Санкт-Петербургский государственный университет
Механика и математическое моделирование
Механика жидкости, газа и плазмы
Уразбахтин Тимур Ирекович
«Парные сумматорные ряды в теории локального взаимодействия»
Выпускная квалификационная работа
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук, профессор Мирошин.Р.Н.
Рецензент:
доктор физико-математических наук, профессор Халидов.И.A.
Санкт-Петербург
2016г.
SAINT-PETERSBURG STATE UNIVERSITY
Mechanics and mathematical modeling
Mechanics of a liquid, gas and plasma
Urazbahtin Timur
“Paired summatory series in theory of local interaction”
Graduation Thesis
Scientific supervisor:
Professor, Doctor of Physics and Mathematics Miroshin Roman
Reviewer:
Professor, Doctor of Physics and Mathematics Khalidov Iscander
Saint-Petersburg
2016
Содержание
Введение…………………………………………………………………………..4
1. Глава I. Теория локального взаимодействия……………………………......5
1.1.Происхождение теории локального взаимодействия…………………..5
1.2. Модель Исаака Ньютона …………………………………………….....7
2. Глава II. Применение ТЛВ ………………………………………...................10
2.1. Естественный ряд для коэффициентов реакции………………….10
2.2. Опорная функция………………………………………………………...11
2.3.Осесимметричный случай……………………………………………….13
2.4.Первая обратная задача ТЛВ……………………………………………..15
2.5.Базисные тела……………………………………………………………...17
3.Заключение……………………………………………………………………..20
4.Список используемой литературы……………………………………………21
3
Введение.
На ранних стадиях проектирования формы летательного аппарата,
нужно быстро выбрать из большого количества альтернативных компоновок
ту, которая в максимальной степени удовлетворяет техническому заданию.
Ресурс времени для выбора обычно мал, поэтому трудоемкие точные
расчеты, которые нужно делать для каждой компоновки отдельно,
совершенно непригодны. Приходится прибегать к упрощенным методам,
делая упор не на точности, а на простоте и быстроте расчета. Этим
требованиям удовлетворяет теория локального взаимодействия (ТЛВ).
Настоящая работа включает в себя две главы, первая из которых отведена
теории и первой модели ТЛВ, вторая — решению первой обратной задачи
ТЛВ для летательного аппарата, состоящего из трех сегментов.
4
Г л а в а I. Теория локального взаимодействия.
В этой главе собраны математические результаты и основные определения,
используемые в дальнейшем. Основополагающим источником литературы
является Р.Н. Мирошин, И. А. Халидов. [3]. В 1.1 используются известные
основные формулы механики сплошных сред, рассмотренные в [4]. Далее
изучается первая модель ТЛВ и ее о собенно сти применения.
1.1. Происхождение теории локального взаимодействия.
Сила F
и момент M , действующие со стороны среды на движущееся в
ней тело, и поток Q тепла от среды к телу при отсутствии в среде массовых
сил вычисляются интегрированием по поверхности тела величин,
называемых коэффициентами обмена и представляющих собой безразмерные
количество движения c F (r s ) . Момент количества движения r s × c F (r s )
и
количество тепла c Q ( r s ) , которые передаются средой единичной площадке
около
т о ч к и rs
❑
F=k ∬ c F ( r s ) dS ,
R
поверхности
❑
M =k ∬ r s × c F ( r s ) dS ,
тела в единицу времени:
(1)
R
❑
Q=k v ∞ ∬ c Q ( r s ) dS ,
R
г д е k =ρ ∞ v 2∞ /2-скоростной напор, v∞ и ρ ∞ −¿ соответственно скорость
(относительно тела) и плотность невозмущенной телом среды, R−¿ область
поверхности тела, на которой подынтегральная функция отлична от нуля.
Расчет по формулам (1) несложен, если известны коэффициенты обмена
c F и c Q . Однако, чтобы их получить, необходимо решить задачу обтекания
средой тела, что для большинства сред непосильно даже с привлечением
самых мощных компьютеров или требует значительных ресурсов времени и
памяти для получения ответа.
Интегральные характеристики (1) реакции среды на тело необходимы не
только сами по себе, но и для решения задачи о движении тела и его
5
управлении, причем они входят слагаемыми в уравнения движения. Поэтому
желательно представлять (1) в виде аналитических зависимостей от
параметров движения и управления. Проблема обычно решается
стандартными процедурами анализа-например, аппроксимацией интегралов в
(1) отрезками рядов Тейлора по соответствующим параметрам с
последующим нахождением коэффициентов эмпирически для каждого
конкретного летательного аппарата. По существу, это эмпирические
процедуры.
Теория локального взаимодействия призвана удовлетворить обоим
сформулированным выше требованиям: практически мгновенно с
достаточной для первых стадий проектирования точностью определять
интегральные характеристики (1) и притом в аналитической форме по
параметрам ориентации тела по отношению к вектору скорости v∞
невозмущенной среды.
Локальные методы находят все более широкое применение в аэродинамике и
космической технике на стадии эскизного проектирования летательных
аппаратов для расчета аэродинамических сил и моментов. К середине XX
столетия оказалось, что при предельных по числу Кнудсена режимах
о б т е ка н и я т е л а п ото ком и н т е г р а л ь н ы е ха р а кт е р и с т и к и ( 1 ) с
удовлетворительной точностью описываются локальными моделями без
решения трудоемкой задачи.
Большой вклад в развитие ТЛВ внесли ленинградские и московские ученые в
1962–1970 гг. Были впервые опробованы методы приближенного расчета сил
и моментов (1) тел различной формы (острых и затупленных по сфере
круговых конусов с различными углами раствора во всем диапазоне углов
атаки) при нескольких значения числах Кнудсена на основе ТЛВ.
6
1.2. Модель Исаака Ньютона.
Первым кто определил сопротивление движению в газах и жидкостях был
Ньютон. Ученый, опираясь на общие законы механики, решил, что среда,
обтекающая тело, со стоит из одинаковых частиц, которые
не
взаимодействуют между собой. При столкновении с элементом поверхности
тела частицы изменяют нормальную к элементу составляющую своего
количества движения, вследствие чего и возникает сила давления потока на
тело [4].
Согласно теории Ньютона, давление на элемент поверхности тела
определяется только ориентацией этого элемента по отношению к
набегающему потоку частиц, независимо от формы остальной части
тела. При этом
сопротивление тела зависит только от формы головной
части, так как эта часть тела испытывает столкновения с частицами.
Обтекание тела:
7
Согласно теории Ньютона давление в “аэродинамической тени” равно нулю.
Для определения величины давления потока частиц на тело рассмотрим
элемент поверхности F , наклоненный под углом α
к направлению
набегающего потока. Масса частиц, сталкивающихся с этим элементом
поверхности в единицу времени, определяется формулой ρvFsinα , где
ρ−¿ п л о т н о с т ь с р е д ы и
v−¿ скорость движения частиц. Сила,
действующая на элемент F , зависит только от характера взаимодействия
между частицами и поверхностью тела. При неупругом столкновении
нормальная составляющая данной силы
равна
2
2
ρ v F sin α , так как
количество движения единицы массы изменяется в нормальном направлении
к
F
на vsinα .
Тогда давление, вычисляемое как отношение нормальной
силы к площади, на которую эта сила действует, равна
2
2
p=ρ v sin α
[4].
Ньютон получил формулу для местного коэффициента давления:
c p=
2p
=
2
ρv
{
2 cos 2 θ ,0 ≤ θ ≤
0,
π
≤θ≤ π
2
π
2
.
8
Угол α
π
связан с местным углом падения θ соотношением α= 2 −θ .
Данная формула была основой для расчета сопротивления движению тел в
воздухе и для определения ветровых нагрузок на элементы строений более
двух столетий.
Оказалось, что в сверхзвуковой авиации лучше подходит видоизменная
π
2
формула Ньютона, а именно c p=2 p0 cos θ ,0 ≤ θ ≤ 2
. Параметр p0
можно
получить экспериментально или теоретически в случае, когда
происходит
адиабатиче ское
называется
модифицированной
д в и ж е н и е . Это
выражение
формулой Ньютона.
В этой первой модели отразился основной постулат ТЛВ (в старину сказали
б ы , ч т о Т Л В “ п р о з я б л а и з з е р н а ” ф о р м у л ы Н ь ю т о н а [1]).
А именно, локальный характер взаимодействия среды и тела (движущееся
тело практически не возмущает среду), так что влияние среды на элемент
поверхности тела при неизменных параметрах подобия зависит только от
отражательных свойств элемента поверхности и скорости среды
относительно тела и не зависит от присутствия других участков
поверхности (гипотеза локальности).
9
Глава II. Применение Т
Л
В
.
В этой главе исследуется естественный ряд для коэффициента реакции
и конкретизируется для осесимметричных тел. Далее решается первая
обратная задача ТЛВ, когда летательный аппарат состоит из трех сегментов.
Для начала дадим некоторые определения, используемые в дальнейшем.
Совокупность вещественных непрерывных в интервале t ∈ [ a ,b ] функций
n
{uk ( t ) }k =0= {u0 ( t ) , u1 ( t ) , … , un ( t ) } называет ся чебышевской системой функции
n
п о р я д к а n ,е с л и л ю б о й о б о б щ е н н ы й многочлен P ( t )=∑ ai ui ( t )
i=0
имеет в
[ a , b]
не
более n
в е щ е с т в е н н ы х корней [1].
Полином Л е ж а н д р а - м н о гоч л е н , кот о р ы й м ож н о п р е д с т а в и т ь в
10
2
виде
x −1
¿
¿
, определенный на отрезке
n
1 d
P n ( x )= n
¿
2 n ! d xn
[ −1,1 ] .
2.1.Естественный ряд для коэффициентов реакции.
Математический аппарат ТЛВ исчерпывается изучением особым
поверхностным интегралом первого рода в случае выпуклых тел (его
н а з ы в а ю т орие н т ирован н ы м в опред ел е н н ом н аправ л е н ии v
поверхностным интегралом 1-го рода)
❑
∬ f ( v n ) dS ,
S
г д е n−¿ внутренняя нормаль к рассматриваемому элементу, v характерное направление движения среды по отношению к телу,
интегрирование производится по поверхности S тела, v n
произведение векторов n и v , а функция
-скалярное
ρ
) может быть любой (лишь
f¿
бы интеграл имел смысл).
Развитие математического аппарата теории локального взаимодействия
позволяет еще дальше расширить область приложения, включая задачи о
проникновении ударника с большой скоростью в твердую среду и об
аэродинамической расчете объектов во всех режимах, включая дозвуковой
поток. Исследования по теме работы стимулируются также все
возрастающими требованиями к точности и быстроте расчета, к учету
многообразных физических и геометрических факторов, таких, как эффекты
затенения, вариации режима обтекания, вращение объекта, изменение
положения отдельных элементов конструкции в процессе полета, свойства
поверхности и физические процессы на ней и др.[1]
Для выпуклых тел коэффициент реакции представляется в виде
однократного интеграла:
11
1
C ( α , φ ) =∫ f ( ρ ) q ( ρ , α , φ ) d ρ ,(2) в котором функция реакции
−1
ρ
) аккумулирует
f¿
все физические свойства среды и тела, в том числе физические механизмы
взаимодействия среды с элементами поверхности,
характеризуют положение вектора
v
у г л ы α иφ
по отношению к телу, а опорная
ρ
функция q ¿ , α, ϕ) ≥ 0-всю геометрию тела, включая его ориентацию (углы
α и φ ) по отношению к характерному направлению движения среды.
2.2.Опорная функция.
Выведем для этой функции дифференциа льно е уравнение.
Пусть α и φ−¿ углы сферической системы координат, связанной с телом, в
которой
орт
скоро сти
имеет
представление
cos α
φ
v = ¿ , sin α cos φ ,−¿ sin α sin ¿ .
Из последнего равенства дифференцированием получаем соотношения
φ
−sin α ,cos α cos φ ,−cos α sin ¿ ,
∂v
vα ≡
=¿
∂α
∂v
vφ ≡
=−( 0 ,sin α sin φ , sin α cos φ ) ,
∂φ
2
v αα ≡
2
∂ v
v φφ ≡ 2 = ( 0 ,−sin α cos φ ,sin α sin φ ) .
∂φ
12
∂ v
=−v ,
∂ α2
Так как векторы v , v α
и vφ
ортогональны друг другу, то
| v α ∨¿
vα
¿
¿
| v φ ∨¿
vφ
,
¿
¿
¿
¿
vn ) 2 +¿
¿
откуда в силу ( vα ) 2=1 , ( v α )2=sin 2 α имеем
2
2
2
2
ρα + ρ φ cosec α=1− ρ ,
где
ρ=vn, ρ α ≡
∂ρ
∂ρ
=v α n , ρ φ= =v φ n .
∂α
∂φ
Введем операторы
L=
2
J=cosec α
2
2
∂
∂
∂
+ 2 +ctg α
,
2
∂α
∂φ ∂α
d
( 1− ρ 2) d . Используя полученные равенства, убеждаемся в
dρ
dρ
справедливости
J {ψ }=L {ψ }
может быть
тождества
для любой дважды дифференцируемой функции ψ ( ρ ) (она
и
векторнозначной).
ρ
Предположим, что функция реакции f ¿ ) дважды непрерывно
дифференцируема, так что удовлетворяет последнему тождеству. Заменим в
ρ
нем ψ ( ρ ) на f ¿ ) и проинтегрируем по поверхности S тела Σ . Так как
в связанной с телом системе координат поверхность S не зависит от углов
α и φ , как не зависит от них и элемент поверхно сти
13
dS , т о
дифференцирование по α и φ
можно вынести за знак интеграла, т.е.
2
2
2
∬ ∂∂ φf2 dS= ∂∂φ2 ∬ fdS=C φφ ,
В
итоге
∬ ∂∂αf =Cα ,
∂ f
dS=¿C αα .
∂ α2
∬¿
1
р а в е н с т в о J {C } = S
получаем
M
( S M −¿ характерная площадь тела)
, которое
∬ L { f } dS
с помощью (2) и опорной
функции q представляется в виде
J
{
1
∫ f ( ρ ) q ( ρ , α ,φ ) d ρ
−1
}
=
1
∫ L { f } q ( ρ ,α , φ ) d ρ .
(3)
−1
В правой части имеем ту же функцию q
,
определяется лишь геометрией тела Σ
и углами α и φ
что и в левой, поскольку ее вид
и не зависит от
f ( ρ) .
Дважды применяя к правой части (3) операцию интегрирования по частям,
находим, что она р
а
в
н
а
1
∫ f ( ρ ) [ 2 ρ q ρ +( 1−ρ 2 ) q ρρ ]d ρ ,
−1
поскольку внеинтегральные члены обращаются в нуль из-за множителя
2
1− ρ
.Используя
это соотношение (3) можно записать в виде
1
∫ f ( ρ ) [ J− L ] { q ( ρ , α ,φ ) } d ρ=0,
откуда в силу произвольности f ( ρ )
сразу
−1
следует, что
частных
q ( ρ ,α , φ )
удовлетворяет дифференциальному уравнению в
производных
в т о р о г о порядка
Таким образом, коэффициент реакции C (α , φ)
J { q }=L { q }
.
для выпуклого тела
выражается как однорократный интеграл (2) и опорная функция
удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных.
14
2.3. Осесимметричный случай.
Рассмотрим движение, когда тело осесимметрично. Тогда взаимная
ориентация тела и потока определяется только углом α , так что
C ( α , φ ) ≡ C ( α ) , q ( ρ , α ,φ ) ≡ q ( ρ ,α )
1
C ( α )=∫ f ( ρ ) q ( ρ , α ) d ρ
и формула (2) принимает вид
.
(4)
−1
Так как
оператор L
симметричен и
представляет собой
дифференциальную часть уравнения Лежандра, разложим опорную функцию
как
q ( ρ ,α , φ )
функцию
ρ .
Так как в нашем случае опорная функция q не зависит от φ ,то:
∞
q ( ρ ,α )=∑ ω k (α) P k ( ρ) ,
(5)
k=0
где
P k ( ρ ) −¿ полиномы Лежандра:
L { P k (ρ) }+k ( k +1 ) Pk ( ρ )=0.
п р о п о р ц и о н а л ь н ы п ол и н ом а м
Так как ωk (α )
Лежандра P k (cos α) , то:
ω k ( α )=s k Pk (cos α ) ,
где
(6)
s k −¿ константы.
Таким образом, ряд (5) для опорной функции тела вращения вследствие (6)
можно записать как:
∞
q ( ρ ,α )=∑ sk P k ( cos α ) P k ( ρ ) .
(7)
k =0
Подставляем (7) в (4) и получаем естественный ряд для коэффициента
реакции:
∞
С ( α )=∑ μk s k P k ( cosα )
(8)
k=0
Константы μk
в (1.3) называются коэффициентами режима. Они зависят
от параметров, характеризующих среду и взаимодействие среды и тела
15
(параметров подобия типа числа Маха, числа Кнудсена в аэродинамике), и
с у т ь о б о б щ е н н ы е м о м е н т ы ф у н к ц и и р е а к ц и и f ( ρ)
чебышевской системе
по
∞
{Pk ( ρ)}k =0 :
1
μk =∫ f ( ρ ) P k ( ρ ) d ρ , k=0,1, …
−1
А sk
называются коэффициентами формы, и суть обобщенные моменты
опорной функции q ( ρ ,α )
п о {Pk ( ρ)}n0 (n− любое целое число) :
п р и α=0
1
s k δ 2k =lim ∫ q ( ρ , α ) P k ( ρ ) d ρ . Константы
2
δ k −¿ нормировочные константы для
α →0 −1
полиномов
Лежандра:
1
δ
2
k
2
.
∫ P k ( ρ ) d ρ= 2 k+1
−1
2.4.Первая обратная задача ТЛВ.
Экспериментально получить коэффициент реакции С ( α ) легче , чем функци
ю реакции f ( ρ ) (например, в аэродинамике С ( α ) можно получить, измер
яя силы, действующие на модель тела, на аэродинамических весах в
аэродинамической трубе).
Рассмотрим первую обратную задачу ТЛВ-найти функцию реакции f ( ρ ) по
известной геометрии тела (т.е. по известной опорной функцией q ( ρ ,α ) ) и
известному коэффициенту реакции С ( α ) .
Летательный аппарат часто состоит из сегментов нескольких тел, для
каждого из которых известен коэффициент реакции только при определенных
углов атаки α . Так как ТЛВ – теория полуэмпирическая (аппроксимируем
f ( ρ ) ), решать обратную задачу будем одновременно для всех сегментов,
образующих
тело,
чтобы
функция
р е а к ц и и f ( ρ)
была одинаковой для всех сегментов.
В вестнике [2] был рассмотрен случай, когда выпуклое тело состояло из 2
16
сегментов. Теперь решим первую обратную задачу ТЛВ, когда летательный
(2)
аппарат состоит из трех тел с набором коэффициентов формы s(1)
k , sk
s(3)
, где
k
реакции С 1 ( α )
k =0,1 , …
и
Предположим, что для первого тела коэффициент
известен в диапазоне α ∈ [ 0,α 0 ] ,
для второго С 2 ( α )
в
диапазоне α ∈¿ и для третьего С 3 ( α ) в диапазоне α ∈¿ .
Распишем естественный ряд (4) для нашего случая:
{
С 1 ( α )=∑ μ k s (k1) P k cos ( α ) , 0 ≤ α ≤ α 0
k =0
¿ C 2 ( α )=∑ μk s (k2 ) P k cos ( α ) , α 0 ≤ α ≤ α 1
(9)
k=0
С 3 ( α )=∑ μ k s (k3 ) Pk cos ( α ) , α 1 ≤ α ≤ π
k=0
Суммы должны быть сходящимися рядами или конечны. Заметим, что
система (9) - частный случай уравнения с разнородными граничными
условиями. То есть системы:
{
∑ ak c❑k u k ( x ) =f ( x ) , x ∈ A
n=0
∑ b k c❑k u k ( x ) =g ( x ) , x ∈ B
¿
г
n=0
❑
k k
(10)
∑d
c uk ( x )=d ( x ) , x ∈ Ω− ( A+B )
д
е c k −¿ неизве стные по стоянные,
n=0
принадлежат вещественной оси, при этом Α ⊂ Ω
и νk ( x ) ортогональны в интервале
❑
∫ um ( x ) νk ( x ) dx=hm δ mk
, (11)
интервалы Α , Β и
Ω−¿
и Β ⊂ Ω , а функции uk ( x )
Ω , т.е.
где
δ mk −¿ символ Кронекера, hm −¿
Ω
нормировочная константа.
В в е д е м функцию
{
η ( x ∈ A )= 1 , x ∈ A ;
0, x ∉ A
Преобразуем систему (10) к системе линейных алгебраических уравнений.
17
Для этого первую сумму умножим на η ( x ∈ A ) ,вторую на η ( x ∈ В ) ,третью
на
A +В
x ∈ Ω−(¿) , затем полученные суммы сложим и умножим на
¿
η¿
проинтегрируем по x
и
νn ( x )
в и н т е р ва л е Ω .Учитывая ортогональность
ф у н к ц и й un ( x )
и νn ( x )
❑
❑
A
A
an
получаем
❑
c n (¿ +bn−dn )∫ un ( x ) ν m ( x ) dx=∫ f ( x ) ν m ( x ) dx+∫ g ( x ) ν m ( x ) dx+
B
cm d m hm+ ∑ ¿
❑
∫
систему:
d ( x ) ν m ( x ) dx
Ω− ( A+ B)
.
n=0
Как известно, полиномы Лежандра P m ( x ) ортогональны на отрезке [−1, 1],
по этому um ( x )=v m ( x )= Pm ( x ) , и при подстановке P m ( x ) =1
ортогональности функций um ( x ) и v m ( x )
hm =
в условие
(уравнение (11)) получаем, что
2
, т.е. система (10) совпадает с (9) при
2 m+1
an = s (n1 ) , bn = s (n2 ) , d n = s3n
, un = c❑n .
1
Учитывая ортогональность P m ( x ) :
2
δ mn
∫ P m ( x ) P n ( x ) dx= 2 m+1
,
объединим
−1
(9) в одно уравнение. Для этого повторим проделанную операцию: умножим
первое
н а η ( x ∈[ 0, α 0] ) , в т о р о е
уравнение
η ( x ∈[α 0 , α 1 ] ) ,третье наη ( x ∈[α 1 , π ] )=1−η ( x ∈ [0, α 1 ] ) . Э т и
сложим и умножим на
выражение по
α
−Pm ( cosα ) sin α
и
на
три уравнения
проинтегрируем
полученное
в пределах [ 0, π ] .
Получаем систему линейных алгебраиче ских уравнений вида:
18
1
μk (s −¿ s −s )∫ P k ( t ) Pm ( t ) dt ,m=0,1,2, … ,
( 1)
k
(2)
k
( 3)
k
r
C 2 ( arccost ) Pm ( t ) dt =¿
2
(3)
μm s m ++ ∑ ¿
2 m+1
k=0
(12)
r
C 1 ( arccost ) P m ( t ) dt +¿ ∫ ¿
1
где cosα=t ,cos α 0=r .
−1
∫¿
r
Решая эту систему с помощью формул Крамера (убедившись, что
определитель системы отличен от нуля)
( )
n
∆n=det {s ki P k ( cosα ) }i , k=0 ≠ 0
,
(13)
получаем коэффициенты μk .
Таким образом
первая обратная задача ТЛВ свелась к рассмотрению
парных сумматорных рядов.
2.5.Базисные тела.
Подставляя полученные значения μk в естественный ряд (8) получим:
n
C ( α )=∑ С i ( α ) hi + Ri ,
(14)
i=0
n
hi ∆n =∑ ∆ik sk P k ( cosα ) ,
i=0
г д е ∆ik суть алгебраические дополнения к элементам s (ki) Pk ( cosα )
в
определителе (13),
n
R n=
∑
k =n +1
μk s k P k ( cosα ) . Если остаток ряда (14)
Rn
мал, что может быть
обеспечено за счет выбора формы тела Σ (опорной функции q ( ρ ,α ) ) или
за чет выбора модели для функции реакции f ( ρ ) ,то тем самым по формуле
(14) можно подсчитать коэффициент реакции C ( α ) как линейную форму от
коэффициентов реакции взятой системы тел:
n
C (α )≈ ∑ С i (α)hi .
(15)
i=0
Следуя А.В. Дубинскому [5], впервые получившему формулу (15) для слабой
линейной модели на естественном носителе для чебышевской системы
k n
{ρ }k =0 , назовем исходные тела базисными. Необходимым и достаточным
19
условием базисности системы тел является выполнение соотношения
∆n ≠ 0, в котором
определен равенством (13).
Набор базисных тел, таким образом, играет роль измерительного прибора,
∆n
с помощью которого можно найти по формуле (15) коэффициент реакции
любого другого тела из некоторого класса тел (ограниченностью малостью
R n ) без физического осуществления (изготовления модели тела, как,
например, в аэродинамике) самого этого тела.
В статье [6] был рассмотрен конус с углом полураствора β=45 ° .
Ко эф ф и ц и е н т ф о рм ы д л я н е го в ы ч и с л я е т с я ф о рм ул о й
1−
¿
¿
1
r
.
( 12 ) P (cosβ )× ¿
sk = k +
k
Для нахождения параметров аппроксимационных формул использовались
результаты экспериментов, полученные в дозвуковой аэродинамической
трубе Санкт-Петербургского университет. Средняя скорость набегающего
потока в экспериментах составляла около 40 м/с, что соответствует числу
Р е й н о л ь д с а 5 ∙1 05 . При обработке эксперимент а льных данных
использовалась специальная подпрограмма на ПЭВМ.
µk
0,1
µ1
µ2
µ3
0
30
60
90
120
150
α, град
График иллюстрирует отклонение значений коэффициентов режима
μk , полученные по формуле (12) с использованием экспериментальных
¿
данных, от постоянных значений μk (не зависящие от углов атаки).
20
Таким образом, теория локального взаимодействия позволяет получать
простые эмпирические аппроксимации аэродинамических характеристик с
приемлемой точностью.
Заключение.
В настоящей работе была исследована теория локального
взаимодействия. Была решена первая обратная задача ТЛВ для
симметричного летательного аппарата, состоящего из трех сегментов, для
которых известны коэффициенты реакции. Надеюсь, что в дальнейшем
накопление эмпирических формул в теории локального взаимодействия
приведет к унификации уравнений динамики полета.
21
Список используемой литературы.
1. Мирошин. Р.Н. Метод моментов в аэродинамике. Спб.,2012.141с.
2. Мирошин. Р. Н. Парные сумматорные ряды в обратной задаче теории
локального взаимодействия.
В е с т н и к С П б Г У. Сер.1: Математика,
механика, астрономия. 2011. Вып. 4.С.118-122.
3. Мирошин Р.Н., Халидов И.А. Локальные методы в механике сплошных
сред. СПб.,2002.304с.
4 . Черный Г.Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. М.,
1959.220с.
5.Бунимович.А.И., Дубинский А.В. Развитие, с о в р е м е н н о е с о с тоя н и е и
приложения теории локального взаимодействия.//Изв. АН СССР,
МЖГ,1996,№3,С.3-18.
6.Аксенова О. А., Петрова В. Н., Халидов И. А. Экспериментальное
исследование применимости теории локального взаимодействия в
дозвуковой
аэродинамике // Аэродинамика / Под ред. Р. Н. Мирошина.
СПб., 1997. С.31-42
22
Отзывы:
Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв