Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИТМО
ITMO University
ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА/GRADUATION THESIS
Построение лестничных операторов для оператора Казимира алгебры SU(2) при
отображении Жордана-Швингера
Автор/ Author
Тушавин Глеб Владимирович
Направленность (профиль) образовательной программы/Major
Математическое моделирование 2019
Квалификация/ Degree level
Магистр
Руководитель ВКР/ Thesis supervisor
Трифанов Александр Игоревич, кандидат физико-математических наук, Университет
ИТМО, факультет систем управления и робототехники, доцент (квалификационная
категория "ординарный доцент")
Группа/Group
R42952
Факультет/институт/кластер/ Faculty/Institute/Cluster
факультет систем управления и робототехники
Направление подготовки/ Subject area
01.04.02 Прикладная математика и информатика
Обучающийся/Student
Документ
подписан
Тушавин Глеб
Владимирович
01.06.2021
(эл. подпись/ signature)
Руководитель ВКР/
Thesis supervisor
Документ
подписан
Трифанов
Александр
Игоревич
01.06.2021
(эл. подпись/ signature)
Тушавин Глеб
Владимирович
(Фамилия И.О./ name
and surname)
Трифанов
Александр
Игоревич
(Фамилия И.О./ name
and surname)
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИТМО
ITMO University
ЗАДАНИЕ НА ВЫПУСКНУЮ КВАЛИФИКАЦИОННУЮ РАБОТУ /
OBJECTIVES FOR A GRADUATION THESIS
Обучающийся / Student Тушавин Глеб Владимирович
Группа/Group R42952
Факультет/институт/кластер/ Faculty/Institute/Cluster факультет систем управления и
робототехники
Квалификация/ Degree level Магистр
Направление подготовки/ Subject area 01.04.02 Прикладная математика и информатика
Направленность (профиль) образовательной программы/Major Математическое
моделирование 2019
Специализация/ Specialization Математическое моделирование сложных систем
Тема ВКР/ Thesis topic Построение лестничных операторов для оператора Казимира
алгебры SU(2) при отображении Жордана-Швингера
Руководитель ВКР/ Thesis supervisor Трифанов Александр Игоревич, кандидат физикоматематических наук, Университет ИТМО, факультет систем управления и робототехники,
доцент (квалификационная категория "ординарный доцент")
Срок сдачи студентом законченной работы до / Deadline for submission of complete
thesis 20.05.2021
Техническое задание и исходные данные к работе/ Requirements and premise for the
thesis
Построить лестничные операторы для оператора Казимира образа алгебры SU(2) при
отображении Жордана-Швингера, исследовать структуру их инвариантных пространств.
Содержание выпускной квалификационной работы (перечень подлежащих
разработке вопросов)/ Content of the thesis (list of key issues)
Требуется формализовать лестничные операторы для самосопряженных операторов
неэквидистантного спектра,
описать процедуру построения и исследовать их геометрические свойства:
коммутационные соотношения. Исследовать самосопряженные полиномы лестничных
операторов на собственные числа и построить на их основании классификацию
инвариантных пространств.
Перечень графического материала (с указанием обязательного материала) / List of
graphic materials (with a list of required material)
Исходные материалы и пособия / Source materials and publications
[0]Miroshnichenko G.P., Kiselev A.D., Trifanov A. I., Gleim A.V., 2017, Algebraic ap-
proach to electro-optic modulation of light: exactly solvable multimode quantum
model, J. Opt. Soc. Am. B, Vol. 34(6), pp. 1177–1190.
[1]C. L. Williams, N. N. Pandya, B. G. Bodmann, D. J. Kouri, Coupled supersymmetry and ladder structures beyond the harmonic oscillator, Molecular Physics, DOI:
10.1080/00268976.2018.1473655
[2] S. E. Hoffmann, V. Hussin, I. Marquette, Y.-Z. Zhang, Ladder operators and coherent
states for multi-step supersymmetric rational extensions of the truncated oscillator, J.
Math. Phys. 60, 052105 (2019)
[3] P. Bosso, S. Das, Generalized ladder operators for the perturbed harmonic oscillator,
Ann. of Phys., 396, 254-265 (2018)
Дата выдачи задания/ Objectives issued on 13.05.2021
СОГЛАСОВАНО / AGREED:
Руководитель ВКР/
Thesis supervisor
Документ
подписан
Трифанов
Александр
Игоревич
13.05.2021
Трифанов
Александр
Игоревич
(эл. подпись)
Задание принял к
исполнению/ Objectives
assumed by
Документ
подписан
Тушавин Глеб
Владимирович
18.05.2021
Тушавин Глеб
Владимирович
(эл. подпись)
Руководитель ОП/ Head
of educational program
Документ
подписан
Попов Игорь
Юрьевич
02.06.2021
(эл. подпись)
Попов Игорь
Юрьевич
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИТМО
ITMO University
АННОТАЦИЯ
ВЫПУСКНОЙ КВАЛИФИКАЦИОННОЙ РАБОТЫ /
SUMMARY OF A GRADUATION THESIS
Обучающийся/ Student
Тушавин Глеб Владимирович
Наименование темы ВКР / Title of the thesis
Построение лестничных операторов для оператора Казимира алгебры SU(2) при
отображении Жордана-Швингера
Наименование организации, где выполнена ВКР/ Name of organization
Университет ИТМО
ХАРАКТЕРИСТИКА ВЫПУСКНОЙ КВАЛИФИКАЦИОННОЙ РАБОТЫ/
DESCRIPTION OF THE GRADUATION THESIS
1. Цель исследования / Research objective
Построить лестничные операторы для образа оператора Казимира алгебры SU(2) при
отображении Жордана-Швингера
2. Задачи, решаемые в ВКР / Research tasks
Построение теории обобщенных лестничных операторов . Применение теории к образу
алгебры SU(2) при отображении Жордана-Швингера. Классификация состояний алгебры
SU(2) при отображении Жордана-Швингера. Исследование случая трехмодовой системы.
Написание программы для построения состояний 5-модовой системы.
3. Краткая характеристика полученных результатов / Short summary of
results/conclusions
Было предложено определение обобщенного лестничного оператора и получены его
свойства. Было сформулировано уравнение общего вида, позволяющее найти лестничные
операторы для самосопряженного оператора. Полученный математический аппарат был
применен к образу алгебры SU(2) при отображении Жордана-Швингера. Был расширен
стандартный коммутирующий набор операторов алгебры SU(2) при отображении ЖорданаШвингера до полного в Фоковском пространстве. Были построены лестничные операторы
для случая трехмодовой системы и найдены их коммутационны соотношения. Была
написана программа, выполняющая построение состояний полученной классификации для
5-модовой системы.
4. Наличие публикаций по теме выпускной работы/ Have you produced any
publications on the topic of the thesis
5. Наличие выступлений на конференциях по теме выпускной работы/ Have you
produced any conference reports on the topic of the thesis
6. Полученные гранты, при выполнении работы/ Grants received while working on the
thesis
7. Дополнительные сведения/ Additional information
Обучающийся/Student
Документ
подписан
Тушавин Глеб
Владимирович
01.06.2021
(эл. подпись/ signature)
Руководитель ВКР/
Thesis supervisor
Документ
подписан
Трифанов
Александр
Игоревич
01.06.2021
(эл. подпись/ signature)
Тушавин Глеб
Владимирович
(Фамилия И.О./ name
and surname)
Трифанов
Александр
Игоревич
(Фамилия И.О./ name
and surname)
1
Ñîäåðæàíèå
1
Ñîäåðæàíèå
5
2
Ââåäåíèå
7
3
Îáîáùåííûå ëåñòíè÷íûå îïåðàòîðû
10
3.1
Îïðåäåëåíèå
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2
Ñîñòîÿíèÿ ñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ . . . . . . . . . . . 11
3.3
Ñâîéñòâà ëåñòíè÷íûõ îïåðàòîðîâ . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.4
Ñàìîñîïðÿæåííûå ïîëèíîìû ëåñòíè÷íûõ îïåðàòîðîâ . . . . 17
3.5
Íàõîæäåíèå ëåñòíè÷íûõ îïåðàòîðîâ äëÿ çàìêíóòîé ñèñòåìû 19
4
Àëãåáðà Âåéëÿ W(1)
22
5
Îòîáðàæåíèå Æîðäàíà-Øâèíãåðà
24
5.1
6
Îïðåäåëåíèå
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Àëãåáðà SU(2)
6.1
26
Îáðàç ãåíåðàòîðîâ íåïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû
SU (2) ïðè îòîáðàæåíèè Æîðäàíà-Øâèíãåðà . . . . . . . . . 29
7
Ëåñòíè÷íûå
îïåðàòîðû
îïåðàòîðà
Êàçèìèðà
SU (2) ïðè îòîáðàæåíèè Æîðäàíà-Øâèíãåðà
àëãåáðû
31
7.1
Êîììóòèðóþùèé íàáîð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7.2
Çàìêíóòûé íàáîð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5
7.3
Êîììóòàöèîííûå
ñîîòíîøåíèÿ
ìåæäó
ïîëèíîìàìè
îïåðàòîðà Êàçèìèðà è ëåñòíè÷íûìè îïåðàòîðàìè . . . . . . 39
7.4
Êîììóòàöèîííûå
ñîîòíîøåíèÿ
ìåæäó
îáðàòíûìè
ïîëèíîìàì îïåðàòîðà Êàçèìèðà è ëåñòíè÷íûìè îïåðàòîðàìè 40
7.5
Àííèãèëèðóåìûå
ñîñòîÿíèÿ
ëåñòíè÷íûõ
îïåðàòîðîâ
îïåðàòîðà Êàçèìèðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
8
Ñëó÷àé òðåõ ìîä
45
9
Ñîñòîÿíèÿ ïÿòèìîäîé ñèñòåìû
50
9.1
Ñëó÷àé ÷åòíîãî ÷èñëà ìîä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
10 Âûâîäû
55
11 Ëèòåðàòóðà è èñòî÷íèêè
57
6
2
Ââåäåíèå
Ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà ñàìîñîïðÿæåííîãî ëèíåéíîãî îïåðàòîðà
ïðîÿâëÿþòñÿ â íàëè÷èè ó íåãî ñîáñòâåííûõ ÷èñåë è ñâÿçàííûõ ñ
íèìè ñîñòîÿíèé.
Îòâå÷àþùèå ðàçëè÷íûì ñîñòîÿíèÿì èíâàðèàíòíûå
ïðîñòðàíñòâà ïîä äåéñòâèåì ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà â çàâèñèìîñòè
îò ñîáñòâåííîãî ÷èñëà ðàñòÿãèâàþòñÿ, ëèáî ñæèìàþòñÿ, èëè âîâñå
àííèãèëèðóþòñÿ.
Ñóùåñòâóþò ëèíåéíûå îïåðàòîðû, íàçûâàåìûå ëåñòíè÷íûìè [1], [3],
êîòîðûå ñâîèì äåéñòâèåì ïåðåâîäÿò îäíî ñîñòîÿíèå ñàìîñîñïðÿæåííîãî
îïåðàòîðà â äðóãîå,
ëèáî àííèãèëèðóþò åãî,
à èõ ñîïðÿæåííûå
îïåðàòîðû äåéñòâóþò â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè.
Ëåñòíè÷íûå
îïåðàòîðû ïîçâîëÿþò ñòðîèòü ìíîæåñòâî ðàçëè÷íûõ ñîñòîÿíèé îïåðàòîðà
èç
îäíîãî
èçâåñòíîãî
ñîñòîÿíèÿ,
ñîñòîÿíèé òðèâèàëüíî ðåøàåìîé.
÷òî
äåëàåò
çàäà÷ó
ïîñòðîåíèÿ
 ðàáîòå áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî
ñàìîñîïðÿæåííûå ïîëèíîìû ëåñòíè÷íûõ îïåðàòîðîâ íàõîäÿò ïðèìåíåíèå
â çàäà÷àõ êëàññèôèêàöèè è ïîçâîëÿþò ñâîèìè ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè
ðàçëè÷àòü ïðåæäå íåðàçëè÷èìûå ñîñòîÿíèÿ, ïðè ýòîì êîììóòèðóÿ ñ
ñàìîñîïðÿæåííûìè îïåðàòîðàìè àëãåáðû.
Ïðèìåðàìè òàêèõ îïåðàòîðîâ ìîãóò áûòü ïîëåâûå îïåðàòîðû
ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ áîçîíîâ/ôåðìèîíîâ àëãåáðû Âåéëÿ W (1) [8]
[9], ëåñòíè÷íûå îïåðàòîðû àëãåáðû SU (2) è SU (1, 1) [6] è ìíîãèå
äðóãèå, âñòðå÷àþùèåñÿ â øèðîêîì ïåðå÷íå ñîâðåìåííûõ ðàáîò [4]
[2].
 ïðèâåäåííûõ ïðèìåðàõ âàæíîé îñîáåííîñòüþ ÿâëÿåòñÿ òî,
÷òî ó ñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ, äëÿ êîòîðûõ îïåðàòîðû ÿâëÿþòñÿ
ëåñòíè÷íûìè, ýêâèäèñòàíòíûé ñïåêòð.
Îäíàêî,
äëÿ
ñàìîñîïðÿæåííûõ
îïåðàòîðîâ,
îáëàäàþùèõ
íåýêâèäèñòàíòíûì ñïåêòðîì äî ñèõ ïîð íå áûëî ïîñòðîåíî àíàëîãà òàêèõ
ëåñòíè÷íûõ îïåðàòîðîâ.
Îäíèì èç ïðèìåðîâ òàêîãî îïåðàòîðà ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîð Êàçèìèðà
àëãåáðû SU (2), ñîáñòâåííûå ÷èñëà êîòîðîãî èìååþò âèä j(j + 1) äëÿ
7
íåîòðèöàòåëüíûõ j .
Âîïðîñ îá îäíîçíà÷íîé êëàññèôèêàöèè êðàòíûõ
ñîáñòâåííûõ ÷èñåë îïåðàòîðà Êàçèìèðà äëÿ òåíçîðíûõ ïðåäñòàâëåíèé
àëãåáðû SU (2) äî ñèõ ïîð îñòàâàëñÿ îòêðûòûì [6] [10].
Íåîáõîäèìîñòü îáîáùåíèÿ è ïîñòðîåíèÿ îáùèõ ñâîéñòâ ëåñòíè÷íûõ
îïåðàòîðîâ äëÿ îïåðàòîðîâ, îáëàäàþùèõ íåýêâèäèñòàíòíûì ñïåêòðîì,
î÷åâèäíà è îñòàâàëàñü àêòóàëüíîé.
 íàñòîÿùåé ðàáîòå, ìû îïðåäåëèì ëåñòíè÷íûå îïåðàòîðû îáùåãî
âèäà, èõ ñâîéñòâà, ñôîðìóëèðóåì óðàâíåíèå íà ëåñòíè÷íûå îïåðàòîðû äëÿ
ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà è ïðèìåíåì ïîëó÷åííûé ìàòåìàòè÷åñêèé
àïïàðàò äëÿ àíàëèçà ñîñòîÿíèé îáðàçà àëãåáðû SU (2) ïðè îòîáðàæåíèè
Æîðäàíà-Øâèíãåðà [5],
êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò ãåíåðàòîðû àëãåáðû
â âèäå áîçîííûõ ïîëèíîìîâ ìíîãîìîäîâîé ñèñòåìû.
Äåéñòâèå
ãåíåðàòîðîâ îáðàçà ïðîèñõîäèò â ïðîñòðàíñòâå Ôîêà, ñîñòîÿíèÿ êîòîðîãî
õàðàêòåðèçóåòñÿ ÷èñëàìè çàïîëíåíèÿ êîëè÷åñòâîì ÷àñòèö íà êàæäîé
èç âçàèìîäåéñòâóþùèõ ìîä.
Ôîêîâñêèé áàçèñ ñîñòîèò èç áàçèñà
îäíî÷àñòè÷íîãî ñîñòîÿíèÿ è åãî ñèììåòðè÷íûõ òåíçîðíûõ ïðîèçâåäåíèé
íà ñåáÿ, ÷òî îïðåäåëÿåò åãî ãåîìåòðèþ.
Âñÿêîå äåéñòâèå â íåì
ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ èçìåíèå ÷èñëà ÷àñòèö íà ðàçëè÷íûõ ìîäàõ ñ
ðàñòÿæåíèåì/ñæàòèåì è óíè÷òîæåíèåì.
Îáîáùåíûå
ëåñòíè÷íûå
îïåðàòîðû
ÿâëÿþòñÿ
åñòåñòâåííûì
ðàçâèòèåì èäåè î ñîáñòâåííûõ ÷èñëàõ ìàòðèöû, ïîçâîëÿÿ îïèñûâàòü
ñïåöèôè÷åñêèå ñèììåòðèè ñîñòîÿíèé ñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ.
Ðàññìàòðèâàåìàÿ çàäà÷à êëàññèôèêàöèè äëÿ îáðàçà àëãåáðû SU (2)
ïðè îòîáðàæåíèè Æîðäàíà-Øâèíãåðà èìååò ïðèêëàäíîå çíà÷åíèå.
Ðàçðàáîòàííàÿ êîëëåãàìè â 2017 ãîäó ìîäåëü êâàíòîâîãî ïðîöåññà
ôàçîâîé ìîäóëÿöèè ñâåòà èñïîëüçóåò îòîáðàæåíèå Æîðäàíà-Øâèíãåðà
äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ îáðàçóþùèõ Ãàìèëüòîíèàíà áîçîííûìè ïîëèíîìàìè.
Ìîäóëèðóþùàÿ
ìîäà
ÿâëÿåòñÿ
ìîäóëèðóåìàÿ
îïòè÷åñêîé.
ìèêðîâîëíîâîé,
â
òî
âðåìÿ
êàê
Ïðîöåññ ñîñòîèò èç ïîãëîùåíèÿ
ôîòîíîâ ìèêðîâîëíîâîé ìîäû, óâåëè÷èâàþùåãî íîìåð ìîäû (ýíåðãèþ)
âçàèìîäåéñòâóþùåãî ôîòîíà, è îáðàòíîãî ïðîöåññà ïîíèæåíèå íîìåðà
8
ìîäû ôîòîíà è âûñâîáîæäåíèÿ ìèêðîâîëíîâîãî ôîòîíà.
Èçó÷åíèå è îïèñàíèå ñèììåòðèé ñôîðìóëèðîâàííîé ìîäåëè ïîìîãóò
â ñîçäàíèè ðàçëè÷íûõ óñòðîéñòâ ïðèêëàäíîãî çíà÷åíèÿ.
Ìîäåëü
êâàíòîâîãî ïðîöåññà ôàçîâîé ìîäóëÿèè èìååò øèðîêîå ïðèìåíåíèå
â
îáëàñòè
êâàíòîâîé
êðèïòîãðàôèè,
îïòèêè,
òåîðèè
èíôîðìàöèè
è
êâàíòîâîé
÷òî ïîçâîëÿåò ñóäèòü îá àêòóàëüíîñòè íàñòîÿùåãî
èññëåäîâàíèÿ.
Ðàçâèòèå ïîëó÷åííîãî ìåòîäà îáîáùåííûõ ëåñòíè÷íûõ îïåðàòîðîâ
ïîçâîëèò
ðåøàòü
öåëûé
êëàññ
ñëîæíûõ çàäà÷ òî÷íî, à ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû â ïðèìåíåíèè ìåòîäà ê
îáðàçó àëãåáðû SU (2) ïðè îòîáðàæåíèè Æîðäàíà-Øâèíãåðà ïîêàçûâàþò
åãî ïðîñòîòó, ýôôåêòèâíîñòü è ãëóáîêèé ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë.
9
3
3.1
Îáîáùåííûå ëåñòíè÷íûå îïåðàòîðû
Îïðåäåëåíèå
Ðàññìîòðèì ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð H = H † .
Îïåðàòîð p†
áóäåì íàçûâàòü ïðàâûì ëåñòíè÷íûì îïåðàòîðîì îïåðàòîðà H ñ ôóíêöèåé
P (èëè ëåñòíè÷íûì îïåðàòîðîì ñ ïðàâîé ôóíêöèåé), åñëè âûïîëíÿþòñÿ
ñëåäóþùèå êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ
[H, p† ] = p† P,
ïðè
(1)
[H, P ] = 0,
ãäå P = P † - íåêîòîðàÿ ñàìîñîïðÿæåííàÿ îïåðàòîðíàÿ ôóíêöèÿ áåç
îñîáåííîñòåé íà ñïåêòðå îïðåäåëåíèÿ.
Ëåâûì ëåñòíè÷íûì îïåðàòîðîì, ñîîòâåòñòâåííî, áóäåì íàçûâàòü
îïåðàòîð, óäîâëåòâîðÿþùèé ñëåäóþùèì êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì
[H, p† ] = P 0 p† ,
Ðàññìàòðèâàÿ
ïðè
[H, P 0 ] = 0,
ñîïðÿæåííîå
âûðàæåíèå
(2)
ê
(13),
ïîëó÷àåì êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ ëåâîãî ëåñòíè÷íîãî îïåðàòîðà p
ñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðó (p† )† = p c ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì
[p, H] = P p.
10
(3)
3.2
Ñîñòîÿíèÿ ñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ
Ïîä ñîñòîÿíèåì |ψi ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà H ìû áóäåì
ïîíèìàòü èíâàðèàíòíîå ïðîñòðàíñòâî, îòâå÷àþùåå ñîáñòâåííîìó ÷èñëó ψ
ˆ
îïåðàòîðà H , èíà÷å ãîâîðÿ ñîñòîÿíèå |ψi åñòü ÿäðî îïåðàòîðà (H − ψ I)
def.
ˆ è H |ψi = ψ |ψi .
|ψi = ker(H − ψ I)
Âûáèðàÿ
èç
ÿäðà
òîëüêî
òå
ýëåìåíòû,
íîðìà
(4)
êîòîðûõ
åäèíè÷íàÿ, ìû ïîëó÷àåì íîðìèðîâàííîå ñîñòîÿíèå, äåéñòâèå íà êîòîðîå
ñàìîñîïðÿæåííûì îïåðàòîðîì ñâîäèòñÿ ê èçìåíåíèþ äëèíû ñîñòîÿíèÿ.
 êîíòåêñòå ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ïîíÿòèå íîðìèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ è
íåíîðìèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ âçàèìîçàìåíÿåìû.
Ïîä ñîñòîÿíèåì |ψ, φi ïàðû êîììóòèðóþùèõ ñàìîñîïðÿæåííûõ
îïåðàòîðîâ [H0 , H1 ] = 0 ìû áóäåì ïîíèìàòü ïåðåñå÷åíèå ñîñòîÿíèé |ψi
îïåðàòîðà H0 è |φi îïåðàòîðà H1 . Íàïðèìåð, ìîæíî îïðåäëèòü òàêîå
ˆ 2 + (H1 − φI)
ˆ 2.
ñîñòîÿíèå êàê ÿäðî îïåðàòîðà (H0 − ψ I)
Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî îïðåäåëèòü ðàçìåðíîñòü ñîñòîÿíèÿ |ψi è
ñîñòîÿíèÿ |φi îòíîñèòåëüíî ñîñòîÿíèÿ |ψ, φi, èíà÷å ãîâîðÿ
÷èñëî
ïàðàìåòðîâ â ðàçëîæåíèè
H0 |ψ, φi = ψ |ψ, φi ,
H1 |ψ, φi = φ |ψ, φi ,
ψ ∈ Ψ, φ ∈ Φ,
P
|ψi = φ∈Φ αφ |ψ, φi
(5)
è
|φi =
P
ψ∈Ψ β
ψ
|ψ, φi .
Åñëè âñå ñîñòîÿíèÿ íàáîðà êîììóòèðóþùèõ ñàìîñîïðÿæåííûõ
îïåðàòîðîâ ÿâëÿþòñÿ îäíîìåðíûìè, òî òàêèå ñîñòîÿíèÿ ìû áóäåì
íàçûâàòü ÷èñòûìè.
×èñòûå ñîñòîÿíèÿ îáðàçóþò ïîëíûé áàçèñ âñåãî
ïðîñòðàíñòâà, à íàáîð îïåðàòîðîâ íàçûâàåòñÿ, ñîîòâåòñòâåííî, ïîëíûì.
11
3.3
Ñâîéñòâà ëåñòíè÷íûõ îïåðàòîðîâ
Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ëåñòíè÷íûõ îïåðàòîðîâ.
ëåñòíè÷íûå îïåðàòîð ïî îïðåäåëåíèþ (13).
p† -
Ïóñòü ñàìîñîïðÿæåííûé
îïåðàòîð A = A† êîììóòèðóåò [P, A] = 0 ñ ôóíêöèåé P , òîãäà
[H, p† A] = p† AP
(6)
ÿâëÿåòñÿ ëåñòíè÷íûì îïåðàòîðîì ïî îïðåäåëåíèþ.
Ïóñòü
òåïåðü
p†
ÿâëÿåòñÿ
ëåñòíè÷íûì
îïåðàòîðîì
äâóõ
êîììóòèðóþùèõ ñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ [H0 , H1 ] = 0
[H0 , p† ] = p† P0 ,
[H1 , p† ] = p† P1 ,
òîãäà îïåðàòîð p† ÿâëÿåòñÿ ëåñòíè÷íûì îïåðàòîðîì èõ ñóììû
[H0 + H1 , p† ] = p† (P0 + P1 )
(7)
[H0 H1 , p† ] = p† (P0 H1 + H0 P1 ).
(8)
è èõ ïðîèçâåäåíèÿ
Ïóñòü
ñàìîñîïðÿæåííûé
îïåðàòîð
H
îáëàäàåò ñîáñòâåííûì ñîñòîÿíèåì |ψi îòâå÷àþùèì ñîáñòâåííîìó ÷èñëó
ψ
H |ψi = ψ |ψi
. Òîãäà ó ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà H + λIˆ, ãäå λIˆ òîæäåñòâåííûé
îïåðàòîð ñ ìíîæèòåëåì èç ïîëÿ, ñîñòîÿíèþ |ψi îòâå÷àåò ñîáñòâåííîå ÷èñëî
ψ+λ
ˆ |ψi = (ψ + λ) |ψi
(H + λI)
(9)
è ó îïåðàòîðà λH ñîñòîÿíèþ |ψi îòâå÷àåò ñîáñòâåííîå ÷èñëî λψ
(λH) |ψi = λψ |ψi
(10)
Êîììóòèðóþùèå îïåðàòîðû îáëàäàþò îáùèìè èíâàðèàíòíûìè
ïðîñòðàíñòâàìè. Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî åñëè äëÿ äâóõ ñàìîñïîðÿæåííûõ
12
îïåðàòîðîâ H0 , H1 ñ îáùèì ïðîîáðàçîì âåðíî [H0 , H1 ] = 0 è |ψi åñòü
ñîáñòâåííîå ñîñòîÿíèå îïåðàòîðà
H0 |ψi = ψ |ψi ,
òî ñîñòîÿíèå H1 |ψi òàêæå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì äëÿ îïåðàòîðà H0
(11)
H0 (H1 |ψi) = H1 H0 |ψi = ψH1 |ψi ,
è îòâå÷àåò òîìó æå ñîáñòâåííîìó ÷èñëó ψ . Îïåðàòîð H1 îêàçûâàåòñÿ
ëèíåéíûì ýíäîìîðôèçìîì, äåéñòâóþùèì âíóòðè ñîñòîÿíèÿ |ψi êàê
îïåðàòîð óìíîæåíèÿ íà ñîáñòâåííîå ÷èñëî îïåðàòîðà H1 . Ñèììåòðè÷íûå
ðàññóæäåíèÿ âåðíû è äëÿ ñîñòîÿíèé îïåðàòîðà H1 .
Ïðèìåð.
Ïóñòü ñîñòîÿíèå |ψi ðàçëàãàåòñÿ â ëèíåéíóþ îáîëî÷êó
ñîáñòâåííûõ ñîñòîÿíèé îïåðàòîðà H1
|ψi = R |ψ, 0i + R |ψ, φi ,
ãäå
H1 |ψ, 0i = 0,
H1 |ψ, φi = φ |ψ, φi ,
Îáà ñîñòîÿíèÿ |ψi è H1 |ψi ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè äëÿ îïåðàòîðà H0 ,
êîòîðûé îáëàäàåò íåòðèâèàëüíûì ÿäðîì îäíàêî ñîñòîÿíèå |ψi - äâóìåðíîå
îòíîñèòåëüíî ñîñòîÿíèé {|ψ, φi}φ∈Φ , â òî âðåìÿ êàê ñîñòîÿíèå H1 |ψi
îäíîìåðíîå
H1 |ψi = αφ (φ |ψ, φi)
Ïóñòü
òåïåðü
H
ñàìîñîïðÿæåííûé
îïåðàòîð
îáëàäàþùèé
ñîáñòâåííûì ñîñòîÿíèåì |ψi îòâå÷àþùèì ñîáñòâåííîìó ÷èñëó ψ è p† åãî
ïðàâûé ëåñòíè÷íûé îïåðàòîð ñ ôóíêöèåé P . Òîãäà
Hp† |ψi = (p† H + [H, p† ]) |ψi = p† (H + P ) |ψi .
Ïîñêîëüêó îïåðàòîð P
(12)
ÿâëÿåòñÿ ñàìîñîïðÿæåííûì îïåðàòîðîì è
êîììóòèðóåò ñ îïåðàòîðîì H , òî îïåðàòîð P ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì
ýíäîìîðôèçìîì ñîñòîÿíèÿ |ψi.
Îïåðàòîð H âíóòðè ñîñòîÿíèÿ |ψi
ýêâèâàëåíòåí îïåðàòîðó ψ Iˆ. Ñóììàðíûé îïåðàòîð ψ Iˆ+ P â îáùåì ñëó÷àå
áóäåò ÿâëÿòüñÿ ýíäîìîðôèçìîì ñîñòîÿíèÿ |ψi. Îäíàêî, íåòðèâèàëüíûì
13
ÿäðîì îïåðàòîð ψ Iˆ+ P áóäåò îáëàäàòü ëèøü â òîì ñëó÷àå, êîãäà îïåðàòîð
P îáëàäàåò ñîñòîÿíèåì, îòâå÷àþùèì ñîáñòâåííîìó ÷èñëó −ψ .
Åñëè ôóíêöèÿ P = P (H) âûðàæàåòñÿ ÷åðåç H , òîãäà ìû ñìîæåì
âû÷èñëèòü äåéñòâèå ôóíêöèè íà ñîáñòâåííîì âåêòîðå îïåðàòîðà H .
Ïîëó÷àåì
Hp† |ψi = p† (H + P ) |ψi = (ψ + P (ψ))p† |ψi .
(13)
Ñîñòîÿíèå p† |ψi ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì äëÿ îïåðàòîðà H è îòâå÷àåò
ñîáñòâåííîìó ÷èñëó ψ + P (ψ).
Òàêèì îáðàçîì, ââåäåíûå íàìè ëåñòíè÷íûå îïåðàòîðû ÿâëÿþòñÿ
îáîáùåíèåì èçâåñòíûõ ëåñòíè÷íûõ îïåðàòîðîâ äëÿ íåýêâèäèñòàíòíîãî
ñïåêòðà. Ôóíêöèÿ P îáÿçàíà áûòü òàêîé, ÷òîáû ïîëó÷åííîå ñîñòîÿíèå
îïåðàòîðà H ñóùåñòâîâàëî, ëèáî ðàâíÿëîñü 0.
 ïîñëåäíåì ñëó÷àå,
ñîñòîÿíèå |ψi ëåæèò â ÿäðå îïåðàòîðà p† , ÿâëÿÿñü àííèãèëèðóåìûì
ñîñòîÿíèåì îïåðàòîðà p† .
Íàéäåì [H n , p† ]. Âûðàçèì ýòîò êîììóòàòîð ÷åðåç [H n , p† ]
[H n , p† ] = [H, p† ]H n−1 + H[H n−1 , p† ].
Èñïîëüçóÿ òîæäåñòâî ßêîáè, âûðàæàåì H[H n−1 , p† ] = [H n−1 , p† ](H + P )
è ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå
[H n , p† ] = p† P H n−1 + [H n−1 , p† ](H + P ).
(14)
Íàéäåì èòîãîâîå âûðàæåíèå äëÿ êîììóòàòîðà [H n , p† ] ïðèìåíÿÿ ìåòîä
ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè. Áàçîé èíäóêöèè áóäåò âûðàæåíèå ïðè n = 1,
èíà÷å ãîâîðÿ îïðåäåëåíèå ëåñòíè÷íîãî îïåðàòîðà. Ïîêàæåì, ÷òî
[H n , p† ] = p† ((H + P )n − H n ).
(15)
Äëÿ ýòîãî ïðåäïîëîæèì, ÷òî (15) âåðíî. Òîãäà óáåäèìñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè
âûðàæåíèÿ äëÿ n + 1
[H n+1 , p† ] = p† P H n + [H n , p† ](H + P ) =
= p† P H n + p† ((H + P )n − H n )(H + P ) =
14
= p† ((H + P )n+1 − H n+1 − P H n + P H n +) =
= p† ((H + P )n+1 − H n+1 ).
Ïîëó÷åííûé êîììóòàòîð ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ñëåäóþùåå ïîëåçíîå
âûðàæåíèå
H n p† = p† (H + P )n .
(16)
Àíàëîãè÷íîå âûðàæåíèå ìîæíî ïîëó÷èòü äëÿ ëåâîãî ëåñòíè÷íîãî
îïåðàòîðà [H, q † ] = Qq † .
[H n , q † ] = QH n−1 q † + (H − Q)[H n−1 , q † ],
ñíîâà ïðèìåíÿåì ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè è ïîëó÷àåì
[H n , q † ] = (H n − (H − Q)n )q †
(17)
è àíàëîãè÷íîå (16) âûðàæåíèå
q † H n = (H − Q)n q † .
(18)
Òàêèì îáðàçîì, ëåñòíè÷íûé îïåðàòîð p† ÿâëÿåòñÿ ëåñòíè÷íûì
îïåðàòîðîì ïðîèçâîëüíîé ñòåïåíè H .
Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà (7) è
(8) ïîëó÷àåì, ÷òî ïðîèçâîëüíûé ïîëèíîì îò H îáëàäàåò òåìè æå
ëåñòíè÷íûìè îïåðàòîðàìè, ÷òî è îïåðàòîð H .
Ïóñòü ôóíêöèÿ P̂ = P̂ (H) ïðàâîãî ëåñòíè÷íîãî îïåðàòîðà ÿâëÿåòñÿ
ïîëèíîìîì H ñòåïåíè n, òîãäà îïðåäåëåí êîììóòàòîð P è ëåñòíè÷íîãî
îïåðàòîðà
ˆ
P̂ (H) = αn H n + αn−1 H n−1 + . . . + α0 I,
†
[P̂ (H), p ] =
n
X
ãäå [αk , H] = 0,
¯
k ∈ 0..n;
αk [H k , p† ] = p† (P̂ (H + P ) − P̂ (H)).
k=0
Èç ïîñëåäíåãî êîììóòàòîðà âûòåêàåò ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ëåâûìè è
ïðàâûìè ëåñòíè÷íûìè îïåðàòîðàìè p†
P̂ (H)p† = p† P̂ (H + P )
15
(19)
Ïóñòü p† - ïðàâûé ëåñòíè÷íûé îïåðàòîð H è [H, p† ] = p† λ, ãäå λ
ýëåìåíò ïîëÿ. Òîãäà, î÷åâèäíî, ÷òî p† ÿâëÿåòñÿ òàêæå ëåâûì ëåñòíè÷íûì
îïåðàòîðîì. Äëÿ îïåðàòîðà H n ëåâûå ëåñòíè÷íûå îïåðàòîðû ñâÿçàíû ñ
ïðàâûìè ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèåì
ˆ n.
H n p† = p† (H + λI)
ˆ p† ] = [H, p† ].
Âîñïîëüçóåìñÿ òåì ôàêòîì, ÷òî [H − λI,
(20)
Ëåñòíè÷íûé
îïåðàòîð p† ÿâëÿåòñÿ ëåñòíè÷íûì è äëÿ îïåðàòîðà H − λIˆ, ÷òî ïîçâîëÿåò
ïðèìåíèòü ê íåìó ïîñëåäíþþ ôîðìóëó
ˆ n p † = p† H n .
(H − λI)
(21)
Ðàññìàòðèâàÿ ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð p ïîëó÷àåì
ˆ − H n)
[H n , p] = p((H − λI)
ïðè
ˆ − H n ).
[H n , p† ] = p† ((H + λI)
16
(22)
3.4
Ñàìîñîïðÿæåííûå
ïîëèíîìû
ëåñòíè÷íûõ
îïåðàòîðîâ
Ïóñòü p† ïðàâûé ëåñòíè÷íûé îïåðàòîð îïåðàòîðà H
H, p† = p† P,
P = P †,
[H, P ] = 0.
Ðàññìîòðèì ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð p† p. Íàéäåì åãî êîììóòàöèîííûå
ñîîòíîøåíèÿ ñ îïåðàòîðîì H
H, p† p = H, p† p + p† [H, p] = p† P p − p† P p = 0.
Îïåðàòîðû p† p è H äåéñòâóþò íàä îäíèìè è òåìè æå èíâàðàèíòíûìè
ïðîñòðàíñòâàìè, íå èçìåíÿÿ ñîáñòâåííûå ÷èñëà äðóã äðóãà.
îáðàçîì,
Òàêèì
ñîáñòâåííûå ÷èñëà îïåðàòîðà p† p ïîçâîëÿþò ðàçëîæèòü
ïðîèçâîëüíîå ñîñòîÿíèå îïåðàòîðà H .
Ïðîèçâîëüíîå ñîñòîÿíèå |ψi
îïåðàòîðà H è ñîñòîÿíèå |ρi îïåðàòîðà p† p ìîæåò áûòü ðàçëîæåíî ïî
îáùèì ñîñòîÿíèÿì |ψ, ρi ïàðû îïåðàòîðîâ p† p è H
H |ψ, ρi = ψ |ψ, ρi ,
p† p |ψ, ρi = ρ |ψ, ρi ,
ψ ∈ Ψ, ρ ∈ P,
P
|ψi = ρ∈P αρ |ψ, ρi
(23)
è
|φi =
P
ψ∈Ψ β
ψ
|ψ, ρi .
Ïóñòü òåïåðü q † ëåâûé ëåñòíè÷íûé îïåðàòîð îïåðàòîðà H
H, q † = Qq † ,
Q = Q† ,
[H, Q] = 0.
Àíàëîãè÷íî ðàññìîòðèì ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð qq † è íàéäåì åãî
êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ ñ îïåðàòîðîì H
H, qq † = [H, q] q † + q H, q † = q † Qq − q † Qq = 0
Ïóñòü òåïåðü, êîììóòàòîð ëåñòíè÷íîãî îïåðàòîðà p† ïðåäñòàâèì â
âèäå
H, p† = p† P = Qp† .
17
Òîãäà îïåðàòîð H êîììóòèðóåò ñ îïåðàòîðàìè pp† è p† p. Ïîêàæåì, ÷òî
pp† êîììóòèðóåò ñ P . Äëÿ ýòîãî ñíîâà ðàññìîòðèì êîììóòàòîð H, pp†
0 = H, pp† = −P pp† + pp† P = − P, pp†
è àíàëîãè÷íî äëÿ îïåðàòîðà p† p ïîëó÷àåì
0 = H, p† p = Qp† p − pp† Q = Q, p† p .
Ðàññìîòðèì êîììóòàòîð
†
p p, p† = p† p, p† .
Îïåðàòîð p† áóäåò ÿâëÿòüñÿ ïðàâûì ëåñòíè÷íûì äëÿ îïåðàòîðà p† p,
åñëè p† p, p, p†
= 0.
18
3.5
Íàõîæäåíèå
ëåñòíè÷íûõ
îïåðàòîðîâ
äëÿ
çàìêíóòîé ñèñòåìû
Ïóñòü H - ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð è ðàçëè÷íûå îïåðàòîðû
{Tµ† }nµ=1 íå êîììóòèðóþò ñ H , îáðàçóÿ çàìêíóòîå ìíîæåñòâî îòíîñèòåëüíî
îïåðàöèè êîììóòèðîâàíèÿ ñ H
[H, Tη ] =
n
X
(24)
Tµ αηµ ,
µ=1
ãäå αηµ = αηµ † - êîììóòèðóþùèå ñ H ñàìîñîïðÿæåííûå îïåðàòîðû [H, αηµ ] =
0. Òîãäà áóäåì èñêàòü òàêèå êîììóòèðóþùèå ñ H è αηµ ñàìîñîïðÿæåííûå
îïåðàòîðû σ η = σ η† , ÷òî
[H,
n
X
η
Tη σ ] =
η=1
n
X
Tη σ η P
η=1
ÿâëÿÿòñÿ ïðàâûì ëåñòíè÷íûì îïåðàòîðîì ïî îïðåäåëåíèþ è ñðåäè {σ η }
åñòü õîòÿ áû îäèí îòëè÷íûé îò íóëÿ îïåðàòîð.
Ïðèìåíÿÿ (24) ê
êîììóòàòîðó â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè, ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå
n X
n
X
Tµ αηµ σ η
−
η=1 µ=1
n
X
Tµ σ µ P = 0.
µ=1
÷òî ýêâèâàëåíòíî
n
X
µ=1
n
X
Tµ (
αηµ σ η − σ µ P ) = 0.
(25)
η=1
Ïîñêîëüêó îïåðàòîðû âíóòðè ñêîáêè îïåðàòîðû êîììóòèðóþò ìåæäó
ñîáîé, ìîæíî îäíîçíà÷íî ïðåäñòàâèòü âûðàæåíèå (25) â ìàòðè÷íîì âèäå
T1 T2 . . . Tn
σ1
2
σ
(A − P )
. . . = 0,
σn
19
(26)
ãäå (A − P ) ýòî ìàòðèöà ñëåäóþùåãî âèäà
α11
− P,
α2 ,
1
A − P = α13 ,
.
..
α1n ,
α21 ,
α22 − P,
α23 ,
α31 ,
α32 ,
α33 − P,
α2n ,
α3n ,
..
.
..
.
...,
...,
...,
...
αn1
αn2
αn1
..
.
. . . , αnn − P
.
×àñòíûì ðåøåíèåì ñèñòåìû (26) áóäåò ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
1
σ
2
σ
(A − P )
. . . = 0.
(27)
σn
Ââèäó òîãî, ÷òî âñå îïåðàòîðû â ìàòðèöå êîììóòèðóþò, äëÿ íåå
îäíîçíà÷íî âû÷èñëÿåòñÿ îïðåäåëèòåëü
det (A − P ) .
Ýòîò îïðåäåëèòåëü äîëæåí ðàâíÿòüñÿ íóëþ, ïîòîìó ÷òî êîýôôèöèåíòû
{σ η } íàõîäÿòñÿ â íåòðèâèàëüíîì ÿäðå det (A − P )  ïðîòèâíîì ñëó÷àå,
äëÿ îïåðàòîðà ñ òðèâèàëüíûì ÿäðîì âîçìîæíî áûëî áû ïîñòðîèòü
−1
îáðàòíûé îïåðàòîð (A − P ) .
Äîìíîæàÿ ñèñòåìó îáùåãî âèäà (26)
ñïðàâà íà îáðàòíûé îïåðàòîð, ïîëó÷èëè áû
T1 T2
σ1
σ2
. . . Tn
. . . = 0.
σn
Âñå
îïåðàòîðû
{Tµ† }nµ=1 ðàçëè÷íû, à, ñëåäîâàòåëüíî, âñå {σ η } òîæäåñòâåííî ðàâíÿþòñÿ
íóëþ.
Îòñþäà âîçíèêàåò óðàâíåíèå íà ïðàâûå ôóíêöèè ëåñòíè÷íûõ
îïåðàòîðîâ
det (A − P ) ≡ 0.
20
(28)
Îïðåäåëèòåëü
α11
− P,
α2 ,
1
det α13 ,
.
..
α1n ,
α21 ,
α22 − P,
α23 ,
α31 ,
α32 ,
α33 − P,
α2n ,
α3n ,
..
.
..
.
...,
...,
...,
...
αn1
αn2
αn1
..
.
. . . , αnn − P
=0
ÿâëÿåòñÿ ïîëèíîìîì îïåðàòîðà P n-îé ñòåïåíè, à åãî êîðíè ïðàâûìè
ôóíêöèÿìè ëåñòíè÷íûõ îïåðàòîðîâ.
Äàëåå, ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå êîðíè â óðàâíåíèå (26), íàõîäèì
ñîîòâåòñòâóþùèå èì êîýôôèöèåíòû {σ η } ïðàâûõ ëåñòíè÷íûõ îïåðàòîðîâ.
21
4
Àëãåáðà Âåéëÿ W(1)
Àëãåáðà
Âåéëÿ
âîçíèêàåò
ïðè
ðàññìîòðåíèè
êëàññè÷åñêîé çàäà÷è êâàíòîâîé ôèçèêè êâàíòîâàíèè ãàðìîíè÷åñêîãî
îñöèëëÿòîðà [17] [9] [18] [19]. Ñîïðÿæåííûå îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ a† è
óíè÷òîæåíèÿ a îïèñûâàþò ïåðåõîäû ìåæäó ýíåðãåòè÷åñêèìè ñîñòîÿíèÿìè
ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà. Òàê, îïðåäåëåííûé ÷åðåç îïåðàòîðû a† è a
îïåðàòîð ÷èñëà ÷àñòèö N îáëàäàåò ñîñòîÿíèÿìè, êîòîðûå îòâå÷àþò öåëûì
íåîòðèöàòåëüíûì ÷èñëàì
N |ni = n,
äåéñòâèå íà êîòîðûå îïåðàòîðàìè a† è a èìååò ñëåäóþùèé âèä
a† |ni =
√
n + 1 |n + 1i ,
√
a |n + 1i = n + 1 |ni ,
à ñîñòîÿíèå |0i àííèãèëèðóåòñÿ îïåðàòîðîì a (ÿâëÿåòñÿ ÿäðîì a) è
íàçûâàåòñÿ âàêóóìíûì.
Îïåðàòîðû a† è a ÿâëÿþòñÿ ïðèìåðîì êëàññè÷åñêèõ ëåñòíè÷íûõ
îïåðàòîðîâ
[a† a, a† ] = a† ,
[a† a, a] = −a.
Ñîñòîÿíèÿ {|ni} , ãäå n íåîòðèöàòåëüíîå öåëîå, ôîðìèðóþò áàçèñ
òàê íàçûâàåìîãî ïðîñòðàíñòâà Ôîêà.
 ñëó÷àå, êîãäà èññëåäóåìûé ïðîöåññ îïèñûâàåò âçàèìîäåéñòâèå
íåñêîëüêèõ ñâÿçàííûõ îñöèëëÿòîðîâ, ïðåäñòàâëåíèå ÷èñåë çàïîëíåíèÿ
îïðåäåëÿåòñÿ, ñîîòâåòñòâåííî, êîëè÷åñòâîì ôîòîíîâ íà êàæäîé èç
âçàèìîäåéñòâóþùèõ ìîä.
Òàêèì îáðàçîì ñîñòîÿíèå ôîêîâñêîãî
ïðîñòðàíñòâà m âçàèìîäåéñòâóþùèõ ìîä ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ ñîñòîÿíèå
ñëåäóþùåãî âèäà
|n1 , n2 , . . . , nm i ,
ãäå ni - ñîáñòâåííîå ÷èñëî îïåðàòîðà ÷èñëà ÷àñòèö ñîîòâåòñòâóþùåé ìîäû
a†i ai |n1 , n2 , . . . , ni , . . . nm i = ni |n1 , n2 , . . . , ni , . . . nm i .
22
Áîçîííûå îïåðàòîðû ðàçëè÷íûõ ìîä êîììóòèðóþò, à èõ ñàìîñîïðÿæåííûå
îïåðàòîðû ÷èñëà ÷àñòèö îáðàçóþò ïîëíûé êîììóòèðóþùèé íàáîð,
îïðåäåëÿþùèé áàçèñ ïðîñòðàíñòâà Ôîêà - áàçèñ ÷èñåë çàïîëíåíèÿ.
Âçàèìîäåéñòâèå âíóòðè ïîëåâîé ñèñòåìû ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî
êàê ïîëèíîì îïåðàòîðîâ ðîæäåíèÿ / óíè÷òîæåíèÿ ðàçëè÷íûõ ìîä, âñÿêîå
äâèæåíèå âíóòðè òàêîé ñèñòåìû ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ èçìåíåíèå ÷èñåë
çàïîëíåíèÿ.
Ðàçìåðíîñòü n-÷àñòè÷íîãî Ôîêîâñêîãî ïðîñòðàíñòâà (2s + 1)
âçàèìîäåéñòâóþùåé ìîäû îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
dimFn,s =
(2s + n)!
,
n!(2s)!
ãäå s - ëèáî öåëîå íåîòðèöàòåëüíîå, ëèáî ïîëóöåëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî.
Îäíî÷àñòè÷íîå
Ôîêîâñêîå
ñîñòîÿíèå
ðåàëèçóåò
òðèâèàëüíîå
ïðåäñòàâëåíèå èñõîäíîé àëãåáðû, â òî âðåìÿ êàê n-÷àñòè÷íîå Ôîêîâñêîå
ñîñòîÿíèå ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íûì òåíçîðíûì ïðåäñòàâëåíèåì èñõîäíîé
àëãåáðû ñîîòâåòñòâóþùåé ñòåïåíè.
23
5
5.1
Îòîáðàæåíèå Æîðäàíà-Øâèíãåðà
Îïðåäåëåíèå
Îòîáðàæåíèå
Æîðäàíà-Øâèíãåðà
[10][5]
[12][13]
ïîçâîëÿåò îïèñûâàòü ôèçè÷åñêèå ÿâëåíèÿ â ðåëÿòèâèñòñêîé îáëàñòè
ýíåðãèè. Âñÿêèé ïðîöåññ õàðàêòåðèçóþòñÿ ðîæäåíèåì è óíè÷òîæåíèåì
÷àñòèö.
Êâàíòîâàÿ òåîðèÿ ïîëÿ ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì êâàíòîâîé
ìåõàíèêè â ñëó÷àå âûñîêèõ ýíåðãèé, ó÷èòûâàþùèì îòíîñèòåëüíîñòü
Ýéíøòåéíà (ñèììåòðèþ Ïóàíêàðå).
Æîðäàíîì áûëî ïîêàçàíî â 1935
ãîäó, ÷òî îñíîâíàÿ òåõíèêà êâàíòîâàíèÿ ïîëÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà
ñ ïîìîùüþ îòîáðàæåíèÿ Æîðäàíà-Øâèíãåðà.
Øâèíãåð èñïîëüçîâàë
ýòî îòîáðàæåíèå â ñâîåì äîêëàäå "Îá óãëîâîì ìîìåíòå".
Ýòî
îòîáðàæåíèå ïîçâîëÿåò ïðåäñòàâèòü âñÿêóþ àëãåáðó â âèäå ïîëåâûõ
îïåðàòîðîâ ìíîãîìîäîâîé ñèñòåìû, ïðè ýòîì ñîõðàíÿÿ åå ñâîéñòâà. Ïðè
ýòîì îäíî÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå ìíîãîìîäîâîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì
èíâàðèàíòíîãî ïðîñòðàíñòâà àëãåáðû.
Îòîáðàæåíèå Æîðäàíà-Øâèíãåðà [5] ñâÿçûâàåò n × n-ìàòðèöû ñ
áîçîííûìè ïîëèíîìàìè n-ìîäîâîé ñèñòåìû
LX : Xij →
n
X
Xi,j a†i aj ≡ LX .
(29)
i,j=1
è ñîõðàíÿåò êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ìàòðèö L[A,B] = [LA , LB ].
Âñå Ôîêîâñêèå ñîñòîÿíèÿ |n−s , n−s+1 , . . . , ns iF ÿâëÿþòñÿ ÷èñòûìè âñå ôîêîâñêèå ñîñòîÿíèÿ îäíîìåðíû, îïðåäåëÿÿ òåì ñàìûì ðàçìåðíîñòü
ñîñòîÿíèé âñÿêîãî îïåðàòîðà.
Äåéñòâèå áîçîííûõ ïîëèíîìîâ â
ïðîñòðàíñòâå Ôîêà ñâîäèòñÿ ê óìíîæåíèþ Ôîêîâñêèõ ñîñòîÿíèé íà
(k), ãäå k - ÷èñëî ÷àñòèö íà ìîäå, ÷òî ïîçâîëÿåò
p
ñóçèòü ïîëå êîýôôèöèåíòîâ äî êîëüöà ÷èñåë âèäà
(n). Â òàêîì
÷èñëà âèäà
p
ñëó÷àå, êîýôôèöèåíòû ñîñòîÿíèé îïåðàòîðîâ áóäóò ÿâëÿòüñÿ êîðíÿìèè
èç íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Î÷åâèäíî, ÷òî íîðìà òàêèõ ñîñòîÿíèé îòëè÷íà
îò 1.
Äåëåíèå íà âñåõ êîýôôèöèåíòîâ â ðàçëîæåíèè ïî Ôîêîâñêîìó
24
áàçèñó íà èõ íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü ïîçâîëÿåò íàéòè ñîñòîÿíèå
ñ ìèíèìàëüíîé íîðìîé.
Ýòî âåñüìà ïîëåçíî ïðè íàõîæäåíèè ýòèõ
êîýôôèöèåíòîâ ïðîãðàììíûì ìåòîäîì, ïîñêîëüêó ïîçâîëÿåò ñâåñòè
âû÷èñëåíèÿ ê ìàíèïóëÿöèè ñ öåëûìè ÷èñëàìè, ÷òî ïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü
òî÷íûå ðåøåíèÿ çàäà÷.
Íàïðèìåð,
ïóñòü
ìû
íàøëè
îáðàç
îòîáðàæåíèÿ
Æîðäàíà
ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà H . Òîãäà åãî íîðìèðîâàííîå ñîñòîÿíèå |ψi
âûðàæàåòñÿ ÷åðåç Ôîêîâñêèå ñîñòîÿíèÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì
√
(α0 + α1 + . . . + αm ) |ψi = α0 |n−s , n−s+1 , . . . , ns iF +
E
√
√
(m)
(m)
0
0
0
(m)
+ α1 |n−s , n−s+1 , . . . , ns iF + . . . + αm n−s , n−s+1 , . . . , ns
. (30)
F
Òàêîå ñîñòîÿíèå áóäåò îáëàäàòü ìèíèìàëüíîé íîðìîé â ñëó÷àå êîãäà
íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòü âñåõ êîýôôèöèåíòîâ ðàâåí 1.
25
6
Àëãåáðà SU(2)
Àëãåáðà SU (2) [10] [14] [6] îïðåäåëÿåòñÿ êîììóòàöèîííûìè
ñîîòíîøåíèÿìè ñâîèõ ãåíåðàòîðîâ
J1 = J1† ,
J2 = J2† ,
J3 = J3† ,
[Jx , Jy ] = iJz ,
[Jy , Jz ] = iJx ,
[Jz , Jx ] = iJy .
×åðåç íèõ îïðåäåëÿþòñÿ ëåñòíè÷íûå îïåðàòîðû J+ è J− îïåðàòîðà Jz
J+ = Jx + iJy ,
J− = Jx − iJy ,
(J+ )† = J− .
Ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ
[Jz , J+ ] = J+ ,
è
[Jz , J− ] = −J− .
Â
ïðîñòðàíñòâå
ïðåäñòàâëåíèÿ
àëãåáðû
SU (2) îïðåäåëÿåòñÿ
1
J 2 = Jz2 + J+ J− + J− J+ .
2
(31)
îïåðàòîð Êàçèìèðà J2
Îïåðàòîð Êàçèìèðà êîììóòèðóåò ñî âñåìè ãåíåðàòîðàìè àëãåáðû
SU (2)
2
J , Jx = 0,
2
J , Jy = 0,
2
J , Jz = 0.
 àëãåáðå SU (2) îïðåäåëåíû ñîñòîÿíèÿ |j, jz i, äåéñòâèå íà êîòîðûõ
îïðåäåëåíî äëÿ âñåõ îáðàçóþùèõ àëãåáðû
Jz |j, jz i = jz |j, jz i ,
J 2 |j, jz i = j(j + 1) |j, jz i ,
26
ãäå ñîáñòâåííîå ÷èñëî j ÿâëÿåòñÿ íåîòðèöàòåëüíûì öåëûì,
ïîëîæèòåëüíûì ïîëóöåëûì,
ëèáî
à ñîáñòâåííîå ÷èñëî jz ïðèíàäëåæèò
ìíîæåñòâó {−j > jz > j} è ÿâëÿåòñÿ öåëûì èëè ïîëóöåëûì â çàâèñèìîñòè
îò j .
Äåéñòâèå ëåñòíè÷íûõ îïåðàòîðîâ îïðåäåëåíî äëÿ òàêèõ ñîñòîÿíèé
p
(j − jz )(j + jz + 1) |j, jz + 1i ,
p
J− |j, jz + 1i = (j − jz )(j + jz + 1) |j, jz i
J+ |j, jz i =
à ñîñòîÿíèÿ |j, jz = ji è |j, jz = −ji ÿâëÿþòñÿ àííèãèëèðóåìûìè äëÿ
ëåñòíè÷íûõ îïåðàòîðîâ J+ è J− ñîîòâåòñòâåííî
J+ |j, jz = ji = 0,
J− |j, jz = −ji = 0.
Èíà÷å ãîâîðÿ
ker J+ = |j, jz = ji ,
ker J− = |j, jz = −ji .
Òåíçîðíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû SU (2) ðàñêëàäûâàþòñÿ íà
íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ, îäíàêî, â ðàìêàõ àëãåáðû SU (2) ïîñòðîèòü
îäíîçíà÷íóþ êëàññèôèêàöèþ êðàòíûõ ñîñòîÿíèé îïåðàòîðà J 2 íå óäàåòñÿ
ëþáîå ðàçäåëåíèå îêàçûâàåòñÿ èñêóññòâåííûì, ñ ïðîèçâîëîì âûáîðà.
Ðåàëèçóÿ àëãåáðó SU (2) â ïðîñòðàíñòâå Ôîêà, ìû ðåøèì ýòó çàäà÷ó,
îïèðàÿñü íà ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà ïðîñòðàíñòâà - íà åãî ñèììåòðèè.
ßçûêîì, îïèñûâàþùèì òàêèå ñèììåòðèè, êàê ðàç è áóäóò ëåñòíè÷íûå
îïåðàòîðû.
Îïåðàòîð J+ ÿâëÿåòñÿ ïðàâûì ëåñòíè÷íûì îïåðàòîðîì îïåðàòîðà
J+ J−
[J+ J− , J+ ] = J+ 2Jz ,
à, ñëåäîâàòåëüíî, âåðíî ñëåäóþùåå
[(J+ J− )k , J+ ] = J+ (J+ J− + 2Jz )k − (J+ J− )k =
k
k
= ((ĵ − Jz )(ĵ + Jz + 1) + 2Jz ) − (ĵ − Jz )(ĵ + Jz + 1) .
27
Ïðåîáðàçóåì è ïîëó÷àåì èòîãîâîå âûðàæåíèå
[(J+ J− )k , J+ ] =
k
k
= J+
(ĵ − Jz + 1)(ĵ + Jz ) − (ĵ − Jz )(ĵ + Jz + 1)
. (32)
Îïåðàòîð J+ ÿâëÿåòñÿ ëåâûì ëåñòíè÷íûì îïåðàòîðîì îïåðàòîðà
J+ J−
[J+ J− , J+ ] = 2(Jz − 1)J+ ,
ñîîòâåòñòâåííî, ïîëó÷àåì
[(J+ J− )k , J+ ] =
k
k
2
(ĵ − Jz )(ĵ + Jz + 1) − ĵ + ĵ + (Jz − 1)(Jz + 2)
=
J+ . (33)
28
6.1
Îáðàç ãåíåðàòîðîâ íåïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ
SU (2)
ãðóïïû
ïðè
îòîáðàæåíèè
Æîðäàíà-Øâèíãåðà
Ïðèìåíÿÿ îòîáðàæåíèå Æîðäàíà-Øâèíãåðà ê ãåíåðàòîðàì àëãåáðû
SU (2) â êàíîíè÷åñêîì áàçèñå, ìû ïîëó÷àåì
Jz =
J+ = (J− )† =
LE =
s
P
µ=−s
µ=s−1
P p
µ=−s
s
P
µ=−s
µa†µ aµ ,
(s + µ + 1)(s − µ)a†µ+1 aµ ,
a†µ aµ =
s
P
(34)
Nµ ≡ N,
µ=−s
ãäå öåëîå ÷èñëî s - íîìåð ñòàðøåé ìîäû, îïåðàòîðû aµ ,
îïåðàòîðû ñîîòâåòñòâóþùèõ ìîä, îïåðàòîðû Jz ,
J+ ,
a†µ - áîçîííûå
J− ïîä÷èíÿþòñÿ
êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì (??), à îáðàçîì åäèíè÷íîãî îïåðàòîðà E
ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîð îáùåãî ÷èñëà ÷àñòèö N .
Îïåðàòîð E êîììóòèðóåò ñ ëþáûìè îïåðàòîðàìè, à, ñëåäîâàòåëüíî,
åãî îáðàç
îïåðàòîð N êîììóòèðóåò ñ ãåíåðàòîðàìè SU (2) è
îïåðàòîðîì Êàçèìèðà J 2 , òåì ñàìûì äîïîëíÿÿ íàáîð êîììóòèðóþùèõ
îïåðàòîðîâ. Òàêèì îáðàçîì, ñîáñòâåííîå ÷èñëî n îïåðàòîðà N óòî÷íÿåò
êëàññèôèêàöèþ ñîñòîÿíèé |j, jz iJ , ïîçâîëÿÿ ðàçëè÷àòü êðàòíûå j ïî ÷èñëó
÷àñòèö ñîñòîÿíèÿ
N |n;
J 2 |n;
j, jz iN J = n |n;
j, jz iN J ,
j, jz iN J = j(j + 1) |n;
Jz |n;
j, jz iN J = jz |n;
j, jz iN J ,
j, jz iN J ;
(35)
[J 2 , Jz ] = [J 2 , N ] = [Jz , N ] = 0.
Âñå ôîêîâñêèå ñîñòîÿíèÿ ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè ñîñòîÿíèÿìè
îïåðàòîðà Jz , à îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ
J 2 |0, 0, . . . , ni = 1, . . . 0iF = s(s + 1) |0, 0, . . . , ni = 1, . . . 0iF
îòíîñÿòñÿ ê ñîáñòâåííîìó ñîñòîÿíèþ îïåðàòîðà J 2 ñ ñîáñòâåííûì ÷èñëîì
29
s(s + 1), òåì ñàìûì ÿâëÿñü òðèâèàëüíûì ïðåäñòàâëåíèåì èñõîäíîé
àëãåáðû.
Íàèáîëüøåå âîçìîæíîå ñîáñòâåííîå ÷èñëî îïåðàòîðà J 2 ïðè n
÷àñòèöàõ - ns(ns + 1). Îíî ðåàëèçóåòñÿ äëÿ àííèãèëèðóåìîãî ñîñòîÿíèÿ
|n, 0, . . . 0iF îïåðàòîðà J− , äëÿ |0, . . . niF îïåðàòîðà J+ è äëÿ ñîñòîÿíèé,
ïîëó÷åííûõ ïðèìåíåíèåì ëåñòíè÷íûõ îïåðàòîðîâ ê àííèãèëèðóåìûì
ñîñòîÿíèÿì.
Ïðè ýòîì, ñîñòîÿíèå |n, 0, . . . 0iF îòâå÷àåò ñîáñòâåííîìó
÷èñëó −ns îïåðàòîðà Jz è ÿâëÿåòñÿ äëÿ íåãî îäíîìåðíûì, êàê è ñîñòîÿíèå
|n − 1, 1, 0, . . . 0iF îòâå÷àþùåå ñîáñòâåííîìó ÷èñëó −ns + 1 îïåðàòîðà J 2 .
Òàêèì îáðàçîì, íå ñóùåñòâóåò ñîñòîÿíèÿ â n-÷àñòè÷íîì ñîñòîÿíèè,
êîòîðîå áû îòâå÷àëî ñîáñòâåííîìó ÷èñëó (ns − 1)ns îïåðàòîðà Êàçèìèðà
J 2.
Íå âñå ñîñòîÿíèÿ |n;
j, jz iN J îäíîìåðíû - ñîáñòâåííûõ ÷èñåë
îïåðàòîðîâ N, J 2 , Jz îêàçûâàåòñÿ íåäîñòàòî÷íûì äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïîëíîé
êëàññèôèêàöèè ñîñòîÿíèé ñèñòåìû.
30
7
Ëåñòíè÷íûå
îïåðàòîðû
Êàçèìèðà àëãåáðû
îïåðàòîðà
SU (2) ïðè îòîáðàæåíèè
Æîðäàíà-Øâèíãåðà
7.1
Êîììóòèðóþùèé íàáîð
Ïóñòü s - íåîòðèöàòåëüíîå öåëîå.
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé íàáîð êîììóòèðóþùèõ ñ îïåðàòîðîì Jz
†
†
îïåðàòîðîâ {pk }sk=0 è {mk }sk=1 . Îïðåäåëèì èõ ñëåäóþùèì îáðàçîì
p†0 = 2a†0 ,
†
† k
†
1
k
p k = Qk √
a J + ak J− ,
(s+i)(s−i+1) −k +
i=1
†
†
† k
1
k
mk = Qk √
a−k J+ − ak J− .
i=1
(36)
(s+i)(s−i+1)
†
†
Âñå îïåðàòîðû èç íàáîðîâ {pk }sk=0 è {mk }sk=1 ÿâëÿþòñÿ êëàññè÷åñêèìè
ëåñòíè÷íûìè îïåðàòîðàìè îïåðàòîðà îáùåãî ÷èñëà ÷àñòèö N
[N, p†k ] = p†k ,
[N, m†k ] = m†k .
Êàê áûëî ïîêàçàíî â ïðåäûäóùèõ ðàçäåëàõ, äëÿ ðàçëè÷íûõ ñòåïåíåé µ
îïåðàòîðà N ýòè îïåðàòîðû áóäóò ÿâëÿòüñÿ êàê ïðàâûìè ëåñòíè÷íûìè
ˆ µ − N µ ),
[N µ , p†k ] = p†k ((N + I)
†
†
ˆ µ;
èëè N µ p = p (N + I)
k
k
ˆ µ − N µ ),
[N − I µ , p†k ] = p†k ((N + I)
ˆ µ p† = p† N µ ;
èëè (N − I)
k
k
ˆ µ − N µ ),
[N µ , m†k ] = m†k ((N + I)
†
†
ˆ µ;
èëè N µ m = m (N + I)
k
k
ˆ µ − N µ ),
[N − I µ , m†k ] = m†k ((N + I)
ˆ µ m† = m† N µ ;
èëè (N − I)
k
31
k
òàê è ëåâûìè ëåñòíè÷íûìè
ˆ µ )p† ,
[N µ , p†k ] = (N µ − (N − I)
k
ˆ µ )m† .
[N µ , m†k ] = (N µ − (N − I)
k
Òàêæå, ïîñêîëüêó ñîáñòâåííûå ÷èñëà îïåðàòîðà ÷èñëà ÷àñòèö N ÿâëÿþòñÿ
ìíîæåñòâîì íåîòðèöàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë, òî ëþáîé îïåðàòîð âèäà
N + λIˆ, ãäå λ âåùåñòâåííîå íåöåëîå ÷èñëî, áóäåò îáëàäàòü òðèâèàëüíûì
ˆ −1 îïåðàòîðû
ÿäðîì. Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ îáðàòíîãî îïåðàòîðà (N + λI)
p†k è m†k òàêæå áóäóò ëåñòíè÷íûìè, à, ñîîòâåòñòâåííî, è äëÿ ñòåïåíåé
ˆ −µ òîæå. ×òîáû íàéòè êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ, ðàññìîòðèì
(N +λI)
ñëåäóþùèé êîììóòàòîð
h
ˆ p†
0 = I,
k
i
"
#
ˆ
N + λI †
=
, pk .
N + λIˆ
Ïðåîáðàçóåì è ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå òîæäåñòâî
p†
1
N + λIˆ
ˆ
+ (N + λI)
1
,
N + λIˆ
p†k
= 0.
Âîñïîëüçóåìñÿ
òîæäåñòâîì
ßêîáè è ïîëó÷èì
ñîîòíîøåíèÿ äëÿ îïåðàòîðà N + λIˆ
h ïåðåñòàíîâî÷íûå
i
è êîììóòàòîðà
1
,
N +λIˆ
p†k
ˆ
N + λI,
èëè
ˆ
(N + λI)
1
, p†k
ˆ
N + λI
1
,
N + λIˆ
p†k
=
=
1
,
N + λIˆ
1
, p†k
ˆ
N + λI
p†k
ˆ
(N + (λ + 1)I)
Îïåðàòîð (N + λIˆ + I) îáëàäàåò òðèâèàëüíûì ÿäðîì, ó÷èòûâàÿ ýòî,
ïîëó÷àåì
1
1
,
= −p†
ˆ
ˆ
N + λIˆ
(N + λI)(N
+ (λ + 1)I)
Ðàñêëàäûâàÿ äðîáü íà ïðîñòåéøèå ïîëó÷àåì êîíå÷íîå âûðàæåíèå
!
1
1
1
, p†k = p†
−
.
N + λIˆ
N + (λ + 1)Iˆ N + λIˆ
p†k
32
(37)
Àíàëîãè÷íûì ïîñòðîåíèåì ìîæíî íàéòè ñâÿçàííûé ëåâûé ëåñòíè÷íûé
†
îïåðàòîð. Äëÿ mk âñå âûêëàäêè èäåíòè÷íû
1
, m†k = m†
N + λIˆ
Òåïåðü
1
N + (λ + 1)Iˆ
âîñïîëüçóåìñÿ
−
1
!
N + λIˆ
.
(38)
òåì
ôàêòîì, ÷òî ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñ êîýôôèöèåíòàìè èç êîììóòèðóþùèõ
ñ N îïåðàòîðîâ ëåñòíè÷íûõ îïåðàòîðîâ ñ îäèíàêîâûìè ôóíêöèÿìè
âíîâü áóäåò ëåñòíè÷íûì îïåðàòîðîì òîé æå ôóíêöèè. Òàêèì îáðàçîì,
îïðåäåëåíû êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ïðîèçâîëüíîé ëèíåéíîé
êîìáèíàöèè ëåñòíè÷íûõ îïåðàòîðîâ è ïðîèçâîëüíîé ðàçëîæèìîé â ðÿä
ôóíêöèè îïåðàòîðà N .
33
7.2
Çàìêíóòûé íàáîð
†
†
Îïåðàòîðû pk è mk îáðàçóþò çàìêíóòîå ìíîæåñòâî îòíîñèòåëüíî
äåéñòâèÿ îïåðàòîðà Êàçèìèðà J 2
[J 2 , p†0 ] = s(s + 1)p†0 + 2s(s + 1)p†1 ,
[J 2 , p†k ] = ((s + k + 1)(s − k) − k(k − 1))p†k + (s + k + 1)(s − k)p†k+1 +
+p† ((ĵ + Jz + 1)(ĵ − Jz ) − k(k − 1))+
+2k(m†k + m†k−1 )Jz ,
[J 2 , m†k ] = ((s + k + 1)(s − k) − k(k − 1))m†k + (s + k + 1)(s − k)m†k+1 +
+m† ((ĵ + Jz + 1)(ĵ − Jz ) − k(k − 1))+
+2k(p†k + p†k−1 )Jz ,
(39)
ãäå îïåðàòîð ĵ îïðåäåëåí êàê
q
1
ˆ
ĵ = ( Iˆ + 4J 2 − I).
2
(40)
Ïðèâåäåì äîêàçàòåëüñòâî ôîðìóëû (39).
Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì
êîììóòàòîð
1
[J 2 , a†−k J+k + a†k J−k ] =
(s+i)(s−i+1)
i=1
1
√
([J− J+ , a†−k J+k ] + [J− J+ , a†k J−k ])
(s+i)(s−i+1)
[J 2 , p†k ] =
=
Qk
i=1
=
Qk
i=1
√
Qk
√
=
1
([J− J+ , a†−k ]J+k + a†−k [J− J+ , J+k ]+
(s+i)(s−i+1)
+[J− J+ , a†k ]J−k + a†k [J− J+ , J−k ]).
Îïåðàòîð Êàçèìèðà ïðåäñòàâèì â ñëåäóþùåì âèäå J 2 = Jz2 + Jz + J− J+ ,
à îïåðàòîðû êîììóòèðóþò ñ Jz , òàêèì îáðàçîì êîììóòàòîð óïðîùàåòñÿ
äî êîììóòàöèîííûõ ñîîòíîøåíèé ñ îïåðàòîðîì J 2 . Òàêæå îïåðàòîð J 2 =
ˆ , ÷òî ïîçâîëÿåò âûðàçèòü J− J+ = (ĵ − Jz )(ĵ + Jz + 1). Íàéäåì
ĵ(ĵ + I)
†
êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ [J− J+ , ak ] è [J− J+ , J−k ]
[J− J+ , J−k ] = J− [J+ , J−k ] = 2kJ−k Jz − k(k − 1)J−k ,
[J− J+ , J+k ] = [J− , J+k ]J− = −2kJ−k−1 Jz − k(k − 1)J−k−1 ,
34
[J− J+ , a†k ] = [J− , a†k ]J+ + J− [J+ , a†k ] =
p
p
= (s + k)(s − k + 1)a†k−1 J+ + (s + k + 1)(s − k)a†k+1 J− .
Îòñþäà
[J− J+ , a†−k J+k ] = a†−k J+k (s(s + 1) − 2k 2 − 2kJz )+
p
p
+ (s + k + 1)(s − k)a†−k−1 J+k+1 + (s + k)(s − k + 1)a†−k+1 J+k−1 .
Íàéäåì ïðàâûå ôóíêöèè ëåñòíè÷íûõ îïåðàòîðîâ èç óðàâíåíèÿ
(26). Âîñïîëüçóåìñÿ ñèììåòðèåé ñîñòîÿíèé Jz îòíîñèòåëüíî ÿäðà. Íàì
äîñòàòî÷íî ïîñòðîèòü ëåñòíè÷íûå îïåðàòîðû òîëüêî â îáëàñòè, ãäå
Jz ≡ 0.
Ïîëó÷åííûå îïåðàòîðû íå áóäóò ÿâëÿòüñÿ ëåñòíè÷íûìè íà
âñåì Ôîêîâñêîì ïðîñòðàíñòâå (äëÿ ðàçëè÷íûõ ñîñòîÿíèé îïåðàòîðà Jz ),
íî ïî äåéñòâèþ áóäóò ñîâïàäàòü âíóòðè ÿäðà Jz ñ äåéñòâóþùèìè íà
âñåì ïðîñòðàíñòâå ëåñòíè÷íûìè îïåðàòîðàìè îïåðàòîðà Êàçèìèðà J 2 .
Ïîëó÷èâ ðàçëè÷íûå ñîñòîÿíèÿ îïåðàòîðà Êàçèìèðà J 2 âíóòðè ÿäðà Jz ,
ìû ñìîæåì ïðîäîëæèòü èõ çà ïðåäåëû ÿäðà, èñïîëüçóÿ ëåñòíè÷íûå
îïåðàòîðû J± àëãåáðû SU (2).
Òåì ñàìûì ïîëó÷àåì ðàçëè÷íûå
íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ.
Ëåñòíè÷íûå îïåðàòîðû ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè ýíäîìîðôèçìàìè,
ñëåäîâàòåëüíî,
èõ ïðîîáðàçà.
ðàçìåðíîñòü èõ îáðàçà íå ïðåâûøàåò ðàçìåðíîñòü
Ñîîòâåòñòâåííî,
ëåñòíè÷íûé îïåðàòîð ïåðåâîäèò
îäíîìåðíîå ñîñòîÿíèå â îäíîìåðíîå, ëèáî àííèãèëèðóåò åãî. Ôîêîâñêèå
îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ îòíîñÿòñÿ ê íåïðèâîäèìîìó ïðåäñòàâëåíèþ
àëãåáðû SU (2) îòâå÷àþùèì ñîáñòâåííîìó ÷èñëó s(s + 1) îïåðàòîðà
Êàçèìèðà J 2
J 2 |0, 0, . . . , nk = 1, . . . , 0i = s(s + 1) |0, 0, . . . , nk = 1, . . . , 0i
è îïåðàòîð Jz îáëàäàåò îäíîìåðíûì ÿäðîì
Jz |0, 0, . . . , n0 = 1, . . . , 0i = 0.
Äåéñòâóÿ íà ýòî ÿäðî ðàçëè÷íûìè êîìáèíàöèÿìè ëåñòíè÷íûõ îïåðàòîðîâ
îïåðàòîðà
Êàçèìèðà,
ïîëó÷àåì
ðàçëè÷íûå
îäíîìåðíûå
ñîñòîÿíèÿ
îïåðàòîðîâ Êàçèìèðà J 2 è îáùåãî ÷èñëà ÷àñòèö N , ëåæàùèå âíóòðè ÿäðà
Jz .
35
Çàìåíèì â (39) îïåðàòîð Jz íà òîæäåñòâåííûé íîëü è ïîëó÷èì
ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ, âåðíûå âíóòðè ÿäðà Jz
[J 2 , p†0 ] = s(s + 1)p†0 + 2s(s + 1)p†1 ,
[J 2 , p†k ] = ((s + k + 1)(s − k) − k(k − 1))p†k + (s + k + 1)(s − k)p†k+1 +
+p†k−1 ((ĵ + 1)ĵ − k(k − 1)),
[J 2 , m†k ] = ((s + k + 1)(s − k) − k(k − 1))m†k + (s + k + 1)(s − k)m†k+1 +
+m†k−1 ((ĵ + 1)ĵ − k(k − 1)),
Ñëåäóÿ îáùèì ñîîáðàæåíèÿì,
(41)
îïèñàííûì â ðàçäåëå "Íàõîæäåíèå
ëåñòíè÷íûõ îïåðàòîðîâ äëÿ çàìêíóòîé ñèñòåìû", ïîñòðîèì ìàòðèöó A −
P . Ìàòðèöà A, îïèñûâàþùàÿ èñõîäíûå êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ, â
ýòîì ñëó÷àå áóäåò áëî÷íîé
P 0
A=
!
0 M
,
ñîñòîÿùåé èç äâóõ òðåõäèàãîíàëüíûõ ìàòðèö P ðàçìåðíîñòè dim P = s+1
s(s + 1)
ĵ(ĵ + 1),
0,
2s(s + 1) s(s + 1) − 4 (ĵ − 1)(ĵ + 2)
0
(s − 1)(s + 2) s(s + 1) − 8
P =
.
..
..
..
.
.
0
0
0
0
0
0
...
0
0
...
0
0
...
...
...
...
0
0
..
..
.
.
−s2 + 5s − 2 ĵ(ĵ + 1) − s2 + s
2s
−s2 + s
è ìàòðèöû M ðàçìåðíîñòè dim M = s
s(s + 1) − 4
(s − 1)(s + 2)
..
M =
.
0
0
(ĵ − 1)(ĵ + 2)
s(s + 1) − 8
..
.
0
...
0
0
0
0
†
0
0
0
†
Âûáîð êîýôôèöèåíòîâ ïðè {pk }sk=0 è {mk }sk=1 ïîçâîëÿåò ïðèâåñòè åå
ê ñèììåòðè÷íîìó âèäó, îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî ìàòðèöû P è M îáëàäàþò
36
..
..
...
.
.
2
2
. . . −s + 5s − 2 ĵ(ĵ + 1) − s + s
2
...
2s
−s + s
(ĵ − 2)(ĵ + 3) . . .
..
.
0
ðàçëè÷íûìè ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè, êîòîðûå âûðàæàþòñÿ ÷åðåç îïåðàòîð
ĵ . Ñëåä ìàòðèö P è M ðàâåí ñóììå èõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë.
Ìàòðèöå A ñîîòâåòñòâóåò ñëåäóþùèé íàáîð ñîáñòâåííûõ ÷èñåë
ˆ sθ=−s ,
{θ(θ + 2ĵ + 1)I}
ïðè÷åì ìàòðèöå P îòâå÷àþò θ òîé æå ÷åòíîñòè, ÷òî è s, à ìàòðèöå M
âñå îñòàëüíûå.
Ìàòðèöà M ïîëó÷àåòñÿ èç ìàòðèöû P âû÷åðêèâàíèåì ïåðâîé ñòðîêè
è ñòîëáöà. Áóäåì èñêàòü êîýôôèöèåíòû ðåêóððåíòíî, íà÷èíàÿ ñ σs . Äëÿ
ìàòðèö P è M óðàâíåíèÿ íà ëåñòíè÷íûé îïåðàòîð áóäóò ïðàêòè÷åñêè
èäåíòè÷íû, ÷òî ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü îáùèé äëÿ íèõ ðåçóëüòàò. Áóäåì
èñêàòü ðåøåíèå ñëåäóþùåãî óðàâíåíèÿ
σ0θ
σ1θ
P − θ(θ + 2ĵ + 1)Iˆ
... = 0.
θ
σs = Iˆ
θ
íàõîäèòñÿ ïðè σsθ = Iˆ èç óðàâíåíèÿ ïîñëåäíåé ñòðîêè
Êîýôôèöèåíò σs−1
θ
σs−1
θ θ 2 + θ + s2 − s
= ĵ +
,
s
2s
(42)
Ðàññìîòðèì ñòðîêó k .
θ
(s − k)(s + k + 1)σk−1
+
+((s − k)(s + k + 1) − k(k − 1) − θ(θ + 2ĵ + 1))σkθ +
θ
+(ĵ − k)(ĵ + k + 1)σk+1
= 0.
θ
θ
Âûðàçèì σk−1
÷åðåç σkθ è σk+1
θ
σk−1
θ2 + θ + k2 + k θ
2θσkθ
=
σ + ĵ
−
(s + k)(s − k + 1) k
(s + k)(s − k + 1)
(ĵ + k + 1)(ĵ − k) θ
− σkθ −
σ . (43)
(s + k)(s − k + 1) k+1
Âèäíî, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå σkθ îêàçûâàåòñÿ ïîëèíîìîì îïåðàòîðà ĵ ñòåïåíè
(s − k).
37
†
Îáîçíà÷èì ïîëó÷åííûå ëåñòíè÷íûå îïåðàòîðû êàê {τθ }sθ=−s
τθ† =
† θ
k=0 pk σk ,
Ps
äëÿ
θ ÷åòíîñòè s,
(44)
è
τθ† =
† θ
k=1 mk σk ,
Ps
äëÿ îñòàëüíûõ θ.
Ëåñòíè÷íûå îïåðàòîðû èìåþò ñëåäóþùèå êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ
ñ îïåðàòîðîì Êàçèìèðà J 2
[J 2 , τθ† ] = τθ† θ(θ + 2ĵ + 1).
(45)
Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àþòñÿ ñîïðÿæåííûå îïåðàòîðû {τθ }sθ=−s
τθ =
Ps
äëÿ
θ
k=0 σk pk ,
θ ÷åòíîñòè s,
(46)
è
τθ =
Ps
θ
k=1 σk mk ,
äëÿ îñòàëüíûõ θ.
è èõ êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ ñ îïåðàòîðîì Êàçèìèðà J 2
[J 2 , τθ ] = −θ(θ + 2ĵ + 1)τθ .
38
(47)
7.3
Êîììóòàöèîííûå
ñîîòíîøåíèÿ
ìåæäó
ïîëèíîìàìè îïåðàòîðà Êàçèìèðà è ëåñòíè÷íûìè
îïåðàòîðàìè
Ïîñêîëüêó îïåðàòîð Êàçèìèðà J 2 ïðåäñòàâèì â âèäå ïîëèíîìà J 2 =
ĵ(ĵ + 1) îïåðàòîðà ĵ , îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñî âñåé
îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ îïåðàòîðà Êàçèìèðà J 2 è åãî äåéñòâèå ïðîèñõîäèò
â òåõ æå èíâàðèàíòíûõ ïðîñòðàíñòâàõ, ìû ìîæåì íàéòè êîììóòàöèîííûå
†
ñîîòíîøåíèÿ îïåðàòîðà ĵ ñ ëåñòíè÷íûìè îïåðàòîðàìè {τθ } èç ðåøåíèÿ
óðàâíåíèÿ
[ĵ, τθ† ] = τθ† X,
[jˆ2 , τθ† ] = τθ† X(X + 2ĵ),
[J 2 , τθ† ] = [ĵ(ĵ + 1), τθ† ]
Çíàÿ
(48)
êîììóòàöèîííûå
ñîîòíîøåíèÿ
îïåðàòîðà ĵ ñ ëåñòíè÷íûìè îïåðàòîðàìè, ìû ìîæåì áåç òðóäà âû÷èñëèòü
†
êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ ëåñòíè÷íûõ îïåðàòîðîâ τθ ñ îïåðàòîðîì ĵ .
[j, τθ† ] = θτθ† ,
Ïîëüçóÿñü ýòèì, ìû ìîæåì âû÷èñëèòü ëåâûå ôóíêöèè ëåñòíè÷íûõ
îïåðàòîðîâ
[J 2 , τθ† ] = θ(−θ + 2ĵ + 1)τθ† = θ(θ + 2ĵ + 1) = X(X + 2ĵ + 1)
(49)
, Îòêóäà X = θIˆ. Ëåâûå è ïðàâûå ôóíêöèè ëåñòíè÷íûõ îïåðàòîðîâ
ˆ =0
îïåðàòîðà ĵ ñîâïàäàþò, ïîñêîëüêó [ĵ, θI]
[ĵ, τθ† ] = θτθ† = τθ† θ.
Âîñïîëüçóåìñÿ ñèììåòðèåé êîììóòàöèîííûõ ñîîòíîøåíèé.
(50)
Äëÿ
ñîïðÿæåííûõ ëåñòíè÷íûõ îïåðàòîðîâ {τθ } ïîëó÷àåì
[N, τθ ] = −τθ ,
[J 2 , τθ ] = −τθ θ(−θ + 2ĵ + 1) = θ(θ + 2ĵ + 1)τθ ,
[ĵ, τθ ] = −θτθ = −τθ θ.
39
(51)
7.4
Êîììóòàöèîííûå
îáðàòíûìè
ñîîòíîøåíèÿ
ïîëèíîìàì
îïåðàòîðà
ìåæäó
Êàçèìèðà
è
ëåñòíè÷íûìè îïåðàòîðàìè
Îïåðàòîð
(2ĵ
ˆ
I)
+
îáëàäàåò
òðèâèàëüíûì
ÿäðîì, íàéäåì êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ îáðàòíîãî îïåðàòîðà
1
2ĵ+Iˆ
ñ
†
†
1
, τθ ] Äëÿ ýòîãî, ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé êîììóòàòîð
ëåñòíè÷íûì θτθ [ 2ĵ+
Iˆ
"
#
i 1
h
2ĵ + Iˆ †
1
†
†
ˆ τ
ˆ
, τθ = 2ĵ + I,
+ (2ĵ + I)
, τθ = 0.
θ
ˆ
ˆ
2ĵ + I
2ĵ + I
2ĵ + Iˆ
(52)
Âîñïîëüçóåìñÿ òîæäåñòâîì ßêîáè
h
i
1
1
ˆ
ˆ
2ĵ + I,
, τθ† +
, τθ† , 2ĵ + Iˆ + τθ† , 2ĵ + I,
=0
ˆ
ˆ
2ĵ + I
2ĵ + I
2ĵ + Iˆ
1
è ïîëó÷èì èíòåðåñóþùåå íàñ âûðàæåíèå
ˆ
(2ĵ + I)
1
,
2ĵ + Iˆ
τθ†
=
1
,
2ĵ + Iˆ
τθ†
ˆ
(2ĵ + (1 + 2θ)I).
Ïîäñòàâèì ïîëó÷åííîå â (52) è âûðàçèì êîììóòàòîð
−2θτθ†
1
2ĵ + Iˆ
=
h
1
,
2ĵ+Iˆ
τθ†
i
1
ˆ
, τθ† (2ĵ + (1 + 2θ)I).
ˆ
2ĵ + I
Îïåðàòîð 2ĵ+(1+2θ)Iˆ îáëàäàåò òðèâèàëüíûì ÿäðîì äîìíîæàåì ñïðàâà
íà îáðàòíûé îïåðàòîð è ïîëó÷àåì
−2θ
, τθ† = τθ†
.
(2ĵ + 1)(2ĵ + 1 + 2θ)
2ĵ + Iˆ
1
(53)
Ðàçëîæèì äðîáü íà ïðîñòûå
1
, τθ† = τθ†
2ĵ + Iˆ
1
2ĵ + (1 + 2θ)Iˆ
−
1
2ĵ + Iˆ
Êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ îïåðàòîðîâ âèäà
íåîòðèöàòåëüíîå, íàõîäÿòñÿ ñõîæèì îáðàçîì.
40
!
.
1
,
2ĵ+(2kθ+1)Iˆ
(54)
ãäå k
Ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå
âûðàæåíèå îáùåãî âèäà
"
1
#
1
, τθ† = τθ†
2ĵ + (1 + 2k)θIˆ
2ĵ + (1 + 2(k + 1))θIˆ
−
!
1
.
2ĵ + (1 + 2k)θIˆ
(55)
Èìååò ìåñòî òàê æå àíàëîãè÷íîå âûðàæåíèå ñ ëåâîé ôóíêöèåé
ëåñòíè÷íîãî îïåðàòîðà
"
1
#
, τθ† =
2ĵ + (1 + 2k)θIˆ
1
2ĵ + (1 + 2(k + 1))θIˆ
−
1
!
2ĵ + (1 + 2k)θIˆ
τθ† .
(56)
Âèäíî, ÷òî òàêèå îïåðàòîðû âîñïðîèçâîäÿòñÿ â êîììóòàöèîííûõ
n
1
ñîîòíîøåíèÿõ, à, ñëåäîâàòåëüíî, ëþáàÿ èõ ñòåïåíü 2ĵ+(2kθ+1)Iˆ
áóäåò
†
îáëàäàòü ïðàâûì ëåñòíè÷íûì îïåðàòîðîì τθ
i
n
†
1
, τθ =
2ĵ+(1+2k)θIˆ
n
n
†
1
1
1
1
τθ
− 2ĵ+(1+2k)θIˆ + 2ĵ+(1+2k)θIˆ − 2ĵ+(1+2k)θIˆ
2ĵ+(1+2(k+1))θ
Iˆ
n
n
†
1
1
.
= τθ
− 2ĵ+(1+2k)θIˆ
2ĵ+(1+2(k+1))θIˆ
h
=
=
Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè îïåðàòîðà ĵ , êîòîðóþ ìû ìîæåì
ðàçëîæèòü ïî ôóíêöèÿì
{ĵ k }nk=0
k
1
è { 2ĵ+(1+2k)θIˆ }nk=0 , ìû ìîæåì íàéòè
êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ ñ ëþáûì èç ëåñòíè÷íûõ îïåðàòîðîâ {τθ }
†
èëè {τθ }.
41
7.5
Àííèãèëèðóåìûå
ñîñòîÿíèÿ
ëåñòíè÷íûõ
îïåðàòîðîâ îïåðàòîðà Êàçèìèðà
Ãåîìåòðèÿ ôîêîâñêîãî ïðîñòðàíñòâà ïîçâîëÿåò èññëåäîâàòü âîïðîñ
îá àííèãèëèðóåìûõ ñîñòîÿíèÿõ ïîñòðîåííûõ äëÿ îïåðàòîðà Êàçèìèðà
ĵ(ĵ + 1) ëåñòíè÷íûõ îïåðàòîðîâ {τθ† }sθ=−s è ñîïðÿæåííûõ èì ëåñòíè÷íûõ
îïåðàòîðîâ {τθ }sθ=−s .
Èíà÷å ãîâîðÿ, íàéòè òàêèå ñîñòîÿíèÿ, êîòîðûå
îäíîçíà÷íî íàõîäÿòñÿ â ñîîòâåòñòâóþùèõ ÿäðàõ ëåñòíè÷íûõ îïåðàòîðîâ.
Áóäåì èññëåäîâàòü ñîñòîÿíèÿ îïåðàòîðîâ ĵ è N ëåæàùèõ â ÿäðå
îïåðàòîðà Jz
|n, j, , jz = 0i ,
Ïðè çàäàííîì ÷èñëå ÷àñòèö n (ñîáñòâåííîì ÷èñëå îïåðàòîðà N ),
ñîáñòâåííûå ÷èñëà îïåðàòîðà ĵ íàõîäÿòñÿ â ïðåäåëàõ 0 6 j 6 ns.
Äåéñòâèå îïåðàòîðîâ âíóòðè ÿäðà Jz ìîæíî èçîáðàçèòü ñëåäóþùåé
ñõåìîé äëÿ ω = 1 . . . s
τω† |n, ji ⇒ |n + 1, j + ωi ,
τω |n + 1, j + ω, i ⇒ |n, ji ,
(57)
è
†
τ−ω
|n, j + ω, i ⇒ |n + 1, ji ,
τ−ω |n + 1, j, i ⇒ |n, j + ωi .
Îïåðàòîðû τω† îáëàäàþò òðèâèàëüíûì ÿäðîì, åñëè ω òîé æå
÷åòíîñòè, ÷òî è s.
Åñëè ω îòëè÷àåòñÿ ÷åòíîñòüþ îò s, òîãäà
âñå îäíî÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå ëåæèò â ÿäðå τω† .
Ýòî ñâÿçàíî ñ
àíòèñèììåòðè÷íûì îïðåäåëåíèåì îïåðàòîðà τω† äëÿ ω îòëè÷íîé îò s
÷åòíîñòè.
Îïåðàòîðû τω áóäóò àííèãèëèðîâàòü âñå ñîñòîÿíèÿ j
< ω è
âàêóóìíîå ñîñòîÿíèå n = 0, òàêèì îáðàçîì ðåàëèçóÿ ω ðàçëè÷íûõ
ïðåäñòàâëåíèé àëãåáðû.
Ñàìà àëãåáðà ïàðû îïåðàòîðîâ ïðåäñòàâëÿåò
èç ñåáÿ äåôîðìàöèþ àëãåáðû Âåéëÿ W (1), î ÷åì ìîæíî ñóäèòü ïî
àííèãèëèðóåìûì ñîñòîÿíèÿì. Åå ðàçëè÷íûå ïðåäñòàâëåíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ
42
÷èñëîì rθ = j( mod ω) è ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè ñàìîñîïðÿæåííûõ
îïåðàòîðîâ
τω† τω
.
†
Îïåðàòîðû τ−ω àííèãèëèðóþò âñå ñîñòîÿíèÿ j < ω , à îïåðàòîðû τ−ω
àííèãèëèðóþò âñå ñîñòîÿíèÿ j > ns − ω è âàêóóìíîå ñîñòîÿíèå n = 0.
†
Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ãîâîðèòü, ÷òî îïåðàòîðû τ−ω è τ−ω ïðåäñòàâëÿþò
äåôîðìàöèþ àëãåáðû SU (2), ãäå ïðåäñòàâëåíèÿ ðàçëè÷àþòñÿ ÷èñëîì rθ =
j( mod ω) è ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè ñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ
†
Lωz = [τ−ω
, τ−ω ],
1 †
†
2
ω 2
τ τ−ω + τ−ω τ−ω .
Lω = (Lz ) +
2 −ω
†
Îïåðàòîðû τ0 è τ0 íå èçìåíÿþò ñîáñòâåííûå ÷èñëà îïåðàòîðà
Êàçèìèðà J 2
τ0† |n, ji ⇒ |n + 1, ji ,
(58)
τ0 |n + 1, j, i ⇒ |n, ji ,
êîììóòèðóÿ ñ íèì.
Ïîñêîëüêó
ëåñòíè÷íûå
îïåðàòîðû ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè ýíäîìîðôèçìàìè, ðàçìåðíîñòü îáðàçà
ñîñòîÿíèÿ íå áóäåò ïðåâûøàòü ðàçìåðíîñòü ñàìîãî ñîñòîÿíèÿ.
Òàêèì
îáðàçîì, ïðèìåíÿÿ ê îäíî÷àñòè÷íîìó ñîñòîÿíèþ
|n = 1, j = s, jz = 0i ≡ |n−s = 0, n−s+1 = 0, . . . , n0 = 1, . . . , ns = 0, i
ïîñòðîåííûå îïåðàòîðû {τθ }sθ=−s ,
ìû ïîëó÷èì (s + 1) ðàçëè÷íîå
îäíîìåðíîå ñîñòîÿíèå äëÿ äâóõ÷àñòè÷íîãî ñëó÷àÿ
|n = 2, j = 0, jz = 0i ,
|n = 2, j = 2, jz = 0i ,
|n = 2, j = 4, jz = 0i ,
..
.
|n = 2, j = 2s − 2, jz = 0i ,
|n = 2, j = 2s, jz = 0i .
43
Äàëåå, äåéñòâóÿ íà íèõ îïåðàòîðàìè {τθ }sθ=−s , ïîëó÷èì ðàçëè÷íûå
îäíîìåðíûå ñîñòîÿíèÿ â ïðîñòðàíñòâå n = 3, â òîì ÷èñëå è êðàòíûå
j.
Èõ è áóäóò ðàçëè÷àòü ñîáñòâåííûå ÷èñëà ïîñòðîåííûõ íàìè
ñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ.
44
8
Ñëó÷àé òðåõ ìîä
 ñëó÷àå òðåõ âçàèìîäåéñòâóþùèõ ìîä çàäà÷à êëàññèôèêàöèè
íå ñòîèò
âñå ïîäïðîñòðàíñòâà ÿäðà Jz îäíîìåðíû,
à íàáîð
êîììóòèðóþùèõ îïåðàòîðîâ J 2 , Jz , N ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì, îäíàêî,
ïðèìåíåíèå òåõíèêè ëåñòíè÷íûõ îïåðàòîðîâ õîðîøî ìîæåò áûòü
ïðîèëëþñòðèðîâàííî íà ýòîì ïðèìåðå.
Äëÿ ñëó÷àÿ òðåõ ìîä ãåíåðàòîðû àëãåáðû SU (2) ïðåäñòàâëÿþòñÿ
ñëåäóþùèì îáðàçîì
Jz =
1
P
µa†µ aµ ,
µ=−1
J+ = (J− )† =
LE =
µ=0
P
p
(µ + 2)(1 − µ)a†µ+1 aµ ,
µ=−1
1
P †
aµ aµ
µ=−1
=
1
P
(59)
Nµ ≡ N,
µ=−1
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå îïåðàòîðû
p†0 = 2a†0 ,
†
√
2p†1 = a†1 J− + a†−1 J+ .
†
Îïåðàòîðû p0 è p1 êîììóòèðóþò ñ îïåðàòîðîì Jz
(60)
è ÿâëÿþòñÿ
êëàññè÷åñêèìè ëåñòíè÷íûìè îïåðàòîðàìè îïåðàòîðà N .
†
Îïåðàòîð m1 àííèãèëèðóåò ÿäðî Jz , ýòî òðèâèàëüíî ïðîâåðÿåòñÿ,
†
åñëè ðàññìîòðåòü äåéñòâèå îïåðàòîðà m1 íà ïðîèçâîëüíîå Ôîêîâñêîå
ñîñòîÿíèå |n−1 = m, n0 = k, n1 = mi.
Îäíàêî, âíå ÿäðà Jz îïåðàòîð
m†1 äåéñòâóåò íåòðèâèàëüíî, ÷òî âàæíî â ïîñòðîåíèè ëåñòíè÷íûõ
îïåðàòîðîâ íà âñåì ïðîñòðàíñòâå Ôîêà. Íàì æå äîñòàòî÷íî ïîñòðîèòü
èõ òîëüêî íà ÿäðå, ÷òîáû ïîëó÷èòü ðàçëè÷íûå ñîñòîÿíèÿ îïåðàòîðà ĵ
è âîññòàíîâèòü îòâå÷àþùèå èì èíâàðèàíòíûå ïðîñòðàíñòâà äåéñòâèåì
ëåñòíè÷íûõ îïåðàòîðîâ J+ è J− àëãåáðû SU (2)
†
†
Íàéäåì êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ îïåðàòîðîâ p0 è p1 ñ
îïåðàòîðîì Êàçèìèðà J 2
[J 2 , p†0 ] = 2p†0 + 4p†1 ,
[J 2 , p†1 ] = p†0 J− J+ = p†0 (ĵ − Jz )(ĵ + Jz + 1).
45
Íàì íå òðåáóåòñÿ ïîëó÷àòü ëåñòíè÷íûé îïåðàòîð äëÿ âñåãî ïðîñòðàíñòâà
Ôîêà, à äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü åãî â ÿäðå Jz .
Ïîëîæèì Jz ≡ 0 è
ïåðåïèøåì êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ
[J 2 , p†0 ] = 2p†0 + 4p†1 ,
(61)
[J 2 , p†1 ] = p†0 ĵ(ĵ + 1).
Ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ íà ïðàâûå ôóíêöèè ëåñòíè÷íûõ îïåðàòîðîâ áóäóò
îïåðàòîðû −2ĵ è 2(ĵ + 1).
Âîñïîëüçóåìñÿ àëãîðèòìîì íàõîæäåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ íà÷èíàÿ ñ
†
†
σs=1 = 1. Îáîçíà÷èì îïåðàòîðû τ−1
è τ1 . Îíè áóäóò èìåòü ñëåäóþùèå
êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ ñ îïåðàòîðîì Êàçèìèðà
†
†
[J 2 , τ−1
] = −τ−1
2ĵ,
(62)
[J 2 , τ1† ] = τ1† 2(ĵ + 1)
†
†
è âûðàæàþòñÿ ÷åðåç îïåðàòîðû p0 è p1 ñëåäóþùèì îáðàçîì
†
τ−1
= p†0 ĵ − 2p†1 ,
(63)
τ1† = p†0 (ĵ + 1) + 2p†1 .
Áåç òðóäà íàõîäÿòñÿ èõ êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ îïåðàòîðà ĵ
†
†
[ĵ, τ−1
] = −τ−1
,
(64)
[ĵ, τ1† ] = τ1†
è äëÿ
"
#
!
1
1
, τ1† = τ1†
−
,
2ĵ + (1 + 2k)Iˆ
2ĵ + (3 + 2k)Iˆ 2ĵ + (1 + 2k)Iˆ
"
#
!
1
1
1
†
†
, τ−1
= τ−1
−
,
2ĵ − (1 + 2k)Iˆ
2ĵ − (3 + 2k)Iˆ 2ĵ − (1 + 2k)Iˆ
1
(65)
(66)
è àíàëîãè÷íîå âûðàæåíèå ñ ëåâûìè ôóíêöèÿìè
"
1
#
, τ1† =
2ĵ + (1 + 2k)Iˆ
#
"
1
†
, τ−1
=
2ĵ − (1 + 2k)Iˆ
1
2ĵ + (3 + 2k)Iˆ
1
2ĵ − (3 + 2k)Iˆ
46
−
−
1
!
2ĵ + (1 + 2k)Iˆ
1
τ1† ,
(67)
†
τ−1
.
(68)
!
2ĵ − (1 + 2k)Iˆ
†
†
Èç ñîîòíîøåíèÿ ßêîáè òàêæå ïîëó÷àåì, ÷òî êîììóòàòîð [τ1 , τ−1 ]
ÿâëÿåòñÿ ëåñòíè÷íûì äëÿ îïåðàòîðà ĵ
†
†
[ĵ, [τ1† , τ−1
]] = 2[τ1† , τ−1
].
†
†
Òåïåðü ñíîâà ðàññìîòðèì îïåðàòîðû p0 è p1 .
†
Îïåðàòîð p0 ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê
p†0
=
τ1†
+
†
τ−1
1
,
2ĵ + 1
à, ñëåäîâàòåëüíî, íàéòè åãî êîììóòàòîð ñ îïåðàòîðîì ĵ . Ïîëó÷àåì
[ĵ, p†0 ] = (p†0 + 4p†1 )
1
,
2ĵ + 1
(69)
.
Àíàëîãè÷íî íàõîäèì êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ îïåðàòîðà
p†1 .
†
Îïåðàòîð p1 ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê
p†1
1
1
†
†
†
†
(τ1 − τ−1 ) − (τ1 + τ−1 )
=
,
4
2ĵ + 1
îòêóäà íàõîäèì åãî êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ ñ îïåðàòîðîì ĵ
[ĵ, p†1 ] = (p†0 J 2 − p†1 )
1
.
2ĵ + 1
(70)
Èñïîëüçóÿ
ïîëó÷åííûå â äàííîì ðàçäåëå êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ ìû ìîæåì
íàéòè ëåâûå ôóíêöèè ëåñòíè÷íûõ îïåðàòîðîâ. Ïîëó÷àåì
h
h
i
†
ĵ,
=
ĵ τ1 = τ1† ,
h
i
h
i
†
†
2
2 †
J , τ−1 = −2(ĵ + 1)τ−1 , J τ1 = 2ĵτ1† .
†
†
τ−1
i
†
−τ−1
,
†
(71)
Òîãäà îïåðàòîð p0 è p1 ìîæíî âûðàçèòü èíà÷å ÷åðåç ëåâûå ôóíêöèè.
†
Îïåðàòîð p0 ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê
p†0 =
1
1
†
τ1† +
τ−1
,
2ĵ + 3
2ĵ − 1
47
†
à îïåðàòîð p1 êàê
p†1
1
1
1
†
†
†
†
(τ1 − τ−1 ) −
=
τ1 +
τ−1 .
4
2ĵ + 3
2ĵ − 1
†
†
Òåïåðü íàéäåì êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ îïåðàòîðîâ p0 è p1 .
†
Ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå. Ïóñòü N0 = a0 a - îïåðàòîð ÷èñëà ÷àñòèö
íóëåâîé ìîäû, òîãäà
[p0 , p†0 ] = 4,
(72)
[p0 , p†1 ] = 2(N − N0 ),
(73)
[p1 , p†0 ] = −2(N − N0 ),
√
[p1 , p†1 ] = 2Jz2 − (2 + 2)(N − N0 ),
(74)
(75)
.
Òåïåðü ìû ìîæåì âû÷èñëèòü êîììóòàòîðû ëåñòíè÷íûõ îïåðàòîðîâ
τθ† . Âû÷èñëèì êîììóòàòîð [τ1 , τ1† ]
h
i h
i
h
i h
i
†
†
†
†
†
†
[τ1 , τ1 ] = τ1 , p0 (ĵ + 1) + 2p1 = τ1 , p0 (ĵ+1)+p0 τ1 , (ĵ + 1) + τ1 , 2p1 =
h
i
h
i
†
†
†
= (ĵ + 1)p0 + 2p1 , p0 (ĵ +1)−p0 ((ĵ +1)p0 +2p1 )+ (ĵ + 1)p0 + 2p1 , 2p1 =
1
p0 (ĵ + 1) + 4(ĵ + 1)2 − 4(N − N0 )(ĵ + 1)−
2ĵ + 1
√
1
−p†0 ((ĵ+1)p0 +2p1 )+2(p†0 J 2 −p†1 )
p0 +4(ĵ+1)(N −N0 )+8J 2 −4(2+ 2)(N −N0 ).
2ĵ + 1
Ïðèâîäèì ïîäîáíûå è ïîëó÷àåì
= (p†0 + 4p†1 )
= (p†0 + 4p†1 )
1
p0 (ĵ + 1) + 4(ĵ + 1)2 −
2ĵ + 1
−p†0 ((ĵ + 1)p0 + 2p1 ) + 2(p†0 J 2 − p†1 )
√
1
p0 + 8J 2 − 4(2 + 2)(N − N0 )
2ĵ + 1
Óïðîùàÿ
äàííîå âûðàæåíèå ìîæíî ïîëó÷èòü êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ
ëåñòíè÷íûõ îïåðàòîðîâ, äàëåå, âûáèðàÿ äëÿ íèõ îïåðàòîðíûé ìíîæèòåëü,
ïðèâîäèì êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ ê êàíîíè÷åñêèì.
48
Îïðåäåëèì ÷åðåç îïåðàòîðû τ íîâûå ëåñòíè÷íûå îïåðàòîðû,
êîòîðûå áóäóò èìåòü êàíîíè÷åñêèå êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ
q
2(ĵ + 1) + 1
1
1
q
q
A† = τ1† q
,
2 ĵ + 1 (N + 1) + ĵ + 1 + 1 2(ĵ + 1) − 1
(76)
q
2(ĵ + 1) − 1
1
†
q
L+ = τ−1 √ q
.
2 2 ĵ + 1 2(ĵ + 1) + 1
(77)
Òàê, îïåðàòîðû A è A† óäîâëåòâîðÿþò êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì
àëãåáðû Âåéëÿ W (1)
ˆ
[A, A† ] = I,
à èõ ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð A† A èìååò òå æå ñîáñòâåííûå ÷èñëà, ÷òî
è îïåðàòîð ĵ . Äåéñòâèå íà ñîñòîÿíèå |n, j jz i îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
A† A |n, j jz i = j |n, j jz i .
×åðåç îïåðàòîðû L± îïðåäåëÿþòñÿ îïåðàòîðû Lz è L2
1
Lz = [L+ , L− ],
2
L2 = L2z + Lz + L− L+ .
Èõ äåéñòâèå íà ñîñòîÿíèÿ îïðåäåëåíî
n−j n+j
Lz |n, j jz i =
−
|n, j jz i ,
2
4
n
+
j
n
+
j
L2 |n, j jz i =
+ 1 |n, j jz i .
4
4
Îïåðàòîðû A† A, Lz è L2 - îáðàçóþò ïîëíûé êîììóòèðóþùèé íàáîð
è ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ êëàññèôèêàöèè ñîñòîÿíèé òàêîé ñèñòåìû
íàðàâíå ñ N−1 , N0 , N1 è J 2 , Jz , N .
49
9
Ñîñòîÿíèÿ ïÿòèìîäîé ñèñòåìû
Âû÷èñëåíèÿ â äàííîì ðàçäåëå áûëè ïðîâåäåíû ïðè ïîìîùè
ïðîãðàììû, íàïèñàííîé íà ÿçûêå JAV A.
Èñõîäíûé êîä ïðîãðàììû
îïóáëèêîâàí â ñåòè èíòåðíåò.
 ïðîãðàììå áûëî ðåàëèçîâàíî äåéñòâèå ïðîèçâîëüíîãî áîçîííîãî
îïåðàòîðà íà Ôîêîâñêîå ñîñòîÿíèå çàäàííîé ðàçìåðíîñòè.
ñîñòîÿíèÿ îïèñûâàþòñÿ ìàññèâîì çàäàííîé äëèííû.
ñîñòîÿíèÿ
ïðåäñòàâëÿþò
èç
ñåáÿ
îáúåêò
êëàññà
Ôîêîâñêèå
Ñìåøàííûå
ArrayList<>
îò
ïàð ñîñòîÿíèÿ è ìíîæèòåëÿ ñ ðåàëèçîâàííûìè äëÿ íèõ áàçîâûìè
îïåðàöèÿìè
ñëîæåíèåì è óìíîæåíèåì íà ÷èñëî ñ ïîñëåäóþùèì
ïðèâåäåíèåì ïîäîáíûõ. Äëÿ ñìåøàííûõ ñîñòîÿíèé ðåàëèçîâàíà îïåðàöèÿ
íîðìàëèçàöèè ïî íàèáîëüøåìó îáùåìó äåëèòåëþ.
Âñå îïåðàòîðû
ðåàëèçîâàíû ÷åðåç áîçîííûå îïåðàòîðû. Ñàìî ïîëå âåùåñòâåííûõ ÷èñåë
ñóæåíî äî êîëüöà êîðíåé èç íàòóðàëüíûõ ÷èñåë âìåñòå ñ îáðàòíûìè ïî
ñëîæåíèþ.
Òàêîå ïîñòðîåíèå ïîçâîëÿåò íàéòè òî÷íûé âèä êîýôèöèåíòîâ, à
îïåðàöèÿ íîðìèðîâàíèÿ ïðèîáðåòàåò òðèâèàëüíûé âèä è ñâîäèòñÿ ê
äåëåíèþ íà ñóììó ïîäêîðåííûõ êîýôôèöèåíòîâ.
ßäðî îïåðàòîðà Jz äëÿ îäíî÷àñòè÷íîãî ñîñòîÿíèÿ îäíîìåðíî è
ñîñòîèò èç Ôîêîâñêîãî ñîñòîÿíèÿ ñëåäóþùåãî âèäà
Jz |0, 0, 1, 0, 0iF = 0.
J 2 |0, 0, 1, 0, 0iF = 2 ∗ 3 |0, 0, 1, 0, 0iF .
50
Ïîäåéñòâóåì íà íåãî ëåñòíè÷íûìè îïåðàòîðàìè è ðàçäåëèì åãî
êîýôôèöèåíòû íà èõ íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü. Ïîëó÷àåì
†
τ−2
|0, 0, 1, 0, 0iF ⇒ |0, 0, 2, 0, 0iF −
†
τ−1
|0, 0, 1, 0, 0iF = 0
τ0† |0, 0, 1, 0, 0iF ⇒
τ1† |0, 0, 1, 0, 0iF = 0
τ2† |0, 0, 1, 0, 0iF ⇒
√
√
2 |0, 1, 0, 1, 0iF +
√
2 |1, 0, 0, 0, 1iF
2 |0, 0, 2, 0, 0iF − |0, 1, 0, 1, 0iF − 2 |1, 0, 0, 0, 1iF
√
3 2 |0, 0, 2, 0, 0iF + 4 |0, 1, 0, 1, 0iF + |1, 0, 0, 0, 1iF
Ïîâòîðÿÿ ïðîöåññ áóäåì ïîëó÷àòü ñëåäóþùèå ñîñòîÿíèÿ
n j
|i
3 0
p
√
√
(2)[0, 0, 3, 0, 0] − 3[0, 1, 1, 1, 0] − 2 3[1, 0, 1, 0, 1] + 3[1, 0, 0, 2, 0] + 3[0, 2, 0, 0, 1]
3 2
p
p
√
3[0, 0, 3, 0, 0] − (2)[0, 1, 1, 1, 0] + (2)[1, 0, 1, 0, 1]
3 3
−[1, 0, 0, 2, 0] + [0, 2, 0, 0, 1]
√
√
√
3 4 6 6[0, 0, 3, 0, 0] + 2[0, 1, 1, 1, 0] − 16[1, 0, 1, 0, 1] − 7 3[1, 0, 0, 2, 0] − 7 3[0, 2, 0, 0, 1]
3 6
√
√
√
3 2[0, 0, 3, 0, 0] + 4 3[0, 1, 1, 1, 0] + 3[1, 0, 1, 0, 1] + 2[1, 0, 0, 2, 0] + 2[0, 2, 0, 0, 1]
51
4 0
√
3[0, 0, 4, 0, 0] − 2[0, 1, 2, 1, 0] + 2[1, 0, 2, 0, 1]+
√
√
√
+2 2[0, 2, 0, 2, 0] − 2 2[1, 1, 0, 1, 1] + 2 2[2, 0, 0, 0, 2]
4 2
√
√
√
2 2[0, 0, 4, 0, 0] − 6[0, 1, 2, 1, 0] − 2 6[1, 0, 2, 0, 1] + 3[1, 0, 1, 2, 0] + 3[0, 2, 1, 0, 1]
4 2
√
√
√
√
2 3[0, 0, 4, 0, 0] − 3[0, 1, 2, 1, 0] + 2 2[0, 2, 0, 2, 0] + 2[1, 1, 0, 1, 1] − 4 2[2, 0, 0, 0, 2]
4 2
√
√
−3 3[1, 0, 1, 2, 0] + 2[1, 1, 0, 1, 1] + 4[0, 2, 0, 2, 0] − 3 3[0, 2, 1, 0, 1]+
√
+6 2[1, 0, 2, 0, 1] − 8[2, 0, 0, 0, 2]
4 2
4 4
4 4
√
√
√
√
24 6[0, 0, 4, 0, 0] − 36 2[0, 1, 2, 1, 0] − 42 2[1, 0, 2, 0, 1] + 21 3[1, 0, 1, 2, 0]+
√
+21 3[0, 2, 1, 0, 1] + 20[0, 2, 0, 2, 0] + 10[1, 1, 0, 1, 1] − 40[2, 0, 0, 0, 2]
√
−2 3[1, 0, 1, 2, 0] + 6[1, 1, 0, 1, 1] + 5[0, 2, 0, 2, 0]−
√
−2[0, 2, 1, 0, 1] − 3 2[1, 0, 2, 0, 1] + 4[2, 0, 0, 0, 2]
√
6[0, 0, 4, 0, 0] − 2[0, 1, 2, 1, 0] + 7[1, 0, 2, 0, 1] − 8 2[0, 2, 0, 2, 0]+
√
√
+3 2[1, 1, 0, 1, 1] + 2 2[2, 0, 0, 0, 2]
√
√
√
4 4 12 6[0, 0, 4, 0, 0] − 4 2[0, 1, 2, 1, 0] − 7 2[1, 0, 2, 0, 1] − 14[1, 0, 1, 2, 0] − 14[0, 2, 1, 0, 1]+
+3[0, 2, 0, 2, 0] + 54[1, 1, 0, 1, 1] + 36[2, 0, 0, 0, 2]
4 4
√
√
90[0, 0, 4, 0, 0] − 30[0, 1, 2, 1, 0] + 129[1, 0, 2, 0, 1] + 8 6[1, 0, 1, 2, 0] + 8 6[0, 2, 1, 0, 1]−
√
√
√
−140 2[0, 2, 0, 2, 0] + 21 2[1, 1, 0, 1, 1] + 14 2[2, 0, 0, 0, 2]
4 5
−[1, 0, 1, 2, 0] + [0, 2, 1, 0, 1]
4 6
√
√
√
6 6[0, 0, 4, 0, 0]9 2[0, 1, 2, 1, 0] − 9 2[1, 0, 2, 0, 1] − 7[1, 0, 1, 2, 0]−
−7[0, 2, 1, 0, 1] − 4[0, 2, 0, 2, 0] − 17[1, 1, 0, 1, 1] − 4[2, 0, 0, 0, 2]
4 8
√
√
√
6 6[0, 0, 4, 0, 0] + 24 2[0, 1, 2, 1, 0] + 6 2[1, 0, 2, 0, 1] + 8[1, 0, 1, 2, 0]+
+8[0, 2, 1, 0, 1] + 16[0, 2, 0, 2, 0] + 8[1, 1, 0, 1, 1] + [2, 0, 0, 0, 2]
Óæå äëÿ n = 4 íàãëÿäíî âèäíî, ÷òî áëàãîäàðÿ ëåñòíè÷íûì îïåðàòîðàì
ïîëó÷àþòñÿ ðàçëè÷íûå ïðåäñòàâëåíèÿ àëãåáðû SU (2).
Êàæäûé èç
Ïðè ýòîì, âèäíî êàê ïðîèñõîäèò äåéñòâèå ëåñòíè÷íûõ îïåðàòîðîâ â
ïðîñòðàíñòâå Ôîêà.
52
9.1
Ñëó÷àé ÷åòíîãî ÷èñëà ìîä
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ëåñòíè÷íûõ îïåðàòîðîâ â ñëó÷àå ÷åòíîãî ÷èñëà ìîä
(êîãäà s ïîëóöåëîå) íåëüçÿ âîñïîëüçîâàòüñÿ ñèììåòðèåé ïðîñòðàíñòâà
îòíîñèòåëüíî ÿäðà Jz .
ßäðî Jz òðèâèàëüíî äëÿ ïîäïðîñòðàíñòâà
íå÷åòíîãî îáùåãî ÷èñëà ÷àñòèö n.
Ïîýòîìó,
äëÿ
ïîñòðîåíèÿ
ëåñòíè÷íûõ
†
îïåðàòîðîâ ñëåäóåò ðàññìîòðåòü ñëåäóþùèå íàáîðû îïåðàòîðîâ {pk }sk= 1
è
2
{m†k }sk= 1
2
k− 12
p†k = a†k J−
p†1 = a†1 + a†− 1 J+ ,
2
2
†
†
2
2
2
m1 = a1 −
Îïåðàòîðû
{p†k }sk= 1
2
k− 21
m†k = a†k J−
a†− 1 J+ ,
2
k+ 1
+ a−k J+ 2 ,
k+ 1
− a−k J+ 2 .
(78)
†
è {mk }sk= 1 ÿâëÿþòñÿ ëåñòíè÷íûìè äëÿ îïåðàòîðà
2
÷èñëà ÷àñòèö
h
h
p†k
i
= p†k ,
m†k
i
= m†k ,
N,
N,
è îïåðàòîðà Jz
h
i
†
Jz , p k =
h
i
Jz , m†k =
1 †
p ,
2 k
1 †
m .
2 k
Äàííûå îïåðàòîðû îáðàçóþò çàìêíóòûé íàáîð îòíîñèòåëüíî
êîììóòàöèè ñ îïåðàòîðîì J 2 , à, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ îïåðàòîðà J 2 ìîæíî
†
íàéòè ëåñòíè÷íûå îïåðàòîðû {τθ }sθ=−s , êîòîðûå áóäóò èìåòü ñëåäóþùèå
êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ ñ îáðàçóþùèìè àëãåáðû SU (2)
h
h
h
2
J ,
τθ†
N,
Jz , τθ†
i
i
= p†k ,
i
1
= τθ† ,
2
τθ†
= τθ† θ(θ + 2ĵ + I).
Ïî àíàëîãèè ñ íå÷åòíûì ÷èñëîì ìîä ìîæíî ïðîâåñòè èññëåäîâàíèå
àííèãèëèðóåìûõ ñîñòîÿíèé. Ñóùåñòâóþò åñòåñòâåííûå îãðàíè÷åíèÿ íà
53
ñîáñòâåííûå ÷èñëà îïåðàòîðîâ N , Jz è J 2 . Òàê äëÿ èõ îáùåãî ñîñòîÿíèÿ
|n, j, jz i
âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó èõ ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè
0 ≤ n,
0 ≤ j ≤ ns,
0 ≤ jz ≤ j ≤ ns.
†
Îòñþäà, ìîæíî ñóäèòü, ÷òî îïåðàòîðû {τθ }sθ= 1 ÿâëÿþòñÿ áîçîííûìè
2
îïåðàòîðàìè ðîæäåíèÿ / óíè÷òîæåíèÿ, à îïåðàòîðû
ëåñòíè÷íûìè îïåðàòîðû àëãåáðû SU (2).
54
−1
2
{τθ† }θ=−s
10
Âûâîäû
Ñôîðìóëèðîâàííûé â ðàáîòå ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò ëåñòíè÷íûõ
îïåðàòîðîâ ïîçâîëÿåò èçó÷àòü ñèììåòðèè ñîñòîÿíèé ñàìîñîïðÿæåííûõ
îïåðàòîðîâ.
Áëàãîäàðÿ ñâîéñòâàì ëåñòíè÷íûõ îïåðàòîðîâ, ñòàíîâèòñÿ
âîçìîæíûì
âû÷èñëÿòü
íåòðèâèàëüíûå
êîììóòàöèîííûå
ñîîòíîøåíèÿ, íàõîäèòü ñîñòîÿíèÿ è ðàçáèâàòü èõ ïî ñîáñòâåííûì ÷èñëàì
ñàìîñîïðÿæåííûõ ïîëèíîìîâ. Ëåñòíè÷íûå îïåðàòîðû íàéäóò øèðîêîå
ïðèìåíåíèå â çàäà÷àõ íà ïîèñê ñïåêòðà è êàíîíè÷åñêîãî áàçèñà àëãåáðû.
Íàìè áûë ïîäðîáíî ðàññìîòðåí ñëó÷àé òðåõ âçàèìîäåéñòâóþùèõ
ìîä, áûëè ïîñòðîåíû ëåñòíè÷íûå îïåðàòîðû è ïîêàçàíî èõ äåéñòâèå.
Íåñìîòðÿ íà ñóæåíèå çàäà÷è äî ðàññìîòðåíèÿ ÿäðà îïåðàòîðà, áûë
ïîëó÷åí äîñòàòî÷íî îáùèé ðåçóëüòàò, à ñàì ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ëåñòíè÷íûõ
îïåðàòîðîâ âíóòðè ÿäðà ïðåäñòàâëÿåò íåïîääåëüíûé èíòåðåñ, âåäü, èìåÿ
àíàëîãèè â êëàññè÷åñêîé ëèíåéíîé àëãåáðå, ìû ìîæåì ïðåäïîëàãàòü,
÷òî ÷àñòíîå ðåøåíèå âíóòðè ÿäðà ìîæåò áûòü ðàñïðîñòðàíåíî íà âñå
ïðîñòðàíñòâî ïðè ïîìîùè îïðåäåëåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé.
Â
ðàáîòå áûëè ïðåäñòàâëåííû ðåçóëüòàòû êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ
ñîñòîÿíèé ïÿòèìîäîâîé ñèñòåìû, ÷òîáû ïîêàçàòü ðàçëè÷íûå ñîñòîÿíèÿ ñ
êðàòíûìè ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè ñòàíäàðòíîé êëàññèôèêàöèè, ïîêàçàòü
èõ ãåîìåòðè÷åñêèå îòíîøåíèÿ äðóã ñ äðóãîì è íàãëÿäíî ïîêàçàòü
ðåçóëüòàòû äàííîé ðàáîòû.
Äàëüíåéøåé
ðàáîòîé
â
ýòîì
íàïðàâëåíèè
ìîæåò
áûòü êàê è èññëåäîâàíèå ñâîéñòâ îáîáùåííûõ ëåñòíè÷íûõ îïåðàòîðîâ,
òàê è íàõîæäåíèå òàêîãî ðåøåíèÿ äëÿ îáðàçà àëãåáðû SU (2) ïðè
îòîáðàæåíèè Æîðäàíà-Øâèíãåðà, êîòîðûé áû ïîçâîëèë ñõîäó ïîëó÷àòü
êàíîíè÷åñêèå êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ. Çàäà÷à ñîñòîèò â ïîèñêå
êîììóòèðóþùåé ôóíêöèè îáùåãî âèäà.
Äëÿ ïðåäëîæåííîãî ðåøåíèÿ
òðåáóåòñÿ íàéòè êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ ëåñòíè÷íûõ îïåðàòîðîâ
â îáùåì ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà âçàèìîäåéñòâóþùèõ ìîä, îäíàêî,
55
ïîñòðîåííûé àïïàðàò ñèëüíî óïðîùàåò ýòó çàäà÷ó, ïîçâîëÿÿ âû÷èñëÿòü
ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ ðàçëîæèìûõ ïî ëåñòíè÷íûì îïåðàòîðàì
ôóíêöèé.
56
11
Ëèòåðàòóðà è èñòî÷íèêè
[1] C. L. Williams, N. N. Pandya, B. G. Bodmann, D. J. Kouri, Coupled
supersymmetry and ladder structures beyond the harmonic oscillator,
Molecular Physics, DOI: 10.1080/00268976.2018.1473655
[2] S. E. Homann, V. Hussin, I. Marquette, Y.-Z. Zhang, Ladder operators
and coherent states for multi-step supersymmetric rational extensions of
the truncated oscillator, J. Math. Phys. 60, 052105 (2019)
[3] P. Bosso, S. Das, Generalized ladder operators for the perturbed harmonic
oscillator, Ann. of Phys., 396, 254-265 (2018)
[4] K. Aouda, N. Kanda, S. Naka, H. Toyoda, Ladder Operators in Repulsive
Harmonic Oscillator with Application to the Schwinger Eect, Phys. Rev.
D, 102, 025002 (2020)
[5] Miroshnichenko G. P., Kiselev A. D., Trifanov A. I., Gleim A. V., 2017,
Algebraic approach to electro-optic modulation of light: exactly solvable
multimode quantum model,
J. Opt. Soc. Am. B,
Vol. 34(6), pp. 1177
1190.
[6] Gelfand I. D., Shapiro Z., Ya., Minlos R., A., 1963,
Representations of
the Rotation and Lorentz Groups and Their Applications,
The Pergamon
Press, Oxford.
[7] P.A.M. Dirac, 1958, The principles of quantum mechanics, The Clarendon
Press, Oxford.
[8] Perelomov A.M., 1986,
tions,
Generalized Coherent States and Their Applica-
Springer, Berlin.
[9] Weyl H., Robertson H.P., 1950,
chanics,
The theory of groups and quantum me-
Dover Publications, New York.
57
[10] Biedenharn L. C., Louck J. D., 1984,
physics,
Angular momentum in quantum
Cambridge univerisity press, Cambridge.
[11] Tushavin G.V., Trifanov A.I., Trifanova E.S., Shipitsyn I.A.. (2019).
Structure of invariant subspaces of the rotation group image under the
Jordan mapping. 216-220. 10.1109/DD46733.2019.9016524.
[12] J. Capmany and C. Fern
andez-Pousa, Quantum modelling of electrooptic modulators, Laser Photon. Rev. 5, 750772 (2011)
[13] J. Capmany and C. R. Fern
andez-Pousa, Quantum model for electrooptical phase modulation, J. Opt. Soc. Am. B 27, A119A129 (2010)
[14] A. R. Edmonds Angular momentum in quantum mechanics. Princeton,
New Jersey, Princeton university press. 1957.
[15] D, J, Thouless, The quantum mechanics of many-body systems (1961).
[16] Parlett, B.N. The Symmetric Eigenvalue Problem. Prentice Hall, Inc.
(1980)
[17] Ëþèñåëë Ó. Èçëó÷åíèå è øóìû â êâàíòîâîé ýëåêòðîíèêå 1971, 403 ñ.
[18] Dirac P. A. M., Ann. Inst. H. Poincare, 11, 15 (1949) Âòîðè÷íîå
êâàíòîâàíèå.
[19] Jordan P., Z. Physik, 94, 531 (1935) Âçàèìîñâÿçü ñèììåòðè÷íûõ è
ëèíåéíûõ ãðóïï ñ çàäà÷åé ìíîãèõ òåë.
[20] Dirac P. A. M., Proc. Roy. Soc. (London), A183, 284 (1945). Óíèòàðíûå
ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû Ëîðåíöà.
[21] Áîãîëþáîâ Í. Í., Òîëìà÷åâ Â.Â., Øèðêîâ Ä.Â., Íîâûé ìåòîä â òåîðèè
ñâåðõïðîâîäèìîñòè (1958).
[22] Êèðèëëîâ À. À., Ýëåìåíòû òåîðèè ïðåäñòàâëåíèé (1978).
58
Èñõîäíûå êîäû ïðîãðàììû äîñòóïíû äëÿ ñêà÷èâàíèÿ ïî ññûëêå
https://drive.google.com/le/d/1KVxBU9l33Ffm2fErJASvQtHPwSG3vfKA/view?usp=sharing
59
Отзывы:
Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв