ: n = 100, m = 100, tmax = 30, ε = 1, δ = 0.1; êðèâûå ïîñòðîåíû
â ñëåäóþùèå ìîìåíòû âðåìåíè: 1(τ = 0.3), 2(τ = 0.9), 3(1.8), 4(2.7), 5(3.6). Êðèâàÿ 4 íà
ðèñ. 1 ñîîòâåòñòâóåò ñòàöèîíàðíîìó ðåæèìó, òî åñòü ïîñëåäóþùèå êðèâûå (ïðè τ ≥ 2.7)
ñîâïàäàþò ñ êðèâîé 4 è íå çàâèñÿò îò âðåìåíè, òå÷åíèå óñòàíàâëèâàåòñÿ.
Ðèñóíîê 1. Ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîå ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòè u(x, τ ) è
òåìïåðàòóðû θ(x, τ ): 1(τ =0.3), 2(0.9), 3(1.8), 4(2.7), 5(3.6)
Òåïåðü îïðåäåëÿåì îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå n, ñ ïîìîùüþ ýêñïåðèìåíòîâ. Íåîáõîäèìî
âàðüèðîâàòü n äî òåõ ïîð, ïîêà êðèâûå íå ïåðåñòàíóò ìåíÿòüñÿ, ïðè ýòîì îñòàëüíûå ïàðàìåòðû îñòàâëÿåì íåèçìåííûìè: m = 100, tmax = 30, ε = 1, δ = 0.1. Êàê âèäíî èç ðèñ. 2
è ðèñ. 9-14, ïðè n = 700 êðèâûå óæå ïðàêòè÷åñêè íå èçìåíÿþòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, äàííîãî
÷èñëà òî÷åê ðàçáèåíèÿ ïî îñè x äîñòàòî÷íî. Êðèâàÿ 4 íà ðèñ. 2, ðèñ. 9-14 ñîîòâåòñòâóåò
ñòàöèîíàðíîìó ðåæèìó ïðè τ = 2.7.
Íàäóòêèíà À.Â. Íåèçîòåðìè÷åñêîå íàïîðíîå òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè
14
Ðèñóíîê 2. Ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîå ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòè u(x, τ ) è
òåìïåðàòóðû θ(x, τ ): 1(τ =0.3), 2(0.9), 3(1.8), 4(2.7), 5(3.6); n=700
Äàëåå, ðèñ. 3 è ðèñ. 15-23, âàðüèðóåì m è ñìîòðèì ìåíÿþòñÿ ëè ãðàôèêè â òå æå
ìîìåíòû âðåìåíè. Íà ðèñ. 3 è ðèñ. 15-23 âèäíî, ÷òî êðèâàÿ 3 ñîîòâåòñòâóåò ñòàöèîíàðíîìó
ðåæèìó ïðè τ = 1.8. Ñ óâåëè÷åíèåì m èçìåíÿþòñÿ ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ êðèâûõ. Ïðè
m = 9000 (ðèñ. 3) êðèâûå ïåðåñòàþò êà÷åñòâåííî èçìåíÿòüñÿ. Òàêèì îáðàçîì, m = 9000
ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì çíà÷åíèåì.
Ðèñóíîê 3. Ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîå ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòè u(x, τ ) è
òåìïåðàòóðû θ(x, τ ): 1(τ =0.3), 2(0.9), 3(1.8), 4(2.7), 5(3.6); m=9000
Èçìåíÿåì áåçðàçìåðíûé ïàðàìåòð ε, ðèñ. 4-6. Ïðè ε = 0.001 êðèâûå ñòàíîâÿòñÿ áîëåå
Íàäóòêèíà À.Â. Íåèçîòåðìè÷åñêîå íàïîðíîå òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè
15
êðóòûìè, â ìîìåíò âðåìåíè τ = 0.3 ñêîðîñòü óñòàíàâëèâàåòñÿ, à òåìïåðàòóðà ïåðåñòàåò
ìåíÿòüñÿ ïðè τ = 2.1.
Ðèñóíîê 4. Ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîå ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòè u(x, τ ) è
òåìïåðàòóðû θ(x, τ ): 1(τ =0.3), 2(0.9), 3(1.5), 4(2.1), 5(2.7); ε=0.001
Åñëè ε = 0.1 (ðèñ. 5) ïðè τ = 0.9 ñêîðîñòü óñòàíàâëèâàåòñÿ, êðèâàÿ 2, à òåìïåðàòóðà
ïåðåñòàåò ìåíÿòüñÿ â ìîìåíò âðåìåíè τ = 2.1. Òî åñòü, ïðè óìåíüøåíèè ε êðèâûå âûõîäÿò
íà òîò æå ñòàöèîíàð áûñòðåå è óâåëè÷èâàåòñÿ êðèâèçíà.
Ðèñóíîê 5. Ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîå ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòè u(x, τ ) è
òåìïåðàòóðû θ(x, τ ): 1(τ =0.3), 2(0.9), 3(1.5), 4(2.1), 5(2.7); ε=0.1
Íàäóòêèíà À.Â. Íåèçîòåðìè÷åñêîå íàïîðíîå òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè
16
Ïðè ε = 10 êðèâûå òàêæå âûõîäÿò íà òîò æå ñòàöèîíàðíûé ðåæèì, íî ïîçæå, â ìîìåíò
âðåìåíè τ = 12. Âíåøíèé âèä êðèâûõ ïðè âàðüèðîâàíèè ïàðàìåòðà ε çíà÷èòåëüíî íå
èçìåíÿåòñÿ.
Ðèñóíîê 6. Ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîå ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòè u(x, τ ) è
òåìïåðàòóðû θ(x, τ ): 1(τ =1.5), 2(3), 3(6), 4(9), 5(12), 6(13.5); ε=10
Áåçðàçìåðíûé ïàðàìåòð δ îêàçûâàåò ïðÿìîå âëèÿíèå íà òåìïåðàòóðó ïðîöåññà, ñîîòâåòñòâåííî èçìåíÿþòñÿ ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ, ÷òî âèäíî ïî ðèñ. 7-8. Ïðè δ = 0.001 (ðèñ.
7) ñêîðîñòü òå÷åíèÿ óñòàíàâëèâàåòñÿ â ìîìåíò âðåìåíè τ = 2.1 (êðèâàÿ 4), òåìïåðàòóðà
âûõîäèò íà ñòàöèîíàð ïðè τ = 2.7. Ïðè óâåëè÷åíèè δ , ñêîðîñòü è òåìïåðàòóðà áûñòðåå
âûõîäÿò íà ñòàöèîíàðíûé ðåæèì, ïðè τ = 1.5 è τ = 2.1 ñîîòâåòñòâåííî.
Íàäóòêèíà À.Â. Íåèçîòåðìè÷åñêîå íàïîðíîå òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè
17
Ðèñóíîê 7. Ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîå ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòè u(x, τ ) è
òåìïåðàòóðû θ(x, τ ): 1(τ =0.3), 2(0.9), 3(1.5), 4(2.1), 5(2.7), 6(3.3); δ =0.001
Ðèñóíîê 8. Ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîå ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòè u(x, τ ) è
òåìïåðàòóðû θ(x, τ ): 1(τ =0.3), 2(0.9), 3(1.5), 4(2.1), 5(2.7); δ =10
Íà ðèñ. 1-23 êðèâûå ñêîðîñòè ìîíîòîííî óáûâàþò, ñâîå ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå äîñòèãàþò íà îñè ñèììåòðèè òðóáû x = 0. Íà ñòåíêå òðóáû, ïðè x = 1, ñêîðîñòü è òåìïåðàòóðà
ðàâíû íóëþ, òåì ñàìûì âûïîëíÿþòñÿ ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ïðèëèïàíèÿ.
Òàêèì îáðàçîì, íà ðèñ. 1-23 ïðåäñòàâëåíû íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ.
Íàäóòêèíà À.Â. Íåèçîòåðìè÷åñêîå íàïîðíîå òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè
18
Çàêëþ÷åíèå
Òàêèì îáðàçîì, â ðàáîòå èññëåäîâàíà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü íåèçîòåðìè÷åñêîãî íàïîðíîãî òå÷åíèÿ âÿçêîé æèäêîñòè. Ñîñòàâëåí àëãîðèòì ÷èñëåííîãî ðàñ÷åòà, îñíîâàííûé
íà ìåòîäå ïðîãîíêè è ïðîãðàììà ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ, âûïîëíåííàÿ íà ÿçûêå C#. Ïðîâåäåíû ÷èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû ïðè âàðüèðîâàíèè ïàðàìåòðîâ çàäà÷è.
Ðåçóëüòàòû ðàáîòû áûëè ïðåäñòàâëåíû íà êîíôåðåíöèÿõ: 3-ÿ Íàöèîíàëüíàÿ (Âñåðîññèéñêàÿ) íàó÷íî-ïðàêòè÷åñêàÿ êîíôåðåíöèÿ ¾Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå è èíôîðìàöèîííûå òåõíîëîãèè¿ (Ñûêòûâêàð, 2019); Íàöèîíàëüíàÿ êîíôåðåíöèÿ XXVII ãîäè÷íîé
ñåññèè Ó÷åíîãî ñîâåòà (Ôåâðàëüñêèå ÷òåíèÿ-2020), ïîñâÿùåííîé ãîäîâùèíå ïîáåäû â Âåëèêîé Îòå÷åñòâåííîé âîéíå (Ñûêòûâêàð, 2020) è îïóáëèêîâàíû â îòêðûòîé ïå÷àòè [1], [2],
[3].
Íàäóòêèíà À.Â. Íåèçîòåðìè÷åñêîå íàïîðíîå òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè
19
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1]
[2]
[3]
Áåëÿåâà Í.À., Íàäóòêèíà À.Â. Íåèçîòåðìè÷åñêîå íàïîðíîå òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè ïî êàíàëó êðóãîâîãî ñå÷åíèÿ//Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå è èíôîðìàöèîííûå
òåõíîëîãèè: Íàöèîíàëüíàÿ (Âñåðîññèéñêàÿ) íàó÷íàÿ êîíôåðåíöèÿ (79 íîÿáðÿ 2019 ã.,
ã. Ñûêòûâêàð): ñáîðíèê ìàòåðèàëîâ. Ñûêòûâêàð: Èçäàòåëüñòâî ÑÃÓ èì. Ïèòèðèìà
Ñîðîêèíà. 2019. Ñ. 8.
Íåèçîòåðìè÷åñêîå òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè//Âåñòíèê Ñûêòûâêàðñêîãî óíèâåðñèòåòà. Ñåðèÿ 1: Ìàòåìàòèêà. Ìåõàíèêà. Èíôîðìàòèêà. Âûï. 32. 2019. Ñ. 20-30.
Áåëÿåâà
Í.À.,
Íàäóòêèíà
À.Â.
Íàäóòêèíà À.Â., Áåëÿåâà Í.À. Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå íåèçîòåðìè÷åñêîãî
òå÷åíèÿ âÿçêîé æèäêîñòè//Íàöèîíàëüíàÿ êîíôåðåíöèÿ XXVII ãîäè÷íîé ñåññèè Ó÷åíîãî ñîâåòà (Ôåâðàëüñêèå ÷òåíèÿ 2020), ïîñâÿùåííîé ãîäîâùèíå ïîáåäû â Âåëèêîé
Îòå÷åñòâåííîé âîéíå: ñáîðíèê ìàòåðèàëîâ. 2020. Ïðèíÿòî ê ïóáëèêàöèè.
[4]
Áåëÿåâà Í.À.
Îñíîâû ãèäðîäèíàìèêè â ìîäåëÿõ: ó÷åáíîå ïîñîáèå. Ñûêòûâêàð: Èçäâî Ñûêòûâêàðñêîãî ãîñóíèâåðñèòåòà. 2011. 147 ñ.
[5]
Áåëÿåâà Í.À.
[6]
Õóäÿåâ Ñ.È.
[7]
Ñàìàðñêèé À.À.
Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå: ó÷åáíîå ïîñîáèå. Ñûêòûâêàð: Èçä-âî
Ñûêòûâêàðñêîãî ãîñóíèâåðñèòåòà. 2014. 116 ñ.
ñ.
Ïîðîãîâûå ÿâëåíèÿ â íåëèíåéíûõ óðàâíåíèÿõ. Ì.: Ôèçìàòëèò. 2003. 272
Òåîðèÿ ðàçíîñòíûõ ñõåì: ó÷åáíîå ïîñîáèå. Ì.: Íàóêà. 1977. 656 ñ.
Íàäóòêèíà À.Â. Íåèçîòåðìè÷åñêîå íàïîðíîå òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè
20
Ïðèëîæåíèå 1. Ãðàôèêè ðàñïðåäåëåíèÿ ñêîðîñòè è òåìïåðàòóðû
òå÷åíèÿ
Ðèñóíîê 9. Ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîå ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòè u(x, τ ) è
òåìïåðàòóðû θ(x, τ ): 1(τ =0.3), 2(0.9), 3(1.8), 4(2.7), 5(3.6); n=200
Ðèñóíîê 10. Ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîå ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòè u(x, τ ) è
òåìïåðàòóðû θ(x, τ ): 1(τ =0.3), 2(0.9), 3(1.8), 4(2.7), 5(3.6); n=300
Íàäóòêèíà À.Â. Íåèçîòåðìè÷åñêîå íàïîðíîå òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè
Ðèñóíîê 11. Ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîå ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòè u(x, τ ) è
òåìïåðàòóðû θ(x, τ ): 1(τ =0.3), 2(0.9), 3(1.8), 4(2.7), 5(3.6); n=400
Ðèñóíîê 12. Ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîå ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòè u(x, τ ) è
òåìïåðàòóðû θ(x, τ ): 1(τ =0.3), 2(0.9), 3(1.8), 4(2.7), 5(3.6); n=500
21
Íàäóòêèíà À.Â. Íåèçîòåðìè÷åñêîå íàïîðíîå òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè
Ðèñóíîê 13. Ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîå ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòè u(x, τ ) è
òåìïåðàòóðû θ(x, τ ): 1(τ =0.3), 2(0.9), 3(1.8), 4(2.7), 5(3.6); n=600
Ðèñóíîê 14. Ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîå ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòè u(x, τ ) è
òåìïåðàòóðû θ(x, τ ): 1(τ =0.3), 2(0.9), 3(1.8), 4(2.7), 5(3.6); n=710
22
Íàäóòêèíà À.Â. Íåèçîòåðìè÷åñêîå íàïîðíîå òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè
Ðèñóíîê 15. Ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîå ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòè u(x, τ ) è
òåìïåðàòóðû θ(x, τ ): 1(τ =0.3), 2(0.9), 3(1.8), 4(2.7), 5(3.6); m=200
Ðèñóíîê 16. Ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîå ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòè u(x, τ ) è
òåìïåðàòóðû θ(x, τ ): 1(τ =0.3), 2(0.9), 3(1.8), 4(2.7), 5(3.6); m=300
23
Íàäóòêèíà À.Â. Íåèçîòåðìè÷åñêîå íàïîðíîå òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè
Ðèñóíîê 17. Ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîå ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòè u(x, τ ) è
òåìïåðàòóðû θ(x, τ ): 1(τ =0.3), 2(0.9), 3(1.8), 4(2.7), 5(3.6); m=400
Ðèñóíîê 18. Ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîå ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòè u(x, τ ) è
òåìïåðàòóðû θ(x, τ ): 1(τ =0.3), 2(0.9), 3(1.8), 4(2.7), 5(3.6); m=500
24
Íàäóòêèíà À.Â. Íåèçîòåðìè÷åñêîå íàïîðíîå òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè
Ðèñóíîê 19. Ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîå ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòè u(x, τ ) è
òåìïåðàòóðû θ(x, τ ): 1(τ =0.3), 2(0.9), 3(1.8), 4(2.7), 5(3.6); m=1000
Ðèñóíîê 20. Ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîå ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòè u(x, τ ) è
òåìïåðàòóðû θ(x, τ ): 1(τ =0.3), 2(0.9), 3(1.8), 4(2.7), 5(3.6); m=1500
25
Íàäóòêèíà À.Â. Íåèçîòåðìè÷åñêîå íàïîðíîå òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè
Ðèñóíîê 21. Ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîå ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòè u(x, τ ) è
òåìïåðàòóðû θ(x, τ ): 1(τ =0.3), 2(0.9), 3(1.8), 4(2.7), 5(3.6); m=2000
Ðèñóíîê 22. Ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîå ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòè u(x, τ ) è
òåìïåðàòóðû θ(x, τ ): 1(τ =0.3), 2(0.9), 3(1.8), 4(2.7), 5(3.6); m=5000
26
Íàäóòêèíà À.Â. Íåèçîòåðìè÷åñêîå íàïîðíîå òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè
Ðèñóíîê 23. Ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîå ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòè u(x, τ ) è
òåìïåðàòóðû θ(x, τ ): 1(τ =0.3), 2(0.9), 3(1.8), 4(2.7), 5(3.6); m=10000
27
Íàäóòêèíà À.Â. Íåèçîòåðìè÷åñêîå íàïîðíîå òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè
28
Ïðèëîæåíèå 2. Ïðîãðàììà ÷èñëåííîãî àëãîðèòìà
using
using
using
using
using
using
using
using
using
System;
System.Collections.Generic;
System.ComponentModel;
System.Data;
System.Drawing;
System.Linq;
System.Text;
System.Threading.Tasks;
System.Windows.Forms;
namespace Òå÷åíèå_âÿçêîé_æèäêîñòè_ïî_êàíàëó_êðóãîâîãî_ñå÷åíèÿ
{
public partial class Form1 : Form
{
Boolean Ëèíèÿ1, Ëèíèÿ2; // îòîáðàæàòü ëè ãðàôèêè â âèäå ëèíèé
int k;// êîëè÷åñòâî êðèâûõ äëÿ ïîñòðîåíèÿ
(çàâèñèò îò êîë-âà ââåäåííûõ j)
public Form1()
{
InitializeComponent();
}
private void Form1_Load(object sender, EventArgs e)
{
//äîáàâëåíèå ïîäïèñåé ê îñÿì ãðàôèêà
graph1.ChartAreas[0].AxisX.Title = "x"; //îñü x ó ïåðâîãî ãðàôèêà
graph1.ChartAreas[0].AxisY.Title = "u(x,\tau)"; //îñü y
graph2.ChartAreas[0].AxisX.Title = "x"; //îñü x ó âòîðîãî ãðàôèêà
graph2.ChartAreas[0].AxisY.Title = "?(x,\tau)"; //îñü y
}
private void create_Click(object sender, EventArgs e)
{
if (n_x.Text == "" || m_tau.Text == "" || max_Tau.Text == "" ||
epsilon_p.Text == "" || delta_p.Text == "")
{
MessageBox.Show("Åñòü íåçàïîëíåííûå ïîëÿ!");
return;
}
//ñ÷èòûâàíèå ââåäåííûõ äàííûõ
int n = Convert.ToInt32(n_x.Text);
int m = Convert.ToInt32(m_tau.Text);
float Tau = Convert.ToSingle(max_Tau.Text);
float epsilon = Convert.ToSingle(epsilon_p.Text);
float delta = Convert.ToSingle(delta_p.Text);
string moment = Convert.ToString(moment_tau.Text);
double deltax, deltatau;
Íàäóòêèíà À.Â. Íåèçîòåðìè÷åñêîå íàïîðíîå òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè
//îáúÿâëåíèå ìàññèâîâ
double[,] u = new double[n + 1, m +
double[,] theta = new double[n + 1,
double[] E = new double[n + 1];
double[,] F = new double[n + 1, m +
double[] G = new double[n + 1];
double[,] H = new double[n + 1, m +
double[] x = new double[n + 1];
double[] tau = new double[m + 1];
1];
m + 1];
1];
1];
if ((n <= 0) || (m <= 0))
{
MessageBox.Show("Øàã äîëæåí áûòü ïîëîæèòåëüíûì ÷èñëîì!");
return;
}
if (Tau <= 0)
{
MessageBox.Show("Ìàêñèìàëüíîå t äîëæíî áûòü
ïîëîæèòåëüíûì ÷èñëîì!");
return;
}
deltax = 1.0 / n; //Øàã ïî îñè 'x'
deltatau = Tau / m; //Øàã ïî îñè '\tau'
//Îáíóëåíèå ìàññèâîâ
for (int i = 0; i < n + 1; i++)
{
for (int j = 0; j < m + 1; j++)
{
u[i, j] = 0;
theta[i, j] = 0;
}
}
//Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ
for (int i = 0; i < n + 1; i++)
{
u[i,0] = 0;
theta[i,0] = 0;
}
//Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ
for (int j = 0; j < m + 1; j++)
{
u[n, j] = 0;
theta[n, j] = 0;
}
//èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ñëåäóåò
E[n] = 0; G[n] = 0;
29
Íàäóòêèíà À.Â. Íåèçîòåðìè÷åñêîå íàïîðíîå òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè
30
for (int j = 0; j < m + 1; j++)
{
F[n, j] = 0;
H[n, j] = 0;
}
for (int i = 0; i < n + 1; i++)
{
x[i] = 0 + i * deltax;
}
for (int j = 0; j < m + 1; j++)
{
tau[j] = j * deltatau;
}
//âû÷èñëåíèå ïðîãîíî÷íûõ êîýôôèöèåíòîâ
for (int j = 1; j < m+1; j++)
{
for (int i = n-1 ; i > 0; i--)
{
E[i] = (x[i] * deltatau * Math.Exp(-theta[i, j - 1])) /
(x[i] * Math.Pow(deltax, 2) * epsilon + deltatau *
Math.Exp(-theta[ i, j - 1]) * (deltax - x[i] * theta[i + 1, j - 1] + x[i] *
theta[i, j - 1] + 2 * x[i] - E[i + 1] * (deltax - x[i] * theta[i + 1, j - 1] +
x[i] * theta[i, j - 1] + x[i])));
F[i, j] = (F[i + 1, j] * deltatau *
Math.Exp(-theta[i, j - 1]) * (deltax - x[i] * theta[i + 1, j - 1] + x[i] *
theta[i, j - 1] + x[i]) + deltatau * x[i] * Math.Pow(deltax, 2) + u[i, j - 1] *
x[i] * Math.Pow(deltax, 2) * epsilon) / (x[i] * Math.Pow(deltax, 2) * epsilon +
deltatau * Math.Exp(-theta[i, j - 1]) * (deltax - x[i] * theta[i + 1, j - 1] +
x[i] * theta[i, j - 1] + 2 * x[i] - E[i + 1] * (deltax - x[i] *
theta[i + 1, j - 1] + x[i] * theta[i, j - 1] + x[i])));
u[0, j] = F[1, j] / (1 - E[1]); //èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé
}
//íàõîäèì çíà÷åíèÿ öåëåâûõ ôóíêöèé
for (int i = 1; i < n + 1; i++)
{
u[i, j] = E[i] * u[i - 1, j] + F[i, j];
}
}
for (int j =
{
for (int
{
G[i]
deltatau * (deltax + 2 *
H[i,
1; j < m + 1; j++)
i = n - 1; i > 0; i--)
= (deltatau * x[i]) / (x[i] * Math.Pow(deltax, 2) +
x[i] - G[i + 1] * (deltax + x[i])));
j] = (H[i + 1, j] * deltatau * (deltax + x[i]) +
Íàäóòêèíà À.Â. Íåèçîòåðìè÷åñêîå íàïîðíîå òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè
31
delta * deltatau * x[i] * Math.Exp(-theta[i, j - 1]) *
(Math.Pow(u[i + 1, j], 2) - 2 * u[i + 1, j] * u[i, j] + Math.Pow(u[i, j], 2)) +
x[i] * Math.Pow(deltax, 2) * theta[i, j - 1]) / (x[i] * Math.Pow(deltax, 2) +
deltatau * (deltax + 2 * x[i] - G[i + 1] * (deltax + x[i])));
theta[0, j] = H[1, j] / (1 - G[1]); //èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé
}
for (int i = 1; i < n + 1; i++)
{
theta[i, j] = G[i] * theta[i - 1, j] + H[i, j];
}
}
//ìàññèâ, êîïèðóþùèé ââåäåííûå ñèìâîëû â ìàññèâ çíàêîâ
char[] M = moment.ToCharArray();
//îáúÿâëåíèå ìàññèâà çíà÷åíèé äëÿ âðåìåííûõ ñëîåâ
string[] vr = new string[m + 1];
//îáúÿâëåíèå ìàññèâà, êîòîðûé áóäåò ñðàâíèâàòü ââåäåííûå çíàêè
string[] sravnenie = new string[m + 1];
k = 0;
for (int i = 0; i < M.Length; i++)
{
if (M[i] == ' ')
{
continue;
}
if (M[i] == ',')
{
if (i == M.Length - 1)
continue;
k++;
continue;
}
sravnenie[k] += M[i];
}
//âîçâðàùàåò ðàçëè÷àþùèåñÿ ýëåìåíòû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ñîçäàåò ìàññèâ
vr = sravnenie.Distinct().ToArray();
k = vr.Length - 2;
for (int i = 0; i <= k; i++)
{
if (Convert.ToInt32(vr[i]) <= m)
{
continue;
}
else
{
MessageBox.Show("Ìîìåíò âðåìåíè âûõîäèò çà êîëè÷åñòâî
òî÷åê ðàçáèåíèÿ!");
return;
}
Íàäóòêèíà À.Â. Íåèçîòåðìè÷åñêîå íàïîðíîå òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè
32
}
graph1.Series.Clear(); //î÷èñòêà äèàãðàììû
graph2.Series.Clear(); //î÷èñòêà äèàãðàììû
for (int i = 0; i <= k; i++) //ïîäïèñè äëÿ ñåðèè
{
string s1 = "(?=";
tau[i] = Math.Round((Convert.ToDouble(vr[i]) * deltatau),2);
string s2 = ")";
string s3 = (i + 1) + s1 + tau[i] + s2;
if (graph1.Series.IsUniqueName(s3))
{
graph1.Series.Add(s3); // äîáàâëåíèå ñåðèè
graph1.Series[i].Name = s3; // çàäàíèå èìåíè i-ãî ãðàôèêà
graph1.Series[i].Points.Clear();
}
if (graph2.Series.IsUniqueName(s3))
{
graph2.Series.Add(s3); // äîáàâëåíèå ñåðèè
graph2.Series[i].Name = s3; // çàäàíèå èìåíè i-ãî ãðàôèêà
graph2.Series[i].Points.Clear();
}
graph1.Series[i].ChartType = System.Windows.Forms.
DataVisualization.Charting.SeriesChartType.Spline; //òèï äèàãðàììû-ñïëàéí
graph1.Series[i].Points.Clear();
graph2.Series[i].ChartType = System.Windows.Forms.
DataVisualization.Charting.SeriesChartType.Spline; //òèï äèàãðàììû-ñïëàéí
graph2.Series[i].Points.Clear();
}
for (int i = 0; i < n + 1; i++)
{
for (int j = 0; j <= k; j++)
{
graph1.Series[j].Points.AddXY(Math.Round(x[i],6),
u[i, Convert.ToInt32(vr[j])]);
graph2.Series[j].Points.AddXY(Math.Round(x[i],6),
theta[i, Convert.ToInt32(vr[j])]);
}
}
graph1.ChartAreas[0].AxisX.Minimum = 0;
graph2.ChartAreas[0].AxisX.Minimum = 0;
}
private void graph1_Click(object sender, EventArgs e)
{
Ëèíèÿ1 = !Ëèíèÿ1;
if (Ëèíèÿ1 == true)
Íàäóòêèíà À.Â. Íåèçîòåðìè÷åñêîå íàïîðíîå òå÷åíèå âÿçêîé æèäêîñòè
{
}
}
}
for (int i = 0; i <= k; i++)
{
graph1.Series[i]["DrawingStyle"] = "Line";
}
}
else
{
graph1.Series[0]["DrawingStyle"] = "Default";
}
private void graph2_Click(object sender, EventArgs e)
{
Ëèíèÿ2 = !Ëèíèÿ2;
if (Ëèíèÿ2 == true)
{
for (int i = 0; i <= k; i++)
{
graph2.Series[i]["DrawingStyle"] = "Line";
}
}
else
{
graph2.Series[0]["DrawingStyle"] = "Default";
}
}
33
Отзывы:
Авторизуйтесь, чтобы оставить отзывНиколай Сизов, большое спасибо!
Качественно выполненная работа. Приятна глазу. Все четко, понятно и разборчиво.
Игорь Маслеников, спасибо! очень приятно
и хорошего настроения
удачи
успехов в конкурсе
Наверное было затрачено много времени и труда на работу
Продолжай свое исследование
Админам респект
Красиво написанная работа
Так держать
Молодец
Интересная работа!