Влияние поверхностных эффектов на устойчивость тонких пластин с круговым отверстием

Каштанова Станислава Викторовна

Влияние поверхностных эффектов на устойчивость тонких пластин с круговым отверстием

В работе исследована потеря устойчивости при растяжении бесконечной пластины с круговым отверстием с учетом поверхностных эффектов энергетическим методом. Был рассмотрен классический случай задачи Кирша (без учета поверхностных сил) и проведен сравнительный анализ относительно классического случая двух следующих добавлений: учет поверхностных сил на границе отверстия и учет поверхностных сил вдоль всей пластины. В результате получено, что изменения изгибной жесткости пластины играют бОльшую роль, чем учет поверхностных сил на границе отверстия. Численный анализ производился в программе Maple.

Математика

Диссертации

Вуз: Санкт-Петербургский государственный университет (СПбГУ)

ID: 587d368f5f1be77c40d59271

UUID: 6ff4f71f-f5b4-4d1b-89de-06cc42292574

Язык: Русский

Опубликовано: больше 7 лет назад

Просмотры: 5

Каштанова Станислава Викторовна

Источник: Санкт-Петербургский государственный университет

Комментировать 0

Рецензировать 0

Скачать - 761202 bytes

Поделиться работой

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Математико-механический факультет Кафедра теории упругости Каштанова Станислава Викторовна ВЛИЯНИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ ЭФФЕКТОВ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКИХ ПЛАСТИН С КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ Выпускная квалификационная работа Специальность: 01.02.04 Механика деформируемого твердого тела Допущена к защите: _______________ Зав.кафедрой: ______________ академик РАН, д.ф.-м.н. Морозов Н.Ф. Научный руководитель: ___________________ академик РАН, д.ф.-м.н. Морозов Н.Ф. Рецензент: ___________________к.ф.-м.н. Зимин Б.А. Санкт-Петербург 2016

Введение. Устойчивость тонких пластин с отверстием, находящихся под действием одноосного растяжения в классической постановке исследовалась во многих работах, например, [1,2,3]. В работах [2,3] отмечается, что, повидимому, исторически первой работой о потери устойчивости растягиваемой пластины с отверстием была работа Седаевой Е.М.[1]. Однако и в работе [1], и в серии других работ этого автора, была допущена ошибка в знаке нагрузки, вследствие чего результаты получились заниженными, т.е. этими результатами пользоваться нельзя. В книге [3] приведены кратко все результаты трех работ Седаевой Е.М., ссылающейся на эту работу, приводятся результаты авторов, полученные при решении этой задачи, однако существенное расхождение результатов (и величины критической нагрузки и формы потери устойчивости) никак не комментируется. В данной работе в первую очередь еще раз представлена корректная постановка и решение классической задачи. Точное решение классической задачи необходимо для сравнения с последующими решениями усложненных задач, а именно, задач, в которых учитываются эффекты поверхностных натяжений, так как особенностью деформирования наноразмерных пластин и оболочек является наличие поверхностного эффекта [4,5,6], который усиливается при уменьшении геометрических размеров объекта. Локальная потеря устойчивости тонких пластин с отверстием на макроуровне активно исследовалась в 80-е годы [3, 7]. В частности, задача о локальном выпучивании тонкого одноосно растянутого упругого листа с эллиптическим отверстием была решена вариационными методами [2,3] в рамках линеаризированной системы уравнений Кармана. Решение такой задачи сводится к решению обобщенной задачи Штурма–Лиувилля для дифференциального уравнения (1) в котором – оператор Лапласа, w – прогиб пластины, соответствующий собственному числу и заданным кинематическим и статическим краевым 2

условиям, – компоненты тензора напряжений в решении соответствующей плоской задачи теории упругости, – декартова прямоугольная система координат. Первая критическая (эйлерова) нагрузка , отвечающая минимальному собственному числу , находится в виде (2) где h – толщина пластины, E – модуль Юнга, – коэффициент Пуассона, R – характерный линейный размер отверстия, . Было показано[8], что механическая природа подобного локального выпучивания у свободных кромок отверстия связана с образованием локальных зон сжимающих окружных напряжений при одноосном растяжении пластины вдали от отверстия. Рис.1 Постановка задачи. Рассмотрим бесконечную упругую пластинку с круговым отверстием радиуса R, растянутую на бесконечности одноосно при учете поверхностных напряжений. Растягивающее бесконечности равно P. Поле напряжений при в этом случае имеет вид [9]: 3 напряжение на

где – остаточное поверхностное напряжение, отвечающее ненагруженному телу, , Ламе , - модули поверхностной упругости, аналогичные постоянным для объемной изотропной упругости [5]. Присутствие слагаемых с постоянными указывает на влияние поверхностных напряжений в формулах (3) на напряженно- деформированное состояние пластины. Известно, что при увеличении размера отверстия это влияние ослабевает (размерный эффект). Равенство нулю коэффициентов означает отсутствие поверхностных напряжений. В этом случае соотношения (3) переходят в известное решение задачи Кирша о растяжении бесконечной пластины с круговым отверстием. Задачу будем рассматривать в полярной системе координат ( ) с центром, совпадающим с центром кругового отверстия. Представим напряжения как линейную комбинацию классических напряжений и напряжений, порожденных поверхностными эффектами: 4

где: Заметим, что в постановке задачи Штурма-Лиуввиля (1) напряжения предполагаются пропорциональными разыскиваемому собственному числу (критической внешней нагрузке). В то же время в первых двух равенствах (5) первое слагаемое не зависит от нагрузки p и, следовательно, не удовлетворяет этому условию. Вместе с тем, с ростом нагрузки его вклад в нормальные напряжения и становится все меньше. В связи с этим, полагая, что потеря устойчивости у кромок отверстия происходит при достаточно большом значении нагрузки, в расчетах на устойчивость пренебрежем этим слагаемым. Решение. Для определения критического напряжения воспользуемся энергетическим методом С.П. Тимошенко [10,11]: Здесь U – потенциальная энергия изгиба пластины, а срединной плоскости пластинки, накопившихся – работа усилий в к моменту потери устойчивости, на дополнительных перемещениях, вызванных потерей плоской формы деформирования [1]: (7) 5

w – прогиб пластины после потери устойчивости, – коэффициент Пуассона, – цилиндрическая жесткость пластины, Для поиска первой критической нагрузки (точки бифуркации), при которой может возникнуть искривленная форма первоначально плоской пластины, воспользуемся принципом виртуальных перемещений. Следуя этому принципу, за основу возьмем приращение энергии деформации пластины в полярных координатах 1 3 − 2+ h2 0 2+ 01 2+2 0 (9) Прогиб пластины ищем в виде двойного ряда (10) удовлетворяющего условию затухания прогиба на бесконечности. При этом условия свободных кромок отверстия являются естественными для функционала (10) [12]. Наличие симметрии относительно координатных осей позволяет среди тригонометрических составляющих удерживать только косинусы четного числа аргумента. Тогда U и W (в классическом случае) принимают следующую форму: (11) 6

Из принципа виртуальных перемещений следует, что в состоянии равновесия механической системы потенциальная энергия деформации достигает минимума. В этом состоянии обобщенные силы, т.е. частные производные приращения потенциальной координатам, равны нулю: где 7 энергии по обобщенным

Искомая первая критическая нагрузка , соответствующая выходу пластины из плоской формы равновесия, будет равна минимальному положительному значению собственного числа (см. также [13]). Учет поверхностных напряжений вдоль поверхности пластины. Далее помимо поверхностных эффектов на границе отверстия учитывается дополнительный вклад поверхностных напряжений, учет которых меняет изгибную жесткость пластины, т.е., следуя [14]: Численные результаты Используя метод Ритца, в программе Maple, рассчитаны критические нагрузки для классического случая, для случая учета поверхностных эффектов на границе круга и для случая учета поверхностных напряжений вдоль поверхности пластины. 8

Расчеты выполнены для пластин из алюминия, основные константы которого Данные для поверхности [15-16]: для Al [111]. Отношение критической нагрузки, учитывающей поверхностные эффекты на границе круга (P) к классической нагрузке и учитывающей полную систему сил к классической критической нагрузке: Отношение крит. нагр. h=2 нм P/ / h=3 нм P/ / h=4 нм P/ / h=5 нм P/ / h=10 нм P/ / R =1 нм R =2 нм R =4 нм R =5 нм 0,990 0,994 0,995 0,996 1,218 1,229 1,224 1,225 0,991 0,995 0,996 0,997 1,142 1,147 1,149 1,150 0,991 0,995 0,997 0,998 1,104 1,110 1,111 1,112 0,991 0,995 0,997 0,998 1,081 1,086 1,089 1,090 0,991 0,995 0,998 0,999 1,036 1,041 1,043 1,043 Табл. 1 Таким образом, видно, что для этого случая учет поверхностных напряжений, действующих по границе отверстия, уменьшает критическую нагрузку по сравнению с классическим случаем. При увеличении толщины пластины отношение нагрузок, учитывающей поверхностные натяжения, к классической, асимптотически стремится к 1, т.е. для более «толстых» пластин поверхностные эффекты не влияют на критическую нагрузку. График (рис. 2) представлен для R=2 нм и h от 3 нм до 10 нм. 9

Рис.2 Рис.3 Из табл. 1 видно, что учет поверхностных эффектов на лицевых сторонах пластины увеличивает критическую нагрузку при выбранных упругих и поверхностных модулях, и учет изменения изгибной жесткости пластины играют большую роль, чем учет поверхностных эффектов на границе круга. График (рис. 3) представлен для случая r=2 нм и h от 3 нм до 30 нм, пунктир - отношение , сплошная - отношение . при увеличении толщины пластины поверхностные эффекты становятся пренебрежимо малы. 10

Заключение. В работе исследована потеря устойчивости при растяжении бесконечной пластины с круговым отверстием с учетом поверхностных эффектов. Был рассмотрен классический случай задачи (без учета поверхностных сил) и проведен сравнительный анализ относительно классического случая двух следующих добавлений: учет поверхностных сил на границе отверстия и учет поверхностных сил вдоль всей пластины. В результате получено, что изменения изгибной жесткости пластины играют бОльшую роль, чем учет поверхностных сил на границе отверстия. Численный анализ производился в программе Maple. 11

Литература: 1. Седаева Е.М. Устойчивость бесконечных пластин, ослабленных круговыми отверстиями. Тр. научн.-исслед. ин-та мат. Воронеж. ун-та. Воронеж, 1973, вып.8, с.32-36. 2. Бочкарев А.О., Даль Ю.М. Локальная устойчивость упругих пластин с вырезами. ДАН СССР. 1989. Том 308, №2, с.312-315. 3. Гузь А.Н., Дышель М.Ш., Кулиев Г.Г., Милованова О.Б. Разрушение и устойчивость тонких тел с трещинами. Киев., Наук. думка, 1981. 4. Grekov M.A., Morozov N.F. Solution of the Kirsch problem in view of surface stresses // Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics. 2011. Vol. 52. P. 123129.Vol. 53. P. 163-164. 5. Гольдштейн Р.В., Городцов В.А., Устинов К.Б. Влияние поверхностных остаточных напряжений и поверхностной упругости на деформирование шарообразных включений нанометровых размеров в упругой матрице. Физическая мезомеханика. 2010. Т.13, №5, с.127-138. 6. Еремеев В.А., Альтенбах Х., Морозов Н.Ф. О влиянии поверхностного натяжения на эффективную жесткость наноразмерных пластин // Докл. РАН. 2009. Т. 424. № 5. С. 618–620. 7. Никольская Н.А. // Вестн. Ленингр. ун-та. 1979. № 1. С. 111-115. 8. Бочкарев А.О., Греков М.А. Локальная потеря устойчивости пластины с круговым наноотверстием при одноосном растяжении // ДАН. 2014. Т.457 № 3, с.282-285 9. Греков М.А., Язовская А.А. Эффект поверхностной упругости и остаточного поверхностного напряжения в упругом теле, ослабленном эллиптическим отверстием нанометрового размера. ПММ, 2014, Т.14, вып. 2. 10. Тимошенко С.П. , Войновский-Кригер С.. Пластины и оболочки. М., Наука, 1966. 11. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М., Наука, 1967. 12. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука. 1970. 512 с. 13. Grekov M., Kashtanova S., Morozov N., Yazovskaya A. // Fracture Mechanics for Durability, Reliability and Safety / Book of Abstracts of 19th European Conference on Fracture. Kazan. 2012. P. 376. 14. Альтенбах Х., Еремеев В.А., Морозов Н.Ф. Об уравнениях линейной теории оболочек при учете поверхностных напряжений, Изв. РАН, Механика твердого тела, 2010, с.618-620 15. Shenoy V.B. Atomistic calculations of elastic properties of metallic for crystal surfaces. Phys. Rev. 2005, B 71, N 9, p.94 -104. 16. Miller R.E., Shenoy V.B. Size-dependent elastic properties of nanosized structural elements. Nanotechnology 11 (2000) 139–147 12

Рецензии:

Авторизуйтесь, чтобы добавить рецензию

- у работы пока нет рецензий -

Отзывы:

Авторизуйтесь, чтобы оставить отзыв