САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Математико-механический факультет
Кафедра высшей алгебры и теории чисел
Чепуркин Константин Михайлович
Некоторые геометрические свойства оснащённых трансферов
Выпускная квалификационная работа
Допущена к защите.
Зав. кафедрой:
д.ф.-м.н., проф. Востоков C.В.
Научный руководитель:
д.ф.-м.н., проф. член-корр. РАН Панин И.А.
Рецензент:
д.ф.-м.н., Ягунов C.А.
Санкт-Петербург
2016
SAINT PETERSBURG STATE UNIVERSITY
Mathematics & Mechanics Faculty
Chair of Higher Algebra and Number Theory
Konstantin Chepurkin
Some geometric properties of framed transfers
Graduation Thesis
Admitted for defence.
Head of the chair:
Dr.Sci. in Math., Prof. Sergei Vostokov
Thesis supervisor:
Dr.Sci. in Math., Corr. member of RAS, Prof. Ivan Panin
Thesis reviewer:
Dr.Sci in Math., Serge Yagunov
Saint Petersburg
2016
Содержание
1. Введение
1
2. Общие конструкции
2
3. Геометрическое построение для первой части теоремы об этальном вырезании
6
4. Геометрическое построение для второй части теоремы об этальном вырезании
12
1. Введение
В 1992 году Владимиром Воеводским была предложена конструкция триангулированной категории мотивов. Однако в 2000 году в одной из статей [6] цикла «Cycles, transfers,
and motivic homology theories» Воеводским было дано другое определение той же категории, использующее в своей основе понятие гомотопически инвариантного предпучка с
трансферами. Этот подход позволял свести вычисление морфизмов внутри новой категории к хорошо известному контексту гомологий комплексов, что позволило, например,
явно вычислить мотив аффинной кривой.
Однако возможность такого сведения основывалась на геометрических теоремах, таких как теорема об аффинном вырезании, теорема об этальном вырезании и теорема о
гомотопической инвариантности когомологий для гомотопически инвариантных предпучков с трансферами (см. [5]). Так, например, теорема об этальном вырезании является
локальным алгебро-геометрическим аналогом топологической теоремы о вырезании для
сингулярных когомологий. Доказательство каждой из этих теорем требует построения
некоторых циклов, задающих многозначные гомотопии.
В 2001 году Воеводский в неопубликованной работе [7] ввёл определение оснащённых
соответствий, предпучков и пучков с оснащёнными трансферами. Оснащённые соответствия действуют не только на мотивных когомологиях, но и на всех обобщённых теориях
когомологий по Воеводскому. Дальнейшее развитие эта работа получила в серии препринтов И. Панина и Г. Гаркуши 2014-15 годов [2], [3]. В первом из препринтов были
сформулированы основные определения и теоремы, необходимые для конструкции категории оснащённых мотивов, а также проведено само построение категории оснащённых
мотивов. Во втором препринте были сформулированы, но не доказаны некоторые важные
геометрические утверждения, необходимые для доказательства теоремы [2, Theorem 3.1]
из предыдущего препринта.
В данной работе представлены доказательства утверждений [3, 8.9] и [3, 10.5], являющихся ключевыми для доказательства инъективной и сюръективной частей теоремы об
этальном вырезании из теоремы [2, Theorem 3.1]1 .
1 Автор
признателен И.А.Панину за постановку задачи и постоянное внимание при её решении.
1
2. Общие конструкции
Эта секция содержит обозначения, определения, предположения и конструкции, которые будут действовать во всех остальных разделах.
Пусть 𝑘 совершенное бесконечное поле. Напомним определение оснащённого соответствия между гладкими схемами 𝑋 и 𝑌 над 𝑘 .
Определение 1 ([7]). Оснащённое соответствие веса 𝑛 между схемами 𝑋 и 𝑌 задаётся
следующим набором данных:
1) Замкнутое подмножество 𝑍 ⊆ A𝑛𝑋 , конечное над 𝑋 .
2) Этальная окрестность 𝑈 → A𝑛𝑋 подмножества 𝑍 .
3) Набор регулярных функций 𝜑1 , . . . , 𝜑𝑛 на 𝑈 таких, что {𝜑1 = · · · = 𝜑𝑛 = 0} задаёт
𝑍 как замкнутое подмножество. При этом ни одно из множеств {𝜑𝑖 = 0} не
содержит ни одной общей точки слоя отображения 𝑈 → 𝑋 .
4) Морфизм 𝑔 : 𝑈 → 𝑌 .
Таким образом, тройка (𝑈, 𝜑, 𝑔), где 𝜑 = (𝜑1 , . . . , 𝜑𝑛 ) : 𝑈 → A𝑛 , однозначно задаёт оснащённое соответствие. В частности, любому морфизму схем 𝑓 : 𝑋 → 𝑌 можно естественным образом сопоставить оснащённое соответствие веса 0, взяв в 𝑍 = 𝑈 = 𝑋 , а 𝑔 = 𝑓 .
Определение группы Z𝐹𝑛 (𝑋, 𝑌 ) дано в препринте [2, стр 23]. Напомним его.
Определение 2. Обозначим за 𝐹 𝑟𝑛 (𝑋, 𝑌 ) множество всех оснащённых соответствий
из 𝑋 в 𝑌 веса 𝑛. Определим группу Z𝐹 𝑟𝑛 (𝑋, 𝑌 ) как свободную абелеву группу, порождённую 𝐹 𝑟𝑛 (𝑋, 𝑌 ). Определим теперь группу Z𝐹𝑛 (𝑋, 𝑌 ) как факторгруппу Z𝐹 𝑟𝑛 (𝑋, 𝑌 ) по
соотношениям
(𝑈, 𝜑, 𝑔) = (𝑈 − 𝑍2 , 𝜑|𝑈 −𝑍2 , 𝑔|𝑈 −𝑍2 ) + (𝑈 − 𝑍1 , 𝜓|𝑈 −𝑍1 , 𝑔|𝑈 −𝑍1 ),
если 𝑍 = 𝑍1 ⊔ 𝑍2 , где 𝑍 = {𝑥 ∈ 𝑈 |𝑔(𝑥) = 0} — носитель соответствия (𝑈, 𝜑, 𝑔).
Стоит отметить, что, как абелева группа, Z𝐹𝑛 (𝑋, 𝑌 ) свободно порождена оснащёнными
соответствиями уровня 𝑛 между 𝑋 и 𝑌 , чей носитель связен.
Приступим к формулировке утверждений, необходимых для теоремы об этальном вырезании. Рассмотрим следующий элементарный квадрат Нисневича с аффинными 𝑘 -гладкими
схемами 𝑋 и 𝑋 ′ .
𝑉′
𝑋′
Π
𝑉
𝑋
Пусть также схема 𝑋 геометрически неприводима. Обозначим за 𝑆 и 𝑆 ′ дополнения к 𝑉
и 𝑉 ′ внутри соответствующих схем. Рассмотрим две точки 𝑥 ∈ 𝑆 и 𝑥′ ∈ 𝑆 ′ , такие, что
Π(𝑥′ ) = 𝑥. Пусть 𝑈 и 𝑈 ′ — спектры локальных колец 𝒪𝑋,𝑥 и 𝒪𝑋 ′ ,𝑥′ .
Для доказательства утверждения инъективности в теореме об этальном вырезании [3,
часть 8] достаточно построить морфизмы
𝑎 ∈ Z𝐹𝑛 ((𝑈, 𝑈 − 𝑆), (𝑋 ′ , 𝑋 ′ − 𝑆))
2
𝑏 ∈ Z𝐹𝑛 ((𝑈, 𝑈 − 𝑆), (𝑋 − 𝑆, 𝑋 − 𝑆)),
такие, что
Π ∘ 𝑎 − 𝑗 ∘ 𝑏 = 𝑐𝑎𝑛 ∘ 𝜎𝑈𝑁
как элементы группы Z𝐹𝑛 ((𝑈, 𝑈 − 𝑆), (𝑋, 𝑋 − 𝑆)). Оснащённые соответствия для пар вве𝑝𝑟
дены в [3, Definition 2.3]. Там же определена категория Z𝐹 * (𝑘), морфизмы которой являются оснащёнными соответствиями пар с точностью до A1 гомотопий. Для краткости
последнюю категорию будем обозначать Z𝐹 * (𝑘). Здесь 𝜎𝑈 обозначает гомоморфизм надстройки (см. [2, стр 5]), 𝑗 : (𝑋 − 𝑆, 𝑋 − 𝑆) → (𝑋, 𝑋 − 𝑆) и 𝑐𝑎𝑛 : (𝑈, 𝑈 − 𝑆) → (𝑋, 𝑋 − 𝑆) —
естественные вложения.
Для доказательства сюръективной части теоремы об этальном вырезании [3, часть 10]
достаточно предъявить морфизмы
𝑎 ∈ Z𝐹𝑛 ((𝑈, 𝑈 − 𝑆), (𝑋 ′ , 𝑋 ′ − 𝑆 ′ )),
𝑏 ∈ Z𝐹𝑛 ((𝑈 ′ , 𝑈 ′ − 𝑆 ′ ), (𝑋 ′ − 𝑆 ′ , 𝑋 ′ − 𝑆 ′ )),
такие, что имеет место равенство
𝑎 ∘ 𝜋 − 𝑗 ∘ 𝑏 = 𝑐𝑎𝑛′ ∘ 𝜎𝑈𝑛
как элементов Z𝐹 𝑛 ((𝑈 ′ , 𝑈 ′ −𝑆 ′ ), (𝑋 ′ , 𝑋 ′ −𝑆 ′ )). Морфизмы 𝑗 : (𝑋 ′ −𝑆 ′ , 𝑋 ′ −𝑆 ′ ) → (𝑋 ′ , 𝑋 ′ −𝑆 ′ )
и 𝑐𝑎𝑛′ : (𝑈 ′ , 𝑈 ′ − 𝑆 ′ ) → (𝑋 ′ , 𝑋 ′ − 𝑆 ′ ) обозначают естественные вложения.
Совершенно понятно, что если в условии заменить 𝑋 на некоторую его открытую
′
′
подсхему 𝑋 ∘ , содержащую точку 𝑥 , взяв при этом 𝑉 ∘ = 𝑉 ∩𝑋 ∘ , 𝑋 ∘ = Π−1 (𝑋 ∘ ), 𝑉 ∘ = 𝑉 ′ ∩
′
𝑋 ∘ , то новый коммутативный квадрат так же будет элементарным квадратом Нисневича,
причём, если удастся построить соответствующие 𝑎∘ и 𝑏∘ , то они так же дадут решение
для исходного элементарного квадрата.
𝑉′∩𝑋
′∘
Π−1 (𝑋 ∘ )
Π
𝑉 ∩ 𝑋∘
𝑋∘
Таким образом, схему 𝑋 можно уменьшить для получения необходимых свойств.
Замечание 2.1. Уменьшим схему 𝑋 ′ таким образом, чтобы соответствующая конечная
𝑋 -схема 𝑋𝑛′ — нормализация схемы 𝑋 в поле функций 𝑘(𝑋 ′ ) — отличалась бы от 𝑋 ′ на
дивизор Картье. Заметим, что 𝑋𝑛′ конечно над 𝑋 и, так как 𝑋 ′ гладкое многообразие,
содержит её как открытую подсхему 𝑋 ′ ˓→ 𝑋𝑛′ . Схема 𝑋𝑛′ аффинная, как конечная над
аффинной. Рассмотрим схему 𝑌 ′′ — дополнение к 𝑋 ′ внутри 𝑋𝑛′ . Так как 𝑆 ′ ∼
= 𝑆 , то
𝑆 ′ замкнуто, а так как она содержится в 𝑋 ′ , то выполнено 𝑆 ′ ∩ 𝑌 ′′ = ∅. Рассмотрим
функцию 𝑓 , такую, что 𝑓 |𝑌 ′′ = 0 и 𝑓 |𝑆 ′ = 1. Рассмотрим 𝑌 ′ = {𝑓 = 0}. Это дивизор
Картье, содержащий 𝑌 ′′ и не пересекающийся с 𝑆 ′ . Определим теперь 𝑌 = Π𝑛 (𝑌 ′ ). 𝑌 —
замкнутая подсхема в 𝑋 и, более того, это дивизор Картье. Заменим 𝑋 ′ на схему 𝑋𝑓′ .
Определение 3 ([4]). Почти элементарным расслоением над схемой 𝐵 называется мор-
физм 𝑞 : 𝑋 → 𝐵 , включённый в диаграмму,
3
𝑋
𝑗
𝑋
𝑞
𝑞
𝑋∞
𝑖
𝑞∞
𝐵
удовлетворяющую свойствам:
1) 𝑗 — открытое вложение, плотное во всех слоях 𝑞 , а 𝑋 = 𝑋 − 𝑋∞ ;
2) 𝑞 — гладкий проективный морфизм, все слои которого геометрически неприводимые
многообразия размерности один;
3) 𝑞∞ — конечный плоский морфизм, все слои которого не пусты;
4) морфизм 𝑖 является замкнутым вложением, а пучок идеалов, задающий на 𝑋∞
структуру замкнутой подсхемы в 𝑋 , является локально главным.
Лемма 2.1 ([3, Lemma 8.4]). Используем обозначения замечания 2.1. В частности, 𝑉 ,
𝑋 , 𝑋 ′ — элементарный квадрат Нисневича, 𝑥 ∈ 𝑋 − 𝑉 . Найдётся такое уменьшение 𝑋
и 𝑋 ′ , сохраняющее точку 𝑥 и свойства замечания 2.1, такое, что существует почти
элементарное расслоение 𝑞 : 𝑋 → 𝐵 , что выполнено
∙ 𝑆 ⊔ 𝑌 — конечная 𝐵 схема;
∙ 𝐵 — открытое аффинное подмножество в P𝑑𝑘 ;
∙ 𝜔𝐵/𝑘 ∼
= 𝒪𝐵 ;
∙ 𝜔𝑋/𝑘 ∼
= 𝒪𝑋 ;
𝑟
𝑝𝑟
∙ Морфизм 𝑞 факторизуется в виде композиции 𝑋 −→ 𝐵 × P1 −→ 𝐵 , где 𝑟 конечный,
а 𝑝𝑟 - каноническая проекция.
Доказательство. Достаточно применить утверждение [4, Proposition 2.3], взяв схему 𝑍 =
𝑌 ⊔ 𝑆.
Замечание 2.2. Рассмотрим морфизм 𝑞 : 𝑋 → 𝐵 из заключения леммы 2.1. Тогда ком-
позиция 𝑞 ∘ Π определяет структуру 𝐵 -схемы на 𝑋 ′ . Также имеет место соотношение
𝜔𝑋/𝐵 ∼
= 𝒪𝑋 и, если 𝑙 : 𝑋 ˓→ 𝐵 × A𝑁 , то в K0 (𝑋) выполнено [𝑁𝑋 ] = (𝑁 − 1)[𝒪𝑋 ].
Замечание 2.3. Рассмотрим нормализацию схемы 𝑋 внутри поля 𝑘(𝑋 ′ ). Обозначим его
′
за 𝑋 . Эта нормализация, посредством композиции 𝑞 ∘ Π доставляет почти элементарное
расслоение схемы 𝑋 ′ над базой 𝐵 .
Лемма 2.2. Пусть даны 𝑋 , 𝑋 ′ – две гладкие проективные схемы над гладкой аффинной
базой 𝐵 . Пусть 𝑋 — открытая аффинная подсхема в 𝑋 , а 𝑋∞ — её дополнение, чей
′
пучок идеалов локально главный. Пусть дан конечный морфизм 𝐵 -схем Π : 𝑋 → 𝑋 .
′
′
= Π−1 (𝑋∞ ). Тогда если 𝑋∞ обильный дивизор, то 𝑋∞
Обозначим за 𝑋 ′ = Π−1 (𝑋) 𝑋∞
тоже.
4
′
Доказательство. Прежде всего, заметим, что так как 𝑋∞ — дивизор Картье, то и 𝑋∞
также дивизор Картье. Пусть теперь ℱ некоторый когерентный пучок на 𝑋 ′ . Воспользуемся формулой проекции (см. [1, глава 3 упр. 8.3]) для морфизма Π.
*
𝑅Π* (ℱ ⊗𝒪𝑋 ′ Π (𝐿(𝑛𝑋∞ ))) ∼
= 𝑅Π* (ℱ) ⊗𝒪𝑋 𝐿(𝑛𝑋∞ ))
Заметим, что
*
′
).
Π (𝐿(𝑛𝑋∞ )) ∼
= 𝐿(𝑛𝑋∞
′
Так как схема 𝑋 конечна над 𝑋 , то старших производных функторов нет (они обнуляются,
когда их номер больше максимума размерности слоёв). Тогда имеет место изоморфизм
*
𝑅Π* (ℱ ⊗𝒪𝑋 ′ Π (𝐿(𝑛𝑋∞ ))) ∼
= Π* (ℱ) ⊗𝒪𝑋 𝐿(𝑛𝑋∞ )).
Вспоминая, что когомологии есть производные функторы прямого образа в базу, а композиция прямых образов — это прямой образ композиции, получаем
*
𝐻 𝑘 (𝑋, ℱ ⊗𝒪𝑋 ′ Π (𝐿(𝑛𝑋∞ ))) ∼
= 𝐻 𝑘 (𝑋, Π* (ℱ) ⊗𝒪𝑋 𝐿(𝑛𝑋∞ ))).
Последнее выражение обнуляется для всех достаточно больших 𝑛 при 𝑘 > 0, что и требовалось доказать.
Лемма 2.3. Пусть дана cущественно гладкая локальная 𝑘 -схема 𝑈 с замкнутой точкой
𝑢, также гладкое собственное отображение 𝑝𝑟𝑈 : 𝑋 → 𝑈 со слоями размерности 1.
Пусть на 𝑋 задано линейное расслоение 𝐿 и два его сечения 𝑠0 и 𝑠1 . Обозначим за 𝑋 𝑐𝑙 и
𝐿𝑐𝑙 замены базы соответствующих схем вдоль морфизма 𝑢 → 𝑈 . Если сечения 𝑠0 и 𝑠1 не
пропорциональны над 𝑘(𝑢) и не обращаются в ноль ни на одной компоненте связности
𝑋 𝑐𝑙 , а также выполнено {𝑠0 = 0} ∩ {𝑠1 = 0} = ∅, то морфизм (𝑠0 : 𝑠1 , 𝑝𝑟𝑈 ) : 𝑋 → P1 × 𝑈
является конечным и сюръективным.
Доказательство. Рассмотрим кривую 𝑋 𝑐𝑙 над полем 𝑘(𝑢) и соответствующее отображение в P1𝑘(𝑢) . Так как на каждой компоненте связности это отображение принимает хотя бы
два значения (если бы отображение было постоянным, то 𝑠1 и 𝑠0 имели бы одинаковые
нули). Тогда отображение соответствующей компоненты связности на P1𝑘(𝑢) сюръективно.
Из этого получаем, что в целом отображение 𝑋 𝑐𝑙 → P1𝑘(𝑢) квазиконечно и, исходя из проективности, конечно. По теореме Гротендика о размерности слоёв существует открытое
подмножество в P1 × 𝑈 , на котором размерности слоёв конечны. Так как это открытое
подмножество содержит все замкнутые точки, то оно совпадает со всем P1 × 𝑈 . Следовательно, отображение квазиконечно и, следовательно, конечно. Так как отображение конечно, то образ должен иметь ту же размерность, следовательно, исходя из гладкости 𝑈 и
неприводимости, получаем, что он содержит единственную общую точку. Следовательно,
морфизм сюръективен.
Лемма 2.4. Пусть 𝑋 гладкая проективная кривая над гладкой аффинной базой 𝑈 . Обо-
значим структурное отображение за 𝑝𝑟𝑈 . Пусть дано некоторое сечение 𝑠 : 𝑈 → 𝑋
отображения 𝑝𝑟𝑈 . Тогда образ 𝑈 является дивизором Картье.
5
Доказательство. Прежде всего, заметим, что 𝑠 задаёт замкнутую подсхему в 𝑋 . Действительно, так как тождественное отображение собственное и факторизуется через 𝑠,
получаем, что 𝑠 - собственное. С другой стороны, 𝑠 — мономорфизм схем. По известному критерию замкнутости получаем, что 𝑠 — замкнутое вложение. Теперь воспользуемся
гладкостью 𝑋 . В окрестности 𝑉 точки 𝑥 ∈ 𝑠(𝑈 ) представим отображение 𝑝𝑟𝑈 в виде ком𝜋
позиции 𝑉 → A1𝑈 → 𝑈 , где отображение 𝜋 этально, а второе есть проекция на 𝑈 . Заметим,
что 𝜋 ∘ 𝑠 также сечение канонической проекции, следовательно, образ 𝑠 содержался в 𝑉 .
Рассмотрим образ окрестности 𝑉 в A1𝑈 . Это открытое подмножество. 𝜋 ∘ 𝑠 есть 𝑈 точка
аффинной прямой и, следовательно имеет вид 𝑡 = 𝑎 для некоторой 𝑎 ∈ 𝑘[𝑈 ], где 𝑡 это
параметр на аффинной прямой. Тогда образ 𝜋 ∘ 𝑠 задаётся уравнением 𝑡 − 𝑎 = 0. Рассмотрим 𝑓 — прообраз функции 𝑡 − 𝑎 относительно 𝜋 . Так как 𝜋 этально, то 𝜋 −1 ({𝑡 − 𝑎 = 0})
раскладывается в дизъюнктное объединение 𝑠(𝑈 ) ⊔ 𝐺 для некоторой замкнутой схемы 𝐺.
Сужение 𝑓 на 𝑉 − 𝐺 и есть искомая функция, нули которой задают 𝑠(𝑈 ).
3. Геометрическое построение для первой части теоремы
об этальном вырезании
В этом разделе будет доказана теорема, необходимая для доказательства инъективности отображения из теоремы об этальном вырезании для предпучков с оснащёнными
трансферами.
В дальнейшем все подсхемы внутри 𝑋 и 𝑋 ′ будут рассматриваться как схемы над 𝐵 .
Обозначим ∆ естественное отображение 𝑈 → 𝑈 ×𝐵 𝑋 . Для построения отображений из
начала параграфа необходимо доказать следующую теорему, сформулированную, но не
доказанную в [3, Proposition 8.9]:
Теорема 1. Пусть схемы 𝑋 и 𝑋 ′ удовлетворяют заключению леммы 2.1, а 𝑈 = 𝒪𝑋,𝑥 .
Тогда существует такая функция ℎ𝑡 ∈ 𝑘[A1 × 𝑈 ×𝐵 𝑋], что для ℎ𝑡 , ℎ0 = ℎ𝑡 |0×𝑈 ×𝐵 𝑋 и
ℎ1 = ℎ𝑡 |1×𝑈 ×𝐵 𝑋 выполнены следующие свойства
a) Морфизм (𝑝𝑟, ℎ𝑡 ) : A1 × 𝑈 ×𝐵 𝑋 → A1 × 𝑈 × A1 конечный и сюръективный, и, сле1
довательно, замкнутая подсхема 𝑍𝑡 = ℎ−1
𝑡 (0) ⊆ A × 𝑈 ×𝐵 𝑋 конечная, плоская и
сюръективна над A1 × 𝑈 .
b) Замкнутая подсхема 𝑍0 = ℎ−1
𝑡 (0) раскладывается в дизъюнктное объединение 𝑍0 =
∆(𝑈 ) ⊔ 𝐺, причём 𝐺 ⊆ 𝑈 ×𝐵 𝑉 .
c) Замкнутая подсхема в 𝑈 ×𝐵 𝑋 ′ заданная уравнением ℎ1 ∘ (𝑖𝑑𝑈 × Π) = 0 является
дизъюнктным объединением 𝑍1′ ⊔𝑍2′ , причём морфизм 𝑚 = 𝑖𝑑𝑈 ×Π|𝑍1′ осуществляет
изоморфизм с 𝑍1 = {ℎ1 = 0} ⊆ 𝑈 ×𝐵 𝑋 .
d) 𝑍𝑡 ∩ A1 × (𝑈 − 𝑆) ×𝐵 𝑆 = ∅
Доказательство. Рассмотрим две схемы
′
′
˓→ 𝑈 ×𝐵 𝑋 .
𝐸 := 𝑈 ×𝐵 𝑋∞ ˓→ 𝑈 ×𝐵 𝑋 и 𝐸 ′ := 𝑈 ×𝐵 𝑋∞
Возьмём некоторое число 𝑛 ∈ N . Тогда ограничение расслоения 𝐿(𝑛𝐸−∆(𝑈 )) на 𝑈 ×𝐵 𝑆
тривиально, так как 𝑈 ×𝐵 𝑆 конечная схема над 𝑈 , и, следовательно, полулокальная. Тогда
6
существует некоторое 𝑟1 ∈ H0 (𝑈 ×𝐵 𝑆, 𝐿(𝑛𝐸−∆(𝑈 ))|𝑈 ×𝐵 𝑆 ), нигде не обращающегося в ноль.
Пусть 𝑠Δ каноническое сечение пучка 𝐿(∆(𝑈 )), чьи нули совпадают с ∆(𝑈 ). Покажем,
′
что для достаточно больших 𝑛 существует такое сечение 𝑠′1 ∈ Γ(𝑈 ×𝐵 𝑋 , 𝐿(𝑛𝐸 ′ )), что
выполнено
∙ 𝑍1′ := {𝑠′1 = 0} ⊆ 𝑈 ×𝐵 𝑋 ′ .
∙ 𝑍1′ — конечен и этален над 𝑈 .
∙ Морфизм 𝑖 = (𝑖𝑑 × Π) : 𝑍1′ ˓→ 𝑈 ×𝐵 𝑋 является замкнутым вложением.
∙ 𝑠′1 |𝑈 ×𝐵 𝑆 ′ = 𝑠Δ |𝑈 ×𝐵 𝑆 ⊗ 𝑟1 . Здесь и далее подразумевается, что схемы 𝑈 ×𝐵 𝑆 ′ и 𝑈 ×𝐵 𝑆 ′
отождествлены посредством отображения 𝑖𝑑 × Π.
Пучок 𝐿(𝐸 ′ ) является обильным по лемме 2.2, в частности при всех достаточно больших 𝑛 пучок 𝐿(𝑛𝐸 ′ ) разделяет точки 𝑈 ×𝐵 𝑋 ′ . Также заметим, что так как 𝑈 ×𝐵 𝑆 регулярная и конечная схема над 𝑈 , то 𝑘[𝑈 ×𝐵 𝑆] плоский конечнопорождённый и, следовательно,
свободный конечнопорождённый 𝑈 -модуль. Определим 𝑈 -схемы 𝑍 и 𝑀 следующим образом
′
𝑍 := {(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑠) ∈ 𝑈 ×𝐵 𝑋 ×𝑋 𝑋 ′ ×𝑈 H0 (𝐿(𝑛𝐸 ′ ))| 𝑠(𝑥1 ) = 0 = 𝑠(𝑥2 ); 𝑠|𝑈 ×𝐵 𝑆 = 𝑠Δ |𝑈 ×𝐵 𝑆 ⊗ 𝑟1 }
𝑀 := {𝑠 ∈ 𝐿(𝑛𝐸 ′ )| 𝑠|𝑈 ×𝐵 𝑆 = 𝑠Δ |𝑈 ×𝐵 𝑆 ⊗ 𝑟1 }.
Рассмотрим следующую диаграмму 𝑈 -схем
𝑍
𝑖
′
𝑈 ×𝐵 𝑋 ×𝑋 𝑋 ′ ×𝑈 H0 (𝐿(𝑛𝐸 ′ ))
𝑝𝑟
𝑝𝑟∘𝑖
H0 (𝐿(𝑛𝐸 ′ )).
𝑀
Заметим, что отображение 𝑖 корректно определено и на диагонали. Подсхема 𝑍 является замкнутой подсхемой внутри 𝑈 ×𝐵 𝑋 ′ ×𝑋 𝑋 ′ × P𝑈 (H0 (𝐿(𝑛𝐸 ′ ))). Наша задача состоит
в том чтобы доказать, что в 𝑀 найдётся 𝑈 точка 𝑠′1 , не лежащая в образе 𝑝𝑟 ∘ 𝑖(𝑍),
𝑠′1 |𝐸 ′ ∈ H0 (𝐿(𝑛𝐸 ′ )|𝐸 ′ ) ∼
= 𝒪𝐸 ′ задаёт обратимый элемент и 𝑠′1 |𝑈 ×𝐵 𝑆 ′ = 𝑠Δ |𝑈 ×𝐵 𝑆 ⊗ 𝑟1 ∈
H0 (𝐿(𝑛𝐸 ′ )|𝑈 ×𝐵 𝑆 ′ ).
Сначала решим задачу по модулю максимального идеала 𝑚𝑥 в 𝑈 . Рассмотрим следующую диаграмму 𝑈 -схем
′
𝑈 ×𝐵 𝑋
𝑋 𝑐𝑙
Π𝑐𝑙
′
Π
𝑋 𝑐𝑙
𝑈 ×𝐵 𝑋
𝑥
𝑈.
7
В 𝑋 𝑐𝑙 имеются открытая аффинная подсхема 𝑋𝑐𝑙 , а также замкнутые подсхемы 𝑆𝑐𝑙 , 𝐸𝑐𝑙 ,
каждая из которых получается ограничением с 𝑋 соответствующей подсхемы. Аналогично
′
в 𝑋 𝑐𝑙 имеются подсхемы 𝑋𝑐𝑙′ , 𝑆𝑐𝑙′ , 𝐸𝑐𝑙′ , 𝑆𝑐𝑙′ ∼
= 𝑆𝑐𝑙 . Рассмотрим схемы
𝑍𝑐𝑙 := {(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑠) ∈ 𝑋𝑐𝑙′ ×𝑋𝑐𝑙 𝑋𝑐𝑙′ × H0 (𝐿(𝑛𝐸𝑐𝑙′ ))| 𝑠(𝑥1 ) = 0 = 𝑠(𝑥2 ); 𝑠|𝑆𝑐𝑙 = 𝑠Δ |𝑆𝑐𝑙 ⊗ 𝑟1 |𝑆𝑐𝑙 },
𝑀𝑐𝑙 := {𝑠 ∈ H0 (𝐿(𝑛𝐸𝑐𝑙′ ))|𝑠|𝑆𝑐𝑙 = 𝑠Δ |𝑆𝑐𝑙 ⊗ 𝑟1 |𝑆𝑐𝑙 }.
Схемы 𝑍𝑐𝑙 , 𝑀𝑐𝑙 , вообще говоря, не являются ограничениями соответствующих схем над
𝑈 . Вычислим размерность 𝑍𝑐𝑙 для достаточно больших 𝑛. Для этого рассмотрим 𝑍𝑐𝑙 как
схему над 𝑋𝑐𝑙′ ×𝑋𝑐𝑙 𝑋𝑐𝑙′ , после чего вычислим размерность слоёв этого морфизма, показывая,
что условия 𝑠|𝑆𝑐𝑙 = 𝑠Δ |𝑆𝑐𝑙 ⊗ 𝑟1 |𝑆𝑐𝑙 ; 𝑠(𝑥1 ) = 0; 𝑠(𝑥2 ) = 0, наложенные одно за другим, каждый раз выделяют аффинное подмногообразие некоторой фиксированной положительной
коразмерности всюду, кроме, возможно, подсхемы коразмерности 1, где, в свою очередь,
коразмерность аффинного подмногообразия падает не более, чем на 1.
Для этого рассмотрим точную последовательность когомологий
0 → H0 (𝐼(𝑆𝑐𝑙′ ) ⊗ 𝐿(𝑛𝐸𝑐𝑙′ )) → H0 (𝐿(𝑛𝐸𝑐𝑙′ )) → H0 (𝐿(𝑛𝐸𝑐𝑙′ )|𝑆𝑐𝑙′ ) → H1 (𝐼(𝑆𝑐𝑙′ ) ⊗ 𝐿(𝑛𝐸𝑐𝑙′ )).
По теореме Серра об обращении в ноль, для достаточно больших 𝑛 последний член
этой последовательности равен нулю. Следовательно, отображение
H0 (𝐿(𝑛𝐸𝑐𝑙′ )) → H0 (𝐿(𝑛𝐸𝑐𝑙′ )|𝑆𝑐𝑙′ ) ∼
= 𝑘[𝑆𝑐𝑙′ ]
сюръективно.
Следовательно, существует сечение, сужение которого на 𝑆𝑐𝑙′ совпадает с 𝑠Δ |𝑆𝑐𝑙 ⊗ 𝑟1 |𝑆𝑐𝑙 .
Так как указанное отображение есть гомоморфизм конечномерных 𝑘(𝑥) векторных пространств, то множество 𝑀𝑐𝑙 всех таких сечений параметризуется аффинным 𝑘(𝑥) подмногообразием H0 (𝐿(𝑛𝐸𝑐𝑙′ )) коразмерности, равной dim𝑘(𝑥) 𝑘[𝑆𝑐𝑙′ ]. Теперь покажем, что внутри
𝑀𝑐𝑙 оставшиеся два условия высекают подмногообразие коразмерности 2.
Для этого перейдём к алгебраическому замыканию поля 𝑘(𝑥). Рассмотрим сначала
ситуацию, когда пара точек (𝑥1 , 𝑥2 ) ∈ 𝑋𝑐𝑙′ ×𝑋𝑐𝑙 𝑋𝑐𝑙′ не лежит на диагонали, то есть 𝑥1 ̸= 𝑥2 .
Покажем, что условие 𝑠(𝑥1 ) = 0 выделяет подсхему коразмерности по крайней мере 1 в 𝑀𝑐𝑙
всюду, кроме замкнутого подмножества {𝑠Δ (𝑥1 ) = 0}. Если точка 𝑥1 лежит в 𝑆𝑐𝑙′ − {𝑠Δ =
0} = 𝑆𝑐𝑙′ − {𝑥′ }, то соответствующее условие выделяет в 𝑀 пустую подсхему. Рассмотрим
′
точную последовательность пучков на 𝑋 𝑐𝑙 :
0 → 𝐼𝑥1 +𝑆𝑐𝑙′ ⊗ 𝐿(𝑛𝐸𝑐𝑙′ ) → 𝐿(𝑛𝐸𝑐𝑙′ ) → 𝒪𝑥1 +𝑆𝑐𝑙′ ⊗ 𝐿(𝑛𝐸𝑐𝑙′ ) → 0.
Считая, что точка 𝑥1 не лежит в 𝑆𝑐𝑙′ , получаем, что H0 (𝒪𝑥1 +𝑆𝑐𝑙′ ⊗𝐿(𝑛𝐸𝑐𝑙′ )) ∼
= 𝑘(𝑥1 )×𝑘[𝑆𝑐𝑙′ ].
Рассмотрим теперь точную последовательность когомологий.
0 → H0 (𝐼(𝑥1 +𝑆𝑐𝑙′ )⊗𝐿(𝑛𝐸𝑐𝑙′ )) → H0 (𝐿(𝑛𝐸𝑐𝑙′ )) → H0 (𝐿(𝑛𝐸𝑐𝑙′ )|𝑥1 +𝑆𝑐𝑙′ ) → H1 (𝐼(𝑥1 +𝑆𝑐𝑙′ )⊗𝐿(𝑛𝐸𝑐𝑙′ )).
По двойственности Серра получаем
H1 (𝐼(𝑥1 + 𝑆𝑐𝑙′ ) ⊗ 𝐿(𝑛𝐸𝑐𝑙′ )) ∼
= H0 (𝐿(𝑥1 + 𝑆𝑐𝑙′ ) ⊗ 𝐿(−𝑛𝐸𝑐𝑙′ ) ⊗ 𝐾𝑋 ′𝑐𝑙 ).
8
Для достаточно больших 𝑛 обратимый пучок 𝐿(𝑥1 + 𝑆𝑐𝑙′ ) ⊗ 𝐿(−𝑛𝐸𝑐𝑙′ ) ⊗ 𝐾𝑋 ′ имеет от𝑐𝑙
рицательную степень и, так как мы находимся на кривой, нулевые глобальные сечения,
следовательно, H1 обнуляется. Таким образом, для достаточно больших 𝑛 отображение
H0 (𝐿(𝑛𝐸𝑐𝑙′ )) → H0 (𝐿(𝑛𝐸𝑐𝑙′ )|𝑥1 +𝑆𝑐𝑙′ ) ∼
= 𝑘(𝑥1 ) × 𝑘[𝑆𝑐𝑙′ ]
cюръективно. Следовательно, существует сечение 𝐿(𝑛𝐸𝑐𝑙′ ), ограничение которого на 𝑆𝑐𝑙′
совпадает с 𝑠Δ ⊗ 𝑟1 , а в 𝑥1 это сечение принимает значение 1 ∈ 𝑘(𝑥1 ). Таким образом,
множество сечений удовлетворяющих условию 𝑠(𝑥1 ) = 0 имеет коразмерность один в 𝑀 .
Рассмотрим теперь точку 𝑥2 . Если она лежит в 𝑆𝑐𝑙′ − {𝑠Δ = 0}, то есть в 𝑆𝑐𝑙′ − {𝑥′ }, то
новое условие выделяет пустую подсхему. Если 𝑥2 = 𝑥′ , то 𝑥1 ̸= 𝑥′ и, следовательно, на
подсхеме {𝑥2 = 𝑥′ } в 𝑀𝑐𝑙 выделяется подмножество коразмерности 1, что нас устраивает.
По симметрии это же верно для {𝑥1 = 𝑥′ }. Таким образом, осталось показать, что когда
ни 𝑥1 , ни 𝑥2 не лежат в 𝑆𝑐𝑙′ условие 𝑠(𝑥2 ) = 0 выделяет подсхему коразмерности 1 в схеме
{𝑠 ∈ 𝑀𝑐𝑙 |𝑠(𝑥1 ) = 0}. Рассмотрим точную последовательность пучков
0 → 𝐼(𝑥2 + 𝑥1 + 𝑆𝑐𝑙′ ) ⊗ 𝐿(𝑛𝐸𝑐𝑙′ ) → 𝐿(𝑛𝐸𝑐𝑙′ ) → 𝒪𝑥2 +𝑥1 +𝑆𝑐𝑙′ ⊗ 𝐿(𝑛𝐸𝑐𝑙′ ) → 0.
Применяя, как и ранее, двойственность Серра получаем требуемое.
Пусть теперь 𝑥1 = 𝑥2 . Рассмотрим последовательность
0 → 𝐼(2𝑥1 ) ∩ 𝐼(𝑆𝑐𝑙′ ) ⊗ 𝐿(𝑛𝐸𝑐𝑙′ ) → 𝐿(𝑛𝐸𝑐𝑙′ ) → 𝒪2𝑥1 ∩𝑆𝑐𝑙′ ⊗ 𝐿(𝑛𝐸𝑐𝑙′ ) → 0.
Если 𝑥1 ̸= 𝑥′ , то условие, что 𝑠 обнуляется в 𝑥1 с кратностью два имеет коразмерность не
менее 2 для достаточно больших 𝑛, следует из двойственности и рассуждений про сюръективность. Для точек же 𝑥1 = 𝑥′ аналогичное рассуждение даёт только коразмерность 1.
Подводя итог, получаем, что размерность 𝑍𝑐𝑙 вычисляется по следующей формуле:
dim 𝑍𝑐𝑙 = dim𝑘(𝑥) H0 (𝐿(𝑛𝐸𝑐𝑙′ )) − dim𝑘(𝑥) 𝑘[𝑆𝑐𝑙′ ] − 2 + 1 = dim𝑘(𝑥) 𝑀𝑐𝑙 − 1,
для достаточно больших 𝑛. Следовательно, образ этой схемы имеет коразмерность не
менее 1 в 𝑀𝑐𝑙 . Тогда существует открытая подсхема внутри 𝑀𝑐𝑙 , которая удовлетворяет
всем условиям, кроме условия на бесконечности.
Покажем что внутри 𝑀𝑐𝑙 есть открытая подсхема, удовлетворяющая условиям на бесконечности. Рассмотрим отображение:
H0 (𝐿(𝑛𝐸𝑐𝑙′ )) → H0 (𝒪𝐸𝑐𝑙′ +𝑆𝑐𝑙′ ⊗ 𝐿(𝑛𝐸𝑐𝑙′ )),
′
возникшее из короткой точной последовательности пучков на 𝑋 .
0 → 𝐼(𝐸𝑐𝑙′ + 𝑆𝑐𝑙′ ) ⊗ 𝐿(𝑛𝐸𝑐𝑙′ ) → 𝐿(𝑛𝐸𝑐𝑙′ ) → 𝒪𝐸𝑐𝑙′ +𝑆𝑐𝑙′ ⊗ 𝐿(𝑛𝐸𝑐𝑙′ ) → 0.
Воспользуемся теоремой Серра об обращении в ноль. Тогда для достаточно больших
𝑛 это отображение сюръективно. Аналогичное отображение
H0 (𝐿(𝑛𝐸𝑐𝑙′ )) → H0 (𝒪𝐸𝑐𝑙′ ⊗ 𝐿(𝑛𝐸𝑐𝑙′ )|𝐸𝑐𝑙′ ) ∼
= 𝑘[𝐸𝑐𝑙′ ]
9
также является сюръективным. Рассмотрим в 𝑘[𝐸𝑐𝑙′ ] все обратимые элементы. Это точки
непустой открытой подсхемы в конечномерной 𝑘(𝑥) схеме H0 (𝑘[𝐸𝑐𝑙′ ]). Прообраз этой открытой подсхемы при указанном отображении открыт. Следовательно, схема 𝑀 ′ , равная
пересечению этого прообраза с 𝑀𝑐𝑙 , открыта и не пуста.
Теперь возьмём пересечение 𝑀 ′′ = (𝑀𝑐𝑙 − 𝑝𝑟 ∘ 𝑖(𝑍𝑐𝑙 )) ∩ 𝑀 ′ . Это открытая непустая
подсхема внутри аффинного 𝑘(𝑥) пространства.
Нам осталось проверить условие этальности. Так как поле 𝑘 и, следовательно, 𝑘(𝑥)
совершенно, для этого достаточно проверить, что есть открытое подмножество сечений
в 𝑀𝑐𝑙 , которые ни в какой точке не обращаются в 0 с кратностью 2. Однако последнее
условие эквивалентно тому, что сечение 𝑠 не лежит в образе ограничения 𝑍𝑐𝑙 на диагональ.
Это условие коразмерности 1.
Таким образом, схема 𝑀 ′′ обладает рациональной точкой (для достаточно больших 𝑛)
и параметризует сечения, которые доставляют решение задачи при ограничении с 𝑈 на
𝑘(𝑥).
Теперь задача сводится к тому, чтобы поднять это сечение с сохранением условия
𝑠|𝑈 ×𝐵 𝑆 = 𝑠Δ ⊗ 𝑟1 .
Рассмотрим следующую последовательность пучков
0 → 𝒪𝑋 ′𝑐𝑙 ∪ 𝑈 ×𝐵 𝑆 ′ → 𝒪𝑋 ′𝑐𝑙 ⊕ 𝒪𝑈 ×𝐵 𝑆 ′ → 𝒪𝑆𝑐𝑙′ → 0.
Умножая тензорно на 𝐿(𝑛𝐸 ′ ) и переходя к когомологиям, получаем точную последовательность:
0 → H0 (𝐿(𝑛𝐸 ′ )|𝑋 ′𝑐𝑙 ∪ 𝑈 ×𝐵 𝑆 ′ ) → H0 (𝐿(𝑛𝐸 ′ )|𝑋 ′𝑐𝑙 ) ⊕ H0 (𝐿(𝑛𝐸 ′ )|𝑈 ×𝐵 𝑆 ′ ) → H0 (𝐿(𝑛𝐸 ′ )|𝑆𝑐𝑙′ )
По теореме Серра, для достаточно больших 𝑛 эту последовательность можно продлить
нулём, не нарушая точности
0 → H0 (𝐿(𝑛𝐸 ′ )|𝑋 ′𝑐𝑙 ∪ 𝑈 ×𝐵 𝑆 ′ ) → H0 (𝐿(𝑛𝐸 ′ )|𝑋 ′𝑐𝑙 ) ⊕ H0 (𝐿(𝑛𝐸 ′ )|𝑈 ×𝐵 𝑆 ′ ) → H0 (𝐿(𝑛𝐸 ′ )|𝑆𝑐𝑙′ ) → 0.
′
Это означает, что любое сечение 𝐿(𝑛𝐸 ′ ) поднимается с 𝑋 𝑐𝑙 и 𝑈 ×𝐵 𝑆 ′ на их объединение
при условии согласованности на пересечении. Теперь рассмотрим последовательность
′
0 → 𝐼(𝑋 𝑐𝑙 ∪ 𝑈 ×𝐵 𝑆 ′ ) ⊗ 𝐿(𝑛𝐸 ′ ) → 𝐿(𝑛𝐸 ′ ) → 𝒪𝑋 ′𝑐𝑙 ∪ 𝑈 ×𝐵 𝑆 ′ ⊗ 𝐿(𝑛𝐸 ′ ) → 0.
Для достаточно больших 𝑛 индуцированное отображение на когомологиях сюръективно. Рассмотрим сечение 𝑠 ∈ 𝑀𝑐𝑙′′ . Оно согласовано с 𝑠Δ ⊗ 𝑟1 . Поднимем его до сечения 𝑠′1
′
расслоения 𝐿(𝑛𝐸 ′ ) сначала на 𝑋 𝑐𝑙 ∪ 𝑈 ×𝐵 𝑆 ′ , а затем на 𝑈 ×𝐵 𝑆 . Это и будет необходимым
сечением.
Пусть 𝑍1 — образ отображения (𝑖𝑑 × Π)|𝑍1′ . Тогда прообраз (𝑖𝑑 × Π)−1 (𝑍1 ) раскладывается в дизъюнктное объединение 𝑍1′ ⊔ 𝑍2′ . Это следует из того, что 𝑍1 ∼
= 𝑍1′ этально над
𝑈 , и, следовательно, (𝑖𝑑 × Π)−1 (𝑍1 ) этально над 𝑈 . Тогда все неприводимые компоненты
(𝑖𝑑 × Π)−1 (𝑍1 ) не пересекаются. Отметим также, что схема 𝑍2′ не пересекается с 𝑈 × 𝑆 ′ , так
как единственной возможной замкнутой точкой пересечения могла быть 𝑥′ , но она уже
лежит на 𝑍1′ .
10
Обозначим за 𝑠1 сечение расслоения 𝐿(𝑍1 ), обнуляющееся в точности на 𝑍1 . За 𝑠′2
обозначим сечение расслоения 𝐿(𝑍2′ ), обнуляющееся в точности на 𝑍2′ . Тогда имеет место
соотношение
(𝑖𝑑 × Π−1 )* 𝑠1 = 𝜇𝑠′1 ⊗ 𝑠′2 ,
где 𝜇 — некоторый обратимый элемент 𝑘[𝑈 ]. Без ограничения общности будем считать
𝜇 = 1, так как этот элемент зависит от выбора 𝑠′2 .
Рассмотрим расслоение 𝐿(𝑍1 ). Дивизор 𝑍1 изоморфен как схема дивизору 𝑍1′ на схеме
′
𝑋 , который эквивалентен дивизору 𝑛𝐸 ′ . По определению схема 𝐸 ′ является обратным
образом схемы 𝐸 вдоль морфизма 𝑖𝑑 × Π. Таким образом, имеет место соотношение
𝐿(𝑍1 ) ∼
= (𝑖𝑑 × Π)* (𝑛𝐸 ′ ) ∼
= (𝑖𝑑 × Π)* ((𝑖𝑑 × Π)* (𝑛𝐸)) ∼
= 𝑑𝑛𝐸,
= (𝑖𝑑 × Π)* (𝑍1′ ) ∼
где 𝑑 — это степень отображения Π. Таким образом, расслоение 𝐿(𝑍1 ) изоморфно расслоению 𝐿(𝑑𝑛𝐸). Отождествим их в дальнейшем.
Построим теперь сечение 𝑠0 ∈ H0 (𝐿(𝑑𝑛𝐸)), которое
∙ имеет вид 𝑠Δ ⊗ 𝑠′0 , где 𝑠′0 ∈ H0 (𝐿(𝑑𝑛𝐸 − ∆(𝑈 ))).
∙ 𝑠′0 совпадает с 𝑠1 ⊗ 𝑠−1
Δ на 𝐸 .
∙ 𝑠′0 совпадает с 𝑟1 ⊗ 𝑠′2 на 𝑈 ×𝐵 𝑆 .
Для доказательства рассмотрим точную последовательность
0 → 𝐼𝐸+𝑈 ×𝐵 𝑆 ⊗ 𝐿(𝑑𝑛𝐸 − ∆(𝑈 )) → 𝐿(𝑑𝑛𝐸 − ∆(𝑈 )) → 𝒪𝐸+𝑈 ×𝐵 𝑆 ⊗ 𝐿(𝑑𝑛𝐸 − ∆(𝑈 )) → 0.
Эта последовательность порождает длинную точную последовательность когомологий.
Для всех достаточно больших 𝑛, по теореме Серра, H1 (𝐼𝐸+𝑈 ×𝐵 𝑆 ⊗ 𝐿(𝑑𝑛𝐸 − ∆(𝑈 ))) обнуляются. Так как 𝐸 и 𝑈 ×𝐵 𝑆 не пересекаются, то 𝑘[𝐸 + 𝑈 ×𝐵 𝑆] ∼
= 𝑘[𝐸] × 𝑘[𝑈 ×𝐵 𝑆].
Следовательно,
H0 (𝒪𝐸+𝑈 ×𝐵 𝑆 ⊗ 𝐿(𝑑𝑛𝐸 − ∆(𝑈 ))) = H0 (𝒪𝐸 ⊗ 𝐿(𝑑𝑛𝐸 − ∆(𝑈 ))) ⊕ H0 (𝒪𝑈 ×𝐵 𝑆 ⊗ 𝐿(𝑑𝑛𝐸 − ∆(𝑈 ))).
В первом сомножителе содержится элемент 𝑠1 |𝐸 ⊗(𝑠Δ |𝐸 )−1 , который корректно определён,
так как 𝑠Δ не обращается в ноль на 𝐸 . Во втором сомножителе лежит элемент 𝑟1 ⊗ 𝑠′2 .
Исходя из обнуления первых когомологий, отображение
H0 (𝐿(𝑑𝑛𝐸 − ∆(𝑈 ))) → H0 (𝒪𝐸+𝑈 ×𝐵 𝑆 ⊗ 𝐿(𝑑𝑛𝐸 − ∆(𝑈 )))
cюръективно. Следовательно, существует элемент 𝑠′0 с заданными ограничениями.
Рассмотрим элемент H0 (𝐿(𝑛𝑑(𝐸 × A1 ))) вида (1 − 𝑡)𝑠0 + 𝑡𝑠1 . Так как ограничения (1 −
𝑡)𝑠0 + 𝑡𝑠1 на {0} × (𝐸 ⊔ 𝑈 ×𝐵 𝑆) и {1} × (𝐸 ⊔ 𝑈 ×𝐵 𝑆) совпадают, а (1 − 𝑡)𝑠0 + 𝑡𝑠1 линейно
по 𝑡, то ограничение (1 − 𝑡)𝑠0 + 𝑡𝑠1 на A1 × (𝐸 ⊔ 𝑈 ×𝐵 𝑆) постоянно. Тогда это сечение не
обращается в 0 на A1 × 𝐸 и A1 × (𝑈 − 𝑆) ×𝐵 𝑆 , так как таким же свойством обладает его
ограничение при 𝑡 = 1. Рассмотрим теперь функцию на A1 × 𝑈 ×𝐵 𝑋
ℎ𝑡 =
(1 − 𝑡)𝑠0 + 𝑡𝑠1
.
𝑠⊗𝑛𝑑
𝐸
11
Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы. Действительно, так как сечение
(1 − 𝑡)𝑠0 + 𝑡𝑠1 обратимо на бесконечности, а 𝑠⊗𝑛𝑑
обращается в ноль, то отображение
𝐸
1
1
1
(𝑖𝑑, (1 − 𝑡)𝑠0 + 𝑡𝑠1 : 𝑠⊗𝑛𝑑
𝐸 , 𝑝𝑟𝑈 ) : A × 𝑈 ×𝐵 𝑋 → A × P𝑈
конечно и сюръективно по лемме 2.3. Следовательно, его ограничение на A1 × A1𝑈 конечно
и сюръективно, а оно совпадает с ℎ𝑡 . Остальные свойства следуют непосредственно из
конструкции ℎ𝑡 .
4. Геометрическое построение для второй части теоремы
об этальном вырезании
Этот раздел посвящён доказательству второй основной теоремы, являющейся технической базой для доказательства сюръективной части теоремы об этальном вырезании.
Формулировка теоремы представлена в [3, Proposition 10.5]. Обозначим сужение морфизма Π на 𝑈 ′ за 𝜋 . Также рассмотрим ∆′ : 𝑈 ′ → 𝑈 ′ ×𝐵 𝑋 ′ - естественное отображение. Его
образ изоморфен 𝑈 ′ .
−1
Рассмотрим схему Π (𝑋) ⊆ 𝑋 ′ . Эта схема совпадает с нормализацией 𝑋𝑛′ схемы 𝑋
′
и
внутри 𝑘(𝑋 ′ ). Следовательно, дополнение до 𝑋 ′ − 𝑋 ′ есть объединение двух схем 𝑋∞
′
′
замыкания 𝑌 из замечания 2.1. Заметим, что подсхема 𝑌 конечна над базой 𝐵 , так как
схема 𝑌 конечна над 𝐵 , а схема 𝑌 ′ замкнута в конечной над 𝑌 схеме Π−1 (𝑌 ). Так как схема
′
𝑌 ′ лежит над 𝑌 , которая не пересекает 𝑋∞ , то 𝑌 ′ ∩ 𝑋∞
= ∅. Следовательно, 𝑌 ′ замкнуто
′
′
обилен по лемме 2.2, то и 𝑋∞
⊔ 𝑌 ′ обилен.
в 𝑋 ′ и является дивизором Картье. Так как 𝑋∞
Таким образом, схемы
′
′
˓→ 𝑈 ′ ×𝐵 𝑋 ′ ,
𝐷 = 𝑈 ×𝐵 𝑌 ′ ∪ 𝑋∞
˓→ 𝑈 ×𝐵 𝑋 ′ ; 𝐷′ = 𝑈 ′ ×𝐵 𝑌 ′ ∪ 𝑋∞
задают обильные дивизоры Картье на 𝑈 ×𝐵 𝑋 ′ и 𝑈 ′ ×𝐵 𝑋 ′ , соответственно.
Теорема 2. В предположениях и обозначениях леммы 2.1 существуют функции 𝐹 ∈
𝑘[𝑈 ×𝐵 𝑋] и ℎ′𝑡 ∈ 𝑘[A1 × 𝑈 ′ ×𝐵 𝑋 ′ ]
a) Морфизм (𝑝𝑟, ℎ′𝑡 ) : A1 × 𝑈 ′ ×𝐵 𝑋 ′ → A1 × 𝑈 ′ × A1 конечный и сюръективный, и, следо-
вательно, замкнутая подсхема 𝑍𝑡′ = ℎ′𝑡 −1 (0) ⊆ A1 × 𝑈 ′ ×𝐵 𝑋 ′ конечная, плоская и
сюръективная над A1 × 𝑈 ′ .
b) Замкнутая подсхема 𝑍0′ = ℎ′𝑡
−1
(0) раскладывается в дизъюнктное объединение 𝑍0′ =
∆′ (𝑈 ′ ) ⊔ 𝐺′ , причём 𝐺′ ⊆ 𝑈 ′ ×𝐵 𝑋 ′ − 𝑆 ′ .
c) ℎ′1 = (𝜋 × 𝑖𝑑)* (𝐹 ).
d) 𝑍𝑡′ ∩ A1 × (𝑈 ′ − 𝑆 ′ ) ×𝐵 𝑆 ′ = ∅
e) Морфизм (𝑝𝑟𝑈 , 𝐹 ) : 𝑈 ×𝐵 𝑋 ′ → 𝑈 × A1 конечный и сюръективный, и, следовательно,
схема 𝑍1 = 𝐹 −1 (0) ⊆ 𝑈 ×𝐵 𝑋 ′ конечная, плоская и сюръективная над 𝑈 .
f ) 𝑍1 ∩ (𝑈 − 𝑆) ×𝐵 𝑆 ′ = ∅
12
Доказательство. Так как наша цель состоит в построении функции 𝐹 , так, что обратный
образ 𝐹 ведёт себя определённым образом на ∆′ (𝑈 ′ ), то естественно рассмотреть подсхему (𝜋 × 𝑖𝑑)(∆(𝑈 ′ )) ˓→ 𝑈 ×𝐵 𝑋 ′ . Опишем эту подсхему. Для этого построим следующую
диаграмму
𝑋
′
Π
𝑋
Γ=(Π,𝑖𝑑)
𝑋 ×𝐵 𝑋
′
Δ
𝑖𝑑×Π
𝑋 ×𝐵 𝑋.
Таким образом, отображение Γ определено, является заменой базы диагонали и задаёт
сечение отображения 𝑝𝑟𝑋 ′ . Значит, по лемме 2.4 Γ есть дивизор Картье. Образ Γ есть в
точности график отображения Π. Следующая диаграмма содержит определение отобра′
жения Γ как обратного образа отображения Γ.
′
′
𝑋 ×𝑋 𝑋
Δ′
′ Γ =(𝑖𝑑,𝑖𝑑)
𝑝𝑟1
𝑋
′
′
𝑋 ×𝐵 𝑋
Δ′
𝑝𝑟2
𝑋
(Π×𝑖𝑑)
Γ
′
′
𝑋 ×𝐵 𝑋
′
′
Π
𝑝𝑟2
𝑋.
′
′
Отображение ∆′ : 𝑋 ′ → 𝑋 ×𝐵 𝑋 очевидно пропускается через Γ . Сделаем замену
базы всей диаграммы относительно морфизма 𝑈 → 𝑋 . Так как 𝑉 , 𝑋 , 𝑋 ′ — элементарный
квадрат Нисневича, то 𝑈 ×𝑋 𝑋 ′ = 𝑈 ′ . Исходя из этого, диаграмма принимает вид
𝑈 ′ ×𝑈 𝑈 ′
Δ′
𝑝𝑟1
𝑈′
Γ′ =(𝑖𝑑,𝑖𝑑)
𝑈 ′ ×𝐵 𝑋
Δ′
Γ
′
𝑝𝑟2
(𝜋×𝑖𝑑)
𝑈 ×𝐵 𝑋
′
𝑈′
𝜋
𝑝𝑟2
𝑈.
Отождествим отображения Γ и Γ′ с соответствующими им замкнутыми подсхемами. В
таких обозначениях получаем, что Γ в точности совпадает с образом ∆′ (𝑈 ′ ) при отображении 𝜋 × 𝑖𝑑. Отображение Γ′ является заменой базы отображения Γ. Тогда прообраз
схемы Γ относительно 𝜋 × 𝑖𝑑 есть Γ′ , которая содержит ∆′ (𝑈 ′ ). Заметим, что обе подсхемы
являются дивизорами Картье как обратные образы дивизоров Картье.
Лемма 4.1. Γ′ = ∆′ (𝑈 ′ ) ⊔ 𝐺′ , причём 𝐺′ ∩ 𝑈 ′ ×𝐵 𝑆 ′ = ∅.
Доказательство. 𝑈 ′ этальна над 𝑈 . Следовательно, образ диагонали замкнут и открыт в
𝑈 ′ ×𝑈 𝑈 ′ , следовательно, является компонентой связности. Его дополнение обозначим за
𝐺′ . Рассмотрим Γ′ ∩ 𝑈 ′ ×𝐵 𝑆 ′ . Эта схема изоморфна 𝑈 ′ ×𝑈 𝑆𝑈′ ′ ∼
= 𝑈 ′ ×𝑆𝑈 𝑆𝑈′ ′ ∼
= 𝑆𝑈′ ′ . Однако
последняя, очевидно, содержит только одну замкнутую точку, отвечающую диагонали.
Если бы схема 𝐺′ пересекалась с 𝑈 ′ ×𝐵 𝑆 ′ , то содержала бы эту диагональную точку, что
противоречило бы определению 𝐺′ .
Рассмотрим расслоения 𝐿(𝐷), 𝐿(Γ), 𝐿(∆′ ), 𝐿(𝐺′ ) и их канонические сечения 𝑠𝐷 , 𝑠Γ , 𝑠Δ′ ,
𝑠𝐺′ . Имеет место короткая точная последовательность когерентных пучков на 𝑈 ×𝐵 𝑋 ′ .
0 → 𝐼(𝑈 ×𝐵 𝑆 ′ + 𝐷) ⊗ 𝐿(𝑛𝐷) → 𝐿(𝑛𝐷) → 𝒪𝑈 ×𝐵 𝑆 ′ +𝐷 ⊗ 𝐿(𝑛𝐷) → 0.
13
По теореме Серра об обращении в ноль, для всех достаточно больших 𝑛 отображение
H0 (𝐿(𝑛𝐷)) → H0 (𝐿(𝑛𝐷)|𝑈 ×𝐵 𝑆 ′ +𝐷 )
сюръективно. Схемы 𝑈 ×𝐵 𝑆 ′ и 𝐷 не пересекаются, а также являются полулокальными
схемами. Таким образом, сужение любого расслоения тривиально на 𝑈 ×𝐵 𝑆 ′ ⊓𝐷. Рассмотрим элемент 𝑟1 ∈ H0 (𝐿(𝑛𝐷 − Γ)|𝑈 ×𝐵 𝑆 ′ ), нигде не обращающийся в ноль. Также рассмотрим
элемент 𝑠∞ ∈ H0 (𝐿(𝑛𝐷)|𝐷 ), нигде не обращающийся в ноль. Так как
H0 (𝐿(𝑛𝐷)|𝑈 ×𝐵 𝑆 ′ +𝐷 ) ∼
= H0 (𝐿(𝑛𝐷)|𝑈 ×𝐵 𝑆 ′ ) ⊕ H0 (𝐿(𝑛𝐷)|𝐷 ),
то существует сечение 𝑓1 ∈ H0 (𝐿(𝑛𝐷)), чьё ограничение на 𝑈 ×𝐵 𝑆 ′ совпадает с 𝑟1 ⊗𝑠Γ |𝑈 ×𝐵 𝑆 ′ ,
а ограничение на 𝐷 равно 𝑠∞ .
Рассмотрим сечение 𝑠1 расслоения 𝐿(𝑛𝐷′ ), заданное соотношением 𝑠1 = (𝜋 × 𝑖𝑑) * (𝑓1 ).
Оно удовлетворяет свойствам:
1) 𝑠1 не обращается в ноль на 𝐷′ .
2) 𝑠1 = 𝑟1′ ⊗ (𝑠Δ′ ⊗ 𝑠𝐺′ )|𝑈 ′ ×𝑆 ′ , где 𝑟1′ = (𝜋 × 𝑖𝑑) * (𝑟1 ).
Вообще говоря, последнее равенство верно только с точностью до обратимого элемента
𝑘[𝑈 ′ ]. Однако, ничто не мешает изменить элемент, который не участвовал в рассуждениях
до этого, например 𝑠𝐺′ , так, чтобы равенство стало справедливым.
′
Рассмотрим короткую точную последовательность пучков на 𝑈 ′ × 𝑋
0 → 𝐼(𝑈 ′ ×𝐵 𝑆 ′ + 𝐷′ ) ⊗ 𝐿(𝑛𝐷′ ) → 𝐿(𝑛𝐷′ ) → 𝒪𝑈 ′ ×𝐵 𝑆 ′ +𝐷′ ⊗ 𝐿(𝑛𝐷′ ) → 0.
По теореме Серра, для всех достаточно больших 𝑛 cюръективно отображение
H0 (𝐿(𝑛𝐷′ − ∆′ (𝑈 ′ ))) → H0 (𝐿(𝑛𝐷′ − ∆′ (𝑈 ′ ))|𝑈 ′ ×𝐵 𝑆 ′ +𝐷′ ).
Как и ранее, схемы 𝑈 ′ ×𝐵 𝑆 ′ и 𝐷′ не пересекаются и, следовательно, можно найти глобальное сечение 𝐿(𝑛𝐷′ − ∆′ (𝑈 ′ )) с любыми ограничениями на 𝑈 ′ ×𝐵 𝑆 ′ и 𝐷′ .
′
Возьмём сечение 𝑠′0 , совпадающее на бесконечности с 𝑠1 |𝐷′ ⊗ 𝑠Δ′ |−1
𝐷′ и равное 𝑟1 ⊗
′
′
𝑠𝐺′ |𝑈 ′ ×𝐵 𝑆 ′ на 𝑈 ×𝐵 𝑆 .
Возьмём сечение 𝑠0 = 𝑠′0 ⊗ 𝑠Δ′ . Тогда функции
𝐹 =
(1 − 𝑡)𝑠0 + 𝑡𝑠1
𝑓1
′
⊗𝑛 , ℎ𝑡 =
𝑠𝐷
𝑠⊗𝑛
𝐷′
удовлетворяют заключению теоремы. Действительно, необходимо лишь применить, как в
предыдущей теореме, лемму 2.3. Остальные свойства следуют из построения 𝐹 и ℎ′𝑡 .
Список литературы
[1] Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — МИР, 1981.
[2] Garkusha G., Panin I. Framed motives of algebraic varieties (after V. Voevodsky). —
preprint, 2014. — URL: http://arxiv.org/abs/1409.4372.
14
[3] Garkusha G., Panin I. Homotopy invariant presheaves with framed transfers. — preprint,
2015. — URL: http://arxiv.org/abs/1409.4372.
[4] Panin I., Stavrova A., Vavilov N. Grothendieck–Serre’s conjecture concerning principal Gbundles over reduc- tive group schemes: I // Compos. Math. — 2015. — Vol. 151(3). —
P. 535–567.
[5] Voevodsky V. Cohomological theory of presheaves with transfers, in Cycles, Transfers, and
Motivic Homology Theories // Ann. Math. Studies. — 2000.
[6] Voevodsky V. Triangulated categories of motives over a field, in Cycles, Transfers, and
Motivic Homology Theories // Ann. Math. Studies. — 2000.
[7] Voevodsky V. Notes on framed correspondences. — unpublished, 2001. — URL: https:
//www.math.ias.edu/vladimir/sites/math.ias.edu.vladimir/files/framed.pdf.
15
Отзывы:
Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв