Спектральная теорема для самосопряженного оператора

Морозова Э.А.

Спектральная теорема для самосопряженного оператора

01.03.01 Математика

Математика

Дипломы

Вуз: Белгородский государственный университет - национальный исследовательский университет (НИУ «БелГУ»)

ID: 5c1a64197966e104f6f857bf

UUID: f2d02350-e5d0-0136-0207-525400005860

Язык: Русский

Опубликовано: около 6 лет назад

Просмотры: 102

Морозова Э.А.

Источник: Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Белгородский государственный национальный исследовательский университет»

Комментировать 0

Рецензировать 0

Скачать - 1,3 МБ

Поделиться работой

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» (НИУ «БелГУ») ИНСТИТУТ ИНЖЕНЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК КАФЕДРА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА Выпускная квалификационная работа обучающегося по направлению подготовки 01.03.01 Математика очной формы обучения, группы 07001413 Морозовой Элеоноры Андреевны Научный руководитель д. ф. - м. н., профессор, Васильев В.Б. Белгород 2018

2 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение......................................................................................................... 3 Глава 1. Элементы теории линейных операторов .................................... 5 1.1. Компактные операторы ........................................................................ 5 1.2. Ограниченные операторы ................................................................... 17 Глава 2. Спектральные разложения .......................................................... 26 2.1. Приведение матрицы к жордановой нормальной форме ................ 26 2.2. Спектр компактного оператора .......................................................... 30 2.3. Спектральная теорема для самосопряженного оператора ............... 35 Заключение .................................................................................................. 42 Список использованных источников ........................................................ 43

3 Введение Спектральная теорема – класса теорем о линейных наименование операторах или утверждений из о матрицах в линейной алгебре и функциональном анализе, дающих условия, при которых оператор или матрица может быть диагонализирован, представлен диагональной матрицей в то есть некотором базисе (в бесконечномерных пространствах эта концепция о диагонализации требует некоторых уточнений). Вообще говоря, спектральная теорема выделяет класс линейных операторов, которые могут моделироваться операторами умножения – простейшими операторами, какие только могут быть. Примерами операторов, к которым может быть применена спектральная теорема являются самосопряжённые операторы или, более общо, – нормальные операторы в гильбертовых пространствах. Спектральная объемлющего теорема векторного также даёт каноническое пространства, разложение называемое спектральным разложением или разложением по собственным значениям. Данная дипломная работа посвящена спектральной теореме для самосопряженного оператора. Актуальность данной темы заключается в том, что спектральная теорема используется в различных разделах математики. Объект исследования: понятие спектральная теорема, используемое для самосопряженных операторов. Предмет исследования: процесс изучения спектральной теоремы. Задачи: 1. Изучить литературу по математике, которая касается исследуемой темы. 2. Вывести спектральную теорему для различных классов операторов. Цель данной дипломной работы – исследование самосопряженных операторов и их представление. и изучение

4 Данная дипломная работа состоит из двух глав: 1) Элементы теории линейных операторов; 2) Спектральные разложения. В первой главе рассматривается понятия конечномерного, компактного и ограниченного операторов. Так же рассматриваются их свойства и некоторые примеры. Во второй главе рассматривается приведение матрицы к жордановой нормальной форме, спектр компактного оператора и спектральная теорема для самосопряженного оператора. Данная работа состоит из введения, двух глав, которые включают в себя пять параграфов, заключения и списка использованных источников. Объем дипломной 44 страницы. Библиографический список содержит 27 литературных источников.

5 Глава 1. Элементы теории линейных операторов 1.1. Компактные операторы Конечномерный оператор — ограниченный линейный оператор в банаховом пространстве, множество значений которого конечномерно. Конечномерные операторы являются исключительно, удобными, поскольку к уравнениям в конечномерных пространствах можно эффективно применять численные методы с использованием вычислительной техники. Таким образом, конечномерные операторы образуют важный подкласс в множестве компактных операторов. Примеры:  Любой линейный оператор, действующий в конечномерном пространстве, является конечномерным.  Интегральный оператор Фредгольма (𝐴𝑓)(𝑥) = 𝑏 ∫𝑎 𝐾(𝑥, 𝑡)𝑓(𝑡)𝑑𝑡, действующий в пространстве 𝐿2 [𝑎, 𝑏], с вырожденным ядром 𝐾(𝑥, 𝑡) = ∑𝑁 𝑖=1 𝑓𝑖(𝑥)𝑔𝑖(𝑥) является конечномерным. Действительно, его множество значений состоит из функций вида (𝐴𝑓)(𝑥) = ∑𝑁 𝑖=1 𝑐𝑖𝑓𝑖(𝑥), где 𝑏 𝑐𝑖 = ∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑔𝑖 (𝑡)𝑑𝑡. Это конечномерное пространство с базисом {𝑓𝑖}𝑁 , если 𝑖=1 системы функций{𝑓𝑖 }𝑁 и {𝑔𝑖 }𝑁 линейно независимы. 𝑖=1 𝑖=1 Частичные суммы ряда Фурье 𝑃𝑛 𝑓 = ∑𝑛𝑖=1(𝑓, 𝜑𝑖 )𝜑𝑖 по ортогональной системе {𝜑𝑖}∞ в гильбертовом пространстве являются конечномерными 𝑖=1 операторами. В конечномерном нормированном пространстве всякий линейный оператор компактен, поскольку он автоматически непрерывен, а следовательно ограничен, т.е. переводит любое ограниченное множество в ограниченное, а в конечномерном пространстве всякое ограниченное множество предкомпактно. Изучение произвольных линейных операторов в бесконечномерных пространствах представляет собой весьма сложную и необозримую задачу.

6 Однако некоторые важные классы таких операторов могут быть описаны полностью. Среди них один из важнейших образуют так называемые компактные операторы. Эти операторы, с одной стороны, близки по своим свойствам к конечномерным и допускают достаточно детальное описание, а с другой, играют важную роль в различных приложениях. Определение 1. Оператор А, отображающий банахово пространство Е в себя, называется компактным, если он каждое ограниченное множество переводит в предкомпактное. В конечномерном нормированном пространстве всякий линейный оператор компактен, поскольку он переводит любое ограниченное множество в ограниченное, а в конечномерном пространстве всякое ограниченное множество предкомпактно. В бесконечномерном пространстве компактность оператора есть требование существенно более сильное, чем просто его непрерывность. Например, единичный оператор в гильбертовом пространстве непрерывен, но отнюдь не компактен. Лемма 1. Пусть х1 , х2 , … линейно независимые векторы в нормированном пространстве Е и пусть𝐸𝑛 - подпространство, порожденное векторами 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 . Тогда существует последовательность векторов 𝑦1 , 𝑦2 , … удовлетворяющая следующим условиям: 1) 1) ‖𝑦𝑛 ‖ = 1; 2) 𝑦𝑛 ∈ 𝐸𝑛 ; 3) 𝜌(𝑦𝑛 , 𝐸𝑛−1 ) > 1⁄2, где 𝜌(𝑦𝑛 , 𝐸𝑛−1 )-расстояние вектора 𝑦𝑛 от 𝐸𝑛−1 , т.е. max‖𝑦𝑛 − 𝑥‖. 𝑥∈𝐸𝑛 Доказательство. Действительно, так как векторы 𝑥1 , 𝑥2 , … линейно независимы, то 𝑥𝑛 не содержащийся в 𝐸𝑛−1 И 𝜌(𝑥𝑛 , 𝐸𝑛−1 ) = 𝛼 > 0. Пусть 𝑥 ∗ -такой вектор из 𝐸𝑛−1 , что ‖𝑥𝑛 − 𝑥 ∗ ‖ < 2𝛼тогда, поскольку 𝛼 = 𝜌(𝑥𝑛 , 𝐸𝑛−1 ) = 𝜌(𝑥𝑛 − 𝑥 ∗ , 𝐸𝑛−1 ), вектор 𝑥𝑛 − 𝑥 ∗ 𝑦𝑛 = ‖𝑥𝑛 − 𝑥 ∗ ‖

7 удовлетворяет всем условиям 1)-3). За 𝑦1 При этом можно взять 𝑥1 ⁄‖𝑥 ‖. 1 Лемма доказана. Рассмотрим пример. В пространстве непрерывных функций 𝐶[𝑎, 𝑏] важный класс компактных операторов образуют операторы, представимые в виде 𝑏 𝐴𝑥 = 𝑦(𝑠) = ∫ 𝐾(𝑠, 𝑡)𝑥(𝑡)𝑑𝑡 . (1) 𝑎 Покажем справедливость следующего утверждения: если функция 𝐾(𝑠, 𝑡)ограничена на квадрате 𝑎 ≤ 𝑠 ≤ 𝑏, 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏и все ее точки разрыва лежат на конечном числе кривых 𝑡 = 𝜑𝑘 (𝑠), 𝑘 = 1, 2, … , 𝑛, где 𝜑𝑘 -непрерывные функции, то формула (1) определяет в пространстве 𝐶[𝑎, 𝑏]компактный оператор. Заметим, что в указанных условиях интеграл (1) существует для любого s из отрезка [𝑎, 𝑏], т.е. функция y(s) определена. Далее, пусть 𝑀 = max |𝐾(𝑠, 𝑡)| 𝑎≤𝑠,𝑡≤𝑏 и пусть G-множество тех точек (s, t), для которых хотя бы при одном k =1,2,…,n выполняется непрерывно 𝜀 . 12𝑀𝑛 Следом G(s) этого множества на каждой прямой s=const служит |𝑡 − 𝜑𝑘 (𝑠)| < объединение интервалов 𝑛 𝐺(𝑠) = ⋃ {𝑡: |𝑡 − 𝜑𝑘 (𝑠)| < 𝑘=1 𝜀 }. 12𝑀𝑛 Пусть F-дополнение множества G до квадрата 𝑎 ≤ 𝑠, 𝑡 ≤ 𝑏. Так как F компактно, а функция K(s, t) непрерывна на F, то существует такое 𝛿 > 0, что 𝜀 |𝐾(𝑠 ′ , 𝑡 ′ ) − 𝐾(𝑠 ′′ , 𝑡 ′′ )| < 3(𝑏 − 𝑎) для любых точек (s’, t’), (s’’,t’’) из F, удовлетворяющих условию

8 |𝑠 ′ − 𝑠′′| + |𝑡 ′ − 𝑡′′| < 𝛿. (2) Оценим теперь разность y(s’)-y(s’’) в предположении, что |𝑠 ′ − 𝑠′′| < 𝛿. Имеем 𝑏 |𝑦(𝑠 ′ ) − 𝑦(𝑠 ′′ )| ≤ ∫|𝐾(𝑠 ′ , 𝑡) − 𝐾(𝑠 ′′ , 𝑡)||𝑥(𝑡)|𝑑𝑡; 𝑎 для оценки стоящего справа интеграла разобьем промежуток интегрирования [𝑎, 𝑏]на объединение интервалов 𝐺(𝑠 ′ ) ∪ 𝐺(𝑠 ′′ ), которое обозначим P, и остальную часть отрезка [𝑎, 𝑏], которую обозначим Q. Заметив, что Р есть объединение интервалов, суммарная длина которых не превосходит 𝜀⁄3М, получаем ∫ |𝐾(𝑠 ′ , 𝑡) − 𝐾(𝑠 ′′ , 𝑡)||𝑥(𝑡)|𝑑𝑡 < 𝑃 2𝜀 ‖𝑥‖. 3 Интеграл по Q допускает оценку 𝜀 ∫ |𝐾(𝑠 ′ , 𝑡) − 𝐾(𝑠 ′′ , 𝑡)||𝑥(𝑡)|𝑑𝑡 < ‖𝑥‖. 3 𝑄 Таким образом, |𝑦(𝑠 ′ ) − 𝑦(𝑠 ′′ )| < 𝜀‖𝑥‖. (3) Неравенство (3) показывает, что функция y(s) непрерывна, т.е. формула (1) действительно определяет оператор, переводящий пространство 𝐶[𝑎, 𝑏] в себя. Далее, из того же неравенства видно, что если {𝑥(𝑡)}-ограниченное множество в C[a,b], то соответствующее множество {𝑦(𝑠)} равностепенно непрерывно. Наконец, если ‖𝑥‖ ≤ 𝐶, то 𝑏 ‖𝑦‖ = sup|𝑦(𝑠)| ≤ sup ∫|𝐾(𝑠, 𝑡)||𝑥(𝑡)|𝑑𝑡 ≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎)‖𝑥‖. 𝑎 Таким образом, оператор (1) переводит всякое ограниченное множество из C[a,b] в множество функций, равномерно ограниченное и равностепенно непрерывное, т.е. предкомпактно.

9 Основные свойства компактных операторов Теорема 1. Если {𝐴𝑛 }-последовательность компактных операторов в банаховом пространстве Е, сходящаяся по норме к некоторому оператору А, то оператор А тоже компактен. Доказательство. достаточно показать, Для установления что, какова компактности бы ни была оператора А ограниченная последовательность 𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , . .. элементов из Е, из последовательности {𝐴𝑛 } можно выделить сходящуюся последовательность. Так как оператор А1 компактен, то из последовательности {𝐴1 𝑥𝑛 } можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Пусть (1) (1) (1) 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , … (4) (1) -такая последовательность, что {𝐴1 𝑥𝑛 } сходится. Рассмотрим теперь (1) последовательность {𝐴1 𝑥𝑛 }. Из нее опять-таки можно выбрать сходящуюся последовательность. Пусть (2) (2) (2) 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , … (2) -такая последовательность, выбранная из (4), что {𝐴1 𝑥𝑛 } сходится. При (2) этом, очевидно, {𝐴1 𝑥𝑛 } тоже сходится, и т.д. возьмем затем диагональную последовательность (1) (2) (𝑛) 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , … Каждый из операторов 𝐴1 , 𝐴2 , . . , 𝐴𝑛 , … переводит ее в сходящуюся. Покажем, что и оператор А тоже переводит ее в сходящуюся. Тем самым компактность А будет установлена. Так как пространство Е полно, то (𝑛) достаточно показать, что {𝐴1 𝑥𝑛 } –фундаментальная последовательность. Имеем

10 (𝑛) (𝑚) ‖𝐴𝑥𝑛 − 𝐴𝑥𝑚 ‖ (𝑛) (𝑛) (𝑛) (𝑚) ≤ ‖𝐴𝑥𝑛 − 𝐴𝑘 𝑥𝑛 ‖ + ‖𝐴𝑘 𝑥𝑛 − 𝐴𝑘 𝑥𝑚 ‖ (𝑚) (𝑚) + ‖𝐴𝑘 𝑥𝑚 − 𝐴𝑥𝑚 ‖ (5) Пусть ‖𝑥𝑛 ‖ ≤ 𝐶; выберем сначала k так, что ‖𝐴 − 𝐴𝑘 ‖ < 𝜀 ⁄(3𝐶), а потом выберем такое N, чтобы при всех 𝑛 > 𝑁 и 𝑚 > 𝑁 выполнялось неравенство (𝑛) (𝑚) ‖𝐴𝑘 𝑥𝑛 − 𝐴𝑘 𝑥𝑚 ‖ < 𝜀 ⁄3 При этих условиях из (7) получаем, что (𝑛) (𝑚) ‖𝐴𝑥𝑛 − 𝐴𝑥𝑚 ‖ < 𝜀 для всех достаточно больших n и m. Теорема доказана. Легко проверить, что линейная комбинация компактных операторов компактна. Следовательно, в пространстве L(E, E) всех ограниченных линейных операторов, определенных на Е, компактные операторы образуют замкнутое линейное подпространство. Посмотрим теперь, будет ли совокупность компактных операторов замкнута относительно операции перемножения операторов. На самом деле здесь справедливо даже существенно более сильное утверждение. Теорема 2. Если А-компактный оператор, а В-ограниченный оператор, то операторы АВ и ВА компактны. Доказательство. Если множество М ⊂ Е ограничено, то ВМ тоже ьест аты ер п о ть и лн п о д ограниченно. Следовательно, АВМ предкомпактно, а это и означает, что ерат оп оператор АВ компактен. Далее, если М ограничено, то АМ предкомпактно, а явлетс вй ан орд ж а д тсю о атв ер п о ато гд тогда, в силу непрерывности В, множество ВАМ тоже предкомпактно, т.е. усть ве стан о р п если оператор ВА компактен. если Следствие. В бесконечномерном пространстве скает у п о д в стан о р п Е компактный оператор не может иметь ограниченного обратного. если е вы сн о м о б лю Теорема 3. Оператор, сопряженный компактному, компактен. ли ы б г то лья н аго и д

11 Доказательство. Пусть А-компактный о альн ектр сп оператор в банаховом пространстве Е. Покажем, что сопряженный оператор А∗ , действующий в Е∗ , х ы твен б со и ен разлож то у кн зам переводит каждое ограниченное подмножество из Е∗ в предкомпактное. та лн о п вектор ая льн стви ей д Поскольку всякое ы твен соб ограниченное сла и ч подмножество нормированного ат ер п о пространства содержится в некотором шаре, достаточно показать, что А∗ усть п если вется азы н переводит каждый шар в предкомпактное множество. В силу линейности струке н остач д ы б то ч оператора А∗ достаточно показать, что образ А∗ 𝑆 ∗ замкнутого единичного если ется ы равд оп х ы см езави н шара 𝑆 ∗ ⊂ Е∗ предкомпактен. вая сло и ч м это Будем рассматривать элементы из Е∗ как функции не на всем и кош тм и р алго ть н п вку со ̅̅̅̅-замыкании образа единичного шара пространстве Е, а лишь на компакте 𝐴𝑆 ек точ т у след та й сво г о альн ектр сп при отображении А. При этом множество Ф функций, отвечающих ва ы р еп н в ан д р о ж функционалам из 𝑆 ∗ , будет равномерно ограничено и равностепенно ы твен б со я щ ю лад б о а д тку о непрерывно. Действительно, если ‖𝜑‖ ≤ 1, то о льн стви ей д sup|𝜑(𝑥)| = sup|𝜑(𝑥)| ≤ ‖𝜑‖ sup‖𝐴𝑥‖ ≤ ‖𝐴‖ и |𝜑(𝑥 ′ ) − 𝜑(𝑥 ′′ )| ≤ ‖𝜑‖‖𝑥 ′ − 𝑥 ′′ ‖ ≤ ‖𝑥 ′ − 𝑥 ′′ ‖. ̅̅̅̅]. Следовательно, это множество Ф предкомпактно в пространстве 𝐶[𝐴𝑆 ает д екотрм н Но множество ц и атр м Ф с метрикой, индуцированной обычной метрикой тя и д о сх л ед р п вм стан о р п ̅̅̅̅], изометрично множеству 𝐴∗ 𝑆 ∗ . пространства непрерывных функций 𝐶[𝐴𝑆 т ю ач зн б о а гд то Действительно, если 𝑔1 , 𝑔2 ∈ 𝑆 ∗ , то м и д х б ео н ‖𝐴∗ 𝑔1 − 𝐴∗ 𝑔2 ‖ = sup|(𝐴∗ 𝑔1 − 𝐴∗ 𝑔2 , 𝑥)| = sup|(𝑔1 − 𝑔2 , 𝐴𝑥)| = sup|(𝑔1 − 𝑔2 , 𝑧)| = sup|(𝑔1 − 𝑔2 , 𝑧)| = 𝜌(𝑔1 , 𝑔2 ). Поскольку Ф предкомпактно, отм п н стач о д то оно вполне ограничено; у ц и атр м следовательно, вполне ограничено и изометричное ему множество 𝐴∗ 𝑆 ∗ . я ерход п ле ы см Поэтому 𝐴∗ 𝑆 ∗ предкомпактно в𝐸 ∗ . я и кц н у ф ̅̅̅̅], Замечание. Нетрудно проверить, что множество Ф замкнуто в 𝐶[𝐴𝑆 н ож м ка оряд п а д тсю так что оно компактно, поэтому компактно и множество 𝐴∗ 𝑆 ∗ , хотя образ та свой сть у п х ы тр ко замкнутого единичного шара при произвольном вполне непрерывном ется д ай н е тож о слаб

12 отображении может не быть компактом. Ситуация в только что доказанной й о д каж т и леж есть й еы ч и ан гр о я и ван ы б у теореме отличается от общей тем, что замкнутый единичный шар 𝑆 ∗ в Е∗ лотн п твен б со м еи ач зн компактен в *-слабом топологии пространства Е∗ . отсюда и следует ле хи г тр еко н м о б лю компактность образа множества 𝑆 ∗ для любого компактного оператора. и кош всех ле и х Собственные значения компактного оператора й р м еч н ко Теорема 4. Всякий компактный оператор А в банаховом пространстве а ер м ог д каж аем ч лу о п еств ж о н м е ж то Е имеет при любом δ>0 лишь конечное число линейно независимых к и н стер лю й о д каж а гд то собственных векторов, отвечающих собственным значениям, по модулю этог к р м ай н ль ем д превосходящим δ. я ан стр Доказательство. Пусть 𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑛 , … какая-либо последовательность ч ги ло ан р о ф ан д собственных значений оператора А таких, что |𝜆𝑛 | > 𝛿; 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , … − ератв оп если м еи ач зн отвечающая им последовательность собственных векторов, и пусть эти тя и д о сх векторы линейно независимы. ем каж о п й оальы и кц ун ф явлетс Воспользуемся леммой 1 и построим такую последовательность н глазм тм и р алго векторов𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 , … что ть н п вку со 1) 𝑦𝑛 ∈ 𝐸𝑛 ; 2) ‖𝑦𝑛 ‖ = 1; 3) 𝜌(𝑦𝑛 , 𝐸𝑛−1 ) = inf‖𝑦𝑛 − 𝑥‖ > 1⁄2, где 𝐸𝑛 − подпространство, порожденное 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 . 𝑦 Последовательность { 𝑛} ограничена в силу неравенства |𝜆𝑛 | > 𝛿. Мы 𝜆 х еы ч и ан гр о всяког у есм ч и о кан 𝑛 𝑦 утверждаем, что из последовательности образов {𝐴 ( 𝑛)} нельзя выбрать 𝜆 ы ей н ли ть ли ед р п о а м р тео 𝑛 сходящуюся. Действительно, пусть 𝑦𝑛 = ∑𝑛𝑘=1 𝛼𝑘 𝑥𝑘 ; тогда н ж о м н ей кр 𝑛−1 𝑦𝑛 𝛼𝑘 𝜆𝑘 𝐴( ) = ∑ 𝑥 + 𝛼𝑛 𝑥𝑛 = 𝑦𝑛 + 𝑧𝑛 , 𝜆𝑛 𝜆𝑛 𝑘 𝑘=1 где 𝑛−1 𝑧𝑛 = ∑ 𝛼𝑘 ( 𝑘=1 𝜆𝑘 − 1) 𝑥𝑘 ∈ 𝐸𝑛−1 . 𝜆𝑛 Поэтому при любых p>q у есм ч ои кан 𝑦𝑝 𝑦𝑞 ‖𝐴 ( ) − 𝐴 ( )‖ = ‖𝑦𝑝 + 𝑧𝑝 − (𝑦𝑞 + 𝑧𝑞 )‖ = ‖𝑦𝑝 − (𝑦𝑞 + 𝑧𝑞 − 𝑧𝑝 )‖ > 1⁄2. 𝜆𝑝 𝜆𝑞

13 поскольку 𝑦𝑞 + 𝑧𝑞 − 𝑧𝑝 ∈ 𝐸𝑝−1 . Это противоречит компактности оператора А. е тож я стран Из этой теоремы следует, что число собственных значений 𝜆𝑛 азут реоб п я альн ектр сп ь ш ли ей ц и атр м компактного оператора А во внешности круга |𝜆| > 𝛿 > 0 всегда конечно, и вет казы о д езка тр о тя и д о сх что все собственные значения оператора А можно переномеровать в порядке я ан р б вы сво ан тр г еч н ко не возрастания модулей: |𝜆1 | ≥ |𝜆2 | ≥ ⋯ т и леж всех Самосопряженные компактные операторы в Н тям ели д Установим некоторые свойства собственных векторов и собственных е ж то значений вет казы о самосопряженных ть и лн оп д вется азы н операторов е м и р п в Н, вполне аналогичные, я и кц н у ф соответствующим свойствам конечномерных самосопряженных операторов. е ж то яетс лн о п вы о ли авед р сп Все собственные значения самосопряженного оператора А в Н I. етв щ су еств ж о н м действительны. В самом деле, пусть 𝐴𝑥 = 𝜆𝑥, ‖𝑥‖ ≠ 0 тогда ы сам в стан о р п ат ер п о 𝜆(𝑥, 𝑥) = (𝐴𝑥, 𝑥) = (𝑥, 𝐴𝑥) = (𝑥, 𝜆𝑥) = 𝜆̅(𝑥, 𝑥), откуда 𝜆 = 𝜆̅. Собственные II. ог н зад векторы самосопряженного оператора, ен тч о п сть у п отвечающие различным собственным значениям ортогональны. ен р о м Действительно, если 𝐴𝑥 = 𝜆𝑥 и 𝐴𝑦 = 𝜇𝑦, причем λ≠μ то веч ти о р п ог б лю ы ей н ли 𝜆(𝑥, 𝑦) = (𝐴𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝐴𝑦) = (𝑥, 𝜇𝑦) = 𝜇(𝑥, 𝑦), откуда (x,y)=0 докажем теперь следующую фундаментальную теорему. ется д ай н ю услови если Теорема 5. Для любого компактного самосопряженного линейного аем ч лу о п м и лж о п й альы о и кц н у ф оператора А в гильбертовом пространстве Н существует ортогональная есть нормированная о слаб система явлетс собственных {𝜑𝑛 } векторов, ве стан о р п вется азы н отвечающих собственным значениям {𝜆𝑛 } (𝜆𝑛 ≠ 0) такая, что каждый элемент 𝜉 ∈ 𝐻 екотрм н ества ж о н м всех записывается единственным образом в виде та н элем 𝜉 = ∑ 𝑐𝑘 𝜑𝑘 + 𝜉 ′ , 𝑘 где вектор𝜉 ′ ∈ 𝐾𝑒𝑟𝐴, т.е. удовлетворяет условию𝐴𝜉 ′ = 0; при этом е м р о н ы твен соб аты ер п о

14 𝐴𝜉 = ∑ 𝜆𝑘 𝑐𝑘 𝜑𝑘 𝑘 и если система{𝜑𝑛 } бесконечна, то lim 𝜆𝑛 = 0 (𝑛 → ∞). ц и атр м а д тсю Для доказательства этой основной теоремы понадобятся следующие а откуд г тр еко н и азвн б ео р п вспомогательные утверждения. ертовм льб ги Лемма 2. Если {𝜉𝑛 } слабо сходится к ξ и линейный оператор А усть п а теорм о сам компактен, то 𝑄(𝜉𝑛 ) = (𝐴𝜉𝑛 , 𝜉𝑛 ) → (𝐴𝜉, 𝜉) = 𝑄(𝜉). Доказательство. Для всякого n а гд о н и е ом равн |(𝐴𝜉𝑛 , 𝜉𝑛 ) − (𝐴𝜉, 𝜉)| ≤ |(𝐴𝜉𝑛 , 𝜉𝑛 ) − (𝐴𝜉, 𝜉𝑛 )| + |(𝐴𝜉, 𝜉𝑛 ) − (𝐴𝜉, 𝜉)|. Но |(𝐴𝜉𝑛 , 𝜉𝑛 ) − (𝐴𝜉, 𝜉𝑛 )| ≤ ‖𝜉𝑛 ‖‖𝐴(𝜉𝑛 − 𝜉)‖ и |(𝐴𝜉𝑛 , 𝜉) − (𝐴𝜉, 𝜉)| = |(𝜉, 𝐴(𝜉𝑛 − 𝜉))| ≤ ‖𝜉‖‖𝐴(𝜉𝑛 − 𝜉)‖, и так как числа ‖𝜉𝑛 ‖ ограничены, а ‖𝐴(𝜉𝑛 − 𝜉)‖ → 0 то ем ш и п вы |(𝐴𝜉𝑛 , 𝜉𝑛 ) − (𝐴𝜉, 𝜉)| → 0 что и требовалось доказать. ь стави ред п ы ей н ли Лемма 3. Если функционал м стави |𝑄(𝜉)| = |(𝐴𝜉, 𝜉)|, где А-ограниченный самосопряженный линейный оператор, достигает на ектр сп всех единичном шаре максимума в точке 𝜉0 , то из (𝜉0 , 𝜂) = 0 вытекает, что явлетс ей ом равн (𝐴𝜉0 , 𝜂) = (𝜉0 , 𝐴𝜂) = 0. Доказательство. Очевидно, ‖𝜉0 ‖ = 1. Положим скает у п о д 𝜉= 𝜉0 + 𝑎𝜂 √1 + |𝑎|2 ‖𝜂‖2 , где а-произвольное комплексное число. Из ‖𝜉0 ‖ = 1 следует, что ат ер п о ла ы б м ы тар и н у ‖𝜉‖ = 1. Далее вет казы о д

15 𝑄(𝜉) = 1 2 ̅̅̅̅̅̅̅̅ [𝑄(𝜉0 ) + 𝑎̅(𝐴𝜉0 , 𝜂) + 𝑎(𝐴𝜉 0 , 𝜂 ) + |𝑎| 𝑄(𝜂)]. 1 + |𝑎|2 ‖𝜂‖2 Число а можно взять сколь угодно малым по модулю и таким, что х ы твен б со еравст н я еи н аж р п у а д тсю в стан о р п ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑎̅(𝐴𝜉0, , 𝑢) − действительная величина. Тогда 𝑎(𝐴𝜉 ̅(𝐴𝜉0 , 𝜂) и 0 , 𝜂) = 𝑎 м ы твен соб 𝑄(𝜉) = 𝑄(𝜉0 ) + 2𝑎̅(𝐴𝜉0 , 𝜂) + 𝑂(𝑎2 ). Из последнего неравенства видно, что если (𝐴𝜉0 , 𝜂) ≠ 0, то а можно всех усть п еств кач выбрать так, что |𝑄(𝜉)| > |(𝑄𝜉0 )|, а это противоречит условию леммы. х щ леж ад н и р п ы твен б со г о б лю Из леммы 3 вытекает, что если |𝑄(𝜉)| достигает максимума при 𝜉 = 𝜉0 , и ен ж азло р о ли авед р сп то 𝜉0 есть собственный вектор оператора. если м и д х б ео н та лн о п Доказательство теоремы 5. Будем строить элементы 𝜑(𝑘) по индукции, ож етм ят д ево р ату ер п о в порядке убывания абсолютных величин соответствующих им собственных вол м си сло и ч ы лесн п м ко значений: ерат оп |𝜆1 | ≥ |𝜆2 | ≥ ⋯ ≥ |𝜆𝑛 | ≥ ⋯ Для построения элемента 𝜑1 рассмотрим выражение |𝑄(𝜉)| = |(𝐴𝜉, 𝜉)| ы сам тя и д о сх и докажем, что оно на единичном шаре достигает максимума. Пусть м и ач зн об х вы ан д р о ж у этм о п 𝑆 = sup|(𝐴𝜉, 𝜉)| и 𝜉1 , 𝜉2 , … − такая последовательность, что ‖𝜉𝑛 ‖ = 1 и в ан орд ж |(𝐴𝜉𝑛 , 𝜉𝑛 )| → 𝑆 при 𝑛 → ∞. Так как единичный шар в Н слабо компактен, то из {𝜉𝑛 } можно выбрать а гд о н и есть ч и ан гр о о н еб ч у подпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторому элементу η. При тя и д о сх лн ед р п о м и стр о п этом ‖𝜂‖ ≤ 1 в силу леммы 2 явлетс н ож м |(𝐴𝜂, 𝜂)| = 𝑆 Элемент η мы и примем за 𝜑1 . Ясно, что ‖𝜂‖ = 1. При этом явлетс 𝐴𝜑1 = 𝜆1 𝜑1 , откуда |𝜆1 | = |𝐴𝜑1 , 𝜑1 | = |(𝐴𝜑1 , 𝜑1) | = 𝑆. (𝜑1 , 𝜑1 ) Пусть теперь собственные векторы о ум треб н ож м ть н п вку со 𝜑1 , 𝜑2 , … , 𝜑𝑛 , отвечающие собственным значениям тя и ерж сод ла у м р о ф

16 𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑛 , Уже построены. Пусть 𝑀(𝜑1 , 𝜑2 , … , 𝜑𝑛 , ) − подпространство, натянутое я и ен стр о п на 𝜑1 , 𝜑2 , … , 𝜑𝑛 ,. рассмотрим функционал |(𝐴𝜉, 𝜉)| на совокупности ан р ло я и кц н у ф элементов, принадлежащих ой главн 𝑀𝑛⊥ = 𝐻 ⊝ 𝑀(𝜑1 , 𝜑2 , … , 𝜑𝑛 , ) и удовлетворяющих условию ‖𝜉‖ ≤ 1 множество 𝑀𝑛⊥ есть подпространство м ы н и алв о и кц н у ф есть инвариантное относительно А. Применяя к 𝑀𝑛⊥ проведенные выше й ко и етр м я и ен стр о п если рассуждения, получим, что в 𝑀𝑛⊥ найдется вектор, собственный для в стан о р п х ы тр ко оператора А. если Возможны два случая: 1) после конечного числа шагов мы получим о альн ектр сп сво ан тр я лги п то подпространство 𝑀𝑛⊥0 в котором (𝐴𝜉, 𝜉) = 0; 2) (𝐴𝜉, 𝜉) ≠ 0 на 𝑀𝑛⊥ при всех n. ле и х ает д В первом случае из леммы 3 вытекает, что 𝑀𝑛⊥0 переводится оператором ят ревод ат ер п о атв ер п о г тр ко А в нуль, т.е. целиком состоит из собственных векторов, отвечающим 𝜆 = 0. ет ад совп у м о д каж с и р Система построенных элементов {𝜑𝑛 } состоит из конечного числа элементов. этой скльу о п г это Во втором случае получаем последовательность {𝜑𝑛 } собственных тов н элем векторов, а тогд для а м р тео каждого а тогд из явлетс которых Покажем, 𝜆 ≠ 0. й тр еко н что 𝜆𝑛 → 0 Последовательность {𝜑𝑛 } слабо сходится к нулю, поэтому элементы 𝐴𝜑𝑛 = я и кц н у ф авст ер н еск ч и м авто = 𝜆𝑛 𝜑𝑛 должны сходится к нулю по норме, откуда |𝜆𝑛 | = ‖𝐴𝜑𝑛 ‖ → 0. тог е ч и ан гр о если Пусть 𝑀 ⊥ = 𝐻 ⊝ 𝑀(𝜑1 , 𝜑2 , … , 𝜑𝑛 , … ) = ⋂ 𝑀𝑛⊥ ≠ 0. 𝑛 Если 𝜉 ∈ 𝑀 ⊥ и 𝜉 ≠ 0, то (𝐴𝜉, 𝜉) ≤ 𝜆𝑛 ‖𝜉‖2 для всех n, т.е. (𝐴𝜉, 𝜉) = 0 ц и атр м если отсюда в силу леммы 3, примененной к 𝑀⊥ получаем 𝐴𝜉 = 0, т.е. х щ леж ад н ри п подпространство 𝑀𝑛⊥ переводится оператором А в нуль. в то н элем я и кц ун ф та й сво Из построения системы {𝜑𝑛 } ясно, что всякий вектор можно и сред н стач о д представить в виде ертовм льб ги екотрм н 𝜉 = ∑ 𝑐𝑘 𝜑𝑘 + 𝜉′ , где 𝐴𝜉 ′ = 0 откуда вытекает, что а тогд ка ен ц о

17 𝐴𝜉 = ∑ 𝜆𝑘 𝑐𝑘 𝜑𝑘 . Замечание. Доказанная теорема означает, что для всякого компактного г о б лю в стан о р п а м р тео самосопряженного оператора А в Н существует ортогональный базис ц и атр м ату ер п о тся и д во ер п пространства Н, состоящий из собственных векторов этого оператора. е ж то ет д у б скльу о п Действительно, для получения такого базиса достаточно дополнить еи авн р у построенную в доказательстве о слаб х ы ей н ли ясь лн о п вы т у след систему собственных векторов н стач о д {𝜑𝑛 } произвольным ортогональным базисом подпространства 𝑀⊥ переводимого х ы твен б со еств ж о н м я ан р б вы оператором А в нуль. Иными словами, здесь получается результат, вполне й еы ч и огран аналогичный если кл о теореме лн ред оп й о леьн ар п о приведении матрицы всех конечномерного самосопряженного оператора к диагональному виду в ортогональном базисе. еы ч и ан гр о ст равен д еж р п Для несамосопряженных операторов в n–мерном пространстве такое я и ван ы уб ы лесн п м ко в ан д р о ж поведение невозможно, однако верна следующая теорема: всякое линейное и ш ко ы твен соб е вы сн о й го у р д авст ер н преобразование в n–мерном пространстве имеет хотя бы один собственный ка оряд п я и кц н у ф ве стан о р п вке ли у м р о ф вектор. 1.2. Ограниченные операторы тя и сход м и к та Оператор А называется ограниченным, если существует такая если г тр еко н ат ер п о постоянная М, что ‖Ах‖ ≤ М‖х‖ для любого х ∈ Ех . м стави Согласно этому определению ограниченный оператор преобразует ей ом равн я ем льзу сп во м это ограниченное множество элементов |𝑥| ⊂ 𝐸𝑥 в ограниченное же множество еи уравн тя и сход я и кц н у ф элементов |𝐴𝑥| ⊂ 𝐸𝑦 . Теорема 6. Для того чтобы аддитивный и однородный оператор А был теорм м еи ач зн сть у п непрерывен, необходимо и достаточно, чтобы он был ограничен. казтельсв о д если вется азы н Необходимость. Пусть А-непрерывный оператор. Допустим, что он не н ож м й о леьн ар п а гд ко ограничен. Тогда найдется последовательность элементов |𝑥𝑛 | такая, что ка оряд п ерат оп вй ан д р о ж ‖𝐴𝑥𝑛 ‖ > 𝑛‖𝑥𝑛 ‖. Построим элементы еравст н н ож м 𝜉𝑛 = 𝜉𝑛 → 0, так как 𝑥𝑛 ; 𝑛‖𝑥𝑛 ‖

18 1 1 ‖𝑥𝑛 ‖ = → 0 при 𝑛 → ∞. 𝑛‖𝑥𝑛 ‖ 𝑛 ‖𝜉𝑛 ‖ = С другой стороны, ерой м ‖𝐴𝜉𝑛 ‖ = 1 ‖𝐴𝑥𝑛 ‖ > 1. 𝑛‖𝑥𝑛 ‖ Значит, 𝐴𝜉𝑛 𝐴0 = 0. Поэтому оператор А не непрерывен в нулевой точке, что противоречит ерат оп ератв оп я щ ю лад б о предположению. Достаточность. Пусть аддитивный оператор А ограничен, т.е. ы б то ч разв об б лу го ‖𝐴𝑥‖ ≤ 𝑀‖𝑥‖. Пусть 𝑥𝑛 → 𝑥, т.е. ‖𝑥𝑛 − 𝑥‖ → 0; тогда и м щ ю у след ч торви кан ‖𝐴𝑥𝑛 − 𝐴𝑥‖ = ‖𝐴(𝑥𝑛 − 𝑥)‖ ≤ 𝑀‖𝑥𝑛 − 𝑥‖ → 0. т.е. 𝐴𝑥𝑛 → 𝐴𝑥 ; следовательно, А непрерывен. й альы о и кц н у ф Пусть в линейном нормированном пространстве 𝐸𝑥 задано линейное тов н элем я ен м и р п н ей кр многообразие L. Это линейное многообразие можно рассматривать как а тогд самостоятельное лн ед р п о линейное если пространство, всех может н вед и р п быть неполное. о слаб Предположим, что на L определен аддитивный оператор А со значениями в этом некотором линейном еств ж о н м тн ло п нормированном ть м и сход пространстве а м р тео Оператор 𝐸𝑦 . е и сящ тн о А называется ограниченным на L, если существует постоянная M такая, что явлетс й м р о н м стави ‖𝐴𝑥‖ ≤ 𝑀‖𝑥‖ для всех𝑥 ∈ 𝐿. Наименьшая из таких постоянных называется нормой й всяки е ы ч ги ло ан т н элем оператора А на линейном многообразии L и обозначается ‖𝐴‖𝐿 . и кош ератм оп Теорема 7. Линейный ограниченный оператор 𝐴0 , заданный на м и ач зн б о сть у п ьест линейном многообразии L, всюду плотном в линейном нормированном ва ры еп н й всяки еству ж о н м пространстве 𝐸𝑥 , со значениями в полном линейном нормированном ть и лн п о д ы б то ч ла у м р о ф пространстве 𝐸𝑦 , может быть продолжен на все пространство без а теорм етн р ко г о б лю увеличения нормы. тя и сход Иными словами, на пространстве 𝐸𝑥 можно определить оператор А теорм такой, что т н элем й ы альн ектр сп

19 для 𝑥 ∈ 𝐿. 𝐴𝑥 = 𝐴0 𝑥 и ‖𝐴‖𝐸𝑥 = ‖𝐴0 ‖𝐿 . Пусть x-элемент пространства 𝐸𝑥 , не принадлежащий L. Так как L ы твен б со усть п т у след всюду плотно в 𝐸𝑥 , то найдется последовательность {𝑥𝑛 } ⊂ 𝐿 такая, что‖𝑥𝑛 − м ы н и ка ен ц о етв щ су 𝑥‖ → 0 при 𝑛 → ∞, и, значит, ‖𝑥𝑛 − 𝑥𝑚 ‖ → 0 при 𝑛, 𝑚 → ∞. Но тогда ‖𝐴0 𝑥𝑛 − 𝐴0 𝑥𝑚 ‖ = ‖𝐴0 (𝑥𝑛 − 𝑥𝑚 )‖ ≤ ‖𝐴0 ‖𝐿 ‖𝑥𝑛 − 𝑥𝑚 ‖ → 0 при 𝑛, 𝑚 → ∞, т.е. последовательность {𝐴0 𝑥𝑛 } сходится в себе, а ы тоб ч таи н элем следовательно, в силу полноты 𝐸𝑦 , и к некоторому пределу. Этот предел ат ер п о але д вет казы о д е м о кр обозначим через Ax. Пусть (𝜉𝑛 ) ⊂-другая последовательность, сходящаяся к ей ом равн есть ч и огран всех х. Имеем, очевидно, равен если ‖𝑥𝑛 − 𝜉𝑛 ‖ → 0. откуда ‖𝐴0 𝑥𝑛 − 𝐴0 𝜉𝑛 ‖ → 0. Следовательно, 𝐴0 𝜉𝑛 → 𝐴𝑥. Это означает, что я главн оператор А определен на элементах 𝐸𝑥 однозначно. Если 𝑥 ∈ 𝐿, берем 𝑥𝑛 = 𝑥 о слаб т и леж етв щ су для всех n, и тогда 𝐴𝑥 = lim 𝐴0 𝑥𝑛 = 𝐴0 𝑥. 𝑛 Построенный оператор А аддитивен, так как кл о а сум о м у еб тр (1) (2) (1) (2) 𝐴(𝑥1 + 𝑥2 ) = lim 𝐴0 (𝑥𝑛 + 𝑥𝑛 ) = lim 𝐴0 𝑥𝑛 + lim 𝐴0 𝑥𝑛 = 𝐴𝑥1 + 𝐴𝑥2 𝑛 𝑛 𝑛 и ограничен, так как из неравенства ‖𝐴0 𝑥𝑛 ‖ ≤ ‖𝐴0 ‖𝐿 ‖𝑥𝑛 ‖ переходом к пределу получаем к со и п екотрм н ‖𝐴𝑥‖ ≤ ‖𝐴0 ‖𝐿 ‖𝑥‖. Из этого же неравенства следует, что усть п ‖𝐴‖𝐸𝑥 ≤ ‖𝐴0 ‖𝐿 . Так как при продолжении оператора норма, очевидно, не может ераты оп уменьшится, то сла и ч лн ред оп х таки щ аю еш р

20 ‖𝐴‖𝐸𝑥 = ‖𝐴0 ‖𝐿 и теорема полностью доказана. е кром Пространство линейных ограниченных операторов м ы тар и н у ьест Пространство линейных ограниченных операторов есть линейное о слаб еск ч и м авто аем ч лу о п нормированное пространство. й тр еко н В частном случае, когда 𝐸𝑦 =-множеству вещественных чисел, т.е. ет м и е ом равн сть у п когда рассматривается пространство линейных функционалов, определенных в стан о р п лзц н аго и д м р о н на 𝐸𝑥 , это пространство линейных функционалов называется пространством, ле ы см ен отч п й тр еко н сопряженным с 𝐸𝑥 , и обозначается 𝐸𝑥∗ . ка лч б о если Теорема 8. Если 𝐸𝑦 полно, то пространство линейных ограниченных лу си зательсво й ы лн ед р п о операторов будет так же полным пространством, следовательно, о ли равед сп ло ы б м это пространством типа (В). сок и п Пусть дана последовательность т н элем ю ви сло у линейных операторов {𝐴𝑛 } м тр ко , сходящаяся в себе по норме в пространстве линейных операторов, т.е. такая, я и кц ун ф услови ю а гд то что ‖𝐴𝑛 − 𝐴𝑚 ‖ → 0 при 𝑛, 𝑚 → ∞. Тогда для любого х ю ви сло у яетс лн о п вы ‖𝐴𝑛 𝑥 − 𝐴𝑚 𝑥‖ ≤ ‖𝐴𝑛 − 𝐴𝑚 ‖‖𝑥‖ → 0 при 𝑛, 𝑚 → ∞. Поэтому для каждого фиксированного х ло ы б последовательность {𝐴𝑛 𝑥} элементов пространства 𝐸𝑦 сходится в себе. В силу полноты пространства 𝐸𝑦 езка тр о ле ы см т азу б ео р п я и кц н у ф й ы тар и н у последовательность {𝐴𝑛 𝑥} имеет некоторый предел y. у этм о п Итак, каждому 𝑥 ∈ 𝐸𝑥 ставится в соответствие 𝑦 ∈ 𝐸𝑦 , и мы получаем е м и екотрм н м тр ко некоторый оператор А, оперделяемый равенством у=Ах. Этот оператор м таки н и ом ф если н м ло п и д аддитивен: 𝐴(𝑥1 + 𝑥2 ) = lim 𝐴𝑛 (𝑥1 + 𝑥2 ) = lim 𝐴𝑛 𝑥1 + lim 𝐴𝑛 𝑥2 = 𝐴𝑥1 + 𝐴𝑥2 . 𝑛 𝑛 𝑛 Покажем, что А-ограниченный оператор. По условию ерат оп ‖𝐴𝑛 − 𝐴𝑚 ‖ → 0 при 𝑛, 𝑚 → ∞. Отсюда а д тсю ектр сп |‖𝐴𝑛 ‖ − ‖𝐴𝑚 ‖| → 0 м ты вар н и

21 при 𝑛, 𝑚 → ∞, т.е. числовая последовательность (‖𝐴𝑛 ‖) сходится в себе и, ая ч н и ед следовательно, ограничена. Поэтому существует такая постоянная К, что г то ет м и ы м р тео ‖𝐴𝑛 ‖ ≤ 𝐾 для всех n. Отсюда ва ры еп н ал ерж сод ‖𝐴𝑛 𝑥‖ ≤ 𝐾‖𝑥‖ для всех n. Следовательно, я лги топ ‖𝐴𝑥‖ lim‖𝐴𝑛 𝑥‖ ≤ 𝐾‖𝑥‖. 𝑛 и ограниченность оператора А доказана. Так как А, кроме того, аддитивен и а тогд н ж о м ле и х однороден, то А-линейный ограниченный оператор. у ом д каж и н лож ред п я и ван ы б у Докажем, что А есть предел последовательности {𝐴𝑛 } ка яд р о п в смысле твеу со сходимости по норме в пространстве линейных операторов. Для любого 𝜀 > т ю ач зн б о в то н элем ле ы см м о ч н и ед 0 найдется номер 𝑛0 такой, что ет ож м и кош ‖𝐴𝑛+𝑝 𝑥 − 𝐴𝑛 𝑥‖ < 𝜀 (6) для 𝑛 ≥ 𝑛0 , 𝑝 > 0 и всех х с нормой ‖𝑥‖ ≤ 1. Переходя в неравенстве (6) к м ы н и пределу при 𝑝 → ∞, получим, что лн ред оп ва ы р еп н ‖𝐴𝑥 − 𝐴𝑛 𝑥‖ ≤ 𝜀 для 𝑛 ≥ 𝑛0 и всех х с нормой, не превосходящей единицы. Поэтому для 𝑛 ≥ и ч зад сть у п у этм о п 𝑛0 ‖𝐴𝑛 − 𝐴‖ = 𝑠𝑢𝑝‖(𝐴𝑛 − 𝐴)𝑥‖ ≤ 𝜀. Следовательно, 𝐴 = lim 𝐴𝑛 𝑛 в смысле сходимости по норме в пространстве линейных ограниченных х ы твен соб ю ви сло у сть у п операторов, и полнота этого пространства доказана. и ен разлож м тр еко н у ц и атр м Следствие. Пространство Е∗ , сопряженное с линейным нормированным и азвн реоб п авст ер н ьест пространством Е, есть банахово пространство. ь стави ред п Равномерная и точечная сходимость операторов. клети орен м в стан о р п Сходимость последовательности линейных ограниченных операторов в сть у п вем азо н тя и ж ер д со смысле сходимости по норме в пространстве линейных операторов будем лу си в стан о р п вет казы о называть равномерной сходимостью. Это оправдывается тем, что если 𝐴𝑛 → аем олуч п ал ерж сод й ы лн ед р п о 𝐴 в смысле сходимости по норме, то 𝐴𝑛 𝑥 → 𝐴𝑥 равномерно во всяком шаре ерат оп ерой м у этм о п

22 ‖𝑥‖ ≤ 𝑟. В самом деле, для заданного 𝜀 > 0 выберем 𝑛0 так, чтобы при 𝑛 ≥ у ц атри м ог б лю е каи 𝑛0 𝜀 ‖𝐴𝑛 − 𝐴‖ < . 𝑟 Тогда 𝜀 ‖𝐴𝑛 − 𝐴𝑥‖ ≤ ‖𝐴𝑛 − 𝐴‖‖𝑥‖ < 𝑟 = 𝜀 𝑟 для всех 𝑥 ∈ 𝑆̅(𝜃, 𝑟), и требуемое доказано. Обратно, если 𝐴𝑛 𝑥 → 𝐴𝑥 а гд то о льн стви ей д а гд то равномерно на некотором шаре ‖𝑥‖ ≤ 𝑟, то 𝐴𝑛 𝑥 → 𝐴𝑥 равномерно и в х ы лесн п ком ле ы см ы ей н ли единичном шаре, а отсюда, как только что было показано, следует в ростан п й ы ен ряж соп атн р б о ‖𝐴𝑛 − 𝐴‖ → 0. Последовательность линейных есть сть у п ограниченных операторов й ы д каж {𝐴𝑛 } называется точечно сходящейся к линейному оператору А, если для каждого вется азы н а гд то я еи н аж р п у фиксированного х последовательность {𝐴𝑛 𝑥} сходится к Ах. Очевидно, что из разлгется равномерной н ж о м сходимости й ы лн ед р п о последовательности е ч и ан гр о следует {𝐴𝑛 } н и ед ъ б о точечная сходимость этой последовательности. й ы ен яж р п со Обратное неверно, как показывает следующий пример. Пусть Еал ж ер д со веч роти п я еи н аж р п у сть у п ы б то ч гильбертово пространство Н с ортонормированным базисом {𝑒1 , 𝑒2 , … , 𝑒𝑛 , … }. ва ли ед Пусть 𝐴𝑛 есть ом б лю всех оператор проектирования на слу и ч подпространство 𝐻𝑛 ,порожденное элементами 𝑒1 , 𝑒2 , … , 𝑒𝑛 . Для любого 𝑥 ∈ 𝐻 о слаб етв сущ 𝑛 𝑛 𝐴𝑛 𝑥 = ∑(𝑥, 𝑒𝑖 )𝑒𝑖 → ∑(𝑥, 𝑒𝑖 )𝑒𝑖 = 𝑥 𝑖=1 𝑖=1 и, следовательно,𝐴𝑛 → 𝐼 в смысле точечной сходимости. екотрм н С другой стороны, для 𝜀0 <, любого n и 𝑝 > 0 имеем и кош ет ож м ат ер п о ‖𝐴𝑛 𝑒𝑛+1 − 𝐴𝑛+1 𝑒𝑛+1 ‖ = ‖𝑒𝑛+1 ‖ = 1 > 𝜀0 , и, следовательно, равномерная сходимость {𝐴𝑛 } последовательности в ка оряд п сть у п единичном шаре ‖𝑥‖ ≤ 1 пространства Н не имеет места. ву ан д р о ж ет м и ла ы б Теорема 9. Если пространства 𝐸𝑥 и 𝐸𝑦 полные, то пространство ой д каж г атн п м ко st n co линейных ограниченных операторов также полно в смысле точечной х ы твен соб сходимости. ая ч н и ед м р о н тся и д во ер п

23 Так как для каждого х последовательность {𝐴𝑛𝑥 } сходится в себе, то й о д каж й ты у кн зам для каждого х существует е м о авн р 𝑦 = lim 𝐴𝑛 𝑥 𝑛 И получаем оператор y=Ax, определенный на 𝐸𝑥 , с областью значений окл тя и сход еств ж о н м в 𝐸у . Убеждаемся, что А-линейный оператор. Докaзательство ограниченности роекты п с у и ад р а гд ко оператора А вытекает из следующей теоремы: я и кц ун ф ке ч то Теорема 10 (Банаха-Штейнхауса). Если последовательность линейных ом б лю есть х ы н важ ограниченных операторов сходится в себе в каждой точке х банахова ерат оп м о б лю м и д х б ео н х ы атн п м ко пространства 𝐸𝑥 , то последовательность норм {‖𝐴𝑛 ‖} этих операторов ат ер п о к со и п ограничена. ей м о авн р Предположим противное. Тогда множество {‖𝐴𝑛 ‖} не ограничено на х ы см езави н ем д у б х еы ч и ан гр о любом замкнутом шаре ‖𝑥 − 𝑥0 ‖ ≤ 𝜀. В самом деле, если о ли равед сп этом е зьм во ‖𝐴𝑛 𝑥‖ ≤ 𝑐 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ для всех n и всех х из некоторого шара 𝑆(𝑥 0 , 𝜀), то для любого 𝜉 ∈ 𝐸𝑥 элемент 𝜀 𝑥= 𝜉 + 𝑥0 ‖𝜉‖ сло и ч ая ч н и ед м ы н и принадлежит этому шару и, следовательно, лн ред оп ы твен соб ‖𝐴𝑛 𝑥‖ ≤ 𝑐, 𝑛 = 1,2, … или 𝜀 𝜀 ‖𝐴𝑛 𝜉‖ − ‖𝐴𝑛 𝑥0 ‖ ≤ ‖ 𝐴 𝜉 + 𝐴𝑛 𝑥0 ‖ ≤ 𝑐. ‖𝜉‖ ‖𝜉‖ 𝑛 Отсюда если 𝑐 + ‖𝐴𝑛 𝑥0 ‖ ‖𝜉‖ 𝜀 Так в силу сходимости последовательности {𝐴𝑛 𝑥0 } последовательность ‖𝐴𝑛 𝜉‖ ≤ м щ ю у след это норм {‖𝐴𝑛 𝑥0 ‖} ограничена, то ь стави ед р п ‖𝐴𝑛 𝜉‖ ≤ 𝑐1 ‖𝜉‖, 𝑛 = 1,2, … и, следовательно, ‖𝐴𝑛 ‖ ≤ 𝑐1 , 𝑛 = 1,2, … что противоречит сделанному есть предположению. казн о п

24 Пусть теперь 𝑆̅(𝑥0 , 𝜀0 ) –любой замкнутый шар в 𝐸𝑥 :на нем лев гч о н м а ящ д о сх яетс лн о п вы последовательность {‖𝐴𝑛 𝑥‖} не ограничена и потому существуют номер 𝑛1 и сла и ч й щ леж ад н и р п а м су элемент 𝑥1 ∈ 𝑆̅0 такие, что ‖𝐴𝑛1 𝑥1 ‖ > 1. В сил непрерывности оператора 𝐴𝑛1 , это неравенство выполняется в этог ц и атр м м тр еко н некотором замкнутом шаре ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑆1 (𝑥1 , 𝑒1 ) ⊂ 𝑆̅0 . На 𝑆̅1 последовательность ы лесн п ком {‖𝐴𝑛 𝑥‖} снова не ограничена и снова найдутся номер 𝑛2 , 𝑛2 > 𝑛1 , и элемент а огд н и теорм есть 𝑥2 ∈ 𝑆̅1 такие, что е олн вп м ы ектральн сп ‖𝐴𝑛2 𝑥2 ‖ > 2. В силу непрерывности оператора 𝐴𝑛2 это неравенство сохраняется в м и д х б ео н всех х ы ей н ли некотором замкнутом шаре ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑆2 (𝑥2 , 𝜀2 ) ⊂ 𝑆̅1 и т.д. оказн п Можно считать, что 𝜀𝑛 → 0 при 𝑛 → ∞. Тогда будет существовать сть м и д х б ео н ть ли ед р п о а ер м точка 𝑥̅ , принадлежащая всем шарам ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑆𝑛 (𝑥𝑛 , 𝜀𝑛 ). В этой точке еск ч и автом г еч н ко м это ‖𝐴𝑛𝑘 𝑥̅ ‖ ≥ 𝑘, что противоречит условию, что последовательность {𝐴𝑛 𝑥} сходится для скает у п о д н и д у р всякого 𝑥 ∈ 𝐸𝑥 . Теорема, таким образом, доказана. лн ред оп а м р тео м ы твен б со Возвращаясь к оператору ву ан орд ж 𝐴𝑥 = lim 𝐴𝑛 𝑥, 𝑛 из неравенства ‖𝐴𝑛 𝑥‖ ≤ 𝑀‖𝑥‖, 𝑛 = 1,2, … вытекающего из теоремы Банаха-Штейнхауса, в пределе при 𝑛 → ∞ ла ы б ои астн ч скльу о п получаем ‖𝐴𝑥‖ ≥ 𝑀‖𝑥‖, т.е. ограниченность оператора А. е зьм во ется ы авд р п о Замечание. В формулировке теоремы Банаха-Штейнхауса вместо если сходимости в себе последовательности операторов {𝐴𝑛 } в каждой точке 𝑥 ∈ еств ж о н м грает и й щ леж ад н и р п ть ли ед р п о ясь лн о п вы 𝐸𝑥 можно потребовать ограниченности этой последовательности в каждой а д отсю х ы твен б со х вы то ер льб ги точке пространства. При этом доказательство теоремы не изменится. если Итак, существует лзц агон и д етн р ко предел любой х ы б лю точечно х таки ет м и сходящейся в себе е м и последовательности линейных ограниченных операторов, который также сть у п ла ы б е вы сн о

25 является линейным ограниченным оператором, т.е. пространство операторов ектры сп тя и ж ер д со твеу со полно в смысле точечной сходимости. ч торви кан ой д каж Часто оказывается полезной следующая теорема. ла ы б азв р б о й ко и етр м Теорема 11. Для того чтобы последовательность {𝐴𝑛 } операторов ьест етв щ су г то точечно сходилась к оператору 𝐴0 , необходимо и достаточно, чтобы ы твен соб ества ж о н м сло и ч 1)последовательность {‖𝐴𝑛 ‖} была ограничена; орм н 2) 𝐴𝑛 𝑥 → 𝐴0 𝑥для любого х из некоторого множества Х, линейные тя и сход если й аво р п комбинации элементов которого лежат всюду плотно в 𝐸𝑥 . вости ры еп н вест и р п ат ер п о Необходимость первого условия есть не что иное, как доказанная выше тво й сем тя и д о сх это теорема Банаха-Штейнхауса, необходимость второго условия очевидна. тям ели д в ростан п тя и д о сх и кц н у ф ем льд Требуется доказать лишь достаточность этих условий. я и кц ун ф у м о д каж ы твен б со Пусть 𝑀 = 𝑠𝑢𝑝‖𝐴𝑛 ‖. и пусть L(X)-линейная оболочка множества Х. В силу линейности операторов ервом п м стави и ен ж азло р тч ли ан 𝐴𝑛 и 𝐴0 и второго условия 𝐴𝑛 𝑥 → 𝐴0 𝑥 для любого 𝑥 ∈ 𝐿(𝑋). вется азы н х ы твен б со Возьмем теперь элемент ξ пространства 𝐸𝑥 , не принадлежащий L(X). ы ей н ли у р алгеб в стан о р п Для заданного 𝜀 > 0 найдется элемент 𝑥𝜖𝐿(𝑋) такой, что ‖𝜉 − 𝑥‖ < а ш вы 𝜀 4𝑀 Имеем ‖𝐴𝑛 𝜉 − 𝐴0 𝜉‖ ≤ ‖𝐴𝑛 𝜉 − 𝐴𝑛 𝑥‖ + ‖𝐴𝑛 𝑥 − 𝐴0 𝑥‖ + ‖𝐴0 𝑥 − 𝐴0 𝜉‖ ≤ 𝜀 ≤ ‖𝐴𝑛 𝑥 − 𝐴0 𝑥‖ + (‖𝐴𝑛 ‖ + ‖𝐴0 ‖)‖𝑥 − 𝜉‖ < ‖𝐴𝑛 𝑥 − 𝐴0 𝑥‖ + . 2 В силу того, что 𝐴𝑥 𝑥 → 𝐴𝑜 𝑥, найдется номер 𝑛0 такой, что 𝜀 ‖𝐴𝑛 𝑥 − 𝐴0 𝑥 ‖ < 2 х екотры н ет ад совп сть у п для 𝑛 ≥ 𝑛0 . Поэтому для 𝑛 ≥ 𝑛0 имеем если а тогд ‖𝐴𝑛 𝜉 − 𝐴0 𝜉‖ < 𝜀, и теорема доказана. ератв оп .

26 Глава 2. Спектральные разложения х ы в н а д р о ж ть м и д о сх 2.1. Приведение матрицы к жордановой нормальной форме еч в ти о р п х ы ей н и л ет д а п в со Определение: жордановой клеткой порядка k, относящейся к числу 𝜆0 , я ац ту си ы твен б со ве стан о р п называется матрица порядка 𝑘, 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛, имеющая вид ты н элем На ее главной диагонали стоит одно и то же число 𝜆0 , а на этом ом ч н и ед атен п м ко параллельной ей сверху диагонали стоят единицы, все же остальные таи н элем ервом п у этм о п элементы равны нулю. ет ж о м екотрм н 𝜆 Например, (𝜆0 ), 0 0 еств ж о н м 𝜆 1 0 , 0 𝜆0 0 1 𝜆0 0 0 1 -жордановы клетки 1, 2 и 3 𝜆0 порядков. если екотрм н Жордановой матрицей порядка n называется матрица порядка n, ть ли ед р п о если имеющая вид:J= м таки . В ней вдоль главной диагонали идут е м р о н й о леьн ар п ва ы р еп н жордановы клетки 𝐽1 , 𝐽2 , … 𝐽𝑠 некоторых порядков, не обязательно различных, всех ы м р тео там й сво и относящиеся к некоторым числам, тоже не обязательно различным. Все ем окаж п т у след ти о асм р места вне этих клеток заняты нулями. При этом 𝑠 ≥ 1, т.е. одна жорданова а м р тео ы ц атри м ей м о авн р элем клетка порядка n так же считается жордановой матрицей и 𝑠 ≤ 𝑛. ехвс х ы твен соб лн ед р п о Замечание. Говорят, что матрица J имеет нормальную жорданову ь ш ли всех и ш ко форму. Диагональная матрица является частным случаем жордановой я и кц ун ф вется азы н ат ер п о е ж то та лн о п матрицы, у нее все клетки имеют порядок 1. н ож м Свойства: Количество жордановых клеток порядка n с собственным значением λ в екты о р п явлетс м р о н слу и ч жордановой форме матрицы А можно вычислить по формуле если а д тку о если я ан стр

27 𝑐𝑛 (𝜆) = 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴 − 𝜆𝐼)𝑛−1 − 2𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴 − 𝜆𝐼)𝑛 + 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴 − 𝜆𝐼)𝑛+1 , где I-единичная матрица того же порядка что и А, символ rank означает ранг всех матрицы, н след о п 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴 − 𝜆𝐼)0 , а по всех определению, м это равен е ази р гб о н м порядку а гд то А. вышеприведенная формула следует из равенства оказн п ар ш а м р тео 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴 − 𝜆𝐼) = 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐽 − 𝜆𝐼). В случае если поле К не является алгебраически замкнутым, для того струке атв ер п о веч ти о р п чтобы матрица А была подобна над К некоторой жордановой матрице, явлетс азовем н необходимо и с у и ад р достаточно, еств ж о н м чтобы у этм о п ет м и поле К содержало все ве стан о р п корни характеристического многочлена матрицы А. я оказн д аты ер п о У эрмитовой матрицы все жордановы клетки имеют размер 1. тах н элем х вы ан д р о ж н ж о м Является матрицей линейного оператора в каноническом базисе. всех сть у п н стач о д Жордановы формы двух подобных матриц совпадают с точностью до я казн о д веч ти о р п если ти о асм р порядка клеток. зательсво оскльуп Теорема 12. жорданова нормальная форма определяется для матрицы тн ло п тс явлю ат ер п о однозначно с точностью до порядка расположения жордановых клеток на е м и аты ер п о ва ли ед главной диагонали. х ы б лю Приведем матрицу А(𝜆) = А − 𝜆Е к каноническому виду с помощью тя и ж ер д со твеу со й р м еч н ко элементарных преобразований. А − 𝜆Е= . Отличные е ази р гб о н м ы ей н ли от единицы многочлены 𝑒𝑛−𝑖+1 (𝜆), … , 𝑒𝑛−1 (𝜆), 𝑒𝑛 (𝜆) называют инвариантными множителями матрицы A(λ) среди них нет тся и д во ер п вет казы о м ы н и многочленов равных нулю, сумма степеней всех этих многочленов равна n и вектор е м ри п вет казы о д е м о авн р все они раскладываются на линейные множители над множеством г атн п ком ет ож м я и кц н у ф комплексных чисел. Пусть 𝑒𝑛−𝑖+1 (𝜆) раскладывается в произведение у ом д каж еы ч и огран есть

28 следующих множителей: (𝜆 − 𝜆1 )𝑘1𝑗 , (𝜆 − 𝜆2 )𝑘2𝑗 , … , (𝜆 − 𝜆𝑡 )𝑘𝑡𝑗 . Назовем эти ет ж о м в ло р ки множители элементарными делителями многочлена 𝑒𝑛−𝑗+1 (𝜆). усть п Теорема жордановой нормальной форме является частным случаем х ы б лю равой п х ы твен б со а м су я ан р б вы теоремы о структуре конечнопорожденных модулей над областями главных е тож идеалов. есть Действительно, классификация а теорм матриц если соответствует екты о р п а гд о н и классификации линейных операторов, а векторные пространства я и кц ун ф ве стан о р п ст авен р Элементарными делителями матрицы А(𝜆) называются элементарные клети делители всех многочленов 𝑒𝑛−𝑖+1 (𝜆), … , 𝑒𝑛−1 (𝜆), 𝑒𝑛 (𝜆). е атн р б о если явлетс Выпишем жорданову матрицу J порядка n, составленную из ы б то ч жордановых м ы альн ектр сп клеток если определяемых следующим ть н п вку со образом: тся и д во ер п каждому тям ели д элементарному делителю (𝜆 − 𝜆𝑖 )𝑘𝑖𝑗 матрицы А(𝜆) ставим в соответствие есть ч и ан гр о г то жорданову клетку порядка 𝑘𝑖𝑗 относящуюся к числу 𝜆𝑖 . сла и ч я еи н аж р п у слу и ч Пусть для некоторой матрицы порядка 9 характеристическая матрица ерат оп г то г о б лю А − 𝜆Е приведена к каноническому виду. ство н и ед А − 𝜆Е= 𝑒1 = 𝑒2 = 𝑒3 = 𝑒4 = 𝑒5 = 𝑒6 = 1, 𝑒7 = 𝜆 − 2, 𝑒8 = (𝜆 − 2)(𝜆 − 5)2 , 𝑒9 = (𝜆 − 2)3 (𝜆 − 5)2 -инвариантные множители матрицы А-𝜆Е, (𝜆 − 2), (𝜆 − лоран еств ж о н м о альн ектр сп 5)2 , (𝜆 − 2)3 , (𝜆 − 5)2 -элементарные делители матрицы А − 𝜆Е. х таки тм и р алго Получаем: две клетки порядка 1, относящиеся к числу 2; две клетки авен р м это порядка 2, относящиеся к числу 5; одну клетку порядка 3, относящуюся к еск ч и автом таея и сч числу 2. Выпишем жорданову форму матрицы А. в стан о р п и азвн б ео р п а м р тео е атн р б о слу и ч

29 Алгоритм приведения матрицы А к жордановой форме а тогд если н м ло п и д 1. Составить характеристическую матрицу А − 𝜆Е. есть 2. Привести эту матрицу к канонической форме с помощью ы равн е м о кр вая сло и ч элементарных преобразований. ла ы б твен б со 3. Разложить двигательные многочлены на линейные множители. л ед р п 4. Найти элементарные делители и по ним выписать жорданову форму ка ен оц ь стави ред п н след о п ет ад вп со аем ч лу о п матрицы А. Для того чтобы заданная матрица была подобна диагональной матрице, ы сам необходимо и явлетс достаточно, х ы ей н ли т вю азы н чтобы в стан о р п у ц и атр м все элементарные делители ее н вед и р п характеристической матрицы были первой степени. и ш ко м таки о слаб Пример. Привести к жордановой форме матрицу А= а ящ сход я и ан етво щ су Решение. С помощью элементарных преобразований приводим еств ож н м м и лж о п твеу со всех матрицу А − 𝜆Е к следующему виду: А − 𝜆Е= сло и ч ~…~ . ~ лн ед р п о Инвариантные множители этой ю ви сло у матрицы:е1 = 1, е2 = 1, е3 = (𝜆 − 1)(𝜆 − 2)2 ; элементарные делители та й сво будут (𝜆 − 1), (𝜆 − 2)2 . я и кц н у ф

30 По найденным элементарным делителям выписываем жорданову усть п сть у п форму исходной матрицы м еи ач зн . а ткуд 2.2. Спектр компактного оператора е м и еы ч и н а гр о Если Т-линейное преобразование на, то собственные значения Т-это а тогд г о д каж етв щ су комплексные числа λ, для которых детерминант λI-T равен нулю. Множество х ы ей н ли сть у п й ы н зад ве стан о р п таких λ называется спектром Т. Оно может состоять не более чем из n точек, у ом д каж х ы б лю если поскольку det(λI-T) есть полином степени n. Если λ не есть собственное у этм о п и кош ает д вм то ер льб ги х ы тр еко н значение, то оператор λI-T имеет обратный, поскольку det(λI-T)≠0. аем олуч п ется д ай н етв щ су Пусть 𝑇 ∈ 𝐿(𝑋). Комплексное число λ лежит в резольвентном о н еб ч у тя и д о сх если множестве 𝜌(𝑇) оператора Т, если λI-T есть биекция с ограниченным н ж о м т и леж в то н элем обратным. Резольвентой Т в точке λ называют оператор 𝑅𝜆 (𝑇) = (𝜆𝐼 − 𝑇)−1 . е ом равн е ты вар н и е ж то Если 𝜆 не принадлежит 𝜌(𝑇), то говорят, что λ лежит в спектре 𝜎(𝑇) м тр еко н оператора Т. По теореме об обратном отображении оператор λ(I-T) автоматически а д тсю еств ож н м м ы н и обладает обратным, если он биективен. Различаем 2 подмножества в спектре. г о б лю веч роти п е ы атн п м ко всех тя и д о сх Пусть 𝑇 ∈ 𝐿(𝑋). (а) Вектор 𝑥 ∈ 𝑋, удовлетворяющий условию Tx=λx при некотором 𝜆 ∈ разлгется 𝐶, и ен лж д о р п называется собственным вектором Т; м еы д ай н число м еы д ай н λ называется соответствующим собственным значением. Если λ–собственное значение, то екты о р п если е о связан ы твен б со а гд то λI-T не инъективен, так что λ лежит в спектре Т. Множество всех х щ леж ад н и р п собственных значений называется точечным спектром оператора Т. м тр еко н й тары и ун сть у п г о н зад т н элем (b) Если λ не есть собственное значение и если Ran(λI-T) не плотно в X, всех всех атв ер п о то говорят, что λ лежит в остаточном спектре. я главн Остаточный спектр выделяют по той причине, что у широкого класса ть м и д о сх н ослед п й альы о и кц н у ф операторов, например у самосопряженных операторов, он отсутствует. н м ло п и д е ы атн п ком еств ж о н м Спектральный анализ операторов очень важен для математической ят д ево р ом б лю и ш ко физики. Например, в квантовой механике гамильтониан-это неограниченный е м р о н й ы ен ряж соп ьест тво й сем м о б лю самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве. Точечный спектр й го у р д м ты вар н и х ы атн п м ко

31 гамильтониана соответствует уровням е и сящ тн о энергии связанных есть ть м и д о сх состояний системы. Остальной спектр играет огромную роль в теории рассеяния в и кош м это зательсво м ы твен б со системе. Лемма г о б лю 4. разв об Пусть Х-банахово пространство. Тогда м это {𝑥𝑛 }– последовательность Коши в том и только том случае, когда {𝑙(𝑥𝑛 )}– х и щ аю отвеч рать б вы скльу о п последовательность Коши равномерно по 𝑙 ∈ 𝑋 ∗ , ‖𝑙‖ ≤ 1.. и н д утверж ерой м Доказательство. Если {𝑥𝑛 }–последовательность Коши, то |𝑙(𝑥𝑛 ) − та н элем 𝑙(𝑥𝑚 )| ≤ ‖𝑥𝑛 − 𝑥𝑚 ‖ для всех l c ‖𝑙‖ ≤ 1, так что {𝑙(𝑥𝑛 )}–последовательность раз об азлгется р Коши равномерно по всем l c ‖𝑙‖ ≤ 1. Обратно, а гд то если ьест ‖𝑥𝑛 − 𝑥𝑚 ‖ = sup|𝑙(𝑥𝑛 − 𝑥𝑚 )|. Следовательно, если {𝑙(𝑥𝑛 )}–последовательность Коши равномерно по е ч и ан гр о всем l c ‖𝑙‖ ≤ 1 , то {𝑥𝑛 }–последовательность Коши. есть н ж о м атв ер п о Теорема 13. Каждая слабо аналитическая функция сильно аналитична. уль н всех м и лж о п Доказательство. Пусть 𝑥(∙) слабо аналитична на D со значениями в Х. ую остальн если т и д во ер п Пусть 𝑧0 ∈ 𝐷 и пусть Г-окружность в D, содержащая 𝑧0 и окружающая ек точ о ли равед сп вется азы н область, лежащую в D. Если 𝑙 ∈ 𝑋, то l(x(z)) аналитична и н ослед п теори я 𝑥(𝑧0 + ℎ) − 𝑥(𝑧0 ) 𝑑 𝑙( ) − 𝑙(𝑥(𝑧0 )) = ℎ 𝑑𝑧 = 1 1 1 1 1 ∮[ ( − )− ] 𝑙(𝑥(𝑧))𝑑𝑧. (𝑧 − 𝑧0 )2 2𝜋𝑖 ℎ 𝑧 − (𝑧0 + ℎ) 𝑧 − 𝑧0 Г Поскольку l(x(z)) непрерывна на компактной Г, |𝑙(𝑥(𝑧))| ≤ 𝐶𝑙 для всех м и ен разлож м о ей н ли о слаб 𝑧 ∈ Г. Рассматривая x(z) как семейство отображений 𝑥(𝑧): 𝑋 ∗ → 𝐶, легко е м р о н понять, что x(z) поточечно ограничены на каждом l и потому, в силу теоремы я и ван ы уб м и ен разлож ества ж о н м в то н элем о равномерной ограниченности,sup‖𝑥(𝑧)‖ ≤ 𝐶 < ∞. Таким образом, ат ер п о 𝑥(𝑧0 + ℎ) − 𝑥(𝑧0 ) 𝑑 |𝑙 ( ) − 𝑙(𝑥(𝑧0 ))| ≤ ℎ 𝑑𝑧 ≤ 1 1 1 ‖𝑙‖(sup‖𝑥(𝑧)‖) ∮ | − | 𝑑𝑧. 2𝜋 (𝑧 − (𝑧0 + ℎ))(𝑧 − 𝑧0 ) (𝑧 − 𝑧0 )2 .г ектр сп

32 Эта оценка показывает, каов что етв щ су есть [𝑥(𝑧0 + ℎ) − 𝑥(𝑧0 )]/ℎ последовательность Коши равномерно для всех l c ‖𝑙‖ ≤ 1. В силу але д я и р тео ю у тавлен со леммы, [𝑥(𝑧0 + ℎ) − 𝑥(𝑧0 )]/ℎ сходится в Х, что и доказывает сильную то у кн зам аналитичность 𝑥(∙). г о альн ектр сп ог ектральн сп Теорема 14. Пусть Х-банахово пространство и 𝑇 ∈ 𝐿(𝑋). Тогда 𝜌(𝑇)– тч ли ан х ы см езави н ен р ом открытое подмножество в С и 𝑅𝜆 (𝑇)–аналитическая L(X)–значная функция на х ы ей н ли каждом компоненте 𝜌(𝑇). Для любых 2 точек 𝜆, 𝜇 ∈ 𝜌(𝑇), операторы 𝑅𝜆 (𝑇) и авст ер н х котры у есм ч и о кан 𝑅𝜇 (𝑇) коммутируют и м щ ю у след усть п 𝑅𝜆 (𝑇) − 𝑅𝜇 (𝑇) = (𝜇 − 𝜆)𝑅𝜇 (𝑇)𝑅𝜆 (𝑇) (7) Доказательство. Пусть 𝜆0 ∈ 𝜌(𝑇). Имеем й еы ч и ан гр о 1 1 1 = = 𝜆 − 𝑇 𝜆 − 𝜆0 + (𝜆0 − 𝑇) 𝜆0 − 𝑇 1 = 𝜆0 − 𝜆 1−( ) 𝜆0 − 𝑇 ∞ 1 𝜆0 − 𝜆 𝑛 = [1 + ∑ ( ) ]. 𝜆0 − 𝑇 𝜆0 − 𝑇 𝑛=1 Это наталкивает на мысль определить аты ер п о ем каж о д ∞ 𝑛 𝑅̅𝜆 (𝑇) = 𝑅𝜆0 (𝑇) {𝐼 + ∑ (𝜆0 − 𝜆)𝑛 [𝑅𝜆0 (𝑇)] }. 𝑛=1 поскольку 𝑛 𝑛 ‖[𝑅𝜆0 (𝑇)] ‖ ≤ ‖𝑅𝜆0 (𝑇)‖ , ряд в правой части сходится в равномерной операторной топологии, х щ леж ад н ри п ы твен б со скльу о п если й и р тео −1 |𝜆 − 𝜆0 | < ‖𝑅𝜆0 (𝑇)‖ . Для таких λ отображение 𝑅̅𝜆 (𝑇) корректно определено, и легко тах н элем с его щ явлю й щ леж ад н и р п проверить, что (𝜆𝐼 − 𝑇)𝑅̅𝜆 (𝑇) = 𝐼 = 𝑅̅𝜆 (𝑇)(𝜆𝐼 − 𝑇). −1 Это доказывает, что 𝜆 ∈ 𝜌(𝑇), если |𝜆 − 𝜆0 | < ‖𝑅𝜆0 (𝑇)‖ , и что ве стан о р п ая ч н и ед 𝑅̅𝜆 (𝑇) = 𝑅𝜆 (𝑇). Таким образом, 𝜌(𝑇) открыто. Поскольку 𝑅𝜆 (𝑇) разлагается в м щ ю у след степенной ряд, она аналитична. всех х ы ей н ли

33 Соотношение ле ы см 𝑅𝜆 (𝑇) − 𝑅𝜇 (𝑇) = 𝑅𝜆 (𝑇)(𝜇𝐼 − 𝑇)𝑅𝜇 (𝑇) − 𝑅𝜆 (𝑇)(𝜆𝐼 − 𝑇)𝑅𝜇 (𝑇) доказывает (7). Перестановка μ и λ показывает, что 𝑅𝜆 (𝑇) и 𝑅𝜇 (𝑇) ле ы см взять коммутируют. Уравнение (7) называют первой резольвентной формулой. ется ы равд оп ле и х скает у п о д Следствие. Пусть Х-банахово пространство, 𝑇 ∈ 𝐿(𝑋). Тогда спектр Т еств ож н м в ло р ки валсь о еб тр не пуст. Доказательство. Формально ества ж о н м ∞ 1 1 1 1 𝑇 𝑛 = = (1 + ∑ ( ) ), 𝜆 𝜆 1 − 𝑇/𝜆 𝜆 𝜆 𝑛=1 откуда для больших |𝜆| получаем д реж п если ∞ 1 𝑇 𝑛 𝑅𝜆 (𝑇) = (1 + ∑ ( ) ). 𝜆 𝜆 (8) 𝑛=1 Если |𝜆| > ‖𝑇‖, то ряд в правой части сходится по норме, и для таких λ этог е ы н ч тли о ет д у б его сумма, на самом деле, обратна λI-T. Таким образом, ‖𝑅𝜆 (𝑇)‖ → 0 при еы ч и ан гр о та й сво если й то кван |𝜆| → ∞. Если бы 𝜎(𝑇) было пустым, 𝑅𝜆 (𝑇) была бы целой ограниченной и ш ко ы ей н ли г тр ко аналитической функцией. По теореме Лиувилля 𝑅𝜆 (𝑇) тогда была бы нулем, всех г о б лю ю ви сло у что приводит к противоречию. Итак, 𝜎(𝑇) не пусто. а гд то вет оказы д т у след Ряд (8) называется рядом Неймана для 𝑅𝜆 (𝑇). Доказательство х ы твен б со с у и ад р следствия показывает, что 𝜎(𝑇) содержится в замкнутом круге радиуса. В а теорм е ы атн п м ко й аво р п действительности о 𝜎(𝑇) можно сказать больше. а м р тео ли ы б о льн стви ей д Величина 𝑟(𝑇) = sup|𝜆| называется спектральным радиусом оператора Т. м таки Теорема н ж о м 15. Пусть м еы д ай н Х-банахово еств ж о н м пространство,𝑇 ∈ 𝐿(𝑋. Тогда lim ‖𝑇 𝑛 ‖1/𝑛 существует и равен r(T). Если Х-гильбертово пространство и Ау оэтм п ет уд б ты н элем 𝑛→∞ самосопряженный оператор, то 𝑟(𝐴) = ‖𝐴‖. о слаб ка лч об

34 Доказательство. Решающее место доказательства этой теоремыой д каж сть у п ает д установить, что радиус сходимости разложения Лорана для 𝑅𝜆 (𝑇) около∞ альн орм ф ль у н всех есть как раз 𝑟(𝑇)−1 . Прежде всего, этот радиус сходимости не может быть рй м еч кон е каи ат ер п о всех меньше 𝑟(𝑇)−1 поскольку 𝑅𝜆 (𝑇) аналитична на 𝜌(𝑇) и {𝜆 ∣ |𝜆| > 𝑟(𝑇)} ⊂ 𝜌(𝑇). ой б лю ал ерж сод С другой стороны, ряд (8) представляет собой разложение Лорана около ∞ и у оэтм п ла у м р о ф если это там, где он сходится абсолютно, 𝑅𝜆 (𝑇) существует. Но так как ряд Лорана й о д каж у этм о п абсолютно сходится внутри своего круга сходимости, можно заключить, что вости ры еп н ла ы б а м р тео ей ц и атр м радиус сходимости не может быть больше 𝑟(𝑇)−1 Равенство 𝑟(𝑇) = словая и ч если м ер б lim ‖𝑇 𝑛 ‖1/𝑛 следует из векторного варианта теоремы Адамара, которая ой главн скльу о п ва ы р еп н 𝑛→∞ утверждает, что радиус сходимости ряда (8) есть величина, обратная н ж о м ой главн екты о р п ер м о н ясо ащ ж ер д ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅‖𝑇 𝑛 ‖1/𝑛 = lim ‖𝑇 𝑛 ‖1/𝑛 . lim 𝑛 Наконец, если 𝑛→∞ Х-гильбертово аем олуч п пространство 𝑛 и оператор вм то ер льб ги я д о х ер п А 𝑛 самосопряжен, то ‖𝐴‖2 = ‖𝐴2 ‖. Это дает ‖𝐴2 ‖ = ‖𝐴‖2 , так что 1/𝑘 𝑛 𝑟(𝐴) = lim ‖𝐴𝑘 ‖ = lim ‖𝐴2 ‖ 𝑘→∞ 2−𝑛 𝑛→∞ = ‖𝐴‖. При определении спектра иногда полезна следующая теорема. ертовм льб ги ать р б вы таи н элем м тр еко н Теорема 16. Пусть Х-банахово пространство, 𝑇 ∈ 𝐿(𝑋). Тогда 𝜎(𝑇) = ть м и сход я ац ту си 𝜎(𝑇 ′ ) и 𝑅𝜆 (𝑇) = 𝑅𝜆 (𝑇)′. если H–гильбертово пространство, то 𝜎(𝑇 ∗ ) = ой б лю {𝜆 ∣ 𝜆̅ ∈ 𝜎(𝑇)} и 𝑅𝜆̅ (𝑇 ∗ ) = 𝑅𝜆 (𝑇)∗ . Предложение 1. Пусть Х-банахово пространство и 𝑇 ∈ 𝐿(𝑋). Тогда лн ед р п о ек точ етв щ су (а) Т не имеет остаточного спектра; ле ы см если (b) 𝜎(𝑇)-подмножество в R; явлетс (с) собственные векторы, отвечающие различным собственным ц и атр м х ы б лю р алгеб значениям Т, ортогональны. Доказательство. (а) следует из последнего предложения и того, что в ан д р о ж е м и всех точечный и остаточный спектры не пересекаются по определению. Если λ и μ клети лев огч н м е ы атн п м ко вещественны, то е м о авн р щ аю реш ‖[𝐴 − (𝜆 + 𝑖𝜇)]𝑥‖2 = (𝑥, (𝐴 − 𝜆 + 𝑖𝜇)(𝐴 − 𝜆 − 𝑖𝜇)𝑥) = ‖(𝐴 − 𝜆)𝑥‖2 + 𝜇2 ‖𝑥‖2 .

35 Таким образом, если то‖(𝐴 − (𝜆 + 𝑖𝜇))𝑥‖ ≥ |𝜇|‖𝑥‖. 𝜇 ≠ 0, коретн это означает, что 𝐴 − (𝜆 + 𝑖𝜇)-инъекция, обладающая ограниченным обратным, й о ер м м р о н й го у р д заданным на области значений, которая замкнута. Поскольку А не имеет оль вд т н элем ет ад вп со остаточного спектра, 𝑅𝑎𝑛 𝐴 = 𝐻. Следовательно, (𝜆 + 𝑖𝜇) ∈ 𝜌(𝑇), если 𝜇 ≠ 0, яетс олн п вы разв об уп эт о м так что 𝜎(𝑇) ⊂ 𝑅 и (b) доказано. 2.3. Спектральная теорема для самосопряженного оператора т н ем эл в н ста о р п Спектральная теорема-наименование утверждений из класса теорем о т ю ач зн б о ле и х а м р тео линейных операторах или о матрицах в линейной алгебре и функциональном ст равен е м и ы б то ч анализе, дающих условия, при которых оператор или матрица может быть есть всех ем д у б сти во ы р еп н диагонализирован, т.е. представлен диагональной матрицей в некотором сть у п м таки ат ер п о базисе. Примерами т и д во ер п спектральная операторов, н лом п и д теорема, к которым й ы д каж являются может быть самосопряженные ва ли ед применена клети е м р о н операторы или, нормальные операторы в гильбертовых пространствах. в стан о р п тво й сем лу си Спектральная теорема ут след так атв ер п о же дает каноническое разложение сть у п объемлющего векторного пространства, называемое разложением по если ч ги ло ан у есм ч и о кан собственным значениям или спектральным разложением. та лн о п Обозначим через е атн р б о банахову 𝐵(𝐻𝐶 ) ю услови алгебру всех м это линейных а гд то ограниченных операторов, действующих в 𝐻𝐶 . Аналогично определим тог г о альн ектр сп ка яд р о п 𝐵(𝐻𝑅 ). Оператор 𝑃 ∈ 𝐵(𝐻𝐶 ) называют проектом, если 𝑃2 = 𝑃. Оператор 𝑃 ∈ о сам м о ей н ли ц и атр м 𝐵(𝐻𝐶 ) называют самосопряженным, если〈𝑃𝜑, 𝜓〉𝐶 = 〈𝜑, 𝑃𝜓〉𝐶 , 𝜑, 𝜓 ∈ 𝐻𝐶 . г р вто Аналогично определяют самосопряженный оператор в 𝐵(𝐻𝑅 ). Отметим, что ей ц атри м последнее а тогд определение м тр еко н можно я оказн д я альн ектр сп рассматривать как частный всех случай определения неограниченного самосопряженного оператора. веч роти п (Комплексным) сть у п й ы лн ед р п о разложением единицы на σ–алгебре й аво р п атв ер п о борелевским множеств действительной оси называют отображение ч логи ан ал ж ер д со 𝐸 𝐶 : ∑ → 𝐵(𝐻𝐶 ), обладающее свойствами: ает д 1. 𝐸 𝐶 (∅) = 0𝐶 , 𝐸 𝐶 (𝑅) = 1𝐶 ; вет казы о всех ∑

36 𝐸 𝐶 (𝜔) является самосопряженным 2. для любого 𝜔 ∈ ∑ оператор ог б лю я и ен стр о п етв щ су проектом; 3. для всех 𝜔′ , 𝜔′′ ∈ ∑ справедливо равенство ог б лю всех 𝐸 𝐶 (𝜔′ ∩ 𝜔′′) = 𝐸 𝐶 (𝜔′)𝐸 𝐶 (𝜔′′); 4. для всех𝜔′ , 𝜔′′ ∈ ∑, 𝜔′ ∩ 𝜔′′ = ∅, выполняется равенство лн ед р п о 𝐸 𝐶 (𝜔′ ∩ 𝜔′′) = 𝐸 𝐶 (𝜔′) + 𝐸 𝐶 (𝜔′′); 𝐶 (𝜔) = 〈𝐸 𝐶 (𝜔)𝜑, 𝜑〉𝐶 является 5. для любых 𝜑, 𝜓 ∈ 𝐻𝐶 функция 𝐸𝜑𝜓 в као еи авн р у комплексной регулярной борелевской мерой на ∑. альн орм ф м р о н т и леж 𝐶 (𝜔) = Из свойства 2 следует, что для всех 𝜑 ∈ 𝐻𝐶 мера 𝐸𝜑𝜓 веч ти о р п 〈𝐸 𝐶 (𝜔)𝜑, 𝜑〉𝐶 является положительной. лев огч н м е ч и ан гр о Теорема 17. Пусть 𝑇𝐶 : 𝐷(𝑇𝐶 ) ⊂ 𝐻𝐶 → 𝐻𝐶 -самосопряженный оператор. е м и Тогда существует единственное разложение единицы 𝐸 𝐶 , определенное на σя и кц н у ф м во ер п етв щ су алгебре ∑ всех борелевских подмножеств действительной оси и такое, что х ы ей н ли ы твен соб есть ч и огран ти о асм р ы авн р +∞ 𝐶 (𝜉), 𝜉𝑑𝐸𝜑𝜓 〈𝑇𝐶 𝜑, 𝜓〉𝐶 = ∫ −∞ 𝜑 ∈ 𝐷(𝑇𝐶 ) , 𝜓 ∈ 𝐻𝐶 . (5) Кроме того, разложение единицы 𝐸 𝐶 сосредоточено на 𝜎(𝑇𝐶 ) ⊂ 𝑅 в том м таки смысле, что 𝐸 𝐶 (𝜎(𝑇𝐶 )) = 1𝐶. еств ж о н м ем уд б Разложение единицы 𝐸 𝐶 , связанное с оператором 𝑇𝐶 так, как описано в есть ч и огран ат ер п о всех теореме 17, называют (комплексным) спектральным разложением оператора ератв оп а д тсю о н и м о ф 𝑇𝐶 . Предложение 2. Пусть 𝐸 𝐶 - спектральное разложение оператора 𝑇𝐶 , м тр еко н л во м си твеу со являющегося комплексификацией самосопряженного оператора 𝑇𝑅 . Тогда у д всю проекторы 𝐸 𝐶 (𝜔), порожденные 𝑇𝐶 переводят 𝐻𝑅 в 𝐻𝑅 . й м р о н ой д каж й всяки Доказательство. Для спектрального разложения 𝐸 𝐶 самосопряженного та н элем глав оператора 𝑇𝐶 на любом открытом интервале 𝜔 = (𝑎, 𝑏) и при любом 𝜑 ∈ 𝐻𝐶 усть п тс явлю у этм о п справедлива формула ом б лю 1 𝑏−𝛿 ∫ [((𝜇 − 𝑖𝜀)1𝐶 − 𝑇𝐶 )−1 − ((𝜇 + 𝑖𝜀)1𝐶 − 𝑇𝐶 )−1 ]𝜑𝑑𝜇. 𝐸 𝜔)𝜑 = lim lim 𝛿→+0 𝜀→+0 2𝜋𝐼 𝑎+𝛿 𝐶(

37 Используя тождество Гильберта, получаем г еч кон усть п −1 ((𝜇 − 𝑖𝜀)1𝐶 − 𝑇𝐶 ) − ((𝜇 + 𝑖𝜀)1𝐶 − 𝑇𝐶 ) −1 −1 = 2𝑖𝜀((𝜇 − 𝑖𝜀)1𝐶 − 𝑇𝐶 ) ((𝜇 + 𝑖𝜀)1𝐶 − 𝑇𝐶 ) −1 = 2𝑖𝜀((𝜇1𝐶 − 𝑇𝐶 )2 + 𝜀 2 1𝐶 )−1 . Отметим, что 𝜎(𝑇𝐶 ) ⊂ (−∞, +∞) из следует 𝜇 ± 𝑖𝜀 ∈ 𝜌(𝑇𝐶 ), где 𝜀 > 0 а всегд поэтому, оператор ть н совкуп (𝜇1𝐶 − 𝑇𝐶 )2 + 𝜀 2 1𝐶 разлгется обратим. В силу ве стан о р п предложения 2 комплексификация оператора ((𝜇1𝑅 − 𝑇𝑅 )2 + 𝜀 2 1𝑅 ) −1 совпадает с оператором ет ож м о слаб ((𝜇1𝐶 − 𝑇𝐶 )2 + 𝜀 2 1𝐶 ). Поэтому для всех 𝜑 ∈ 𝐻𝑅 ератв оп 𝜀 𝑏−𝛿 ∫ ((𝜇1𝑅 − 𝑇𝑅 )2 + 𝜀 2 1𝑅 )−1 𝜑𝑑𝜇 ∈ 𝐻𝑅 . 𝛿→+0 𝜀→+0 𝜋 𝑎+𝛿 𝐸 𝐶 (𝜔)𝜑 = lim lim Из предложения 2 следует, что для спектрального разложения оператора 𝑇𝐶 , ог н зад ти о асм р с у и ад р являющегося комплексификацией самосопряженного оператора 𝑇𝑅 , выполняется е ы атн п ком всех если свойство 5’. для всех 𝜑, 𝜓 > ∈ 𝐻𝑅 регулярная борелевская мера ли ы б я еи н аж р п у еств ж о н м 𝐶 (𝜔) = 〈𝐸 𝐶 (𝜔)𝜑, 𝜓〉𝐶 = 〈𝐸 𝐶 (𝜔)𝜑, 𝜓〉𝑅 𝐸𝜑𝜓 является действительной. Действительны о ли авед р сп але д разложением единицы на σ–алгебре и ш ко ∑ всех борелевских подмножеств действительной оси будем называть отображение роекты п ьест атн р б о 𝐸𝑅 : ∑ → 𝐵(𝐻𝑅 ), обладающее свойствами: ет д у б тя и ерж сод 1. 𝐸 𝑅 (∅) = 0𝑅 , 𝐸 𝑅 (𝑅) = 1𝑅 ; 𝐸 𝑅 (𝜔) является самосопряженным 2. для любого 𝜔 ∈ ∑ оператор если проектом; й го у р д ом б лю 3. для всех 𝜔′ , 𝜔′′ ∈ ∑ справедливо равенство вется азы н 𝐸 𝑅 (𝜔′ ∩ 𝜔′′) = 𝐸 𝑅 (𝜔′)𝐸 𝑅 (𝜔′′); 4. для всех𝜔′ , 𝜔′′ ∈ ∑, 𝜔′ ∩ 𝜔′′ = ∅, выполняется равенство а гд то атен п м ко 𝐸 𝑅 (𝜔′ ∩ 𝜔′′) = 𝐸 𝑅 (𝜔′) + 𝐸 𝑅 (𝜔′′); 𝑅 (𝜔) = 〈𝐸 𝑅 (𝜔)𝜑, 𝜑〉𝑅 является 5. для любых 𝜑, 𝜓 ∈ 𝐻𝑅 функция 𝐸𝜑𝜓 ю р ти у м ко комплексной регулярной борелевской мерой на ∑. ем ш и п вы и ен ж азло р если

38 𝑅 (𝜔) Очевидно, для всех 𝜑, 𝜓 ∈ 𝐻𝑅 мера 𝐸𝜑𝜑 = 〈𝐸 𝑅 (𝜔)𝜑, 𝜑〉𝑅 является е м и р п ва ы р еп н положительной. Приведем теперь аналог теоремы 4 для самосопряженного оператора и ч зад и ш ко и ен лж д о р п м ы твен б со 𝑇𝑅 , действующего в действительном гильбертовом пространстве 𝐻𝑅 . лу си сть у п Теорема 18. Пусть 𝑇𝑅 : 𝐷(𝑇𝑅 ) ⊂ 𝐻𝑅 → 𝐻𝑅 - самосопряженный оператор. лу си Тогда существует единственное действительное разложение единицы 𝐸 𝑅 ем ш и п вы лу си тч ли ан авы ш г то определенное на σ–алгебре ∑ всех борелевских подмножеств действительной в ан д р о ж у ц и атр м х ы см езави н оси и такое, что +∞ 𝑅 〈𝑇𝑅 𝜑, 𝜓〉𝑅 = ∫ 𝜉𝑑𝐸𝜑𝜓 (𝜉) , 𝜑 ∈ 𝐷(𝑇𝑅 ), 𝜓 ∈ 𝐻𝑅 . (10) −∞ Кроме того, разложение единицы 𝐸 𝑅 сосредоточено на 𝜎(𝑇𝑅 ) ⊂ 𝑅 в том рокг и ш сть м и д х б ео н й щ ю у след смысле, что 𝐸 𝑅 (𝜎(𝑇𝑅 )) = 1𝑅 . Доказательство. Рассмотрим комплексификацию 𝑇С оператора 𝑇𝑅 . м и ен ж азло р Теорема сти во ы р еп н 17 сопоставляет н и м о ф оператору 𝑇С я главн единственное разложение н вед и р п м и лж о п единицы𝐸 𝐶 : ∑ → 𝐵(𝐻𝐶 ) для которого справедливо представление (9). всех Учитывая, что на 𝐷(𝑇𝑅 ) оператор 𝑇𝐶 совпадает с 𝑇𝑅 , получаем еа м ри п т и леж а м р тео +∞∞ 𝐶 〈𝑇𝑅 𝜑, 𝜓〉𝑅 = 〈𝑇𝐶 𝜑, 𝜓〉𝐶 = ∫ 𝜉𝑑𝐸𝜑𝜓 (𝜉), 𝜑 ∈ 𝐷(𝑇𝑅 ) , 𝜓 ∈ 𝐻𝑅 . −∞ А так как для всех 𝜔 ∈ ∑ проекторы 𝐸 𝐶 (𝜔) переводят 𝐻𝑅 в 𝐻𝑅 , то в е ж то ем ш и п вы качестве 𝐸 𝑅 (𝜔) достаточно взять суждение 𝐸 𝐶 (𝜔) на 𝐻𝑅 . я стран Покажем теперь, что разложение единицы 𝐸 𝑅 соответствующее ератв оп ерат оп т ю ач зн б о оператору 𝑇𝑅 единственно. Предположим противное. Пусть существует еще ы сам я щ аю отвеч еств кач ̃𝑅 , определенно на σ–алгебре ∑ всех борелевских одно разложение единицы 𝐸 ет ад вп со ен отч п м и ен ж азло р есть подмножеств оси и такое, что +∞ 𝑅 ̃ 〈𝑇𝑅 𝜑, 𝜓〉𝑅 = ∫ 𝜉𝐷𝐸 𝜑𝜓 (𝜉) , −∞ 𝜑 ∈ 𝐷(𝑇𝑅 ), 𝜓 ∈ 𝐻𝑅 . ка яд р о п

39 𝐶 (𝜔) операторов 𝐸̃ 𝑅 (𝜔). Несложно Рассмотрим комплексификацию 𝐸̃ слу и ч аз р б о м и ач зн б о ̃𝐶 является разложением единицы и удовлетворяет проверить, что 𝐸 етв щ су м это х и щ аю твеч о соотношению +∞ 𝐶 ̃ 〈𝑇𝐶 𝜑, 𝜓〉𝐶 = ∫ 𝜉𝐷𝐸 𝜑𝜓 (𝜉) , 𝜑 ∈ 𝐷(𝑇𝐶 ), 𝜓 ∈ 𝐻𝐶 . −∞ В силу теоремы 17 (комплексное) спектральное разложение оператора и лекц в то н элем атн м ко ед р п ̃С совпадает с Е𝐶 . Очевидно, отсюда следует, что 𝑇С единственно, поэтому Е ется ы равд оп в стан о р п р алгеб Е̃𝑅 совпадает с 𝐸 𝑅 . в то н элем Разложение единицы Е̃𝑅 , связанное с оператором Т𝑅 так, как описано в я и р тео е ы атн п м ко азв р б о теореме 18, будем называть (действительным) спектральным разложением усть п ле ы см вй ан д р о ж оператора Т𝑅 . Замечание. Из доказательства теоремы 6 видно, что комплексификация ератв оп вй ан д р о ж у м о д каж 𝐸 𝑅 совпадает с 𝐸 С . Спектральная теорема для компактных самосопряженных ва ры еп н е ы атн п ком и ед ср операторов. В бесконечномерных гильбертовых ет ж о м пространствах клети утверждение ле и х спектральной теоремы для компактных самосопряженных операторов ат ер п о авен р выглядит также как в конечномерном случае. в стан о р п езка тр о аты ер п о Теорема 19: Пусть А является компактным самосопряженным орм н таи н элем сть у п оператором в гильбертовом пространстве V. Существует ортонормированный ом ч н и ед базис пространства V, состоящий из собственных векторов оператора А. При м это ектр сп ле ы см н стач о д st n co этом все собственные значения вещественны. ервог п Ключевым моментом является доказательство существования хоть если а теорм я еи н аж р п у одного собственного вектора. В бесконечномерном случае невозможно х ы лесн п м ко сть у п ты н элем использовать определитель для доказательства существования собственных вется азы н овалсь треб а м р тео векторов, но можно использовать соображения максимизации, аналогичные ле ы см ет уд б еств ж о н м вариационной характеризации собственных значений. Эта спектральная ества ж о н м т н элем а гд то теорема справедлива как для вещественных, так и для комплексных у м тр еко н у есм ч ои кан гильбертовых пространств. и ш ко

40 Без предположения о компактности становится неверным утверждение я теори ог б лю глав о том, что всякий самосопряженный оператор имеет собственный вектор. х ы твен соб в ростан п й аво р п Спектральная теорема для ограниченных самосопряженных т и леж м еы д ай н т у след операторов Это обобщение касается ограниченных самосопряженных операторов в лоран ог н зад ч ги ло ан гильбертовых пространствах. Такие операторы могут не иметь собственных х ы атн п ком если ка яд р о п ве стан о р п н ж о м значений. Теорема 20: Пусть А является ограниченным самосопряженным ет ож м и азвн б ео р п а м су оператором в гильбертовом пространстве Н. Тогда существует пространство ясь возращ етв щ су ы б то ч с мерой (𝑋, ∑, 𝜇), вещественнозначная измеримая функция f на Х и й щ ую след унитарный оператор 𝑈: 𝐻 → 𝐿2𝜇 (𝑋) такие, что U*TU=A, где Т является всем м ы твен соб и ч зад оператором умножения, то есть [𝑇ф](𝑥) = 𝑓(𝑥)ф(𝑥). е ом равн вется азы н С этой теоремы начинается обширная область исследований по я главн й аво р п х ы лесн п м ко функциональному анализу, называемая теорией операторов. аем олуч п ат ер п о и кц н у ф Аналогичная спектральная теорема справедлива для ограниченных а огд н и ты н элем ен р о м нормальных операторов в гильбертовых пространствах. Единственная ы сам е ч и ан гр о й го у р д разница состоит в том, что f может быть комплекснозначной. лем с ы Альтернативная ль у н формулировка к и стерн лю спектральной теоремы х таки позволяет записать оператор А как интеграл, взятый по спектру оператора, от клети оалв и кц ун ф ей ц и атр м координатной ал ж ер д со функции ой б лю по проекционной а гд то мере. В случае когда аз р б о тя и ж ер д со рассматриваемый нормальный оператор является компактным, эта версия лн ед р п о авст ер н н ей кр спектральной теоремы сходится к приведенной выше конечномерной ом ч н и ед о сам ы ей н ли спектральной теореме. м и ен разлож Спектральная теорема для общих самосопряженных операторов а гд то а стем и такя Многие важные линейные операторы, возникающие в математическом м и ен разлож ла у м р о ф м еы д ай н анализе, не являются ограниченными. Таковы дифференциальные операторы. ет м и еств ж о н м н стач о д Имеется спектральная теорема для неограниченных операторов. Например, ектры сп раз об н стач о д любой дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами у есм ч ои кан х ы ей н ли г тр еко н унитарно эквивалентен оператору умножения (соответствующим унитарным ев угач п ог б лю лу си

41 оператором является преобразование Фурье, а соответствующий оператор ругой д явлетс м о ей н ли умножения называют мультипликатором Фурье). я и кц н у ф котрг й ы тр ко

42 Заключение В данной дипломной работе были рассмотрены линейные оператор, ву ан орд ж твен соб валсь о еб тр спектральная теорема для самосопряженного операторов и показано решение ы твен б со если атн п м ко некоторых задач. ка яд р о п ерой м Наиболее изученным классом теории операторов является теория роекты п м и стр о п ветя ы асклд р н ж о м компактных операторов, но, несмотря на это, остаётся пространство для а м р тео м тр еко н н м ло п и д исследования и изучения более глубокого. н остач д еа м и р п Решение ряда важных задач спектральной теории связано с теорией е олн вп сть у аналитических функций. этог характеризующие резольвента, если Дело ветя ы расклд в спектральную собственные том, задачу м р о н что для та н элем значения еств ж о н м ат ер п о основные оператора, оператора лу си и объекты, м тр еко н такие как гае сти о д другие, являются ь стави ед р п аналитическими функциями спектрального параметра в определённых е зьм во е м и ть м и д о сх областях. В математике, в частности в линейной алгебре и функциональном и ен разлож такя если анализе, термином спектральная теорема обозначают любой из целого класса г о д каж е ты вар н и ы ей н ли результатов о линейных операторах или о матрицах. Не вдаваясь в детали ои астн ч ы твен соб я и ван ы б у можно сказать, что спектральная теорема даёт условия, при которых ть и лн оп д тог у р алгеб г о н зад сть у п оператор (или матрица) может быть диагонализирован (т.е. представлен тов н элем х ы см езави н диагональной матрицей пространствах эта а откуд в некотором концепция всех т и леж о базисе; валсь о еб тр сть у п диагонализации в бесконечномерных требует некоторых и ш ко ве стан о р п уточнений). Вообще говоря, спектральная теорема выделяет класс линейных е тож я и кц н у ф щ аю еш р м р о н операторов, которые могут моделироваться операторами умножения — и ен ч заклю то у кн зам ем ш и п вы простейшими операторами, какие только могут быть. ую сотавлен о льн стви ей д явлетс На мой взгляд данная дипломная работа будет интересна всем, кто ен отч п интересуется математикой. м и д х б ео н атм ер п о авен р я и кц н у ф

43 Список использованных источников ы ей н и л Антоневич A. Б. Задачи и упражнения по функциональному 1. а л ы б ей ц и атр м й тр еко н анализу / А. Б. Антоневич, П. Н. Князев, Я. В. Радыно. — М.: КомКнига, ческ и м авто е ы атн п м ко усть п 2006. Ахнезер, М.Н., Глазман И.Н. Теория линейных операторов в 2. т и еж л ать р б вы г тр ко гильбертовом пространстве/ М.Н. Ахнезер, И.Н. Глазман. – Киев: Выша ти о асм р ты н ем эл а сум школа, 1977. – 336 с. ат ер п о й щ еж л ад н и р п Баскаков А.Г. Лекции по алгебре: учебное пособие / А.Г. 3. в ан д р о ж м ы н и е ж то Баскаков. — Воронеж: ВГУ, 2013. — 159 с. т ачю зн б о Бородин П. А. Задачи по функциональному анализу: в 2 ч. / П. А. 4. всех м р тео всех Бородин, А. М. Савчук, И. А. Шейпак. — М.: Изд-во ЦПИ, 2009. веч ти о р п я и кц ун ф Глазман И.М. Конечномерный линейный анализ / И.М. Глазман, 5. м и ен ж о азл р тн о л п й аво р п Ю.И. Любич. — М.: Наука, 1969. — 476 c. чка л б о Голуб Дж. Матричные вычисления / Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. — 6. й ы тар и ун а гд то взять М.: Мир, 1999. — 548 с. Данфорд Н. Линейные операторы. Спектральная теория / Н. 7. и кц ун ф ьу скл о п а ш вы Данфорд, Дж. Т. Шварц. — М.: Мир, 1966. — 1065 с. ен р о м и ш ко 8. та н ем эл Данфорд, Н. Линейные операторы/ Н. Данфорд, Дж. Шварц.– М.: ц и атр м учаем л о п ая ьн л стви ей д Наука, 1966.– 386 с. 9. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и ает д сь вал о еб тр у л си приложения / Дж. Деммель. — М.: Мир, 2001. — 430 с. а ш вы 10. а м р тео Канторович Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. ва о сн ат ер п о усть п П. Акилов. — М.: Главная редакция физико-математической литературы г во ер п изд-ва «Наука», 1984. а м р тео е м р о н 11. м тр еко н Канторович, Л.В. Функциональный анализ/ Л.В. Канторович, ям ачеи зн а ткуд о Акилов Г.П. – М.: Наука, 1977.– 231 с. в стан о р п 12. Кириллов А.А, А. Д. Гвишиани, а гд то функционального анализа, М.: Наука, 1979 м и ен ж о азл р ен р о м о ум еб тр Теоремы и задачи в стан о р п

44 13. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального о ум еб тр н л ед р п о й аво р п анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. — М.: Главная редакция физиков стан о р п всех и н ж о л ед р п математической литературы изд-ва «Наука», 1976. ве стан о р п 14. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и ет м и стачн о д я ащ ж ер д со функционального анализа. — Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит.. — М., 1976. в то н ем эл 15. и ен ж о азл р стачн о д Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом ут ед сл и азвн б ео р п сти во ы р еп н пространстве / С.Г. Крейн. — М.: Наука, 1967. — 464 с. ю ви о усл 16. н ж о м Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального в стан о р п а гд то и есл анализа. — Изд. 2-е, переработанное. — М.: Наука. — 520 с. о аб сл 17. Люстерник, Л.А. Топология функциональных пространств и х ы тр ко е м р о ф учаем л о п вариационное исчисление в целом/. Л.А. Люстерник, В. И. – М.: Наука, 1961. л р о ан всех сти во ы р еп н – 442 с. 18. Люстерник, Л.А. Элементы функционального анализа/. Л.А. х ы есн л п м ко вет казы о д Люстерник, В. И. Соболев. – М.: Наука, 1965. – 496 с. ве стан о р п г о б ю л 19. н ж о м Морен К. Методы гильбертова пространства / К. Морен. — М.: е вы сн о всех в о л р ки Мир, 1965. — 572 с. 20. Наймарк М.А. Нормированные кольца / М.А. Наймарк. — М.: а л ы б Наука, 1968. — 664 с. а ящ д схо тч и л ан 21. Пугачев В. С. Лекции по функциональному анализу / В. С. х ы ей н и л ясь н л о п вы ь ш и л Пугачев. — М.: Изд-во МАИ, 1996. о ум еб тр 22. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному ва и л ед я ги л п то анализу. — М.: Мир, 1979. — 592 с. ем ш и п вы 23. Рудин У. Функциональный анализ / У. Рудин. — М.: Мир, 1975. е м о авн р е ы чн и тл о м стави — 444 с. 24. Садовничий, В. А. Теория операторов/ В. А. Садовничий. – М.: и есл атн м ко ед р п Издательский дом «Дрофа», 2004. – 816 с. я и ван ы уб 25. Халмош П. Теория меры / П. Халмош. — М.: Иностранная езка тр о ва о сн о аб сл литература, 1953. — 292 с. ы ей н и л 26. я и кц ун ф Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. й уты кн зам Филлипс. — М.: Иностранная литература, 1962. — 830 с. е каи к р м ай н а м р тео

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв